მათემატიკაში თანასწორობის შესახებ ზოგადი ინფორმაციის მიღების შემდეგ გადავდივართ ვიწრო თემებზე. ამ სტატიის მასალა მოგცემთ წარმოდგენას რიცხვითი თანასწორობის თვისებების შესახებ.

რა არის რიცხვითი ტოლობა

რიცხვითი ტოლობები პირველად დაწყებით სკოლაში, როცა ვეცნობით რიცხვებს და „იგივეს“ ცნებას. იმათ. ყველაზე პრიმიტიული რიცხვითი ტოლობებია: 2 = 2, 5 = 5 და ა.შ. და შესწავლის ამ დონეზე ჩვენ მათ ვუწოდეთ უბრალოდ ტოლობები, "რიცხობრივი" მითითების გარეშე და მათში დავადგინეთ რაოდენობრივი ან რიგითი მნიშვნელობა (რასაც ბუნებრივი რიცხვები ატარებენ). მაგალითად, განტოლება 2 = 2 შეესატყვისება გამოსახულებას, რომელშიც ორი ყვავილი და ორი ბუმბერაზი დგას თითოეულზე. ან, მაგალითად, ორი რიგი, სადაც ვასია და ვანია მეორე ადგილზე არიან.

როგორც ჩანს არითმეტიკული ოპერაციების ცოდნა, რიცხვითი თანასწორობები უფრო რთული ხდება: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3 და ა.შ. შემდეგ იწყება თანასწორობები, რომელთა ჩაწერაში მონაწილეობენ სხვადასხვა სახის რიცხვითი გამონათქვამები. მაგალითად, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1 და ა.შ. შემდეგ გავეცნობით სხვა ტიპის რიცხვებს და რიცხვითი ტოლობები სულ უფრო საინტერესო და მრავალფეროვანი ხდება.

განმარტება 1

რიცხვითი თანასწორობაარის ტოლობა, რომლის ორივე ნაწილი შედგება რიცხვებისა და/ან რიცხვითი გამონათქვამებისგან.

რიცხვითი ტოლობების თვისებები

ძნელია მათემატიკაში რიცხვითი ტოლობების თვისებების მნიშვნელობის გადაჭარბება: ისინი მრავალი რამის საფუძველია, განსაზღვრავს რიცხვით ტოლობებთან მუშაობის პრინციპს, ამოხსნის მეთოდებს, ფორმულებთან მუშაობის წესებს და სხვა. ცხადია, არსებობს. რიცხვითი ტოლობების თვისებების დეტალური შესწავლის საჭიროება.

რიცხვითი ტოლობების თვისებები აბსოლუტურად შეესაბამება იმას, თუ როგორ არის განსაზღვრული რიცხვებით მოქმედებები, ისევე როგორც ტოლი რიცხვების განსაზღვრა განსხვავებულობით: რიცხვი. არიცხვის ტოლია ბმხოლოდ მაშინ, როდესაც განსხვავება ა-ბარის ნული. შემდგომში თითოეული ქონების აღწერაში, ჩვენ მივყვებით ამ კავშირს.

რიცხვითი ტოლობების ძირითადი თვისებები

დავიწყოთ რიცხვითი ტოლობების თვისებების შესწავლა სამი ძირითადი თვისებით, რომლებიც თანდაყოლილია ყველა ტოლობაში. ჩვენ ჩამოვთვლით რიცხვითი ტოლობების ძირითად თვისებებს:

• რეფლექსურობის თვისება: a = a;
• სიმეტრიის თვისება: თუ a = b, მაშინ b = a;
• გარდამავალი თვისება: თუ a = bდა b=c, მაშინ a = c, სადაც a , b და გარის თვითნებური რიცხვები.

განმარტება 2

რეფლექსურობის თვისება აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ რიცხვი უდრის თავის თავს: მაგალითად, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7 და ა.შ.

მტკიცებულება 1

თანასწორობის მართებულობის დემონსტრირება ადვილია a − a = 0ნებისმიერი ნომრისთვის a:განსხვავება ააშეიძლება დაიწეროს ჯამის სახით a + (− a)და რიცხვების შეკრების თვისება გვაძლევს იმის მტკიცების შესაძლებლობას, რომ ნებისმიერი რიცხვი აშეესაბამება ერთადერთ საპირისპირო რიცხვს − ადა მათი ჯამი არის ნული.

განმარტება 3

რიცხვითი ტოლობების სიმეტრიის თვისების მიხედვით: თუ რიცხვი არიცხვის ტოლია ბ,
რომ ნომერი ბრიცხვის ტოლია ა. Მაგალითად, 4 3 = 64 , მაშინ 64 = 4 3 .

მტკიცებულება 2

თქვენ შეგიძლიათ გაამართლოთ ეს თვისება რიცხვთა სხვაობით. მდგომარეობა a = bშეესაბამება თანასწორობას a − b = 0. ეს დავამტკიცოთ b − a = 0.

მოდით დავწეროთ განსხვავება ბ - აროგორც - (ა - ბ), ეყრდნობა ფრჩხილების გახსნის წესს, რომელსაც წინ უძღვის მინუს ნიშანი. გამოხატვის ახალი ჩანაწერი არის - 0, ხოლო ნულის საპირისპირო არის ნული. ამრიგად, b − a = 0, აქედან გამომდინარე: b = a.

განმარტება 4

რიცხვითი ტოლობების გარდამავალობის თვისება მიუთითებს, რომ ორი რიცხვი ერთმანეთის ტოლია, თუ ისინი ერთდროულად უდრის მესამე რიცხვს. მაგალითად, თუ 81 = 9 და 9 = 3 2 , მაშინ 81 = 3 2 .

გარდამავალობის თვისება ასევე შეესაბამება ტოლი რიცხვების განსაზღვრას რიცხვებთან მოქმედებების განსხვავებისა და თვისებების მეშვეობით. თანასწორობები a = bდა b=cშეესაბამება თანასწორობებს a − b = 0და b − c = 0.

მტკიცებულება 3

მოდით დავამტკიცოთ თანასწორობა a - c = 0, საიდანაც მოჰყვება რიცხვთა ტოლობა ადა გ. ვინაიდან რიცხვის ნულზე მიმატება არ ცვლის თავად რიცხვს, მაშინ ა - გჩაწერეთ ფორმაში a + 0 − c. ნულის ნაცვლად ვცვლით საპირისპირო რიცხვების ჯამს −ბდა ბ, შემდეგ საბოლოო გამოხატულება ხდება: a + (− b + b) − c. მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები: (a − b) + (b − c). ფრჩხილებში განსხვავებები ტოლია ნულის, შემდეგ ჯამის (a − b) + (b − c)არის ნული. ეს მოწმობს, რომ როდესაც a − b = 0და b − c = 0, თანასწორობა a - c = 0, სად a = c.

რიცხვითი ტოლობების სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები

ზემოთ განხილული რიცხვითი თანასწორობების ძირითადი თვისებები წარმოადგენს რიგი დამატებითი თვისებების საფუძველს, რომლებიც საკმაოდ ღირებულია პრაქტიკის კონტექსტში. ჩამოვთვალოთ ისინი:

განმარტება 5

რიცხვითი ტოლობის ორივე ნაწილის მიმატებით (ან გამოკლებით), რაც მართალია, იგივე რიცხვი, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას. სიტყვასიტყვით დავწეროთ: თუ a = b, სად ადა ბარის რამდენიმე რიცხვი, მაშინ a + c = b + cნებისმიერისთვის გ.

მტკიცებულება 4

დასაბუთებლად ვწერთ განსხვავებას (a + c) − (b + c).
ეს გამოთქმა ადვილად შეიძლება გადაკეთდეს ფორმაში (a − b) + (c − c).
დან a = bპირობით გამომდინარეობს, რომ a − b = 0და c − c = 0, მაშინ (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. ეს ამტკიცებს ამას (a + c) − (b + c) = 0, შესაბამისად, a + c = b + c;

განმარტება 6

თუ სწორი რიცხვითი ტოლობის ორივე ნაწილი გავამრავლოთ რომელიმე რიცხვზე ან გავყოთ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მივიღებთ სწორ რიცხვით ტოლობას.
სიტყვასიტყვით ჩავწეროთ: როდის a = b, მაშინ a c = b cნებისმიერი ნომრისთვის გ.თუ c ≠ 0 მაშინ და a:c = b:c.

მტკიცებულება 5

თანასწორობა მართალია: a c − b c = (a − b) c = 0 c = 0, და ეს გულისხმობს პროდუქციის თანასწორობას გდა ბ გ. და გაყოფა არანულოვან რიცხვზე c შეიძლება დაიწეროს გამრავლებით 1 c-ის საპასუხოდ;

განმარტება 7

ზე ადა ბ,ნულისაგან განსხვავებულები და ერთმანეთის ტოლები, მათი რეციპროკულებიც ტოლია.
დავწეროთ: როცა a ≠ 0 , b ≠ 0 და a = b, მაშინ 1 a = 1 b. უკიდურესი თანასწორობის დამტკიცება არ არის რთული: ამ მიზნით ვყოფთ თანასწორობის ორივე მხარეს a = bნამრავლის ტოლი რიცხვით ბდა არა ნულის ტოლი.

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ რამდენიმე თვისებას, რომელიც იძლევა სწორი რიცხვითი თანასწორობების შესაბამისი ნაწილების შეკრების და გამრავლების საშუალებას:

განმარტება 8

სწორი რიცხვითი ტოლობების ტერმინებით მიმატებით, სწორი ტოლობა მიიღება. ეს თვისება იწერება შემდეგნაირად: თუ a = bდა c = d, მაშინ a + c = b + dნებისმიერი რიცხვისთვის a , b , c და დ.

მტკიცებულება 6

ამ სასარგებლო თვისების დასაბუთება შესაძლებელია ადრე აღნიშნული თვისებების საფუძველზე. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ჭეშმარიტი თანასწორობის ორივე მხარეს.
თანასწორობისკენ a = bდაამატეთ ნომერი გდა თანასწორობისკენ c = d- ნომერი ბ, შედეგი იქნება სწორი რიცხვითი ტოლობები: a + c = b + cდა c + b = d + b. ჩვენ ვწერთ ბოლო ფორმაში: ბ + გ = ბ + დ. თანასწორობიდან a + c = b + cდა ბ + გ = ბ + დტრანზიტულობის თვისების მიხედვით თანასწორობა მოსდევს a + c = b + d.რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

აუცილებელია განვმარტოთ, რომ ტერმინების მიხედვით შესაძლებელია არა მხოლოდ ორი ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობის, არამედ სამი ან მეტის დამატება;

განმარტება 7

და ბოლოს, ჩვენ აღვწერთ ასეთ თვისებას: ორი სწორი რიცხვითი ტოლობის ვადით გამრავლება იძლევა სწორ ტოლობას. ასოებით დავწეროთ: თუ a = bდა c = d, მაშინ a c = b d.

მტკიცებულება 7

ამ ქონების დამადასტურებელი მტკიცებულება წინა მტკიცებულების მსგავსია. გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ნებისმიერ რიცხვზე, გავამრავლოთ a = bზე გ, ა c = dზე ბ, ვიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობებს a c = b cდა c b = d b. ჩვენ ვწერთ ბოლო როგორც b c = b d. გარდამავალობის თვისება შესაძლებელს ხდის თანასწორობიდან a c = b cდა b c = b dთანასწორობის გამოტანა a c = b dრომლის დამტკიცება გვჭირდებოდა.

და კიდევ, ჩვენ განვმარტავთ, რომ ეს თვისება გამოიყენება ორი, სამი ან მეტი რიცხვითი ტოლობისთვის.
ამრიგად, შეიძლება დაწეროს: თუ a = b, მაშინ a n = b nნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბდა ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ნ.

მოდით დავასრულოთ ეს სტატია სიცხადისთვის ყველა განხილული თვისების შეგროვებით:

თუ a = b, მაშინ b = a.

თუ a = b და b = c, მაშინ a = c.

თუ a = b , მაშინ a + c = b + c .

თუ a = b, მაშინ a c = b c.

თუ a = b და c ≠ 0, მაშინ a: c = b: c.

თუ a = b , a = b , a ≠ 0 და b ≠ 0 , მაშინ 1 a = 1 b .

თუ a = b და c = d, მაშინ a c = b d.

თუ a = b, მაშინ a n = b n.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ზოგადი წარმოდგენა აქვს თანასწორობა მათემატიკაში, შეგვიძლია გადავიდეთ ამ საკითხის უფრო დეტალურ შესწავლაზე. ამ სტატიაში ჩვენ, პირველ რიგში, განვმარტავთ რა არის რიცხვითი ტოლობები და, მეორეც, შევისწავლით.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის რიცხვითი ტოლობა?

რიცხვითი თანასწორობების გაცნობა სკოლაში მათემატიკის შესწავლის საწყის ეტაპზე იწყება. ეს ჩვეულებრივ ხდება პირველ კლასში, მას შემდეგ, რაც პირველი რიცხვები 1-დან 9-მდე გახდება ცნობილი და მას შემდეგ, რაც ფრაზა "იგივე" მიიღებს მნიშვნელობას. შემდეგ ჩნდება პირველი რიცხვითი ტოლობები, მაგალითად, 1=1, 3=3 და ა.შ., რომლებსაც ამ ეტაპზე ჩვეულებრივ უწოდებენ უბრალო ტოლობას „რიცხვის“ განმარტებითი განმარტების გარეშე.

მითითებული ტიპის ტოლობებს ამ ეტაპზე ენიჭება რაოდენობრივი ან რიგითი მნიშვნელობა, რომელიც ჩართულია . მაგალითად, რიცხვითი განტოლება 3=3 შეესაბამებოდა სურათს, რომელშიც ნაჩვენებია ხის ორი ტოტი, რომელთაგან თითოეულზე 3 ჩიტი ზის. ან როცა ჩვენი ამხანაგები პეტია და კოლია მესამე რიგში არიან ორ რიგში.

არითმეტიკული მოქმედებების შესწავლის შემდეგ ჩნდება რიცხვითი ტოლობების უფრო მრავალფეროვანი ჩანაწერები, მაგალითად, 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2 და ა.შ. გარდა ამისა, იწყება კიდევ უფრო საინტერესო ფორმის რიცხვითი თანასწორობები, რომლებიც შეიცავს სხვადასხვა ნაწილებს, მაგალითად, (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1და მსგავსი. შემდეგ ხდება სხვა ტიპის რიცხვების გაცნობა და რიცხვითი თანასწორობები უფრო და უფრო მრავალფეროვანი ხდება.

ასე რომ, საკმარისია ბუჩქის გარშემო ცემა, დროა მივცეთ რიცხვითი თანასწორობის განმარტება:

განმარტება.

რიცხვითი თანასწორობაარის ტოლობა, რომლის ორივე ნაწილში არის რიცხვები ან/და რიცხვითი გამონათქვამები.

რიცხვითი ტოლობების თვისებები

რიცხვითი ტოლობებით მუშაობის პრინციპები განისაზღვრება მათი თვისებებით. და ბევრი რამ არის დაკავშირებული მათემატიკაში რიცხვითი თანასწორობის თვისებებთან: განტოლებების ამოხსნის თვისებებიდან და განტოლებების სისტემების გადაჭრის ზოგიერთი მეთოდიდან დაწყებული, ფორმულებთან მუშაობის წესებამდე, რომლებიც აკავშირებენ სხვადასხვა რაოდენობას. ეს ხსნის რიცხვითი ტოლობების თვისებების დეტალური შესწავლის აუცილებლობას.

რიცხვითი ტოლობების თვისებები სრულად ეთანხმება იმას, თუ როგორ არის განსაზღვრული რიცხვებით მოქმედებები და ასევე შეესაბამება თანაბარი რიცხვების განსაზღვრა განსხვავების მეშვეობით: რიცხვი a უდრის b რიცხვს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სხვაობა a−b ნულის ტოლია. ქვემოთ, თითოეული ქონების აღწერისას, ჩვენ მივყვებით ამ კავშირს.

რიცხვითი ტოლობების ძირითადი თვისებები

რიცხვითი ტოლობების თვისებების მიმოხილვა უნდა დაიწყოს სამი ძირითადი თვისებით, რომლებიც დამახასიათებელია ყველა ტოლობისთვის გამონაკლისის გარეშე. Ისე, რიცხვითი ტოლობების ძირითადი თვისებებიეს:

• რეფლექსურობის თვისება: a=a ;
• სიმეტრიის თვისება: თუ a=b, მაშინ b=a;
• და გარდამავალობის თვისება: თუ a=b და b=c, მაშინ a=c,

სადაც a , b და c არის თვითნებური რიცხვები.

რიცხვითი ტოლობების რეფლექსურობის თვისება მიუთითებს იმ ფაქტზე, რომ რიცხვი უდრის თავის თავს. მაგალითად, 5=5, −2=−2 და ა.შ.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ნებისმიერი a რიცხვისთვის ტოლობა a−a=0 მართალია. მართლაც, სხვაობა a−a შეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით a+(−a) , და რიცხვის შეკრების თვისებებიდან ვიცით, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის არის უნიკალური −a, ხოლო საპირისპირო რიცხვების ჯამი ნულის ტოლია. .

რიცხვითი ტოლობების სიმეტრიის თვისება ამბობს, რომ თუ რიცხვი a უდრის b რიცხვს, მაშინ რიცხვი b უდრის a რიცხვს. მაგალითად, თუ 2 3 =8 (იხ.), მაშინ 8=2 3.

ჩვენ ვამართლებთ ამ თვისებას რიცხვთა სხვაობით. a=b პირობა შეესაბამება a−b=0 ტოლობას. ვაჩვენოთ, რომ b−a=0 . ფრჩხილების გახსნის წესი, რომელსაც წინ უძღვის მინუს ნიშანი, საშუალებას გვაძლევს გადავწეროთ b−a სხვაობა როგორც −(a−b) , რომელიც თავის მხრივ უდრის −0-ს, ხოლო ნულის საპირისპირო რიცხვი არის ნული. მაშასადამე, b−a=0, რაც გულისხმობს, რომ b=a.

რიცხვითი ტოლობების გარდამავალობის თვისება მიუთითებს, რომ ორი რიცხვი ტოლია, როდესაც ორივე ტოლია მესამე რიცხვის. მაგალითად, ტოლობებიდან (იხ.) და 4=2 2 გამომდინარეობს, რომ .

ეს თვისება ასევე შეესაბამება ტოლი რიცხვების განსაზღვრას განსხვავებისა და რიცხვებთან მოქმედებების თვისებებთან. მართლაც, a=b და b=c ტოლობები შეესაბამება a−b=0 და b−c=0 ტოლობებს. ვაჩვენოთ, რომ a−c=0, საიდანაც მოჰყვება, რომ a და c რიცხვები ტოლია. ვინაიდან ნულის დამატება არ ცვლის რიცხვს, a−c შეიძლება გადაიწეროს როგორც a+0−c. ნულს ცვლის −b და b საპირისპირო რიცხვების ჯამი, ხოლო ბოლო გამოსახულებას იღებს a+(−b+b)−c ფორმა. ახლა შეგვიძლია დავაჯგუფოთ ტერმინები შემდეგნაირად: (a−b)+(b−c) . და ფრჩხილებში განსხვავებები არის ნულები, შესაბამისად ჯამი (a−b)+(b−c) ნულის ტოლია. ეს ამტკიცებს, რომ a−b=0 და b−c=0 პირობით, მოქმედებს ტოლობა a−c=0, საიდანაც a=c .

სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები

წინა აბზაცში გაანალიზებული რიცხვითი ტოლობების ძირითადი თვისებებიდან გამომდინარეობს მთელი რიგი თვისებები, რომლებსაც აქვთ ხელშესახები პრაქტიკული მნიშვნელობა. მოდით დავშალოთ ისინი.

დავიწყოთ ამ თვისებით: თუ ჭეშმარიტი რიცხვითი თანასწორობის ორივე ნაწილს დაამატებთ (ან გამოკლებთ) ერთსა და იმავე რიცხვს, მაშინ მიიღებთ ნამდვილ რიცხვით ტოლობას. ასოების გამოყენებით შეიძლება დაიწეროს ასე: თუ a=b , სადაც a და b არის რამდენიმე რიცხვი, მაშინ a+c=b+c ნებისმიერი c რიცხვისთვის.

გასამართლებლად ვადგენთ განსხვავებას (a+c)−(b+c) . ის შეიძლება გარდაიქმნას (a−b)+(c−c) ფორმაში. ვინაიდან a=b პირობითად, მაშინ a−b=0 , და c−c=0 , ამიტომ (a−b)+(c−c)=0+0=0 . ეს ამტკიცებს, რომ (a+c)−(b+c)=0, შესაბამისად a+c=b+c.

ჩვენ უფრო შორს მივდივართ: თუ ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია რომელიმე რიცხვზე ან იყოფა არანულოვან რიცხვზე, მაშინ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას. ანუ, თუ a=b, მაშინ c=b c ნებისმიერი c რიცხვისთვის და თუ c არის არანულოვანი რიცხვი, მაშინ a:c=b:c.

მართლაც, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0, რაც გულისხმობს, რომ a·c და b·c პროდუქცია ტოლია. და გაყოფა არანულოვან რიცხვზე c შეიძლება ჩაითვალოს გამრავლებად 1/c-ზე.

რიცხვითი ტოლობების გაანალიზებული თვისებიდან გამომდინარეობს ერთი სასარგებლო შედეგი: თუ a და b განსხვავდება ნულიდან და ტოლი რიცხვებისაგან, მაშინ მათი ორმხრივებიც ტოლია. ანუ, თუ a≠0, b≠0 და a=b, მაშინ 1/a=1/b. ბოლო ტოლობა ადვილი დასამტკიცებელია: ამისთვის საკმარისია თავდაპირველი ტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ a=b ნამრავლის ტოლ არანულ რიცხვზე.

და მოდით ვისაუბროთ კიდევ ორ თვისებაზე, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ და გავამრავლოთ სწორი რიცხვითი ტოლობების შესაბამისი ნაწილები.

თუ თქვენ დაამატებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობებს ტერმინით, მაშინ მიიღებთ სწორ ტოლობას. ანუ, თუ a=b და c=d, მაშინ a+c=b+d ნებისმიერი რიცხვისთვის a , b , c და d.

მოდით გავამართლოთ რიცხვითი ტოლობების ეს თვისება ჩვენთვის უკვე ცნობილი თვისებებიდან დაწყებული. ცნობილია, რომ ჭეშმარიტი ტოლობის ორივე ნაწილს ნებისმიერი რიცხვის დამატება შეგვიძლია. ტოლობაში a=b ვამატებთ რიცხვს c, ხოლო ტოლობაში c+d ვუმატებთ რიცხვს, შედეგად მივიღებთ სწორ რიცხვით ტოლობას a+c=b+c და c+b=d+b, რომელთაგან ბოლო გადავწერთ როგორც b+c= b+d. a+c=b+c და b+c=b+d ტოლობებიდან გარდამავალობის თვისებით მოდის ტოლობა a+c=b+d, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.

გაითვალისწინეთ, რომ ტერმინების მიხედვით შესაძლებელია არა მხოლოდ ორი სწორი რიცხვითი ტოლობის დამატება, არამედ სამი და ოთხი და მათი ნებისმიერი სასრული რიცხვი.

რიცხვითი ტოლობების თვისებების მიმოხილვას ვასრულებთ შემდეგი თვისებით: თუ ორ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას ვამრავლებთ ვამრავლით, მივიღებთ სწორ ტოლობას. ჩამოვაყალიბოთ ფორმალურად: თუ a=b და c=d , მაშინ a c=b d.

ამ ქონების დამადასტურებელი მტკიცებულება წინა მტკიცებულების მსგავსია. შეგვიძლია ტოლობის ორივე მხარე გავამრავლოთ ნებისმიერ რიცხვზე, გავამრავლოთ a=b c-ზე და c=d b-ზე, მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას a c=b c და c b=d b, რომელთაგან ბოლო გადავწერთ როგორც b c=b d. . შემდეგ, გარდამავალობის თვისებით, ტოლობები a·c=b·c და b·c=b·d გულისხმობს საჭირო ტოლობას a·c=b·d.

გაითვალისწინეთ, რომ გაჟღერებული თვისება მართალია სამი ან მეტი სწორი რიცხვითი ტოლობის ტერმინით გამრავლებისთვის. ამ დებულებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ a=b, მაშინ a n =b n ნებისმიერი a და b რიცხვებისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი n.

ამ სტატიის ბოლოს, ჩვენ ვწერთ რიცხვითი თანასწორობების ყველა გაანალიზებულ თვისებას ცხრილში:

ბიბლიოგრაფია.

• მორო M.I.. მათემატიკა. პროკ. 1 კლ. ადრე სკოლა 2 გვ. ნაწილი 1. (პირველი ნახევარი წელი) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - მე-6 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2006. - 112 გვ.: ავადმყოფი + აპ. (2 ცალკე ლ. ავადმყოფი). - ISBN 5-09-014951-8.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.

ახლა კი დეტალურად გავაანალიზოთ ეს ამოცანა.

განვიხილოთ პირამიდის შემდეგი უჯრედი.

ვიცით, რომ 11 არის 7-ისა და კიდევ ერთი უცნობი რიცხვის ჯამი. ცხადია, მეორე რიცხვი არის 4, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია შევავსოთ უჯრედი მარჯვნივ პირველ რიგში.

პირამიდაში ერთი ცარიელი უჯრედია დარჩენილი. ის უნდა შეიცავდეს რიცხვს, რომელსაც დაუმატეთ 7 უნდა მიიღოთ 12. ამრიგად. პირველ რიგში მარცხნივ ცარიელ უჯრედში უნდა იყოს ნომერი 5.

განვიხილოთ უჯრედები მეორე რიგში. უნდა იყოს ორი რიცხვი, რომელთა ჯამში ტოლი უნდა იყოს 24. ამავე დროს, გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სვეტში სასურველი ორი რიცხვის მისაღებად, თქვენ უნდა დაამატოთ 3 და 5 რომელიმე უცნობ რიცხვს, რომელიც არის მდებარეობს პირველი რიგის შუა უჯრედში, ანუ განსხვავება ამ ორ რიცხვში უნდა იყოს 2-ის ტოლი. ნომრები 11 და 13 შესაფერისია ამ პირობებისთვის, რადგან 11 + 13 \u003d 24, ხოლო მეორეს მხრივ 13 - 11 \ u003d 2. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია შევავსოთ მე-2 რიგის უჯრები.

და რჩება პირველი რიგის ბოლო ნომრის პოვნა. ეს რიცხვი შეიძლება მივიღოთ თუ დაემატება 3-ს და შემდეგ მივიღებთ 11. ამრიგად. ეს რიცხვი არის 8.