განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები როგორ ამოხსნათ. განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა

− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 y +27

+(y +6 )

x = 1, x

(x − 1)

= −6.

y = −6

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე განტოლების ამონახსნი ჯერ კიდევ არ არის სისტემის ამოხსნა. შედეგად მიღებული რიცხვები უნდა შეიცვალოს სისტემის დარჩენილ პირველ განტოლებაში. ამ შემთხვევაში, ჩანაცვლების შემდეგ, ვიღებთ იდენტურობას.

პასუხი: (1, - 6).♦

§5. ჰომოგენური განტოლებები და სისტემები
ფუნქცია f (x,y)	დაურეკა	ერთგვაროვანი		კ თუ
f (tx, ty) = tk f(x, y) .	მაგალითად, ფუნქცია f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
არის მე-4 ხარისხის ერთგვაროვანი, ვინაიდან		f(tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) . განტოლება f (x, y) = 0, სადაც				f (x, y) -

ერთგვაროვან ფუნქციას ერთგვაროვანი ეწოდება. იგი მცირდება განტოლებამდე

ერთი უცნობით, თუ შემოვიყვანთ ახალ ცვლადს t = x y .

f (x, y) = a,

სისტემა ორი ცვლადით g (x, y) \u003d b, სადაც f (x, y), g (x, y) -

იმავე ხარისხის ერთგვაროვან ფუნქციებს ერთგვაროვანი ეწოდება. თუ ab ≠ 0, გავამრავლოთ პირველი განტოლება b-ზე, მეორე a-ზე და თქვენ-

ვადარებთ ერთმანეთს - ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

პირველი განტოლება t = ცვლადების ცვლილებით

(ან t =

) ამცირებს

განტოლება ერთი უცნობით.

თუ a = 0

(b = 0) , შემდეგ განტოლება f (x ,y ) = 0(g (x ,y ) = 0) ჩანაცვლებით

ცვლადები t =

(ან t =

) მცირდება განტოლებამდე ერთი უცნობით

−xy+y

21 ,

მაგალითი 20. (მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 2001 წ., ქიმიის ფაკულტეტი) ამოხსენით სისტემა

− 2xy + 15= 0.

2012-2013 სასწავლო წელი წელი, No1, 11 საკნები. მათემატიკა. ალგებრული განტოლებები, უტოლობები, სისტემები

− xy + y 2 =21,

− xy +y 2

y2 − 2xy

-2xy = -15

2xy = − 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19 ± 11

5x2 - 19xy + 12y2 = 0 5

− 19

12 = 0

-2xy = -15

x=3y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

§6. სიმეტრიული სისტემები

f(x, y)

დაურეკა

სიმეტრიული,

f (x, y) = f(y, x) .

f(x, y) = a

ფორმის განტოლებათა სისტემა

სადაც f (x ,y ) ,g (x ,y ) – symmet-

g (x, y) = b,

ric, ეწოდება სიმეტრიულ სისტემას. ასეთი სისტემები

უფრო ხშირად	მხოლოდ ახლის დანერგვით	ცვლადები
x + y= u, xy

x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,

მაგალითი 21. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

x + xy+ y= 5 .

♦ ეს არის ალგებრული (სიმეტრიული) სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ იხსნება x + y = u ,xy = v ცვლილებით. შეამჩნია რომ

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

გადაწერეთ სისტემა ფორმაში

− 3uv+ v

u = 5 − v,

6 =0

V=5

-5 ვ

v=3, u=2

(ძველ ცვლადებში)

x+y=2,

x=2-y,

xy = 3,

y 2 − 2y + 3= 0

x+y=3,

x = 3 − y,

x=2,y=1,

y −3 y +2 =0

x=1,y=2.

xy = 2,

პასუხი: (2;1),

(1; 2) .♦

ლიტერატურა

1. S.I. Kolesnikova "ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების ინტენსიური კურსი." მოსკოვი, ირისი - პრესა;

2. „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის კომპლექსური პრობლემების გადაჭრა“ მოსკოვი, ირისი - პრესა ან „ვაკო“, 2011 წ.;

3. ჟურნალი "პოტენციალი" №№1-2 2005 წლისთვის - S.I. Kolesnikova-ს სტატიები "ირაციონალური განტოლებები" და "ირაციონალური უტოლობა";

4. S.I. Kolesnikov "ირაციონალური განტოლებები", მოსკოვი, 2010 წ.

OOO "აზბუკა";

5. S. I. Kolesnikova "ირაციონალური უთანასწორობები", მოსკოვი, 2010, შპს აზბუკა;

6. S. I. Kolesnikova "განტოლებები და მოდულების შემცველი უტოლობა", მოსკოვი, 2010, შპს აზბუკა.

ტესტის კითხვები

1 (2). იპოვეთ ინტერვალის უმცირესი სიგრძე, რომელიც შეიცავს 5x + 1≥ 2(x − 1) უტოლობის ყველა ამონახსანს.

2 (2). ამოხსენით უტოლობა x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (კუბური განტოლების ამოხსნა არ არის საჭირო, რადგან მარჯვნივ და მარცხნივ არის x − 2 ფაქტორი).

3 (2). ამოხსენით უტოლობა 2− x ≥ x − 3.

4 (2). იპოვეთ უფსკრულის უმცირესი სიგრძე, რომელსაც ეკუთვნის

ამოიღეთ უთანასწორობის ყველა გამოსავალი	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14)

5 (3). იპოვეთ უტოლობის მთელი რიცხვის ამონახსნების კვადრატების ჯამი

4 −x −8 +x ≤x +6 .

