ინსტრუქცია
აირჩიეთ რადიკალური რიცხვი ისეთი ფაქტორი, რომლის ამოღება ქვემოდან ფესვისწორი გამოხატულება - წინააღმდეგ შემთხვევაში ოპერაცია წააგებს. მაგალითად, თუ ნიშნის ქვეშ ფესვისამის ტოლი მაჩვენებლით (კუბის ფესვი) ღირს ნომერი 128, მაშინ ნიშნის ქვემოდან ამოღება შეიძლება, მაგალითად, ნომერი 5. ამავე დროს ფესვი ნომერი 128 უნდა გაიყოს 5 კუბზე: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. თუ ნიშნის ქვეშ წილადი რიცხვის არსებობა ფესვიარ ეწინააღმდეგება პრობლემის პირობებს, ეს შესაძლებელია ამ ფორმით. თუ თქვენ გჭირდებათ უფრო მარტივი ვარიანტი, მაშინ ჯერ დაყავით რადიკალური გამოხატულება ისეთ ფაქტორებად, რომელთაგან ერთ-ერთის კუბური ფესვი იქნება მთელი რიცხვი. ნომერიმ. მაგალითად: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
გამოიყენეთ ძირეული რიცხვის ფაქტორების შესარჩევად, თუ თქვენი გონებაში რიცხვის ხარისხის გამოთვლა შეუძლებელია. ეს განსაკუთრებით ეხება ფესვი m ორზე მეტი მაჩვენებლით. თუ თქვენ გაქვთ წვდომა ინტერნეტზე, მაშინ შეგიძლიათ გამოთვლები გააკეთოთ Google-ისა და Nigma-ს საძიებო სისტემებში ჩაშენებული კალკულატორების გამოყენებით. მაგალითად, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ უდიდესი მთელი რიცხვი, რომელიც შეიძლება ამოღებული იყოს კუბურის ნიშნიდან ფესვინომრისთვის 250, შემდეგ გადადით Google-ის ვებსაიტზე და შეიყვანეთ მოთხოვნა "6 ^ 3", რათა შეამოწმოთ შესაძლებელია თუ არა ნიშნის ქვეშ ამოღება ფესვიექვსი. საძიებო სისტემა აჩვენებს შედეგს 216-ის ტოლი. სამწუხაროდ, 250 არ შეიძლება დაიყოს ნაშთის გარეშე ამაზე ნომერი. შემდეგ შეიყვანეთ მოთხოვნა 5^3. შედეგი იქნება 125 და ეს საშუალებას გაძლევთ გაყოთ 250 125 და 2 ფაქტორებად, რაც ნიშნავს ნიშნის ამოღებას. ფესვი ნომერი 5 გამგზავრება იქიდან ნომერი 2.
წყაროები:
- როგორ ამოიღოთ იგი ფესვის ქვეშ
- პროდუქტის კვადრატული ფესვი
ამოიღეთ ქვემოდან ფესვიერთ-ერთი ფაქტორი აუცილებელია იმ სიტუაციებში, როდესაც მათემატიკური გამოთქმის გამარტივება გჭირდებათ. არის შემთხვევები, როდესაც შეუძლებელია საჭირო გამოთვლების შესრულება კალკულატორის გამოყენებით. მაგალითად, თუ რიცხვების ნაცვლად გამოიყენება ცვლადების ასოები.
ინსტრუქცია
რადიკალური გამოხატვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად. ნახეთ, რომელი ფაქტორი მეორდება ინდიკატორებში მითითებული რამდენჯერმე ფესვი, ან მეტი. მაგალითად, თქვენ უნდა აიღოთ რიცხვის ფესვი მეოთხე ხარისხში. ამ შემთხვევაში რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. მაჩვენებელი ფესვიამ შემთხვევაში შეესაბამება ფაქტორი a3. ის უნდა ამოღებულ იქნეს ნიშნიდან.
მიღებული რადიკალების ფესვი ცალკე, სადაც ეს შესაძლებელია. მოპოვება ფესვიარის ალგებრული მოქმედების ინვერსია ხარისხზე. მოპოვება ფესვითვითნებური სიმძლავრე რიცხვიდან, იპოვნეთ რიცხვი, რომელიც ამ თვითნებურ ხარისხზე აყვანისას გამოიწვევს მოცემულ რიცხვს. თუ მოპოვება ფესვივერ წარმოიქმნება, დატოვეთ რადიკალური გამოხატულება ნიშნის ქვეშ ფესვიროგორიც არის. ზემოაღნიშნული ქმედებების შედეგად თქვენ გააკეთებთ ამოღებას ქვემოდან ნიშანი ფესვი.
Მსგავსი ვიდეოები
შენიშვნა
ფრთხილად იყავით რადიკალური გამონათქვამის ფაქტორებად დაწერისას - ამ ეტაპზე შეცდომა გამოიწვევს არასწორ შედეგებს.
სასარგებლო რჩევა
ფესვების მოპოვებისას მოსახერხებელია გამოიყენოთ სპეციალური ცხრილები ან ლოგარითმული ფესვების ცხრილები - ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს სწორი გადაწყვეტის პოვნის დროს.
წყაროები:
- ფესვის ამოღების ნიშანი 2019 წელს
ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება საჭიროა მათემატიკის მრავალ დარგში, მათ შორის უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა, დიფერენციაცია და ინტეგრაცია. ეს იყენებს რამდენიმე მეთოდს, მათ შორის ფაქტორიზაციას. ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ და ამოიღოთ საერთო ფაქტორიუკან ფრჩხილებში.
ინსტრუქცია
საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებში- დაშლის ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული მეთოდი. ეს ტექნიკა გამოიყენება გრძელი ალგებრული გამონათქვამების სტრუქტურის გასამარტივებლად, ე.ი. მრავალწევრები. გენერალი შეიძლება იყოს რიცხვი, მონომიური ან ორობითი და მის საპოვნელად გამოიყენება გამრავლების გამანაწილებელი თვისება.
რიცხვი. ყურადღებით დააკვირდით თითოეული მრავალწევრის კოეფიციენტებს, რათა ნახოთ, შეიძლება თუ არა მათი გაყოფა იმავე რიცხვზე. მაგალითად, გამოხატულებაში 12 z³ + 16 z² - 4, აშკარაა ფაქტორი 4. კონვერტაციის შემდეგ მიიღებთ 4-ს (3 z³ + 4 z² - 1). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს რიცხვი არის ყველა კოეფიციენტის ყველაზე ნაკლებად საერთო მთელი რიცხვის გამყოფი.
მონონომი. დაადგინეთ არის თუ არა ერთი და იგივე ცვლადი მრავალწევრის თითოეულ წევრში. დავუშვათ, რომ ეს ასეა, ახლა გადახედეთ კოეფიციენტებს, როგორც წინა შემთხვევაში. მაგალითი: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.
ამ მრავალწევრის თითოეული ელემენტი შეიცავს z ცვლადს. გარდა ამისა, ყველა კოეფიციენტი არის 3-ის ჯერადი. ამიტომ, საერთო ფაქტორი იქნება მონომია 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).
