რა არის პრიზმის მოცულობა და როგორ ვიპოვოთ იგი

პრიზმის მოცულობა არის მისი ფუძის ფართობის ნამრავლი მის სიმაღლეზე.

თუმცა, ჩვენ ვიცით, რომ პრიზმის ფუძეს შეიძლება ჰქონდეს სამკუთხედი, კვადრატი ან სხვა პოლიედონი.

ამიტომ, პრიზმის მოცულობის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა გამოთვალოთ პრიზმის ფუძის ფართობი და შემდეგ გაამრავლოთ ეს ფართობი მის სიმაღლეზე.

ანუ, თუ პრიზმის ძირში არის სამკუთხედი, მაშინ ჯერ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი. თუ პრიზმის საფუძველი არის კვადრატი ან სხვა მრავალკუთხედი, მაშინ ჯერ უნდა იპოვოთ კვადრატის ან სხვა მრავალკუთხედის ფართობი.

უნდა გვახსოვდეს, რომ პრიზმის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც დახატულია პრიზმის ფუძეებზე.

რა არის პრიზმა

ახლა გავიხსენოთ პრიზმის განმარტება.

პრიზმა არის მრავალკუთხედი, რომლის ორი სახე (ფუძე) პარალელურ სიბრტყეშია, ხოლო ამ სახეების გარეთ ყველა კიდე პარალელურია.

მარტივად რომ ვთქვათ, მაშინ:

პრიზმა არის ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს ორი თანაბარი ფუძე და ბრტყელი სახე.

პრიზმის სახელწოდება დამოკიდებულია მისი ფუძის ფორმაზე. როდესაც პრიზმის ფუძე არის სამკუთხედი, მაშინ ასეთ პრიზმას სამკუთხედი ეწოდება. მრავალწახნაგოვანი პრიზმა არის გეომეტრიული ფიგურა, რომლის ფუძე არის პოლიედონი. პრიზმა ასევე ერთგვარი ცილინდრია.

როგორია პრიზმების ტიპები

თუ გადავხედავთ ზემოთ მოცემულ ფიგურას, დავინახავთ, რომ პრიზები სწორი, რეგულარული და ირიბია.

ვარჯიში

1. რა არის სწორი პრიზმა?
2. რატომ ჰქვია ასე?
3. რა ჰქვია პრიზმას, რომლის ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია?
4. რა არის ამ ფიგურის სიმაღლე?
5. რა ჰქვია პრიზმას, რომლის კიდეები პერპენდიკულარული არ არის?
6. განსაზღვრეთ სამკუთხა პრიზმა.
7. შეიძლება პრიზმა იყოს პარალელეპიპედი?
8. რომელ გეომეტრიულ ფიგურას ეწოდება ნახევრადწესიერი მრავალკუთხედი?

რა ელემენტებისაგან შედგება პრიზმა?

პრიზმა შედგება ისეთი ელემენტებისაგან, როგორიცაა ქვედა და ზედა ფუძე, გვერდითი სახეები, კიდეები და წვეროები.

პრიზმის ორივე ფუძე სიბრტყეში დევს და ერთმანეთის პარალელურია.
პირამიდის გვერდითი მხარეები პარალელოგრამებია.
პირამიდის გვერდითი ზედაპირი არის გვერდითი სახეების ჯამი.
გვერდითი სახეების საერთო მხარეები სხვა არაფერია, თუ არა ამ ფიგურის გვერდითი კიდეები.
პირამიდის სიმაღლე არის ფუძეების სიბრტყეების დამაკავშირებელი სეგმენტი და მათზე პერპენდიკულარულია.

პრიზმის თვისებები

გეომეტრიულ ფიგურას, ისევე როგორც პრიზმას, აქვს მრავალი თვისება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ თვისებებს:

ჯერ ერთი, პრიზმის ფუძეებს ტოლი მრავალკუთხედები ეწოდება;
მეორეც, პრიზმის გვერდითი სახეები წარმოდგენილია პარალელოგრამის სახით;
მესამე, ამ გეომეტრიულ ფიგურას აქვს პარალელური და თანაბარი კიდეები;
მეოთხე, პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობია:

ახლა განიხილეთ თეორემა, რომელიც იძლევა ფორმულას, რომლითაც გამოვთვალოთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი და მტკიცებულება.