6 (3). ამოხსენით უტოლობა 5+ x − 8− x ≤ 3− x .

7 (3). ამოხსენით უტოლობა	-x3 -x -1		≤x.
				9 − 4x − (x + 3) )

8 (3). ამოხსენით უტოლობა	4 −x −(x +2 ) )(				≤ 0.
		(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9 (4). იპოვეთ უფსკრულის უმცირესი სიგრძე, რომელსაც ეკუთვნის

ამოიღეთ უთანასწორობის ყველა გამოსავალი
	x+5	x+2		144-x< 0.


	X-2	4 x −5	6x - 6
	X-2	4 x −5	6x - 6

10 (2). იპოვეთ ინტერვალის უმცირესი სიგრძე, რომელიც შეიცავს 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 უტოლობის ყველა ამონახსანს.

11 (4). იპოვეთ არა-ის ყველა მთელი რიცხვის ამონახსნის კვადრატების ჯამი

2 (2). იპოვეთ უმოკლეს ინტერვალი, რომელიც შეიცავს
	(x − 1 )3 (x + 3)
უტოლობის ყველა გადაწყვეტა				≤ 0 .
	2x - 1	x − 2	) (x − 1)

3 (2). ამოხსენით უტოლობა

4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5 ) 4 .

4 (4). ამოხსენით უტოლობა

x2 + 3 x− 4

x2−16

2x 2 + 3x − 20

5 (3). ამოხსენით უტოლობა (x 2

X +1 ) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2

≥ 0 .

4 − 2x − 1≤ 3.

Დავალებები

- 5x + 6+ 9 - 2x - 5

7 (4). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა

a , რომელთაგან თითოეული

ფუნქცია f (x) \u003d x 2 + 4x +

x2−

x − 1

− a იღებს მხოლოდ

არაუარყოფითი

მყარი ღირებულებები.

8 (4). ამოხსენით განტოლება 4 x − 3

x − 1

5x + 14− 3

5x + 14 - 1

9 (4). ამოხსენით განტოლება

x 2− 5 +

x 2 −3 \u003d x +1 +

x + 3 .

24 - x2

9 2 x

10 (3). ამოხსენით უტოლობა

≥ 0 .

x2 − 4 7 x − 10

11 (3). სამი მხედარი ერთდროულად იწყება წრედის ერთი და იმავე წერტილიდან და მოძრაობს მუდმივი სიჩქარით იმავე მიმართულებით. პირველი მრბოლელი მეორეს პირველად დაეწია, მეხუთე წრე ჩაატარა, საწყისის დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილში, და ნახევარი საათის შემდეგ მეორედ დაეწია მესამე მრბოლელს, დაწყების მომენტის გარეშე. . მეორე მხედარი დაწყებიდან 3 საათის შემდეგ პირველად დაეწია მესამეს. რამდენ წრეს აკეთებს საათში პირველი მხედარი, თუ მეორე ასრულებს წრეს მინიმუმ ოც წუთში?

შესავალი ჩემი პროექტის პრობლემა ის არის, რომ გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის საჭიროა განტოლებათა სხვადასხვა სისტემის ამოხსნის უნარი და საშუალო სკოლის მსვლელობისას მათ არ ეძლევათ საკმარისი დრო ამ საკითხის უფრო ღრმად გასაცნობად. სამუშაოს მიზანი: მომზადება გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის. სამუშაოს ამოცანები: გააფართოვეთ ცოდნა მათემატიკის დარგში „სიმეტრიის“ ცნებასთან დაკავშირებული. გააუმჯობესეთ თქვენი მათემატიკური კულტურა, გამოიყენეთ "სიმეტრიის" ცნება განტოლებათა სისტემების ამოხსნისას, რომელსაც ეწოდება სიმეტრიული, ისევე როგორც მათემატიკის სხვა ამოცანები.

სიმეტრიის ცნება. სიმეტრია - (ძვ. ბერძნ. συμμετρία), ფართო გაგებით - უცვლელობა ნებისმიერი გარდაქმნებისას. ასე, მაგალითად, სხეულის სფერული სიმეტრია ნიშნავს, რომ სხეულის გარეგნობა არ შეიცვლება, თუ ის სივრცეში ბრუნავს თვითნებური კუთხით. ორმხრივი სიმეტრია ნიშნავს, რომ მარჯვენა და მარცხენა რაღაც სიბრტყის მიმართ ერთნაირად გამოიყურება.

პრობლემის გადაჭრა სიმეტრიის გამოყენებით. პრობლემა 1 ორი ადამიანი რიგრიგობით დებს იდენტურ მონეტებს მრგვალ მაგიდაზე და მონეტები არ უნდა ფარავდეს ერთმანეთს. ის, ვინც მოძრაობას ვერ აკეთებს, კარგავს. ვინ იგებს სწორად თამაშისას? (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომელ მოთამაშეს აქვს გამარჯვების სტრატეგია?)

სიმეტრიული სისტემების ამოხსნის მეთოდები. სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა შესაძლებელია ცვლადების ცვლილებით, რომლებიც წარმოადგენს ძირითად სიმეტრიულ მრავალწევრებს. ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობით x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით.