ბინომიური.ამისთვის ფრჩხილებშიგენერალი ფაქტორიორიდან, ცვლადი და რიცხვი, რომელიც არის ზოგადი მრავალწევრი. ამიტომ, თუ ფაქტორი-ბინომი არ არის აშკარა, მაშინ თქვენ უნდა იპოვოთ მინიმუმ ერთი ფესვი. მონიშნეთ მრავალწევრის თავისუფალი წევრი, ეს არის კოეფიციენტი ცვლადის გარეშე. ახლა გამოიყენეთ ჩანაცვლების მეთოდი თავისუფალი წევრის ყველა მთელი რიცხვის გამყოფის საერთო გამოხატულებაზე.
განვიხილოთ: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. შეამოწმეთ, არის თუ არა 4 z^4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0-ის რომელიმე მთელი გამყოფი. იპოვეთ z1 მარტივი ჩანაცვლებით = 1 და z2 = 2, ასე რომ ფრჩხილებშიბინომები (z - 1) და (z - 2) შეიძლება ამოღებულ იქნეს. დარჩენილი გამონათქვამის საპოვნელად გამოიყენეთ თანმიმდევრული დაყოფა სვეტად.
წრეზე მან აჩვენა, თუ როგორ შეიძლება კვადრატული ფესვების ამოღება სვეტში. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფესვი თვითნებური სიზუსტით, იპოვოთ იმდენი ციფრი, რამდენიც გსურთ მის ათობითი აღნიშვნით, თუნდაც ის აღმოჩნდეს ირაციონალური. ალგორითმი გაიხსენეს, მაგრამ კითხვები დარჩა. გაურკვეველია, საიდან გაჩნდა მეთოდი და რატომ იძლევა სწორ შედეგს. ეს არ იყო წიგნებში, ან იქნებ უბრალოდ არასწორ წიგნებში ვეძებდი. შედეგად, ისევე როგორც ბევრი რამ, რისი გაკეთებაც დღეს ვიცი და შემიძლია, მე თვითონ გამოვიტანე. აქ ვიზიარებ ჩემს ცოდნას. სხვათა შორის, მე ჯერ კიდევ არ ვიცი სად არის მოცემული ალგორითმის დასაბუთება)))
ასე რომ, ჯერ, მაგალითით, მე გეტყვით "როგორ მუშაობს სისტემა" და შემდეგ ავხსნი რატომ მუშაობს სინამდვილეში.
ავიღოთ რიცხვი (ნომერი აღებულია „ჭერიდან“, უბრალოდ გამახსენდა).
1. მის რიცხვებს ვყოფთ წყვილებად: მათ, ვინც ათწილადის წერტილიდან მარცხნივ არის, ვაჯგუფებთ ორს მარჯვნიდან მარცხნივ, ხოლო მარჯვნივ - ორს მარცხნიდან მარჯვნივ. ჩვენ ვიღებთ.
2. ჩვენ გამოვყოფთ კვადრატულ ფესვს პირველი ჯგუფის ციფრებიდან მარცხნივ - ჩვენს შემთხვევაში ასეა (აშკარაა, რომ ზუსტი ფესვი შეიძლება არ იყოს ამოღებული, ვიღებთ იმ რიცხვს, რომლის კვადრატი რაც შეიძლება ახლოსაა ჩვენს რიცხვთან, რომელიც ჩამოყალიბებულია პირველი ჯგუფის ციფრები, მაგრამ არ აღემატება მას). ჩვენს შემთხვევაში, ეს იქნება რიცხვი. პასუხად ვწერთ - ეს არის ფესვის უმაღლესი ციფრი.
3. ჩვენ ავწევთ რიცხვს, რომელიც უკვე არის პასუხში - ეს არის - კვადრატში და გამოვაკლებთ მარცხნივ პირველ ჯგუფს - რიცხვს. ჩვენს შემთხვევაში, ის რჩება
4. მარჯვნივ მივაწერთ ორი რიცხვის შემდეგ ჯგუფს: . უკვე პასუხში მოცემული რიცხვი მრავლდება , მივიღებთ .
5. ახლა ყურადღებით დააკვირდით. მარჯვენა რიცხვს უნდა დავუმატოთ ერთი ციფრი და გავამრავლოთ რიცხვი ზე, ანუ იმავე მინიჭებულ ციფრზე. შედეგი უნდა იყოს რაც შეიძლება ახლოს, მაგრამ ისევ არაუმეტეს ამ რიცხვზე. ჩვენს შემთხვევაში, ეს იქნება რიცხვი, ჩვენ მას პასუხად ვწერთ გვერდით, მარჯვნივ. ეს არის ჩვენი კვადრატული ფესვის ათობითი აღნიშვნის შემდეგი ციფრი.
6. პროდუქტის გამოკლებით მივიღებთ.
7. შემდეგ ვიმეორებთ ნაცნობ მოქმედებებს: მივაწერთ რიცხვების შემდეგ ჯგუფს მარჯვნივ, ვამრავლებთ მიღებულ რიცხვს > მივანიჭებთ მარჯვნივ ერთი ციფრი, რომ მასზე გამრავლებისას მივიღოთ რიცხვი უფრო პატარა, მაგრამ ყველაზე ახლოს. ის - ეს არის ციფრი - შემდეგი ციფრი ფესვის ათობითი აღნიშვნით.
გამოთვლები დაიწერება შემდეგნაირად:
ახლა კი დაპირებული ახსნა. ალგორითმი ეფუძნება ფორმულას
კომენტარები: 50
2 ანტონი:
ძალიან ბინძური და დამაბნეველი. დაანგრიე ყველაფერი და დანომრე. პლუს: განმარტეთ, სად ვცვლით თითოეულ მოქმედებას საჭირო მნიშვნელობებს. ადრე არასდროს დამითვლია ფესვი სვეტში - გაჭირვებით გავარკვიე.
5 ჯულია:
6 :
ჯულია, 23 ამჟამად წერია მარჯვნივ, ეს არის ფესვის პირველი ორი (მარცხნივ) უკვე მიღებული ციფრი, რომელიც არის პასუხში. ალგორითმის მიხედვით ვამრავლებთ 2-ზე. ჩვენ ვიმეორებთ მე-4 პუნქტში აღწერილ ნაბიჯებს.
7zzz:
შეცდომა "6. 167-ს გამოვაკლებთ ნამრავლს 43 * 3 = 123 (129 ნადა), მივიღებთ 38-ს“.
გაუგებარია, როგორ აღმოჩნდა მძიმის შემდეგ 08 ...9 ფედოტოვი ალექსანდრე:
და კალკულატორის წინა ეპოქაშიც კი სკოლაში გვასწავლიდნენ არა მხოლოდ კვადრატის, არამედ კუბის ფესვის სვეტში ამოღებას, მაგრამ ეს უფრო დამღლელი და შრომატევადი სამუშაოა. უფრო ადვილი იყო ბრედისის ცხრილების ან სლაიდების წესის გამოყენება, რომელიც ჩვენ უკვე ვისწავლეთ საშუალო სკოლაში.
10 :
ალექსანდრე, მართალი ხარ, შეგიძლიათ ამოიღოთ სვეტი და ფესვები დიდი გრადუსით. მე ვაპირებ დავწერო მხოლოდ იმაზე, თუ როგორ ვიპოვო კუბის ფესვი.
