ამოცანების შერჩევა თანამშრომლობისა და პროდუქტიულობისთვის. ამოცანები პირდაპირი და უკუპროპორციულობისთვის

ამ განყოფილების ყველა პრობლემა არჩევითია იმ გაგებით, რომ არ არის აუცილებელი ყველა სტუდენტმა შეძლოს მათი გადაჭრა. გამოიყენეთ ისინი იმდენად, რამდენადაც ეს საინტერესო იქნება თქვენი სტუდენტებისთვის, რამდენადაც შეგიძლიათ მოაწყოთ სკოლის მოსწავლეების სასწავლო აქტივობები, რაც ხელს უწყობს მათ განვითარებას. პირველი დავალებები კარგია კლასთან ფრონტალური მუშაობისთვის. მათთან მუშაობის შემდეგ მოსწავლეები სწავლობენ უკეთესად განასხვავონ პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციულობა, ნაკლებად უჭირთ მარტივი სამმაგი წესის დავალებები.

278 .* 3 ქათამმა დადო 3 კვერცხი 3 დღეში. რამდენ კვერცხს დადებს 12 ქათამი 12 დღეში?

მოსწავლეები ძალიან გაოცდებიან, როცა გაიგებენ, რომ „აშკარა“ პასუხი „12 კვერცხი“ არასწორია. ამ განყოფილების პირველი პრობლემის გადაწყვეტა საუკეთესოდ არის გაანალიზებული კოლექტიურად, შესაძლოა გარკვეული სახლის განხილვის შემდეგ. სახელმძღვანელო კითხვები მოცემულია განყოფილებაში "პასუხები და რჩევები". მოკლედ დაწერეთ პრობლემის მდგომარეობა:

ქათმის კვერცხის დღეები

12 12 x,

დიალოგის დროს თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენჯერ გაიზარდა ქათმების რაოდენობა (4-ჯერ); როგორ შეიცვალა კვერცხების რაოდენობა, თუ დღეების რაოდენობა არ შეცვლილა (4-ჯერ გაიზარდა); რამდენჯერ გაიზარდა დღეების რაოდენობა (4-ჯერ); როგორ შეიცვალა კვერცხების რაოდენობა (4-ჯერ გაიზარდა). შედეგად, კვერცხების რაოდენობაა:

x = 3 4 4 = 48.

279 .* 100 ძუძუ 100 დღეში ჭამე 100 კგმარცვლეული. რამდენ კილოგრამ მარცვლეულს შეჭამს 10 ძუძუ 10 დღეში?

280 .* 3 მხატვარს შეუძლია 60 ფანჯრის მოხატვა 5 დღეში.

ა) რამდენ მხატვარს უნდა დაევალოს ფანჯრების მოხატვა, რომ 2 დღეში 64 ფანჯარა შეღებოს?

ბ) რამდენ ფანჯარას დახატავს 5 მხატვარი 4 დღეში?

გ) რამდენი დღე დასჭირდება 2 მხატვარს 48 ფანჯრის მოხატვას?

281 .*ა) 2 დიგერი 2-ზე თგათხრა 2 მთხრილები. რამდენი დიგერი 5 თგათხრა 5 მთხრილები?

ბ) 10 ტუმბო 10-ზე წთამოტუმბეთ 10 ტწყალი. რამდენ წუთს ამოიღებს 25 ტუმბო 25 ტწყალი?

282 .* უცხო ენის შემსწავლელი კურსები ქირავდება საკლასო ფართს სკოლაში. წლის პირველ ნახევარში, კვირაში 6 დღით 4 კლასის დაქირავებით სკოლამ მიიღო 336. რ.თვეში. რამდენი იქნება თვიური ქირა წლის მეორე ნახევარში 5 საკლასო ოთახში, კვირაში 5 დღე იმავე პირობებში?

283 .* დან "არითმეტიკა" ლ.ფ. მაგნიტსკი. ვიღაცას 100 ჰყავდა რ. ვაჭრებში 1 წლის განმავლობაში და მათგან მხოლოდ 7 შეიძინა რ.და როცა ვაჭრებს 1000 მისცა რ. 5 წლის განმავლობაში რამდენს მოიგებენ?

284 .* ი.ნიუტონის „ზოგადი არითმეტიკიდან“. თუ მწიგნობარს შეუძლია დაწეროს 15 ფურცელი 8 დღეში, რამდენი მწერალი დასჭირდება 405 ფოლიოს დაწერას 9 დღეში?

285 .* ძველი პრობლემა. გადამწერს შეუძლია დააკოპიროს 40 ფურცელი 4 დღის განმავლობაში, მუშაობს 9-ზე თდღეში. რამდენ დღეში დააკოპირებს 60 ფურცელს, მუშაობს 12 თდღეში?

286 .* დიასახლისს ჰკითხეს:

თქვენი ქათმები კარგად დგანან?

დაფიქრდით, - იყო პასუხი, - ერთნახევარი ქათამი დღენახევარში ერთნახევარ კვერცხს დებს, ჯამში კი 12 ქათამი მყავს.

რამდენ კვერცხს დებს ქათამი დღეში?

287 .*ა) თხრილების პირველ გუნდში 4 ადამიანია - ისინი 4-ისთვის არიან თგათხარა 4 მთხრილები. მეთხრეების მეორე ბრიგადაში 5 ადამიანია - ისინი 5-ისთვის არიან თგათხრილი 5 მთხრილები. რომელი გუნდი მუშაობს საუკეთესოდ?

ბ) პირველმა დიასახლისმა 3 ქათამმა დადო 6 კვერცხი 3 დღეში, ხოლო მეორე დიასახლისმა 4 ქათამმა დადო 8 კვერცხი 4 დღეში. რომელ დიასახლისს აქვს უკეთესი ქათმები?

288 .* უძველესი ამოცანები.ა) 45 ადამიანის მოვლა-პატრონობა დაიხარჯა 2040 წლის 56 დღეში რ.რამდენი უნდა დაიხარჯოს 75 ადამიანის დასახმარებლად 70 დღის განმავლობაში?

ბ) წიგნის დასაბეჭდად, რომელიც შეიცავს 32 სტრიქონს გვერდზე და 30 ასოზე, თითოეულ ეგზემპლარზე საჭიროა 24 ფურცელი. რამდენი ფურცელი სჭირდება ამ წიგნის იმავე ფორმატში დაბეჭდვას, მაგრამ 36 სტრიქონი თითო გვერდზე და 32 ასო თითო სტრიქონში?

განვიხილოთ უფრო რთული პრობლემები ოთხი და თუნდაც ექვსი რაოდენობით. ისინი შეიძლება მიეცეს სურვილისამებრ საშინაო დავალების სახით ყველაზე ძლიერ მოსწავლეებს, რომლებსაც მოსწონთ თავსატეხების ამოხსნა.

289 .* „არითმეტიკიდან“ ა.პ. კისელევა.

ა) 120 ფუნტი ნავთი გამოიყენეს 18 ოთახის გასანათებლად 48 დღეში, თითო ოთახში 4 ნათურა ანათებდა. რამდენ დღეს გაძლებს 125 ფუნტი ნავთი, თუ 20 ოთახი ანათებს და თითო ოთახში 3 ნათურა აანთებს?

ბ) 5 იდენტური ნავთის ღუმელისთვის, რომელიც იწვა 24 დღის განმავლობაში, 6 თყოველდღიურად, ხარჯავდა 120 ლნავთი. რამდენი დღეა საკმარისი 216 ლნავთი, თუ 9 იგივე ნავთი დაიწვება 8 თდღეში?

290 .* ძველი დავალება. 26 კაციანი თხრების არტელი, რომელიც მუშაობს 12 მანქანით თდღეში, შეუძლია არხის გათხრა 96-ზე მსიგრძე, 20 მსიგანე და 12 დმსიღრმე 40 დღის განმავლობაში. რამდენ ხანს შეუძლია არხის გათხრა 39 ამთხრის მიერ, რომლებიც მუშაობენ 80 დღის განმავლობაში 10 საათზე თდღეში, თუ არხის სიგანე უნდა იყოს 10 მსიღრმე 18 დმ?

ამოცანა 290 ს.ი. შოხორ-ტროცკიმ ეს არადამაკმაყოფილებლად მიიჩნია საყოფაცხოვრებო პირობებისთვის და შეუფერებლად სასკოლო პრაქტიკისთვის, იგი თავის "არითმეტიკის მეთოდში" (1935 წ.) "თავისთვის" მიიჩნია. გამოვიყენოთ ჩვენ მიერ გაუმჯობესებული „საბოლოო ფორმულა“. ძლიერ კლასში ეს მეთოდი შეიძლება აჩვენონ მოსწავლეებს, ოღონდ მხოლოდ მათი აქტიური მონაწილეობით გადაწყვეტაში – წინააღმდეგ შემთხვევაში სამუშაოს აზრი არ ექნება. ქვემოთ მოცემულია პრობლემის მოკლე პირობა და მოყვანილია არგუმენტი, რომლის პარალელურად შესაძლებელია დაფაზე შენახული იქნას თანდათანობით დამატებული ჩანაწერი, რომელიც ნაჩვენებია მარჯვნივ.

სიგრძე სპარს. დღეები საათი. შირ. ჩ.

96 26 40 12 20 12

x 39 80 10 10 18

არხის სიგრძე გაიზრდება

ხალხის რაოდენობის ზრდა 39 / 26 ჯერ, x = 96· 39/26

დღეების რაოდენობის მატებიდან 80 / 40 ჯერ x = 96 39 / 26 80 / 40

და სიგანის შემცირებისგან 20 / 10 ჯერ; x = 96 39 / 26 80 / 40 .

არხის სიგრძე შემცირდება

საათების რაოდენობის შემცირება 12 / 10 ჯერ და x = 96 39 / 26 80 / 40 20 / 10: 12 / 10

და მზარდი სიღრმიდან 18 / 12 ჯერ: x = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12.

დაბოლოს, გვაქვს: x = 320. ეს ნიშნავს, რომ 39 დიგერს შეუძლია 320 მ სიგრძის არხის გათხრა.

სამმა ქათამმა 3 დღეში დადო 3 კვერცხი. რამდენ კვერცხს დადებს 12 ქათამი 12 დღეში?

მოსწავლეები ძალიან გაოცდებიან, როცა გაიგებენ, რომ „აშკარა“ პასუხი „12 კვერცხი“ არასწორია. უმჯობესია ამ განყოფილებიდან პირველი პრობლემის გადაწყვეტა ერთობლივად გავაანალიზოთ, შესაძლოა სახლში ფიქრის შემდეგ, მოკლედ ჩამოვწეროთ პრობლემის მდგომარეობა:

ქათმის დღის კვერცხები

3 33
12 12 x

2. სამ მხატვარს შეუძლია 5 დღეში 60 ფანჯრის მოხატვა. რამდენ მხატვარს უნდა დაევალოს ფანჯრების მოხატვა, რომ 2 დღეში 64 ფანჯარა დახატოს?

3. უცხო ენის შემსწავლელი კურსები ქირაობს ფართებს სკოლაში გაკვეთილებისთვის. წლის პირველ ნახევარში სკოლამ მიიღო 336 მანეთი კვირაში 6 დღით ოთხი კლასის დაქირავებისთვის. თვეში. რამდენი იქნება თვიური ქირა წლის მეორე ნახევარში 5 საკლასო ოთახში, კვირაში 5 დღე იმავე პირობებში?

4. (ი. ნიუტონის "ზოგადი არითმეტიკიდან").თუ მწიგნობარს შეუძლია დაწეროს 15 ფურცელი 8 დღეში, რამდენი მწერალი დასჭირდება 405 ფოლიოს დაწერას 9 დღეში?

5. (ძველი პრობლემა.) 45 ადამიანის მოვლისთვის 56 დღეში 2040 მანეთი დაიხარჯა. რამდენი უნდა დაიხარჯოს 75 ადამიანის დასახმარებლად 70 დღის განმავლობაში?

6. (ა. კისელიოვის "არითმეტიკიდან"). 18 ოთახის გასანათებლად 48 დღეში 120 ფუნტი ნავთი დაიხარჯა და თითოეულ ოთახში 4 ნათურა დაიწვა. რამდენ დღეს გაგრძელდება 125 ფუნტი ნავთი, თუ 20 ოთახი აინთება და თითოეულ ოთახში 3 ნათურა აანთებს?

7. (ძველი პრობლემა.)დღეში 12 საათის განმავლობაში მანქანებთან მომუშავე 26 ამთხრის არტელს შეუძლია 40 დღეში 96 მ სიგრძის, 20 მ სიგანისა და 12 დმ სიღრმის არხის გათხრა. რამდენ ხანს შეიძლება არხის გათხრა 39 თხრიანმა, რომელიც მუშაობს 80 დღე დღეში 10 საათის განმავლობაში, თუ არხის სიგანე უნდა იყოს 10 მ, სიღრმე 18 დმ?

A.V. ელისოვი

კარგია ასატანი, კარგია სწავლება,
მიაღწიეთ მიზნებს უბედურების გზით
ემსახურე სიმართლეს სიყვარულით -
მე ამას სიბრძნეს ვეძახი.
A.V. ელისოვი.

მათემატიკაში გამოცდის ახალი ფორმით ჩაბარება საბაზო სკოლის კურსდამთავრებულებმა და ზოგადსაგანმანათლებლო კურსდამთავრებულებმა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სახით დაუსვეს მასწავლებლებს არაერთი კითხვა: როგორ ვასწავლოთ ახალ პირობებში? როგორ მოაწყოთ თქვენი გაკვეთილი ისე, რომ მოსწავლეებმა გამოცდის შემდეგ კმაყოფილება მიიღონ და არ თქვან, რომ „ჩვენ არ მოვაგვარეთ ასეთი პრობლემები“? სიტყვები ლ.გ. პეტერსონი: „დღეს ღირებულება არ არის იქ, სადაც სამყარო აღიქმება სქემის მიხედვით „ვიცი – არ ვიცი, შემიძლია – არ შემიძლია, მე ვფლობ – არ მაქვს“, არამედ სადაც არის თეზისი. ”მე ვეძებ და ვპოულობ, ვფიქრობ და ვსწავლობ, ვვარჯიშობ და ვაკეთებ”. წინა პლანზე გამოდის მოსწავლის პიროვნება, სამყაროსადმი მისი დამოკიდებულება, კულტურული კომუნიკაციისა და რეფლექსიის უნარი, ადეკვატური თვითშეფასება და თვითგანვითარება, ქმნილებაზე ფოკუსირება და სიკეთე.

როგორი უნდა იყოს თანამედროვე გაკვეთილი? უპირველეს ყოვლისა, ეს არის საინტერესო გაკვეთილი. ეს ერთადერთი გზაა გაკვეთილის მაღალი მოტივაციისა და ემოციური შეფერილობის შესანარჩუნებლად. ეს არის გაკვეთილის გააზრებული სტრუქტურა, ახალი მასალის შესწავლის ლოგიკა, დიდაქტიკური მასალის მრავალფეროვნება, სტუდენტების მუშაობის ორგანიზება, სწავლების ფორმებისა და მეთოდების მუდმივი ძიება და ტექნიკური აღჭურვილობა. გაკვეთილი.

სად უნდა დაიწყოს? ყოველი სასწავლო წლის დასაწყისში მე-5-9 კლასებში ვატარებ შესვლის მონიტორინგის ტესტებს მოსწავლეთა ნარჩენი ცოდნის გამოსავლენად. ნარჩენი ცოდნის მიხედვით, ბავშვებს ვარჯიშის სამი დონის შესაბამისად ვათავსებ გარკვეულ რიგებში. ამავდროულად, მოსწავლეებმა იციან, რომ მასალის ათვისებისას შეუძლიათ მომზადების დონის მიხედვით გადავიდნენ შემდეგ ჯგუფში.

