ამ სტატიაში დეტალურად ვისაუბრებთ გეომეტრიის ერთ-ერთ ძირითად ცნებაზე - სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფციაზე. პირველი, მოდით განვსაზღვროთ ძირითადი ტერმინები და აღნიშვნა. შემდეგ განვიხილავთ წრფისა და წერტილის ფარდობით პოზიციას, ასევე ორ ხაზს სიბრტყეზე და ვაძლევთ აუცილებელ აქსიომებს. დასასრულს, განვიხილავთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის დაყენების გზებს და გრაფიკული ილუსტრაციების მიცემას.

გვერდის ნავიგაცია.

სიბრტყეზე სწორი ხაზი არის კონცეფცია.

სანამ სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფციას მივცემთ, ნათლად უნდა გვესმოდეს, რა არის თვითმფრინავი. თვითმფრინავის წარმომადგენლობასაშუალებას გაძლევთ მიიღოთ, მაგალითად, მაგიდის ან სახლის კედლის ბრტყელი ზედაპირი. თუმცა, გასათვალისწინებელია, რომ მაგიდის ზომები შეზღუდულია და სიბრტყე ამ საზღვრებს მიღმა უსასრულობამდე ვრცელდება (თითქოს ჩვენ გვქონდა თვითნებურად დიდი მაგიდა).

თუ ავიღებთ კარგად გამოკვეთილ ფანქარს და მის ბირთვს შევეხებით „მაგიდის“ ზედაპირს, მაშინ მივიღებთ წერტილის გამოსახულებას. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ წერტილის წარმოდგენა სიბრტყეზე.

ახლა შეგიძლიათ წასვლა სიბრტყეზე სწორი ხაზის კონცეფცია.

მაგიდის ზედაპირზე (თვითმფრინავზე) დავდოთ სუფთა ქაღალდის ფურცელი. სწორი ხაზის დასახაზად საჭიროა ავიღოთ სახაზავი და ფანქრით გავავლოთ ხაზი, რამდენადაც სახაზავი და გამოყენებული ფურცლის ზომა იძლევა საშუალებას. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ გზით ვიღებთ მხოლოდ სწორი ხაზის ნაწილს. მთლიანობაში სწორი ხაზი, რომელიც ვრცელდება უსასრულობამდე, ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ წარმოვიდგინოთ.

წრფისა და წერტილის ურთიერთ პოზიცია.

თქვენ უნდა დაიწყოთ აქსიომით: არის წერტილები ყველა სწორ ხაზზე და ყველა სიბრტყეში.

წერტილები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით, მაგალითად, წერტილები A და F. თავის მხრივ, სწორი ხაზები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით, მაგალითად, სწორი ხაზები a და d.

შესაძლებელია სიბრტყეზე წრფის და წერტილის ფარდობითი პოზიციის ორი ვარიანტი: ან წერტილი დევს წრფეზე (ამ შემთხვევაში, ხაზსაც ამბობენ, რომ გადის წერტილში), ან წერტილი არ დევს წრფეზე (ასევე ამბობენ, რომ წერტილი წრფეს არ ეკუთვნის, ან ხაზი არ გადის წერტილს).

იმისათვის, რომ მიუთითოთ, რომ წერტილი ეკუთვნის გარკვეულ ხაზს, გამოიყენება სიმბოლო "". მაგალითად, თუ წერტილი A დევს a წრფეზე, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ. თუ წერტილი A არ ეკუთვნის a წრფეს, ჩაწერეთ.

შემდეგი განცხადება მართალია: ნებისმიერი ორი წერტილიდან არის მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი.

ეს განცხადება არის აქსიომა და უნდა იქნას მიღებული როგორც ფაქტი. გარდა ამისა, ეს სავსებით აშკარაა: ჩვენ ქაღალდზე ვნიშნავთ ორ წერტილს, მივმართავთ მათ სახაზავს და ვხაზავთ სწორ ხაზს. სწორი ხაზი, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში (მაგალითად, A და B წერტილების გავლით) შეიძლება აღვნიშნოთ ამ ორი ასოთი (ჩვენს შემთხვევაში, სწორი ხაზი AB ან BA).

უნდა გვესმოდეს, რომ სიბრტყეზე მოცემულ სწორ ხაზზე უსაზღვროდ ბევრი განსხვავებული წერტილია და ყველა ეს წერტილი ერთ სიბრტყეში დევს. ეს დებულება დგინდება აქსიომით: თუ წრფის ორი წერტილი დევს გარკვეულ სიბრტყეში, მაშინ ამ წრფის ყველა წერტილი დევს ამ სიბრტყეში.

სწორ ხაზზე მოცემულ ორ წერტილს შორის მდებარე ყველა წერტილის ერთობლიობა ამ წერტილებთან ერთად ე.წ სწორი ხაზიან უბრალოდ სეგმენტი. წერტილებს, რომლებიც აკავშირებენ სეგმენტს, ეწოდება სეგმენტის ბოლოები. სეგმენტი აღინიშნება ორი ასოებით, რომლებიც შეესაბამება სეგმენტის ბოლოების წერტილებს. მაგალითად, A და B წერტილები იყოს სეგმენტის ბოლოები, მაშინ ეს სეგმენტი შეიძლება აღვნიშნოთ AB ან BA. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სეგმენტის ეს აღნიშვნა იგივეა, რაც სწორი ხაზის აღნიშვნა. დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ გირჩევთ დაამატოთ სიტყვა "სეგმენტი" ან "პირდაპირი" აღნიშვნაში.

მოკლე ჩანაწერისთვის, რომ მიეკუთვნება და არ მიეკუთვნება გარკვეულ წერტილს გარკვეული სეგმენტისთვის, გამოიყენება ყველა ერთი და იგივე სიმბოლო. იმის საჩვენებლად, რომ სეგმენტი დევს ან არ დევს სწორ ხაზზე, გამოიყენება სიმბოლოები და შესაბამისად. მაგალითად, თუ სეგმენტი AB ეკუთვნის a ხაზს, შეგიძლიათ მოკლედ ჩაწეროთ.

ასევე უნდა შევჩერდეთ იმ შემთხვევაზე, როდესაც სამი განსხვავებული წერტილი ერთსა და იმავე წრფეს ეკუთვნის. ამ შემთხვევაში, ერთი და მხოლოდ ერთი წერტილი დევს დანარჩენ ორს შორის. ეს განცხადება კიდევ ერთი აქსიომაა. დავუშვათ, რომ A, B და C წერტილები მდებარეობენ ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, ხოლო B წერტილი მდებარეობს A და C წერტილებს შორის. მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ A და C წერტილები B წერტილის მოპირდაპირე მხარეს არიან. ასევე შეიძლება ითქვას, რომ B და C წერტილები დევს A წერტილის ერთ მხარეს, ხოლო A და B წერტილები დევს C წერტილის ერთ მხარეს.

სურათის დასასრულებლად აღვნიშნავთ, რომ სწორი ხაზის ნებისმიერი წერტილი ყოფს ამ სწორ ხაზს ორ ნაწილად - ორ ნაწილად სხივი. ამ შემთხვევისთვის მოცემულია აქსიომა: თვითნებური O წერტილი, რომელიც ეკუთვნის წრფეს, ყოფს ამ წრფეს ორ სხივად და ერთი სხივის ნებისმიერი ორი წერტილი მდებარეობს O წერტილის ერთსა და იმავე მხარეს და სხვადასხვა სხივების ნებისმიერი ორი წერტილი. დაწექით O წერტილის მოპირდაპირე მხარეს.

სიბრტყეზე სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგება.

ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: "როგორ შეიძლება ორი ხაზი განთავსდეს სიბრტყეზე ერთმანეთთან შედარებით"?

პირველი, ორი ხაზი თვითმფრინავში შეიძლება ემთხვევა.

