ფარაფონოვა ნატალია იგორევნა

თემა:არასრული კვადრატული განტოლებები.

გაკვეთილის მიზნები:- არასრული კვადრატული განტოლების ცნების გაცნობა;

ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლებები.

გაკვეთილის მიზნები:- შეძლოს კვადრატული განტოლების ფორმის განსაზღვრა;

ამოხსენით არასრული კვადრატული განტოლებები.

ვებ წიგნი:ალგებრა: პროკ. 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / შ.ა.ალიმოვი, იუ.მ.კოლიაგინი, იუ.ვ.სიდოროვი და სხვები - მ.: განათლება, 2010წ.

გაკვეთილების დროს.

1. შეახსენეთ მოსწავლეებს, რომ ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე აუცილებელია მისი სტანდარტულ ფორმამდე მიყვანა. დაიმახსოვრე განმარტება სრული კვადრატული განტოლება:ax2+bx +c = 0,a ≠ 0.

ამ კვადრატულ განტოლებებში დაასახელეთ კოეფიციენტები a, b, c:

ა) 2x 2 - x + 3 = 0; ბ) x 2 + 4x - 1 = 0; გ) x 2 - 4 \u003d 0; დ) 5x 2 + 3x = 0.

2. მიეცით არასრული კვადრატული განტოლების განმარტება:

კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული, თუ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც, b ან c, უდრის 0-ს. ყურადღება მიაქციეთ, რომ კოეფიციენტი a ≠ 0. ზემოთ წარმოდგენილი განტოლებიდან აირჩიეთ არასრული კვადრატული განტოლებები.

3. უფრო მოსახერხებელია არასრული კვადრატული განტოლებების ტიპების წარმოდგენა ამონახსნების მაგალითებით ცხრილის სახით:

1. ამოხსნის გარეშე, დაადგინეთ ფესვების რაოდენობა თითოეული არასრული კვადრატული განტოლებისთვის:

ა) 2x 2 - 3 = 0; ბ) 3x 2 + 4 = 0; გ) 5x 2 - x \u003d 0; დ) 0,6x2 = 0; ე) -8x 2 - 4 = 0.

1. ამოხსენით არასრული კვადრატული განტოლებები (განტოლებების ამოხსნა, დაფაზე შემოწმება, 2 ვარიანტი):

გ) 2x 2 + 15 = 0

დ) 3x 2 + 2x = 0

ე) 2x 2 - 16 = 0

ვ) 5 (x 2 + 2) = 2 (x 2 + 5)

ზ) (x + 1) 2 - 4 = 0

გ) 2x 2 + 7 = 0

დ) x 2 + 9x = 0

ე) 81x 2 - 64 = 0

ვ) 2 (x 2 + 4) = 4 (x 2 + 2)

ზ) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. დამოუკიდებელი მუშაობა ვარიანტებზე:

1 ვარიანტი

ა) 3x 2 - 12 = 0

ბ) 2x 2 + 6x = 0

ე) 7x 2 - 14 = 0

ვარიანტი 2

ბ) 6x 2 + 24 = 0

გ) 9y 2 - 4 = 0

დ) -y 2 + 5 = 0

ე) 1 - 4y 2 = 0

ვ) 8y 2 + y = 0

3 ვარიანტი

ა) 6y - y 2 = 0

ბ) 0.1y 2 - 0.5y = 0

გ) (x + 1) (x -2) = 0

დ) x(x + 0.5) = 0

ე) x 2 - 2x = 0

ვ) x 2 - 16 = 0

4 ვარიანტი

ა) 9x 2 - 1 = 0

ბ) 3x - 2x 2 = 0

დ) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

ე) 3x 2 + 7 = 12x + 7

5 ვარიანტი

ა) 2x2 - 18 = 0

ბ) 3x 2 - 12x = 0

დ) x 2 + 16 = 0

ე) 6x 2 - 18 = 0

ვ) x 2 - 5x = 0

6 ვარიანტი

ბ) 4x 2 + 36 = 0

გ) 25y 2 - 1 = 0

დ) -y 2 + 2 = 0

ე) 9 - 16y 2 = 0

ვ) 7y 2 + y = 0

7 ვარიანტი

ა) 4y - y 2 = 0

ბ) 0.2y 2 - y = 0

გ) (x + 2) (x - 1) = 0

დ) (x - 0.3) x = 0

ე) x 2 + 4x = 0

ვ) x 2 - 36 = 0

8 ვარიანტი

ა) 16x 2 - 1 = 0

ბ) 4x - 5x 2 = 0

დ) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

ე) 5x 2 - 6 = 15x - 6

პასუხები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

ვარიანტი 1: ა) 2, ბ) 0; -3; გ) 0; დ) ფესვები არ არის; ე);

ვარიანტი 2 ა) 0; ბ) ფესვები; in); G); ე); ვ)0;-;

