ჩვენ წარმოგიდგენთ ორ ახალ განმარტებას. Თუ? მიდრეკილია ნულისკენ, იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს, შემდეგ თანაფარდობის ზღვარს
(თუ არსებობს) ე.წ წარმოებული მარჯვნივან მარჯვენა წარმოებულიფუნქციიდან ѓ() წერტილში?, და თუ? მიდრეკილია ნულისკენ, იღებს მხოლოდ უარყოფით მნიშვნელობებს, მაშინ იგივე თანაფარდობის ზღვარი (თუ ის არსებობს) არის წარმოებული მარცხნივან მარცხენა წარმოებული. წარმოებული მარჯვნივ აღინიშნება სიმბოლოთი, ხოლო წარმოებული მარცხნივ აღინიშნება სიმბოლოთი.
თუ წარმოებული მარჯვნივ და წარმოებული მარცხნივ ტოლია, მაშინ ფუნქციას აშკარად აქვს წარმოებული 0 სიტყვის ჩვეულებრივი გაგებით.
ფუნქციების უმარტივესი მაგალითები, რომლებსაც რაღაც მომენტში აქვთ მარჯვენა და მარცხენა წარმოებულები, რომლებიც ერთმანეთს არ ემთხვევა, გვაძლევს ფუნქციებს, რომელთა გრაფიკები გატეხილი ხაზებია.
მართლაც, მოდით 1 , 2 , … , k, … , s იყოს ღერძის სხვადასხვა წერტილების გარკვეული რაოდენობა. ავაშენოთ გატეხილი ხაზი ისე, რომ მის წვეროებს ჰქონდეთ აბსციები x 1 , 2 , … , k, … , s (სურ. 12). ფუნქცია ѓ(), რომლის გრაფიკი არის ეს მრავალწრფი *), არ აქვს წარმოებული 1 , 2 , … , k, … , s წერტილებში.
*) ცხადია, x-ღერძზე პერპენდიკულარული ყოველი წრფე კვეთს მრავალხაზს მაქსიმუმ ერთ წერტილში, ხოლო პოლიწრიტი არის რომელიმე ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციის გრაფიკი.
ამის დასამტკიცებლად განვიხილოთ Q წერტილი აბსციზათი k. ამ წერტილის მიმდებარე ფუნქციის გრაფიკს აქვს ნახ. ცამეტი.
ნებისმიერი სწორი ხაზისთვის სეკანტი მის ზოგიერთ წერტილში და, შესაბამისად, ტანგენსი (როგორც ამ სკანტის შემზღუდველი პოზიცია) ემთხვევა თავად სწორ ხაზს; მაშასადამე, სეკანტის კუთხე და, შესაბამისად, ღერძთან წრფის ტანგენსი იგივეა, რაც თავად წრფის კუთხე x ღერძთან.
ავღნიშნოთ AQ წრფის კუთხე b ღერძით და QB წრფის კუთხე c ღერძით. ვხაზავთ სეკანტს Q წერტილში და Q-ს მარცხნივ და მარჯვნივ მდებარე M 1 და M 2 წერტილებს. მარცხენა სეკანტი ემთხვევა AQ წრფეს, ხოლო მარჯვენა - QB წრფეს.
გასაგებია, რომ თუ Q-ს შეხების წერტილად მივიჩნევთ, მაშინ სეკანტს ექნება ორი ზღვრული პოზიცია, ან, როგორც ზოგჯერ ამბობენ, მრუდს ამ წერტილში ექნება მარჯვენა ტანგენსი, ემთხვევა QB ხაზს და მარცხენა ტანგენსი, ემთხვევა სწორ ხაზს AQ. ღერძსა და მარცხენა ტანგენტს შორის კუთხე აშკარად არის 6, ხოლო ღერძსა და მარჯვენა ტანგენტს შორის არის c. ვინაიდან b და c განსხვავებულია, მაშინ
ამრიგად, Q წერტილში ჩვენს წრფეს არ აქვს განსაზღვრული ტანგენსი და რადგან წარმოებული ტოლია ღერძთან ტანგენსის კუთხის ტანგენტს, მარცხნივ წარმოებული არ არის მარჯვენა წარმოებულის ტოლი და Q წერტილში არ არსებობს.
განვიხილოთ ფუნქციების სხვა მაგალითი სხვადასხვა წარმოებულებით მარცხნივ და მარჯვნივ. დაე, საჭირო გახდეს ფუნქციის წარმოებულის პოვნა
ფუნქცია აშკარად არის განსაზღვრული -1??+1 ინტერვალში. მისი გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 14. მრუდი მთავრდება M(-1, +1) და N(+1, +1) წერტილებზე, რადგან ||>1-ისთვის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული.
წარმოებულს ვპოულობთ x წერტილში:
თუ დავუშვებთ x=0, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას O(0, 0) წერტილში:
ლიმიტის საპოვნელად ვამრავლებთ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც
ვინაიდან განიხილება კვადრატული ფესვის არითმეტიკული (დადებითი) მნიშვნელობა, მაშინ 2 =?, თუ? x> 0, მაგრამ 2 = -?, თუ?<0.
ამიტომ, თუ? > 0, მაშინ
და თუ?<0, то
ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ წარმოებული არ არის მარჯვენა წარმოებულის ტოლი და ამიტომ ჩვენს ფუნქციას არ აქვს წარმოებული. წერტილი (0, 0) არის კუთხის წერტილი, სადაც მრუდს არ აქვს განსაზღვრული ტანგენსი.
მნიშვნელოვანი შენიშვნები!
1. თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ აბრაკადაბრას, გაასუფთავეთ ქეში. როგორ გავაკეთოთ ეს თქვენს ბრაუზერში წერია აქ:
2. სანამ სტატიის კითხვას დაიწყებთ, ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს ნავიგატორს ყველაზე სასარგებლო რესურსისთვის
წარმოიდგინეთ სწორი გზა, რომელიც გადის მთიან მხარეში. ანუ ადის და ქვევით, მაგრამ არ უხვევს მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ ღერძი მიმართულია გზის გასწვრივ ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად, მაშინ გზის ხაზი ძალიან წააგავს რაიმე უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკს:
ღერძი არის ნულოვანი სიმაღლის გარკვეული დონე, ცხოვრებაში ჩვენ ვიყენებთ ზღვის დონეს როგორც მას.
წინ მივდივართ ასეთი გზის გასწვრივ, ჩვენც მაღლა ან ქვევით მივდივართ. ასევე შეგვიძლია ვთქვათ: როდესაც არგუმენტი იცვლება (აბსცისის ღერძის გასწვრივ მოძრაობა), იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა (ორდინატთა ღერძის გასწვრივ მოძრაობა). ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ როგორ განვსაზღვროთ ჩვენი გზის „ციცაბო“? რა შეიძლება იყოს ეს ღირებულება? ძალიან მარტივია: რამდენად შეიცვლება სიმაღლე გარკვეული მანძილის წინ გადაადგილებისას. მართლაც, გზის სხვადასხვა მონაკვეთზე, ერთი კილომეტრის წინ (აბსცისის გასწვრივ) ავწევთ ან ჩამოვწევთ ზღვის დონიდან (ორდინატის გასწვრივ) მეტრით განსხვავებული რაოდენობით.
ჩვენ აღვნიშნავთ წინსვლას (წაიკითხეთ "დელტა x").
ბერძნული ასო (დელტა) ჩვეულებრივ გამოიყენება მათემატიკაში, როგორც პრეფიქსი, რაც ნიშნავს "ცვლილებას". ანუ - ეს არის სიდიდის ცვლილება, - ცვლილება; მაშინ რა არის? მართალია, ზომის ცვლილება.
მნიშვნელოვანია: გამოხატულება არის ერთი ერთეული, ერთი ცვლადი. არასდროს არ უნდა გააწყვეტინო "დელტა" "x"-დან ან სხვა ასოდან! ანუ, მაგალითად,.
ასე რომ, ჩვენ წინ წავედით, ჰორიზონტალურად. თუ გზის ხაზს შევადარებთ ფუნქციის გრაფიკს, მაშინ როგორ აღვნიშნოთ აწევა? Რა თქმა უნდა, . ანუ, როდესაც წინ მივდივართ, ჩვენ მაღლა ავწევთ.
მნიშვნელობის გამოთვლა მარტივია: თუ თავიდან სიმაღლეზე ვიყავით, გადაადგილების შემდეგ კი სიმაღლეზე, მაშინ. თუ საბოლოო წერტილი საწყის წერტილზე დაბალი აღმოჩნდა, ის უარყოფითი იქნება - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ არ აღმავალთ, არამედ დაღმავალს ვართ.
დაბრუნება "ციცაბოზე": ეს არის მნიშვნელობა, რომელიც მიუთითებს იმაზე, თუ რამდენად (ციცაბო) იზრდება სიმაღლე, როდესაც წინ მიიწევთ ერთეულ მანძილზე:
დავუშვათ, რომ ბილიკის ზოგიერთ მონაკვეთზე, კმ-ით წინსვლისას, გზა აწევა კმ-ით. მაშინ ამ ადგილას ციცაბო ტოლია. და თუ გზა m-ით წინსვლისას კმ-ით ჩაიძირა? მაშინ დახრილობა ტოლია.
