ბევრს, ვინც "ალბათობის თეორიის" კონცეფციის წინაშე დგას, შეშინებულია და ფიქრობს, რომ ეს რაღაც აბსოლუტური, ძალიან რთულია. მაგრამ ეს ყველაფერი ნამდვილად არ არის ტრაგიკული. დღეს ჩვენ განვიხილავთ ალბათობის თეორიის ძირითად კონცეფციას, ვისწავლით როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

Მეცნიერება

რას სწავლობს მათემატიკის ისეთ ფილიალი, როგორიცაა "ალბათობის თეორია"? ის აღნიშნავს ნიმუშებს და სიდიდეებს. პირველად მეცნიერები ამ საკითხით მეთვრამეტე საუკუნეში დაინტერესდნენ, როცა აზარტულ თამაშებს სწავლობდნენ. ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენა. ეს არის ნებისმიერი ფაქტი, რომელიც დგინდება გამოცდილებით ან დაკვირვებით. მაგრამ რა არის გამოცდილება? ალბათობის თეორიის კიდევ ერთი ძირითადი კონცეფცია. ეს ნიშნავს, რომ გარემოებათა ეს შემადგენლობა არ შეიქმნა შემთხვევით, არამედ კონკრეტული მიზნით. რაც შეეხება დაკვირვებას, აქ თავად მკვლევარი არ მონაწილეობს ექსპერიმენტში, უბრალოდ არის ამ მოვლენების მოწმე, ის არანაირად არ ახდენს გავლენას იმაზე, რაც ხდება.

Ივენთი

ჩვენ გავიგეთ, რომ ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენა, მაგრამ არ გავითვალისწინეთ კლასიფიკაცია. ყველა მათგანი იყოფა შემდეგ კატეგორიებად:

• სანდო.
• შეუძლებელია.
• შემთხვევითი.

არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის მოვლენები შეინიშნება ან იქმნება გამოცდილების მსვლელობისას, ისინი ყველა ექვემდებარება ამ კლასიფიკაციას. გთავაზობთ ცალ-ცალკე გაეცნოთ თითოეულ სახეობას.

სანდო ღონისძიება

ეს ის გარემოებაა, რომლის წინაშეც გატარდა ზომების აუცილებელი ნაკრები. არსის უკეთ გასაგებად სჯობს რამდენიმე მაგალითი მოვიყვანოთ. ამ კანონს ექვემდებარება ფიზიკა, ქიმია, ეკონომიკა და უმაღლესი მათემატიკა. ალბათობის თეორია მოიცავს ისეთ მნიშვნელოვან კონცეფციას, როგორიცაა გარკვეული მოვლენა. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

• ჩვენ ვმუშაობთ და ვიღებთ ანაზღაურებას ხელფასის სახით.
• კარგად ჩავაბარეთ გამოცდები, ჩავაბარე კონკურსი, ამისთვის ვიღებთ ჯილდოს საგანმანათლებლო დაწესებულებაში მიღების სახით.
• თანხა ბანკში ჩავდეთ, თუ საჭირო იქნება, უკან დავიბრუნებთ.

ასეთი მოვლენები სანდოა. თუ ყველა საჭირო პირობა შევასრულეთ, მაშინ აუცილებლად მივიღებთ მოსალოდნელ შედეგს.

შეუძლებელი მოვლენები

ჩვენ ახლა განვიხილავთ ალბათობის თეორიის ელემენტებს. ჩვენ ვთავაზობთ გადავიდეთ შემდეგი ტიპის მოვლენის ახსნაზე, კერძოდ, შეუძლებელი. დასაწყისისთვის, ჩვენ განვსაზღვრავთ ყველაზე მნიშვნელოვან წესს - შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

პრობლემის გადაჭრისას ამ ფორმულირებიდან გადახვევა შეუძლებელია. გასაგებად, აქ მოცემულია ასეთი მოვლენების მაგალითები:

• წყალი გაიყინა პლუს ათი ტემპერატურაზე (ეს შეუძლებელია).
• ელექტროენერგიის ნაკლებობა არანაირად არ მოქმედებს წარმოებაზე (ისევე შეუძლებელი, როგორც წინა მაგალითში).

მეტი მაგალითები არ უნდა იყოს მოყვანილი, რადგან ზემოთ აღწერილი მაგალითები ძალიან ნათლად ასახავს ამ კატეგორიის არსს. შეუძლებელი მოვლენა არასოდეს მოხდება გამოცდილების დროს არავითარ შემთხვევაში.

შემთხვევითი მოვლენები

ალბათობის თეორიის ელემენტების შესწავლისას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს ამ კონკრეტულ ტიპის მოვლენას. სწორედ ამას სწავლობს მეცნიერება. გამოცდილების შედეგად შეიძლება რაღაც მოხდეს ან არ მოხდეს. გარდა ამისა, ტესტი შეიძლება განმეორდეს შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. თვალსაჩინო მაგალითებია:

• მონეტის გადაყრა არის გამოცდილება, ან გამოცდა, სათაური არის მოვლენა.
• ჩანთიდან ბურთის ბრმად ამოღება გამოცდაა, წითელი ბურთის დაჭერა მოვლენაა და ა.შ.

ასეთი მაგალითების შეუზღუდავი რაოდენობა შეიძლება იყოს, მაგრამ, ზოგადად, არსი გასაგები უნდა იყოს. მოვლენების შესახებ მიღებული ცოდნის შეჯამებისა და სისტემატიზაციის მიზნით მოცემულია ცხრილი. ალბათობის თეორია სწავლობს ყველა წარმოდგენილიდან მხოლოდ ბოლო ტიპს.

სათაური	განმარტება
სანდო	ღონისძიებები, რომლებიც ხდება 100% გარანტიით, გარკვეული პირობების გათვალისწინებით.	საგანმანათლებლო დაწესებულებაში მიღება მისაღები გამოცდის კარგად ჩაბარებით.
შეუძლებელია	მოვლენები, რომლებიც არასოდეს მოხდება არავითარ შემთხვევაში.	თოვს ჰაერის პლიუს ოცდაათი გრადუსი ცელსიუსის ტემპერატურაზე.
შემთხვევითი	მოვლენა, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ექსპერიმენტის/ტესტის დროს.	დაარტყით ან გამოტოვეთ კალათბურთის რგოლში ჩაგდებისას.

Კანონები

ალბათობის თეორია არის მეცნიერება, რომელიც სწავლობს მოვლენის მოხდენის შესაძლებლობას. სხვების მსგავსად, მას აქვს გარკვეული წესები. არსებობს ალბათობის თეორიის შემდეგი კანონები:

• შემთხვევითი ცვლადების მიმდევრობების კონვერგენცია.
• დიდი რიცხვების კანონი.

კომპლექსის შესაძლებლობის გაანგარიშებისას, მარტივი მოვლენების კომპლექსის გამოყენება შესაძლებელია შედეგის უფრო მარტივი და სწრაფი მიღწევისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ კანონები ადვილად დამტკიცდება ზოგიერთი თეორემის დახმარებით. დავიწყოთ პირველი კანონით.

შემთხვევითი ცვლადების მიმდევრობების კონვერგენცია

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს რამდენიმე სახის კონვერგენცია:

• შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობა კონვერგენტულია ალბათობით.
• თითქმის შეუძლებელია.
• RMS კონვერგენცია.
• განაწილების კონვერგენცია.

ასე რომ, ფრენისას ძალიან ძნელია მის ბოლოში ჩასვლა. აქ მოცემულია რამდენიმე განმარტება, რომელიც დაგეხმარებათ ამ თემის გაგებაში. დავიწყოთ პირველი ნახვით. თანმიმდევრობა ე.წ კონვერგენტული ალბათობით, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: n მიდრეკილია უსასრულობისკენ, რიცხვი, რომლისკენაც მიდრეკილია მიმდევრობა, არის ნულზე მეტი და ერთთან ახლოს.

გადავიდეთ შემდეგზე, თითქმის აუცილებლად. ნათქვამია, რომ თანმიმდევრობა ემთხვევა თითქმის აუცილებლადშემთხვევითი ცვლადისკენ, სადაც n მიდრეკილია უსასრულობისკენ, ხოლო P მიდრეკილია ერთიანობასთან მიახლოებული მნიშვნელობისკენ.

შემდეგი ტიპი არის RMS კონვერგენცია. SC კონვერგენციის გამოყენებისას ვექტორული შემთხვევითი პროცესების შესწავლა მცირდება მათი კოორდინატული შემთხვევითი პროცესების შესწავლაზე.

ბოლო ტიპი რჩება, მოკლედ გავაანალიზოთ, რათა უშუალოდ გადავიდეთ პრობლემების გადაჭრაზე. განაწილების კონვერგენციას სხვა სახელი აქვს - "სუსტი", ჩვენ ავხსნით რატომ ქვემოთ. სუსტი კონვერგენციაარის განაწილების ფუნქციების კონვერგენცია შეზღუდვის განაწილების ფუნქციის უწყვეტობის ყველა წერტილში.

ჩვენ აუცილებლად შევასრულებთ დაპირებას: სუსტი კონვერგენცია განსხვავდება ყოველივე ზემოთქმულისგან იმით, რომ შემთხვევითი ცვლადი არ არის განსაზღვრული ალბათობის სივრცეში. ეს შესაძლებელია, რადგან მდგომარეობა იქმნება ექსკლუზიურად განაწილების ფუნქციების გამოყენებით.

დიდი რიცხვების კანონი

ამ კანონის დასამტკიცებლად შესანიშნავი თანაშემწეები იქნებიან ალბათობის თეორიის თეორემები, როგორიცაა:

• ჩებიშევის უთანასწორობა.
• ჩებიშევის თეორემა.
• განზოგადებული ჩებიშევის თეორემა.
• მარკოვის თეორემა.

თუ გავითვალისწინებთ ყველა ამ თეორემას, მაშინ ეს კითხვა შეიძლება გაგრძელდეს რამდენიმე ათეულ ფურცელზე. ჩვენი მთავარი ამოცანაა ალბათობის თეორიის პრაქტიკაში გამოყენება. გეპატიჟებით ამის გაკეთებას ახლავე. მანამდე კი ალბათობის თეორიის აქსიომებს განვიხილავთ, ისინი იქნებიან მთავარი ასისტენტები პრობლემების გადაჭრაში.

აქსიომები

პირველს უკვე შევხვდით, როცა შეუძლებელ მოვლენაზე ვისაუბრეთ. გავიხსენოთ: შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია. ჩვენ მოვიყვანეთ ძალიან ნათელი და დასამახსოვრებელი მაგალითი: თოვლი მოვიდა ჰაერის ტემპერატურაზე ოცდაათი გრადუსი ცელსიუსით.

მეორე ასეთია: გარკვეული მოვლენა ხდება ერთის ტოლი ალბათობით. ახლა ვაჩვენოთ, როგორ ჩავწეროთ ის მათემატიკური ენის გამოყენებით: P(B)=1.

მესამე: შემთხვევითი მოვლენა შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, მაგრამ შესაძლებლობა ყოველთვის მერყეობს ნულიდან ერთამდე. რაც უფრო ახლოს არის მნიშვნელობა ერთთან, მით მეტია შანსი; თუ მნიშვნელობა უახლოვდება ნულს, ალბათობა ძალიან დაბალია. ჩავწეროთ მათემატიკური ენაზე: 0<Р(С)<1.

განვიხილოთ ბოლო, მეოთხე აქსიომა, რომელიც ასე ჟღერს: ორი მოვლენის ჯამის ალბათობა მათი ალბათობების ჯამის ტოლია. ჩვენ ვწერთ მათემატიკური ენაზე: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

ალბათობის თეორიის აქსიომები უმარტივესი წესებია, რომლებიც ადვილად დასამახსოვრებელია. შევეცადოთ გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა, უკვე მიღებული ცოდნის საფუძველზე.

Ლატარიის ბილეთი

დასაწყისისთვის, განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითი - ლატარია. წარმოიდგინეთ, რომ იყიდეთ ერთი ლატარიის ბილეთი წარმატებისთვის. რა არის იმის ალბათობა, რომ მინიმუმ ოცი მანეთი მოიგო? საერთო ჯამში, ტირაჟში მონაწილეობს ათასი ბილეთი, რომელთაგან ერთს აქვს პრიზი ხუთასი რუბლიდან, ათი ასი რუბლიდან, ორმოცდაათი ოცი რუბლიდან და ასი ხუთიდან. ალბათობის თეორიის პრობლემები ემყარება იღბლის შესაძლებლობის პოვნას. მოდით ერთად გადავხედოთ ზემოაღნიშნული პრობლემის გადაწყვეტას.

თუ ასო A-ით აღვნიშნავთ ხუთასი რუბლის მოგებას, მაშინ A-ს მიღების ალბათობა იქნება 0,001. როგორ მივიღეთ? თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ "ბედნიერი" ბილეთების რაოდენობა მათ საერთო რაოდენობაზე (ამ შემთხვევაში: 1/1000).

B არის ასი რუბლის მოგება, ალბათობა იქნება 0.01. ახლა ჩვენ ვიმოქმედეთ იმავე პრინციპით, როგორც წინა მოქმედებაში (10/1000)

გ - მოგება უდრის ოცი რუბლს. ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, ის უდრის 0,05-ს.