მაგალითი No2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 = 78, 2x - 3xy + 2y + 8 = 0 ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით 3uv - 2v = 78, 2u - 3v = - 8. გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, ვიღებთ 9v2– 28v – 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v 1 = 6 და v 2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები U1 = 5, u2= - გამოთქმიდან u =.

მოდით ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე მოდით ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე x + y = 5, და x + y = - , xy = 6 xy = - . x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, და x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= პასუხი: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

სიმეტრიული სისტემების ამოხსნისას გამოყენებული თეორემები. თეორემა 1. (სიმეტრიულ მრავალწევრებზე) ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი ორ ცვლადში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრის ფუნქციად სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სიმეტრიული მრავალწევრისთვის f (x, y) არსებობს ორი ცვლადის ფუნქცია φ (u, ქ) ისეთი, რომ

თეორემა 2. (სიმეტრიულ მრავალწევრებზე) თეორემა 2. (სიმეტრიულ მრავალწევრებზე) ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი სამ ცვლადში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრის ფუნქციად: სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სიმეტრიული მრავალწევრისთვის f (x, y) არის სამი ცვლადის ისეთი ფუნქცია θ (u, v, w) ისეთი, რომ

უფრო რთული სიმეტრიული სისტემები - მოდულის შემცველი სისტემები: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. განვიხილოთ ეს სისტემა ცალკე x-ისთვის< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

ბ) x ≤ y-სთვის< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, ან - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, საიდანაც ვპოულობთ x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. რიცხვების მეორე წყვილი განსახილველ ფართობს განეკუთვნება, ანუ ეს არის გამოსავალი ამ სისტემას.

თუ x ≥ 1, მაშინ: თუ x ≥ 1, მაშინ: ა) x > y და y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y და y ≥ 1 სისტემა იღებს ფორმას x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ან x - y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x = 1, y = 3. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ ფართობს;

გ) x ≤ y (მაშინ y ≥ 1) სისტემა იღებს ფორმას c) x ≤ y (მაშინ y ≥ 1) სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ან - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ ტერიტორიას. ამრიგად, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. პასუხი: (- 1; 1); (თერთმეტი).

დასკვნა მათემატიკა ავითარებს ადამიანის აზროვნებას, ასწავლის ლოგიკის მეშვეობით სხვადასხვა ამოხსნის პოვნას. ასე რომ, როცა ვისწავლე სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა, მივხვდი, რომ მათი გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ კონკრეტული მაგალითების დასასრულებლად, არამედ სხვადასხვა სახის პრობლემების გადაჭრასაც. ვფიქრობ, რომ პროექტი არა მარტო მე მომგებიანია. ვისაც ასევე სურს ამ თემის გაცნობა, ჩემი ნამუშევარი კარგი დამხმარე იქნება.

გამოყენებული ლიტერატურის სია: ბაშმაკოვი M.I., "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი", მე-2 გამოცემა, მოსკოვი, "Prosveshchenie", 1992, 350 გვერდი. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები ", დირექტორია; მესამე გამოცემა, შესწორებული და გადიდებული; კიევი, ნაუკოვა, დუმკა, 1987, 648 გვ. Sharygin I. F., „მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის“, მოსკოვი, გამომცემლობა დროფა, 1995, 490 გვ. ინტერნეტ რესურსები: http://www.college. en/

ნამუშევარი შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაკვეთილებზე და მოხსენებებზე თემაზე "მათემატიკა"

მზა მათემატიკის პრეზენტაციები გამოიყენება როგორც ვიზუალური დამხმარე საშუალებები, რომლებიც მასწავლებელს ან მშობელს საშუალებას აძლევს აჩვენონ სახელმძღვანელოდან შესასწავლი თემა სლაიდების და ცხრილების გამოყენებით, აჩვენონ მაგალითები ამოცანებისა და განტოლებების გადასაჭრელად და შეამოწმონ ცოდნა. საიტის ამ განყოფილებაში შეგიძლიათ იპოვოთ და ჩამოტვირთოთ ბევრი მზა პრეზენტაცია მათემატიკაში 1,2,3,4,5,6 კლასების სტუდენტებისთვის, ასევე პრეზენტაციები უმაღლესი მათემატიკაში უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის შესახებ დამატებითი ლიტერატურის შესწავლისას შევხვდი ახალი ტიპის სისტემებს - სიმეტრიულს. და ჩემს თავს დავსახე მიზანი:

შეაჯამეთ სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.

გაიაზრონ და ისწავლონ ახალი ცვლადების დანერგვის ხერხის ამოხსნა;

3) განვიხილოთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები

4) ისწავლეთ განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ისტორია.

ხაზოვანი განტოლებიდან უცნობის ამოღება დიდი ხანია გამოიყენება. მე-17-18 საუკუნეებში. in. გამორიცხვის ტექნიკა შეიმუშავეს ფერმატმა, ნიუტონმა, ლაიბნიცმა, ეულერმა, ბეზოუტმა, ლაგრანჟმა.

თანამედროვე აღნიშვნით, ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორი უცნობით აქვს ფორმა: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 ამ სისტემის ამონახსნები გამოიხატება ფორმულებით.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

მე-17 საუკუნეში შექმნილი კოორდინატული მეთოდის წყალობით. ფერმას და დეკარტს, შესაძლებელი გახდა განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნა.

ძველ ბაბილონურ ტექსტებში დაწერილი ძვ.წ 3-2 ათასწლეულებში. ე. , შეიცავს განტოლებათა სისტემების შედგენით გადაწყვეტილ ბევრ პრობლემას, რომლებშიც მეორე ხარისხის განტოლებებიც არის შემოტანილი.

