დამატების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ sin(2*a), cos(2*a) და tg(a) a კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

მოდით დავაყენოთ a = b ამ ფორმულებში. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ პირადობას:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

ამ იდენტობებს ორმაგი კუთხის ფორმულებს უწოდებენ. განვიხილოთ ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1იპოვეთ sin(2*a) მნიშვნელობა იმის ცოდნა, რომ cos(a) = -0.8 და a არის მე-3 მეოთხედი კუთხე. გადაწყვეტილება:

ჯერ ვიანგარიშებთ sin(a). ვინაიდან a კუთხე მესამე მეოთხედია, მესამე მეოთხედის სინუსი უარყოფითი იქნება:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

ორმაგი კუთხის სინუსის ფორმულის მიხედვით გვაქვს:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 .

პასუხი: sin(2*a) = 0.96.

მაგალითი 2გაამარტივეთ გამოთქმა sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). გადაწყვეტილება:

ავიღოთ sin(a)*cos(a) ფრჩხილებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

ახლა ჩვენ ვიყენებთ ორმაგი კუთხის ფორმულებს:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*ცოდვა(4*ა).

პასუხი: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი გამონათქვამები

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

ზოგჯერ მაგალითების ამოხსნისას ძალიან მოსახერხებელია ამ ფორმულების გამოყენება. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი 3გაამარტივეთ გამოთქმა (1-cos(a))/(1+cos(a)). გადაწყვეტილება:

გამოვიყენოთ ზემოთ დაწერილი ფორმულები გამონათქვამებისთვის (1-cos(a)) და (1+cos(a)). ამისათვის პირველ რიგში წარმოვადგენთ a კუთხეს შემდეგი ნამრავლის სახით 2*(a/2).

გარდაქმნების შედეგად ვიღებთ:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

ტანგენტის განმარტების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

პასუხი: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

ყველაზე ხშირად დასმული კითხვები

შესაძლებელია თუ არა დოკუმენტზე ბეჭდის დადება მოწოდებული ნიმუშის მიხედვით? უპასუხე დიახ, შესაძლებელია. გამოგვიგზავნეთ დასკანირებული ასლი ან კარგი ხარისხის ფოტო ჩვენს ელფოსტის მისამართზე და ჩვენ გავაკეთებთ საჭირო დუბლიკატს.

რა სახის გადახდას ეთანხმებით? უპასუხე დოკუმენტის გადახდა შეგიძლიათ კურიერის მიერ მიღების დროს, მას შემდეგ რაც შეამოწმებთ შევსების სისწორეს და დიპლომის ხარისხს. ეს ასევე შეიძლება გაკეთდეს საფოსტო კომპანიების ოფისებში, რომლებიც სთავაზობენ ნაღდი ფულის მიწოდების სერვისებს.
დოკუმენტების მიწოდებისა და გადახდის ყველა პირობა აღწერილია განყოფილებაში "გადახდა და მიტანა". ჩვენ ასევე მზად ვართ მოვისმინოთ თქვენი წინადადებები დოკუმენტის მიწოდებისა და გადახდის პირობებთან დაკავშირებით.

შემიძლია დარწმუნებული ვიყო, რომ შეკვეთის გაკეთების შემდეგ ჩემი ფულით არ გაქრები? უპასუხე საკმაოდ დიდი გამოცდილება გვაქვს დიპლომის წარმოების სფეროში. გვაქვს რამდენიმე საიტი, რომელიც მუდმივად განახლდება. ჩვენი სპეციალისტები მუშაობენ ქვეყნის სხვადასხვა კუთხეში, დღეში 10-ზე მეტ დოკუმენტს ამზადებენ. წლების განმავლობაში ჩვენი დოკუმენტები ბევრ ადამიანს დაეხმარა დასაქმების პრობლემების გადაჭრაში ან მაღალანაზღაურებად სამუშაოებზე გადასვლაში. ჩვენ დავიმსახურეთ ნდობა და აღიარება მომხმარებლებში, ამიტომ ჩვენ ამის გაკეთების არანაირი საფუძველი არ გვაქვს. უფრო მეტიც, ამის გაკეთება ფიზიკურად უბრალოდ შეუძლებელია: თქვენ იხდით თქვენს შეკვეთას ხელში მიღების დროს, არ არის წინასწარ გადახდა.

