სიმძლავრის ფუნქციის განხილვის მოხერხებულობისთვის განვიხილავთ 4 ცალკეულ შემთხვევას: სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი მაჩვენებლით, სიმძლავრის ფუნქცია მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური მაჩვენებლით და სიმძლავრის ფუნქცია ირაციონალური მაჩვენებლით.

დენის ფუნქცია ბუნებრივი მაჩვენებლით

დასაწყისისთვის, ჩვენ წარმოგიდგენთ ხარისხის ცნებას ბუნებრივი მაჩვენებლით.

განმარტება 1

რეალური რიცხვის სიმძლავრე $a$ ბუნებრივი მაჩვენებლით $n$ არის რიცხვი $n$ ფაქტორების ნამრავლის ტოლი, რომელთაგან თითოეული უდრის $a$ რიცხვს.

სურათი 1.

$a$ არის ხარისხის საფუძველი.

$n$ - მაჩვენებელი.

ახლა განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია ბუნებრივი მაჩვენებლით, მისი თვისებებით და გრაფიკით.

განმარტება 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ ეწოდება სიმძლავრის ფუნქციას ბუნებრივი მაჩვენებლით.

დამატებითი მოხერხებულობისთვის განიხილეთ ცალ-ცალკე სიმძლავრის ფუნქცია ლუწი მაჩვენებლით $f\left(x\right)=x^(2n)$ და სიმძლავრის ფუნქცია კენტი მაჩვენებლით $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\ N)$.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ბუნებრივი ლუწი მაჩვენებლით

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ არის ლუწი ფუნქცია.

ფარგლები -- $ \

ფუნქცია მცირდება როგორც $x\in (-\infty ,0)$ და იზრდება $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

ფუნქცია ამოზნექილია განსაზღვრების მთელ დომენზე.

ქცევა სფეროს ბოლოებში:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^( 2n)\ )=+\infty \]

გრაფიკი (ნახ. 2).

სურათი 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ ფუნქციის გრაფიკი

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ბუნებრივი კენტი მაჩვენებლით

განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ არის კენტი ფუნქცია.

$f(x)$ არის უწყვეტი განსაზღვრების მთელ დომენზე.

დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვი.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\მარცხნივ(x\მარჯვნივ))=(\მარცხნივ(\მარცხნივ(2n-1\მარჯვნივ)\cdot x^(2\მარცხნივ(n-1\მარჯვნივ))\მარჯვნივ)"=2 \მარცხნივ(2n-1\მარჯვნივ)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

ფუნქცია არის ჩაზნექილი $x\in (-\infty ,0)$-სთვის და ამოზნექილი $x\in (0,+\infty)$-ისთვის.

გრაფიკი (სურ. 3).

სურათი 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ ფუნქციის გრაფიკი

სიმძლავრის ფუნქცია მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

დასაწყისისთვის, ჩვენ წარმოგიდგენთ ხარისხის ცნებას მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.

განმარტება 3

$a$ რეალური რიცხვის ხარისხი $n$ მთელი რიცხვის მაჩვენებლით განისაზღვრება ფორმულით:

სურათი 4

ახლა განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, მისი თვისებებით და გრაფიკით.

განმარტება 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ ეწოდება სიმძლავრის ფუნქციას მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.

თუ ხარისხი ნულზე მეტია, მაშინ მივდივართ ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის შემთხვევამდე. ზემოთ უკვე განვიხილეთ. $n=0$-ისთვის ვიღებთ წრფივ ფუნქციას $y=1$. მის განხილვას მკითხველს ვუტოვებთ. რჩება უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით დენის ფუნქციის თვისებების გათვალისწინება

დენის ფუნქციის თვისებები უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ფარგლები არის $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$.

თუ მაჩვენებელი ლუწია, მაშინ ფუნქცია ლუწია; თუ ის კენტია, მაშინ ფუნქცია კენტია.

$f(x)$ არის უწყვეტი განსაზღვრების მთელ დომენზე.

ღირებულების დიაპაზონი:

თუ მაჩვენებელი ლუწია, მაშინ $(0,+\infty)$, თუ კენტი, მაშინ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

თუ მაჩვენებელი კენტია, ფუნქცია მცირდება $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. ლუწი მაჩვენებლისთვის ფუნქცია მცირდება $x\in (0,+\infty)$. და იზრდება $x\in \left(-\infty,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ მთელ დომენზე

1. სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი;

2. ტრანსფორმაციები:

პარალელური გადაცემა;

სიმეტრია კოორდინატთა ღერძების მიმართ;

სიმეტრია წარმოშობის შესახებ;

სიმეტრია y = x წრფის მიმართ;

გაჭიმვა და შემცირება კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ.

3. ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი, მსგავსი გარდაქმნები;

4. ლოგარითმული ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი;

5. ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი, მსგავსი გარდაქმნები (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

ფუნქცია: y = x\n - მისი თვისებები და გრაფიკი.

სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / xყველა ეს ფუნქცია არის დენის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევები, ანუ ფუნქცია y = xp, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი.
სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი არსებითად არის დამოკიდებული რეალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის თვისებებზე და განსაკუთრებით იმ მნიშვნელობებზე, რომელთათვისაც xდა გვმისცე მნიშვნელობა xp. მოდით გადავიდეთ სხვადასხვა შემთხვევების მსგავს განხილვაზე, იმის მიხედვით
ექსპონენტი გვ.

1. ინდიკატორი p = 2nლუწი ნატურალური რიცხვია.

y=x2n, სად ნარის ნატურალური რიცხვი და აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი, ე.ი. სიმრავლე R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y მეტია ან ტოლია 0-ზე;
• ფუნქცია y=x2nთუნდაც იმიტომ x 2n = (-x) 2n
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე x< 0 და იზრდება ინტერვალით x > 0.

ფუნქციის გრაფიკი y=x2nაქვს იგივე ფორმა, რაც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკს y=x4.

2. ინდიკატორი p = 2n - 1- კენტი ნატურალური რიცხვი

ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y=x2n-1სადაც არის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;
• ფუნქცია y=x2n-1უცნაურია, რადგან (- x) 2n-1= x 2n-1;
• ფუნქცია იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე.

ფუნქციის გრაფიკი y=x2n-1 y=x3.

3. ინდიკატორი p=-2n, სად n-ბუნებრივი რიცხვი.

ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y=x-2n=1/x2nაქვს შემდეგი თვისებები:

• მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y>0;
• ფუნქცია y = 1/x2nთუნდაც იმიტომ 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• ფუნქცია იზრდება x0 ინტერვალზე.

y ფუნქციის გრაფიკი = 1/x2nაქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, y ფუნქციის გრაფიკი = 1/x2.

4. ინდიკატორი p = -(2n-1), სად ნ- ნატურალური რიცხვი.
ამ შემთხვევაში დენის ფუნქცია y=x-(2n-1)აქვს შემდეგი თვისებები:

• განმარტების დომენი არის ნაკრები R, გარდა x = 0;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R, გარდა y = 0;
• ფუნქცია y=x-(2n-1)უცნაურია, რადგან (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალებით x< 0 და x > 0.

ფუნქციის გრაფიკი y=x-(2n-1)აქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y = 1/x3.