12 სერგეი ვალენტინოვიჩი:
ძვირფასო ელიზაბეტ ალექსანდროვნა! 70-იანი წლების ბოლოს შევიმუშავე კვადრატების ავტომატური (ანუ, არა შერჩევით) გაანგარიშების სქემა. root ფელიქსის დამამატებელ მანქანაზე. თუ დაგაინტერესებთ, შემიძლია გამოგიგზავნოთ აღწერა.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((კვადრატული ფესვის ამოღება სვეტად)))
ალგორითმი გამარტივებულია, თუ იყენებთ მე-2 რიცხვთა სისტემას, რომელიც შესწავლილია კომპიუტერულ მეცნიერებაში, მაგრამ ასევე სასარგებლოა მათემატიკაში. ა.ნ. კოლმოგოროვმა მოიყვანა ეს ალგორითმი სკოლის მოსწავლეებისთვის პოპულარულ ლექციებში. მისი სტატია შეგიძლიათ იხილოთ "ჩებიშევის კრებულში" (მათემატიკური ჟურნალი, მოძებნეთ ბმული ინტერნეტში)
შემთხვევისთვის თქვით:
გ.ლაიბნიცი ერთ დროს ჩქარობდა მე-10 რიცხვითი სისტემიდან ბინარზე გადასვლის იდეით მისი სიმარტივისა და ხელმისაწვდომობის გამო დამწყებთათვის (უმცროსი სკოლის მოსწავლეებისთვის). მაგრამ დამკვიდრებული ტრადიციების რღვევა ციხის კარიბჭის შუბლით გატეხვას ჰგავს: შესაძლებელია, მაგრამ უსარგებლო. ასე გამოდის, როგორც წვერიანი ფილოსოფოსის თქმით, ძველ დროში ყველაზე მეტად ციტირებული იყო: ყველა მკვდარი თაობის ტრადიციები თრგუნავს ცოცხალთა ცნობიერებას.Შეხვედრამდე.
15 Vlad aus Engelsstadt:
)) სერგეი ვალენტინოვიჩი, დიახ, მაინტერესებს ... ((
დავდებ, რომ ეს არის ფელიქსის ვარიაცია კვადრატული ცხენის მოპოვების ბაბილონური მეთოდის თანმიმდევრული მიახლოებით. ეს ალგორითმი გადალახულია ნიუტონის მეთოდით (ტანგენტის მეთოდი)
მაინტერესებს შეცდომა დავუშვი პროგნოზში?
18 :
2 Vlad aus Engelsstadt
დიახ, ორობითი ალგორითმი უფრო მარტივი უნდა იყოს, ეს საკმაოდ აშკარაა.
ნიუტონის მეთოდის შესახებ. შეიძლება ასეც არის, მაგრამ მაინც საინტერესოა
20 კირილე:
Ძალიან დიდი მადლობა. მაგრამ ალგორითმი ჯერ კიდევ არ არსებობს, არ არის ცნობილი საიდან გაჩნდა, მაგრამ შედეგი სწორია. ᲓᲘᲓᲘ ᲛᲐᲓᲚᲝᲑᲐ! ამას დიდი ხანია ვეძებ
21 ალექსანდრე:
და როგორ წავა ფესვის ამოღება რიცხვიდან, სადაც მეორე ჯგუფი მარცხნიდან მარჯვნივ ძალიან მცირეა? მაგალითად, ყველას საყვარელი ნომერია 4 398 046 511 104. პირველი გამოკლების შემდეგ ყველაფრის ალგორითმის მიხედვით გაგრძელება შეუძლებელია. Ამიხსენი გთხოვ.
22 ალექსეი:
დიახ, მე ვიცი ეს გზა. მახსოვს, რომელიღაც ძველი გამოცემის წიგნში „ალგებრა“ წავიკითხე. შემდეგ, ანალოგიით, მან თავად გამოიტანა, თუ როგორ უნდა ამოიღოთ კუბის ფესვი იმავე სვეტში. მაგრამ იქ უკვე უფრო რთულია: ყოველი ციფრი აღარ არის განსაზღვრული ერთში (როგორც კვადრატში), არამედ ორ გამოკლებაში და იქაც კი, როცა გრძელი რიცხვების გამრავლება გჭირდებათ.
23 არტემი:
56789.321-ის კვადრატული ფესვის აღების მაგალითში არის შეცდომა. 32 რიცხვების ჯგუფს ორჯერ ენიჭება 145 და 243 რიცხვები, 2388025 რიცხვში მეორე 8 უნდა შეიცვალოს 3-ით. შემდეგ ბოლო გამოკლება ასე უნდა ჩაიწეროს: 2431000 - 2383025 = 47975.
გარდა ამისა, დარჩენილი ნაწილის პასუხის გაორმაგებულ მნიშვნელობაზე გაყოფისას (მძიმის გამოკლებით), მივიღებთ მნიშვნელოვანი ციფრების დამატებით რაოდენობას (47975/(2*238305) = 0.100658819…), რომელიც უნდა დაემატოს პასუხს (√56789.321). = 238.305… = 238.305100659).24 სერგეი:
როგორც ჩანს, ალგორითმი მოვიდა ისააკ ნიუტონის წიგნიდან "ზოგადი არითმეტიკა ან წიგნი არითმეტიკული სინთეზისა და ანალიზის შესახებ". გთავაზობთ ამონარიდს მისგან:
ფესვების შესახებ
რიცხვიდან კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, პირველ რიგში, უნდა დააყენოთ წერტილი მის რიცხვებზე ერთის მეშვეობით, დაწყებული ერთეულებიდან. მაშინ აუცილებელია პირადში ან ძირში ჩავწეროთ ის რიცხვი, რომლის კვადრატი ტოლია ან დეფექტით ყველაზე ახლოს არის პირველი წერტილის წინა რიცხვებთან ან ფიგურასთან. ამ კვადრატის გამოკლების შემდეგ, ფესვის დარჩენილი ციფრები თანმიმდევრულად იპოვება დარჩენილი ნაწილის გაყოფით ფესვის უკვე ამოღებული ნაწილის ორჯერ გაყოფით და ყოველ ჯერზე კვადრატის დარჩენილი ნაწილის გამოკლებით ბოლო ნაპოვნი ციფრი და მისი ათმაგი ნამრავლი. დასახელებული გამყოფი.
25 სერგეი:
შეასწორეთ წიგნის სათაური „ზოგადი არითმეტიკა ან წიგნი არითმეტიკული სინთეზისა და ანალიზის შესახებ“
26 ალექსანდრე:
მადლობა საინტერესო შინაარსისთვის. მაგრამ ეს მეთოდი მეჩვენება გარკვეულწილად უფრო რთული, ვიდრე ეს აუცილებელია, მაგალითად, სკოლის მოსწავლისთვის. მე ვიყენებ უფრო მარტივ მეთოდს, რომელიც ეფუძნება კვადრატული ფუნქციის გაფართოებას პირველი ორი წარმოებულის გამოყენებით. მისი ფორმულა არის:
sqrt(x)=A1+A2-A3 სადაც
A1 არის მთელი რიცხვი, რომლის კვადრატი ყველაზე ახლოს არის x-თან;
A2 არის წილადი, მრიცხველში x-A1, მნიშვნელში 2*A1.
სასკოლო კურსში შეხვედრილი რიცხვების უმეტესობისთვის ეს საკმარისია მეასედამდე ზუსტი შედეგის მისაღებად.
თუ უფრო ზუსტი შედეგი გჭირდებათ, მიიღეთ
A3 არის წილადი, A2 მრიცხველში კვადრატში, მნიშვნელში 2 * A1 + 1.
რა თქმა უნდა, გამოსაყენებლად გჭირდებათ მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილი, მაგრამ სკოლაში ეს პრობლემა არ არის. ამ ფორმულის დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია.
თუმცა, დამაბნევა, რომ მე მივიღე A3 ემპირიულად, ცდების ცხრილის შედეგად ჩატარებული ექსპერიმენტების შედეგად და არ მესმის, რატომ აქვს ამ ტერმინს ასეთი ფორმა. იქნებ მირჩიოთ?27 ალექსანდრე:
დიახ, მეც განვიხილე ეს მოსაზრებები, მაგრამ ეშმაკი დეტალებშია. Წერთ:
"რადგან a2 და b უკვე საკმაოდ განსხვავდებიან." კითხვა არის ზუსტად რამდენად ცოტა.
ეს ფორმულა კარგად მუშაობს მეორე ათეულის რიცხვებზე და ბევრად უარესი (არა მეასედამდე, მხოლოდ მეათებამდე) პირველი ათეულის რიცხვებზე. რატომ ხდება ეს უკვე ძნელი გასაგებია წარმოებულების ჩართვის გარეშე.28 ალექსანდრე:
დავაზუსტებ სად ვხედავ ჩემს მიერ შემოთავაზებული ფორმულის უპირატესობას. ეს არ საჭიროებს რიცხვების არც თუ ისე ბუნებრივ დაყოფას ციფრთა წყვილებად, რაც, როგორც გამოცდილება გვიჩვენებს, ხშირად შეცდომით ხდება. მისი მნიშვნელობა აშკარაა, მაგრამ ანალიზში მცოდნე ადამიანისთვის ტრივიალურია. კარგად მუშაობს 100-დან 1000-მდე რიცხვებზე, ყველაზე გავრცელებული სკოლაში.
29 ალექსანდრე:
სხვათა შორის, მე ჩავთხარე და ვიპოვე ზუსტი გამოხატულება A3-სთვის ჩემს ფორმულაში:
A3= A22 /2(A1+A2)30 vasil stryzhak:
ჩვენს დროში, კომპიუტერული ტექნოლოგიის ფართოდ გამოყენება, კვადრატული ცხენის მოპოვების საკითხი პრაქტიკული თვალსაზრისით არ ღირს. მაგრამ მათემატიკის მოყვარულთათვის, რა თქმა უნდა, საინტერესოა ამ პრობლემის გადაჭრის სხვადასხვა ვარიანტი. სასკოლო სასწავლო გეგმაში ამ გაანგარიშების მეთოდი დამატებითი სახსრების მოზიდვის გარეშე უნდა მოხდეს სვეტში გამრავლებისა და გაყოფის პარალელურად. გაანგარიშების ალგორითმი უნდა იყოს არა მხოლოდ დამახსოვრება, არამედ გასაგებიც. ამ მასალაში მოცემული კლასიკური მეთოდი არსის გამჟღავნებისთვის განსახილველად სრულად შეესაბამება ზემოაღნიშნულ კრიტერიუმებს.
ალექსანდრეს მიერ შემოთავაზებული მეთოდის მნიშვნელოვანი ნაკლი არის მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილის გამოყენება. სასკოლო კურსში შეხვედრილი რიცხვების უმეტესობა შეზღუდულია, ავტორი დუმს. რაც შეეხება ფორმულას, მთლიანობაში ის ჩემზე შთაბეჭდილებას ახდენს გაანგარიშების შედარებით მაღალი სიზუსტით.31 ალექსანდრე:
30 ცალი vasil stryzhak
არაფერი გამომრჩა. კვადრატების ცხრილი ვარაუდობენ 1000-მდე. ჩემს დროს სკოლაში ისინი უბრალოდ ახსოვდნენ სკოლაში და ეს იყო მათემატიკის ყველა სახელმძღვანელოში. მე პირდაპირ დავასახელე ეს ინტერვალი.
რაც შეეხება კომპიუტერულ ტექნოლოგიას, ის ძირითადად მათემატიკის გაკვეთილებზე არ გამოიყენება, თუ არ არის კალკულატორის გამოყენების სპეციალური თემა. კალკულატორები ახლა ჩაშენებულია მოწყობილობებში, რომლებიც აკრძალულია გამოცდაზე გამოსაყენებლად.32 vasil stryzhak:
ალექსანდრე, მადლობა დაზუსტებისთვის! ვფიქრობდი, რომ შემოთავაზებული მეთოდისთვის თეორიულად აუცილებელია ყველა ორნიშნა რიცხვის კვადრატების ცხრილის დამახსოვრება ან გამოყენება. შემდეგ რადიკალური რიცხვებისთვის, რომლებიც არ შედის 100-დან 10000-მდე ინტერვალში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მძიმის გადაადგილებით მათი გაზრდის ან შემცირების მეთოდი ბრძანებების საჭირო რაოდენობის მიხედვით.
33 ვასილ სტრიჟაკი:
39 ალექსანდრე:
ჩემი პირველი პროგრამა ენაზე "YAMB" საბჭოთა აპარატზე "ISKRA 555" დაიწერა იმისათვის, რომ ამოეღო კვადრატული ფესვი რიცხვიდან, სვეტის ალგორითმის მიხედვით ამოღების მიხედვით! და ახლა დამავიწყდა როგორ ამოვიღო ხელით!
განვიხილოთ ეს ალგორითმი მაგალითით. მოდი ვიპოვოთ
1 ნაბიჯი. ფესვის ქვეშ არსებულ რიცხვს ვყოფთ ორ ციფრად (მარჯვნიდან მარცხნივ):
მე-2 ნაბიჯი. კვადრატულ ფესვს გამოვყოფთ პირველი სახიდან, ანუ 65 რიცხვიდან ვიღებთ რიცხვს 8. პირველი სახის ქვეშ ვწერთ 8 რიცხვის კვადრატს და ვაკლებთ. ჩვენ მივაწერთ მეორე სახეს (59) დანარჩენს:
(რიცხვი 159 არის პირველი ნაშთი).
მე-3 ნაბიჯი. ჩვენ გავაორმაგებთ ნაპოვნი ფესვს და ვწერთ შედეგს მარცხნივ:
მე-4 ნაბიჯი. დანარჩენში (159) გამოვყოფთ ერთ ციფრს მარჯვნივ, მარცხნივ ვიღებთ ათეულების რაოდენობას (15-ის ტოლია). შემდეგ 15-ს ვყოფთ ფესვის გაორმაგებულ პირველ ციფრზე, ანუ 16-ზე, ვინაიდან 15 არ იყოფა 16-ზე, მაშინ კოეფიციენტში ვიღებთ ნულს, რომელსაც ვწერთ ფესვის მეორე ციფრად. ასე რომ, კოეფიციენტში მივიღეთ რიცხვი 80, რომელსაც კვლავ ვაორმაგებთ და ვანგრევთ შემდეგ სახეს
(რიცხვი 15901 მეორე ნაშთია).
მე-5 ნაბიჯი. მეორე ნაშთში მარჯვნიდან გამოვყოფთ ერთ ციფრს და მიღებულ რიცხვს 1590 ვყოფთ 160-ზე. შედეგი (ნომერი 9) იწერება ფესვის მესამე ციფრად და ენიჭება რიცხვს 160. მიღებული რიცხვი 1609 მრავლდება 9-ზე. და ჩვენ ვპოულობთ შემდეგ ნაშთს (1420):
შემდგომი მოქმედებები ხორციელდება ალგორითმში მითითებული თანმიმდევრობით (ძირის ამოღება შესაძლებელია საჭირო სიზუსტით).