შემიძლია თუ არა რომელიმე უნივერსიტეტის დიპლომის შეკვეთა? უპასუხე ზოგადად, დიახ. ამ სფეროში თითქმის 12 წელია ვმუშაობთ. ამ ხნის განმავლობაში შეიქმნა ქვეყნის თითქმის ყველა უნივერსიტეტის მიერ გაცემული და გამოცემის სხვადასხვა წლების დოკუმენტების თითქმის სრული მონაცემთა ბაზა. საკმარისია აირჩიოთ უნივერსიტეტი, სპეციალობა, დოკუმენტი და შეავსოთ შეკვეთის ფორმა.

რა უნდა გავაკეთო, თუ დოკუმენტში ბეჭდვითი შეცდომები და შეცდომები აღმოვაჩინე? უპასუხე ჩვენი კურიერის ან საფოსტო კომპანიისგან დოკუმენტის მიღებისას გირჩევთ, ყურადღებით შეამოწმოთ ყველა დეტალი. თუ დაფიქსირდა შეცდომა, შეცდომა ან უზუსტობა, თქვენ გაქვთ უფლება არ აიღოთ დიპლომი და აღმოჩენილი ხარვეზები უნდა მიუთითოთ პირადად კურიერთან ან წერილობით ელ.ფოსტის გაგზავნით.
რაც შეიძლება მალე, ჩვენ ვასწორებთ დოკუმენტს და ხელახლა გამოგიგზავნით მითითებულ მისამართზე. რა თქმა უნდა, ტრანსპორტირებას გადაიხდის ჩვენი კომპანია.
ასეთი გაუგებრობების თავიდან ასაცილებლად, ორიგინალური ფორმის შევსებამდე ვაგზავნით მომხმარებლის მეილზე მომავალი დოკუმენტის განლაგებას საბოლოო ვერსიის გადამოწმებისა და დასამტკიცებლად. დოკუმენტის კურიერის ან ფოსტით გაგზავნამდე ჩვენ ასევე ვიღებთ დამატებით ფოტოს და ვიდეოს (მათ შორის ულტრაიისფერ შუქზე), რათა გქონდეთ ვიზუალური წარმოდგენა იმაზე, თუ რას მიიღებთ საბოლოოდ.

რა უნდა გააკეთოთ იმისათვის, რომ შეუკვეთოთ დიპლომი თქვენი კომპანიისგან? უპასუხე დოკუმენტის შეკვეთისთვის (სერთიფიკატი, დიპლომი, აკადემიური სერთიფიკატი და ა.შ.), თქვენ უნდა შეავსოთ ონლაინ შეკვეთის ფორმა ჩვენს ვებგვერდზე ან მოგვაწოდოთ თქვენი ელ. ფოსტა, რათა გამოგიგზავნოთ კითხვარის ფორმა, რომელიც უნდა შეავსოთ და გამოაგზავნოთ. უკან ჩვენთან.
თუ არ იცით რა უნდა მიუთითოთ შეკვეთის ფორმის/კითხვის რომელიმე ველში, დატოვეთ ისინი ცარიელი. ამიტომ, ყველა გამოტოვებულ ინფორმაციას ტელეფონით დავაზუსტებთ.

უახლესი მიმოხილვები

Torywild:

მე გადავწყვიტე მეყიდა თქვენი კომპანიის დიპლომი, როცა სხვა ქალაქში გადავედი, მაგრამ ჩემს ნივთებს შორის ჩემი დიპლომი ვერ ვიპოვე. მის გარეშე კარგ ანაზღაურებად სამუშაოზე არ ვიქცეოდი. თქვენმა კონსულტანტმა დამარწმუნა, რომ ეს ინფორმაცია არ არის გამჟღავნებული და არავინ განასხვავებს დოკუმენტს ორიგინალისგან. ეჭვები არ მტოვებდა, მაგრამ შანსი უნდა გამომეყენებინა. მომეწონა, რომ წინასწარ გადახდა არ იყო საჭირო. ზოგადად, დიპლომი დროზე ავიღე და არ მომიტყუებია. Გმადლობთ!

ოქსანა ივანოვნა:

დიპლომი რომ მომპარეს, საშინლად ვნერვიულობდი. ბოლოს და ბოლოს, სწორედ ამ დროს გამათავისუფლეს და ახლა თითქმის შეუძლებელია კარგი სამსახურის პოვნა უმაღლესი განათლების დიპლომის გარეშე. საბედნიეროდ, მეზობელმა შესთავაზა დაუკავშირდით თქვენს ორგანიზაციას. თავიდან სკეპტიკურად ვიყავი განწყობილი, მაგრამ გადავწყვიტე გამომეყენებინა შანსი. დავურეკე კომპანიის მენეჯერს და ავუხსენი ჩემი მდგომარეობა. და მე გამიმართლა! მათ ყველაფერი სასწრაფოდ გააკეთეს და რაც მთავარია, დამპირდნენ, რომ ჩემს საიდუმლოს არ გაამჟღავნებდნენ. ვნერვიულობდი, რომ მოგვიანებით დიპლომის შეძენის ფაქტი არ გამომდგარა.

