ახლა ჩვენ ვიცით, რომ N(Z) ფუნქციის ცვლილების მყისიერი სიჩქარე Z = +2-ზე არის -0,1079968336. ეს ნიშნავს ზევით/ქვევით პერიოდის განმავლობაში, ასე რომ, როდესაც Z = +2, N(Z) მრუდი იზრდება -0.1079968336-ით. ეს სიტუაცია ნაჩვენებია სურათზე 3-13.

"აბსოლუტური" მგრძნობელობის საზომს შეიძლება ეწოდოს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. მოცემულ წერტილში ფუნქციის მგრძნობელობის საზომს („მყისიერი სიჩქარე“) წარმოებული ეწოდება.

ჩვენ შეგვიძლია გავზომოთ y ცვლადის აბსოლუტური მგრძნობელობის ხარისხი x ცვლადის ცვლილებების მიმართ, თუ განვსაზღვრავთ თანაფარდობას Ay/Ax. მგრძნობელობის ასეთი განმარტების მინუსი არის ის, რომ ის დამოკიდებულია არა მხოლოდ "საწყის" XQ წერტილზე, რომლის მიმართაც განიხილება არგუმენტის ცვლილება, არამედ ასევე Dx ინტერვალის თვით მნიშვნელობაზე, რომელზედაც სიჩქარე განისაზღვრება. . ამ ნაკლოვანების აღმოსაფხვრელად შემოღებულია წარმოებულის ცნება (ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე წერტილში). წერტილში ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის დადგენისას, XQ და xj წერტილები იკრიბება ერთმანეთთან, Dx ინტერვალის ნულამდე მიყვანისას. f (x) ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე XQ წერტილში და ეწოდება f (x) ფუნქციის წარმოებული x წერტილში. ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის გეომეტრიული მნიშვნელობა XQ წერტილში არის ის, რომ იგი განისაზღვრება XQ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხით. წარმოებული არის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი.

თუ წარმოებული y განიხილება, როგორც ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე /, მაშინ მნიშვნელობა y /y არის მისი ცვლილების ფარდობითი სიჩქარე. ამიტომ, ლოგარითმული წარმოებული (In y)

წარმოებული მიმართულებით - ახასიათებს z - f (x, y) ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს MO (ZhO, UO) მიმართულებით მიმართულებით.

ფუნქციის ცვლილების სიხშირე შედარებით 124.188

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ ფუნქციის პირველი წარმოებული, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. იმის დასადგენად, არის თუ არა ცვლილების სიჩქარე მუდმივი, ფუნქციის მეორე წარმოებული უნდა იქნას მიღებული. ეს აღინიშნება როგორც

აქ და ქვემოთ, მარტივი ნიშნავს დიფერენციაციას ისე, რომ h არის h ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ჭარბი მიწოდების ზრდასთან შედარებით).

"აბსოლუტური" მგრძნობელობის საზომი - ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე (საშუალო (ცვლილებების თანაფარდობა) ან ზღვრული (წარმოებული))

მნიშვნელობის, არგუმენტის, ფუნქციის ზრდა. ფუნქციის შეცვლის სიჩქარე

ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ინტერვალზე (საშუალო მაჩვენებელი).

სიჩქარის ასეთი განმარტების მინუსი არის ის, რომ ეს სიჩქარე დამოკიდებულია არა მხოლოდ x0 წერტილზე, რომლის მიმართაც განიხილება არგუმენტის ცვლილება, არამედ თავად არგუმენტის ცვლილების სიდიდეზე, ე.ი. Dx ინტერვალის მნიშვნელობაზე, რომელზედაც განისაზღვრება სიჩქარე. ამ ნაკლოვანების აღმოსაფხვრელად შემოღებულია ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის ცნება წერტილში (მყისიერი სიჩქარე).

ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე წერტილში (მყისიერი სიჩქარე).

J Q წერტილში ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის დასადგენად, x და x0 წერტილები იკრიბება ერთმანეთთან, Ax ინტერვალის ნულამდე მიქცევით. უწყვეტი ფუნქციის ცვლილება ასევე ნულისკენ მიისწრაფვის. ამ შემთხვევაში, ნულისკენ მიდრეკილი ფუნქციის ცვლილების თანაფარდობა ნულისკენ მიდრეკილი არგუმენტის ცვლილებასთან იძლევა ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს x0 წერტილში (მყისიერი სიჩქარე), უფრო ზუსტად, უსასრულოდ მცირე ინტერვალზე, xd წერტილთან შედარებით.

სწორედ Dx ფუნქციის ცვლილების ეს სიჩქარე x0 წერტილში ეწოდება Dx ფუნქციის წარმოებულს) xa წერტილში.

რა თქმა უნდა, y-ის მნიშვნელობის ცვლილების სიჩქარის დასახასიათებლად შეიძლება გამოვიყენოთ უფრო მარტივი ინდიკატორი, ვთქვათ, y-ის წარმოებული L-თან მიმართებაში. o ჩანაცვლების ელასტიურობა სასურველია იმის გამო, რომ მას აქვს დიდი უპირატესობა. - ის მუდმივია პრაქტიკაში გამოყენებული საწარმოო ფუნქციების უმეტესობისთვის, ანუ არა მხოლოდ არ იცვლება ზოგიერთი იზოკვანტის გასწვრივ მოძრაობისას, არამედ არ არის დამოკიდებული იზოკვანტის არჩევანზე.

კონტროლის დროულობა ნიშნავს, რომ ეფექტური კონტროლი დროული უნდა იყოს. მისი დროულობა მდგომარეობს კონტროლირებადი ინდიკატორების გაზომვებისა და შეფასებების დროის ინტერვალის, მთლიანად ორგანიზაციის კონკრეტული აქტივობების პროცესის თანაზომიერებაში. ასეთი ინტერვალის ფიზიკური მნიშვნელობა (გაზომვების სიხშირე) განისაზღვრება გაზომილი პროცესის (გეგმის) დროით, კონტროლირებადი ინდიკატორების ცვლილების სიჩქარისა და საკონტროლო ოპერაციების განხორციელების ხარჯების გათვალისწინებით. კონტროლის ფუნქციის ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანა რჩება გადახრების აღმოფხვრა, სანამ ისინი ორგანიზაციას კრიტიკულ სიტუაციამდე მიიყვანენ.

ჰომოგენური სისტემისთვის ტელევიზორში = 0, M = 0 5 ასევე ქრება, ასე რომ გამოხატვის მარჯვენა მხარე (6.20) უდრის ჰეტეროგენობასთან დაკავშირებული მთლიანი კეთილდღეობის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს.

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა. y = f(x) ფუნქციისთვის, რომელიც იცვლება x დროში, წარმოებული y = f(xo] არის y-ის ცვლილების სიჩქარე XQ დროს.

y = f(x) ფუნქციის ცვლილების ფარდობითი სიჩქარე (სიჩქარე) განისაზღვრება ლოგარითმული წარმოებულით.

