რთული რიცხვები

Ძირითადი ცნებები

რიცხვის საწყისი მონაცემები ქვის ხანას - პალეომელიტს ეხება. ეს არის "ერთი", "რამდენიმე" და "ბევრი". ისინი ჩაწერილი იყო ჭრილების, კვანძების და ა.შ. შრომითი პროცესების განვითარებამ და საკუთრების გაჩენამ აიძულა ადამიანი გამოეგონა რიცხვები და მათი სახელები. პირველად გამოჩნდა ბუნებრივი რიცხვები ნმიღებული ობიექტების დათვლით. შემდეგ, დათვლის აუცილებლობასთან ერთად, ადამიანებს გაუჩნდათ საჭიროება გაზომონ სიგრძეები, ფართობები, მოცულობა, დრო და სხვა რაოდენობები, სადაც საჭირო იყო გამოყენებული საზომის ნაწილების გათვალისწინება. ასე დაიბადა წილადები. წილადი და უარყოფითი რიცხვის ცნებების ფორმალური დასაბუთება განხორციელდა მე-19 საუკუნეში. მთელი რიცხვების ნაკრები ზარის ნატურალური რიცხვები, ნატურალური რიცხვები მინუს ნიშნით და ნულით. მთელი და წილადი რიცხვები ქმნიდნენ რაციონალურ რიცხვთა ერთობლიობას Q,მაგრამ ისიც კი არასაკმარისი აღმოჩნდა მუდმივად ცვალებადი ცვლადების შესასწავლად. გენეზისმა კვლავ აჩვენა მათემატიკის არასრულყოფილება: ფორმის განტოლების ამოხსნის შეუძლებლობა. X 2 = 3, ამასთან დაკავშირებით გამოჩნდა ირაციონალური რიცხვები ᲛᲔ.რაციონალური რიცხვების სიმრავლის კავშირი ქდა ირაციონალური რიცხვები მეარის რეალური (ან რეალური) რიცხვების ერთობლიობა რ. შედეგად, რიცხვითი სტრიქონი ივსებოდა: თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამებოდა მასზე არსებულ წერტილს. მაგრამ გადასაღებ მოედანზე რგანტოლების ამოხსნის გზა არ არსებობს X 2 = – ა 2. შესაბამისად, კვლავ გაჩნდა რიცხვის ცნების გაფართოების საჭიროება. ასე რომ, 1545 წელს გამოჩნდა რთული რიცხვები. მათმა შემქმნელმა ჯ. კარდანომ მათ უწოდა "წმინდა ნეგატიური". სახელი "წარმოსახვითი" შემოიღო 1637 წელს ფრანგმა რ. დეკარტმა, 1777 წელს ეილერმა შესთავაზა ფრანგული ნომრის პირველი ასოს გამოყენება. მეწარმოსახვითი ერთეულის აღსანიშნავად. ეს სიმბოლო საერთო ხმარებაში შევიდა კ.გაუსის წყალობით.

მე-17 და მე-18 საუკუნეებში გრძელდებოდა განხილვა წარმოსახვის არითმეტიკული ხასიათისა და მათი გეომეტრიული ინტერპრეტაციის შესახებ. დანიელმა ჰ.ვესელმა, ფრანგმა ჟ. არგანმა და გერმანელმა კ.გაუსმა დამოუკიდებლად ვარაუდობდნენ, რომ რთული რიცხვი გამოესახათ კოორდინატულ სიბრტყეზე წერტილით. მოგვიანებით გაირკვა, რომ კიდევ უფრო მოსახერხებელი იყო რიცხვის წარმოდგენა არა წერტილის სახით, არამედ როგორც საწყისიდან ამ წერტილამდე მიმავალი ვექტორის სახით.

მხოლოდ მე-18 საუკუნის ბოლოს - მე-19 საუკუნის დასაწყისში კომპლექსურმა რიცხვებმა დაიკავა თავისი კანონიერი ადგილი მათემატიკური ანალიზში. მათი პირველი გამოყენება იყო დიფერენციალური განტოლებების თეორიაში და ჰიდროდინამიკის თეორიაში.

განმარტება 1.რთული რიცხვიეწოდება ფორმის გამოხატულება, სადაც xდა წარის რეალური რიცხვები და მეარის წარმოსახვითი ერთეული, .

ორი რთული რიცხვი და თანაბარითუ და მხოლოდ თუ , .

თუ , მაშინ ნომერი იწოდება წმინდა წარმოსახვითი; თუ , მაშინ რიცხვი არის რეალური რიცხვი, რაც ნიშნავს რომ სიმრავლე რ თან, სად თანარის რთული რიცხვების ერთობლიობა.

