არის ფრაქტალები. კოსმოსური კვლევის ლაბორატორია

ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. სიტყვა fractal მომდინარეობს ლათინური fractus-დან და თარგმანში ნიშნავს ფრაგმენტებისგან შემდგარს. იგი შემოგვთავაზა ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიემართა არარეგულარული, მაგრამ თვითმსგავსი სტრუქტურების შესახებ, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება მანდელბროტის წიგნის "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია" გამოქვეყნებასთან 1977 წელს. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების სამეცნიერო შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი მაგრამ მხოლოდ ჩვენს დროში იყო შესაძლებელი მათი ნამუშევრების გაერთიანება ერთ სისტემაში.
ფრაქტალების როლი კომპიუტერულ გრაფიკაში დღეს საკმაოდ დიდია. ისინი მოდიან სამაშველოში, მაგალითად, როდესაც საჭიროა, რამდენიმე კოეფიციენტის დახმარებით, განსაზღვრონ ძალიან რთული ფორმის ხაზები და ზედაპირები. კომპიუტერული გრაფიკის თვალსაზრისით, ფრაქტალის გეომეტრია შეუცვლელია ხელოვნური ღრუბლების, მთებისა და ზღვის ზედაპირის წარმოქმნისთვის. ფაქტობრივად, იპოვეს გზა, რომლითაც ადვილად წარმოადგენენ რთულ არაევკლიდეს ობიექტებს, რომელთა გამოსახულებები ძალიან ჰგავს ბუნებრივებს.
ფრაქტალების ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა თვითმსგავსება. უმარტივეს შემთხვევაში, ფრაქტალის მცირე ნაწილი შეიცავს ინფორმაციას მთელი ფრაქტალის შესახებ. მანდელბროტის მიერ მოცემული ფრაქტალის განმარტება ასეთია: „ფრაქტალი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც გარკვეული გაგებით ჰგავს მთლიანს“.

მათემატიკური ობიექტების დიდი რაოდენობაა ფრაქტალები (სიერპინსკის სამკუთხედი, კოხის ფიფქია, პეანოს მრუდი, მანდელბროტის ნაკრები და ლორენცის მიმზიდველები). ფრაქტალები დიდი სიზუსტით აღწერს რეალური სამყაროს ბევრ ფიზიკურ მოვლენას და წარმონაქმნს: მთებს, ღრუბლებს, მღელვარე (მორევის) დინებებს, ფესვებს, ხეების ტოტებსა და ფოთლებს, სისხლძარღვებს, რაც შორს არის მარტივი გეომეტრიული ფორმების შესაბამისი. პირველად ბენუა მანდელბროტმა ისაუბრა ჩვენი სამყაროს ფრაქტალურ ბუნებაზე თავის მთავარ ნაშრომში "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია".
ტერმინი ფრაქტალი შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1977 წელს თავის ფუნდამენტურ ნაშრომში "ფრაქტალები, ფორმა, ქაოსი და განზომილება". მანდელბროტის თქმით, სიტყვა ფრაქტალი მომდინარეობს ლათინური სიტყვებისგან fractus - fractional და frangere - break, რაც ასახავს ფრაქტალის არსს, როგორც "გატეხილი", არარეგულარული ნაკრები.

ფრაქტალების კლასიფიკაცია.

იმისათვის, რომ წარმოვადგინოთ ფრაქტალების მთელი მრავალფეროვნება, მოსახერხებელია მივმართოთ მათ ზოგადად მიღებულ კლასიფიკაციას. არსებობს ფრაქტალების სამი კლასი.

1. გეომეტრიული ფრაქტალები.

ამ კლასის ფრაქტალები ყველაზე აშკარაა. ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ისინი მიიღება პოლიხაზის (ან ზედაპირის სამგანზომილებიან შემთხვევაში) გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება გენერატორი. ალგორითმის ერთ საფეხურში თითოეული სეგმენტი, რომელიც ქმნიან გაწყვეტილ ხაზს, ჩანაცვლებულია გატეხილი ხაზის გენერატორით შესაბამისი მასშტაბით. ამ პროცედურის გაუთავებელი გამეორების შედეგად მიიღება გეომეტრიული ფრაქტალი.

განვიხილოთ, მაგალითად, ერთ-ერთი ასეთი ფრაქტალური ობიექტი - კოხის ტრიადული მრუდი.

ტრიადული კოხის მრუდის აგება.

ავიღოთ 1 სიგრძის სწორი ხაზის სეგმენტი. მოდით ვუწოდოთ მას თესლი. მოდით გავყოთ თესლი 1/3 სიგრძის სამ თანაბარ ნაწილად, გადავაგდოთ შუა ნაწილი და შევცვალოთ იგი 1/3 სიგრძის ორი რგოლის გატეხილი ხაზით.

ვიღებთ გაწყვეტილ ხაზს, რომელიც შედგება 4 ბმულისაგან, რომელთა საერთო სიგრძეა 4/3, - ე.წ. პირველი თაობა.

კოხის მრუდის შემდეგ თაობაზე გადასასვლელად აუცილებელია თითოეული რგოლის შუა ნაწილის გაუქმება და შეცვლა. შესაბამისად, მეორე თაობის სიგრძე იქნება 16/9, მესამე - 64/27. თუ ამ პროცესს უსასრულობამდე გააგრძელებთ, შედეგი იქნება ტრიადული კოხის მრუდი.

ახლა განვიხილოთ წმინდა ტრიადული კოხის მრუდი და გავარკვიოთ, რატომ ეძახდნენ ფრაქტალებს "მონსტრები".

ჯერ ერთი, ამ მრუდს სიგრძე არ აქვს - როგორც ვნახეთ, თაობების რაოდენობასთან ერთად მისი სიგრძე უსასრულობისკენ მიისწრაფვის.

მეორეც, შეუძლებელია ამ მრუდის ტანგენტის აგება - მისი ყოველი წერტილი არის დახრის წერტილი, რომელშიც წარმოებული არ არსებობს - ეს მრუდი არ არის გლუვი.

სიგრძე და სიგლუვე არის მრუდების ფუნდამენტური თვისებები, რომლებიც შესწავლილია როგორც ევკლიდეს გეომეტრიით, ასევე ლობაჩევსკის და რიმანის გეომეტრიით. გეომეტრიული ანალიზის ტრადიციული მეთოდები გამოუყენებელი აღმოჩნდა ტრიადული კოხის მრუდისთვის, ამიტომ კოხის მრუდი აღმოჩნდა ურჩხული - "ურჩხული" ტრადიციული გეომეტრიების გლუვ მცხოვრებთა შორის.

"დრაკონის" ჰარტერ-ჰატევეის მშენებლობა.

კიდევ ერთი ფრაქტალის ობიექტის მისაღებად, თქვენ უნდა შეცვალოთ კონსტრუქციის წესები. წარმომქმნელი ელემენტი იყოს ორი თანაბარი სეგმენტი, რომლებიც დაკავშირებულია მარჯვენა კუთხით. ნულოვანი თაობის დროს ჩვენ ვცვლით ერთეულის სეგმენტს ამ წარმომქმნელი ელემენტით ისე, რომ კუთხე ზევით იყოს. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ასეთი ჩანაცვლებით ხდება ბმულის შუაში ცვლა. შემდეგი თაობების აგებისას იცავენ წესს: მარცხნივ პირველივე ბმული ჩანაცვლებულია გენერირების ელემენტით ისე, რომ რგოლის შუა ნაწილი გადაადგილდეს მოძრაობის მიმართულების მარცხნივ, ხოლო შემდეგი ბმულების ჩანაცვლებისას, სეგმენტების შუა წერტილების გადაადგილების მიმართულებები უნდა იცვლებოდეს. ნახატზე ნაჩვენებია ზემოთ აღწერილი პრინციპის მიხედვით აგებული მრუდის პირველი რამდენიმე თაობა და მე-11 თაობა. მრუდს n-ით უსასრულობისკენ მიდრეკილი ჰარტერ-ჰატევეის დრაკონი ეწოდება.
კომპიუტერულ გრაფიკაში ხეების და ბუჩქების გამოსახულების მიღებისას აუცილებელია გეომეტრიული ფრაქტალების გამოყენება. ორგანზომილებიანი გეომეტრიული ფრაქტალები გამოიყენება სამგანზომილებიანი ტექსტურების შესაქმნელად (ნიმუშები საგნის ზედაპირზე).

2. ალგებრული ფრაქტალები

ეს არის ფრაქტალების ყველაზე დიდი ჯგუფი. ისინი მიიღება არაწრფივი პროცესების გამოყენებით n-განზომილებიან სივრცეებში. ორგანზომილებიანი პროცესები ყველაზე შესწავლილია. არაწრფივი განმეორებითი პროცესის დისკრეტულ დინამიურ სისტემად ინტერპრეტაციისას, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ სისტემების თეორიის ტერმინოლოგია: ფაზური პორტრეტი, სტაბილური მდგომარეობის პროცესი, მიმზიდველი და ა.შ.
ცნობილია, რომ არაწრფივი დინამიკური სისტემების რამდენიმე სტაბილური მდგომარეობაა. მდგომარეობა, რომელშიც დინამიური სისტემა იმყოფება გარკვეული რაოდენობის გამეორებების შემდეგ, დამოკიდებულია მის საწყის მდგომარეობაზე. ამრიგად, თითოეულ სტაბილურ მდგომარეობას (ან, როგორც ამბობენ, მიმზიდველს) აქვს საწყისი მდგომარეობის გარკვეული არეალი, საიდანაც სისტემა აუცილებლად მოხვდება განხილულ საბოლოო მდგომარეობებში. ამრიგად, სისტემის ფაზური სივრცე დაყოფილია მიზიდულობის მიზიდულობის სფეროებად. თუ ფაზური სივრცე ორგანზომილებიანია, მაშინ მიზიდულობის ზონების სხვადასხვა ფერებით შეღებვით, შეგიძლიათ მიიღოთ ამ სისტემის ფერადი ფაზის პორტრეტი (იტერატიული პროცესი). ფერის შერჩევის ალგორითმის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ რთული ფრაქტალის ნიმუშები ლამაზი მრავალფეროვანი ნიმუშებით. მათემატიკოსებისთვის სიურპრიზი იყო პრიმიტიული ალგორითმების გამოყენებით ძალიან რთული არატრივიალური სტრუქტურების გენერირების შესაძლებლობა.

მანდელბროტის ნაკრები.

მაგალითად, განიხილეთ მანდელბროტის ნაკრები. მისი აგების ალგორითმი საკმაოდ მარტივია და ემყარება მარტივ განმეორებით გამოხატვას: Z = Z[i] * Z[i] + C, სად ზიდა Cრთული ცვლადებია. გამეორებები შესრულებულია თითოეული საწყისი წერტილისთვის მართკუთხა ან კვადრატული რეგიონიდან - რთული სიბრტყის ქვეჯგუფი. განმეორებითი პროცესი გრძელდება მანამ Z[i]არ გასცდება მე-2 რადიუსის წრეს, რომლის ცენტრი დევს წერტილში (0,0), (ეს ნიშნავს, რომ დინამიური სისტემის მიმზიდველი უსასრულობაშია), ან საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორებების შემდეგ (მაგ. , 200-500) Z[i]ხვდება წრის რაღაც წერტილში. იმის მიხედვით, თუ რა რაოდენობის გამეორებები Z[i]დარჩა წრის შიგნით, შეგიძლიათ დააყენოთ წერტილის ფერი C(თუ Z[i]რჩება წრის შიგნით საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორებისთვის, განმეორებითი პროცესი ჩერდება და ეს რასტრული წერტილი შავად შეიღებება).

3. სტოქასტური ფრაქტალები

ფრაქტალების კიდევ ერთი ცნობილი კლასი არის სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც მიიღება, თუ მისი რომელიმე პარამეტრი შემთხვევით იცვლება განმეორებით პროცესში. ამის შედეგად წარმოიქმნება ბუნებრივი ობიექტების ძალიან მსგავსი ობიექტები - ასიმეტრიული ხეები, ჩაღრმავებული სანაპირო ზოლები და ა.შ. ორგანზომილებიანი სტოქასტური ფრაქტალები გამოიყენება რელიეფის და ზღვის ზედაპირის მოდელირებისას.
არსებობს ფრაქტალების სხვა კლასიფიკაცია, მაგალითად, ფრაქტალების დაყოფა დეტერმინისტებად (ალგებრულ და გეომეტრიულ) და არადეტერმინისტებად (სტოქასტურად).

ფრაქტალების გამოყენების შესახებ

უპირველეს ყოვლისა, ფრაქტალები არის გასაოცარი მათემატიკური ხელოვნების სფერო, როდესაც უმარტივესი ფორმულებისა და ალგორითმების დახმარებით მიიღება არაჩვეულებრივი სილამაზისა და სირთულის სურათები! აგებული სურათების კონტურებში ხშირად გამოცნობენ ფოთლებს, ხეებს და ყვავილებს.

ფრაქტალების ერთ-ერთი ყველაზე ძლიერი პროგრამა მდგომარეობს კომპიუტერულ გრაფიკაში. პირველ რიგში, ეს არის სურათების ფრაქტალური შეკუმშვა და მეორე, პეიზაჟების, ხეების, მცენარეების აგება და ფრაქტალური ტექსტურების წარმოქმნა. თანამედროვე ფიზიკა და მექანიკა ახლახან იწყებს ფრაქტალური ობიექტების ქცევის შესწავლას. და, რა თქმა უნდა, ფრაქტალები უშუალოდ მათემატიკაში გამოიყენება.
ფრაქტალური გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმების უპირატესობა არის შეფუთული ფაილის ძალიან მცირე ზომა და გამოსახულების აღდგენის მოკლე დრო. ფრაქტალურად შეფუთული სურათების მასშტაბირება შესაძლებელია პიქსელაციის გარეშე. მაგრამ შეკუმშვის პროცესს დიდი დრო სჭირდება და ზოგჯერ საათობით გრძელდება. დაკარგვის ფრაქტალის შეფუთვის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ შეკუმშვის დონე, jpeg ფორმატის მსგავსი. ალგორითმი დაფუძნებულია გამოსახულების დიდი ნაწილების ძიებაზე, რომლებიც მსგავსია ზოგიერთი პატარა ნაწილის. და მხოლოდ რომელი ნაწილის მსგავსია ჩაწერილი გამომავალ ფაილში. შეკუმშვისას ჩვეულებრივ გამოიყენება კვადრატული ბადე (ნაჭრები არის კვადრატები), რაც იწვევს სურათის აღდგენისას მცირე კუთხით, ექვსკუთხა ბადე თავისუფალია ასეთი მინუსისგან.
Iterated-მა შეიმუშავა გამოსახულების ახალი ფორმატი, "Sting", რომელიც აერთიანებს ფრაქტალსა და "ტალღის" (როგორიცაა jpeg) უზარმაზარ შეკუმშვას. ახალი ფორმატი საშუალებას გაძლევთ შექმნათ სურათები შემდგომი მაღალი ხარისხის სკალირების შესაძლებლობით, ხოლო გრაფიკული ფაილების მოცულობა არის არაკომპრესირებული სურათების მოცულობის 15-20%.
ფრაქტალების ტენდენცია მთებს, ყვავილებს და ხეებს ჰგავდეს, გამოიყენება ზოგიერთი გრაფიკული რედაქტორის მიერ, მაგალითად, ფრაქტალის ღრუბლები 3D სტუდია MAX-დან, ფრაქტალი მთები World Builder-ში. ფრაქტალური ხეები, მთები და მთელი პეიზაჟები განისაზღვრება მარტივი ფორმულებით, ადვილად დასაპროგრამებელია და არ იშლება ცალკეულ სამკუთხედებად და კუბებად მიახლოებისას.
თქვენ არ შეგიძლიათ უგულებელყოთ ფრაქტალების გამოყენება მათემატიკაში. სიმრავლეების თეორიაში, კანტორის სიმრავლე ამტკიცებს სრულყოფილი არსად მკვრივი სიმრავლეების არსებობას; ზომების თეორიაში, თვითმიმართული "Cantor ladder" ფუნქცია არის კარგი მაგალითი სინგულარული ზომის განაწილების ფუნქციისა.
მექანიკასა და ფიზიკაში ფრაქტალები გამოიყენება მათი უნიკალური თვისების გამო მრავალი ბუნებრივი ობიექტის კონტურის გასამეორებლად. ფრაქტალები საშუალებას გაძლევთ დააახლოოთ ხეები, მთის ზედაპირები და ნაპრალები უფრო მაღალი სიზუსტით, ვიდრე მიახლოებები ხაზის სეგმენტებით ან მრავალკუთხედებით (შენახული მონაცემების იგივე რაოდენობით). ფრაქტალურ მოდელებს, ისევე როგორც ბუნებრივ ობიექტებს, აქვთ „უხეშობა“ და ეს თვისება შენარჩუნებულია მოდელის თვითნებურად დიდი ზრდით. ფრაქტალებზე ერთიანი საზომის არსებობა შესაძლებელს ხდის ინტეგრაციის, პოტენციალის თეორიის გამოყენებას, მათი გამოყენება უკვე შესწავლილ განტოლებებში სტანდარტული ობიექტების ნაცვლად.
ფრაქტალური მიდგომით, ქაოსი წყვეტს ცისფერ აშლილობას და იძენს კარგ სტრუქტურას. ფრაქტალის მეცნიერება ჯერ კიდევ ძალიან ახალგაზრდაა და წინ დიდი მომავალი აქვს. ფრაქტალების სილამაზე შორს არის ამოწურვისაგან და მაინც მოგვცემს ბევრ შედევრს - ისეთს, რომელიც აღფრთოვანებს თვალს და ისეთებს, რომლებიც ჭეშმარიტ სიამოვნებას მოაქვს გონებაში.

ფრაქტალების აგების შესახებ

თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდი

ამ სურათის დათვალიერებისას ძნელი არ არის იმის გაგება, თუ როგორ შეიძლება აშენდეს საკუთარი თავის მსგავსი ფრაქტალი (ამ შემთხვევაში, სიერპინსკის პირამიდა). უნდა ავიღოთ ჩვეულებრივი პირამიდა (ტეტრაედრონი), შემდეგ გამოვჭრათ მისი შუა (რვაედრონი), რის შედეგადაც მივიღებთ ოთხ პატარა პირამიდას. თითოეულ მათგანთან ერთსა და იმავე ოპერაციას ვასრულებთ და ა.შ. ეს გარკვეულწილად გულუბრყვილო, მაგრამ საილუსტრაციო ახსნაა.

მოდით განვიხილოთ მეთოდის არსი უფრო მკაცრად. დაე, იყოს რაღაც IFS სისტემა, ე.ი. შეკუმშვის რუკების სისტემა ს=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (მაგალითად, ჩვენი პირამიდისთვის, რუკების მსგავსია S i (x)=1/2*x+o i , სადაც o i არის ტეტრაედრის წვეროები, i=1,..,4). შემდეგ ვირჩევთ კომპაქტურ A 1 კომპლექტს R n-ში (ჩვენს შემთხვევაში ვირჩევთ ტეტრაედრონს). და ინდუქციით განვსაზღვრავთ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) თანმიმდევრობას. ცნობილია, რომ A k სიმრავლეები k გაზრდით უახლოვდება სისტემის საჭირო მიმზიდველს ს.

გაითვალისწინეთ, რომ თითოეული ეს გამეორება არის მიმზიდველი განმეორებადი ფუნქციების განმეორებითი სისტემა(ინგლისური ტერმინი DigraphIFS, RIFSდა ასევე გრაფიკით მიმართული IFS) და, შესაბამისად, მათი აშენება მარტივია ჩვენი პროგრამით.

კონსტრუქცია წერტილებით ან სავარაუდო მეთოდით

ეს არის ყველაზე მარტივი მეთოდი კომპიუტერზე დასანერგად. სიმარტივისთვის, განიხილეთ ბრტყელი თვითნაკეთი ნაკრების შემთხვევა. მოდით (ს

) არის აფინური შეკუმშვის რაღაც სისტემა. რუკების ს

წარმოდგენილია როგორც: ს

ფიქსირებული მატრიცა ზომით 2x2 და o

ორგანზომილებიანი ვექტორული სვეტი.

ავიღოთ პირველი S 1 რუკების ფიქსირებული წერტილი, როგორც საწყისი წერტილი:
x:=o1;
აქ ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ყველა ფიქსირებული შეკუმშვის წერტილი S 1,..,S m ეკუთვნის ფრაქტალს. საწყის წერტილად შეიძლება აირჩეს თვითნებური წერტილი და მის მიერ წარმოქმნილი წერტილების თანმიმდევრობა შემცირდება ფრაქტალამდე, მაგრამ შემდეგ ეკრანზე გამოჩნდება რამდენიმე დამატებითი წერტილი.
შენიშნეთ მიმდინარე წერტილი x=(x 1 , x 2) ეკრანზე:
putpixel(x 1, x 2,15);
ჩვენ შემთხვევით ვირჩევთ j რიცხვს 1-დან m-მდე და ვიანგარიშებთ x წერტილის კოორდინატებს:
j:=შემთხვევითი(მ)+1;
x:=S j (x);
მივდივართ მე-2 საფეხურზე, ან თუ საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორება გავაკეთეთ, მაშინ ვჩერდებით.

Შენიშვნა.თუ S i შეკუმშვის კოეფიციენტები განსხვავებულია, მაშინ ფრაქტალი არათანაბრად შეივსება წერტილებით. თუ S i მსგავსებაა, ამის თავიდან აცილება შესაძლებელია ალგორითმის ოდნავ გართულებით. ამისათვის ალგორითმის მე-3 საფეხურზე უნდა აირჩეს რიცხვი j 1-დან m-მდე ალბათობით p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , სადაც r i აღნიშნავს S i შეკუმშვის კოეფიციენტებს. , და რიცხვი s (ე.წ. მსგავსების განზომილება) გვხვდება განტოლებიდან r 1 s +...+r m s =1. ამ განტოლების ამოხსნა შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ნიუტონის მეთოდით.

ფრაქტალებისა და მათი ალგორითმების შესახებ

Fractal მოდის ლათინური ზედსართავი სახელიდან "fractus" და თარგმანში ნიშნავს ფრაგმენტებისგან შემდგარს, ხოლო შესაბამისი ლათინური ზმნა "frangere" ნიშნავს გატეხვას, ანუ არარეგულარული ფრაგმენტების შექმნას. ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. ტერმინი შემოგვთავაზა ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიემართა არარეგულარული, მაგრამ თვითმსგავსი სტრუქტურების შესახებ, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება 1977 წელს მანდელბროტის წიგნის "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" გამოქვეყნებასთან. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების მეცნიერული შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი).

კორექტირება

ნება მომეცით შევიტანო გარკვეული კორექტირება წიგნში შემოთავაზებულ ალგორითმებში H.-O-ს მიერ. პეიტგენი და P.H. Richter "Fractals of Beauty" M. 1993, მხოლოდ იმისთვის, რომ აღმოფხვრას ბეჭდვითი შეცდომები და გააადვილოს პროცესების გაგება, რადგან მათი შესწავლის შემდეგ ბევრი რამ საიდუმლოდ დარჩა ჩემთვის. სამწუხაროდ, ეს "გასაგები" და "მარტივი" ალგორითმები აგრძელებენ ცხოვრებისეულ სტილს.

ფრაქტალების აგება ემყარება რთული პროცესის გარკვეულ არაწრფივ ფუნქციას გამოხმაურებით z \u003d z 2 + c რადგან z და c რთული რიცხვებია, შემდეგ z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, აუცილებელია დაშალეთ ის x და y-ად, რათა გადავიდეთ უფრო რეალურზე ჩვეულებრივი ადამიანის სიბრტყისთვის:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

სიბრტყე, რომელიც შედგება ყველა წყვილისგან (x, y) შეიძლება ჩაითვალოს ფიქსირებული მნიშვნელობებით p და q, ასევე დინამიურისთვის. პირველ შემთხვევაში, სიბრტყის ყველა წერტილის (x, y) დალაგება კანონის მიხედვით და მათი შეღებვა განმეორებითი პროცესიდან გასასვლელად აუცილებელი ფუნქციის გამეორების რაოდენობის მიხედვით ან არ შეღებვა (შავი) დასაშვებ მაქსიმუმზე. გამეორებების რაოდენობა გაიზარდა, ვიღებთ ჯულიას ნაკრების რუკს. თუ პირიქით, ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობების საწყის წყვილს (x, y) და მივადევნებთ მის კოლორისტულ ბედს p და q პარამეტრების დინამიურად ცვალებადი მნიშვნელობებით, მაშინ მივიღებთ სურათებს, სახელწოდებით Mandelbrot sets.

ფრაქტალის შეღებვის ალგორითმების საკითხზე.

ჩვეულებრივ ნაკრების კორპუსი წარმოდგენილია როგორც შავი ველი, თუმცა აშკარაა, რომ შავი ფერის შეცვლა შესაძლებელია ნებისმიერი სხვათ, მაგრამ ესეც უინტერესო შედეგია. ყველა ფერში შეღებილი ნაკრების გამოსახულების მიღება არის ამოცანა, რომლის გადაჭრა შეუძლებელია ციკლური ოპერაციების გამოყენებით, რადგან კომპლექტის სხეულის შემადგენელი გამეორებების რაოდენობა უდრის მაქსიმალურ შესაძლოს და ყოველთვის ერთნაირი. შესაძლებელია ნაკრების სხვადასხვა ფერებში შეღებვა მარყუჟიდან გამოსასვლელი მდგომარეობის შემოწმების შედეგის (z_magnitude) ფერის ნომრად ან მის მსგავსი, მაგრამ სხვა მათემატიკური ოპერაციების გამოყენებით.

"ფრაქტალური მიკროსკოპის" გამოყენება

სასაზღვრო ფენომენების დემონსტრირება.

ტრაქტორები არის ცენტრები, რომლებიც უძღვებიან ბრძოლას თვითმფრინავში დომინირებისთვის. ატრაქციონებს შორის არის საზღვარი, რომელიც წარმოადგენს მორევის ნიმუშს. ნაკრების საზღვრებში განხილვის მასშტაბის გაზრდით, შეიძლება მივიღოთ არა ტრივიალური შაბლონები, რომლებიც ასახავს დეტერმინისტული ქაოსის მდგომარეობას - ჩვეულებრივი მოვლენა ბუნებრივ სამყაროში.

გეოგრაფების მიერ შესწავლილი ობიექტები ქმნიან სისტემას ძალიან კომპლექსურად ორგანიზებული საზღვრებით, რასთან დაკავშირებითაც მათი განხორციელება რთულ პრაქტიკულ ამოცანად იქცევა. ბუნებრივ კომპლექსებს აქვთ ტიპიური ბირთვები, რომლებიც მოქმედებენ როგორც მიმზიდველები, რომლებიც კარგავენ გავლენის ძალას ტერიტორიის დაშორებისას.

მანდელბროტისა და ჯულიას კომპლექტებისთვის ფრაქტალური მიკროსკოპის გამოყენებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს წარმოდგენა სასაზღვრო პროცესებსა და ფენომენებზე, რომლებიც თანაბრად რთულია განხილვის მასშტაბის მიუხედავად და ამით მოამზადოს სპეციალისტის აღქმა დინამიური და ერთი შეხედვით ქაოტური შეხვედრისთვის. სივრცეში და დროში ბუნებრივ ობიექტში, ფრაქტალის გეომეტრიის ბუნების გასაგებად. მრავალფეროვანი ფერები და ფრაქტალი მუსიკა ნამდვილად ღრმა კვალს დატოვებს სტუდენტების გონებაში.

ათასობით პუბლიკაცია და უზარმაზარი ინტერნეტ რესურსი ეთმობა ფრაქტალებს, თუმცა კომპიუტერული მეცნიერებისგან შორს მყოფი მრავალი სპეციალისტისთვის ეს ტერმინი სრულიად ახალი ჩანს. ფრაქტალებმა, როგორც ცოდნის სხვადასხვა დარგის სპეციალისტების ინტერესის ობიექტებმა, სათანადო ადგილი უნდა დაიკავონ კომპიუტერული მეცნიერების კურსში.

მაგალითები

SIERPINSKI GRID

ეს არის ერთ-ერთი ფრაქტალი, რომლითაც მანდელბროტმა ექსპერიმენტი ჩაატარა ფრაქტალის ზომებისა და გამეორებების კონცეფციების შემუშავებისას. სამკუთხედები, რომლებიც წარმოიქმნება დიდი სამკუთხედის შუა წერტილების შეერთებით, იჭრება მთავარი სამკუთხედიდან, რათა შეიქმნას სამკუთხედი, მეტი ხვრელებით. ამ შემთხვევაში, ინიციატორი არის დიდი სამკუთხედი და შაბლონი არის ოპერაცია უფრო დიდის მსგავსი სამკუთხედების ამოჭრისთვის. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ სამკუთხედის 3D ვერსია ჩვეულებრივი ტეტრაედრის გამოყენებით და პატარა ტეტრაედრების ამოჭრით. ასეთი ფრაქტალის განზომილებაა ln3/ln2 = 1.584962501.

მისაღებად სიერპინსკის ხალიჩააიღეთ კვადრატი, გაყავით ცხრა კვადრატად და ამოჭერით შუა. იგივეს გავაკეთებთ დანარჩენზე, უფრო პატარა კვადრატებზე. ბოლოს იქმნება ბრტყელი ფრაქტალის ბადე, რომელსაც არ აქვს ფართობი, მაგრამ უსასრულო კავშირებით. სიერპინსკის ღრუბელი თავის სივრცულ ფორმაში გარდაიქმნება ფორმათა სისტემად, რომელშიც ყოველი გამტარი ელემენტი მუდმივად იცვლება საკუთარი სახეობით. ეს სტრუქტურა ძალიან ჰგავს ძვლოვანი ქსოვილის მონაკვეთს. ოდესღაც ასეთი განმეორებადი სტრუქტურები გახდება სამშენებლო სტრუქტურების ელემენტი. მათი სტატიკა და დინამიკა, მანდელბროტის აზრით, იმსახურებს მჭიდრო შესწავლას.

KOCH მრუდი

კოხის მრუდი ერთ-ერთი ყველაზე ტიპიური დეტერმინისტული ფრაქტალია. ის XIX საუკუნეში გამოიგონა გერმანელმა მათემატიკოსმა ჰელგე ფონ კოხმა, რომელიც გეორგ კონტორისა და კარლ ვეიერშტრასეს ნაშრომების შესწავლისას წააწყდა უჩვეულო ქცევის უცნაური მრუდების აღწერას. ინიციატორი - პირდაპირი ხაზი. გენერატორი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდები უდრის უფრო დიდი სეგმენტის სიგრძის მესამედს. ეს სამკუთხედები უსასრულოდ ემატება თითოეული სეგმენტის შუაში. თავის კვლევაში მანდელბროტმა ბევრი ექსპერიმენტი ჩაატარა კოხის მოსახვევებზე და მიიღო ფიგურები, როგორიცაა კოხის კუნძულები, კოხის ჯვრები, კოხის ფიფქები და კოხის მრუდის სამგანზომილებიანი წარმოდგენებიც კი, ტეტრაედრის გამოყენებით და მის თითოეულ სახეზე პატარა ტეტრაედრების დამატებით. კოხის მრუდს აქვს განზომილება ln4/ln3 = 1.261859507.

ფრაქტალი მანდელბროტი

ეს არ არის მანდელბროტის ნაკრები, რომელსაც საკმაოდ ხშირად ხედავთ. მანდელბროტის ნაკრები ეფუძნება არაწრფივ განტოლებებს და წარმოადგენს რთულ ფრაქტალს. ეს ასევე კოხის მრუდის ვარიანტია, მიუხედავად იმისა, რომ ეს ობიექტი მას არ ჰგავს. ინიციატორი და გენერატორი ასევე განსხვავდება კოხის მრუდის პრინციპზე დაფუძნებული ფრაქტალების შესაქმნელად, მაგრამ იდეა იგივე რჩება. მრუდის სეგმენტზე ტოლგვერდა სამკუთხედების მიმაგრების ნაცვლად, კვადრატები მიმაგრებულია კვადრატზე. იმის გამო, რომ ეს ფრაქტალი იკავებს გამოყოფილი სივრცის ზუსტად ნახევარს ყოველ გამეორებაზე, მას აქვს მარტივი ფრაქტალის განზომილება 3/2 = 1,5.

დარერის პენტაგონი

ფრაქტალი ჰგავს ხუთკუთხედების თაიგულს, რომლებიც ერთმანეთთან არის შეკუმშული. სინამდვილეში, იგი წარმოიქმნება ხუთკუთხედის, როგორც ინიციატორის და ტოლფერდა სამკუთხედების გამოყენებით, ყველაზე დიდი გვერდის თანაფარდობა უმცირესთან, რომელშიც ზუსტად ტოლია ეგრეთ წოდებული ოქროს თანაფარდობა (1.618033989 ან 1/(2cos72)), როგორც გენერატორი. . ეს სამკუთხედები ამოჭრილია თითოეული ხუთკუთხედის შუიდან, რის შედეგადაც მიიღება ფორმა, რომელიც ჰგავს 5 პატარა ხუთკუთხედს, რომლებიც ერთ დიდზეა მიბმული.

ამ ფრაქტალის ვარიანტის მიღება შესაძლებელია ექვსკუთხედის ინიციატორის გამოყენებით. ამ ფრაქტალს დავითის ვარსკვლავს უწოდებენ და საკმაოდ ჰგავს კოხის ფიფქის ექვსკუთხა ვერსიას. დარერის ხუთკუთხედის ფრაქტალური განზომილებაა ln6/ln(1+g), სადაც g არის სამკუთხედის დიდი გვერდის სიგრძის თანაფარდობა პატარა გვერდის სიგრძესთან. ამ შემთხვევაში, g არის ოქროს თანაფარდობა, ამიტომ ფრაქტალური განზომილება არის დაახლოებით 1.86171596. დავითის ვარსკვლავის ფრაქტალური განზომილებაა ln6/ln3 ან 1.630929754.

რთული ფრაქტალები

სინამდვილეში, თუ თქვენ გაადიდებთ რაიმე რთული ფრაქტალის მცირე არეალს და შემდეგ იგივეს გააკეთებთ ამ ტერიტორიის მცირე ფართობზე, ეს ორი გადიდება მნიშვნელოვნად განსხვავდება ერთმანეთისგან. ეს ორი სურათი ძალიან ჰგავს დეტალებს, მაგრამ ისინი არ იქნება სრულიად იდენტური.

ნახ 1. მანდელბროტის ნაკრების მიახლოება

შეადარეთ, მაგალითად, აქ ნაჩვენები მანდელბროტის ნაკრების სურათები, რომელთაგან ერთი მიიღეს მეორის ზოგიერთი ფართობის გაზრდით. როგორც ხედავთ, ისინი აბსოლუტურად არ არიან იდენტური, თუმცა ორივეზე ვხედავთ შავ წრეს, საიდანაც ცეცხლოვანი საცეცები სხვადასხვა მიმართულებით მიდიან. ეს ელემენტები განუსაზღვრელი ვადით მეორდება მანდელბროტის ნაკრებში კლებადობით.

დეტერმინისტული ფრაქტალები წრფივია, ხოლო რთული ფრაქტალები არა. როგორც არაწრფივი, ეს ფრაქტალები წარმოიქმნება იმით, რასაც მანდელბროტმა უწოდა არაწრფივი ალგებრული განტოლებები. კარგი მაგალითია პროცესი Zn+1=ZnІ + C, რომელიც არის განტოლება, რომელიც გამოიყენება მეორე ხარისხის მანდელბროტის და ჯულიას სიმრავლეების ასაგებად. ამ მათემატიკური განტოლებების ამოხსნა მოიცავს რთულ და წარმოსახვით რიცხვებს. როდესაც განტოლება გრაფიკულად არის ინტერპრეტირებული კომპლექსურ სიბრტყეში, შედეგი არის უცნაური ფიგურა, რომელშიც სწორი ხაზები იქცევა მოსახვევებად, თვითმსგავსების ეფექტები ჩნდება სხვადასხვა მასშტაბის დონეზე, თუმცა არა დეფორმაციების გარეშე. ამავდროულად, მთლიანი სურათი არაპროგნოზირებადი და ძალიან ქაოტურია.

როგორც სურათების დათვალიერებისას ხედავთ, რთული ფრაქტალები მართლაც ძალიან რთულია და შეუძლებელია კომპიუტერის დახმარების გარეშე შექმნა. ფერადი შედეგების მისაღებად ამ კომპიუტერს უნდა ჰქონდეს ძლიერი მათემატიკური კოპროცესორი და მაღალი გარჩევადობის მონიტორი. დეტერმინისტული ფრაქტალებისგან განსხვავებით, რთული ფრაქტალები არ გამოითვლება 5-10 გამეორებით. კომპიუტერის ეკრანზე თითქმის ყველა წერტილი ცალკე ფრაქტალს ჰგავს. მათემატიკური დამუშავების დროს, თითოეული წერტილი განიხილება, როგორც ცალკე ნიმუში. თითოეული წერტილი შეესაბამება გარკვეულ მნიშვნელობას. განტოლება ჩაშენებულია თითოეული წერტილისთვის და შესრულებულია, მაგალითად, 1000 გამეორება. სახლის კომპიუტერებისთვის მისაღებ დროის ინტერვალში შედარებით დამახინჯებული გამოსახულების მისაღებად, შესაძლებელია ერთი წერტილისთვის 250 გამეორება.

ფრაქტალების უმეტესობა, რომლებსაც დღეს ვხედავთ, ლამაზად არის შეღებილი. შესაძლოა, ფრაქტალმა გამოსახულებებმა ასეთი დიდი ესთეტიკური ღირებულება სწორედ მათი ფერის სქემების გამო შეიძინეს. განტოლების გამოთვლის შემდეგ კომპიუტერი აანალიზებს შედეგებს. თუ შედეგები სტაბილური რჩება, ან მერყეობს გარკვეული მნიშვნელობის გარშემო, წერტილი ჩვეულებრივ შავდება. თუ მნიშვნელობა ამა თუ იმ საფეხურზე მიდრეკილია უსასრულობისკენ, წერტილი შეღებილია სხვა ფერში, შესაძლოა ლურჯი ან წითელი. ამ პროცესის დროს კომპიუტერი ანიჭებს ფერებს მოძრაობის ყველა სიჩქარეს.

ჩვეულებრივ, სწრაფად მოძრავ წერტილებს წითლად ღებავენ, ნელა კი ყვითლად და ა.შ. მუქი წერტილები ალბათ ყველაზე სტაბილურია.

რთული ფრაქტალები განსხვავდებიან დეტერმინისტული ფრაქტალებისგან იმით, რომ ისინი უსასრულოდ რთულია, მაგრამ მათი წარმოქმნა შესაძლებელია ძალიან მარტივი ფორმულით. დეტერმინისტულ ფრაქტალებს არ სჭირდებათ ფორმულები ან განტოლებები. უბრალოდ აიღეთ სახატავი ქაღალდი და შეგიძლიათ ააწყოთ სიერპინსკის საცერი 3 ან 4 გამეორებამდე ყოველგვარი სირთულის გარეშე. სცადეთ ამის გაკეთება ბევრ ჯულიასთან ერთად! ინგლისის სანაპირო ზოლის სიგრძის გაზომვა უფრო ადვილია!

MANDERBROT კომპლექტი

ნახ 2. მანდელბროტის ნაკრები

მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრები ალბათ ორი ყველაზე გავრცელებულია რთულ ფრაქტალებს შორის. მათი ნახვა შეგიძლიათ ბევრ სამეცნიერო ჟურნალში, წიგნების ყდებში, ღია ბარათებსა და კომპიუტერის ეკრანის დამზოგში. მანდელბროტის ნაკრები, რომელიც ააშენა ბენუა მანდელბროტმა, ალბათ პირველი ასოციაციაა, რომელიც ადამიანებს უჩნდებათ სიტყვა ფრაქტალის მოსმენისას. ეს ფრაქტალი, რომელიც წააგავს ბარათს მბზინავი ხის და მასზე მიმაგრებული წრის უბნებით, წარმოიქმნება მარტივი ფორმულით Zn+1=Zna+C, სადაც Z და C რთული რიცხვებია, ხოლო a დადებითი რიცხვია.

ყველაზე ხშირად ნანახი მანდელბროტის ნაკრები არის მე-2 ხარისხის მანდელბროტის ნაკრები, ანუ a=2. იმ ფაქტმა, რომ მანდელბროტის სიმრავლე არის არა მხოლოდ Zn+1=ZnІ+C, არამედ ფრაქტალი, რომლის ექსპონატი ფორმულაში შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, შეცდომაში შეჰყავს ბევრი ადამიანი. ამ გვერდზე თქვენ ხედავთ მანდელბროტის ნაკრების მაგალითს a მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.
სურათი 3. ბუშტების გამოჩენა a=3.5-ზე

პროცესი Z=Z*tg(Z+C) ასევე პოპულარულია. ტანგენტის ფუნქციის ჩართვის წყალობით მიიღება მანდელბროტის ნაკრები, რომელიც გარშემორტყმულია ვაშლის მსგავსი ფართობით. კოსინუსური ფუნქციის გამოყენებისას მიიღება ჰაერის ბუშტების ეფექტები. მოკლედ, არსებობს უსასრულო რაოდენობის გზა Mandelbrot-ის ნაკრების შესწორების მიზნით, რათა შეიქმნას სხვადასხვა ლამაზი სურათები.

მრავალჯერადი ჯულია

გასაკვირია, რომ ჯულიას ნაკრები იქმნება იმავე ფორმულის მიხედვით, როგორც მანდელბროტის ნაკრები. ჯულიას ნაკრები გამოიგონა ფრანგმა მათემატიკოსმა გასტონ ჯულიამ, რომლის სახელიც ეწოდა კომპლექტს. პირველი კითხვა, რომელიც ჩნდება მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრების ვიზუალური გაცნობის შემდეგ, არის "თუ ორივე ფრაქტალი ერთი და იგივე ფორმულით არის გენერირებული, რატომ არიან ისინი ასე განსხვავებული?" ჯერ გადახედეთ ჯულიას ნაკრების სურათებს. უცნაურად საკმარისია, რომ არსებობს ჯულიას ნაკრების სხვადასხვა სახეობა. ფრაქტალის დახატვისას სხვადასხვა საწყისი წერტილების გამოყენებით (იტერაციის პროცესის დასაწყებად) წარმოიქმნება სხვადასხვა გამოსახულება. ეს ეხება მხოლოდ ჯულიას კომპლექტს.

ნახ 4. იულია კომპლექტი

მიუხედავად იმისა, რომ სურათზე არ ჩანს, მანდელბროტის ფრაქტალი სინამდვილეში არის ჯულიას ფრაქტალების თაიგული, რომლებიც ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. მანდელბროტის სიმრავლის თითოეული წერტილი (ან კოორდინატი) შეესაბამება ჯულიას ფრაქტალს. ჯულიას კომპლექტების გენერირება შესაძლებელია ამ წერტილების გამოყენებით, როგორც საწყისი მნიშვნელობები განტოლებაში Z=ZI+C. მაგრამ ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თუ მანდელბროტის ფრაქტალზე აირჩევთ წერტილს და გაზრდით, შეგიძლიათ მიიღოთ იულია ფრაქტალი. ეს ორი წერტილი იდენტურია, მაგრამ მხოლოდ მათემატიკური გაგებით. თუ ამ წერტილს ავიღებთ და ამ ფორმულის მიხედვით გამოვთვლით, შეგვიძლია მივიღოთ ჯულიას ფრაქტალი, რომელიც შეესაბამება მანდელბროტის ფრაქტალის გარკვეულ წერტილს.

ფრაქტალი

ფრაქტალი (ლათ. ფრაქტუსი- დამსხვრეული, გატეხილი, გატეხილი) - გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება, ანუ შედგება რამდენიმე ნაწილისაგან, რომელთაგან თითოეული მსგავსია მთელი ფიგურის მთლიანობაში. მათემატიკაში ფრაქტალები გაგებულია, როგორც სიმრავლეები. წერტილები ევკლიდეს სივრცეში, რომლებსაც აქვთ წილადური მეტრული განზომილება (მინკოვსკის ან ჰაუსდორფის გაგებით), ან მეტრული განზომილება, გარდა ტოპოლოგიური. ფრაქტაზმი არის დამოუკიდებელი ზუსტი მეცნიერება ფრაქტალების შესწავლისა და შედგენის შესახებ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრაქტალები არის გეომეტრიული ობიექტები წილადური განზომილებით. მაგალითად, ხაზის განზომილება არის 1, ფართობი არის 2, მოცულობა არის 3. ფრაქტალისთვის განზომილების მნიშვნელობა შეიძლება იყოს 1-დან 2-მდე ან 2-დან 3-მდე. მაგალითად, დაქუცმაცებული ქაღალდის ფრაქტალური განზომილება. ბურთი არის დაახლოებით 2.5. მათემატიკაში არსებობს სპეციალური რთული ფორმულა ფრაქტალების განზომილების გამოსათვლელად. ტრაქეალური მილების განშტოებები, ფოთლები ხეებზე, მკლავის ვენები, მდინარე ფრაქტალებია. მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრაქტალი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომლის გარკვეული ნაწილი მეორდება ისევ და ისევ, იცვლება ზომაში - ეს არის თვითმსგავსების პრინციპი. ფრაქტალები საკუთარ თავს ჰგვანან, ყველა დონეზე (ანუ ნებისმიერი მასშტაბით) მსგავსია საკუთარ თავს. არსებობს მრავალი განსხვავებული ტიპის ფრაქტალები. პრინციპში, შეიძლება ითქვას, რომ ყველაფერი, რაც რეალურ სამყაროში არსებობს, არის ფრაქტალი, იქნება ეს ღრუბელი თუ ჟანგბადის მოლეკულა.

სიტყვა „ქაოსი“ რაღაც არაპროგნოზირებადს მიანიშნებს, მაგრამ სინამდვილეში ქაოსი საკმაოდ მოწესრიგებულია და გარკვეულ კანონებს ემორჩილება. ქაოსისა და ფრაქტალების შესწავლის მიზანია ისეთი შაბლონების პროგნოზირება, რომლებიც, ერთი შეხედვით, შეიძლება არაპროგნოზირებადი და სრულიად ქაოტური ჩანდეს.