დარჩენილი ბილეთები ჩვენთვის არანაირ ინტერესს არ იწვევს, რადგან მათი საპრიზო ფონდი მდგომარეობით მითითებულზე ნაკლებია. გამოვიყენოთ მეოთხე აქსიომა: მინიმუმ ოცი რუბლის მოგების ალბათობა არის P(A)+P(B)+P(C). ასო P აღნიშნავს ამ მოვლენის დადგომის ალბათობას, ისინი უკვე ვიპოვეთ წინა ნაბიჯებში. რჩება მხოლოდ საჭირო მონაცემების დამატება, პასუხში ვიღებთ 0.061. ეს ნომერი იქნება პასუხი დავალების კითხვაზე.

ბარათის დაფა

ალბათობის თეორიის პრობლემები ასევე უფრო რთულია, მაგალითად, მიიღეთ შემდეგი დავალება. თქვენს წინაშე არის ოცდათექვსმეტი კარტის გემბანი. თქვენი ამოცანაა ზედიზედ ორი კარტის დახატვა წყობის შერევის გარეშე, პირველი და მეორე კარტი უნდა იყოს ტუზი, კოსტიუმს მნიშვნელობა არ აქვს.

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, რომ პირველი კარტი იყოს ტუზი, ამისათვის ოთხს ვყოფთ ოცდათექვსმეტზე. განზე გადადეს. ჩვენ ამოვიღებთ მეორე კარტს, ეს იქნება ტუზი სამი ოცდამეხუთედის ალბათობით. მეორე მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი კარტი გავუშვით პირველი, გვაინტერესებს ტუზი იყო თუ არა. აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენა B დამოკიდებულია A მოვლენაზე.

შემდეგი ნაბიჯი არის ერთდროული განხორციელების ალბათობის პოვნა, ანუ ვამრავლებთ A და B. მათი ნამრავლი გამოდის შემდეგნაირად: ვამრავლებთ ერთი მოვლენის ალბათობას მეორის პირობით ალბათობაზე, რომელსაც ვიანგარიშებთ, იმ ვარაუდით, რომ პირველი მოხდა მოვლენა, ანუ პირველი კარტით ტუზი გავუშვით.

იმისათვის, რომ ყველაფერი ნათელი გახდეს, მოდით მივცეთ აღნიშვნა ისეთ ელემენტს, როგორიცაა მოვლენები. იგი გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ მოხდა A მოვლენა. გამოითვლება შემდეგნაირად: P(B/A).

მოდით გავაგრძელოთ ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) ან P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). ალბათობა არის (4/36) * ((3/35)/(4/36). გამოთვალეთ მეასედების დამრგვალებით. გვაქვს: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 ალბათობა იმისა, რომ ჩვენ ზედიზედ ორი ტუზის დახატვა არის ცხრა ასეული. მნიშვნელობა ძალიან მცირეა, აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენის დადგომის ალბათობა უკიდურესად მცირეა.

დავიწყებული ნომერი

ჩვენ ვთავაზობთ გავაანალიზოთ კიდევ რამდენიმე ვარიანტი ამოცანებისთვის, რომლებიც შესწავლილია ალბათობის თეორიით. თქვენ უკვე ნახეთ ამ სტატიაში ზოგიერთი მათგანის გადაჭრის მაგალითები, შევეცადოთ გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა: ბიჭს დაავიწყდა მეგობრის ტელეფონის ნომრის ბოლო ციფრი, მაგრამ რადგან ზარი ძალიან მნიშვნელოვანი იყო, მან დაიწყო ყველაფრის რიგრიგობით აკრეფა. ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ ის დარეკავს არაუმეტეს სამჯერ. პრობლემის გადაწყვეტა ყველაზე მარტივია, თუ ცნობილია ალბათობის თეორიის წესები, კანონები და აქსიომები.

სანამ გამოსავალს შეხედავთ, შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ იგი. ჩვენ ვიცით, რომ ბოლო ციფრი შეიძლება იყოს ნულიდან ცხრამდე, ანუ სულ არის ათი მნიშვნელობა. სწორის მიღების ალბათობა არის 1/10.

შემდეგი, ჩვენ უნდა განვიხილოთ მოვლენის წარმოშობის ვარიანტები, დავუშვათ, რომ ბიჭმა სწორად გამოიცნო და მაშინვე გაიტანა სწორი, ასეთი მოვლენის ალბათობა არის 1/10. მეორე ვარიანტი: პირველი ზარი არის გამოტოვება, ხოლო მეორე არის მიზანში. ჩვენ ვიანგარიშებთ ასეთი მოვლენის ალბათობას: გავამრავლოთ 9/10 1/9-ზე, შედეგად მივიღებთ ასევე 1/10-ს. მესამე ვარიანტი: პირველი და მეორე ზარი არასწორ მისამართზე აღმოჩნდა, მხოლოდ მესამედან მივიდა ბიჭი სადაც სურდა. ჩვენ ვიანგარიშებთ ასეთი მოვლენის ალბათობას: ვამრავლებთ 9/10-ს 8/9-ზე და 1/8-ზე, შედეგად მივიღებთ 1/10-ს. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ჩვენ არ გვაინტერესებს სხვა ვარიანტები, ამიტომ ჩვენთვის რჩება შედეგების შეკრება, შედეგად გვაქვს 3/10. პასუხი: ალბათობა იმისა, რომ ბიჭი დაურეკავს არაუმეტეს სამჯერ არის 0,3.

ბარათები ნომრებით

თქვენს წინ არის ცხრა ბარათი, რომელთაგან თითოეული შეიცავს რიცხვს ერთიდან ცხრამდე, ნომრები არ მეორდება. ისინი მოათავსეს ყუთში და საფუძვლიანად აურიეს. თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამის ალბათობა

• გამოვა ლუწი რიცხვი;
• ორნიშნა.

სანამ გადაწყვეტაზე გადავალთ, განვსაზღვროთ, რომ m არის წარმატებული შემთხვევების რაოდენობა, ხოლო n არის ვარიანტების საერთო რაოდენობა. იპოვეთ ალბათობა, რომ რიცხვი ლუწია. არ იქნება რთული გამოთვლა, რომ არის ოთხი ლუწი რიცხვი, ეს იქნება ჩვენი m, სულ ცხრა ვარიანტია, ანუ m = 9. მაშინ ალბათობა არის 0,44 ან 4/9.

ჩვენ განვიხილავთ მეორე შემთხვევას: ვარიანტების რაოდენობა არის ცხრა, და საერთოდ არ შეიძლება იყოს წარმატებული შედეგი, ანუ m უდრის ნულს. ალბათობა იმისა, რომ გათამაშებული ბარათი შეიცავდეს ორნიშნა რიცხვს, ასევე ნულის ტოლია.

ნიჟნი ნოვგოროდის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი

მათ. A.E. ალექსეევა

ნარკვევი ალბათობის დისციპლინის თეორიაზე

დაასრულა: Ruchina N.A gr 10MENz

შემოწმებულია: გლადკოვი ვ.ვ.

ნიჟნი ნოვგოროდი, 2011 წ

ალბათობის თეორია …………………………………………

ალბათობის თეორიის საგანი ……………………………

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები……………

შემთხვევითი მოვლენები, მოვლენების ალბათობა…………………………………………………………

ზღვრული თეორემები ………………………………………

შემთხვევითი პროცესები……………………………………

ისტორიის მინიშნება ……………………………………

გამოყენებული წიგნები……………………………………………

ალბათობის თეორია

ალბათობის თეორია -მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც საშუალებას იძლევა, ზოგიერთი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობით, აღმოაჩინოს სხვა შემთხვევითი მოვლენების ალბათობა, რომლებიც გარკვეულწილად დაკავშირებულია პირველთან.

განცხადება, რომ მოვლენა ხდება ალბათობით , ტოლია, მაგალითად, 0.75, ჯერ კიდევ არ წარმოადგენს თავისთავად საბოლოო მნიშვნელობას, რადგან ჩვენ ვისწრაფვით საიმედო ცოდნისკენ. საბოლოო შემეცნებითი ღირებულება არის ალბათობის თეორიის ის შედეგები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ რაიმე მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამძალიან ახლოს არის ერთიანობასთან ან (რაც იგივეა) მოვლენის არ მომხდარის ალბათობა მაგრამძალიან პატარა. „საკმაოდ მცირე ალბათობების უგულებელყოფის“ პრინციპის შესაბამისად, ასეთი მოვლენა სამართლიანად ითვლება პრაქტიკულად გარკვეულად. ამ ტიპის სამეცნიერო და პრაქტიკული ინტერესის დასკვნები, როგორც წესი, ემყარება იმ ვარაუდს, რომ მოვლენის დადგომა ან არდადგომა მაგრამდამოკიდებულია შემთხვევითი, ნაკლებად დაკავშირებული ფაქტორების დიდ რაოდენობაზე . აქედან გამომდინარე, ჩვენ ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ალბათობის თეორია არის მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც ხსნის შაბლონებს, რომლებიც წარმოიქმნება შემთხვევითი ფაქტორების დიდი რაოდენობით ურთიერთქმედებისას.

ალბათობის თეორიის საგანი

ალბათობის თეორიის საგანი.გარკვეული პირობების რეგულარული ურთიერთობის აღწერა სდა მოვლენა მაგრამ,რომლის დადგომა ან არ მომხდარი მოცემულ პირობებში შეიძლება ზუსტად დადგინდეს, საბუნებისმეტყველო მეცნიერება ჩვეულებრივ იყენებს შემდეგი ორი სქემიდან ერთ-ერთს:

ა) ყოველ ჯერზე პირობების დაკმაყოფილებისას სხდება მოვლენა მაგრამ.მაგალითად, კლასიკური მექანიკის ყველა კანონს აქვს ეს ფორმა, რომელიც ამბობს, რომ მოცემულ საწყის პირობებში და სხეულზე ან სხეულთა სისტემაზე მოქმედი ძალებით მოძრაობა მოხდება ცალსახად განსაზღვრული გზით.

ბ) პირობებით სღონისძიება მაგრამაქვს გარკვეული ალბათობა პ(A/S), ტოლია რ.მაგალითად, რადიოაქტიური გამოსხივების კანონებში ნათქვამია, რომ თითოეული რადიოაქტიური ნივთიერებისთვის არის გარკვეული ალბათობა იმისა, რომ ნივთიერების მოცემული რაოდენობით გარკვეული რაოდენობა დაიშლება დროის მოცემულ პერიოდში. ნატომები.

მოვლენის სიხშირე დავარქვათ მაგრამამ სერიაში ნტესტები (ე.ი. ნპირობების ხელახალი განხორციელება ს) ურთიერთობა h = m/nნომრები მტესტები, რომლებშიც მაგრამმივიდა, მათ საერთო რაოდენობამდე ნ.ღონისძიების არსებობა მაგრამპირობებში სგარკვეული ალბათობა ტოლია R,გამოიხატება იმაში, რომ ტესტების თითქმის ყველა საკმარისად ხანგრძლივ სერიაში, მოვლენის სიხშირე მაგრამდაახლოებით ტოლია რ.

სტატისტიკური კანონზომიერებები, ანუ (ბ) ტიპის სქემით აღწერილი კანონზომიერებები პირველად აღმოაჩინეს აზარტული თამაშების მაგალითზე, როგორიცაა კამათელი. დაბადებისა და გარდაცვალების სტატისტიკური კანონზომიერებებიც ძალიან დიდი ხანია ცნობილია (მაგალითად, ახალშობილის ვაჟად ყოფნის ალბათობა 0,515-ია). მე-19 საუკუნის ბოლოს და მე-20 საუკუნის I ნახევარი. აღინიშნება დიდი რაოდენობით სტატისტიკური კანონზომიერების აღმოჩენით ფიზიკაში, ქიმიაში, ბიოლოგიაში და ა.შ.

ალბათობის თეორიის მეთოდების გამოყენების შესაძლებლობა მეცნიერების ძალიან შორეულ სფეროებთან დაკავშირებული სტატისტიკური კანონზომიერებების შესასწავლად ემყარება იმ ფაქტს, რომ მოვლენების ალბათობა ყოველთვის აკმაყოფილებს გარკვეულ მარტივ ურთიერთობებს. ამ მარტივი მიმართებების საფუძველზე მოვლენათა ალბათობის თვისებების შესწავლა ალბათობის თეორიის საგანია.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები.ალბათობის თეორიის, როგორც მათემატიკური დისციპლინის ძირითადი ცნებები, ყველაზე მარტივად არის განსაზღვრული ეგრეთ წოდებული ელემენტარული ალბათობის თეორიის ფარგლებში. ყოველი ტესტი T,ალბათობის ელემენტარულ თეორიაში განხილული ისეთია, რომ მთავრდება ერთი და მხოლოდ ერთი მოვლენით ე 1 , ე 2 ,..., ე S (ერთი ან მეორე, შემთხვევის მიხედვით). ამ მოვლენებს საცდელი შედეგები ეწოდება. ყოველი შედეგით ე კაკავშირებს დადებით რიცხვს რ რომ - ამ შედეგის ალბათობა. ნომრები გვ კუნდა დაემატოს ერთს. შემდეგ განიხილება მოვლენები. მაგრამ,რომელიც შედგება იმაში, რომ „მოდის ან ე მე , ან ე ჯ ,..., ან ე კ". შედეგები ე მე , ე ჯ ,..., ე კხელსაყრელს უწოდებენ მაგრამ,და განსაზღვრებით ვივარაუდოთ ალბათობა რ(მაგრამ) ივენთი მაგრამხელსაყრელი შედეგების ალბათობების ჯამის ტოლია:

პ(ა) =გვ მე +გვ ს +… +გვ კ . (1)

განსაკუთრებული შემთხვევა გვ 1 =გვ 2 =...გვ s= 1/Sმივყავართ ფორმულამდე

რ(მაგრამ) =რ/წ.(2)

ფორმულა (2) გამოხატავს ალბათობის ეგრეთ წოდებულ კლასიკურ განმარტებას, რომლის მიხედვითაც მოვლენის ალბათობა მაგრამუდრის რიცხვის შეფარდებას რხელსაყრელი შედეგები მაგრამ,ნომერზე სყველა "თანაბრად შესაძლო" შედეგი. ალბათობის კლასიკური განმარტება მხოლოდ ამცირებს "ალბათობის" ცნებას "თანასწორობის" ცნებამდე, რომელიც რჩება მკაფიო განმარტების გარეშე.

