რიცხვითი მიმდევრობები VI

§ l48. უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

აქამდე, ჯამებზე საუბრისას, ყოველთვის ვივარაუდეთ, რომ ამ ჯამებში ტერმინების რაოდენობა სასრულია (მაგალითად, 2, 15, 1000 და ა.შ.). მაგრამ ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას (განსაკუთრებით უმაღლესი მათემატიკა), საქმე უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამებთან უნდა იყოს.

S= ა 1 + ა 2 + ... + ა ნ + ... . (1)

რა არის ეს თანხები? ა-პრიორიტეტი უსასრულო რაოდენობის წევრთა ჯამი ა 1 , ა 2 , ..., ა ნ , ... ეწოდება ჯამის ზღვარი S ნ პირველი პ ნომრები როცა პ -> ∞ :

S=S ნ = (ა 1 + ა 2 + ... + ა ნ ). (2)

ლიმიტი (2), რა თქმა უნდა, შეიძლება არსებობდეს ან არ იყოს. შესაბამისად, ჯამს (1) ამბობენ, რომ არსებობს ან არ არსებობს.

როგორ გავარკვიოთ არის თუ არა ჯამი (1) თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში? ამ საკითხის ზოგადი გადაწყვეტა სცილდება ჩვენი პროგრამის ფარგლებს. თუმცა, არის ერთი მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც ახლა უნდა განვიხილოთ. ჩვენ ვისაუბრებთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამზე.

დაე იყოს ა 1 , ა 1 ქ , ა 1 ქ 2, ... არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. ეს ნიშნავს, რომ | ქ |< 1. Сумма первых პ ამ პროგრესის წევრები უდრის

ცვლადების ზღვრების ძირითადი თეორემებიდან (იხ. § 136) ვიღებთ:

მაგრამ 1 = 1, ა q n = 0. ამიტომ

ასე რომ, უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი უდრის ამ პროგრესის პირველ წევრს გაყოფილი ერთზე გამოკლებული ამ პროგრესიის მნიშვნელი.

1) გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... არის

ხოლო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 12; -6; 3; - 3/2 , ... უდრის

2) მარტივი პერიოდული წილადი 0,454545 ... გადაიქცევა ჩვეულებრივად.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ წარმოვადგენთ ამ წილადს უსასრულო ჯამის სახით:

ამ ტოლობის მარჯვენა მხარე არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომლის პირველი წევრია 45/100, ხოლო მნიშვნელი არის 1/100. Ისე

აღწერილი წესით, მარტივი პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის ზოგადი წესიც შეიძლება მივიღოთ (იხ. თავი II, § 38):

მარტივი პერიოდული წილადის ჩვეულებრივად გადასაყვანად, თქვენ უნდა მოიქცეთ შემდეგნაირად: ჩასვით ათწილადის პერიოდი მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში - რიცხვი, რომელიც შედგება ცხრასგან, აღებული იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვი პერიოდში. ათობითი წილადის.

3) შერეული პერიოდული წილადი 0,58333 .... გადაიქცევა ჩვეულებრივ წილადად.

წარმოვიდგინოთ ეს წილადი უსასრულო ჯამის სახით:

ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს ყველა წევრი, დაწყებული 3/1000-დან, ქმნის უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის პირველი წევრია 3/1000, ხოლო მნიშვნელი არის 1/10. Ისე

აღწერილი წესით, შერეული პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის ზოგადი წესიც შეიძლება მივიღოთ (იხ. თავი II, § 38). ჩვენ შეგნებულად არ შევიტანთ მას აქ. არ არის საჭირო ამ უხერხული წესის დამახსოვრება. ბევრად უფრო სასარგებლოა იმის ცოდნა, რომ ნებისმიერი შერეული პერიოდული წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი. და ფორმულა

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამისთვის, რა თქმა უნდა, უნდა გვახსოვდეს.

როგორც სავარჯიშო, გეპატიჟებით, გარდა ქვემოთ მოყვანილი No995-1000 პრობლემებისა, კიდევ ერთხელ მიმართოთ No301 § 38 პრობლემას.

Სავარჯიშოები

995. რა ჰქვია უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამს?

996. იპოვეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიების ჯამები:

997. რა ღირებულებებისთვის X პროგრესირება

უსასრულოდ მცირდება? იპოვეთ ასეთი პროგრესიის ჯამი.

998. გვერდითი ტოლგვერდა სამკუთხედში ა ახალი სამკუთხედი იწერება მისი გვერდების შუა წერტილების შეერთებით; ამ სამკუთხედში იგივენაირად იწერება ახალი სამკუთხედი და ა.შ. ad infinitum.

ა) ყველა ამ სამკუთხედის პერიმეტრების ჯამი;

ბ) მათი ფართობების ჯამი.

999. გვერდითი კვადრატში ა ახალი კვადრატი იწერება მისი გვერდების შუა წერტილების შეერთებით; ამ კვადრატში კვადრატი იწერება იმავე გზით და ასე უსასრულოდ. იპოვეთ ყველა ამ კვადრატის პერიმეტრის ჯამი და მათი ფართობების ჯამი.

1000. გააკეთეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, ისეთი, რომ მისი ჯამი უდრის 25/4-ს, ხოლო მისი წევრთა კვადრატების ჯამი უდრის 625/24-ს.

გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი არ არის ნულოვანი და ყოველი შემდეგი წევრი უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე არანულოვან რიცხვზე.

გეომეტრიული პროგრესიის კონცეფცია

გეომეტრიული პროგრესია აღინიშნება b1,b2,b3, …, bn, ….

გეომეტრიული შეცდომის ნებისმიერი წევრის შეფარდება მის წინა წევრთან იგივე რიცხვის ტოლია, ანუ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+). 1)/bn =…. ეს პირდაპირ გამომდინარეობს არითმეტიკული პროგრესიის განმარტებიდან. ამ რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი. როგორც წესი, გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი აღინიშნება ასო q-ით.

უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი |q|-ისთვის<1

გეომეტრიული პროგრესიის დაყენების ერთ-ერთი გზაა მისი პირველი წევრის b1 და გეომეტრიული შეცდომის q მნიშვნელის დაყენება. მაგალითად, b1=4, q=-2. ეს ორი პირობა იძლევა გეომეტრიულ პროგრესიას 4, -8, 16, -32, ... .

თუ q>0 (q არ უდრის 1-ს), მაშინ პროგრესი არის მონოტონური მიმდევრობა. მაგალითად, მიმდევრობა, 2, 4,8,16,32, ... არის მონოტონურად მზარდი მიმდევრობა (b1=2, q=2).

თუ მნიშვნელი q=1 გეომეტრიულ შეცდომაში, მაშინ გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრი ერთმანეთის ტოლი იქნება. ასეთ შემთხვევებში, პროგრესი ითვლება მუდმივი თანმიმდევრობით.

იმისათვის, რომ რიცხვითი მიმდევრობა (bn) იყოს გეომეტრიული პროგრესია, აუცილებელია, რომ მისი ყოველი წევრი, მეორედან დაწყებული, იყოს მეზობელი წევრების გეომეტრიული საშუალო. ანუ აუცილებელია შემდეგი განტოლების შესრულება
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), ნებისმიერი n>0-სთვის, სადაც n ეკუთვნის N ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.

ახლა დავდოთ (Xn) - გეომეტრიული პროგრესია. გეომეტრიული პროგრესიის q მნიშვნელი, |q|∞-ით).
თუ ახლა S-ით აღვნიშნავთ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამს, მაშინ იმოქმედებს შემდეგი ფორმულა:
S=x1/(1-q).

განვიხილოთ მარტივი მაგალითი:

იპოვეთ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

S-ის საპოვნელად ვიყენებთ უსასრულო არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

თუ ყოველი ნატურალური რიცხვი ნ ემთხვევა რეალურ რიცხვს a n , მაშინ ამბობენ, რომ მოცემული რიცხვების თანმიმდევრობა :

ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n , . . . .

ასე რომ, რიცხვითი მიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია.

ნომერი ა 1 დაურეკა მიმდევრობის პირველი წევრი , ნომერი ა 2 — მიმდევრობის მეორე წევრი , ნომერი ა 3 — მესამე და ა.შ. ნომერი a n დაურეკა მიმდევრობის მე-n წევრი და ნატურალური რიცხვი ნ — მისი ნომერი .

ორი მეზობელი წევრისგან a n და a n +1 წევრის თანმიმდევრობა a n +1 დაურეკა შემდგომი ( მიმართ a n ), ა a n — წინა ( მიმართ a n +1 ).

მიმდევრობის დასაზუსტებლად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მეთოდი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ მიმდევრობის წევრი ნებისმიერი რიცხვით.

ხშირად თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე ტერმინის ფორმულები , ანუ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მიმდევრობის წევრი მისი რიცხვით.

Მაგალითად,

დადებითი კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მოცემული ფორმულით

a n= 2n- 1,

და მონაცვლეობის თანმიმდევრობა 1 და -1 - ფორმულა

ბნ = (-1)ნ +1 . ◄

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს განმეორებითი ფორმულა, ანუ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის რომელიმე წევრს, დაწყებული ზოგიერთით, წინა (ერთი ან მეტი) წევრის გავლით.

Მაგალითად,

თუ ა 1 = 1 , ა a n +1 = a n + 5

ა 1 = 1,

ა 2 = ა 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ა 3 = ა 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ა 4 = ა 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ა 5 = ა 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Თუ a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , მაშინ რიცხვითი მიმდევრობის პირველი შვიდი წევრი დაყენებულია შემდეგნაირად:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

ა 6 = ა 4 + ა 5 = 3 + 5 = 8,

ა 7 = ა 5 + ა 6 = 5 + 8 = 13. ◄

თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს საბოლოო და გაუთავებელი .

თანმიმდევრობა ე.წ საბოლოო თუ მას ჰყავს წევრების სასრული რაოდენობა. თანმიმდევრობა ე.წ გაუთავებელი თუ მას უსასრულოდ ბევრი წევრი ჰყავს.

Მაგალითად,

ორნიშნა ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

საბოლოო.

ძირითადი რიცხვების თანმიმდევრობა:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

გაუთავებელი. ◄

თანმიმდევრობა ე.წ იზრდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე მეტია.

თანმიმდევრობა ე.წ მცირდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე ნაკლებია.

Მაგალითად,

2, 4, 6, 8, . . . , 2ნ, . . . არის აღმავალი მიმდევრობა;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ნ, . . . არის დაღმავალი მიმდევრობა. ◄

თანმიმდევრობას, რომლის ელემენტები არ მცირდება რიცხვის ზრდასთან ერთად, ან, პირიქით, არ იზრდება, ეწოდება ერთფეროვანი თანმიმდევრობა .

მონოტონური მიმდევრობები, კერძოდ, არის მზარდი და კლებადი მიმდევრობები.

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, რომელსაც ემატება იგივე რიცხვი.

ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n, . . .

არის არითმეტიკული პროგრესია, თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:

a n +1 = a n + დ,

სადაც დ - რაღაც ნომერი.

ამრიგად, სხვაობა მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის შემდეგ და წინა წევრებს შორის ყოველთვის მუდმივია:

a 2 - ა 1 = a 3 - ა 2 = . . . = a n +1 - a n = დ.

ნომერი დ დაურეკა არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის დასაყენებლად საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და განსხვავება.

Მაგალითად,

თუ ა 1 = 3, დ = 4 , მაშინ მიმდევრობის პირველი ხუთი წევრი გვხვდება შემდეგნაირად:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + დ = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + დ= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + დ= 11 + 4 = 15,

ა 5 = ა 4 + დ= 15 + 4 = 19. ◄

პირველი წევრის არითმეტიკული პროგრესიისთვის ა 1 და განსხვავება დ მისი ნ

a n = a 1 + (ნ- 1)დ.

Მაგალითად,

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის ოცდამეათე წევრი

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, დ = 3,

30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (ნ- 2)დ,

a n= a 1 + (ნ- 1)დ,

a n +1 = ა 1 + და,

მაშინ აშკარად

a n=	a n-1 + a n+1
	2

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.

რიცხვები a, b და c არიან ზოგიერთი არითმეტიკული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი უდრის დანარჩენი ორის საშუალო არითმეტიკულს.

Მაგალითად,

a n = 2ნ- 7 , არის არითმეტიკული პროგრესია.

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:

a n = 2ნ- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ნ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ნ- 5.

აქედან გამომდინარე,

a n+1 + a n-1	=	2ნ- 5 + 2ნ- 9	= 2ნ- 7 = a n,
2		2

◄

Გაითვალისწინე ნ - არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ა 1 , არამედ ნებისმიერი წინა კ

a n = კ + (ნ- კ)დ.

Მაგალითად,

ამისთვის ა 5 შეიძლება დაიწეროს

a 5 = a 1 + 4დ,

a 5 = a 2 + 3დ,

a 5 = a 3 + 2დ,

a 5 = a 4 + დ. ◄

a n = ნ-კ + კდ,

a n = a n+k - კდ,

მაშინ აშკარად

a n=	ა ნ-კ + ა n+k
	2

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის ამ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამის ნახევარს მისგან თანაბრად დაშორებული.

გარდა ამისა, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიისთვის, თანასწორობა მართალია:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Მაგალითად,

არითმეტიკული პროგრესიით

1) ა 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ა 9 + ა 11 )/2;

2) 28 = ა 10 = a 3 + 7დ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ა 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, როგორც

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

პირველი ნ არითმეტიკული პროგრესიის წევრები უდრის უკიდურესი წევრთა ჯამის ნახევრის ნამრავლს წევრთა რაოდენობის მიხედვით:

აქედან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ თუ საჭიროა ვადების შეჯამება

კ, კ +1 , . . . , a n,

მაშინ წინა ფორმულა ინარჩუნებს თავის სტრუქტურას:

Მაგალითად,

არითმეტიკული პროგრესიით 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ს 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ს 10 - ს 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

თუ მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, მაშინ რაოდენობები ა 1 , a n, დ, ნდას ნ დაკავშირებულია ორი ფორმულით:

მაშასადამე, თუ მოცემულია ამ რაოდენობის სამის მნიშვნელობები, მაშინ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.

არითმეტიკული პროგრესია არის მონოტონური თანმიმდევრობა. სადაც:

• თუ დ > 0 , მაშინ ის იზრდება;
• თუ დ < 0 , მაშინ ის მცირდება;
• თუ დ = 0 , მაშინ თანმიმდევრობა სტაციონარული იქნება.

გეომეტრიული პროგრესია

გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . , ბ ნ, . . .

არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:

ბ ნ +1 = ბ ნ · ქ,

სადაც ქ ≠ 0 - რაღაც ნომერი.

ამრიგად, ამ გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის თანაფარდობა წინასთან არის მუდმივი რიცხვი:

ბ 2 / ბ 1 = ბ 3 / ბ 2 = . . . = ბ ნ +1 / ბ ნ = ქ.

ნომერი ქ დაურეკა გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიის დასაყენებლად საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და მნიშვნელი.

Მაგალითად,

თუ ბ 1 = 1, ქ = -3 , მაშინ მიმდევრობის პირველი ხუთი წევრი გვხვდება შემდეგნაირად:

ბ 1 = 1,

ბ 2 = ბ 1 · ქ = 1 · (-3) = -3,

ბ 3 = ბ 2 · ქ= -3 · (-3) = 9,

ბ 4 = ბ 3 · ქ= 9 · (-3) = -27,

ბ 5 = ბ 4 · ქ= -27 · (-3) = 81. ◄

ბ 1 და მნიშვნელი ქ მისი ნ - ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

ბ ნ = ბ 1 · q n -1 .

Მაგალითად,

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე წევრი 1, 2, 4, . . .

ბ 1 = 1, ქ = 2,

ბ 7 = ბ 1 · ქ 6 = 1 2 6 = 64. ◄

ბნ-1 = ბ 1 · q n -2 ,

ბ ნ = ბ 1 · q n -1 ,

ბ ნ +1 = ბ 1 · q n,

მაშინ აშკარად

ბ ნ 2 = ბ ნ -1 · ბ ნ +1 ,

გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების გეომეტრიულ საშუალოს (პროპორციულს).

ვინაიდან საპირისპირო ასევე მართალია, შემდეგი მტკიცება მოქმედებს:

რიცხვები a, b და c არიან გარკვეული გეომეტრიული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორის ნამრავლს, ანუ რიცხვებიდან ერთი არის დანარჩენი ორის გეომეტრიული საშუალო.

Მაგალითად,

დავამტკიცოთ, რომ ფორმულით მოცემული თანმიმდევრობა ბ ნ= -3 2 ნ , არის გეომეტრიული პროგრესია. მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:

ბ ნ= -3 2 ნ,

ბ ნ -1 = -3 2 ნ -1 ,

ბ ნ +1 = -3 2 ნ +1 .

აქედან გამომდინარე,

ბ ნ 2 = (-3 2 ნ) 2 = (-3 2 ნ -1 ) (-3 2 ნ +1 ) = ბ ნ -1 · ბ ნ +1 ,

რომელიც ამტკიცებს საჭირო მტკიცებას. ◄

Გაითვალისწინე ნ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ბ 1 , არამედ ნებისმიერი წინა ტერმინი ბ კ , რისთვისაც საკმარისია ფორმულის გამოყენება

ბ ნ = ბ კ · q n - კ.

Მაგალითად,

ამისთვის ბ 5 შეიძლება დაიწეროს

ბ 5 = ბ 1 · ქ 4 ,

ბ 5 = ბ 2 · q 3,

ბ 5 = ბ 3 · q2,

ბ 5 = ბ 4 · ქ. ◄

ბ ნ = ბ კ · q n - კ,

ბ ნ = ბ ნ - კ · q k,

მაშინ აშკარად

ბ ნ 2 = ბ ნ - კ· ბ ნ + კ

გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის კვადრატი, მეორიდან დაწყებული, უდრის მისგან თანაბარ მანძილზე დაშორებული ამ პროგრესიის წევრების ნამრავლს.

გარდა ამისა, ნებისმიერი გეომეტრიული პროგრესიისთვის, თანასწორობა მართალია:

ბ მ· ბ ნ= ბ კ· ბ ლ,

მ+ ნ= კ+ ლ.

Მაგალითად,

ექსპონენტურად

1) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ბ 5 · ბ 7 ;

2) 1024 = ბ 11 = ბ 6 · ქ 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ბ 4 · ბ 8 ;

4) ბ 2 · ბ 7 = ბ 4 · ბ 5 , როგორც

ბ 2 · ბ 7 = 2 · 64 = 128,

ბ 4 · ბ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . + ბ ნ

პირველი ნ გეომეტრიული პროგრესიის წევრები მნიშვნელით ქ ≠ 0 გამოითვლება ფორმულით:

Და როცა ქ = 1 - ფორმულის მიხედვით

S n= ნ.ბ. 1

გაითვალისწინეთ, რომ თუ დაგვჭირდება ტერმინების შეჯამება

ბ კ, ბ კ +1 , . . . , ბ ნ,

შემდეგ გამოიყენება ფორმულა:

S n- ს კ -1 = ბ კ + ბ კ +1 + . . . + ბ ნ = ბ კ ·	1 - q n - კ +1	.
	1 - ქ

Მაგალითად,

ექსპონენტურად 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ს 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ს 10 - ს 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

თუ მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია, მაშინ რაოდენობები ბ 1 , ბ ნ, ქ, ნდა S n დაკავშირებულია ორი ფორმულით:

მაშასადამე, თუ მოცემული სიდიდეებიდან რომელიმე სამის მნიშვნელობებია მოცემული, მაშინ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.

პირველი ტერმინით გეომეტრიული პროგრესიისთვის ბ 1 და მნიშვნელი ქ ხდება შემდეგი ერთფეროვნების თვისებები :

• პროგრესი იზრდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

ბ 1 > 0 და ქ> 1;

ბ 1 < 0 და 0 < ქ< 1;

• პროგრესირება მცირდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

ბ 1 > 0 და 0 < ქ< 1;

ბ 1 < 0 და ქ> 1.

Თუ ქ< 0 , მაშინ გეომეტრიული პროგრესია არის ნიშნის ალტერნატიული: მის კენტ რიცხვიან წევრებს აქვთ იგივე ნიშანი, რაც მის პირველ წევრს, ხოლო ლუწი რიცხვებს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. ნათელია, რომ ალტერნატიული გეომეტრიული პროგრესია არ არის მონოტონური.

პირველი პროდუქტი ნ გეომეტრიული პროგრესიის პირობები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:

P n= ბ 1 · ბ 2 · ბ 3 · . . . · ბ ნ = (ბ 1 · ბ ნ) ნ / 2 .

Მაგალითად,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება უსასრულო გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის მნიშვნელის მოდული ნაკლებია 1 , ე.ი

|ქ| < 1 .

გაითვალისწინეთ, რომ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება არ იყოს კლებადი მიმდევრობა. ეს უხდება საქმეს

1 < ქ< 0 .

ასეთი მნიშვნელით, თანმიმდევრობა ნიშან-ალტერნატიულია. Მაგალითად,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი დაასახელეთ რიცხვი, რომელსაც პირველის ჯამი ნ პროგრესირების პირობები რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით ნ . ეს რიცხვი ყოველთვის სასრულია და გამოიხატება ფორმულით

ს= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . =	ბ 1	.
	1 - ქ

Მაგალითად,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების კავშირი

არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები მჭიდრო კავშირშია. განვიხილოთ მხოლოდ ორი მაგალითი.

ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . დ , მაშინ

ბ ა 1 , ბ ა 2 , ბ ა 3 , . . . ბ დ .

Მაგალითად,

1, 3, 5, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით 2 და

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 7 2 . ◄

ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით ქ , მაშინ

შესვლა a b 1, შესვლა a b 2, log a b 3, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ჟურნალი აქ .

Მაგალითად,

2, 12, 72, . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 6 და

ლგ 2, ლგ 12, ლგ 72, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ლგ 6 . ◄

ფიზიკისა და მათემატიკის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნა შესაძლებელია რიცხვითი რიგის თვისებების გამოყენებით. ორი უმარტივესი რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელიც ისწავლება სკოლებში არის ალგებრული და გეომეტრიული. ამ სტატიაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ გეომეტრიული კლების უსასრულო პროგრესიის ჯამი.

გეომეტრიული პროგრესია

ეს სიტყვები ნიშნავს ნამდვილ რიცხვთა ისეთ სერიას, რომლის ელემენტები a i აკმაყოფილებს გამოთქმას:

აქ i არის რიგის ელემენტის რიცხვი, r არის მუდმივი რიცხვი, რომელსაც მნიშვნელი ეწოდება.

ეს განსაზღვრება აჩვენებს, რომ პროგრესიის ნებისმიერი ტერმინისა და მისი მნიშვნელის ცოდნით, შესაძლებელია რიცხვების მთელი სერიის აღდგენა. მაგალითად, თუ მე-10 ელემენტი ცნობილია, მაშინ მისი გაყოფა r-ზე მივიღებთ მე-9 ელემენტს, შემდეგ ისევ გავყოფთ, ვიღებთ მე-8-ს და ა.შ. ეს მარტივი არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ გამონათქვამი, რომელიც მოქმედებს განხილული რიცხვების სერიისთვის:

პროგრესიის მაგალითი 2-იანი მნიშვნელით იქნება:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

თუ მნიშვნელი არის -2, მაშინ მიიღება სრულიად განსხვავებული სერია:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

გეომეტრიული პროგრესია ბევრად უფრო სწრაფია ვიდრე ალგებრული, ანუ მისი ტერმინები სწრაფად იზრდება და სწრაფად მცირდება.

პროგრესიის i წევრების ჯამი

პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად ხშირად საჭიროა გათვალისწინებული რიცხვითი მიმდევრობის რამდენიმე ელემენტის ჯამის გამოთვლა. ამ შემთხვევაში მოქმედებს შემდეგი ფორმულა:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

ჩანს, რომ i ტერმინების ჯამის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ორი რიცხვი: a 1 და r, რაც ლოგიკურია, რადგან ისინი ცალსახად განსაზღვრავენ მთელ თანმიმდევრობას.

კლებადი მიმდევრობა და მისი წევრთა ჯამი

ახლა განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ r მნიშვნელის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება ერთს, ანუ -1

კლებადი გეომეტრიული პროგრესია საინტერესოა გასათვალისწინებელი, რადგან მისი წევრთა უსასრულო ჯამი მიდრეკილია სასრული რეალური რიცხვისკენ.

მოდით მივიღოთ ჯამის ფორმულა ამის გაკეთება ადვილია, თუ წინა აბზაცში მოცემულ S i-ს გამონათქვამს ამოვიწერთ. Ჩვენ გვაქვს:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც i->∞. ვინაიდან მნიშვნელის მოდული 1-ზე ნაკლებია, მაშინ მისი უსასრულო სიძლიერეზე აწევა იძლევა ნულს. ამის დადასტურება შესაძლებელია r=0.5 მაგალითის გამოყენებით:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

შედეგად, კლების უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი მიიღებს ფორმას:

ეს ფორმულა ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში, მაგალითად, ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად. იგი ასევე გამოიყენება ზენო ელეას პარადოქსის გადასაჭრელად კუსთან და აქილევსთან.

ცხადია, გეომეტრიული ზრდის უსასრულო პროგრესიის ჯამის გათვალისწინებით (r>1), მივყავართ შედეგს S ∞ = +∞.

პროგრესის პირველი ტერმინის პოვნის პრობლემა

ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა იქნას გამოყენებული ზემოთ მოცემული ფორმულები პრობლემის გადაჭრის მაგალითის გამოყენებით. ცნობილია, რომ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 11. უფრო მეტიც, მისი მე-7 წევრი 6-ჯერ ნაკლებია მესამე წევრზე. რა არის ამ რიცხვების სერიის პირველი ელემენტი?

ჯერ დავწეროთ ორი გამონათქვამი მე-7 და მე-3 ელემენტების დასადგენად. ჩვენ ვიღებთ:

პირველი გამოხატვის მეორეზე გაყოფით და მნიშვნელის გამოსახატავად გვაქვს:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

ვინაიდან მეშვიდე და მესამე წევრის თანაფარდობა მოცემულია ამოცანის პირობაში, შეგვიძლია შევცვალოთ იგი და ვიპოვოთ r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0.63894

ჩვენ გამოვთვალეთ r ათწილადის შემდეგ ხუთი მნიშვნელოვანი ციფრის სიზუსტით. ვინაიდან მიღებული მნიშვნელობა ერთზე ნაკლებია, ეს ნიშნავს, რომ პროგრესია მცირდება, რაც ამართლებს ფორმულის გამოყენებას მისი უსასრულო ჯამისთვის. ჩვენ ვწერთ გამონათქვამს პირველი წევრისთვის S ∞ ჯამის მიხედვით:

ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს ამ ფორმულაში და ვიღებთ პასუხს:

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

ზენონის ცნობილი პარადოქსი სწრაფ აქილევსთან და ნელი კუსთან

ზენო ელეელი ცნობილი ბერძენი ფილოსოფოსია, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე V საუკუნეში. ე. მისმა რიგმა აპოგეებმა თუ პარადოქსებმა მიაღწია დღემდე, რომელშიც ჩამოყალიბებულია მათემატიკაში უსასრულოდ დიდის და უსასრულოდ მცირეს პრობლემა.

ზენონის ერთ-ერთი ცნობილი პარადოქსია აქილევსის და კუს შეჯიბრი. ზენონს სჯეროდა, რომ თუ აქილევსი კუს დისტანციაში გარკვეულ უპირატესობას მისცემდა, ის ვერასოდეს გაუსწრებდა მას. მაგალითად, აქილევსმა 10-ჯერ უფრო სწრაფად ირბინოს, ვიდრე მცოცავი ცხოველი, რომელიც, მაგალითად, 100 მეტრით უსწრებს მას. როდესაც მეომარი 100 მეტრს გარბის, კუ 10 მეტრით უკან იხევს. ისევ 10 მეტრის გაშვებისას აქილევსი დაინახავს, ​​რომ კუს კიდევ 1 მეტრი დაცოცავს. შეიძლება ასე უსასრულოდ კამათი, კონკურენტებს შორის მანძილი ნამდვილად შემცირდება, მაგრამ კუ ყოველთვის წინ იქნება.

მან მიიყვანა ზენონი იმ დასკვნამდე, რომ მოძრაობა არ არსებობს და ობიექტთა მთელი მოძრაობა ილუზიაა. რა თქმა უნდა, ძველი ბერძენი ფილოსოფოსი ცდებოდა.

პარადოქსის გამოსავალი მდგომარეობს იმაში, რომ მუდმივად კლებადი სეგმენტების უსასრულო ჯამი მიდრეკილია სასრული რიცხვისკენ. ზემოაღნიშნულ შემთხვევაში აქილევსის მიერ გავლილი მანძილისთვის ვიღებთ:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

S ∞ \u003d 100 / (1-0,1) ≈ 111,111 მეტრი

ეს შედეგი აჩვენებს, რომ აქილევსი გაუსწრებს კუს, როდესაც ის მხოლოდ 11,111 მეტრზე დაცოცავს.

ძველმა ბერძნებმა არ იცოდნენ უსასრულო რაოდენობით მუშაობა მათემატიკაში. თუმცა, ეს პარადოქსი შეიძლება გადაიჭრას, თუ ყურადღებას მივაქცევთ არა უსასრულო რაოდენობის ხარვეზებს, რომლებიც აქილევსმა უნდა გადალახოს, არამედ ნაბიჯების სასრულ რაოდენობას, რომელსაც მორბენალი სჭირდება მიზნის მისაღწევად.

ამ რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი, ანუ ყოველი წევრი წინადან განსხვავდება q-ჯერ. (ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ q ≠ 1, წინააღმდეგ შემთხვევაში ყველაფერი ძალიან ტრივიალურია). ადვილი მისახვედრია, რომ გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ზოგადი ფორმულა არის b n = b 1 q n – 1 ; b n და b m რიცხვებით ტერმინები განსხვავდება q n – m ჯერ.

უკვე ძველ ეგვიპტეში იცოდნენ არა მხოლოდ არითმეტიკული, არამედ გეომეტრიული პროგრესიაც. აი, მაგალითად, დავალება რინდის პაპირუსიდან: „შვიდ სახეს შვიდი კატა აქვს; თითოეული კატა ჭამს შვიდ თაგვს, თითოეული თაგვი ჭამს შვიდ ყელს, თითოეულ ყურს შეუძლია შვიდი ღერი ქერის მოყვანა. რამდენად დიდია ამ სერიის რიცხვები და მათი ჯამი?

ბრინჯი. 1. ძველი ეგვიპტური გეომეტრიული პროგრესიის პრობლემა

ეს დავალება ბევრჯერ განმეორდა სხვა ხალხებში სხვა დროს სხვადასხვა ვარიაციებით. მაგალითად, დაწერილი XIII საუკუნეში. ლეონარდო პიზას (ფიბონაჩის) "აბაკსის წიგნს" აქვს პრობლემა, რომელშიც 7 მოხუცი ქალი ჩნდება რომისკენ მიმავალ გზაზე (აშკარად მომლოცველები), რომელთაგან თითოეულს ჰყავს 7 ჯორი, თითოეულს აქვს 7 ჩანთა, თითოეულს. შეიცავს 7 პურს, რომელთაგან თითოეულს აქვს 7 დანა, რომელთაგან თითოეული 7 გარსშია. პრობლემა სვამს კითხვას, რამდენი ელემენტია.

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . ეს ფორმულა შეიძლება დადასტურდეს, მაგალითად, შემდეგნაირად: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

მოდით დავუმატოთ რიცხვი b 1 q n S n-ს და მივიღოთ:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

აქედან გამომდინარე S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) და მივიღებთ საჭირო ფორმულას.

უკვე VI საუკუნით დათარიღებული ძველი ბაბილონის ერთ-ერთ თიხის ფირფიტაზე. ძვ.წ ე. შეიცავს ჯამს 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. მართალია, როგორც სხვა რიგ შემთხვევებში, ჩვენ არ ვიცით, საიდან იყო ეს ფაქტი ცნობილი ბაბილონელებისთვის. .

გეომეტრიული პროგრესიის სწრაფი ზრდა მთელ რიგ კულტურაში, კერძოდ, ინდოეთში, არაერთხელ გამოიყენება, როგორც სამყაროს უკიდეგანობის ვიზუალური სიმბოლო. ჭადრაკის გარეგნობის შესახებ ცნობილ ლეგენდაში მმართველი თავის გამომგონებელს აძლევს შესაძლებლობას თავად აირჩიოს ჯილდო და ის სთხოვს ხორბლის მარცვლების იმდენ რაოდენობას, რომელიც მიიღება ჭადრაკის დაფის პირველ უჯრაზე მოთავსების შემთხვევაში. , მეორეზე ორი, მესამეზე ოთხი, მეოთხეზე რვა და ა.შ., ყოველ ჯერზე რიცხვი გაორმაგდება. ვლადიკას ეგონა, რომ ეს მაქსიმუმ რამდენიმე ტომარა იყო, მაგრამ არასწორად გამოთვალა. ადვილი მისახვედრია, რომ ჭადრაკის დაფის 64-ვე კვადრატისთვის გამომგონებელს უნდა მიეღო (2 64 - 1) მარცვალი, რომელიც გამოიხატება 20-ნიშნა რიცხვით; დედამიწის მთელი ზედაპირი რომც დაითესოს, მარცვლების საჭირო რაოდენობის შეგროვებას მინიმუმ 8 წელი დასჭირდება. ეს ლეგენდა ზოგჯერ განმარტებულია, როგორც მინიშნება ჭადრაკის თამაშში დამალული თითქმის შეუზღუდავი შესაძლებლობების შესახებ.

ის ფაქტი, რომ ეს რიცხვი ნამდვილად 20-ნიშნაა, ადვილი შესამჩნევია:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (უფრო ზუსტი გამოთვლა იძლევა 1.84 10 19). მაგრამ მაინტერესებს შეგიძლიათ თუ არა გაიგოთ რა ციფრით მთავრდება ეს რიცხვი?

გეომეტრიული პროგრესია იზრდება, თუ მნიშვნელი აბსოლუტური მნიშვნელობით 1-ზე მეტია, ან მცირდება, თუ ის ერთზე ნაკლებია. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, რიცხვი q n შეიძლება გახდეს თვითნებურად მცირე საკმარისად დიდი n-სთვის. მიუხედავად იმისა, რომ მზარდი ექსპონენცია იზრდება მოულოდნელად სწრაფად, კლებადი ექსპონენცია ისევე სწრაფად მცირდება.

რაც უფრო დიდია n, მით უფრო სუსტია რიცხვი q n განსხვავდება ნულიდან და მით უფრო უახლოვდება გეომეტრიული პროგრესიის n წევრის ჯამი S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) რიცხვთან S \u003d b 1. / (1 - q) . (ასე მსჯელობდა, მაგალითად, ფ. ვიეტმა). რიცხვს S ეწოდება უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამს. თუმცა, მრავალი საუკუნის განმავლობაში მათემატიკოსებისთვის საკმარისად ნათელი არ იყო კითხვა, თუ რას ნიშნავს ყველა გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, მისი უსასრულო რაოდენობის ტერმინებით.

კლებადი გეომეტრიული პროგრესია ჩანს, მაგალითად, ზენონის აპორიებში "კბენა" და "აქილევსი და კუ". პირველ შემთხვევაში, ნათლად ჩანს, რომ მთელი გზა (დავუშვათ სიგრძე 1) არის უსასრულო რაოდენობის სეგმენტების ჯამი 1/2, 1/4, 1/8 და ა.შ. ეს, რა თქმა უნდა, ასეა. სასრული ჯამის უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ იდეების თვალსაზრისით. და მაინც - როგორ შეიძლება ეს იყოს?

ბრინჯი. 2. პროგრესირება 1/2 კოეფიციენტით

აქილევსის შესახებ აპორიაში სიტუაცია ცოტა უფრო რთულია, რადგან აქ პროგრესიის მნიშვნელი უდრის არა 1/2-ს, არამედ რაღაც სხვა რიცხვს. მაგალითად, აქილევსმა ირბინოს v სიჩქარით, კუ მოძრაობს u სიჩქარით და მათ შორის საწყისი მანძილი არის l. აქილევსი გაივლის ამ მანძილს l/v დროში, კუს გადაადგილება lu/v მანძილზე ამ დროის განმავლობაში. როდესაც აქილევსი გადის ამ სეგმენტზე, მასსა და კუს შორის მანძილი გახდება l (u/v) 2 და ა.შ. გამოდის, რომ კუს დაჭერა ნიშნავს უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის პოვნას პირველთან. ტერმინი l და მნიშვნელი u / v. ეს ჯამი - სეგმენტი, რომელსაც აქილევსი საბოლოოდ გაივლის კუსთან შეხვედრის წერტილამდე - უდრის l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) . მაგრამ, კიდევ ერთხელ, როგორ უნდა იქნას განმარტებული ეს შედეგი და რატომ აქვს მას რაიმე აზრი, დიდი ხნის განმავლობაში არ იყო ნათელი.

ბრინჯი. 3. გეომეტრიული პროგრესია კოეფიციენტით 2/3

გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი გამოიყენა არქიმედესმა პარაბოლის სეგმენტის ფართობის განსაზღვრისას. პარაბოლის მოცემული სეგმენტი შემოიფარგლოს AB აკორდით და პარაბოლის D წერტილში ტანგენსი იყოს AB-ის პარალელურად. მოდით C იყოს AB-ის შუა წერტილი, E - AC-ის შუა წერტილი, F - CB-ის შუა წერტილი. A , E , F , B წერტილების გავლით DC-ის პარალელური ხაზების დახატვა; მოდით D წერტილზე დახატული ტანგენსი, ეს წრფეები იკვეთება K, L, M, N წერტილებზე. ასევე დავხატოთ AD და DB სეგმენტები. EL წრფემ გადაკვეთოს AD წრფე G წერტილში, პარაბოლა კი H წერტილში; ხაზი FM კვეთს DB წრფეს Q წერტილში და პარაბოლას R წერტილში. კონუსური კვეთების ზოგადი თეორიის მიხედვით, DC არის პარაბოლის დიამეტრი (ანუ მისი ღერძის პარალელურად სეგმენტი); ის და ტანგენსი D წერტილში შეიძლება იყოს x და y კოორდინატთა ღერძები, რომლებშიც პარაბოლის განტოლება იწერება როგორც y 2 \u003d 2px (x არის მანძილი D-დან მოცემული დიამეტრის ნებისმიერ წერტილამდე, y არის a-ს სიგრძე. მოცემული ტანგენტის პარალელურად სეგმენტი დიამეტრის ამ წერტილიდან პარაბოლის გარკვეულ წერტილამდე).

პარაბოლის განტოლების ძალით, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , და რადგან DK = 2DL , მაშინ KA = 4LH . ვინაიდან KA = 2LG , LH = HG . პარაბოლას ADB სეგმენტის ფართობი უდრის სამკუთხედის ΔADB ფართობს და AHD და DRB სეგმენტების ფართობებს გაერთიანებული. თავის მხრივ, AHD სეგმენტის ფართობი ანალოგიურად უდრის AHD სამკუთხედის ფართობს და დანარჩენ AH და HD სეგმენტებს, რომელთაგან თითოეული შეიძლება შესრულდეს იგივე მოქმედებით - გაყოფილი სამკუთხედად (Δ) და ორი დარჩენილი სეგმენტი () და ა.შ.:

სამკუთხედის ΔAHD ფართობი უდრის ΔALD სამკუთხედის ფართობის ნახევარს (მათ აქვთ საერთო ფუძე AD და სიმაღლეები განსხვავდება 2-ჯერ), რაც, თავის მხრივ, უდრის ფართობის ნახევარს. სამკუთხედი ΔAKD და, შესაბამისად, სამკუთხედის ΔACD ფართობის ნახევარი. ამრიგად, ΔAHD სამკუთხედის ფართობი უდრის ΔACD სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ანალოგიურად, ΔDRB სამკუთხედის ფართობი უდრის ΔDFB სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ასე რომ, ∆AHD და ∆DRB სამკუთხედების ფართობი, ერთად აღებული, უდრის ∆ADB სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ამ ოპერაციის განმეორებით, როგორც გამოყენებულია AH, HD, DR და RB სეგმენტებზე, ასევე აირჩევს მათგან სამკუთხედებს, რომელთა ფართობი ერთად აღებული იქნება 4-ჯერ ნაკლები სამკუთხედების ΔAHD და ΔDRB ფართობზე. ერთად აღებული და, შესაბამისად, 16-ჯერ ნაკლები, ვიდრე სამკუთხედის ფართობი ΔADB . და ა.შ:

ამგვარად, არქიმედესმა დაამტკიცა, რომ „სწორხაზსა და პარაბოლას შორის ჩასმული ყველა სეგმენტი არის სამკუთხედის ოთხი მესამედი, რომელსაც აქვს იგივე ფუძე და თანაბარი სიმაღლე“.