ახლა განიხილეთ გორაკის მწვერვალი. თუ მონაკვეთის დასაწყისს ნახევარი კილომეტრით აიღებთ ზევით, ბოლოს კი - ნახევარი კილომეტრის შემდეგ, ხედავთ, რომ სიმაღლე თითქმის იგივეა.
ანუ ჩვენი ლოგიკით გამოდის, რომ აქ დახრილობა თითქმის ნულის ტოლია, რაც აშკარად არ შეესაბამება სინამდვილეს. ბევრი რამ შეიძლება შეიცვალოს რამდენიმე მილის დაშორებით. უფრო მცირე ტერიტორიები უნდა იყოს გათვალისწინებული ციცაბოობის უფრო ადეკვატური და ზუსტი შეფასებისთვის. მაგალითად, თუ გაზომავთ სიმაღლის ცვლილებას ერთი მეტრის გადაადგილებისას, შედეგი გაცილებით ზუსტი იქნება. მაგრამ ეს სიზუსტეც კი შეიძლება არ იყოს საკმარისი ჩვენთვის - ბოლოს და ბოლოს, თუ შუა გზაზე არის ბოძი, ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ გადავცუროთ. რა მანძილი უნდა ავირჩიოთ მაშინ? სანტიმეტრი? მილიმეტრი? ნაკლები უკეთესია!
რეალურ ცხოვრებაში, მანძილის გაზომვა უახლოეს მილიმეტრამდე საკმარისზე მეტია. მაგრამ მათემატიკოსები ყოველთვის სრულყოფილებისკენ ისწრაფვიან. აქედან გამომდინარე, კონცეფცია იყო უსასრულოდ მცირე, ანუ მოდულის მნიშვნელობა ნაკლებია ნებისმიერ რიცხვზე, რომლის დასახელებაც შეგვიძლია. მაგალითად, თქვენ ამბობთ: ერთი ტრილიონედი! რამდენით ნაკლები? და თქვენ გაყავით ეს რიცხვი - და ეს კიდევ უფრო ნაკლები იქნება. და ა.შ. თუ გვინდა დავწეროთ, რომ მნიშვნელობა უსასრულოდ მცირეა, ვწერთ ასე: (ვკითხულობთ „x მიდრეკილია ნულისკენ“). ძალიან მნიშვნელოვანია გაგება რომ ეს რიცხვი ნულის ტოლი არ არის!მაგრამ ძალიან ახლოს. ეს ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაიყოს.
ცნება უსასრულოდ პატარას საპირისპირო არის უსასრულოდ დიდი (). თქვენ ალბათ უკვე შეგხვედრიათ მას, როცა უტოლობაზე მუშაობდით: ეს რიცხვი მოდულში უფრო დიდია, ვიდრე ნებისმიერი რიცხვი, რომელზეც შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ. თუ თქვენ მიიღებთ ყველაზე დიდ რაოდენობას, უბრალოდ გაამრავლეთ ის ორზე და მიიღებთ კიდევ უფრო მეტს. და უსასრულობა კიდევ უფრო მეტია, ვიდრე ის, რაც ხდება. ფაქტობრივად, უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ პატარა არის შებრუნებული ერთმანეთის მიმართ, ანუ at და პირიქით: at.
ახლა ისევ ჩვენს გზას. იდეალურად გამოთვლილი ფერდობი არის დახრილობა, რომელიც გამოითვლება ბილიკის უსასრულოდ მცირე სეგმენტზე, ანუ:
აღვნიშნავ, რომ უსასრულოდ მცირე გადაადგილებით, სიმაღლის ცვლილებაც უსასრულოდ მცირე იქნება. მაგრამ შეგახსენებთ, რომ უსასრულოდ მცირე არ ნიშნავს ნულის ტოლს. თუ უსასრულოდ მცირე რიცხვებს ერთმანეთზე გაყოფთ, შეგიძლიათ მიიღოთ სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვი, მაგალითად,. ანუ, ერთი მცირე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ზუსტად ორჯერ მეტი მეორეზე.
რატომ ეს ყველაფერი? გზა, ციცაბო... მიტინგზე არ მივდივართ, მაგრამ მათემატიკას ვსწავლობთ. და მათემატიკაში ყველაფერი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ სხვანაირად უწოდებენ.
წარმოებულის ცნება
ფუნქციის წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ზრდაზე.
მატებამათემატიკაში ცვლილებას უწოდებენ. რამდენად შეიცვალა არგუმენტი () ღერძის გასწვრივ მოძრაობისას ეწოდება არგუმენტის ზრდადა აღინიშნება იმით, თუ რამდენად შეიცვალა ფუნქცია (სიმაღლე) ღერძის გასწვრივ მანძილით წინ გადაადგილებისას ე.წ. ფუნქციის გაზრდადა აღინიშნება.
ამრიგად, ფუნქციის წარმოებული არის კავშირი როდისთან. წარმოებულს აღვნიშნავთ იგივე ასოებით, როგორც ფუნქცია, მხოლოდ ზემოდან მარჯვნივ: ან უბრალოდ. მოდით დავწეროთ წარმოებული ფორმულა ამ აღნიშვნების გამოყენებით:
როგორც გზის ანალოგიაში, აქაც, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როცა მცირდება, უარყოფითი.
მაგრამ წარმოებული ტოლია ნულის? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, თუ ვმოძრაობთ ბრტყელ ჰორიზონტალურ გზაზე, ციცაბოობა ნულის ტოლია. მართლაც, სიმაღლე საერთოდ არ იცვლება. ასე რომ, წარმოებულთან: მუდმივი ფუნქციის წარმოებული (მუდმივი) ნულის ტოლია:
ვინაიდან ასეთი ფუნქციის ზრდა არის ნული ნებისმიერისთვის.
ავიღოთ გორაკზე მაგალითი. აღმოჩნდა, რომ შესაძლებელი იყო სეგმენტის ბოლოების დალაგება წვეროს მოპირდაპირე მხარეებზე ისე, რომ ბოლოებში სიმაღლე აღმოჩნდეს იგივე, ანუ სეგმენტი ღერძის პარალელურად იყოს:
მაგრამ დიდი სეგმენტები არაზუსტი გაზომვის ნიშანია. ჩვენ ავწევთ ჩვენს სეგმენტს თავის პარალელურად, შემდეგ მისი სიგრძე შემცირდება.
საბოლოო ჯამში, როდესაც ჩვენ უსასრულოდ ახლოს ვართ ზევით, სეგმენტის სიგრძე უსასრულოდ მცირე გახდება. მაგრამ ამავე დროს, იგი დარჩა ღერძის პარალელურად, ანუ მის ბოლოებში სიმაღლის სხვაობა ნულის ტოლია (არ მიდრეკილია, მაგრამ უდრის). ასე რომ წარმოებული
ეს შეიძლება გავიგოთ შემდეგნაირად: როდესაც ჩვენ ვდგავართ ზევით, მცირე ცვლა მარცხნივ ან მარჯვნივ უმნიშვნელოდ ცვლის ჩვენს სიმაღლეს.
ასევე არის წმინდა ალგებრული ახსნა: ზემოდან მარცხნივ ფუნქცია იზრდება, მარჯვნივ კი მცირდება. როგორც უკვე გავარკვიეთ, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როდესაც მცირდება, უარყოფითი. მაგრამ ის იცვლება შეუფერხებლად, ნახტომების გარეშე (რადგან გზა მკვეთრად არსად ცვლის ფერდობას). ამიტომ, უარყოფითი და დადებითი მნიშვნელობები უნდა იყოს. ეს იქნება იქ, სადაც ფუნქცია არც იზრდება და არც მცირდება - წვეროს წერტილში.
იგივე ეხება ხეობას (არეალი, სადაც ფუნქცია მცირდება მარცხნივ და იზრდება მარჯვნივ):
ცოტა მეტი დანამატების შესახებ.
ასე რომ, ჩვენ ვცვლით არგუმენტს მნიშვნელობაზე. რა ღირებულებიდან ვცვლით? რა გახდა ის (არგუმენტი) ახლა? ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ნებისმიერი წერტილი და ახლა ჩვენ ვიცეკვებთ მისგან.
განვიხილოთ წერტილი კოორდინატით. მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია. შემდეგ ჩვენ ვაკეთებთ იგივე ზრდას: გავზარდოთ კოორდინატი. რა არგუმენტია ახლა? ძალიან ადვილია:. რა არის ფუნქციის ღირებულება ახლა? სადაც არგუმენტი მიდის, ფუნქცია მიდის იქ: . რაც შეეხება ფუნქციის გაზრდას? ახალი არაფერია: ეს არის ის თანხა, რომლითაც ფუნქცია შეიცვალა:
ივარჯიშეთ ნამატების პოვნაში:
- იპოვეთ ფუნქციის ნამატი წერტილში არგუმენტის ტოლი ნაზრდით.
- იგივეა ფუნქციისთვის წერტილში.
