ფუნქციის გრაფიკი (2.33) ნაჩვენებია 2.5-ზე. სიჩქარე,მაქსველის მრუდის მაქსიმუმის შესაბამისი ეწოდებაუფრო მეტად სავარაუდოა in. მისი დადგენა შესაძლებელია ფუნქციის მაქსიმალური პირობის გამოყენებით:

ან

მოლეკულის საშუალო სიჩქარე (მათემატიკური მოლოდინი) შეიძლება ვიპოვოთ ზოგადი წესით [იხ. (2.20)]. ვინაიდან სიჩქარის საშუალო მნიშვნელობა განისაზღვრება, ინტეგრაციის ლიმიტები აღებულია 0-დან -მდე (მათემატიკური დეტალები გამოტოვებულია):

სადაც M=t 0 ნ A არის გაზის მოლური მასა, რ = კ ნა არის უნივერსალური გაზის მუდმივი, ნ A არის ავოგადროს ნომერი.

ტემპერატურის მატებასთან ერთად, მაქსველის მრუდის მაქსიმუმი გადადის უფრო მაღალი სიჩქარისა და მოლეკულების განაწილებისკენ.  მოდიფიცირებულია (ნახ. 2.6; თ 1 < Т 2 ). მაქსველის განაწილება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მოლეკულების რაოდენობა, რომელთა სიჩქარე დევს გარკვეულ ინტერვალში . ვიღებთ შესაბამის ფორმულას.

ვინაიდან მთლიანი რაოდენობა ნგაზში მოლეკულები ჩვეულებრივ დიდია, მაშინ ალბათობა d პშეიძლება გამოისახოს d რიცხვის თანაფარდობით ნმოლეკულები, რომელთა სიჩქარე შეიცავს გარკვეულ ინტერვალს დ , მთლიან რაოდენობამდე ნმოლეკულები:

(2.34) და (2.37)-დან გამომდინარეობს, რომ

ფორმულა (2.38) საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მოლეკულების რაოდენობა, რომელთა სიჩქარე მდგომარეობს i-დან i> 2-მდე დიაპაზონში. ამისათვის ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ (2.38):

ან გრაფიკულად გამოთვალეთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი დაწყებული  1 ადრე  2 (ნახ. 2.7).

თუ სიჩქარის ინტერვალი დ საკმარისად მცირეა, მაშინ მოლეკულების რაოდენობა, რომელთა სიჩქარეც შეესაბამება ამ ინტერვალს, შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით ფორმულის გამოყენებით (2.38) ან გრაფიკულად, როგორც მართკუთხედის ფართობი ფუძით. დ .

კითხვაზე რამდენ მოლეკულას აქვს სიჩქარე, რომელიც უდრის რომელიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას, უცნაური, ერთი შეხედვით, პასუხი შემდეგია: თუ სიჩქარე აბსოლუტურად ზუსტად არის მოცემული, მაშინ სიჩქარის ინტერვალი არის ნული. (დ = 0) და (2.38)-დან ვიღებთ ნულს, ანუ არც ერთ მოლეკულას არ აქვს ზუსტად წინასწარ განსაზღვრულის ტოლი სიჩქარე. ეს შეესაბამება ალბათობის თეორიის ერთ-ერთ დებულებას: უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, რომელიც არის სიჩქარე, შეუძლებელია ზუსტად მისი მნიშვნელობის „გამოცნობა“, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი მოლეკულა გაზში.

მოლეკულების სიჩქარის განაწილება დადასტურებულია სხვადასხვა ექსპერიმენტებით.

მაქსველის განაწილება შეიძლება ჩაითვალოს მოლეკულების განაწილებად არა მხოლოდ სიჩქარის, არამედ კინეტიკური ენერგიების თვალსაზრისითაც (რადგან ეს ცნებები ურთიერთდაკავშირებულია).

ბოლცმანის განაწილება.თუ მოლეკულები არიან რაიმე გარე ძალის ველში, მაგალითად, დედამიწის გრავიტაციულ ველში, მაშინ შესაძლებელია მათი პოტენციური ენერგიების განაწილების პოვნა, ანუ ნაწილაკების კონცენტრაციის დადგენა, რომლებსაც აქვთ პოტენციური ენერგიის გარკვეული სპეციფიკური მნიშვნელობა.

ნაწილაკების განაწილება პოტენციურ ენერგიებზე siსათევზაო მინდვრები-გრავიტაციული, ელექტრო და ა.შ.-ბოლცმანის განაწილებას უწოდებენ.

როგორც მიმართა გრავიტაციულ ველს, ეს განაწილება შეიძლება დაიწეროს როგორც კონცენტრაციის დამოკიდებულება პმოლეკულები სიმაღლიდან თ მიწის დონიდან ზემოთ ან მოლეკულის პოტენციური ენერგიისგან მგჰ:

გამოხატულება (2.40) მოქმედებს იდეალური აირის ნაწილაკებისთვის. გრაფიკულად, ეს ექსპონენციალური დამოკიდებულება ნაჩვენებია ნახ. 2.8.

მოლეკულების ასეთი განაწილება დედამიწის გრავიტაციულ ველში თვისობრივად შეიძლება აიხსნას მოლეკულურ-კინეტიკური ცნებების ფარგლებში, იმით, რომ მოლეკულებზე გავლენას ახდენს ორი საპირისპირო ფაქტორი: გრავიტაციული ველი, რომლის გავლენითაც ყველა მოლეკულა იზიდავს. დედამიწა და მოლეკულურ-ქაოტური მოძრაობა, რომელიც მიდრეკილია ერთნაირად გაფანტოს მოლეკულები მაქსიმალურად.

დასასრულს, სასარგებლოა აღვნიშნოთ გარკვეული მსგავსება ექსპონენციალურ ტერმინებს შორის მაქსველისა და ბოლცმანის განაწილებაში:

პირველ განაწილებაში, ექსპონენტში, მოლეკულის კინეტიკური ენერგიის შეფარდება კტ, მეორეში - პოტენციური ენერგიის თანაფარდობა კტ.