მაშა კუტენკოვა:

გმადლობთ თქვენი მუშაობისთვის! უბრძანა დიპლომი 1991 წელს. როდესაც მათ დაიწყეს საბუთების შედგენა, აღმოჩნდა, რომ მცირე გამოცდილება იყო და ასევე საჭირო იყო განათლების დამადასტურებელი ქაღალდი. მე არ მქონდა ეს და უფროსმა იცოდა ეს და მან თავად გირჩია თქვენი კომპანია (ხედავთ, მე თანამშრომელი ვარ, არაფერი მსგავსი). საბუთზე მან მიმანიშნა დეტალები - ამბობენ, რა წლებში გამოიყენება მელანი ან მელანი, ხელმოწერის სისქე და ა.შ. მადლობა ზედმიწევნით და ხარისხისთვის!

LenOK:

მას შემდეგ, რაც წავიკითხე ისტორიები იმ თანამშრომლების სამარცხვინო გათავისუფლების შესახებ, რომელთა დიპლომები ფერადი პრინტერზეა დაბეჭდილი, წავედი უნივერსიტეტში ჩასაბარებლად. ვაი, არც ბიუჯეტია, არც სწავლისა და სესიების გადასახდელი ფული, მომიწია გარისკვა. თუმცა ძალიან მიხარია, რომ გავიცანი თქვენი კომპანია. მართალია შენი დიპლომით არ მიმიყვანეს, მაგრამ პრაქტიკული ბლოკის ჩავარდნის გამო ეს შენი ბრალი არ არის. როგორც კი ახალ ადგილს ვიპოვი - მაშინვე შენთან, დაუყოვნებლად!

ჯერი ტერი:

იმის ყურება, თუ რა სირცხვილით გაფრინდა ჩემი კოლეგა სამსახურიდან ყალბი დიპლომის გამო, საშინელი იყო მისი მაგალითის მიბაძვა. რომ არა ნათლია, ვინც შენგან ბრძანა, არ გავრისკავდი. მან დამარწმუნა, რომ აქ ყველაფერი შეუფერხებლად მიდიოდა და ჩემი სახელი ყველგან იქნებოდა, სადაც საჭირო იყო. ყველაფრისთვის 4 დღე მქონდა. გმადლობთ სიჩქარისთვის - ჩვენ ეს გავაკეთეთ 3-ში და ასევე მოვახერხეთ საგულდაგულოდ შეგვესწავლა დოკუმენტების გაყალბების გზები, მაგრამ თქვენი ფორმა არ ჯდება ყალბში, რაც ნიშნავს, რომ ის გადავა ორიგინალისთვის.

ანდრეი:

ვერასდროს ვიფიქრებდი, რომ დიპლომის ყიდვა მომიწევდა. სკოლის დამთავრების შემდეგ მისი ქალიშვილი სამუშაოდ პოლონეთში გაემგზავრა, როცა 5 წლის შემდეგ დაბრუნდა, სურდა, ადგილობრივ მოდის სახლში დიზაინერად ემუშავა. დიპლომის გარეშე არავის სურდა მისი სამსახურში წაყვანა. მიხვდა, რომ თუ ამ სამსახურს არ იშოვი, ისევ წავიდოდა. საღამოს ინტერნეტში ვიარე და დილით უკვე ოფისში ვიყავი ჩემი ქალიშვილის საბუთებით. ერთი კვირის შემდეგ მან დიპლომი წაიღო და ბოლოს სასურველ პოზიციაზე დარჩა თავის ქალაქში სამუშაოდ. თქვენ წარმოდგენაც არ გაქვთ, როგორი მადლობელი ვარ!

თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!

ორმაგი კუთხის ფორმულები შესაძლებელს ხდის "2\ალფა" კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი) გამოხატვას კუთხის "\ალფა" სწორედ ამ ფუნქციების მიხედვით.