ეს შესაძლებელია, როდესაც ხაზებს აქვთ მინიმუმ ორი საერთო წერტილი. მართლაც, წინა აბზაცში გაჟღერებული აქსიომის ძალით, ერთი სწორი ხაზი გადის ორ წერტილს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ორი წრფე გადის ორ მოცემულ წერტილში, მაშინ ისინი ემთხვევა.

მეორეც, ორი სწორი ხაზი თვითმფრინავში ჯვარი.

ამ შემთხვევაში წრფეებს აქვთ ერთი საერთო წერტილი, რომელსაც ხაზების გადაკვეთის წერტილი ეწოდება. ხაზების გადაკვეთა აღინიშნება სიმბოლოთი "", მაგალითად, ჩანაწერი ნიშნავს, რომ a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში. გადამკვეთი ხაზები მიგვიყვანს გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კონცეფციამდე. ცალკე, ღირს სიბრტყეზე სწორი ხაზების ადგილმდებარეობის გათვალისწინება, როდესაც მათ შორის კუთხე ოთხმოცდაათი გრადუსია. ამ შემთხვევაში, ხაზები ე.წ პერპენდიკულარული(ჩვენ გირჩევთ სტატიას პერპენდიკულარულ ხაზებს, ხაზების პერპენდიკულარულობას). თუ ხაზი a პერპენდიკულარულია b წრფეზე, მაშინ შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოკლე აღნიშვნა.

მესამე, სიბრტყეში ორი ხაზი შეიძლება იყოს პარალელური.

პრაქტიკული თვალსაზრისით, მოსახერხებელია სიბრტყეზე სწორი ხაზის განხილვა ვექტორებთან ერთად. განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს მოცემულ წრფეზე ან რომელიმე პარალელურ წრფეზე მოთავსებულ არანულოვან ვექტორებს, მათ ე.წ. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორები. სიბრტყეზე სწორი ხაზის მართვითი სტატიაში მოცემულია ვექტორების მიმართულების მაგალითები და აჩვენებს მათი გამოყენების ვარიანტებს ამოცანების გადასაჭრელად.

ასევე ყურადღება უნდა მიაქციოთ მოცემული პერპენდიკულარულ რომელიმე წრფეზე მდებარე არანულოვან ვექტორებს. ასეთ ვექტორებს ე.წ ხაზის ნორმალური ვექტორები. სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორების გამოყენება აღწერილია სტატიაში სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი სიბრტყეზე.

როდესაც თვითმფრინავზე მოცემულია სამი ან მეტი სწორი ხაზი, არსებობს მრავალი განსხვავებული ვარიანტი მათი შედარებითი პოზიციისთვის. ყველა ხაზი შეიძლება იყოს პარალელური, წინააღმდეგ შემთხვევაში ზოგიერთი ან ყველა მათგანი იკვეთება. ამ შემთხვევაში, ყველა წრფე შეიძლება იკვეთებოდეს ერთ წერტილში (იხილეთ სტატიის ფანქარი ხაზები), ან მათ შეიძლება ჰქონდეთ გადაკვეთის სხვადასხვა წერტილი.

ამაზე დეტალურად არ შევჩერდებით, მაგრამ მტკიცებულების გარეშე მოვიყვანთ რამდენიმე ღირსშესანიშნავ და ძალიან ხშირად გამოყენებულ ფაქტს:

• თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია;
• თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია;
• თუ სიბრტყეში წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის მეორე წრფესაც კვეთს.

სიბრტყეზე სწორი ხაზის დაყენების მეთოდები.

ახლა ჩვენ ჩამოვთვლით ძირითად გზებს, რომლითაც შეგიძლიათ განსაზღვროთ კონკრეტული ხაზი თვითმფრინავში. ეს ცოდნა ძალიან სასარგებლოა პრაქტიკული თვალსაზრისით, ვინაიდან ამდენი მაგალითისა და პრობლემის გადაწყვეტა მასზეა დაფუძნებული.

პირველი, სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს სიბრტყეზე ორი წერტილის მითითებით.

მართლაც, ამ სტატიის პირველ პუნქტში განხილული აქსიომიდან ჩვენ ვიცით, რომ სწორი ხაზი გადის ორ წერტილს და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთ წერტილს.

თუ სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი არათანხვედრი წერტილის კოორდინატებია მითითებული, მაშინ შესაძლებელია ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

მეორეც, წრფე შეიძლება განისაზღვროს წერტილის მითითებით, რომლითაც ის გადის და წრფე, რომლის პარალელურადაც არის. ეს მეთოდი მოქმედებს, რადგან ერთი სწორი ხაზი გადის სიბრტყის მოცემულ წერტილში მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად. ამის დადასტურება გიმნაზიაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე განხორციელდა.

თუ სიბრტყეზე სწორი ხაზი დაყენებულია ამ გზით შემოღებულ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემასთან მიმართებაში, მაშინ შესაძლებელია მისი განტოლების შედგენა. ეს წერია სტატიაში სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად.

მესამე, ხაზი შეიძლება განისაზღვროს წერტილის, რომლითაც იგი გადის და მისი მიმართულების ვექტორი.

თუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში სწორი ხაზი მოცემულია ამ გზით, მაშინ ადვილია მისი კანონიკური განტოლების შედგენა სიბრტყეზე სწორი ხაზის და სიბრტყეზე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების შედგენა.

წრფის მითითების მეოთხე გზა არის წერტილის მითითება, რომლითაც ის გადის და წრფეზე, რომელზეც ის პერპენდიკულარულია. მართლაც, სიბრტყის მოცემულ წერტილში გადის მხოლოდ ერთი წრფე, რომელიც მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია. ეს ფაქტი მტკიცების გარეშე დავტოვოთ.

დაბოლოს, სიბრტყეში წრფე შეიძლება განისაზღვროს წერტილის, რომლითაც ის გადის და წრფის ნორმალური ვექტორის მითითებით.

თუ მოცემულ წრფეზე მდებარე წერტილის კოორდინატები და წრფის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები ცნობილია, მაშინ შესაძლებელია წრფის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

ბიბლიოგრაფია.

• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პოზნიაკი ე.გ., იუდინა ი.ი. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., კისელევა ლ.ს., პოზნიაკი ე.გ. გეომეტრია. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასებისთვის.
• ბუგროვი ია.ს., ნიკოლსკი ს.მ. უმაღლესი მათემატიკა. ტომი პირველი: წრფივი ალგებრის ელემენტები და ანალიტიკური გეომეტრია.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. ანალიტიკური გეომეტრია.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. www.site-ის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

სხვათა შორის, ბოლო უტოლობა მხოლოდ მათი ნორმალური ვექტორების არაპარალელურობაზე მეტყველებს.

თუ ხაზები პარალელურია, მაშინ სისტემას გამოსავალი არ აქვს. ანალიტიკურად ასე გამოიყურება:

მაგრამ თუ სამივე წილადი ტოლია, მაშინ წრფეები ერთმანეთს ემთხვევა და, შესაბამისად, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

კუთხე ორ ხაზს შორისშეგიძლიათ იპოვოთ ორი ფორმულის გამოყენებით.

თუ ხაზები მოცემულია ზოგადი განტოლებებით, მაშინ მათ შორის კუთხე ემთხვევა მათ ნორმალურ ვექტორებს შორის არსებულ კუთხეს. იგი გამოითვლება წინა ლექციიდან (6.9) ფორმულით. ჩვენს შემთხვევაში, ეს ასე გამოიყურება:

. (7.7)

პარალელური წრფეების მდგომარეობა:

;

პერპენდიკულარული მდგომარეობა:

.