თითოეულ გაკვეთილზე კარგი შედეგის მისაღწევად ვატარებ სავალდებულო ზეპირ გამოთვლას, ვასწავლი დამოუკიდებელ სამუშაოს, ტესტებს. მე-6 კლასში მოსწავლეებმა კარგად უნდა აითვისონ თემა დადებითი და უარყოფითი რიცხვებით, მე-7 კლასში კარგად უნდა შეისწავლონ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები, მე-8 კლასში ამოხსნან კვადრატული განტოლებები. ეს არის გლობალური თემები, რომელთა გაშვება შეუძლებელია. 5-7 კლასებში ვიყენებ სამუშაო წიგნებს ტესტური ამოცანებით, ასევე დავალებების კრებულებს ტესტებით. გაკვეთილზე ტარდება სტუდენტების ამოცანების გადაჭრის ალგორითმების გაცნობა - ლექციები. ბიჭებს აქვთ ცალკე რვეული, რომელშიც წერენ ინსტრუქციებს და დავალების ნიმუშს. შემდგომი განვითარება ხორციელდება პრაქტიკულ გაკვეთილებზე მუშაობის სხვადასხვა ფორმით (ფრონტალური, ჯგუფური, ინდივიდუალური). ალგორითმის ათვისების სწრაფად გაკონტროლების მიზნით, ძალიან ხშირად (ყოველ გაკვეთილზე ან ყოველ გაკვეთილზე) ვახორციელებ მცირე დამოუკიდებელ სამუშაოს, რომლის მიზანია არა შეფასებების მიცემა, არამედ იმ სტუდენტების გამოვლენა, რომლებსაც რაღაც არ ესმით. ამ ბიჭებს სასწრაფო დახმარებას უწევენ კონსულტანტები, ან მე კიდევ ერთხელ ავხსნი და ვურეკავ გამგეობას. ჯგუფურად მუშაობის ორგანიზებისას, ზოგიერთი სტუდენტი იღებს დავალებებს, რომლებიც მიზნად ისახავს სწავლის სავალდებულო შედეგების მიღწევას, ზოგს წინ აქვს დავალების ნიმუში, ზოგს კი მხოლოდ ალგორითმი აქვს, უფრო ძლიერი სტუდენტები იღებენ დავალებებს მოწინავე დონეზე. ასეთ გაკვეთილზე ჩემი ნამუშევარი ორიენტირებულია სუსტ მოსწავლეებზე, ძლიერ ჯგუფში, როგორც წესი, ისინი ყოველთვის პოულობენ სწორ გამოსავალს კოლექტიური ძალისხმევით, ახალ სიტუაციაში ცოდნისა და საქმიანობის მეთოდების დამოუკიდებლად გამოყენებით. სტუდენტების შეფასებისას არ ვჩქარობ ჟურნალში შეფასებების ჩადებას, ყოველთვის ვაძლევ შესაძლებლობას მივიღო უფრო მაღალი ნიშანი და აუცილებლად გავასწორო „დიუსი“, ამისთვის მოსწავლემ უნდა გააკეთოს მუშაობა თავის შეცდომებზე. საკუთარი ან კონსულტანტების დახმარებით (ჩემი დახმარებით), შემდეგ კი გაკვეთილზე მსგავსი ამოცანის ამოხსნა.

მთავარია, დროთა განმავლობაში ბიჭებმა შეწყვიტონ „ორების“ შიში, უფრო თამამად დაუსვან კითხვები, გაუმკლავდნენ სავალდებულო დონის დავალებებს.გაკვეთილზე ატმოსფერო მეგობრული, მშვიდი.

სწავლების ალგორითმები შესაძლებელს ხდის ყველაზე სუსტი მოსწავლეებისთვის სწავლის სავალდებულო დონის მიღწევას და არ შეიძლება გამოიწვიოს აზროვნების სტანდარტიზაცია და ბავშვების შემოქმედებითი ძალების ჩახშობა, რადგან სხვადასხვა ავტომატიზირებული მოქმედებების (უნარების) განვითარება შემოქმედებითი პროცესის აუცილებელი კომპონენტია. , რომლის გარეშეც უბრალოდ შეუძლებელია.

ალგორითმების სწავლა არ შემოიფარგლება მხოლოდ მათი დამახსოვრებით, ის ასევე მოიცავს ალგორითმების დამოუკიდებელ აღმოჩენას, აგებას და ფორმირებას და ეს არის შემოქმედებითი პროცესი. დაბოლოს, ალგორითმიზაცია არ მოიცავს მთელ სასწავლო პროცესს, არამედ მხოლოდ იმ კომპონენტებს, სადაც ეს მიზანშეწონილია. ალგორითმ-პროგრამების სისტემა გარკვეულწილად იძლევა საგანმანათლებლო პროცესის ავტომატიზირებას ტიპიური პრობლემების გადაჭრის უნარების განვითარების ეტაპზე და ქმნის უამრავ შესაძლებლობებს სტუდენტების აქტიური დამოუკიდებელი მუშაობისთვის.

მე-7 კლასის ბოლოს და მე-8 კლასში მოსწავლეებს ვაცნობ დავალებების კრებულს მე-9 კლასში სახელმწიფო საბოლოო სერტიფიცირებისთვის მომზადებისთვის L.V. კუზნეცოვას მიერ, პროსვეშჩენიის გამომცემლობა 2007-2009 წლებში. ეს კრებული მიზნად ისახავს ალგებრაში სახელმწიფო საბოლოო სერტიფიცირებისთვის მომზადებას ახალი ფორმით, რომელიც შედგება სამი ძირითადი განყოფილებისა და ორი დანართისგან.

მე-9 კლასში ვავითარებ მოსწავლეთა საბაზო კურსის გამოცდისთვის მომზადების ჩემს სისტემას.

მე-9 კლასის ალგებრის გაკვეთილების კალენდარულ-თემატურ დაგეგმარებაში შემოგთავაზებთ განმეორებით საკითხებს.

პროპორციის მთავარი თვისება;

პროპორციების შედგენისა და ამოხსნის პრობლემები;

ინტერესის ამოცანები;

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები;

გამონათქვამები და მათი გარდაქმნები

განტოლებები და განტოლებათა სისტემები;

უტოლობები და უტოლობათა სისტემები;

არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები.
გამეორებას ვატარებ როგორც კლასში, ასევე გაკვეთილის შემდეგ სისტემური კონსულტაციებით. გაკვეთილზე, კლასში მიკროკლიმატის შექმნით, ვამუშავებ მოქმედებების ალგორითმიზაციას; მოსწავლეების ინტერესის შენარჩუნებას საგნის მიმართ, ვაყალიბებ სწავლის მოტივაციას. მოსწავლეები კარგად სწავლობენ მათემატიკაში საჭირო მინიმალურ მასალას, თუ გამოიყენებენ მეთოდოლოგიურ ტექნიკას:

ამოცანების გადაჭრა მოდელის მიხედვით;

ერთი და იგივე პრობლემის გადაჭრის სხვადასხვა მიდგომის განხილვა;

საცნობარო სქემების შედგენა და სხვა ვიზუალური სასწავლო საშუალებების გამოყენება;

თემების სწორად შერჩევა და დავალებების დონე, აძლევს მათ გასართობ ფორმას;

კონკურსის გამოყენება გამოწვეულია მასწავლებლის შემდეგი კითხვებით: „როგორ გადავჭრათ უფრო სწრაფად?“, ვის აქვს ყველაზე მოკლე გამოსავალი? , Უადვილესი?".

მე ვატარებ თემატურ კონტროლს ტესტირების გამოყენებით, ტესტებთან მუშაობის ორგანიზების წესების დაცვით:

მოსწავლეები აკეთებენ ჩანაწერებს პასუხების ბარათებზე;

მასწავლებელი აძლევს ინსტრუქციას ბარათის სწორად შევსების შესახებ;

მოსწავლეს წინასწარ უნდა განუმარტოს დასრულების დრო და შეფასების ნორმები.
გაკვეთილებზე ვიყენებ ბარათ-კონსულტანტებს, რომელთა დახმარებით ისინი იმეორებენ შესწავლილ მასალას. ისინი შეიცავს შესწავლილი თემის ყველა პირობით მომენტს, ასევე ამოცანების ამოხსნის ალგორითმს.
ბარათი-კონსულტანტი თემაზე

"წრფივი განტოლებათა სისტემა"
წრფივი განტოლებათა სისტემა:
:

გადაჭრის გზები

გრაფიკული გზა

ჩანაცვლების მეთოდი

დამატების მეთოდი

1. თითოეულ განტოლებაში გამოხატეთ y x-ით

2. დახაზეთ თითოეული განტოლების ფუნქცია

3. გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების განსაზღვრა

1. ნებისმიერი განტოლებიდან

ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის თვალსაზრისით.

2.შეცვალეთ მიღებული გამონათქვამები და ამოხსენით.

3. ჩაანაცვლეთ ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობა და გამოთვალეთ მეორე ცვლადის მნიშვნელობა.

1. ნებისმიერი ცვლადის კოეფიციენტების მოდულების გათანაბრება.

2. სისტემის მიღებული განტოლებების დამატება (გამოკლება).

3. შეადგინეთ ახალი სისტემა: ერთი განტოლება ახალია: მეორე არის ერთ-ერთი ძველი.

4. ამოხსენით ახალი განტოლება და იპოვეთ ერთი ცვლადის მნიშვნელობა.

5. შეცვალეთ ნაპოვნი ცვლადის მნიშვნელობა ძველ განტოლებაში და იპოვეთ სხვა ცვლადის მნიშვნელობა.

პასუხი: x \u003d _______; y =_______

დაბალი მიღწევების ბავშვებთან მუშაობისას ვიყენებ ბარათების მთელ არსენალს, იმუშავე მოდელის მიხედვით!” , რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეიმუშაოთ სხვადასხვა მოქმედებისა და მათემატიკური მოქმედებების ალგორითმი.
დავალებების ნიმუშები.

1 გამოხატულება	2 გამოხატულება	ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლი მათი ჯამით	ამ გამონათქვამების კვადრატების განსხვავება
თან 3 წ 0,5 x გამზ	თან 5 ვ 2 წ 2 წმ	(c − x) (c + x) (3u - 5v) (3u + 5v)	C 2 - x 2 9u 2 - 25v 2

სხვაობის ნამრავლი და ორი გამონათქვამის ჯამი.

მოსწავლეებმა უნდა შეასრულონ დავალებები ხარვეზებით. გამოტოვებულია საკვანძო სიტყვები, რომელთა სწორი დამახსოვრება მიუთითებს მასალის გააზრებაზე.
ამოცანების გავლა.
კვადრატული ფესვები.

გამოიყენეთ თემატური ცხრილები სასკოლო კურსის სხვადასხვა განყოფილებისთვის. ყოველი ცხრილი მოკლედ ასახავს კონკრეტული საკითხის თეორიას (განმარტებები, თეორემები, დასკვნა, ფორმულები); მოცემულია ნახატები, გრაფიკები, ასევე ყველაზე ფუნდამენტური ამოცანების ამოხსნის მაგალითები.

ცხრილები დაგეხმარებათ ცოდნის სისტემატიზაციაში, სწრაფად და სრულად გაიმეოროთ კონკრეტული თემის ძირითადი პუნქტები.

მაგიდა. კვადრატული ფესვები.

არითმეტიკული ფესვის განმარტება

= 4, რადგან 4  0, 4 2 = 16;

 7, რადგან 7 2  25;

 −5, რადგან −5  0;

არ არის განსაზღვრული.

2
 3;

0.8
 0.9.

იდენტობები

ძირითადი თვისებები

კვადრატულ ფესვებთან დაკავშირებული შედარება

თუ a  b  0, მაშინ

.

თუ a  1, მაშინ a  და  1.

თუ 0  a  1, მაშინ a  და 0   1.

ამოღება ფესვის ქვეშ

, b  0

შესავალი ფესვის ქვეშ

;

ვატარებ ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილებს. ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილების გარეშე, რომელსაც ასევე უწოდებენ განზოგადების განმეორების გაკვეთილებს, საგანმანათლებლო მასალის სტუდენტების მიერ განმეორების პროცესი არ შეიძლება ჩაითვალოს დასრულებულად. ამ გაკვეთილების მთავარი მიზანია სტუდენტების მიერ ცნებებს, თეორიებს შორის კავშირებისა და ურთიერთობების ათვისება, სტუდენტების ჰოლისტიკური შეხედულების ჩამოყალიბება შესწავლილი მასალის, მისი მნიშვნელობისა და კონკრეტულ პირობებში გამოყენების შესახებ. შეჯამება და გამეორება ორიენტირებულია მათემატიკის გამოცდებში სტუდენტების წარმატების უზრუნველსაყოფად. განზოგადებული გამეორების მაგალითს მოვიყვან თემაზე: „ტექსტური ამოცანების ამოხსნა“.

კითხვები:

მარტივი პროპორციების პრობლემები.
პროპორციების რთული პრობლემები.
ტესტი ნომერი 1.
რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.
პროცენტის პოვნა.
ტესტი ნომერი 2.
კომპლექსური პრობლემები პროცენტებით. ვარჯიში.
ამოცანები მდინარის გასწვრივ გადაადგილებისთვის.
მოძრაობის ამოცანები.
ტესტი ნომერი 3.
ტესტი ნომერი 4.
ნატურალური რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის ამოცანები.
ნაწილი ამოცანები.
თანამშრომლობის ამოცანები.
პრობლემის გადაჭრა განტოლებების გამოყენებით.
ტესტი ნომერი 5.
სხვადასხვა დავალებები. კითხვები და ამოცანები.

გამოყენებული წყაროები :

ალგებრა: შატ. დავალებები მე-9 კლასში საბოლოო სერტიფიცირებისთვის მოსამზადებლად / [ლ. ვ.კუზნეცოვა, ს.ბ.სუვოროვა, ე.ა.ბუნიმოვიჩი და სხვები]. მ.: განათლება, 2007 წ.
საგანმანათლებლო და მეთოდური გაზეთი მათემატიკა 2005, No18,19, 20, 21, 22, 23, 2007 No 18, 19; 2008 No11, 12.
საგანმანათლებლო დაწესებულებების პროგრამები. ალგებრა 7-9. მოსკოვი. Განათლება. 2008 შემდგენელი: ბურმისტროვა ტ.ა.

პროპორციის მარტივი პრობლემები

პირველი ამოცანები გულისხმობს პასუხის მიღებას სტუდენტების გამოცდილ იდეებზე დაყრდნობით, ისინი მიმართულია პირდაპირი და უკუპროპორციულობის ცნებების გამეორებაზე.

პირველი პრობლემების გადაჭრისას, სასარგებლოა ხაზი გავუსვა, რომ შესყიდვის ფასი განისაზღვრება ფორმულით

ღირებულება = ფასი რაოდენობა,

და დააკვირდით, თუ როგორ, ერთი მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (შემცირებით), მეორე მნიშვნელობა იცვლება მესამესთან უცვლელად.
1°. რამდენიმე იდენტური ფანქრისთვის გადაიხადა 8 მანეთი. რამდენი უნდა გადაიხადოთ ერთი და იგივე ფანქრებში, თუ ისინი 2-ჯერ ნაკლებს იყიდიან?
2°. რამდენიმე იდენტური ფანქრისთვის გადაიხადა 8 მანეთი. რამდენი უნდა გადაიხადოთ იმავე რაოდენობის ფანქრებში, რომელთაგან თითოეული 2-ჯერ ძვირია?
3°. ფული არის 30 ფანქრის საყიდლად. რამდენი რვეულის ყიდვა შეიძლება იმავე ფულით, თუ რვეული ფანქარზე 2-ჯერ იაფია?

ველოსიპედისტმა რამდენიმე საათში 36 კმ გაიარა. რა მანძილი გაიარა ერთსა და იმავე დროს ქვეითმა, რომლის სიჩქარე ველოსიპედისტის სიჩქარეზე 3-ჯერ ნაკლებია?