ქვემოთ მოყვანილი სია არის ორმაგი კუთხის ძირითადი ფორმულები, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება ტრიგონომეტრიაში. კოსინუსისთვის სამი მათგანია, ყველა ტოლფასია და თანაბრად მნიშვნელოვანია.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \ალფა-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \\alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \\alpha)`

შემდეგი იდენტობები გამოხატავს `2\alpha` კუთხის ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას კუთხის tangent და cotangent ფუნქციების მიხედვით `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\ frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \\alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\alpha+ctg \\alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \\alpha-tg \\alpha)(ctg \\alpha+tg \\alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \\alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

ორმაგი კუთხის კოსინუსისა და სინუსის ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი კუთხისთვის `\alpha`. ორმაგი კუთხის ტანგენტის ფორმულები მოქმედებს იმ `\alpha`-სთვის, რომლისთვისაც არის განსაზღვრული `tg \ 2\alpha, ანუ ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n. \ Z-ში. ანალოგიურად, კოტანგენსისთვის, ისინი ემართებათ იმ `\alpha`-ს, რომლისთვისაც არის განსაზღვრული `ctg \ 2\alpha`, ანუ ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \Z-ში.

ორმაგი კუთხის ფორმულების დადასტურება

ყველა ორმაგი კუთხის ფორმულა მიღებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კუთხეების ჯამისა და სხვაობის ფორმულებიდან.

ავიღოთ ორი ფორმულა სინუსისა და კოსინუსების კუთხეების ჯამისთვის:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` და `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \\beta`. აიღეთ `\beta=\alpha`, შემდეგ `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \\alpha\ cos \\alpha+cos \\alpha\ sin \\alpha=2 \ sin \\alpha \ cos \ \alpha`, მსგავსი `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \\alpha\ cos \\alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, რომელიც და ამტკიცებს ორმაგი კუთხის ფორმულებს სინუსისა და კოსინუსისთვის.

დანარჩენი ორი ტოლობა კოსინუსისთვის `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` და `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` მცირდება იმაზე, რაც უკვე დადასტურდა, თუ ჩვენ ვცვლით 1 მათში `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. ასე რომ, `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` და ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

ორმაგი კუთხის ტანგენტისა და კოტანგენსის ფორმულების დასამტკიცებლად ვიყენებთ ამ ფუნქციების განმარტებას. ჩაწერეთ `tg \ 2\alpha` და `ctg \ 2\alpha` როგორც `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` და `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. სინუსისა და კოსინუსისთვის უკვე დადასტურებული ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)" და `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\\alpha)`.

ტანგენტის შემთხვევაში ბოლო წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ `cos^2 \alpha`-ზე, კოტანგენსისთვის, თავის მხრივ, `sin^2 \alpha`-ზე.

`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \\alpha \ cos \\alpha) (cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \\alpha \ cos \\alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac(sin \alpha)(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.

`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \\alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \\alpha \ cos \\alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)(sin \alpha))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\\alpha)`.

ჩვენ ასევე გთავაზობთ ვიდეოს ყურებას თეორიული მასალის უკეთ კონსოლიდაციის მიზნით:

ფორმულების გამოყენების მაგალითები ამოცანების გადაჭრაში

ორმაგი კუთხის ფორმულები უმეტეს შემთხვევაში გამოიყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გადასაყვანად. განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა, თუ როგორ შეგიძლიათ მათი გამოყენება პრაქტიკაში კონკრეტული პრობლემების გადაჭრისას.

მაგალითი 1. შეამოწმეთ ორმაგი კუთხის იდენტობების მართებულობა `\alpha=30^\circ`-ისთვის.

გადაწყვეტილება. ჩვენი ფორმულები იყენებს ორ კუთხეს `\alpha' და `2\alpha`. პირველი კუთხის მნიშვნელობა მოცემულია პირობით, მეორე იქნება `2\alpha=60^\circ` შესაბამისად. ჩვენ ასევე ვიცით ამ კუთხის ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რიცხვითი მნიშვნელობები. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` და

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.

მაშინ გვექნება

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.

რაც ადასტურებს პირობით მოცემული კუთხის ტოლობების მართებულობას.

მაგალითი 2. გამოხატეთ `sin \frac (2\alpha)3` `\frac (\alpha)6` კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით.

