C2 ამოცანის გადაჭრისას კოორდინატთა მეთოდით ბევრი მოსწავლე აწყდება იგივე პრობლემას. მათ არ შეუძლიათ გათვლა წერტილის კოორდინატებიშედის სკალარული პროდუქტის ფორმულაში. ყველაზე დიდი სირთულეებია პირამიდები. და თუ საბაზისო წერტილები მეტ-ნაკლებად ნორმალურად ითვლება, მაშინ ტოპები ნამდვილი ჯოჯოხეთია.

დღეს ჩვენ შევეხებით ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდას. ასევე არის სამკუთხა პირამიდა (aka - ტეტრაედონი). ეს უფრო რთული დიზაინია, ამიტომ მას ცალკე გაკვეთილი დაეთმობა.

დავიწყოთ განმარტებით:

ჩვეულებრივი პირამიდა არის ის, რომელშიც:

1. ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი: სამკუთხედი, კვადრატი და სხვ.;
2. ფუძისკენ მიზიდული სიმაღლე გადის მის ცენტრში.

კერძოდ, ოთხკუთხა პირამიდის ფუძეა კვადრატი. ისევე როგორც კეოპსი, მხოლოდ ოდნავ პატარა.

ქვემოთ მოცემულია პირამიდის გამოთვლები, რომლის ყველა კიდე უდრის 1-ს. თუ ეს ასე არ არის თქვენს პრობლემაში, გამოთვლები არ იცვლება - უბრალოდ რიცხვები იქნება განსხვავებული.

ოთხკუთხა პირამიდის წვეროები

მაშ ასე, მივცეთ ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდა SABCD, სადაც S არის ზედა, ABCD-ის ფუძე არის კვადრატი. ყველა კიდე უდრის 1-ს. საჭიროა კოორდინატთა სისტემაში შეყვანა და ყველა წერტილის კოორდინატების პოვნა. Ჩვენ გვაქვს:

ჩვენ წარმოგიდგენთ კოორდინატთა სისტემას A წერტილში საწყისით:

1. ღერძი OX მიმართულია AB კიდის პარალელურად;
2. ღერძი OY - AD-ის პარალელურად. ვინაიდან ABCD არის კვადრატი, AB ⊥ AD ;
3. და ბოლოს, OZ ღერძი მიმართულია ზემოთ, ABCD სიბრტყის პერპენდიკულარულად.

ახლა განვიხილავთ კოორდინატებს. დამატებითი კონსტრუქცია: SH - ძირამდე დახატული სიმაღლე. მოხერხებულობისთვის პირამიდის ფუძეს ცალკე ფიგურაში ამოვიღებთ. ვინაიდან A , B , C და D წერტილები დევს OXY სიბრტყეში, მათი კოორდინატი არის z = 0. გვაქვს:

1. A = (0; 0; 0) - ემთხვევა წარმოშობას;
2. B = (1; 0; 0) - ნაბიჯი 1-ით OX ღერძის გასწვრივ საწყისიდან;
3. C = (1; 1; 0) - ნაბიჯი 1-ით OX ღერძის გასწვრივ და 1-ით OY ღერძის გასწვრივ;
4. D = (0; 1; 0) - ნაბიჯი მხოლოდ OY ღერძის გასწვრივ.
5. H \u003d (0.5; 0.5; 0) - კვადრატის ცენტრი, AC სეგმენტის შუა.

რჩება S წერტილის კოორდინატების პოვნა. გაითვალისწინეთ, რომ S და H წერტილების x და y კოორდინატები ერთნაირია, რადგან ისინი დევს სწორ ხაზზე OZ ღერძის პარალელურად. რჩება S წერტილის z კოორდინატის პოვნა.

განვიხილოთ სამკუთხედები ASH და ABH:

1. AS = AB = 1 პირობით;
2. კუთხე AHS = AHB = 90°, ვინაიდან SH არის სიმაღლე და AH ⊥ HB როგორც კვადრატის დიაგონალები;
3. მხარე AH - საერთო.

ამიტომ მართკუთხა სამკუთხედები ASH და ABH თანაბარიერთი ფეხი და ერთი ჰიპოტენუზა. ასე რომ, SH = BH = 0.5 BD. მაგრამ BD არის კვადრატის დიაგონალი გვერდით 1. მაშასადამე, ჩვენ გვაქვს:

S წერტილის ჯამური კოორდინატები:

დასასრულს, ჩვენ ვწერთ რეგულარული მართკუთხა პირამიდის ყველა წვეროს კოორდინატებს:

რა უნდა გააკეთოს, როდესაც ნეკნები განსხვავებულია

მაგრამ რა მოხდება, თუ პირამიდის გვერდითი კიდეები არ არის ფუძის კიდეების ტოლი? ამ შემთხვევაში, განიხილეთ სამკუთხედი AHS:

სამკუთხედი AHS- მართკუთხადა ჰიპოტენუზა AS ასევე არის ორიგინალური პირამიდის SABCD გვერდითი კიდე. ფეხი AH ადვილად განიხილება: AH = 0,5 AC. იპოვეთ დარჩენილი ფეხი SH პითაგორას თეორემის მიხედვით. ეს იქნება z კოორდინატი S წერტილისთვის.

დავალება. მოცემულია ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდა SABCD , რომლის ფუძეზე დევს კვადრატი 1 გვერდით. გვერდითი კიდე BS = 3. იპოვეთ S წერტილის კოორდინატები.