თუ ხაზები მოცემულია ფორმის დახრილობის კოეფიციენტებით განტოლებით:

და ,

შემდეგ მათ შორის კუთხის ტანგენსი განისაზღვრება ფორმულით:

. (7.8)

პარალელური მდგომარეობა:

პერპენდიკულარული მდგომარეობა:

.

მაგალითი 7.4. იპოვეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი და და კუთხე მათ შორის.

გადაწყვეტილებები ე. ვიპოვოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი კრამერის მეთოდით განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:

, , ,

ხაზებს შორის კუთხე განისაზღვრება, როგორც კუთხე მათ ნორმალურ ვექტორებს შორის (2, 5) და (5, -2). ფორმულით (7.7) გვაქვს:

.

რას ამბობს ეს პასუხი? ხაზები პერპენდიკულარულია, რადგან .

მაგალითი 7.5. პარამეტრების რა მნიშვნელობით ადა ბპირდაპირი და : ა) იკვეთება, ბ) პარალელურია, in) მატჩი?

გადაწყვეტილებები ე. ორი ხაზი იკვეთება, თუ პირობა დაკმაყოფილებულია. ჩვენს შემთხვევაში

.

ხაზები პარალელურია თუ , ე.ი.

.

და ბოლოს, ორი ხაზი ემთხვევა იმ პირობით, რომ , ე.ი. თუ .

მაგალითი 7.6. მოცემულია წერტილი და ხაზი . დაწერეთ ხაზების განტოლებები ლ 1 და ლ 2 წერტილის გავლით ა, და .

გადაწყვეტილებები ე. მოდით გავაკეთოთ ესკიზი.

ბრინჯი. 7.6

ორიგინალური ხაზის დახრილობა ლუდრის კ= -2. შესაბამისად, პირობით . ფორმულით (7.4) ვპოულობთ სწორი ხაზის განტოლებას ლ 1:

, ან .

Მას შემდეგ . შემდეგ წრფის განტოლება ლ 2 ასე გამოიყურება:

, ან .

7.4. მეორე რიგის მრუდის განმარტება

განმარტება 7.1.მეორე რიგის მრუდიეწოდება წრფე, რომელიც განსაზღვრულია მეორე ხარისხის განტოლებით მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში. ზოგადად, ამ განტოლებას აქვს ფორმა:

სად არის ყველა ნომერი მაგრამ, AT, თანდა ა.შ. არის რეალური რიცხვები და, გარდა ამისა, მინიმუმ ერთი რიცხვი მაგრამ, AT, თან- განსხვავდება ნულიდან.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემის შემოღებამდე ყველა მრუდი აღწერილი იყო სიტყვიერად, განხილული მრუდის გეომეტრიული თვისებების საფუძველზე. ასე რომ, წრის განმარტება ასე იკითხება:

განმარტება 7.2. წრე – არის წერტილების ადგილი მოცემული წერტილიდან თანაბარ მანძილზე სიბრტყეში, რომელსაც ეწოდება ცენტრი.

წრის განტოლებაწერტილზე ორიენტირებული ( ა,ბ) და რადიუსი რდეკარტის კოორდინატებში ის, რაც სკოლაში მიიღეთ, ასე გამოიყურება:

თუ ფრჩხილებს გავხსნით, მივიღებთ (7.9) განტოლების მსგავს განტოლებას, რომელშიც არ არის მიმდინარე კოორდინატების ნამრავლის შემცველი ტერმინი და უფრო მაღალი სიმძლავრის კოეფიციენტები ერთმანეთის ტოლია.

ყველა მეორე რიგის განტოლების წარმოშობა მსგავსია სწორი ხაზის განტოლებების წარმოშობისა და მიჰყვება იმავე ალგორითმს.

პარაბოლის განტოლებას გამოვიყვანთ მისი განმარტების საფუძველზე.

7.5. პარაბოლის კანონიკური განტოლება

განმარტება 7.3. პარაბოლა არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლებიც თანაბრად არიან დაშორებული მოცემული წერტილიდან ფდაურეკა ფოკუსირება, და ეს სწორი ხაზი, ე.წ დირექტორი.

მოდით აღვნიშნოთ მანძილი ფოკუსიდან მიმართულებამდე, როგორც გვ. ეს მნიშვნელობა ე.წ პარამეტრიპარაბოლები.

1. მოათავსეთ x ღერძი ისე, რომ გაიაროს ფოკუსში, იყოს პერპენდიკულარული დირექტიკის მიმართ და ჰქონდეს დადებითი მიმართულება დირექტიდან ფოკუსისკენ.

2. მოათავსეთ კოორდინატების საწყისი ამ პერპენდიკულურის შუაში. მაშინ წერტილის კოორდინატები იქნება ფ(გვ/2, 0) და დირექტიული განტოლება: .

3. აიღეთ პარაბოლის მიმდინარე წერტილი მ(x, y).

4. პარაბოლის განმარტებით მანძილი მნწერტილიდან მმიმართულებამდე მისი მანძილის ტოლია მფფოკუსიდან: მფ= MN. როგორც ნახატიდან ჩანს (ნახ. 7.7) წერტილის კოორდინატები ნ(–გვ/2, წ). მოდი ვიპოვოთ ეს მანძილი წინა ლექციის 1-ლი პუნქტიდან ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით.

, .

ამ გამონათქვამების მარჯვენა მხარის გათანაბრება და განტოლების ორივე მხარის კვადრატში, მივიღებთ:

,

ან შემოკლებების შემდეგ

. (7.11)

განტოლება (7.11) ეწოდება პარაბოლის კანონიკური განტოლება. მხოლოდ მრუდეზე მოთავსებული წერტილები დააკმაყოფილებს მას, დანარჩენი კი არა. შევისწავლოთ მისი გრაფიკის ფორმა კანონიკური განტოლების მიხედვით.

Იმდენად, რამდენადაც წშედის თანაბარ ძალამდე, შემდეგ ღერძი ოჰიქნება სიმეტრიის ღერძი, ე.ი. ერთი ღირებულება Xშეესაბამება ორ მნიშვნელობას ი- დადებითი და უარყოფითი. რადგან მარჯვენა მხარე არ არის უარყოფითი ზე, მერე მარცხენაც. როგორც რარის მანძილი ფოკუსსა და დირექტიკას შორის, რომელიც ყოველთვის ნულზე მეტია, მაშინ X. Თუ X=0, მაშინ ზე=0, ე.ი. პარაბოლა გადის საწყისზე. შეუზღუდავი ზრდით xაბსოლუტური მნიშვნელობა ზეასევე გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით.

პარაბოლას (7.11) განტოლებით განსაზღვრული გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 7.7.

ბრინჯი. 7.7 ნახ. 7.8

პარაბოლის სიმეტრიის ღერძს კეროვანი ღერძი ეწოდება, რადგან მას აქვს ფოკუსირება. თუ პარაბოლის ფოკუსური ღერძი მიიღება y-ღერძად, მაშინ მისი განტოლება მიიღებს ფორმას:

.

მისი ნახაზი ნაჩვენებია ნახ. 7.8. ამ შემთხვევაში, ყურადღება გამახვილდება წერტილზე ფ(0, გვ/2), ხოლო დირექტივის განტოლებას ექნება ფორმა ზე = –რ/2.

ამრიგად, ჩვენ განვიხილეთ პარაბოლა, ვიპოვეთ მისი განტოლება და ვაჩვენეთ შესაძლო მდებარეობები საწყისთან შედარებით.

თუ პარაბოლის წვერო გადაადგილებულია წერტილამდე , მაშინ კანონიკური განტოლება ასე გამოიყურება:

.

ჩვენ არ შევეხებით მეორე რიგის სხვა მრუდების წარმოშობას. მსურველებს შეუძლიათ იპოვონ ყველა გამოთვლა რეკომენდებული ლიტერატურაში.

ჩვენ შემოვიფარგლებით მათი განმარტებებითა და განტოლებით.

ერთ წუთზე ნაკლებ დროში შევქმენი ახალი ვერდოვის ფაილი და გავაგრძელე ასეთი საინტერესო თემა. თქვენ უნდა დაიჭიროთ სამუშაო განწყობის მომენტები, ასე რომ, ლირიკული შესავალი არ იქნება. იქნება პროზაული დარტყმა =)

ორ სწორ სივრცეს შეუძლია:

1) შეჯვარება;

2) იკვეთება წერტილში;

3) იყოს პარალელური;

4) მატჩი.

საქმე #1 ძირეულად განსხვავდება სხვა შემთხვევებისგან. ორი ხაზი იკვეთება, თუ ისინი არ დევს ერთ სიბრტყეში.. ერთი მკლავი ასწიეთ ზემოთ და მეორე ხელი წინ გაწელეთ - აი, გადაკვეთის ხაზების მაგალითი. 2-4 წერტილებში ხაზები აუცილებლად დევს ერთ თვითმფრინავში.

როგორ გავარკვიოთ ხაზების ფარდობითი პოზიცია სივრცეში?

განვიხილოთ ორი სწორი სივრცე:

არის სწორი წრფე, რომელიც მოცემულია წერტილით და მიმართული ვექტორით;
არის სწორი ხაზი, რომელიც განისაზღვრება წერტილით და მიმართულების ვექტორით.

უკეთესი გაგებისთვის, მოდით გავაკეთოთ სქემატური ნახაზი:

ნახატზე ნაჩვენებია დახრილი ხაზები, როგორც მაგალითი.

როგორ გავუმკლავდეთ ამ ხაზებს?

ვინაიდან წერტილები ცნობილია, ვექტორის პოვნა ადვილია.

თუ სწორი შეჯვარება, შემდეგ ვექტორები არა თანაპლენარული(იხილეთ გაკვეთილი ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი), რაც ნიშნავს, რომ მათი კოორდინატებისაგან შემდგარი განმსაზღვრელი არის ნულოვანი. ან, რაც რეალურად იგივეა, განსხვავდება ნულიდან: .

No2-4 შემთხვევაში ჩვენი კონსტრუქცია ერთ სიბრტყეში „ვარდება“, ხოლო ვექტორები თანაპლენარულიდა წრფივად დამოკიდებული ვექტორების შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია: .

ჩვენ უფრო გავაფართოვებთ ალგორითმს. მოდი ვიჩვენოთ, რომ მაშასადამე, წრფეები ან იკვეთება, ან პარალელურია, ან ემთხვევა.

თუ მიმართულების ვექტორები კოლინარული, მაშინ ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა. როგორც საბოლოო ლურსმანი, მე გთავაზობთ შემდეგ ტექნიკას: ვიღებთ ერთი სწორი ხაზის ნებისმიერ წერტილს და ვანაცვლებთ მის კოორდინატებს მეორე სწორი ხაზის განტოლებაში; თუ კოორდინატები "მიუახლოვდა", მაშინ ხაზები ემთხვევა, თუ ისინი "არ მიუახლოვდნენ", მაშინ ხაზები პარალელურია.

ალგორითმის კურსი არაპრეტენზიულია, მაგრამ პრაქტიკული მაგალითები მაინც არ ერევა:

მაგალითი 11

გაარკვიეთ ორი ხაზის შედარებითი პოზიცია

გადაწყვეტილება: როგორც გეომეტრიის ბევრ პრობლემაში, მოსახერხებელია ამონახსნის მოწყობა წერტილი-პუნქტით:

1) ჩვენ გამოვყოფთ წერტილებსა და მიმართულების ვექტორებს განტოლებიდან:

2) იპოვეთ ვექტორი:

ამდენად, ვექტორები თანაპლენარულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ წრფეები დევს ერთ სიბრტყეში და შეიძლება იკვეთოს, იყოს პარალელური ან ემთხვევა.

4) შეამოწმეთ მიმართულების ვექტორები კოლინარულობაზე.

მოდით შევადგინოთ სისტემა ამ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებისგან:

დან ყველასგანტოლება გულისხმობს, რომ, შესაბამისად, სისტემა თანმიმდევრულია, ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები პროპორციულია და ვექტორები კოლინური.

დასკვნა: ხაზები პარალელურია ან ემთხვევა.

5) გაარკვიეთ, აქვთ თუ არა ხაზებს საერთო წერტილები. ავიღოთ წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება პირველ სწორ ხაზს და ჩავანაცვლოთ მისი კოორდინატები სწორი ხაზის განტოლებებში:

ამრიგად, ხაზებს არ აქვთ საერთო წერტილები და მათ არაფერი რჩებათ გარდა იმისა, რომ იყვნენ პარალელები.

უპასუხე:

საინტერესო მაგალითი საკუთარი თავის მოსაგვარებლად:

მაგალითი 12

გაარკვიეთ ხაზების ფარდობითი პოზიცია

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სტრიქონს პარამეტრად აქვს ასო. ლოგიკურად. ზოგადად, ეს ორი განსხვავებული ხაზია, ამიტომ თითოეულ ხაზს აქვს საკუთარი პარამეტრი.

და კიდევ ერთხელ მოგიწოდებთ, არ გამოტოვოთ მაგალითები, მე შევაფასებ ჩემს მიერ შემოთავაზებულ დავალებებს შემთხვევითისაგან შორს ;-)

პრობლემები სწორ ხაზთან სივრცეში

გაკვეთილის დასკვნით ნაწილში ვეცდები განვიხილო მაქსიმალური თანხასივრცითი ხაზების სხვადასხვა პრობლემები. ამ შემთხვევაში დაცული იქნება თხრობის დაწყებული თანმიმდევრობა: ჯერ განვიხილავთ პრობლემებს გადამკვეთ ხაზებთან, შემდეგ გადამკვეთ ხაზებთან და ბოლოს ვისაუბრებთ სივრცეში პარალელურ ხაზებზე. თუმცა, უნდა ითქვას, რომ ამ გაკვეთილის ზოგიერთი დავალება შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთდროულად რამდენიმე შემთხვევისთვის და ამ მხრივ, მონაკვეთის აბზაცებად დაყოფა გარკვეულწილად თვითნებურია. არის უფრო მარტივი მაგალითები, არის უფრო რთული მაგალითები და იმედია ყველა იპოვის იმას რაც სჭირდება.

გადაკვეთილი ხაზები

შეგახსენებთ, რომ ხაზები იკვეთება, თუ არ არის სიბრტყე, რომელშიც ორივე დევს. როდესაც პრაქტიკაზე ვფიქრობდი, მონსტრული დავალება გამახსენდა და ახლა მოხარული ვარ წარმოგიდგინოთ თქვენს ყურადღებას დრაკონი ოთხი თავით:

მაგალითი 13

მოცემულია სწორი ხაზები. საჭირო:

ა) დაამტკიცეთ, რომ წრფეები იკვეთება;

ბ) იპოვონ მოცემული წრფეების პერპენდიკულარულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლებები;

გ) შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომელიც შეიცავს საერთო პერპენდიკულარიგადამკვეთი ხაზები;

დ) იპოვნეთ მანძილი ხაზებს შორის.

გადაწყვეტილება: გზას მოსიარულე დაეუფლება:

ა) დავამტკიცოთ, რომ წრფეები იკვეთება. ვიპოვოთ ამ სწორი ხაზების წერტილები და მიმართულების ვექტორები:

ვიპოვოთ ვექტორი:

გამოთვლა ვექტორების შერეული პროდუქტი:

ასე რომ, ვექტორები არა თანაპლენარული, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები იკვეთება, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ალბათ, ყველამ დიდი ხანია შეამჩნია, რომ დახრილი ხაზებისთვის, გადამოწმების ალგორითმი ყველაზე მოკლე აღმოჩნდება.

ბ) ვიპოვოთ წრფის განტოლებები, რომელიც გადის წერტილში და წრფეებზე პერპენდიკულარულია. მოდით გავაკეთოთ სქემატური ნახაზი:

მრავალფეროვნებისთვის გამოვაქვეყნე პირდაპირი უკანსწორი ხაზები, ნახეთ როგორ არის ოდნავ წაშლილი გადაკვეთის წერტილებზე. შეჯვარება? დიახ, ზოგად შემთხვევაში, ხაზი "დე" გადაიკვეთება თავდაპირველ ხაზებთან. თუმცა ეს მომენტი არ გვაინტერესებს, უბრალოდ პერპენდიკულარული ხაზის აწყობა გვჭირდება და ეს არის.

რა არის ცნობილი პირდაპირი "დე"-ს შესახებ? მისი კუთვნილი წერტილი ცნობილია. მიმართულების ვექტორი აკლია.

პირობით, ხაზი უნდა იყოს ხაზების პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ მისი მიმართულების ვექტორი ორთოგონალური იქნება მიმართულების ვექტორებთან. მე-9 მაგალითიდან უკვე ნაცნობი მოტივი, ვიპოვოთ ვექტორული ნამრავლი:

შევადგინოთ სწორი ხაზის „დე“ განტოლებები წერტილისა და მიმართულების ვექტორის მიხედვით:

მზადაა. პრინციპში, შეიძლება შეცვალოს ნიშნები მნიშვნელებში და დაწეროს პასუხი ფორმაში , მაგრამ ამის საჭიროება არ არის.

შესამოწმებლად აუცილებელია წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლება სწორი ხაზის მიღებულ განტოლებებში, შემდეგ გამოყენება ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლიდარწმუნდით, რომ ვექტორი მართლაც ორთოგონალურია მიმართულების ვექტორების "პე ერთი" და "პე ორი".

როგორ მოვძებნოთ საერთო პერპენდიკულურის შემცველი წრფის განტოლებები?

გ) ეს პრობლემა უფრო რთულია. მე გირჩევ დუმს გამოტოვონ ეს აბზაცი, არ მინდა გავაგრილო შენი გულწრფელი სიმპათია ანალიტიკური გეომეტრიის მიმართ =) სხვათა შორის, ალბათ ჯობია უფრო მომზადებულმა მკითხველებმაც დაელოდონ, ფაქტია, რომ მაგალითი ბოლოს უნდა დადგეს სტატია სირთულის თვალსაზრისით, მაგრამ პრეზენტაციის ლოგიკის მიხედვით აქ უნდა იყოს განთავსებული.

ასე რომ, საჭიროა ვიპოვოთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომელიც შეიცავს დახრილი ხაზების საერთო პერპენდიკულარს.

არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მოცემულ ხაზებს და პერპენდიკულარულია მოცემულ ხაზებზე:

აი ჩვენი სიმპათიური მამაკაცი: - გადაკვეთის ხაზების საერთო პერპენდიკულარი. ის ერთადერთია. სხვა მსგავსი არ არსებობს. ჩვენ ასევე უნდა შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომელიც შეიცავს მოცემულ სეგმენტს.

რა არის ცნობილი პირდაპირი "უჰ"-ის შესახებ? მისი მიმართულების ვექტორი ცნობილია წინა აბზაცში. მაგრამ, სამწუხაროდ, ჩვენ არ ვიცით ერთი წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება სწორ წრფეს „ემ“, არ ვიცით პერპენდიკულარული – წერტილების ბოლოები. სად კვეთს ეს პერპენდიკულური ხაზი ორ თავდაპირველ წრფეს? აფრიკა, ანტარქტიდა? მდგომარეობის პირველადი მიმოხილვითა და ანალიზით, სრულიად გაუგებარია, როგორ უნდა მოგვარდეს პრობლემა…. მაგრამ არსებობს რთული ნაბიჯი, რომელიც დაკავშირებულია სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებების გამოყენებასთან.

მოდით მივიღოთ გადაწყვეტილება პუნქტად:

1) გადავწეროთ პირველი სწორი ხაზის განტოლებები პარამეტრული სახით:

განვიხილოთ ერთი წერტილი. კოორდინატები არ ვიცით. მაგრამ. თუ წერტილი მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მაშინ მისი კოორდინატები შეესაბამება , აღნიშნეთ იგი . შემდეგ წერტილის კოორდინატები დაიწერება შემდეგნაირად:

ცხოვრება უმჯობესდება, ერთი უცნობი - ბოლოს და ბოლოს, არა სამი უცნობი.

2) იგივე აღშფოთება უნდა განხორციელდეს მეორე პუნქტზეც. მოდით გადავიწეროთ მეორე სწორი ხაზის განტოლებები პარამეტრული ფორმით:

თუ წერტილი მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მაშინ ძალიან კონკრეტული მნიშვნელობითმისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს პარამეტრულ განტოლებებს:

ან:

3) ვექტორი, ისევე როგორც ადრე ნაპოვნი ვექტორი, იქნება წრფის მიმართული ვექტორი. გაკვეთილზე უხსოვარი დროიდან განიხილებოდა თუ როგორ უნდა შედგეს ვექტორი ორი წერტილიდან ვექტორები დუმებისთვის. ახლა განსხვავება ისაა, რომ ვექტორების კოორდინატები იწერება უცნობი პარამეტრის მნიშვნელობებით. Მერე რა? არავინ კრძალავს ვექტორის დასაწყისის შესაბამისი კოორდინატების გამოკლებას ვექტორის ბოლო კოორდინატებისგან.

არის ორი წერტილი: .

ვექტორის პოვნა:

4) ვინაიდან მიმართულების ვექტორები არის კოლინარული, მაშინ ერთი ვექტორი წრფივად არის გამოხატული მეორის მეშვეობით გარკვეული პროპორციულობის კოეფიციენტით "ლამბდა":

ან კოორდინირებულად:

ყველაზე ჩვეულებრივი აღმოჩნდა წრფივი განტოლებათა სისტემასამი უცნობით, რომელიც სტანდარტულად ამოსახსნელია, მაგალითად, კრამერის მეთოდი. მაგრამ აქ არის პატარა სისხლით გადმოსვლის შესაძლებლობა, მესამე განტოლებიდან გამოვხატავთ "ლამბდას" და ჩავანაცვლებთ პირველ და მეორე განტოლებებს:

ამრიგად: , და "ლამბდა" არ გვჭირდება. ის ფაქტი, რომ პარამეტრების მნიშვნელობები ერთი და იგივე აღმოჩნდა, არის შანსი.

5) ცა მთლიანად იწმინდება, შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები ჩვენს ლოკაციებზე:

მიმართულების ვექტორი განსაკუთრებით არ არის საჭირო, რადგან მისი ანალოგი უკვე ნაპოვნია.

ხანგრძლივი მოგზაურობის შემდეგ ყოველთვის საინტერესოა შემოწმების ჩატარება.

:

მიიღება სწორი ტოლობები.

შეცვალეთ წერტილის კოორდინატები განტოლებებში :

მიიღება სწორი ტოლობები.

6) ბოლო აკორდი: ჩვენ შევადგენთ სწორი ხაზის განტოლებებს წერტილისთვის (შეგიძლიათ აიღოთ) და სამართავი ვექტორისთვის:

პრინციპში, თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ "კარგი" წერტილი მთელი რიცხვების კოორდინატებით, მაგრამ ეს კოსმეტიკურია.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი გადაკვეთის ხაზებს შორის?

დ) დრაკონის მეოთხე თავი მოვკვეთეთ.

მეთოდი პირველი. გზა კი არა, პატარა განსაკუთრებული შემთხვევა. გადაკვეთის ხაზებს შორის მანძილი ტოლია მათი საერთო პერპენდიკულურის სიგრძისა: .

საერთო პერპენდიკულარულის უკიდურესი წერტილები ნაპოვნია წინა აბზაცში და ამოცანა ელემენტარულია:

მეთოდი მეორე. პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად საერთო პერპენდიკულარის ბოლოები უცნობია, ამიტომ განსხვავებული მიდგომა გამოიყენება. ორი გადამკვეთი წრფის მეშვეობით შეიძლება დაიხაზოს პარალელური სიბრტყეები და მოცემულ სიბრტყეებს შორის მანძილი უდრის მოცემულ წრფეებს შორის მანძილს. კერძოდ, ამ სიბრტყეებს შორის საერთო პერპენდიკულარი გამოდის.

ანალიტიკური გეომეტრიის მსვლელობისას, ზემოაღნიშნული მოსაზრებებიდან გამომდინარე, მიღებული იქნა ფორმულა დახრილ ხაზებს შორის მანძილის საპოვნელად:
(ჩვენი პუნქტების "em ერთი, ორი" ნაცვლად შეგვიძლია ავიღოთ ხაზების თვითნებური წერტილები).

ვექტორების შერეული პროდუქტიუკვე ნაპოვნია "ა" პუნქტში: .

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლინაპოვნია პუნქტში "იყოს": , გამოთვალეთ მისი სიგრძე:

ამრიგად:

ამაყად დაალაგეთ თასები ერთ რიგში:

უპასუხე:
ა) მაშასადამე, ხაზები იკვეთება, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო;
ბ) ;
in) ;
გ)

კიდევ რა შეიძლება ითქვას გადაკვეთის ხაზებზე? მათ შორის განსაზღვრულია კუთხე. მაგრამ განიხილეთ უნივერსალური კუთხის ფორმულა შემდეგ აბზაცში:

გადამკვეთი სწორი ხაზები აუცილებლად დევს იმავე სიბრტყეში:

პირველი აზრია მთელი ძალით დაეყრდნოთ გადაკვეთის წერტილს. და მაშინვე გავიფიქრე, რატომ უარვყოფ საკუთარ თავს სწორი სურვილები ?! მოდით გადახტეთ მასზე ახლავე!

როგორ მოვძებნოთ სივრცითი ხაზების გადაკვეთის წერტილი?

მაგალითი 14

იპოვეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი

გადაწყვეტილება: გადავიწეროთ წრფეთა განტოლებები პარამეტრული სახით:

ეს დავალება დეტალურად იქნა განხილული ამ გაკვეთილის მე-7 მაგალითში (იხ. სწორი ხაზის განტოლებები სივრცეში). და თავად სწორი ხაზები, სხვათა შორის, მე ავიღე მაგალითი No 12. მე არ ვიტყუები, მე ძალიან მეზარება ახლის გამოგონება.

ამონახსნი არის სტანდარტული და უკვე შეგვხვდა, როდესაც შევიმუშავეთ დახრილი ხაზების საერთო პერპენდიკულარის განტოლებები.

ხაზების გადაკვეთის წერტილი ეკუთვნის წრფეს, ამიტომ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ წრფის პარამეტრულ განტოლებებს და ისინი შეესაბამება ძალიან კონკრეტული პარამეტრის მნიშვნელობა:

მაგრამ იგივე წერტილი ეკუთვნის მეორე ხაზს, ამიტომ:

ვაიგივებთ შესაბამის განტოლებებს და ვაკეთებთ გამარტივებებს:

მიიღება სამი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით. თუ ხაზები იკვეთება (როგორც დადასტურებულია მაგალითში 12), მაშინ სისტემა აუცილებლად თანმიმდევრულია და აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. მისი მოგვარება შესაძლებელია გაუსის მეთოდი, მაგრამ ჩვენ არ შევცოდავთ ასეთი საბავშვო ბაღის ფეტიშიზმით, მოდი, ეს უფრო მარტივად მოვიქცეთ: პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ "ტე ნულს" და ვცვლით მეორე და მესამე განტოლებით:

ბოლო ორი განტოლება არსებითად ერთნაირი აღმოჩნდა და აქედან გამომდინარეობს, რომ . შემდეგ:

მოდით შევცვალოთ პარამეტრის ნაპოვნი მნიშვნელობა განტოლებით:

უპასუხე:

შესამოწმებლად, ჩვენ ვცვლით პარამეტრის ნაპოვნი მნიშვნელობას განტოლებებში:
მიღებული იქნა იგივე კოორდინატები, როგორც საჭირო იყო შესამოწმებლად. ზედმიწევნით მკითხველს შეუძლია შეცვალოს წერტილის კოორდინატები ხაზების ორიგინალურ კანონიკურ განტოლებებში.

სხვათა შორის, საპირისპირო იყო შესაძლებელი: წერტილის პოვნა "es zero"-ს მეშვეობით და შემოწმება "te zero"-ს მეშვეობით.

ცნობილი მათემატიკური ნიშანი ამბობს: სადაც განიხილება სწორი ხაზების გადაკვეთა, ყოველთვის დგას პერპენდიკულარების სუნი.

როგორ ავაშენოთ სივრცის ხაზი მოცემულზე პერპენდიკულარული?

(ხაზები იკვეთება)

მაგალითი 15

ა) შეადგინეთ წრფის პერპენდიკულარულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლებები (ხაზები იკვეთება).

ბ) იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

შენიშვნა : პუნქტი "ხაზები იკვეთება" - არსებითი. წერტილის მეშვეობით
შესაძლებელია უსასრულო რაოდენობის პერპენდიკულარული წრფეების დახაზვა, რომლებიც გადაიკვეთება „ელ“ წრფესთან. ერთადერთი გამოსავალი ჩნდება, როდესაც წრფე იხაზება მოცემულ წერტილში პერპენდიკულარულად ორიმოცემული სწორი ხაზები (იხ. მაგალითი No13, პუნქტი „ბ“).

ა) გადაწყვეტილება: უცნობი წრფის აღნიშვნა . მოდით გავაკეთოთ სქემატური ნახაზი:

რა არის ცნობილი ხაზის შესახებ? პირობით, ქულა მოცემულია. სწორი ხაზის განტოლებების შედგენისთვის საჭიროა ვიპოვოთ მიმართულების ვექტორი. როგორც ასეთი ვექტორი, ვექტორი საკმაოდ შესაფერისია და ჩვენ მას გავუმკლავდებით. უფრო ზუსტად, ავიღოთ ვექტორის უცნობი დასასრული სკრუფით.

1) ჩვენ გამოვყოფთ მის მიმართულ ვექტორს სწორი ხაზის განტოლებიდან "ელ" და თავად განტოლებებს პარამეტრული სახით გადავწერთ:

ბევრმა გამოიცნო, რომ ახლა უკვე მესამედ გაკვეთილზე ჯადოქარი ქუდიდან თეთრ გედს ამოიღებს. განვიხილოთ წერტილი უცნობი კოორდინატებით. ვინაიდან წერტილი , მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს სწორი ხაზის "ელ" პარამეტრულ განტოლებებს და ისინი შეესაბამება კონკრეტული პარამეტრის მნიშვნელობას:

ან ერთ ხაზზე:

2) პირობით, წრფეები უნდა იყოს პერპენდიკულარული, შესაბამისად, მათი მიმართულების ვექტორები ორთოგონალურია. და თუ ვექტორები ორთოგონალურია, მაშინ მათი სკალარული პროდუქტიუდრის ნულს:

Რა მოხდა? უმარტივესი წრფივი განტოლება ერთი უცნობით:

3) პარამეტრის მნიშვნელობა ცნობილია, მოდი ვიპოვოთ წერტილი:

და მიმართულების ვექტორი:
.

4) სწორი წრფის განტოლებებს შევადგენთ წერტილისა და მიმართულების ვექტორის მიხედვით :

პროპორციის მნიშვნელები წილადი აღმოჩნდა და ეს სწორედ ის შემთხვევაა, როცა მიზანშეწონილია წილადების მოშორება. მე უბრალოდ გავამრავლებ მათ -2-ზე:

უპასუხე:

შენიშვნა : ამონახსნის უფრო მკაცრი დასასრული შედგენილია შემდეგნაირად: სწორი ხაზის განტოლებებს ვადგენთ წერტილით და მიმართულების ვექტორით. . მართლაც, თუ ვექტორი არის სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი, მაშინ მის მიმართ კოლინარული ვექტორი, ბუნებრივია, ასევე იქნება ამ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი.

შემოწმება შედგება ორი ეტაპისგან:

1) შეამოწმეთ ხაზების მიმართულების ვექტორები ორთოგონალურობაზე;

2) ჩვენ ვანაცვლებთ წერტილის კოორდინატებს თითოეული სწორი ხაზის განტოლებებში, ისინი უნდა "შეესაბამებოდეს" აქაც და იქაც.

ბევრი იყო ლაპარაკი ტიპიურ ქმედებებზე, ამიტომ შევამოწმე მონახაზი.

სხვათა შორის, დამავიწყდა კიდევ ერთი მოდა - სწორ ხაზთან მიმართებაში „ელ“-ის მიმართ სიმეტრიული წერტილის „სუ“ აგება. თუმცა, არის კარგი "ბრტყელი ანალოგი", რომელიც შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში უმარტივესი პრობლემები სიბრტყეზე სწორი ხაზით. აქ ყველა განსხვავება იქნება დამატებით "Z" კოორდინატში.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში?

ბ) გადაწყვეტილება: იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

მეთოდი პირველი. ეს მანძილი ზუსტად ტოლია პერპენდიკულარულის სიგრძისა: . გამოსავალი აშკარაა: თუ ქულები ცნობილია , შემდეგ:

მეთოდი მეორე. პრაქტიკულ პრობლემებში პერპენდიკულარულის საფუძველი ხშირად საიდუმლოა, ამიტომ უფრო რაციონალურია მზა ფორმულის გამოყენება.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე გამოიხატება ფორმულით:
, სად არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი "ელ" და - თვითნებურიწერტილი მოცემულ ხაზზე.

1) სწორი ხაზის განტოლებიდან ვიღებთ მიმართულების ვექტორს და ყველაზე მისაწვდომ წერტილს.

2) წერტილი ცნობილია მდგომარეობიდან, გამძაფრეთ ვექტორი:

3) ვიპოვოთ ვექტორული პროდუქტიდა გამოთვალეთ მისი სიგრძე:

4) გამოთვალეთ მიმართულების ვექტორის სიგრძე:

5) ამრიგად, მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ეს სტატია ეხება პარალელურ ხაზებს და პარალელურ ხაზებს. თავდაპირველად მოცემულია პარალელური წრფეების განმარტება სიბრტყეში და სივრცეში, შემოღებულია აღნიშვნა, მოცემულია პარალელური წრფეების მაგალითები და გრაფიკული ილუსტრაციები. შემდგომში გაანალიზებულია სწორი ხაზების პარალელურობის ნიშნები და პირობები. დასასრულს, ნაჩვენებია გადაწყვეტილებები სწორი ხაზების პარალელურობის დამადასტურებელი ტიპიური ამოცანებისთვის, რომლებიც მოცემულია სწორი ხაზის ზოგიერთი განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში.

გვერდის ნავიგაცია.

პარალელური ხაზები - ძირითადი ინფორმაცია.

განმარტება.

სიბრტყეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურადთუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება.

ორ ხაზს სამ განზომილებაში ეწოდება პარალელურადთუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ და საერთო წერტილები არ აქვთ.

გაითვალისწინეთ, რომ სივრცეში პარალელური წრფეების განსაზღვრაში პუნქტი „თუ ისინი ერთსა და იმავე სიბრტყეში არიან“ ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდით დავაზუსტოთ ეს პუნქტი: ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური, არამედ დახრილი.

აქ მოცემულია პარალელური ხაზების რამდენიმე მაგალითი. ნოუთბუქის ფურცლის საპირისპირო კიდეები დევს პარალელურ ხაზებზე. სწორი ხაზები, რომლითაც სახლის კედლის სიბრტყე კვეთს ჭერისა და იატაკის სიბრტყეებს, პარალელურია. რკინიგზის ლიანდაგები დონის ადგილზე ასევე შეიძლება ჩაითვალოს პარალელურ ხაზებად.

სიმბოლო "" გამოიყენება პარალელური ხაზების აღსანიშნავად. ანუ, თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგიძლიათ მოკლედ დაწეროთ b.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a წრფე პარალელურია b წრფესთან და ასევე, რომ b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით გამოვთქვათ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სიბრტყეში პარალელური წრფეების შესწავლაში: მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის გავლით, გადის მოცემული წრფის ერთადერთი პარალელურად. ეს დებულება მიღებულია როგორც ფაქტი (არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე) და მას უწოდებენ პარალელური წრფეების აქსიომას.

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს პარალელური წრფეების ზემოაღნიშნული აქსიომის გამოყენებით (მისი დადასტურება შეგიძლიათ გეომეტრიის სახელმძღვანელოში 10-11 კლასი, რომელიც ჩამოთვლილია სტატიის ბოლოს ბიბლიოგრაფიაში).

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა ადვილად დამტკიცდება ზემოთ მოცემული პარალელური წრფეების აქსიომის გამოყენებით.

წრფეთა პარალელიზმი – პარალელურობის ნიშნები და პირობები.

პარალელური ხაზების ნიშანიარის საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის, ანუ ისეთი პირობა, რომლის შესრულებაც პარალელური ხაზების გარანტიას იძლევა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია იმ ფაქტზე, რომ ხაზები პარალელურია.

ასევე არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში პარალელური ხაზებისთვის.

ავხსნათ ფრაზის მნიშვნელობა „აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ პარალელური ხაზების საკმარისი პირობა. და რა არის „აუცილებელი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“? სახელწოდებით „აუცილებელი“ ირკვევა, რომ ამ პირობის შესრულება აუცილებელია იმისთვის, რომ ხაზები იყოს პარალელური. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ხაზები არ არის პარალელური. ამრიგად, აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ხაზები იყოს პარალელურიარის პირობა, რომლის შესრულებაც აუცილებელია და საკმარისია პარალელური ხაზებისთვის. ანუ, ერთის მხრივ, ეს არის პარალელური წრფეების ნიშანი და მეორე მხრივ, ეს არის თვისება, რომელიც გააჩნია პარალელურ წრფეებს.

ხაზების პარალელურად ყოფნის აუცილებელ და საკმარის პირობამდე, სასარგებლოა გავიხსენოთ რამდენიმე დამხმარე განმარტება.

სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს.

სეკანტის ორი ხაზის გადაკვეთაზე იქმნება რვა არაგანლაგებული. Ე. წ იწვა ჯვარედინად, შესაბამისიდა ცალმხრივი კუთხეები. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ნახატზე.

თეორემა.

თუ სიბრტყეზე ორი წრფე იკვეთება სეკანტით, მაშინ მათი პარალელიზმისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი იყოს, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180 გრადუსს.

მოდით ვაჩვენოთ ამ აუცილებელი და საკმარისი პირობის გრაფიკული ილუსტრაცია სიბრტყეში პარალელური ხაზებისთვის.

ამ პირობების მტკიცებულება შეგიძლიათ იპოვოთ პარალელური ხაზებისთვის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში 7-9 კლასებისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობების გამოყენება შესაძლებელია სამგანზომილებიან სივრცეშიც - მთავარია, რომ ორი ხაზი და სეკანტი ერთ სიბრტყეში იყოს.

აქ არის კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის დადასტურება გამომდინარეობს პარალელური წრფეების აქსიომიდან.

მსგავსი პირობაა პარალელური ხაზებისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში.

თეორემა.

თუ სივრცეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის მტკიცებულება განიხილება მე-10 კლასის გეომეტრიის გაკვეთილებზე.

მოდით გამოვხატოთ გაჟღერებული თეორემები.

მოდით მივცეთ კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ სიბრტყეში წრფეების პარალელიზმი.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

არსებობს მსგავსი თეორემა სივრცეში წრფეებისთვის.

თეორემა.

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია იმავე სიბრტყეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

მოდით დავხატოთ ამ თეორემების შესაბამისი სურათები.

ყველა ზემოთ ჩამოყალიბებული თეორემა, ნიშნები და აუცილებელი და საკმარისი პირობები სავსებით შესაფერისია სწორი ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გეომეტრიის მეთოდებით. ანუ ორი მოცემული წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად საჭიროა იმის ჩვენება, რომ ისინი პარალელურია მესამე წრფის, ან ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობის ჩვენება და ა.შ. ამ პრობლემებიდან ბევრი წყდება საშუალო სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია კოორდინატების მეთოდის გამოყენება სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემული წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი.

სტატიის ამ ნაწილში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ აუცილებელი და საკმარისი პირობები პარალელური ხაზებისთვისმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ ხაზებს და ასევე მივცემთ ტიპურ ამოცანებს დეტალურ ამონახსნებს.

დავიწყოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე ორი წრფის პარალელურობის პირობით. მისი მტკიცებულება ეფუძნება წრფის მიმართული ვექტორის განსაზღვრებას და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებას.

თეორემა.

იმისთვის, რომ სიბრტყეში ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან ამ წრფეების ნორმალური ვექტორები იყოს წრფივი, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი ნორმალურის პერპენდიკულარული იყოს. მეორე ხაზის ვექტორი.

ცხადია, სიბრტყეში ორი წრფის პარალელურობის პირობა მცირდება (წრფეთა მიმართულების ვექტორები ან წრფეების ნორმალური ვექტორები) ან (ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი და მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი). ამრიგად, თუ და არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები და და არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად, პარალელური წრფეებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა a და b შეიძლება ჩაიწეროს როგორც , ან , ან , სადაც t არის რეალური რიცხვი. თავის მხრივ, a და b სწორი ხაზების მიმართული და (ან) ნორმალური ვექტორების კოორდინატები გვხვდება სწორი ხაზების ცნობილი განტოლებიდან.

კერძოდ, თუ წრფე a მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე განსაზღვრავს ფორმის ხაზის ზოგად განტოლებას. და სწორი ხაზი b - , მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად და a და b წრფეების პარალელურობის პირობა დაიწერება როგორც .

თუ სწორი ხაზი a შეესაბამება სწორი ხაზის განტოლებას ფორმის დახრილობის კოეფიციენტთან . მაშასადამე, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზები პარალელურია და შეიძლება მიცემული იყოს დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზების განტოლებით, მაშინ ხაზების დახრილობის კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და პირიქით: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი სწორი ხაზები შეიძლება მიღებულ იქნას ტოლი დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზის განტოლებით, მაშინ ასეთი სწორი ხაზები პარალელურია.

თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში a და წრფე b განსაზღვრავს წრფის კანონიკურ განტოლებებს ფორმის სიბრტყეზე. და , ან სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები ფორმის სიბრტყეზე და შესაბამისად, მაშინ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და , ხოლო a და b წრფეების პარალელურობის პირობა იწერება როგორც .

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

ხაზები პარალელურია? და ?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში, სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების სახით: . ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი და არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი. ეს ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი t, რომლის ტოლობა ( ). შესაბამისად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, შესაბამისად, მოცემული წრფეები არ არის პარალელური.

პასუხი:

არა, ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი.

არის ხაზები და პარალელები?

გადაწყვეტილება.

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება მივყავართ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის განტოლებამდე: . ცხადია, წრფეების განტოლებები და არ არის ერთნაირი (ამ შემთხვევაში მოცემული ხაზები იგივე იქნებოდა) და ხაზების დახრილობა ტოლია, შესაბამისად, თავდაპირველი ხაზები პარალელურია.

ახლა მივიღოთ ორი განტოლება:

ვნახოთ, როდის არიან ამ განტოლებებით განსაზღვრული d და d წრფეები პარალელურები ფართო გაგებით, როდის ემთხვევა ერთმანეთს, როდის არის პარალელურად სწორი გაგებით (ანუ ერთი საერთო წერტილი არ აქვთ).

პირველ კითხვაზე პასუხი დაუყოვნებლივ მიიღება: d და d წრფეები პარალელურია ფართო გაგებით, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი მიმართულების ვექტორები არის ხაზოვანი, ანუ როდესაც ხდება პროპორცია და, შესაბამისად, პროპორცია.

თუ ეს პროპორცია შეიძლება გაფართოვდეს პროპორციამდე

მაშინ წრფეები ერთმანეთს ემთხვევა: ამ შემთხვევაში, ორი განტოლებიდან ერთის (Г) ყველა კოეფიციენტი მიიღება მეორის კოეფიციენტებიდან რამდენიმეზე გამრავლებით და, შესაბამისად, განტოლებაზე (1) და ეკვივალენტურია (ნებისმიერი. წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ განტოლებას, აკმაყოფილებს მეორეს).

პირიქით, თუ ორი ხაზი ემთხვევა, მაშინ პროპორცია (3) მოქმედებს.

მოდით ეს ჯერ დავამტკიცოთ იმ შემთხვევაში, როდესაც ჩვენი წრფეები პარალელურია y-ღერძის. მაშინ და ჩვენ მხოლოდ თანასწორობის დამტკიცება გვჭირდება.

მაგრამ ბოლო თანასწორობა (რომელიც გამომდინარეობს იქიდან, რომ ორივე (დამთხვევა) წრფე კვეთს აბსცისის ღერძს აბსცისასთან ერთსა და იმავე წერტილში.

მოდით, დამთხვევა პირველადი არ იყოს პარალელური y-ღერძის. შემდეგ ისინი კვეთენ მას იმავე Q წერტილში ორდინატთან და გვაქვს პროპორცია , რომელიც პროპორციასთან ერთად (2) (რომელიც გამოხატავს წრფეთა პარალელიზმს ფართო გაგებით) გვაძლევს საჭირო პროპორციას (3).

პარალელიზმი სწორი გაგებით ნიშნავს, რომ არსებობს პარალელიზმი ფართო გაგებით (ანუ პირობა (2) დაკმაყოფილებულია), მაგრამ არ არის დამთხვევა (ანუ არ არის დაკმაყოფილებული). ეს ნიშნავს, რომ პროპორცია

ხდება, ხოლო

ორი ურთიერთობის კომბინაცია (2) და (4) ჩვეულებრივ იწერება ერთი ფორმულის სახით:

მოდით შევაჯამოთ ის, რაც დადასტურდა.

თეორემა 1. აფინური კოორდინატთა სისტემით აღჭურვილ სიბრტყეზე ნებისმიერი სწორი ხაზი d განისაზღვრება მისი წერტილების კოორდინატებს შორის პირველი ხარისხის განტოლებით. პირიქით, პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება

არის რაღაც (უნიკალური) წრფის განტოლება; უფრო მეტიც, ყველა ვექტორი ამ წრფესთან არის და მხოლოდ ისინი აკმაყოფილებენ ერთგვაროვან განტოლებას