მაგალითი. ორი კამათლის სროლისას, 36 შესაძლო შედეგიდან თითოეული შეიძლება დაინიშნოს ( მე,ჯ), სადაც მე- ქულების რაოდენობა დაეცა პირველ კვერზე, j-მეორეზე. მიჩნეულია, რომ შედეგები თანაბრად სავარაუდოა. ღონისძიება მაგრამ -"ქულების ჯამი არის 4", სამი შედეგი სასარგებლოა (1; 3), (2; 2), (3; 1). აქედან გამომდინარე, რ(ა) = 3/36= 1/12.

მოვლენების ნებისმიერი მონაცემის საფუძველზე შეიძლება განისაზღვროს ორი ახალი მოვლენა: მათი გაერთიანება (ჯამობა) და კომბინაცია (პროდუქტი).

ღონისძიება ATმოვლენათა გაერთიანებას უწოდებენ ა 1 , ა 2 ,..., ა რ ,-, თუ ასე გამოიყურება: „მოდის ან ა 1 , ან მაგრამ 2 ,..., ან ა რ ».

მოვლენა C-ს ეწოდება მოვლენათა დამთხვევა ა 1 , მაგრამ. 2 ,..., ა რ , თუ ასე გამოიყურება: „მოდის და ა 1 , და ა 2 ,..., და ა რ » . მოვლენათა ერთობლიობა აღინიშნება  ნიშნით, ხოლო კომბინაცია -  ნიშნით. ამრიგად, ისინი წერენ:

ბ = ა 1  ა 2  …  ა რ , C = ა 1  ა 2  …  ა რ .

Ივენთი მაგრამდა ATშეუთავსებელს უწოდებენ, თუ მათი ერთდროული განხორციელება შეუძლებელია, ანუ თუ არ არის ერთი ხელსაყრელი და მაგრამდა IN.

ალბათობის თეორიის ორი ძირითადი თეორემა დაკავშირებულია მოვლენათა გაერთიანებისა და გაერთიანების შემოტანილ ოპერაციებთან – ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემებთან.

ალბათობის დამატების თეორემა: თუ მოვლენები ა 1 ,ა 2 ,...,ა რარის ისეთი, რომ ყოველი ორი მათგანი შეუთავსებელია, მაშინ მათი გაერთიანების ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ჯამს.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში ორი კამათლის სროლით, მოვლენა AT -„ქულების ჯამი არ აღემატება 4-ს“, არის სამი შეუთავსებელი მოვლენის გაერთიანება ა 2 ,ა 3 ,ა 4, რომელიც შედგება იმაში, რომ ქულების ჯამი უდრის შესაბამისად 2, 3, 4. ამ მოვლენების ალბათობა არის 1/36; 2/36; 3/36. დამატების თეორემით, ალბათობა რ(AT) უდრის

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Ივენთი ა 1 ,ა 2 ,...,ა r ეწოდება დამოუკიდებელ, თუ თითოეული მათგანის პირობითი ალბათობა, იმ პირობით, რომ რომელიმე სხვა მოხდა, უდრის მის "უპირობო" ალბათობას.

ალბათობის გამრავლების თეორემა: მოვლენათა დამთხვევის ალბათობა ა 1 ,ა 2 ,...,ა r უდრის მოვლენის ალბათობას ა 1 , გამრავლებული მოვლენის ალბათობაზე ა 2 აღებულია იმ პირობით, რომ მაგრამ 1 მოხდა,..., გამრავლებული მოვლენის ალბათობაზე ა r იმ პირობით, რომ ა 1 ,ა 2 ,...,ა r-1 ჩამოვიდა. დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის, გამრავლების თეორემა მივყავართ ფორმულამდე:

პ(ა 1 ა 2 …ა რ) =პ(ა 1 )პ(ა 2 )· … · პ(ა რ), (3)

ანუ დამოუკიდებელი მოვლენების გაერთიანების ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს. ფორმულა (3) ძალაში რჩება, თუ მისი ორივე ნაწილის ზოგიერთი მოვლენა ჩანაცვლდება საპირისპიროებით.

მაგალითი. ისვრის 4 გასროლას მიზანში დარტყმის ალბათობით 0,2 ერთ გასროლაზე. სამიზნე დარტყმები სხვადასხვა გასროლისთვის ითვლება დამოუკიდებელ მოვლენად. რა არის სამიზნის ზუსტად სამჯერ დარტყმის ალბათობა?

თითოეული ტესტის შედეგი შეიძლება მიეთითოს ოთხი ასოს თანმიმდევრობით [მაგ., (y, n, n, y) ნიშნავს, რომ პირველი და მეოთხე დარტყმები მოხვდა (წარმატება), ხოლო მეორე და მესამე დარტყმა არ (ჩავარდა)]. საერთო ჯამში იქნება 2 2 2 2 = 16 შედეგი. ცალკეული დარტყმების შედეგების დამოუკიდებლობის დაშვების შესაბამისად, ამ შედეგების ალბათობის დასადგენად გამოყენებული უნდა იყოს ფორმულა (3) და მის შესახებ შენიშვნა. ასე რომ, შედეგის ალბათობა (y, n. n, n) უნდა დაინიშნოს 0.2 0.8 0.8 0.8 = 0.1024; აქ 0.8 \u003d 1-0.2 - გაშვების ალბათობა ერთი გასროლით. მოვლენა „სამიზნე სამჯერ მოხვდა“ ხელს უწყობს შედეგებს (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), თითოეულის ალბათობა იგივეა:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 =...... = 0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

ამიტომ სასურველი ალბათობა უდრის

4 0.0064 = 0.0256.

გაანალიზებული მაგალითის მსჯელობის განზოგადებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ფორმულა: თუ მოვლენები ა 1 , ა 2 ,..., ა ნდამოუკიდებლები არიან და თითოეულს აქვს თავისი ალბათობა R,მაშინ ზუსტად ალბათობა მრომლის ტოლია

პ ნ (მ)= C ნ მ გვ მ (1-გვ) ნ-მ ; (4)

აქ C ნ მაღნიშნავს კომბინაციების რაოდენობას ნელემენტების მიერ მ.დიდად ნ(4) ფორმულით გამოთვლები რთული ხდება.

ალბათობის თეორიის ელემენტარული ფორმულებიდან არის ასევე ე.წ საერთო ალბათობის ფორმულა: თუ მოვლენები ა 1 , ა 2 ,..., ა რისინი წყვილში შეუთავსებელია და მათი გაერთიანება არის გარკვეული მოვლენა, შემდეგ ნებისმიერი მოვლენისთვის ATმისი ალბათობა მათი ჯამის ტოლია.

ალბათობების გამრავლების თეორემა განსაკუთრებით სასარგებლოა რთული ტესტების განხილვისას. ისინი ამბობენ, რომ ტესტი თგანსაცდელებისგან შედგება თ 1 , თ 2 ,..., თ n-1 , თ ნ, თუ თითოეული ტესტის შედეგი თარსებობს გარკვეული შედეგების კომბინაცია ა მე , ბ ჯ ,..., X კ , ი ლდაკავშირებული ტესტები თ 1 , თ 2 ,..., თ n-1 , თ ნ. ამა თუ იმ მიზეზით, ალბათობა ხშირად ცნობილია

პ(ა მე), პ(ბ ჯ /ა მე), …,პ(ი ლ /ა მე ბ ჯ …X კ). (5)

ალბათობები (5) შეიძლება გამოყენებულ იქნას ალბათობების დასადგენად რ(ე) ყველა შედეგისთვის ეკომპოზიტური ტესტი და ამავდროულად ამ ტესტთან დაკავშირებული ყველა მოვლენის ალბათობა. პრაქტიკული თვალსაზრისით, ორი ტიპის კომპოზიტური ტესტები, როგორც ჩანს, ყველაზე მნიშვნელოვანია:

ა) ტესტის კომპონენტები დამოუკიდებელია, ანუ ალბათობა (5) უდრის უპირობო ალბათობას პ(ა მე), პ(ბ ჯ),...,პ(ი ლ);

ბ) ნებისმიერი ტესტის შედეგების ალბათობაზე გავლენას ახდენს მხოლოდ უშუალოდ წინა ტესტის შედეგები, ანუ ალბათობა (5) ტოლია, შესაბამისად: პ(ა მე), პ(ბ ჯ /ა მე),...,პ(ი მე / X კ). ამ შემთხვევაში, საუბარია მარკოვის ჯაჭვში დაკავშირებულ ტესტებზე. კომპოზიტურ ტესტთან დაკავშირებული ყველა მოვლენის ალბათობა აქ მთლიანად განისაზღვრება საწყისი ალბათობით რ(მაგრამ მე) და გარდამავალი ალბათობები პ(ბ ჯ /ა მე),...,პ(ი ლ / X კ).

ძირითადი ფორმულები ალბათობის თეორიაში

ალბათობის თეორიის ფორმულები.

1. კომბინატორიკის ძირითადი ფორმულები

ა) პერმუტაციები.

\ბ) განთავსება

გ) კომბინაციები .

2. ალბათობის კლასიკური განმარტება.

სად არის მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა, არის ყველა ელემენტარული თანაბრად შესაძლო შედეგის რაოდენობა.

3. მოვლენათა ჯამის ალბათობა

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობის დამატების თეორემა:

ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა:

4. მოვლენების წარმოქმნის ალბათობა

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემა:

დამოკიდებული მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემა:

,

მოვლენის პირობითი ალბათობა იმის გათვალისწინებით, რომ მოვლენა მოხდა,

მოვლენის პირობითი ალბათობა იმის გათვალისწინებით, რომ მოვლენა მოხდა.

კომბინატორიკა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს კითხვებს იმის შესახებ, თუ რამდენი განსხვავებული კომბინაცია, გარკვეული პირობების გათვალისწინებით, შეიძლება გაკეთდეს მოცემული ობიექტებისგან. კომბინატორიკის საფუძვლები ძალიან მნიშვნელოვანია შემთხვევითი მოვლენების ალბათობის შესაფასებლად, რადგან სწორედ ისინი იძლევიან საშუალებას გამოვთვალოთ მოვლენების განვითარების სხვადასხვა სცენარის ფუნდამენტურად შესაძლო რაოდენობა.

ძირითადი კომბინატორიკის ფორმულა

მოდით იყოს k ელემენტების ჯგუფი, ხოლო i-ე ჯგუფი შედგება ni ელემენტებისაგან. ავირჩიოთ თითო ელემენტი თითოეული ჯგუფიდან. მაშინ N=n1*n2*n3*...*nk მიმართებით განისაზღვრება გზების N საერთო რაოდენობა, რომლითაც შესაძლებელია ასეთი არჩევანის გაკეთება.

მაგალითი 1 ავხსნათ ეს წესი მარტივი მაგალითით. მოდით იყოს ელემენტების ორი ჯგუფი, პირველი ჯგუფი შედგება n1 ელემენტისგან, ხოლო მეორე ჯგუფი შედგება n2 ელემენტისგან. რამდენი განსხვავებული წყვილი ელემენტი შეიძლება შეიქმნას ამ ორი ჯგუფიდან ისე, რომ წყვილი შეიცავდეს თითო ელემენტს თითოეული ჯგუფიდან? დავუშვათ, ჩვენ ავიღეთ პირველი ელემენტი პირველი ჯგუფიდან და, მისი შეცვლის გარეშე, გავიარეთ ყველა შესაძლო წყვილი, შევცვალეთ მხოლოდ ელემენტები მეორე ჯგუფიდან. ამ ელემენტისთვის არის n2 ასეთი წყვილი. შემდეგ ვიღებთ მეორე ელემენტს პირველი ჯგუფიდან და ასევე ვქმნით მისთვის ყველა შესაძლო წყვილს. ასევე იქნება n2 ასეთი წყვილი. ვინაიდან პირველ ჯგუფში მხოლოდ n1 ელემენტია, იქნება n1 * n2 შესაძლო ვარიანტი.

მაგალითი 2. რამდენი სამნიშნა ლუწი რიცხვის დადგენა შეიძლება 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ციფრებისგან, თუ ციფრების გამეორება შესაძლებელია?

ამოხსნა: n1=6 (რადგან თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ციფრი 1, 2, 3, 4, 5, 6-დან პირველ ციფრად), n2=7 (რადგან თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ნებისმიერი ციფრი 0-დან მეორე ციფრად , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (რადგან მესამე ციფრად შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ციფრი 0, 2, 4, 6).

ასე რომ, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ჯგუფი შედგება ერთი და იგივე რაოდენობის ელემენტებისაგან, ე.ი. n1=n2=...nk=n შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ თითოეული არჩევანი შესრულებულია ერთი და იგივე ჯგუფიდან, ხოლო არჩევის შემდეგ ელემენტი კვლავ უბრუნდება ჯგუფს. მაშინ შერჩევის ყველა მეთოდის რაოდენობა უდრის nk-ს.ასეთ შერჩევის მეთოდს უწოდებენ შერჩევის დაბრუნებით.