მაქსველისა და ბოლცმანის განაწილებები. გადაცემის ფენომენები

ლექციის გეგმა:

მაქსველის კანონი მოლეკულების სიჩქარეებზე განაწილების შესახებ. მოლეკულების დამახასიათებელი სიჩქარეები.

ბოლცმანის განაწილება.

მოლეკულების საშუალო თავისუფალი გზა.

გადაცემის ფენომენი:

ა) დიფუზია;

ბ) შიდა ხახუნი (სიბლანტე);

გ) თბოგამტარობა.

მაქსველის კანონი მოლეკულების სიჩქარეებზე განაწილების შესახებ. მოლეკულების დამახასიათებელი სიჩქარეები.

გაზის მოლეკულები მოძრაობენ შემთხვევით და, შეჯახების შედეგად, მათი სიჩქარე იცვლება სიდიდისა და მიმართულების მიხედვით გაზში არის მოლეკულები როგორც ძალიან მაღალი, ასევე ძალიან დაბალი სიჩქარით. შეიძლება დაისვას საკითხი მოლეკულების რაოდენობის შესახებ, რომელთა სიჩქარე მდგომარეობს თერმოდინამიკური წონასწორობის მდგომარეობაში მყოფი აირის დიაპაზონში და გარე ძალის ველების არარსებობის შემთხვევაში. ამ შემთხვევაში, მოლეკულების გარკვეული სტაციონარული სიჩქარის განაწილება არ იცვლება დროთა განმავლობაში, რაც ემორჩილება მაქსველის თეორიულად გამოყვანილ სტატისტიკურ კანონს.

რაც მეტია N მოლეკულების საერთო რაოდენობა, მით მეტია მოლეკულების რაოდენობა N-ს ექნება სიჩქარე დიაპაზონში და; რაც უფრო დიდია სიჩქარის ინტერვალი , მით მეტი იქნება მოლეკულების რაოდენობას სიჩქარის მნიშვნელობა მითითებულ ინტერვალში.

შემოგვაქვს პროპორციულობის კოეფიციენტი ვ( .

, 

სადაც f( ეწოდება განაწილების ფუნქციას, რომელიც დამოკიდებულია მოლეკულების სიჩქარეზე და ახასიათებს მოლეკულების განაწილებას სიჩქარეზე.

თუ ფუნქციის ფორმა ცნობილია, შეგიძლიათ იპოვოთ მოლეკულების რაოდენობა, რომელთა სიჩქარე მდგომარეობს მდე ინტერვალში.

ალბათობის თეორიის მეთოდებისა და სტატისტიკის კანონების გამოყენებით, მაქსველმა 1860 წ. თეორიულად მიღებული ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს მოლეკულების რაოდენობას სიჩქარით დიაპაზონში.

, (2)

- მაქსველის განაწილება გვიჩვენებს მოცემული გაზის მოლეკულების მთლიანი რაოდენობის რა პროპორციას აქვს სიჩქარეები დიაპაზონში.

 და  განტოლებიდან გამომდინარეობს  ფუნქციის ფორმა

- (3)

იდეალური აირის მოლეკულების სიჩქარის განაწილების ფუნქცია.

(3)-დან ჩანს, რომ ფუნქციის სპეციფიკური ფორმა დამოკიდებულია აირის ტიპზე (მოლეკულის მასაზე მ 0 ) და ტემპერატურა.

ყველაზე ხშირად, მოლეკულების სიჩქარით განაწილების კანონი იწერება ფორმით:

ფუნქციის გრაფიკი ასიმეტრიულია (ნახ. 1). მაქსიმუმის პოზიცია ახასიათებს ყველაზე ხშირად წარმოქმნილ სიჩქარეს, რომელსაც ყველაზე სავარაუდოს უწოდებენ. სიჩქარეები აღემატება  in, უფრო ხშირია ვიდრე დაბალი სიჩქარე.

არის ამ ინტერვალში სიჩქარის მქონე მოლეკულების საერთო რაოდენობის წილადი.

ს სულ = 1.

ტემპერატურის მატებასთან ერთად, განაწილების მაქსიმუმი გადადის უფრო მაღალი სიჩქარისკენ და მრუდი უფრო ბრტყელი ხდება, მაგრამ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი არ იცვლება, რადგან ს სულ = 1 .

ყველაზე სავარაუდო სიჩქარე არის ის, რომელსაც მიახლოებულია მოცემული გაზის მოლეკულების უმეტესობის სიჩქარე.

მის დასადგენად, ჩვენ მაქსიმალურად ვიკვლევთ.

4,

ადრე აჩვენეს, რომ

, ,

 .

MKT-ში ასევე გამოიყენება იდეალური აირის მოლეკულების გადამყვანი მოძრაობის საშუალო არითმეტიკული სიჩქარის კონცეფცია.

- უდრის ყველა მოლეკულის სიჩქარის მოდულების ჯამის შეფარდებას

მოლეკულების რაოდენობა.

.

შედარებიდან (ნახ. 2) ჩანს, რომ უმცირესი არის  in .

ბოლცმანის განაწილება.

ორი ფაქტორი - მოლეკულების თერმული მოძრაობა და დედამიწის გრავიტაციული ველის არსებობა გაზს მოაქვს ისეთ მდგომარეობაში, როცა მისი კონცენტრაცია და წნევა მცირდება სიმაღლესთან ერთად.

ატმოსფერული ჰაერის მოლეკულების თერმული მოძრაობა რომ არ არსებობდეს, მაშინ ყველა მათგანი კონცენტრირებული იქნებოდა დედამიწის ზედაპირზე. გრავიტაცია რომ არ არსებობდეს, მაშინ ატმოსფეროს ნაწილაკები მთელ სამყაროში იქნებოდა მიმოფანტული. ვიპოვოთ წნევის ცვლილების კანონი სიმაღლესთან.

გაზის სვეტის წნევა განისაზღვრება ფორმულით.

ვინაიდან წნევა მცირდება სიმაღლის მატებასთან ერთად,

სადაც  გაზის სიმკვრივე სიმაღლეზე თ.

მოდი ვიპოვოთ გვმენდელეევ-კლაპეირონის განტოლებიდან

ან.

მოდით, გამოვთვალოთ იზოთერმული ატმოსფერო, ამის ვარაუდით T=კონსტ(სიმაღლეზე არ არის დამოკიდებული).

.

ზე h=0 , , ,

, , ,

ბარომეტრიული ფორმულა განსაზღვრავს გაზის წნევას ნებისმიერ სიმაღლეზე.

ჩვენ ვიღებთ გამოხატულებას მოლეკულების კონცენტრაციისთვის ნებისმიერ სიმაღლეზე.

სად არის მოლეკულის პოტენციური ენერგია სიმაღლეზე თ.

ბოლცმანის განაწილება გარე პოტენციურ ველში.

შესაბამისად, მოლეკულების განაწილება სიმაღლეში არის მათი განაწილება ენერგიაში. ბოლცმანმა დაამტკიცა, რომ ეს განაწილება მოქმედებს არა მხოლოდ ხმელეთის გრავიტაციული ძალების პოტენციური ველის შემთხვევაში, არამედ ძალების ნებისმიერ პოტენციურ ველში ნებისმიერი იდენტური ნაწილაკების შეგროვებისთვის ქაოტური თერმული მოძრაობის მდგომარეობაში.

ბოლცმანის განაწილებიდან გამომდინარეობს, რომ მოლეკულები განლაგებულია უფრო მაღალი კონცენტრაციით, სადაც მათი პოტენციური ენერგია დაბალია.

ბოლცმანის განაწილება - ნაწილაკების განაწილება პოტენციური ძალის ველში.

მოლეკულების საშუალო თავისუფალი გზა.

ქაოტური თერმული მოძრაობის გამო აირის მოლეკულები განუწყვეტლივ ეჯახებიან ერთმანეთს, გადიან რთულ ზიგზაგის გზას. 2 შეჯახებას შორის მოლეკულები ერთნაირად მოძრაობენ სწორი ხაზით.

მ მინიმალურ მანძილს, რომლითაც 2 მოლეკულის ცენტრები ერთმანეთს უახლოვდება შეჯახების დროს, მოლეკულის ეფექტური დიამეტრი ეწოდება. დ(ნახ. 4).

რაოდენობას ეწოდება მოლეკულის ეფექტური განივი მონაკვეთი.

მოდით ვიპოვოთ ერთგვაროვანი გაზის მოლეკულის შეჯახების საშუალო რაოდენობა დროის ერთეულზე. შეჯახება მოხდება, თუ მოლეკულების ცენტრები უახლოვდება მანძილს ნაკლები ან ტოლი დ. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მოლეკულა მოძრაობს სიჩქარით, ხოლო დანარჩენი მოლეკულები მოსვენებულ მდგომარეობაშია. შემდეგ შეჯახების რაოდენობა განისაზღვრება იმ მოლეკულების რაოდენობით, რომელთა ცენტრები განლაგებულია მოცულობაში, რომელიც არის ცილინდრი ფუძით და სიმაღლით, რომელიც ტოლია მოლეკულის მიერ 1s-ში გავლილი გზის, ე.ი. .

AT სინამდვილეში, ყველა მოლეკულა მოძრაობს და 2 მოლეკულის შეჯახების შესაძლებლობა განსაზღვრავს მათ შედარებით სიჩქარეს. შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ თუ მაქსველის განაწილება მიღებულია მოლეკულების სიჩქარისთვის, .

.

გაზების უმეტესობისთვის ნორმალურ პირობებში

.

საშუალო თავისუფალი გზაარის მოლეკულის მიერ გავლილი საშუალო მანძილი ორ თანმიმდევრულ შეჯახებას შორის. ის უდრის განვლილი დროის თანაფარდობას  ტგზა ამ დროის განმავლობაში შეჯახებების რაოდენობამდე.

მაქსველისა და ბოლცმანის განაწილებები. გადაცემის ფენომენები

ლექციის გეგმა:

1. მაქსველის კანონი მოლეკულების სიჩქარეებზე განაწილების შესახებ. მოლეკულების დამახასიათებელი სიჩქარეები.

2. ბოლცმანის განაწილება.

3. მოლეკულების საშუალო თავისუფალი გზა.

4. გადაცემის ფენომენები:

ა) დიფუზია;

ბ) შიდა ხახუნი (სიბლანტე);

გ) თბოგამტარობა.

1. მაქსველის კანონი მოლეკულების სიჩქარეებზე განაწილების შესახებ. მოლეკულების დამახასიათებელი სიჩქარეები.

გაზის მოლეკულები მოძრაობენ შემთხვევით და შეჯახების შედეგად მათი სიჩქარე იცვლება სიდიდისა და მიმართულების მიხედვით; გაზში არის მოლეკულები ძალიან მაღალი და ძალიან დაბალი სიჩქარით. შეიძლება დაისვას საკითხი მოლეკულების რაოდენობის შესახებ, რომელთა სიჩქარე მდგომარეობს თერმოდინამიკური წონასწორობის მდგომარეობაში მყოფი აირის დიაპაზონში და გარე ძალის ველების არარსებობის შემთხვევაში. ამ შემთხვევაში, მოლეკულების გარკვეული სტაციონარული სიჩქარის განაწილება არ იცვლება დროთა განმავლობაში, რაც ემორჩილება მაქსველის თეორიულად გამოყვანილ სტატისტიკურ კანონს.

რაც მეტია N მოლეკულების საერთო რაოდენობა, მით მეტია მოლეკულების რაოდენობა DN-ს ექნება სიჩქარე o ინტერვალში და რაც უფრო დიდია სიჩქარის ინტერვალი , მით მეტი იქნება მოლეკულების რაოდენობას სიჩქარე მითითებულ ინტერვალში.

შემოგვაქვს პროპორციულობის კოეფიციენტი f(u).

, (1)

სადაც f(u) ეწოდება განაწილების ფუნქციას, რომელიც დამოკიდებულია მოლეკულების სიჩქარეზე და ახასიათებს მოლეკულების განაწილებას სიჩქარეზე.

თუ ფუნქციის ფორმა ცნობილია, შეგიძლიათ იპოვოთ მოლეკულების რაოდენობა, რომელთა სიჩქარე მდგომარეობს მდე ინტერვალში.

ალბათობის თეორიის მეთოდებისა და სტატისტიკის კანონების გამოყენებით, მაქსველმა 1860 წ. თეორიულად მიღებული ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს მოლეკულების რაოდენობას სიჩქარით დიაპაზონში.

, (2)

- მაქსველის განაწილება გვიჩვენებს მოცემული გაზის მოლეკულების მთლიანი რაოდენობის რა პროპორციას აქვს სიჩქარეები დიაპაზონში.

განტოლებები (1) და (2) გულისხმობს ფუნქციის ფორმას:

- (3)

იდეალური აირის მოლეკულების სიჩქარის განაწილების ფუნქცია.

(3)-დან ჩანს, რომ ფუნქციის სპეციფიკური ფორმა დამოკიდებულია აირის ტიპზე (მოლეკულის მასაზე m0) და ტემპერატურა.

ყველაზე ხშირად მოლეკულების განაწილების კანონის მიხედვით სიჩქარეები იწერება როგორც:

ფუნქციის გრაფიკი ასიმეტრიულია (ნახ. 1). მაქსიმუმის პოზიცია ახასიათებს ყველაზე ხშირად წარმოქმნილ სიჩქარეს, რომელსაც ყველაზე სავარაუდოს უწოდებენ. სიჩქარეები აღემატება შენ შედი, უფრო ხშირია ვიდრე დაბალი სიჩქარე.

არის ამ ინტერვალში სიჩქარის მქონე მოლეკულების საერთო რაოდენობის წილადი.

S სულ = 1.

ტემპერატურის მატებასთან ერთად, განაწილების მაქსიმუმი გადადის უფრო მაღალი სიჩქარისკენ და მრუდი უფრო ბრტყელი ხდება, მაგრამ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი არ იცვლება, რადგან S სულ = 1.

ყველაზე სავარაუდო სიჩქარე არის ის, რომელსაც მიახლოებულია მოცემული გაზის მოლეკულების უმეტესობის სიჩქარე.

მის დასადგენად, ჩვენ მაქსიმალურად ვიკვლევთ.

4 ,

, .

ადრე აჩვენეს, რომ

, ,

=> .

MKT-ში ასევე გამოიყენება იდეალური აირის მოლეკულების გადამყვანი მოძრაობის საშუალო არითმეტიკული სიჩქარის კონცეფცია.

- უდრის ყველა მოლეკულის სიჩქარის მოდულების ჯამის შეფარდებას

მოლეკულების რაოდენობა.

.

შედარებიდან (ნახ. 2) ჩანს, რომ უმცირესი არის შენ შედი.

2. ბოლცმანის განაწილება.

ორი ფაქტორი - მოლეკულების თერმული მოძრაობა და დედამიწის გრავიტაციული ველის არსებობა გაზს მოაქვს ისეთ მდგომარეობაში, როცა მისი კონცენტრაცია და წნევა მცირდება სიმაღლესთან ერთად.

ატმოსფერული ჰაერის მოლეკულების თერმული მოძრაობა რომ არ არსებობდეს, მაშინ ყველა მათგანი კონცენტრირებული იქნებოდა დედამიწის ზედაპირზე. გრავიტაცია რომ არ არსებობდეს, მაშინ ატმოსფეროს ნაწილაკები მთელ სამყაროში იქნებოდა მიმოფანტული. ვიპოვოთ წნევის ცვლილების კანონი სიმაღლესთან.

გაზის სვეტის წნევა განისაზღვრება ფორმულით.

ვინაიდან წნევა მცირდება სიმაღლის მატებასთან ერთად,

სადაც რგაზის სიმკვრივე სიმაღლეზე თ.

მოდი ვიპოვოთ გვმენდელეევ-კლაპეირონის განტოლებიდან

ან.

მოდით, გამოვთვალოთ იზოთერმული ატმოსფერო, ამის ვარაუდით T=კონსტ(სიმაღლეზე არ არის დამოკიდებული).

.

ზე h=0 , , ,

, , ,

ბარომეტრიული ფორმულა განსაზღვრავს გაზის წნევას ნებისმიერ სიმაღლეზე.

ჩვენ ვიღებთ გამოხატულებას მოლეკულების კონცენტრაციისთვის ნებისმიერ სიმაღლეზე.

სად არის მოლეკულის პოტენციური ენერგია სიმაღლეზე თ.

ბოლცმანის განაწილება გარე პოტენციურ ველში.

შესაბამისად, მოლეკულების განაწილება სიმაღლეში არის მათი განაწილება ენერგიაში. ბოლცმანმა დაამტკიცა, რომ ეს განაწილება მოქმედებს არა მხოლოდ ხმელეთის გრავიტაციული ძალების პოტენციური ველის შემთხვევაში, არამედ ძალების ნებისმიერ პოტენციურ ველში ნებისმიერი იდენტური ნაწილაკების შეგროვებისთვის ქაოტური თერმული მოძრაობის მდგომარეობაში.

ბოლცმანის განაწილებიდან გამომდინარეობს, რომ მოლეკულები განლაგებულია უფრო მაღალი კონცენტრაციით, სადაც მათი პოტენციური ენერგია დაბალია.

ბოლცმანის განაწილება - ნაწილაკების განაწილება პოტენციური ძალის ველში.

3. მოლეკულების საშუალო თავისუფალი გზა.

ქაოტური თერმული მოძრაობის გამო აირის მოლეკულები განუწყვეტლივ ეჯახებიან ერთმანეთს, გადიან რთულ ზიგზაგის გზას. 2 შეჯახებას შორის მოლეკულები ერთნაირად მოძრაობენ სწორი ხაზით.

მ მინიმალურ მანძილს, რომლითაც 2 მოლეკულის ცენტრები ერთმანეთს უახლოვდება შეჯახების დროს, მოლეკულის ეფექტური დიამეტრი ეწოდება. დ(ნახ. 4).

რაოდენობას ეწოდება მოლეკულის ეფექტური განივი მონაკვეთი.

მოდით ვიპოვოთ ერთგვაროვანი გაზის მოლეკულის შეჯახების საშუალო რაოდენობა დროის ერთეულზე. შეჯახება მოხდება, თუ მოლეკულების ცენტრები უახლოვდება მანძილს ნაკლები ან ტოლი დ. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მოლეკულა მოძრაობს სიჩქარით, ხოლო დანარჩენი მოლეკულები მოსვენებულ მდგომარეობაშია. შემდეგ შეჯახების რაოდენობა განისაზღვრება იმ მოლეკულების რაოდენობით, რომელთა ცენტრები განლაგებულია მოცულობაში, რომელიც არის ცილინდრი ფუძით და სიმაღლით, რომელიც ტოლია მოლეკულის მიერ 1s-ში გავლილი გზის, ე.ი. .

სტატისტიკურ მეთოდში, ძირითადი მახასიათებლის დასადგენად (X არის სისტემის ყველა ნაწილაკების კოორდინატებისა და მომენტების ერთობლიობა), გამოიყენება განსახილველი სხეულის სტრუქტურის ერთი ან სხვა მოდელი.

გამოდის, რომ შესაძლებელია ზოგადი სტატისტიკური ნიმუშების ზოგადი თვისებების პოვნა, რომლებიც არ არის დამოკიდებული მატერიის სტრუქტურაზე და უნივერსალურია. ასეთი კანონზომიერებების იდენტიფიცირება არის თერმოდინამიკური მეთოდის მთავარი ამოცანა თერმული პროცესების აღწერისთვის. თერმოდინამიკის ყველა ძირითადი ცნება და კანონი შეიძლება გამოვლინდეს სტატისტიკური თეორიის საფუძველზე.

იზოლირებული (დახურული) სისტემისთვის ან სისტემისთვის მუდმივ გარე ველში, მდგომარეობას ეწოდება სტატისტიკურად წონასწორობა, თუ განაწილების ფუნქცია დროზე არ არის დამოკიდებული.

განსახილველი სისტემის განაწილების ფუნქციის სპეციფიკური ფორმა დამოკიდებულია როგორც გარე პარამეტრების მთლიანობაზე, ასევე გარემომცველ სხეულებთან ურთიერთქმედების ბუნებაზე. გარე პარამეტრების ქვეშ ამ შემთხვევაში გავიგებთ განსახილველ სისტემაში არ შემავალი სხეულების პოზიციით განსაზღვრულ რაოდენობებს. ეს არის, მაგალითად, V სისტემის მოცულობა, ძალის ველის ინტენსივობა და ა.შ. განვიხილოთ ორი ყველაზე მნიშვნელოვანი შემთხვევა:

1) განსახილველი სისტემა ენერგიულად იზოლირებულია. E ნაწილაკების ჯამური ენერგია მუდმივია. სადაც. E შეიძლება შევიდეს a-ში, მაგრამ მისი ხაზგასმა ხაზს უსვამს E-ს განსაკუთრებულ როლს. მოცემული გარე პარამეტრებისთვის სისტემის იზოლაციის პირობა შეიძლება გამოიხატოს თანასწორობით:

2) სისტემა არ არის დახურული - შესაძლებელია ენერგიის გაცვლა. ამ შემთხვევაში, მისი პოვნა შეუძლებელია, ეს დამოკიდებული იქნება მიმდებარე სხეულების ნაწილაკების განზოგადებულ კოორდინატებზე და მომენტებზე. ეს შესაძლებელია, თუ განიხილება სისტემის ურთიერთქმედების ენერგია მიმდებარე სხეულებთან.

ამ პირობით მიკრომდგომარეობების განაწილების ფუნქცია დამოკიდებულია მიმდებარე სხეულების თერმული მოძრაობის საშუალო ინტენსივობაზე, რომელიც ხასიათდება გარემომცველი სხეულების T ტემპერატურით: .

ტემპერატურა ასევე განსაკუთრებულ როლს თამაშობს. მას არ აქვს (აგან განსხვავებით) ანალოგი მექანიკაში: (არ არის დამოკიდებული T-ზე).

სტატისტიკური წონასწორობის მდგომარეობაში დროზე არ არის დამოკიდებული და ყველა შიდა პარამეტრი უცვლელია. თერმოდინამიკაში ამ მდგომარეობას თერმოდინამიკური წონასწორობის მდგომარეობას უწოდებენ. სტატისტიკური და თერმოდინამიკური წონასწორობის ცნებები ექვივალენტურია.

მიკროსკოპული იზოლირებული სისტემის განაწილების ფუნქცია - გიბსის მიკროკანონიკური განაწილება

ენერგიულად იზოლირებული სისტემის შემთხვევა. მოდით ვიპოვოთ ამ შემთხვევისთვის განაწილების ფუნქციის ფორმა.

განაწილების ფუნქციის პოვნაში არსებით როლს თამაშობენ მხოლოდ მოძრაობის ინტეგრალი - ენერგია, - სისტემის იმპულსი და - კუთხური იმპულსი. მხოლოდ ისინი აკონტროლებენ.

ჰამილტონიელი განსაკუთრებულ როლს ასრულებს მექანიკაში, რადგან ეს არის ჰამილტონის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს ნაწილაკების მოძრაობის განტოლების ფორმას. სისტემის მთლიანი იმპულსის და კუთხური იმპულსის კონსერვაცია ამ შემთხვევაში მოძრაობის განტოლებების შედეგია.

მაშასადამე, სწორედ ლიუვილის განტოლების ასეთი ამონახსნები გამოიყოფა, როდესაც დამოკიდებულება ვლინდება მხოლოდ ჰამილტონის მეშვეობით:

როგორც,.

X-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობიდან (სისტემის ყველა ნაწილაკების კოორდინატებისა და მომენტების სიმრავლე) შეირჩევა ის, რაც თავსებადია მდგომარეობასთან. მუდმივი C შეგიძლიათ იხილოთ ნორმალიზების მდგომარეობიდან:

სად არის ჰიპერზედაპირის ფართობი ფაზურ სივრცეში, რომელიც გამოირჩევა ენერგიის მუდმივობის პირობით.

იმათ. არის გიბის მიკროკანონიკური განაწილება.

წონასწორობის მდგომარეობის კვანტურ თეორიაში ასევე არსებობს გიბსის მიკროკანონიკური განაწილება. შემოვიღოთ აღნიშვნა: - ნაწილაკების სისტემის მიკრომდგომარეობის დამახასიათებელი კვანტური რიცხვების სრული ნაკრები, - შესაბამისი დასაშვები ენერგეტიკული მნიშვნელობები. მათი პოვნა შესაძლებელია განსახილველი სისტემის ტალღური ფუნქციის სტაციონარული განტოლების ამოხსნით.

მიკროსახელმწიფოების განაწილების ფუნქცია ამ შემთხვევაში იქნება სისტემის გარკვეულ მდგომარეობაში ყოფნის ალბათობა: .

კვანტური მიკროკანონიკური გიბსის განაწილება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

სად არის კრონკერის სიმბოლო, - ნორმალიზებიდან: არის მოცემული ენერგეტიკული მნიშვნელობის მქონე მიკრომდგომარეობების რაოდენობა (ასევე). ამას სტატისტიკური წონა ჰქვია.

განმარტებიდან გამომდინარე, ყველა მდგომარეობას, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, აქვს იგივე ალბათობა, თანაბარი. ამრიგად, კვანტური მიკროკანონიკური გიბსის განაწილება ემყარება თანაბარი აპრიორი ალბათობების პრინციპს.

სისტემის მიკრომდგომარეობების განაწილების ფუნქცია თერმოსტატში არის გიბსის კანონიკური განაწილება.

ახლა განვიხილოთ სისტემა, რომელიც ცვლის ენერგიას მიმდებარე სხეულებთან. თერმოდინამიკური თვალსაზრისით, ეს მიდგომა შეესაბამება სისტემას, რომელიც გარშემორტყმულია ძალიან დიდი თერმოსტატით ტემპერატურით T. დიდი სისტემისთვის (ჩვენი სისტემა + თერმოსტატი) შეიძლება გამოყენებულ იქნას მიკროკანონიკური განაწილება, რადგან ასეთი სისტემა შეიძლება ჩაითვალოს იზოლირებულად. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ განსახილველი სისტემა არის უფრო დიდი სისტემის პატარა, მაგრამ მაკროსკოპული ნაწილი T ტემპერატურისა და მასში არსებული ნაწილაკების რაოდენობით. ანუ თანასწორობა (>>) დაკმაყოფილებულია.

ჩვენი სისტემის ცვლადებს X-ით აღვნიშნავთ, ხოლო თერმოსტატის ცვლადებს X1-ით.

შემდეგ ჩვენ ვწერთ მიკროკანონიკურ განაწილებას მთელი სისტემისთვის:

ჩვენ დავინტერესდებით N ნაწილაკების სისტემის მდგომარეობის ალბათობით თერმოსტატის ნებისმიერი შესაძლო მდგომარეობისთვის. ეს ალბათობა შეიძლება მოიძებნოს თერმოსტატის მდგომარეობებზე ამ განტოლების ინტეგრირებით

სისტემისა და თერმოსტატის ჰამილტონის ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

ჩვენ უგულებელყოფთ სისტემისა და თერმოსტატის ურთიერთქმედების ენერგიას სისტემის ენერგიასთან და თერმოსტატის ენერგიასთან შედარებით. ეს შეიძლება გაკეთდეს, რადგან მაკროსისტემისთვის ურთიერთქმედების ენერგია პროპორციულია მისი ზედაპირის ფართობისთვის, ხოლო სისტემის ენერგია მისი მოცულობის პროპორციულია. თუმცა ურთიერთქმედების ენერგიის უგულებელყოფა სისტემის ენერგიასთან შედარებით არ ნიშნავს რომ ის ნულის ტოლია, წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემის ფორმულირება აზრს კარგავს.

ამრიგად, განსახილველი სისტემის ალბათობის განაწილება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

მოდით მივმართოთ ინტეგრაციას თერმოსტატის ენერგიაზე

აქედან გამომდინარე, -ფუნქციის თვისების გამოყენება

შემდეგში გადავალთ შემზღუდველ შემთხვევაზე, როდესაც თერმოსტატი ძალიან დიდია. განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც თერმოსტატი არის იდეალური გაზი N1 ნაწილაკებით თითოეული m მასით.

მოდი ვიპოვოთ მნიშვნელობა, რომელიც წარმოადგენს მნიშვნელობას

სადაც არის ფაზური სივრცის მოცულობა, რომელიც შეიცავს ჰიპერზედაპირს. შემდეგ არის ჰიპერსფერული ფენის მოცულობა (შეადარეთ სამგანზომილებიანი სივრცის გამოხატულებას

იდეალური გაზისთვის ინტეგრაციის რეგიონი მოცემულია პირობით

მითითებულ საზღვრებში ინტეგრაციის შედეგად ვიღებთ 3N1 განზომილებიანი ბურთის მოცულობას რადიუსით, რომელიც ტოლი იქნება. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს

სად მივიღოთ

ამრიგად, ალბათობის განაწილებისთვის გვაქვს

ახლა გადავიდეთ N1 ზღვარზე, თუმცა, თუ დავუშვებთ, რომ თანაფარდობა მუდმივი რჩება (ე.წ. თერმოდინამიკური ზღვარი). შემდეგ მივიღებთ

იმის გათვალისწინებით, რომ

შემდეგ თერმოსტატში სისტემის განაწილების ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს როგორც

სადაც C გვხვდება ნორმალიზაციის მდგომარეობიდან:

ფუნქციას კლასიკური სტატისტიკური ინტეგრალი ეწოდება. ამრიგად, სისტემის განაწილების ფუნქცია თერმოსტატში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

ეს არის გიბსის კანონიკური განაწილება (1901).

ამ განაწილებაში T ახასიათებს თერმული მოძრაობის საშუალო ინტენსივობას - გარემოს ნაწილაკების აბსოლუტურ ტემპერატურას.

გიბსის განაწილების დაწერის კიდევ ერთი ფორმა

დადგენისას, მიკროსკოპული მდგომარეობები განსხვავებულად განიხილებოდა, განსხვავდებოდა მხოლოდ ცალკეული ნაწილაკების გადალაგებაში. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია თვალყური ადევნოთ თითოეულ ნაწილაკს. თუმცა, ეს ვარაუდი იწვევს პარადოქსს.

გიბსის კვანტური კანონიკური განაწილების გამოთქმა შეიძლება დაიწეროს კლასიკურის ანალოგიით:

სტატისტიკური ჯამი: .

ეს არის სტატისტიკური ინტეგრალის უგანზომილებიანი ანალოგი. მაშინ თავისუფალი ენერგია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

ახლა განვიხილოთ სისტემა, რომელიც მდებარეობს თერმოსტატში და შეუძლია ენერგიისა და ნაწილაკების გაცვლა გარემოსთან. გიბსის განაწილების ფუნქციის წარმოშობა ამ შემთხვევისთვის მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია კანონიკური განაწილების წარმოშობის. კვანტური შემთხვევისთვის, განაწილებას აქვს ფორმა:

ამ განაწილებას გიბსის გრანდიოზული კანონიკური განაწილება ეწოდება. აქ m არის სისტემის ქიმიური პოტენციალი, რომელიც ახასიათებს თერმოდინამიკური პოტენციალების ცვლილებას, როდესაც სისტემაში ნაწილაკების რაოდენობა იცვლება ერთით.

Z - ნორმალიზაციის მდგომარეობიდან:

აქ ჯამი მიდის არა მხოლოდ კვადრატულ რიცხვებზე, არამედ ნაწილაკების რაოდენობის ყველა შესაძლო მნიშვნელობაზე.

წერის კიდევ ერთი ფორმა: ჩვენ შემოგთავაზებთ ფუნქციას, მაგრამ როგორც ადრე თერმოდინამიკიდან იყო მიღებული, სადაც არის დიდი თერმოდინამიკური პოტენციალი. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ

აქ არის ნაწილაკების რაოდენობის საშუალო მნიშვნელობა.

კლასიკური განაწილება მსგავსია.

მაქსველისა და ბოლცმანის განაწილებები

Gibbs-ის კანონიკური განაწილება ადგენს (მოცემულია) განაწილების ფუნქციის აშკარა ფორმას ყველა კოორდინატებისა და ნაწილაკების მომენტების მნიშვნელობებისთვის (6N-ცვლადები). მაგრამ ასეთი ფუნქცია ძალიან რთულია. ხშირად უფრო მარტივი ფუნქციები საკმარისია.

მაქსველის განაწილება იდეალური ერთატომური გაზისთვის. ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ თითოეული გაზის მოლეკულა, როგორც "განხილული სისტემა", რომელიც ეკუთვნის თერმოსტატს. მაშასადამე, რომელიმე მოლეკულის იმპულსების ალბათობა მოცემულ ინტერვალებში მოცემულია გიბსის კანონიკური განაწილებით: .

მომენტების სიჩქარით ჩანაცვლებით და ნორმალიზაციის პირობების გამოყენებით ვიღებთ

მაქსველის განაწილების ფუნქცია სიჩქარის კომპონენტებისთვის. ადვილია განაწილების მოდულის მიღებაც.

ნებისმიერ სისტემაში, რომლის ენერგია უდრის ცალკეული ნაწილაკების ენერგიების ჯამს, არის მაქსველის მსგავსი გამოხატულება. ეს არის მაქსველ-ბოლცმანის განაწილება. ისევ და ისევ, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ "სისტემა" არის ნებისმიერი ნაწილაკი, ხოლო დანარჩენი თერმოსტატის როლს ასრულებს. მაშინ ამ არჩეული ნაწილაკის მდგომარეობის ალბათობა დანარჩენების ნებისმიერი მდგომარეობისთვის მოცემულია კანონიკური განაწილებით: , . დანარჩენი რაოდენობებისთვის ... ინტეგრირებული

მაქსველისა და ბოლცმანის განაწილებები

მაქსველის განაწილება (გაზის მოლეკულების სიჩქარის განაწილება).წონასწორობის მდგომარეობაში აირის პარამეტრები (წნევა, მოცულობა და ტემპერატურა) უცვლელი რჩება, მაგრამ მიკრომდგომარეობები - მოლეკულების ურთიერთგანლაგება, მათი სიჩქარე - მუდმივად იცვლება. მოლეკულების უზარმაზარი რაოდენობის გამო, პრაქტიკულად შეუძლებელია მათი სიჩქარის მნიშვნელობების დადგენა ნებისმიერ მომენტში, მაგრამ შესაძლებელია, მოლეკულების სიჩქარის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის გათვალისწინებით, მიუთითოთ მოლეკულების განაწილება სიჩქარეებზე.

მოდით გამოვყოთ ერთი მოლეკულა. მოძრაობის შემთხვევითობა იძლევა, მაგალითად, სიჩქარის პროექციის საშუალებას u xმოლეკულები იღებენ ნორმალურ განაწილების კანონს. ამ შემთხვევაში, როგორც J.K. Maxwell-მა აჩვენა, ალბათობის სიმკვრივე იწერება შემდეგნაირად:

მსგავსი სხვა ღერძებისთვის

(2.28) გამოყენებით (2.31) ვიღებთ:

გაითვალისწინეთ, რომ (2.32)-დან შეიძლება მიიღოთ სიჩქარის აბსოლუტური მნიშვნელობების მაქსველის ალბათობის განაწილების ფუნქცია. (მაქსველის სიჩქარის განაწილება):

მოლეკულის საშუალო სიჩქარე (მათემატიკური მოლოდინი) შეიძლება ვიპოვოთ ზოგადი წესით [იხ. (2.20)]. ვინაიდან სიჩქარის საშუალო მნიშვნელობა განისაზღვრება, ინტეგრაციის ლიმიტები აღებულია 0-დან ¥-მდე (მათემატიკური დეტალები გამოტოვებულია):

სადაც M = t 0 N A არის გაზის მოლური მასა, R = k N A - უნივერსალური გაზის მუდმივი, ნ A არის ავოგადროს ნომერი.

ტემპერატურის მატებასთან ერთად, მაქსველის მრუდის მაქსიმუმი გადადის უფრო მაღალი სიჩქარისკენ და მოლეკულების განაწილებაზე. uმოდიფიცირებულია (ნახ. 2.6; T 1< Т 2 ). მაქსველის განაწილება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მოლეკულების რაოდენობა, რომელთა სიჩქარე დევს გარკვეულ ინტერვალში Du. ვიღებთ შესაბამის ფორმულას.

ვინაიდან მთლიანი რაოდენობა ნგაზში მოლეკულები ჩვეულებრივ დიდია, მაშინ ალბათობა d პშეიძლება გამოისახოს d რიცხვის თანაფარდობით ნმოლეკულები, რომელთა სიჩქარე შეიცავს გარკვეულ ინტერვალს du,მთლიან რაოდენობამდე ნმოლეკულები:

ან გრაფიკულად გამოთვალეთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი დაწყებული u 1ადრე u 2 (ნახ. 2.7).

თუ სიჩქარის ინტერვალი დუსაკმარისად მცირეა, მაშინ მოლეკულების რაოდენობა, რომელთა სიჩქარეც შეესაბამება ამ ინტერვალს, შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით ფორმულის გამოყენებით (2.38) ან გრაფიკულად, როგორც მართკუთხედის ფართობი ფუძით. დუ.

კითხვაზე რამდენ მოლეკულას აქვს სიჩქარე, რომელიც უდრის რომელიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას, უცნაური, ერთი შეხედვით, პასუხი შემდეგია: თუ სიჩქარე აბსოლუტურად ზუსტად არის მოცემული, მაშინ სიჩქარის ინტერვალი არის ნული. (დუ= 0) და (2.38)-დან ვიღებთ ნულს, ანუ არც ერთ მოლეკულას არ აქვს ზუსტად წინასწარ განსაზღვრულის ტოლი სიჩქარე. ეს შეესაბამება ალბათობის თეორიის ერთ-ერთ დებულებას: უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, რომელიც არის სიჩქარე, შეუძლებელია ზუსტად მისი მნიშვნელობის „გამოცნობა“, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი მოლეკულა გაზში.

მოლეკულების სიჩქარის განაწილება დადასტურებულია სხვადასხვა ექსპერიმენტებით.

მაქსველის განაწილება შეიძლება ჩაითვალოს მოლეკულების განაწილებად არა მხოლოდ სიჩქარის, არამედ კინეტიკური ენერგიების თვალსაზრისითაც (რადგან ეს ცნებები ურთიერთდაკავშირებულია).

ბოლცმანის განაწილება.თუ მოლეკულები არიან რაიმე გარე ძალის ველში, მაგალითად, დედამიწის გრავიტაციულ ველში, მაშინ შესაძლებელია მათი პოტენციური ენერგიების განაწილების პოვნა, ანუ ნაწილაკების კონცენტრაციის დადგენა, რომლებსაც აქვთ პოტენციური ენერგიის გარკვეული სპეციფიკური მნიშვნელობა.

ნაწილაკების განაწილება პოტენციურ ენერგიებზე ძალის ველებში- გრავიტაციული, ელექტრო და ა.შ.- ბოლცმანის განაწილებას უწოდებენ.

როგორც მიმართა გრავიტაციულ ველს, ეს განაწილება შეიძლება დაიწეროს როგორც კონცენტრაციის დამოკიდებულება პმოლეკულები სიმაღლიდან თმიწის დონიდან ზემოთ ან მოლეკულის პოტენციური ენერგიისგან მგჰ:

გამოხატულება (2.40) მოქმედებს იდეალური აირის ნაწილაკებისთვის. გრაფიკულად, ეს ექსპონენციალური დამოკიდებულება ნაჩვენებია ნახ. 2.8.

მოლეკულების ასეთი განაწილება დედამიწის გრავიტაციულ ველში თვისობრივად შეიძლება აიხსნას მოლეკულურ-კინეტიკური ცნებების ფარგლებში, იმით, რომ მოლეკულებზე გავლენას ახდენს ორი საპირისპირო ფაქტორი: გრავიტაციული ველი, რომლის გავლენითაც ყველა მოლეკულა იზიდავს. დედამიწა და მოლეკულურ-ქაოტური მოძრაობა, რომელიც მიდრეკილია ერთნაირად გაფანტოს მოლეკულები მთელს ტერიტორიაზე.

დასასრულს, სასარგებლოა აღვნიშნოთ გარკვეული მსგავსება ექსპონენციალურ ტერმინებს შორის მაქსველისა და ბოლცმანის განაწილებაში:

პირველ განაწილებაში, ექსპონენტში, მოლეკულის კინეტიკური ენერგიის შეფარდება kT,მეორეში - პოტენციური ენერგიის თანაფარდობა კტ.