კომენტარი. თუ ძირეული გამოხატულება არის ათობითი წილადი, მაშინ მისი მთელი ნაწილი იყოფა ორ ციფრად მარჯვნიდან მარცხნივ, წილადი ნაწილი იყოფა ორ ციფრად მარცხნიდან მარჯვნივ და ფესვი ამოღებულია მითითებული ალგორითმის მიხედვით.
დიდაქტიკური მასალა
1. აიღეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი: ა) 32; ბ) 32,45; გ) 249,5; დ) 0,9511.
რა არის კვადრატული ფესვი?
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
ეს კონცეფცია ძალიან მარტივია. ბუნებრივია, მე ვიტყოდი. მათემატიკოსები ცდილობენ იპოვონ რეაქცია ყოველ მოქმედებაზე. არის შეკრება და არის გამოკლება. არის გამრავლება და არის გაყოფა. არის კვადრატი ... ასე რომ არის ასევე კვადრატული ფესვის ამოღება!Სულ ეს არის. ეს ქმედება ( კვადრატული ფესვის აღება) მათემატიკაში აღინიშნება ამ ხატით:
თავად ხატს მშვენიერი სიტყვა ჰქვია. რადიკალური".
როგორ ამოიღოთ ფესვი?ჯობია განიხილოს მაგალითები.
რა არის 9-ის კვადრატული ფესვი? და რა რიცხვი კვადრატში მოგვცემს 9-ს? 3 კვადრატში გვაძლევს 9-ს! ესენი:
რა არის ნულის კვადრატული ფესვი? Არაა პრობლემა! რა რიცხვს იძლევა ნულის კვადრატში? დიახ, ის თავად იძლევა ნულს! ნიშნავს:
დაიჭირეს რა არის კვადრატული ფესვი?შემდეგ განვიხილავთ მაგალითები:
პასუხები (არეულად): 6; ერთი; 4; ცხრა; 5.
გადაწყვიტა? მართლაც, ეს ბევრად უფრო ადვილია!
მაგრამ... რას აკეთებს ადამიანი, როცა ხედავს რაღაც ამოცანის ფესვებს?
ადამიანი იწყებს ლტოლვას... მას არ სჯერა ფესვების სიმარტივისა და სიმსუბუქის. მიუხედავად იმისა, რომ მან, როგორც ჩანს, იცის რა არის კვადრატული ფესვი...
ეს იმიტომ ხდება, რომ ადამიანმა ფესვების შესწავლისას რამდენიმე მნიშვნელოვანი პუნქტი უგულებელყო. შემდეგ ეს მოდები სასტიკად იძიებენ შურს ტესტებსა და გამოცდებზე...
წერტილი ერთი. ფესვები მხედველობით უნდა ამოიცნოთ!
რა არის 49-ის კვადრატული ფესვი? შვიდი? უფლება! საიდან იცოდი რომ შვიდი იყო? კვადრატში შვიდი და მიიღეთ 49? სწორად! გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამოიღეთ ფესვი 49-დან საპირისპირო ოპერაცია უნდა გაგვეკეთებინა - კვადრატი 7! და დარწმუნდით, რომ არ გამოგრჩეთ. ან შეიძლება გამოტოვონ...
ამაში მდგომარეობს სირთულე ფესვის მოპოვება. კვადრატინებისმიერი ნომერი შესაძლებელია უპრობლემოდ. გაამრავლეთ რიცხვი თავისთავად სვეტში - და ეს ყველაფერია. მაგრამ იმისთვის ფესვის მოპოვებაარ არსებობს ასეთი მარტივი და უპრობლემო ტექნოლოგია. ანგარიში აღებაუპასუხეთ და შეამოწმეთ დარტყმა კვადრატში.
ეს რთული შემოქმედებითი პროცესი - პასუხის არჩევა - მნიშვნელოვნად გამარტივდება, თუ თქვენ გახსოვდესპოპულარული რიცხვების კვადრატები. გამრავლების ცხრილის მსგავსად. თუ, ვთქვათ, 4-ის 6-ზე გამრავლება გჭირდებათ - ოთხს არ უმატებთ 6-ჯერ, არა? პასუხი მაშინვე გამოჩნდება 24. თუმცა, ყველას არ აქვს ეს, დიახ ...
ფესვებთან თავისუფალი და წარმატებული მუშაობისთვის საკმარისია იცოდეთ რიცხვების კვადრატები 1-დან 20-მდე. იქდა უკან.იმათ. თქვენ უნდა შეძლოთ ადვილად დაასახელოთ ორივე, ვთქვათ, 11 კვადრატი და კვადრატული ფესვი 121-ის. ამ დამახსოვრების მისაღწევად, არსებობს ორი გზა. პირველი არის კვადრატების ცხრილის სწავლა. ეს ძალიან დაგეხმარებათ მაგალითებით. მეორე არის მეტი მაგალითის ამოხსნა. მშვენიერია კვადრატების ცხრილის გახსენება.
და არა კალკულატორები! მხოლოდ გადამოწმებისთვის. თორემ გამოცდაზე უმოწყალოდ შეანელებ...
Ისე, რა არის კვადრატული ფესვიᲓა როგორ ფესვების ამოღება- მგონი გასაგებია. ახლა მოდით გავარკვიოთ, რისგან შეგიძლიათ ამოიღოთ ისინი.
წერტილი ორი. ფესვი, არ გიცნობ!
რა რიცხვებიდან შეიძლება კვადრატული ფესვების აღება? დიახ, თითქმის ნებისმიერი. უფრო ადვილია იმის გაგება, თუ რა აკრძალულიაამოიღეთ ისინი.
შევეცადოთ გამოვთვალოთ ეს ფესვი:
ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ რიცხვი, რომელიც კვადრატში მოგვცემს -4-ს. ჩვენ ვირჩევთ.
რა არ არის შერჩეული? 2 2 იძლევა +4. (-2) 2 ისევ +4-ს იძლევა! ესე იგი... არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც კვადრატში მოგვცემს უარყოფით რიცხვს! მიუხედავად იმისა, რომ მე ვიცი ციფრები. მაგრამ მე არ გეტყვი.) წადი კოლეჯში და თავად გაარკვიე.
იგივე ამბავი იქნება ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვით. აქედან დასკვნა:
გამონათქვამი, რომელშიც უარყოფითი რიცხვი არის კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ - აზრი არ აქვს! ეს არის აკრძალული ოპერაცია. ისეთივე აკრძალული, როგორც ნულზე გაყოფა. გაითვალისწინეთ ეს ფაქტი!ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:
უარყოფითი რიცხვებიდან კვადრატულ ფესვებს ვერ ამოიღებთ!
მაგრამ ყველა დანარჩენი - შეგიძლიათ. მაგალითად, შესაძლებელია გამოთვლა
ერთი შეხედვით, ეს ძალიან რთულია. აიღეთ წილადები, მაგრამ კვადრატში ... არ ინერვიულოთ. როდესაც საქმე გვაქვს ფესვების თვისებებთან, ასეთი მაგალითები კვადრატების იმავე ცხრილამდე დაიყვანება. ცხოვრება უფრო ადვილი გახდება!