ოდესმე გიფიქრიათ ასეთ საინტერესო ფაქტზე, რომ პრიზმა შეიძლება იყოს არა მხოლოდ გეომეტრიული სხეული, არამედ ჩვენს გარშემო არსებული სხვა ობიექტებიც. ჩვეულებრივი ფიფქიც კი, ტემპერატურული რეჟიმიდან გამომდინარე, შეიძლება გადაიქცეს ყინულის პრიზმად, ექვსკუთხა ფიგურის სახით.

მაგრამ კალციტის კრისტალებს ისეთი უნიკალური ფენომენი აქვთ, რომ ფრაგმენტებად იშლება და პარალელეპიპედის ფორმას იღებს. და რაც ყველაზე გასაკვირია, რაც არ უნდა პატარა იყოს კალციტის კრისტალები დამსხვრეული, შედეგი ყოველთვის იგივეა, ისინი გადაიქცევიან პაწაწინა პარალელეპიპედებად.

ირკვევა, რომ პრიზმამ პოპულარობა მოიპოვა არა მხოლოდ მათემატიკაში, აჩვენა მისი გეომეტრიული სხეული, არამედ ხელოვნების სფეროშიც, რადგან ის არის ისეთი დიდი მხატვრების მიერ შექმნილი ნახატების საფუძველი, როგორებიც არიან პ. პიკასო, ბრაკი, გრისი და სხვები.

პირდაპირი პრიზმა. პირდაპირი პრიზმის ზედაპირი და მოცულობა.

§ 68. პირდაპირი პრიზმის მოცულობა.

1. სწორი სამკუთხა პრიზმის მოცულობა.

დაე, მოითხოვოს მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის მოცულობის პოვნა, რომლის ფუძის ფართობი უდრის S-ს, ხოლო სიმაღლე უდრის თ= AA" = = BB" = SS" (სურ. 306).

ცალ-ცალკე დავხატოთ პრიზმის ფუძე, ანუ სამკუთხედი ABC (სურ. 307, ა) და შევავსოთ მართკუთხედად, რისთვისაც B || AC და A და C წერტილებიდან ამ წრფეზე ავაგებთ AF და CE პერპენდიკულარებს. ჩვენ ვიღებთ ACEF მართკუთხედს. ABC სამკუთხედის BD სიმაღლის დახაზვის შემდეგ დავინახავთ, რომ ACEF მართკუთხედი იყოფა 4 მართკუთხა სამკუთხედად. და /\ ყველა = /\ BCD და /\ BAF = /\ ᲪᲣᲓᲘ. ეს ნიშნავს, რომ ACEF მართკუთხედის ფართობი ორჯერ აღემატება ABC სამკუთხედის ფართობს, ანუ ის უდრის 2S-ს.

ამ პრიზმას ABC ფუძით ვამატებთ პრიზმებს ALL და BAF ფუძეებით და სიმაღლეებით თ(ნახაზი 307, ბ). ვიღებთ მართკუთხა პარალელეპიპედს ფუძით
ACEF.

თუ ამ პარალელეპიპედს BD და BB წრფეებზე გამავალი სიბრტყით გავჭრით, მაშინ დავინახავთ, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედი შედგება 4 პრიზმისგან ფუძეებით.
BCD, ALL, BAD და BAF.

პრიზმები ბაზებით BCD და ALL შეიძლება გაერთიანდეს, რადგან მათი ფუძეები ტოლია ( /\ BCD = /\ ძვ. წ.) და ასევე უტოლდება მათ გვერდით კიდეებს, რომლებიც პერპენდიკულარულია ერთი სიბრტყის მიმართ. აქედან გამომდინარე, ამ პრიზმების მოცულობა თანაბარია. BAD და BAF ფუძის მქონე პრიზმების მოცულობა ასევე ტოლია.

ამრიგად, გამოდის, რომ მოცემული სამკუთხა პრიზმის მოცულობა ფუძით
ABC არის მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობის ნახევარი ACEF ფუძით.

ჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს, ანუ ამ შემთხვევაში ის უდრის 2S-ს. თ. აქედან გამომდინარე, ამ მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის მოცულობა უდრის S-ს თ.

მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.

2. სწორი მრავალკუთხა პრიზმის მოცულობა.

