ნიუტონ ლაიბნიცი არის გერმანელი ფილოსოფოსი, რომელიც დაიბადა 1646 წლის 1 ივლისს. ფილოსოფიის გარდა იგი გატაცებული იყო ზუსტი მეცნიერებებით. იგი გამოირჩეოდა ლოგიკაში, მათემატიკაში, მექანიკაში, ფიზიკაში, ისტორიაში, დიპლომატიაში და მექანიკაში. ნიუტონი ასევე ითვლება გამომგონებლად, ასევე ლინგვისტად. ის იყო დამფუძნებელი და პირველი, ვინც შეძლო ბერლინის მეცნიერებათა აკადემიის ხელმძღვანელი. ლაიბნიცმა საპატიო ადგილი დაიკავა საფრანგეთის მეცნიერებათა აკადემიაში, როგორც უცხოელი წევრი.
ლაიბნიცის ყველაზე მნიშვნელოვანი სამეცნიერო მიღწევებია:
მათემატიკური ანალიზის შექმნა. გამოთვლა დიფერენციალური და ინტეგრალურია, რომელსაც იგი უსასრულოდ მცირე ზომის მიხედვით ემყარება.
მისი დახმარებით ჩაეყარა საფუძველი მათემატიკური ლოგიკას.
კომბინატორიკის მეცნიერება.
ბინარული რიცხვების სისტემა 0 და 1 ნომრებით. ახლა მათზეა დაფუძნებული ყველა თანამედროვე ტექნოლოგია.
ფსიქოლოგიისთვის იყო ძალიან მნიშვნელოვანი წვლილი, როგორიცაა არაცნობიერი მცირე აღქმის კონცეფცია. გარდა ამისა, გამოჩნდა დოქტრინა არაცნობიერი ფსიქიკური ცხოვრების შესახებ.
მან გამოავლინა ენერგიის შენარჩუნების კანონი და შემოიტანა ცოცხალი ძალის ცნება.

ნიუტონი მე-17 საუკუნის ფილოსოფიის ფინალისტად ითვლება. იგი გახდა ახალი სისტემის წინაპარი და უწოდა მას - მონადოლოგია. ფილოსოფიაში მიღწევების გარდა, მან შეძლო სინთეზისა და ანალიზის დოქტრინის ამოცნობა. ლაიბნიცმა ჩამოაყალიბა ის, როგორც საკმარისი მიზეზის კანონი. როგორც მან აღნიშნა, ეს ყველაფერი მხოლოდ აზროვნებიდან და ლოგიკით კი არ დაწყებულა, არამედ ყოფითა და ონტოლოგიიდანაც. ფილოსოფოსს შეიძლება მივაწეროთ იდენტობის კანონის თანამედროვე ფორმულირების ავტორობა. სწორედ მან შემოიტანა მსოფლიოში ტერმინი „მოდელის“ გაგება.
თავის ნაწერებში ლაიბნიცი წერდა ადამიანის ტვინში მანქანების სიმულაციის შესაძლებლობების მრავალფეროვნებაზე. როგორც აღმოჩნდა, მას აქვს ფუნქციების დიდი რაოდენობა. სწორედ ამ მეცნიერმა გაამხილა სამყარო პირველად იმ აზრთან, რომ ზოგიერთი სახის ენერგია შეიძლება გადაეცეს სხვებს. ამ კვლევებმა დიდი წვლილი შეიტანა ფიზიკაში. რა თქმა უნდა, მისი ცხოვრების ყველაზე მნიშვნელოვანი და ცნობილი ნამუშევარი იყო ფორმულა. მათ მას ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა უწოდეს.
ნიუტონ ლაიბნიცის ფორმულა

მიეცით უწყვეტი f ფუნქცია Ox ღერძის ზოგიერთ სეგმენტზე. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს ფუნქცია არ ცვლის თავის ნიშანს მთელ ინტერვალზე.
თუ f არის უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქცია გარკვეულ სეგმენტზე და F არის მისი ზოგიერთი ანტიდერივატი ამ სეგმენტზე, მაშინ მრუდი ტრაპეციის S ფართობი უდრის ამ სეგმენტზე ანტიდერივატივის ზრდას.
ეს თეორემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმულით:
S = F(b) – F(a)
f(x) ფუნქციის ინტეგრალი a-დან b-მდე იქნება S-ის ტოლი. აქ და ქვემოთ ზოგიერთი f(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის აღსანიშნავად, ინტეგრაციის ლიმიტებით a-დან b-მდე, გამოვიყენებთ შემდეგ აღნიშვნას. (a;b)∫f( x). ქვემოთ მოცემულია მაგალითი იმისა, თუ როგორ გამოიყურება.