მაგალითი #1:

დავამატე ჩემი ორი კვადრატის ფართობები: 25. მეორე კვადრატის გვერდი უდრის პირველის გვერდს და კიდევ 5. შესაბამისი აღნიშვნის განტოლებათა სისტემა ასე გამოიყურება: x2 + y2 = 25, y = x = 5

დიოფანტე, რომელსაც ბევრი უცნობის აღნიშვნა არ ჰქონდა, დიდი შრომა სჭირდებოდა უცნობის არჩევას ისე, რომ სისტემის ამონახსნები ერთი განტოლების ამოხსნამდე დაეყვანა.

მაგალითი #2:

"იპოვეთ ორი ნატურალური რიცხვი, იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20, ხოლო კვადრატების ჯამი არის 208."

პრობლემა ასევე გადაწყდა განტოლებათა სისტემის შედგენით, x + y = 20, მაგრამ ამოხსნილია x2 + y2 = 208

დიოფანტე, უცნობ ნახევარად ირჩევს სასურველი რიცხვების სხვაობას, ე.ი.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- არ აკმაყოფილებს ამოცანის პირობას, შესაბამისად, თუ z = 2x = 12 და y = 8

ალგებრული განტოლებათა სისტემის ცნებები.

ბევრ პრობლემაში შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე უცნობი სიდიდის პოვნა, იმის ცოდნა, რომ მათი დახმარებით წარმოქმნილი სხვა სიდიდეები (უცნობების ფუნქციები) ტოლია ერთმანეთის ან მოცემული სიდიდის. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი.

2400 მ2 ფართობის მართკუთხა მიწის ნაკვეთი შემოღობილია 200 მ სიგრძის გალავნით. იპოვნეთ სეგმენტის სიგრძე და სიგანე. სინამდვილეში, ამ პრობლემის „ალგებრული მოდელი“ არის ორი განტოლებისა და ერთი უტოლობის სისტემა.

შესაძლო შეზღუდვები - უთანასწორობები ყოველთვის უნდა იყოს მხედველობაში. როცა ხსნით განტოლებათა სისტემების შედგენის ამოცანებს. მაგრამ მაინც მთავარია განტოლებების თავად ამოხსნა. მე გეტყვით გამოყენებული მეთოდების შესახებ.

დავიწყოთ განმარტებებით.

განტოლებათა სისტემა არის რამდენიმე (ერთზე მეტი) განტოლების ნაკრები, რომლებიც დაკავშირებულია ხვეული ფრჩხილით.

ხვეული ფრჩხილი ნიშნავს, რომ სისტემის ყველა განტოლება უნდა შესრულდეს ერთდროულად და აჩვენებს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების წყვილი (x; y), რომელიც აქცევს თითოეულ განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში.

სისტემის ამონახსნი არის x და y რიცხვების წყვილი, რომლებიც ამ სისტემაში ჩანაცვლებისას აქცევს მის თითოეულ განტოლებას ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.

ჩანაცვლების მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ ერთ-ერთ განტოლებაში ერთი ცვლადი გამოხატულია მეორის თვალსაზრისით. მიღებული გამოხატულება ჩანაცვლებულია სხვა განტოლებით, რომელიც შემდეგ გადაიქცევა განტოლებად ერთი ცვლადით და შემდეგ იხსნება. ამ ცვლადის შედეგად მიღებული მნიშვნელობები ჩანაცვლებულია ორიგინალური სისტემის ნებისმიერ განტოლებაში და ნაპოვნია მეორე ცვლადი.

ალგორითმი.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან გამოხატეთ y x-ის მიხედვით.

2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.

3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.

4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.

5) ჩაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y).

მაგალითი No. 1 y \u003d x - 1,

ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში y \u003d x - 1, ვიღებთ 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, საიდანაც x \u003d 2. ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას პირველ განტოლებაში: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

პასუხი: (2; 1).

მაგალითი #2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2

5წ \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2

2x - 21 წელი \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8წ - 4) - 21წ \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

პასუხი: (-20; -2).

მაგალითი #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - კვადრატული განტოლება y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

აქედან გამომდინარე (-2; -4); (4; 8) არის ამ სისტემის გადაწყვეტილებები.

დამატების მეთოდი.

დამატების მეთოდი მდგომარეობს იმაში, რომ თუ მოცემული სისტემა შედგება განტოლებისგან, რომლებიც ერთად შეკრებისას ქმნიან განტოლებას ერთ ცვლადთან, მაშინ ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობებს. ნაპოვნია მეორე ცვლადის მნიშვნელობა, როგორც ჩანაცვლების მეთოდით.

სისტემის ამოხსნის ალგორითმი დამატების მეთოდით.

1. კოეფიციენტების მოდულების გათანაბრება ერთ-ერთი უცნობისთვის.

2. მიღებული განტოლებების შეკრება ან გამოკლება, იპოვეთ ერთი უცნობი.

3. აღმოჩენილი მნიშვნელობის ჩანაცვლება საწყისი სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში, იპოვეთ მეორე უცნობი.

მაგალითი #1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა დამატებით: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

მეორე განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, მივიღებთ

ჩვენ გამოვხატავთ მეორე გამონათქვამიდან x \u003d 20 - y

ჩაანაცვლეთ y \u003d 5 ამ გამოსახულებაში: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

პასუხი: (15; 5).