ცოდნის ამ სფეროში პიონერი იყო ფრანგულ-ამერიკელი მათემატიკოსი, პროფესორი ბენუა ბ. მანდელბროტი. 1960-იანი წლების შუა ხანებში მან შეიმუშავა ფრაქტალური გეომეტრია, რომლის დანიშნულება იყო გატეხილი, დანაოჭებული და ბუნდოვანი ფორმების ანალიზი. მანდელბროტის ნაკრები (სურათზე ნაჩვენები) არის პირველი ასოციაცია, რომელიც ადამიანს უჩნდება სიტყვა „ფრაქტალის“ მოსმენისას. სხვათა შორის, მანდელბროტმა დაადგინა, რომ ინგლისის სანაპირო ზოლის ფრაქტალური განზომილება არის 1,25.

ფრაქტალები სულ უფრო ხშირად გამოიყენება მეცნიერებაში. ისინი უფრო კარგად აღწერენ რეალურ სამყაროს, ვიდრე ტრადიციული ფიზიკა ან მათემატიკა. ბრაუნის მოძრაობა არის, მაგალითად, წყალში შეჩერებული მტვრის ნაწილაკების შემთხვევითი და ქაოტური მოძრაობა. ამ ტიპის მოძრაობა, ალბათ, ფრაქტალის გეომეტრიის ყველაზე პრაქტიკული ასპექტია. შემთხვევითი ბრაუნის მოძრაობას აქვს სიხშირის პასუხი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფენომენების პროგნოზირებისთვის, რომლებიც მოიცავს დიდი რაოდენობით მონაცემებსა და სტატისტიკას. მაგალითად, მანდელბროტმა იწინასწარმეტყველა ცვლილებები მატყლის ფასში ბრაუნის მოძრაობის გამოყენებით.

სიტყვა "ფრაქტალი" შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ როგორც მათემატიკური ტერმინი. ფრაქტალს პრესაში და პოპულარულ სამეცნიერო ლიტერატურაში შეიძლება ეწოდოს ფიგურები, რომლებსაც აქვთ რომელიმე შემდეგი თვისება:

მას აქვს არატრივიალური სტრუქტურა ყველა მასშტაბით. ეს არის განსხვავება ჩვეულებრივი ფიგურებისგან (როგორიცაა წრე, ელიფსი, გლუვი ფუნქციის გრაფიკი): თუ განვიხილავთ ჩვეულებრივი ფიგურის პატარა ფრაგმენტს ძალიან დიდ მასშტაბში, ის სწორი ხაზის ფრაგმენტს ჰგავს. . ფრაქტალისთვის, მასშტაბირება არ იწვევს სტრუქტურის გამარტივებას, ყველა მასშტაბით ჩვენ ვნახავთ თანაბრად რთულ სურათს.

ეს არის საკუთარი თავის მსგავსი ან დაახლოებით საკუთარი თავის მსგავსი.

მას აქვს წილადი მეტრული განზომილება ან მეტრული განზომილება, რომელიც აღემატება ტოპოლოგიურს.

ფრაქტალების ყველაზე სასარგებლო გამოყენება გამოთვლებში არის ფრაქტალური მონაცემების შეკუმშვა. ამავდროულად, ნახატები შეკუმშულია ბევრად უკეთ, ვიდრე ჩვეულებრივი მეთოდებით - 600:1-მდე. ფრაქტალური შეკუმშვის კიდევ ერთი უპირატესობა ის არის, რომ მასშტაბირებისას არ არის პიქსელაციის ეფექტი, რომელიც მკვეთრად აუარესებს სურათს. უფრო მეტიც, გადიდების შემდეგ ფრაქტალურად შეკუმშული სურათი ხშირად უფრო კარგად გამოიყურება, ვიდრე ადრე. კომპიუტერულმა მეცნიერებმა ასევე იციან, რომ უსასრულო სირთულის და სილამაზის ფრაქტალების წარმოქმნა შესაძლებელია მარტივი ფორმულებით. კინოინდუსტრია ფართოდ იყენებს ფრაქტალური გრაფიკის ტექნოლოგიას რეალისტური ლანდშაფტის ელემენტების შესაქმნელად (ღრუბლები, კლდეები და ჩრდილები).

ნაკადებში ტურბულენტობის შესწავლა ძალიან კარგად ეგუება ფრაქტალებს. ეს საშუალებას გაძლევთ უკეთ გაიგოთ რთული ნაკადების დინამიკა. ალი ასევე შეიძლება მოდელირებული იყოს ფრაქტალების გამოყენებით. ფოროვანი მასალები კარგად არის წარმოდგენილი ფრაქტალური ფორმით, იმის გამო, რომ მათ აქვთ ძალიან რთული გეომეტრია. დისტანციებზე მონაცემების გადასაცემად გამოიყენება ფრაქტალის ფორმის ანტენები, რაც მნიშვნელოვნად ამცირებს მათ ზომასა და წონას. ფრაქტალები გამოიყენება ზედაპირების გამრუდების აღსაწერად. არათანაბარი ზედაპირი ხასიათდება ორი განსხვავებული ფრაქტალის კომბინაციით.

ბუნებაში ბევრ ობიექტს აქვს ფრაქტალური თვისებები, როგორიცაა სანაპიროები, ღრუბლები, ხეების გვირგვინები, ფიფქები, სისხლის მიმოქცევის სისტემა და ადამიანის ან ცხოველების ალვეოლარული სისტემა.

ფრაქტალები, განსაკუთრებით თვითმფრინავში, პოპულარულია სილამაზისა და კომპიუტერთან აგების სიმარტივის კომბინაციით.

უჩვეულო თვისებების მქონე თვითმსგავსი კომპლექტების პირველი მაგალითები გამოჩნდა მე-19 საუკუნეში (მაგალითად, ბოლზანოს ფუნქცია, ვეიერშტრასის ფუნქცია, კანტორის ნაკრები). ტერმინი „ფრაქტალი“ შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს და ფართო პოპულარობა მოიპოვა მისი წიგნის „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“ 1977 წელს გამოსვლით.

მარცხნივ ნახატზე ნაჩვენებია Darer Pentagon-ის ფრაქტალი, როგორც მარტივი მაგალითი, რომელიც ჰგავს ერთად შეკუმშულ ხუთკუთხედებს. სინამდვილეში, იგი წარმოიქმნება ინიციატორის სახით ხუთკუთხედის და ტოლფერდა სამკუთხედების გამოყენებით, ყველაზე დიდი გვერდის თანაფარდობა უმცირესთან, რომელშიც ზუსტად ტოლია ეგრეთ წოდებული ოქროს თანაფარდობა (1.618033989 ან 1/(2cos72°) როგორც გენერატორი. ეს სამკუთხედები ამოჭრილია თითოეული ხუთკუთხედის შუიდან, რის შედეგადაც მიიღება ფორმა, რომელიც ჰგავს 5 პატარა ხუთკუთხედს, რომლებიც ერთ დიდზეა მიბმული.

ქაოსის თეორია ამბობს, რომ რთული არაწრფივი სისტემები მემკვიდრეობით არაპროგნოზირებადია, მაგრამ ამავე დროს ის ამტკიცებს, რომ ასეთი არაპროგნოზირებადი სისტემების გამოხატვის ხერხი მართალი აღმოჩნდება არა ზუსტ თანასწორობებში, არამედ სისტემის ქცევის წარმოდგენაში - უცნაური მიმზიდველების გრაფიკებში. ჰგავს ფრაქტალებს. ამრიგად, ქაოსის თეორია, რომელსაც ბევრი მიიჩნევს არაპროგნოზირებადობად, აღმოჩნდება მეცნიერება პროგნოზირებადობის შესახებ ყველაზე არასტაბილურ სისტემებშიც კი. დინამიური სისტემების დოქტრინა გვიჩვენებს, რომ მარტივ განტოლებებს შეუძლია ისეთი ქაოტური ქცევის გამომუშავება, რომელშიც სისტემა არასოდეს უბრუნდება სტაბილურ მდგომარეობას და არ ჩნდება კანონზომიერება ამავე დროს. ხშირად ასეთი სისტემები საკმაოდ ნორმალურად იქცევიან ძირითადი პარამეტრის გარკვეულ მნიშვნელობამდე, შემდეგ განიცდიან გადასვლას, რომელშიც არის ორი შესაძლებლობა შემდგომი განვითარებისთვის, შემდეგ ოთხი და, ბოლოს, შესაძლებლობების ქაოტური ნაკრები.

ტექნიკურ ობიექტებში მიმდინარე პროცესების სქემებს აქვთ მკაფიოდ განსაზღვრული ფრაქტალური სტრუქტურა. მინიმალური ტექნიკური სისტემის (TS) სტრუქტურა გულისხმობს TS-ის შიგნით მიმდინარე პროცესებს ორი ტიპის - ძირითადი და დამხმარე, და ეს დაყოფა პირობითი და ფარდობითია. ნებისმიერი პროცესი შეიძლება იყოს მთავარი მხარდამჭერებთან მიმართებაში და ნებისმიერი დამხმარე პროცესი შეიძლება ჩაითვალოს მთავარად „მათ“ დამხმარე პროცესებთან მიმართებაში. დიაგრამაზე წრეები მიუთითებს იმ ფიზიკურ ეფექტებზე, რომლებიც უზრუნველყოფენ იმ პროცესების დინებას, რისთვისაც არ არის საჭირო სპეციალურად "საკუთარი" TS-ის შექმნა. ეს პროცესები არის ნივთიერებების, ველების, ნივთიერებებისა და ველების ურთიერთქმედების შედეგი. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, ფიზიკური ეფექტი არის სატრანსპორტო საშუალება, რომლის პრინციპზეც ჩვენ ვერ ვახდენთ გავლენას და არ გვინდა ან არ გვაქვს შესაძლებლობა ჩაერიოთ მის სტრუქტურაში.

დიაგრამაში ნაჩვენები ძირითადი პროცესის ნაკადი უზრუნველყოფილია სამი დამხმარე პროცესის არსებობით, რომლებიც მთავარია TS-სთვის, რომელიც მათ წარმოქმნის. სამართლიანობისთვის აღვნიშნავთ, რომ თუნდაც მინიმალური TS-ის ფუნქციონირებისთვის სამი პროცესი აშკარად არ არის საკმარისი, ე.ი. სქემა ძალიან, ძალიან გადაჭარბებულია.

ყველაფერი არ არის ისეთი მარტივი, როგორც ნაჩვენებია დიაგრამაში. სასარგებლო (ადამიანისთვის საჭირო) პროცესი არ შეიძლება შესრულდეს 100%-იანი ეფექტურობით. გაფანტული ენერგია იხარჯება მავნე პროცესების შექმნაზე - გათბობა, ვიბრაცია და ა.შ. შედეგად, სასარგებლო პროცესის პარალელურად, წარმოიქმნება მავნე. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი „ცუდი“ პროცესის „კარგით“ ჩანაცვლება, ამიტომ ახალი პროცესების ორგანიზება უნდა მოხდეს სისტემისთვის საზიანო შედეგების კომპენსაციისთვის. ტიპიური მაგალითია ხახუნის წინააღმდეგ ბრძოლის აუცილებლობა, რაც აიძულებს ადამიანს მოაწყოს შეზეთვის გენიალური სქემები, გამოიყენოს ძვირადღირებული ხახუნის საწინააღმდეგო მასალები, ან დახარჯოს დრო კომპონენტებისა და ნაწილების შეზეთვაზე ან მათ პერიოდულად შეცვლაზე.

ცვალებადი გარემოს გარდაუვალი გავლენის არსებობასთან დაკავშირებით, შესაძლოა საჭირო გახდეს სასარგებლო პროცესის კონტროლი. მართვა შეიძლება განხორციელდეს როგორც ავტომატური მოწყობილობების დახმარებით, ასევე უშუალოდ პირის მიერ. პროცესის დიაგრამა რეალურად არის სპეციალური ბრძანებების ნაკრები, ე.ი. ალგორითმი. თითოეული ბრძანების არსი (აღწერილობა) არის ერთი სასარგებლო პროცესის, მას თანმხლები მავნე პროცესების და საჭირო კონტროლის პროცესების ერთობლიობა. ასეთ ალგორითმში დამხმარე პროცესების ნაკრები არის ჩვეულებრივი ქვეპროგრამა - და აქ ასევე ვპოულობთ ფრაქტალს. რ.კოლერის მეთოდი, რომელიც შეიქმნა მეოთხედი საუკუნის წინ, შესაძლებელს ხდის სისტემების შექმნას მხოლოდ 12 წყვილი ფუნქციის (პროცესების) საკმაოდ შეზღუდული კომპლექტით.

მათემატიკაში უჩვეულო თვისებების მქონე თვითმსგავსი სიმრავლეები

მე-19 საუკუნის ბოლოდან მათემატიკაში გამოჩნდა პათოლოგიური თვისებების მქონე თვითმსგავსი ობიექტების მაგალითები კლასიკური ანალიზის თვალსაზრისით. ეს მოიცავს შემდეგს:

კანტორის ნაკრები არის არსად მკვრივი, უთვალავი სრულყოფილი ნაკრები. პროცედურის შეცვლით, ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ დადებითი სიგრძის არსად მკვრივი ნაკრები.

სიერპინსკის სამკუთხედი („სუფრის ტილო“) და სიერპინსკის ხალიჩა თვითმფრინავზე დადგმული კანტორის ანალოგებია.

მენგერის ღრუბელი - კანტორის ანალოგი სამგანზომილებიან სივრცეში;

ვეიერშტრასის და ვან დერ ვაერდენის მაგალითები არსად დიფერენცირებადი უწყვეტი ფუნქციის შესახებ.

კოხის მრუდი - უსასრულო სიგრძის თვითგადაკვეთის უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არ აქვს ტანგენსი არცერთ წერტილში;

პეანოს მრუდი არის უწყვეტი მრუდი, რომელიც გადის კვადრატის ყველა წერტილში.

ბრაუნის ნაწილაკების ტრაექტორია ასევე არსად არის დიფერენცირებადი ალბათობით 1. მისი ჰაუსდორფის განზომილება არის ორი

ფრაქტალის მრუდების მიღების რეკურსიული პროცედურა

კოხის მრუდის აგება

არსებობს მარტივი რეკურსიული პროცედურა სიბრტყეში ფრაქტალის მოსახვევების მისაღებად. ჩვენ განვსაზღვრავთ თვითნებურ გაწყვეტილ ხაზს ბმულების სასრული რაოდენობით, რომელსაც გენერატორი ეწოდება. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით მასში არსებულ თითოეულ სეგმენტს გენერატორით (უფრო ზუსტად, გენერატორის მსგავსი გატეხილი ხაზი). შედეგად გატეხილი ხაზი, ჩვენ კვლავ ვცვლით თითოეულ სეგმენტს გენერატორით. ვაგრძელებთ უსასრულობას, ლიმიტში ვიღებთ ფრაქტალ მრუდს. ფიგურა მარჯვნივ გვიჩვენებს ამ პროცედურის პირველ ოთხ საფეხურს კოხის მრუდისთვის.

ასეთი მოსახვევების მაგალითებია:

დრაკონის მრუდი,

კოხის მრუდი (კოხის ფიფქია),

ლევის მრუდი,

მინკოვსკის მრუდი,

ჰილბერტის მრუდი,

გატეხილი (მრუდი) დრაკონი (ფრაქტალ ჰარტერ-ჰეტევეი),

პეანოს მრუდი.

მსგავსი პროცედურის გამოყენებით მიიღება პითაგორას ხე.

ფრაქტალები, როგორც შეკუმშვის რუკების ფიქსირებული წერტილები

თვითმსგავსების თვისება შეიძლება მათემატიკურად მკაცრად გამოიხატოს შემდეგნაირად. მოდით იყოს თვითმფრინავის შეკუმშვის რუქები. განვიხილოთ შემდეგი რუკა სიბრტყის ყველა კომპაქტური (დახურული და შეზღუდული) ქვესიმრავლეების სიმრავლეზე:

შეიძლება აჩვენოს, რომ რუქა არის შეკუმშვის რუქა კომპაქტური სიმრავლეების სიმრავლეზე ჰაუსდორფის მეტრიკით. მაშასადამე, ბანახის თეორემით, ამ რუქას აქვს უნიკალური ფიქსირებული წერტილი. ეს ფიქსირებული წერტილი იქნება ჩვენი ფრაქტალი.