ცვლადები x ნიშნავს მიწოდებასა და მოთხოვნას შორის სხვაობის სიდიდეს წარმოების შესაბამისი ტიპის საშუალებებზე x = s - p. ფუნქცია x(f) განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია დროში. ცვლადები x" ნიშნავს მიწოდებასა და მოთხოვნას შორის სხვაობის ცვლილების სიჩქარეს. ტრაექტორია x (t) ნიშნავს მიწოდებისა და მოთხოვნის ცვლილების სიჩქარის დამოკიდებულებას მიწოდებასა და მოთხოვნას შორის სხვაობის სიდიდეზე, რაც თავის მხრივ დამოკიდებულია დროზე სახელმწიფო სივრცე (ფაზური სივრცე) ჩვენს შემთხვევაში ორგანზომილებიანია, ანუ აქვს ფაზის სიბრტყის ფორმა.

a სიდიდის ასეთი თვისებები ხსნის იმ ფაქტს, რომ y ჩანაცვლების ზღვრული სიჩქარის ცვლილების სიჩქარე ხასიათდება მის საფუძველზე და არა რაიმე სხვა ინდიკატორის დახმარებით, მაგალითად, y-ის წარმოებული x>-ის მიმართ. უფრო მეტიც, ფუნქციების მნიშვნელოვანი რაოდენობისთვის, ჩანაცვლების ელასტიურობა მუდმივია არა მხოლოდ იზოკლინების გასწვრივ, არამედ იზოკვანტების გასწვრივ. ასე რომ, საწარმოო ფუნქციისთვის (2.20), იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ იზოკლი-

არსებობს მრავალი ხრიკი, რომლის გამოყენებაც შესაძლებელია მოკლევადიანი ცვლილების ტემპებით. ეს მოდელი იყენებს ერთ პერიოდს

ბევრს გაუკვირდება ამ სტატიის მოულოდნელი მდებარეობა ჩემი ავტორის კურსში ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულზე და მის აპლიკაციებზე. ყოველივე ამის შემდეგ, როგორც ეს იყო სკოლიდან: სტანდარტული სახელმძღვანელო, პირველ რიგში, იძლევა წარმოებულის განმარტებას, მის გეომეტრიულ, მექანიკურ მნიშვნელობას. შემდეგ, სტუდენტები პოულობენ ფუნქციების წარმოებულებს განსაზღვრებით და, ფაქტობრივად, მხოლოდ მაშინ ხდება დიფერენციაციის ტექნიკის სრულყოფა გამოყენებით წარმოებული ცხრილები.

მაგრამ ჩემი აზრით, შემდეგი მიდგომა უფრო პრაგმატულია: პირველ რიგში, მიზანშეწონილია კარგად გაიგოთ ფუნქციის ზღვარი და, კერძოდ, უსასრულო პატარა. ფაქტია რომ

წარმოებულის განმარტება ეფუძნება ლიმიტის ცნებას , რაც ცუდად არის გათვალისწინებული სასკოლო კურსში. სწორედ ამიტომ ცოდნის გრანიტის ახალგაზრდა მომხმარებლების მნიშვნელოვანი ნაწილი ცუდად აღწევს წარმოებულის არსს. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ კარგად გათვითცნობიერებული დიფერენციალური გამოთვლების შესახებ, ან ბრძენმა ტვინმა წარმატებით გაათავისუფლა თავი ამ ბარგისგან წლების განმავლობაში, გთხოვთ, დაიწყოთფუნქციის ლიმიტები . ამავე დროს დაეუფლეთ / დაიმახსოვრეთ მათი გადაწყვეტილება.

იგივე პრაქტიკული აზრი ვარაუდობს, რომ ის პირველ რიგში მომგებიანია

ისწავლეთ წარმოებულების პოვნა, რთული ფუნქციების წარმოებულების ჩათვლით . თეორია თეორიაა, მაგრამ, როგორც ამბობენ, ყოველთვის გინდა დიფერენცირება. ამ მხრივ ჯობია ჩამოთვლილი საბაზისო გაკვეთილები შეიმუშაოთ და იქნებ გახდესდიფერენციაციის ოსტატი მათი ქმედებების არსის გაცნობიერების გარეშეც კი.

გირჩევთ დაიწყოთ მასალები ამ გვერდზე სტატიის წაკითხვის შემდეგ. უმარტივესი პრობლემები წარმოებულთან, სადაც, კერძოდ, განიხილება ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის პრობლემა. მაგრამ მისი გადადება შეიძლება. ფაქტია, რომ წარმოებულის მრავალი გამოყენება არ საჭიროებს მის გაგებას და გასაკვირი არ არის, რომ თეორიული გაკვეთილი საკმაოდ გვიან გამოჩნდა - როცა ახსნა დამჭირდა. გაზრდის/კლების და ექსტრემების ინტერვალების პოვნაფუნქციები. უფრო მეტიც, ის საკმაოდ დიდი ხნის განმავლობაში იყო ამ თემაზე " ფუნქციები და გრაფიკები”, სანამ არ გადავწყვიტე ადრე დავსვა.

ამიტომ, ძვირფასო ჩაიდანი, ნუ ჩქარობთ წარმოებულის არსის შეწოვას, როგორც მშიერი ცხოველები, რადგან გაჯერება იქნება უგემოვნო და არასრული.

ფუნქციის გაზრდის, კლების, მაქსიმუმის, მინიმუმის კონცეფცია

ბევრი გაკვეთილი იწვევს წარმოებულის ცნებას ზოგიერთი პრაქტიკული ამოცანის დახმარებით და მეც მივიღე საინტერესო მაგალითი. წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ უნდა ვიმოგზაუროთ ქალაქში, სადაც მისვლა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით. ჩვენ მყისიერად ვგდებთ მრუდე გრაგნილ ბილიკებს და განვიხილავთ მხოლოდ სწორ ხაზებს. თუმცა, სწორი მიმართულებები ასევე განსხვავებულია: შეგიძლიათ ქალაქში მოხვდეთ ბრტყელი ავტობანის გასწვრივ. ან მთიან გზატკეცილზე - მაღლა და ქვევით, მაღლა და ქვევით. სხვა გზა მხოლოდ აღმართზე მიდის, მეორე კი სულ დაღმართზე მიდის. მღელვარების მაძიებლები აირჩევენ გზას ხეობაში ციცაბო კლდეებით და ციცაბო აღმართით.

მაგრამ როგორიც არ უნდა იყოს თქვენი პრეფერენციები, სასურველია იცოდეთ ტერიტორია, ან თუნდაც გქონდეთ მისი ტოპოგრაფიული რუკა. რა მოხდება, თუ ასეთი ინფორმაცია არ არის? ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ, მაგალითად, ბრტყელი ბილიკი, მაგრამ შედეგად, წააწყდეთ სათხილამურო ტრასაზე მხიარული ფინელებით. არა ის ფაქტი, რომ ნავიგატორი და კიდევ

სატელიტური გამოსახულება საიმედო მონაცემებს მოგცემთ. აქედან გამომდინარე, კარგი იქნება გზის რელიეფის ფორმალიზება მათემატიკის საშუალებით.