გადაწყვეტილებები:
სხვადასხვა წერტილში, არგუმენტის ერთი და იგივე მატებით, ფუნქციის ზრდა განსხვავებული იქნება. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებულს თითოეულ წერტილში აქვს თავისი (ეს თავიდანვე განვიხილეთ - სხვადასხვა წერტილში გზის ციცაბო განსხვავებულია). ამიტომ, როდესაც ჩვენ ვწერთ წარმოებულს, უნდა მივუთითოთ რა წერტილში:
დენის ფუნქცია.
სიმძლავრის ფუნქციას უწოდებენ ფუნქციას, სადაც არგუმენტი გარკვეულწილად არის (ლოგიკური, არა?).
და - ნებისმიერი ზომით: .
უმარტივესი შემთხვევაა, როდესაც მაჩვენებელი არის:
მოდი ვიპოვოთ მისი წარმოებული ერთ წერტილში. გახსოვდეთ წარმოებულის განმარტება:
ასე რომ, არგუმენტი იცვლება. რა არის ფუნქციის ზრდა?
ზრდა არის. მაგრამ ფუნქცია ნებისმიერ წერტილში უდრის მის არგუმენტს. Ისე:
წარმოებული არის:
წარმოებული არის:
ბ) ახლა განვიხილოთ კვადრატული ფუნქცია (): .
ახლა ეს გავიხსენოთ. ეს ნიშნავს, რომ ნამატის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი, რადგან ის უსასრულოდ მცირეა და, შესაბამისად, უმნიშვნელო სხვა ტერმინის ფონზე:
ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სხვა წესი:
გ) ვაგრძელებთ ლოგიკურ სერიას: .
ეს გამოთქმა შეიძლება გამარტივდეს სხვადასხვა გზით: გახსენით პირველი ფრჩხილი ჯამის კუბის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით, ან დაშალეთ მთელი გამოხატულება ფაქტორებად კუბების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით. სცადეთ ეს თავად გააკეთოთ რომელიმე შემოთავაზებული გზით.
ასე რომ, მე მივიღე შემდეგი:
და კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ყველა ტერმინი, რომელიც შეიცავს:
ვიღებთ: .
დ) მსგავსი წესების მიღება შესაძლებელია დიდი სიმძლავრეებისთვის:
ე) გამოდის, რომ ეს წესი შეიძლება განზოგადდეს ძალაუფლების ფუნქციისთვის თვითნებური მაჩვენებლით და არა მთელი რიცხვით:
| (2) |
თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ წესი სიტყვებით: ”ხარისხი გამოდის წინ, როგორც კოეფიციენტი, შემდეგ კი მცირდება”.
ამ წესს მოგვიანებით (თითქმის ბოლოს) დავამტკიცებთ. ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებული:
- (ორი გზით: ფორმულით და წარმოებულის განმარტებით - ფუნქციის ნამატის დათვლით);
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.
აქ ჩვენ გამოვიყენებთ ერთ ფაქტს უმაღლესი მათემატიკიდან:
როცა გამოხატვა.
მტკიცებულებას ინსტიტუტის პირველ კურსზე გაიგებთ (და იქ მისასვლელად, გამოცდა კარგად უნდა ჩააბაროთ). ახლა მხოლოდ გრაფიკულად გაჩვენებთ:
ჩვენ ვხედავთ, რომ როდესაც ფუნქცია არ არსებობს - გრაფიკის წერტილი პუნქციაა. მაგრამ რაც უფრო ახლოსაა მნიშვნელობასთან მით უფრო ახლოსაა ფუნქცია.ეს არის სწორედ „სწრაფვა“.
გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს წესი კალკულატორით. დიახ, დიახ, არ შეგეშინდეთ, აიღეთ კალკულატორი, ჩვენ ჯერ არ ვართ გამოცდაზე.
მოდით ვცადოთ: ;
არ დაგავიწყდეთ კალკულატორის გადართვა Radians რეჟიმში!
და ა.შ. ჩვენ ვხედავთ, რომ რაც უფრო მცირეა, მით უფრო უახლოვდება თანაფარდობის მნიშვნელობა.
ა) განიხილეთ ფუნქცია. როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვპოულობთ მის ზრდას:
სინუსების სხვაობა პროდუქტად ვაქციოთ. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (გაიხსენეთ თემა ""):.
ახლა წარმოებული:
გავაკეთოთ ჩანაცვლება: . მაშინ უსასრულოდ პატარასთვის ის ასევე უსასრულოდ მცირეა: . გამოთქმა for იღებს ფორმას:
და ახლა ჩვენ გვახსოვს ეს გამონათქვამით. და ასევე, რა მოხდება, თუ უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი ჯამში (ანუ at).
ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წესს: სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის:
ეს არის ძირითადი ("ცხრილი") წარმოებულები. აქ ისინი ერთ სიაშია:
მოგვიანებით მათ კიდევ რამდენიმეს დავამატებთ, მაგრამ ეს არის ყველაზე მნიშვნელოვანი, რადგან ისინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება.
ვარჯიში:
- იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში;
- იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
გადაწყვეტილებები:
ექსპონენტური და ბუნებრივი ლოგარითმი.
მათემატიკაში არის ასეთი ფუნქცია, რომლის წარმოებული ნებისმიერისთვის უდრის თავად ფუნქციის მნიშვნელობას იმავესთვის. მას ეწოდება "ექსპონენტი" და არის ექსპონენციალური ფუნქცია
ამ ფუნქციის საფუძველი - მუდმივი - არის უსასრულო ათობითი წილადი, ანუ ირაციონალური რიცხვი (როგორიცაა). მას „ეილერის რიცხვს“ უწოდებენ, რის გამოც იგი ასოებით აღინიშნება.
ასე რომ, წესი ასეთია:
ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.
ისე, ჩვენ შორს არ წავალთ, მაშინვე განვიხილავთ შებრუნებულ ფუნქციას. რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:
ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:
ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.
რისი ტოლია? Რა თქმა უნდა, .
ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:
მაგალითები:
- იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
- რა არის ფუნქციის წარმოებული?
პასუხები: ექსპონენტი და ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუნქციები, რომლებიც ცალსახად მარტივია წარმოებულის თვალსაზრისით. ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ერთად ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.
დიფერენციაციის წესები
რა წესები? კიდევ ერთი ახალი ტერმინი, ისევ?!...
დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.
მხოლოდ და ყველაფერი. რა არის სხვა სიტყვა ამ პროცესისთვის? არა proizvodnovanie... მათემატიკის დიფერენციალს ეწოდება ფუნქციის თვით ზრდა. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.
ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:
სულ 5 წესია.
მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან.
თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.
ცხადია, ეს წესი ასევე მუშაობს განსხვავებაზე: .
დავამტკიცოთ. ნება, ან უფრო ადვილია.
მაგალითები.
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:
- წერტილში;
- წერტილში;
- წერტილში;
- წერტილში.
გადაწყვეტილებები:
პროდუქტის წარმოებული
აქ ყველაფერი მსგავსია: ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ფუნქციას და ვპოულობთ მის ზრდას:
წარმოებული:
მაგალითები:
- იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
- იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.
გადაწყვეტილებები:
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული
ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ მაჩვენებლის (დაგავიწყდათ თუ არა რა არის ეს?).
მაშ სად არის რაღაც რიცხვი.
ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე მივიყვანოთ:
ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:
ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.
მოხდა?
აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:
ფორმულა ძალიან წააგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.
მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:
პასუხები:
ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული
აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
მაშასადამე, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმიდან განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:
ჩვენ უნდა მივიყვანოთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:
მხოლოდ ახლა ამის ნაცვლად დავწერთ:
მნიშვნელი აღმოჩნდა მხოლოდ მუდმივი (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული ძალიან მარტივია:
ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები გამოცდაზე თითქმის არ გვხვდება, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.
რთული ფუნქციის წარმოებული.
რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც რკალის ტანგენსი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთული გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი რთულად მოგეჩვენებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და ყველაფერი გამოვა), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.
წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ნივთებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი ლენტით აკრავს. გამოდის ასეთი კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.
შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი გამოვასწორებთ მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ისინი გვაძლევენ რიცხვს (შოკოლადს), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც, მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, პირველ მოქმედებას ვაკეთებთ პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მეორე მოქმედებასთან ერთად, რაც მოხდა პირველის შედეგად.
ჩვენ შეგვიძლია იგივე ნაბიჯები გავაკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატულობთ და შემდეგ ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს:. ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.
Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .
პირველი მაგალითისთვის,.
მეორე მაგალითი: (იგივე). .
ბოლო მოქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ, იქნება დაძახებული "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).
შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:
პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში
ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.
კარგი, ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადს - მოძებნეთ წარმოებული. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალური მაგალითისთვის, ასე გამოიყურება:
Სხვა მაგალითი:
ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:
რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:
როგორც ჩანს, ყველაფერი მარტივია, არა?
მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:
წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ
ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნაზრდით:
ძირითადი წარმოებულები:
დიფერენციაციის წესები:
მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან:
ჯამის წარმოებული:
წარმოებული პროდუქტი:
კოეფიციენტის წარმოებული:
რთული ფუნქციის წარმოებული:
რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:
- ჩვენ განვსაზღვრავთ "შიდა" ფუნქციას, ვპოულობთ მის წარმოებულს.
- ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას, ვიპოვით მის წარმოებულს.
- ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.
ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.
იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!
ახლა ყველაზე მთავარი.
თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.
პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...
Რისთვის?
გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.
არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...
ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.
მაგრამ ეს არ არის მთავარი.
მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...
მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...
რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?
შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.
გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.
დაგჭირდებათ პრობლემების დროულად გადაჭრა.
და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.
ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.
იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!
თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებლად არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.
იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.
Როგორ? არის ორი ვარიანტი:
- განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
- განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი
დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.
ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.
Საბოლოოდ...
თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.
"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.
იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!
მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების გადაჭრა აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების შესახებ ცოდნის გარეშე. წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?
წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა
დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მოცემული გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის ცვლილება - მისი მნიშვნელობების განსხვავება x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებული განმარტება:
ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.
წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:
რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? მაგრამ რომელი:
წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: ბილიკის დროის წარმოებული მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარის ტოლია.
მართლაც, სკოლის დროიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე პირადი გზაა. x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:
მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად ერთ დროს t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:
წესი პირველი: ამოიღეთ მუდმივი
მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას, როგორც წესი, მიიღეთ - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, აუცილებლად გაამარტივეთ .
მაგალითი. მოდით გამოვთვალოთ წარმოებული:
წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული
ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.
ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.
იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული
ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:
მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:
გადაწყვეტილება: 
აქ მნიშვნელოვანია ვთქვათ რთული ფუნქციების წარმოებულების გაანგარიშების შესახებ. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.
ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:
ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამოხატვის წარმოებულის გამოსათვლელად ჯერ განვიხილავთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.
წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული
ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:
ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჟღერს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლისას.
ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი კონტროლის გადაჭრაში და ამოცანების შესრულებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასდროს გქონიათ საქმე წარმოებულების გამოთვლასთან.
როცა ადამიანმა პირველი დამოუკიდებელი ნაბიჯები გადადგა მათემატიკური ანალიზის შესწავლაში და იწყებს არასასიამოვნო კითხვების დასმას, ასე ადვილი აღარ არის თავის დაღწევა იმ ფრაზისგან, რომ „კომბოსტოში დიფერენციალური კალკულუსი იპოვეს“. ამიტომ, დროა განვსაზღვროთ და ამოხსნათ დაბადების საიდუმლო წარმოებულების ცხრილები და დიფერენციაციის წესები. დაიწყო სტატიაში წარმოებულის მნიშვნელობის შესახებ, რომელსაც კატეგორიულად გირჩევთ შესასწავლად, რადგან იქ ჩვენ უბრალოდ განვიხილეთ წარმოებულის კონცეფცია და დავიწყეთ დავალების დაწკაპუნება თემაზე. იმავე გაკვეთილს აქვს გამოხატული პრაქტიკული ორიენტაცია, უფრო მეტიც,
ქვემოთ განხილული მაგალითები, პრინციპში, შეიძლება აითვისოს მხოლოდ ფორმალურად (მაგალითად, როდესაც არ არის დრო / სურვილი, ჩავუღრმავდეთ წარმოებულის არსს). ასევე ძალიან სასურველია (მაგრამ ისევ არ არის აუცილებელი) წარმოებულების პოვნა "ჩვეულებრივი" მეთოდის გამოყენებით - მინიმუმ ორი ძირითადი კლასის დონეზე:როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? და რთული ფუნქციის წარმოებული.
მაგრამ რაღაცის გარეშე, რაც ახლა ნამდვილად შეუცვლელია, ის გარეშეა ფუნქციის ლიმიტები. თქვენ უნდა გესმოდეთ რა არის ლიმიტი და შეძლოთ მათი გადაჭრა, ყოველ შემთხვევაში, საშუალო დონეზე. და ყველაფერი იმიტომ, რომ წარმოებული
ფუნქცია წერტილში განისაზღვრება ფორმულით:
შეგახსენებთ აღნიშვნებს და ტერმინებს: იძახიან არგუმენტის ზრდა;
- ფუნქციის გაზრდა;
- ეს არის SINGLE სიმბოლოები ("დელტა" არ შეიძლება "მოწყვეტილი" "X" ან "Y").
ცხადია, არის „დინამიური“ ცვლადი, არის მუდმივი და ლიმიტის გამოთვლის შედეგი 
- ნომერი (ზოგჯერ - "პლუს" ან "მინუს" უსასრულობა).
როგორც მომენტი, შეგიძლიათ განიხილოთ ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელსაც ეკუთვნის დომენებიფუნქცია, რომელსაც აქვს წარმოებული.
შენიშვნა: პუნქტი "რომელშიც არსებობს წარმოებული" - ზოგადად მნიშვნელოვანი.! ასე, მაგალითად, წერტილი, მართალია ის შედის ფუნქციის დომენში, მაგრამ წარმოებული
იქ არ არსებობს. ამიტომ ფორმულა
არ გამოიყენება წერტილში
და დათქმის გარეშე შემოკლებული ფორმულირება არასწორი იქნება. მსგავსი ფაქტები ასევე მოქმედებს გრაფაში „შესვენებებით“ სხვა ფუნქციებისთვის, კერძოდ, არქსინისა და არკოსინისთვის.
ამრიგად, ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ მეორე სამუშაო ფორმულას:
ყურადღება მიაქციეთ მზაკვრულ გარემოებას, რამაც შეიძლება დააბნიოს ჩაიდანი: ამ ზღვარში "x", როგორც თავად დამოუკიდებელი ცვლადი, ასრულებს დამატებით როლს, ხოლო "დინამიკა" კვლავ დგინდება ნაზრდით. ლიმიტის გამოთვლის შედეგი
არის წარმოებული ფუნქცია.
ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაყალიბებთ ორი ტიპიური პრობლემის პირობებს:
- Პოვნა წარმოებული წერტილშიწარმოებულის განმარტების გამოყენებით.
- Პოვნა წარმოებული ფუნქციაწარმოებულის განმარტების გამოყენებით. ეს ვერსია, ჩემი დაკვირვებით, ბევრად უფრო ხშირად ხდება და მთავარი ყურადღება დაეთმობა.
დავალებებს შორის ფუნდამენტური განსხვავება ისაა, რომ პირველ შემთხვევაში საჭიროა ნომრის პოვნა (სურვილისამებრ უსასრულობა)და მეორეში
ფუნქცია . გარდა ამისა, წარმოებული შეიძლება საერთოდ არ არსებობდეს.
Როგორ ?
შეადგინეთ თანაფარდობა და გამოთვალეთ ლიმიტი.
სად გააკეთაწარმოებულების ცხრილი და დიფერენციაციის წესები ? ერთი ლიმიტით
ჯადოქრობას ჰგავს, მაგრამ
რეალობა - სიფხიზლე და არა თაღლითობა. გაკვეთილზე რა არის წარმოებული?დავიწყე კონკრეტული მაგალითების განხილვა, სადაც განმარტების გამოყენებით ვიპოვე წრფივი და კვადრატული ფუნქციის წარმოებულები. შემეცნებითი გახურების მიზნით ჩვენ გავაგრძელებთ შეწუხებას წარმოებული ცხრილიალგორითმის და ტექნიკური გადაწყვეტილებების დახვეწა:
ფაქტობრივად, საჭიროა დენის ფუნქციის წარმოებულის განსაკუთრებული შემთხვევის დამტკიცება, რომელიც ჩვეულებრივ ჩანს ცხრილში: .
გამოსავალი ტექნიკურად ფორმალიზებულია ორი გზით. დავიწყოთ პირველი, უკვე ნაცნობი მიდგომით: კიბე იწყება ფიცრით, ხოლო წარმოებული ფუნქცია იწყება წარმოებულით წერტილში.
განვიხილოთ ზოგიერთი (კონკრეტული) პუნქტი, რომელიც ეკუთვნის დომენებიფუნქცია, რომელსაც აქვს წარმოებული. დააყენეთ ნამატი ამ ეტაპზე (რა თქმა უნდა, არა მიღმა o / o - z) და შეადგინეთ ფუნქციის შესაბამისი ზრდა:
მოდით გამოვთვალოთ ლიმიტი:
გაურკვევლობა 0:0 აღმოიფხვრება სტანდარტული ტექნიკით, რომელიც ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე პირველ საუკუნეში ითვლება. გამრავლება
მრიცხველი და მნიშვნელი მიმდებარე გამოსახულებაში 
:
ასეთი ლიმიტის ამოხსნის ტექნიკა დეტალურად არის განხილული შესავალ გაკვეთილზე. ფუნქციების საზღვრების შესახებ.
ვინაიდან ინტერვალის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება აირჩეს როგორც
შემდეგ, ჩანაცვლებით, ვიღებთ:
კიდევ ერთხელ გავიხაროთ ლოგარითმებით:
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წარმოებულის განმარტების გამოყენებით
გამოსავალი: მოდით განვიხილოთ განსხვავებული მიდგომა ერთი და იგივე ამოცანის გადასაჭრელად. ზუსტად იგივეა, მაგრამ დიზაინის თვალსაზრისით უფრო რაციონალურია. იდეა არის მოშორება
გამოწერე და ასოს ნაცვლად გამოიყენე ასო.