ზემოთ აღწერილი ფრაქტალის მრუდების მიღების რეკურსიული პროცედურა ამ კონსტრუქციის განსაკუთრებული შემთხვევაა. მასში ყველა რუქა არის მსგავსება და არის გენერატორის ბმულების რაოდენობა.

სიერპინსკის სამკუთხედისთვის , , არის ჰომოთეტიკები რეგულარული სამკუთხედის წვეროებზე ცენტრებით და კოეფიციენტით 1/2. ადვილი მისახვედრია, რომ სიერპინსკის სამკუთხედი თავისთავად გარდაიქმნება რუკაზე.

იმ შემთხვევაში, როდესაც რუკები არის მსგავსების გარდაქმნები კოეფიციენტებით, ფრაქტალის განზომილება (გარკვეული დამატებითი ტექნიკური პირობებით) შეიძლება გამოითვალოს, როგორც განტოლების ამონახსნი. ასე რომ, სიერპინსკის სამკუთხედისთვის ვიღებთ .

იგივე ბანახის თეორემის მიხედვით, ნებისმიერი კომპაქტური სიმრავლიდან დაწყებული და მასზე რუკების გამეორებების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ კომპაქტური სიმრავლეების თანმიმდევრობას, რომლებიც კონვერგირდება (ჰაუსდორფის მეტრიკის გაგებით) ჩვენს ფრაქტალთან.

ფრაქტალები კომპლექსურ დინამიკაში

ჯულიას ნაკრები

ჯულიას კიდევ ერთი ნაკრები

ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი დინამიკური სისტემების შესწავლისას. ყველაზე შესწავლილი შემთხვევაა, როდესაც დინამიური სისტემა განისაზღვრება სიბრტყეზე რთული ცვლადის პოლინომის ან ჰოლომორფული ფუნქციის გამეორებით. პირველი კვლევები ამ სფეროში თარიღდება მე-20 საუკუნის დასაწყისით და დაკავშირებულია ფატუსა და ჯულიას სახელებთან.

დაე იყოს ფ(ზ) - მრავალწევრი, ზ 0 რთული რიცხვია. განვიხილოთ შემდეგი თანმიმდევრობა: ზ 0 , ზ 1 =ფ(ზ 0), ზ 2 =ფ(ფ(ზ 0)) = ფ(ზ 1),ზ 3 =ფ(ფ(ფ(ზ 0)))=ფ(ზ 2), …

ჩვენ გვაინტერესებს ამ თანმიმდევრობის ქცევა, როგორც ჩვენ ვცდილობთ ნუსასრულობამდე. ამ თანმიმდევრობას შეუძლია:

სწრაფვა უსასრულობისკენ

სწრაფვა საბოლოო

აჩვენეთ ციკლური ქცევა ლიმიტში, მაგალითად: ზ 1 , ზ 2 , ზ 3 , ზ 1 , ზ 2 , ზ 3 , …

მოიქცეს ქაოტურად, ანუ არ გამოავლინოს აღნიშნული სამი სახის ქცევა.

ღირებულებების ნაკრები ზ 0 , რომლისთვისაც თანმიმდევრობა ავლენს ქცევის ერთ კონკრეტულ ტიპს, ისევე როგორც სხვადასხვა ტიპებს შორის ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლეს, ხშირად აქვთ ფრაქტალური თვისებები.

ამრიგად, ჯულიას სიმრავლე არის მრავალწევრის ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლე ფ(ზ)=ზ 2 +გ(ან სხვა მსგავსი ფუნქცია), ანუ ეს მნიშვნელობები ზ 0 , რისთვისაც მიმდევრობის ქცევა ( ზ ნ) შეიძლება მკვეთრად შეიცვალოს თვითნებურად მცირე ცვლილებებით ზ 0 .

ფრაქტალის სიმრავლეების მიღების კიდევ ერთი ვარიანტია პარამეტრის შეყვანა მრავალწევრში ფ(ზ) და იმ პარამეტრის მნიშვნელობების სიმრავლის გათვალისწინებით, რომლებისთვისაც არის თანმიმდევრობა ( ზ ნ) აჩვენებს გარკვეულ ქცევას ფიქსირებულისთვის ზ 0 . ამრიგად, მანდელბროტის ნაკრები არის იმ ყველაფრის ნაკრები, რისთვისაც ( ზ ნ) ამისთვის ფ(ზ)=ზ 2 +გდა ზ 0 არ მიდის უსასრულობამდე.

ამ ტიპის კიდევ ერთი ცნობილი მაგალითია ნიუტონის აუზები.

პოპულარულია კომპლექსური დინამიკის საფუძველზე ლამაზი გრაფიკული სურათების შექმნა სიბრტყის წერტილების შეღებვით, შესაბამისი დინამიური სისტემების ქცევიდან გამომდინარე. მაგალითად, მანდელბროტის ნაკრების შესავსებად, შეგიძლიათ გააფერადოთ ქულები სწრაფვის სიჩქარის მიხედვით ( ზ ნ) უსასრულობამდე (განსაზღვრულია, ვთქვათ, როგორც უმცირესი რიცხვი ნ, სადაც | ზ ნ| აღემატება ფიქსირებულ დიდ მნიშვნელობას ა.

ბიომორფები არის ფრაქტალები, რომლებიც აგებულია რთული დინამიკის საფუძველზე და ცოცხალ ორგანიზმებს ჰგავს.

სტოქასტური ფრაქტალები

რანდომიზებული ფრაქტალი ჯულიას ნაკრების საფუძველზე

ბუნებრივ ობიექტებს ხშირად აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მათი მოდელირებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას სტოქასტური (შემთხვევითი) ფრაქტალები. სტოქასტური ფრაქტალების მაგალითები:

ბრაუნის მოძრაობის ტრაექტორია სიბრტყეზე და სივრცეში;

ბრაუნის მოძრაობის ტრაექტორიის საზღვარი სიბრტყეზე. 2001 წელს ლოულერმა, შრამმა და ვერნერმა დაამტკიცეს მანდელბროტის ვარაუდი, რომ მისი განზომილება არის 4/3.

Schramm-Löwner-ის ევოლუციები არის კონფორმალურად უცვლელი ფრაქტალური მრუდები, რომლებიც წარმოიქმნება სტატისტიკური მექანიკის კრიტიკულ ორგანზომილებიან მოდელებში, მაგალითად, იზინგის მოდელში და პერკოლაციაში.

სხვადასხვა ტიპის რანდომიზებული ფრაქტალები, ანუ ფრაქტალები, რომლებიც მიიღება რეკურსიული პროცედურის გამოყენებით, რომელშიც ყოველ საფეხურზე შემოდის შემთხვევითი პარამეტრი. პლაზმა არის ასეთი ფრაქტალის გამოყენების მაგალითი კომპიუტერულ გრაფიკაში.

Ბუნებაში

ტრაქეისა და ბრონქების წინა ხედი

ბრონქული ხე

სისხლძარღვების ქსელი

განაცხადი

Ნატურალური მეცნიერება

ფიზიკაში ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი პროცესების მოდელირებისას, როგორიცაა ტურბულენტური სითხის ნაკადი, რთული დიფუზია-ადსორბციული პროცესები, ალი, ღრუბლები და ა.შ. ფრაქტალები გამოიყენება ფოროვანი მასალების მოდელირებისას, მაგალითად, ნავთობქიმიაში. ბიოლოგიაში ისინი გამოიყენება პოპულაციების მოდელირებისთვის და შინაგანი ორგანოების სისტემების (სისხლძარღვების სისტემის) აღსაწერად.

რადიოინჟინერია

ფრაქტალური ანტენები

ფრაქტალური გეომეტრიის გამოყენება ანტენის მოწყობილობების დიზაინში პირველად გამოიყენა ამერიკელმა ინჟინერმა ნათან კოენმა, რომელიც შემდეგ ცხოვრობდა ბოსტონის ცენტრში, სადაც აკრძალული იყო შენობებზე გარე ანტენების დაყენება. ნათანმა ალუმინის ფოლგას კოხის მრუდის სახით ფიგურა ამოჭრა და ფურცელზე გააკრა, შემდეგ მიმღებზე მიამაგრა. კოენმა დააარსა საკუთარი კომპანია და დაიწყო მათი სერიული წარმოება.

ინფორმატიკა

გამოსახულების შეკუმშვა

მთავარი სტატია: ფრაქტალური შეკუმშვის ალგორითმი

ფრაქტალის ხე

არსებობს გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმები ფრაქტალების გამოყენებით. ისინი ეფუძნება იდეას, რომ სურათის ნაცვლად, შეგიძლიათ შეინახოთ შეკუმშვის რუკა, რომლისთვისაც ეს სურათი (ან მასთან ახლოს) არის ფიქსირებული წერტილი. ამ ალგორითმის ერთ-ერთი ვარიანტი იქნა გამოყენებული [ წყარო დაუზუსტებელია 895 დღე] Microsoft-ის მიერ მისი ენციკლოპედიის გამოქვეყნებისას, მაგრამ ეს ალგორითმები ფართოდ არ იყო გამოყენებული.

Კომპიუტერული გრაფიკა

კიდევ ერთი ფრაქტალი ხე

ფრაქტალები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში ბუნებრივი ობიექტების გამოსახულების შესაქმნელად, როგორიცაა ხეები, ბუჩქები, მთის პეიზაჟები, ზღვის ზედაპირი და ა.შ. არსებობს მრავალი პროგრამა, რომელიც გამოიყენება ფრაქტალის გამოსახულების გენერირებისთვის, იხილეთ ფრაქტალის გენერატორი (პროგრამა).

დეცენტრალიზებული ქსელები

Netsukuku-ს IP მისამართის მინიჭების სისტემა იყენებს ფრაქტალური ინფორმაციის შეკუმშვის პრინციპს ქსელის კვანძების შესახებ ინფორმაციის კომპაქტურად შესანახად. Netsukuku ქსელის თითოეული კვანძი ინახავს მხოლოდ 4 KB ინფორმაციას მეზობელი კვანძების სტატუსის შესახებ, ხოლო ნებისმიერი ახალი კვანძი უერთდება ზოგად ქსელს IP მისამართების განაწილების ცენტრალური რეგულირების საჭიროების გარეშე, რაც, მაგალითად, დამახასიათებელია. ინტერნეტი. ამრიგად, ფრაქტალური ინფორმაციის შეკუმშვის პრინციპი უზრუნველყოფს მთელი ქსელის სრულიად დეცენტრალიზებულ და, შესაბამისად, ყველაზე სტაბილურ მუშაობას.

ფრაქტალის თვისებები არ არის ახირება და არა მათემატიკოსთა უსაქმური ფანტაზიის ნაყოფი. მათი შესწავლით ჩვენ ვსწავლობთ ჩვენს ირგვლივ არსებული ობიექტებისა და ფენომენების მნიშვნელოვანი მახასიათებლების გარჩევას და პროგნოზირებას, რომლებიც ადრე, თუ სრულიად უგულებელყოფილი არ იყო, მხოლოდ დაახლოებით, ხარისხობრივად, თვალით ფასდებოდა. მაგალითად, რთული სიგნალების, ენცეფალოგრამების ან გულის შუილის ფრაქტალური ზომების შედარებით, ექიმებს შეუძლიათ გარკვეული სერიოზული დაავადების დიაგნოსტირება ადრეულ ეტაპზე, როდესაც პაციენტს ჯერ კიდევ შეუძლია დახმარება. ასევე, ანალიტიკოსს, რომელიც ადარებს ფასების წინა ქცევას, მოდელის ფორმირების დასაწყისში, შეუძლია განჭვრიტოს მისი შემდგომი განვითარება, რითაც თავიდან აიცილებს უხეში შეცდომები პროგნოზირებაში.

ფრაქტალების უწესრიგობა

ფრაქტალების პირველი თვისება მათი უსწორმასწორობაა. თუ ფრაქტალი აღწერილია ფუნქციით, მაშინ მათემატიკური თვალსაზრისით არარეგულარობის თვისება ნიშნავს, რომ ასეთი ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი, ანუ არ არის გლუვი ნებისმიერ წერტილში. რეალურად, ამას ყველაზე პირდაპირი კავშირი აქვს ბაზართან. ფასების მერყეობა ზოგჯერ იმდენად ცვალებადი და ცვალებადია, რომ ბევრ ტრეიდერს აბნევს. ჩვენი ამოცანაა მოვაგვაროთ მთელი ეს ქაოსი და მოვაწესრიგოთ.

Იცი, რომ:დემო ანგარიშის კონკურსში 1-დან 10-მდე ადგილის დაკავება "ვირტუალური რეალობა" Alpari-დან შეგიძლიათ მოიგოთ $70-დან $500-მდე. პრიზის თანხა ხელმისაწვდომია გასატანად შეზღუდვების გარეშე. გამარჯვებულები, რომლებმაც პრიზები 11-დან 30-მდე მიიღეს, მიიღებენ 1000-დან 10000-მდე. ბონუს ქულები .

ფრაქტალების თვითმსგავსება

მეორე თვისება ამბობს, რომ ფრაქტალი არის ობიექტი, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება. ეს არის რეკურსიული მოდელი, რომლის თითოეული ნაწილი იმეორებს თავის განვითარებაში მთლიანი მოდელის განვითარებას და რეპროდუცირებულია სხვადასხვა მასშტაბით ხილული ცვლილებების გარეშე. თუმცა, ცვლილებები მაინც ხდება, რამაც შეიძლება დიდად იმოქმედოს ობიექტის ჩვენს აღქმაზე.

თვითმსგავსება ნიშნავს, რომ ობიექტს არ აქვს დამახასიათებელი მასშტაბი: ასეთი მასშტაბი რომ ჰქონდეს, მაშინვე გამოარჩევდით ფრაგმენტის გადიდებულ ასლს ორიგინალური გამოსახულებისგან. თვით მსგავს ობიექტებს აქვთ უსასრულო რაოდენობის სასწორები ყველა გემოვნებისთვის. თვითმსგავსების არსი შეიძლება აიხსნას შემდეგი მაგალითით. წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ "ნამდვილი" გეომეტრიული ხაზის სურათი, "სიგრძე სიგანის გარეშე", როგორც ეს ევკლიდემ განსაზღვრა ხაზი, და თქვენ თამაშობთ მეგობართან ერთად და ცდილობთ გამოიცნოთ ის გიჩვენებთ ორიგინალ სურათს (ორიგინალს) თუ სწორი ხაზის ნებისმიერი ფრაგმენტის სურათი. რაც არ უნდა ეცადო, ვერასდროს ვერ განასხვავებ ორიგინალს ფრაგმენტის გადიდებული ასლისაგან, სწორი ხაზი ყველა ნაწილში ერთნაირადაა მოწყობილი, ის თავის თავს ჰგავს, მაგრამ ეს შესანიშნავი თვისებაა. გარკვეულწილად იმალება თავად სწორი ხაზის გაურთულებელი აგებულებით, მისი „სისწორით“ (სურ. 7).

თუ თქვენ ასევე ვერ განასხვავებთ რაიმე ობიექტის სნეპშოტს მისი რომელიმე ფრაგმენტის სათანადოდ გაფართოებული სნეპშოტისგან, მაშინ თქვენ გაქვთ საკუთარი თავის მსგავსი ობიექტი. ყველა ფრაქტალი, რომელსაც აქვს სულ მცირე სიმეტრია, საკუთარი თავის მსგავსია. და ეს ნიშნავს, რომ მათი სტრუქტურის ზოგიერთი ფრაგმენტი მკაცრად მეორდება გარკვეული სივრცითი ინტერვალებით. ცხადია, ეს ობიექტები შეიძლება იყოს ნებისმიერი ხასიათისა და მათი გარეგნობა და ფორმა უცვლელი რჩება მასშტაბის მიუხედავად. მსგავსი ფრაქტალის მაგალითი:

ფინანსებში, ეს კონცეფცია არ არის უსაფუძვლო აბსტრაქცია, არამედ პრაქტიკული საბაზრო გამონათქვამის თეორიული განმეორება - კერძოდ, რომ აქციების ან ვალუტის მოძრაობები ზედაპირულად მსგავსია, განურჩევლად დროისა და ფასისა. დამკვირვებელს გრაფიკის გარეგნობით არ შეუძლია თქვას, არის თუ არა მონაცემები ყოველკვირეული, ყოველდღიური ან საათობრივი ცვლილებებისთვის.

რა თქმა უნდა, ყველა ფრაქტალს არ აქვს ისეთი რეგულარული, გაუთავებლად განმეორებადი სტრუქტურა, როგორც ფრაქტალის ხელოვნების მომავალი მუზეუმის მშვენიერი ექსპონატები, რომლებიც მათემატიკოსებისა და მხატვრების ფანტაზიით დაიბადა. ბუნებაში აღმოჩენილ ბევრ ფრაქტალს (ქანებისა და ლითონების რღვევის ზედაპირები, ღრუბლები, ვალუტის ციტატები, მღელვარე ნაკადები, ქაფი, გელები, ჭვარტლის ნაწილაკების კონტურები და ა.შ.) არ გააჩნიათ გეომეტრიული მსგავსება, მაგრამ ჯიუტად ამრავლებენ თითოეულ ფრაგმენტში მთლიანის სტატისტიკურ თვისებებს. განვითარების არაწრფივი ფორმის მქონე ფრაქტალები მანდელბროტმა დაასახელა მულტიფრაქტალებად. მულტიფრაქტალი არის კვაზი-ფრაქტალური ობიექტი ცვლადი ფრაქტალური განზომილებით. ბუნებრივია, რეალური ობიექტები და პროცესები ბევრად უკეთ არის აღწერილი მულტიფრაქტალებით.

ასეთი სტატისტიკური თვითმსგავსება ან საშუალოდ თვითმსგავსება განასხვავებს ფრაქტალებს სხვადასხვა ბუნებრივი ობიექტებისგან.

განვიხილოთ თვითმსგავსების მაგალითი სავალუტო ბაზარზე:

ამ ფიგურებში ჩვენ ვხედავთ, რომ ისინი მსგავსია, თუმცა აქვთ განსხვავებული დროის მასშტაბი, ნახ. და 15 წუთიანი მასშტაბი, ნახ. b ყოველკვირეული ფასების მასშტაბი. როგორც ხედავთ, ამ ციტატებს არ აქვთ ერთმანეთის სრულყოფილად გამეორების უნარი, თუმცა, შეგვიძლია მსგავსებად მივიჩნიოთ.

უმარტივეს ფრაქტალებსაც კი - გეომეტრიულად თვითმსგავს ფრაქტალებს - აქვთ უჩვეულო თვისებები. მაგალითად, ფონ კოხის ფიფქს აქვს უსასრულო სიგრძის პერიმეტრი, თუმცა ის ზღუდავს სასრულ ფართობს (ნახ. 9). გარდა ამისა, ის იმდენად ჩხვლეტაა, რომ შეუძლებელია მასზე ტანგენტის დახატვა კონტურის ნებისმიერ წერტილში (მათემატიკოსი იტყვის, რომ ფონ კოხის ფიფქი არსად განსხვავდება, ანუ არცერთ წერტილში არ არის გლუვი).

მანდელბროტმა აღმოაჩინა, რომ წილადური გაზომვის შედეგები რჩება მუდმივი ობიექტის უწესრიგობის გაძლიერების სხვადასხვა ხარისხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს კანონზომიერება (სისწორე, მოწესრიგება) ნებისმიერი უწესრიგობისთვის. როდესაც რაღაცას შემთხვევით ვთვლით, ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ჩვენ არ გვესმის ამ შემთხვევითობის ბუნება. საბაზრო თვალსაზრისით, ეს ნიშნავს, რომ ერთი და იგივე ტიპიური წარმონაქმნების ფორმირება უნდა მოხდეს სხვადასხვა ვადებში. ერთწუთიანი სქემა აღწერს ფრაქტალის ფორმირებას ისევე, როგორც ყოველთვიური. სასაქონლო და ფინანსური ბაზრების სქემებზე ნაპოვნი ეს „თვითმსგავსება“ აჩვენებს ყველა ნიშანს, რომ ბაზრის ქმედებები უფრო ახლოსაა „ბუნების“ ქცევით პარადიგმასთან, ვიდრე ეკონომიკური, ფუნდამენტური ანალიზის ქცევა.

ამ ციფრებში შეგიძლიათ იხილოთ ზემოაღნიშნულის დადასტურება. მარცხნივ არის გრაფიკი წუთის მასშტაბით, მარჯვნივ არის ყოველკვირეული. აშშ დოლარი/იენი (ნახ. 9 (ა)) და ევრო/დოლარი (ნახ. 9 (ბ)) სავალუტო წყვილი აქ ნაჩვენებია ფასების სხვადასხვა მასშტაბით. მიუხედავად იმისა, რომ JPY/USD სავალუტო წყვილს აქვს განსხვავებული ცვალებადობა EUR/USD-თან მიმართებაში, ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ ფასების მოძრაობის იგივე სტრუქტურას.

ფრაქტალური განზომილება

ფრაქტალების მესამე თვისება არის ის, რომ ფრაქტალ ობიექტებს აქვთ განზომილება, გარდა ევკლიდესისა (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტოპოლოგიური განზომილება). ფრაქტალური განზომილება არის მრუდის სირთულის საზომი. სხვადასხვა ფრაქტალური განზომილებების მქონე მონაკვეთების მონაცვლეობის გაანალიზებით და თუ როგორ მოქმედებს სისტემაზე გარე და შიდა ფაქტორები, შეიძლება ვისწავლოთ სისტემის ქცევის პროგნოზირება. და რაც მთავარია, არასტაბილური პირობების დიაგნოსტიკა და პროგნოზირება.

თანამედროვე მათემატიკის არსენალში მანდელბროტმა აღმოაჩინა ობიექტების არასრულყოფილების მოხერხებული რაოდენობრივი საზომი - კონტურის სინუსურობა, ზედაპირის ნაოჭი, მოტეხილობა და მოცულობის ფორიანობა. იგი შემოგვთავაზა ორმა მათემატიკოსმა - ფელიქს ჰაუსდორფმა (1868-1942) და აბრამ სამოილოვიჩ ბესიკოვიჩმა (1891-1970). ახლა ის დამსახურებულად ატარებს მისი შემქმნელების დიდებულ სახელებს (ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება) - ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება. რა არის განზომილება და რატომ გვჭირდება ის ფინანსური ბაზრების ანალიზთან დაკავშირებით? მანამდე ჩვენ ვიცოდით განზომილების მხოლოდ ერთი ტიპი - ტოპოლოგიური (სურ. 11). თავად სიტყვა განზომილება მიუთითებს რამდენ განზომილებაში აქვს საგანს. სეგმენტისთვის, სწორი ხაზისთვის, ის უდრის 1-ს, ე.ი. ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი განზომილება, კერძოდ, სეგმენტის სიგრძე ან სწორი ხაზი. თვითმფრინავისთვის განზომილება იქნება 2, ვინაიდან გვაქვს ორგანზომილებიანი განზომილება, სიგრძე და სიგანე. სივრცისთვის ან მყარი ობიექტებისთვის, განზომილება არის 3: სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე.

ავიღოთ კომპიუტერული თამაშების მაგალითი. თუ თამაში დამზადებულია 3D გრაფიკაში, მაშინ ის არის სივრცითი და მოცულობითი, თუ 2D გრაფიკაში გრაფიკა ნაჩვენებია სიბრტყეში (სურ. 10).

ყველაზე უჩვეულო (უფრო სწორი იქნება თუ ვიტყვით - უჩვეულო) ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებაში ის იყო, რომ მას შეეძლო არა მხოლოდ მთელი რიცხვების, როგორც ტოპოლოგიური განზომილების მიღება, არამედ წილადური მნიშვნელობებიც. ერთის ტოლია სწორი ხაზისთვის (უსასრულო, ნახევრად უსასრულო ან სასრული სეგმენტისთვის), ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება იზრდება ტორტუოზის მატებასთან ერთად, ხოლო ტოპოლოგიური განზომილება ჯიუტად უგულებელყოფს ყველა ცვლილებას, რაც ხდება წრფესთან.

განზომილება ახასიათებს კომპლექტის (მაგალითად, სწორი ხაზის) გართულებას. თუ ეს არის მრუდი, რომლის ტოპოლოგიური განზომილება ტოლია 1-ის (სწორი ხაზი), მაშინ მრუდი შეიძლება გართულდეს უსასრულო რაოდენობის მოსახვევებითა და განშტოებებით, რომ მისი ფრაქტალური განზომილება მიუახლოვდეს ორს, ე.ი. შეავსებს თითქმის მთელ თვითმფრინავს (ნახ. 12)

მისი მნიშვნელობის გაზრდით, ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება არ ცვლის მას მკვეთრად, როგორც ამას გააკეთებდა ტოპოლოგიური განზომილება "თავის ადგილას", 1-დან დაუყოვნებლივ 2-ზე გადასვლა. ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება - და ეს ერთი შეხედვით შეიძლება უჩვეულო ჩანდეს. და გასაკვირია, რომ იღებს წილადის მნიშვნელობებს: ერთის ტოლი სწორი ხაზისთვის, ის ხდება 1.15 ოდნავ მოციმციმე ხაზისთვის, 1.2 უფრო მწკრივი ხაზისთვის, 1.5 ძალიან მკვეთრი ხაზისთვის და ა.შ.

სწორედ იმისათვის, რომ ხაზი გაუსვას ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებას, მიიღოს წილადი, არამთლიანი მნიშვნელობები, მანდელბროტმა გამოიგონა საკუთარი ნეოლოგიზმი და მას ფრაქტალური განზომილება უწოდა. ასე რომ, ფრაქტალური განზომილება (არა მხოლოდ ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩი, არამედ ნებისმიერი სხვა) არის განზომილება, რომელსაც შეუძლია მიიღოს არა აუცილებლად მთელი მნიშვნელობები, არამედ წილადი.

ხაზოვანი გეომეტრიული ფრაქტალებისთვის განზომილება ახასიათებს მათ თვითმსგავსებას. განვიხილოთ ნახ. 17(A), წრფე შედგება N=4 სეგმენტისგან, რომელთაგან თითოეულს აქვს სიგრძე r = 1/3. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თანაფარდობას:

D = logN/log (1/r)

სულ სხვა სიტუაციაა, როცა ვსაუბრობთ მულტიფრაქტალებზე (არაწრფივი). აქ განზომილება კარგავს თავის მნიშვნელობას, როგორც ობიექტის მსგავსების განმარტებას და განისაზღვრება სხვადასხვა განზოგადებით, გაცილებით ნაკლებად ბუნებრივი, ვიდრე თვითმსგავსი ობიექტების უნიკალური განზომილება.

სავალუტო ბაზარზე განზომილება შეიძლება ახასიათებდეს ფასების კვოტების ცვალებადობას. თითოეულ სავალუტო წყვილს აქვს თავისი ქცევა ფასების თვალსაზრისით. ფუნტი/დოლარის წყვილისთვის (ნახ. 13(ა)) უფრო მშვიდია, ვიდრე ევრო/დოლარისთვის (ნახ. 13(ბ)). ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ ეს ვალუტები ერთი და იგივე სტრუქტურით მოძრაობენ ფასების დონემდე, თუმცა მათ აქვთ განსხვავებული ზომები, რამაც შეიძლება გავლენა მოახდინოს შიდადღიურ ვაჭრობაზე და მოდელების ცვლილებებზე, რომლებიც გამოუცდელ სახეს აცილებენ.

ნახ. სურათი 14 გვიჩვენებს განზომილებას მათემატიკური მოდელის მიმართ, რათა უფრო ღრმად შეაღწიოთ ამ ტერმინის მნიშვნელობას. გაითვალისწინეთ, რომ სამივე ფიგურა აჩვენებს ერთსა და იმავე ციკლს. ნახ. და განზომილება არის 1.2, ნახ. ბ, განზომილება არის 1.5 და ნახ. 1.9-ში. ჩანს, რომ განზომილების მატებასთან ერთად, ობიექტის აღქმა რთულდება, იზრდება რხევების ამპლიტუდა.

ფინანსურ ბაზრებზე განზომილება აისახება არა მხოლოდ როგორც ფასების ცვალებადობა, არამედ როგორც ციკლების (ტალღების) დეტალი. მისი წყალობით ჩვენ შევძლებთ განვასხვავოთ, ეკუთვნის თუ არა ტალღა დროის გარკვეულ მასშტაბს. ნახ. 15 გვიჩვენებს ევრო/დოლარის წყვილს ყოველდღიური ფასის მასშტაბით. ყურადღება მიაქციეთ, ნათლად ხედავთ ჩამოყალიბებულ ციკლს და ახალი, უფრო დიდი ციკლის დასაწყისს. საათობრივ მასშტაბზე გადართვისა და ერთ-ერთი ციკლის მასშტაბირება, ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ უფრო მცირე ციკლები და დიდის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს D1-ზე (ნახ. 16). მარყუჟის დეტალიზაცია, ე.ი. მათი განზომილება საშუალებას გვაძლევს საწყისი პირობებიდან განვსაზღვროთ, თუ როგორ შეიძლება განვითარდეს სიტუაცია მომავალში. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ: ფრაქტალური განზომილება ასახავს განსახილველი ნაკრების მასშტაბის ინვარიანტობის თვისებას.

ინვარიანტობის ცნება მანდელბროტმა შემოიტანა სიტყვიდან „დალუქული“ - მასშტაბირებადი, ე.ი. როდესაც ობიექტს აქვს ინვარიანტობის თვისება, მას აქვს ჩვენების განსხვავებული მასშტაბები.

ნახ. 16 წრე A ხაზს უსვამს მინი ციკლს (დეტალური ტალღა), წრე B - უფრო დიდი ციკლის ტალღას. ზუსტად განზომილების გამო, ჩვენ ყოველთვის არ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ყველა ციკლი ერთი და იგივე ფასის მასშტაბით.

არაპერიოდული ციკლების თვისებების განსაზღვრისა და განვითარების პრობლემებზე ვისაუბრებთ განყოფილებაში „ციკლები სავალუტო ბაზარზე“, ახლა ჩვენთვის მთავარი იყო იმის გაგება, თუ როგორ და სად ვლინდება განზომილება ფინანსურ ბაზრებზე.

ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები, როგორც მოდელები, გამოიყენება მაშინ, როდესაც რეალური ობიექტი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კლასიკური მოდელების სახით. და ეს ნიშნავს, რომ საქმე გვაქვს არაწრფივ კავშირებთან და მონაცემთა არადეტერმინისტულ (შემთხვევით) ბუნებასთან. არაწრფივიობა იდეოლოგიური გაგებით ნიშნავს განვითარების გზების მრავალვარიანტულობას, ალტერნატიული გზებიდან არჩევანის ხელმისაწვდომობას და ევოლუციის გარკვეულ ტემპს, ასევე ევოლუციური პროცესების შეუქცევადობას. არაწრფივობა მათემატიკური გაგებით ნიშნავს მათემატიკური განტოლებების გარკვეულ ტიპს (არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები), რომლებიც შეიცავს სასურველ სიდიდეებს ერთზე მეტი სიმძლავრით ან კოეფიციენტებით, რომლებიც დამოკიდებულია გარემოს თვისებებზე. არაწრფივი დინამიკური სისტემის მარტივი მაგალითი:

ჯონი წელიწადში 2 ინჩით იზრდება. ეს სისტემა განმარტავს, თუ როგორ იცვლება ჯონის სიმაღლე დროთა განმავლობაში. მოდით x(n) იყოს ჯონის სიმაღლე წელს. დაე, მისი ზრდა მომავალ წელს ჩაიწეროს x (n + 1). შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ დინამიური სისტემა განტოლების სახით:

x(n+1) = x(n) + 2.

ნახე? ეს მარტივი მათემატიკა არ არის? თუ დღეს შევიყვანთ ჯონის სიმაღლეს x(n) = 38 ინჩი, მაშინ განტოლების მარჯვენა მხარეს მივიღებთ ჯონის სიმაღლეს მომავალ წელს, x(n+1) = 40 ინჩი:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

განტოლებაში მარჯვნიდან მარცხნივ მოძრაობას იტერაცია (გამეორება) ეწოდება. ჩვენ შეგვიძლია გავიმეოროთ განტოლება განტოლების სწორ მხარეს ჯონის ახალი სიმაღლის 40 ინჩის შეყვანით (ე.ი. x(n) = 40) და მივიღებთ x(n+1) = 42. თუ გავიმეორებთ (ვიმეორებთ) განტოლებას. 3-ჯერ ვიღებთ ჯონის სიმაღლეს 3 წელიწადში, კერძოდ 44 ინჩს, დაწყებული 38 ინჩის სიმაღლით.

ეს არის დეტერმინისტული დინამიური სისტემა. თუ გვინდა გავხადოთ ის არადეტერმინისტული (სტოქასტური), შეგვიძლია გავაკეთოთ ასეთი მოდელი: ჯონი იზრდება 2 ინჩით წელიწადში, მეტ-ნაკლებად, და დავწეროთ განტოლება შემდეგნაირად:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

სადაც e არის მცირე შეცდომა (მცირე შედარებით 2), წარმოადგენს ალბათობის გარკვეულ განაწილებას.

დავუბრუნდეთ საწყის დეტერმინისტულ განტოლებას. თავდაპირველი განტოლება, x(n+1) = x(n) + 2, წრფივია. ხაზოვანი ნიშნავს, რომ თქვენ ამატებთ ცვლადებს ან მუდმივებს, ან ამრავლებთ ცვლადებს მუდმივებზე. მაგალითად, განტოლება

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

არის წრფივი. მაგრამ თუ თქვენ გაამრავლებთ ცვლადებს, ან ზრდით მათ ერთზე მეტ ხარისხზე, განტოლება (სისტემა) გახდება არაწრფივი. მაგალითად, განტოლება

x(n+1) = x(n) 2

არის არაწრფივი, რადგან x(n) კვადრატია. განტოლება

არის არაწრფივი, რადგან ორი ცვლადი, x და y, მრავლდება.

როდესაც ვიყენებთ კლასიკურ მოდელებს (მაგალითად, ტენდენცია, რეგრესია და ა.შ.), ჩვენ ვამბობთ, რომ ობიექტის მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული, ე.ი. მთლიანად დამოკიდებულია საწყის პირობებზე და ექვემდებარება მკაფიო პროგნოზს. თქვენ შეგიძლიათ დამოუკიდებლად შეასრულოთ ერთ-ერთი ასეთი მოდელი Excel-ში. კლასიკური მოდელის მაგალითი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მუდმივად კლებადი ან მზარდი ტენდენცია. ჩვენ შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ მისი ქცევა, ვიცოდეთ ობიექტის წარსული (საწყისი მონაცემები მოდელირებისთვის). და ფრაქტალები გამოიყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც ობიექტს აქვს განვითარების რამდენიმე ვარიანტი და სისტემის მდგომარეობა განისაზღვრება იმ პოზიციით, რომელშიც ის ამჟამად მდებარეობს. ანუ ვცდილობთ ქაოტური განვითარების სიმულაციას. ეს სისტემა არის ბანკთაშორისი სავალუტო ბაზარი.

ახლა განვიხილოთ, როგორ შეიძლება სწორი ხაზიდან მივიღოთ ის, რასაც ჩვენ ფრაქტალს ვუწოდებთ, თავისი თანდაყოლილი თვისებებით.

ნახ. 17(A) გვიჩვენებს კოხის მრუდს. აიღეთ ხაზის სეგმენტი, მისი სიგრძე = 1, ე.ი. ჯერ კიდევ ტოპოლოგიური განზომილებაა. ახლა მას გავყოფთ სამ ნაწილად (თითოეული სიგრძის 1/3), ხოლო შუა მესამედს ამოვიღებთ. მაგრამ ჩვენ შევცვლით შუა მესამედს ორი სეგმენტით (თითოეული სიგრძის 1/3), რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ტოლგვერდა სამკუთხედის ორი გვერდი. ეს არის დიზაინის მეორე ეტაპი (ბ) ნახ. 17 (A). ამ მომენტში გვაქვს 4 პატარა ნაწილი, სიგრძის თითოეული 1/3, ასე რომ მთელი სიგრძე არის 4(1/3) = 4/3. ჩვენ ვიმეორებთ ამ პროცესს ხაზის 4 პატარა ლობიდან თითოეულისთვის. ეს არის მესამე ეტაპი (c). ეს მოგვცემს 16 კიდევ უფრო მცირე ხაზის სეგმენტს, სიგრძის თითოეული 1/9. ასე რომ, მთელი სიგრძე ახლა არის 16/9 ან (4/3) 2. შედეგად მივიღეთ წილადი განზომილება. მაგრამ არა მხოლოდ ეს განასხვავებს მიღებულ სტრუქტურას სწორი ხაზისგან. იგი თავისთავად გახდა და მის რომელიმე წერტილზე ტანგენტის დახატვა შეუძლებელია (სურ. 17 (B)).

შინაარსი

რა საერთო აქვს ჩვენს ხელში ხეს, ზღვის სანაპიროს, ღრუბელსა თუ სისხლძარღვებს? ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველა ამ ობიექტს საერთო არაფერი აქვს. თუმცა, ფაქტობრივად, არსებობს სტრუქტურის ერთი თვისება, რომელიც თანდაყოლილია ყველა ჩამოთვლილ ობიექტში: ისინი საკუთარი თავის მსგავსია. ტოტიდან, ისევე როგორც ხის ღეროდან, უფრო მცირე პროცესები შორდება, მათგან - უფრო პატარა და ა.შ., ანუ ტოტი მთელი ხის მსგავსია. სისხლის მიმოქცევის სისტემაც ანალოგიურადაა მოწყობილი: არტერიოლები გამოდიან არტერიებიდან, მათგან კი - უმცირესი კაპილარები, რომლებითაც ჟანგბადი შედის ორგანოებსა და ქსოვილებში. გადავხედოთ ზღვის სანაპიროს სატელიტურ სურათებს: დავინახავთ ყურეებს და ნახევარკუნძულებს; მოდით შევხედოთ მას, ოღონდ ჩიტის თვალთახედვით: დავინახავთ ყურეებს და კონცხებს; ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ვდგავართ სანაპიროზე და ვუყურებთ ჩვენს ფეხებს: ყოველთვის იქნება კენჭები, რომლებიც დანარჩენზე უფრო შორს ამოდიან წყალში. ანუ, გადიდებისას სანაპირო ზოლი თავის მსგავსი რჩება. ამერიკელმა მათემატიკოსმა ბენუა მანდელბროტმა (თუმცა საფრანგეთში გაზრდილი) ობიექტების ამ თვისებას ფრაქტალობა უწოდა, ხოლო თავად ასეთ ობიექტებს - ფრაქტალები (ლათინური fractus - გატეხილი).

ამ კონცეფციას არ აქვს მკაცრი განმარტება. ამიტომ სიტყვა „ფრაქტალი“ არ არის მათემატიკური ტერმინი. ჩვეულებრივ, ფრაქტალი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ თვისებებს ერთ ან მეტს: მას აქვს რთული სტრუქტურა ნებისმიერი გადიდების დროს (განსხვავებით, მაგალითად, სწორი ხაზისგან, რომლის ნებისმიერი ნაწილი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა - სეგმენტი). ეს არის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსი. მას აქვს ფრაქციული ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება, რომელიც ტოპოლოგიურზე დიდია. შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

გეომეტრია და ალგებრა

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე ფრაქტალების შესწავლა უფრო ეპიზოდური იყო, ვიდრე სისტემატური, რადგან ადრინდელი მათემატიკოსები ძირითადად სწავლობდნენ „კარგ“ ობიექტებს, რომელთა შესწავლაც შეიძლებოდა ზოგადი მეთოდებისა და თეორიების გამოყენებით. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა, მისი კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და ძნელად გასაგები იყო. ამიტომ, 1904 წელს შვედმა ჰელგე ფონ კოხმა გამოავლინა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი და მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია. აღმოჩნდა, რომ მას აქვს ფრაქტალის თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიაციას კოხის ფიფქი ეწოდება.

ფიგურების თვითმსგავსების იდეები აიტაცა ფრანგმა პოლ პიერ ლევიმ, ბენუა მანდელბროს მომავალმა მენტორმა. 1938 წელს გამოქვეყნდა მისი სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“, რომელშიც აღწერილია კიდევ ერთი ფრაქტალი - ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი პირობითად შეიძლება მივაკუთვნოთ კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალების ერთ კლასს.

კიდევ ერთი კლასი არის დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები, რომლებიც მოიცავს მანდელბროტის კომპლექტს. პირველი კვლევა ამ მიმართულებით მე-20 საუკუნის დასაწყისში დაიწყო და დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსების გასტონ ჯულიას და პიერ ფატუს სახელებთან. 1918 წელს გამოქვეყნდა ჯულიას მემუარების თითქმის ორასი გვერდი, რომელიც მიეძღვნა რთული რაციონალური ფუნქციების გამეორებას, რომელშიც აღწერილია ჯულიას სიმრავლეები - ფრაქტალების მთელი ოჯახი, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული მანდელბროტის ნაკრებთან. ეს ნამუშევარი დაჯილდოვდა საფრანგეთის აკადემიის პრიზით, მაგრამ ის არ შეიცავდა არც ერთ ილუსტრაციას, ამიტომ შეუძლებელი იყო აღმოჩენილი ობიექტების სილამაზის დაფასება. იმისდა მიუხედავად, რომ ამ ნამუშევარმა ჯულია ცნობილი გახადა იმდროინდელ მათემატიკოსთა შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა. ისევ მასზე ყურადღება მიიპყრო მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად: სწორედ მათ გახადეს თვალსაჩინო ფრაქტალების სამყაროს სიმდიდრე და სილამაზე.

ფრაქტალური ზომები

მოგეხსენებათ, გეომეტრიული ფიგურის განზომილება (გაზომვების რაოდენობა) არის კოორდინატების რაოდენობა, რომელიც აუცილებელია ამ ფიგურაზე მდებარე წერტილის პოზიციის დასადგენად.
მაგალითად, წერტილის პოზიცია მრუდზე განისაზღვრება ერთი კოორდინატით, ზედაპირზე (აუცილებლად სიბრტყეზე) ორი კოორდინატით, სამგანზომილებიან სივრცეში სამი კოორდინატით.
უფრო ზოგადი მათემატიკური თვალსაზრისით, განზომილება შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად: წრფივი ზომების ზრდა, ვთქვათ, ორჯერ, ერთგანზომილებიანი (ტოპოლოგიური თვალსაზრისით) ობიექტებისთვის (სეგმენტი) იწვევს ზომის (სიგრძის) ზრდას. ) ორჯერ, ორგანზომილებიანი (კვადრატისთვის) წრფივი ზომების იგივე ზრდა იწვევს ზომის (ფართის) 4-ჯერ გაზრდას, სამგანზომილებიანი (კუბისთვის) - 8-ჯერ. ანუ „რეალური“ (ე.წ. ჰაუსდორფი) განზომილება შეიძლება გამოითვალოს, როგორც ობიექტის „ზომის“ გაზრდის ლოგარითმის თანაფარდობა მისი ხაზოვანი ზომის გაზრდის ლოგარითმთან. ანუ სეგმენტისთვის D=log (2)/log (2)=1, სიბრტყისთვის D=log (4)/log (2)=2, მოცულობისთვის D=log (8)/log (2 )=3.
ახლა გამოვთვალოთ კოხის მრუდის განზომილება, რომლის ასაგებადაც ერთეული სეგმენტი იყოფა სამ თანაბარ ნაწილად და შუა ინტერვალი ჩანაცვლებულია ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტის გარეშე. მინიმალური სეგმენტის ხაზოვანი ზომების სამჯერ გაზრდით, კოხის მრუდის სიგრძე იზრდება ჟურნალში (4) / ჟურნალში (3) ~ 1.26. ანუ კოხის მრუდის განზომილება წილადია!

მეცნიერება და ხელოვნება

1982 წელს გამოიცა მანდელბროტის წიგნი „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“, რომელშიც ავტორმა შეაგროვა და სისტემატიზირებული თითქმის ყველა ინფორმაცია იმ დროისთვის ხელმისაწვდომი ფრაქტალების შესახებ და მარტივად და ხელმისაწვდომად წარმოადგინა. მანდელბროტმა თავის პრეზენტაციაში მთავარი აქცენტი გააკეთა არა მძიმე ფორმულებზე და მათემატიკურ კონსტრუქციებზე, არამედ მკითხველთა გეომეტრიულ ინტუიციაზე. კომპიუტერული გენერირებული ილუსტრაციებისა და ისტორიული ისტორიების წყალობით, რომლითაც ავტორი ოსტატურად აზავებდა მონოგრაფიის სამეცნიერო კომპონენტს, წიგნი გახდა ბესტსელერი, ხოლო ფრაქტალები ცნობილი გახდა ფართო საზოგადოებისთვის. მათი წარმატება არამათემატიკოსებს შორის დიდწილად განპირობებულია იმით, რომ ძალიან მარტივი კონსტრუქციებისა და ფორმულების დახმარებით, რომელთა გაგებაც საშუალო სკოლის მოსწავლესაც კი შეუძლია, საოცარი სირთულის და სილამაზის გამოსახულებები მიიღება. როდესაც პერსონალური კომპიუტერები საკმარისად მძლავრი გახდა, ხელოვნების მთელი ტენდენციაც კი გამოჩნდა - ფრაქტალის ფერწერა და ამის გაკეთება თითქმის ნებისმიერ კომპიუტერის მფლობელს შეეძლო. ახლა ინტერნეტში შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ამ თემისადმი მიძღვნილი მრავალი საიტი.

კოხის მრუდის მიღების სქემა

Ომი და მშვიდობა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ერთ-ერთი ბუნებრივი ობიექტი, რომელსაც აქვს ფრაქტალური თვისებები, არის სანაპირო ზოლი. მას უკავშირდება ერთი საინტერესო ამბავი, უფრო სწორად, მისი სიგრძის გაზომვის მცდელობა, რაც მანდელბროტის სამეცნიერო სტატიას დაედო საფუძვლად და ასევე აღწერილია მის წიგნში „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“. ჩვენ ვსაუბრობთ ექსპერიმენტზე, რომელიც მოაწყო ლუის რიჩარდსონმა, ძალიან ნიჭიერმა და ექსცენტრიულმა მათემატიკოსმა, ფიზიკოსმა და მეტეოროლოგმა. მისი კვლევის ერთ-ერთი მიმართულება იყო ორ ქვეყანას შორის შეიარაღებული კონფლიქტის მიზეზებისა და ალბათობის მათემატიკური აღწერის მცდელობა. პარამეტრებს შორის, რომელიც მან გაითვალისწინა, იყო ორ მეომარ ქვეყანას შორის საერთო საზღვრის სიგრძე. როდესაც მან შეაგროვა მონაცემები რიცხვითი ექსპერიმენტებისთვის, მან აღმოაჩინა, რომ სხვადასხვა წყაროებში მონაცემები ესპანეთისა და პორტუგალიის საერთო საზღვრებზე მნიშვნელოვნად განსხვავდება. ამან მიიყვანა იგი შემდეგ აღმოჩენამდე: ქვეყნის საზღვრების სიგრძე დამოკიდებულია მმართველზე, რომლითაც გავზომავთ მათ. რაც უფრო მცირეა მასშტაბი, მით უფრო გრძელი იქნება საზღვარი. ეს იმის გამო ხდება, რომ უფრო მაღალი გადიდებისას შესაძლებელი ხდება სანაპიროს უფრო და უფრო მეტი მოსახვევების გათვალისწინება, რომლებიც ადრე იგნორირებული იყო გაზომვების უხეშობის გამო. და თუ ყოველი გადიდებისას იხსნება ხაზების მანამდე გაუთვალისწინებელი მოხვევები, გამოდის, რომ საზღვრების სიგრძე უსასრულოა! მართალია, სინამდვილეში ეს არ ხდება - ჩვენი გაზომვების სიზუსტეს აქვს სასრული ზღვარი. ამ პარადოქსს რიჩარდსონის ეფექტს უწოდებენ.

კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალები

ზოგად შემთხვევაში კონსტრუქციული ფრაქტალის აგების ალგორითმი შემდეგია. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ გვჭირდება ორი შესაფერისი გეომეტრიული ფორმა, დავარქვათ მათ საფუძველი და ფრაგმენტი. პირველ ეტაპზე გამოსახულია მომავალი ფრაქტალის საფუძველი. შემდეგ მის ზოგიერთ ნაწილს ცვლის შესაფერისი მასშტაბით აღებული ფრაგმენტი - ეს კონსტრუქციის პირველი გამეორებაა. შემდეგ მიღებულ ფიგურაში ზოგიერთი ნაწილი ისევ იცვლება ფრაგმენტის მსგავს ფიგურებად და ა.შ.. თუ ამ პროცესს განუსაზღვრელი ვადით გააგრძელებთ, ლიმიტში მიიღებთ ფრაქტალს.

განვიხილოთ ეს პროცესი კოხის მრუდის მაგალითის გამოყენებით (იხილეთ გვერდითი ზოლი წინა გვერდზე). ნებისმიერი მრუდი შეიძლება მივიღოთ კოხის მრუდის საფუძვლად (კოხის ფიფქისთვის ეს არის სამკუთხედი). მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესი შემთხვევით - სეგმენტით. ფრაგმენტი არის გატეხილი ხაზი, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურის თავზე. ალგორითმის პირველი გამეორების შემდეგ, ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი სეგმენტი დაემთხვევა ფრაგმენტს, შემდეგ მისი თითოეული შემადგენელი სეგმენტი თავად შეიცვლება ფრაგმენტის მსგავსი გატეხილი ხაზით და ა.შ. ნახატზე ნაჩვენებია პირველი ოთხი. ამ პროცესის ნაბიჯები.

მათემატიკის ენა: დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები

ამ ტიპის ფრაქტალები წარმოიქმნება არაწრფივი დინამიკური სისტემების შესწავლისას (აქედან სახელწოდებაც). ასეთი სისტემის ქცევა შეიძლება აღწერილი იყოს რთული არაწრფივი ფუნქციით (პოლინომი) f(z). ავიღოთ საწყისი z0 წერტილი კომპლექსურ სიბრტყეზე (იხ. გვერდითი ზოლი). ახლა განვიხილოთ რიცხვების ასეთი უსასრულო თანმიმდევრობა კომპლექსურ სიბრტყეზე, რომელთაგან თითოეული მიღებულია წინადან: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). z0 საწყისი წერტილიდან გამომდინარე, ასეთი მიმდევრობა შეიძლება განსხვავებულად იქცეს: მიდრეკილება უსასრულობისკენ, როგორც n -> ∞; მიახლოება რაღაც ბოლო წერტილში; ციკლურად აიღეთ ფიქსირებული მნიშვნელობების რაოდენობა; შესაძლებელია უფრო რთული ვარიანტები.

რთული რიცხვები

რთული რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ორი ნაწილისაგან - რეალური და წარმოსახვითი, ანუ ფორმალური ჯამი x + iy (x და y აქ არის ნამდვილი რიცხვები). მე ვარ ე.წ. წარმოსახვითი ერთეული, ანუ რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას მე ^ 2 = -1. ძირითადი მათემატიკური მოქმედებები განისაზღვრება კომპლექსურ რიცხვებზე - შეკრება, გამრავლება, გაყოფა, გამოკლება (მხოლოდ შედარების ოპერაცია არ არის განსაზღვრული). რთული რიცხვების საჩვენებლად ხშირად გამოიყენება გეომეტრიული გამოსახულება - სიბრტყეზე (მას კომპლექსს უწოდებენ), რეალური ნაწილი გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი ორდინატთა ღერძის გასწვრივ, ხოლო რთული რიცხვი შეესაბამება წერტილს. დეკარტის კოორდინატებით x და y.

ამრიგად, რთული სიბრტყის ნებისმიერ z წერტილს აქვს ქცევის საკუთარი ხასიათი f (z) ფუნქციის გამეორებისას და მთელი სიბრტყე იყოფა ნაწილებად. უფრო მეტიც, ამ ნაწილების საზღვრებზე მდებარე წერტილებს აქვთ შემდეგი თვისება: თვითნებურად მცირე გადაადგილებისთვის, მათი ქცევის ბუნება მკვეთრად იცვლება (ასეთ წერტილებს უწოდებენ ბიფურკაციის წერტილებს). ასე რომ, გამოდის, რომ წერტილების სიმრავლეებს, რომლებსაც აქვთ ქცევის ერთი კონკრეტული ტიპი, ისევე როგორც ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლე, ხშირად აქვთ ფრაქტალური თვისებები. ეს არის ჯულიას სიმრავლეები f(z) ფუნქციისთვის.

დრაკონების ოჯახი

ბაზისა და ფრაგმენტის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ კონსტრუქციული ფრაქტალების განსაცვიფრებელი მრავალფეროვნება.
უფრო მეტიც, მსგავსი ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს სამგანზომილებიან სივრცეში. მოცულობითი ფრაქტალების მაგალითებია „მენგერის ღრუბელი“, „სიერპინსკის პირამიდა“ და სხვა.
დრაკონების ოჯახს ასევე მოიხსენიებენ კონსტრუქციულ ფრაქტალებს. მათ ზოგჯერ აღმომჩენთა სახელით მოიხსენიებენ, როგორც "ჰეივეი-ჰარტერის დრაკონებს" (ისინი თავიანთი ფორმით ჩინურ დრაკონებს ჰგვანან). ამ მრუდის აგების რამდენიმე გზა არსებობს. მათგან ყველაზე მარტივი და აშკარაა ეს: თქვენ უნდა აიღოთ საკმარისად გრძელი ქაღალდის ზოლი (რაც უფრო თხელია ქაღალდი, მით უკეთესი) და შუაზე გახეხეთ. შემდეგ კვლავ მოხარეთ იგი შუაზე იმავე მიმართულებით, როგორც პირველად. რამდენიმე გამეორების შემდეგ (ჩვეულებრივ, ხუთი ან ექვსი დაკეცვის შემდეგ ზოლი ძალიან სქელი ხდება შემდგომი ფრთხილად მოსახვევისთვის), თქვენ უნდა გაასწოროთ ზოლი უკან და შეეცადოთ ჩამოაყალიბოთ 90˚ კუთხეები ნაკეცებთან. შემდეგ დრაკონის მრუდი აღმოჩნდება პროფილში. რა თქმა უნდა, ეს იქნება მხოლოდ მიახლოება, ისევე როგორც ფრაქტალური ობიექტების გამოსახვის ყველა ჩვენი მცდელობა. კომპიუტერი საშუალებას გაძლევთ წარმოაჩინოთ კიდევ ბევრი ნაბიჯი ამ პროცესში და შედეგი არის ძალიან ლამაზი ფიგურა.

მანდელბროტის ნაკრები გარკვეულწილად განსხვავებულად არის აგებული. განვიხილოთ ფუნქცია fc (z) = z 2 +c, სადაც c არის რთული რიცხვი. ავაშენოთ ამ ფუნქციის თანმიმდევრობა z0=0-ით, c პარამეტრიდან გამომდინარე, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს უსასრულობამდე ან დარჩეს შეზღუდული. უფრო მეტიც, c-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლითაც ეს თანმიმდევრობა შემოიფარგლება, ქმნის მანდელბროტის სიმრავლეს. იგი დეტალურად შეისწავლეს თავად მანდელბროტმა და სხვა მათემატიკოსებმა, რომლებმაც აღმოაჩინეს ამ ნაკრების მრავალი საინტერესო თვისება.

ჩანს, რომ ჯულია და მანდელბროტის კომპლექტების განმარტებები ერთმანეთის მსგავსია. სინამდვილეში, ეს ორი ნაკრები მჭიდრო კავშირშია. კერძოდ, მანდელბროტის სიმრავლე არის c კომპლექსური პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც დაკავშირებულია ჯულიას სიმრავლე fc (z) (კომპლექტს უწოდებენ დაკავშირებულს, თუ ის არ შეიძლება დაიყოს ორ გადამკვეთ ნაწილად, გარკვეული დამატებითი პირობებით).

ფრაქტალები და სიცოცხლე

დღესდღეობით ფრაქტალების თეორია ფართოდ გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. კვლევისთვის წმინდა სამეცნიერო ობიექტისა და უკვე ნახსენები ფრაქტალის ფერწერის გარდა, ფრაქტალები გამოიყენება ინფორმაციის თეორიაში გრაფიკული მონაცემების შეკუმშვისთვის (აქ ძირითადად გამოიყენება ფრაქტალების თვითმსგავსების თვისება - ბოლოს და ბოლოს, მცირე ფრაგმენტის დასამახსოვრებლად. ნახატისა და გარდაქმნების, რომლითაც შეგიძლიათ მიიღოთ დანარჩენი ნაწილები, გაცილებით ნაკლები მეხსიერება სჭირდება, ვიდრე მთლიანი ფაილის შესანახად). შემთხვევითი არეულობა ფორმულებში, რომლებიც განსაზღვრავენ ფრაქტალს, შეიძლება მივიღოთ სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც ძალიან დამაჯერებლად გადმოსცემს ზოგიერთ რეალურ ობიექტს - რელიეფის ელემენტებს, წყლის ობიექტების ზედაპირს, ზოგიერთ მცენარეს, რაც წარმატებით გამოიყენება ფიზიკაში, გეოგრაფიაში და კომპიუტერულ გრაფიკაში. სიმულირებული ობიექტების უფრო დიდი მსგავსება რეალურთან. რადიო ელექტრონიკაში, ბოლო ათწლეულში, მათ დაიწყეს ანტენების წარმოება, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მცირე ადგილს იკავებენ, ისინი უზრუნველყოფენ საკმაოდ მაღალი ხარისხის სიგნალის მიღებას. ეკონომისტები იყენებენ ფრაქტალებს ვალუტის რყევების მრუდების აღსაწერად (ეს თვისება მანდელბროტმა აღმოაჩინა 30 წელზე მეტი ხნის წინ). ამით დასრულდა ეს მოკლე ექსკურსია ფრაქტალების სამყაროში, საოცარი სილამაზითა და მრავალფეროვნებით.

ფრაქტალები ცნობილია თითქმის ერთი საუკუნის განმავლობაში, კარგად არის შესწავლილი და აქვთ მრავალი გამოყენება ცხოვრებაში. ეს ფენომენი დაფუძნებულია ძალიან მარტივ იდეაზე: უსასრულო რაოდენობის ფიგურები სილამაზისა და მრავალფეროვნების მიხედვით შეიძლება მიღებულ იქნას შედარებით მარტივი სტრუქტურებიდან მხოლოდ ორი ოპერაციით - კოპირება და მასშტაბირება.

ამ კონცეფციას არ აქვს მკაცრი განმარტება. ამიტომ სიტყვა „ფრაქტალი“ არ არის მათემატიკური ტერმინი. როგორც წესი, ეს არის გეომეტრიული ფიგურის სახელი, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ ან მეტ შემდეგ თვისებებს:

აქვს რთული სტრუქტურა ნებისმიერი გადიდების დროს;
არის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსი;
აქვს წილადი ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება, რომელიც ტოპოლოგიურზე დიდია;
შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე, ფრაქტალების შესწავლა უფრო ეპიზოდური იყო, ვიდრე სისტემატური, რადგან ადრინდელი მათემატიკოსები ძირითადად სწავლობდნენ „კარგ“ ობიექტებს, რომელთა შესწავლა შეიძლებოდა ზოგადი მეთოდებისა და თეორიების გამოყენებით. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კარლ ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა, მისი კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და ძნელად გასაგები იყო. ამიტომ, 1904 წელს შვედმა ჰელგე ფონ კოხმა გამოავლინა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი და მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია. აღმოჩნდა, რომ მას აქვს ფრაქტალის თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიაციას კოხის ფიფქი ეწოდება.

ფიგურების თვითმსგავსების იდეები აიტაცა ფრანგმა პოლ პიერ ლევიმ, ბენუა მანდელბროს მომავალმა მენტორმა. 1938 წელს გამოქვეყნდა მისი სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“, რომელშიც აღწერილია კიდევ ერთი ფრაქტალი – ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი პირობითად შეიძლება მივაკუთვნოთ კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალების ერთ კლასს.

კიდევ ერთი კლასი არის დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები, რომლებიც მოიცავს მანდელბროტის კომპლექტს. პირველი კვლევები ამ მიმართულებით მე-20 საუკუნის დასაწყისით თარიღდება და დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსების გასტონ ჯულიას და პიერ ფატუს სახელებთან. 1918 წელს გამოიცა ჯულიას ნაწარმოების თითქმის ორასი გვერდი, რომელიც მიეძღვნა რთული რაციონალური ფუნქციების გამეორებას, რომლებშიც აღწერილია ჯულიას სიმრავლეები - ფრაქტალების მთელი ოჯახი, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული მანდელბროტის ნაკრებთან. ეს ნამუშევარი დაჯილდოვდა საფრანგეთის აკადემიის პრიზით, მაგრამ ის არ შეიცავდა არც ერთ ილუსტრაციას, ამიტომ შეუძლებელი იყო აღმოჩენილი ობიექტების სილამაზის დაფასება. იმისდა მიუხედავად, რომ ამ ნამუშევარმა ჯულია ცნობილი გახადა იმდროინდელ მათემატიკოსთა შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა.

მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ, კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად, ყურადღება მიიპყრო ჯულიას და ფატუს ნამუშევრებზე: სწორედ მათ გახადეს ფრაქტალების სამყაროს სიმდიდრე და სილამაზე. ყოველივე ამის შემდეგ, ფატუ ვერასოდეს შეხედავს სურათებს, რომლებიც ჩვენ ახლა ვიცით, როგორც მანდელბროტის ნაკრების გამოსახულებები, რადგან საჭირო რაოდენობის გამოთვლები არ შეიძლება გაკეთდეს ხელით. პირველი ადამიანი, ვინც ამისთვის გამოიყენა კომპიუტერი, იყო ბენუა მანდელბროტი.