ველოსიპედისტმა გაიარა გარკვეული მანძილი 3 საათში რამდენ საათში გაივლის მოტოციკლისტი ამ მანძილს, რომლის სიჩქარე 5-ჯერ აღემატება ველოსიპედისტს?

მოდით გადავიდეთ პრობლემების გადაჭრაზე პროპორციების გამოყენებით. პირველი მათგანი შეიცავს რაოდენობების მთელ მნიშვნელობებს, რომელთა თანაფარდობა ასევე არის მთელი რიცხვი.
6. 6 საათში მატარებელმა 480 კმ გაიარა. რა მანძილი გაიარა მატარებელმა პირველ 2 საათში, თუ მისი სიჩქარე მუდმივი იყო?

7. 6 კგ კენკრის ალუბლის ჯემის გასაკეთებლად აიღეთ 4 კგ გრანულირებული შაქარი. რამდენი კილოგრამი გრანულირებული შაქარი უნდა მივიღოთ 12 კგ კენკრაზე?

100 გრ ხსნარი შეიცავს 4 გრ მარილს. რამდენ გრამ მარილს შეიცავს 300გრ ხსნარში?

9. სამგზავრო მატარებელმა ორ ქალაქს შორის მანძილი 80 კმ/სთ სიჩქარით გაიარა 3 საათში რამდენი საათი დასჭირდებოდა სატვირთო მატარებელს იმავე მანძილის დაფარვას 40 კმ/სთ სიჩქარით?
10. ხუთ მხატვარს შეეძლო 8 დღეში ღობის მოხატვა. რამდენი დღე დასჭირდება 10 მხატვარს ერთი და იგივე ღობის მოხატვას?
მე-10 პრობლემაში, ისევე როგორც ბევრ სხვა პრობლემაში, ვარაუდობენ, რომ ყველა მუშაკი მუშაობს ერთნაირი პროდუქტიულობით და არ ერევა ერთმანეთს. სასურველია ეს ყოველ ჯერზე განისაზღვროს, რათა მოსწავლეები უფრო ყურადღებიანი იყვნენ მსგავს პირობებზე.

იმისთვის, რომ მათ არ შეექმნათ შთაბეჭდილება, რომ არსებობს მხოლოდ ორი სახის დამოკიდებულება - პირდაპირი ან უკუპროპორციული - სასარგებლოა პროვოკაციული ამოცანების განხილვა, რომლებშიც დამოკიდებულება განსხვავებული ხასიათისაა.
11. 1) 12 ჯვაროსანი დაიჭირეს 2 საათში. რამდენი კობრი დაიჭერს 3 საათში?

სამმა მამალმა გააღვიძა 6 ადამიანი. რამდენ ადამიანს გააღვიძებს ხუთი მამალი?
როდესაც ვასიამ წიგნის 10 გვერდი წაიკითხა, მას კიდევ 90 გვერდი აქვს წასაკითხი. რამდენი გვერდი დარჩება წასაკითხად, როცა 30 გვერდი წაიკითხავს?

ურთიერთობა წიგნში წაკითხული გვერდების რაოდენობასა და დარჩენილი გვერდების რაოდენობას შორის ხშირად აღიქმება, როგორც შებრუნებული ურთიერთობა: რაც უფრო მეტი გვერდია წაკითხული, მით ნაკლები რჩება წასაკითხი. ყურადღება მიაქციეთ ბავშვებს, რომ ერთის მატება და მეორეს კლება ერთსა და იმავე რაოდენობაში არ მოხდეს.

განვიხილოთ პრობლემა, რომლის დროსაც რაოდენობას შორის დამოკიდებულება ხშირად მიიღება პირდაპირ პროპორციულად და პასუხი „4 კვირაში“ სწორად ითვლება.
12*. აუზი შროშანებით არის გადაჭედილი და ერთ კვირაში შროშანებით დაფარული ფართობი გაორმაგდება. რამდენ კვირაში იფარება გუბე ნახევრად შროშანებით, თუ 8 კვირაში მთლიანად შროშანები დაიფარება?
ვინაიდან შროშანებით დაფარული ფართობი ერთ კვირაში ორმაგდება, ერთი კვირით ადრე გუბე მთლიანად შროშანებით იყო დაფარული, მისი ფართობი მათმა ნახევარით დაიფარა. ანუ აუზი 7 კვირაში ნახევრად შროშანებით დაიფარა?

8 მ ქსოვილი იგივე ღირს, რაც 63 მ ჩინცი. რამდენი მეტრი ჩინტის ყიდვა შეიძლება 12 მეტრიანი ქსოვილის ნაცვლად?

(ძველი პრობლემა.)ცხელ დღეს 6 სათიბმა დალია ერთი კასრი კვაზი 8 საათში, უნდა გავარკვიოთ რამდენი სათიბი დალევს იმავე კასრს 3 საათში?

(ალ. კისელიოვის „არითმეტიკიდან“?)ქსოვილის 8 არშინი 30 მანეთი ღირს. რა ღირს ამ ქსოვილის 15 არშინი?

60 კმ/სთ სიჩქარის მქონე სატვირთო მანქანამ ქალაქებს შორის მანძილი 8 საათში გაიარა, რამდენ საათში გაივლის ავტომობილი იმავე მანძილს 80 კმ/სთ სიჩქარით?

მძღოლმა შენიშნა, რომ 60 კმ/სთ სიჩქარით მან 40 წამში გაიარა ხიდი მდინარეზე. უკანა გზაზე მან ხიდი 30 წამში გადალახა. დაადგინეთ მანქანის სიჩქარე უკანა გზაზე.
ორი გადაცემათა კოლოფი კბილებთან ერთად. პირველი, რომელსაც 60 კბილი აქვს, წუთში 50 ბრუნს აკეთებს. რამდენ ბრუნს აკეთებს წუთში მეორე, რომელსაც 40 კბილი აქვს?

ზემოთ განხილული ამოცანები სავსებით საკმარისია იმისთვის, რომ მოსწავლეებმა ისწავლონ პირდაპირი და უკუპროპორციულობის გარჩევა, პროპორციების გაკეთება] და გადაჭრა.

(ა.პ. კისელევის "არითმეტიკიდან"). 8 მუშა გარკვეულ სამუშაოს 18 დღეში ამთავრებს; რამდენ დღეში დაასრულებს 9 ადამიანი იმავე სამუშაოს, იმუშავებს ისევე წარმატებით, როგორც პირველი?

20*. (ძველი პრობლემა.)ათმა მუშამ 8 დღეში უნდა დაასრულოს სამუშაო. როცა 2 დღე იმუშავეს, 3 დღის შემდეგ სამუშაოს დასრულება საჭირო აღმოჩნდა. კიდევ რამდენი მუშის დაქირავება გჭირდებათ?

(L.F. მაგნიტსკის "არითმეტიკიდან").ვიღაც ჯენტლმენმა დაურეკა დურგელს და უბრძანა ეზოს აშენება. 20 მუშა მისცა და ჰკითხა, რამდენ დღეში ააშენებდნენ მის ეზოს. დურგალმა უპასუხა: 30 დღეში. ოსტატმა კი 5 დღეში უნდა ააშენოს, რისთვისაც დურგალს ჰკითხა: რამდენი ადამიანი უნდა გყავდეს, რომ 5 დღეში მათთან ეზო ააშენო; მე კი დურგალი ვარ, დაბნეული, გეკითხებით, არითმეტიკას: რამდენი ადამიანი უნდა ჰყავდეს, რომ 5 დღეში ააშენოს ის ეზო?

22*. (ძველი პრობლემა.) 7 თვის შესანახად 560 ჯარისკაცი წაიყვანეს, 10 თვე სამსახურში ყოფნის ბრძანება; და მათ სურდათ ხალხის თავისგან წაყვანა, რათა საკმარისი საკვები ყოფილიყო 10 თვის განმავლობაში. საკითხავია, რამდენი ადამიანი უნდა შემცირდეს.

(ძველი პრობლემა.)დურგლების ერთ ბანდას, რომელიც შედგება 28 ადამიანისგან, შეუძლია სახლის აშენება 54 დღეში, ხოლო მეორეს - 30 კაცისგან - 45 დღეში. რომელი არტელი მუშაობს საუკეთესოდ?

პროპორციების დახმარებით მოგვარებული პრობლემების შესახებ საუბრის დასასრულს, აუცილებელია მაგალითის მოყვანა, რომლის გადაჭრა შეუძლებელია "ძველი გზით".

24. სამგზავრო მატარებელი გარკვეულ მანძილს 3 საათში გადის, ხოლო სწრაფი მატარებელი 2 საათში ერთხელ ეს მატარებლები ერთდროულად ორი ქალაქიდან გაემგზავრნენ ერთმანეთისკენ. სასწრაფო დახმარების მანქანასთან შეხვედრამდე სამგზავრო მატარებელმა 120 კმ გაიარა. რამდენი კილომეტრი გაიარა სწრაფმა მატარებელმა სამგზავრო მატარებელთან შეხვედრამდე?

აქ 120 კმ-ს 3 საათზე ვერ გაყოფთ, რადგან სხვა მანძილი 3 საათშია გავლილი. მოკლედ ჩამოვწეროთ პრობლემის მდგომარეობა.

დროის მანძილი

ექსპრესი 2სთ x კმ

სამგზავრო SP 120 კმ

პირველად მატარებლებმა ერთი და იგივე გზა გაიარეს, სიჩქარე კი დროის უკუპროპორციულია, ანუ სწრაფი მატარებლის სიჩქარე ორჯერ აღემატება სამგზავრო მატარებლის სიჩქარეს.

მეორედ კი მოძრაობის დრო მუდმივი იყო, ხოლო მანძილი სიჩქარის პირდაპირპროპორციულია, ანუ სწრაფი მატარებლის გავლილი მანძილი ორჯერ მეტია სამგზავრო მატარებლის გავლილ მანძილზე.

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია
, რომლის ამოხსნაც მივიღებთ x = 180. სწრაფმა მატარებელმა სამგზავრო მატარებელთან შეხვედრამდე 180 კმ გაიარა.

რთული პროპორციული ამოცანები

პირველის გადაწყვეტილებადავალების მოკლე პირობა:

ქათმის დღის კვერცხები

3 33
12 12 x

5. (ძველი პრობლემა.)

7. (ძველი პრობლემა.)
ტესტი 1

ვარიანტი 1

ორ ბიბლიოთეკაში ერთნაირი რაოდენობის წიგნი იყო. ერთი წლის შემდეგ პირველ ბიბლიოთეკაში წიგნების რაოდენობა 50%-ით გაიზარდა, ხოლო მეორეში - 2-ჯერ. რომელ ბიბლიოთეკას აქვს მეტი წიგნი?

მაგრამ. პირველ ბიბლიოთეკაში

ბ. მეორე ბიბლიოთეკაში

AT. თანაბარი რაოდენობის წიგნებია

გ

სარეცხი მანქანის ყიდვისას 6500 რ. მყიდველმა წარმოადგინა გაზეთიდან ამოჭრილი რეკლამა, რომელიც აძლევდა 5%-იან ფასდაკლების უფლებას. რამდენს გადაიხდის ის მანქანაში?

მაგრამ. 325 რ. ბ. 3250 რ. AT. 6175 რ. გ. 6495 რ.

ინსტიტუტის პირველ კურსზე 180 ადამიანის მიღებაა შესაძლებელი. შემოსული განაცხადების რაოდენობა შეადგენდა კურსზე ადგილების რაოდენობის 120%-ს. რამდენი განაცხადი შემოვიდა?

A. 36 B. 150 C. 216 D. 300

მდინარეში წყლის დონე დაახლოებით 2,4 მ იყო, წყალდიდობის პირველ საათებში ის 5%-ით გაიზარდა. რა დონეს მიაღწია მდინარეში წყალი?

ა. 0.12 მ ბ. 2.52 მ გ. 3.6 მ დ. 7.4

ვარიანტი 2

ორ ბიბლიოთეკაში ერთნაირი რაოდენობის წიგნი იყო. ერთი წლის შემდეგ პირველ ბიბლიოთეკაში წიგნების რაოდენობა 50%-ით გაიზარდა, ხოლო მეორეში - 1,5-ჯერ. რომელ ბიბლიოთეკას აქვს მეტი წიგნი?

მაგრამ. პირველ ბიბლიოთეკაში

ბ. მეორე ბიბლიოთეკაში

AT. თანაბარი რაოდენობის წიგნებია

გ. არ არის საკმარისი მონაცემები პასუხისთვის

კომუნალური გადასახადი 800 რუბლია. რამდენის გადახდა მოგიწევთ კომუნალურ მომსახურებაში 6%-ით გაძვირების შემდეგ?

A. 48 გვ. B. 480 r. B. 806 გვ. G. 848 გვ.

დეკემბერში საწარმოს თითოეულ თანამშრომელს გადაეცა პრემია მისი ყოველთვიური ხელფასიდან 130 ოდენობით. რა ბონუსი მიიღო თანამშრომელმა, რომლის ხელფასი 5500 რუბლია?

A. 71500 რ. B. 7150 R. B. 5630 r. G. 1650 გვ.

კომპანიამ ბანკში 5 მილიონი რუბლი განათავსა. წლიური 8%-ით. რამდენი იქნება კომპანიის ანგარიშზე წელიწადში?

A. 13 მილიონი რუბლი. B. 5,4 მილიონი რუბლი.

B. 9 მილიონი რუბლი D. 0,4 მილიონი რუბლი
რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით

ელექტრო საქონლის მაღაზიაში ნათურები მიიტანეს. მათ შორის იყო 16 გატეხილი ნათურა, რაც მათი რაოდენობის 2%-ს შეადგენდა. რამდენი ნათურა შემოიტანეს
ქულა?
იპოვეთ რიცხვი, რომლის 110% უდრის 33-ს.

კლასის 60% წავიდა კინოში, დარჩენილი 12 ადამიანი კი გამოფენაზე წავიდა. რამდენი მოსწავლეა კლასში?

პრობლემების პირობების ანალიზს პროცენტულად ეხმარებასქემატური ნახატები, "მოწოდება" სხვაშემთხვევებისკენ მიმავალი ნაბიჯების თანმიმდევრობაგადაწყვეტილება. მაგალითად, 50 პრობლემის გადაჭრისას, ჯერბუნებრივია ვიცოდეთ პროცენტების რაოდენობა, რომლებიც მიეკუთვნება12 ადამიანზე.
4. საქონლის ფასი გაიზარდა 30%-ით და ახლა 91 რუბლია. რამდენი იყო პროდუქტი ფასის მატებამდე?
5. ქარხანა გეგმავდა 10000 მანქანის წარმოებას. გეგმა 2%-ით გადააჭარბა. რამდენი მანქანა აწარმოა ქარხანამ გეგმის გადაჭარბებით? რამდენი მანქანა გამოუშვით წყლიდან?
პრობლემა 5 საუკეთესოდ წყდება ორი გზით. პირველ რიგში, პასუხობს დასმულ კითხვებს:

10000 0.02 = 200 (მანქანა);
10,000 + 200 = 10,200 (მანქანა),

შემდეგ სვამს დამატებით კითხვებს:

-რამდენი პროცენტით შეასრულა ქარხანამ გეგმა?

- 100 + 2 = 102 (%).

-რამდენ მანქანას შეადგენს 102%?

10000-1.02 = 10200 (მანქანა)

გაშრობისას ბალახი კარგავს მასის 80%-ს. რამდენი ტონა თივა მიიღება 4 ტონა ახალი ბალახისგან? რამდენი ტონა ბალახი უნდა მოიჭრას 4 ტონა თივის გასაშრობად?

100 - 80 \u003d 20 (%) - ბალახის მასა არის თივის მასა;
4 0.2 \u003d 0.8 (ტ) - თივა მიიღება 4 ტონა ბალახისგან;
4: 0.2 \u003d 20 (ტ) - ბალახი უნდა მოითილოს.