კარგი წილადები. მაგრამ ჩვენ მაინც ვხვდებით გამონათქვამებს, როგორიცაა:
Ყველაფერი კარგადაა. Ერთი და იგივე. ორის კვადრატული ფესვი არის ის რიცხვი, რომელიც კვადრატში მიგვიყვანს დუმს. მხოლოდ რიცხვია სრულიად არათანაბარი... აი:
საინტერესოა, რომ ეს წილადი არასოდეს მთავრდება... ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ. კვადრატულ ფესვებში ეს ყველაზე გავრცელებულია. სხვათა შორის, სწორედ ამიტომ ეძახიან ფესვებით გამოთქმებს ირაციონალური. გასაგებია, რომ ასეთი უსასრულო წილადის მუდმივად წერა მოუხერხებელია. ამიტომ, უსასრულო წილადის ნაცვლად, ისინი ასე ტოვებენ:
თუ მაგალითის ამოხსნისას მიიღებთ რაღაცას, რაც არ არის ამოღებული, მაგალითად:
შემდეგ ასე დავტოვებთ. ეს იქნება პასუხი.
თქვენ ნათლად უნდა გესმოდეთ რა არის ხატების ქვეშ
რა თქმა უნდა, თუ რიცხვის ფესვი აღებულია გლუვი, ასე უნდა მოიქცე. დავალების პასუხი ფორმაში, მაგ
საკმაოდ სრული პასუხი.
და, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ სავარაუდო მნიშვნელობები მეხსიერებიდან:
ეს ცოდნა ძალიან ეხმარება სიტუაციის შეფასებას რთულ ამოცანებში.
წერტილი სამი. ყველაზე ცბიერი.
ძირითადი დაბნეულობა ფესვებთან მუშაობაში სწორედ ამ მოდას მოაქვს. სწორედ ის ანიჭებს საკუთარ თავში ეჭვს... მოდი სწორად გავუმკლავდეთ ამ მოდას!
დასაწყისისთვის, ჩვენ კვლავ გამოვყოფთ მათი ოთხის კვადრატულ ფესვს. რა, ამ ძირით უკვე მიგიყვანე?) არაფერი, ახლა საინტერესო იქნება!
რა რიცხვს მისცემს 4-ის კვადრატში? კარგი, ორი, ორი - მესმის უკმაყოფილო პასუხები ...
უფლება. ორი. Მაგრამ ასევე მინუს ორიმისცემს 4 კვადრატს ... ამასობაში პასუხი
სწორი და პასუხი
ყველაზე უხეში შეცდომა. Ამგვარად.
მერე რა არის საქმე?
მართლაც, (-2) 2 = 4. და ოთხის კვადრატული ფესვის განმარტებით მინუს ორისაკმაოდ შესაფერისი ... ეს ასევე არის ოთხის კვადრატული ფესვი.
მაგრამ! მათემატიკის სასკოლო კურსში ჩვეულებრივია კვადრატული ფესვების გათვალისწინება მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვები!ანუ ნული და ყველა დადებითი. სპეციალური ტერმინიც კი გამოიგონეს: ნომრიდან ა- ეს არაუარყოფითირიცხვი, რომლის კვადრატი არის ა. არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღებისას უარყოფითი შედეგები უბრალოდ უგულვებელყოფილია. სკოლაში, ყველა კვადრატული ფესვი - არითმეტიკა. თუმცა ეს კონკრეტულად არ არის ნახსენები.
კარგი, გასაგებია. კიდევ ჯობია, უარყოფითი შედეგებით არ აურიოთ... ჯერ არ არის დაბნეულობა.
დაბნეულობა იწყება კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლება.
განტოლება მარტივია, ჩვენ ვწერთ პასუხს (როგორც გვასწავლის):
ეს პასუხი (სხვათა შორის საკმაოდ სწორი) არის მხოლოდ შემოკლებული აღნიშვნა ორიპასუხობს:
გაჩერდი გაჩერდი! ცოტა მაღლა დავწერე რომ კვადრატული ფესვი რიცხვია ყოველთვისარაუარყოფითი! და აქ არის ერთ-ერთი პასუხი - უარყოფითი! უწესრიგობა. ეს არის პირველი (მაგრამ არა უკანასკნელი) პრობლემა, რომელიც იწვევს ფესვების უნდობლობას... მოდით, ეს პრობლემა მოვაგვაროთ. მოდით ჩავწეროთ პასუხები (მხოლოდ გასაგებად!) ასე:
ფრჩხილები არ ცვლის პასუხის არსს. უბრალოდ ფრჩხილებით გამოვყავი ნიშნებიდან ფესვი. ახლა აშკარად ჩანს, რომ თავად ფესვი (ფრჩხილებში) მაინც არაუარყოფითი რიცხვია! და ნიშნებია განტოლების ამოხსნის შედეგი. ნებისმიერი განტოლების ამოხსნისას ხომ უნდა დავწეროთ ყველა x, რომელიც საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას მისცემს სწორ შედეგს. ხუთის ფესვი (დადებითი!) შეეფერება ჩვენს განტოლებას პლუსსაც და მინუსსაც.
Ამგვარად. Თუ შენ უბრალოდ აიღეთ კვადრატული ფესვინებისმიერი შენგან ყოველთვისმიიღეთ ერთი არაუარყოფითიშედეგი. Მაგალითად:
Იმიტომ, რომ ეს - არითმეტიკული კვადრატული ფესვი.
მაგრამ თუ თქვენ ამოხსნით კვადრატულ განტოლებას, როგორიცაა:
მაშინ ყოველთვისთურმე ორიპასუხი (პლუს და მინუსებით):
რადგან ეს არის განტოლების ამონახსნი.
იმედი, რა არის კვადრატული ფესვისწორად გაიგე შენი ქულები. ახლა რჩება იმის გარკვევა, თუ რა შეიძლება გაკეთდეს ფესვებით, რა არის მათი თვისებები. და რა არის მოდური და წყალქვეშა ყუთები ... მაპატიეთ, ქვები!)
ეს ყველაფერი - მომდევნო გაკვეთილებზე.
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
ფაქტი 1.
\(\bullet\) აიღეთ არაუარყოფითი რიცხვი \(a\) (ანუ \(a\geqslant 0\) ). შემდეგ (არითმეტიკა) კვადრატული ფესვი\(a\) რიცხვიდან იწოდება ასეთი არაუარყოფითი რიცხვი \(b\), რომლის კვადრატში ვიღებთ რიცხვს \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(იგივე )\quad a=b^2\]განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ეს შეზღუდვები მნიშვნელოვანი პირობაა კვადრატული ფესვის არსებობისთვის და უნდა გვახსოვდეს!
შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი კვადრატში იძლევა არაუარყოფით შედეგს. ანუ \(100^2=10000\geqslant 0\) და \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) რა არის \(\sqrt(25)\)? ჩვენ ვიცით, რომ \(5^2=25\) და \((-5)^2=25\) . ვინაიდან განსაზღვრებით უნდა ვიპოვოთ არაუარყოფითი რიცხვი, \(-5\) არ არის შესაფერისი, შესაბამისად \(\sqrt(25)=5\) (რადგან \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) მნიშვნელობის პოვნას ეწოდება \(a\) რიცხვის კვადრატული ფესვის აღება, ხოლო რიცხვს \(a\) - ძირეული გამოხატულება.
\(\bullet\) განმარტებიდან გამომდინარე, გამოსახულებები \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) და ა.შ. აზრი არ აქვს.
ფაქტი 2.
სწრაფი გამოთვლებისთვის სასარგებლო იქნება ნატურალური რიცხვების კვადრატების ცხრილის სწავლა \(1\)-დან \(20\)-მდე: \[\begin(მასივი)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end(მასივი)\]
ფაქტი 3.
რა შეიძლება გაკეთდეს კვადრატული ფესვებით?
\(\bullet\) კვადრატული ფესვების ჯამი ან განსხვავება არ არის ჯამის ან სხვაობის კვადრატული ფესვის ტოლი, ე.ი. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ამრიგად, თუ თქვენ გჭირდებათ გამოთვლა, მაგალითად, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , მაშინ თავდაპირველად უნდა იპოვოთ მნიშვნელობები \(\sqrt(25)\) და \(\sqrt (49)\ ) და შემდეგ დაამატეთ ისინი. აქედან გამომდინარე, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] თუ \(\sqrt a\) ან \(\sqrt b\) მნიშვნელობები ვერ მოიძებნა \(\sqrt a+\sqrt b\) დამატებისას, მაშინ ასეთი გამოხატულება შემდგომში არ გარდაიქმნება და რჩება ისე, როგორც არის. მაგალითად, ჯამში \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) შეგვიძლია ვიპოვოთ \(\sqrt(49)\) - ეს არის \(7\) , მაგრამ \(\sqrt 2\) არ შეიძლება იყოს გადაკეთდა არანაირად, ამიტომ \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). გარდა ამისა, ეს გამოთქმა, სამწუხაროდ, ვერანაირად ვერ გამარტივდება.\(\bullet\) კვადრატული ფესვების ნამრავლი/წელი უდრის ნამრავლის/რაოდენობის კვადრატულ ფესვს, ე.ი. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (იმ პირობით, რომ თანასწორობის ორივე ნაწილს აქვს აზრი)
მაგალითი: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) ამ თვისებების გამოყენებით, მოსახერხებელია დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვების პოვნა მათი ფაქტორინგით.
განვიხილოთ მაგალითი. იპოვეთ \(\sqrt(44100)\) . ვინაიდან \(44100:100=441\) , მაშინ \(44100=100\cdot 441\) . გაყოფის კრიტერიუმის მიხედვით რიცხვი \(441\) იყოფა \(9\)-ზე (რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 9 და იყოფა 9-ზე), შესაბამისად, \(441:9=49\) , ანუ \(441=9\ cdot 49\) .
ამრიგად, მივიღეთ: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა შეიყვანოთ რიცხვები კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ, გამოთქმის მაგალითის გამოყენებით \(5\sqrt2\) (მოკლე გამოთქმა \(5\cdot \sqrt2\) ). ვინაიდან \(5=\sqrt(25)\) , მაშინ \
გაითვალისწინეთ ისიც, რომ, მაგალითად,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Რატომ არის, რომ? ავხსნათ მაგალითი 1). როგორც უკვე მიხვდით, ჩვენ ვერ შევცვლით რიცხვს \(\sqrt2\) . წარმოიდგინეთ, რომ \(\sqrt2\) არის რაღაც რიცხვი \(a\) . შესაბამისად, გამოთქმა \(\sqrt2+3\sqrt2\) სხვა არაფერია, თუ არა \(a+3a\) (ერთი რიცხვი \(a\) პლუს სამი იგივე რიცხვი \(a\) ). ჩვენ ვიცით, რომ ეს უდრის ოთხ ასეთ რიცხვს \(a\) , ანუ \(4\sqrt2\) .
ფაქტი 4.
\(\bullet\) ხშირად ამბობენ, რომ "ძირის ამოღება არ შეიძლება", როცა რაიმე რიცხვის მნიშვნელობის პოვნისას შეუძლებელია ფესვის ნიშნის \(\sqrt () \\) მოშორება (რადიკალური). მაგალითად, შეგიძლიათ დააწესოთ რიცხვი \(16\), რადგან \(16=4^2\) , ასე რომ \(\sqrt(16)=4\) . მაგრამ ფესვის ამოღება \(3\) რიცხვიდან, ანუ \(\sqrt3\)-ის პოვნა შეუძლებელია, რადგან არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც კვადრატში მისცემს \(3\) .
ასეთი რიცხვები (ან გამოთქმები ასეთი რიცხვებით) ირაციონალურია. მაგალითად, ნომრები \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)და ა.შ. არიან ირაციონალური.
ასევე ირაციონალურია რიცხვები \(\pi\) (რიცხვი "pi", დაახლოებით ტოლია \(3,14\) ), \(e\) (ამ რიცხვს ეილერის რიცხვი ჰქვია, დაახლოებით ტოლია \(2). ,7\)) ) და ა.შ.
\(\bullet\) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი იქნება რაციონალური ან ირაციონალური. და ყველა რაციონალური და ყველა ირაციონალური რიცხვი ერთად ქმნიან სიმრავლეს, რომელსაც ეწოდება რეალური (რეალური) რიცხვების ნაკრები.ეს ნაკრები აღინიშნება ასო \(\mathbb(R)\) .
ეს ნიშნავს, რომ ყველა რიცხვს, რომელიც ჩვენ ამჟამად ვიცით, რეალური რიცხვები ეწოდება.
ფაქტი 5.
\(\bullet\) რეალური რიცხვის მოდული \(a\) არის არაუარყოფითი რიცხვი \(|a|\) ტოლი მანძილის \(a\) წერტილიდან \(0\) რეალურზე. ხაზი. მაგალითად, \(|3|\) და \(|-3|\) უდრის 3-ს, ვინაიდან \(3\) და \(-3\) წერტილებიდან \(0\)-მდე მანძილი არის იგივე და ტოლია \(3 \) .
\(\bullet\) თუ \(a\) არაუარყოფითი რიცხვია, მაშინ \(|a|=a\) .
მაგალითი: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) თუ \(a\) უარყოფითი რიცხვია, მაშინ \(|a|=-a\) .
მაგალითი: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
ისინი ამბობენ, რომ უარყოფითი რიცხვებისთვის მოდული "ჭამს" მინუსს, ხოლო დადებითი რიცხვები, ისევე როგორც რიცხვი \(0\) უცვლელი რჩება.
მაგრამეს წესი ვრცელდება მხოლოდ ციფრებზე. თუ თქვენ გაქვთ უცნობი \(x\) (ან სხვა უცნობი) მოდულის ნიშნის ქვეშ, მაგალითად, \(|x|\) , რომლის შესახებაც არ ვიცით დადებითია, ნულის ტოლი თუ უარყოფითი, მაშინ მოდულის მოშორება ჩვენ არ შეგვიძლია. ამ შემთხვევაში ეს გამოთქმა რჩება ასე: \(|x|\) . \(\bullet\) მოქმედებს შემდეგი ფორმულები: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(მოწოდებულია) a\geqslant 0\]ხშირად უშვებენ შემდეგ შეცდომას: ამბობენ, რომ \(\sqrt(a^2)\) და \((\sqrt a)^2\) იგივეა. ეს მართალია მხოლოდ მაშინ, როდესაც \(a\) არის დადებითი რიცხვი ან ნული. მაგრამ თუ \(a\) უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. საკმარისია ასეთი მაგალითის განხილვა. ავიღოთ რიცხვი \(-1\) \(a\) ნაცვლად. მაშინ \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , მაგრამ გამოხატულება \((\sqrt (-1))^2\) საერთოდ არ არსებობს (რადგან ასეა შეუძლებელია ძირის ნიშნის ქვეშ ჩადეთ უარყოფითი რიცხვები!).
ამიტომ თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ \(\sqrt(a^2)\) არ უდრის \((\sqrt a)^2\) !მაგალითი: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\მარჯვნივ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), იმიტომ \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) ვინაიდან \(\sqrt(a^2)=|a|\) , მაშინ \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (გამოთქმა \(2n\) აღნიშნავს ლუწი რიცხვს)
ანუ, ფესვის ამოღებისას რიცხვიდან, რომელიც გარკვეულწილად არის, ეს ხარისხი განახევრდება.
მაგალითი:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (გაითვალისწინეთ, რომ თუ მოდული არ არის დაყენებული, მაშინ გამოდის, რომ რიცხვის ფესვი უდრის \(-25-ს \) ; მაგრამ ჩვენ გვახსოვს, რომელიც, ფესვის განმარტებით, ეს არ შეიძლება იყოს: ფესვის ამოღებისას ყოველთვის უნდა მივიღოთ დადებითი რიცხვი ან ნული)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (რადგან ლუწი ხარისხზე ნებისმიერი რიცხვი არაუარყოფითია)
ფაქტი 6.
როგორ შევადაროთ ორი კვადრატული ფესვი?
\(\bullet\) True კვადრატული ფესვებისთვის: თუ \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) შეადარეთ \(\sqrt(50)\) და \(6\sqrt2\) . პირველ რიგში, ჩვენ ვაქცევთ მეორე გამონათქვამს \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ამრიგად, მას შემდეგ, რაც \ (50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) რომელ მთელ რიცხვებს შორის არის \(\sqrt(50)\) ?
ვინაიდან \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , და \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) შეადარეთ \(\sqrt 2-1\) და \(0,5\) . დავუშვათ \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((დაამატე ერთი ორივე მხარეს))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((ორივე ნაწილის კვადრატში))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (გასწორებული)\]ჩვენ ვხედავთ, რომ მივიღეთ არასწორი უტოლობა. ამიტომ, ჩვენი ვარაუდი მცდარი იყო და \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობის ორივე მხარეს გარკვეული რიცხვის მიმატება არ მოქმედებს მის ნიშანზე. უტოლობის ორივე ნაწილის დადებით რიცხვზე გამრავლება/გაყოფა ასევე არ მოქმედებს მის ნიშანზე, მაგრამ უარყოფით რიცხვზე გამრავლება/გაყოფა უტოლდება უტოლობის ნიშანს!
განტოლების/უტოლობის ორივე მხარე შეიძლება კვადრატული იყოს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე მხარე არაუარყოფითია. მაგალითად, წინა მაგალითის უტოლობაში შეგიძლიათ კვადრატში ორივე მხარე, უტოლობაში \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) გაითვალისწინეთ, რომ \[\ დასაწყისი (გასწორებული) &\sqrt 2\დაახლოებით 1,4\\ &\sqrt 3\დაახლოებით 1,7 \ბოლო (გასწორებული)\]ამ რიცხვების სავარაუდო მნიშვნელობის ცოდნა დაგეხმარება რიცხვების შედარებისას! \(\bullet\) იმისთვის, რომ ამოიღოთ ფესვი (თუ ის ამოღებულია) დიდი რიცხვიდან, რომელიც არ არის კვადრატების ცხრილში, ჯერ უნდა დაადგინოთ რომელ "ასეულს" შორისაა, შემდეგ რომელ "ათეულს" შორის. და შემდეგ განსაზღვრეთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრი. მაგალითით ვაჩვენოთ როგორ მუშაობს.
აიღეთ \(\sqrt(28224)\) . ჩვენ ვიცით, რომ \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) და ა.შ. გაითვალისწინეთ, რომ \(28224\) არის \(10\,000\) და \(40\,000\) შორის. ამიტომ, \(\sqrt(28224)\) არის \(100\) და \(200\) შორის.
ახლა განვსაზღვროთ რომელ „ათეულებს“ შორის არის ჩვენი რიცხვი (ანუ, მაგალითად, \(120\) და \(130\) შორის). კვადრატების ცხრილიდან ასევე ვიცით, რომ \(11^2=121\) , \(12^2=144\) და ა.შ., შემდეგ \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ჩვენ ვხედავთ, რომ \(28224\) არის \(160^2\) და \(170^2\) შორის. აქედან გამომდინარე, რიცხვი \(\sqrt(28224)\) არის \(160\) და \(170\) შორის.
შევეცადოთ განვსაზღვროთ ბოლო ციფრი. გავიხსენოთ, რას აძლევენ ერთნიშნა რიცხვები კვადრატში დასასრულს \ (4 \) ? ეს არის \(2^2\) და \(8^2\) . ამიტომ, \(\sqrt(28224)\) დასრულდება 2-ით ან 8-ით. მოდით შევამოწმოთ ეს. იპოვეთ \(162^2\) და \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
აქედან გამომდინარე, \(\sqrt(28224)=168\) . ვოილა!
მათემატიკაში გამოცდის ადეკვატურად გადასაჭრელად, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია თეორიული მასალის შესწავლა, რომელშიც შემოტანილია მრავალი თეორემა, ფორმულა, ალგორითმი და ა.შ. ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს საკმაოდ მარტივია. თუმცა, წყაროს პოვნა, რომელშიც მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის თეორია ადვილად და გასაგებად იქნება წარმოდგენილი ნებისმიერი დონის მომზადების სტუდენტებისთვის, ფაქტობრივად, საკმაოდ რთული ამოცანაა. სასკოლო სახელმძღვანელოები ყოველთვის ხელთ არ შეიძლება იყოს. და მათემატიკაში გამოცდის ძირითადი ფორმულების პოვნა შეიძლება რთული იყოს ინტერნეტშიც კი.
რატომ არის ასე მნიშვნელოვანი მათემატიკაში თეორიის შესწავლა და არა მხოლოდ მათთვის, ვინც გამოცდას აბარებს?
- რადგან ის აფართოებს თქვენს ჰორიზონტს. თეორიული მასალის შესწავლა მათემატიკაში სასარგებლოა ყველასთვის, ვისაც სურს მიიღოს პასუხები მსოფლიოს ცოდნასთან დაკავშირებულ კითხვებზე ფართო სპექტრზე. ბუნებაში ყველაფერი მოწესრიგებულია და აქვს მკაფიო ლოგიკა. ეს არის ზუსტად ის, რაც აისახება მეცნიერებაში, რომლის მეშვეობითაც შესაძლებელია სამყაროს გაგება.
- რადგან ის ავითარებს ინტელექტს. მათემატიკაში საგამოცდო საცნობარო მასალების შესწავლით, ასევე სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრით, ადამიანი სწავლობს ლოგიკურად აზროვნებას და მსჯელობას, აზრების სწორად და ნათლად ჩამოყალიბებას. მას უვითარდება ანალიზის, განზოგადების, დასკვნების გამოტანის უნარი.
გეპატიჟებით პირადად შეაფასოთ ჩვენი მიდგომის ყველა უპირატესობა საგანმანათლებლო მასალების სისტემატიზაციისა და პრეზენტაციის მიმართ.