3 ვარიანტი ა) 0; 6; ბ) 0;5; გ) -1;2; დ) 0;-0.5; ე) 0;2; ვ)4

4 ვარიანტი ა); ბ) 0; 1.5; გ) 0;3; დ) 3; ე)0;4 ე)5

5 ვარიანტი ა)3; ბ) 0;4; გ) 0; დ) ფესვები არ არის; ე) ვ) 0; 5

6 ვარიანტი ა) 0; ბ) არ არსებობს ფესვები; გ) დ) ე) ვ) 0;-

7 ვარიანტი ა) 0; 4; ბ) 0;5; გ) -2;1; დ) 0;0.03; ე) 0;-4; ვ)6

8 ვარიანტი ა) ბ) 0; გ) 0;7; დ) 4; ე) 0;3; ე)

გაკვეთილის შეჯამება:ჩამოყალიბებულია „არასრული კვადრატული განტოლების“ ცნება; ნაჩვენებია სხვადასხვა ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზები. სხვადასხვა ამოცანების შესრულებისას დამუშავდა არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის უნარები.

7. Საშინაო დავალება: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

დამატებითი დავალება:

a-ს რომელი მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება არასრული კვადრატული განტოლება? ამოხსენით განტოლება a-ს მიღებული მნიშვნელობებისთვის:

ა) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

ბ) (a - 2)x 2 + ცული \u003d 4 - a 2 \u003d 0

კვადრატული განტოლების ამოცანები შესწავლილია როგორც სასკოლო სასწავლო გეგმაში, ასევე უნივერსიტეტებში. ისინი გაგებულია, როგორც a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ფორმის განტოლებები, სადაც x-ცვლადი, a,b,c – მუდმივები; ა<>0 . პრობლემა არის განტოლების ფესვების პოვნა.

კვადრატული განტოლების გეომეტრიული მნიშვნელობა

ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც წარმოდგენილია კვადრატული განტოლებით, არის პარაბოლა. კვადრატული განტოლების ამონახსნები (ფესვები) არის პარაბოლის x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები. აქედან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი შესაძლო შემთხვევა:
1) პარაბოლას არ აქვს x-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები. ეს ნიშნავს, რომ ის ზედა სიბრტყეშია ტოტებით ზემოთ ან ქვედა სიბრტყეზე ტოტებით ქვემოთ. ასეთ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები (მას აქვს ორი რთული ფესვი).

2) პარაბოლას აქვს Ox ღერძთან გადაკვეთის ერთი წერტილი. ასეთ წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება და მასში არსებული კვადრატული განტოლება იძენს მის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი (ან ორი იდენტური ფესვი).

3) პრაქტიკაში უფრო საინტერესოა ბოლო შემთხვევა - პარაბოლას აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის ორი წერტილია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ორი რეალური ფესვია.

ცვლადების სიძლიერეზე კოეფიციენტების ანალიზის საფუძველზე შეიძლება გამოვიტანოთ საინტერესო დასკვნები პარაბოლის განლაგების შესახებ.

1) თუ კოეფიციენტი a არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლა მიმართულია ზემოთ, თუ უარყოფითია, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ.

2) თუ კოეფიციენტი b არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლას წვერო დევს მარცხენა ნახევარსიბრტყეში, თუ ის უარყოფით მნიშვნელობას იღებს, მაშინ მარჯვნივ.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყვანა

გადავიტანოთ მუდმივი კვადრატული განტოლებიდან

ტოლობის ნიშნისთვის ვიღებთ გამონათქვამს

გავამრავლოთ ორივე მხარე 4a-ზე

მარცხნივ სრული კვადრატის მისაღებად დაამატეთ b ^ 2 ორივე ნაწილში და შეასრულეთ ტრანსფორმაცია

აქედან ვპოულობთ

კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტის ფორმულა და ფესვები

დისკრიმინანტი არის რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობა, თუ ის დადებითია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, გამოითვლება ფორმულით. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი (ორი დამთხვევა ფესვი), რომლის მიღება მარტივია D=0 ზემოაღნიშნული ფორმულიდან. როცა დისკრიმინანტი უარყოფითია, რეალური ფესვები არ არსებობს. ამასთან, კომპლექსურ სიბრტყეში კვადრატული განტოლების ამონახსნების შესწავლა და მათი მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულით

ვიეტას თეორემა

განვიხილოთ კვადრატული განტოლების ორი ფესვი და მათზე დაყრდნობით ააგეთ კვადრატული განტოლება, აღნიშვნიდან ადვილად გამოდის თავად ვიეტას თეორემა: თუ გვაქვს ფორმის კვადრატული განტოლება. მაშინ მისი ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ p კოეფიციენტს, ხოლო განტოლების ფესვების ნამრავლი ტოლია q თავისუფალი წევრის. ზემოაღნიშნულის ფორმულა ასე გამოიყურება, თუ კლასიკურ განტოლებაში a მუდმივი ნულის ტოლია, მაშინ თქვენ უნდა გაყოთ მთელი განტოლება მასზე და შემდეგ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

კვადრატული განტოლების განრიგი ფაქტორებზე

დავსვათ დავალება: კვადრატული განტოლების ფაქტორებად დაშლა. მის შესასრულებლად ჯერ განტოლებას ვხსნით (ძირებს ვიპოვით). შემდეგ აღმოჩენილ ფესვებს ვანაცვლებთ კვადრატული განტოლების გაფართოების ფორმულას, ეს პრობლემა მოგვარდება.