ალბომის ფასი ჯერ 15%-ით შემცირდა, შემდეგ კიდევ 15 რუბლით. ალბომის ახალი ფასი ორი შემცირების შემდეგ 19 რუბლი. დაადგინეთ მისი ორიგინალური ფასი.

15 + 19 = 34 (გვ.) - ალბომის ღირებულება მეორემდე
ფასის შემცირება;

100 - 15 \u003d 85 (%) - მოდის 34 რუბლზე;

3)
= 40 (გვ.) - ალბომი თავდაპირველად ღირდა.

შეკრიბეთ სამი რიცხვი. პირველმა შეადგინა თანხის 25%, ხოლო მეორე - 40%. იპოვეთ მესამე რიცხვი, თუ ის 45-ით ნაკლებია მეორეზე.

100 - 25 - 40 = 35 (%) - აღრიცხული თანხები
მესამე ნომერზე;

40 - 35 \u003d 5 (%) - თანხა მოდის 45-ზე;

3)
= 315 არის მესამე რიცხვი.

კლასის 30% და კიდევ 5 ადამიანი წავიდა კინოში, ხოლო დანარჩენი 3 წავიდა კლასში და კიდევ 8 ადამიანი წავიდა ექსკურსიაზე. რამდენი ადამიანია კლასში?

საწარმოს მუშაკთა მესამედს შვებულება ჰქონდა ზაფხულში, დანარჩენი მუშაკების 35%-ს შემოდგომაზე, ხოლო ზამთარში და გაზაფხულზე კიდევ 2 314 ადამიანს. რამდენი თანამშრომელია საწარმოში?

საქონლის გაყიდვისას 693 გვ. მიიღო 10% მოგება. განსაზღვრეთ ნივთის ღირებულება.

პროცენტის პოვნა

ამ განყოფილების ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეებმა უნდა აითვისონ ერთი მარტივი იდეა: იპოვონ ორი რიცხვის პროცენტი, ე.ი. რამდენი პროცენტია პირველი რიცხვი მეორედან, შეგიძლიათ გამოხატოთ პირველი რიცხვის შეფარდება მეორესთან პროცენტულად.

ამ ტიპის პირველი ამოცანები უნდა იყოს მარტივი, ანუ რიცხვების თანაფარდობა უნდა იყოს გამოხატული როგორც სასრული ათობითი წილადი.
ორი რიცხვის პროცენტის საპოვნელად შეგიძლიათ პირველი რიცხვი გაყოთ მეორეზე და გაამრავლოთ შედეგი 100-ზე.

16 კგ ახალი მსხლიდან მიიღეს 4 კგ ხმელი მსხალი. ახალი მსხლის მასის რომელ ნაწილს ტოვებს ხმელი მსხლის მასა? გამოხატეთ ეს ნაწილი პროცენტულად. მასის რამდენი პროცენტი იკარგება გაშრობისას?

50-ის რამდენი პროცენტია 40? 40 რიცხვის რამდენი პროცენტია რიცხვი 50?

მაშას წაკითხული აქვს 120 გვერდი და დარჩენილი აქვს წიგნის 130 გვერდი წასაკითხად. ყველა გვერდის რამდენი პროცენტი წაიკითხა მან? ყველა გვერდის რამდენი პროცენტი დარჩა მას წასაკითხად?

თვეში 12 მზიანი და 18 მოღრუბლული დღე იყო. თვის რამდენი პროცენტია მზიანი დღეები? მოღრუბლული დღეები?

5. რამდენი პროცენტით მეტია 50-ით 40-ზე? 40 50-ზე ნაკლები?

40-დან 50 არის , ან
% = 125% ;

50-ით მეტი 40-ზე 125-ით - 100 = 25 (%);

40 50 არის , ან
% = 80% ;

40 ნაკლებია 50-ზე 100-ით - 80 = 20 (%).
6. საქონლის ფასი 40 რუბლიდან შემცირდა. 30 რ-მდე. რამდენად დაეცა ფასი? რამდენ პროცენტით დაეცა ფასი?
მე-6 ამოცანაში მოსწავლეებს უჭირთ განსაზღვრონ რომელი რიცხვი აიღონ 100%. თქვენ უნდა მიაპყროთ მათი ყურადღება იმ რიცხვზე, რომელთანაც ისინი ადარებენ სხვა რიცხვს. ამაში პრობლემის გადაფორმება გვეხმარება: „30 რ-ის რამდენი პროცენტი. 40 რუბლზე ნაკლები? შეადარეთ 40 რუბლის თანხა, რაც ნიშნავს 40 რუბლს. არის 100%.

ტესტი 2

ვარიანტი 1

ზაფხულის პერიოდში ავტოსაგზაო შემთხვევების რაოდენობამ 0,7 შეადგინა, ვიდრე ზამთრის პერიოდში. რა პროცენტით შემცირდა ავტოსაგზაო შემთხვევები ზაფხულში ზამთართან შედარებით?

A. 70% B. 30% C. 7% D. 3%

A. B. C. 0.08 D. 0.8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
ვარიანტი 2

ტელევიზორის შემცირების შემდეგ მისი ახალი ფასი ძველის 0,8 იყო. ძველი ფასის რამდენი პროცენტია ახალი?

A. 0.8% B. 8% C. 20% D. 80%

შეუთავსეთ წილადები, რომლებიც გამოხატავენ გარკვეული მნიშვნელობის წილადებს და მათ შესაბამის პროცენტებს.

A. B. C. 0.4 D. 0.04
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%

რთული პროპორციული ამოცანები

სამმა ქათამმა 3 დღეში დადო 3 კვერცხი. რამდენ კვერცხს დადებს 12 ქათამი 12 დღეში?

მოსწავლეები ძალიან გაოცდებიან, როცა გაიგებენ, რომ „აშკარა“ პასუხი „12 კვერცხი“ არასწორია. პირველის გადაწყვეტილებაამ განყოფილების დაჩები საუკეთესოდ იშლება ერთობლივად,შესაძლოა, სახლში მსჯელობის შემდეგ, ჩაწეროთდავალების მოკლე პირობა:

ქათმის დღის კვერცხები

3 33
12 12 x

დიალოგის დროს უნდა გაარკვიოთ რამდენჯერ გაიზარდა ქათმების რაოდენობა (4-ჯერ); როგორ შეიცვალა კვერცხების რაოდენობა, თუ დღეების რაოდენობა არ შეცვლილა (4-ჯერ გაიზარდა); რამდენჯერ გაიზარდა დღეების რაოდენობა (4-ჯერ); როგორ შეიცვალა კვერცხების რაოდენობა (4-ჯერ გაიზარდა). კვერცხების რაოდენობაა: x = 3 4 4 = 48.
2. სამ მხატვარს შეუძლია 5 დღეში 60 ფანჯრის მოხატვა. რამდენ მხატვარს უნდა დაევალოს ფანჯრების მოხატვა, რომ 2 დღეში 64 ფანჯარა დახატოს?

5. (ძველი პრობლემა.) 45 ადამიანის მოვლისთვის 56 დღეში 2040 მანეთი დაიხარჯა. რამდენი უნდა დაიხარჯოს 75 ადამიანის დასახმარებლად 70 დღის განმავლობაში?
განვიხილოთ უფრო რთული პრობლემები ოთხი და თუნდაც ექვსი რაოდენობით. ისინი შეიძლება მიეცეს სურვილისამებრ საშინაო დავალების სახით ყველაზე ძლიერ მოსწავლეებს, რომლებსაც მოსწონთ თავსატეხების ამოხსნა.
6. (ა. კისელიოვის "არითმეტიკიდან"). 18 ოთახის გასანათებლად 48 დღეში 120 ფუნტი ნავთი დაიხარჯა და თითოეულ ოთახში 4 ნათურა დაიწვა. რამდენ დღეს გაგრძელდება 125 ფუნტი ნავთი, თუ 20 ოთახი აინთება და თითოეულ ოთახში 3 ნათურა აანთებს?

სიჩქარე დინების ქვემოთ და ზემოთ არის საკუთარი სიჩქარისა და დენის სიჩქარის ჯამი და განსხვავება. მათი საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ადრე ათვისებული მეთოდი, რომ იპოვოთ ორი სიდიდე მათი ჯამისა და სხვაობის მიხედვით: სიჩქარის სხვაობა ქვემოთ და ზემოთ უდრის მიმდინარე სიჩქარის ორჯერ.
1. წერტილიდან გზაზე მაგრამაბზაცამდე ATგემმა გაატარა 1 საათი 40 წუთი, ხოლო უკანა გზაზე - 2 საათი რა მიმართულებით მიედინება მდინარე?

ნავის სიჩქარე უძრავ წყალში 18 კმ/სთ-ია. მდინარის სიჩქარე 2 კმ/სთ-ია. რამდენად სწრაფად გადავა ნავი მდინარის ქვემოთ? ნაკადის წინააღმდეგ?
ნავის სიჩქარე უძრავ წყალში (საკუთარი სიჩქარე) არის 12 კმ/სთ, ხოლო მდინარის სიჩქარე 3 კმ/სთ. განსაზღვრეთ: ნავის სიჩქარე ნაკადთან და მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ; ნავის გზა მდინარის გასწვრივ 3 საათში; გემის გზა მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ 5 საათში.
გემის საკუთარი სიჩქარეა 27 კმ/სთ, მდინარის სიჩქარე 3 კმ/სთ. რამდენი დრო დასჭირდება გემს მდინარის გასწვრივ ორ ნავმისადგომებს შორის მგზავრობას, თუ მათ შორის მანძილი 120 კმ-ია?
ნავი თავისი 15 კმ/სთ სიჩქარით მიცურავდა 2 საათი დინების ქვემოთ და 3 საათი დინების საწინააღმდეგოდ. რამდენ მანძილზე ცურავდა ის მუდმივად, თუ მდინარის სიჩქარე 2 კმ/სთ-ია?
ორ ნავმისადგომებს შორის მანძილი 24 კმ-ია. რამდენ ხანს იმუშავებს ძრავა

ნავი ერთი ნავსადგურიდან მეორეზე მიმავალ გზაზე და უკან, თუ მისი საკუთარი სიჩქარეა 10 კმ/სთ, ხოლო დინების სიჩქარე 2 კმ/სთ?
ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი (სხვა რიცხვითი მონაცემებით) მოსახერხებელია დამოუკიდებელი მუშაობისთვის.

განსაზღვრეთ სიჩქარეები და შეავსეთ ცხრილი:

	საკუთარი სიჩქარე	მდინარის სიჩქარე	სიჩქარით ქვემოთ მდინარის დინება	სიჩქარე დინების საწინააღმდეგოდ
1	12 კმ/სთ	4 კმ/სთ
2	25 კმ/სთ		28 კმ/სთ
3	24 კმ/სთ			20 კმ/სთ
4		5 კმ/სთ	17 კმ/სთ
5		3 კმ/სთ		16 კმ/სთ
6			48 კმ/სთ	42 კმ/სთ

მოტორიანმა ნავმა დინების ქვემოთ 48 კმ 3 საათში გაცურა, დინების საწინააღმდეგოდ 4 საათში იპოვეთ დენის სიჩქარე.
მდინარის სიჩქარე 3 კმ/სთ-ია. რამდენი კილომეტრია საათში ნავის სიჩქარე დინების ქვემოთ, ვიდრე მის სიჩქარეზე ზემოთ?

ამოცანები მოძრაობისთვის

5 მოხსნის სიჩქარე.)

დახურვის სიჩქარე.)

(ძველი პრობლემა.)
(ძველი პრობლემა.)

inპირველი მატარებლის გზა;

8. მანძილი ქალაქებს შორის მაგრამდა ATუდრის 720 კმ. დან მაგრამ in AT

10. 1) აბზაციდან მაგრამაბზაცამდე AT A და Bუდრის 30 კმ-ს?

A წერტილიდან წერტილამდე AT,

ძირითადად მოძრაობას ეხება ერთმანეთის მიმართ

30-2 = 60 (კმ);
10 + 5 = 15 (კმ/სთ);
60:15 = 4 (სთ).

ამოცანები მოძრაობისთვის

1. ორი ფეხით მოსიარულე ერთდროულად დატოვა ერთი და იგივე წერტილი საპირისპირო მიმართულებით. პირველის სიჩქარე 4 კმ/სთ-ია, მეორის სიჩქარე 5 კმ/სთ რა მანძილზე იქნება ისინი ერთმანეთისგან 3 საათის შემდეგ? საათში რამდენ კილომეტრს შორდებიან ფეხით მოსიარულეები ერთმანეთს? (ეს მნიშვნელობა ეწოდება მოხსნის სიჩქარე.)

2. ორი სოფლიდან, რომელთა შორის მანძილი 36 კმ-ია, ერთმანეთისკენ ერთდროულად გამოვიდა ორი ფეხით მოსიარულე. მათი სიჩქარეა 4 კმ/სთ და 5 კმ/სთ. საათში რამდენ კილომეტრს უახლოვდებიან ფეხით მოსიარულეები ერთმანეთს? (ეს მნიშვნელობა ეწოდება დახურვის სიჩქარე.)
რა მანძილზე იქნება ისინი ერთმანეთისგან 3 საათის შემდეგ?

ორი ველოსიპედისტი ერთდროულად გაემგზავრა ერთმანეთისკენ ორი წერტილიდან, რომელთა შორის მანძილი 36 კმ-ია. პირველის სიჩქარე 10 კმ/სთ, მეორის 8 კმ/სთ. რამდენ საათში შეხვდებიან ისინი?
1) მანძილი ორ ქალაქს შორის არის 900 კმ. ამ ქალაქებიდან ერთმანეთისკენ ორი მატარებელი გავიდა 60 კმ/სთ და 80 კმ/სთ სიჩქარით. რა მანძილი იყო მატარებლები შეხვედრამდე 1 საათით ადრე? არის თუ არა დავალებაში დამატებითი პირობა?

2) მანძილი სოფლიდან ქალაქამდე 45 კმ. სოფლიდან ქალაქში ფეხით მოსიარულე ადამიანი 5 კმ/სთ სიჩქარით გაემგზავრა. ერთი საათის შემდეგ მისკენ ქალაქიდან სოფელში ველოსიპედისტი 15 კმ/სთ სიჩქარით გაემართა. რომელი მათგანი იქნება სოფელთან უფრო ახლოს შეხვედრის დროს?

3) ორი ველოსიპედისტი ერთდროულად გაემგზავრა ერთმანეთს ორი სოფლიდან, რომელთა მანძილი იყო 54 კმ. პირველის სიჩქარე 12 კმ/სთ, მეორის 15 კმ/სთ. რამდენ საათში იქნება ისინი ერთმანეთისგან 27 კმ დაშორებით?

ველოსიპედისტი და მოტოციკლისტი ერთსა და იმავე დროს იმავე მიმართულებით დატოვეს. მოტოციკლისტის სიჩქარე 40 კმ/სთ-ია, ხოლო ველოსიპედისტი 12 კმ/სთ. როგორია მათი ერთმანეთისგან მოცილების სიჩქარე? რამდენ საათში იქნება მათ შორის მანძილი 56 კმ?
(ძველი პრობლემა.)მოსკოვიდან ვოლოგდაში ვიღაც ახალგაზრდა წავიდა. დღეში 40 მილს დადიოდა. ერთი დღის შემდეგ მის უკან კიდევ ერთი ახალგაზრდა გაგზავნეს, რომელიც დღეში 45 მილს გადიოდა. რამდენ დღეში გაუსწრებს მეორე პირველს?
(ძველი პრობლემა.)მოსკოვიდან ტვერში ერთდროულად ორი მატარებელი გაემგზავრა. პირველმა 39 ვერსტზე გაიარა და ტვერში ორი საათით ადრე ჩავიდა.
მეორე, რომელიც გავიდა 26 ვერსის საათში. რამდენი კილომეტრია მოსკოვიდან ტვერამდე?

26 2 \u003d 52 (ვერსი) - რამდენად ჩამორჩა მატარებელი პირველს;
39 - 26 \u003d 13 (ვერსი) - რამდენად ჩამორჩა მეორე მატარებელი პირველ მატარებელს 1 საათში;
52: 13 \u003d 4 (სთ) - ამდენი დრო იყო inპირველი მატარებლის გზა;
39 4 \u003d 156 (ვერსი) - მანძილი მოსკოვიდან ტვერამდე.

8. მანძილი ქალაქებს შორის მაგრამდა ATუდრის 720 კმ. დან მაგრამ in ATსწრაფი მატარებელი მიდის 80 კმ/სთ სიჩქარით. 2 საათის შემდეგ სამგზავრო მატარებელი B-დან A-მდე გაემგზავრა მისკენ 60 კმ/სთ სიჩქარით. ექსპრეს მატარებლის გასვლიდან რამდენ საათში შეხვდებიან ისინი?

9. ორი მატარებელი მოძრაობს ერთმანეთისკენ - ერთი 70 კმ/სთ სიჩქარით, მეორე 80 კმ/სთ. მეორე მატარებელზე მჯდომმა მგზავრმა შენიშნა, რომ პირველმა მატარებელმა მას 12 წამში გაიარა. რა არის პირველი მატარებლის სიგრძე?

10. 1) აბზაციდან მაგრამაბზაცამდე ATფეხით მოსიარულე ტოვებს 5 კმ/სთ სიჩქარით. ამავდროულად, ველოსიპედისტი A-ს B-სკენ გაემგზავრა 10 კმ/სთ სიჩქარით. ველოსიპედისტი B-სკენ გაემართა, უკან შებრუნდა და იმავე სიჩქარით გაემართა ფეხით მოსიარულეთაკენ. მოძრაობის დაწყებიდან რამდენ საათში შეხვდებიან თუ მანძილი A და Bუდრის 30 კმ-ს?

A წერტილიდან წერტილამდე AT,რომელთა შორის მანძილი 17 კმ-ია, ველოსიპედისტი ტოვებს 12 კმ/სთ სიჩქარით. ამავდროულად, ქვეითი 5 კმ/სთ სიჩქარით ტოვებს A-ს B-სკენ. ველოსიპედისტი B-სკენ გაემართა, შებრუნდა და იმავე სიჩქარით უკან დაბრუნდა.
მოძრაობის დაწყებიდან რამდენ საათში შეიკრიბებიან ისინი?
ორ წერტილს შორის მანძილი 12 კმ-ია. ორი ველოსიპედისტი ერთდროულად გაემგზავრა ერთმანეთისკენ 10 კმ/სთ და 8 კმ/სთ სიჩქარით. თითოეულმა მათგანმა მიაღწია სხვადასხვა წერტილს, შებრუნდა და იმავე სიჩქარით გაიქცა უკან. მოძრაობის დაწყებიდან რამდენ საათში შეხვდებიან მეორედ?

მოდით წარმოვადგინოთ 10 (1) ამოცანის "გრძელი" ამოხსნა ახსნის გარეშე.

1)30:10 = 3(სთ); 4) 10 + 5 = 15 (კმ/სთ);

5-3 = 15 (კმ); 5) 15: 15 = 1 (სთ);
30 - 15 = 15 (კმ); 6) 3 + 1 = 4 (სთ).

ეს შეიძლება გამარტივდეს იმით, რომ პრობლემა არის მეტყველებაძირითადად მოძრაობას ეხება ერთმანეთის მიმართმანძილის გაორმაგება. იგივე პასუხი მიიღება თუგადააფორმეთ პრობლემის მდგომარეობა შემდეგნაირადzom: „A და B წერტილებს შორის მანძილი 60 კმ-ია.ფეხით მოსიარულემ A წერტილი დატოვა B წერტილისთვის 5 კმ/სთ სიჩქარით. ამავდროულად, ველოსიპედისტი 10 კმ/სთ სიჩქარით B-ზე A-ში გაემგზავრა. რამდენი საათის შემდეგშეიკრიბებიან თუ არა მოძრაობის დაწყების შემდეგ?

30-2 = 60 (კმ);
10 + 5 = 15 (კმ/სთ);
60:15 = 4 (სთ).

ეს არის პრობლემის წარმატებული რეფორმულირების მაგალითი, რაც იწვევს მისი გადაწყვეტის გამარტივებას.

ტესტი #4
1. იპოვეთ დრო, რომელიც სჭირდება ველოსიპედისტს A წერტილიდან B წერტილამდე მისასვლელად

(იხ. დიაგრამა სურათზე 1).
υ=12 კმ/სთ

ა| _________________________________________ AT

s = 6 კმ
ბრინჯი. ერთი.
მაგრამ. 72 სთ ბ. 0.5 სთ AT. 2 სთ

გ. 5 სთ დ. ________________

ორი წერტილიდან, რომელთა შორის მანძილი 10 კმ-ია, ორი ტურისტი ერთდროულად გაემგზავრა იმავე მიმართულებით. პირველი ტურისტის სიჩქარე 4 კმ/სთ-ია, მის შემდეგ კი 6 კმ/სთ. რამდენი დრო დასჭირდება მეორე ტურისტს პირველის გასწრებას?

მაგრამ. 1 საათის შემდეგ ბ. 2.5 საათის შემდეგ AT. 1-ში

გ. 5 საათის შემდეგ დ. ________________________

ერთი სადგურიდან მეორეზე მდინარის გასწვრივ ნავი 3 საათს მიცურავდა, უკანა გზაზე კი 4 საათი გაატარა.მდინარის სიჩქარე 1კმ/სთ-ია. დაწერეთ განტოლება, რომ იპოვოთ ნავის საკუთარი სიჩქარე x კმ/სთ გამოყენებით.

პასუხი: _________________________________

გაკვეთილის მიზნები:

პროპორციული სიდიდეებისთვის უფრო რთული ამოცანების ამოხსნა („რთული სამმაგი წესი“);
არა მხოლოდ ლოგიკური, არამედ ხატოვანი აზროვნების, ბავშვების წარმოსახვისა და მათი მსჯელობის, კითხვების დასმისა და მათზე პასუხის გაცემის უნარის განვითარება, ანუ მსმენელთა მეტყველება;
უძველესი პრაქტიკული (ან დამაჯერებელი) პრობლემების გადაჭრის ჰორიზონტის გაფართოება;
კაცობრიობის კულტურული და ისტორიული მემკვიდრეობის სიმდიდრის შესახებ იდეების ჩამოყალიბება.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი:

დღეს ჩვენ ვიწყებთ უფრო რთული, მაგრამ არანაკლებ საინტერესო ამოცანების ამოხსნას პროპორციული რაოდენობით.

პროპორციების და ამ დამოკიდებულებების შესწავლას დიდი მნიშვნელობა აქვს მათემატიკის შემდგომი შესწავლისთვის.

მოგვიანებით პროპორციების დახმარებით მოაგვარებთ ამოცანებს ქიმიაში, ფიზიკაში და გეომეტრიაში.

რითი დაიწყეს?

გაეცანით "ფარდობის", "პროპორციის" ცნებებს.
(ფარდობა - ………., პროპორცია - ……… (მოსწავლის პასუხები მოსალოდნელია)
ჩვენ ვისწავლეთ პროპორციების ამოხსნა და გავარკვიეთ, რომ მათი ამოხსნის მთავარი გზა უნდა დაფუძნებულიყო ……. (პროპორციების ძირითადი თვისება)
ვისწავლეთ პრობლემების პირობებში ორი სიდიდის გარჩევა, დადგენა დამოკიდებულების ტიპიმათ შორის. (პირდაპირი ან საპირისპირო კავშირი)
ჩვენ ვისწავლეთ პრობლემის მდგომარეობის მოკლე ჩანაწერის გაკეთება და პროპორციის შედგენა (მნიშვნელობის შემცირება ნაჩვენებია ქვემოთ ისრით, ხოლო გაზრდა ზემოთ ისრით)
მაგრამ ეს არ დაგვავიწყდეს
გააანალიზა პრობლემების გადაჭრის მეთოდი საერთოდ პროპორციების გარეშე (ამ ტექნიკის გამოყენებას წინ უნდა უძღოდეს კითხვები ამოცანების ამოხსნისას: რამდენჯერ გაიზარდა ან შემცირდა მნიშვნელობა?)

მოდით წავიდეთ წინ მარტივიდან რთულზე.

II. ზეპირი სამუშაო.

1. ამ მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ის, რაც პირდაპირ ან უკუპროპორციულია:

ა) კვადრატის გვერდის სიგრძე და პერიმეტრი.
ბ) კვადრატის გვერდის სიგრძე და მისი ფართობი.
გ) მართკუთხედის სიგრძე და სიგანე მოცემული ფართობისთვის.
დ) მანქანის სიჩქარე და გზა, რომელსაც ის გაივლის გარკვეულ დროში.
ე) ბანაკის ადგილიდან სადგურამდე მიმავალი ტურისტის სიჩქარე და დრო, რომელიც მას სჭირდება სადგურამდე მისასვლელად.
ე) ხის ასაკი და სიმაღლე.
ზ) ფოლადის ბურთის მოცულობა და მისი მასა.
თ) წიგნში წაკითხული გვერდების რაოდენობა და წასაკითხად დარჩენილი გვერდების რაოდენობა.

(წიგნში წაკითხული გვერდების რაოდენობასა და დარჩენილი გვერდების რაოდენობას შორის ურთიერთობა ხშირად შეცდომით არის შეცდომით პროპორციულად: რაც უფრო მეტი გვერდია წაკითხული, მით ნაკლები რჩება წასაკითხი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ერთის მატება და მეორეში კლება არ ხდება. ამდენივე ჯერ.).

2. გავაანალიზოთ პრობლემა:

როდესაც ვასიამ წიგნის 10 გვერდი წაიკითხა, მას კიდევ 90 გვერდი აქვს წასაკითხი. რამდენი გვერდი დარჩება წასაკითხი, როცა 30 გვერდი წაიკითხავს.

3. განიხილეთ ამოცანები („პროვოკაციული ხასიათი“):

ა) 2 საათში დაიჭირეს 12 ჯვარცმა. რამდენი კობრი დაიჭერს 3 საათში.

ბ) სამმა მამალმა გააღვიძა 6 ადამიანი. რამდენ ადამიანს გააღვიძებს 5 მამალი.

გ) * გუბურა შროშანებით არის გადაჭედილი და ერთ კვირაში შროშანებით დაფარული ფართობი გაორმაგდება. რამდენ კვირაში დაიფარება გუბე ნახევრად შროშანებით, თუ 8 კვირაში მთლიანად დაიფარება შროშანები?

(გამოსავალი: ვინაიდან შროშანებით დაფარული ფართობი ერთ კვირაში გაორმაგდება, მაშინ ერთი კვირით ადრე გუბე მთლიანად დაიფარება შროშანებით, მისი ფართობი ნახევრად დაფარული იყო შროშანებით, ანუ გუბე ნახევრად დაიფარა შროშანებით 7 კვირაში)

III. Პრობლემის გადაჭრა:

(დავალებების პირობა მოცემულია დაფაზე)

მოკლე პირობა და ორი გამოსავალი შემოთავაზებულია სტუდენტების მიერ დაფაზე ძალიან სწრაფად გასაკეთებლად.

1 გზა:

მეთოდი 2: ქსოვილის რაოდენობა გაიზარდა 15/8-ჯერ, რაც ნიშნავს, რომ ისინი გადაიხდიან 15/8-ჯერ მეტ ფულს.

Х=30*15/8=56r25k

2. ვიღაც ჯენტლმენმა დაურეკა დურგელს და უბრძანა ეზოს აშენება. 20 მუშა მისცა და ჰკითხა, რამდენ დღეში ააშენებენ ეზოს. დურგალმა უპასუხა: 30 დღეში. ოსტატს კი 5 დღეში უნდა ააშენოს და ამისთვის დურგალს ჰკითხა: რამდენი კაცი უნდა გყავდეს, რომ 5 დღეში მათთან ეზო ააშენო; და დურგალი გაოგნებული გეკითხება, არითმეტიკოსო: რამდენი ადამიანის დაქირავება სჭირდება ეზოს ასაშენებლად 5 დღეში?

დაფაზე წერია დაუმთავრებელი მოკლე პირობა:

დაასრულეთ პირობა და მოაგვარეთ პრობლემა ორი გზით.

I ვარიანტი: პროპორცია

II ვარიანტი: პროპორციების გარეშე

პარალელურად დაფაზე ორი მოსწავლე მუშაობს.

ᲛᲔ.

II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 მუშა

3. აიღეს 560 ჯარისკაცი 7 თვის საჭმელი და დაავალეს 10 თვე სამსახურში ყოფილიყვნენ და უნდოდათ ხალხი თავისგან წაეყვანათ, რომ 10 თვის საჭმელი ყოფილიყო. საკითხავია, რამდენი ადამიანი უნდა შემცირდეს?

ძველი დავალება.

(წერა დაფაზე)

(მოსწავლეების მიერ მოკლე ჩანაწერის შევსება)

გადაწყვიტეთ ეს პრობლემა პროპორციების გარეშე:

(თვეების რაოდენობა იზრდება ფაქტორით, რაც ნიშნავს, რომ ჯარისკაცების რაოდენობა მცირდება ფაქტორით.

560 - 392 = 168 (ჯარისკაცები უნდა შემცირდეს)

ძველად მრავალი სახის პრობლემის გადასაჭრელად არსებობდა მათი გადაჭრის სპეციალური წესები. ჩვენთვის ნაცნობ პრობლემებს პირდაპირი და საპირისპირო პროპორციულობისთვის, რომლებშიც აუცილებელია ორი სიდიდის მეოთხე სამი მნიშვნელობის პოვნა, ეწოდა პრობლემები "სამმაგი წესისთვის".

თუ სამი მნიშვნელობისთვის მიეცა ხუთი მნიშვნელობა და საჭირო იყო მეექვსის პოვნა, მაშინ წესს ეწოდა "ხუთი". ანალოგიურად, ოთხი რაოდენობისთვის არსებობდა "სეპტენარული წესი". ამ წესების გამოყენების ამოცანებს ასევე უწოდეს ამოცანები "რთული სამმაგი წესისთვის".

Მოდი ვცადოთ!!!

4. მიიღე დავალება, რომელიც შემოგთავაზეს, როგორც დამატებით.

საშინაო დავალება.

სამმა ქათამმა 3 დღეში დადო 3 კვერცხი. რამდენ კვერცხს დადებს 12 ქათამი 12 დღეში?

პასუხი პრობლემაზე არის ………?

ჩვენ ერთობლივად გავაანალიზებთ პრობლემის გადაწყვეტას, მოკლედ დავწერთ პრობლემის მდგომარეობას:

მოსწავლეები ცდილობენ ერთობლივად დაუსვან კითხვები და უპასუხონ მათ.

(მწიგნობართა რაოდენობა იზრდება ფურცლების დროში გაზრდით და მცირდება

სამუშაო დღეების მატებიდან (მწიგნობრები)).

განვიხილოთ უფრო რთული პრობლემა ოთხი რაოდენობით.

მიიღეთ ერთი პრობლემა, ექვსი მნიშვნელობით, როგორც სურვილისამებრ საშინაო დავალება იმ სტუდენტებისთვის, რომლებსაც სურთ თავსატეხის ამოცანების ამოხსნა.

6. 48 დღეში 18 ოთახის გასანათებლად 120 ტონა ფუნტი ნავთი დაიხარჯა, თითოეულ ოთახში 4 ნათურა დაიწვა. რამდენ დღეს გაგრძელდება 125 ფუნტი ნავთი, თუ 20 ოთახი განათებულია და თითოეულ ოთახში 3 ნათურა აინთება?

იწერება ამოცანის მოკლე პირობა და მოყვანილია არგუმენტი, რომლის პარალელურად დაფაზე შეიძლება შევინახოთ თანდათანობით დამატებული ჩანაწერი X = ... ...

ნავთის გამოყენების დღეების რაოდენობა იზრდება ნავთის რაოდენობის გაზრდის გამო
ჯერ და ნათურების განახევრებიდან.

ნავთის გამოყენების დღეების რაოდენობა მცირდება ოთახების მატებასთან ერთად 20 ჯერ.

X = 48 * * : = 60 (დღე)

საბოლოოდ აქვს X = 60. ეს ნიშნავს, რომ 125 ფუნტი ნავთი საკმარისია 60 დღის განმავლობაში.

IV. გაკვეთილის შეჯამება.

გადავწყვიტე მთელი გაკვეთილი ახლა თითქმის დავიწყებული ამოცანები. მარტივიდან რთულზე გადავედით. გასაგები იყო, რომ ძველი პრობლემებია საინტერესო, სასიამოვნოა თქვენი შრომისმოყვარეობა პრობლემების გადაჭრაში, გვქონდა კარგი ტრენინგი პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციულობის გარჩევაში.

მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებული ახსნა-განმარტებები, როგორც ჩანს, გასაგებია, მაგრამ თქვენ ასევე უნდა წახვიდეთ წინ.

V. საშინაო დავალება.

მარცვლეულის თითის დღეები

X \u003d 100: 10: 10 \u003d 1 კგ

2. ძველი პრობლემა.

დირჰამის შემოსავლის ვადა

3. * დამატებითი დავალება.

26 თხრიან არტელს, რომლებიც მუშაობენ მანქანებთან დღეში 12 საათის განმავლობაში, შეუძლია 40 დღეში 96 მეტრის სიგრძის, 20 მეტრის სიგანისა და 12 მეტრის სიღრმის არხის გათხრა. რამდენ ხანს შეიძლება არხის გათხრა 80 დღე, დღეში 10 საათი 30 ამთხრის მიერ, თუ სიგანე უნდა იყოს

10 მ, სიღრმე 18 დმ?

გადაწყვეტილება.

თანამშრომლობისა და პროდუქტიულობის ამოცანები

ამ ტიპის ამოცანები, როგორც წესი, შეიცავს ინფორმაციას რამდენიმე საგნის (მუშაკების, მექანიზმების, ტუმბოების და ა. თხრილები, წყალსაცავის მილების შევსება და ა.შ.). ვარაუდობენ, რომ შესრულებული სამუშაო თანაბრად სრულდება, ე.ი. მუდმივი შესრულებით თითოეული საგნისთვის. ვინაიდან შესრულებული სამუშაოს მოცულობა (ან, მაგალითად, შევსებული აუზის მოცულობა) არ გვაინტერესებს, მაშინ ყველა სამუშაოს მოცულობა. ან აუზი აღებულია როგორც ერთეული. დროტსაჭიროა ყველა სამუშაოს შესასრულებლად, ხოლო P არის პროდიუსერიშრომის ინტენსივობა, ანუ შესრულებული სამუშაოს რაოდენობა დროის ერთეულზე, დაკავშირებულია

თანაფარდობაპ= 1/ტ .სასარგებლოა ტიპიური ამოცანების გადაჭრის სტანდარტული სქემის ცოდნა.

მოდით, ერთმა მუშაკმა შეასრულოს გარკვეული სამუშაო x საათში, ხოლო მეორე მუშაკმა y საათში. შემდეგ ერთ საათში შეასრულებენ შესაბამისად 1/xდა 1/წსამუშაოს ნაწილი. ერთად ერთ საათში დაასრულებენ 1/x +1/ წსამუშაოს ნაწილი. ამიტომ, თუ ისინი ერთად მუშაობენ, მაშინ ყველა სამუშაო შესრულდება 1/ (1/x+ 1/ წ)

თანამშრომლობითი პრობლემების გადაჭრა სტუდენტებისთვის რთულია, ამიტომ გამოცდისთვის მომზადებისას, შეგიძლიათ დაიწყოთ უმარტივესი პრობლემების გადაწყვეტით. განვიხილოთ პრობლემების ტიპი, რომლისთვისაც საკმარისია მხოლოდ ერთი ცვლადის შემოღება.

დავალება 1. ერთ თაბაშირს შეუძლია დავალების შესრულება 5 საათით უფრო სწრაფად, ვიდრე მეორე. ისინი ერთად შეასრულებენ ამ დავალებას 6 საათში. რამდენ საათში შეასრულებს თითოეული მათგანი დავალებას?

გადაწყვეტილება. დაე, პირველმა თაბაშირმა დაასრულოს დავალებაxსაათში, შემდეგ მეორე თაბაშირი შეასრულებს ამ დავალებასx+5 საათი. ერთობლივი მუშაობის 1 საათში დაასრულებენ 1/x + 1/( x+5) ამოცანები. მოდით გავაკეთოთ განტოლება

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 ანx² - 7 x-30 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთx= 10 დაx= -3. დავალების მიხედვითxდადებითი ღირებულებაა. ამიტომ, პირველ თაბაშირს შეუძლია სამუშაოს დასრულება 10 საათში, ხოლო მეორეს 15 საათში.

დავალება 2 . ორმა მუშამ სამუშაო 12 დღეში დაასრულა. რამდენ დღეში შეუძლია თითოეულ მუშაკს დაასრულოს სამუშაო, თუ ერთ მათგანს 10 დღე მეტი დასჭირდა, ვიდრე მეორეს?

გადაწყვეტილება . დაე, პირველმა მუშაკმა დახარჯოს ყველა სამუშაოზეxდღეები, შემდეგ მეორე - (x-10 დღე. ერთობლივი მუშაობის 1 დღის განმავლობაში ასრულებენ 1/x+ 1/( x-10) ამოცანები. მოდით გავაკეთოთ განტოლება

12×(1/x+ 1/( x-10)= 1 ანx² - 34x+120=0. ამ განტოლების ამოხსნით, მივიღებთx=30 დაx= 4. მხოლოდx=30. მაშასადამე, პირველ მუშაკს შეუძლია სამუშაოს შესრულება 30 დღეში, ხოლო მეორეს 20 დღეში.

დავალება 3. 4 დღის ერთობლივი მუშაობისთვის მინდვრის 2/3 ორმა ტრაქტორმა გადაიხნა. რამდენი დღე დასჭირდება თითო ტრაქტორით მთელი მინდვრის გათენვას, თუ პირველის მოხვნა მეორეზე 5 დღით უფრო სწრაფად შეიძლება?

გადაწყვეტილება. დაე, პირველმა ტრაქტორმა დახარჯოსდავალების შესასრულებლად x დღეები, შემდეგ მეორე - x + 5 დღე. 4 დღის ერთობლივი მუშაობისთვის ორივე ტრაქტორმა ხვნა 4×(1/ x + 1/( x +5)) ამოცანები, ანუ ველის 2/3. ჩვენ ვწერთ განტოლებას 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 ანx² -7x-30 = 0. . ამ განტოლების ამოხსნით, მივიღებთx= 10 დაx= -3. დავალების მიხედვითxდადებითი ღირებულებაა. აქედან გამომდინარე, პირველ ტრაქტორს შეუძლია მინდვრის ხვნა 10 საათში, ხოლო მეორეს - 15 საათში.

დავალება 4 . მაშას შეუძლია დაბეჭდოს 10 გვერდი 1 საათში, ტანიას - 4 გვერდი 0.5-ში, ხოლო ოლიას - 3 გვერდი 20 წუთში. როგორ შეუძლიათ გოგონებმა გაანაწილონ 54 გვერდი ტექსტი ერთმანეთში ისე, რომ თითოეულმა იმუშაოს ერთსა და იმავე დროს?

გადაწყვეტილება . პირობის მიხედვით ტანია 4 გვერდს ბეჭდავს 0,5 საათში, ე.ი. 8 გვერდი 1 საათში და ოლია - 9 გვერდი 1 საათში. X საათის განმავლობაში აღვნიშნავთ იმ დროს, რომლის განმავლობაშიც გოგოები მუშაობდნენ, მივიღებთ განტოლებას

10X + 8X + 9X \u003d 54, საიდანაც X \u003d 2.

ასე რომ, ტანიამ უნდა დაბეჭდოს 20 გვერდი, ტანიამ 16 გვერდი და ოლიამ 18 გვერდი.

დავალება 5. ორ დუბლიკატორზე, რომლებიც ერთდროულად მუშაობენ, შეგიძლიათ ხელნაწერის ასლის გაკეთება 20 წუთში. რა დროში შეიძლება ამ სამუშაოს შესრულება თითოეულ აპარატზე ცალ-ცალკე, თუ ცნობილია, რომ პირველზე მუშაობისას 30 წუთით ნაკლები დასჭირდება, ვიდრე მეორეზე მუშაობისას?

გადაწყვეტილება. მოდით X min იყოს დრო, რომელიც სჭირდება პირველ აპარატზე ასლის გადაღებას, შემდეგ X + 30 წთ არის დრო, რომელიც სჭირდება მეორე აპარატზე მუშაობას. შემდეგ 1/X ასლი კეთდება პირველი აპარატის მიერ 1 წუთში და 1/(X + 30) ასლი - მეორე მოწყობილობა.

მოდით გავაკეთოთ განტოლება: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, მივიღებთX²-10X-600= 0. საიდანაც X = 30 და X = - 20. პრობლემის პირობა აკმაყოფილებს X = 30. მივიღეთ: 30 წუთი - დრო, რომლის დროსაც პირველი მოწყობილობა გააკეთებს ასლს, 60 წუთი - მეორე.

დავალება 6. ფირმა A-ს შეუძლია შეასრულოს სათამაშოების წარმოების გარკვეული შეკვეთა 4 დღით უფრო სწრაფად, ვიდრე ფირმა B. რამდენ ხანში შეუძლია თითოეულ ფირმას შეასრულოს ეს შეკვეთა, თუ ცნობილია, რომ როდესაც ისინი ერთად მუშაობენ 24 დღეში, ისინი ასრულებენ 5-ჯერ უფრო დიდ შეკვეთას?

გადაწყვეტილება. X დღის აღსანიშნავად A კომპანიის მიერ შეკვეთის შესასრულებლად საჭირო დროს, შემდეგ X + 4 დღე არის B კომპანიის დრო. განტოლების შედგენისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული, რომ ერთობლივი მუშაობის 24 დღეში და არა 1 შეკვეთა. დასრულდება, მაგრამ 5 შეკვეთა. ვიღებთ, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. საიდან მოდის 5 X²-28X-96 = 0. კვადრატული განტოლების ამოხსნის შემდეგ მივიღებთ X = 8 და X = - 12/5. პირველ ფირმას შეუძლია შეკვეთის დასრულება 8 დღეში, ფირმა B-ს 12 დღეში.

შემდეგი ამოცანების გადაჭრისას, თქვენ უნდა შეიყვანოთ ერთზე მეტი ცვლადიდა ამოხსნას განტოლებათა სისტემები.

დავალება 7 . ორი მუშა აკეთებს რაღაც სამუშაოს. 45 წუთის ერთობლივი მუშაობის შემდეგ პირველი მუშა სხვა სამუშაოზე გადაიყვანეს, მეორე მუშაკმა კი დანარჩენი სამუშაო 2 საათსა და 15 წუთში დაასრულა. რა დროში შეეძლო თითოეულ მუშაკს ინდივიდუალურად შეესრულებინა მთელი სამუშაო, თუ ცნობილია, რომ მეორეს პირველზე 1 საათით მეტი დასჭირდება?

გადაწყვეტილება. დაე, პირველმა მუშაკმა შეასრულოს მთელი სამუშაო x საათში, ხოლო მეორე მუშაკმა y საათში. ამოცანის პირობიდან გვაქვს x = y -1. ჯერ 1 საათი

თანამშრომელი გააკეთებს 1/xნამუშევრის ნაწილი, ხოლო მეორე - 1/წსამუშაოს ნაწილი.თ.რომ. ისინი ერთად მუშაობდნენ ¾ საათი, შემდეგ ამ დროის განმავლობაში დაასრულეს ¾ (1 /x + 1/ წ)

სამუშაოს ნაწილი. უკან2i 1/4სამუშაოს სთ მეორე დასრულებული 9/4× (1/წ) სამუშაოს ნაწილი.თ.რომ. ყველა სამუშაო შესრულებულია, შემდეგ ვადგენთ განტოლებას ¾ (1/x+1/ წ)+9/4×1/წ= 1 ან

¾×1/x+ 3 × 1/წ =1

ღირებულების ჩანაცვლებაxამ განტოლებაში მივიღებთ ¾× 1/ (წ-1)+ 3×1/წ= 1. ამ განტოლებას ვამცირებთ კვადრატულ განტოლებამდე 4y2 -19წ + 12 =0, რომელსაც აქვს

გადაწყვეტილებები 1 = თ დაზე 2 = 4 სთ. პირველი გამოსავალი არ არის შესაფერისი (ორივეშესახებვინც ერთად მუშაობდა მხოლოდ ¾ საათის განმავლობაში!). შემდეგ y \u003d 4 და x \u003d3.

უპასუხე. 3 საათი, 4 საათი.

დავალება 8. აუზის წყლით შევსება შესაძლებელია ორი ონკანიდან. თუ პირველი ონკანი გაიხსნება 10 წუთის განმავლობაში, ხოლო მეორე - 20 წუთის განმავლობაში, მაშინ აუზი შეივსება.

თუ პირველი ონკანი იხსნება 5 წუთის განმავლობაში, ხოლო მეორე - 15 წუთის განმავლობაში, მაშინ 3/5 შეივსება. აუზი.

რამდენი დრო სჭირდება თითოეულ ონკანს მთელი აუზის შესავსებად?

გადაწყვეტილება. პირველი ონკანიდან შესაძლებელია აუზის შევსება x წუთში, ხოლო მეორედან - y 1 წუთში. პირველი ონკანი ივსება აუზის ნაწილი და მეორე . 10 წუთში პირველი ონკანი ივსება აუზის ნაწილი და მეორე ონკანიდან 20 წუთში - . თ.რომ. აუზი შეივსება, შემდეგ მივიღებთ პირველ განტოლებას: . ანალოგიურად, ჩვენ ვწერთ მეორე განტოლებას (ივსება მთელი აუზისთვის, მაგრამ მხოლოდ მისი მოცულობა). პრობლემის გადაჭრის გასამარტივებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ცვლადებს: მაშინ ჩვენ გვაქვს განტოლებათა წრფივი სისტემა:

10u + 20v =1,

რომლის ამონახსნი იქნება u = v = . აქედან ვიღებთ პასუხს: x = min, y = 50 min.

დავალება 9 . ორი აკეთებს საქმეს. პირველმა იმუშავა დრო, რომელიც სჭირდება სხვას ყველა სამუშაოს შესასრულებლად. მერე მეორემ იმუშავა დრო დასჭირდებოდა პირველს დანარჩენი სამუშაოს დასასრულებლად. ორივემ მხოლოდ შეასრულა ყველა სამუშაო. რამდენი დრო სჭირდება თითოეულს ამ სამუშაოს დასრულებას, თუ ცნობილია, რომ როდესაც ისინი ერთად მუშაობენ, ამას გააკეთებენ3 თ36 წთ?

გადაწყვეტილება. x საათით და y საათით აღნიშნეთ დრო, რომლის დროსაც პირველი და მეორე აკეთებენ ყველა სამუშაოს, შესაბამისად. მაშინ და

სამუშაოს ნაწილები, რომლებსაც ისინი აკეთებენ1 საათიმუშაობს (პირობების მიხედვით) დრო, პირველი შეასრულებს სამუშაოს ნაწილი. შეუსრულებელი დარჩება სამუშაოს ნაწილი, რომელზეც პირველი დახარჯავდა საათები. პირობით მეორე მუშაობს 1/3 ამჯერად. მაშინ ის გააკეთებს სამუშაოს ნაწილი. ორივემ მხოლოდ დაასრულა ყველა სამუშაო. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას . ერთად მუშაობა1 ორივე გააკეთებს + სამუშაოს ნაწილი. ვინაიდან, პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ისინი ამ სამუშაოს გააკეთებენ3 თ36 წთ (ე.ი.ა 3 საათი), შემდეგ1 საათს გააკეთებენ ყველა სამუშაო. აქედან გამომდინარე 1/x + 1/ წ = 5/18. აღსანიშნავად პირველ განტოლებაში , ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას

6 ტ 2 - 13 ტ + 6 = 0 , რომლის ფესვები ტოლიატ 1 =2/3 , ტ 2 =3/2. ვინაიდან უცნობია ვინ უფრო სწრაფად დარბის, ორივე შემთხვევას განვიხილავთ.

ა)ტ = => y= X. ჩაანაცვლეთ y მეორე განტოლებაში: ცხადია, ეს არ არის გამოსავალი.

ამოცანები, რადგან ერთად ისინი ასრულებენ სამუშაოს 3 საათზე მეტ ხანში.

ბ) ტ=3/2 => წ=3/2 x. მეორე განტოლებიდან გვაქვს 1/x+2/3× 1/x\u003d 5 / 18. აქედანx=6,y=9.

დავალება 10. წყალი ავზში შედის სხვადასხვა დიამეტრის ორი მილიდან. პირველ დღეს ორივე მილი ერთდროულად მუშაობდა 14მ 3 წყალი. მეორე დღეს მხოლოდ პატარა საყვირი ჩართო. მან შეიტანა 14 მ 3 წყალი, რომელიც მუშაობდა 5 საათით მეტი ვიდრე პირველ დღეს. მესამე დღეს მუშაობა გაგრძელდა იმავე დროს, როგორც მეორეზე, მაგრამ თავიდან ორივე მილი მუშაობდა, რაც 21 მ. 3 წყალი. შემდეგ კი მხოლოდ დიდი მილი იმუშავა, რამაც კიდევ 20 მ 3 წყალი. იპოვნეთ თითოეული მილის შესრულება.

გადაწყვეტილება. ამ პრობლემაში არ არსებობს „რეზერვუარის მოცულობის“ აბსტრაქტული კონცეფცია, მაგრამ მითითებულია წყლის კონკრეტული მოცულობები, რომლებიც მიედინება მილებით. თუმცა, პრობლემის გადაჭრის მეთოდოლოგია ფაქტობრივად იგივე რჩება.

მოდით, პატარა და უფრო დიდი მილები ამოტუმბონ 1 საათში x და y m3 წყალი. ერთად მუშაობისას, ორივე მილი ამარაგებს x + y m3 წყალი.

ამიტომ პირველ დღეს მილები მუშაობდა 14/(x+ წ) საათი. მეორე დღეს პატარა მილმა 5 საათით მეტი იმუშავა, ანუ 5+14/(x+ წ) . Ამისთვის

დროში მან შეიტანა 14 მ 3 წყალი. აქედან ვიღებთ პირველ განტოლებას 14 ან 5+14/(x+ წ)=14/ x. მესამე დღეს ორივე მილი ერთად მუშაობდა21/(x+ წ) საათი და მერე დიდი მილი მუშაობდა 20/xსაათები. მილების საერთო დრო ემთხვევა მეორე დღეს პირველი მილის ექსპლუატაციის დროს, ე.ი.

5+14/( x+ წ) =21/( x+ წ)+ 20/ x. ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეები ტოლია, გვაქვს . მნიშვნელებისგან თავის დაღწევის შემდეგ მივიღებთ ერთგვაროვან განტოლებას 20x 2 +27 xy-14 წ 2 =0. განტოლების გაყოფაწ 2 და აღნიშვნაx/ წ= ტჩვენ გვაქვს 20ტ 2 +27 ტ-14=0. ამ კვადრატული განტოლების ორი ფესვიდან (ტ 1 = , ტ 2 = ) პრობლემის მნიშვნელობის მიხედვით მხოლოდ შესაფერისიატ= . აქედან გამომდინარე,x= წ. ჩანაცვლებაxპირველ განტოლებაში, ჩვენ ვპოულობთწ=5. მაშინx=2.

დავალება 11. ორმა ეკიპაჟმა, ერთად მუშაობდნენ, ორ დღეში თხრიდნენ თხრილს. ამის შემდეგ დაიწყეს იმავე სიღრმისა და სიგანის თხრილის გათხრა, მაგრამ პირველზე 5-ჯერ გრძელი. თავიდან მხოლოდ პირველი ბრიგადა მუშაობდა, შემდეგ კი მხოლოდ მეორე ბრიგადა, რომელმაც პირველ ბრიგადაზე ერთნახევარჯერ ნაკლები სამუშაო შეასრულა. მეორე თხრილის გათხრა 21 დღეში დასრულდა. რამდენ დღეში დასჭირდება მეორე გუნდს პირველი თხრილის გათხრას, თუ ცნობილია, რომ პირველი გუნდის მიერ ერთ დღეში შესრულებული სამუშაოს მოცულობა აღემატება მეორე გუნდის მიერ ერთ დღეში შესრულებულ სამუშაოს?

გადაწყვეტილება.ამ პრობლემის გადასაჭრელად უფრო მოსახერხებელია, თუ შესრულებულ სამუშაოს იმავე მასშტაბით მიიყვანთ. თუ ორივე ეკიპაჟი გათხარა პირველი თხრილი, ერთად მუშაობით, 2 დღეში, მაშინ ცხადია, რომ მეორე თხრილს (ხუთჯერ უფრო გრძელი) 10 დღეში გათხარეს. პირველმა ბრიგადამ ეს თხრილი x დღეში გათხაროს, ხოლო მეორემ y-ში, ე.ი. 1 დღეში პირველი იქნებოდა გათხრილი თხრილის ნაწილი, მეორე - 1/წ და ერთად -1/x+1/ წ თხრილის ნაწილი.

მაშინ გვაქვს . მეორე თხრილის გათხრისას ბრიგადები ცალკე მუშაობდნენ. თუ მეორე გუნდმა დაასრულა სამუშაოს ფარგლებიმ, შემდეგ (პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით) - პირველი ბრიგადა . როგორცმ + მ = მ უდრის ერთეულად აღებული სამუშაოს მოცულობას, მაშინმ = . შესაბამისად, მეორე ბრიგადამ გათხარა თხრილები და მასზე დახარჯული დღეებში. პირველმა ბრიგადამ გათხარა სანგრები და დახარჯული X დღეები. აქედან გამომდინარე გვაქვს ანX = 35- . x პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივდივართ კვადრატულ განტოლებამდე2 წ 2 - 95y +1050 = 0, რომლის ფესვები იქნება y 1 = და ზე 2 = 30. შემდეგ, შესაბამისად,X 1 = და X 2 =15. პრობლემის მდგომარეობიდან აირჩიეთ ის, რაც გჭირდებათ: y \u003d 30. ვინაიდან ნაპოვნი მნიშვნელობა ეხება მეორე თხრილს, პირველი თხრილი (ხუთჯერ უფრო მოკლე) მეორე გუნდის მიერ გათხრილი იქნებოდა 6 დღეში.

დავალება 12. 340 მ მოცულობის ორმოს გათხრაში სამი ექსკავატორი მონაწილეობდა 3 . ერთ საათში პირველი ექსკავატორი ამოიღებს 40 მ 3 ფუნტი, მეორე - მ 3 პირველზე ნაკლები, ხოლო მესამე - პირველზე 2 წამით მეტი. ჯერ პირველი და მეორე ექსკავატორი ერთდროულად მუშაობდნენ და გათხარეს 140 მ 3 ნიადაგი. შემდეგ დანარჩენი ორმო გაითხარა, პარალელურად მუშაობდა პირველი და მესამე ექსკავატორი. მნიშვნელობების განსაზღვრა(0<с<15), რომელზედაც ორმო გათხარეს 4 საათში, თუ სამუშაოები შეუფერხებლად ჩატარდა.

გადაწყვეტილება. მას შემდეგ, რაც პირველი ექსკავატორი იღებს 40 მ 3 ნიადაგი საათში, შემდეგ მეორე - (40-ს) მ 3 , ხოლო მესამე - (40 + 2წ) მ 3 ფუნტი საათში. პირველი და მეორე ექსკავატორი ერთად მუშაობენ x საათის განმავლობაში. შემდეგ პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს (40+40-s)x = 140 ან (80-s)x = 140. თუ პირველი და მესამე ექსკავატორი ერთად მუშაობდნენ საათზე, მაშინ გვაქვს (40+40+2s) y = 340-140 ან (80 + 2s) y - 200. ვინაიდან მთლიანი მუშაობის დრო არის 4 საათი, ვიღებთ შემდეგ განტოლებას x + y \u003d 4 ან

ეს განტოლება უდრის კვადრატულ განტოლებასთან 2 -30წ+ 200 =0, რომლის გადაწყვეტილებები იქნება 1 = 10 მ 3 და თან 2 = 20 მ 3 . პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით მხოლოდრომ

c = 10 მ 3 .

დავალება 10. ორი მუშაკიდან თითოეულს დაევალა იგივე რაოდენობის ნაწილების დამუშავება. პირველმა სასწრაფოდ დაიწყო სამუშაო და დაასრულა 8 საათში, მეორემ თავიდან 2 საათზე მეტი დახარჯა მოწყობილობის მორგებაზე, შემდეგ კი მისი დახმარებით დაასრულა სამუშაო პირველზე 3 საათით ადრე. ცნობილია, რომ მეორე მუშაკმა მუშაობის დაწყებიდან ერთი საათის შემდეგ დაამუშავა იმდენი დეტალი, რამდენიც პირველმა იმ მომენტამდე დაამუშავა. რამდენჯერ ზრდის დანადგარი აპარატის პროდუქტიულობას (ანუ დამუშავებული ნაწილების რაოდენობა სამუშაო საათში)?

გადაწყვეტილება. ეს არის პრობლემის მაგალითი, რომელშიც ყველა უცნობი არ არის საჭირო.

მოდით დავნიშნოთ მეორე მუშაკის მიერ მანქანის დაყენების დრო, როგორც x (პირობით x>2). დავუშვათ, საჭირო იყო თითოეულის დამუშავებანდეტალები.

შემდეგ პირველი მუშა საათში ამუშავებს დეტალები და მეორე დეტალები. ორივე მუშამ დაამუშავა ერთი და იგივე რაოდენობის ნაწილები მეორის მუშაობის დაწყებიდან ერთი საათის შემდეგ. Ეს ნიშნავს, რომ აქედან ვიღებთ განტოლებას x-ის დასადგენად: X 2 -4x + 3-0 რომლის ფესვებია x 1 = 1 დაX 2 = 3. რადგან

x > 2, მაშინ საჭირო მნიშვნელობა არის x = 3. ამიტომ მეორე მუშა ამუშავებს საათში დეტალები. რადგან პირველი მუშა საათში ამუშავებს

ნაწილები, შემდეგ აქედან აღმოვაჩენთ, რომ მოწყობილობა ზრდის შრომის პროდუქტიულობას = 4 ჯერ.

დავალება 1 3. სამმა მუშამ უნდა გააკეთოს რამდენიმე ნაწილი. თავიდან მხოლოდ ერთმა მუშამ დაიწყო მუშაობა, ცოტა ხანში კი მას მეორე შეუერთდა. როცა ყველა ნაწილის 1/6 დამზადდა, მესამე მუშამაც დაიწყო მუშაობა. მათ სამუშაო ერთდროულად დაასრულეს და თითოეულმა ერთნაირი რაოდენობის ნაწილი შეადგინა. რამდენ ხანს იმუშავა მესამე მუშაკმა, თუ ცნობილია, რომ ის მუშაობდა მეორეზე ორი საათით ნაკლები და რომ პირველმა და მეორემ, ერთად მუშაობდნენ, შეეძლოთ ყველა საჭირო რაოდენობის ნაწილების წარმოება 9 საათით ადრე, ვიდრე მესამეს გააკეთებდა, ცალკე მუშაობით. ?

გადაწყვეტილება. დაე, პირველმა მუშაკმა იმუშაოს x საათი და მესამე მუშაკმა x საათი. შემდეგ მეორე მუშამ იმუშავა კიდევ 2 საათი, ანუ y + 2 საათი. თითოეულმა მათგანმა შეადგინა ნაწილების თანაბარი რაოდენობა, ანუ ყველა ნაწილის 1/3. შესაბამისად, პირველი ყველა დეტალს გააკეთებდა 3 საათში, მეორე 3 (y + 2) საათში, ხოლო მესამე 3წ საათში. ამიტომ, პირველი აწარმოებს საათში ყველა დეტალის ნაწილი, მეორე - და მესამე - .

ვინაიდან სამივე ერთობლივი მუშაობის დროს წარმოებული ყველა დეტალი, შემდეგ მივიღებთ პირველ განტოლებას (სამივე ერთად მუშაობდა საათზე)

. (1)

პირველი და მეორე, ერთად მუშაობდნენ, ყველა ნაწილს ერთად გააკეთებდნენ 9 საათით ადრე, ვიდრე მესამე მუშაკი მარტო მუშაობდა. აქედან ვიღებთ მეორე განტოლებას

. (2)

ეს ორი განტოლება ადვილად მცირდება ეკვივალენტურ სისტემამდე

მეორე განტოლებიდან x გამოვხატავთ და პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ y 3 -5წ 2 - 32y - 36 = 0. ეს განტოლება ფაქტორიზებულია(წ- 9) (y +2) 2 = 0.

ვინაიდან y > 0, მაშინ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი სასურველი ფესვი y \u003d 9.პასუხი:y = 9.

დავალება 14. წყალი თანაბრად შედის ორმოში, 10 იდენტური ტუმბო, რომლებიც ერთდროულად მოქმედებენ, შეუძლიათ ამოტუმბონ წყალი შევსებული ორმოდან 12 საათში, ხოლო 15 ასეთი ტუმბო - 6-ში.თ.რამდენ ხანს შეუძლია 25 ასეთი ტუმბოს ერთად მუშაობა, რათა წყალი ამოიტანოს შევსებული ორმოდან?

გადაწყვეტილება.მოდით მოცულობა ორმოსვმ 3 და თითოეული ტუმბოს შესრულება არის x მ 3 პირველ საათზე. ორმოში წყალი განუწყვეტლივ ჩაედინება.თ.კ მისი მიღების ოდენობა უცნობია, მაშინ y m-ით აღვნიშნავთ 3 საათში - ორმოში შესული წყლის მოცულობა. 12 საათში ათი ტუმბო ამოიწურება X= 120x წყალი. წყლის ეს რაოდენობა უდრის ორმოს მთლიან მოცულობას და წყლის მოცულობას, რომელიც ორმოში შედის 12 საათში. მთელი ეს მოცულობა არისვ+12 წ. ამ მოცულობების გავატოლებით, ჩვენ ვქმნით პირველ განტოლებას 120x =ვ + 12 წ .

ანალოგიურად, განტოლება შედგენილია 15 ასეთი ტუმბოსთვის:15-6 x = ვ + 6 წან 90x = ვ + 6 წ. პირველი განტოლებიდან გვაქვს V = 120x - 12y. V-ს მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ y = 5x.

დროის ის პერიოდი, რომლის განმავლობაშიც 25 ასეთი ტუმბო იმუშავებს, უცნობია. ავღნიშნოთტ. შემდეგ, პრობლემის პირობების გათვალისწინებით, ანალოგიით ვადგენთ ბოლო განტოლებას. ჩვენ გვაქვს 25tx= V+ty. y და V ამ განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ 25-სtx= 120x -12 5x +ტ 5x ან 20tx= 60x. აქედან ვიღებთტ= 3 საათი.პასუხი: 3 საათის განმავლობაში.

დავალება 15. ორმა გუნდმა ერთად იმუშავა 15 დღის განმავლობაში, შემდეგ მათ შეუერთდა მესამე გუნდი და 5 დღის შემდეგ ყველა სამუშაო დასრულდა. ცნობილია, რომ მეორე ბრიგადა დღეში 20%-ით მეტს აწარმოებს, ვიდრე პირველი. მეორე და მესამე ბრიგადებს ერთად შეეძლოთ ყველა სამუშაოს შესრულება დრო, რომელიც საჭიროა პირველი და მესამე გუნდების მიერ ყველა სამუშაოს დასასრულებლად, როდესაც ისინი ერთად მუშაობენ. რამდენი დრო დასჭირდება სამივე გუნდს ყველა სამუშაოს ერთად მუშაობისთვის?

გადაწყვეტილება. ცალ-ცალკე მომუშავე ყველა სამუშაო შეასრულოს პირველმა, მეორე და მესამე გუნდებმა, შესაბამისად, x, y დაზდღეები. შემდეგ მათი შესრულების დღეს სამუშაოს ნაწილი. ამოცანის პირველი პირობის განტოლებად გარდაქმნით, თუ ვივარაუდებთ, რომ სამუშაოს მთლიანი რაოდენობა ერთის ტოლია, მივიღებთ

15 ან

(1)

20 .

ვინაიდან მეორე ბრიგადა აწარმოებს პირველი ბრიგადის 120%-ს (20%-ით მეტი), ჩვენ გვაქვს ან . (2)

მეორე და მესამე ბრიგადები ყველაფერს გააკეთებდნენ 1/ დღეები, ხოლო პირველი და მესამე - 1/ დღეები. პირობის მიხედვით, პირველი მნიშვნელობა უდრის

(3)

მეორე, ანუ 1/ . აქედან ვიღებთ მესამე განტოლებას .

პრობლემაში საჭიროა განისაზღვროს მთელი სამუშაოს სამში დასრულების დრო ერთად მომუშავე გუნდები, ანუ სიდიდე1/ .

აშკარაა, რომ უფრო მოსახერხებელია (1)-(3) განტოლებათა სისტემის ამოხსნა, თუ შემოვიყვანთ ახალ ცვლადებს: , საჭიროა ღირებულების პოვნა

ლ/(u + ვ+ ვ) .მაშინ გვაქვს ექვივალენტური სისტემა

ამ ხაზოვანი სისტემის ამოხსნისას ჩვენ ადვილად ვპოულობთu= მაშინ სასურველი მნიშვნელობა უდრის 1/ Ისეამრიგად, სამივე გუნდი ერთად თანამშრომლობით 16 დღეში დაასრულებს მთელ სამუშაოს.

პასუხი: 16 დღის განმავლობაში.თუ მეორე ქარხნის პროდუქტიულობა გაორმაგდა, მაშინ ის უტოლდებოდა თითქმის ყველა სახის შესრულების ამოცანები გვხვდება.

Დავალებები

ორ მუშაკს ერთად შეუძლია გარკვეული სამუშაოს დასრულება 10 დღეში. 7 დღის ერთად მუშაობის შემდეგ ერთი ავად გახდა, მეორემ კი 9 დღის მუშაობის შემდეგ დაასრულა სამუშაო. რამდენი დღეაშეუძლია თუ არა თითოეულ მუშაკს ცალკე შეასრულოს ყველა სამუშაო?

რამდენიმე მუშაკმა სამუშაო რამდენიმე დღეში დაასრულა. თუ მუშათა რაოდენობა გაიზარდაtsya 3-ით, მაშინ სამუშაო შესრულდება 2 დღით ადრე, ხოლო თუ მუშათა რაოდენობა გაიზრდება 12-ით, მაშინ 5 დღით ადრე. განსაზღვრეთ მუშაკთა რაოდენობა და დრო, რომელიც საჭიროა ამ სამუშაოს დასასრულებლად.

ორი სხვადასხვა სიმძლავრის ტუმბო, რომლებიც ერთად მუშაობენ, ავსებენ აუზს 4 საათში. აუზის ნახევრის შესავსებად პირველ ტუმბოს 4 საათით მეტი სჭირდება მეორე ტუმბოს აუზის სამი მეოთხედის შესავსებად. რამდენი დრო სჭირდება თითოეულ ცალკეულ ტუმბოს აუზის შესავსებად?

10. გემი დატვირთულია ამწეებით. ჯერ ერთი და იმავე სიმძლავრის ოთხი ამწე იმუშავა 2 საათის განმავლობაში, შემდეგ მათ შეუერთდა კიდევ ორი, მაგრამ დაბალი სიმძლავრის ამწე და 3 საათის შემდეგ დატვირთვა დასრულდა. თუ ყველა ამწე ერთდროულად დაიწყებდა მუშაობას, მაშინ დატვირთვა იქნებოდა დარჩენილი სამუშაო. მესამე გუნდის პროდუქტიულობა არის პირველი და მეორე გუნდის პროდუქტიულობის ჯამის ნახევარი. რამდენჯერ აღემატება მეორე ბრიგადის პროდუქტიულობას მესამე ბრიგადის პროდუქტიულობაზე?

15. ბათქაშის ორმა ჯგუფმა ერთად 6 დღეში შეაბათქა საცხოვრებელ კორპუსს. სხვა შემთხვევაში, მათ შელესეს კლუბი და სამჯერ მეტი სამუშაო გააკეთეს, ვიდრე ერთი კორპუსის ბათქაში. ჯერ პირველი ბრიგადა მუშაობდა კლუბში, შემდეგ მეორე ბრიგადამ შეცვალა და სამუშაო ბოლომდე მიიყვანა, პირველმა ბრიგადამ კი სამუშაოს მოცულობა ორჯერ მეტი დაასრულა, ვიდრე მეორე. კლუბი 35 დღეში შელესეს. რამდენ დღეში შეძლებდა პირველი ბრიგადასაცხოვრებელი კორპუსის დათვალიერება თუ ცნობილია, რომ მეორე ბრიგადა ამაზე 14 დღეზე მეტს დახარჯავდა?

ორმა გუნდმა მუშაობა 8 საათზე დაიწყო, 72 ნაწილის ერთად შედგენის შემდეგ ცალ-ცალკე დაიწყეს მუშაობა. 15 საათზე გაირკვა, რომ ცალკე მუშაობის დროს პირველმა ბრიგადამ მეორეზე 8 დეტალით მეტი გააკეთა. მეორე დღეს პირველმა ბრიგადამ 1 საათში ერთი მეტი შეასრულა, ხოლო მეორე ბრიგადამ 1 საათში ერთით ნაკლები, ვიდრე პირველ დღეს. ბრიგადის მუშაობა ერთად დაიწყო 8 საათზე და 72 ნაწილის შედგენის შემდეგ ისევ ცალ-ცალკე დაიწყეს მუშაობა. ახლა ცალკე მუშაობის დროს პირველმა ბრიგადამ 13:00 საათისთვის მეორეზე 8 ნაწილით მეტი გააკეთა, თითო ბრიგადა საათში რამდენ ნაწილს აკეთებდა?

სამმა მუშამ უნდა გააკეთოს 80 იდენტური ნაწილი. ცნობილია, რომ სამივე ერთად ერთ საათში 20 ნაწილს ქმნის. პირველმა პირველმა დაიწყო მუშაობა.სამუშაო. მან დაამზადა 20 ნაწილი, მათ დამზადებაზე 3 საათზე მეტი დახარჯა, დანარჩენი სამუშაო ერთად მეორე და მესამე მუშებმა შეასრულეს. მთელ სამუშაოს 8 საათი დასჭირდა, რამდენი საათი დასჭირდებოდა პირველ მუშაკს 80-ვე ნაწილის დამზადებას?

აუზი წყლით ივსება პირველი მილით 5 საათით უფრო სწრაფად, ვიდრე მეორე მილით და 30 საათით უფრო სწრაფად, ვიდრე მესამე მილით. ცნობილია, რომ პრმესამე მილის დაწევის სიმძლავრე 2,5-ჯერ ნაკლებია პირველი მილის ტარების სიმძლავრეზე და 24 მ. 3 /სთ ნაკლებია მეორე მილის სიმძლავრეზე. იპოვეთ პირველი და მესამე მილების სიმძლავრე.

გათხარეს ორი ექსკავატორი, რომელთაგან პირველს დაბალი პროდუქტიულობა აქვსერთობლივი სამუშაო გათხრები მოცულობით 240 მ 3 . მერე პირველმა მეორე თხრილის გათხრა დაიწყო, მეორემ კი პირველის გათხრა განაგრძო. მათი მუშაობის დაწყებიდან 7 საათის შემდეგ პირველი ორმოს მოცულობა 480 მ იყო 3 მეორე ორმოს მოცულობაზე მეტი. მეორე დღეს მეორე ექსკავატორმა პროდუქტიულობა 10 მ-ით გაზარდა 3 / სთ, ხოლო პირველი შემცირდა 10 მ 3 /სთ ჯერ ერთად გათხარეს ორმო 240 მ 3 , რის შემდეგაც პირველმა სხვა ორმოს გათხრა დაიწყო, მეორემ კი პირველის გათხრა განაგრძო. ახლა პირველი ორმოს მოცულობა 480 მ გახდა 3 მეორე ორმოს მოცულობაზე მეტი ექსკავატორების მუშაობის დაწყებიდან 5 საათის შემდეგ. საათში რამდენ ნიადაგს თხრიდნენ ექსკავატორები მუშაობის პირველ დღეს?

სამი საავტომობილო მანქანა ატარებს მარცვლეულს, რომელიც სრულად იტვირთება თითოეულ მოგზაურობაში. ერთი ფრენისთვის პირველი და მეორე მანქანები ერთად გადაჰყავთ6 ტონა მარცვლეული და პირველი და მესამე ერთად ატარებენ იგივე რაოდენობის მარცვლეულს 2 რეისში, როგორც მეორეს 3 რეისში. რამდენი მარცვლეული გადაიზიდება მეორე მანქანით ერთ მოგზაურობაში, თუ ცნობილია, რომ გარკვეული რაოდენობის მარცვლეული გადააქვს მეორე და მესამე მანქანით ერთად,3-ჯერ ნაკლები მგზავრობის გაკეთება, ვიდრე მესამე მანქანას დასჭირდება იგივე რაოდენობის მარცვლეულის ტრანსპორტირება?

სხვადასხვა დიზაინის ორმა ექსკავატორმა უნდა გააგოს ერთი და იგივე ჯვრის ორი თხრილიწმინდა მონაკვეთი 960 სიგრძითმი180 მ.მთელი სამუშაო გაგრძელდა 22 დღე, რა დროსაც პირველმა ექსკავატორმა დიდი თხრილი გაშალა. მეორე ექსკავატორი პირველთან შედარებით 6 დღით გვიან დაიწყო მუშაობა, უფრო პატარა თხრილი გათხარა, 3 დღე შეაკეთა და შემდეგ პირველს დაეხმარა. რემონტზე დროის დახარჯვა რომ არ იყოს საჭირო, მაშინ სამუშაო 21 დღეში დასრულდება. რამდენი მეტრის თხრილის გათხრა შეუძლია თითოეულ ექსკავატორს დღეში?

სამმა ბრიგადამ 120 ჰექტარი საერთო ფართობის ორი ველი ხვნა. პირველი მინდორი 3 დღეში გაიჭედა, სამივე გუნდი ერთად მუშაობდა. მეორე მინდორი 6 დღის განმავლობაში ხნებოდა პირველი და მეორე ბრიგადები. თუ სამივე გუნდმა მეორე მინდორზე 1 დღე იმუშავა, მაშინ პირველ გუნდს შეეძლო მეორე მინდვრის დარჩენილი ნაწილი 8 დღეში გადაეხვნა. დღეში რამდენ ჰექტარს ხნავდა მეორე ბრიგადა?

თანაბარი დიამეტრის ორი მილი უკავშირდება ორ აუზს(მდეთითოეულ აუზს აქვს თავისი მილი). პირველი მილით პირველ აუზში ასხამდნენ გარკვეული მოცულობის წყალს და ამის შემდეგ უმალ მეორე აუზში მეორე მილით ასხამდნენ იმავე მოცულობის წყალს და ამ ყველაფერს 16 საათი დასჭირდა. მილის იმდენი დრო, რამდენიც მეორეში, ხოლო მეორეში - იმდენი დრო, რამდენიც პირველში, მაშინ პირველი მილით წყალი ჩაივლიდა 320 მ მანძილზე. 3 მეორეზე ნაკლები. თუ პირველის გავლით გაივლიდა 10 მ 3 ნაკლები, ხოლო მეორის გავლით - 10 მ 3 მეტი წყალი, მაშინ 20 საათი დასჭირდება წყლის საწყისი მოცულობების აუზში ჩასხმას (ჯერ პირველში, შემდეგ მეორეში) რამდენ ხანს გადიოდა წყალი თითოეულ მილში?

ორი კოლონა, რომელიც შედგება იმავე რაოდენობის მანქანებისგან, ტვირთის ტრანსპორტირებას ახდენს. თითოეულშიახლომდებარე მანქანებს აქვთ იგივე ტევადობა და სრულად დატვირთულია მოგზაურობის დროს. სხვადასხვა სვეტში მანქანების ტევადობა განსხვავებულია და 1 მგზავრობისთვის პირველი კოლონა 40 ტონა მეტ ტვირთს ატარებს, ვიდრე მეორე კოლონა. თუ პირველ კოლონაში მანქანების რაოდენობა შემცირდება 2-ით, ხოლო მეორე კოლონაში - 10-ით, მაშინ პირველი კოლონა 1 პერსპექტივაში გადაიტანს 90 ტონა ტვირთს, ხოლო მეორე კოლონა 90 ტონა ტვირთს 3 პერსპექტივაში. . როგორია მეორე კოლონის მანქანების ტარების მოცულობა?

ერთ მუშაკს შეუძლია 12 საათში გააკეთოს ნაწილების პარტია, ერთმა მუშამ დაიწყო მუშაობა, მეორე შეუერთდა მას ერთი საათის შემდეგ, მესამე ერთი საათის შემდეგ და ასე შემდეგ, სანამ სამუშაო არ დასრულებულა. რამდენ ხანს მუშაობდა პირველი მუშა? (ყველა მუშის შრომის პროდუქტიულობა ერთნაირია.)

იმავე კვალიფიკაციის მუშაკთა გუნდს ნაწილების პარტია უნდა დაემზადებინა. Პირველითავიდან ერთი მუშა შეუდგა მუშაობას, ერთი საათის შემდეგ მეორე შეუერთდა, ერთი საათის შემდეგ მესამე და ასე შემდეგ, სანამ მთელი გუნდი მუშაობას არ შეუდგა. გუნდის ყველა წევრი თავიდან რომ ემუშავა, სამუშაო 2 საათით სწრაფად დასრულდებოდა. რამდენი თანამშრომელია გუნდში?

სამი მუშა თხრიდა თხრილს. თავიდან პირველი მუშა ნახევარ დროს მუშაობდა, ნეოდანარჩენ ორს მოეთხოვა მთელი თხრილის გათხრა, შემდეგ მეორე მუშამ იმუშავა იმ დროის ნახევარი, რაც დანარჩენ ორს მთელი თხრილის გათხრას დასჭირდა და ბოლოს მესამე მუშამ იმ დროის ნახევარი იმუშავა, რაც დანარჩენ ორს მთელი თხრილის გათხრას დასჭირდა. შედეგად, თხრილი გაითხარა. რამდენჯერ უფრო სწრაფად გაითხარებოდა თხრილი, სამივე მუშა თავიდან რომ ერთდროულად მუშაობდეს?

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

რთული პროპორციული ამოცანები

ტესტი 2

რთული პროპორციული ამოცანები

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