პირველი დონე

კვადრატული განტოლებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

ტერმინში "კვადრატული განტოლება" საკვანძო სიტყვაა "კვადრატული". ეს ნიშნავს, რომ განტოლება აუცილებლად უნდა შეიცავდეს ცვლადს (იგივე X) კვადრატში და ამავე დროს არ უნდა იყოს Xs მესამე (ან უფრო დიდ) ხარისხში.

მრავალი განტოლების ამოხსნა მცირდება კვადრატულ განტოლებათა ამოხსნამდე.

ვისწავლოთ იმის დადგენა, რომ ჩვენ გვაქვს კვადრატული განტოლება და არა სხვა.

მაგალითი 1

გაათავისუფლეთ მნიშვნელი და გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი

გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს და დავალაგოთ ტერმინები x-ის ხარისხების კლებადობით

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ეს განტოლება არის კვადრატული!

მაგალითი 2

გაამრავლეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

ეს განტოლება, თუმცა თავდაპირველად მასში იყო, არ არის კვადრატი!

მაგალითი 3

მოდით გავამრავლოთ ყველაფერი:

საშინელი? მეოთხე და მეორე ხარისხი... თუმცა, თუ ჩანაცვლებას გავაკეთებთ, დავინახავთ, რომ გვაქვს მარტივი კვადრატული განტოლება:

მაგალითი 4

როგორც ჩანს, ასეა, მაგრამ მოდით, უფრო ახლოს მივხედოთ. მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს:

ხედავთ, ის შემცირდა - და ახლა ეს მარტივი წრფივი განტოლებაა!

ახლა შეეცადეთ დაადგინოთ ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებიდან რომელია კვადრატული და რომელი არა:

მაგალითები:

პასუხები:

1. მოედანი;
2. მოედანი;
3. არა კვადრატი;
4. არა კვადრატი;
5. არა კვადრატი;
6. მოედანი;
7. არა კვადრატი;
8. კვადრატი.

მათემატიკოსები პირობითად ყოფენ ყველა კვადრატულ განტოლებას შემდეგ ტიპებად:

• სრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტები და, ისევე როგორც თავისუფალი წევრი c, არ არის ნულის ტოლი (როგორც მაგალითში). გარდა ამისა, სრულ კვადრატულ განტოლებებს შორის არის მოცემულიარის განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი (განტოლება პირველი მაგალითიდან არა მხოლოდ სრულია, არამედ შემცირებულია!)

• არასრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

  ისინი არასრულია, რადგან რაღაც ელემენტი აკლია მათგან. მაგრამ განტოლება ყოველთვის უნდა შეიცავდეს x კვადრატს !!! წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს აღარ იქნება კვადრატული, არამედ სხვა განტოლება.

რატომ მოიფიქრეს ასეთი დაყოფა? როგორც ჩანს, არის X კვადრატში და კარგი. ასეთი დაყოფა განპირობებულია გადაწყვეტის მეთოდებით. მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

პირველი, მოდით, ყურადღება გავამახვილოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე - ისინი ბევრად უფრო მარტივია!

არასრული კვადრატული განტოლებები შემდეგი ტიპებისაა:

1. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.
2. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.
3. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

1. ი. რადგან ვიცით როგორ ავიღოთ კვადრატული ფესვი, მოდით გამოვხატოთ ამ განტოლებიდან

გამოთქმა შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი. კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ორი უარყოფითი ან ორი დადებითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი, ასე რომ: თუ, მაშინ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

და თუ, მაშინ მივიღებთ ორ ფესვს. ამ ფორმულებს დამახსოვრება არ სჭირდება. მთავარია, ყოველთვის იცოდე და გახსოვდეთ, რომ ნაკლები არ შეიძლება.

შევეცადოთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი 5:

ამოხსენით განტოლება

ახლა რჩება ფესვის ამოღება მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებიდან. ბოლოს და ბოლოს, გახსოვთ როგორ ამოიღოთ ფესვები?

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!!!

მაგალითი 6:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 7:

ამოხსენით განტოლება

ოჰ! რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

არა ფესვები!

ისეთი განტოლებისთვის, რომლებშიც ფესვები არ არის, მათემატიკოსებმა გამოიგონეს სპეციალური ხატი - (ცარიელი ნაკრები). და პასუხი შეიძლება დაიწეროს ასე:

პასუხი:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. აქ არანაირი შეზღუდვა არ არის, რადგან ჩვენ არ გამოვყავით ფესვი.
მაგალითი 8:

ამოხსენით განტოლება

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ამრიგად,

ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

არასრული კვადრატული განტოლებების უმარტივესი ტიპი (თუმცა ისინი ყველა მარტივია, არა?). ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

აქ ჩვენ გავაკეთებთ მაგალითების გარეშე.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

შეგახსენებთ, რომ სრული კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლების განტოლება, სადაც

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ცოტა უფრო რთულია (უბრალოდ ცოტათი), ვიდრე მოცემული.

გახსოვდეს, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

დანარჩენი მეთოდები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში უფრო სწრაფად, მაგრამ თუ პრობლემები გაქვთ კვადრატულ განტოლებებთან დაკავშირებით, ჯერ დაეუფლეთ ამონახსს დისკრიმინანტის გამოყენებით.

1. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა დისკრიმინანტის გამოყენებით.

ამ გზით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ძალიან მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა.

თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი.განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს საფეხურს. დისკრიმინანტი () გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ ნაბიჯის ფორმულა შემცირდება. ამრიგად, განტოლებას ექნება მხოლოდ ფესვი.
• თუ, მაშინ ჩვენ ვერ გამოვყოფთ დისკრიმინანტის ფესვს საფეხურზე. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებებს და გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 9:

ამოხსენით განტოლება

Ნაბიჯი 1გამოტოვება.

ნაბიჯი 2

დისკრიმინანტის პოვნა:

ასე რომ, განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ნაბიჯი 3

პასუხი:

მაგალითი 10:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება არის სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1გამოტოვება.

ნაბიჯი 2

დისკრიმინანტის პოვნა:

ასე რომ, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:

მაგალითი 11:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება არის სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1გამოტოვება.

ნაბიჯი 2

დისკრიმინანტის პოვნა:

ეს ნიშნავს, რომ დისკრიმინანტიდან ფესვის ამოღებას ვერ შევძლებთ. განტოლების ფესვები არ არსებობს.

ახლა ჩვენ ვიცით, როგორ ჩავწეროთ ასეთი პასუხები სწორად.

პასუხი:ფესვების გარეშე

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

თუ გახსოვთ, მაშინ არის ისეთი ტიპის განტოლებები, რომლებსაც შემცირებული ეწოდება (როდესაც კოეფიციენტი a უდრის):

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ძალიან ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

ფესვების ჯამი მოცემულიკვადრატული განტოლება ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია.

მაგალითი 12:

ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება ვარგისია ვიეტას თეორემის გამოყენებით ამოხსნისთვის, რადგან .

განტოლების ფესვების ჯამი არის, ე.ი. ჩვენ ვიღებთ პირველ განტოლებას:

და პროდუქტი არის:

შევქმნათ და მოვაგვაროთ სისტემა:

• და. ჯამი არის;
• და. ჯამი არის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

პასუხი: ; .

მაგალითი 13:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 14:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება შემცირებულია, რაც ნიშნავს:

პასუხი:

კვადრატული განტოლებები. შუა დონე

რა არის კვადრატული განტოლება?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობია, - უფრო მეტიც, ზოგიერთი რიცხვი.

რიცხვს უწოდებენ უმაღლეს ან პირველი კოეფიციენტიკვადრატული განტოლება, - მეორე კოეფიციენტი, ა - თავისუფალი წევრი.

რატომ? რადგან თუ, განტოლება მაშინვე გახდება წრფივი, რადგან გაქრება.

ამ შემთხვევაში და შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ამ განავლის განტოლებას ეწოდება არასრული. თუ ყველა ტერმინი ადგილზეა, ანუ განტოლება დასრულებულია.

სხვადასხვა ტიპის კვადრატული განტოლების ამონახსნები

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

დასაწყისისთვის, ჩვენ გავაანალიზებთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს - ისინი უფრო მარტივია.

განტოლებების შემდეგი ტიპები შეიძლება განვასხვავოთ:

I., ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

II. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.

III. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.

ახლა განიხილეთ თითოეული ამ ქვეტიპის გადაწყვეტა.

ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

რიცხვი კვადრატში არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ორი უარყოფითი ან ორი დადებითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი. Ისე:

თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები;

თუ გვაქვს ორი ფესვი

ამ ფორმულებს დამახსოვრება არ სჭირდება. მთავარია გახსოვდეთ, რომ ეს არ შეიძლება იყოს ნაკლები.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!

რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

ფესვების გარეშე.

მოკლედ რომ დავწეროთ, რომ პრობლემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, ვიყენებთ ცარიელი ნაკრების ხატულას.

პასუხი:

ამრიგად, ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

პასუხი:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ამონახსნი, როდესაც:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

განტოლების მარცხენა მხარეს ვანაწილებთ და ვიპოვით ფესვებს:

პასუხი:

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

1. დისკრიმინანტი

ამ გზით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა. დაიმახსოვრეთ, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

შენიშნეთ დისკრიმინანტის ფესვი ფესვის ფორმულაში? მაგრამ დისკრიმინანტი შეიძლება იყოს უარყოფითი. Რა უნდა ვქნა? განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მივაქციოთ საფეხურს 2. დისკრიმინანტი გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს იგივე ფესვი, მაგრამ სინამდვილეში, ერთი ფესვი:

  ასეთ ფესვებს ორმაგი ფესვები ეწოდება.

• თუ, მაშინ დისკრიმინანტის ფესვი არ არის ამოღებული. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

რატომ არის ფესვების განსხვავებული რაოდენობა? მოდით მივმართოთ კვადრატული განტოლების გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა:

კონკრეტულ შემთხვევაში, რომელიც არის კვადრატული განტოლება, . და ეს ნიშნავს, რომ კვადრატული განტოლების ფესვები არის x-ღერძთან (ღერძი) გადაკვეთის წერტილები. პარაბოლამ შეიძლება საერთოდ არ გადაკვეთოს ღერძი, ან შეიძლება გადაკვეთოს მას ერთ (როდესაც პარაბოლის ზედა ღერძი დევს) ან ორ წერტილზე.

გარდა ამისა, კოეფიციენტი პასუხისმგებელია პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე. თუ, მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო თუ - მაშინ ქვემოთ.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

პასუხი:.

პასუხი:

ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

პასუხი:.

2. ვიეტას თეორემა

ვიეტას თეორემის გამოყენება ძალიან მარტივია: თქვენ უბრალოდ უნდა აირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი უდრის განტოლების თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ვიეტას თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ მოცემული კვადრატული განტოლებები ().

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითი #1:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

ეს განტოლება ვარგისია ვიეტას თეორემის გამოყენებით ამოხსნისთვის, რადგან . სხვა კოეფიციენტები: ; .

განტოლების ფესვების ჯამი არის:

და პროდუქტი არის:

ავირჩიოთ რიცხვების ისეთი წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

• და. ჯამი არის;
• და. ჯამი არის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

ამრიგად, და არის ჩვენი განტოლების ფესვები.

პასუხი: ; .

მაგალითი #2:

გადაწყვეტილება:

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვების ისეთ წყვილებს, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და შემდეგ ვამოწმებთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

და: მიეცი სულ.

და: მიეცი სულ. მის მისაღებად, თქვენ უბრალოდ უნდა შეცვალოთ სავარაუდო ფესვების ნიშნები: და, ბოლოს და ბოლოს, სამუშაო.

პასუხი:

მაგალითი #3:

გადაწყვეტილება:

განტოლების თავისუფალი წევრი უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების ნამრავლი არის უარყოფითი რიცხვი. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი. ასე რომ, ფესვების ჯამი არის მათი მოდულების განსხვავებები.

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვების ისეთ წყვილებს, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და რომელთა სხვაობა უდრის:

და: მათი განსხვავება არ არის შესაფერისი;

და: - შეუსაბამო;

და: - შეუსაბამო;

და: - შესაფერისი. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ვინაიდან მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, მაშინ ფესვი, რომელიც უფრო მცირეა აბსოლუტური მნიშვნელობით, უარყოფითი უნდა იყოს: . ჩვენ ვამოწმებთ:

პასუხი:

მაგალითი #4:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

განტოლება შემცირებულია, რაც ნიშნავს:

თავისუფალი ვადა უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების პროდუქტი უარყოფითია. და ეს შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების ერთი ფესვი უარყოფითია, ხოლო მეორე დადებითი.

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვების ისეთ წყვილებს, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შემდეგ განვსაზღვრავთ, რომელ ფესვებს უნდა ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი:

ცხადია, მხოლოდ ფესვები და შესაფერისია პირველი პირობისთვის:

პასუხი:

მაგალითი #5:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

განტოლება შემცირებულია, რაც ნიშნავს:

ფესვების ჯამი უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ერთი ფესვი მაინც უარყოფითია. მაგრამ რადგან მათი პროდუქტი დადებითია, ეს ნიშნავს, რომ ორივე ფესვი მინუსია.

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვთა ისეთ წყვილებს, რომელთა ნამრავლი უდრის:

ცხადია, ფესვები არის რიცხვები და.

პასუხი:

დამეთანხმებით, ძალიან მოსახერხებელია - ამ საზიზღარი დისკრიმინანტის დათვლის ნაცვლად ფესვების ზეპირად გამოგონება. შეეცადეთ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა რაც შეიძლება ხშირად.

მაგრამ ვიეტას თეორემა საჭიროა, რათა ხელი შეუწყოს და დააჩქაროს ფესვების პოვნა. იმისათვის, რომ თქვენთვის მომგებიანი იყოს მისი გამოყენება, თქვენ უნდა მიიყვანოთ მოქმედებები ავტომატიზმამდე. და ამისთვის ამოხსენით კიდევ ხუთი მაგალითი. მაგრამ არ მოატყუოთ: თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ დისკრიმინანტი! მხოლოდ ვიეტას თეორემა:

ამოცანების გადაწყვეტილებები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

ამოცანა 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ვიეტას თეორემის მიხედვით:

ჩვეულებისამებრ, შერჩევას ვიწყებთ პროდუქტით:

არ არის შესაფერისი, რადგან თანხა;

: თანხა არის ის, რაც გჭირდებათ.

პასუხი: ; .

დავალება 2.

და კიდევ, ჩვენი საყვარელი ვიეტას თეორემა: ჯამი უნდა გამოვიდეს, მაგრამ ნამრავლი ტოლია.

მაგრამ რადგან არ უნდა იყოს, მაგრამ, ჩვენ ვიცვლით ფესვების ნიშნებს: და (სულ).

პასუხი: ; .

დავალება 3.

ჰმ... სად არის?

აუცილებელია ყველა პირობის ერთ ნაწილად გადატანა:

ფესვების ჯამი ნამრავლის ტოლია.

დიახ, გაჩერდი! განტოლება არ არის მოცემული. მაგრამ ვიეტას თეორემა გამოსაყენებელია მხოლოდ მოცემულ განტოლებებში. ასე რომ, ჯერ უნდა მოიტანოთ განტოლება. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ ამის წამოწევა, ჩამოაგდეთ ეს იდეა და მოაგვარეთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით). შეგახსენებთ, რომ კვადრატული განტოლების მოყვანა ნიშნავს წამყვანი კოეფიციენტის ტოლს:

ჯარიმა. მაშინ ფესვების ჯამი ტოლია და ნამრავლი.

აქ უფრო ადვილია ამოღება: ბოლოს და ბოლოს - მარტივი რიცხვი (ბოდიში ტავტოლოგიისთვის).

პასუხი: ; .

დავალება 4.

თავისუფალი ვადა უარყოფითია. რა არის ამაში განსაკუთრებული? და ის ფაქტი, რომ ფესვები სხვადასხვა ნიშნის იქნება. ახლა კი, შერჩევისას, ჩვენ ვამოწმებთ არა ფესვების ჯამს, არამედ მათ მოდულებს შორის განსხვავებას: ეს განსხვავება ტოლია, მაგრამ პროდუქტი.

ასე რომ, ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთ-ერთი მათგანი მინუსით. ვიეტას თეორემა გვეუბნება, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ანუ. ეს ნიშნავს, რომ პატარა ფესვს ექნება მინუსი: და, ვინაიდან.

პასუხი: ; .

დავალება 5.

რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? მართალია, მიეცი განტოლება:

ისევ: ჩვენ ვირჩევთ რიცხვის ფაქტორებს და მათი განსხვავება ტოლი უნდა იყოს:

ფესვები თანაბარია და, მაგრამ ერთი მათგანი მინუს. რომელი? მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, რაც ნიშნავს, რომ მინუსთან ერთად იქნება უფრო დიდი ფესვი.

პასუხი: ; .

ნება მომეცით შევაჯამოთ:

1. ვიეტას თეორემა გამოიყენება მხოლოდ მოცემულ კვადრატულ განტოლებებში.
2. ვიეტას თეორემის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ფესვები შერჩევით, ზეპირად.
3. თუ განტოლება არ არის მოცემული ან არ არის ნაპოვნი თავისუფალი ტერმინის ფაქტორების შესაფერისი წყვილი, მაშინ არ არსებობს მთელი რიცხვი ფესვები და თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით).

3. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

თუ უცნობის შემცველი ყველა ტერმინი წარმოდგენილია როგორც ტერმინები შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან - ჯამის კვადრატი ან სხვაობა - მაშინ ცვლადების ცვლილების შემდეგ განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც არასრული კვადრატული განტოლება ტიპის.

Მაგალითად:

მაგალითი 1:

ამოხსენით განტოლება: .

გადაწყვეტილება:

პასუხი:

მაგალითი 2:

ამოხსენით განტოლება: .

გადაწყვეტილება:

პასუხი:

ზოგადად, ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება:

ეს გულისხმობს: .

არაფერს არ გახსენებს? ეს არის დისკრიმინანტი! ზუსტად ასე მიიღეს დისკრიმინაციული ფორმულა.

კვადრატული განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება, სადაც არის უცნობი, არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები, არის თავისუფალი წევრი.

სრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი.

შემცირებული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი, ანუ: .

არასრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

• თუ კოეფიციენტი, განტოლებას აქვს ფორმა:
• თუ თავისუფალი წევრია, განტოლებას აქვს ფორმა:
• თუ და, განტოლებას აქვს ფორმა: .

1. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1.1. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც, :

1) გამოთქვი უცნობი:

2) შეამოწმეთ გამოხატვის ნიშანი:

• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები,
• თუ, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

1.2. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც, :

1) ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

2) ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ამრიგად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

1.3. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: .

2. ფორმის სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი, სადაც

2.1. გამოსავალი დისკრიმინანტის გამოყენებით

1) მივიყვანოთ განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე:

2) გამოთვალეთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით: , რომელიც მიუთითებს განტოლების ფესვების რაოდენობას:

3) იპოვეთ განტოლების ფესვები:

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

2.2. ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი (ფორმის განტოლება, სადაც) ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია, ე.ი. , ა.

2.3. სრული კვადრატული ხსნარი

ამ მათემატიკური პროგრამით შეგიძლიათ კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაჭრის პროცესს ორი გზით:
- დისკრიმინანტის გამოყენებით
- ვიეტას თეორემის გამოყენებით (თუ შესაძლებელია).

უფრო მეტიც, პასუხი ნაჩვენებია ზუსტი და არა მიახლოებითი.
მაგალითად, განტოლებისთვის \(81x^2-16x-1=0\), პასუხი ნაჩვენებია ამ ფორმით:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ამის ნაცვლად: \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \)

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მომზადებისას, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში გაიზრდება.

თუ არ იცნობთ კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) და ა.შ.

რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ როგორც მთელი რიცხვები ან წილადები.
უფრო მეტიც, წილადი რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ არა მხოლოდ ათობითი, არამედ ჩვეულებრივი წილადის სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში, წილადი ნაწილი მთელი რიცხვიდან შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადები ასე: 2.5x - 3.5x^2

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.

მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &
შეყვანა: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
შედეგი: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

გამოხატვის შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, პირველად გამარტივებულია შემოტანილი გამოხატულება.
მაგალითად: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

გადაწყვიტე

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

კვადრატული განტოლება და მისი ფესვები. არასრული კვადრატული განტოლებები

თითოეული განტოლება
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ფორმა აქვს
\(ax^2+bx+c=0, \)
სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რიცხვები.
პირველ განტოლებაში a = -1, b = 6 და c = 1,4, მეორეში a = 8, b = -7 და c = 0, მესამეში a = 1, b = 0 და c = 4/9. ასეთ განტოლებებს ე.წ კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.
კვადრატული განტოლებაეწოდება ax 2 +bx+c=0 ფორმის განტოლება, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \).

რიცხვები a, b და c არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები. რიცხვს a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი, რიცხვი b არის მეორე კოეფიციენტი და რიცხვი c არის კვეთა.

ax 2 +bx+c=0 ფორმის თითოეულ განტოლებაში, სადაც \(a \neq 0 \), x ცვლადის უდიდესი ძალა არის კვადრატი. აქედან მოდის სახელწოდება: კვადრატული განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას ასევე უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებას, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მეორე ხარისხის პოლინომი.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი x 2-ზე არის 1, ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლება. მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლებები არის განტოლებები
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

თუ კვადრატულ განტოლებაში ax 2 +bx+c=0 b ან c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. არასრული კვადრატული განტოლება. ასე რომ, განტოლებები -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 არასრული კვადრატული განტოლებებია. პირველში b=0, მეორეში c=0, მესამეში b=0 და c=0.

არასრული კვადრატული განტოლებები სამი ტიპისაა:
1) ax 2 +c=0, სადაც \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, სადაც \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

განვიხილოთ თითოეული ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა.

ax 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(c \neq 0 \)-ისთვის, მისი თავისუფალი წევრი გადადის მარჯვენა მხარეს და განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

ვინაიდან \(c \neq 0 \), მაშინ \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

თუ \(-\frac(c)(a)>0 \), მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

თუ \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(b \neq 0 \)-ისთვის გაანაწილეთ მისი მარცხენა მხარე და მიიღეთ განტოლება.
\(x(ax+b)=0 \მარჯვნივ ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(მასივი) \მარჯვნივ. \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება (მასივი)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (მაივი) \მარჯვნივ. \)

მაშასადამე, ax 2 +bx=0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებას \(b \neq 0 \) ყოველთვის აქვს ორი ფესვი.

ax 2 \u003d 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება უდრის განტოლებას x 2 \u003d 0 და, შესაბამისად, აქვს ერთი ფესვი 0.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

ახლა განვიხილოთ, როგორ წყდება კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც უცნობის და თავისუფალი წევრის ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

ვხსნით კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით და შედეგად ვიღებთ ფესვების ფორმულას. მაშინ ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება ax 2 +bx+c=0

მისი ორივე ნაწილის a-ზე გაყოფით მივიღებთ ექვივალენტურ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ჩვენ გარდაქმნით ამ განტოლებას ბინომის კვადრატის ხაზგასმით:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \მარჯვენა ისარი \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 - \frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი \) \(\მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( გ)(ა) \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \მარჯვენა ისარი \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \მარჯვენა ისარი x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \მარჯვენა ისარი \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

ძირეული გამოხატულება ე.წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ax 2 +bx+c=0 (ლათინურად „განმასხვავებელი“ - განმასხვავებელი). იგი აღინიშნება ასო D-ით, ე.ი.
\(D = b^2-4ac\)

ახლა, დისკრიმინანტის აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ გადავწერთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), სადაც \(D= b^2-4ac \)

აშკარაა, რომ:
1) თუ D>0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
2) თუ D=0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) თუ D ამგვარად, დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, კვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ორი ფესვი (D > 0-ისთვის), ერთი ფესვი (D = 0-ისთვის) ან ფესვის გარეშე (D-სთვის კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ამ ფორმულით მიზანშეწონილია შემდეგი გზით:
1) გამოთვალეთ დისკრიმინანტი და შეადარეთ ნულთან;
2) თუ დისკრიმინანტი დადებითია ან ნულის ტოლია, მაშინ გამოიყენეთ ფესვის ფორმულა, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ ჩაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ვიეტას თეორემა

მოცემულ კვადრატულ განტოლებას ax 2 -7x+10=0 აქვს ფესვები 2 და 5. ფესვების ჯამი არის 7, ნამრავლი კი არის 10. ჩვენ ვხედავთ, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშანი და ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ტერმინს. ნებისმიერ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფესვები, აქვს ეს თვისება.

მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

იმათ. ვიეტას თეორემაში ნათქვამია, რომ შემცირებული კვადრატული განტოლების x 1 და x 2 ფესვებს აქვთ თვისება:
\(\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(მასივი) \მარჯვნივ. \)

ტოლობების ზოგადი წარმოდგენის მიღების შემდეგ და მათი ერთ-ერთი ტიპის - რიცხვითი თანასწორობის გაცნობის შემდეგ, შეგიძლიათ დაიწყოთ საუბარი თანასწორობის სხვა ფორმაზე, რომელიც ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით - განტოლებების შესახებ. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ რა არის განტოლებადა რასაც განტოლების ფესვი ჰქვია. აქ ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის განმარტებებს, ასევე ვაძლევთ განტოლებებისა და მათი ფესვების სხვადასხვა მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის განტოლება?

განტოლებების მიზანმიმართული გაცნობა ჩვეულებრივ იწყება მე-2 კლასის მათემატიკის გაკვეთილებზე. ამ დროს შემდეგი განტოლების განსაზღვრა:

განმარტება.

განტოლებაარის ტოლობა, რომელიც შეიცავს უცნობ რიცხვს.

განტოლებებში უცნობი რიცხვები ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ლათინური ასოებით, მაგალითად, p, t, u და ა.შ., მაგრამ ასოები x, y და z ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

ამრიგად, განტოლება განისაზღვრება აღნიშვნის ფორმის პოზიციიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თანასწორობა არის განტოლება, როდესაც ის ემორჩილება მითითებულ ნოტაციის წესებს - ის შეიცავს ასოს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

მოვიყვანოთ პირველი და უმარტივესი განტოლებების მაგალითები. დავიწყოთ განტოლებებით, როგორიცაა x=8, y=3 და ა.შ. განტოლებები, რომლებიც ციფრებთან და ასოებთან ერთად შეიცავს არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნებს, ცოტა უფრო რთულად გამოიყურება, მაგალითად, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

განტოლებათა მრავალფეროვნება იზრდება გაცნობის შემდეგ - ფრჩხილებით იწყება განტოლებები, მაგალითად, 2 (x−1)=18 და x+3 (x+2 (x−2))=3 . უცნობი ასო შეიძლება მრავალჯერ გამოჩნდეს განტოლებაში, მაგალითად, x+3+3 x−2−x=9, ხოლო ასოები შეიძლება იყოს განტოლების მარცხენა მხარეს, მარჯვენა მხარეს ან განტოლების ორივე მხარეს. მაგალითად, x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 ან 3 x−4=2 (x+12) .

გარდა ამისა, ნატურალური რიცხვების შესწავლის შემდეგ ხდება მთელი რიცხვების გაცნობა, რაციონალური, რეალური რიცხვები, შეისწავლება ახალი მათემატიკური ობიექტები: გრადუსები, ფესვები, ლოგარითმები და ა. მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში. განტოლებების ძირითადი ტიპებისწავლობდა სკოლაში.

მე-7 კლასში ასოებთან ერთად, რომლებიც გარკვეულ რიცხვებს ნიშნავს, იწყებენ განიხილონ ასოები, რომლებსაც შეუძლიათ სხვადასხვა მნიშვნელობების მიღება, მათ უწოდებენ ცვლადებს (იხილეთ სტატია). ამ შემთხვევაში, სიტყვა "ცვლადი" შედის განტოლების განმარტებაში და ხდება ასე:

განმარტება.

განტოლებადაასახელეთ ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

მაგალითად, განტოლება x+3=6 x+7 არის განტოლება x ცვლადით, ხოლო 3 z−1+z=0 არის განტოლება z ცვლადით.

იმავე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილებზე ხდება შეხვედრა განტოლებებთან, რომლებიც შეიცავს არა ერთ, არამედ ორ სხვადასხვა უცნობ ცვლადს. მათ უწოდებენ განტოლებებს ორი ცვლადით. სამომავლოდ დაშვებულია სამი ან მეტი ცვლადის არსებობა განტოლების ჩანაწერში.

განმარტება.

განტოლებები ერთი, ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები- ეს არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მათ ჩანაწერში, შესაბამისად, ერთი, ორი, სამი, ... უცნობი ცვლადებს.

მაგალითად, განტოლება 3.2 x+0.5=1 არის განტოლება ერთი x ცვლადით, თავის მხრივ, x−y=3 ფორმის განტოლება არის განტოლება ორი ცვლადით x და y. და კიდევ ერთი მაგალითი: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 . ნათელია, რომ ასეთი განტოლება არის განტოლება სამი უცნობი ცვლადით x, y და z.

რა არის განტოლების ფესვი?

განტოლების ფესვის განმარტება პირდაპირ კავშირშია განტოლების განმარტებასთან. ჩვენ განვახორციელებთ მსჯელობას, რომელიც დაგვეხმარება გავიგოთ რა არის განტოლების ფესვი.

დავუშვათ, გვაქვს განტოლება ერთი ასოთი (ცვლადი). თუ ამ განტოლების ჩანაწერში შეტანილი ასოს ნაცვლად შეიცვლება გარკვეული რიცხვი, მაშინ განტოლება გადაიქცევა რიცხვობრივ ტოლობაში. უფრო მეტიც, შედეგად მიღებული თანასწორობა შეიძლება იყოს როგორც ჭეშმარიტი, ასევე მცდარი. მაგალითად, თუ a+1=5 განტოლებაში a ასოს ნაცვლად ჩავანაცვლებთ რიცხვს 2 , მაშინ მივიღებთ არასწორ რიცხვით ტოლობას 2+1=5 . თუ ამ განტოლებაში a-ის ნაცვლად რიცხვს 4 ჩავანაცვლებთ, მაშინ მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+1=5.

პრაქტიკაში, შემთხვევების აბსოლუტურ უმრავლესობაში, ინტერესდება ცვლადის ისეთი მნიშვნელობები, რომელთა განტოლებაში ჩანაცვლება იძლევა სწორ თანასწორობას, ამ მნიშვნელობებს უწოდებენ ამ განტოლების ფესვებს ან ამონახსნებს.

განმარტება.

განტოლების ფესვი- ეს არის ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობა, რომლის ჩანაცვლებისას განტოლება იქცევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში.

გაითვალისწინეთ, რომ ერთი ცვლადის მქონე განტოლების ფესვს ასევე უწოდებენ განტოლების ამოხსნას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ამონახსნი და განტოლების ფესვი ერთი და იგივეა.

მოდით ავხსნათ ეს განმარტება მაგალითით. ამისათვის ვუბრუნდებით a+1=5 ზემოთ დაწერილ განტოლებას. განტოლების ფესვის ხმოვანი განმარტების მიხედვით, რიცხვი 4 არის ამ განტოლების ფესვი, რადგან ამ რიცხვის ჩანაცვლებისას ასო a-ს ნაცვლად მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+1=5, ხოლო რიცხვი 2 არ არის. მისი ფესვი, ვინაიდან იგი შეესაბამება 2+1= 5 ფორმის არასწორ ტოლობას.

ამ დროს ჩნდება მთელი რიგი ბუნებრივი კითხვები: „აქვს თუ არა რომელიმე განტოლებას ფესვი და რამდენი ფესვი აქვს მოცემულ განტოლებას“? ჩვენ მათ ვუპასუხებთ.

არსებობს ორივე განტოლება ფესვებით და განტოლებები ფესვების გარეშე. მაგალითად, განტოლებას x+1=5 აქვს ფესვი 4, ხოლო განტოლებას 0 x=5 არ აქვს ფესვები, რადგან არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვი ჩავანაცვლოთ ამ განტოლებაში x ცვლადის ნაცვლად, მივიღებთ არასწორ ტოლობას 0= 5.

რაც შეეხება განტოლების ფესვების რაოდენობას, არის როგორც განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფესვების გარკვეული სასრული რაოდენობა (ერთი, ორი, სამი და ა.შ.) და განტოლებები, რომლებსაც აქვთ უსასრულოდ ბევრი ფესვი. მაგალითად, განტოლებას x−2=4 აქვს ერთი ფესვი 6, განტოლების ფესვები x 2 =9 არის ორი რიცხვი −3 და 3, განტოლებას x (x−1) (x−2)=0 აქვს სამი. ფესვები 0, 1 და 2, ხოლო x=x განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რიცხვი, ანუ მას აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.

რამდენიმე სიტყვა უნდა ითქვას განტოლების ფესვების მიღებულ აღნიშვნაზე. თუ განტოლებას არ აქვს ფესვები, მაშინ ჩვეულებრივ ისინი წერენ „განტოლებას არ აქვს ფესვები“ ან იყენებენ ცარიელი სიმრავლის ნიშანს ∅. თუ განტოლებას აქვს ფესვები, მაშინ ისინი იწერება გამოყოფილი მძიმეებით, ან იწერება როგორც კომპლექტის ელემენტებიხვეული ფრჩხილებში. მაგალითად, თუ განტოლების ფესვები არის −1, 2 და 4 რიცხვები, ჩაწერეთ −1, 2, 4 ან (−1, 2, 4). ასევე შესაძლებელია განტოლების ფესვების დაწერა მარტივი ტოლობების სახით. მაგალითად, თუ ასო x შედის განტოლებაში და ამ განტოლების ფესვები არის რიცხვები 3 და 5, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ x=3, x=5 და ხშირად ემატება ხელმოწერები x 1 =3, x 2 =5. ცვლადს, თითქოს რიცხვებს მიუთითებს განტოლების ფესვებს. განტოლების ფესვების უსასრულო სიმრავლე ჩვეულებრივ იწერება ფორმით, ასევე, თუ შესაძლებელია, გამოიყენება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეების აღნიშვნა N, მთელი რიცხვები Z, რეალური რიცხვები R. მაგალითად, თუ x ცვლადთან დაკავშირებული განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, ჩაწერეთ, ხოლო თუ y ცვლადის განტოლების ფესვები არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი 1-დან 9-ის ჩათვლით, მაშინ ჩაწერეთ.

ორი, სამი და მეტი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის, როგორც წესი, არ გამოიყენება ტერმინი „განტოლების ფესვი“, ამ შემთხვევებში ამბობენ „განტოლების ამოხსნა“. რას ჰქვია რამდენიმე ცვლადის მქონე განტოლების ამოხსნა? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

განტოლების ამოხსნა ორი, სამი და ა.შ. ცვლადებიგამოძახება წყვილი, სამი და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები, რაც ამ განტოლებას აქცევს ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობად.

ჩვენ ვაჩვენებთ განმარტებით მაგალითებს. განვიხილოთ განტოლება ორი ცვლადით x+y=7 . ვცვლით რიცხვს 1-ს x-ის ნაცვლად, ხოლო რიცხვს 2-ს y-ის ნაცვლად, ხოლო გვაქვს ტოლობა 1+2=7. ცხადია, ეს არასწორია, შესაბამისად, მნიშვნელობების წყვილი x=1, y=2 არ არის წერილობითი განტოლების ამოხსნა. თუ ავიღებთ წყვილს x=4, y=3, მაშინ განტოლებაში ჩანაცვლების შემდეგ მივალთ სწორ ტოლობამდე 4+3=7, შესაბამისად, ცვლადი მნიშვნელობების ეს წყვილი, განსაზღვრებით, არის, x+y=7 განტოლების ამონახსნი.

განტოლებებს მრავალი ცვლადით, ისევე როგორც განტოლებებს ერთი ცვლადით, შეიძლება არ ჰქონდეს ფესვები, შეიძლება ჰქონდეს ფესვების სასრული რაოდენობა ან შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ფესვი.

წყვილები, სამეულები, ოთხეულები და ა.შ. ცვლადი მნიშვნელობები ხშირად იწერება მოკლედ, ფრჩხილებში მძიმებით გამოყოფილი მათი მნიშვნელობებით. ამ შემთხვევაში, ფრჩხილებში ჩაწერილი რიცხვები შეესაბამება ცვლადებს ანბანური თანმიმდევრობით. მოდით დავაზუსტოთ ეს პუნქტი წინა განტოლებაში დაბრუნებით x+y=7 . ამ განტოლების ამონახსნი x=4 , y=3 შეიძლება მოკლედ დაიწეროს როგორც (4, 3) .

მათემატიკის, ალგებრის სასკოლო კურსში და ანალიზის დასაწყისში უდიდესი ყურადღება ეთმობა განტოლებების ფესვების პოვნას ერთი ცვლადით. ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ამ პროცესის წესებს სტატიაში. განტოლებების ამოხსნა.

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა. 2 უჯრედი პროკ. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები ად. ელექტრონს. გადამზიდავი. 2 საათზე ნაწილი 1 / [მ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova და სხვები] - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2012. - 96გვ.: ავად. - (რუსეთის სკოლა). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.

ტიპის განტოლება

გამოხატულება დ= ბ 2 - 4 ცდაურეკა დისკრიმინანტიკვადრატული განტოლება. Თუდ = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი; თუ დ> 0, მაშინ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს.
იმ შემთხვევაში, როცა დ = 0 , ზოგჯერ ამბობენ, რომ კვადრატულ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს.
ნოტაციის გამოყენებით დ= ბ 2 - 4 ცფორმულა (2) შეიძლება გადაიწეროს როგორც

Თუ ბ= 2 კ, შემდეგ ფორმულა (2) იღებს ფორმას:

სადაც კ= ბ / 2 .
ბოლო ფორმულა განსაკუთრებით მოსახერხებელია როცა ბ / 2 არის მთელი რიცხვი, ე.ი. კოეფიციენტი ბ- ლუწი რიცხვი.
მაგალითი 1:განტოლების ამოხსნა 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Აქ a=2, b=-5, c=2. Ჩვენ გვაქვს დ= ბ 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . როგორც დ > 0 , მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი ფორმულით (2)

Ისე x 1 =(5 + 3) / 4 = 2,x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
ე.ი x 1 = 2 და x 2 = 1 / 2 არის მოცემული განტოლების ფესვები.
მაგალითი 2:განტოლების ამოხსნა 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Აქ a=2, b=-3, c=5. დისკრიმინანტის პოვნა დ= ბ 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . როგორც დ 0 , მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

არასრული კვადრატული განტოლებები. თუ კვადრატულ განტოლებაში ნაჯახი 2 +bx+გ =0 მეორე კოეფიციენტი ბან თავისუფალი წევრი გუდრის ნულს, მაშინ იწოდება კვადრატული განტოლება არასრული. არასრული განტოლებები განასხვავებენ იმიტომ, რომ მათი ფესვების საპოვნელად არ შეიძლება კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენება - განტოლების ამოხსნა უფრო ადვილია მისი მარცხენა მხარის ფაქტორებად განაწილებით.
მაგალითი 1:განტოლების ამოხსნა 2 x 2 - 5 x = 0 .
Ჩვენ გვაქვს x(2 x - 5) = 0 . ასე რომ ან x = 0 , ან 2 x - 5 = 0 , ე.ი x = 2.5 . ასე რომ, განტოლებას ორი ფესვი აქვს: 0 და 2.5
მაგალითი 2:განტოლების ამოხსნა 3 x 2 - 27 = 0 .
Ჩვენ გვაქვს 3 x 2 = 27 . მაშასადამე, ამ განტოლების ფესვებია 3 და -3 .

ვიეტას თეორემა. თუ მოცემული კვადრატული განტოლება x 2 + px+ q =0 აქვს ნამდვილი ფესვები, მაშინ მათი ჯამი უდრის - გვდა პროდუქტი არის ქ, ე.ი

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს).

კვადრატული განტოლებები შესწავლილია მე-8 კლასში, ასე რომ, აქ არაფერია რთული. მათი გადაჭრის უნარი აუცილებელია.

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც კოეფიციენტები a , b და c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.

კონკრეტული ამოხსნის მეთოდების შესწავლამდე აღვნიშნავთ, რომ ყველა კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიყოს სამ კლასად:

1. არ აქვს ფესვები;
2. მათ აქვთ ზუსტად ერთი ფესვი;
3. მათ ორი განსხვავებული ფესვი აქვთ.

ეს არის მნიშვნელოვანი განსხვავება კვადრატულ და წრფივ განტოლებებს შორის, სადაც ფესვი ყოველთვის არსებობს და უნიკალურია. როგორ განვსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? ამისთვის არის მშვენიერი რამ - დისკრიმინანტი.

დისკრიმინანტი

მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. მაშინ დისკრიმინანტი არის უბრალოდ რიცხვი D = b 2 − 4ac .

ეს ფორმულა ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. საიდან მოდის, ახლა არ არის მნიშვნელოვანი. მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი: დისკრიმინანტის ნიშნით შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებას. კერძოდ:

1. თუ დ< 0, корней нет;
2. თუ D = 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;
3. თუ D > 0, იქნება ორი ფესვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: დისკრიმინანტი მიუთითებს ფესვების რაოდენობას და არა მათ ნიშნებს, როგორც რატომღაც ბევრი ფიქრობს. გადახედე მაგალითებს და შენ თვითონ მიხვდები ყველაფერს:

დავალება. რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებებს:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს პირველი განტოლებისთვის და ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ასე რომ, დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ჩვენ ვაანალიზებთ მეორე განტოლებას ანალოგიურად:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. ბოლო განტოლება რჩება:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

დისკრიმინანტი ნულის ტოლია - ფესვი ერთი იქნება.

გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტები დაწერილია თითოეული განტოლებისთვის. დიახ, ეს გრძელია, დიახ, დამღლელი - მაგრამ თქვენ არ აირევთ შანსებს და არ დაუშვებთ სულელურ შეცდომებს. აირჩიეთ თქვენთვის: სიჩქარე ან ხარისხი.

სხვათა შორის, თუ „ხელს ავსებ“, გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ დაგჭირდებათ ყველა კოეფიციენტის ამოწერა. ასეთ ოპერაციებს შეასრულებ შენს თავში. უმეტესობა ამის კეთებას იწყებს სადღაც 50-70 ამოხსნილი განტოლების შემდეგ - ზოგადად, არც ისე ბევრი.

კვადრატული განტოლების ფესვები

ახლა გადავიდეთ გამოსავალზე. თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

კვადრატული განტოლების ფესვების ძირითადი ფორმულა

როდესაც D = 0, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა - მიიღებთ იგივე რიცხვს, რომელიც იქნება პასუხი. საბოლოოდ, თუ დ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

პირველი განტოლება:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი:

მეორე განტოლება:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ განტოლებას ისევ ორი ​​ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი

\[\begin(გასწორება) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ბოლოს, მესამე განტოლება:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ნებისმიერი ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია. მაგალითად, პირველი:

როგორც მაგალითებიდან ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია. თუ იცით ფორმულები და შეძლებთ დათვლას, პრობლემა არ იქნება. ყველაზე ხშირად, შეცდომები ხდება მაშინ, როდესაც უარყოფითი კოეფიციენტები ჩანაცვლებულია ფორმულაში. აქ, ისევ და ისევ, ზემოთ აღწერილი ტექნიკა დაგეხმარებათ: შეხედეთ ფორმულას სიტყვასიტყვით, დახატეთ თითოეული ნაბიჯი - და თავიდან აიცილეთ შეცდომები ძალიან მალე.

არასრული კვადრატული განტოლებები

ეს ხდება, რომ კვადრატული განტოლება გარკვეულწილად განსხვავდება იმისგან, რაც მოცემულია განმარტებაში. Მაგალითად:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

ადვილი მისახვედრია, რომ ერთ-ერთი ტერმინი აკლია ამ განტოლებებს. ასეთი კვადრატული განტოლებები კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სტანდარტული: მათ არც კი სჭირდებათ დისკრიმინანტის გამოთვლა. მოდით შემოვიტანოთ ახალი კონცეფცია:

განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლება, თუ b = 0 ან c = 0, ე.ი. x ცვლადის ან თავისუფალი ელემენტის კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ძალიან რთული შემთხვევა, როდესაც ორივე ეს კოეფიციენტი ნულის ტოლია: b \u003d c \u003d 0. ამ შემთხვევაში, განტოლება იღებს ცულის 2 \u003d 0 ფორმას. ცხადია, ასეთ განტოლებას აქვს ერთიანი. ფესვი: x \u003d 0.

განვიხილოთ სხვა შემთხვევები. მოდით b \u003d 0, მაშინ მივიღებთ არასრულ კვადრატულ განტოლებას ფორმის ax 2 + c \u003d 0. მოდით ოდნავ გარდავქმნათ იგი:

ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან, ბოლო ტოლობას აქვს აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც (−c / a ) ≥ 0. დასკვნა:

1. თუ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება აკმაყოფილებს უტოლობას (−c / a ) ≥ 0, იქნება ორი ფესვი. ფორმულა მოცემულია ზემოთ;
2. თუ (−c/a)< 0, корней нет.

როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ იყო საჭირო - არასრულ კვადრატულ განტოლებებში საერთოდ არ არის რთული გამოთვლები. ფაქტობრივად, არც კი არის აუცილებელი გავიხსენოთ უტოლობა (−c / a ) ≥ 0. საკმარისია გამოვხატოთ x 2-ის მნიშვნელობა და ნახოთ რა არის ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. თუ არის დადებითი რიცხვი, იქნება ორი ფესვი. თუ უარყოფითია, ფესვები საერთოდ არ იქნება.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებებს, რომლებშიც თავისუფალი ელემენტი ნულის ტოლია. აქ ყველაფერი მარტივია: ყოველთვის იქნება ორი ფესვი. საკმარისია მრავალწევრის ფაქტორიზირება:

საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილიდან

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. აქედან მოდის ფესვები. დასასრულს, ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ამ განტოლებას:

დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. არ არსებობს ფესვები, რადგან კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.