ამოცანები კვადრატული განტოლებისთვის

დავალება 1. იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები

x^2-26x+120=0 .

ამოხსნა: ჩაწერეთ კოეფიციენტები და ჩაანაცვლეთ დისკრიმინაციული ფორმულით

ამ მნიშვნელობის ფესვი არის 14, მისი პოვნა ადვილია კალკულატორით, ან დამახსოვრება ხშირი გამოყენებით, თუმცა, მოხერხებულობისთვის, სტატიის ბოლოს მოგცემთ რიცხვების კვადრატების ჩამონათვალს, რომლებიც ხშირად შეიძლება იყოს გვხვდება ასეთ ამოცანებში.
ნაპოვნი მნიშვნელობა ჩანაცვლებულია ფესვის ფორმულაში

და ვიღებთ

დავალება 2. განტოლების ამოხსნა

2x2+x-3=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება, ამოვიწეროთ კოეფიციენტები და ვიპოვოთ დისკრიმინანტი


ცნობილი ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

დავალება 3. განტოლების ამოხსნა

9x2 -12x+4=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება. განსაზღვრეთ დისკრიმინანტი

ჩვენ მივიღეთ შემთხვევა, როდესაც ფესვები ერთმანეთს ემთხვევა. ჩვენ ვიპოვით ფესვების მნიშვნელობებს ფორმულით

დავალება 4. განტოლების ამოხსნა

x^2+x-6=0 .

გამოსავალი: იმ შემთხვევებში, როდესაც x-ისთვის არის მცირე კოეფიციენტები, მიზანშეწონილია ვიეტას თეორემის გამოყენება. მისი პირობით ვიღებთ ორ განტოლებას

მეორე პირობიდან ვიღებთ, რომ ნამრავლი უნდა იყოს -6-ის ტოლი. ეს ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ჩვენ გვაქვს ამონახსნების შემდეგი შესაძლო წყვილი(-3;2), (3;-2) . პირველი პირობის გათვალისწინებით, ჩვენ უარვყოფთ ხსნარების მეორე წყვილს.
განტოლების ფესვებია

დავალება 5. იპოვეთ მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები, თუ მისი პერიმეტრია 18 სმ და ფართობი 77 სმ 2.

ამოხსნა: მართკუთხედის პერიმეტრის ნახევარი უდრის მიმდებარე გვერდების ჯამს. ავღნიშნოთ x - უფრო დიდი მხარე, მაშინ 18-x არის მისი პატარა მხარე. მართკუთხედის ფართობი უდრის ამ სიგრძის ნამრავლს:
x(18x)=77;
ან
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
იპოვეთ განტოლების დისკრიმინანტი

ჩვენ ვიანგარიშებთ განტოლების ფესვებს

Თუ x=11,მაშინ 18x=7,პირიქითაც მართალია (თუ x=7, მაშინ 21-x=9).

ამოცანა 6. კვადრატული 10x 2 -11x+3=0 განტოლების ფაქტორიზაცია.

ამოხსნა: გამოთვალეთ განტოლების ფესვები, ამისთვის ვპოულობთ დისკრიმინანტს

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას ფესვების ფორმულაში და ვიანგარიშებთ

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას ფესვების მიხედვით კვადრატული განტოლების გაფართოებისთვის

ფრჩხილების გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ იდენტურობას.

კვადრატული განტოლება პარამეტრით

მაგალითი 1. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის ა ,აქვს თუ არა განტოლებას (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ერთი ფესვი?

ამოხსნა: a=3 მნიშვნელობის პირდაპირი ჩანაცვლებით ვხედავთ, რომ მას არ აქვს ამონახსნი. გარდა ამისა, ჩვენ გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ნულოვანი დისკრიმინანტით, განტოლებას აქვს 2 სიმრავლის ერთი ფესვი. ამოვიწეროთ დისკრიმინანტი

გაამარტივეთ იგი და გაუტოლეთ ნულს

მივიღეთ კვადრატული განტოლება a პარამეტრთან მიმართებაში, რომლის ამოხსნის მიღება ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ფესვების ჯამი არის 7, ხოლო მათი ნამრავლი 12. მარტივი ჩამოთვლით ვადგენთ, რომ რიცხვები 3.4 იქნება განტოლების ფესვები. ვინაიდან ჩვენ უკვე უარვყავით ამონახსნი a=3 გამოთვლების დასაწყისში, ერთადერთი სწორი იქნება - a=4.ამრიგად, a = 4-ისთვის, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

მაგალითი 2. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის ა ,განტოლება a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0აქვს ერთზე მეტი ფესვი?