განვიხილოთ რამდენიმე გზა (გვერდითი ხედი):

ყოველი შემთხვევისთვის შეგახსენებთ ელემენტარულ ფაქტს: მოგზაურობა მარცხნიდან მარჯვნივ ხდება. სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ფუნქცია უწყვეტია განხილულ მონაკვეთზე.

რა არის ამ გრაფიკის მახასიათებლები?

ინტერვალებით ფუნქცია იზრდება, ანუ მისი ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია. უხეშად რომ ვთქვათ, გრაფიკი მიდის ქვემოდან ზევით (გორაზე ავდივართ). ხოლო ინტერვალზე ფუნქცია მცირდება - ყოველი შემდეგი მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია და ჩვენი გრაფიკი მიდის ზემოდან ქვევით (ჩავდივართ ფერდობზე).

ასევე ყურადღება მივაქციოთ განსაკუთრებულ პუნქტებს. იმ წერტილში ჩვენ

ჩვენ მივაღწევთ მაქსიმუმს, ანუ არის გზის ისეთი მონაკვეთი, რომელზეც მნიშვნელობა იქნება ყველაზე დიდი (უმაღლესი). ამავე დროს, მიღწეულია მინიმუმი და არის ისეთი სამეზობლო, რომელშიც მნიშვნელობა არის ყველაზე პატარა (ყველაზე დაბალი).

გაკვეთილზე განიხილება უფრო მკაცრი ტერმინოლოგია და განმარტებები. ფუნქციის უკიდურესობის შესახებ, მაგრამ ახლა მოდით შევისწავლოთ კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: ინტერვალებზე ფუნქცია იზრდება, მაგრამ იზრდება სხვადასხვა სიჩქარით. და პირველი, რაც იპყრობს თქვენს თვალს, არის ის, რომ ინტერვალის გრაფიკი იზრდება ბევრად უფრო მაგარივიდრე ინტერვალზე. შესაძლებელია თუ არა გზის ციცაბოს გაზომვა მათემატიკური ხელსაწყოების გამოყენებით?

ფუნქციის შეცვლის სიჩქარე

იდეა ასეთია: მიიღეთ გარკვეული ღირებულება

(წაიკითხეთ "დელტა x") , რომელსაც ჩვენ დავარქმევთარგუმენტის ზრდა, და დავიწყოთ ჩვენი გზის სხვადასხვა წერტილების "ცდა":

1) გადავხედოთ ყველაზე მარცხენა წერტილს: მანძილის გვერდის ავლით, ფერდობზე ავდივართ სიმაღლეზე (მწვანე ხაზი). რაოდენობას ე.წ ფუნქციის გაზრდადა ამ შემთხვევაში ეს ზრდა დადებითია (ღერძის გასწვრივ მნიშვნელობების სხვაობა მეტია

ნული). მოდით გავაკეთოთ თანაფარდობა, რომელიც იქნება ჩვენი გზის ციცაბოობის საზომი. ცხადია, ეს ძალიან სპეციფიკური რიცხვია და რადგან ორივე მატება დადებითია, მაშინ.

ყურადღება! აღნიშვნა არის SINGLE სიმბოლო, ანუ თქვენ არ შეგიძლიათ "ამოშალოთ" "დელტა" "x"-დან და განიხილოთ ეს ასოები ცალკე. რა თქმა უნდა, კომენტარი ასევე ეხება ფუნქციის გაზრდის სიმბოლოს.

მოდით გამოვიკვლიოთ მიღებული წილადის ბუნება უფრო მნიშვნელოვანი. დაე იყოს

თავდაპირველად 20 მეტრის სიმაღლეზე ვართ (მარცხნივ შავ წერტილში). მეტრის მანძილის გადალახვით (მარცხენა წითელი ხაზი) ​​ვიქნებით 60 მეტრის სიმაღლეზე. მაშინ ფუნქციის ზრდა იქნება

მეტრი (მწვანე ხაზი) ​​და:. Ისე

ამრიგად, გზის ამ მონაკვეთის ყოველ მეტრზე სიმაღლე იზრდებასაშუალოდ 4 მეტრი ... დაგავიწყდათ სალაშქრო აღჭურვილობა? =) სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აგებული თანაფარდობა ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს (ამ შემთხვევაში ზრდის).

შენიშვნა: მოცემული მაგალითის რიცხვითი მნიშვნელობები შეესაბამება ნახატის პროპორციებს მხოლოდ დაახლოებით.

2) ახლა მოდით გავიაროთ იგივე მანძილი ყველაზე მარჯვენა შავი წერტილიდან. აქ აწევა უფრო ნაზია, ამიტომ ზრდა

(მაგენტას ხაზი) ​​შედარებით მცირეა და თანაფარდობა

წინა შემთხვევასთან შედარებით ძალიან მოკრძალებული იქნება. შედარებით რომ ვთქვათ, მეტრი და ფუნქციის ზრდის ტემპი

არის . ანუ აქ ბილიკის ყოველ მეტრზე საშუალოდ ნახევარი მეტრი აღმართია.

3) პატარა თავგადასავალი მთის ფერდობზე. მოდით შევხედოთ ზედა შავ წერტილს, რომელიც მდებარეობს y-ღერძზე. დავუშვათ, რომ ეს არის 50 მეტრიანი ნიშანი. ისევ დავძლიეთ მანძილი, რის შედეგადაც უფრო დაბლა აღმოვჩნდებით - 30 მეტრის დონეზე. ვინაიდან მოძრაობა განხორციელდა ზემოდან ქვემოდან (ღერძის „საპირისპირო“ მიმართულებით), საბოლოო ფუნქციის (სიმაღლის) ზრდა უარყოფითი იქნება:მეტრი (ყავისფერი ხაზი ნახაზში). და ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ სიჩქარეზე

დაღმავალი ფუნქცია: , ანუ ბილიკის თითოეულ მეტრზე

ამ ტერიტორიაზე სიმაღლე საშუალოდ 2 მეტრით იკლებს. იზრუნეთ ტანსაცმელზე მეხუთე პუნქტზე.

ახლა დავსვათ კითხვა: რა არის "საზომი სტანდარტის" საუკეთესო მნიშვნელობა გამოსაყენებლად? გასაგებია, რომ 10 მეტრი ძალიან უხეშია. კარგი ათეული მუწუკები ადვილად ეტევა მათზე. რატომ არის მუწუკები, შეიძლება ქვემოთ იყოს ღრმა ხეობა და რამდენიმე მეტრის შემდეგ - მისი მეორე მხარე შემდგომი ციცაბო აღმართით. ამრიგად, ათი მეტრიანით ჩვენ ვერ მივიღებთ გზის გავლის ასეთი მონაკვეთების გასაგებ დახასიათებას.

