პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა განტოლების ერთი ფესვი

1-ზე მეტი და მეორე 1-ზე ნაკლები?

განიხილეთ ფუნქცია -

მიზანი:

• კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის ყველა შესაძლო მახასიათებლის შესწავლა მოცემულ წერტილთან და მოცემულ სეგმენტთან შედარებით კვადრატული ფუნქციის თვისებებისა და გრაფიკული ინტერპრეტაციების საფუძველზე.
• შესწავლილი თვისებების გამოყენება პარამეტრით არასტანდარტული ამოცანების ამოხსნაში.

Დავალებები:

• გრაფიკული მეთოდით კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის შესწავლის საფუძველზე ამოცანების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის შესწავლა.
• დაასაბუთეთ კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის ყველა შესაძლო მახასიათებელი, შეიმუშავეთ თეორიული რეკომენდაციები პარამეტრით არასტანდარტული ამოცანების გადასაჭრელად.
• დაეუფლეთ უამრავ ტექნიკურ და ინტელექტუალურ მათემატიკურ უნარს, ისწავლეთ მათი გამოყენება ამოცანების გადაჭრაში.

ჰიპოთეზა:

პარამეტრით არატრადიციულ ამოცანებში გრაფიკული მეთოდის გამოყენება ამარტივებს მათემატიკურ გამოთვლებს და არის ამოხსნის რაციონალური გზა.

მაშინ და მხოლოდ მაშინ:

1. ორივე ფესვი A-ზე ნაკლებია,

2. ფესვები დევს A რიცხვის მოპირდაპირე მხარეს,

მაშინ და მხოლოდ მაშინ:

• მაშინ და მხოლოდ მაშინ:

მაშინ და მხოლოდ მაშინ:

3. ორივე ძირი მეტია A რიცხვზე, ანუ

იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლების ერთი ფესვი

1-ზე მეტი და მეორე 1-ზე ნაკლები.

პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება

აქვს ერთი და იგივე ნიშნის ორი განსხვავებული ფესვი?

-6

-2

3

ა

1. ორივე ფესვი დევს A და B წერტილებს შორის, ე.ი.

მაშინ და მხოლოდ მაშინ:

2. ფესვები სეგმენტის მოპირდაპირე მხარეს დევს

მაშინ და მხოლოდ მაშინ:

3. ერთი ფესვი დევს სეგმენტის გარეთ, მეორე კი მასზე, ანუ

მაშინ და მხოლოდ მაშინ:

შეისწავლეთ განტოლება

ფესვების რაოდენობის მიხედვით, პარამეტრიდან გამომდინარე.

განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

აქვს ერთი გამოსავალი.

შეისწავლეთ განტოლება

ფესვების რაოდენობით

პარამეტრიდან გამომდინარე.

თუ ერთი ფესვი დევს სეგმენტზე, ხოლო მეორე მარცხნივ.

თუ ერთი ფესვი დევს სეგმენტზე, მეორე კი მის მარჯვნივ.

თავდაპირველ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი ექნება.

რომლის ქვეშაც

განტოლებას სამი განსხვავებული ფესვი აქვს.

პასუხი: როდის

რომლის ქვეშაც

თავდაპირველ განტოლებას ექნება ორი

სხვადასხვა ფესვები.

განტოლებას ოთხი განსხვავებული ფესვი აქვს.

ყველაზე ძლიერი ინსტრუმენტი პარამეტრებით რთული ამოცანების გადასაჭრელად არის ვიეტას თეორემა. მაგრამ აქ თქვენ უნდა იყოთ უკიდურესად ყურადღებიანი ფორმულირების მიმართ.

ეს ორი თეორემა (პირდაპირი და შებრუნებული)

თეორემა ვიეტა

თუ განტოლებას აქვს ფესვები და ; მაშინ თანასწორობები დაკმაყოფილებულია.

თეორემის მახასიათებლები:

Პირველი . თეორემა მართალია მხოლოდ განტოლებისთვის და არ შეესაბამება სიმართლეს

ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გაყოთ განტოლების ორივე ნაწილი არანულოვანი კოეფიციენტით a x 2-ზე და შემდეგ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

მეორე. თეორემის შედეგების გამოსაყენებლად აუცილებელია განტოლებათა ფესვების არსებობის ფაქტი, ე.ი. არ დაგავიწყდეთ პირობის დაწესება D>0

უკუ

ვიეტას თეორემა

თუ არსებობს თვითნებური რიცხვები და მაშინ ისინი განტოლების ფესვებია

ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა, პრობლემის გადაჭრის ხელშემწყობი: შებრუნებული თეორემა გარანტიებიგანტოლებაში ფესვების არსებობა, რაც საშუალებას გაძლევთ არ აერიოთ დისკრიმინანტს. ამ შემთხვევაში ის ავტომატურად არ არის უარყოფითი.

	პირობები ფესვებისთვის	ეკვივალენტური პირობა a, b, c და დისკრიმინატორ D კოეფიციენტებზე
	ფესვები არსებობს (და განსხვავებულია)
	ფესვები არსებობს და თანაბარია
	ფესვები არსებობს და
	ფესვები არსებობს და
	ფესვები არსებობს და განსხვავებულია
	ფესვები არსებობს, ერთი ფესვი არის ნული და მეორე >0

ერთი). დააყენეთ პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლება

ფესვები არ აქვს.

თუ განტოლებას არ აქვს ფესვები, მაშინ აუცილებელია და საკმარისია დისკრიმინანტი

აქვს სხვადასხვა დადებითი ფესვები.

ვინაიდან არსებობს ფესვები, მაშინ თუ ისინი ორივე დადებითია, მაშინ ჩვენ ვიყენებთ Vieta ფორმულას, შემდეგ ამ განტოლებისთვის

⟹

აქვს სხვადასხვა უარყოფითი ფესვები

აქვს სხვადასხვა ნიშნის ფესვები

აქვს შესაბამისი ფესვები

2). პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აკვადრატული განტოლების ორივე ფესვი დადებითი იქნება?

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან მოცემული განტოლება კვადრატულია, მაშინ მისი ორივე ფესვი (ტოლი ან განსხვავებული) დადებითი იქნება, თუ დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, ხოლო ფესვების ჯამი და ნამრავლი დადებითია, ე.ი.

როგორც, და ვიეტას თეორემით,

შემდეგ მივიღებთ უტოლობათა სისტემას

3). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა არაპოზიტიურები არიან.

ვინაიდან მოცემული განტოლება კვადრატულია, მაშინ . მისი ორივე ფესვი (ტოლი ან განსხვავებული) იქნება უარყოფითი ან ნულის ტოლი, თუ დისკრიმინანტი არაუარყოფითია, ფესვების ჯამი უარყოფითია ან ნულის ტოლი, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის არაუარყოფითი, ე.ი.

და ვიეტას თეორემით

მაშინ ვიღებთ უტოლობათა სისტემას.

სადაც

4) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ა უდრის 22,5-ს?

პირველ რიგში შემოგთავაზებთ „გადაწყვეტას“, რომელსაც არაერთხელ მოგვიწია შეხვედრა.

იმდენად, რამდენადაც შემდეგ ვიღებთ "პასუხს" თუმცა, ნაპოვნი მნიშვნელობით ათავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

ამ გადაწყვეტაში ჩვენ შევხვდით ერთ-ერთ "ყველაზე პოპულარულ" შეცდომას, რომელიც დაკავშირებულია ვიეტას თეორემის გამოყენებასთან:

ისაუბრეთ ფესვებზე ისე, რომ ჯერ არ გაარკვიოთ ისინი არსებობენ თუ არა.

ასე რომ, ამ მაგალითში, უპირველეს ყოვლისა, საჭირო იყო იმის დადგენა, რომ მხოლოდ მაშინ, როდესაც თავდაპირველ განტოლებას ფესვები აქვს. მხოლოდ ამის შემდეგ შეიძლება მივმართოთ ზემოთ მოცემულ გამოთვლებს.

პასუხი: ასეთი აარ არსებობს.

5). განტოლების ფესვები ისეთია, რომ განსაზღვრეთ

გადაწყვეტილება.ვიეტას თეორემის მიხედვით პირველი ტოლობის ორივე ნაწილის კვადრატში გამოვყოთ იმის გათვალისწინებით, რომ a ვიღებთ ან შემოწმება აჩვენებს, რომ მნიშვნელობები აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას.

უპასუხე:

6) პარამეტრის რა მნიშვნელობაზე აგანტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი იღებს უმცირეს მნიშვნელობას:

იპოვეთ ამ განტოლების დისკრიმინანტი. ჩვენ გვაქვს აქ მნიშვნელოვანია არ გამოვიტანოთ მცდარი დასკვნა, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს რომელიმესთვის ა. მას ნამდვილად აქვს ორი ფესვი ნებისმიერისთვის, მაგრამ დასაშვებია ა, ე.ი. საათზე

ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვწერთ

ამრიგად, პასუხის მისაღებად, რჩება კვადრატული ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა

გადასაღებ მოედანზე

წლიდან და ზე მაშინ ფუნქცია მითითებულ კომპლექტზე იღებს უმცირეს მნიშვნელობას წერტილში

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

ერთი). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რისთვისაც კვადრატული განტოლების ფესვები

არაუარყოფითი

2). გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა, სადაც არის განტოლების ფესვები

3). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც განტოლების ნამდვილი ფესვების კვადრატების ჯამი 6-ზე მეტი.

პასუხი:

4) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აქვს განტოლება ax 2 -4x + a \u003d 0:

ა) დადებითი ფესვები

ბ) უარყოფითი ფესვები

კვადრატული ფუნქციის ფესვების მდებარეობა შედარებით

მოცემული ქულები.

ასეთი პრობლემებისთვის დამახასიათებელია შემდეგი ფორმულირება: პარამეტრის რომელი მნიშვნელობებისთვის ფესვები (მხოლოდ ერთი ფესვი) მეტია (ნაკლები, არც მეტი, არც ნაკლები) მოცემული რიცხვიდან A; ფესვები განლაგებულია A და B რიცხვებს შორის; ფესვები არ მიეკუთვნება A და B წერტილების ბოლოების ინტერვალს და ა.შ.

კვადრატულ ტრინომთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას

ხშირად გიწევთ გაუმკლავდეთ შემდეგ სტანდარტულ სიტუაციებს (რომლებსაც ჩამოვაყალიბებთ „კითხვა-პასუხის“ სახით.

კითხვა 1. დაე, რიცხვი იყოს მოცემული (1) მისი ორივე ფესვიდა მეტი იმათ. ?

უპასუხე. კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტები (7) უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს

სადაც - პარაბოლის ზედა ნაწილის აბსციზა.

ნათქვამის მართებულობა გამომდინარეობს ნახ. 1, რომელიც ცალ-ცალკე წარმოგიდგენთ შემთხვევებს და გაითვალისწინეთ, რომ ორი პირობა და ჯერ კიდევ არ არის საკმარისი იმისათვის, რომ ფესვები იყოს უფრო დიდი. 1 ტირე აჩვენებს პარაბოლას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ ორ პირობას, მაგრამ მისი ფესვები უფრო მცირეა, თუმცა თუ მითითებულ ორ პირობას დავუმატებთ, რომ პარაბოლის წვეროს აბსციზა უფრო დიდია, მაშინ ფესვები მეტი იქნება ვიდრე

კითხვა 2. დაე, რიცხვი იყოს მოცემული რა პირობებში კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტებზე (1) მისი ფესვები და დაწექი მოპირდაპირე მხარესიმათ. ?

უპასუხე. კვადრატული ტრინომალური კოეფიციენტები (1) უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას

ნათქვამის მართებულობა გამომდინარეობს ნახ. 2, სადაც შემთხვევები და ცალ-ცალკეა წარმოდგენილი.გაითვალისწინეთ, რომ აღნიშნული პირობა იძლევა გარანტიას ორი განსხვავებული ფესვისა და კვადრატული ტრინომის (1) არსებობის შესახებ.

კითხვა 3. რა პირობებში კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტებზე (1) მისი ფესვები და ისინი განსხვავდებიან და მათგან მხოლოდ ერთი დევს მოცემულ ინტერვალში

უპასუხე. კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტები (1) უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას

კითხვა 4. რა პირობებში კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტებზე (1) მისი ფესვების ნაკრები ცარიელი არ არის და მთელი მისი ფესვები და იტყუება მოცემულ ინტერვალში იმათ.

უპასუხე. კვადრატული ტრინომის (1) კოეფიციენტები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს

ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად სასარგებლოა ქვემოთ მოცემულ ცხრილში მუშაობა.

პოლინომიური ფესვები

.

ავტორის ინფორმაცია

სტუკალოვა ნადეჟდა ვასილიევნა

სამუშაო ადგილი, თანამდებობა:

MBOU №15 საშუალო სკოლა, მათემატიკის მასწავლებელი

ტამბოვის რეგიონი

გაკვეთილის მახასიათებლები (კლასები)

განათლების დონე:

საშუალო (სრული) ზოგადი განათლება

სამიზნე აუდიტორია:

მოსწავლე (სტუდენტი)

სამიზნე აუდიტორია:

მასწავლებელი (მასწავლებელი)

კლასები:

ელემენტ(ებ)ი:

Ალგებრა

ელემენტ(ებ)ი:

მათემატიკა

გაკვეთილის მიზანი:

გაკვეთილის ტიპი:

კომბინირებული გაკვეთილი

კლასში მოსწავლეები (აუდიტორია):

გამოყენებული სახელმძღვანელოები და სახელმძღვანელოები:

A.G. Mordkovich, ალგებრა, კლასი 9, სახელმძღვანელო, 2011 წ

A.G. Mordkovich, ალგებრა, კლასი 9, პრობლემის წიგნი, 2011 წ

ს.ა. თელიაკოვსკი, ალგებრა მე-9 კლასი, სახელმძღვანელო, 2009 წ

გამოყენებული მეთოდოლოგიური ლიტერატურა:

მიროშინი, ვ.ვ. ამოცანების ამოხსნა პარამეტრებით: თეორია და პრაქტიკა / V.V. მიროშინი.- მ.: გამოცდა, 2009 წ.

L. V კუზნეცოვა გამოცდისთვის დავალებების კრებული

მეორადი აღჭურვილობა:

კომპიუტერი, კინოპროექტორი

Მოკლე აღწერა:

გაკვეთილის გეგმა: 1. საორგანიზაციო მომენტი. 2. ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია (გაიხსენეთ კვადრატული ტრინომის ფესვების რეალურ ხაზზე მდებარეობის აუცილებელი და საკმარისი პირობები). 3. პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნა (ჯგუფურად მუშაობა). 4. დამოუკიდებელი მუშაობა შემდგომი გადამოწმებით. 5. შეჯამება. 6. საშინაო დავალება.

გაკვეთილის შეჯამება

თემაზე

„კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა

პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით"

მათემატიკის მასწავლებელი სტუკალოვა ნ.ვ. MBOU №15 საშუალო სკოლა

მიჩურინსკი - რუსეთის ფედერაციის სამეცნიერო ქალაქი 2011 წ

გაკვეთილის მიზანი:

მოსწავლეთა პრაქტიკული უნარ-ჩვევების გამომუშავება ამოცანების პარამეტრებით ამოხსნისას;

მოსწავლეების მომზადება მათემატიკაში GIA-ს წარმატებით ჩაბარებისთვის;

მოსწავლეთა კვლევითი და შემეცნებითი აქტივობების განვითარება;

მათემატიკის მიმართ ინტერესის ჩამოყალიბება;

განუვითარდეთ მოსწავლეებს მათემატიკური უნარები.

Გაკვეთილის გეგმა:

1. საორგანიზაციო მომენტი.

2. ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია (გაიხსენეთ კვადრატული ტრინომის ფესვების რეალურ ხაზზე მდებარეობის აუცილებელი და საკმარისი პირობები).

3. პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნა (ჯგუფურად მუშაობა).

4. დამოუკიდებელი მუშაობა შემდგომი გადამოწმებით.

5. შეჯამება.

6. საშინაო დავალება.

გაკვეთილების დროს.

1. ორგანიზების დრო.

მასწავლებელი აცნობს გაკვეთილის თემას, ადგენს მოსწავლეებს მიზნებსა და ამოცანებს, აცნობებს გაკვეთილის გეგმას.

პარამეტრების მქონე ამოცანები დიდ სირთულეებს იწვევს. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთი პრობლემების გადაჭრა მოითხოვს არა მხოლოდ ფუნქციების და განტოლებების თვისებების ცოდნას, ალგებრული გარდაქმნების შესრულების უნარს, არამედ მაღალ ლოგიკურ კულტურას და კარგ კვლევის ტექნიკას.

ჩვენი გაკვეთილი ეძღვნება ამოცანების ამოხსნას კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობის შესახებ რეალურ ხაზზე.

2. ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია:

გაიხსენეთ საჭირო და საკმარისი პირობები კვადრატული განტოლების ფესვების მდებარეობის სხვადასხვა მოთხოვნების შესასრულებლად მოცემულ წერტილებთან ან ინტერვალებთან მიმართებაში.

სტუდენტების პასუხის შემდეგ ნაჩვენებია სლაიდები სწორი პასუხით.

1. რიცხვთა წრფეზე მოცემულის ორივე მხარეს ფესვების მდებარეობა

ქულები.

მდგომარეობა x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. ფესვების მდებარეობა მოცემული სეგმენტის ორივე მხარეს.

იმისათვის, რომ კვადრატული განტოლების ფესვები ≠ 0-ზე დააკმაყოფილოს

მდგომარეობა x 1< m, х 2 < n, где m

უთანასწორობის სისტემები

3. ფესვების მდებარეობა მოცემულის ერთ მხარეს რიცხვთა წრფეზე

წერტილები.

იმისათვის, რომ კვადრატული განტოლების ფესვები ≠ 0-ზე დააკმაყოფილოს

მდგომარეობა მ<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

აუცილებელია და საკმარისია უთანასწორობის სისტემის დასაკმაყოფილებლად

თუ x = m წერტილის მარცხნივ, ეს აუცილებელია და საკმარისია შესასრულებლად

უთანასწორობის სისტემები

4. ფესვების მიკუთვნება მოცემულ ინტერვალს.

ინტერვალი (m;n), აუცილებელია და საკმარისია სისტემის შესასრულებლად

უთანასწორობები

5. ფესვების მიკუთვნება მოცემულ სეგმენტზე.

იმისათვის, რომ ≠ 0-ის კვადრატული განტოლების ფესვები მიეკუთვნებოდეს

ინტერვალით, აუცილებელია და საკმარისია სისტემის შესასრულებლად

უთანასწორობები

3. ამოცანების ამოხსნა პარამეტრებით.

მოსწავლეები იყოფიან 4 ჯგუფად. თითოეულ ჯგუფში არიან ბავშვები, რომლებიც უფრო წარმატებულები არიან ალგებრაში. თითოეული ჯგუფი იწყებს პრობლემის გადაჭრას, რომელიც შეესაბამება მათი ჯგუფის რაოდენობას. პრობლემის გადაჭრის პროგრესის განხილვის შემდეგ, თითოეული ჯგუფიდან თითო წარმომადგენელი მიდის დაფაზე და ადგენს მათი ჯგუფის პრობლემის გადაწყვეტას და განმარტავს მის გადაწყვეტას (დასაკეცი დაფებზე). ამ დროს ბიჭებმა სხვა ჯგუფის პრობლემები უნდა მოაგვარონ (რჩევის მიღება შეგიძლიათ მასწავლებლისგან).

დავალება ნომერი 1.

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლების ერთი ფესვი (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + +11 - 3a \u003d \u003d 0 მეტია 1-ზე, მეორე ფესვი 1-ზე ნაკლებია?

გადაწყვეტილება.

y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი, სადაც f (x) \u003d (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + + 11 - 3a,

a ≠ - 7/12 არის პარაბოლა, რომლის ტოტები a > - 7/12-ისთვის არის მიმართული ზემოთ, ამისთვის< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра ადააკმაყოფილეთ უთანასწორობა

(12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

დავალება #2.

იპოვეთ a პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლების ფესვები (1 + a) x 2 - 3ax + 4a \u003d 0 1-ზე მეტია.

გადაწყვეტილება.

როდესაც a≠-1, მოცემული განტოლება არის კვადრატული და D= -a(7a+16). ვიღებთ სისტემას, საიდანაც -16/7≤а≤ -1.

პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებშიც ამ განტოლების ფესვები ≠ - 1-ისთვის არის 1-ზე მეტი, ეკუთვნის ინტერვალს [-16/7; - ერთი).

როდესაც \u003d -1, მოცემულ განტოლებას აქვს ფორმა 3x - 4 \u003d 0 და ერთადერთი ფესვი

პასუხი: [-16/7; -ერთი]

დავალება #3.

k პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლების ფესვები (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

ეკუთვნის ინტერვალს (0;1)?

გადაწყვეტილება.

k≠2-სთვის სასურველი პარამეტრის მნიშვნელობები უნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობათა სისტემას

სადაც D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x in \u003d k / (k-2).

ამ სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

k = 2-ისთვის მოცემულ განტოლებას აქვს ფორმა -4x+1 = 0, მისი ერთადერთი ფესვი

x = ¼, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (0;1).

დავალება #4.

a-ს რა მნიშვნელობებზეა განტოლების ორივე ფესვი x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 სეგმენტზე?

სასურველი მნიშვნელობები უნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობათა სისტემას

სადაც D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x in \u003d a.

სისტემის ერთადერთი გამოსავალი არის მნიშვნელობა, a = 4.

4. დამოუკიდებელი მუშაობა (კონტროლი - სწავლება).

სტუდენტები მუშაობენ ჯგუფურად, ასრულებენ ერთსა და იმავე ვარიანტს, რადგან მასალა ძალიან რთულია და ყველას არ შეუძლია ამის გაკეთება.

No1. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე მიეკუთვნება განტოლების ორივე ფესვი x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 ინტერვალს (-2; 4)?

No2. იპოვეთ k-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლების ერთი ფესვი

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 1-ზე ნაკლებია და მეორე ფესვი 2-ზე მეტია.

No3. a-ს რა მნიშვნელობებზეა რიცხვი 1 კვადრატული ტრინომის ფესვებს შორის x 2 + (a + 1) x - a 2?

დროის ბოლოს გამოჩნდება პასუხები. ტარდება დამოუკიდებელი მუშაობის თვითშემოწმება.

5. გაკვეთილის შეჯამება. დაასრულეთ შეთავაზება.

"დღეს კლასში..."

"Მე მახსოვს..."

"მინდა აღვნიშნო...".

მასწავლებელი აანალიზებს გაკვეთილის მთელ მსვლელობას და მის ძირითად პუნქტებს, აფასებს გაკვეთილზე თითოეული მოსწავლის აქტივობას.

6. Საშინაო დავალება

(მე-9 კლასში GIA-სთვის მომზადების დავალებების კრებულიდან, ავტორი ლ.ვ. კუზნეცოვა)

4. კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობა პარამეტრიდან გამომდინარე

ხშირად არის პრობლემები იმ პარამეტრებთან, რომლებშიც საჭიროა კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის დადგენა რეალურ ღერძზე. წინა პუნქტის ძირითადი დებულებებისა და აღნიშვნის საფუძველზე განიხილეთ შემდეგი შემთხვევები:

1. მიეცეს კვადრატული ტრინომი, სადაც
და წერტილი მღერძზე ოქსი. მერე ორივე ცხენი
კვადრატული ტრინომიალი
იქნება მკაცრად ნაკლები მ

ან

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათებში 3.1 და 3.2.

2. მოცემულია კვადრატული ტრინომი, სად და წერტილი მღერძზე ოქსი. უთანასწორობა
მოქმედებს მხოლოდ მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვები ადა
აქვს სხვადასხვა ნიშნები, ანუ
(ნახ. 4.1 და 4.2.)

3. მიეცეს კვადრატული ტრინომი, სად და წერტილი მღერძზე ოქსი. მერე ორივე ცხენი
კვადრატული ტრინომიალი იქნება მკაცრად უფრო დიდი მთუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

ან

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათებში 5.1 და 5.2.

4. მოცემულია კვადრატული ტრინომი, სად და ინტერვალი (მ, მ) მაშინ კვადრატული ტრინომის ორივე ფესვი მიეკუთვნება მითითებულ ინტერვალს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

ან

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათებში 6.1 და 6.2.

5. მიეცეს კვადრატული ტრინომი, სადაც არის მისი ფესვები და სეგმენტი
. სეგმენტი დევს ინტერვალში
თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

გეომეტრიული ილუსტრაცია ნაჩვენებია 7.1 და 7.2 სურათებზე.

მაგალითი.იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობაა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლების ორივე ფესვი
-2-ზე მეტი.

გადაწყვეტილება.იგი მითითებულია ამოცანის პირობაში. რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს, ასე რომ. განსახილველი სიტუაცია აღწერილია მე-3 შემთხვევაში და ნაჩვენებია სურათზე 5.1. და 5.2.

მოდი ვიპოვოთ,
,

ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ ორი სისტემის კომპლექტს:

ან

ამ ორი სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ.

უპასუხე.თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის აუფსკრულიდან, განტოლების ორივე ფესვი მეტია -2-ზე.

მაგალითი.პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეაუთანასწორობა
შესრულებული ნებისმიერი
?

გადაწყვეტილება.თუ კომპლექტი Xარის ამ უტოლობის ამოხსნა, მაშინ პრობლემის პირობა ნიშნავს, რომ ინტერვალი
უნდა იყოს ნაკრების ფარგლებში X, ე.ი

.

განვიხილოთ პარამეტრის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა ა.

1.თუ a=0, მაშინ უტოლობა იღებს ფორმას
და მისი ამოხსნა იქნება ინტერვალი
. ამ შემთხვევაში პირობა დაკმაყოფილებულია და a=0არის პრობლემის გადაწყვეტა.

2.თუ
, მაშინ უტოლობის მარჯვენა მხარის გრაფიკი არის კვადრატული ტრინომი, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. უტოლობის ამოხსნა დამოკიდებულია ნიშანზე.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც
. მაშინ, იმისთვის, რომ უტოლობა დარჩეს ყველასთვის, საჭიროა, რომ კვადრატული ტრინომის ფესვები იყოს -1-ზე ნაკლები, ანუ:

ან

ამ სისტემის გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ
.

Თუ
, მაშინ პარაბოლა დევს ღერძის ზემოთ ოx, და უტოლობის ამოხსნა იქნება ნებისმიერი რიცხვი რეალური რიცხვების სიმრავლიდან, ინტერვალის ჩათვლით. მოდი ვიპოვოთ ასეთი ამდგომარეობიდან:

ან

ამ სისტემის გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ
.

3.თუ
, შემდეგ ზე
უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი , რომელიც არ შეიძლება შეიცავდეს ინტერვალს და თუ
ამ უთანასწორობას გამოსავალი არ აქვს.

ყველა ნაპოვნი მნიშვნელობის გაერთიანება ა, პასუხს ვიღებთ.

უპასუხე.ნებისმიერი პარამეტრის მნიშვნელობისთვის ინტერვალიდან
უთანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერისთვის.

მაგალითი.პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ინტერვალს
?

გადაწყვეტილება. 1. თუ
, მაშინ

ა) ზე a = 1 ფუნქცია მიიღებს ფორმას წ = 2 და მისი მნიშვნელობების ნაკრები შედგება ერთი წერტილისგან 2 და არ შეიცავს სეგმენტს;

ბ) როდის a =-1 ფუნქცია მიიღებს ფორმას წ = -2 x+2 . მისი მნიშვნელობების ნაკრები
შეიცავს სეგმენტს, ასე რომ a =-1 არის პრობლემის გადაწყვეტა.

2.თუ
, მაშინ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას პარაბოლის წვეროზე
:

,
.

ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის ინტერვალი
, რომელიც შეიცავს სეგმენტს
თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

.

3. თუ
, მაშინ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვევით, ფუნქცია იღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას პარაბოლის წვეროზე
. ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის ინტერვალი
, რომელიც შეიცავს სეგმენტს, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

ამ უტოლობათა სისტემის ამოხსნით, ვიღებთ
.

გადაწყვეტილებების გაერთიანებით, ჩვენ ვიღებთ
.

უპასუხე.ზე
ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები შეიცავს სეგმენტს.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1. კვადრატული განტოლების ფესვების გამოთვლის გარეშე
, პოვნა

ა)
, ბ)
, შიგნით)

2. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე

ა)
, ბ)
, შიგნით)
, გ)

3. განტოლებების ამოხსნა

ა)
, ბ)

4. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლების ორივე ფესვი
დაწოლა ინტერვალზე (-5, 4)?

5. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აუთანასწორობა მოქმედებს ყველა მნიშვნელობისთვის x?

6. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა

სეგმენტზე
არის -1?

7. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება
ფესვები აქვს?

კარპოვა ირინა ვიქტოროვნა

მათემატიკის არჩევითი კურსის პროგრამა და საგანმანათლებლო მასალები 8-9 კლასის მოსწავლეებისთვის "ალბათობის თეორიის ელემენტები და მათემატიკური სტატისტიკა"

განმარტებითი შენიშვნა

ამჟამად აშკარა ხდება ალბათურ-სტატისტიკური კანონების უნივერსალურობა, ისინი გახდა საფუძველი მსოფლიოს მეცნიერული სურათის აღწერისთვის. ალბათურ-სტატისტურ საფუძველზე ვითარდება თანამედროვე ფიზიკა, ქიმია, ბიოლოგია, დემოგრაფია, ლინგვისტიკა, ფილოსოფია, სოციალურ-ეკონომიკური მეცნიერებათა მთელი კომპლექსი.

ბავშვი თავის ცხოვრებაში ყოველდღიურად ხვდება სავარაუდო სიტუაციებს. ალბათობისა და სანდოობის ცნებებს შორის ურთიერთკავშირის გაგებასთან დაკავშირებული საკითხების სპექტრი, რამდენიმე გადაწყვეტილებიდან საუკეთესოს არჩევის პრობლემა, რისკის ხარისხისა და წარმატების შანსების შეფასება - ეს ყველაფერი ფორმირების რეალური ინტერესების სფეროშია და. ინდივიდის თვითგანვითარება.

ყოველივე ზემოთქმული აუცილებელს ხდის ბავშვის ალბათურ-სტატისტიკური შაბლონების გაცნობას.

კურსის მიზანი:გააცნოს მოსწავლეებს მონაცემთა დამუშავების ზოგიერთი თეორიული და ალბათური ნიმუში და სტატისტიკური მეთოდები.

კურსის მიზნები

გააცნოს სტუდენტებს ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეპტუალური აპარატი.

ისწავლეთ მოვლენების ალბათობის განსაზღვრა კლასიკური ტესტის სქემაში.

სტატისტიკური მონაცემების პირველადი დამუშავების მეთოდების გაცნობა.

მოთხოვნები კურსის შინაარსის დაუფლების დონეზე

კურსის პროგრამის დაუფლების შედეგად სტუდენტებმა უნდა ვიცი:

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები: ტესტი, ტესტის შედეგი, ელემენტარული მოვლენათა სივრცე, შემთხვევითი, გარკვეული, შეუძლებელი მოვლენები, ერთობლივი და შეუთავსებელი მოვლენები;

კლასიკური ტესტის სქემის პირობები და მოვლენის ალბათობის განსაზღვრა კლასიკურ ტესტის სქემაში;

მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირისა და სტატისტიკური ალბათობის დადგენა;

ვარიაციის სერიის და მისი ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლების განსაზღვრა.

კურსის განმავლობაში სტუდენტებმა უნდა შეიძინონ უნარები:

განსაზღვროს ტესტის ყველა შესაძლო შედეგი, მოვლენების თავსებადობა და შეუთავსებლობა;

კლასიკურ ტესტის სქემაში ალბათობის გამოთვლის თეორიული და ალბათური ამოცანების ამოხსნა;

მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირის გამოთვლა;

გააკეთეთ ნიმუშის სტატისტიკური განაწილება და გამოთვალეთ მისი რიცხვითი მახასიათებლები.

პროგრამა გულისხმობს სტუდენტების განვითარებას უნარები:

არსებული ალგორითმების გამოყენება და საჭიროების შემთხვევაში მათი შემოქმედებითი დამუშავება პრობლემის კონკრეტულ პირობებში;

პრობლემის დამოუკიდებელი გადაჭრა;

ძირითადი განმარტებებისა და ფორმულების შემცველი განზოგადებული სქემების ამოცანების ამოხსნაში გამოყენება.

კურსის ფარგლები: შემოთავაზებული კურსი 20 საათია

თემატური დაგეგმვა

	გაკვეთილის თემები	საათების რაოდენობა
	ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები.
	კლასიკური ტესტის სქემა. ალბათობის განსაზღვრა კლასიკურ ტესტის სქემაში.
	სიხშირე აბსოლუტური და ფარდობითია.
	ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება.
	ზოგადი და სანიმუშო პოპულაციები.
	ნიმუშის სტატისტიკური განაწილება.
	სტატისტიკური განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები.
	სტატისტიკური შეფასება და პროგნოზი.

სახელმძღვანელო ტექსტი

ბევრს უყვარს მათემატიკა მისი მარადიული ჭეშმარიტებისთვის: ორჯერ ორი ყოველთვის ოთხია, ლუწი რიცხვების ჯამი ლუწია, ხოლო მართკუთხედის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს. ნებისმიერ პრობლემაზე, რომელიც მათემატიკის გაკვეთილზე გადაჭრით, ყველა ერთნაირი პასუხს იღებდა - თქვენ უბრალოდ არ უნდა დაუშვათ შეცდომები ამოხსნაში.

რეალური ცხოვრება არც ისე მარტივი და ცალსახაა. ბევრი ფენომენის შედეგების წინასწარ პროგნოზირება შეუძლებელია, რაც არ უნდა სრული ინფორმაცია გვქონდეს მათ შესახებ. შეუძლებელია, მაგალითად, დანამდვილებით იმის თქმა, თუ რომელ მხარეს დაეშვება გადაყრილი მონეტა, როდის მოვა პირველი თოვლი მომავალ წელს ან რამდენ ადამიანს მოუნდება ქალაქში სატელეფონო ზარი მომდევნო საათში. ასეთ არაპროგნოზირებად მოვლენებს ე.წ შემთხვევითი.

თუმცა, საქმესაც აქვს თავისი კანონები, რომლებიც იწყებენ გამოვლენას შემთხვევითი ფენომენების განმეორებით. თუ მონეტას 1000-ჯერ გადააგდებთ, მაშინ "არწივი" დაახლოებით ნახევარზე ამოვარდება, რაც არ შეიძლება ითქვას ორ ან თუნდაც ათ სროლაზე. ყურადღება მიაქციეთ სიტყვას "დაახლოებით" - კანონი არ წერს, რომ "არწივების" რიცხვი იქნება ზუსტად 500 ან დაეცემა 490-დან 510-მდე. ის საერთოდ არაფერს ამბობს კონკრეტულად, მაგრამ იძლევა გარკვეულ დარწმუნებას, რომ რაღაც შემთხვევითია. მოხდება მოვლენა.. ასეთ კანონზომიერებებს სწავლობს მათემატიკის სპეციალური ფილიალი - ალბათობის თეორია.

ალბათობის თეორია განუყოფლად არის დაკავშირებული ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებასთან. ეს იძლევა შესანიშნავ შესაძლებლობას ემპირიულად დაადგინოს ბევრი ალბათური კანონი, შემთხვევითი ექსპერიმენტების განმეორებით განმეორებით. ამ ექსპერიმენტების მასალები ყველაზე ხშირად იქნება ჩვეულებრივი მონეტა, კამათელი, დომინოს ნაკრები, რულეტის ბორბალი და კარტების დასტაც კი. თითოეული ეს ელემენტი, ასე თუ ისე, დაკავშირებულია თამაშებთან. ფაქტია, რომ საქმე აქ ყველაზე სუფთა სახით ჩნდება და პირველი ალბათური პრობლემები დაკავშირებული იყო მოთამაშეების გამარჯვების შანსების შეფასებასთან.

თანამედროვე ალბათობის თეორია აზარტული თამაშებისგან ისევე შორს წავიდა, როგორც გეომეტრია მიწის მართვის პრობლემებისგან, მაგრამ მათი რეკვიზიტები მაინც ყველაზე მარტივი და საიმედო წყაროა. რულეტის ბორბალითა და კალათით ვარჯიშით, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ გამოთვალოთ შემთხვევითი მოვლენების ალბათობა რეალურ ცხოვრებაში, რაც საშუალებას მოგცემთ შეაფასოთ თქვენი წარმატების შანსები, შეამოწმოთ ჰიპოთეზები და მიიღოთ გადაწყვეტილებები არა მხოლოდ თამაშებსა და ლატარიებში.

მათემატიკური სტატისტიკა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის მასობრივ შემთხვევით ფენომენებზე დაკვირვების შედეგების შეგროვების, სისტემატიზაციისა და დამუშავების მეთოდებს არსებული შაბლონების იდენტიფიცირების მიზნით.

გარკვეული გაგებით, მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემები საპირისპიროა ალბათობის თეორიის პრობლემებთან შედარებით: საქმე ეხება მხოლოდ შემთხვევითი ცვლადების ექსპერიმენტულად მიღებულ მნიშვნელობებს, სტატისტიკა მიზნად ისახავს წამოაყენოს და შეამოწმოს ჰიპოთეზები ამ შემთხვევითი ცვლადების განაწილების შესახებ და შეაფასოს პარამეტრების პარამეტრები. მათი განაწილება.

1. შემთხვევითი მოვლენები. როგორ შევადაროთ მოვლენები?

მათემატიკის ნებისმიერ სხვა დარგის მსგავსად, ალბათობის თეორიას აქვს საკუთარი კონცეპტუალური აპარატი, რომელიც გამოიყენება განმარტებების ფორმულირების, თეორემების დასამტკიცებლად და ფორმულების გამოყვანისას. მოდით განვიხილოთ ცნებები, რომლებსაც გამოვიყენებთ თეორიის შემდგომ ექსპოზიციაში.

სასამართლო პროცესი- პირობების დანერგვა.

ტესტის შედეგი (დაწყებითი მოვლენა)- ნებისმიერი შედეგი, რომელიც შეიძლება მოხდეს ტესტის დროს.

მაგალითები.

1) საცდელი:

Ტესტის პასუხები:ω 1 - ერთი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა სახეზე;

ω 2 – ორი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა სახეზე;

ω 3 – სამი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა ნაწილზე;

ω 4 – კუბის ზედა სახეზე ოთხი წერტილი გამოჩნდა;

ω 5 – კუბის ზედა სახეზე ხუთი წერტილი გამოჩნდა;

ω 6 - ექვსი წერტილი გამოჩნდა კუბის ზედა ნაწილზე.

საერთო ჯამში, შესაძლებელია 6 ტესტის შედეგი (ან 6 ელემენტარული მოვლენა).

2) საცდელი:სტუდენტი აბარებს გამოცდას.

Ტესტის პასუხები:ω 1 - სტუდენტმა მიიღო დუი;

ω 2 - სტუდენტმა მიიღო სამი;

ω 3 - სტუდენტმა მიიღო ოთხი;

ω 4 - სტუდენტმა მიიღო ხუთეული.

საერთო ჯამში შესაძლებელია 4 ტესტის შედეგი (ან 4 ელემენტარული მოვლენა).

კომენტარი. აღნიშვნა ω არის ელემენტარული მოვლენის სტანდარტული აღნიშვნა, შემდეგში ჩვენ გამოვიყენებთ ამ აღნიშვნას.

ჩვენ ვუწოდებთ ამ ტესტის შედეგებს თანაბრად შესაძლებელიათუ ცდის შედეგებს აქვს იგივე შანსი გამოჩნდეს.

ელემენტარული მოვლენების სივრცე- ყველა ელემენტარული მოვლენის ნაკრები (ტესტის შედეგები), რომელიც შეიძლება გამოჩნდეს ტესტის დროს.

მაგალითებში, რომლებიც ზემოთ განვიხილეთ, რეალურად იყო აღწერილი ამ ტესტების ელემენტარული მოვლენების სივრცეები.

კომენტარი.პუნქტების რაოდენობა ელემენტარული მოვლენების სივრცეში (PES), ე.ი. ელემენტარული მოვლენების რაოდენობა აღინიშნა ასოთი ნ.

მოდით განვიხილოთ მთავარი კონცეფცია, რომელსაც გამოვიყენებთ შემდეგში.

განმარტება 1.1.ღონისძიება არის გარკვეული რაოდენობის TEC ქულების შეგროვება.

მომავალში ჩვენ აღვნიშნავთ მოვლენებს დიდი ლათინური ასოებით: A, B, C.

განმარტება 1.2.მოვლენას, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის დროს, შემთხვევით მოვლენას უწოდებენ.

ლატარიის ბილეთის შეძენით შეიძლება მოვიგოთ ან არ მოვიგოთ; მომავალ არჩევნებზე მმართველმა პარტიამ შეიძლება გაიმარჯვოს ან არ მოიგოს; გაკვეთილზე შეიძლება დაგიძახონ დაფაზე, ან არ დაგირეკონ და ა.შ. ეს არის შემთხვევითი მოვლენების მაგალითები, რომლებიც იმავე პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის დროს.

კომენტარი.ნებისმიერი ელემენტარული მოვლენა ასევე შემთხვევითი მოვლენაა.

განმარტება 1.3.მოვლენას, რომელიც ხდება ცდის ნებისმიერი შედეგისთვის, ეწოდება გარკვეული მოვლენა.

განმარტება 1.4.მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს ტესტის რაიმე შედეგის მიხედვით, შეუძლებელი მოვლენა ეწოდება.

მაგალითი.

1) საცდელი:კამათელი იყრება.

ღონისძიება A:ქულების ლუწი რაოდენობა დაეცა კუბის ზედა ნაწილზე;

მოვლენა B:კვარცხლბეკის ზედა მხარეს ამოვარდა რამდენიმე ქულა, 3-ის ჯერადი;

ღონისძიება C: 7 ქულა დაეცა კვარცხლბეკის ზედა ნაწილზე;

ღონისძიება D: 7-ზე ნაკლები ქულების რაოდენობა დაეცა კვარცხლბეკის ზედა ნაწილზე.

Ივენთი მაგრამდა ATშეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ტესტის დროს, ამიტომ ეს არის შემთხვევითი მოვლენები.

ღონისძიება თანვერასოდეს მოხდება, ამიტომ შეუძლებელი მოვლენაა.

ღონისძიება დხდება ტესტის ნებისმიერი შედეგით, მაშინ ეს საიმედო მოვლენაა.

ჩვენ ვთქვით, რომ შემთხვევითი მოვლენები ერთსა და იმავე პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. ამავდროულად, ზოგიერთ შემთხვევით მოვლენას აქვს უფრო მეტი შანსი, რომ მოხდეს (რაც ნიშნავს, რომ ისინი უფრო სავარაუდოა - უფრო ახლოს არიან სანდოსთან), ხოლო სხვებს აქვთ ნაკლები შანსი (ისინი ნაკლებად სავარაუდოა - უფრო ახლოს არის შეუძლებელთან). ამიტომ, როგორც პირველი მიახლოება, შესაძლებელია განვსაზღვროთ ალბათობა, როგორც მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხი.

ნათელია, რომ უფრო სავარაუდო მოვლენები უფრო ხშირად მოხდება, ვიდრე ნაკლებად სავარაუდო. ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ შეადაროთ ალბათობები მოვლენების სიხშირის მიხედვით.

შევეცადოთ შემდეგი მოვლენები განვათავსოთ ალბათობის სპეციალურ შკალაზე მათი გაჩენის ალბათობის გაზრდის მიზნით.

ღონისძიება A:მომავალ წელს პირველი თოვლი ხაბაროვსკში კვირას მოვა;

მოვლენა B:მაგიდიდან გადმოვარდნილი სენდვიჩი კარაქით ჩამოვარდა;

ღონისძიება C:კამათლის სროლისას 6 ქულა ამოვარდება;

ღონისძიება D:კამათლის სროლისას ქულების ლუწი რაოდენობა ამოვარდება;

ღონისძიება E:კამათლის სროლისას 7 ქულა ამოვარდა;

ღონისძიება F:როდესაც კამათელი დაგორდება, 7-ზე ნაკლები ქულა გამოვა.

ასე რომ, ჩვენი მასშტაბის საწყის წერტილში განვათავსებთ შეუძლებელ მოვლენებს, რადგან მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხი (ალბათობა) თითქმის 0-ის ტოლია. ამრიგად, ეს იქნება მოვლენა. ე. ჩვენი მასშტაბის ბოლო წერტილში, ჩვენ ვათავსებთ საიმედო მოვლენებს - ფ. ყველა სხვა მოვლენა შემთხვევითია, შევეცადოთ განვათავსოთ ისინი მასშტაბით მათი წარმოშობის ხარისხის გაზრდის მიზნით. ამისათვის ჩვენ უნდა გავარკვიოთ, რომელი მათგანი ნაკლებად სავარაუდოა და რომელი უფრო სავარაუდოა. დავიწყოთ ღონისძიებით დ: როდესაც კამათელს ვაგდებთ, 6 სახიდან თითოეულს აქვს თანაბარი შანსი ზევით ყოფნის. ლუწი რაოდენობა - კუბის სამ სახეზე, დანარჩენ სამზე - კენტი. ასე რომ, ზუსტად ნახევარი შანსი (6-დან 3) რომ მოვლენაა დმოხდება. ამიტომ ვათავსებთ ღონისძიებას დჩვენი მასშტაბის შუაში.

ღონისძიებაზე თანმხოლოდ ერთი შანსი 6-ში, სანამ ღონისძიებას აქვს დ- სამი შანსი 6-დან (როგორც გავარკვიეთ). Ისე თანნაკლებად სავარაუდოა და განთავსდება ღონისძიების მარცხნივ შკალაზე დ.

ღონისძიება მაგრამნაკლებად სავარაუდოა, ვიდრე თან, რადგან კვირაში 7 დღეა და ნებისმიერ მათგანში პირველი თოვლი შეიძლება ჩამოვიდეს თანაბარი ალბათობით, ამიტომ მოვლენას აქვს მაგრამერთი შანსი 7. ღონისძიებაში მაგრამ, ამრიგად, განთავსდება კიდევ უფრო მარცხნივ, ვიდრე მოვლენა თან.

ყველაზე რთული სასწორზე მოთავსება მოვლენაა AT. აქ შანსების ზუსტად გამოთვლა შეუძლებელია, მაგრამ დასახმარებლად შეგიძლიათ მიმართოთ ცხოვრებისეულ გამოცდილებას: სენდვიჩი უფრო ხშირად ეცემა იატაკზე კარაქით (არსებობს თუნდაც „სენდვიჩის კანონი“), ასე რომ მოვლენა ATბევრად უფრო სავარაუდოა, ვიდრე დ, ასე რომ, სასწორზე ვათავსებთ მას მარჯვნივ ვიდრე დ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ მასშტაბს:

E A C D B F

შეუძლებელია შემთხვევითი გარკვეული

აგებული ალბათობის მასშტაბი არ არის საკმაოდ რეალური - მას არ აქვს რიცხვითი ნიშნები, დაყოფა. ჩვენ წინაშე დგას ამოცანა, ვისწავლოთ როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის დადგომის (ალბათობის) შესაძლებლობის ხარისხი.

კვადრატული განტოლებები პარამეტრებით

(მეთოდური განვითარება 9-11 კლასების მოსწავლეებისთვის)

უმაღლესი კვალიფიკაციის კატეგორიის მათემატიკის მასწავლებელი,

UVR დირექტორის მოადგილე

მეგიონი 2013 წ

წინასიტყვაობა

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. ვიეტას თეორემის გამოყენება

პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნის მეცნიერული სამუშაო და, კერძოდ, პარამეტრებით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა არის პროპედევტიკასტუდენტების კვლევითი მუშაობა. მათემატიკაში USE-ში (ხშირად დავალებები C5), GIA (მე-2 ნაწილის ამოცანები) და მისაღებ გამოცდებზე ძირითადად ორი ტიპის დავალებაა პარამეტრებით. პირველი: "პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისთვის, იპოვნეთ ზოგიერთი განტოლების ან უტოლობის ყველა ამონახსნი." მეორე: "იპოვეთ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული დაკმაყოფილებულია გარკვეული პირობა მოცემული განტოლებისთვის ან უტოლობისთვის." შესაბამისად, ამ ორი ტიპის პრობლემაში პასუხები არსებითად განსხვავდება. პირველი ტიპის პრობლემის პასუხში მითითებულია პარამეტრის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა და თითოეული ამ მნიშვნელობისთვის იწერება განტოლების ამონახსნები. მეორე ტიპის პრობლემის პასუხში მითითებულია პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლის მიხედვითაც დაკმაყოფილებულია პრობლემაში მითითებული პირობები.

მოგეხსენებათ, სკოლაში ძალიან ცოტა ყურადღება ექცევა პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრას. ამიტომ, პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნა ყოველთვის დიდ სირთულეებს უქმნის მოსწავლეებს; ძნელი მოსალოდნელია, რომ სტუდენტები, რომელთა ტრენინგი არ მოიცავდა „პარამეტრულ თერაპიას“ წარმატებით გაუმკლავდნენ ასეთ ამოცანებს კონკურენტული გამოცდის მკაცრ ატმოსფეროში, ამიტომ სტუდენტები სპეციალურად უნდა მოემზადონ „პარამეტრებთან შეხვედრისთვის“. ბევრი სტუდენტი აღიქვამს პარამეტრს, როგორც "რეგულარულ" რიცხვს. მართლაც, ზოგიერთ პრობლემაში პარამეტრი შეიძლება ჩაითვალოს მუდმივ მნიშვნელობად, მაგრამ ეს მუდმივი მნიშვნელობა იღებს უცნობ მნიშვნელობებს. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია პრობლემის განხილვა ამ მუდმივის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის. სხვა პრობლემებში შეიძლება მოსახერხებელი იყოს ერთ-ერთი უცნობის ხელოვნურად გამოცხადება პარამეტრად.

პარამეტრებთან დავალებებს აქვს დიაგნოსტიკური და პროგნოზული მნიშვნელობა - პარამეტრების დავალებების დახმარებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ სასკოლო მათემატიკის ძირითადი სექციების ცოდნა, მათემატიკური და ლოგიკური აზროვნების დონე, კვლევითი საქმიანობის საწყისი უნარები და რაც მთავარია, პერსპექტიული. მოცემული უნივერსიტეტის მათემატიკის კურსის წარმატებით დაუფლების შესაძლებლობები.

მათემატიკაში და სხვადასხვა უნივერსიტეტებში მისაღებ გამოცდებში USE ვარიანტების ანალიზი აჩვენებს, რომ პარამეტრებით შემოთავაზებული ამოცანების უმეტესობა დაკავშირებულია კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობასთან. როგორც მთავარი სასკოლო მათემატიკის კურსში, კვადრატული ფუნქცია ქმნის პრობლემების ფართო კლასს პარამეტრებით, მრავალფეროვანი ფორმით და შინაარსით, მაგრამ გაერთიანებულია საერთო იდეით - კვადრატული ფუნქციის თვისებები მათი გადაწყვეტის საფუძველია. ასეთი პრობლემების გადაჭრისას რეკომენდებულია სამი ტიპის მოდელთან მუშაობა:

1. ვერბალური მოდელი - დავალების სიტყვიერი აღწერა;

2. გეომეტრიული მოდელი - კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის ჩანახატი;

3. ანალიტიკური მოდელი - უტოლობების სისტემა, რომელიც აღწერს გეომეტრიულ მოდელს.

სახელმძღვანელო შეიცავს თეორემებს კვადრატული ტრინომის ფესვების ადგილმდებარეობის შესახებ (აუცილებელი და საკმარისი პირობები კვადრატული ფუნქციის ფესვების მდებარეობისთვის მოცემულ წერტილებთან მიმართებაში), ვიეტას თეორემის გამოყენება პარამეტრებთან კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე. მოცემულია 15 პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა მეთოდური რეკომენდაციებით. ამ სახელმძღვანელოს მიზანია დაეხმაროს კურსდამთავრებულს და მათემატიკის მასწავლებელს მოემზადონ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და GIA მათემატიკაში ჩასაბარებლად და უნივერსიტეტში მისაღები გამოცდისთვის ტესტის ან ტრადიციული ფორმით.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - დევს ხაზის მარჯვნივ x = n (პირობა xb>n) ;

3. პარაბოლა კვეთს x = n წრფეს ზედა ნახევარსიბრტყეზე a>0-ზე და ქვედა ნახევარსიბრტყეზე a წერტილში.<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

თეორემა 10.კვადრატული განტოლებები x2 + p1x + q1 = 0 და x2 + p2x + q2 = 0,

რომელთა დისკრიმინანტებიც არაუარყოფითია, აქვთ მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

მტკიცებულება.

ვთქვათ f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, ხოლო რიცხვები x1, x2 არის განტოლების ფესვები f1(x) = 0. იმისათვის, რომ განტოლება იყოს f1(x). ) = 0 და f2( x) = 0 აქვს მინიმუმ ერთი საერთო ფესვი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ f1(x)∙f2(x) = 0, ანუ, რომ (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 ჩვენ წარმოვადგენთ ბოლო ტოლობას ფორმაში

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

ვინაიდან x12 + p1x1 + q1 = 0 და x22 + p1x2 + q1 = 0, მივიღებთ

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, ე.ი.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

ვიეტას თეორემით x1 +x2 = - p1 და x1x2 =q1; აქედან გამომდინარე,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, ან

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), რაც დასამტკიცებელი იყო.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Კვადრატული განტოლება ნაჯახი 2 + bx + გ = 0

1) აქვს ორი რეალური დადებითი ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შემდეგი პირობები ერთდროულად არის დაკმაყოფილებული:

;

2) აქვს ორი რეალური უარყოფითი ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობები დაკმაყოფილებულია ერთდროულად:

;

3) აქვს სხვადასხვა ნიშნის ორი რეალური ფესვი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთდროულად დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

;

4) აქვს ერთი და იგივე ნიშნის ორი რეალური ფესვი თუ

შენიშვნა 1. თუ კოეფიციენტი ზე X 2 შეიცავს პარამეტრს, აუცილებელია გაანალიზდეს შემთხვევა, როცა ის ქრება.

შენიშვნა 2. თუ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არის სრულყოფილი კვადრატი, მაშინ თავდაპირველად უფრო მოსახერხებელია მისი ფესვებისთვის გამოკვეთილი გამონათქვამების პოვნა.

შენიშვნა 3. თუ რამდენიმე უცნობის შემცველი განტოლება ერთ-ერთთან მიმართებაში კვადრატულია, მაშინ პრობლემის გადაჭრის გასაღები ხშირად მისი დისკრიმინანტის შესწავლაა.

წარმოგიდგენთ კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობასთან დაკავშირებული ამოცანების შესწავლის სქემასვ(x) = ნაჯახი2 + bx + გ:

1. შემთხვევის შესწავლა a = o (თუ პირველი კოეფიციენტი დამოკიდებულია პარამეტრებზე).

2. დისკრიმინანტის პოვნა a≠0 შემთხვევაში.

3. თუ D არის რომელიმე გამონათქვამის სრული კვადრატი, მაშინ x1, x2 ფესვების პოვნა და ამოცანის პირობების დაქვემდებარება.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. GIA და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მათემატიკაში მოსამზადებლად ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი 1ამოხსენი განტოლება ( ა - 2)x 2 – 2ნაჯახი + 2ა – 3 = 0.

გადაწყვეტილება. განვიხილოთ ორი შემთხვევა: a = 2 და a ≠ 2. პირველ შემთხვევაში, ორიგინალური განტოლება იღებს ფორმას - 4. X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

\u003d 1 ან \u003d 6-ისთვის, დისკრიმინანტი არის ნული, ხოლო კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: ანუ, a \u003d 1-ისთვის მივიღებთ ფესვს და a = 6-ისთვის - ფესვი.

1-ზე< ა < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">განტოლებას არ აქვს ფესვები; a = 1-ისთვის განტოლებას აქვს ერთი ფესვი X= -1; ზე განტოლებას ორი ფესვი აქვს ; ზე ა= 2 განტოლებას აქვს ერთი ფესვი; ზე ა= 6 განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

მაგალითი 2პარამეტრის რა მნიშვნელობაზე აგანტოლება ( ა - 2)X 2 + (4 – 2ა)X+ 3 = 0 აქვს უნიკალური ფესვი?

გადაწყვეტილება . Თუ ა= 2, მაშინ განტოლება ხდება წრფივი∙ X+ 3 = 0; რომელსაც ფესვები არ აქვს.

Თუ ა≠ 2, მაშინ განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი ნულოვანი დისკრიმინანტით დ.

დ= 0 at ა 1 = 2 და ა 2 = 5. მნიშვნელობა ა= 2 გამორიცხულია, რადგან ის ეწინააღმდეგება იმ პირობას, რომ თავდაპირველი განტოლება კვადრატულია.

უპასუხე : ა = 5.

4.

(ა - 1)X 2 + (2ა + 3)X + ა+ 2 = 0 აქვს იგივე ნიშნის ფესვები?

გადაწყვეტილება. ვინაიდან, პრობლემის პირობის მიხედვით განხილული განტოლება კვადრატულია, ეს ნიშნავს ა≠ 1. ცხადია, პრობლემის პირობა ასევე გულისხმობს კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობას, რაც ნიშნავს, რომ დისკრიმინანტი არაუარყოფითია.

დ = (2ა + 3)2 – 4(ა - 1)(ა + 2) = 8ა + 17.

ვინაიდან, პირობითად, ფესვები იგივე ნიშნის უნდა იყოს, მაშინ X 1∙X 2 > 0, ანუ png" width="149" height="21 src=">. ექვემდებარება პირობებს დ≥ 0 და ა≠ 1 ვიღებთ https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

მაგალითი 3იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებას x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 აქვს ორი დადებითი ფესვი.

გადაწყვეტილება. ვიეტას თეორემიდან იმისთვის, რომ ამ განტოლების ორივე ფესვი x1 და x2 იყოს დადებითი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი იყოს არა-. უარყოფითი და ნამრავლი x1 ∙ x2 და ჯამი x1 + x2 დადებითი იყო. ჩვენ ვიღებთ, რომ ეს ყველაფერი სისტემას აკმაყოფილებს

და მხოლოდ ისინი არიან პრობლემის გადაწყვეტა. ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

რომლის ამოხსნა და, შესაბამისად, თავად პრობლემა, არის ყველა რიცხვი ინტერვალიდან )