ამოხსნა: ჯერ განიხილეთ სინგულარული წერტილები, ისინი იქნება მნიშვნელობები a=0 და a=-3. როდესაც a=0, განტოლება გამარტივდება სახით 6x-9=0; x=3/2 და იქნება ერთი ფესვი. a= -3-ისთვის ვიღებთ იდენტობას 0=0.
გამოთვალეთ დისკრიმინანტი

და იპოვეთ a-ს მნიშვნელობები, რომლისთვისაც ის დადებითია

პირველი პირობიდან ვიღებთ a>3. მეორესთვის, ჩვენ ვპოულობთ განტოლების დისკრიმინანტს და ფესვებს


მოდით განვსაზღვროთ ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს. a=0 წერტილის ჩანაცვლებით მივიღებთ 3>0 . ამრიგად, ინტერვალის მიღმა (-3; 1/3) ფუნქცია უარყოფითია. არ დაგავიწყდეთ წერტილი a=0რაც უნდა გამოირიცხოს, რადგან თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.
შედეგად, ვიღებთ ორ ინტერვალს, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის მდგომარეობას

პრაქტიკაში ბევრი მსგავსი დავალება იქნება, შეეცადეთ თავად გაუმკლავდეთ ამოცანებს და არ დაგავიწყდეთ ურთიერთგამომრიცხავი პირობების გათვალისწინება. კარგად შეისწავლეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები, ისინი საკმაოდ ხშირად საჭიროა სხვადასხვა ამოცანებისა და მეცნიერებების გამოთვლებში.

პირველი დონე

კვადრატული განტოლებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

ტერმინში "კვადრატული განტოლება" საკვანძო სიტყვაა "კვადრატული". ეს ნიშნავს, რომ განტოლება აუცილებლად უნდა შეიცავდეს ცვლადს (იგივე X) კვადრატში და ამავე დროს არ უნდა იყოს Xs მესამე (ან უფრო დიდ) ხარისხში.

მრავალი განტოლების ამოხსნა მცირდება კვადრატულ განტოლებათა ამოხსნამდე.

ვისწავლოთ იმის დადგენა, რომ ჩვენ გვაქვს კვადრატული განტოლება და არა სხვა.

მაგალითი 1

გაათავისუფლეთ მნიშვნელი და გაამრავლეთ განტოლების თითოეული წევრი

გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს და დავალაგოთ ტერმინები x-ის ხარისხების კლებადობით

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ეს განტოლება არის კვადრატული!

მაგალითი 2

გაამრავლეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

ეს განტოლება, თუმცა თავდაპირველად მასში იყო, არ არის კვადრატი!

მაგალითი 3

მოდით გავამრავლოთ ყველაფერი:

საშინელი? მეოთხე და მეორე ხარისხი... თუმცა, თუ ჩანაცვლებას გავაკეთებთ, დავინახავთ, რომ გვაქვს მარტივი კვადრატული განტოლება:

მაგალითი 4

როგორც ჩანს, ასეა, მაგრამ მოდით, უფრო ახლოს მივხედოთ. მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს:

ხედავთ, ის შემცირდა - და ახლა ეს მარტივი წრფივი განტოლებაა!

ახლა შეეცადეთ დაადგინოთ ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებიდან რომელია კვადრატული და რომელი არა:

მაგალითები:

პასუხები:

1. მოედანი;
2. მოედანი;
3. არა კვადრატი;
4. არა კვადრატი;
5. არა კვადრატი;
6. მოედანი;
7. არა კვადრატი;
8. კვადრატი.

მათემატიკოსები პირობითად ყოფენ ყველა კვადრატულ განტოლებას შემდეგ ტიპებად:

• სრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტები და, ისევე როგორც თავისუფალი წევრი c, არ არის ნულის ტოლი (როგორც მაგალითში). გარდა ამისა, სრულ კვადრატულ განტოლებებს შორის არის მოცემულიარის განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი (განტოლება პირველი მაგალითიდან არა მხოლოდ სრულია, არამედ შემცირებულია!)

• არასრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

  ისინი არასრულია, რადგან რაღაც ელემენტი აკლია მათგან. მაგრამ განტოლება ყოველთვის უნდა შეიცავდეს x კვადრატს !!! წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს აღარ იქნება კვადრატული, არამედ სხვა განტოლება.

რატომ მოიფიქრეს ასეთი დაყოფა? როგორც ჩანს, არის X კვადრატში და კარგი. ასეთი დაყოფა განპირობებულია გადაწყვეტის მეთოდებით. მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

პირველი, მოდით, ყურადღება გავამახვილოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე - ისინი ბევრად უფრო მარტივია!