მაგალითი #2:

მოდით წარმოვადგინოთ შემოთავაზებული სისტემის განტოლებები სხვაობის სახით, მივიღებთ

7y = 21, საიდანაც y = 3

ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა x = სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოხატული მნიშვნელობით, მივიღებთ x = 4.

პასუხი: (4; 3).

მაგალითი #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

ამ განტოლებების დამატება მივიღებთ:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, ამ მნიშვნელობის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

10 * 2 - 11y \u003d 9, საიდანაც y \u003d 1.

ამ სისტემის გამოსავალი არის წყვილი: (2; 1).

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული გზა.

ალგორითმი.

1. ააგეთ სისტემის თითოეული განტოლების გრაფიკები.

2. აგებული წრფეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების მოძიება.

თვითმფრინავზე ხაზების ურთიერთ მოწყობის შემთხვევა.

1. თუ წრფეები იკვეთება, ანუ აქვთ ერთი საერთო წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი.

2. თუ წრფეები პარალელურია, ანუ საერთო წერტილები არ აქვთ, მაშინ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს.

3. თუ წრფეები ემთხვევა, ანუ აქვთ ბევრი წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მაგალითი #1:

გრაფიკულად ამოხსენით განტოლებათა სისტემა x - y \u003d -1,

ჩვენ გამოვხატავთ პირველი და მეორე განტოლებიდან y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

მოდით ავაშენოთ სისტემის თითოეული განტოლების გრაფიკები:

1) y \u003d 1 + x - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 y 4 2

პასუხი: (1; 2).

მაგალითი #2: y x + 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 3 2 y \u003d - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 2 1

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი No. 3: y x - 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y -1 0

პასუხი: სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი.

ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი არის ის, რომ ახალი ცვლადი შემოდის მხოლოდ ერთ განტოლებაში ან ორ ახალ ცვლადში ორივე განტოლებისთვის ერთდროულად, შემდეგ განტოლება ან განტოლებები წყდება ახალ ცვლადებთან მიმართებაში, რის შემდეგაც რჩება უფრო მარტივი სისტემის ამოხსნა. განტოლებათა, საიდანაც ვპოულობთ სასურველ ამონახსნებს.

მაგალითი #1:

x + y = 5

აღნიშნეთ = z, შემდეგ =.

პირველი განტოლება მიიღებს z + = ფორმას, ის უდრის 6z - 13 + 6 = 0. მიღებული განტოლების ამოხსნის შემდეგ გვაქვს z = ; z=. შემდეგ = ან =, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი განტოლება იყოფა ორ განტოლებად, შესაბამისად, გვაქვს ორი სისტემა:

x + y = 5 x + y = 5

ამ სისტემების გადაწყვეტილებები არის მოცემული სისტემის გადაწყვეტილებები.

პირველი სისტემის ამონახსნი არის წყვილი: (2; 3), ხოლო მეორე არის წყვილი (3; 2).

მაშასადამე, სისტემის ამონახსნები + = , x + y = 5

წყვილები არიან (2; 3); (3; 2)

მაგალითი #2:

მოდით = X, a = Y.

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7.5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

2 x = 1, y = 0.5

პასუხი: (1; 0.5).

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები.

n უცნობის მქონე სისტემას ეწოდება სიმეტრიული, თუ ის არ იცვლება უცნობის გადალაგებისას.

ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობით x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით. გაითვალისწინეთ, რომ სიმეტრიულ სისტემებში შეხვედრილი გამონათქვამები გამოხატულია u და v-ით. მოვიყვანოთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი, რომლებიც უდავო ინტერესს იწვევს მრავალი სიმეტრიული სისტემის ამოხსნისთვის: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v და ა.შ.

x y, z უცნობის სამი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ამოხსნილია x + y + z = u, xy + yz + xz = w ჩანაცვლებით. თუ ნაპოვნია u, v, w, მაშინ შედგენილია კუბური განტოლება t2 – ut2 + vt – w = 0, რომლის ფესვები t1, t2, t3 სხვადასხვა პერმუტაციებში არის საწყისი სისტემის ამონახსნები. ასეთ სისტემებში ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამები გამოიხატება u, v, w შემდეგნაირად: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

მაგალითი #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

მოდით x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

მოდით x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

მოდით x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

მოდით x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

პასუხი: (4; 1); (თოთხმეტი).

მაგალითი #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

მოდით შევცვალოთ უცნობები, სისტემა მიიღებს ფორმას u2 + v = 49, u + v = 23

ამ განტოლებების მიმატებით მივიღებთ u2 + u - 72 = 0 ფესვებით u1 = 8, u2 = -9. შესაბამისად, v1 = 15, v2 = 32. რჩება სისტემის სიმრავლის ამოხსნა x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

სისტემა x + y = 8 აქვს ამონახსნები x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

სისტემა x + y = -9 არ აქვს რეალური ამონახსნები.

პასუხი: (3; 5), (5; 3).

მაგალითი ნომერი 6. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით u = y + x და v = xy ვიღებთ განტოლებათა შემდეგ სისტემას

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

სისტემის მეორე განტოლებიდან v = -3 - u გამოთქმის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ შემდეგ განტოლებას 2u2 + 7u + 5 = 0, რომლის ფესვებია u1 = -1 და u2 = -2.5; და, შესაბამისად, v1 = -2 და v2 = -0.5 მნიშვნელობები მიიღება v = -3 - u-დან.