მაგალითი. რამდენი ოთხნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 1, 5, 6, 7, 8 რიცხვებიდან?

გადაწყვეტილება. ოთხნიშნა რიცხვის თითოეულ ციფრს აქვს ხუთი შესაძლებლობა, ამიტომ N=5*5*5*5=54=625.

განვიხილოთ სიმრავლე, რომელიც შედგება n ელემენტისგან. ამ კომპლექტს ეწოდება ზოგადი პოპულაცია.

განმარტება 1. n ელემენტის განლაგება m-ით არის m სხვადასხვა ელემენტების ნებისმიერი მოწესრიგებული სიმრავლე, რომელიც არჩეულია n ელემენტის პოპულაციისგან.

მაგალითი. სამი ელემენტის განსხვავებული განლაგება (1, 2, 3) ორ-ორზე იქნება კომპლექტები (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2). განლაგება შეიძლება განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან როგორც ელემენტებით, ასევე მათი თანმიმდევრობით.

განლაგების რაოდენობა აღინიშნება A-ით, m n-დან და გამოითვლება ფორმულით:

შენიშვნა: n!=1*2*3*...*n (წაიკითხეთ: "en factorial"), გარდა ამისა, ვარაუდობენ, რომ 0!=1.

მაგალითი 5. რამდენი ორნიშნა რიცხვია, რომლებშიც ათეულების და ერთეულის ციფრი განსხვავებული და კენტია?

გამოსავალი: იმიტომ არის ხუთი კენტი ციფრი, კერძოდ 1, 3, 5, 7, 9, შემდეგ ეს პრობლემა მცირდება ხუთი განსხვავებული ციფრიდან ორის არჩევით და განთავსებით ორ განსხვავებულ პოზიციაზე, ე.ი. მოცემული ნომრები იქნება:

განმარტება 2. n ელემენტის კომბინაცია m-ით არის m განსხვავებული ელემენტების ნებისმიერი შეურიგებელი ნაკრები, რომელიც შერჩეულია n ელემენტის საერთო პოპულაციისგან.

მაგალითი 6. ნაკრებისთვის (1, 2, 3) კომბინაციებია (1, 2), (1, 3), (2, 3).

კომბინაციების რაოდენობა აღინიშნება Cnm-ით და გამოითვლება ფორმულით:

განმარტება 3. n ელემენტის პერმუტაცია არის ამ ელემენტების ნებისმიერი მოწესრიგებული ნაკრები.

მაგალითი 7a. სამი ელემენტისგან (1, 2, 3) შემდგარი სიმრავლის ყველა შესაძლო პერმუტაცია არის: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

n ელემენტის სხვადასხვა პერმუტაციების რაოდენობა აღინიშნება Pn-ით და გამოითვლება ფორმულით Pn=n!.

მაგალითი 8. რამდენი გზით შეიძლება სხვადასხვა ავტორის შვიდი წიგნის ერთ რიგში განლაგება თაროზე?

გამოსავალი: ეს პრობლემა ეხება შვიდი სხვადასხვა წიგნის პერმუტაციების რაოდენობას. არსებობს წიგნების მოწყობის P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 გზა.

დისკუსია. ჩვენ ვხედავთ, რომ შესაძლო კომბინაციების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს სხვადასხვა წესების მიხედვით (პერმუტაციები, კომბინაციები, განლაგება) და შედეგი განსხვავებული იქნება, რადგან დათვლის პრინციპი და თავად ფორმულები განსხვავებულია. დეფინიციებს ყურადღებით დავაკვირდებით, ხედავთ, რომ შედეგი ერთდროულად რამდენიმე ფაქტორზეა დამოკიდებული.

ჯერ ერთი, რამდენი ელემენტიდან შეგვიძლია გავაერთიანოთ მათი ნაკრები (რამდენად დიდია ელემენტების საერთო პოპულაცია).

მეორეც, შედეგი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა ზომის ელემენტები გვჭირდება.

და ბოლოს, მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, მნიშვნელოვანია თუ არა ჩვენთვის ნაკრებში ელემენტების თანმიმდევრობა. ავხსნათ ბოლო ფაქტორი შემდეგი მაგალითით.

მაგალითი. მშობელთა კრებაზე 20 ადამიანია. რამდენი განსხვავებული ვარიანტია მშობელთა კომიტეტის შემადგენლობისთვის, თუ მასში უნდა იყოს 5 ადამიანი?

გამოსავალი: ამ მაგალითში ჩვენ არ გვაინტერესებს კომიტეტის სიაში სახელების თანმიმდევრობა. თუ, შედეგად, ერთი და იგივე ხალხი გამოჩნდება მის შემადგენლობაში, მაშინ ჩვენთვის მნიშვნელობის თვალსაზრისით ეს იგივე ვარიანტია. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა, რომ დავთვალოთ 20 ელემენტის კომბინაციების რაოდენობა 5-ით.

ყველაფერი განსხვავებული იქნება, თუ კომიტეტის თითოეული წევრი თავდაპირველად პასუხისმგებელია სამუშაოს გარკვეულ სფეროზე. მაშინ, კომიტეტის იგივე სახელფასო სისტემით, მის შიგნით შესაძლებელია 5! პერმუტაციის ვარიანტები, რომლებიც მნიშვნელოვანია. სხვადასხვა (როგორც შემადგენლობის, ისე პასუხისმგებლობის სფეროს მიხედვით) ვარიანტების რაოდენობა ამ შემთხვევაში განისაზღვრება 20 ელემენტის განლაგების რაოდენობით 5-ით.

ალბათობის გეომეტრიული განსაზღვრება

მოდით, შემთხვევითი ტესტი მივიჩნიოთ, როგორც წერტილის შემთხვევით გადაგდება G გეომეტრიულ რეგიონში (ხაზზე, სიბრტყეზე ან სივრცეში). ელემენტარული შედეგები არის ცალკეული G წერტილები, ნებისმიერი მოვლენა არის ამ არეალის ქვესიმრავლე, ელემენტარული შედეგების სივრცე G. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ყველა წერტილი G არის „ტოლი“ და შემდეგ წერტილის გარკვეულ ქვესიმრავლეში მოხვედრის ალბათობა მისი პროპორციულია. ზომა (სიგრძე, ფართობი, მოცულობა) და მისი მდებარეობისა და ფორმისგან დამოუკიდებლად.

A მოვლენის გეომეტრიული ალბათობა განისაზღვრება მიმართებით: , სადაც m(G), m(A) არის ელემენტარული შედეგებისა და მოვლენის A მთელი სივრცის გეომეტრიული ზომები (სიგრძეები, ფართობი ან მოცულობები).

მაგალითი. რადიუსის წრე r () შემთხვევით გადაყრილია 2d სიგანის პარალელური ზოლებით გაყოფილ სიბრტყეზე, რომლის ღერძულ ხაზებს შორის მანძილი უდრის 2D-ს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ წრე კვეთს რაიმე ზოლს.

გადაწყვეტილება. როგორც ამ ტესტის ელემენტარული შედეგი, ჩვენ განვიხილავთ x მანძილს წრის ცენტრიდან წრესთან ყველაზე ახლოს მდებარე ზოლის ცენტრალურ ხაზამდე. მაშინ ელემენტარული შედეგების მთელი სივრცე არის სეგმენტი. წრის გადაკვეთა ზოლთან მოხდება, თუ მისი ცენტრი მოხვდება ზოლში, ანუ მდებარეობს ზოლის კიდიდან რადიუსზე ნაკლებ მანძილზე, ე.ი.

სასურველი ალბათობისთვის ვიღებთ: .

მოვლენების კლასიფიკაცია შესაძლო, სავარაუდო და შემთხვევით. მარტივი და რთული ელემენტარული მოვლენების ცნებები. ოპერაციები მოვლენებზე. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტება და მისი თვისებები. კომბინატორიკის ელემენტები ალბათობის თეორიაში. გეომეტრიული ალბათობა. ალბათობის თეორიის აქსიომები.

1. მოვლენათა კლასიფიკაცია

ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენის კონცეფცია. მოვლენა გაგებულია, როგორც ნებისმიერი ფაქტი, რომელიც შეიძლება მოხდეს გამოცდილების ან გამოცდის შედეგად. გამოცდილების, ანუ გამოცდის ქვეშ, გაგებულია გარკვეული პირობების განხორციელება.

ღონისძიების მაგალითები:

- მიზანში დარტყმა იარაღიდან სროლისას (გამოცდილება - გასროლის პროდუქტი; მოვლენა - მიზანში დარტყმა);

- მონეტის სამჯერ გადაყრის დროს ორი გერბის დაკარგვა (გამოცდილება - მონეტის სამჯერ გადაყრა; მოვლენა - ორი გერბის დაკარგვა);

- მიზნამდე მანძილის გაზომვისას გაზომვის შეცდომის გამოჩენა მითითებულ საზღვრებში (ექსპერიმენტი - მანძილის გაზომვა; მოვლენა - გაზომვის შეცდომა).

უთვალავი ასეთი მაგალითის მოყვანა შეიძლება. მოვლენები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით და ა.შ.

განასხვავებენ ერთობლივ და არაერთობიან მოვლენებს. მოვლენებს ერთობლივად უწოდებენ, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის გაჩენას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოვლენებს უწოდებენ შეუთავსებელს. მაგალითად, ორი კამათელი იყრება. ღონისძიება - სამი ქულის დაკარგვა პირველ კამათელზე, მოვლენა - სამი ქულის დაკარგვა მეორე კამათელზე და - ერთობლივი მოვლენები. ნება მიეცით მაღაზიას მიიღოს იმავე სტილისა და ზომის, მაგრამ განსხვავებული ფერის ფეხსაცმლის პარტია. ღონისძიება - შემთხვევით აღებული ყუთი იქნება შავი ფეხსაცმლით, ღონისძიება - ყუთი იქნება ყავისფერი ფეხსაცმლით და - შეუთავსებელი მოვლენები.

მოვლენას ეწოდება გარკვეული, თუ ის აუცილებლად მოხდება მოცემული ექსპერიმენტის პირობებში.

მოვლენა შეუძლებელია, თუ ის ვერ მოხდება მოცემული გამოცდილების პირობებში. მაგალითად, შემთხვევა, როდესაც სტანდარტული ნაწილი აღებულია სტანდარტული ნაწილების პარტიიდან, გარკვეულია, მაგრამ არასტანდარტული ნაწილი შეუძლებელია.

მოვლენას ეწოდება შესაძლებელი ან შემთხვევითი, თუ გამოცდილების შედეგად შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. შემთხვევითი მოვლენის მაგალითია პროდუქტის დეფექტების გამოვლენა მზა პროდუქციის ჯგუფის კონტროლის დროს, შეუსაბამობა დამუშავებული პროდუქტის ზომასა და მოცემულს შორის, ავტომატური კონტროლის სისტემის ერთ-ერთი რგოლის გაუმართაობა.

ამბობენ, რომ მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა, თუ ტესტის პირობებში არც ერთი ეს მოვლენა არ არის ობიექტურად უფრო სავარაუდო, ვიდრე სხვები. მაგალითად, დავუშვათ, მაღაზიას რამდენიმე მწარმოებელი აწვდის ნათურებს (და თანაბარი რაოდენობით). მოვლენები, რომლებიც შედგება რომელიმე ამ ქარხნიდან ნათურის ყიდვით, თანაბრად სავარაუდოა.

მნიშვნელოვანი კონცეფცია არის მოვლენების სრული ჯგუფი. მოცემულ ექსპერიმენტში რამდენიმე მოვლენა ქმნის სრულ ჯგუფს, თუ მათგან ერთი მაინც აუცილებლად გამოჩნდება ექსპერიმენტის შედეგად. მაგალითად, ურნაში არის ათი ბურთი, აქედან ექვსი წითელია და ოთხი თეთრი, აქედან ხუთი დანომრილია. - წითელი ბურთის გამოჩენა ერთი ნახატით, - თეთრი ბურთის გამოჩენა, - ბურთის გამოჩენა რიცხვით. ღონისძიებები ერთობლივი ღონისძიებების სრულ ჯგუფს ქმნის.

შემოვიღოთ საპირისპირო, ან დამატებითი მოვლენის ცნება. საპირისპირო მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც აუცილებლად უნდა მოხდეს, თუ რაიმე მოვლენა არ მომხდარა. საპირისპირო მოვლენები შეუთავსებელია და ერთადერთი შესაძლო. ისინი ქმნიან მოვლენების სრულ ჯგუფს. მაგალითად, თუ წარმოებული ნივთების პარტია შედგება კარგი და დეფექტური ნივთებისგან, მაშინ როდესაც ერთი ნივთი ამოღებულია, ის შეიძლება აღმოჩნდეს კარგი - მოვლენა, ან დეფექტური - მოვლენა.

2. ოპერაციები მოვლენებზე

ალბათობის თეორიაში შემთხვევითი მოვლენების შესწავლის აპარატისა და მეთოდოლოგიის შემუშავებისას ძალზე მნიშვნელოვანია მოვლენათა ჯამისა და პროდუქტის კონცეფცია.

ალბათობის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს: შემთხვევით მოვლენებს, შემთხვევით ცვლადებს, მათ თვისებებს და მათზე მოქმედებებს.