განვიხილოთ თვითნებური წერტილი, რომელსაც ეკუთვნის დომენებიფუნქცია (ინტერვალი) და დააყენეთ მასში ნამატი. და აქ, სხვათა შორის, როგორც უმეტეს შემთხვევაში, შეგიძლიათ გააკეთოთ ყოველგვარი დათქმის გარეშე, რადგან ლოგარითმული ფუნქცია დიფერენცირებადია განსაზღვრების დომენის ნებისმიერ წერტილში.
მაშინ შესაბამისი ფუნქციის ზრდა არის:
მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:
დიზაინის სიმარტივე დაბალანსებულია დაბნეულობით, რაც შეიძლება
წარმოიქმნება დამწყებთათვის (და არა მხოლოდ). ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ მიჩვეულები ვართ, რომ ასო "X" იცვლება ლიმიტში! მაგრამ აქ ყველაფერი სხვაგვარადაა: - ანტიკური ქანდაკება და - ცოცხალი სტუმარი, რომელიც აჩქარებით დადის მუზეუმის დერეფანში. ანუ "x" არის "მუდმივის მსგავსი".
მე კომენტარს გავაკეთებ გაურკვევლობის აღმოფხვრაზე ეტაპობრივად:
(1)
ლოგარითმის თვისების გამოყენება
.
(2) მრიცხველი გავყოთ ფრჩხილებში მნიშვნელზე.
(3) მნიშვნელში ხელოვნურად ვამრავლებთ და ვყოფთ „x“-ზე ისე, რომ
ისარგებლეთ მშვენიერით 
, ხოლო როგორც უსასრულოდ მცირეასრულებს.
პასუხი: წარმოებულის განმარტებით:
ან მოკლედ:
მე ვთავაზობ დამოუკიდებლად ავაშენოთ კიდევ ორი ცხრილი ფორმულა:
იპოვნეთ წარმოებული განსაზღვრებით
ამ შემთხვევაში, შედგენილი ნამატი დაუყოვნებლივ მოსახერხებელია საერთო მნიშვნელამდე დასაყვანად. დავალების სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს (პირველი მეთოდი).
იპოვნეთ წარმოებული განსაზღვრებით
და აქ ყველაფერი შესანიშნავ ზღვარამდე უნდა დაიწიოს. ხსნარი ჩარჩოშია მეორე გზით.
ანალოგიურად, რიგი სხვა ცხრილის წარმოებულები. სრული სია შეგიძლიათ ნახოთ სასკოლო სახელმძღვანელოში, ან, მაგალითად, ფიხტენჰოლცის 1 ტომში. მე ვერ ვხედავ დიდ აზრს წიგნებიდან გადაწერაში და დიფერენცირების წესების მტკიცებულებებში - ისინი ასევე წარმოიქმნება
ფორმულა .
მოდით გადავიდეთ რეალურ ცხოვრებისეულ ამოცანებზე: მაგალითი 5
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული 
, წარმოებულის განმარტების გამოყენებით
გამოსავალი: გამოიყენეთ პირველი სტილი. განვიხილოთ ზოგიერთი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის და დავადგინოთ მასში არგუმენტის ზრდა. მაშინ შესაბამისი ფუნქციის ზრდა არის:
შესაძლოა ზოგიერთ მკითხველს ჯერ ბოლომდე არ ესმოდეს პრინციპი, რომლითაც უნდა მოხდეს ზრდა. ვიღებთ წერტილს (ნომერს) და ვპოულობთ მასში ფუნქციის მნიშვნელობას: 
, ანუ ფუნქციაში
"x"-ის ნაცვლად უნდა შეიცვალოს. ახლა ჩვენ ვიღებთ
შედგენილი ფუნქციის ზრდა მომგებიანია დაუყოვნებლივ გამარტივება. Რისთვის? გააადვილეთ და შეამცირეთ შემდგომი ლიმიტის ამოხსნა.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს, ვხსნით ფრჩხილებს და ვამცირებთ ყველაფერს, რისი შემცირებაც შესაძლებელია:
ინდაური გაფუჭებულია, შემწვარი პრობლემა არ არის:
საბოლოოდ: 
ვინაიდან ხარისხად შეიძლება ნებისმიერი რეალური რიცხვის არჩევა, ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას და ვიღებთ 
.
პასუხი: 
ა-პრიორიტეტი.
გადამოწმების მიზნით, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს წესების გამოყენებით
დიფერენციაციები და ცხრილები:
ყოველთვის სასარგებლო და სასიამოვნოა სწორი პასუხის წინასწარ ცოდნა, ამიტომ სჯობს გონებრივად ან მონახაზზე შემოთავაზებული ფუნქცია „სწრაფად“ განვასხვავოთ გადაწყვეტის დასაწყისშივე.
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წარმოებულის განსაზღვრებით
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. შედეგი დევს ზედაპირზე:
დაბრუნება სტილ #2-ზე: მაგალითი 7
მოდით, სასწრაფოდ გავარკვიოთ, რა უნდა მოხდეს. ავტორი რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი:
გადაწყვეტილება: განიხილეთ თვითნებური პუნქტი, რომელიც ეკუთვნის მასში, დააყენეთ არგუმენტის ზრდა და გააკეთეთ ნამატი.
მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:
(1) ჩვენ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას
(2) სინუსის ქვეშ ვხსნით ფრჩხილებს, კოსინუსის ქვეშ ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს.
(3) სინუსში ვამცირებთ წევრებს, კოსინუსში მრიცხველს ვყოფთ მნიშვნელზე ტერმინებით.
(4) სინუსის უცნაურობის გამო ვიღებთ „მინუსს“. კოსინუსის ქვეშ
მიუთითეთ, რომ ტერმინი.
(5) ჩვენ ხელოვნურად ვამრავლებთ მნიშვნელს გამოსაყენებლად პირველი მშვენიერი ლიმიტი. ამრიგად, გაურკვევლობა აღმოფხვრილია, ჩვენ ვვარცხნით შედეგს.
პასუხი: განმარტებით, როგორც ხედავთ, განსახილველი პრობლემის მთავარი სირთულე ემყარება
თავად ლიმიტის სირთულე + შეფუთვის მცირე ორიგინალობა. პრაქტიკაში, დიზაინის ორივე მეთოდი გვხვდება, ამიტომ ორივე მიდგომას რაც შეიძლება დეტალურად აღვწერ. ისინი ეკვივალენტურია, მაგრამ მაინც, ჩემი სუბიექტური შთაბეჭდილებით, უფრო მიზანშეწონილია, რომ დუიმებმა დაიცვან 1 ვარიანტი "X ნულთან".
განმარტების გამოყენებით იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების ამოცანა. ნიმუში დაფორმატებულია იმავე სულისკვეთებით, როგორც წინა მაგალითი.
მოდით გავაანალიზოთ პრობლემის უფრო იშვიათი ვერსია:
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში წარმოებულის განმარტების გამოყენებით.
პირველი, რა უნდა იყოს ბოლო ხაზი? ნომერი გამოთვალეთ პასუხი სტანდარტული გზით:
გადაწყვეტილება: სიცხადის თვალსაზრისით, ეს ამოცანა გაცილებით მარტივია, რადგან ფორმულაში ნაცვლად
განიხილება კონკრეტული მნიშვნელობა.
ჩვენ ვაყენებთ ნამატს წერტილში და ვადგენთ ფუნქციის შესაბამის ნამატს:
გამოთვალეთ წარმოებული წერტილში:
ჩვენ ვიყენებთ ძალიან იშვიათ ფორმულას ტანგენტების სხვაობისთვის 
და ამდენჯერ ვამცირებთ ხსნარს პირველზე
საოცარი ლიმიტი:
პასუხი: წარმოებულის განმარტებით წერტილში.
ამოცანის გადაჭრა არც ისე რთულია და „ზოგადად“ - საკმარისია ფრჩხილის შეცვლა ან უბრალოდ, დიზაინის მეთოდის მიხედვით. ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, თქვენ მიიღებთ არა რიცხვს, არამედ წარმოებულ ფუნქციას.
მაგალითი 10 განმარტების გამოყენებით იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული 
წერტილში
ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.
საბოლოო ბონუს დავალება ძირითადად განკუთვნილია მათემატიკური ანალიზის სიღრმისეული შესწავლის მქონე სტუდენტებისთვის, მაგრამ ის არც ყველას დააზარალებს:
იქნება თუ არა ფუნქცია დიფერენცირებადი 
წერტილში?
ამოხსნა: აშკარაა, რომ ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, მაგრამ იქნება თუ არა ის დიფერენცირებადი იქ?
ამოხსნის ალგორითმი, და არა მხოლოდ ცალმხრივი ფუნქციებისთვის, ასეთია:
1) იპოვეთ მარცხენა წარმოებული მოცემულ წერტილში: .
2) იპოვეთ მარჯვენა წარმოებული მოცემულ წერტილში: .