ახლა რჩება სისტემების შემდეგი ნაკრების გადაჭრა x + y \u003d -1, და x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5

სისტემების ამ ნაკრების და, შესაბამისად, თავდაპირველი სისტემის (მათი ეკვივალენტობის გამო) ამონახსნები შემდეგია: (1; -2), (-2; 1), (;).

მაგალითი #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით, სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით

3uv - 2v = 78,

გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, მივიღებთ 9v2 - 28v - 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v1 = 6 და v2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები u1 = 5, u2 = - გამოთქმიდან u =.

ახლა ჩვენ ვხსნით სისტემების შემდეგ კომპლექტს x + y \u003d 5, და x + y \u003d -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, და y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.

x = 5 – y, და y = -x -, y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 და x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

პასუხი: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

დასკვნა.

სტატიის წერის პროცესში გავეცანი ალგებრული განტოლებების სხვადასხვა ტიპის სისტემას. შეჯამებული სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.

გაიგეს და ისწავლეს ამოხსნა ახალი ცვლადების შემოტანით;

განვიხილეთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები

ვისწავლეთ განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

მთავარი > გამოსავალი

რაციონალური განტოლებები და უტოლობა

I. რაციონალური განტოლებები.

წრფივი განტოლებები.

წრფივი განტოლებათა სისტემები.

დაბრუნების განტოლებები.

ვიეტას ფორმულა უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრებისთვის.

მეორე ხარისხის განტოლებათა სისტემები.

განტოლებებისა და განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ახალი უცნობების შემოტანის მეთოდი.

ჰომოგენური განტოლებები.

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

განტოლებები და განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით.

არაწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი.

მოდულის ნიშნის შემცველი განტოლებები.

რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

II. რაციონალური უტოლობები.

ეკვივალენტური უტოლობების თვისებები.

ალგებრული უტოლობები.

ინტერვალის მეთოდი.

წილად-რაციონალური უტოლობა.

უცნობის შემცველი უტოლობა აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნით.

უტოლობები პარამეტრებთან.

რაციონალური უტოლობების სისტემები.

უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა.

III. გადამოწმების ტესტი.

რაციონალური განტოლებები

ნახვის ფუნქცია

P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,

სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, a 0, a 1,…, a n არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, ეწოდება მთლიან რაციონალურ ფუნქციას.

P(x) = 0 ფორმის განტოლებას, სადაც P(x) არის მთელი რაციონალური ფუნქცია, ეწოდება მთლიანი რაციონალური განტოლება.

ტიპის განტოლება

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

სადაც P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) არის მთელი რაციონალური ფუნქციები, ეწოდება რაციონალური განტოლება .

რაციონალური განტოლების ამოხსნა P (x) / Q (x) = 0, სადაც P (x) და Q (x) არის პოლინომები (Q (x)  0), მცირდება P (x) = 0 განტოლების ამოხსნამდე და შემოწმება აკმაყოფილებს თუ არა ფესვები Q (x)  0 პირობას.

წრფივი განტოლებები.

ax+b=0 ფორმის განტოლებას, სადაც a და b ზოგიერთი მუდმივია, წრფივი განტოლება ეწოდება.

თუ a0, მაშინ წრფივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: x = -b /a.

თუ a=0; b0, მაშინ წრფივ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

თუ a=0; b=0, მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლების გადაწერით ax = -b სახით, ადვილი მისახვედრია, რომ ნებისმიერი x არის წრფივი განტოლების ამონახსნი.

სწორხაზოვან განტოლებას აქვს ფორმა: y = ax + b.

თუ სწორი ხაზი გადის X 0 და Y 0 კოორდინატების მქონე წერტილში, მაშინ ეს კოორდინატები აკმაყოფილებენ სწორი ხაზის განტოლებას, ანუ Y 0 = aX 0 + b.

მაგალითი 1.1. განტოლების ამოხსნა

2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.

გადაწყვეტილება. გავაფართოვოთ ფრჩხილები სათითაოდ, მივცეთ მსგავსი ტერმინები და ვიპოვოთ x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

მაგალითი 1.2.განტოლების ამოხსნა

2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.

გადაწყვეტილება. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.

პასუხი: .

მაგალითი 1.3. ამოხსენით განტოლება.

2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.

გადაწყვეტილება. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

- 4x + 9 = 9 - 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

პასუხი: ნებისმიერი ნომერი.

წრფივი განტოლებათა სისტემები.

ტიპის განტოლება

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

სადაც a 1 , b 1 , … ,a n , b არის გარკვეული მუდმივები, ეწოდება წრფივი განტოლება n უცნობით x 1 , x 2 , …, x n .

განტოლებათა სისტემას წრფივი ეწოდება, თუ სისტემაში ყველა განტოლება წრფივია. თუ სისტემა შედგება n უცნობისგან, მაშინ შესაძლებელია შემდეგი სამი შემთხვევა:

სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები;

სისტემას აქვს ზუსტად ერთი გამოსავალი;

სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

მაგალითი 2.4.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გადაწყვეტილება. წრფივი განტოლებათა სისტემა შეიძლება ამოხსნას ჩანაცვლების მეთოდით, რომელიც მოიცავს ერთი უცნობის გამოხატვას სისტემის ნებისმიერი განტოლების სხვა უცნობის მიხედვით და შემდეგ ამ უცნობის მნიშვნელობის დანარჩენ განტოლებებში ჩანაცვლება.

პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ: x = (8 - 3y) / 2. ამ გამოსახულებას ვცვლით მეორე განტოლებაში და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას.

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. მეორე განტოლებიდან ვიღებთ y \u003d 2. ამის გათვალისწინებით, პირველი განტოლებიდან x \u003d 1. პასუხი: (1; 2) მაგალითი 2.5. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გადაწყვეტილება. სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ვინაიდან სისტემის ორი განტოლება არ შეიძლება ერთდროულად დაკმაყოფილდეს (პირველი განტოლებიდან x + y = 3, ხოლო მეორედან x + y = 3,5).

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი 2.6. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გადაწყვეტილება. სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები, რადგან მეორე განტოლება მიიღება პირველიდან 2-ზე გამრავლებით (ანუ, ფაქტობრივად, არსებობს მხოლოდ ერთი განტოლება ორი უცნობით).

პასუხი: უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

მაგალითი 2.7. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

x + y - z = 2,

2x – y + 4z = 1,

გადაწყვეტილება. წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას მოსახერხებელია გამოიყენოს გაუსის მეთოდი, რომელიც შედგება სისტემის სამკუთხა ფორმაში გადაქცევაში.

სისტემის პირველ განტოლებას ვამრავლებთ - 2-ზე და მეორე განტოლებით მიღებულ შედეგს დავამატებთ, მივიღებთ - 3y + 6z \u003d - 3. ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც y - 2z \u003d 1. პირველი განტოლების დამატება. მესამესთან ერთად ვიღებთ 7y \u003d 7, ან y = 1.

ამრიგად, სისტემამ სამკუთხა ფორმა მიიღო

x + y - z = 2,

y = 1 მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ z = 0. y =1 და z = 0 ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში ვპოულობთ x = 1. პასუხი: (1; 1; 0) მაგალითი 2.8. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლებათა სისტემა

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი? გადაწყვეტილება. პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ x:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1.

ამ გამოხატვის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

ბოლო განტოლების გაანალიზებისას აღვნიშნავთ, რომ a = 3-ს აქვს ფორმა 0y = 0, ე.ი. ის დაკმაყოფილებულია y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობით. პასუხი: 3.

კვადრატული განტოლებები და მათზე შემცირებული განტოლებები.

ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი (a0);

x არის ცვლადი, რომელსაც ეწოდება კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულა.

პირველ რიგში, ax 2 + bx + c = 0 განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ a-ზე - ეს არ შეცვლის მის ფესვებს. მიღებული განტოლების ამოსახსნელად

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

აირჩიეთ სრული კვადრატი მარცხენა მხარეს

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / ა) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).

მოკლედ, ჩვენ აღვნიშნავთ გამონათქვამს (b 2 - 4ac) D-ით. შემდეგ მიღებული იდენტობა იღებს ფორმას.

შესაძლებელია სამი შემთხვევა:

თუ რიცხვი D დადებითია (D > 0), მაშინ ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ავიღოთ D-ის კვადრატული ფესვი და დავწეროთ D როგორც D = (D) 2 . მერე

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, ამიტომ იდენტურობა იღებს ფორმას

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .

კვადრატების განსხვავების ფორმულის მიხედვით, აქედან გამომდინარეობს:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) - (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).

თეორემა:თუ ვინაობა ინარჩუნებს

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),

მაშინ კვადრატულ განტოლებას ax 2 + bx + c \u003d 0 X 1  X 2 აქვს ორი ფესვი X 1 და X 2, ხოლო X 1 \u003d X 2 - მხოლოდ ერთი ფესვი X 1.

ამ თეორემის ძალით, ზემოთ მიღებული იდენტობიდან გამომდინარეობს, რომ განტოლება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

და ამრიგად, განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს ორი ფესვი:

X 1 \u003d (-b +  D) / 2a; X 2 \u003d (-b -  D) / 2a.

ამრიგად x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1) (x - x2).

ჩვეულებრივ, ეს ფესვები იწერება ერთი ფორმულით:

სადაც b 2 - 4ac \u003d D.

თუ რიცხვი D უდრის ნულს (D = 0), მაშინ იდენტურობა

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

იღებს ფორმას x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

აქედან გამომდინარეობს, რომ D = 0-სთვის განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს 2 სიმრავლის ერთი ფესვი: X 1 = - b / 2a

3) თუ რიცხვი D უარყოფითია (D< 0), то – D >0 და, შესაბამისად, გამოხატულება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

არის ორი წევრის ჯამი, რომელთაგან ერთი არის არაუარყოფითი და მეორე დადებითი. ასეთი ჯამი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ განტოლება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

არ აქვს ნამდვილი ფესვები. არც განტოლება ax 2 + bx + c = 0.

ამრიგად, კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად, უნდა გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი

D \u003d b 2 - 4ac.

თუ D = 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი:

თუ D > 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).

თუ დ< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

თუ ერთ-ერთი კოეფიციენტი b ან c უდრის ნულს, მაშინ კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას დისკრიმინანტის გამოთვლის გარეშე:

b = 0; c  0; გ/ა<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c = 0 გვხვდება ფორმულით

კვადრატულ განტოლებას, რომელშიც კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის 1-ს, ეწოდება შემცირებული. როგორც წესი, მოცემული კვადრატული განტოლება აღინიშნება შემდეგნაირად:

x 2 + px + q = 0.

ვიეტას თეორემა.