დიდი ხნის განმავლობაში, ალბათობის თეორიას არ ჰქონდა მკაფიო განმარტება. იგი ჩამოყალიბდა მხოლოდ 1929 წელს. ალბათობის თეორიის, როგორც მეცნიერების გაჩენას მიეკუთვნება შუა საუკუნეები და აზარტული თამაშების მათემატიკური ანალიზის პირველი მცდელობები (toss, dice, roulette). მე-17 საუკუნის ფრანგმა მათემატიკოსებმა ბლეზ პასკალმა და პიერ დე ფერმამ აღმოაჩინეს პირველი ალბათური ნიმუშები, რომლებიც წარმოიქმნება კამათლის სროლისას აზარტულ თამაშებში მოგების პროგნოზის შესწავლისას.

ალბათობის თეორია წარმოიშვა როგორც მეცნიერება იმ რწმენიდან, რომ გარკვეული კანონზომიერებები უდევს მასიური შემთხვევითი მოვლენების საფუძველს. ალბათობის თეორია სწავლობს ამ შაბლონებს.

ალბათობის თეორია ეხება მოვლენების შესწავლას, რომელთა წარმოშობა ზუსტად არ არის ცნობილი. ის საშუალებას გაძლევთ განსაჯოთ ზოგიერთი მოვლენის მოვლენის ალბათობის ხარისხი სხვებთან შედარებით.

მაგალითად: შეუძლებელია მონეტის თავების ან კუდების სროლის შედეგის ცალსახად დადგენა, მაგრამ განმეორებითი სროლისას დაახლოებით იგივე რაოდენობის თავები და კუდები ამოვარდება, რაც ნიშნავს, რომ თავების ან კუდების დაცემის ალბათობა ტოლია. 50%-მდე.

ტესტიამ შემთხვევაში, გარკვეული პირობების განხორციელებას ეწოდება, ანუ ამ შემთხვევაში მონეტის სროლა. გამოწვევის თამაში შეიძლება შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. ამ შემთხვევაში პირობების კომპლექსი მოიცავს შემთხვევით ფაქტორებს.

ტესტის შედეგი არის ღონისძიება. მოვლენა ხდება:

1. სანდო (ყოველთვის ხდება ტესტირების შედეგად).
2. შეუძლებელია (არასდროს ხდება).
3. შემთხვევითი (შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის შედეგად).

მაგალითად, მონეტის სროლისას შეუძლებელი მოვლენა – მონეტა კიდეზე აღმოჩნდება, შემთხვევითი მოვლენა – „თავების“ ან „კუდების“ დაკარგვა. კონკრეტული ტესტის შედეგი ე.წ ელემენტარული მოვლენა. ტესტის შედეგად ხდება მხოლოდ ელემენტარული მოვლენები. ყველა შესაძლო, განსხვავებული, კონკრეტული ტესტის შედეგის მთლიანობა ეწოდება ღონისძიების ელემენტარული სივრცე.

თეორიის ძირითადი ცნებები

ალბათობა- მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხი. როდესაც რაიმე შესაძლო მოვლენის რეალურად წარმოშობის მიზეზები აღემატება საპირისპირო მიზეზებს, მაშინ ამ მოვლენას ეწოდება სავარაუდო, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ნაკლებად სავარაუდო ან წარმოუდგენელი.

შემთხვევითი მნიშვნელობა- ეს არის მნიშვნელობა, რომელსაც ტესტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ესა თუ ის მნიშვნელობა და წინასწარ არ არის ცნობილი რომელი. მაგალითად: სახანძრო სადგურების რაოდენობა დღეში, დარტყმების რაოდენობა 10 გასროლით და ა.შ.

შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება დაიყოს ორ კატეგორიად.

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიეწოდება ისეთ რაოდენობას, რომელსაც ტესტის შედეგად შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები გარკვეული ალბათობით, ჩამოაყალიბოს თვლადი სიმრავლე (სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია). ეს ნაკრები შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, დარტყმების რაოდენობა სამიზნეზე პირველ დარტყმამდე არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, რადგან ამ მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობების უსასრულო, თუმცა თვლადი რაოდენობა.
2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადიარის სიდიდე, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეული სასრული ან უსასრულო ინტერვალიდან. ცხადია, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა.

ალბათობის სივრცე- კონცეფცია შემოიღო ა.ნ. კოლმოგოროვი 1930-იან წლებში ალბათობის ცნების ფორმალიზებაზე, რამაც დასაბამი მისცა ალბათობის თეორიის, როგორც მკაცრი მათემატიკური დისციპლინის სწრაფ განვითარებას.

ალბათობის სივრცე არის სამმაგი (ზოგჯერ ჩასმულია კუთხის ფრჩხილებში: , სადაც

ეს არის თვითნებური ნაკრები, რომლის ელემენტებს ეწოდება ელემენტარული მოვლენები, შედეგები ან წერტილები;
- ქვესიმრავლეების სიგმა-ალგებრა, რომელსაც ეწოდება (შემთხვევითი) მოვლენები;
- ალბათობის საზომი ან ალბათობა, ე.ი. სიგმა-დანამატის სასრული ზომა ისეთი, რომ .

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა- ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი შემზღუდველი თეორემა, რომელიც დაარსდა ლაპლასის მიერ 1812 წელს. იგი აცხადებს, რომ წარმატებების რაოდენობა ერთი და იგივე შემთხვევითი ექსპერიმენტის გამეორებისას ორი შესაძლო შედეგით არის დაახლოებით ნორმალურად განაწილებული. ეს საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

თუ ყოველი დამოუკიდებელი ცდისთვის რაიმე შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის () და არის ცდების რაოდენობა, რომლებშიც ის რეალურად ხდება, მაშინ უთანასწორობის მართებულობის ალბათობა ახლოა (დიდისთვის) ლაპლასის ინტეგრალის მნიშვნელობამდე.

განაწილების ფუნქცია ალბათობის თეორიაში- შემთხვევითი ცვლადის ან შემთხვევითი ვექტორის განაწილების დამახასიათებელი ფუნქცია; ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს x-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას, სადაც x არის თვითნებური რეალური რიცხვი. გარკვეულ პირობებში, ის მთლიანად განსაზღვრავს შემთხვევით ცვლადს.

Მოსალოდნელი ღირებულება- შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა (ეს არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება, განხილული ალბათობის თეორიაში). ინგლისურ ლიტერატურაში იგი აღინიშნება, რუსულად -. სტატისტიკაში, აღნიშვნა ხშირად გამოიყენება.

მიეცით ალბათობის სივრცე და მასზე განსაზღვრული შემთხვევითი ცვლადი. ეს არის, განსაზღვრებით, გაზომვადი ფუნქცია. მაშინ, თუ არსებობს სივრცის ლებესგის ინტეგრალი, მაშინ მას ეწოდება მათემატიკური მოლოდინი, ან საშუალო მნიშვნელობა და აღინიშნება .

შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია- მოცემული შემთხვევითი ცვლადის გავრცელების საზომი, ანუ მისი გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან. მითითებულია რუსულ და უცხოურ ლიტერატურაში. სტატისტიკაში აღნიშვნა ან ხშირად გამოიყენება. დისპერსიის კვადრატულ ფესვს ეწოდება სტანდარტული გადახრა, სტანდარტული გადახრა ან სტანდარტული გავრცელება.

მოდით იყოს შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განსაზღვრულია რაიმე ალბათობის სივრცეში. მერე

სადაც სიმბოლო აღნიშნავს მათემატიკურ მოლოდინს.

ალბათობის თეორიაში ორ შემთხვევით მოვლენას უწოდებენ დამოუკიდებელითუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. ანალოგიურად, ორი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება დამოკიდებულითუ ერთი მათგანის ღირებულება გავლენას ახდენს მეორის მნიშვნელობების ალბათობაზე.

დიდი რიცხვების კანონის უმარტივესი ფორმაა ბერნულის თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ თუ მოვლენის ალბათობა ყველა ცდაში ერთი და იგივეა, მაშინ როცა ცდათა რაოდენობა იზრდება, მოვლენის სიხშირე მიდრეკილია მოვლენის ალბათობაზე და წყვეტს შემთხვევითობას.

დიდი რიცხვების კანონი ალბათობის თეორიაში ამბობს, რომ ფიქსირებული განაწილებიდან სასრული ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული მიახლოებაა ამ განაწილების თეორიულ საშუალოსთან. კონვერგენციის ტიპებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ დიდი რიცხვების სუსტ კანონს, როდესაც ხდება ალბათობის კონვერგენცია და დიდი რიცხვების ძლიერ კანონს, როდესაც კონვერგენცია თითქმის აუცილებლად ხდება.

დიდი რიცხვების კანონის ზოგადი მნიშვნელობა იმაში მდგომარეობს, რომ დიდი რაოდენობით იდენტური და დამოუკიდებელი შემთხვევითი ფაქტორების ერთობლივი მოქმედება იწვევს შედეგს, რომელიც ლიმიტში არ არის დამოკიდებული შემთხვევითობაზე.

სასრული ნიმუშის ანალიზზე დაფუძნებული ალბათობის შეფასების მეთოდები ეფუძნება ამ თვისებას. კარგი მაგალითია არჩევნების შედეგების პროგნოზირება ამომრჩეველთა შერჩევის საფუძველზე.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემები- თეორემების კლასი ალბათობის თეორიაში, სადაც ნათქვამია, რომ საკმარისად დიდი რაოდენობის სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ცვლადების ჯამს, რომლებსაც აქვთ დაახლოებით იგივე მასშტაბი (არცერთი ტერმინი არ დომინირებს, გადამწყვეტი წვლილი არ აქვს ჯამში) აქვს განაწილება ახლოს. ნორმალური.

ვინაიდან აპლიკაციებში მრავალი შემთხვევითი ცვლადი ყალიბდება რამდენიმე სუსტად დამოკიდებული შემთხვევითი ფაქტორის გავლენის ქვეშ, მათი განაწილება ნორმალურად ითვლება. ამ შემთხვევაში უნდა იყოს დაცული პირობა, რომ არცერთი ფაქტორი არ არის დომინანტი. ცენტრალური ლიმიტის თეორემები ამ შემთხვევებში ამართლებს ნორმალური განაწილების გამოყენებას.

"შემთხვევა არ არის შემთხვევითი"... ჟღერს, როგორც ფილოსოფოსმა თქვა, მაგრამ სინამდვილეში, უბედური შემთხვევების შესწავლა მათემატიკის დიდი მეცნიერების ხვედრია. მათემატიკაში შანსი არის ალბათობის თეორია. სტატიაში წარმოდგენილი იქნება ამოცანების ფორმულები და მაგალითები, ასევე ამ მეცნიერების ძირითადი განმარტებები.

რა არის ალბათობის თეორია?

ალბათობის თეორია არის ერთ-ერთი მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს შემთხვევით მოვლენებს.

ცოტა უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, მოვიყვანოთ პატარა მაგალითი: თუ მონეტას ზევით გადააგდებთ, მას შეიძლება თავები ან კუდები დაეცეს. სანამ მონეტა ჰაერშია, ეს ორივე შესაძლებლობა შესაძლებელია. ანუ, შესაძლო შედეგების ალბათობა კორელაციაშია 1:1. თუ ერთი გათამაშებულია გემბანიდან 36 კარტით, მაშინ ალბათობა იქნება მითითებული 1:36. როგორც ჩანს, არაფერია გამოსაკვლევი და პროგნოზირება, განსაკუთრებით მათემატიკური ფორმულების დახმარებით. მიუხედავად ამისა, თუ ბევრჯერ გაიმეორებთ გარკვეულ მოქმედებას, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ გარკვეული ნიმუში და, მის საფუძველზე, იწინასწარმეტყველოთ მოვლენების შედეგი სხვა პირობებში.

ყოველივე ზემოთქმულის შეჯამებისთვის, ალბათობის თეორია კლასიკური გაგებით სწავლობს ერთ-ერთი შესაძლო მოვლენის დადგომის შესაძლებლობას რიცხვითი გაგებით.

ისტორიის ფურცლებიდან

ალბათობის თეორია, ფორმულები და პირველი ამოცანების მაგალითები გაჩნდა შორეულ შუა საუკუნეებში, როდესაც პირველად გაჩნდა კარტის თამაშების შედეგის პროგნოზირების მცდელობები.

თავდაპირველად, ალბათობის თეორიას საერთო არაფერი ჰქონდა მათემატიკასთან. ის გამართლებული იყო ემპირიული ფაქტებით ან მოვლენის თვისებებით, რომელთა რეპროდუცირებაც შესაძლებელი იყო პრაქტიკაში. პირველი სამუშაოები ამ სფეროში, როგორც მათემატიკური დისციპლინა, მე-17 საუკუნეში გამოჩნდა. დამფუძნებლები იყვნენ ბლეზ პასკალი და პიერ ფერმა. დიდი ხნის განმავლობაში ისინი სწავლობდნენ აზარტულ თამაშებს და ნახეს გარკვეული ნიმუშები, რის შესახებაც გადაწყვიტეს ეთქვათ საზოგადოებას.

იგივე ტექნიკა გამოიგონა კრისტიან ჰაიგენსმა, თუმცა ის არ იცნობდა პასკალისა და ფერმას კვლევის შედეგებს. „ალბათობის თეორიის“ ცნება, ფორმულები და მაგალითები, რომლებიც პირველად ითვლება დისციპლინის ისტორიაში, სწორედ მის მიერ იქნა შემოღებული.