3) თუ ცალმხრივი წარმოებულები სასრულია და ემთხვევა:
, მაშინ ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში და
გეომეტრიულად აქ არის საერთო ტანგენსი (იხილეთ გაკვეთილის თეორიული ნაწილი წარმოებულის განმარტება და მნიშვნელობა).
თუ მიიღება ორი განსხვავებული მნიშვნელობა: 
(ერთი მათგანი შეიძლება იყოს უსასრულო), მაშინ ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი წერტილში.
თუ ორივე ცალმხრივი წარმოებული უსასრულობის ტოლია
(მაშინაც კი, თუ მათ აქვთ სხვადასხვა ნიშნები), მაშინ ფუნქცია არ არის
არის დიფერენცირებადი წერტილში, მაგრამ არსებობს უსასრულო წარმოებული და საერთო ვერტიკალური ტანგენსი გრაფიკზე (იხილეთ გაკვეთილის მაგალითი 5ნორმალური განტოლება) .
წარმოებულის ცნება
დაუშვით ფუნქცია ვ(x) განსაზღვრულია რაღაც ინტერვალზე x.მოდით მივცეთ არგუმენტის მნიშვნელობა პუნქტში x 0 X შემთხვევითი ზრდა Δ xისე რომ წერტილი x0 + Δ xასევე ეკუთვნოდა x.შემდეგ შესაბამისი f(x) ფუნქციის ზრდაიქნება Δ ზე = ვ(x0 + Δ x) - ვ(x0).
განმარტება 1.f(x) ფუნქციის წარმოებულიწერტილში x0ეწოდება ამ მომენტში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი Δ-ზე არგუმენტის ზრდასთან. x 0 (თუ ეს ლიმიტი არსებობს).
ფუნქციის წარმოებულის აღსანიშნავად გამოიყენება სიმბოლოები შენ (x0) ან ვ‘(x0):
თუ რაღაც მომენტში x0ლიმიტი (4.1) არის უსასრულო:
მაშინ ისინი ამბობენ, რომ წერტილი x0ფუნქცია ვ(x) Მას აქვს უსასრულო წარმოებული.
თუ ფუნქცია ვ(x) აქვს წარმოებული სიმრავლის ყველა წერტილში x,შემდეგ წარმოებული f"(x)ასევე არგუმენტის ფუნქციაა X,განსაზღვრულია x.
წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გასარკვევად, ჩვენ გვჭირდება მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის განსაზღვრა.
განმარტება 2.ტანგენტიფუნქციის გრაფიკამდე y = ვ(x) წერტილში მ MN,როდესაც წერტილი ნმიდრეკილია წერტილისკენ მმრუდის გასწვრივ ვ(x).
დაუშვით წერტილი მმოსახვევზე ვ(x) შეესაბამება არგუმენტის მნიშვნელობას x0და წერტილი N-არგუმენტის მნიშვნელობა x0 + Δ x(ნახ. 4.1). ტანგენტის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი არსებობისთვის წერტილში x0აუცილებელია არსებობდეს ზღვარი, რომელიც უდრის ღერძზე ტანგენსის დახრის კუთხს. ოქსი. სამკუთხედიდან MNAამას მოჰყვება
თუ ფუნქციის წარმოებული ვ(x) წერტილში x0არსებობს, მაშინ, (4.1) მიხედვით ვიღებთ
აქედან გამომდინარეობს აშკარა დასკვნა, რომ წარმოებული ვ‘(x0) ტოლია დახრილობის (დახრილობის კუთხის ტანგენსი Ox ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ) y ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსი = ვ(x)-ში წერტილი მ(x0, ვ(x0)). ამ შემთხვევაში, ტანგენტის დახრილობა განისაზღვრება ფორმულით (4.2):
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა
დავუშვათ, რომ ფუნქცია l = f(ტ) აღწერს მატერიალური წერტილის მოძრაობის კანონს სწორ ხაზზე, როგორც ბილიკზე დამოკიდებულებას ლიმ დროიდან ტ.მაშინ განსხვავება Δ l = f(t +Δ t) - f(t) -არის გავლილი მანძილი Δ დროის ინტერვალში ტდა თანაფარდობა Δ ლ/Δ ტ- საშუალო სიჩქარე დროთა განმავლობაში Δ ტ. მერე ლიმიტი 
განსაზღვრავს წერტილი მყისიერი სიჩქარედროზე ტროგორც გზის წარმოებული დროის მიმართ.
გარკვეული გაგებით, ფუნქციის წარმოებული ზე = f(x)ასევე შეიძლება განიმარტოს, როგორც ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე: რაც უფრო დიდია მნიშვნელობა ვ‘(x), რაც უფრო დიდია მრუდის ტანგენსის დახრის კუთხე, მით უფრო ციცაბოა გრაფიკი ვ(x) და ფუნქცია უფრო სწრაფად იზრდება.
მარჯვენა და მარცხენა წარმოებულები
ფუნქციის ცალმხრივი ზღვრების ცნებების ანალოგიით შემოტანილია ფუნქციის მარჯვენა და მარცხენა წარმოებულების ცნებები წერტილში.
განმარტება 3.მარჯვნივ (მარცხნივ)წარმოებული ფუნქცია ზე = f(x)წერტილში x0ეწოდება (4.1) მიმართების მარჯვენა (მარცხნივ) ზღვარი, როგორც Δ x 0, თუ ეს ლიმიტი არსებობს.
ცალმხრივი წარმოებულების აღსანიშნავად გამოიყენება შემდეგი სიმბოლიზმი:
თუ ფუნქცია ვ(x) აქვს წერტილში x0წარმოებული, მაშინ მას აქვს მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულები იმ წერტილში, რომლებიც იგივეა.
მოვიყვანოთ ფუნქციის მაგალითი, რომელსაც აქვს ცალმხრივი წარმოებულები ერთმანეთის არატოლი წერტილში. Ეს არის ვ(x) = |x|. მართლაც, იმ წერტილში x = 0ჩვენ გვაქვს f' +(0) = 1, ვ-(0) = -1 (ნახ. 4.2) და f' +(0) ≠ ვ -(0), ე.ი. ფუნქციას არ აქვს წარმოებული at X = 0.
ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია;ფუნქცია, რომელსაც აქვს წარმოებული წერტილი, ეწოდება დიფერენცირებადი.
კავშირი ფუნქციის განსხვავებულობასა და უწყვეტობას შორის წერტილში დგინდება შემდეგი თეორემით.
თეორემა 1 . თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია x 0 წერტილში, მაშინ ის ასევე უწყვეტია ამ წერტილში.
საპირისპირო არ არის მართალი: ფუნქცია ვ(x) რომელიც არის უწყვეტი წერტილში, შეიძლება არ ჰქონდეს წარმოებული იმ წერტილში. ასეთი მაგალითია ფუნქცია ზე = |x|; ის უწყვეტია წერტილში x= 0, მაგრამ ამ ეტაპზე არ აქვს წარმოებული.
ამრიგად, ფუნქციის დიფერენციალურობის მოთხოვნა უფრო ძლიერია, ვიდრე უწყვეტობის მოთხოვნა, რადგან მეორე ავტომატურად მოდის პირველიდან.
მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლება
როგორც 3.9 განყოფილებაში იყო ნათქვამი, წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება მ(x0, 0-ზე) დახრილობით კფორმა აქვს
დაუშვით ფუნქცია ზე = ვ(x). მაშინ რადგან მისი წარმოებული რაღაც მომენტში მ(x0, 0-ზე) არის ამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის დახრილობა წერტილში მ,მაშინ გამოდის, რომ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება ვ(x) ამ ეტაპზე აქვს ფორმა
⇐ წინა19202122232425262728შემდეგი ⇒
y არის ფუნქცია y = y(x)
C = მუდმივი, მუდმივის წარმოებული (y') არის 0
y = C => y' = 0
მაგალითი: y = 5, y' = 0
თუ y არის y = x n ტიპის ფუნქცია, წარმოებულის ფორმულა არის:
y = x n => y' = nx n-1
მაგალითი: y = x 3 y’ = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4
ზემოთ მოყვანილი ფორმულიდან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ y = x = x 1 ფუნქციის y’ წარმოებულისთვის, რომ:
თუ y = x მაშინ y'=1
y \u003d f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) ...=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...
ეს ფორმულა წარმოადგენს ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც არის ფუნქციების ჯამი.
მაგალითი: თუ გვაქვს ორი ფუნქცია f(x) = x 2 + x + 1 და g(x) = x 5 + 7 და y = f(x) + g(x) მაშინ y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1
თუ ფუნქცია ორი ფუნქციის პროდუქტია, წარმოებული ფორმულა ასე გამოიყურება:
y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)
თუ f(x) = C(C არის მუდმივი) და y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)
y = Cf(x) => y’ = C.f"(x)
წარმოებულის გამოთვლის ფორმულები
| y= | y' = |
|
y = ln x => y' = 1 / x
y = e x => y' = e x
y = sin x => y' = cos x
y = cos x => y' = -sin x
y = tg x => y' = 1 / cos 2 x
y = ctg x => y' = - 1 / sin 2 x
| y = arcsin x | => | y' = |
| y = arccos x | => | y' = |
პასუხი:გვაქვს ორი ფუნქცია h(x) = x 10 და g(x) = 4.15 + cos x
ფუნქცია f(x) არის h(x) გაყოფილი g(x-ზე).
ფუნქციების დიფერენციალური გაანგარიშება
h "(x) \u003d 10x 9 g" (x) \u003d 0 - sin x \u003d -sin x
მეტი წარმოებულების შესახებ მათემატიკური ფორუმის გვერდებზე
ფორუმი წარმოებულების შესახებ
რა არის წარმოებული
წარმოებულის ცნება
წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. იგი ახასიათებს არგუმენტის ფუნქციის ცვლილებას xრაღაც მომენტში. უფრო მეტიც, წარმოებული თავად არის არგუმენტის ფუნქცია x
წარმოებული ფუნქცია წერტილს ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი (თუ ის არსებობს და სასრულია) არგუმენტის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ ეს უკანასკნელი მიდრეკილია ნულისკენ.
ყველაზე გავრცელებულია შემდეგი წარმოებული აღნიშვნა :
მაგალითი 1უპირატესობის მიღება წარმოებულის განმარტებაიპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. წარმოებულის განმარტებიდან გამომდინარეობს მისი გამოთვლის შემდეგი სქემა.
მოდით არგუმენტს მივცეთ ნამატი (დელტა) და ვიპოვოთ ფუნქციის ზრდა:
ვიპოვოთ ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის ზრდასთან:
მოდით გამოვთვალოთ ამ თანაფარდობის ლიმიტი იმ პირობით, რომ არგუმენტის ზრდა მიისწრაფვის ნულისკენ, ანუ წარმოებული, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობებში:
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა
რომ წარმოებულის ცნება ხელმძღვანელობდა გალილეო გალილეის შესწავლას სხეულების თავისუფალი ვარდნის კანონისა და უფრო ფართო გაგებით, წერტილის არაერთგვაროვანი მართკუთხა მოძრაობის მყისიერი სიჩქარის პრობლემის შესახებ.
თუმცა, თავისუფლად ჩამოვარდნილი სხეულის მოძრაობა აშკარად არათანაბარია. სიჩქარე ვშემოდგომა მუდმივად იზრდება. და საშუალო სიჩქარე აღარ არის საკმარისი იმისათვის, რომ ახასიათებდეს მოძრაობის სისწრაფეს გზის სხვადასხვა მონაკვეთზე. ეს მახასიათებელი რაც უფრო ზუსტია, მით უფრო მოკლეა დროის ინტერვალი.
ფუნქციის წარმოებული
ამრიგად, შემოღებულია შემდეგი კონცეფცია: მართკუთხა მოძრაობის მყისიერი სიჩქარე (ან სიჩქარე დროის მოცემულ მომენტში ტ) ეწოდება საშუალო სიჩქარის ლიმიტს:
(იმ პირობით, რომ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია).
ასე რომ, გამოდის, რომ მყისიერი სიჩქარე არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. ს(ტ) არგუმენტის ზრდამდე ტ at ეს არის წარმოებული, რომელიც ზოგადად იწერება შემდეგნაირად:.
.
დანიშნული პრობლემის გადაწყვეტაა წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა . ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული y=f(x) წერტილში xარგუმენტის ზრდამდე ფუნქციის ზრდის ლიმიტი (თუ ის არსებობს და სასრულია) ეწოდება იმ პირობით, რომ ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.
მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
გადაწყვეტილება. წარმოებულის განმარტებიდან გამომდინარეობს მისი გამოთვლის შემდეგი სქემა.
ნაბიჯი 1. მოდით გავზარდოთ არგუმენტი და ვიპოვოთ
ნაბიჯი 2. იპოვეთ ფუნქციის ზრდა:
ნაბიჯი 3. იპოვეთ ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან:
ნაბიჯი 4. გამოთვალეთ ამ თანაფარდობის ლიმიტი ზე, ანუ წარმოებული:
არ გაქვთ დრო გამოსავლის გასარკვევად? შეგიძლიათ შეუკვეთოთ სამუშაო!
წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა
თუ არსებობს
შემდეგ სწორი ხაზი დახრილობით
წერტილში გავლას სეკანტის ზღვრული პოზიცია ეწოდება ᲑᲐᲢᲝᲜᲘზე (ან ზე).
ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე წერტილში მსეკანტის ზღვრულ პოზიციას უწოდებენ ᲑᲐᲢᲝᲜᲘამისთვის, ან, რომელიც იგივეა.
განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ტანგენტის არსებობისთვის საკმარისია ლიმიტის არსებობა
,
უფრო მეტიც, ზღვარი ტოლია ღერძის მიმართ ტანგენსის დახრის კუთხის.
ახლა მოდით მივცეთ ტანგენსის ზუსტი განმარტება.
ტანგენტიწერტილის ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილში და აქვს დახრილობას, ე.ი. სწორი ხაზი, რომლის განტოლება
ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის დახრილობას აბსცისის წერტილთან x. ეს არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა:
სად არის x-ღერძზე ტანგენსის დახრის კუთხე, ე.ი. ტანგენტის დახრილობა.
მაგალითი 3იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული და ამ წარმოებულის მნიშვნელობა ზე.
გადაწყვეტილება. მოდით გამოვიყენოთ 1-ელ მაგალითში ნაჩვენები სქემა.
ზღვრული ნიშნის ქვეშ გამოხატული გამოხატულება არ არის განსაზღვრული (ფორმის განუსაზღვრელობა 0/0), ამიტომ ჩვენ მას გარდაქმნით მრიცხველში არსებული ირაციონალურობის მოშორებით და შემდეგ წილადის შემცირებით:
მოდით ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა:
გვერდის ზედა
გაიარეთ ტესტი წარმოებულზე, დიფერენციალზე და მათ გამოყენებაზე
მთელი ბლოკი "წარმოებული"
ეს შესავალი საშუალებას მოგცემთ:
- გააცნობიეროს წარმოებული მარტივი ამოცანების არსი;
- წარმატებით გადაჭრით ამ ძალიან მარტივ ამოცანებს;
— მოემზადეთ უფრო სერიოზული გაკვეთილებისთვის წარმოებულზე.
პირველი, სასიამოვნო სიურპრიზი.
წარმოებულის მკაცრი განმარტება ემყარება ლიმიტების თეორიას და საქმე საკმაოდ რთულია. აღმაშფოთებელია. მაგრამ წარმოებულის პრაქტიკული გამოყენება, როგორც წესი, არ მოითხოვს ასეთ ვრცელ და ღრმა ცოდნას!
სკოლასა და უნივერსიტეტში დავალებების უმეტესობის წარმატებით შესასრულებლად, საკმარისია იცოდეთ მხოლოდ რამდენიმე ტერმინი- ამოცანის გაგება და მხოლოდ რამდენიმე წესი- მის მოსაგვარებლად. და ეს არის ის. ეს მახარებს.
გავიცნოთ ერთმანეთი?)
პირობები და აღნიშვნები.
ელემენტარულ მათემატიკაში ბევრი მათემატიკური ოპერაციაა. შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, სიმძლავრე, ლოგარითმი და ა.შ. თუ ამ ოპერაციებს კიდევ ერთი ოპერაცია დაემატება, ელემენტარული მათემატიკა უფრო მაღალი ხდება. ამ ახალ ოპერაციას ე.წ დიფერენციაცია.ამ ოპერაციის განმარტება და მნიშვნელობა ცალკე გაკვეთილებში იქნება განხილული.
აქ მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ დიფერენციაცია არის მხოლოდ მათემატიკური ოპერაცია ფუნქციაზე. ჩვენ ვიღებთ ნებისმიერ ფუნქციას და გარკვეული წესების მიხედვით ვაფორმებთ მას. შედეგი არის ახალი ფუნქცია. ამ ახალ ფუნქციას ჰქვია: წარმოებული.
დიფერენციაცია- მოქმედება ფუნქციაზე.
წარმოებულიარის ამ მოქმედების შედეგი.
ისევე, როგორც, მაგალითად, ჯამიარის დამატების შედეგი. ან კერძოგაყოფის შედეგია.
ტერმინების ცოდნით მაინც შეგიძლიათ ამოცანების გაგება.) ფორმულირება ასეთია: ფუნქციის წარმოებულის პოვნა; აიღეთ წარმოებული; ფუნქციის დიფერენცირება; წარმოებულის გამოთვლადა ა.შ. ეს ყველაფერი იგივე.რა თქმა უნდა, არის უფრო რთული ამოცანები, სადაც წარმოებულის (დიფერენციაციის) პოვნა იქნება ამოცანის ამოხსნის ერთ-ერთი ნაბიჯი.
წარმოებული აღინიშნება ტირეთი ფუნქციის ზემოთ მარჯვნივ. Ამგვარად: შენან f"(x)ან S"(t)და ა.შ.
წაიკითხეთ y ინსულტი, ef ინსულტი x-დან, ეს ინსულტი ტედან,კარგად გესმის...)
მარტივი რიცხვი ასევე შეიძლება მიუთითებდეს კონკრეტული ფუნქციის წარმოებულს, მაგალითად: (2x+3)', (x 3 )’ , (სინქსი)'და ა.შ.
ხშირად წარმოებულს აღნიშნავენ დიფერენციალებით, მაგრამ ჩვენ არ განვიხილავთ ასეთ აღნიშვნას ამ გაკვეთილზე.
დავუშვათ, რომ ჩვენ ვისწავლეთ ამოცანების გაგება. აღარაფერი დარჩა - ისწავლოს მათი ამოხსნა.) კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ: წარმოებულის პოვნა არის ფუნქციის ტრანსფორმაცია გარკვეული წესების მიხედვით.ეს წესები საოცრად ცოტაა.
ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად საჭიროა მხოლოდ სამი რამის ცოდნა. სამი საყრდენი, რომლებზეც ყველა დიფერენციაცია ემყარება. აქ არის სამი ვეშაპი:
1. წარმოებულების ცხრილი (დიფერენციაციის ფორმულები).
2. დიფერენცირების წესები.
3. რთული ფუნქციის წარმოებული.
დავიწყოთ თანმიმდევრობით. ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ წარმოებულების ცხრილს.
წარმოებული ცხრილი.
სამყაროს აქვს უსასრულო რაოდენობის ფუნქცია. ამ კომპლექტს შორის არის ფუნქციები, რომლებიც ყველაზე მნიშვნელოვანია პრაქტიკული გამოყენებისთვის. ეს ფუნქციები ბუნების ყველა კანონშია. ამ ფუნქციებიდან, ისევე როგორც აგურისგან, შეგიძლიათ ააწყოთ ყველა დანარჩენი. ფუნქციების ამ კლასს ე.წ ელემენტარული ფუნქციები.სკოლაში სწორედ ამ ფუნქციებს სწავლობენ - წრფივი, კვადრატული, ჰიპერბოლური და ა.შ.
ფუნქციების დიფერენცირება „ნულიდან“, ე.ი. წარმოებულის განმარტებასა და ლიმიტების თეორიაზე დაყრდნობით - საკმაოდ შრომატევადი რამ. და მათემატიკოსებიც ადამიანები არიან, დიახ, დიახ!) ასე გაამარტივეს მათი ცხოვრება (და ჩვენც). მათ ჩვენამდე გამოთვალეს ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები. შედეგი არის წარმოებულების ცხრილი, სადაც ყველაფერი მზად არის.)
აი ეს არის ეს ფირფიტა ყველაზე პოპულარული ფუნქციებისთვის. მარცხნივ არის ელემენტარული ფუნქცია, მარჯვნივ არის მისი წარმოებული.
მე გირჩევთ ყურადღება მიაქციოთ ფუნქციების მესამე ჯგუფს ამ წარმოებულების ცხრილში. სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული არის ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული ფორმულა, თუ არა ყველაზე გავრცელებული! მინიშნება გასაგებია?) დიახ, სასურველია წარმოებულების ცხრილი ზეპირად ვიცოდეთ. სხვათა შორის, ეს არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. სცადეთ მეტი მაგალითის ამოხსნა, თავად ცხრილი დაიმახსოვრდება!)
წარმოებულის ცხრილის მნიშვნელობის პოვნა, როგორც გესმით, არ არის ყველაზე რთული ამოცანა. ამიტომ, ძალიან ხშირად ასეთ ამოცანებში არის დამატებითი ჩიპები. ან დავალების ფორმულირებაში, ან თავდაპირველ ფუნქციაში, რომელიც, როგორც ჩანს, არ არის ცხრილში ...
მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:
1. იპოვეთ y = x ფუნქციის წარმოებული 3
ცხრილში ასეთი ფუნქცია არ არის. მაგრამ არსებობს სიმძლავრის ფუნქციის ზოგადი წარმოებული (მესამე ჯგუფი). ჩვენს შემთხვევაში n=3. ასე რომ, ჩვენ ვცვლით სამეულს n-ის ნაცვლად და ფრთხილად ვწერთ შედეგს:
(x 3) ' = 3 x 3-1 = 3x 2
სულ ეს არის.
პასუხი: y' = 3x 2
2. იპოვეთ y = sinx ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x = 0 წერტილში.
ეს ამოცანა ნიშნავს, რომ ჯერ უნდა იპოვოთ სინუსის წარმოებული და შემდეგ შეცვალოთ მნიშვნელობა x = 0იმავე წარმოებულზე. ამ წესრიგშია!წინააღმდეგ შემთხვევაში, ისინი მაშინვე ცვლიან ნულს თავდაპირველ ფუნქციაში... ჩვენ გვთხოვენ ვიპოვოთ არა ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობა, არამედ მნიშვნელობა. მისი წარმოებული.შეგახსენებთ, რომ წარმოებული უკვე ახალი ფუნქციაა.
ფირფიტაზე ვპოულობთ სინუსს და შესაბამის წარმოებულს:
y' = (sinx)' = cosx
ჩაანაცვლეთ ნული წარმოებულში:
y"(0) = cos 0 = 1
ეს იქნება პასუხი.
3. ფუნქციის დიფერენცირება:
რა შთააგონებს?) წარმოებულთა ცხრილში ასეთი დაახლოებული ფუნქციაც კი არ არის.
შეგახსენებთ, რომ ფუნქციის დიფერენცირება უბრალოდ ამ ფუნქციის წარმოებულის პოვნაა. თუ დაგავიწყდათ ელემენტარული ტრიგონომეტრია, ჩვენი ფუნქციის წარმოებულის პოვნა საკმაოდ პრობლემურია.
წარმოებული, ძირითადი განმარტებები და ცნებები.
მაგიდა არ შველის...
მაგრამ თუ დავინახავთ, რომ ჩვენი ფუნქციაა ორმაგი კუთხის კოსინუსი, მაშინ ყველაფერი მაშინვე უკეთესდება!
Დიახ დიახ! გახსოვდეთ, რომ ორიგინალური ფუნქციის ტრანსფორმაცია დიფერენციაციამდესაკმაოდ მისაღებია! და ეს ხდება ცხოვრებას ბევრად გაადვილებს. ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულის მიხედვით:
იმათ. ჩვენი რთული ფუნქცია სხვა არაფერია, თუ არა y = კოქს. და ეს არის ცხრილის ფუნქცია. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიღებთ:
პასუხი: y' = -sin x.
მაგალითი მოწინავე კურსდამთავრებულებისთვის და სტუდენტებისთვის:
4. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:
წარმოებულების ცხრილში ასეთი ფუნქცია, რა თქმა უნდა, არ არის. მაგრამ თუ გახსოვთ ელემენტარული მათემატიკა, მოქმედებები ძალებით... მაშინ სავსებით შესაძლებელია ამ ფუნქციის გამარტივება. Ამგვარად:
ხოლო x მეათედის ხარისხში უკვე ტაბულური ფუნქციაა! მესამე ჯგუფი, n=1/10. პირდაპირ ფორმულის მიხედვით და დაწერეთ:
Სულ ეს არის. ეს იქნება პასუხი.
ვიმედოვნებ, რომ დიფერენციაციის პირველი ვეშაპით - წარმოებულების ცხრილით - ყველაფერი ნათელია. რჩება საქმე ორ დარჩენილ ვეშაპთან. შემდეგ გაკვეთილზე გავეცნობით დიფერენცირების წესებს.
Შემდეგი გვერდი: როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? დიფერენციაციის წესები. >>>>
საგანი. წარმოებული. წარმოებულის გეომეტრიული და მექანიკური მნიშვნელობა
თუ ეს ზღვარი არსებობს, მაშინ ფუნქცია შეიძლება იყოს დიფერენცირებადი წერტილში. ფუნქციის წარმოებული აღინიშნება (ფორმულა 2).
- წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი. ნახ. 1-დან ჩანს, რომ ფუნქციის გრაფიკის A და B ნებისმიერი ორი წერტილისთვის შეიძლება ჩაიწეროს ფორმულა 3). მასში - AB სეკანტის დახრის კუთხე.
ამრიგად, სხვაობის კოეფიციენტი უდრის სეკანტის დახრილობას. თუ A წერტილს დავაფიქსირებთ და B წერტილს მისკენ მივიწევთ, მაშინ ის განუსაზღვრელი ვადით იკლებს და უახლოვდება 0-ს, ხოლო სეკანტი AB უახლოვდება AC ტანგენტს. მაშასადამე, სხვაობის მიმართების ზღვარი ტოლია ტანგენსის დახრილობის A წერტილში. აქედან გამომდინარეობს დასკვნა.
წერტილის ფუნქციის წარმოებული არის ტანგენსის დახრილობა ამ ფუნქციის გრაფიკზე ამ წერტილში. ეს არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.
- ტანგენტის განტოლება . გამოვიტანოთ წერტილის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება. ზოგად შემთხვევაში, სწორი ხაზის განტოლებას ფერდობთან აქვს ფორმა: . b-ს საპოვნელად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ტანგენსი გადის A წერტილში: . ეს გულისხმობს: . ამ გამოხატვის b-ით ჩანაცვლებით, მივიღებთ ტანგენტის განტოლებას (ფორმულა 4).