ურთიერთობები .

ზემოაღნიშნული განხილვიდან გამომდინარეობს შემდეგი დასკვნა: რაც უფრო მცირეა მნიშვნელობა, მით უფრო ზუსტად აღვწერთ გზის რელიეფს. უფრო მეტიც, სამართლიანი

ცხრილი 2

ცხრილი 1

ცვლადის ლიმიტის კონცეფცია. ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული ცხრილი. დიფერენციაციის წესები

ფუნქციების დაყენების გზები. ელემენტარული ფუნქციების სახეები

ფუნქციის დაზუსტება ნიშნავს წესის ან კანონის მითითებას, რომლის მიხედვითაც არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობა Xგანისაზღვრება ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობა ზე.

განიხილეთ ფუნქციის განსაზღვრის გზები .

1. ანალიტიკური მეთოდი - ფუნქციის დაყენება ფორმულების გამოყენებით. მაგალითად, ტაბლეტებიდან სამკურნალო ნივთიერებების დაშლა ხსნარების მომზადებისას ემორჩილება განტოლებას m \u003d m 0 e - kt, სად m0და მ-შესაბამისად, საწყისი და დარჩენილი დაშლის მომენტისთვის ტპრეპარატის რაოდენობა ტაბლეტში, კ-გარკვეული მუდმივი დადებითი მნიშვნელობა.

2. გრაფიკული გზა - ეს არის ფუნქციის დავალება გრაფიკის სახით. მაგალითად, ელექტროკარდიოგრაფის გამოყენებით ქაღალდზე ან კომპიუტერის მონიტორის ეკრანზე, აღირიცხება ბიოპოტენციური სხვაობის მნიშვნელობა, რომელიც ხდება გულის მუშაობის დროს. Uდროის ფუნქციად ტ: U = f(t).

3. ცხრილის გზა არის ფუნქციის მინიჭება ცხრილის გამოყენებით. ფუნქციის დაყენების ეს გზა გამოიყენება ექსპერიმენტებსა და დაკვირვებებში. მაგალითად, პაციენტის სხეულის ტემპერატურის გარკვეული ინტერვალებით გაზომვით, შესაძლებელია სხეულის ტემპერატურის მნიშვნელობების ცხრილის შედგენა. თდროის ფუნქციად ტ. ტაბულური მონაცემების საფუძველზე, ზოგჯერ შესაძლებელია არგუმენტსა და ფუნქციას შორის შესაბამისობის მიახლოება ფორმულით. ასეთ ფორმულებს ემპირიულს უწოდებენ, ე.ი. გამოცდილებიდან მიღებული.

მათემატიკაში განასხვავებენ ელემენტარული და კომპლექსი ფუნქციები. აქ მოცემულია ელემენტარული ფუნქციების ძირითადი ტიპები:

1. დენის ფუნქცია – y = f(x) = x n, სად X- არგუმენტი ნ- ნებისმიერი რეალური რიცხვი ( 1, 2, - 2, და ა.შ.).

2. ექსპონენციალური ფუნქცია – y = f(x) = a x, სად აარის მუდმივი დადებითი რიცხვი ერთის გარდა ( a > 0, a ≠ 0), Მაგალითად:

y=10x(a=10);

y = e x; y \u003d e -x (a \u003d e ≈ 2.718 ...)

ჩვენ გამოვყოფთ ბოლო ორ ფუნქციას, მათ ე.წ ექსპონენციალური ფუნქციებიან გამოფენებიდა აღწერს სხვადასხვა ფიზიკურ, ბიოფიზიკურ, ქიმიურ და სოციალურ პროცესებს. და y = e x -მზარდი მაჩვენებელი, y=e-xარის კლებადი მაჩვენებელი.

3.ლოგარითმული ფუნქციანებისმიერი მიზეზით ა: y = ჟურნალი x, სად y არის სიმძლავრე, რომელზეც უნდა გაიზარდოს a ფუნქციის საფუძველი მოცემული x რიცხვის მისაღებად, ანუ a y \u003d x.

თუ ბაზა a = 10, მაშინ წდაურეკა x-ის ათობითი ლოგარითმიდა აღნიშნა y = ჟურნალი x; თუ a=e, მაშინ წდაურეკა x-ის ბუნებრივი ლოგარითმიდა აღნიშნა y \u003d 1n x.

გავიხსენოთ ზოგიერთი ლოგარითმის წესები :

მიეცით ორი რიცხვი ადა ბ, შემდეგ:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

არაფერი შეიცვლება პერსონაჟის შეცვლისას ლგზე ლნ.

ასევე სასარგებლოა ამის გახსენება lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: y=sinx, y=cosx, y=tgxდა ა.შ.

აქ მოცემულია რამდენიმე ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკები (იხ. სურ. 1):

ცვლადი მნიშვნელობა შეიძლება შეიცვალოს ისე, რომ გაზრდის ან შემცირების პროცესში იგი მიუახლოვდეს გარკვეულ სასრულ მუდმივ მნიშვნელობას, რაც მისი ლიმიტია.

ა-პრიორიტეტი x ცვლადის ზღვარი არის მუდმივი მნიშვნელობა A, რომელსაც ცვლადი x უახლოვდება მისი ცვლილების პროცესში ისე, რომ x-სა და A-ს შორის სხვაობის მოდული, ე.ი. | x - A |, მიდრეკილია ნულისკენ.

შეზღუდვის აღნიშვნა: x → აან lim x = A(აქ → არის ლიმიტის გადასვლის ნიშანი, lim ლათინურიდან შეზღუდული, რუსულად თარგმნილი - ლიმიტი). განვიხილოთ ელემენტარული მაგალითი:

x: 0.9; 0,99; 0.999; 0.9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), რადგან

| x - A |: 0.1; 0,01; 0,001; 0.0001…→ 0.

მოდით გავაცნოთ ცნებები არგუმენტის ზრდა და ფუნქციის ზრდა.

თუ ცვლადი Xცვლის მის მნიშვნელობას x 1ადრე x 2, მაშინ განსხვავება x 2 - x 1 \u003d Δxარგუმენტის ნამატს უწოდებენ და Δx(წაიკითხეთ დელტა X) არის ერთი ზრდის სიმბოლო. შესაბამისი ფუნქციის ცვლილება y 2 - y 1 \u003d Δyფუნქციის ზრდა ეწოდება. ვაჩვენოთ ის ფუნქციის გრაფიკზე y = f(x)(ნახ. 2). გეომეტრიულად, არგუმენტის ზრდა წარმოდგენილია მრუდის წერტილის აბსცისის ნაზრდით, ხოლო ფუნქციის ზრდა არის ამ წერტილის ორდინატის ზრდა.

მოცემული ფუნქციის წარმოებული y \u003d f (x) x არგუმენტთან მიმართებაში არის Δy ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი Δx არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის (Δx → 0. ).

ფუნქციის წარმოებული აღინიშნება (წაიკითხეთ " ზეინსულტი") ან , ან dy/dx(წაიკითხეთ "დე წდე x"). ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული y = f(x)უდრის:

(4)

ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესი y = f(x)არგუმენტით Xშეიცავს ამ მნიშვნელობის განმარტებას: თქვენ უნდა მიუთითოთ არგუმენტის ზრდა Δхიპოვნეთ ფუნქციის ზრდა Δy, შეადგინეთ თანაფარდობა და იპოვეთ ამ თანაფარდობის ზღვარი როცა Δх→ 0.

წარმოებულის პოვნის პროცესს ფუნქციის დიფერენციაცია ეწოდება. ეს არის უმაღლესი მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც ეწოდება "დიფერენციალური კალკულუსი".

ზემოთ მოყვანილი წესით მიღებული ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი მოცემულია ქვემოთ.

No p/p	ფუნქციების ტიპები	ფუნქციის წარმოებული
	მუდმივი y=c	y" = 0
	სიმძლავრის ფუნქცია y = x n (n შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი, მთელი რიცხვი, წილადი)	y" = nx n-1
	ექსპონენციალური ფუნქცია y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d კონსტ)	y" = x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	ლოგარითმული ფუნქცია y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = ჟურნალი x	y" = y" =
	ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: y = ცოდვა x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - ცოდვა x y" = y" =

თუ გამონათქვამი, რომლის წარმოებული უნდა მოიძებნოს, არის რამდენიმე ფუნქციის ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი ან კოეფიციენტი, მაგალითად, შენ,ვ , ზ, შემდეგ გამოიყენება დიფერენცირების შემდეგი წესები (ცხრილი 2).

აქ მოცემულია წარმოებულების გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი ცხრილების 1 და 2 გამოყენებით.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობაარის ის, რომ ის განსაზღვრავს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს (სიჩქარეს).

განვიხილოთ მართკუთხა მოძრაობის მაგალითი. სხეულის სიჩქარე უდრის გზის თანაფარდობას ∆Sგავიდა სხეულთან დროის განმავლობაში Δt, ამ დროის ინტერვალამდე v = . თუ მოძრაობა არათანაბარია, მაშინ თანაფარდობა არის საშუალო სიჩქარე გზის ამ მონაკვეთზე და სიჩქარე, რომელიც შეესაბამება დროის თითოეულ მოცემულ მომენტს ე.წ. მყისიერი სიჩქარედა განისაზღვრება, როგორც თანაფარდობის ზღვარი at Δt→0, ე.ი.

მიღებული შედეგის შეჯამებით შეიძლება ითქვას, რომ ფუნქციის წარმოებული f(x)დროით ტარის ფუნქციის ცვლილების მყისიერი სიჩქარე. მყისიერი სიჩქარის კონცეფცია ეხება არა მხოლოდ მექანიკურ მოძრაობებს, არამედ ნებისმიერ პროცესს, რომელიც ვითარდება დროში. შეგიძლიათ იპოვოთ კუნთის შეკუმშვის ან მოდუნების სიჩქარე, ხსნარის კრისტალიზაციის სიჩქარე, შევსების მასალის გამკვრივების სიჩქარე, ეპიდემიური დაავადების გავრცელების სიჩქარე და ა.შ.

ყველა ამ პროცესში მყისიერი აჩქარების მნიშვნელობა უდრის სიჩქარის ფუნქციის დროის წარმოებულს:

. (5)

მექანიკაში, გზის მეორე წარმოებული დროის მიმართ.

წარმოებულის ცნება, როგორც ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის დამახასიათებელი სიდიდე, გამოიყენება სხვადასხვა დამოკიდებულებებისთვის. მაგალითად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რამდენად სწრაფად იცვლება ტემპერატურა ლითონის ღეროზე, თუ მისი ერთ-ერთი ბოლო გაცხელებულია. ამ შემთხვევაში ტემპერატურა კოორდინატის ფუნქციაა x, ე.ი. T = f(x)და ახასიათებს ტემპერატურის ცვლილების სიჩქარეს სივრცეში.

ზოგიერთი f(x) ფუნქციის წარმოებული x კოორდინატთან მიმართებაში ეწოდება გრადიენტიამ ფუნქციას(აბრევიატურა grad ლათ. გრადიენტი ხშირად გამოიყენება). სხვადასხვა ცვლადის გრადიენტები არის ვექტორული სიდიდეები, ყოველთვის მიმართული ცვლადების მნიშვნელობის გაზრდის მიმართულებით .

გაითვალისწინეთ, რომ მრავალი რაოდენობის გრადიენტი ბიოლოგიურ სისტემებში მიმდინარე მეტაბოლური პროცესების ერთ-ერთი ძირითადი მიზეზია. ეს არის, მაგალითად, კონცენტრაციის გრადიენტი, ელექტროქიმიური პოტენციალის გრადიენტი (μ არის ბერძნული ასო "mu"), ელექტრული პოტენციალის გრადიენტი.

პატარაზე Δxშეიძლება დაიწეროს:

. (6)

იდეა ასეთია: მიიღეთ გარკვეული ღირებულება (წაიკითხეთ "დელტა x") , რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ არგუმენტის ზრდა, და დავიწყოთ ჩვენი გზის სხვადასხვა წერტილების "ცდა":

1) გადავხედოთ ყველაზე მარცხენა წერტილს: მანძილის გვერდის ავლით, ფერდობზე ავდივართ სიმაღლეზე (მწვანე ხაზი). მნიშვნელობა ეწოდება ფუნქციის გაზრდადა ამ შემთხვევაში ეს ზრდა დადებითია (ღერძის გასწვრივ მნიშვნელობების სხვაობა ნულზე მეტია). მოდით გავაკეთოთ თანაფარდობა, რომელიც იქნება ჩვენი გზის ციცაბოობის საზომი. ცხადია, ეს არის ძალიან კონკრეტული რიცხვი და რადგან ორივე ნამატი დადებითია, მაშინ .

ყურადღება! Დანიშნულება არიანერთისიმბოლო, ანუ თქვენ არ შეგიძლიათ "ამოშალოთ" "დელტა" "x"-დან და განიხილოთ ეს ასოები ცალკე. რა თქმა უნდა, კომენტარი ასევე ეხება ფუნქციის გაზრდის სიმბოლოს.

მოდით გამოვიკვლიოთ მიღებული წილადის ბუნება უფრო მნიშვნელოვანი. დავუშვათ, თავდაპირველად 20 მეტრის სიმაღლეზე ვართ (მარცხნივ შავ წერტილში). მეტრის მანძილის გადალახვით (მარცხენა წითელი ხაზი) ​​ვიქნებით 60 მეტრის სიმაღლეზე. მაშინ ფუნქციის ზრდა იქნება მეტრი (მწვანე ხაზი) ​​და: . ამრიგად, ყოველ მეტრზეგზის ამ მონაკვეთზე სიმაღლე იზრდებასაშუალო 4 მეტრით… დაგავიწყდათ ცოცვის აღჭურვილობა? =) სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აგებული თანაფარდობა ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს (ამ შემთხვევაში ზრდის).

შენიშვნა : მოცემული მაგალითის რიცხვითი მნიშვნელობები შეესაბამება ნახატის პროპორციებს მხოლოდ დაახლოებით.

2) ახლა მოდით გავიაროთ იგივე მანძილი ყველაზე მარჯვენა შავი წერტილიდან. აქ აწევა უფრო ნაზია, ამიტომ ნამატი (ჟოლოსფერი ხაზი) ​​შედარებით მცირეა და თანაფარდობა წინა შემთხვევასთან შედარებით საკმაოდ მოკრძალებული იქნება. შედარებით რომ ვთქვათ, მეტრი და ფუნქციის ზრდის ტემპიარის . ანუ აქ არის გზის ყოველ მეტრზე საშუალონახევარი მეტრის ზემოთ.

3) პატარა თავგადასავალი მთის ფერდობზე. მოდით შევხედოთ ზედა შავ წერტილს, რომელიც მდებარეობს y-ღერძზე. დავუშვათ, რომ ეს არის 50 მეტრიანი ნიშანი. ისევ დავძლიეთ მანძილი, რის შედეგადაც უფრო დაბლა აღმოვჩნდებით - 30 მეტრის დონეზე. მას შემდეგ, რაც მოძრაობა გაკეთდა ზემოდან ქვემოთ(ღერძის „საპირისპირო“ მიმართულებით), შემდეგ ფინალი ფუნქციის (სიმაღლის) ზრდა უარყოფითი იქნება: მეტრი (ყავისფერი ხაზი ნახაზში). და ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ დაშლის მაჩვენებელიმახასიათებლები: , ანუ ამ მონაკვეთის ბილიკის ყოველ მეტრზე სიმაღლე მცირდება საშუალო 2 მეტრით. იზრუნეთ ტანსაცმელზე მეხუთე პუნქტზე.

ახლა დავსვათ კითხვა: რა არის "საზომი სტანდარტის" საუკეთესო მნიშვნელობა გამოსაყენებლად? გასაგებია, რომ 10 მეტრი ძალიან უხეშია. კარგი ათეული მუწუკები ადვილად ეტევა მათზე. რატომ არის მუწუკები, შეიძლება ქვემოთ იყოს ღრმა ხეობა და რამდენიმე მეტრის შემდეგ - მისი მეორე მხარე შემდგომი ციცაბო აღმართით. ამრიგად, ათი მეტრიანით ჩვენ ვერ მივიღებთ გზის ასეთი მონაკვეთების გასაგებ მახასიათებელს თანაფარდობით.

ზემოაღნიშნული განხილვიდან გამომდინარეობს შემდეგი დასკვნა: რაც უფრო მცირეა მნიშვნელობა, მით უფრო ზუსტად აღვწერთ გზის რელიეფს. უფრო მეტიც, შემდეგი ფაქტები მართალია:

– ნებისმიერისთვისამწევი წერტილები თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მნიშვნელობა (თუმცა ძალიან მცირე), რომელიც ჯდება ამა თუ იმ აწევის საზღვრებში. და ეს ნიშნავს, რომ შესაბამისი სიმაღლის ზრდა გარანტირებული იქნება დადებითი და უთანასწორობა სწორად მიუთითებს ფუნქციის ზრდაზე ამ ინტერვალების თითოეულ წერტილში.

- ასევე, ნებისმიერისთვისდახრილობის წერტილი, არის მნიშვნელობა, რომელიც მთლიანად მოერგება ამ ფერდობზე. შესაბამისად, სიმაღლის შესაბამისი ზრდა ცალსახად უარყოფითია და უტოლობა სწორად აჩვენებს ფუნქციის შემცირებას მოცემული ინტერვალის თითოეულ წერტილში.

– განსაკუთრებით საინტერესოა შემთხვევა, როდესაც ფუნქციის ცვლილების მაჩვენებელი ნულის ტოლია: . პირველი, ნულოვანი სიმაღლის ზრდა () არის თანაბარი ბილიკის ნიშანი. და მეორეც, არის სხვა კურიოზული სიტუაციები, რომელთა მაგალითებს ხედავთ ფიგურაში. წარმოიდგინეთ, რომ ბედმა მიგვიყვანა გორაკის მწვერვალზე მფრინავი არწივებით ან ხევის ფსკერზე ყიყინიან ბაყაყებით. თუ რაიმე მიმართულებით გადადგამთ პატარა ნაბიჯს, მაშინ სიმაღლის ცვლილება უმნიშვნელო იქნება და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე რეალურად ნულის ტოლია. იგივე ნიმუში შეინიშნება წერტილებზე.

ამრიგად, ჩვენ მივუახლოვდით საოცარ შესაძლებლობას, რომ სრულყოფილად ზუსტად დავახასიათოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. ბოლოს და ბოლოს, მათემატიკური ანალიზი საშუალებას გვაძლევს მივმართოთ არგუმენტის მატება ნულზე: ანუ გავაკეთოთ ის. უსასრულოდ მცირე.

შედეგად, ჩნდება კიდევ ერთი ლოგიკური კითხვა: შესაძლებელია თუ არა გზის და მისი განრიგის პოვნა სხვა ფუნქცია, რომელიც გვეუბნებოდაყველა ბინაზე, აღმართზე, დაღმართზე, მწვერვალზე, დაბლობზე, ასევე ბილიკის თითოეულ წერტილში მატების/კლების ტემპის შესახებ?

რა არის წარმოებული? წარმოებულის განმარტება.
წარმოებულის და დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა

გთხოვთ, გააზრებულად და არც ისე სწრაფად წაიკითხოთ - მასალა მარტივი და ყველასთვის ხელმისაწვდომია! არა უშავს, თუ ზოგან რაღაც არც ისე ნათელია, ყოველთვის შეგიძლიათ მოგვიანებით დაუბრუნდეთ სტატიას. მეტსაც ვიტყვი, სასარგებლოა თეორიის რამდენჯერმე შესწავლა ყველა პუნქტის ხარისხობრივად გასაგებად (რჩევები განსაკუთრებით აქტუალურია „ტექნიკური“ სტუდენტებისთვის, რომლებისთვისაც უმაღლესი მათემატიკა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სასწავლო პროცესში).

ზღაპრების მაგალითზე ფუნქციის უწყვეტობა, თემის „პოპულარიზაცია“ იწყება ფენომენის ერთ წერტილში შესწავლით და მხოლოდ ამის შემდეგ ვრცელდება რიცხვითი ინტერვალებით.

1.1 ფიზიკის ზოგიერთი პრობლემა 3

2. წარმოებული

2.1 ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე 6

2.2 წარმოებული ფუნქცია 7

2.3 სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული 8

2.4 წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა 10

2.5 ფუნქციების დიფერენციაცია

2.5.1 არითმეტიკული მოქმედებების შედეგების დიფერენცირება 12

2.5.2 რთული და შებრუნებული ფუნქციების დიფერენციაცია 13

2.6 პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციების წარმოებულები 15

3. დიფერენციალური

3.1 დიფერენციალი და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა 18

3.2 დიფერენციალური თვისებები 21

4. დასკვნა

4.1 დანართი 1. 26

4.2 დანართი 2. 29

5. გამოყენებული ლიტერატურის სია 32

1. შესავალი

1.1 ფიზიკის ზოგიერთი პრობლემა.განვიხილოთ მარტივი ფიზიკური მოვლენები: სწორხაზოვანი მოძრაობა და წრფივი მასის განაწილება. მათ შესასწავლად შემოყვანილია მოძრაობის სიჩქარე და სიმკვრივე.

მოდით გავაანალიზოთ ისეთი ფენომენი, როგორიცაა მოძრაობის სიჩქარე და მასთან დაკავშირებული ცნებები.

მიეცით სხეულს სწორი ხაზით მოძრაობა და ჩვენ ვიცით მანძილი , გაივლის სხეულს ყოველ მოცემულ დროს , ანუ ჩვენ ვიცით მანძილი დროის ფუნქციით:

განტოლება
დაურეკა მოძრაობის განტოლებადა ხაზი მას განსაზღვრავს ღერძულ სისტემაში
- მოძრაობის განრიგი.

განვიხილოთ სხეულის მოძრაობა დროის ინტერვალის განმავლობაში
რაღაც მომენტიდან მომენტამდე
. დროთა განმავლობაში სხეულმა გაიარა გზა, დროთა განმავლობაში კი გზა
. ასე რომ, დროის ერთეულებში მან გაიარა მანძილი

.

თუ მოძრაობა ერთგვაროვანია, მაშინ არის ხაზოვანი ფუნქცია:

Ამ შემთხვევაში
და ურთიერთობა
გვიჩვენებს გზის რამდენი ერთეულია დროის ერთეულზე; ამავე დროს, ის რჩება მუდმივი, მიუხედავად დროის რომელი მომენტისა აღებულია და არა დროის რა მონაკვეთზეა აღებული . ეს მუდმივი დამოკიდებულებაა დაურეკა ერთიანი სიჩქარე.

მაგრამ თუ მოძრაობა არათანაბარია, მაშინ თანაფარდობა დამოკიდებულია

დან , და დან. მას უწოდებენ მოძრაობის საშუალო სიჩქარეს დროის ინტერვალში და აღნიშნავენ :

დროის ამ ინტერვალის განმავლობაში, იგივე გავლილი მანძილით, მოძრაობა შეიძლება მოხდეს ყველაზე მრავალფეროვანი გზით; გრაფიკულად, ეს ილუსტრირებულია იმით, რომ თვითმფრინავის ორ წერტილს შორის (ქულები
ნახ. 1) შეგიძლიათ დახაზოთ სხვადასხვა ხაზები
- მოძრაობების გრაფიკები მოცემულ დროის ინტერვალში და ყველა ეს სხვადასხვა მოძრაობა შეესაბამება იმავე საშუალო სიჩქარეს.

კერძოდ, წერტილებს შორის გადის სწორ ხაზზე
, რომელიც არის უნიფორმის გრაფიკი ინტერვალში
მოძრაობა. ასე რომ, საშუალო სიჩქარე გვიჩვენებს, თუ რამდენად სწრაფად გჭირდებათ ერთნაირად მოძრაობა, რათა გაიაროთ ერთი და იგივე დროის ინტერვალი იგივე მანძილი
.

იგივეს ტოვებს , შევამციროთ. საშუალო სიჩქარე გამოითვლება შეცვლილი ინტერვალისთვის
, მოცემული ინტერვალის შიგნით დაწოლა, რა თქმა უნდა, შეიძლება იყოს განსხვავებული, ვიდრე in; მთელი ინტერვალით . აქედან გამომდინარეობს, რომ საშუალო სიჩქარე არ შეიძლება ჩაითვალოს მოძრაობის დამაკმაყოფილებელ მახასიათებლად: ის (საშუალო სიჩქარე) დამოკიდებულია იმ ინტერვალზე, რომლისთვისაც ხდება გაანგარიშება. იმის საფუძველზე, რომ საშუალო სიჩქარე ინტერვალში უნდა ჩაითვალოს, რაც უფრო კარგად ახასიათებს მოძრაობას, მით ნაკლები , მოდით, ნულამდე მივიდეთ. თუ ამავდროულად არის შეზღუდვა საშუალო სიჩქარეზე, მაშინ იგი აღებულია როგორც მოძრაობის სიჩქარე მომენტში .

განმარტება. სიჩქარე სწორხაზოვან მოძრაობას დროის მოცემულ მომენტში უწოდებენ საშუალო სიჩქარის ზღვარს, რომელიც შეესაბამება ნულს:

მაგალითი.მოდით დავწეროთ თავისუფალი ვარდნის კანონი:

.

დროის ინტერვალში დაცემის საშუალო სიჩქარისთვის გვაქვს

და იმ მომენტში სიჩქარისთვის

.

ეს აჩვენებს, რომ თავისუფალი ვარდნის სიჩქარე პროპორციულია მოძრაობის (დაცემის) დროისა.

2. წარმოებული

ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. წარმოებული ფუნქცია. სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული.

2.1 ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე.ოთხივე სპეციალური კონცეფციიდან თითოეული: მოძრაობის სიჩქარე, სიმკვრივე, სითბოს სიმძლავრე,

ქიმიური რეაქციის სიჩქარე, მიუხედავად მათი ფიზიკური მნიშვნელობის მნიშვნელოვანი განსხვავებისა, მათემატიკური თვალსაზრისით, როგორც ადვილი შესამჩნევია, იგივეა. შესაბამისი ფუნქციის დამახასიათებელი. ყველა მათგანი არის ეგრეთ წოდებული ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის კონკრეტული ტიპები, განსაზღვრული, ასევე ჩამოთვლილი სპეციალური ცნებები, ლიმიტის ცნების დახმარებით.

მაშასადამე, მოდით, ზოგადად გავაანალიზოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის საკითხი
, ცვლადების ფიზიკური მნიშვნელობიდან აბსტრაცია
.

ჯერ მოდით
- ხაზოვანი ფუნქცია:

.

თუ დამოუკიდებელი ცვლადი იღებს ზრდას
, შემდეგ ფუნქცია აქ იღებს ზრდას
. დამოკიდებულება
რჩება მუდმივი, დამოუკიდებლად რომელი ფუნქცია განიხილება და არც რომელი არის აღებული .

ამ ურთიერთობას ე.წ ცვლილების ტემპიხაზოვანი ფუნქცია. მაგრამ თუ ფუნქცია არ არის წრფივი, მაშინ მიმართება

ასევე დამოკიდებულია , და დან. ეს თანაფარდობა მხოლოდ "საშუალოდ" ახასიათებს ფუნქციას, როდესაც დამოუკიდებელი ცვლადი იცვლება მოცემულიდან
; ის უდრის ისეთი წრფივი ფუნქციის სიჩქარეს, რომელიც მოცემული აქვს იგივე ზრდა
.

განმარტება.დამოკიდებულება დაურეკასაშუალო სიჩქარე ფუნქცია იცვლება ინტერვალში
.

გასაგებია, რომ რაც უფრო მცირეა განხილული ინტერვალი, მით უკეთესი საშუალო სიჩქარე ახასიათებს ფუნქციის ცვლილებას, ამიტომ ვაიძულებთ ტენდენცია ნულისკენ. თუ ამავდროულად არის შეზღუდვა საშუალო სიჩქარეზე, მაშინ იგი აღებულია, როგორც საზომი, მოცემული ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. , და ეწოდება ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე.

განმარტება. ფუნქციის შეცვლის სიჩქარე inმოცემული წერტილი ეწოდება ინტერვალში ფუნქციის ცვლილების საშუალო სიჩქარის ზღვარი ნულზე გადასვლისას:

2.2 წარმოებული ფუნქცია.ფუნქციის შეცვლის სიჩქარე

განისაზღვრება მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობით:

1) მატებით , ენიჭება ამ მნიშვნელობას , იპოვნეთ ფუნქციის შესაბამისი ზრდა

;

2) შედგენილია მიმართება;

3) იპოვეთ ამ თანაფარდობის ზღვარი (თუ ის არსებობს)

თვითნებური ტენდენციით ნულისკენ.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თუ ეს ფუნქცია არა ხაზოვანი

შემდეგ ურთიერთობა ასევე დამოკიდებულია , და დან . ამ თანაფარდობის ზღვარი დამოკიდებულია მხოლოდ არჩეულ მნიშვნელობაზე. და ამიტომ არის ფუნქცია . თუ ფუნქცია წრფივი, მაშინ განხილული ზღვარი არ არის დამოკიდებული ზე, ანუ იქნება მუდმივი მნიშვნელობა.

ამ ზღვარს ე.წ ფუნქციის წარმოებული ან უბრალოდ ფუნქციის წარმოებული და აღინიშნება ასე:
.წაიკითხეთ: „ეფ ინსულტიდან » ან „ef prim from“.

განმარტება. წარმოებული ამ ფუნქცის ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი დამოუკიდებელი ცვლადის ზრდასთან თვითნებური მისწრაფებით, ეს ნამატი ნულამდე:

.

ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა ნებისმიერ მოცემულ წერტილში ჩვეულებრივ აღინიშნება
.

წარმოებულის დანერგილი განმარტების გამოყენებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

1) მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარე არის წარმოებული

ფუნქციები on (გზის წარმოებული დროის მიმართ).

2.3 სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული.

მოდით ვიპოვოთ რამდენიმე მარტივი ფუნქციის წარმოებულები.

დაე იყოს
. Ჩვენ გვაქვს

,

ანუ წარმოებული
არის მუდმივი მნიშვნელობა 1-ის ტოლი. ეს აშკარაა, რადგან - წრფივი ფუნქცია და ცვლილების სიჩქარე მუდმივია.

Თუ
, მაშინ

დაე იყოს
, მაშინ

ძალის ფუნქციის წარმოებულების გამონათქვამებში მარტივია ნიმუშის შემჩნევა
ზე
. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ზოგადად, ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის წარმოებული უდრის
.

.

მრიცხველში გამოსახულება გარდაიქმნება ნიუტონის ორობითი ფორმულით :

ბოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს არის ტერმინების ჯამი, რომელთაგან პირველი არ არის დამოკიდებული , ხოლო დანარჩენი ნულისკენ მიდრეკილია . Ისე

.

ასე რომ, პოზიტიური მთელი რიცხვის მქონე ძალაუფლების ფუნქციას აქვს წარმოებული ტოლი:

.

ზე
ზემოთ მიღებული ფორმულები გამომდინარეობს ნაპოვნი ზოგადი ფორმულისგან.

ეს შედეგი მართალია ნებისმიერი ინდიკატორისთვის, მაგალითად:

.

ახლა ცალკე განვიხილოთ მუდმივის წარმოებული

.

ვინაიდან ეს ფუნქცია არ იცვლება დამოუკიდებელი ცვლადის ცვლილებით, მაშინ
. აქედან გამომდინარე,

,

ტ.ე. მუდმივის წარმოებული არის ნული.

2.4 წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ფუნქციის წარმოებული აქვს ძალიან მარტივი და მკაფიო გეომეტრიული მნიშვნელობა, რომელიც მჭიდრო კავშირშია ხაზთან ტანგენტის კონცეფციასთან.

განმარტება. ტანგენტი
ხაზამდე
მის წერტილში
(ნახ. 2). წერტილის გამავალი წრფის ზღვრულ პოზიციას უწოდებენ, და კიდევ ერთი წერტილი
ხაზები, როდესაც ეს წერტილი მიდრეკილია მოცემულ წერტილთან შერწყმისკენ.

.სახელმძღვანელო

არის საშუალო სიჩქარეცვლილებებიფუნქციებისწორი ხაზის მიმართულებით. 1 ეწოდება წარმოებულს ფუნქციებიმიმართულებით და მითითებულია. ასე რომ - (1) - სიჩქარეცვლილებებიფუნქციებიწერტილში...

ფუნქციის ლიმიტი და უწყვეტობა

Სწავლა

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა. წარმოებული ახასიათებს სიჩქარეცვლილებებიერთი ფიზიკური რაოდენობა შედარებით .... რა მნიშვნელობა აქვს არგუმენტს სიჩქარეცვლილებებიფუნქციებიდა გადაწყვეტილება. , და, და. წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის გამოყენება...

ერთი ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია და ფუნქციების დაზუსტების მეთოდები

დოკუმენტი

დიფერენციალური გამოთვლების დამახასიათებელი კონცეფცია სიჩქარეცვლილებებიფუნქციები; პ არის ფუნქცია, განისაზღვრება თითოეული x ... უწყვეტი წარმოებული (დიფერენციალური გამოთვლების დამახასიათებელი სიჩქარეცვლილებებიფუნქციებიამ ეტაპზე). მერე და...

§ 5 რთული ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები რთული ფუნქციების დიფერენციაციები 1 რთული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები

დოკუმენტი

ის არსებობს და სასრულია) იქნება სიჩქარეცვლილებებიფუნქციებივექტორის მიმართულებით წერტილში. მისი ... და აღნიშნავენ ან. სიდიდის გარდა სიჩქარეცვლილებებიფუნქციები, საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ბუნება ცვლილებებიფუნქციებივექტორის მიმართულებით წერტილში...