მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები უდიდეს სირთულეებს უმკლავდებიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, ფორმულების გამოყენებით კოტანგენტების პოვნის უნარი, გამოთვლების გამარტივება და გამოთვლებში რიცხვის pi გამოყენება. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკური მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოტანის უნარს.
ტრიგონომეტრიის წარმოშობა
ამ მეცნიერების გაცნობა უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განსაზღვრით, მაგრამ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.
ისტორიულად, მართკუთხა სამკუთხედები იყო მათემატიკური მეცნიერების ამ განყოფილების შესწავლის მთავარი ობიექტი. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას იძლევა განისაზღვროს განხილული ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობები ორი მხარის და ერთი კუთხის ან ორი კუთხის და ერთი მხარის გამოყენებით. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.
პირველი ეტაპი
თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეების და გვერდების ურთიერთობაზე ექსკლუზიურად მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითზე. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკის ამ მონაკვეთის ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოყენების საზღვრების გაფართოება.
ტრიგონომეტრიის შესწავლა დღეს სკოლაში იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მიღებულ ცოდნას იყენებენ მოსწავლეები ფიზიკაში და აბსტრაქტული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში, რომელთანაც მუშაობა იწყება საშუალო სკოლაში.
სფერული ტრიგონომეტრია
მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ საფეხურს, ფორმულები სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის გამოყენებით დაიწყეს სფერულ გეომეტრიაში, სადაც მოქმედებს სხვადასხვა წესები და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ზედაპირის მარკირება იქნება "რკალის ფორმის" სამგანზომილებიანი სივრცე.
აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი დედამიწის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ ის დაჭიმული იყოს. მიაქციეთ ყურადღება - მან რკალის ფორმა შეიძინა. სწორედ ასეთ ფორმებს ეხება სფერული გეომეტრია, რომელიც გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.
მართკუთხა სამკუთხედი
ცოტა რამ რომ ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა გავიგოთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.
პირველი ნაბიჯი არის მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებების გაგება. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.
მაგალითად, თუ ორი გვერდი 3 და 4 სანტიმეტრია შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.
დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.
განმარტება
და ბოლოს, გეომეტრიული ფუძის მყარი გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებას.
კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ე.ი. სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ? რადგან ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად ყველაზე გრძელია, რაც არ უნდა გრძელი იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის იქნება ერთზე ნაკლები. ამრიგად, თუ ამოცანის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.
და ბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. იგივე შედეგი იქნება სინუსის გაყოფა კოსინუსზე. შეხედე: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, რის შემდეგაც ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე თანაფარდობას, როგორც ტანგენტის განმარტებაში.
კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთეულის ტანგენსზე გაყოფით.
ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ განმარტებები იმის შესახებ, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გაუმკლავდეთ ფორმულებს.
უმარტივესი ფორმულები
ტრიგონომეტრიაში არ შეიძლება ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? და ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.
პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლის დაწყებისას ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ გსურთ იცოდეთ კუთხის მნიშვნელობა და არა გვერდი.
ბევრ მოსწავლეს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, რომელიც ასევე ძალიან პოპულარულია სასკოლო ამოცანების ამოხსნისას: ერთისა და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ბოლოს და ბოლოს, ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. გახსოვდეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, კონვერტაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს დამოუკიდებლად გამოიტანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები ფურცელზე.
ორმაგი კუთხის ფორმულები და არგუმენტების დამატება
კიდევ ორი ფორმულა, რომელიც უნდა ისწავლოთ, უკავშირდება სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობებს კუთხეების ჯამისთვის და სხვაობისთვის. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გაითვალისწინეთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორეში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.
ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად მომდინარეობს წინადან - როგორც პრაქტიკა, შეეცადეთ მიიღოთ ისინი თავად, აიღეთ ალფას კუთხე ბეტას კუთხის ტოლი.
და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას ხარისხის შესამცირებლად.
თეორემები
ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემაა სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და თითოეული მხარის ზომა და ა.შ.
სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის მოპირდაპირე კუთხის სიდიდეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ ერთსა და იმავე რიცხვს. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.
კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამიდან გამოვაკლოთ მათი ნამრავლი, გამრავლებული მათ მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.
შეცდომები უყურადღებობის გამო
იმის ცოდნაც კი, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავეცნოთ მათგან ყველაზე პოპულარულს.
პირველი, თქვენ არ უნდა გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად, სანამ საბოლოო შედეგი არ მიიღება - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი ჩვეულებრივ წილადად, თუ პირობა სხვაგვარად არ არის მითითებული. ასეთ ტრანსფორმაციას შეცდომად არ შეიძლება ეწოდოს, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ამოცანის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება გაჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის იდეით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამი ან ორი ფესვი, რადგან ისინი ჩნდება ამოცანებში ყოველ ნაბიჯზე. იგივე ეხება „მახინჯი“ რიცხვების დამრგვალებას.
გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ვრცელდება ნებისმიერ სამკუთხედზე, მაგრამ არა პითაგორას თეორემაზე! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ აჩვენებთ საგნის სრულ გაუგებრობას. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.
მესამე, ნუ აურიეთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი ტოლია 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი შერევა მარტივია, რის შედეგადაც აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.
განაცხადი
ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან მათ არ ესმით მისი გამოყენებითი მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი შორეულ ვარსკვლავებამდე, იწინასწარმეტყველოთ მეტეორიტის დაცემა, გაგზავნოთ კვლევითი ზონდი სხვა პლანეტაზე. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე აშკარა მაგალითებია! ყოველივე ამის შემდეგ, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.
ბოლოს და ბოლოს
ასე რომ, თქვენ ხართ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.
ტრიგონომეტრიის მთელი არსი ემყარება იმ ფაქტს, რომ უცნობი პარამეტრები უნდა გამოითვალოს სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრებიდან. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი გვერდის სიგრძე და სამი კუთხის სიდიდეები. ამოცანების მთელი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.
როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ცნობილი სიგრძის ან ჰიპოტენუზის საფუძველზე, თქვენ ახლა იცით. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობა, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიული ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. აქ კი ჩვეულებრივი სასკოლო მათემატიკა დაგეხმარება.
ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და მათ გამოყენებას გეომეტრიაში. ტრიგონომეტრიის განვითარება დაიწყო ძველი საბერძნეთის დღეებში. შუა საუკუნეებში ამ მეცნიერების განვითარებაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს ახლო აღმოსავლეთისა და ინდოეთის მეცნიერებმა.
ეს სტატია ეძღვნება ტრიგონომეტრიის ძირითად ცნებებსა და განმარტებებს. მასში განხილულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. მათი მნიშვნელობა გეომეტრიის კონტექსტში არის ახსნილი და ილუსტრირებული.
Yandex.RTB R-A-339285-1
თავდაპირველად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები, რომელთა არგუმენტი არის კუთხე, გამოისახებოდა მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდებით.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები
კუთხის სინუსი (sin α) არის ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
კუთხის კოსინუსი (cos α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
კუთხის ტანგენსი (t g α) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან.
კუთხის კოტანგენსი (c t g α) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.
ეს განმარტებები მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის!
მოდით მივცეთ ილუსტრაცია.
სამკუთხედში ABC მართი კუთხით C, A კუთხის სინუსი უდრის BC ფეხისა და AB ჰიპოტენუზას შეფარდებას.
სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებები შესაძლებელს ხდის ამ ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლას სამკუთხედის გვერდების ცნობილი სიგრძიდან.
მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!
სინუსის და კოსინუსების მნიშვნელობების დიაპაზონი: -1-დან 1-მდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სინუსი და კოსინუსი იღებენ მნიშვნელობებს -1-დან 1-მდე. ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ანუ ეს ფუნქციებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა.
ზემოთ მოცემული განმარტებები ეხება მახვილ კუთხეებს. ტრიგონომეტრიაში შემოტანილია ბრუნვის კუთხის ცნება, რომლის მნიშვნელობა, მწვავე კუთხისგან განსხვავებით, არ შემოიფარგლება ჩარჩოებით 0-დან 90 გრადუსამდე. ბრუნის კუთხე გრადუსებში ან რადიანებში გამოიხატება ნებისმიერი რეალური რიცხვით - ∞-დან + ∞-მდე.
ამ კონტექსტში შეიძლება განვსაზღვროთ თვითნებური სიდიდის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. წარმოიდგინეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისზე.
საწყისი წერტილი A კოორდინატებით (1, 0) ბრუნავს ერთეული წრის ცენტრის გარშემო α კუთხით და მიდის A 1 წერტილამდე. განმარტება მოცემულია A 1 (x, y) წერტილის კოორდინატების მეშვეობით.
ბრუნვის კუთხის სინუსი (ცოდვა).
α ბრუნვის კუთხის სინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატი. sinα = y
ბრუნვის კუთხის კოსინუსი (cos).
α ბრუნვის კუთხის კოსინუსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისა. cos α = x
ბრუნვის კუთხის ტანგენტი (ტგ).
α ბრუნვის კუთხის ტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატის შეფარდება მის აბსცისასთან. t g α = y x
ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი (ctg).
α ბრუნვის კუთხის კოტანგენსი არის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან. c t g α = x y
სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ბრუნვის ნებისმიერი კუთხისთვის. ეს ლოგიკურია, რადგან ბრუნვის შემდეგ წერტილის აბსცისა და ორდინატი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი კუთხით. განსხვავებული სიტუაციაა ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ტანგენსი განუსაზღვრელია, როდესაც წერტილი ბრუნვის შემდეგ მიდის წერტილამდე ნულოვანი აბსცისით (0 , 1) და (0 , - 1). ასეთ შემთხვევებში, t g α = y x ტანგენტის გამოხატვას უბრალოდ აზრი არ აქვს, რადგან ის შეიცავს გაყოფას ნულზე. ანალოგიური სიტუაციაა კოტანგენტთან დაკავშირებით. განსხვავება ისაა, რომ კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ შემთხვევებში, როდესაც წერტილის ორდინატი ქრება.
მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ!
სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება ნებისმიერი α კუთხისთვის.
ტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
კოტანგენსი განისაზღვრება ყველა კუთხისთვის, გარდა α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას არ თქვათ „ა ბრუნვის კუთხის სინუსი“. სიტყვები "ბრუნვის კუთხე" უბრალოდ გამოტოვებულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ კონტექსტიდან უკვე ნათელია, რა არის სასწორზე.
ნომრები
რაც შეეხება რიცხვის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენსს და კოტანგენსს და არა ბრუნვის კუთხეს?
რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი
რიცხვის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ტიწოდება რიცხვი, რომელიც შესაბამისად უდრის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ტრადიანი.
მაგალითად, 10 π-ის სინუსი ტოლია ბრუნვის კუთხის სინუსს 10 π rad.
არსებობს სხვა მიდგომა რიცხვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებასთან დაკავშირებით. განვიხილოთ უფრო დეტალურად.
ნებისმიერი რეალური რიცხვი ტმართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სათავეში ცენტრთან შესაბამისობაში მოთავსებულია წერტილი ერთეულ წრეზე. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ამ წერტილის კოორდინატების მიხედვით.
წრეზე საწყისი წერტილი არის A წერტილი კოორდინატებით (1, 0).
დადებითი რიცხვი ტ
უარყოფითი რიცხვი ტშეესაბამება იმ წერტილს, რომელზეც ამოძრავდება საწყისი წერტილი, თუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ წრეზე და გაივლის t გზას.
ახლა, როცა წრეზე რიცხვსა და წერტილს შორის კავშირი დამყარდა, მივდივართ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებაზე.
t რიცხვის სინუსი (ცოდვა).
რიცხვის სინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატი ტ. sin t = y
ტ-ის კოსინუსი (cos).
რიცხვის კოსინუსი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის აბსციზა ტ. cos t = x
ტ-ის ტანგენსი (ტგ).
რიცხვის ტანგენტი ტ- რიცხვის შესაბამისი ერთეული წრის წერტილის ორდინატისა და აბსცისის შეფარდება ტ. t g t = y x = sin t cos t
ეს უკანასკნელი განმარტებები შეესაბამება და არ ეწინააღმდეგება ამ ნაწილის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას. მიუთითეთ წრეზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს ტ, ემთხვევა იმ წერტილს, სადაც გადის საწყისი წერტილი კუთხის შემობრუნების შემდეგ ტრადიანი.
კუთხოვანი და რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
α კუთხის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ამ კუთხის სინუსის და კოსინუსის გარკვეულ მნიშვნელობას. ისევე, როგორც α = 90 ° + 180 ° · k ყველა კუთხის გარდა, k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z) შეესაბამება ტანგენტის გარკვეულ მნიშვნელობას. კოტანგენსი, როგორც ზემოთ აღინიშნა, განისაზღვრება ყველა α, გარდა α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
შეგვიძლია ვთქვათ, რომ sin α , cos α , t g α , c t g α არის კუთხის ალფა ფუნქციები, ან კუთხოვანი არგუმენტის ფუნქციები.
ანალოგიურად, შეიძლება ვისაუბროთ სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენსზე, როგორც რიცხვითი არგუმენტის ფუნქციებზე. ყველა რეალური რიცხვი ტშეესაბამება რიცხვის სინუსის ან კოსინუსის სპეციფიკურ მნიშვნელობას ტ. ყველა რიცხვი, გარდა π 2 + π · k , k ∈ Z, შეესაბამება ტანგენსის მნიშვნელობას. კოტანგენსი ანალოგიურად არის განსაზღვრული ყველა რიცხვისთვის, გარდა π · k , k ∈ Z.
ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფუნქციები
სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.
როგორც წესი, კონტექსტიდან ირკვევა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რომელ არგუმენტთან (კუთხური არგუმენტი თუ რიცხვითი არგუმენტი) გვაქვს საქმე.
დავუბრუნდეთ მონაცემებს განმარტებების დასაწყისშივე და კუთხის ალფა, რომელიც 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონშია. სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის ტრიგონომეტრიული განმარტებები სრულ თანხმობაშია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების შეფარდებით მოცემულ გეომეტრიულ განმარტებებთან. ვაჩვენოთ.
აიღეთ ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაზე. ამოვატრიალოთ საწყისი წერტილი A (1, 0) 90 გრადუსამდე კუთხით და მიღებული წერტილიდან A წერტილიდან გავავლოთ 1 (x, y) x ღერძის პერპენდიკულარული. მიღებულ მართკუთხა სამკუთხედში A 1 O H კუთხე უდრის α ბრუნვის კუთხეს, O H ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის აბსცისს. კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძე უდრის A 1 (x, y) წერტილის ორდინატს, ხოლო ჰიპოტენუზის სიგრძე უდრის ერთს, რადგან ეს არის ერთეული წრის რადიუსი.
გეომეტრიის განმარტების შესაბამისად, α კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
ეს ნიშნავს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის სინუსის განსაზღვრა ასპექტის თანაფარდობით ექვივალენტურია α ბრუნვის კუთხის სინუსის განმარტებისა, ალფა დევს 0-დან 90 გრადუსამდე დიაპაზონში.
ანალოგიურად, განმარტებების შესაბამისობა შეიძლება ნაჩვენები იყოს კოსინუსისთვის, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
1. ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიარის ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა არგუმენტი არის ინექცია. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აღწერს მიმართებებს გვერდებსა და მახვილ კუთხეებს შორის მართკუთხა სამკუთხედში. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენების სფეროები უკიდურესად მრავალფეროვანია. მაგალითად, ნებისმიერი პერიოდული პროცესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის სახით (ფურიეს სერია). ეს ფუნქციები ხშირად ჩნდება დიფერენციალური და ფუნქციური განტოლებების ამოხსნისას.
2. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოიცავს შემდეგ 6 ფუნქციას: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი,კოტანგენსი, სეკანტიდა კოსეკანტი. თითოეული ამ ფუნქციისთვის არის შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.
3. მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გეომეტრიული განსაზღვრების დანერგვა გამოყენებით ერთეული წრე. ქვემოთ მოყვანილ სურათზე ნაჩვენებია წრე r=1 რადიუსით. წრეზე მონიშნულია წერტილი M(x,y). კუთხე OM რადიუსის ვექტორსა და Ox ღერძის დადებით მიმართულებას შორის არის α.
4. სინუსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის y ორდინატის შეფარდება r რადიუსთან:
sinα=y/r.
ვინაიდან r=1, მაშინ სინუსი უდრის M(x,y) წერტილის ორდინატს.
5. კოსინუსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის x აბსცისის შეფარდება r რადიუსთან:
cosα=x/r
6. ტანგენსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის y ორდინატის შეფარდება მის აბსციზასთან x:
tanα=y/x,x≠0
7. კოტანგენსიკუთხე α არის M(x,y) წერტილის x აბსცისის შეფარდება მის ორდინატთან y:
cotα=x/y,y≠0
8. სეკანტიკუთხე α არის r რადიუსის შეფარდება M(x,y) წერტილის x აბსცისასთან:
secα=r/x=1/x,x≠0
9. კოზეკანტიკუთხე α არის r რადიუსის შეფარდება M(x,y) წერტილის y ორდინატთან:
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. x, y პროექციის ერთეულ წრეში M(x,y) წერტილები და r რადიუსი ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედს, რომელშიც x,y არის ფეხები და r არის ჰიპოტენუზა. ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზემოაღნიშნული განმარტებები, რომლებიც გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედზე, ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:
სინუსიკუთხე α არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
კოსინუსიკუთხე α არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ტანგენსიკუთხე α-ს ეწოდება მეზობელთან საპირისპირო ფეხი.
კოტანგენსიკუთხე α ეწოდება მოპირდაპირე მხარეს მიმდებარე ფეხს.
სეკანტიკუთხე α არის ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.
კოზეკანტიკუთხე α არის ჰიპოტენუზის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხთან.
11. სინუსური ფუნქციის გრაფიკი
y=sinx, დომენი: x∈R, დომენი: −1≤sinx≤1
12. კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი
y=cosx, დომენი: x∈R, დიაპაზონი: −1≤cosx≤1
13. ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი 14. კოტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი 15. სექციური ფუნქციის გრაფიკი
y=tanx, დომენი: x∈R,x≠(2k+1)π/2, დომენი: −∞ 
y=cotx, დომენი: x∈R,x≠kπ, დომენი: −∞ 
y=secx, დომენი: x∈R,x≠(2k+1)π/2, დომენი: secx∈(−∞,−1]∪∪)