ჩვენ უკვე ვიცით ამ წერტილის x და y კოორდინატები: x = y = 0,5. ეს ორი ფაქტიდან გამომდინარეობს:

1. S წერტილის პროექცია OXY სიბრტყეზე არის წერტილი H;
2. ამავდროულად, H წერტილი არის ABCD კვადრატის ცენტრი, რომლის ყველა გვერდი უდრის 1-ს.

რჩება S წერტილის კოორდინატის პოვნა. განვიხილოთ სამკუთხედი AHS. ის მართკუთხაა, ჰიპოტენუზით AS = BS = 3, ფეხი AH არის დიაგონალის ნახევარი. შემდგომი გამოთვლებისთვის გვჭირდება მისი სიგრძე:

პითაგორას თეორემა სამკუთხედისთვის AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Ჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, S წერტილის კოორდინატები:

განმარტება. გვერდითი სახე- ეს არის სამკუთხედი, რომელშიც ერთი კუთხე დევს პირამიდის თავზე, ხოლო მისი საპირისპირო მხარე ემთხვევა ფუძის მხარეს (პოლიგონი).

განმარტება. გვერდითი ნეკნებიარის გვერდითი სახეების საერთო მხარეები. პირამიდას იმდენი კიდე აქვს, რამდენი კუთხეა მრავალკუთხედში.

განმარტება. პირამიდის სიმაღლეარის პირამიდის ზემოდან ჩამოშვებული პერპენდიკულარი.

განმარტება. აპოთემა- ეს არის პირამიდის გვერდითი სახის პერპენდიკულარი, რომელიც პირამიდის ზემოდან ძირის მხარეს არის დაშვებული.

განმარტება. დიაგონალური განყოფილება- ეს არის პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის პირამიდის თავზე და ფუძის დიაგონალზე.

განმარტება. სწორი პირამიდა- ეს არის პირამიდა, რომელშიც ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო სიმაღლე ეშვება ფუძის ცენტრამდე.

პირამიდის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი

ფორმულა. პირამიდის მოცულობაბაზის ფართობისა და სიმაღლის მეშვეობით:

პირამიდის თვისებები

თუ ყველა გვერდითი კიდე ტოლია, მაშინ წრე შეიძლება შემოიფარგლოს პირამიდის ფუძის გარშემო, ხოლო ფუძის ცენტრი ემთხვევა წრის ცენტრს. ასევე, ზემოდან ჩამოშვებული პერპენდიკულარი გადის ფუძის ცენტრში (წრე).

თუ ყველა გვერდითი ნეკნი თანაბარია, მაშინ ისინი მიდრეკილია საბაზისო სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

გვერდითი ნეკნები ტოლია, როდესაც ისინი ქმნიან თანაბარ კუთხეებს ფუძის სიბრტყესთან, ან თუ წრე შეიძლება აღწეროთ პირამიდის ფუძის გარშემო.

თუ გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ ერთი კუთხით, მაშინ პირამიდის ძირში შეიძლება ჩაიწეროს წრე, ხოლო პირამიდის ზევით დაპროექტებული იყოს მის ცენტრში.

თუ გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ ერთი კუთხით, მაშინ გვერდითი სახეების აპოთემები ტოლია.

რეგულარული პირამიდის თვისებები

1. პირამიდის მწვერვალი თანაბრად არის დაშორებული ფუძის ყველა კუთხიდან.

2. ყველა გვერდითი კიდე ტოლია.

3. ყველა გვერდითი ნეკნი დახრილია ფუძისადმი ერთი და იგივე კუთხით.

4. ყველა გვერდითი სახის აპთემები თანაბარია.

5. ყველა გვერდითი სახის ფართობი ტოლია.

6. ყველა სახეს აქვს ერთნაირი დიედრული (ბრტყელი) კუთხე.

7. პირამიდის გარშემო შეიძლება იყოს სფეროს აღწერა. აღწერილი სფეროს ცენტრი იქნება პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილი, რომელიც გადის კიდეების შუაში.

8. სფერო შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში. ჩაწერილი სფეროს ცენტრი იქნება კიდესა და ფუძეს შორის კუთხიდან გამომავალი ბისექტორების გადაკვეთის წერტილი.

9. თუ შემოხაზული სფეროს ცენტრი ემთხვევა შემოხაზული სფეროს ცენტრს, მაშინ მწვერვალზე ბრტყელი კუთხეების ჯამი უდრის π ან პირიქით, ერთი კუთხე უდრის π / n, სადაც n არის რიცხვი. კუთხეები პირამიდის ძირში.

პირამიდის შეერთება სფეროსთან

სფერო შეიძლება აღიწეროს პირამიდის ირგვლივ, როდესაც პირამიდის ძირში დევს პოლიედონი, რომლის ირგვლივ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). სფეროს ცენტრი იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილი, რომლებიც პერპენდიკულარულად გადიან პირამიდის გვერდითი კიდეების შუა წერტილებში.

სფერო ყოველთვის შეიძლება იყოს აღწერილი ნებისმიერი სამკუთხა ან რეგულარული პირამიდის გარშემო.

სფერო შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, თუ პირამიდის შიდა დიედრული კუთხეების ბისექტრული სიბრტყეები იკვეთება ერთ წერტილში (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). ეს წერტილი იქნება სფეროს ცენტრი.

პირამიდის შეერთება კონუსთან

კონუსს ეწოდება პირამიდაში ჩაწერილი, თუ მათი წვეროები ემთხვევა და კონუსის ფუძე ჩაწერილია პირამიდის ძირში.

კონუსი შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, თუ პირამიდის აპოთემები ტოლია.

ამბობენ, რომ კონუსი შემოიფარგლება პირამიდის გარშემო, თუ მათი წვეროები ემთხვევა და კონუსის ფუძე შემოიფარგლება პირამიდის ფუძის გარშემო.

კონუსი შეიძლება აღწერილი იყოს პირამიდის გარშემო, თუ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია.

პირამიდის შეერთება ცილინდრთან

ამბობენ, რომ პირამიდა ცილინდრშია ჩაწერილი, თუ პირამიდის ზედა დევს ცილინდრის ერთ ფუძეზე, ხოლო პირამიდის ფუძე ჩაწერილია ცილინდრის მეორე ძირში.

ცილინდრი შეიძლება შემოიფარგლოს პირამიდის გარშემო, თუ წრე შეიძლება შემოიფარგლოს პირამიდის ფუძის გარშემო.

განმარტება. შეკვეცილი პირამიდა (პირამიდული პრიზმა)- ეს არის პოლიედონი, რომელიც მდებარეობს პირამიდის ფუძესა და ფუძის პარალელურად მონაკვეთის სიბრტყეს შორის. ამრიგად, პირამიდას აქვს დიდი ფუძე და პატარა ფუძე, რომელიც უფრო დიდის მსგავსია. გვერდითი სახეები ტრაპეციაა.

განმარტება. სამკუთხა პირამიდა (ტეტრაედრონი)- ეს არის პირამიდა, რომელშიც სამი სახე და ფუძე არის თვითნებური სამკუთხედები.

ტეტრაედრონს აქვს ოთხი სახე და ოთხი წვერო და ექვსი კიდე, სადაც ნებისმიერ ორ კიდეს არ აქვს საერთო წვეროები, მაგრამ არ ეხება.

თითოეული წვერო შედგება სამი სახისგან და კიდეებისაგან, რომლებიც იქმნება სამკუთხა კუთხე.

ტეტრაედრის წვეროს მოპირდაპირე სახის ცენტრთან დამაკავშირებელი სეგმენტი ეწოდება ტეტრაედრის მედიანა(GM).

ბიმედიანიეწოდება სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებს, რომლებიც არ ეხება (KL).

ტეტრაედრის ყველა ბიმედიანი და მედიანა იკვეთება ერთ წერტილში (S). ამ შემთხვევაში, ბიმედიანები იყოფა ნახევრად, ხოლო მედიანები ზემოდან დაწყებული 3: 1 თანაფარდობით.

განმარტება. დახრილი პირამიდაარის პირამიდა, რომელშიც ერთ-ერთი კიდე ქმნის ბლაგვ კუთხეს (β) ფუძესთან.

განმარტება. მართკუთხა პირამიდაარის პირამიდა, რომელშიც ერთ-ერთი გვერდითი მხარე ფუძის პერპენდიკულარულია.

განმარტება. მწვავე კუთხოვანი პირამიდაარის პირამიდა, რომელშიც აპოთემა ფუძის მხარის სიგრძის ნახევარზე მეტია.

განმარტება. ბლაგვი პირამიდაარის პირამიდა, რომელშიც აპოთემა ფუძის მხარის სიგრძის ნახევარზე ნაკლებია.

განმარტება. რეგულარული ტეტრაედონიტეტრაედონი, რომლის ოთხი სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია. ეს არის ხუთი რეგულარული მრავალკუთხედიდან ერთ-ერთი. რეგულარულ ტეტრაედრონში ყველა დიედრული კუთხე (სახეებს შორის) და სამკუთხედი (წვეროზე) ტოლია.

განმარტება. მართკუთხა ტეტრაედონიტეტრაედონი ეწოდება, რომელსაც აქვს მართი კუთხე სამ კიდეს შორის წვეროზე (კიდეები პერპენდიკულარულია). სამი სახე იქმნება მართკუთხა სამკუთხა კუთხედა სახეები არის მართკუთხა სამკუთხედები, ხოლო ფუძე არის თვითნებური სამკუთხედი. ნებისმიერი სახის აპოთემა უდრის ფუძის იმ მხარის ნახევარს, რომელზეც ეცემა აპოთემა.

განმარტება. იზოჰედრული ტეტრაედონიტეტრაედონი ეწოდება, რომელშიც გვერდითი სახეები ერთმანეთის ტოლია, ხოლო ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი. ასეთი ტეტრაედრის სახეები ტოლფერდა სამკუთხედია.

განმარტება. ორთოცენტრული ტეტრაედონიტეტრაედონი ეწოდება, რომელშიც ყველა სიმაღლე (პერპენდიკულარი), რომელიც ზემოდან მოპირდაპირე მხარეს არის დაშვებული, იკვეთება ერთ წერტილში.

განმარტება. ვარსკვლავის პირამიდაპოლიედრონს, რომლის ფუძე ვარსკვლავია, ეწოდება.

განმარტება. ბიპირამიდა- პოლიედონი, რომელიც შედგება ორი განსხვავებული პირამიდისგან (პირამიდები ასევე შეიძლება მოიჭრას), რომელსაც აქვს საერთო საფუძველი და წვეროები დევს საბაზისო სიბრტყის მოპირდაპირე მხარეს.