სწორი მრავალკუთხა პრიზმის მოცულობის პოვნა, როგორიცაა ხუთკუთხა, ფუძის ფართობი S და სიმაღლე თ, დავყოთ სამკუთხა პრიზმებად (სურ. 308).

სამკუთხა პრიზმების საბაზისო არეების აღნიშვნა S 1, S 2 და S 3-ის მეშვეობით და ამ მრავალკუთხა პრიზმის მოცულობა V-ის გავლით, მივიღებთ:

V = S 1 თ+S2 თ+ S 3 თ, ან
V = (S 1 + S 2 + S 3) თ.

და ბოლოს: V = S თ.

ანალოგიურად, მიღებულია სწორი პრიზმის მოცულობის ფორმულა მის ფუძეზე ნებისმიერი მრავალკუთხედით.

ნიშნავს, ნებისმიერი სწორი პრიზმის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.

Სავარჯიშოები.

1. გამოთვალეთ სწორი პრიზმის მოცულობა ფუძეზე პარალელოგრამით შემდეგი მონაცემების გამოყენებით:

2. გამოთვალეთ სწორი პრიზმის მოცულობა ფუძეზე სამკუთხედით შემდეგი მონაცემების გამოყენებით:

3. გამოთვალეთ სწორი პრიზმის მოცულობა, რომელსაც აქვს ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდია 12 სმ (32 სმ, 40 სმ) ფუძეზე. პრიზმის სიმაღლე 60 სმ.

4. გამოთვალეთ სწორი პრიზმის მოცულობა, რომელსაც ფუძეზე მართკუთხა სამკუთხედი აქვს 12 სმ და 8 სმ (16 სმ და 7 სმ; 9 მ და 6 მ) ფეხით. პრიზმის სიმაღლეა 0,3 მ.

5. გამოთვალეთ სწორი პრიზმის მოცულობა, რომელსაც ძირში აქვს ტრაპეცია პარალელური გვერდებით 18 სმ და 14 სმ და სიმაღლე 7,5 სმ, პრიზმის სიმაღლე 40 სმ.

6. გამოთვალეთ თქვენი საკლასო ოთახის მოცულობა (სპორტდარბაზი, თქვენი ოთახი).

7. კუბის მთლიანი ზედაპირია 150 სმ 2 (294 სმ 2, 864 სმ 2). გამოთვალეთ ამ კუბის მოცულობა.

8. სამშენებლო აგურის სიგრძე 25,0 სმ, სიგანე 12,0 სმ, სისქე 6,5 სმ ა) გამოთვალეთ მოცულობა, ბ) დაადგინეთ წონა, თუ აგურის 1 კუბური სანტიმეტრი იწონის 1,6 გ.

9. რამდენი ცალი სამშენებლო აგური იქნება საჭირო 12 მ სიგრძის, 0,6 მ სიგანისა და 10 მ სიმაღლის მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის მყარი აგურის კედლის ასაგებად? (აგურის ზომები სავარჯიშო 8-დან.)

10. სუფთად გაჭრილი დაფის სიგრძე 4,5 მ, სიგანე 35 სმ, სისქე 6 სმ ა) გამოთვალეთ მოცულობა ბ) დაადგინეთ მისი წონა, თუ დაფის კუბური დეციმეტრი იწონის 0,6 კგ.

11. რამდენი ტონა თივის ჩაყრა შეიძლება ღობე სახურავით დაფარულ თივას (სურ. 309), თუ თივის სიგრძე 12 მ, სიგანე 8 მ, სიმაღლე 3,5 მ და სიმაღლე. სახურავის ქედი არის 1,5 მ? (თივის ხვედრითი წონა აღებულია როგორც 0.2.)

12. საჭიროა 0,8 კმ სიგრძის თხრილის გათხრა; მონაკვეთში თხრილს უნდა ჰქონდეს ტრაპეციის ფორმა 0,9 მ და 0,4 მ ფუძეებით, ხოლო თხრილის სიღრმე უნდა იყოს 0,5 მ (სურ. 310). რამდენი კუბური მეტრი მიწა უნდა ამოიღონ?

სხვადასხვა პრიზმები განსხვავდება ერთმანეთისგან. ამავე დროს, მათ ბევრი საერთო აქვთ. პრიზმის ფუძის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, როგორია ის.