არასრული კვადრატული განტოლებები შემდეგი ტიპებისაა:

1. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.
2. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.
3. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

1. ი. რადგან ვიცით როგორ ავიღოთ კვადრატული ფესვი, მოდით გამოვხატოთ ამ განტოლებიდან

გამოთქმა შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი. კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ორი უარყოფითი ან ორი დადებითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი, ასე რომ: თუ, მაშინ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

და თუ, მაშინ მივიღებთ ორ ფესვს. ამ ფორმულებს დამახსოვრება არ სჭირდება. მთავარია, ყოველთვის იცოდე და გახსოვდეთ, რომ ნაკლები არ შეიძლება.

შევეცადოთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი 5:

ამოხსენით განტოლება

ახლა რჩება ფესვის ამოღება მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებიდან. ბოლოს და ბოლოს, გახსოვთ როგორ ამოიღოთ ფესვები?

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!!!

მაგალითი 6:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 7:

ამოხსენით განტოლება

ოჰ! რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

არა ფესვები!

ისეთი განტოლებისთვის, რომლებშიც ფესვები არ არის, მათემატიკოსებმა გამოიგონეს სპეციალური ხატი - (ცარიელი ნაკრები). და პასუხი შეიძლება დაიწეროს ასე:

პასუხი:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. აქ არანაირი შეზღუდვა არ არის, რადგან ჩვენ არ გამოვყავით ფესვი.
მაგალითი 8:

ამოხსენით განტოლება

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ამრიგად,

ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

არასრული კვადრატული განტოლებების უმარტივესი ტიპი (თუმცა ისინი ყველა მარტივია, არა?). ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

აქ ჩვენ გავაკეთებთ მაგალითების გარეშე.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

შეგახსენებთ, რომ სრული კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლების განტოლება, სადაც

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ცოტა უფრო რთულია (უბრალოდ ცოტათი), ვიდრე მოცემული.

გახსოვდეს, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

დანარჩენი მეთოდები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში უფრო სწრაფად, მაგრამ თუ თქვენ გაქვთ პრობლემები კვადრატულ განტოლებებთან დაკავშირებით, ჯერ დაეუფლეთ ამონახსს დისკრიმინანტის გამოყენებით.

1. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა დისკრიმინანტის გამოყენებით.

ამ გზით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ძალიან მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა.

თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი.განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს საფეხურს. დისკრიმინანტი () გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ ნაბიჯის ფორმულა შემცირდება. ამრიგად, განტოლებას ექნება მხოლოდ ფესვი.
• თუ, მაშინ ჩვენ ვერ გამოვყოფთ დისკრიმინანტის ფესვს საფეხურზე. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებებს და გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 9:

ამოხსენით განტოლება

Ნაბიჯი 1გამოტოვება.

ნაბიჯი 2

დისკრიმინანტის პოვნა:

ასე რომ, განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ნაბიჯი 3

პასუხი:

მაგალითი 10:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება არის სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1გამოტოვება.

ნაბიჯი 2

დისკრიმინანტის პოვნა:

ასე რომ, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:

მაგალითი 11:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება არის სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1გამოტოვება.

ნაბიჯი 2

დისკრიმინანტის პოვნა:

ეს ნიშნავს, რომ დისკრიმინანტიდან ფესვის ამოღებას ვერ შევძლებთ. განტოლების ფესვები არ არსებობს.

ახლა ჩვენ ვიცით, როგორ ჩავწეროთ ასეთი პასუხები სწორად.

პასუხი:ფესვების გარეშე

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

თუ გახსოვთ, მაშინ არის განტოლების ტიპი, რომელსაც ეწოდება შემცირებული (როცა კოეფიციენტი a უდრის):

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ძალიან ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

ფესვების ჯამი მოცემულიკვადრატული განტოლება ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია.

მაგალითი 12:

ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება ვარგისია ვიეტას თეორემის გამოყენებით ამოხსნისთვის, რადგან .

განტოლების ფესვების ჯამი არის, ე.ი. ჩვენ ვიღებთ პირველ განტოლებას:

და პროდუქტი არის:

შევქმნათ და მოვაგვაროთ სისტემა:

• და. ჯამი არის;
• და. ჯამი არის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

პასუხი: ; .

მაგალითი 13:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 14:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება შემცირებულია, რაც ნიშნავს:

პასუხი:

კვადრატული განტოლებები. შუა დონე

რა არის კვადრატული განტოლება?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობია, - უფრო მეტიც, ზოგიერთი რიცხვი.

რიცხვს უწოდებენ უმაღლეს ან პირველი კოეფიციენტიკვადრატული განტოლება, - მეორე კოეფიციენტი, ა - თავისუფალი წევრი.

რატომ? რადგან თუ, განტოლება მაშინვე გახდება წრფივი, რადგან გაქრება.

ამ შემთხვევაში და შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ამ განავლის განტოლებას ეწოდება არასრული. თუ ყველა ტერმინი ადგილზეა, ანუ განტოლება დასრულებულია.

სხვადასხვა ტიპის კვადრატული განტოლების ამონახსნები

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

დასაწყისისთვის, ჩვენ გავაანალიზებთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს - ისინი უფრო მარტივია.