გადაწყვეტილება. სინუს კუთხეს ვწერთ შემდეგნაირად ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. შემდეგ, ორმაგი კუთხის ფორმულის ორჯერ გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ ჩვენი პრობლემა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვიყენებთ ორმაგი კუთხის სინუს განტოლებას: `sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, ახლა ჩვენ ვიყენებთ ჩვენს ფორმულებს სინუსი და ისევ კოსინუსი, შესაბამისად. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

უპასუხე. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

სამმაგი კუთხის ფორმულები

ეს ფორმულები, ისევე როგორც წინა ფორმულები, შესაძლებელს ხდის კუთხის `3\alpha` ფუნქციების გამოხატვას სწორედ ამ კუთხის `\alpha` ფუნქციების მიხედვით.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \\alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \\alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

თქვენ შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ისინი კუთხეების ჯამისა და სხვაობის ტოლობების, აგრეთვე ორმაგი კუთხის ცნობილი ფორმულების გამოყენებით.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

მიღებულ ფორმულაში შეცვალეთ `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` `1-sin^2\alpha` და მიიღეთ `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.

ასევე სამმაგი კუთხის კოსინუსისთვის:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

საბოლოო განტოლებაში `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` `1-cos^2\alpha`-ით ჩანაცვლებით, მივიღებთ `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.

სინუსისა და კოსინუსისთვის დადასტურებული იდენტობების გამოყენებით, შეიძლება დაამტკიცოს ტანგენტსა და კოტანგენტს:

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha)(cos \alpha) -\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \\alpha-tg^3 \ ალფა)(1-3ტგ^2 \ალფა)`;

`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha)(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)(sin \alpha))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.

`4\alpha` კუთხის ფორმულების დასამტკიცებლად, შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ის როგორც `2 \cdot 2\alpha` და ორჯერ სცადოთ ორმაგი კუთხის ფორმულები.

მსგავსი ტოლობების გამოსაყვანად `5\ალფა` კუთხისთვის, შეგიძლიათ დაწეროთ ის, როგორც `3\ალფა + 2\ალფა` და გამოიყენოთ კუთხეების ჯამისა და განსხვავებისა და ორმაგი და სამმაგი კუთხის იდენტურობები.

ანალოგიურად, სხვა მრავალი კუთხის ყველა ფორმულა მიღებულია, ამიტომ ისინი იშვიათად არის საჭირო პრაქტიკაში.

ტრიგონომეტრიაში ბევრი ფორმულის გამოტანა უფრო ადვილია, ვიდრე დასამახსოვრებელი. ორმაგი კუთხის კოსინუსი მშვენიერი ფორმულაა! ეს საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შემცირების ფორმულები და ნახევარკუთხის ფორმულები.

ასე რომ, ჩვენ გვჭირდება ორმაგი კუთხის კოსინუსი და ტრიგონომეტრიული ერთეული:

ისინი კი მსგავსია: ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულაში - სხვაობა კოსინუსისა და სინუსის კვადრატებს შორის, ხოლო ტრიგონომეტრიულ ერთეულში - მათი ჯამი. თუ გამოვხატავთ კოსინუსს ტრიგონომეტრიული ერთეულიდან:

და ჩავანაცვლოთ ორმაგი კუთხის კოსინუსში, მივიღებთ:

ეს არის კიდევ ერთი ფორმულა ორმაგი კუთხის კოსინუსისთვის:

ეს ფორმულა არის შემცირების ფორმულის მიღების გასაღები:

ასე რომ, სინუსის ხარისხის შემცირების ფორმულა არის:

თუ მასში კუთხე ალფა ჩანაცვლებულია ნახევარი კუთხით ალფა ნახევარში, ხოლო ორმაგი კუთხე ორი ალფა ჩანაცვლებულია კუთხით ალფა, მაშინ მივიღებთ ფორმულას ნახევარი კუთხისთვის სინუსისთვის:

ახლა, ტრიგონომეტრიული ერთეულიდან, ჩვენ გამოვხატავთ სინუსს:

ჩაანაცვლეთ ეს გამოხატულება ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულაში:

ჩვენ მივიღეთ კიდევ ერთი ფორმულა ორმაგი კუთხის კოსინუსისთვის:

ეს ფორმულა არის გასაღები კოსინუსის შემცირების და ნახევარკუთხის ფორმულის პოვნაში.

ამრიგად, კოსინუსის ხარისხის შემცირების ფორმულა არის:

თუ მასში α/2-ით შევცვლით, ხოლო 2α-ით α, მაშინ მივიღებთ კოსინუსების ნახევარ არგუმენტის ფორმულას:

ვინაიდან ტანგენტი არის სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობა, ტანგენტის ფორმულა არის:

კოტანგენსი არის კოსინუსის შეფარდება სინუსთან. ასე რომ, კოტანგენტის ფორმულა არის:

რა თქმა უნდა, ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივების პროცესში აზრი არ აქვს ყოველ ჯერზე ნახევარკუთხის ფორმულების გამოყვანას ან ხარისხის დაწევას. ბევრად უფრო ადვილია თქვენს წინაშე ფორმულების ფურცლის დადება. და გამარტივება უფრო სწრაფად წავა და ვიზუალური მეხსიერება ჩაირთვება დასამახსოვრებლად.

მაგრამ მაინც ღირს ამ ფორმულების რამდენჯერმე გამოყვანა. მაშინ აბსოლუტურად დარწმუნებული იქნებით, რომ გამოცდის დროს, როდესაც არ არის ჩეთ ფურცლის გამოყენება, შეგიძლიათ მარტივად მიიღოთ ისინი საჭიროების შემთხვევაში.

ორმაგი კუთხის ფორმულები გამოიყენება 2 α მნიშვნელობის მქონე კუთხის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების გამოსახატავად α კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით. ამ სტატიაში გაგაცნობთ ორმაგი კუთხის ყველა ფორმულას მტკიცებულებებით. განხილული იქნება ფორმულების გამოყენების მაგალითები. დასკვნით ნაწილში ნაჩვენები იქნება სამმაგი, ოთხმაგი კუთხის ფორმულები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ორმაგი კუთხის ფორმულების სია

ორმაგი კუთხის ფორმულების გადასაყვანად გახსოვდეთ, რომ ტრიგონომეტრიაში კუთხეებს აქვთ n α აღნიშვნა, სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, გამოხატვის მნიშვნელობა იწერება ფრჩხილების გარეშე. ამრიგად, sin n α ითვლება იგივე მნიშვნელობით, რაც sin (n α) . sin n α აღნიშვნით გვაქვს მსგავსი აღნიშვნა (sin α) n . აღნიშვნის გამოყენება გამოიყენება ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქციისთვის n სიმძლავრით.

ქვემოთ მოცემულია ორმაგი კუთხის ფორმულები:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

გაითვალისწინეთ, რომ ეს sin და cos ფორმულები გამოიყენება α კუთხის ნებისმიერი მნიშვნელობით. ორმაგი კუთხის ტანგენტის ფორმულა მოქმედებს α-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, სადაც t g 2 α აზრი აქვს, ანუ α ≠ π 4 + π 2 · z, z არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. ორმაგი კუთხის კოტანგენსი არსებობს ნებისმიერი αსთვის, სადაც c t g 2 α განისაზღვრება α ≠ π 2 · z .

ორმაგი კუთხის კოსინუსს აქვს ორმაგი კუთხის სამმაგი აღნიშვნა. ყველა მათგანი გამოიყენება.

ორმაგი კუთხის ფორმულების დადასტურება

ფორმულების მტკიცებულება წარმოიქმნება დამატების ფორმულებიდან. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს ჯამის სინუსისთვის:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β და cos ჯამის კოსინუსი (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. დავუშვათ, რომ β = α , მაშინ მივიღებთ ამას

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α და cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

ამრიგად, დადასტურებულია ორმაგი კუთხის სინუსის და კოსინუსის ფორმულები sin 2 α \u003d 2 sin α cos α და cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α.

დარჩენილი ფორმულები cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α და cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 იწვევს ფორმას cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, ჩანაცვლებისას 1 ძირითადი იდენტობის კვადრატების ჯამით sin 2 α + cos 2 α = 1 . ჩვენ ვიღებთ, რომ sin 2 α + cos 2 α = 1. ასე რომ, 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α და 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (ცოდვა 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

ტანგენსის და კოტანგენსის ორმაგი კუთხის ფორმულების დასამტკიცებლად ვიყენებთ ტოლობებს tg 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α და c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. ტრანსფორმაციის შემდეგ ვიღებთ, რომ t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α და c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . გამოთქმა გაყავით cos 2 α-ზე, სადაც cos 2 α ≠ 0 α-ს ნებისმიერი მნიშვნელობით, როდესაც განსაზღვრულია t g α. გაყავით სხვა გამოხატულება sin 2 α-ზე, სადაც sin 2 α ≠ 0 α მნიშვნელობებით, როცა c tg 2 α აზრი აქვს. ტანგენტისა და კოტანგენსის ორმაგი კუთხის ფორმულის დასამტკიცებლად, ჩვენ ვცვლით და ვიღებთ: