განვიხილოთ თვითმფრინავი გვ და ხაზი, რომელიც კვეთს მას . დაე იყოს მაგრამ არის თვითნებური წერტილი სივრცეში. დახაზეთ ხაზი ამ წერტილში , ხაზის პარალელურად . დაე იყოს . Წერტილი წერტილის პროექცია ეწოდება მაგრამთვითმფრინავამდე გვპარალელურად დიზაინში მოცემული ხაზის გასწვრივ . თვითმფრინავი გვ , რომელზედაც დაპროექტებულია სივრცის წერტილები, პროექციის სიბრტყე ეწოდება.

p - პროექციის თვითმფრინავი;

- პირდაპირი დიზაინი; ;

; ; ;

ორთოგონალური დიზაინიარის პარალელური დიზაინის განსაკუთრებული შემთხვევა. ორთოგონალური პროექცია არის პარალელური პროექცია, რომელშიც საპროექციო ხაზი პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულია. ორთოგონალური პროექცია ფართოდ გამოიყენება ტექნიკურ ნახატში, სადაც ფიგურა დაპროექტებულია სამ სიბრტყეზე - ჰორიზონტალური და ორი ვერტიკალური.

განმარტება: წერტილის ორთოგრაფიული პროექცია მთვითმფრინავამდე გვბაზას ეძახიან M 1პერპენდიკულარული მმ 1, დაწეული წერტილიდან მთვითმფრინავამდე გვ.

Დანიშნულება: , , .

განმარტება: ფიგურის ორთოგრაფიული პროექცია ფთვითმფრინავამდე გვარის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელიც წარმოადგენს ფიგურის წერტილთა სიმრავლის ორთოგონალურ პროექციას ფთვითმფრინავამდე გვ.

ორთოგონალურ დიზაინს, როგორც პარალელური დიზაინის განსაკუთრებულ შემთხვევას, აქვს იგივე თვისებები:

p - პროექციის თვითმფრინავი;

- პირდაპირი დიზაინი; ;

1) ;

2) , .

1. პარალელური წრფეების პროგნოზები პარალელურია.

ბრტყელი ფიგურის პროექციის არეალი

თეორემა: ბრტყელი მრავალკუთხედის პროექციის ფართობი გარკვეულ სიბრტყეზე უდრის დაპროექტებული მრავალკუთხედის ფართობს, გამრავლებული მრავალკუთხედის სიბრტყესა და პროექციის სიბრტყეს შორის კუთხის კოსინუსზე.

ეტაპი 1: დაპროექტებული ფიგურა არის სამკუთხედი ABC, რომლის გვერდი AC დევს საპროექციო სიბრტყეში a (პროექციული სიბრტყის პარალელურად).

მოცემული:

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. სამი პერპენდიკულარის თეორემის მიხედვით;

ВД - სიმაღლე; 1 D-ში - სიმაღლე;

5. - დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე;

6. ; ; ; ;

ეტაპი 2: დაპროექტებული ფიგურა არის სამკუთხედი ABC, რომლის არცერთი გვერდი არ არის პროექციის სიბრტყეში a და არ არის მისი პარალელურად.

მოცემული:

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(სტადია 1);

5. ; ; ;

(სტადია 1);

ეტაპი: შექმნილი ფიგურა არის თვითნებური მრავალკუთხედი.

მტკიცებულება:

მრავალკუთხედი იყოფა ერთი წვეროდან გამოყვანილი დიაგონალებით სამკუთხედების სასრულ რაოდენობად, რომელთაგან თითოეულისთვის თეორემა ჭეშმარიტია. მაშასადამე, თეორემა ასევე მართალი იქნება ყველა სამკუთხედის ფართობების ჯამისთვის, რომელთა სიბრტყეები პროექციის სიბრტყესთან ერთსა და იმავე კუთხეს ქმნიან.

კომენტარი: დადასტურებული თეორემა მოქმედებს დახურული მრუდით შემოსაზღვრული ნებისმიერი ბრტყელი ფიგურისთვის.

Სავარჯიშოები:

1. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის რეგულარული სამკუთხედი გვერდით a.

2. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის ტოლფერდა სამკუთხედი გვერდით 10 სმ და ფუძე 12 სმ.

3. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის სამკუთხედი გვერდებით 9, 10 და 17 სმ.

4. გამოთვალეთ ტრაპეციის ფართობი, რომლის სიბრტყე დახრილია საპროექციო სიბრტყისკენ კუთხით, თუ მისი პროექცია არის ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის უფრო დიდი ფუძეა 44 სმ, გვერდი 17 სმ და დიაგონალი არის. 39 სმ.

5. გამოთვალეთ რეგულარული ექვსკუთხედის პროექციის ფართობი 8 სმ გვერდით, რომლის სიბრტყე დახრილია პროექციის სიბრტყისკენ კუთხით.

6. რომბი 12 სმ გვერდით და მახვილი კუთხით ქმნის კუთხეს მოცემულ სიბრტყესთან. გამოთვალეთ რომბის პროექციის ფართობი ამ სიბრტყეზე.

7. რომბი, რომლის გვერდია 20 სმ და დიაგონალი 32 სმ, მოცემულ სიბრტყეს ქმნის კუთხეს. გამოთვალეთ რომბის პროექციის ფართობი ამ სიბრტყეზე.

8. ტილოების პროექცია ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე არის მართკუთხედი გვერდებით და . იპოვეთ ტილოების ფართობი, თუ გვერდითი მხარეები არის თანაბარი ოთხკუთხედები, რომლებიც დახრილია ჰორიზონტალური სიბრტყისკენ კუთხით, ხოლო ტილოების შუა ნაწილი არის კვადრატი პროექციის სიბრტყის პარალელურად.

11. სავარჯიშოები თემაზე "ხაზები და სიბრტყეები სივრცეში":

სამკუთხედის გვერდებია 20 სმ, 65 სმ, 75 სმ. სამკუთხედის უფრო დიდი კუთხის წვეროდან მის სიბრტყემდე გამოყვანილია 60 სმ ტოლი პერპენდიკულარი. იპოვეთ მანძილი პერპენდიკულარულის ბოლოებიდან დიდ გვერდამდე. სამკუთხედის.

2. სიბრტყიდან სმ მანძილზე გამოყოფილი წერტილიდან გამოყვანილია ორი დახრილი, სიბრტყით ტოლი კუთხეების ფორმირება, ხოლო მათ შორის - მართი კუთხე. იპოვეთ მანძილი დახრილი სიბრტყის გადაკვეთის წერტილებს შორის.

3. წესიერი სამკუთხედის გვერდი 12 სმ. წერტილი M არჩეულია ისე, რომ M წერტილის დამაკავშირებელი მონაკვეთები სამკუთხედის ყველა წვეროსთან ქმნიან კუთხეებს მის სიბრტყესთან. იპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამკუთხედის წვეროებამდე და გვერდებამდე.

4. სიბრტყე დახაზულია კვადრატის გვერდით კვადრატის დიაგონალთან კუთხით. იპოვეთ კუთხეები, რომლებზედაც კვადრატის ორი მხარე დახრილია სიბრტყისკენ.

5. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი დახრილია ჰიპოტენუზაში გამავალი სიბრტყისკენ კუთხით. დაამტკიცეთ, რომ კუთხე a სიბრტყესა და სამკუთხედის სიბრტყეს შორის არის .

6. ABC და DBC სამკუთხედების სიბრტყებს შორის დიედრული კუთხე არის . იპოვეთ AD, თუ AB = AC = 5 სმ, BC = 6 სმ, BD = DC = სმ.

საკონტროლო კითხვები თემაზე "ხაზები და სიბრტყეები სივრცეში"

1. ჩამოთვალეთ სტერეომეტრიის ძირითადი ცნებები. ჩამოაყალიბეთ სტერეომეტრიის აქსიომები.

2. დაამტკიცეთ აქსიომების შედეგები.

3. როგორია ორი წრფის ფარდობითი პოზიცია სივრცეში? განსაზღვრეთ გადამკვეთი, პარალელური, გადამკვეთი ხაზები.

4. დაამტკიცეთ წრფეთა გადაკვეთის კრიტერიუმი.

5. როგორია წრფისა და სიბრტყის ფარდობითი პოზიცია? მიეცით გადამკვეთი, პარალელური წრფეების და სიბრტყეების განმარტებები.

6. დაამტკიცეთ სწორი წრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი.

7. როგორია ორი სიბრტყის შედარებითი პოზიცია?

8. განსაზღვრეთ პარალელური სიბრტყეები. დაამტკიცეთ ორი სიბრტყის პარალელურობის კრიტერიუმი. ჩამოაყალიბეთ თეორემები პარალელური სიბრტყეების შესახებ.

9. განსაზღვრეთ კუთხე ხაზებს შორის.

10. დაამტკიცეთ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი.

11. მიეცით პერპენდიკულარულის ფუძის, ირიბის ფუძის, ირიბის პროექციის განმარტებები სიბრტყეზე. ჩამოაყალიბეთ პერპენდიკულარული და ირიბი, ერთი წერტილიდან სიბრტყეზე დაშვებული თვისებები.

12. განსაზღვრეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

13. დაამტკიცეთ თეორემა სამ პერპენდიკულარზე.

14. მიეცით დიედრული კუთხის, ორწახნაგოვანი კუთხის წრფივი კუთხის განმარტებები.

15. დაამტკიცეთ ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი.

16. განსაზღვრეთ მანძილი ორ სხვადასხვა წერტილს შორის.

17. განსაზღვრეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

18. განსაზღვრეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

19. განსაზღვრეთ მანძილი სწორ ხაზსა და მის პარალელურ სიბრტყეს შორის.

20. განსაზღვრეთ მანძილი პარალელურ სიბრტყეებს შორის.

21. განსაზღვრეთ მანძილი დახრილ ხაზებს შორის.

22. განსაზღვრეთ წერტილის ორთოგონალური პროექცია სიბრტყეზე.

23. განსაზღვრეთ ფიგურის ორთოგონალური პროექცია სიბრტყეზე.

24. ჩამოაყალიბეთ პროგნოზების თვისებები სიბრტყეზე.

25. ჩამოაყალიბეთ და დაადასტურეთ თეორემა ბრტყელი მრავალკუთხედის პროექციის ფართობზე.

კუთხე დახრილ AB-სა და DAC სიბრტყეს შორის არის 30* - ეს არის კუთხე BAC კუთხე DAB არის 45 (სამკუთხედი DAB არის მართკუთხა ტოლკუთხედი სამკუთხედი), ამიტომ DA=BDBA=DA*ფესვი(2) AC=AB* cos (BAC)=AB*cos 30 \u003d DA * ფესვი (2) * ფესვი (3) / 2 \u003d\u003d DA * ფესვი (6) / 2 სამი პერპენდიკულარულის თეორემით DC პერპენდიკულარულია AD-ზე cos(CAD)= cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*root(6)/2)=2/root(6)= root (2/3)კუთხე CAB=arccos (2/3)

დაკავშირებული ამოცანები:

ABCD რომბის გვერდი AB არის a, ერთ-ერთი კუთხე 60 გრადუსია. სიბრტყის ალფა დახაზულია AB გვერდით D წერტილიდან a/2 მანძილზე.
ა) იპოვეთ მანძილი C წერტილიდან სიბრტყე ალფამდე.
ბ) ნახატზე აჩვენეთ დიედრული კუთხის DABM წრფივი კუთხე. M ეკუთვნის ალფას.
გ) იპოვეთ რომბის სიბრტყესა და ალფა სიბრტყეს შორის კუთხის სინუსი.

ABCD რომბის გვერდი AB არის a, ერთ-ერთი კუთხე 60 გრადუსია. სიბრტყე ალფა დახაზულია AB გვერდით D წერტილიდან a/2 მანძილზე. ა) იპოვეთ მანძილი C წერტილიდან ალფა სიბრტყემდე. ბ) ნახატზე აჩვენეთ დიედრული კუთხის DABM წრფივი კუთხე. M ეკუთვნის ალფას. გ) იპოვეთ რომბის სიბრტყესა და ალფა სიბრტყეს შორის კუთხის სინუსი.

ABCD რომბის გვერდი AB უდრის a-ს, ხოლო მისი ერთ-ერთი კუთხე უდრის 60°-ს. სიბრტყე ალფა დახაზულია AB გვერდით D წერტილიდან a2 მანძილზე.

ა) იპოვეთ მანძილი C წერტილიდან სიბრტყე ალფამდე.

ბ) აჩვენეთ ნახატზე დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე DABM, M ეკუთვნის კვადრატს. ალფა.

გ) იპოვეთ რომბის სიბრტყესა და ალფა სიბრტყეს შორის კუთხის სინუსი.

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ორთოგონალური პროექცია არის პარალელური პროექციის განსაკუთრებული შემთხვევა. ორთოგონალურ პროექციაში საპროექციო სხივები პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

ასეთი პროექციის აპარატი შედგება ერთი პროექციის სიბრტყისგან.

A წერტილის ორთოგონალური პროექციის მისაღებად, მასში უნდა გაივლოს საპროექტო სხივი P1-ზე პერპენდიკულურად. A1 წერტილს ეწოდება A წერტილის ორთოგონალური ან მართკუთხა პროექცია.

ორთოგონალური პროექციის მისაღებად A 1 B 1სეგმენტი AB, თვითმფრინავზე P 1, აუცილებელია ქულების მეშვეობით მაგრამდა ATდახაზეთ საპროექტო ხაზები პერპენდიკულარულად P 1. საპროექტო ხაზების თვითმფრინავთან გადაკვეთაზე P 1მიიღეთ ორთოგონალური პროგნოზები A 1და 1-შიქულები მაგრამდა AT. ორთოგონალური პროექციების შეერთება A 1და 1-შიმიიღეთ ორთოგონალური პროექცია A 1 B 1სეგმენტი AB.

პარალელური პროექციის ყველა თვისება ასევე შესაძლებელია ორთოგონალური პროექციისთვის. თუმცა, ორთოგონალურ პროგნოზებს კიდევ რამდენიმე თვისება აქვთ.

ორთოგრაფიული პროექციის თვისებები:
1. სეგმენტის სიგრძე უდრის მისი პროექციის სიგრძეს გაყოფილი სეგმენტის პროექციის სიბრტყისადმი დახრილობის კუთხის კოსინუსზე.

ავიღოთ სწორი ხაზი ABდა ააგეთ მისი ორთოგონალური პროექცია A 1 B 1თვითმფრინავამდე P 1. თუ სწორ ხაზს დახატავთ AS || A 1 B 1, შემდეგ სამკუთხედიდან ABCამას მოჰყვება |AC| : |AB| = cos აან |AB| = |A 1 B 1 | : cos ა, იმიტომ | A 1 B 1 | = |AC|.

2. გარდა ამისა, ორთოგონალური პროექციისთვის, სწორი კუთხის პროექციის თეორემა:

თეორემა:თუ მართი კუთხის ერთი მხარე მაინც პარალელურია პროგნოზების სიბრტყის პარალელურად, ხოლო მეორე არ არის მის პერპენდიკულარული, მაშინ კუთხე დაპროექტებულია ამ სიბრტყეზე სრული ზომით.

მტკიცებულება:

მოცემულია სწორი კუთხე ABC, რომელსაც პირობითად აქვს სწორი ხაზი Sun ABდა მზე ||საპროექციო თვითმფრინავები P 1. კონსტრუქციით, სწორი მზესაპროექტო სხივამდე BB 1. ამიტომ, სწორი ხაზი მზეთვითმფრინავამდე b (ABxBB1), რადგან ეს არის ორი გადამკვეთი სწორი ხაზი, რომელიც მდებარეობს ამ სიბრტყეში. სწორი ხაზის მიხედვით B 1 C 1 || მზე, ასევე თვითმფრინავისკენ ბ, ანუ და პირდაპირი A 1 B 1ეს თვითმფრინავი. აქედან გამომდინარე, კუთხე ხაზებს შორის A 1 B 1და B 1 1-დანუდრის 90°-ს, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ორთოგონალური პროექცია უზრუნველყოფს გეომეტრიული კონსტრუქციების სიმარტივეს წერტილების ორთოგონალური პროექციების განსაზღვრისას, ასევე შესაძლებლობას შეინახოს დაპროექტებული ფიგურის ფორმა და ზომა პროექციებზე. ეს უპირატესობები უზრუნველყოფდა ორთოგონალურ პროექციას ტექნიკურ ნახატში ფართო გამოყენებით.

განხილული პროექციის მეთოდები საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ აღწერილობითი გეომეტრიის პირდაპირი პრობლემა, ანუ ავაშენოთ ბრტყელი ნახატი ორიგინალიდან. ამ გზით მიღებული პროგნოზები ერთ სიბრტყეზე იძლევა არასრულ წარმოდგენას ობიექტის, მისი ფორმისა და პოზიციის შესახებ სივრცეში, ანუ ასეთ ნახატს არ აქვს შექცევადობის თვისება.

შექცევადი ნახაზის მისაღებად, ე.ი. ნახატი, რომელიც იძლევა სრულ სურათს ორიგინალის ფორმის, ზომისა და პოზიციის შესახებ სივრცეში, დამატებულია ერთი ნახატი. დანამატიდან გამომდინარე, არსებობს სხვადასხვა ტიპის ნახატები.

1. მონჯის ნაკვეთი ან ორთოგონალური პროგნოზები.ორთოგონალური (მართკუთხა) პროექციების მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ორიგინალი ორთოგონალურად არის დაპროექტებული 2 ან 3 ორთოგონალურ პროექციის სიბრტყეზე, შემდეგ კი ისინი შერწყმულია ნახაზის სიბრტყეში.
2. აქსონომეტრიული ნახაზი.აქსონომეტრიული ნახაზის არსი არის ის, რომ თავდაპირველად ორიგინალი მკაცრად ასოცირდება დეკარტის კოორდინატთა სისტემასთან. OXYZ, დააპროექტეთ იგი ორთოგონალურად ერთ-ერთ საპროექციო სიბრტყეზე OXY, ან OXZ. შემდეგ, პარალელური პროექციით, ნაპოვნია მიღებული სტრუქტურის პარალელური პროექცია: კოორდინატთა ღერძები OX, OY, OZ,მეორადი პროექცია და ორიგინალი.
3. პერსპექტიული ნახატი.პერსპექტიული ნახაზის აგებისას ჯერ აგებულია ერთი ორთოგონალური პროექცია, შემდეგ კი ადრე აგებული ორთოგონალური პროექციის ცენტრალური პროექცია და თავად ორიგინალი გვხვდება სურათის სიბრტყეზე.
4. პროგნოზები რიცხვითი ნიშნებით და ა.შ.რიცხვითი ნიშნებით პროგნოზების მისაღებად, ორიგინალი ორთოგონალურად არის დაპროექტებული ნულოვანი დონის სიბრტყეზე და მითითებულია მანძილი ორიგინალის წერტილებიდან ამ სიბრტყემდე.

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ მართკუთხა პროექციების და აქსონომეტრიული ნახაზის შესწავლაზე.

გეომეტრიის გაკვეთილი მე-10 კლასში

ამ გაკვეთილზე თქვენ გააგრძელებთ ხაზების და სიბრტყეების შესწავლას; ისწავლეთ როგორ იპოვოთ კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის. თქვენ გაეცნობით ორთოგონალური პროექციის კონცეფციას სიბრტყეზე და განიხილავთ მის თვისებებს. გაკვეთილზე მოცემულია მანძილის განმარტება წერტილიდან სიბრტყემდე და წერტილიდან წრფემდე, წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის შესახებ. დადასტურდება ცნობილი სამი თეორემა. პერპენდიკულარები.

A წერტილის ორთოგონალური პროექცია მოცემულ სიბრტყეზე არის წერტილის პროექცია ამ სიბრტყეზე ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული სწორი ხაზის პარალელურად. ფიგურის ორთოგონალური პროექცია მოცემულ სიბრტყეზე p შედგება ამ ფიგურის ყველა წერტილის p სიბრტყეზე ორთოგონალური პროექციისგან.

ორთოგონალური პროექცია ხშირად გამოიყენება სიბრტყეზე სამგანზომილებიანი სხეულების გამოსასახავად, განსაკუთრებით ტექნიკურ ნახაზებში. ის იძლევა უფრო რეალისტურ გამოსახულებას, ვიდრე თვითნებური პარალელური პროექცია, განსაკუთრებით მრგვალი სხეულების.

დაე, A წერტილის მეშვეობით გაივლოს სწორი ხაზი, რომელიც არ ეკუთვნის p სიბრტყეს, ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია და კვეთს მას B წერტილში. მაშინ AB მონაკვეთს ეწოდება A წერტილიდან ამ სიბრტყეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარი, ხოლო წერტილი თავად B-ს ამ პერპენდიკულარის ფუძე ეწოდება. ნებისმიერ AC სეგმენტს, სადაც C არის p სიბრტყის თვითნებური წერტილი, განსხვავებული B-სგან, ეწოდება დახრილი ამ სიბრტყისკენ.

გაითვალისწინეთ, რომ წერტილი B ამ განმარტებაში არის A წერტილის ორთოგონალური პროექცია, ხოლო AC სეგმენტი არის ირიბი AB-ის ორთოგონალური პროექცია. ორთოგრაფიულ პროგნოზებს აქვთ ჩვეულებრივი პარალელური პროექციების ყველა თვისება, მაგრამ მათ ასევე აქვთ მრავალი ახალი თვისება.

მოდით, პერპენდიკულარული და რამდენიმე დახრილი ხაზი იყოს დახატული ერთი წერტილიდან სიბრტყემდე. მაშინ შემდეგი განცხადებები მართალია.

1. ნებისმიერი ირიბი აღემატება როგორც პერპენდიკულარულ, ისე ორთოგონალურ პროექციას ამ სიბრტყეზე დახრილი.

2. ტოლ ირიბებს აქვთ ტოლი ორთოგონალური პროექციები და პირიქით, ტოლი პროექციების მქონე ირიბიც ტოლია.

3. ერთი ირიბი გრძელია მეორეზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირველი ირიბის ორთოგონალური პროექცია უფრო გრძელია მეორე ირიბის ორთოგონალურ პროექციაზე.