განტოლებების შემდეგი ტიპები შეიძლება განვასხვავოთ:

I., ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

II. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.

III. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.

ახლა განიხილეთ თითოეული ამ ქვეტიპის გადაწყვეტა.

ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

რიცხვი კვადრატში არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ორი უარყოფითი ან ორი დადებითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი. Ისე:

თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები;

თუ გვაქვს ორი ფესვი

ამ ფორმულებს დამახსოვრება არ სჭირდება. მთავარია გახსოვდეთ, რომ ეს არ შეიძლება იყოს ნაკლები.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!

რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

ფესვების გარეშე.

მოკლედ რომ დავწეროთ, რომ პრობლემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, ვიყენებთ ცარიელი ნაკრების ხატულას.

პასუხი:

ამრიგად, ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

პასუხი:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ამონახსნი, როდესაც:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

განტოლების მარცხენა მხარეს ვანაწილებთ და ვიპოვით ფესვებს:

პასუხი:

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

1. დისკრიმინანტი

ამ გზით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა. დაიმახსოვრეთ, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

შენიშნეთ დისკრიმინანტის ფესვი ფესვის ფორმულაში? მაგრამ დისკრიმინანტი შეიძლება იყოს უარყოფითი. Რა უნდა ვქნა? განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მივაქციოთ საფეხურს 2. დისკრიმინანტი გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს იგივე ფესვი, მაგრამ სინამდვილეში, ერთი ფესვი:

  ასეთ ფესვებს ორმაგი ფესვები ეწოდება.

• თუ, მაშინ დისკრიმინანტის ფესვი არ არის ამოღებული. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

რატომ არის ფესვების განსხვავებული რაოდენობა? მოდით მივმართოთ კვადრატული განტოლების გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა:

კონკრეტულ შემთხვევაში, რომელიც არის კვადრატული განტოლება, . და ეს ნიშნავს, რომ კვადრატული განტოლების ფესვები არის x-ღერძთან (ღერძი) გადაკვეთის წერტილები. პარაბოლამ შეიძლება საერთოდ არ გადაკვეთოს ღერძი, ან შეიძლება გადაკვეთოს მას ერთ (როდესაც პარაბოლის ზედა ღერძი დევს) ან ორ წერტილში.

გარდა ამისა, კოეფიციენტი პასუხისმგებელია პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე. თუ, მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო თუ - მაშინ ქვემოთ.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

პასუხი:.

პასუხი:

ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

პასუხი:.

2. ვიეტას თეორემა

ვიეტას თეორემის გამოყენება ძალიან მარტივია: თქვენ უბრალოდ უნდა აირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი უდრის განტოლების თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ვიეტას თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ მოცემული კვადრატული განტოლებები ().

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითი #1:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

ეს განტოლება ვარგისია ვიეტას თეორემის გამოყენებით ამოხსნისთვის, რადგან . სხვა კოეფიციენტები: ; .

განტოლების ფესვების ჯამი არის:

და პროდუქტი არის:

ავირჩიოთ რიცხვების ისეთი წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

• და. ჯამი არის;
• და. ჯამი არის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

ამრიგად, და არის ჩვენი განტოლების ფესვები.

პასუხი: ; .

მაგალითი #2:

გადაწყვეტილება:

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვების ისეთ წყვილებს, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და შემდეგ ვამოწმებთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

და: მიეცი სულ.

და: მიეცი სულ. მის მისაღებად, თქვენ უბრალოდ უნდა შეცვალოთ სავარაუდო ფესვების ნიშნები: და, ბოლოს და ბოლოს, პროდუქტი.

პასუხი:

მაგალითი #3:

გადაწყვეტილება:

განტოლების თავისუფალი წევრი უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების ნამრავლი არის უარყოფითი რიცხვი. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი. ასე რომ, ფესვების ჯამი არის მათი მოდულების განსხვავებები.

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვების ისეთ წყვილებს, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და რომელთა სხვაობა უდრის:

და: მათი განსხვავება არ არის შესაფერისი;

და: - შეუსაბამო;

და: - შეუსაბამო;

და: - შესაფერისი. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ვინაიდან მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, მაშინ ფესვი, რომელიც უფრო მცირეა აბსოლუტური მნიშვნელობით, უარყოფითი უნდა იყოს: . ჩვენ ვამოწმებთ:

პასუხი:

მაგალითი #4:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

განტოლება შემცირებულია, რაც ნიშნავს:

თავისუფალი ვადა უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების პროდუქტი უარყოფითია. და ეს შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების ერთი ფესვი უარყოფითია, ხოლო მეორე დადებითი.