ჩვენ გამოვიყვანეთ იდენტობა

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),

სადაც X 1 და X 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c =0. მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები ამ იდენტობის მარჯვენა მხარეს.

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

აქედან გამომდინარეობს, რომ X 1 + X 2 = - b / a და X 1 X 2 = c / a. ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი თეორემა, რომელიც პირველად დაადგინა ფრანგმა მათემატიკოსმა ფ. ვიეტმა (1540 - 1603 წწ.):

თეორემა 1 (ვიეტა). კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის X-ის კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით და გაყოფილი X 2-ის კოეფიციენტზე; ამ განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს გაყოფილი X 2-ზე კოეფიციენტზე.

თეორემა 2 (საპირისპირო). თუ თანასწორობები

X 1 + X 2 \u003d - b / a და X 1 X 2 \u003d c / a,

მაშინ X 1 და X 2 რიცხვები არის კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c = 0.

კომენტარი. ფორმულები X 1 + X 2 \u003d - b / a და X 1 X 2 \u003d c / a რჩება ჭეშმარიტი იმ შემთხვევაშიც კი, როდესაც განტოლებას ax 2 + bx + c \u003d 0 აქვს ერთი ფესვი X 1 სიმრავლის 2, თუ ჩვენ ვსვამთ მითითებულ ფორმულებს X 2 = X 1 . აქედან გამომდინარე, ზოგადად მიღებულია, რომ D = 0-სთვის განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს ორი ფესვი, რომლებიც ემთხვევა ერთმანეთს.

ვიეტას თეორემასთან დაკავშირებული ამოცანების გადაჭრისას სასარგებლოა მიმართებების გამოყენება

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).

მაგალითი 3.9.ამოხსენით განტოლება 2x 2 + 5x - 1 = 0.

გადაწყვეტილება. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

პასუხი: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

მაგალითი 3.10.ამოხსენით განტოლება x 3 - 5x 2 + 6x = 0

გადაწყვეტილება. მოდით გავამრავლოთ განტოლების მარცხენა მხარე x(x 2 - 5x + 6) = 0,

აქედან გამომდინარე, x \u003d 0 ან x 2 - 5x + 6 \u003d 0.

კვადრატული განტოლების ამოხსნით, ვიღებთ X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.

პასუხი: 0; 2; 3.

მაგალითი 3.11.

x 3 - 3x + 2 = 0. ამოხსნა. მოდით გადავიწეროთ განტოლება, დავწეროთ -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0 და ახლა ვაჯგუფებთ x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. პასუხი: x 1 = x 3 = 1, x 2 = - 2. მაგალითი 3.12. 7 განტოლების ამოხსნა

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის სწავლა, განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები;
განვითარებადი: აზროვნების, ყურადღების, მეხსიერების განვითარება, მთავარის გამოკვეთის უნარი;
საგანმანათლებლო:საკომუნიკაციო უნარების განვითარება.

გაკვეთილის ტიპი:გაკვეთილზე ახალი მასალის შესწავლა.

გამოყენებული სასწავლო ტექნოლოგიები:

ჯგუფებში მუშაობა;
დიზაინის მეთოდი.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი.

გაკვეთილამდე ერთი კვირით ადრე მოსწავლეები იღებენ თემებს შემოქმედებითი დავალებისთვის (ოპციების მიხედვით).
I ვარიანტი. განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები. გადაწყვეტილებები.
II ვარიანტი. სისტემები, რომლებიც შეიცავს ერთგვაროვან განტოლებას. გადაწყვეტილებები.

თითოეულმა მოსწავლემ დამატებითი სასწავლო ლიტერატურის გამოყენებით უნდა მოიძიოს შესაბამისი სასწავლო მასალა, შეარჩიოს განტოლებათა სისტემა და ამოხსნას იგი.
თითოეული ვარიანტიდან ერთი მოსწავლე ქმნის მულტიმედია პრეზენტაციებს შემოქმედებითი ამოცანის თემაზე. მასწავლებელი საჭიროების შემთხვევაში ხელმძღვანელობს მოსწავლეებს.

I. მოსწავლეთა სასწავლო საქმიანობის მოტივაცია

მასწავლებლის შესავალი სიტყვა
წინა გაკვეთილზე განვიხილეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა უცნობის ჩანაცვლების მეთოდით. ახალი ცვლადების არჩევის ზოგადი წესი არ არსებობს. ამასთან, განტოლების სისტემის ორი ტიპი შეიძლება გამოიყოს, როდესაც არსებობს ცვლადების გონივრული არჩევანი:

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები;
განტოლებათა სისტემები, რომელთაგან ერთი ერთგვაროვანია.

II. ახალი მასალის სწავლა

მეორე ვარიანტის მოსწავლეები მოხსენებას აკეთებენ საშინაო დავალების შესახებ.

1. მულტიმედიური პრეზენტაციის სლაიდშოუ „ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი სისტემები“ (პრეზენტაცია 1).

2. იმავე მერხთან მსხდომ მოსწავლეთა წყვილებში მუშაობა: მეორე ვარიანტის მოსწავლე მერხში მეზობელს უხსნის ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი სისტემის ამოხსნას.

1-ლი ვარიანტის მოსწავლეთა ანგარიში.

1. მულტიმედიური პრეზენტაციის „განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები“ სლაიდშოუ (პრეზენტაცია 2).

მოსწავლეები რვეულებში წერენ: