სკოლაში ყველას გვასწავლიან მარტივ წესს, რომლის გაყოფა ნულზე არ შეიძლება. ამავდროულად, როდესაც ვსვამთ კითხვას: „რატომ?“, გვპასუხობენ: „ეს მხოლოდ წესია და თქვენ უნდა იცოდეთ ეს“. ამ სტატიაში შევეცდები აგიხსნათ, რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა. რატომ ცდებიან ის ადამიანები, რომლებიც ამბობენ, რომ შესაძლებელია ნულზე გაყოფა და შემდეგ უსასრულობა.

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?

ფორმალურად, მათემატიკაში მხოლოდ ორი მოქმედებაა. რიცხვების შეკრება და გამრავლება. რაც შეეხება გამოკლებას და გაყოფას? განვიხილოთ ასეთი მაგალითი. 7-4=3, ყველამ ვიცით, რომ შვიდს გამოკლებული ოთხი უდრის სამს. სინამდვილეში, ეს მაგალითი ფორმალურად შეიძლება ჩაითვალოს x + 4 = 7 განტოლებების ამოხსნის გზად. ანუ ვირჩევთ რიცხვს, რომელიც ოთხთან ერთად მისცემს 7-ს. მაშინ დიდხანს არ ვიფიქრებთ და გავიგებთ, რომ ეს რიცხვი უდრის სამს. იგივე გაყოფით. ვთქვათ 12/3. ეს იგივე იქნება, რაც x*3=12.

ვირჩევთ რიცხვს, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მოგვცემს 12-ს. ამ შემთხვევაში იქნება ოთხი. ეს საკმარისად აშკარაა. რაც შეეხება მაგალითებს, როგორიცაა 7/0. რა მოხდება, თუ დავწერთ შვიდს გაყოფილი ნულზე? ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ, თითქოს, ვხსნით 0*x=7 ფორმის განტოლებას. მაგრამ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, რადგან თუ ნულს გაამრავლებთ ნებისმიერ რიცხვზე, მაშინ ყოველთვის მიიღებთ ნულს. ანუ გამოსავალი არ არის. ეს იწერება ან სიტყვებით არ არის გამოსავალი, ან ნიშნით, რომელიც ნიშნავს ცარიელ კომპლექტს.

Სხვა სიტყვებით

აი ამ წესის მნიშვნელობა. თქვენ არ შეგიძლიათ ნულზე გაყოფა, რადგან შესაბამის განტოლებას, ნულის გამრავლებული x-ზე უდრის შვიდს, ან რომელი რიცხვი, რისი გაყოფასაც ვცდილობთ ნულზე, არ აქვს ამონახსნები. ყველაზე ყურადღებიანმა შეიძლება თქვას, რომ თუ ნულს გავყოფთ ნულზე, მაშინ საკმაოდ სამართლიანად გამოდის, რომ თუ 0*X=0. ყველაფერი კარგადაა, ნულს ვამრავლებთ რაღაც რიცხვზე, მივიღებთ ნულს. მაგრამ მაშინ ჩვენ შეგვიძლია გვქონდეს ნებისმიერი რიცხვი, როგორც გამოსავალი. თუ გადავხედავთ x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0. ნებისმიერი ნომერი აქ იქნება.

მაშ, რატომ უნდა ავირჩიოთ რომელიმე მათგანი? ჩვენ ნამდვილად არ გვაქვს რაიმე მოსაზრება, რომლითაც შეგვიძლია ავიღოთ ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი და ვთქვათ, რომ ეს არის განტოლებების ამონახსნები. აქედან გამომდინარე, უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია და ეს ასევე ორაზროვანი პრობლემაა, რომელშიც მიჩნეულია, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

უსასრულობა

ზევით გითხარი მიზეზები, რის გამოც არ შეგიძლია გაყოფა, ახლა მინდა გესაუბრო. შევეცადოთ სიფრთხილით მივუდგეთ გაყოფას ნულოვანი მოქმედებით. რიცხვი 5 ჯერ გაყავით ორზე. ვიცით, რომ ათწილადი 2.5 გამოვა. ახლა ვამცირებთ გამყოფს და ვყოფთ 5-ს 1-ზე, იქნება 5. ახლა ვყოფთ 5-ს 0,5-ზე. ეს იგივეა, რაც ხუთი გაყოფილი ნახევარზე, ან იგივე 5 * 2, იქნება 10. გაითვალისწინეთ, რომ გაყოფის შედეგი, ანუ კოეფიციენტი, იზრდება: 2.5, 5, 10.

ახლა 5 გავყოთ 0.1-ზე, იგივე იქნება 5*10=50, კოეფიციენტი ისევ გაიზარდა. ამავდროულად, ჩვენ შევამცირეთ გამყოფი. თუ 5-ს გავყოფთ 0,01-ზე, იგივე იქნება, რაც 5*100=500. იხ. რაც უფრო პატარას ვაკეთებთ გამყოფს, მით უფრო დიდი ხდება კოეფიციენტი. თუ 5-ს გავყოფთ 0,00001-ზე, მივიღებთ 500000-ს.

შეაჯამეთ

მაშინ რა არის გაყოფა ნულზე, თუ ამას ამ გაგებით შევხედავთ? დააკვირდით, როგორ შევამცირეთ ჩვენი კოეფიციენტი? თუ ღერძს დახატავთ, ეს აჩვენებს, რომ ჯერ გვქონდა ორი, შემდეგ ერთი, შემდეგ 0.5, 0.1 და ა.შ. ნულს სულ უფრო ვუახლოვდებოდით მარჯვნივ, მაგრამ არასოდეს მივაღწიეთ ნულს. ვიღებთ უფრო და უფრო მცირე რიცხვს და ვყოფთ მასზე ჩვენს კოეფიციენტს. სულ უფრო და უფრო დიდი ხდება. ამ შემთხვევაში ისინი წერენ, რომ ჩვენ ვყოფთ 5-ს X-ზე, სადაც x უსასრულოდ მცირეა. ანუ სულ უფრო და უფრო უახლოვდება ნულს. ასეა ამ შემთხვევაშიც, ხუთეულის X-ზე გაყოფისას მივიღებთ უსასრულობას. უსასრულოდ დიდი რიცხვი. აქ არის ნიუანსი.

თუ მარჯვნიდან მივუახლოვდებით ნულს, მაშინ ეს უსასრულო მცირე იქნება ჩვენთვის დადებითი და მივიღებთ პლუს უსასრულობას. თუ x-ს მარცხნიდან მივუახლოვდებით, ანუ ჯერ გავყოფთ -2-ზე, შემდეგ -1-ზე, -0.5-ზე, -0.1-ზე და ა.შ. მივიღებთ უარყოფით კოეფიციენტს. შემდეგ კი ხუთი გაყოფილი x-ზე, სადაც x იქნება უსასრულოდ პატარა, მაგრამ უკვე მარცხნივ, უდრის მინუს უსასრულობას. ამ შემთხვევაში, ისინი წერენ: x მიდრეკილია ნულისკენ მარჯვნიდან, 0 + 0, რაც გვიჩვენებს, რომ ჩვენ მარჯვნივ ვართ ნულისკენ. ვთქვათ, თუ ჩვენ ვისწრაფვით სამისკენ მარჯვნივ, ამ შემთხვევაში ისინი წერენ x მიდრეკილებას მარცხნივ. შესაბამისად, ჩვენ ვისწრაფვით მარცხნიდან სამისთვის, ჩავწეროთ, როგორც x მიდრეკილია 3-0-მდე.

როგორ დაგვეხმარება ფუნქციების გრაფიკი

ამის უკეთ გაგებაში გვეხმარება ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც სკოლაში მუდმივად გავიარეთ. ფუნქციას ეწოდება შებრუნებული ურთიერთობა, ხოლო მისი გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. ჰიპერბოლა ასე გამოიყურება. ეს არის მრუდი, რომლის ასიმპტოტებია x და y. ასიმპტოტი არის ხაზი, რომლისკენაც მრუდი მიდრეკილია, მაგრამ არასოდეს აღწევს. ასეთია მათემატიკური დრამა. ჩვენ ვხედავთ, რომ რაც უფრო ვუახლოვდებით ნულს, მით უფრო დიდი ხდება y-ის მნიშვნელობა. რაც უფრო პატარა ხდება x, ანუ როდესაც x მარჯვნივ მიისწრაფვის ნულისკენ, y სულ უფრო და უფრო მეტი ხდება და მიიჩქარის პლუს უსასრულობისკენ. შესაბამისად, მარცხნიდან ნულისკენ მიდრეკისას, როდესაც x მარცხნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, ანუ x მიისწრაფვის 0-0-მდე, y მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ. სწორად წერია ასე. Y მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, X მიდრეკილია მარცხნიდან ნულისკენ. შესაბამისად, ჩვენ დავწერთ Y მიდრეკილებას პლუს უსასრულობისკენ, x მიდრეკილია ნულისკენ მარჯვნივ. ანუ, ფაქტობრივად, ჩვენ არ ვყოფთ ნულზე, ჩვენ ვყოფთ უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობაზე.

და ისინი, ვინც ამბობენ, რომ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ უსასრულობას, ისინი უბრალოდ გულისხმობენ, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ არა ნულზე, არამედ შეგიძლიათ გაყოთ ნულთან ახლოს მყოფ რიცხვზე, ანუ უსასრულო სიდიდით. მაშინ მივიღებთ პლიუს უსასრულობას, თუ გავყოფთ უსასრულო დადებითზე და მინუს უსასრულობას ვყოფთ უსასრულო უარყოფითზე.

იმედი მაქვს, რომ ეს სტატია დაგეხმარებათ გაიგოთ კითხვა, რომელიც ბავშვობიდან ყველაზე მეტად მტანჯავს, რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა. რატომ გვაიძულებენ რაღაც წესი ვისწავლოთ, მაგრამ არაფერია ახსნილი. ვიმედოვნებ, რომ სტატია დაგეხმარა იმის გაგებაში, რომ ნამდვილად არ შეგიძლია გაყოფა ნულზე და ისინი, ვინც ამბობენ, რომ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, სინამდვილეში ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ გაყოთ უსასრულო სიდიდეზე.

"ნულს ვერ გაყოფ!" - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე იმახსოვრებს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის „არა“ და რა მოხდება, თუ ამის საპასუხოდ ჰკითხავთ: „რატომ?“ მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არის ეს შეუძლებელია.

საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი მოქმედება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ სრულფასოვანად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან.

განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. Რას ნიშნავს 5 – 3 ? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ნივთი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი მათგანი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვაგვარად უყურებენ. არ არის გამოკლება, მხოლოდ შეკრება. ამიტომ, შესვლა 5 – 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც რიცხვს დაემატება 3 მისცემს ნომერს 5 . ე.ი 5 – 3 არის მხოლოდ განტოლების სტენოგრამა: x + 3 = 5. ამ განტოლებაში არ არის გამოკლება. არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.

იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩაწერა 8: 4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ობიექტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ ეს ნამდვილად განტოლების მხოლოდ შემოკლებული ფორმაა 4 x = 8.

სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელია (უფრო სწორად შეუძლებელი) გაყოფა ნულზე. ჩაწერა 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5. ანუ, ეს ამოცანაა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მოგცემს 5 . მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ გამრავლებისას 0 ყოველთვის გამოდის 0 . ეს არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.

რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მისცემს რაიმეს გარდა null, უბრალოდ არ არსებობს. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ეს ხდება, ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) 5: 0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და, შესაბამისად, აზრი არ აქვს. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ამ ეტაპზე ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის ნულზე გაყოფა? მართლაც, განტოლებიდან 0 x = 0წარმატებით გადაწყდა. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ x=0და შემდეგ მივიღებთ 0 0 = 0. თურმე 0: 0 = 0 ? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. ვცადოთ აღება x=1. მიიღეთ 0 1 = 0. სწორად? ნიშნავს, 0: 0 = 1 ? მაგრამ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ნომერი და მიიღოთ 0: 0 = 5 ან 0: 0 = 317 და ა.შ.

მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, რომ რომელიმე მათგანს ავირჩიოთ. ანუ ვერ გეტყვით რომელი რიცხვი შეესაბამება ჩანაწერს 0: 0 . და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთ შესაძლო ვარიანტს. 0 x = 0; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ "გაურკვევლობის გამჟღავნებაზე", მაგრამ არითმეტიკაში ასეთი შემთხვევები არ ხდება.)

ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული.

მაშ, ყველაზე ზედმიწევნით, ამ მომენტამდე წაკითხვის შემდეგ, შეიძლება იკითხოს: რატომ არის ასე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალური მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ სწავლობენ. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე, პირველ რიგში ამას გასწავლიან.

ალექსანდრე სერგეევი

კომენტარები: 0

თქვენი ყურადღება მიიწვია კვლევით პროგრამაზე, რომელიც თანმიმდევრულად აცოცხლებს ნეო-პითაგორას ფილოსოფიას თეორიულ ფიზიკაში და ეფუძნება რწმენას ფიზიკური კანონების არაშემთხვევაში, ერთი ძირითადი პრინციპის არსებობაზე, რომელიც განსაზღვრავს სტრუქტურას (ხილული და უხილავი). სამყაროს შესახებ და დაწერილია აბსტრაქტული მათემატიკური ენით, რიცხვების ენაზე (მთლიანი, რეალური და შესაძლოა მათი განზოგადება).

არნოლდ V.I.

პოპულარული ლექცია, იმ ფორმით, რომელშიც ვლადიმირ იგორევიჩ არნოლდმა წაიკითხა იგი 2006 წლის 13 მაისს აკადემიის საკონცერტო დარბაზში დინასტიის ფონდის მოწვევით. თავად აკადემიკოსი არნოლდი ირწმუნება, რომ ამ ლექციის გაგება სკოლის მოსწავლესაც კი შეუძლია.

როგორც ჩანს, მე-20 საუკუნე ამაო არ ყოფილა. ჯერ ადამიანებმა შექმნეს მეორე მზე წამიერად წყალბადის ბომბის აფეთქებით. შემდეგ ისინი დადიოდნენ მთვარეზე და საბოლოოდ დაამტკიცეს ცნობილი ფერმას თეორემა. ამ სამი სასწაულიდან პირველი ორი ყველას პირზეა, რადგან მათ უზარმაზარი სოციალური შედეგები მოჰყვა. პირიქით, მესამე სასწაული სხვა მეცნიერულ სათამაშოს ჰგავს - ფარდობითობის თეორიის, კვანტური მექანიკის და არითმეტიკის არასრულყოფილების გოდელის თეორემას ტოლფასია. თუმცა, ფარდობითობამ და კვანტმა ფიზიკოსები წყალბადის ბომბისკენ მიიყვანა და მათემატიკოსთა კვლევამ ჩვენი სამყარო კომპიუტერებით შეავსო. გაგრძელდება თუ არა ეს სასწაულების სერია 21-ე საუკუნეში? შესაძლებელია თუ არა თვალყური ადევნოთ კავშირს მომდევნო სამეცნიერო სათამაშოებსა და რევოლუციებს შორის ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში? გვაძლევს თუ არა ეს კავშირი წარმატებული პროგნოზების გაკეთების საშუალებას? შევეცადოთ ამის გაგება ფერმას თეორემის მაგალითის გამოყენებით.

ალექსანდროვი პ.ს., მარკუშევიჩ ა.ი., ხინჩინ ა.ია.

წიგნების კრებული განკუთვნილია მათთვის, ვინც ისწავლა დაწყებითი მათემატიკა და რომლებიც უკვე გახდნენ ან ემზადებიან დაწყებითი მათემატიკის მასწავლებლები გახდნენ. ჩვენი პუბლიკაციის ლოგიკა არის მათემატიკური მეცნიერების იმ კითხვების სისტემატური, რაც შეიძლება მარტივი და ხელმისაწვდომი პრეზენტაციის ლოგიკა, საიდანაც აგებულია სასკოლო კურსი, ისევე როგორც ის, რაც, მართალია, ამ კურსში პირდაპირ გამოხატვას ვერ პოულობენ, მიუხედავად ამისა, აუცილებელია მისი სწორი და შეგნებული გაგებისთვის და ქმნიან სასკოლო კურსის შინაარსისა და მეთოდების შემდგომი განვითარების პერსპექტივებს.

ვლადიმერ კასანდროვი

გორდონის პროგრამა

არსებობს თუ არა ერთი "ბუნების კოდექსი"? შეუძლია თუ არა რიცხვს სინათლის გამომუშავება, ხოლო სინათლე - მატერია? რაში მდგომარეობს ფიზიკური თეორიების აგების „ნეოპითაგორეული“ მიდგომის ძირითადი პრინციპების არსი? „დროის მდინარისა“ და ნაწილაკების, როგორც პირველადი სინათლის ნაკადების „კონდენსაციის“ წერტილების შესახებ - ფიზიკოსი ვლადიმერ კასანდროვი.

0-ზე გაყოფა ბევრ კითხვას ბადებს იმ ადამიანებისთვის, ვინც მათემატიკით იყო დაკავებული და მასთან შეხება მხოლოდ სასკოლო განათლების საფეხურზე ჰქონდათ. იმ დროს, როდესაც ბავშვი იწყებს მთლიანობაში გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციების შესწავლას, საკითხიც უახლოვდება ნულზე გაყოფას. ამ მომენტში მასწავლებელი ყველაზე ხშირად ამბობს, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია და... ესე იგი.

ახსნა ამ ეტაპზე დასრულდა. შეუძლებელია, და მიუხედავად იმისა, რომ გატეხე

სტუდენტის წინაშე ჩნდება დილემა - აითვისოს მასწავლებლის სიტყვა და უბრალოდ დაწეროს, რომ არ არის პასუხი მაგალითში, სადაც ასეთი ოპერაცია ჩნდება, ან შეეცადეთ გაიგოთ ეს საკითხი. მაგრამ მშობლების უმეტესობამ, რომლებმაც დიდი ხნის წინ დაამთავრეს სკოლა და უსაფრთხოდ გადაყარეს მთელი ის ცოდნა, რაც მათში იყო ჩასმული სკოლის პერიოდში (გარდა იმათგან, რომლებიც რაღაცნაირად მაინც გამოადგებათ მათ ცხოვრებაში) ტვინის ნაგავში. ასევე არ შეუძლიათ ამ საკითხში განსაკუთრებული დახმარება. და გამოსავალი შედარებით მარტივია. კარგია, თუ მასწავლებელი უახლოვდება კითხვას, რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა შემოქმედებითი მხრიდან. ამისათვის საკმარისი იქნება ჩვეულებრივი ოპერაციების შესრულება პროცესის ვიზუალური დემონსტრირებით. რაზე ვსაუბრობთ?

სხვადასხვა განყოფილების ოპერაციების დემონსტრირება ნებისმიერი ადამიანისთვის გასაგები მოქმედებების დახმარებით

შეგიძლიათ აიღოთ რამდენიმე ვაშლი, ვთქვათ ექვსი ცალი და აუხსნათ, რომ 6 არის ის რიცხვი, რომელიც უნდა გაიყოს, ანუ შესწავლილი მათემატიკური ტერმინების მიხედვით ეს არის გასაყოფი.

მასწავლებელი დაფასთან დგას და მის წინ მაგიდაზე 6 ვაშლია. შემდეგ კლასიდან ორ ადამიანს იძახებს და ამ ვაშლებს მათ შორის თანაბრად ყოფს. ანუ ორი ადამიანი ამ შემთხვევაში დგას გამყოფზე - რიცხვზე, რომლითაც დივიდენდი უნდა გაიყოს. მასწავლებელი თითოეულ მოსწავლეს აძლევს სამ ვაშლს. ანუ გაყოფის პროცესი ხდება ზუსტად მაშინ, როცა მასწავლებელმა ვაშლები გადასცა მოსწავლეებს ხელში. და თითოეული ბავშვის ხელში სამი ვაშლი არის გაყოფის კოეფიციენტი.

ნულის რიცხვზე გაყოფა - პროცესის წარმოშობის დემონსტრირება

კითხვა, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა, ჩნდება საპირისპირო სიტუაციიდან - რატომ არის შესაძლებელი ნულის გაყოფა რიცხვზე? ახლა ჩვენ ჭკვიანები ვართ და ვიცით, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და ის მთლიანად გაიყოს ან გამოჩნდეს წილადი, ან თუნდაც უარყოფითი ნიშანი, ფესვი ან პი - ყველაფერი შესაძლებელია. მაგრამ აქ არის საიდუმლო ნულთან და ეს არის ის.

რა ხდება, როცა ნულს გავყოფ რიცხვზე?

იმისათვის, რომ ავხსნათ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა ნულზე, მოდით ჯერ გავიგოთ, რა ხდება, როდესაც 0 ​​იყოფა გარკვეულ რიცხვზე. დაფასთან იგივე მასწავლებელი დგას და მაგიდაზე არაფერი აქვს. მის წინაშე სიცარიელეა, ნული. როდესაც მოსწავლეები მივიდნენ მასთან და ხელებს გაუწოდონ თავიანთი პიროვნების მისაღებად, მასწავლებელი ამ არაფერს უზიარებს მას, უბრალოდ ხელისგულებზე შეხებით. ანუ ერთი დიდი არაფერი ჰქონდა და ეს არაფერი მისცა ორ სტუდენტს. ამრიგად, ცხადი ხდება, რომ ნულის გაყოფა ნებისმიერ რიცხვზე ხდება, რადგან გადაცემის პროცესი მოხდა. ერთადერთი განსხვავებით, რომ ნულოვანი შედეგით.

შემთხვევა მესამე

მსგავსი, მესამე სიტუაცია უკვე უნდა განხორციელდეს, რათა აჩვენოს, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა. მასწავლებელს ხელში ან მის წინ მაგიდაზე ისევ იგივე ექვსი ვაშლი აქვს, როგორც პირველ სიტუაციაში. მაგრამ ჩვენ ვყოფთ ნულზე, რადგან არავინ მოდის მასთან ვაშლისთვის.

ანუ ის ორი სტუდენტი, რომლებიც ადრე გამოვიდნენ პირველ სიტუაციაში, წარმოადგენდნენ რიცხვს 2. 0 რიცხვის წარმოსაჩენად გამოდის, რომ არავინ უნდა გამოვიდეს. როგორც გვახსოვს, სწორედ ვაშლის გადატანა მასწავლებლის ხელიდან მოსწავლეების ხელში არის გაყოფის პროცესი. მაგრამ ახლა მოწაფეები არ არიან და გაყოფის პროცესი არავის ემართება. ამიტომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია. სკოლის დონეზე ბავშვებისთვის ეს ელემენტარული ახსნაა.

მარტივი და ადვილად ასახსნელი. და მერე ინსტიტუტის მასწავლებლებმაც იგივე გააკეთონ

უკვე უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებაში შესვლისა და, მაგალითად, საზღვრის ცნების შესწავლის შემდეგ, მოხსნილია კითხვა, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა, რადგან გამოდის, რომ ეს შეიძლება გაკეთდეს. რაიმეს ნულზე გაყოფით, შედეგი არის უსასრულობა, გაურკვევლობა.

ასეთი შედეგის უსასრულო განზომილება ჯერ კიდევ არ არის ბოლომდე განსაზღვრული და ადამიანს, რომელსაც არ აქვს სპეციალური მათემატიკური განათლება, არ შეუძლია გაიგოს, რატომ არის ეს აუცილებელი, რა მიზნები იქნა დასახული ამ ოპერაციის ამოხსნისას და ზოგადად რას იძლევა. მაგრამ სასკოლო ასაკის მოსწავლეებისთვის ზემოაღნიშნული ახსნა სავსებით საკმარისია მათი სურვილის დასაკმაყოფილებლად იმის გასაგებად, თუ რატომ არის ჯერ კიდევ შეუძლებელია ნულზე გაყოფა - არა უბრალოდ თქვა და ბავშვები ფაქტზე წინ დააყენე, არამედ მიეცით მათთვის საინტერესო და გასართობი ახსნა.

• სახელმძღვანელო

ჩემი სამი წლის ქალიშვილი სოფია ბოლო დროს ხშირად ახსენებს "ნულს", მაგალითად, ამ კონტექსტში:

- სონია, თავიდან არ გეჩვენა, რომ დაემორჩილე და მერე დაემორჩილე, რა ხდება? ..
- კარგი... ნული!

იმათ. უარყოფითი რიცხვების განცდა და ნულის ნეიტრალიტეტი უკვე აქვს, ოჰ როგორ. მალე ის იკითხავს: რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა?
ასე რომ, გადავწყვიტე მარტივი სიტყვებით დამეწერა ყველაფერი, რაც ჯერ კიდევ მახსოვს ნულზე გაყოფის შესახებ და ეს ყველაფერი.

ზოგადად ჯობია გაყოფის ერთხელ ნახვა, ვიდრე ასჯერ მოსმენა.
ან ერთი გაყოფილი x-ზე, რომ ნახოთ...

აქ მაშინვე ირკვევა, რომ ნული არის სიცოცხლის ცენტრი, სამყარო და ეს ყველაფერი. ამ ყველაფერზე მთავარ კითხვაზე პასუხი იყოს 42, მაგრამ ცენტრი მაინც არის 0. ნიშანიც კი არ აქვს, არც პლუსი (დაემორჩილა), არც მინუსი (არ დაემორჩილა), ეს ნამდვილად ნულია. და მან ბევრი რამ იცის ღორების შესახებ.

რადგან თუ რომელიმე ღორი გამრავლებულია ნულზე, მაშინ ღორი იწოვება ამ მრგვალ შავ ხვრელში და ისევ მიიღება ნული. ეს ნული არც ისე ნეიტრალურია, როცა საქმე შეკრება-გამოკლებიდან გამრავლებამდე მიდის, რომ აღარაფერი ვთქვათ გაყოფაზე... იქ, თუ ნული არის “0/x”-ის თავზე, მაშინ ისევ შავი ხვრელი. ყველაფერი ნულამდე მიდის. მაგრამ თუ გაყოფის დროს და თუნდაც ქვემოდან - "x / 0", მაშინ ის იწყება ... მიჰყევით თეთრ კურდღელს, სონიას!

სკოლაში გეტყვიან "ნულის გაყოფა არ შეიძლება" და არ გაწითლდებიან. დასამტკიცებლად კალკულატორზე აკრავენ „1/0=“ და ჩვეულებრივი კალკულატორი, ასევე გაწითლების გარეშე, დაწერს „E“, „შეცდომა“, ამბობენ, „შეუძლებელია - ეს ნიშნავს, რომ შეუძლებელია“. მიუხედავად იმისა, რომ რა ჩაითვლება ჩვეულებრივ კალკულატორად, არსებობს კიდევ ერთი კითხვა. ახლა, 2014 წელს, ანდროიდის ტელეფონზე სტანდარტული კალკულატორი სულ სხვა რამეს მწერს:

ვაი უსასრულობა. გაასრიალეთ თვალები, გაჭერით წრეები. აქ არ შეგიძლია. თურმე შეგიძლია. თუ ყურადღებით. იმიტომ, რომ ფრთხილად, ჩემი ანდროიდიც ჯერ არ მეთანხმება: „0/0=შეცდომა“, ისევ არ შეიძლება. მოდით, კიდევ ერთხელ ვცადოთ: "-1/0 = -∞", ოჰ როგორ. საინტერესო აზრია, მაგრამ არ ვეთანხმები. რადგან არ ვეთანხმები "0/0=შეცდომა".

სხვათა შორის, JavaScript, რომელიც აძლიერებს დღევანდელ საიტებს, ასევე არ ეთანხმება ანდროიდის კალკულატორს: გადადით ბრაუზერის კონსოლზე (ჯერ კიდევ F12?) და დაწერეთ იქ: "0/0" (შეიყვანეთ). JS გიპასუხებთ: "NaN". ეს არ არის შეცდომა. ეს არის "არა რიცხვი" - ე.ი. რაღაც მსგავსი, მაგრამ არა რიცხვი. მაშინ როდესაც "1/0" JS ასევე ესმის როგორც "Infinity". უფრო ახლოსაა. მაგრამ სანამ თბილია...

უნივერსიტეტში - უმაღლესი მათემატიკა. არსებობს საზღვრები, პოლუსები და სხვა შამანიზმი. და ყველაფერი უფრო რთულდება, რთულდება, ისინი ტრიალებენ და ირგვლივ, ოღონდ არ დაირღვეს მათემატიკის კრისტალური კანონები. მაგრამ თუ თქვენ არ ცდილობთ ნულზე გაყოფის შეყვანას ამ არსებულ კანონებში, მაშინ შეგიძლიათ იგრძნოთ ეს ფანტაზია - თქვენს თითებზე.

ამისათვის მოდით კვლავ გადავხედოთ განყოფილებას:

მიჰყევით მარჯვენა ხაზს, მარჯვნივ მარცხნივ. რაც უფრო ახლოს არის x ნულთან, მით უფრო ძლიერია გაყოფილი x-ზე. და სადღაც ღრუბლებში "პლუს უსასრულობა". ის ყოველთვის უფრო შორს არის, ჰორიზონტის მსგავსად, თქვენ არ დაეწიოთ მას.

ახლა მიჰყევით მარცხენა ხაზს, მარცხნიდან მარჯვნივ. იგივე ამბავი, მხოლოდ ახლა გაყოფილი დაფრინავს ქვემოთ, უსაზღვროდ ქვემოთ, "მინუს უსასრულობაში". აქედან გამომდინარეობს მოსაზრება, რომ "1/0= +∞", და "-1/0 = 1/-0 = -∞".

მაგრამ ხრიკი ის არის, რომ "0 = -0", ნულს არ აქვს ნიშანი, თუ არ გაართულებთ საზღვრებს. და თუ ერთს გაყოფთ ასეთ "მარტივ" ნულზე ნიშნის გარეშე, მაშინ არ არის ლოგიკური ვივარაუდოთ, რომ უსასრულობაც აღმოჩნდება - "უბრალოდ" უსასრულობა, ნიშნის გარეშე, როგორც ნული. სად არის - ზემოთ თუ ქვემოთ? ის ყველგან არის - უსასრულოდ შორს ნულიდან ყველა მიმართულებით. ეს არის ნული, შემობრუნებული შიგნით გარეთ. ნული - არაფერი. უსასრულობა ყველაფერია. დადებითიც და უარყოფითიც. ზოგადად, ყველაფერი. და მაშინვე. აბსოლუტური.

მაგრამ იყო რაღაც "0/0", რაღაც სხვა, არა უსასრულობა... მოდით გავაკეთოთ ეს ხრიკი: "2 * 0 = 0", დიახ, იტყვის სკოლის მასწავლებელი. ასევე: "3 * 0 = 0" - ისევ, დიახ. და როცა ცოტათი აფურთხებენ "ნულზე ვერ გაყოფ", ამბობენ, მთელი მსოფლიო უკვე ნელ-ნელა იყოფა, მივიღებთ: "2=0/0" და "3=0/0". რომელ კლასში იმართება მხოლოდ ნულის გარეშე რა თქმა უნდა.

ერთი წუთით, გამოდის "2 = 0/0 = 3", "2=3"?! ამიტომ ეშინიათ, ამიტომაც „არ შეუძლიათ“. მხოლოდ "0/0" არის უარესი "1/0", ანდროიდის კალკულატორსაც კი ეშინია ამის.

და ჩვენ არ გვეშინია! იმიტომ, რომ ჩვენ გვაქვს მათემატიკის წარმოსახვის ძალა. ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ საკუთარი თავი უსასრულო აბსოლუტად სადღაც ვარსკვლავებში, იქიდან შევხედოთ სასრული რიცხვების და ადამიანების ცოდვილ სამყაროს და გავიგოთ, რომ ამ თვალსაზრისით ისინი ყველა ერთნაირია. და "2" c "3", და კიდევ "-1", და მასწავლებელი სკოლაში, ალბათ, ასევე.

ასე რომ, მე მოკრძალებულად ვვარაუდობ, რომ 0/0 არის მთელი სასრული სამყარო, უფრო სწორად ყველაფერი, რაც არც უსასრულოა და არც ცარიელი.

ასე გამოიყურება ნული გაყოფილი x-ზე ჩემს ფანტაზიებში, ოფიციალური მათემატიკისგან შორს. სინამდვილეში, ის ჰგავს 1/x-ს, მხოლოდ გადახრა არის არა ერთზე, არამედ ნულზე. სხვათა შორის, 2/x-ს აქვს ფლექსია ორში, ხოლო 0,5/x-ს აქვს ფლექსია 0,5-ში.

გამოდის, რომ 0/x x=0-ზე იღებს ყველა სასრულ მნიშვნელობას - არა უსასრულობას, არა სიცარიელეს. გრაფიკზე არის ხვრელი ნულზე, ღერძები ჩანს.

რა თქმა უნდა, შეიძლება გააპროტესტოთ, რომ "0 * 0 = 0", რაც ნიშნავს, რომ ნული (სიცარიელე) ასევე მიეკუთვნება კატეგორიას 0/0. ცოტა წინ გავიქცევი - იქნება ნულის ხარისხები და ეს წინააღმდეგობა ფრაგმენტებად დაიმსხვრევა.

უი, ერთი უსასრულობაში ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც 0/0, გამოდის (0/0)/0 - უსასრულობა. ახლა წესრიგი, ყველაფერი შეიძლება გამოისახოს ნულების თანაფარდობით.

მაგალითად, თუ სასრულს დაუმატებთ უსასრულობას, მაშინ უსასრულობა შთანთქავს სასრულს და დარჩება უსასრულოდ:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

და თუ უსასრულობა მრავლდება სიცარიელეზე, მაშინ ისინი შთანთქავენ ერთმანეთს და მიიღება სასრული სამყარო:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

მაგრამ ეს მხოლოდ ოცნებების პირველი დონეა. შეგიძლიათ უფრო ღრმად ჩათხაროთ.

თუ თქვენ უკვე იცით "რიცხვის სიმძლავრის" კონცეფცია და რომ "1/x = x^-1", მაშინ გარკვეული ფიქრით შეგიძლიათ გადაიტანოთ ყველა იმ დაყოფიდან და ფრჩხილიდან (როგორიცაა (0/0)/0) უბრალოდ უფლებამოსილებები:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

ნახავ.
აქ, უსასრულობასა და სიცარიელეში, ყველაფერი მარტივია, როგორც სკოლაში. და სასრული სამყარო მიდის შემდეგ ხარისხებამდე:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

უფ!

გამოდის, რომ ნულის დადებითი გრადუსები არის ნულები, ნულის უარყოფითი გრადუსები არის უსასრულობები, ხოლო ნულის ნულოვანი ხარისხი არის სასრული სამყარო.

ასე გამოდის უნივერსალური ობიექტი „0^x“. ასეთი ობიექტები მშვენივრად ურთიერთობენ ერთმანეთთან, კვლავ ემორჩილებიან ბევრ კანონს, ზოგადად სილამაზეს.

მათემატიკის ჩემი მოკრძალებული ცოდნა საკმარისი იყო იმისთვის, რომ მათგან აბელიანი ჯგუფი გამოეყვანა, რომელიც იზოლირებული იყო ვაკუუმში („უბრალოდ აბსტრაქტული ობიექტები, აღნიშვნის ასეთი ფორმა, როგორც მაჩვენებლის მსგავსი“), გაუძლო მათემატიკის ყველაზე მაგარი მასწავლებლის გამოცდას. განაჩენი "საინტერესოა, მაგრამ არაფერი გამოვა". და მაინც, აქ რაღაც გამოვა, ეს ტაბუდადებული თემაა - გაყოფა ნულზე. ზოგადად, არ ინერვიულო.

შევეცადოთ უბრალოდ გავამრავლოთ უსასრულობა სასრულ რიცხვზე:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

ისევ, უსასრულობამ შთანთქა სასრული რიცხვი ისევე, როგორც მისი ანტიპოდი ნული ყლაპავს სასრულ რიცხვებს, იგივე შავ ხვრელს:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

და გამოდის, რომ გრადუსები ძალას ჰგავს. იმათ. მეორე ხარისხის ნული უფრო ძლიერია ვიდრე ჩვეულებრივი ნული (პირველი ხარისხის, 0^1). და უსასრულობა მინუს მეორე ხარისხი უფრო ძლიერია ვიდრე ჩვეულებრივი უსასრულობა (0^-1).

და როდესაც სიცარიელე ეჯახება აბსოლუტს, ისინი ზომავენ თავიანთ ძალას - ვისაც მეტი აქვს, ის გაიმარჯვებს:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

თუ ისინი თანაბარი არიან სიძლიერით, მაშინ ისინი ანადგურებენ და სასრული სამყარო რჩება:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

სხვათა შორის, ოფიციალური მათემატიკა უკვე ახლოსაა. მისმა წარმომადგენლებმა იციან „პოლუსების“ შესახებ და რომ პოლუსებს აქვთ განსხვავებული სიძლიერე (წესრიგი), ასევე „k რიგის ნულის“ შესახებ. მაგრამ ისინი მაინც თელავენ მყარ ზედაპირს „გვერდით“ და ეშინიათ შავ ხვრელში გადახტომის.

და ბოლო ჩემთვის არის ოცნებების მესამე დონე. მაგალითად, ეს ყველაფერი არის 0^-1 და 0^-2 - სხვადასხვა სიძლიერის უსასრულობა. ან 0^1, 0^2 - სხვადასხვა სიძლიერის ნულები. მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, "-1" და "-2" და "+1" და "+2" - სულ ეს არის - 0/0, ტოლი 0 ^ 0, უკვე გავიდა. გამოდის, რომ სიზმრების ამ დონიდან არ აქვს მნიშვნელობა რა არის - ნულები, უსასრულობები და სასრული სამყაროც კი იქ აღწევს გარკვეული განმანათლებლობით. ერთ მომენტში. ერთ კატეგორიაში. ამ ბედნიერებას სინგულარობა ჰქვია.

უნდა ვაღიაროთ, რომ განმანათლებლობის მდგომარეობის მიღმა მე არ ვაკვირდები ერთ პუნქტს, არამედ ერთ კატეგორიას - გაერთიანებას "0 ^ 0 U 0 ^ (0 ^ 0)" - მთლიანად.

რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ ამ ყველაფრისგან? ბოლოს და ბოლოს, ცოტა ნაკლებად გიჟური „წარმოსახვითი რიცხვებიც“, რომლებიც ასევე წყვეტენ კალკულატორებს შეცდომაში = √-1 და ისინი შეიძლება გახდნენ ოფიციალური მათემატიკა და ახლა გაამარტივონ ფოლადის წარმოების გამოთვლები.

როგორც ხეზე ფოთლები შორიდან თითქოს ერთნაირია, მაგრამ თუ მათ ყურადღებით დააკვირდებით, ყველა განსხვავებულია. და თუ დაფიქრდებით, ისევ იგივე. და დიდად არ განსხვავდება შენგან და ჩემგან. უფრო სწორად, ისინი საერთოდ არ განსხვავდებიან, თუ კარგად დაფიქრდებით.

სარგებელი აქ არის შესაძლებლობა, რომ ფოკუსირება მოახდინოთ განსხვავებებზე და აბსტრაქტულზე. ეს ძალიან სასარგებლოა როგორც სამსახურში, ასევე ცხოვრებაში და სიკვდილთან მიმართებაშიც კი.

ასეთი მოგზაურობები კურდღლის ხვრელში, სონია!