კონიუგირებულიკომპლექსურ რიცხვს ეწოდება რთული რიცხვი.

რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა.

ნებისმიერი რთული რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი წერტილით. მ(x, წ) თვითმფრინავი ოქსი.რეალური რიცხვების წყვილი ასევე აღნიშნავს რადიუსის ვექტორის კოორდინატებს , ე.ი. სიბრტყეზე ვექტორთა სიმრავლესა და კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეს შორის შეიძლება დადგინდეს ერთი-ერთზე შესაბამისობა: .

განმარტება 2.რეალური ნაწილი X.

Დანიშნულება: x= რე ზ(ლათინური Realis-დან).

განმარტება 3.წარმოსახვითი ნაწილიკომპლექსურ რიცხვს ნამდვილ რიცხვს უწოდებენ წ.

Დანიშნულება: წ= მე ზ(ლათინური Imaginarius-დან).

რე ზდეპონირებულია ღერძზე ( ოჰ), მე ზდეპონირებულია ღერძზე ( ოი), მაშინ კომპლექსური რიცხვის შესაბამისი ვექტორი არის წერტილის რადიუსის ვექტორი მ(x, წ), (ან მ(რე ზ, მე ზ)) (სურ. 1).

განმარტება 4.სიბრტყე, რომლის წერტილები დაკავშირებულია რთული რიცხვების სიმრავლესთან, ეწოდება რთული თვითმფრინავი. აბსცისა ე.წ რეალური ღერძირადგან ის შეიცავს რეალურ რიცხვებს. y-ღერძი ეწოდება წარმოსახვითი ღერძი, ის შეიცავს წმინდა წარმოსახვით კომპლექსურ რიცხვებს . კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება თან.

განმარტება 5.მოდულირთული რიცხვი ზ = (x, წ) არის ვექტორის სიგრძე : , ე.ი. .

განმარტება 6.არგუმენტირთული რიცხვი ეწოდება კუთხეს ღერძის დადებით მიმართულებას შორის ( ოჰ) და ვექტორი: .

რთული რიცხვები

წარმოსახვითი და რთული რიცხვები. აბსცესი და ორდინატი

რთული რიცხვი. რთული რიცხვების შერწყმა.

ოპერაციები რთული რიცხვებით. გეომეტრიული

რთული რიცხვების წარმოდგენა. რთული თვითმფრინავი.

რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი. ტრიგონომეტრიული

რთული რიცხვების ფორმა. ოპერაციები კომპლექსით

რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით. Moivre ფორმულა.

ძირითადი ინფორმაცია იმის შესახებ წარმოსახვითი და რთული რიცხვები მოცემულია განყოფილებაში „წარმოსახვითი და რთული რიცხვები“. ახალი ტიპის ამ რიცხვების საჭიროება გაჩნდა შემთხვევისთვის კვადრატული განტოლებების ამოხსნისასდ< 0 (здесь დარის კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი). დიდი ხნის განმავლობაში ამ რიცხვებს ფიზიკური გამოყენება არ ჰქონია, რის გამოც მათ „წარმოსახვით“ რიცხვებს უწოდებდნენ. თუმცა, ახლა ისინი ძალიან ფართოდ გამოიყენება ფიზიკის სხვადასხვა დარგში.

და ტექნოლოგია: ელექტროტექნიკა, ჰიდრო- და აეროდინამიკა, ელასტიურობის თეორია და ა.შ.

რთული რიცხვები იწერება როგორც:ა+ბი. Აქ ადა ბ – რეალური რიცხვები , ა მე – წარმოსახვითი ერთეული.ე. მე 2 = –1. ნომერი ადაურეკა აბსცისა, ა ბ - ორდინატირთული რიცხვიa + b .ორი რთული რიცხვია+ბიდა ა-ბი დაურეკა კონიუგატირთული რიცხვები.

ძირითადი შეთანხმებები:

1. რეალური ნომერიაასევე შეიძლება დაიწეროს ფორმაშირთული რიცხვი:a + 0 მეან ა - 0 მე. მაგალითად, ჩანაწერები 5 + 0მედა 5-0 მენიშნავს იგივე რიცხვს 5 .

2. კომპლექსი ნომერი 0 + ბიდაურეკა წმინდა წარმოსახვითი ნომერი. ჩაწერაბინიშნავს იგივე 0 + ბი.

3. ორი რთული რიცხვია+ბი დაc + diგანიხილება თანაბარი თუa = cდა ბ = დ. წინააღმდეგ შემთხვევაში რთული რიცხვები არ არის ტოლი.

დამატება. რთული რიცხვების ჯამია+ბიდა c + diკომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ (ა+გ ) + (ბ+დ ) მე .ამრიგად, როცა დაემატება კომპლექსური რიცხვები, მათი აბსციები და ორდინატები ცალკე ემატება.

ეს განსაზღვრება მიჰყვება ჩვეულებრივ მრავალწევრებთან ურთიერთობის წესებს.

გამოკლება. განსხვავება ორ კომპლექსურ რიცხვს შორისა+ბი(შემცირებული) და c + di(გამოკლებული) ეწოდება რთული რიცხვი (ა-გ ) + (ბ-დ ) მე .

ამრიგად, ორი რთული რიცხვის გამოკლებისას მათ აბსცისა და ორდინატებს აკლდება ცალკე.

გამრავლება. რთული რიცხვების ნამრავლია+ბიდა c + di კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ.

(ac-bd ) + (რეკლამა+ძვ ) მე .ეს განმარტება გამომდინარეობს ორი მოთხოვნიდან:

1) ნომრები ა+ბიდა c + diალგებრულივით უნდა გამრავლდესორომალიები,

2) ნომერი მეაქვს ძირითადი ქონება:მე 2 = – 1.

მაგალითი ( a + bi )(ა-ბი) = ა 2 +ბ 2 . აქედან გამომდინარე, მუშაობა

ორი კონიუგირებული რთული რიცხვი უდრის რეალურს

დადებითი რიცხვი.

განყოფილება. კომპლექსური რიცხვის გაყოფაა+ბი (გაყოფად) მეორეზეc + di(გამყოფი) - ნიშნავს მესამე ნომრის პოვნასe + fi(ჩატი), რომელიც გამყოფზე გამრავლებისასc + di, რაც იწვევს დივიდენდსa + b .

თუ გამყოფი არ არის ნული, გაყოფა ყოველთვის შესაძლებელია.

მაგალითი იპოვეთ (8+მე ) : (2 – 3 მე) .

გამოსავალი. მოდით გადავიწეროთ ეს თანაფარდობა წილადის სახით:

მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება 2 + 3-ზემე

და ყველა ტრანსფორმაციის შესრულების შემდეგ მივიღებთ:

რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა. რეალური რიცხვები წარმოდგენილია რიცხვითი ხაზის წერტილებით:

აქ არის წერტილი ანიშნავს რიცხვს -3, წერტილიბარის ნომერი 2 და ო- ნული. ამის საპირისპიროდ, რთული რიცხვები წარმოდგენილია წერტილებით კოორდინატულ სიბრტყეზე. ამისთვის ვირჩევთ მართკუთხა (კარტეზიულ) კოორდინატებს ორივე ღერძზე ერთი და იგივე მასშტაბებით. შემდეგ კომპლექსური რიცხვია+ბი იქნება წარმოდგენილი წერტილით პ აბსცისით ა და ორდინატი ბ (იხ. ნახ.). ამ კოორდინატთა სისტემას ე.წ რთული თვითმფრინავი .

მოდული კომპლექსურ რიცხვს ვექტორის სიგრძე ეწოდებაOPკოორდინატზე რთული რიცხვის გამოსახვა ( ინტეგრირებული) თვითმფრინავი. კომპლექსური რიცხვების მოდულია+ბიაღინიშნება | ა+ბი| ან წერილი რ

რთული რიცხვები, მათი წარმოდგენა თვითმფრინავზე. ალგებრული მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე. კომპლექსური კონიუგაცია. რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი. რთული რიცხვის ალგებრული და ტრიგონომეტრიული ფორმები. რთული რიცხვების ფესვები. რთული არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქცია. ეილერის ფორმულა. რთული რიცხვის ექსპონენციალური ფორმა.

ინტეგრაციის ერთ-ერთი ძირითადი მეთოდის - რაციონალური წილადების ინტეგრაციის შესწავლისას საჭიროა კომპლექსური დომენის მრავალწევრების გათვალისწინება მკაცრი მტკიცებულებებისთვის. ამიტომ, ჯერ შევისწავლოთ რთული რიცხვების ზოგიერთი თვისება და მათზე მოქმედებები.

განმარტება 7.1. რთული რიცხვი z არის რეალური რიცხვების მოწესრიგებული წყვილი (a, b): z = (a, b) (ტერმინი „მოწესრიგებული“ ნიშნავს, რომ a და b რიცხვების თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია რთული რიცხვის ჩასაწერად: (a ბ))). ამ შემთხვევაში პირველ რიცხვს a ეწოდება z რთული რიცხვის რეალური ნაწილი და აღინიშნება a = Re z, ხოლო მეორე რიცხვს b ეწოდება z-ის წარმოსახვითი ნაწილი: b = Im z.

განმარტება 7.2. ორი რთული რიცხვი z 1 \u003d (a 1, b 1) და z 2 \u003d (a 2, b 2) ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ თანაბარი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები, ანუ a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე.

1. ჯამირთული რიცხვები z1 =(a 1, b 1) და z2 =(a 2, b 2 z=(ა, ბ) ისეთივე როგორც a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2.დამატებითი თვისებები: ა) z1 + z2 = z2 + z1; ბ) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; გ) არის რთული რიცხვი 0 = (0,0): z+ 0 =ზნებისმიერი რთული რიცხვისთვის ზ.

2. მუშაობართული რიცხვები z1 =(a 1, b 1) და z2 =(a 2, b 2) ეწოდება კომპლექსურ რიცხვს z=(ა, ბ) ისეთივე როგორც a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1.გამრავლების თვისებები: ა) z 1 z 2 = z 2 z 1; ბ) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, in) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

კომენტარი. კომპლექსური რიცხვების სიმრავლის ქვესიმრავლე არის რეალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც განისაზღვრება ფორმის კომპლექსური რიცხვებით ( ა, 0). ჩანს, რომ ამ შემთხვევაში კომპლექსურ რიცხვებზე მოქმედებების განსაზღვრა ინახავს რეალურ რიცხვებზე შესაბამისი მოქმედებების ცნობილ წესებს. გარდა ამისა, რეალური რიცხვი 1 = (1,0) ინარჩუნებს თავის თვისებას ნებისმიერ კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლებისას: 1∙ z = z.

განმარტება 7.3.კომპლექსური ნომერი (0, ბ) ეწოდება წმინდა წარმოსახვითი. კერძოდ, რიცხვს (0,1) ეძახიან წარმოსახვითი ერთეულიდა სიმბოლურია მე.

წარმოსახვითი ერთეულის თვისებები:

1) i∙i=i² = -1; 2) წმინდა წარმოსახვითი რიცხვი (0, ბ) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რეალური რიცხვის ნამრავლი ( ბ, 0) და მე: (ბ, 0) = b∙i.

მაშასადამე, ნებისმიერი რთული რიცხვი z = (a,b) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

განმარტება 7.4. z = a + ib ფორმის აღნიშვნას რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა ეწოდება.

კომენტარი. რთული რიცხვების ალგებრული აღნიშვნა შესაძლებელს ხდის მათზე მოქმედებების შესრულებას ალგებრის ჩვეულებრივი წესების მიხედვით.

განმარტება 7.5. კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ z = a + ib-ის კომპლექსურ კონიუგატს.

3. გამოკლებართული რიცხვები განისაზღვრება, როგორც შეკრების შებრუნებული მოქმედება: z=(ა, ბ) ეწოდება კომპლექსურ რიცხვთა სხვაობას z1 =(a 1, b 1) და z2 =(a 2, b 2), თუ a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. განყოფილებართული რიცხვები განისაზღვრება, როგორც გამრავლების შებრუნებული მოქმედება: რიცხვი z = a + ibგაყოფის კოეფიციენტს უწოდებენ z 1 = a 1 + ib 1და z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) თუ z 1 = z∙z 2 .ამრიგად, კოეფიციენტის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების პოვნა შესაძლებელია განტოლებათა სისტემის ამოხსნიდან: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

რთული რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

კომპლექსური ნომერი z=(ა, ბ) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც წერტილი სიბრტყეზე კოორდინატებით ( ა, ბ) ან ვექტორი, რომლის საწყისია საწყისი და ბოლო წერტილი ( ა, ბ).

ამ შემთხვევაში, მიღებული ვექტორის მოდული ეწოდება მოდულირთული რიცხვი, ხოლო ვექტორის მიერ x-ღერძის დადებითი მიმართულების წარმოქმნილი კუთხე არის არგუმენტინომრები. Იმის გათვალისწინებით, რომ a = p cos φ, b = ρცოდვა φ, სადაც ρ = |ზ| - მოდული z,და φ = arg z არის მისი არგუმენტი, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ რთული რიცხვის ჩაწერის სხვა ფორმა:

განმარტება 7.6.შესვლის ნახვა

z = გვ(კოს φ + iცოდვა φ ) (7.1)

დაურეკა ტრიგონომეტრიული ფორმართული რიცხვის აღნიშვნა.

თავის მხრივ, რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი შეიძლება გამოიხატოს თვალსაზრისით ადა ბ: . მაშასადამე, რთული რიცხვის არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, არამედ ტერმინამდე, რომელიც არის 2π-ის ჯერადი.

ადვილი მისახვედრია, რომ რთული რიცხვების შეკრების ოპერაცია შეესაბამება ვექტორების შეკრების ოპერაციას. განვიხილოთ გამრავლების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. დაე მერე

მაშასადამე, ორი რთული რიცხვის ნამრავლის მოდული მათი მოდულების ნამრავლის ტოლია, არგუმენტი კი მათი არგუმენტების ჯამია. შესაბამისად, გაყოფისას, კოეფიციენტის მოდული უდრის დივიდენდისა და გამყოფის მოდულების შეფარდებას და არგუმენტი არის განსხვავება მათ არგუმენტებს შორის.

გამრავლების ოპერაციის განსაკუთრებული შემთხვევაა სიძლიერე:

- დე მოივრის ფორმულა.

მიღებული მიმართებების გამოყენებით ჩვენ ჩამოვთვლით რთული კონიუგატური რიცხვების ძირითად თვისებებს:

რთული რიცხვები და
კოორდინაცია
თვითმფრინავი

რეალური რიცხვების R სიმრავლის გეომეტრიული მოდელი არის რიცხვითი წრფე. ყველა რეალური რიცხვი შეესაბამება ერთ წერტილს

ზე
რიცხვითი ხაზი და წრფის ნებისმიერი წერტილი
მხოლოდ ერთი მატჩი
ნამდვილი რიცხვი!

ყველა რეალური რიცხვების სიმრავლის შესაბამისი რიცხვითი წრფის დამატებით კიდევ ერთი განზომილება - წრფე, რომელიც შეიცავს წმინდა m სიმრავლეს.

ნაკრების შესაბამისი რიცხვითი ხაზის დამატება
ყველა რეალური რიცხვიდან კიდევ ერთი განზომილება -
ხაზი, რომელიც შეიცავს წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების სიმრავლეს -
ვიღებთ კოორდინატულ სიბრტყეს, რომელშიც თითოეული
რთული რიცხვი a + bi შეიძლება ასოცირებული იყოს
წერტილი (a; b) კოორდინატთა სიბრტყის.
i=0+1i შეესაბამება წერტილს (0;1)
2+3i შეესაბამება წერტილს (2;3)
-i-4 ემთხვევა წერტილს (-4;-1)
5=5+1i შეესაბამება მელანქოლიას (5;0)

კონიუგაციის ოპერაციის გეომეტრიული მნიშვნელობა

! კონიუგაციის ოპერაცია ღერძულია
სიმეტრია x-ღერძის მიმართ.
!! ერთმანეთთან დაკავშირებული
რთული რიცხვები თანაბარი მანძილით არის დაშორებული
კოორდინატების წარმოშობა.
!!! ამსახველი ვექტორები
კონიუგირებული რიცხვები, ღერძისკენ დახრილი
აბსცისა იმავე კუთხით, მაგრამ
მდებარეობს მოპირდაპირე მხარეს
ეს ღერძი.

რეალური რიცხვების გამოსახულება

რთული რიცხვების გამოსახულება

ალგებრული
გზა
სურათები:
კომპლექსური ნომერი
ნაჩვენებია a+bi
თვითმფრინავის წერტილი
კოორდინატებით
(ა;ბ)

კომპლექსური რიცხვების გამოსახვის მაგალითები კოორდინატულ სიბრტყეზე

(ჩვენ გვაინტერესებს
რთული რიცხვები
z=x+yi , რისთვისაც
x=-4. ეს არის განტოლება
სწორი,
პარალელური ღერძი
ორდინატი)
ზე
X= - 4
მოქმედებს
ნაწილი არის -4
0
X

კოორდინატულ სიბრტყეზე დახაზეთ ყველა რთული რიცხვის სიმრავლე, რომლისთვისაც:

წარმოსახვითი ნაწილი
არის თანაბარი
ცალსახა
ბუნებრივი
ნომერი
(ჩვენ გვაინტერესებს
რთული რიცხვები
z=x+yi
y=2,4,6,8.
გეომეტრიული გამოსახულება
შედგება ოთხი
სწორი ხაზები, პარალელური
აბსციზა)
ზე
8
6
4
2
0
X