ზოგადი თეორია

პრიზმა არის ნებისმიერი პოლიედონი, რომლის გვერდებს აქვთ პარალელოგრამის ფორმა. უფრო მეტიც, ნებისმიერი პოლიედონი შეიძლება იყოს მის ბაზაზე - სამკუთხედიდან n-გონამდე. უფრო მეტიც, პრიზმის ფუძეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია. რაც არ ეხება გვერდით სახეებს - ისინი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ზომით.

პრობლემების გადაჭრისას, ეს არ არის მხოლოდ პრიზმის ფუძის ფართობი, რომელიც გვხვდება. შეიძლება საჭირო გახდეს გვერდითი ზედაპირის ცოდნა, ანუ ყველა სახე, რომელიც არ არის ფუძე. სრული ზედაპირი უკვე იქნება პრიზმის შემადგენელი ყველა სახის გაერთიანება.

ზოგჯერ სიმაღლეები ჩნდება ამოცანებში. იგი პერპენდიკულარულია ფუძეებზე. პოლიედრონის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც წყვილად აკავშირებს ნებისმიერ ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

უნდა აღინიშნოს, რომ სწორი ან დახრილი პრიზმის ფუძის ფართობი არ არის დამოკიდებული მათსა და გვერდითა სახეებს შორის კუთხეზე. თუ მათ აქვთ იგივე ფიგურები ზედა და ქვედა სახეებზე, მაშინ მათი არეები თანაბარი იქნება.

სამკუთხა პრიზმა

მას ძირში აქვს ფიგურა სამი წვერით, ანუ სამკუთხედი. ცნობილია, რომ განსხვავებულია. თუ მაშინ საკმარისია გავიხსენოთ, რომ მისი ფართობი განისაზღვრება ფეხების პროდუქტის ნახევარით.

მათემატიკური აღნიშვნა ასე გამოიყურება: S = ½ av.

ძირის ფართობის ზოგადი ფორმით გასარკვევად, სასარგებლოა ფორმულები: ჰერონი და ის, რომელშიც გვერდის ნახევარი მიიღება მისკენ მიზიდულ სიმაღლეზე.

პირველი ფორმულა ასე უნდა დაიწეროს: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). ეს ჩანაწერი შეიცავს ნახევრად პერიმეტრს (p), ანუ სამი გვერდის ჯამს გაყოფილი ორზე.

მეორე: S = ½ n a * a.

თუ გსურთ იცოდეთ სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი, რომელიც არის რეგულარული, მაშინ სამკუთხედი ტოლგვერდაა. მას აქვს საკუთარი ფორმულა: S = ¼ a 2 * √3.

ოთხკუთხა პრიზმა

მისი ფუძე არის რომელიმე ცნობილი ოთხკუთხედი. ეს შეიძლება იყოს მართკუთხედი ან კვადრატი, პარალელეპიპედი ან რომბი. თითოეულ შემთხვევაში, პრიზმის ფუძის ფართობის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ საკუთარი ფორმულა.

თუ ფუძე არის მართკუთხედი, მაშინ მისი ფართობი განისაზღვრება შემდეგნაირად: S = av, სადაც a, b არის მართკუთხედის გვერდები.

Როდესაც ჩვენ ვსაუბრობთოთხკუთხა პრიზმის შესახებ, შემდეგ ჩვეულებრივი პრიზმის ფუძის ფართობი გამოითვლება კვადრატის ფორმულის გამოყენებით. რადგან სწორედ ის წევს ბაზაზე. S \u003d a 2.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ბაზა არის პარალელეპიპედი, საჭირო იქნება შემდეგი თანასწორობა: S \u003d a * n a. ხდება ისე, რომ მოცემულია პარალელეპიპედის გვერდი და ერთ-ერთი კუთხე. შემდეგ, სიმაღლის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ დამატებითი ფორმულის გამოყენება: na \u003d b * sin A. უფრო მეტიც, კუთხე A არის "b" მხარის მიმდებარედ, ხოლო სიმაღლე არის na ამ კუთხის საპირისპირო.

თუ რომბი დევს პრიზმის ძირში, მაშინ მისი ფართობის დასადგენად იგივე ფორმულა იქნება საჭირო, რაც პარალელოგრამისთვის (რადგან ეს მისი განსაკუთრებული შემთხვევაა). მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს: S = ½ d 1 d 2. აქ d 1 და d 2 არის რომბის ორი დიაგონალი.

რეგულარული ხუთკუთხა პრიზმა

ეს შემთხვევა მოიცავს მრავალკუთხედის დაყოფას სამკუთხედებად, რომელთა არეების გარკვევა უფრო ადვილია. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ხდება, რომ ფიგურები შეიძლება იყოს სხვადასხვა რაოდენობის წვეროებით.

ვინაიდან პრიზმის ფუძე არის რეგულარული ხუთკუთხედი, ის შეიძლება დაიყოს ხუთ ტოლგვერდა სამკუთხედად. მაშინ პრიზმის ფუძის ფართობი უდრის ერთი ასეთი სამკუთხედის ფართობს (ფორმულა ჩანს ზემოთ), გამრავლებული ხუთზე.

რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა

ხუთკუთხა პრიზმისთვის აღწერილი პრინციპის მიხედვით შესაძლებელია ფუძის ექვსკუთხედის დაყოფა 6 ტოლგვერდა სამკუთხედად. ასეთი პრიზმის ფუძის ფართობის ფორმულა წინა მსგავსია. მხოლოდ მასში უნდა გამრავლდეს ექვსზე.

ფორმულა ასე გამოიყურება: S = 3/2 და 2 * √3.

Დავალებები

No 1. მოცემულია რეგულარული ხაზი. მისი დიაგონალი არის 22 სმ, პოლიედრონის სიმაღლე 14 სმ. გამოთვალეთ პრიზმის ფუძის ფართობი და მთელი ზედაპირი.

გადაწყვეტილება.პრიზმის საფუძველი არის კვადრატი, მაგრამ მისი გვერდი უცნობია. მისი მნიშვნელობა შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატის დიაგონალიდან (x), რომელიც დაკავშირებულია პრიზმის (d) დიაგონალთან და მის სიმაღლესთან (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. მეორეს მხრივ, ეს სეგმენტი "x" არის ჰიპოტენუზა სამკუთხედში, რომლის ფეხები ტოლია კვადრატის გვერდის. ანუ x 2 \u003d a 2 + a 2. ამრიგად, გამოდის, რომ 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

შეცვალეთ რიცხვი 22-ის ნაცვლად d-ის ნაცვლად და შეცვალეთ „n“ მისი მნიშვნელობით - 14, გამოდის, რომ კვადრატის გვერდი 12 სმ. ახლა ადვილია ბაზის ფართობის გარკვევა: 12 * 12 \u003d 144 სმ 2. .

მთელი ზედაპირის ფართობის გასარკვევად, თქვენ უნდა დაამატოთ ბაზის ფართობის ორჯერ მნიშვნელობა და გააოთხმაგოთ მხარე. ამ უკანასკნელის პოვნა მარტივია მართკუთხედის ფორმულით: გავამრავლოთ მრავალწახნაგა სიმაღლე და ფუძის მხარე. ანუ 14 და 12, ეს რიცხვი უდრის 168 სმ 2-ს. პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის 960 სმ 2.

უპასუხე.პრიზმის ბაზის ფართობია 144 სმ2. მთლიანი ზედაპირი - 960 სმ 2.

No 2. დანა ძირში დევს სამკუთხედი გვერდით 6 სმ, ამ შემთხვევაში გვერდითი სახის დიაგონალი 10 სმ. გამოთვალეთ ფართობები: ფუძე და გვერდითი ზედაპირი.

გადაწყვეტილება.ვინაიდან პრიზმა რეგულარულია, მისი ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია. მაშასადამე, მისი ფართობი ტოლია 6-ის კვადრატში გამრავლებული ¼ და კვადრატული ფესვი 3-ის. მარტივი გამოთვლა მივყავართ შედეგამდე: 9√3 სმ 2. ეს არის პრიზმის ერთი ფუძის ფართობი.

ყველა გვერდითი სახე ერთნაირია და არის მართკუთხედები გვერდებით 6 და 10 სმ. მათი ფართობის გამოსათვლელად საკმარისია ამ რიცხვების გამრავლება. შემდეგ გაამრავლეთ ისინი სამზე, რადგან პრიზმას ზუსტად ამდენი გვერდითი სახე აქვს. შემდეგ გვერდითი ზედაპირის ფართობი იჭრება 180 სმ 2.

უპასუხე.ფართობი: ძირი - 9√3 სმ 2, პრიზმის გვერდითი ზედაპირი - 180 სმ 2.

ფიზიკაში მინისგან დამზადებული სამკუთხა პრიზმა ხშირად გამოიყენება თეთრი სინათლის სპექტრის შესასწავლად, რადგან მას შეუძლია მისი დაშლა ცალკეულ შემადგენელ კომპონენტებად. ამ სტატიაში განვიხილავთ მოცულობის ფორმულას

რა არის სამკუთხა პრიზმა?

მოცულობის ფორმულის მიცემამდე, განიხილეთ ამ ფიგურის თვისებები.

ამის მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ თვითნებური ფორმის სამკუთხედი და გადაიტანოთ იგი თავის პარალელურად გარკვეულ მანძილზე. სამკუთხედის წვეროები საწყის და საბოლოო პოზიციებში უნდა იყოს დაკავშირებული სწორი სეგმენტებით. მიღებულ სამგანზომილებიან ფიგურას სამკუთხა პრიზმა ეწოდება. მას აქვს ხუთი მხარე. მათგან ორს ფუძე ეწოდება: ისინი ერთმანეთის პარალელურია და ტოლია. განხილული პრიზმის ფუძეები არის სამკუთხედები. დარჩენილი სამი გვერდი პარალელოგრამებია.

გვერდების გარდა, განსახილველ პრიზმას ახასიათებს ექვსი წვერო (თითოეული ფუძისთვის სამი) და ცხრა კიდე (6 კიდე დევს ფუძის სიბრტყეში და 3 კიდე იქმნება გვერდების გადაკვეთით). თუ გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია, მაშინ ასეთ პრიზმას მართკუთხა ეწოდება.

განსხვავება სამკუთხა პრიზმასა და ამ კლასის ყველა სხვა ფიგურას შორის არის ის, რომ ის ყოველთვის ამოზნექილია (ოთხ-, ხუთ-, ..., n-გონალური პრიზები ასევე შეიძლება იყოს ჩაზნექილი).

ეს არის მართკუთხა ფიგურა, რომლის ძირში დევს ტოლგვერდა სამკუთხედი.

ზოგადი ტიპის სამკუთხა პრიზმის მოცულობა

როგორ მოვძებნოთ სამკუთხა პრიზმის მოცულობა? ზოგადი თვალსაზრისით ფორმულა მსგავსია ნებისმიერი სახის პრიზმისთვის. მას აქვს შემდეგი მათემატიკური აღნიშვნა:

აქ h არის ფიგურის სიმაღლე, ანუ მანძილი მის ფუძეებს შორის, S o არის სამკუთხედის ფართობი.

S o-ს მნიშვნელობა შეიძლება მოიძებნოს, თუ ცნობილია სამკუთხედის ზოგიერთი პარამეტრი, მაგალითად, ერთი გვერდი და ორი კუთხე, ან ორი გვერდი და ერთი კუთხე. სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი სიმაღლის ნამრავლის ნახევარს და იმ მხარის სიგრძის, რომელზედაც ეს სიმაღლე იკლებს.

რაც შეეხება ფიგურის h სიმაღლეს, მისი პოვნა ყველაზე ადვილია მართკუთხა პრიზმისთვის. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში h ემთხვევა გვერდითი კიდის სიგრძეს.

რეგულარული სამკუთხა პრიზმის მოცულობა

სამკუთხა პრიზმის მოცულობის ზოგადი ფორმულა, რომელიც მოცემულია სტატიის წინა ნაწილში, შეიძლება გამოყენებულ იქნას რეგულარული სამკუთხა პრიზმის შესაბამისი მნიშვნელობის გამოსათვლელად. ვინაიდან მისი ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია, მისი ფართობია:

ყველას შეუძლია მიიღოს ეს ფორმულა, თუ გახსოვთ, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა კუთხე ერთმანეთის ტოლია და შეადგენს 60 o-ს. აქ სიმბოლო a არის სამკუთხედის გვერდის სიგრძე.

სიმაღლე h არის კიდის სიგრძე. მას საერთო არაფერი აქვს რეგულარული პრიზმის საფუძველთან და შეუძლია მიიღოს თვითნებური მნიშვნელობები. შედეგად, სწორი ფორმის სამკუთხა პრიზმის მოცულობის ფორმულა ასე გამოიყურება:

ფესვის გამოთვლის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ ეს ფორმულა შემდეგნაირად:

ამრიგად, სამკუთხა ფუძის მქონე რეგულარული პრიზმის მოცულობის საპოვნელად საჭიროა ფუძის გვერდის კვადრატი, ეს მნიშვნელობა გავამრავლოთ სიმაღლეზე და მიღებული მნიშვნელობა გავამრავლოთ 0,433-ზე.

პრიზმის მოცულობა. Პრობლემის გადაჭრა

გეომეტრია არის ყველაზე ძლიერი ინსტრუმენტი ჩვენი გონებრივი შესაძლებლობების დახვეწისთვის და საშუალებას გვაძლევს ვიფიქროთ და ვიმსჯელოთ სწორად.

გ.გალილეო

გაკვეთილის მიზანი:

• პრიზმების მოცულობის გამოსათვლელად ამოცანების ამოხსნის სწავლება, პრიზმების და მისი ელემენტების შესახებ არსებული ინფორმაციის შეჯამება და სისტემატიზაცია, გაზრდილი სირთულის ამოცანების ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბება;
• განუვითარდებათ ლოგიკური აზროვნება, დამოუკიდებლად მუშაობის უნარი, ურთიერთკონტროლისა და თვითკონტროლის უნარები, ლაპარაკის და მოსმენის უნარი;
• განუვითარდებათ მუდმივი დასაქმების, რაიმე სასარგებლო საქმის ჩვევა, პასუხისმგებლობის განათლება, შრომისმოყვარეობა, სიზუსტე.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების გამოყენებაში.

აღჭურვილობა: საკონტროლო ბარათები, მედია პროექტორი, პრეზენტაცია „გაკვეთილი. პრიზმის მოცულობა“, კომპიუტერები.

გაკვეთილების დროს

• პრიზმის გვერდითი ნეკნები (სურ. 2).
• პრიზმის გვერდითი ზედაპირი (სურათი 2, სურათი 5).
• პრიზმის სიმაღლე (სურათი 3, სურათი 4).
• პირდაპირი პრიზმა (სურ. 2,3,4).
• დახრილი პრიზმა (სურათი 5).
• სწორი პრიზმა (ნახ. 2, სურ. 3).
• პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი (ნახ. 2).
• პრიზმის დიაგონალი (სურათი 2).
• პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთი (pi3, fig4).
• პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.
• პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.
• პრიზმის მოცულობა.

1. საშინაო დავალების შემოწმება (8 წთ)

გაცვალეთ რვეულები, შეამოწმეთ გამოსავალი სლაიდებზე და მონიშნეთ ნიშანი (მონიშნეთ 10, თუ დავალება შედგენილია)

დახაზეთ პრობლემა და მოაგვარეთ იგი. მოსწავლე იცავს დაფაზე შედგენილ პრობლემას. სურათი 6 და სურათი 7.





თავი 2, §3
დავალება.2. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ყველა კიდეების სიგრძე ერთმანეთის ტოლია. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ მისი ზედაპირის ფართობია სმ 2 (ნახ. 8)



თავი 2, §3
დავალება 5. ABCA 1B 1C1 სწორი პრიზმის ფუძე არის მართკუთხა სამკუთხედი ABC (კუთხე ABC=90°), AB=4სმ. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ შემოხაზული სამკუთხედის ABC რადიუსია 2,5 სმ, ხოლო პრიზმის სიმაღლე 10 სმ. (სურათი 9).



თავი 2, § 3
ამოცანა 29. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდის სიგრძეა 3 სმ. პრიზმის დიაგონალი ქმნის 30°-იან კუთხეს გვერდითი სახის სიბრტყესთან. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა (სურათი 10).



2. მასწავლებლის ერთობლივი მუშაობა კლასთან (2-3 წთ.).

მიზანი: თეორიული გახურების შედეგების შეჯამება (მოსწავლეები ერთმანეთს აძლევენ ნიშნებს), ისწავლონ როგორ გადაჭრას პრობლემები თემაზე.

3. PHYSICAL MINUTE (3 წთ)
4. პრობლემის გადაჭრა (10 წთ)

ამ ეტაპზე მასწავლებელი აწყობს ფრონტალურ მუშაობას პლანიმეტრიული ამოცანების ამოხსნის მეთოდების, პლანიმეტრიის ფორმულების გამეორებაზე. კლასი იყოფა ორ ჯგუფად, ზოგი წყვეტს პრობლემებს, ზოგი მუშაობს კომპიუტერთან. მერე იცვლებიან. მოსწავლეები მოწვეულნი არიან ამოხსნან ყველა No8 (ზეპირად), No9 (ზეპირად). მას შემდეგ, რაც ისინი დაიყოფიან ჯგუფებად და არღვევენ No14, No30, No32 პრობლემების გადასაჭრელად.

თავი 2, §3, გვერდი 66-67

ამოცანა 8. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ყველა კიდე ერთმანეთის ტოლია. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა, თუ ქვედა ფუძის კიდეზე და ზედა ფუძის მხარის შუაზე გამავალი სიბრტყის განივი კვეთის ფართობი არის სმ (ნახ. 11).



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
ამოცანა 9. სწორი პრიზმის ფუძე არის კვადრატი, ხოლო მისი გვერდითი კიდეები ორჯერ აღემატება ფუძის მხარეს. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ პრიზმის მონაკვეთთან შემოხაზული წრის რადიუსი ფუძის მხარეს და მოპირდაპირე გვერდითი კიდის შუაზე გამავალი სიბრტყით ტოლია (სურ. 12)



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
დავალება 14.სწორი პრიზმის ფუძე არის რომბი, რომლის ერთ-ერთი დიაგონალი მისი გვერდის ტოლია. გამოთვალეთ მონაკვეთის პერიმეტრი ქვედა ფუძის დიდ დიაგონალზე გამავალი სიბრტყით, თუ პრიზმის მოცულობა ტოლია და ყველა გვერდითი მხარე კვადრატულია (სურ. 13).



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
პრობლემა 30.ABCA 1 B 1 C 1 არის რეგულარული სამკუთხა პრიზმა, რომლის ყველა კიდე ერთმანეთის ტოლია, წერტილი კიდის შუაზე BB 1. გამოთვალეთ AOS სიბრტყით პრიზმის მონაკვეთში ჩაწერილი წრის რადიუსი, თუ პრიზმის მოცულობა ტოლია (სურ. 14).



თავი 2, §3, გვერდი 66-67
პრობლემა 32რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძეების ფართობების ჯამი ტოლია გვერდითი ზედაპირის ფართობის. გამოთვალეთ პრიზმის მოცულობა, თუ პრიზმის მონაკვეთთან შემოხაზული წრის დიამეტრი ქვედა ფუძის ორ წვეროზე და ზედა ფუძის მოპირდაპირე წვეროზე გამავალი სიბრტყით არის 6 სმ (სურ. 15).



ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეები ადარებენ პასუხებს მასწავლებლის მიერ ნანახ პასუხებს. ეს არის დეტალური კომენტარებით პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ... მასწავლებლის ინდივიდუალური მუშაობა „ძლიერ“ მოსწავლეებთან (10 წთ.).

5. სტუდენტების დამოუკიდებელი მუშაობა ტესტზე კომპიუტერზე

1. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი არის , ხოლო სიმაღლე 5. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. აირჩიეთ სწორი განცხადება.

1) მართი პრიზმის მოცულობა, რომლის ფუძე მართკუთხა სამკუთხედია, უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს.

2) რეგულარული სამკუთხა პრიზმის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V \u003d 0.25a 2 სთ - სადაც a არის ფუძის მხარე, h არის პრიზმის სიმაღლე.

3) სწორი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლის ნახევარს.

4) რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V \u003d a 2 h-სადაც a არის ფუძის მხარე, h არის პრიზმის სიმაღლე.

5) რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V \u003d 1.5a 2 სთ, სადაც a არის ფუძის მხარე, h არის პრიზმის სიმაღლე.

3. რეგულარული სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი ტოლია. ქვედა ბაზის გვერდითა და ზედა ფუძის მოპირდაპირე ზევით გავლებულია თვითმფრინავი, რომელიც გადის ფუძის მიმართ 45°-იანი კუთხით. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. სწორი პრიზმის ფუძე არის რომბი, რომლის გვერდი არის 13, ხოლო ერთ-ერთი დიაგონალი 24. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა, თუ გვერდითი სახის დიაგონალი არის 14.