პირამიდა. შეკვეცილი პირამიდა

პირამიდაჰქვია მრავალკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი სახე არის მრავალკუთხედი ( ბაზა ), და ყველა სხვა სახე არის სამკუთხედი საერთო წვერით ( გვერდითი სახეები ) (სურ. 15). პირამიდა ე.წ სწორი , თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში (სურ. 16). სამკუთხა პირამიდა, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება ტეტრაედონი .

გვერდითი ნეკნიპირამიდა ეწოდება გვერდითი სახის მხარეს, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს სიმაღლე პირამიდა არის მანძილი მისი ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე. რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია, ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედია. წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა . დიაგონალური განყოფილება პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს.

გვერდითი ზედაპირის ფართობიპირამიდა ეწოდება ყველა მხარის ფართობის ჯამს. სრული ზედაპირის ფართობი არის ყველა მხარისა და ფუძის ფართობების ჯამი.

თეორემები

1. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით ასახულია ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში.

2. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდეები თანაბარი სიგრძეა, მაშინ პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია შემოხაზული წრის ცენტრში ფუძესთან ახლოს.

3. თუ პირამიდაში ყველა სახე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით პროეცირებულია ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრში.

თვითნებური პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად, ფორმულა სწორია:

სადაც ვ- მოცულობა;

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

ჩვეულებრივი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- აპოთემა;

ჰ- სიმაღლე;

S სავსე

S მხარე

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ვარის ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობა.

შეკვეცილი პირამიდაეწოდება პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და საჭრელ სიბრტყეს შორის პირამიდის ფუძის პარალელურად (სურ. 17). შეასწორეთ დამსხვრეული პირამიდა ეწოდება რეგულარული პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და პირამიდის ფუძის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

ფონდებიშეკვეცილი პირამიდა - მსგავსი მრავალკუთხედები. გვერდითი სახეები - ტრაპეცია. სიმაღლე შეკვეცილ პირამიდას ეწოდება მანძილი მის ფუძეებს შორის. დიაგონალი ჩამოჭრილი პირამიდა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის წვეროებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე. დიაგონალური განყოფილება ჩამოჭრილი პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

შეკვეცილი პირამიდისთვის მოქმედებს ფორმულები:

(4)

სადაც ს 1 , ს 2 - ზედა და ქვედა ბაზების უბნები;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

ჰ- სიმაღლე;

ვარის დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა.

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულა მართალია:

სადაც გვ 1 , გვ 2 - ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- ჩვეულებრივი დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა.

მაგალითი 1რეგულარულ სამკუთხა პირამიდაში, ფუძეზე ორკუთხა კუთხე არის 60º. იპოვეთ გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ფუძის სიბრტყეზე.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 18).

პირამიდა რეგულარულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი და ყველა გვერდითი მხარე თანაბარი ტოლგვერდა სამკუთხედია. ძირის დიედრული კუთხე არის პირამიდის გვერდითი სახის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე. წრფივი კუთხე იქნება კუთხე აორ პერპენდიკულარებს შორის: ე.ი. პირამიდის მწვერვალი გამოსახულია სამკუთხედის ცენტრში (მოხაზული წრის ცენტრი და სამკუთხედში ჩაწერილი წრე ABC). გვერდითი ნეკნის დახრილობის კუთხე (მაგ სბ) არის კუთხე თავად კიდესა და მის პროექციას საბაზისო სიბრტყეზე. ნეკნისთვის სბეს კუთხე იქნება კუთხე SBD. ტანგენტის საპოვნელად თქვენ უნდა იცოდეთ ფეხები ᲘᲡᲔდა OB. მიეცით სეგმენტის სიგრძე BDარის 3 ა. წერტილი ოხაზის სეგმენტი BDიყოფა ნაწილებად: და From ჩვენ ვპოულობთ ᲘᲡᲔ: ჩვენგან ვპოულობთ:

პასუხი:

მაგალითი 2იპოვეთ რეგულარული ჩამოჭრილი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა, თუ მისი ფუძეების დიაგონალებია სმ და სმ, ხოლო სიმაღლე 4 სმ.

გადაწყვეტილება.დამსხვრეული პირამიდის მოცულობის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (4). ფუძეების ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფუძის კვადრატების გვერდები, იცოდეთ მათი დიაგონალები. ფუძის გვერდები არის შესაბამისად 2 სმ და 8 სმ, ეს ნიშნავს ფუძის ფართობებს და ყველა მონაცემის ფორმულაში ჩანაცვლებით, გამოვთვლით დამსხვრეული პირამიდის მოცულობას:

პასუხი: 112 სმ3.

მაგალითი 3იპოვნეთ რეგულარული სამკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 10 სმ და 4 სმ, ხოლო პირამიდის სიმაღლე 2 სმ.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 19).

ამ პირამიდის გვერდითი მხარე არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუძეები და სიმაღლე. ბაზები მოცემულია პირობით, უცნობია მხოლოდ სიმაღლე. იპოვე საიდან მაგრამ 1 ეპერპენდიკულარული წერტილიდან მაგრამ 1 ქვედა ბაზის სიბრტყეზე, ა 1 დ- პერპენდიკულარულად მაგრამ 1-ზე AC. მაგრამ 1 ე\u003d 2 სმ, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე. საპოვნელად DEდავასრულებთ დამატებით ნახატს, რომელშიც გამოვსახავთ ზედა ხედს (სურ. 20). Წერტილი ო- ზედა და ქვედა ბაზის ცენტრების პროექცია. წლიდან (იხ. სურ. 20) და მეორე მხრივ კარგიარის შემოხაზული წრის რადიუსი და OMარის ჩაწერილი წრის რადიუსი:

MK=DE.

პითაგორას თეორემის მიხედვით

სახის გვერდითი არე:

პასუხი:

მაგალითი 4პირამიდის ძირში დევს ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის ფუძეები ადა ბ (ა> ბ). თითოეული გვერდითი სახე ქმნის კუთხეს, რომელიც ტოლია პირამიდის ფუძის სიბრტყის ჯ. იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 21). პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი SABCDუდრის ფართობებისა და ტრაპეციის ფართობის ჯამს Ა Ბ Გ Დ.

გამოვიყენოთ განცხადება, რომ თუ პირამიდის ყველა სახე თანაბრად არის მიდრეკილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ წვერო პროეცირდება ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრში. Წერტილი ო- წვეროს პროექცია სპირამიდის ძირში. სამკუთხედი SODარის სამკუთხედის ორთოგონალური პროექცია CSDსაბაზო სიბრტყემდე. ბრტყელი ფიგურის ორთოგონალური პროექციის ფართობის თეორემის მიხედვით ვიღებთ:

ანალოგიურად, ეს ნიშნავს ამრიგად, პრობლემა შემცირდა ტრაპეციის არეალის პოვნამდე Ა Ბ Გ Დ. დახაზეთ ტრაპეცია Ა Ბ Გ Დცალკე (სურ. 22). Წერტილი ოარის ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

ვინაიდან წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ ან პითაგორას თეორემით გვაქვს

განმარტება

პირამიდაარის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება მრავალკუთხედის \(A_1A_2...A_n\) და \(n\) სამკუთხედებისგან საერთო წვერით \(P\) (რომელიც არ დევს მრავალკუთხედის სიბრტყეში) და მოპირდაპირე გვერდებით, რომლებიც ემთხვევა გვერდებს. მრავალკუთხედი.
აღნიშვნა: \(PA_1A_2...A_n\) .
მაგალითი: ხუთკუთხა პირამიდა \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

სამკუთხედები \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) და ა.შ. დაურეკა გვერდითი სახეებიპირამიდები, სეგმენტები \(PA_1, PA_2\) და ა.შ. - გვერდითი ნეკნები, პოლიგონი \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – საფუძველი, წერტილი \(P\) – სამიტი.

სიმაღლეპირამიდები არის პერპენდიკულარული ვარდნა პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე.

პირამიდას, რომელსაც ძირში სამკუთხედი აქვს, ეწოდება ტეტრაედონი.

პირამიდა ე.წ სწორითუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

\((a)\) პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია;

\((ბ)\) პირამიდის სიმაღლე გადის ფუძესთან ახლოს შემოხაზული წრის ცენტრში;

\((გ)\) გვერდითი ნეკნები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

\((დ)\) გვერდითი სახეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

რეგულარული ტეტრაედონიარის სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.

თეორემა

პირობები \((a), (b), (c), (d)\) ექვივალენტურია.

მტკიცებულება

დახაზეთ პირამიდის სიმაღლე \(PH\) . დაე, \(\alpha\) იყოს პირამიდის ფუძის სიბრტყე.

1) დავამტკიცოთ, რომ \((a)\) გულისხმობს \((ბ)\) . მოდით \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

იმიტომ რომ \(PH\perp \alpha\) , მაშინ \(PH\) პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერ წრფეზე, ამიტომ სამკუთხედები მართკუთხაა. ასე რომ, ეს სამკუთხედები ტოლია საერთო ფეხში \(PH\) და ჰიპოტენუზაში \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . ასე რომ, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . ეს ნიშნავს, რომ წერტილები \(A_1, A_2, ..., A_n\) ერთსა და იმავე მანძილზეა \(H\) წერტილიდან, შესაბამისად, ისინი დევს იმავე წრეზე \(A_1H\) რადიუსით. ეს წრე, განსაზღვრებით, შემოიფარგლება პოლიგონზე \(A_1A_2...A_n\) .

2) დავამტკიცოთ, რომ \((b)\) გულისხმობს \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა და ტოლი ორ ფეხში. მაშასადამე, მათი კუთხეებიც თანაბარია, შესაბამისად, \(\კუთხე PA_1H=\კუთხე PA_2H=...=\კუთხე PA_nH\).

3) დავამტკიცოთ, რომ \((c)\) გულისხმობს \((a)\) .

პირველი წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა და ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხე. ეს ნიშნავს, რომ მათი ჰიპოტენუსებიც ტოლია, ანუ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) დავამტკიცოთ, რომ \((ბ)\) გულისხმობს \((დ)\) .

იმიტომ რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ერთმანეთს ემთხვევა (ზოგადად რომ ვთქვათ, ამ წერტილს რეგულარული მრავალკუთხედის ცენტრს უწოდებენ), მაშინ \(H\) არის ჩაწერილი წრის ცენტრი. დავხატოთ პერპენდიკულარები \(H\) წერტილიდან ფუძის გვერდებზე: \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. ეს არის შემოხაზული წრის რადიუსი (განმარტებით). შემდეგ, TTP-ის მიხედვით, (\(PH\) არის სიბრტყის პერპენდიკულარული, \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. არის გვერდებზე პერპენდიკულარული პროექციები) ირიბი \(PK_1, PK_2\) და ა.შ. გვერდებზე პერპენდიკულარული \(A_1A_2, A_2A_3\) და ა.შ. შესაბამისად. ასე რომ, განსაზღვრებით \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H\)ტოლი კუთხეების გვერდითა სახეებსა და ფუძეს შორის. იმიტომ რომ სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც მართკუთხა ორ ფეხზე), შემდეგ კუთხეები \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H, ...\)თანაბარი არიან.

5) დავამტკიცოთ, რომ \((დ)\) გულისხმობს \((ბ)\) .

მეოთხე წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც ფეხის გასწვრივ მართკუთხა და მწვავე კუთხე), რაც ნიშნავს, რომ სეგმენტები \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) თანაბარი არიან. აქედან გამომდინარე, განმარტებით, \(H\) არის ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრი. მაგრამ მას შემდეგ რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის, შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ემთხვევა, მაშინ \(H\) არის შემოხაზული წრის ცენტრი. ჩტდ.

შედეგი

რეგულარული პირამიდის გვერდითი მხარეები არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედები.

განმარტება

მისი ზემოდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ე.წ აპოთემა.
რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი სახის აპოთემები ერთმანეთის ტოლია და ასევე არის მედიანები და ბისექტრები.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის სიმაღლეების (ან ბისექტორების, ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილამდე (ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი).

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს (ფუძე არის კვადრატი).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს (ფუძე არის რეგულარული ექვსკუთხედი).

4. პირამიდის სიმაღლე პერპენდიკულარულია ძირში მდებარე ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ.

განმარტება

პირამიდა ე.წ მართკუთხათუ მისი ერთ-ერთი გვერდითი კიდე არის ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარული.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. მართკუთხა პირამიდისთვის ფუძის პერპენდიკულარული კიდე არის პირამიდის სიმაღლე. ანუ \(SR\) არის სიმაღლე.

2. რადგან \(SR\) ფუძედან რომელიმე წრფეზე პერპენდიკულარული, მაშინ \(\სამკუთხედი SRM, \სამკუთხედი SRP\)არის მართკუთხა სამკუთხედები.

3. სამკუთხედები \(\სამკუთხედი SRN, \სამკუთხედი SRK\)ასევე მართკუთხაა.
ანუ ამ კიდით წარმოქმნილი ნებისმიერი სამკუთხედი და ამ კიდის წვეროდან გამომავალი დიაგონალი, რომელიც დევს ძირში, იქნება მართკუთხა.

\[(\დიდი(\ტექსტი(პირამიდის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი)))\]

თეორემა

პირამიდის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და პირამიდის სიმაღლის ნამრავლის მესამედს: \

შედეგები

დაე, \(a\) იყოს ფუძის მხარე, \(h\) იყოს პირამიდის სიმაღლე.

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვენა სამკუთხედი პირ.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. რეგულარული ტეტრაედრის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვნივ ტეტრა.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

თეორემა

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს.

\[(\დიდი(\ტექსტი(შეკვეცილი პირამიდა)))\]

განმარტება

განვიხილოთ თვითნებური პირამიდა \(PA_1A_2A_3...A_n\) . მოდით დავხატოთ სიბრტყე პირამიდის ფუძის პარალელურად, პირამიდის გვერდით კიდეზე მდებარე გარკვეულ წერტილში. ეს სიბრტყე პირამიდას ორ პოლიედრად გაყოფს, რომელთაგან ერთი არის პირამიდა (\(PB_1B_2...B_n\)), მეორეს კი ე.წ. შეკვეცილი პირამიდა(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

ჩამოჭრილ პირამიდას აქვს ორი ფუძე - პოლიგონები \(A_1A_2...A_n\) და \(B_1B_2...B_n\) , რომლებიც ერთმანეთის მსგავსია.

დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც შედგენილია ზედა ფუძის რაღაც წერტილიდან ქვედა ფუძის სიბრტყემდე.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე ტრაპეციაა.

2. სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წესიერი დამსხვრეული პირამიდის ფუძეების ცენტრებს (ანუ რეგულარული პირამიდის მონაკვეთით მიღებული პირამიდა) არის სიმაღლე.

შესავალი

როდესაც სტერეომეტრიული ფიგურების შესწავლა დავიწყეთ, შევეხეთ თემას „პირამიდა“. ჩვენ მოგვწონს ეს თემა, რადგან პირამიდა ძალიან ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში. და რადგან ჩვენი მომავალი პროფესია, როგორც არქიტექტორი, ამ ფიგურით არის შთაგონებული, ვფიქრობთ, რომ ის შეძლებს დიდ პროექტებზე აგვიყვანას.

არქიტექტურული სტრუქტურების სიძლიერე, მათი ყველაზე მნიშვნელოვანი ხარისხი. სიძლიერის დაკავშირება, პირველ რიგში, იმ მასალებთან, საიდანაც ისინი იქმნება და, მეორეც, დიზაინის გადაწყვეტილებების მახასიათებლებთან, აღმოჩნდება, რომ სტრუქტურის სიძლიერე პირდაპირ კავშირშია გეომეტრიულ ფორმასთან, რომელიც არის მისთვის ძირითადი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საუბარია გეომეტრიულ ფიგურაზე, რომელიც შეიძლება მივიჩნიოთ შესაბამისი არქიტექტურული ფორმის მოდელად. გამოდის, რომ გეომეტრიული ფორმა ასევე განსაზღვრავს არქიტექტურული სტრუქტურის სიმტკიცეს.

ეგვიპტური პირამიდები დიდი ხანია ითვლებოდა ყველაზე გამძლე არქიტექტურულ ნაგებობად. მოგეხსენებათ, მათ აქვთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების ფორმა.

სწორედ ეს გეომეტრიული ფორმა უზრუნველყოფს უდიდეს სტაბილურობას დიდი ბაზის ფართობის გამო. მეორეს მხრივ, პირამიდის ფორმა უზრუნველყოფს მასის შემცირებას მიწის ზემოთ სიმაღლის მატებასთან ერთად. სწორედ ეს ორი თვისება ხდის პირამიდას სტაბილურს და, შესაბამისად, ძლიერს გრავიტაციის პირობებში.

პროექტის მიზანი: ისწავლე რაიმე ახალი პირამიდების შესახებ, გაიღრმავე ცოდნა და იპოვე პრაქტიკული აპლიკაციები.

ამ მიზნის მისაღწევად საჭირო იყო შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:

გაეცანით ისტორიულ ინფორმაციას პირამიდის შესახებ

განვიხილოთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული ფიგურა

იპოვნეთ განაცხადი ცხოვრებაში და არქიტექტურაში

იპოვნეთ მსგავსება და განსხვავებები პირამიდებს შორის, რომლებიც მდებარეობს მსოფლიოს სხვადასხვა კუთხეში

თეორიული ნაწილი

ისტორიული ცნობები

პირამიდის გეომეტრიის დასაწყისი ჩაეყარა ძველ ეგვიპტესა და ბაბილონში, მაგრამ იგი აქტიურად განვითარდა ძველ საბერძნეთში. პირველი, ვინც დაადგინა, თუ რისი ტოლია პირამიდის მოცულობა იყო დემოკრიტე და ევდოქსი კნიდუსელმა დაამტკიცა. ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდმა სისტემატიზაცია მოახდინა პირამიდის შესახებ ცოდნის შესახებ მისი "დასაწყისების" XII ტომში და ასევე გამოაქვეყნა პირამიდის პირველი განმარტება: სხეულის ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია თვითმფრინავებით, რომლებიც ერთ წერტილში ხვდებიან ერთი სიბრტყიდან.

ეგვიპტური ფარაონების სამარხები. მათგან ყველაზე დიდი - კეოპსის, ხაფრეს და მიკერინის პირამიდები ელ გიზაში ძველად მსოფლიოს შვიდ საოცრებად ითვლებოდა. პირამიდის აღმართვა, რომელშიც ბერძნებმა და რომაელებმა უკვე დაინახეს ძეგლი მეფეთა უპრეცედენტო სიამაყისა და სისასტიკისთვის, რამაც მთელი ეგვიპტის ხალხი გააწირა უაზრო მშენებლობისთვის, იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი საკულტო აქტი და უნდა გამოეხატა, როგორც ჩანს, ქვეყნისა და მისი მმართველის მისტიურ იდენტობას. საფლავის მშენებლობაზე ქვეყნის მოსახლეობა სასოფლო-სამეურნეო სამუშაოებისგან თავისუფალ დროს მუშაობდა. არაერთი ტექსტი მოწმობს იმ ყურადღებასა და ზრუნვას, რომელსაც თავად მეფეები (თუმცა უფრო გვიანდელი) აქცევდნენ თავიანთი საფლავის და მისი მშენებლების მშენებლობას. ასევე ცნობილია განსაკუთრებული საკულტო ღირსებების შესახებ, რაც აღმოჩნდა თავად პირამიდა.

Ძირითადი ცნებები

პირამიდამრავალკუთხედს უწოდებენ, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, მისი ზემოდან გამოყვანილი;

გვერდითი სახეები- სამკუთხედები თავმოყრილია;

გვერდითი ნეკნები- გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;

პირამიდის მწვერვალი- გვერდითი კიდეების დამაკავშირებელი წერტილი და არ დევს ფუძის სიბრტყეში;

სიმაღლე- პერპენდიკულარულის სეგმენტი, რომელიც გაყვანილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ამ სეგმენტის ბოლოებია პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);

პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ზევით და ფუძის დიაგონალზე;

ბაზა- მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის მწვერვალს.

სწორი პირამიდის ძირითადი თვისებები

გვერდითი კიდეები, გვერდითი სახეები და აპოთემები, შესაბამისად, თანაბარია.

ძირში დიედრული კუთხეები ტოლია.

გვერდითა კიდეებზე დიედრული კუთხეები ტოლია.

სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან.

თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან.

პირამიდის ძირითადი ფორმულები

პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი (სრული და შეკვეცილი) არის მისი ყველა გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი, მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.

თეორემა: რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევარს.

გვ- ბაზის პერიმეტრი;

თ- აპოთემა.

დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

p1, გვ 2 - ბაზის პერიმეტრები;

თ- აპოთემა.

რ- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის მთლიანი ზედაპირი;

S მხარე- რეგულარული დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S1 + S2- ბაზის ფართობი

პირამიდის მოცულობა

ფორმა მოცულობის მასშტაბი გამოიყენება ნებისმიერი სახის პირამიდებისთვის.

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

პირამიდის კუთხეები

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება პირამიდის გვერდით და ფუძით, პირამიდის ძირში მდებარე დიედრული კუთხეები ეწოდება.

ორმხრივი კუთხე იქმნება ორი პერპენდიკულურით.

ამ კუთხის დასადგენად, ხშირად უნდა გამოიყენოთ სამი პერპენდიკულარული თეორემა.

კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება გვერდითი კიდით და მისი პროექციით ფუძის სიბრტყეზე, ეწოდება კუთხეები გვერდითი კიდესა და ფუძის სიბრტყეს შორის.

ორი გვერდითი სახიდან წარმოქმნილი კუთხე ეწოდება დიჰედრული კუთხე პირამიდის გვერდითი კიდეზე.

კუთხე, რომელსაც პირამიდის ერთი სახის ორი გვერდითი კიდე ქმნის, ე.წ კუთხე პირამიდის თავზე.

პირამიდის მონაკვეთები

პირამიდის ზედაპირი პოლიედრონის ზედაპირია. მისი თითოეული სახე არის სიბრტყე, ამიტომ პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც მოცემულია სკანტური სიბრტყით არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება ცალკეული სწორი ხაზებისგან.

დიაგონალური განყოფილება

პირამიდის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე, ეწოდება დიაგონალური განყოფილებაპირამიდები.

პარალელური მონაკვეთები

თეორემა:

თუ პირამიდას კვეთს ფუძის პარალელურად სიბრტყე, მაშინ პირამიდის გვერდითი კიდეები და სიმაღლეები ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

ამ სიბრტყის მონაკვეთი არის ფუძის მსგავსი მრავალკუთხედი;

მონაკვეთისა და ფუძის ფართობები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, როგორც ზემოდან მათი მანძილის კვადრატები.

პირამიდის სახეები

სწორი პირამიდა- პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში.

სწორ პირამიდაზე:

1. გვერდითი ნეკნები ტოლია

2. გვერდითი სახეები თანაბარია

3. აპოთემები ტოლია

4. ძირში ორმხრივი კუთხეები ტოლია

5. გვერდითი კიდეების ორმხრივი კუთხეები ტოლია

6. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან

7. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან

შეკვეცილი პირამიდა- პირამიდის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ძირის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

დამსხვრეული პირამიდის ფუძე და შესაბამისი მონაკვეთი ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები.

ერთი ფუძის ნებისმიერი წერტილიდან მეორის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე.

Დავალებები

No1. რეგულარულ ოთხკუთხა პირამიდაში წერტილი O არის ფუძის ცენტრი, SO=8 სმ, BD=30 სმ. იპოვეთ გვერდითი კიდე SA.

Პრობლემის გადაჭრა

No1. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა სახე და კიდე თანაბარია.

განვიხილოთ OSB: OSB-მართკუთხა მართკუთხედი, რადგან.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

პირამიდა არქიტექტურაში

პირამიდა - მონუმენტური ნაგებობა ჩვეულებრივი რეგულარული გეომეტრიული პირამიდის სახით, რომელშიც გვერდები ერთ წერტილში იყრის თავს. ფუნქციური დანიშნულების მიხედვით, ძველად პირამიდები სამარხი ან თაყვანისმცემლობის ადგილი იყო. პირამიდის ფუძე შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა ან პოლიგონური წვეროების თვითნებური რაოდენობით, მაგრამ ყველაზე გავრცელებული ვერსია არის ოთხკუთხა ფუძე.

ცნობილია დიდი რაოდენობით პირამიდები, რომლებიც აშენებულია ძველი სამყაროს სხვადასხვა კულტურის მიერ, ძირითადად ტაძრებისა თუ ძეგლების სახით. ყველაზე დიდი პირამიდები ეგვიპტური პირამიდებია.

მთელ დედამიწაზე შეგიძლიათ იხილოთ არქიტექტურული სტრუქტურები პირამიდების სახით. პირამიდის შენობები ძველ დროებს მოგვაგონებს და ძალიან ლამაზად გამოიყურება.

ეგვიპტური პირამიდები ძველი ეგვიპტის უდიდესი არქიტექტურული ძეგლია, რომელთა შორის ერთ-ერთი "მსოფლიოს შვიდი საოცრება" არის კეოპსის პირამიდა. ფეხიდან ზევით აღწევს 137,3 მ, ხოლო სანამ მწვერვალს დაკარგავდა, მისი სიმაღლე 146,7 მ იყო.

1983 წელს აშენდა რადიოსადგურის შენობა სლოვაკეთის დედაქალაქში, რომელიც წააგავს შებრუნებულ პირამიდის. .

ლუვრმა, რომელიც „პირამიდასავით მდუმარე და დიდებულია“ საუკუნეების მანძილზე მრავალი ცვლილება განიცადა, სანამ მსოფლიოს უდიდეს მუზეუმად იქცა. იგი დაიბადა 1190 წელს ფილიპ ავგუსტუსის მიერ აღმართულ ციხედ, რომელიც მალე სამეფო რეზიდენციად იქცა. 1793 წელს სასახლე გახდა მუზეუმი. კოლექციები მდიდრდება ანდერძით ან შესყიდვებით.