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვების ისეთ წყვილებს, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შემდეგ განვსაზღვრავთ, რომელ ფესვებს უნდა ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი:

ცხადია, მხოლოდ ფესვები და შესაფერისია პირველი პირობისთვის:

პასუხი:

მაგალითი #5:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

განტოლება შემცირებულია, რაც ნიშნავს:

ფესვების ჯამი უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ერთი ფესვი მაინც უარყოფითია. მაგრამ რადგან მათი პროდუქტი დადებითია, ეს ნიშნავს, რომ ორივე ფესვი მინუსია.

ჩვენ ვირჩევთ რიცხვთა ისეთ წყვილებს, რომელთა ნამრავლი უდრის:

ცხადია, ფესვები არის რიცხვები და.

პასუხი:

დამეთანხმებით, ძალიან მოსახერხებელია - ამ საზიზღარი დისკრიმინანტის დათვლის ნაცვლად ფესვების ზეპირად გამოგონება. შეეცადეთ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა რაც შეიძლება ხშირად.

მაგრამ ვიეტას თეორემა საჭიროა, რათა ხელი შეუწყოს და დააჩქაროს ფესვების პოვნა. იმისათვის, რომ თქვენთვის მომგებიანი იყოს მისი გამოყენება, თქვენ უნდა მიიყვანოთ მოქმედებები ავტომატიზმამდე. და ამისთვის ამოხსენით კიდევ ხუთი მაგალითი. მაგრამ არ მოატყუოთ: თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ დისკრიმინანტი! მხოლოდ ვიეტას თეორემა:

ამოცანების გადაწყვეტილებები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

ამოცანა 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ვიეტას თეორემის მიხედვით:

ჩვეულებისამებრ, შერჩევას ვიწყებთ პროდუქტით:

არ არის შესაფერისი, რადგან თანხა;

: თანხა არის ის, რაც გჭირდებათ.

პასუხი: ; .

დავალება 2.

და კიდევ, ჩვენი საყვარელი ვიეტას თეორემა: ჯამი უნდა გამოვიდეს, მაგრამ ნამრავლი ტოლია.

მაგრამ რადგან არ უნდა იყოს, მაგრამ, ჩვენ ვიცვლით ფესვების ნიშნებს: და (სულ).

პასუხი: ; .

დავალება 3.

ჰმ... სად არის?

აუცილებელია ყველა პირობის ერთ ნაწილად გადატანა:

ფესვების ჯამი ნამრავლის ტოლია.

დიახ, გაჩერდი! განტოლება არ არის მოცემული. მაგრამ ვიეტას თეორემა გამოსაყენებელია მხოლოდ მოცემულ განტოლებებში. ასე რომ, ჯერ უნდა მოიტანოთ განტოლება. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ ამის წამოწევა, ჩამოაგდეთ ეს იდეა და მოაგვარეთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით). შეგახსენებთ, რომ კვადრატული განტოლების მოყვანა ნიშნავს წამყვანი კოეფიციენტის ტოლს:

ჯარიმა. მაშინ ფესვების ჯამი ტოლია და ნამრავლი.

აქ უფრო ადვილია ამოღება: ბოლოს და ბოლოს - მარტივი რიცხვი (ბოდიში ტავტოლოგიისთვის).

პასუხი: ; .

დავალება 4.

თავისუფალი ვადა უარყოფითია. რა არის ამაში განსაკუთრებული? და ის ფაქტი, რომ ფესვები სხვადასხვა ნიშნის იქნება. ახლა კი, შერჩევისას, ჩვენ ვამოწმებთ არა ფესვების ჯამს, არამედ მათ მოდულებს შორის განსხვავებას: ეს განსხვავება ტოლია, მაგრამ პროდუქტი.

ასე რომ, ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთ-ერთი მათგანი მინუსით. ვიეტას თეორემა გვეუბნება, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ანუ. ეს ნიშნავს, რომ პატარა ფესვს ექნება მინუსი: და, ვინაიდან.

პასუხი: ; .

დავალება 5.

რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? მართალია, მიეცი განტოლება:

ისევ: ჩვენ ვირჩევთ რიცხვის ფაქტორებს და მათი განსხვავება ტოლი უნდა იყოს:

ფესვები თანაბარია და, მაგრამ ერთი მათგანი მინუს. რომელი? მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, რაც ნიშნავს, რომ მინუსთან ერთად იქნება უფრო დიდი ფესვი.

პასუხი: ; .

ნება მომეცით შევაჯამოთ:

1. ვიეტას თეორემა გამოიყენება მხოლოდ მოცემულ კვადრატულ განტოლებებში.
2. ვიეტას თეორემის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ფესვები შერჩევით, ზეპირად.
3. თუ განტოლება არ არის მოცემული ან არ არის ნაპოვნი თავისუფალი ტერმინის ფაქტორების შესაფერისი წყვილი, მაშინ არ არსებობს მთელი რიცხვი ფესვები და თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით).

3. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

თუ უცნობის შემცველი ყველა ტერმინი წარმოდგენილია როგორც ტერმინები შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან - ჯამის კვადრატი ან სხვაობა - მაშინ ცვლადების ცვლილების შემდეგ განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც არასრული კვადრატული განტოლება ტიპის.

Მაგალითად:

მაგალითი 1:

ამოხსენით განტოლება: .

გადაწყვეტილება:

პასუხი:

მაგალითი 2:

ამოხსენით განტოლება: .

გადაწყვეტილება:

პასუხი:

ზოგადად, ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება:

ეს გულისხმობს: .

არაფერს არ გახსენებს? ეს არის დისკრიმინანტი! ზუსტად ასე მიიღეს დისკრიმინაციული ფორმულა.

კვადრატული განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება, სადაც არის უცნობი, არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები, არის თავისუფალი წევრი.

სრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი.

შემცირებული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი, ანუ: .

არასრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

• თუ კოეფიციენტი, განტოლებას აქვს ფორმა:
• თუ თავისუფალი წევრია, განტოლებას აქვს ფორმა:
• თუ და, განტოლებას აქვს ფორმა: .

1. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1.1. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც, :

1) გამოთქვი უცნობი:

2) შეამოწმეთ გამოხატვის ნიშანი:

• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები,
• თუ, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

1.2. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც, :

1) ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

2) ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ამრიგად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

1.3. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: .

2. ფორმის სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი, სადაც

2.1. გამოსავალი დისკრიმინანტის გამოყენებით

1) მივიყვანოთ განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე:

2) გამოთვალეთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით: , რომელიც მიუთითებს განტოლების ფესვების რაოდენობას:

3) იპოვეთ განტოლების ფესვები:

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

2.2. ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი (ფორმის განტოლება, სადაც) ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია, ე.ი. , ა.

2.3. სრული კვადრატული გადაწყვეტა

კვადრატული განტოლებები გამოიყენება მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად. პრობლემების მნიშვნელოვანი ნაწილი, რომლებიც ადვილად წყდება პირველი ხარისხის განტოლებების დახმარებით, ასევე შეიძლება გადაწყდეს წმინდა არითმეტიკურად, თუმცა ზოგჯერ ბევრად უფრო რთული, გრძელი და ხშირად ხელოვნური გზით. ამოცანები, რომლებსაც კვადრატულ განტოლებამდე მივყავართ, როგორც წესი, არითმეტიკული ამონახსნის საშუალებას არ აძლევს. ფიზიკის, მექანიკის, ჰიდრომექანიკის, აეროდინამიკის და მრავალი სხვა გამოყენებითი მეცნიერების მრავალრიცხოვანი და ყველაზე მრავალფეროვანი კითხვები იწვევს ასეთ პრობლემებს.

ამოცანის პირობების მიხედვით კვადრატული განტოლებების შედგენის ძირითადი ეტაპები იგივეა რაც პირველი ხარისხის განტოლებამდე მიმავალი ამოცანების ამოხსნისას. მოვიყვანოთ მაგალითები.

დავალება. 1. ორმა ტიპაპისტმა ხელახლა აკრიფა ხელნაწერი 6 საათში. 40 წთ. რა დროს შეეძლო თითოეულ მბეჭდავს, რომელიც მარტო მუშაობდა, ხელახლა აკრიფოს ხელნაწერი, თუ პირველმა დახარჯა 3 საათით მეტი ამ სამუშაოზე, ვიდრე მეორე?

გადაწყვეტილება. ნება მიეცით მეორე მბეჭდავმა დახარჯოს x საათი ხელნაწერის გადასაბეჭდად. ეს ნიშნავს, რომ პირველი მბეჭდავი საათობით დაატარებს იმავე სამუშაოს.

ჩვენ გავარკვევთ, რომელ ნაწილს ასრულებს თითოეული მბეჭდავი ერთ საათში და რომელ ნაწილს - ორივე ერთად.

პირველი მბეჭდავი ნაწილს ერთ საათში ასრულებს

Მეორე ნაწილი.

ორივე ტიპისტი ასრულებს ნაწილს.

აქედან გამომდინარე გვაქვს:

პრობლემის მნიშვნელობის მიხედვით დადებითი რიცხვია

გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე გამარტივების შემდეგ, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას:

ვინაიდან , განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ფორმულით (B) ვხვდებით:

მაგრამ როგორც უნდა იყოს, ეს მნიშვნელობა არ არის მოქმედი ამ ამოცანისთვის.

უპასუხე. პირველი ტიპისტი სამუშაოზე საათებს ატარებს, მეორე 12 საათს.

ამოცანა 2. თვითმფრინავის საკუთარი სიჩქარე კმ საათში. თვითმფრინავმა 1 კმ მანძილი ორჯერ გაფრინდა: ჯერ ქარის საწინააღმდეგოდ, შემდეგ ქარის საწინააღმდეგოდ, ხოლო მეორე რეისზე მეტი საათი გაატარა. გამოთვალეთ ქარის სიჩქარე.

გამოსავლის მსვლელობას გამოვსახავთ დიაგრამის სახით.