არცთუ მცირე მნიშვნელობა აქვს იაკობ ბერნულის შრომებს, ლაპლასის და პუასონის თეორემებს. მათ ალბათობის თეორია მათემატიკურ დისციპლინას დაემსგავსა. ალბათობის თეორიამ, ფორმულებმა და ძირითადი ამოცანების მაგალითებმა დღევანდელი ფორმა მიიღო კოლმოგოროვის აქსიომების წყალობით. ყველა ცვლილების შედეგად, ალბათობის თეორია ერთ-ერთ მათემატიკურ დარგად იქცა.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები. Ივენთი

ამ დისციპლინის მთავარი კონცეფციაა „მოვლენა“. ღონისძიებები სამი ტიპისაა:

• სანდო.რაც მაინც მოხდება (მონეტა დაეცემა).
• შეუძლებელია.მოვლენები, რომლებიც არ მოხდება არცერთ სცენარში (მონეტა ჰაერში დაკიდებული დარჩება).
• შემთხვევითი.ისინი, რომლებიც მოხდება ან არ მოხდება. მათზე შეიძლება გავლენა იქონიოს სხვადასხვა ფაქტორმა, რომელთა პროგნოზირება ძალიან რთულია. თუ ვსაუბრობთ მონეტაზე, მაშინ შემთხვევითი ფაქტორები, რომლებმაც შეიძლება გავლენა მოახდინონ შედეგზე: მონეტის ფიზიკური მახასიათებლები, მისი ფორმა, მისი საწყისი პოზიცია, სროლის ძალა და ა.შ.

მაგალითებში ყველა მოვლენა აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით, გარდა R-ისა, რომელსაც განსხვავებული როლი აქვს. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტები მოვიდნენ ლექციაზე."
• Ā = "სტუდენტები არ მოვიდნენ ლექციაზე".

პრაქტიკულ ამოცანებში მოვლენები ჩვეულებრივ სიტყვებით იწერება.

მოვლენების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია მათი თანაბარი შესაძლებლობა. ანუ, თუ მონეტას გადააგდებთ, თავდაპირველი დაცემის ყველა ვარიანტი შესაძლებელია მის დაცემამდე. მაგრამ მოვლენები ასევე არ არის თანაბრად სავარაუდო. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ვინმე განზრახ ახდენს გავლენას შედეგზე. მაგალითად, „მონიშნული“ სათამაშო კარტები ან კამათელი, რომლებშიც გადატანილია სიმძიმის ცენტრი.

მოვლენები ასევე თავსებადი და შეუთავსებელია. თავსებადი მოვლენები არ გამორიცხავს ერთმანეთის გაჩენას. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."
• B = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."

ეს მოვლენები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია და ერთი მათგანის გამოჩენა არ ახდენს გავლენას მეორის გარეგნობაზე. შეუთავსებელი მოვლენები განისაზღვრება იმით, რომ ერთის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომას. თუ ერთსა და იმავე მონეტაზე ვსაუბრობთ, მაშინ „კუდების“ დაკარგვა შეუძლებელს ხდის იმავე ექსპერიმენტში „თავების“ გამოჩენას.

მოქმედებები მოვლენებზე

მოვლენების გამრავლება და დამატება შესაძლებელია, შესაბამისად, დისციპლინაში შემოტანილია ლოგიკური კავშირები „AND“ და „OR“.

თანხა განისაზღვრება იმით, რომ ან მოვლენა A, ან B, ან ორივე შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. იმ შემთხვევაში, როდესაც ისინი შეუთავსებელია, ბოლო ვარიანტი შეუძლებელია, ან A ან B გამოვა.

მოვლენების გამრავლება შედგება A და B-ის ერთდროულად გამოჩენაში.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მოიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი, რათა უკეთ დაიმახსოვროთ საფუძვლები, ალბათობის თეორია და ფორმულები. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები ქვემოთ.

სავარჯიშო 1: ფირმა აცხადებს კონტრაქტებს სამი სახის სამუშაოზე. შესაძლო მოვლენები, რომლებიც შეიძლება მოხდეს:

• A = "ფირმა მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• A 1 = "ფირმა არ მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• B = "ფირმა მიიღებს მეორე კონტრაქტს."
• B 1 = "ფირმა არ მიიღებს მეორე კონტრაქტს"
• C = "ფირმა მიიღებს მესამე კონტრაქტს."
• C 1 = "ფირმა არ მიიღებს მესამე კონტრაქტს."

შევეცადოთ გამოვხატოთ შემდეგი სიტუაციები მოვლენებზე მოქმედებების გამოყენებით:

• K = "ფირმა მიიღებს ყველა კონტრაქტს."

მათემატიკური ფორმით, განტოლება ასე გამოიყურება: K = ABC.

• M = "ფირმა არ მიიღებს არც ერთ კონტრაქტს."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

ჩვენ ვართულებთ დავალებას: H = "ფირმა მიიღებს ერთ კონტრაქტს." ვინაიდან არ არის ცნობილი, რომელ კონტრაქტს მიიღებს ფირმა (პირველი, მეორე თუ მესამე), აუცილებელია ჩაწეროთ შესაძლო მოვლენების მთელი დიაპაზონი:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

და 1 BC 1 არის მოვლენების სერია, სადაც ფირმა არ იღებს პირველ და მესამე კონტრაქტს, მაგრამ იღებს მეორეს. სხვა შესაძლო მოვლენები ასევე აღირიცხება შესაბამისი მეთოდით. სიმბოლო υ დისციპლინაში აღნიშნავს "OR"-ის წყებას. თუ ზემოხსენებულ მაგალითს ადამიანურ ენაზე გადავთარგმნით, მაშინ კომპანია მიიღებს ან მესამე კონტრაქტს, ან მეორეს, ან პირველს. ანალოგიურად, შეგიძლიათ დაწეროთ სხვა პირობები დისციპლინაში "ალბათობის თეორია". ზემოთ წარმოდგენილი პრობლემების გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში.

სინამდვილეში, ალბათობა

შესაძლოა, ამ მათემატიკური დისციპლინაში მოვლენის ალბათობა ცენტრალური ცნებაა. არსებობს ალბათობის 3 განმარტება:

• კლასიკური;
• სტატისტიკური;
• გეომეტრიული.

თითოეულს თავისი ადგილი აქვს ალბათობების შესწავლაში. ალბათობის თეორია, ფორმულები და მაგალითები (მე-9 კლასი) ძირითადად იყენებს კლასიკურ განმარტებას, რომელიც ასე ჟღერს:

• A სიტუაციის ალბათობა უდრის მის დადგომას ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან.

ფორმულა ასე გამოიყურება: P (A) \u003d m / n.

და, ფაქტობრივად, მოვლენა. თუ A-ს საპირისპირო ადგილი აქვს, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც Ā ან A 1 .

m არის შესაძლო ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა.

n - ყველა მოვლენა, რაც შეიძლება მოხდეს.

მაგალითად, A \u003d "ამოიღეთ გულის სარჩელის ბარათი". სტანდარტულ გემბანში არის 36 კარტი, მათგან 9 არის გულის. შესაბამისად, პრობლემის გადაჭრის ფორმულა ასე გამოიყურება:

P(A)=9/36=0.25.

შედეგად, ალბათობა იმისა, რომ გულზე მორგებული კარტი დაიტანოს გემბანიდან იქნება 0,25.

უმაღლესი მათემატიკისკენ

ახლა ცოტა ცნობილი გახდა, რა არის ალბათობის თეორია, ფორმულები და ამოცანების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც გვხვდება სკოლის სასწავლო გეგმაში. თუმცა ალბათობის თეორია უმაღლეს მათემატიკაშიც გვხვდება, რომელსაც უნივერსიტეტებში ასწავლიან. ყველაზე ხშირად ისინი მოქმედებენ თეორიის გეომეტრიული და სტატისტიკური განმარტებებით და რთული ფორმულებით.

ძალიან საინტერესოა ალბათობის თეორია. ფორმულები და მაგალითები (უმაღლესი მათემატიკა) ჯობია სწავლა პატარადან დავიწყოთ - ალბათობის სტატისტიკური (ან სიხშირის) განსაზღვრებიდან.

სტატისტიკური მიდგომა არ ეწინააღმდეგება კლასიკურ მიდგომას, მაგრამ ოდნავ აფართოებს მას. თუ პირველ შემთხვევაში საჭირო იყო იმის დადგენა, თუ რა ხარისხის ალბათობით მოხდებოდა მოვლენა, მაშინ ამ მეთოდით აუცილებელია მიუთითოთ რამდენად ხშირად მოხდება ეს. აქ შემოტანილია „ფარდობითი სიხშირის“ ახალი კონცეფცია, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ W n-ით (A). ფორმულა არ განსხვავდება კლასიკურისგან:

თუ კლასიკური ფორმულა გამოითვლება პროგნოზირებისთვის, მაშინ სტატისტიკური გამოითვლება ექსპერიმენტის შედეგების მიხედვით. მიიღეთ, მაგალითად, პატარა დავალება.

ტექნოლოგიური კონტროლის დეპარტამენტი ამოწმებს პროდუქციის ხარისხს. 100 პროდუქტს შორის 3 უხარისხო აღმოჩნდა. როგორ მოვძებნოთ ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირის ალბათობა?

A = "ხარისხიანი პროდუქტის გამოჩენა."

W n (A)=97/100=0.97

ამრიგად, ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირე არის 0,97. საიდან მოიტანე 97? შემოწმებული 100 პროდუქტიდან 3 უხარისხო აღმოჩნდა. 100-ს ვაკლებთ 3-ს, ვიღებთ 97-ს, ეს არის ხარისხიანი პროდუქტის რაოდენობა.

ცოტა კომბინატორიკის შესახებ

ალბათობის თეორიის სხვა მეთოდს კომბინატორიკა ეწოდება. მისი ძირითადი პრინციპია, რომ თუ გარკვეული არჩევანი A შეიძლება გაკეთდეს m სხვადასხვა გზით, და არჩევანი B n სხვადასხვა გზით, მაშინ A და B არჩევანი შეიძლება გაკეთდეს გამრავლებით.

მაგალითად, არის 5 გზა A ქალაქიდან B ქალაქამდე. B ქალაქიდან C-მდე 4 მარშრუტია. რამდენი გზა არსებობს A ქალაქიდან C ქალაქამდე მისასვლელად?

ეს მარტივია: 5x4 = 20, ანუ, არსებობს ოცი განსხვავებული გზა A წერტილიდან C წერტილამდე მისასვლელად.

დავალება გავართულოთ. რამდენი გზა არსებობს ბანქოს სათამაშოდ სოლიტერში? 36 კარტის დასტაში ეს არის საწყისი წერტილი. გზების რაოდენობის გასარკვევად, თქვენ უნდა "გამოაკლოთ" ერთი ბარათი საწყისი წერტილიდან და გაამრავლოთ.

ანუ, 36x35x34x33x32…x2x1= შედეგი არ ჯდება კალკულატორის ეკრანზე, ამიტომ ის შეიძლება უბრალოდ აღინიშნოს როგორც 36!. Ნიშანი "!" რიცხვის გვერდით მიუთითებს, რომ რიცხვების მთელი სერია ერთმანეთში მრავლდება.

კომბინატორიკაში არსებობს ისეთი ცნებები, როგორიცაა პერმუტაცია, განლაგება და კომბინაცია. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი ფორმულა.

კომპლექტის ელემენტების მოწესრიგებულ კომპლექტს ეწოდება განლაგება. განთავსება შეიძლება განმეორდეს, რაც ნიშნავს, რომ ერთი ელემენტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას რამდენჯერმე. და გამეორების გარეშე, როდესაც ელემენტები არ მეორდება. n არის ყველა ელემენტი, m არის ელემენტები, რომლებიც მონაწილეობენ განლაგებაში. განმეორების გარეშე განთავსების ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/(n-m)!

n ელემენტის კავშირებს, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ განლაგების თანმიმდევრობით, ეწოდება პერმუტაციები. მათემატიკაში ეს ასე გამოიყურება: P n = n!

n ელემენტის ერთობლიობა m-ით არის ისეთი ნაერთები, რომლებშიც მნიშვნელოვანია, რომელი ელემენტები იყვნენ და რამდენია მათი საერთო რაოდენობა. ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/m!(n-m)!

ბერნულის ფორმულა

ალბათობის თეორიაში, ისევე როგორც ყველა დისციპლინაში, არის თავიანთი დარგის გამოჩენილი მკვლევარების ნაშრომები, რომლებმაც ის ახალ დონეზე აიწიეს. ერთ-ერთი ასეთი ნამუშევარია ბერნულის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ გარკვეული მოვლენის დამოუკიდებელ პირობებში დადგომის ალბათობა. ეს გვაფიქრებინებს, რომ A-ს გამოჩენა ექსპერიმენტში არ არის დამოკიდებული წინა ან შემდგომ ტესტებში ერთი და იგივე მოვლენის გამოჩენაზე ან არ მომხდარზე.

ბერნულის განტოლება:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

მოვლენის (A) დადგომის ალბათობა (p) უცვლელია ყოველი საცდელისთვის. ალბათობა იმისა, რომ სიტუაცია მოხდება ზუსტად m-ჯერ n რაოდენობის ექსპერიმენტში გამოითვლება ზემოთ წარმოდგენილი ფორმულით. შესაბამისად, ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა გაირკვეს რიცხვი q.

თუ მოვლენა A ხდება p რამდენჯერმე, შესაბამისად, ის შეიძლება არ მოხდეს. ერთეული არის რიცხვი, რომელიც გამოიყენება დისციპლინის სიტუაციის ყველა შედეგის დასადგენად. აქედან გამომდინარე, q არის რიცხვი, რომელიც მიუთითებს მოვლენის არ მომხდარის შესაძლებლობაზე.

ახლა თქვენ იცით ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განხილული იქნება პრობლემის გადაჭრის მაგალითები (პირველი დონე).

დავალება 2:მაღაზიის სტუმარი შესყიდვას განახორციელებს 0,2 ალბათობით. მაღაზიაში დამოუკიდებლად 6 ვიზიტორი შემოვიდა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ვიზიტორი განახორციელებს შეძენას?

გამოსავალი: ვინაიდან არ არის ცნობილი რამდენმა ვიზიტორმა უნდა გააკეთოს შესყიდვა, ერთი ან ექვსივე, აუცილებელია ყველა შესაძლო ალბათობის გამოთვლა ბერნულის ფორმულის გამოყენებით.

A = "ვიზიტორი გააკეთებს შეძენას."

ამ შემთხვევაში: p = 0.2 (როგორც მითითებულია ამოცანაში). შესაბამისად, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (რადგან მაღაზიაში 6 მომხმარებელია). რიცხვი m შეიცვლება 0-დან (არც ერთი მომხმარებელი არ შეიძენს) 6-მდე (მაღაზიის ყველა სტუმარი შეიძენს რაღაცას). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ გამოსავალს:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

არცერთი მყიდველი არ გააკეთებს შესყიდვას 0,2621 ალბათობით.

სხვაგვარად როგორ გამოიყენება ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია)? პრობლემის გადაჭრის მაგალითები (მეორე დონე) ქვემოთ.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითის შემდეგ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ სად წავიდნენ C და p. p-ის მიმართ, რიცხვი 0-ის ხარისხზე იქნება ერთის ტოლი. რაც შეეხება C-ს, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

C n m = n! /მ!(ნ-მ)!

ვინაიდან პირველ მაგალითში m = 0, შესაბამისად, C=1, რაც პრინციპში გავლენას არ ახდენს შედეგზე. ახალი ფორმულის გამოყენებით, შევეცადოთ გავარკვიოთ, რა არის ორი ვიზიტორის მიერ საქონლის შეძენის ალბათობა.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

ალბათობის თეორია არც ისე რთულია. ამის პირდაპირი დასტურია ბერნულის ფორმულა, რომლის მაგალითებიც ზემოთ არის წარმოდგენილი.

პუასონის ფორმულა

პუასონის განტოლება გამოიყენება საეჭვო შემთხვევითი სიტუაციების გამოსათვლელად.

ძირითადი ფორმულა:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

ამ შემთხვევაში, λ = n x p. აი ასეთი მარტივი პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განხილული იქნება პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

დავალება 3პასუხი: ქარხანა აწარმოებდა 100000 ნაწილს. დეფექტური ნაწილის გამოჩენა = 0.0001. რა არის იმის ალბათობა, რომ პარტიაში იქნება 5 დეფექტური ნაწილი?

როგორც ხედავთ, ქორწინება ნაკლებად სავარაუდო მოვლენაა და ამიტომ გამოსათვლელად გამოიყენება პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრის მაგალითები არაფრით განსხვავდება დისციპლინის სხვა ამოცანებისაგან, ჩვენ ვანაცვლებთ საჭირო მონაცემებს ზემოთ მოცემულ ფორმულაში:

A = "შემთხვევით შერჩეული ნაწილი იქნება დეფექტური."

p = 0,0001 (დავალების პირობის მიხედვით).

n = 100000 (ნაწილების რაოდენობა).

მ = 5 (დეფექტური ნაწილები). ჩვენ ვცვლით მონაცემებს ფორმულაში და ვიღებთ:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

ისევე, როგორც ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია), ამონახსნების მაგალითები, რომელთა გამოყენებით ზემოთ არის დაწერილი, პუასონის განტოლებას აქვს უცნობი ე. არსებითად, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

თუმცა, არსებობს სპეციალური ცხრილები, რომლებიც შეიცავს ე.-ის თითქმის ყველა მნიშვნელობას.

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა

თუ ბერნულის სქემაში ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია და A მოვლენის დადგომის ალბათობა ყველა სქემაში ერთნაირია, მაშინ A მოვლენის დადგომის ალბათობა ცდების სერიაში გარკვეული რაოდენობის ჯერ შეიძლება მოიძებნოს ლაპლასის ფორმულა:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

ლაპლასის ფორმულის უკეთ დასამახსოვრებლად (ალბათობის თეორია), ქვემოთ მოცემული ამოცანების მაგალითები.

ჯერ ვპოულობთ X m-ს, ვანაცვლებთ მონაცემებს (ყველა ზემოთ მითითებულია) ფორმულაში და ვიღებთ 0.025. ცხრილების გამოყენებით ვპოულობთ რიცხვს ϕ (0.025), რომლის ღირებულებაა 0.3988. ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ყველა მონაცემი ფორმულაში:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

ასე რომ, ალბათობა იმისა, რომ ფლაერი ზუსტად 267-ჯერ მოხვდება არის 0,03.

ბეიზის ფორმულა

ბეიზის ფორმულა (ალბათობის თეორია), ამოცანების ამოხსნის მაგალითები, რომელთა გამოყენებით ქვემოთ იქნება მოცემული, არის განტოლება, რომელიც აღწერს მოვლენის ალბათობას იმ გარემოებების მიხედვით, რომლებიც შეიძლება დაკავშირებული იყოს მასთან. ძირითადი ფორმულა ასეთია:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A და B არის გარკვეული მოვლენები.

P(A|B) - პირობითი ალბათობა, ანუ მოვლენა A შეიძლება მოხდეს, იმ პირობით, რომ მოვლენა B არის ჭეშმარიტი.

Р (В|А) - მოვლენის პირობითი ალბათობა В.

ასე რომ, მოკლე კურსის "ალბათობის თეორიის" დასკვნითი ნაწილი არის ბეისის ფორმულა, რომლის ამოხსნის მაგალითები მოცემულია ქვემოთ.

დავალება 5: საწყობში სამი კომპანიის ტელეფონები შემოიტანეს. ამავდროულად, ტელეფონების ნაწილი, რომელიც პირველ ქარხანაში იწარმოება 25%-ია, მეორეში - 60%, მესამეზე - 15%. ასევე ცნობილია, რომ პირველ ქარხანაში დეფექტური პროდუქციის საშუალო პროცენტი 2%-ია, მეორეში - 4%, ხოლო მესამეში - 1%. აუცილებელია იპოვოთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული ტელეფონი იყოს დეფექტური.

A = "შემთხვევით აღებული ტელეფონი."

B 1 - ტელეფონი, რომელიც პირველმა ქარხანამ გააკეთა. შესაბამისად, გამოჩნდება შესავალი B 2 და B 3 (მეორე და მესამე ქარხნებისთვის).

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - ასე ვიპოვეთ თითოეული ვარიანტის ალბათობა.

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ სასურველი მოვლენის პირობითი ალბათობა, ანუ ფირმებში დეფექტური პროდუქტების ალბათობა:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

ახლა ჩვენ ვანაცვლებთ მონაცემებს ბეიზის ფორმულაში და ვიღებთ:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

სტატიაში წარმოდგენილია ალბათობის თეორია, ფორმულები და პრობლემის გადაჭრის მაგალითები, მაგრამ ეს მხოლოდ აისბერგის წვერია უზარმაზარი დისციპლინისა. და ყოველივე ამის შემდეგ, რაც დაიწერა, ლოგიკური იქნება დავსვათ კითხვა, საჭიროა თუ არა ცხოვრებაში ალბათობის თეორია. უბრალო ადამიანს უჭირს პასუხის გაცემა, ჯობია ჰკითხო მას, ვინც მისი დახმარებით არაერთხელ მოხვდა ჯეკპოტი.

შესავალი

ბევრი რამ ჩვენთვის გაუგებარია და არა იმიტომ, რომ ჩვენი ცნებები სუსტია;
არამედ იმიტომ, რომ ეს საგნები არ შედის ჩვენი ცნებების წრეში.
კოზმა პრუტკოვი

საშუალო სპეციალიზებულ საგანმანათლებლო დაწესებულებებში მათემატიკის შესწავლის მთავარი მიზანია მიეცეს სტუდენტებს მათემატიკური ცოდნისა და უნარების კომპლექტი, რომელიც აუცილებელია სხვა პროგრამული დისციპლინების შესასწავლად, რომლებიც იყენებენ მათემატიკას ამა თუ იმ ხარისხით, პრაქტიკული გამოთვლების შესრულების, ფორმირებისა და განვითარებისთვის. ლოგიკური აზროვნების.

ამ ნაშრომში მოცემულია მათემატიკის განყოფილების „ალბათობის თეორიის საფუძვლები და მათემატიკური სტატისტიკა“ ყველა ძირითადი ცნება, რომელიც გათვალისწინებულია პროგრამით და საშუალო პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტებით (რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტრო. მ., 2002 წ. ), თანმიმდევრულად არის შემოტანილი, ჩამოყალიბებულია ძირითადი თეორემები, რომელთა უმეტესობა არ არის დადასტურებული. განხილულია მათი გადაჭრის ძირითადი ამოცანები და მეთოდები და ამ მეთოდების გამოყენების ტექნოლოგიები პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად. პრეზენტაციას ახლავს დეტალური კომენტარები და უამრავი მაგალითი.

მეთოდური ინსტრუქციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას შესწავლილი მასალის თავდაპირველი გაცნობისთვის, ლექციების ჩანაწერების აღებისას, პრაქტიკული სავარჯიშოებისთვის მოსამზადებლად, შეძენილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების კონსოლიდაციისთვის. გარდა ამისა, სახელმძღვანელო სასარგებლო იქნება ბაკალავრიატის სტუდენტებისთვის, როგორც საცნობარო ინსტრუმენტი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად აღადგინოთ მეხსიერებაში, რაც ადრე იყო შესწავლილი.

სამუშაოს დასასრულს მოცემულია მაგალითები და დავალებები, რომელთა შესრულებაც მოსწავლეებს შეუძლიათ თვითკონტროლის რეჟიმში.

მეთოდური ინსტრუქციები განკუთვნილია კორესპონდენციისა და სრულ განაკვეთზე განათლების ფორმების სტუდენტებისთვის.

ᲫᲘᲠᲘᲗᲐᲓᲘ ᲪᲜᲔᲑᲔᲑᲘ

ალბათობის თეორია სწავლობს მასობრივი შემთხვევითი მოვლენების ობიექტურ კანონზომიერებებს. იგი წარმოადგენს მათემატიკური სტატისტიკის თეორიულ საფუძველს, რომელიც ეხება დაკვირვების შედეგების შეგროვების, აღწერისა და დამუშავების მეთოდების შემუშავებას. დაკვირვებით (ტესტი, ექსპერიმენტი), ე.ი. გამოცდილება სიტყვის ფართო გაგებით, არსებობს რეალური სამყაროს ფენომენების ცოდნა.

ჩვენს პრაქტიკულ საქმიანობაში ხშირად ვაწყდებით ფენომენებს, რომელთა შედეგის წინასწარმეტყველება შეუძლებელია, რომლის შედეგიც შემთხვევითობაზეა დამოკიდებული.

შემთხვევითი ფენომენი შეიძლება ხასიათდებოდეს მისი შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობით ცდების რაოდენობასთან, რომელთაგან თითოეულში, ყველა ცდის ერთსა და იმავე პირობებში, შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს.

ალბათობის თეორია მათემატიკის დარგია, რომელშიც შემთხვევითი ფენომენების (მოვლენების) შესწავლა და მათი მასობრივი განმეორების დროს კანონზომიერებების გამოვლენა ხდება.

მათემატიკური სტატისტიკა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც აქვს საგანი სტატისტიკური მონაცემების შეგროვების, სისტემატიზაციის, დამუშავებისა და გამოყენების მეთოდების შესწავლა მეცნიერულად დასაბუთებული დასკვნების მისაღებად და გადაწყვეტილებების მისაღებად.

ამავდროულად, სტატისტიკური მონაცემები გაგებულია, როგორც რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც წარმოადგენს ჩვენთვის საინტერესო შესწავლილი ობიექტების მახასიათებლების რაოდენობრივ მახასიათებლებს. სტატისტიკური მონაცემები მიიღება სპეციალურად შემუშავებული ექსპერიმენტებისა და დაკვირვებების შედეგად.

სტატისტიკური მონაცემები თავისი არსით მრავალ შემთხვევით ფაქტორზეა დამოკიდებული, ამიტომ მათემატიკური სტატისტიკა მჭიდრო კავშირშია ალბათობის თეორიასთან, რაც მის თეორიულ საფუძველს წარმოადგენს.

I. ალბათობა. შეკრების და ალბათობის გამრავლების თეორემები

1.1. კომბინატორიკის ძირითადი ცნებები

მათემატიკის განყოფილებაში, რომელსაც კომბინატორიკა ჰქვია, მოგვარებულია გარკვეული პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია სიმრავლეების განხილვასთან და ამ სიმრავლეების ელემენტების სხვადასხვა კომბინაციების შედგენასთან. მაგალითად, თუ ავიღებთ 10 სხვადასხვა რიცხვს 0, 1, 2, 3,:, 9 და გავაკეთებთ მათ კომბინაციებს, მივიღებთ სხვადასხვა რიცხვებს, მაგალითად 143, 431, 5671, 1207, 43 და ა.შ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ კომბინაციებიდან ზოგიერთი განსხვავდება მხოლოდ ციფრების თანმიმდევრობით (მაგალითად, 143 და 431), სხვები მათში შეტანილი რიცხვებით (მაგალითად, 5671 და 1207), ზოგი კი ასევე განსხვავდება ციფრების რაოდენობით ( მაგალითად, 143 და 43).

ამრიგად, მიღებული კომბინაციები აკმაყოფილებს სხვადასხვა პირობებს.

შედგენის წესებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოიყოს სამი ტიპის კომბინაცია: პერმუტაციები, განლაგება, კომბინაციები.

ჯერ გავეცნოთ კონცეფციას ფაქტორული.

1-დან n-მდე ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლი ეწოდება n-ფაქტორული და დაწერე.

გამოთვალეთ: ა) ; ბ) ; in).

გადაწყვეტილება. ა) .

ბ) ასევე , მაშინ შეგიძლიათ ამოიღოთ იგი ფრჩხილებიდან

შემდეგ მივიღებთ

in) .

პერმუტაციები.

n ელემენტის კომბინაციას, რომელიც განსხვავდება ერთმანეთისგან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით, ეწოდება პერმუტაცია.

პერმუტაციები აღინიშნება სიმბოლოთი P n , სადაც n არის ელემენტების რაოდენობა თითოეულ პერმუტაციაში. ( რ- ფრანგული სიტყვის პირველი ასო პერმუტაცია- პერმუტაცია).

პერმუტაციების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

ან ფაქტორებით:

გავიხსენოთ ეს 0!=1 და 1!=1.

მაგალითი 2. რამდენი გზით შეიძლება ექვსი სხვადასხვა წიგნის განლაგება ერთ თაროზე?

გადაწყვეტილება. გზების სასურველი რაოდენობა უდრის 6 ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობას, ე.ი.

საცხოვრებლები.

ადგილებიდან მელემენტები ნთითოეულში ისეთ ნაერთებს უწოდებენ, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ან თავად ელემენტებით (მინიმუმ ერთი), ან მდებარეობის თანმიმდევრობით.

მდებარეობები აღინიშნება სიმბოლოთი, სადაც მარის ყველა ხელმისაწვდომი ელემენტის რაოდენობა, ნარის ელემენტების რაოდენობა თითოეულ კომბინაციაში. ( მაგრამ -ფრანგული სიტყვის პირველი ასო მოწყობა, რაც ნიშნავს „განთავსებას, მოწესრიგებას“).

ამავე დროს, ვარაუდობენ, რომ ნმ.

განლაგების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

,

იმათ. დან ყველა შესაძლო განთავსების რაოდენობა მელემენტების მიერ ნუდრის პროდუქტს ნთანმიმდევრული მთელი რიცხვები, რომელთაგან უფრო დიდია მ.

ჩვენ ვწერთ ამ ფორმულას ფაქტორული ფორმით:

მაგალითი 3. სამი ვაუჩერის სხვადასხვა პროფილის სანატორიუმში დარიგების რამდენი ვარიანტი შეიძლება გაკეთდეს ხუთი განმცხადებლისთვის?

გადაწყვეტილება. ვარიანტების სასურველი რაოდენობა უდრის 5 ელემენტის განლაგების რაოდენობას 3 ელემენტით, ე.ი.

.

კომბინაციები.

კომბინაციები არის ყველა შესაძლო კომბინაცია მელემენტების მიერ ნ, რომლებიც განსხვავდებიან ერთმანეთისგან სულ მცირე ერთი ელემენტით (აქ მდა n-ნატურალური რიცხვები და ნმ).

კომბინაციების რაოდენობა დან მელემენტების მიერ ნაღინიშნება ( თან- ფრანგული სიტყვის პირველი ასო კომბინაცია- კომბინაცია).

ზოგადად, რაოდენობა მელემენტების მიერ ნუდრის განლაგების რაოდენობას მელემენტების მიერ ნიყოფა პერმუტაციების რაოდენობაზე ნელემენტები:

განლაგებისა და პერმუტაციის რიცხვების ფაქტორული ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ:

მაგალითი 4. 25 კაციან გუნდში, თქვენ უნდა გამოყოთ ოთხი სამუშაო კონკრეტულ ტერიტორიაზე. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

გადაწყვეტილება. ვინაიდან არჩეული ოთხი ადამიანის ბრძანებას მნიშვნელობა არ აქვს, ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით.

ჩვენ ვპოულობთ პირველი ფორმულით

.

გარდა ამისა, პრობლემების გადაჭრისას გამოიყენება შემდეგი ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს კომბინაციების ძირითად თვისებებს:

(განმარტებით და ვარაუდობენ);

.

1.2. კომბინაციური ამოცანების ამოხსნა

ამოცანა 1. ფაკულტეტზე ისწავლება 16 საგანი. ორშაბათს განრიგში უნდა ჩაწეროთ 3 საგანი. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

გადაწყვეტილება. 16-დან სამი ელემენტის დაგეგმვის იმდენი გზა არსებობს, რამდენიც 3 ელემენტის 16 განთავსებაა.

დავალება 2. 15 ობიექტიდან უნდა შეირჩეს 10 ობიექტი. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

დავალება 3. შეჯიბრში ოთხი გუნდი მონაწილეობდა. რამდენი ვარიანტია მათ შორის ადგილების განაწილებისთვის?

.

ამოცანა 4. რამდენი გზით შეიძლება ჩამოყალიბდეს სამი ჯარისკაცი და ერთი ოფიცერი პატრული, თუ არის 80 ჯარისკაცი და 3 ოფიცერი?

გადაწყვეტილება. პატრულში მყოფი ჯარისკაცის არჩევა შესაძლებელია

გზები და ოფიცრების გზები. ვინაიდან ნებისმიერ ოფიცერს შეუძლია ჯარისკაცების თითოეულ გუნდთან ერთად წასვლა, არსებობს მხოლოდ გზები.

ამოცანა 5. იპოვეთ თუ ცნობილია, რომ .

მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიღებთ

,

,

კომბინაციის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ , . რომ. .

1.3. შემთხვევითი მოვლენის კონცეფცია. ღონისძიების ტიპები. მოვლენის ალბათობა

ნებისმიერ მოქმედებას, ფენომენს, დაკვირვებას რამდენიმე განსხვავებული შედეგით, რომელიც განხორციელდება მოცემულ პირობებში, ე.წ. ტესტი.

ამ მოქმედების ან დაკვირვების შედეგს ე.წ ღონისძიება .

თუ მოვლენა მოცემულ პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, მაშინ მას უწოდებენ შემთხვევითი . იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა აუცილებლად უნდა მოხდეს, მას უწოდებენ საიმედო და იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს ნამდვილად არ შეიძლება მოხდეს, - შეუძლებელია.

მოვლენებს ე.წ შეუთავსებელი თუ მხოლოდ ერთი მათგანი შეიძლება გამოჩნდეს ყოველ ჯერზე.

მოვლენებს ე.წ ერთობლივი თუ მოცემულ პირობებში, ამ მოვლენებიდან ერთის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის დადგომას იმავე ტესტში.

მოვლენებს ე.წ საწინააღმდეგო თუ ტესტის პირობებში ისინი, როგორც მისი ერთადერთი შედეგი, შეუთავსებელია.

მოვლენები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით: Ა Ბ Გ Დ, : .

მოვლენათა სრული სისტემა A 1 , A 2 , A 3 , : , A n არის შეუთავსებელი მოვლენების ერთობლიობა, რომელთაგან მინიმუმ ერთის დადგომა სავალდებულოა მოცემული ტესტისთვის.

თუ სრული სისტემა შედგება ორი შეუთავსებელი მოვლენისგან, მაშინ ასეთ მოვლენებს საპირისპირო ეწოდება და აღინიშნება A და .

მაგალითი. ყუთში არის 30 დანომრილი ბურთი. დაადგინეთ შემდეგი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი, გარკვეული, საპირისპირო:

მიიღო დანომრილი ბურთი (მაგრამ);

დახაზეთ ლუწი დანომრილი ბურთი (AT);

დახატეს ბურთი კენტი რიცხვით (WITH);

მიიღო ბურთი ნომრის გარეშე (დ).

რომელი მათგანი ქმნის სრულ ჯგუფს?

გადაწყვეტილება . მაგრამ- გარკვეული მოვლენა; დ- შეუძლებელი მოვლენა;

In და თან- საპირისპირო მოვლენები.

მოვლენების სრული ჯგუფი არის მაგრამდა დ, ვდა თან.

მოვლენის ალბათობა განიხილება, როგორც შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ობიექტური შესაძლებლობის საზომი.

1.4. ალბათობის კლასიკური განმარტება

რიცხვი, რომელიც არის მოვლენის მოვლენის ობიექტური შესაძლებლობის საზომის გამოხატულება, ე.წ ალბათობა ეს მოვლენა და აღინიშნება სიმბოლოთი P(A).

განმარტება. მოვლენის ალბათობა მაგრამარის m შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელიც ხელს უწყობს მოცემული მოვლენის დადგომას მაგრამ, ნომერზე ნყველა შედეგი (შეუთავსებელი, უნიკალური და თანაბრად შესაძლებელი), ე.ი. .

მაშასადამე, მოვლენის ალბათობის დასადგენად, აუცილებელია, ტესტის სხვადასხვა შედეგების გათვალისწინების შემდეგ, გამოვთვალოთ ყველა შესაძლო შეუთავსებელი შედეგი. n,შეარჩიეთ შედეგების რაოდენობა, რომელიც გვაინტერესებს m და გამოთვალეთ თანაფარდობა მრომ ნ.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

ნებისმიერი ცდის ალბათობა არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც არ აღემატება ერთს.

მართლაც, სასურველი მოვლენების m რიცხვი დევს . ორივე ნაწილად დაყოფა ნ, ვიღებთ

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია, რადგან .

3. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, რადგან .

პრობლემა 1. ლატარიაში 1000 ბილეთიდან 200 გამარჯვებულია. ერთი ბილეთი გათამაშებულია შემთხვევით. რა არის ამ ბილეთის მოგების ალბათობა?

გადაწყვეტილება. სხვადასხვა შედეგების საერთო რაოდენობა არის ნ=1000. გამარჯვების სასარგებლო შედეგების რაოდენობაა m=200. ფორმულის მიხედვით ვიღებთ

.

დავალება 2. პარტიაში 18 ნაწილისგან შედგება 4 დეფექტური. 5 ცალი არჩეულია შემთხვევით. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამ 5 ნაწილიდან ორი დეფექტურია.

გადაწყვეტილება. ყველა თანაბრად შესაძლო დამოუკიდებელი შედეგის რაოდენობა ნუდრის კომბინაციების რაოდენობას 18-დან 5-მდე ე.ი.

გამოვთვალოთ m რიცხვი, რომელიც ხელს უწყობს A მოვლენას. შემთხვევით შერჩეულ 5 ნაწილს შორის უნდა იყოს 3 მაღალი ხარისხის და 2 დეფექტური. ორი დეფექტური ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა 4 ხელმისაწვდომი დეფექტური ნაწილიდან უდრის კომბინაციების რაოდენობას 4-დან 2-მდე:

14 ხელმისაწვდომი ხარისხის ნაწილიდან სამი ხარისხის ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა უდრის

.

ხარისხის ნაწილების ნებისმიერი ჯგუფი შეიძლება გაერთიანდეს დეფექტური ნაწილების ნებისმიერ ჯგუფთან, ამიტომ კომბინაციების საერთო რაოდენობა მარის

A მოვლენის სასურველი ალბათობა უდრის m შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას, რომელიც ხელს უწყობს ამ მოვლენას ყველა თანაბრად შესაძლო დამოუკიდებელი შედეგის n რიცხვთან:

.

სასრული რაოდენობის მოვლენათა ჯამი არის მოვლენა, რომელიც შედგება მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომაში.

ორი მოვლენის ჯამი აღინიშნება A + B სიმბოლოთი და ჯამით ნმოვლენების სიმბოლო A 1 +A 2 + : +A n.

ალბათობათა შეკრების თეორემა.

ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.

დასკვნა 1. თუ მოვლენა А 1 , А 2 , : , А n ქმნიან სრულ სისტემას, მაშინ ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს.

დასკვნა 2. საპირისპირო მოვლენების ალბათობათა ჯამი და უდრის ერთი.

.

პრობლემა 1. არის 100 ლატარიის ბილეთი. ცნობილია, რომ 5 ბილეთი მოგებას იღებს 20,000 რუბლი, 10 - 15,000 რუბლი, 15 - 10,000 რუბლი, 25 - 2,000 რუბლი. და დანარჩენისთვის არაფერი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შეძენილი ბილეთი მოიგებს მინიმუმ 10000 რუბლს.

გადაწყვეტილება. მოდით A, B და C იყოს მოვლენები, რომლებიც შედგება იმაში, რომ 20,000, 15,000 და 10,000 რუბლის ტოლი პრიზი მოდის შეძენილ ბილეთზე. ვინაიდან მოვლენები A, B და C შეუთავსებელია, მაშინ

დავალება 2. ტექნიკუმის კორესპონდენციის განყოფილება ქალაქებიდან იღებს ტესტებს მათემატიკაში A, Bდა თან. ქალაქიდან საკონტროლო სამუშაოების მიღების ალბათობა მაგრამ 0,6-ის ტოლი, ქალაქიდან AT- 0.1. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემდეგი საკონტროლო სამუშაო ქალაქიდან მოვა თან.