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გავაიგივოთ ეს ორი შედეგი. ვიღებთ: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), იმ პირობით, რომ F არის ანტიწარმოებული f ფუნქციისთვის . ამ ფორმულას ეწოდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. ეს იქნება ჭეშმარიტი ნებისმიერი უწყვეტი ფუნქციისთვის f ინტერვალზე.
ინტეგრალების გამოსათვლელად გამოიყენება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:
მაგალითი 1: გამოთვალეთ ინტეგრალი. ჩვენ ვპოულობთ ინტეგრანდ x2-ის ანტიწარმოებულს. ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება ფუნქცია (x3)/3.
ახლა ჩვენ ვიყენებთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულას:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
პასუხი: (-1;2)∫x2dx = 3.
მაგალითი 2: გამოთვალეთ ინტეგრალი (0;pi)∫sin(x)dx.
იპოვეთ ინტეგრანდული sin(x) ანტიწარმოებული. ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება –cos(x) ფუნქცია. გამოვიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
პასუხი: (0;pi)∫sin(x)dx=2
ზოგჯერ, აღნიშვნის სიმარტივისა და მოხერხებულობისთვის, F ფუნქციის ზრდა სეგმენტზე (F(b)-F(a)) იწერება შემდეგნაირად:

ამ აღნიშვნის გამოყენებით, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს მხოლოდ ჩაწერის სიმარტივის აბრევიატურაა, სხვაზე არაფერი არ მოქმედებს ამ ჩანაწერზე. ეს აღნიშვნა და ფორმულა (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) ექვივალენტური იქნება.

ამ ფორმულას ჯერ კიდევ უამრავი მეცნიერი და კალკულატორი იყენებს. მისი დახმარებით ლაიბნიცმა განვითარება მოუტანა მრავალ მეცნიერებას.

მიეცით უწყვეტი f ფუნქცია Ox ღერძის ზოგიერთ სეგმენტზე. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს ფუნქცია არ ცვლის თავის ნიშანს მთელ ინტერვალზე.

თუ f არის უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქცია გარკვეულ სეგმენტზე და F არის მისი ზოგიერთი ანტიდერივატი ამ სეგმენტზე, მაშინ მრუდი ტრაპეციის S ფართობი უდრის ამ სეგმენტზე ანტიდერივატივის ზრდას.

ეს თეორემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმულით:

S = F(b) - F(a)

f(x) ფუნქციის ინტეგრალი a-დან b-მდე იქნება S-ის ტოლი. აქ და ქვემოთ ზოგიერთი f(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის აღსანიშნავად, ინტეგრაციის ლიმიტებით a-დან b-მდე, გამოვიყენებთ შემდეგ აღნიშვნას. (a;b)∫f( x). ქვემოთ მოცემულია მაგალითი იმისა, თუ როგორ გამოიყურება.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გავაიგივოთ ეს ორი შედეგი. ვიღებთ: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), იმ პირობით, რომ F არის ანტიწარმოებული f ფუნქციისთვის . ამ ფორმულას ე.წ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულები. ეს იქნება ჭეშმარიტი ნებისმიერი უწყვეტი ფუნქციისთვის f ინტერვალზე.

ინტეგრალების გამოსათვლელად გამოიყენება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითი 1: გამოთვალეთ ინტეგრალი. იპოვეთ ინტეგრანდ x 2-ის ანტიწარმოებული. ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება ფუნქცია (x 3)/3.

ახლა ჩვენ ვიყენებთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულას:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

პასუხი: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

მაგალითი 2: გამოთვალეთ ინტეგრალი (0;pi)∫sin(x)dx.

იპოვეთ ინტეგრანდული sin(x) ანტიწარმოებული. ერთ-ერთი ანტიდერივატი იქნება -cos(x) ფუნქცია. გამოვიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

პასუხი: (0;pi)∫sin(x)dx=2

ზოგჯერ, აღნიშვნის სიმარტივისა და მოხერხებულობისთვის, F ფუნქციის ზრდა სეგმენტზე (F(b)-F(a)) იწერება შემდეგნაირად:

ამ აღნიშვნის გამოყენებით, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს მხოლოდ ჩაწერის სიმარტივის აბრევიატურაა, სხვაზე არაფერი არ მოქმედებს ამ ჩანაწერზე. ეს აღნიშვნა და ფორმულა (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) ექვივალენტური იქნება.

განსაზღვრული ინტეგრალი უწყვეტი ფუნქციიდან ვ(x) სასრულ ინტერვალზე [ ა, ბ] (სად) არის მისი ზოგიერთი ანტიწარმოებულის ზრდა ამ სეგმენტზე. (ზოგადად, გაგება შესამჩნევად გაგიადვილდებათ, თუ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თემას გაიმეორებთ) ამ შემთხვევაში, აღნიშვნა

როგორც ქვემოთ მოცემულ გრაფიკებში ჩანს (ანტიდერივატიული ფუნქციის ზრდა მითითებულია) განსაზღვრული ინტეგრალი შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი.(ის გამოითვლება, როგორც სხვაობა ანტიდერივატივის მნიშვნელობას ზედა ზღვარსა და მის მნიშვნელობას შორის ქვედა ზღვარში, ე.ი. ფ(ბ) - ფ(ა)).

ნომრები ადა ბეწოდება ინტეგრაციის ქვედა და ზედა საზღვრები, შესაბამისად, და ინტერვალი [ ა, ბ] არის ინტეგრაციის სეგმენტი.

ამრიგად, თუ ფ(x) არის რაღაც ანტიდერივატიული ფუნქცია ვ(x), შემდეგ, განმარტების მიხედვით,

(38)

ტოლობა (38) ეწოდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა . განსხვავება ფ(ბ) – ფ(ა) მოკლედ ასე იწერება:

ამიტომ, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა დაიწერება შემდეგნაირად:

(39)

დავამტკიცოთ, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელი ანტიდერივატი იქნება მიღებული ინტეგრანტის გამოთვლისას. დაე იყოს ფ(x) და F( X) არის ინტეგრადის თვითნებური ანტიწარმოებულები. ვინაიდან ესენი არიან ერთი და იგივე ფუნქციის ანტიდერივატივები, ისინი განსხვავდებიან მუდმივი ტერმინით: Ф( X) = ფ(x) + C. Ისე

ამრიგად, დადგენილია, რომ სეგმენტზე [ ა, ბ] ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის ზრდა ვ(x) მატჩი.

ამგვარად, განსაზღვრული ინტეგრალის გამოსათვლელად საჭიროა ინტეგრანტის რაიმე ანტიწარმოებულის პოვნა, ე.ი. ჯერ უნდა იპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. მუდმივი თან გამორიცხულია შემდგომი გამოთვლებიდან. შემდეგ გამოიყენება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა: ზედა ზღვრის მნიშვნელობა ჩანაცვლებულია ანტიდერივატიულ ფუნქციაში. ბ , შემდგომი - ქვედა ლიმიტის მნიშვნელობა ა და გამოთვალეთ განსხვავება F(b) - F(a) . შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება გარკვეული ინტეგრალი..

ზე ა = ბმიღებული განმარტებით

მაგალითი 1

გადაწყვეტილება. ჯერ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვიპოვოთ:

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება ანტიწარმოებულზე

(ზე თან= 0), ვიღებთ

თუმცა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლისას სჯობს არა ცალკე ვიპოვოთ ანტიწარმოებული, არამედ მაშინვე ჩაწეროთ ინტეგრალი სახით (39).

მაგალითი 2გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი

გადაწყვეტილება. ფორმულის გამოყენებით

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები

თეორემა 2.განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული ინტეგრაციის ცვლადის აღნიშვნაზე, ე.ი.

(40)

დაე იყოს ფ(x) არის ანტიდერივატი ვ(x). ამისთვის ვ(ტ) ანტიდერივატი იგივე ფუნქციაა ფ(ტ), რომელშიც დამოუკიდებელი ცვლადი სხვაგვარად აღინიშნება. აქედან გამომდინარე,

ფორმულის (39) საფუძველზე ბოლო ტოლობა ნიშნავს ინტეგრალების ტოლობას

თეორემა 3.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან, ე.ი.

(41)

თეორემა 4.სასრული რაოდენობის ფუნქციების ალგებრული ჯამის განსაზღვრული ინტეგრალი ამ ფუნქციების განსაზღვრული ინტეგრალების ალგებრული ჯამის ტოლია., ე.ი.

(42)

თეორემა 5.თუ ინტეგრაციის სეგმენტი დაყოფილია ნაწილებად, მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი მთელ სეგმენტზე უდრის მის ნაწილებზე განსაზღვრული ინტეგრალების ჯამს., ე.ი. თუ

(43)

თეორემა 6.ინტეგრაციის საზღვრების გადაწყობისას განსაზღვრული ინტეგრალის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ იცვლება, მაგრამ იცვლება მხოლოდ მისი ნიშანი., ე.ი.

(44)

თეორემა 7(საშუალო მნიშვნელობის თეორემა). განსაზღვრული ინტეგრალი უდრის ინტეგრაციული სეგმენტის სიგრძისა და ინტეგრატის მნიშვნელობის ნამრავლს მის შიგნით რაღაც მომენტში., ე.ი.

(45)

თეორემა 8.თუ ინტეგრაციის ზედა ზღვარი ქვედაზე მეტია და ინტეგრანტი არაუარყოფითი (დადებითი), მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალიც არაუარყოფითი (დადებითი), ე.ი. თუ

თეორემა 9.თუ ინტეგრაციის ზედა ზღვარი მეტია ქვედა ზღვარზე და ფუნქციებზე და უწყვეტია, მაშინ უტოლობა

შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ტერმინით, ე.ი.

(46)

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ ინტეგრალების პირდაპირი გამოთვლა.

მაგალითი 5გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი

მე-4 და მე-3 თეორემების გამოყენებით და ანტიწარმოებულების პოვნისას - ცხრილის ინტეგრალები (7) და (6), ვიღებთ

განსაზღვრული ინტეგრალი ცვლადი ზედა ზღვრით

დაე იყოს ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ] ფუნქცია და ფ(x) მისი პროტოტიპია. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალი

(47)

და მეშვეობით ტინტეგრაციის ცვლადი აღინიშნება ისე, რომ არ აირიოს იგი ზედა ზღვართან. როცა იცვლება Xგანსაზღვრული ინტეგრალი (47) ასევე იცვლება, ე.ი. ეს არის ინტეგრაციის ზედა ზღვრის ფუნქცია X, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ ფ(X), ე.ი.

(48)

დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია ფ(X) არის ანტიდერივატი ვ(x) = ვ(ტ). მართლაც, დიფერენცირება ფ(X), ვიღებთ

როგორც ფ(x) არის ანტიდერივატი ვ(x), ა ფ(ა) არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ფუნქცია ფ(X) არის ანტიდერივატითა ერთ-ერთი უსასრულო ნაკრები ვ(x), კერძოდ ის, რაც x = ამიდის ნულამდე. ეს დებულება მიიღება, თუ ტოლობაში (48) ჩავსვამთ x = ადა გამოიყენეთ წინა ნაწილის თეორემა 1.

განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდით და ცვლადის შეცვლის მეთოდით

სადაც, განსაზღვრებით, ფ(x) არის ანტიდერივატი ვ(x). თუ ინტეგრანდში ვაკეთებთ ცვლადის ცვლილებას

შემდეგ, ფორმულის შესაბამისად (16), შეგვიძლია დავწეროთ

ამ გამოთქმაში

ანტიდერივატიული ფუნქცია

მართლაც, მისი წარმოებული, შესაბამისად რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი, უდრის

მოდით, α და β იყოს ცვლადის მნიშვნელობები ტ, რისთვისაც ფუნქცია

იღებს შესაბამისად მნიშვნელობებს ადა ბ, ე.ი.

მაგრამ, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით, განსხვავება ფ(ბ) – ფ(ა) იქ არის

გამოყენებული ამოცანების გადაწყვეტა მცირდება ინტეგრალის გაანგარიშებამდე, მაგრამ ამის ზუსტად გაკეთება ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ზოგჯერ საჭიროა ვიცოდეთ გარკვეული ინტეგრალის მნიშვნელობა გარკვეული სიზუსტით, მაგალითად, მეათასედამდე.

არის ამოცანები, როდესაც საჭირო იქნება გარკვეული ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნა საჭირო სიზუსტით, შემდეგ გამოიყენება რიცხვითი ინტეგრაცია, როგორიცაა სიმპოსნის მეთოდი, ტრაპეცია, მართკუთხედები. ყველა შემთხვევა არ გვაძლევს საშუალებას გამოვთვალოთ გარკვეული სიზუსტით.

ეს სტატია განიხილავს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებას. ეს აუცილებელია განსაზღვრული ინტეგრალის ზუსტი გამოსათვლელად. მოყვანილი იქნება დეტალური მაგალითები, განხილული იქნება ცვლადის ცვლილება განსაზღვრულ ინტეგრალში და ვიპოვით განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობებს ნაწილების მიხედვით ინტეგრირებისას.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

განმარტება 1

როდესაც ფუნქცია y = y (x) არის უწყვეტი სეგმენტიდან [a; b ] და F (x) არის ამ სეგმენტის ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულასამართლიანად ითვლება. დავწეროთ ასე ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

ეს ფორმულა განიხილება ინტეგრალური გამოთვლის ძირითადი ფორმულა.

ამ ფორმულის დასამტკიცებლად, აუცილებელია გამოვიყენოთ ინტეგრალის კონცეფცია ხელმისაწვდომი ცვლადის ზედა ზღვართან.

როდესაც ფუნქცია y = f (x) არის უწყვეტი სეგმენტიდან [a; b ] , შემდეგ არგუმენტის მნიშვნელობა x ∈ a ; b , ხოლო ინტეგრალს აქვს ფორმა ∫ a x f (t) d t და ითვლება ზედა ზღვრის ფუნქციად. აუცილებელია მივიღოთ აღნიშვნა, რომ ფუნქცია მიიღებს ფორმას ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , ის არის უწყვეტი, და ფორმის უტოლობა ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) მოქმედებს მისთვის.

ვაფიქსირებთ, რომ Φ (x) ფუნქციის ზრდა შეესაბამება ∆ x არგუმენტის ზრდას, აუცილებელია გამოვიყენოთ განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე ძირითადი თვისება და მივიღოთ

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

სადაც მნიშვნელობა c ∈ x ; x + ∆x .

ტოლობას ვაფიქსირებთ Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . ფუნქციის წარმოებულის განმარტებით, საჭიროა ლიმიტზე გადავიდეს ∆ x → 0, შემდეგ მივიღებთ [a; b]-ზე მდებარე ფორმის ფორმულას, წინააღმდეგ შემთხვევაში, გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს.

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, სადაც C-ის მნიშვნელობა მუდმივია.

გამოვთვალოთ F (a) განსაზღვრული ინტეგრალის პირველი თვისებით. მაშინ მივიღებთ ამას

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, შესაბამისად C = F (a) . შედეგი გამოიყენება F (b) გაანგარიშებისას და მივიღებთ:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (ა) . ტოლობა ამტკიცებს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულას ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

ფუნქციის ზრდა მიღებულია F x a b = F (b) - F (a) . აღნიშვნის დახმარებით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ხდება ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

ფორმულის გამოსაყენებლად საჭიროა ვიცოდეთ ინტეგრადის y = f (x) ერთ-ერთი ანტიწარმოებული y = F (x) სეგმენტიდან [a; b ] , გამოთვალეთ ანტიწარმოებულის ზრდა ამ სეგმენტიდან. განვიხილოთ გამოთვლების რამდენიმე მაგალითი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ 1 3 x 2 d x ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით.

გადაწყვეტილება

განვიხილოთ, რომ y = x 2 ფორმის ინტეგრანტი უწყვეტია [1; 3 ] , მაშინ და არის ინტეგრირებადი ამ ინტერვალზე. განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილის მიხედვით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციას y \u003d x 2 აქვს ანტიწარმოებულების ნაკრები x-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის, რაც ნიშნავს, რომ x ∈ 1; 3 დაიწერება როგორც F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . აუცილებელია ავიღოთ ანტიდერივატი C \u003d 0-ით, შემდეგ მივიღებთ, რომ F (x) \u003d x 3 3.

გამოვიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა და მივიღოთ, რომ განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა მიიღებს ფორმას ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

პასუხი:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

მაგალითი 2

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით.

გადაწყვეტილება

მოცემული ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტიდან [-1; 2 ], რაც ნიშნავს, რომ მასზე ინტეგრირებადია. აუცილებელია ვიპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის მნიშვნელობა ∫ x e x 2 + 1 d x დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეჯამების მეთოდით, შემდეგ მივიღებთ ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.

მაშასადამე, ჩვენ გვაქვს y = x · e x 2 + 1 ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე, რომელიც მოქმედებს ყველა x, x ∈-1-ზე; 2.

აუცილებელია ანტიდერივატივის მიღება C = 0-ზე და გამოიყენოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

პასუხი:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ინტეგრალები ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x და ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

გადაწყვეტილება

სეგმენტი - 4; - 1 2 ამბობს, რომ ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ მყოფი ფუნქცია უწყვეტია, რაც ნიშნავს რომ ის ინტეგრირებადია. აქედან ვპოულობთ y = 4 x 3 + 2 x 2 ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლეს. ჩვენ ამას მივიღებთ

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

აუცილებელია ავიღოთ ანტიწარმოებული F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, შემდეგ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ ინტეგრალს, რომელსაც ვიანგარიშებთ:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

ჩვენ ვაკეთებთ გადასვლას მეორე ინტეგრალის გამოთვლაზე.

სეგმენტიდან [-1; 1 ] გვაქვს, რომ ინტეგრადი ითვლება შეუზღუდავად, რადგან lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , მაშინ აქედან გამომდინარეობს, რომ ინტეგრალობის აუცილებელი პირობაა სეგმენტიდან. მაშინ F (x) = 2 x 2 - 2 x არ არის ანტიწარმოებული y = 4 x 3 + 2 x 2 ინტერვალიდან [-1; 1 ] , რადგან წერტილი O ეკუთვნის სეგმენტს, მაგრამ არ შედის განმარტების დომენში. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს რიმანისა და ნიუტონ-ლაიბნიცის გარკვეული ინტეგრალი ფუნქციისთვის y = 4 x 3 + 2 x 2 ინტერვალიდან [ - 1 ; ერთი ] .

პასუხი: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,არსებობს რიმანისა და ნიუტონ-ლაიბნიცის გარკვეული ინტეგრალი ფუნქციისთვის y = 4 x 3 + 2 x 2 ინტერვალიდან [ - 1 ; ერთი ] .

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებამდე ზუსტად უნდა იცოდეთ განსაზღვრული ინტეგრალის არსებობის შესახებ.

ცვლადის ცვლილება განსაზღვრულ ინტეგრალში

როდესაც ფუნქცია y = f (x) არის განსაზღვრული და უწყვეტი სეგმენტიდან [a; b ] , შემდეგ არსებული სიმრავლე [a; b ] ითვლება α ინტერვალზე განსაზღვრული x = g (z) ფუნქციის დიაპაზონად; β არსებული უწყვეტი წარმოებულით, სადაც g (α) = a და g β = b, აქედან გამომდინარე მივიღებთ, რომ ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

ეს ფორმულა გამოიყენება მაშინ, როდესაც აუცილებელია ∫ a b f (x) d x ინტეგრალის გამოთვლა, სადაც განუსაზღვრელი ინტეგრალი აქვს ფორმა ∫ f (x) d x, ვიანგარიშებთ ჩანაცვლების მეთოდით.

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x ფორმის განსაზღვრული ინტეგრალი.

გადაწყვეტილება

ინტეგრანდელი განიხილება უწყვეტი ინტეგრაციის ინტერვალზე, რაც ნიშნავს, რომ გარკვეული ინტეგრალი არსებობს. მივცეთ აღნიშვნა, რომ 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . მნიშვნელობა x \u003d 9 ნიშნავს, რომ z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, ხოლო x \u003d 18-ისთვის მივიღებთ, რომ z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 \u003d 3, შემდეგ g u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18. მიღებული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფორმულით ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, მივიღებთ, რომ

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 9 d z

განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილის მიხედვით გვაქვს, რომ 2 z 2 + 9 ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი იღებს მნიშვნელობას 2 3 a r c t g z 3 . შემდეგ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ ამას

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = - 2 π4 π4

დასკვნა შეიძლება გაკეთდეს ფორმულის გამოყენების გარეშე ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

თუ ჩანაცვლების მეთოდი იყენებს ∫ 1 x 2 x - 9 d x ფორმის ინტეგრალს, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ შედეგი ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

აქედან ჩვენ გავაკეთებთ გამოთვლებს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით და გამოვთვლით განსაზღვრულ ინტეგრალს. ჩვენ ამას მივიღებთ

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 1 = \u003d π 18

შედეგები დაემთხვა.

პასუხი: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

ნაწილებით ინტეგრაცია განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლაში

თუ სეგმენტზე [a; b ] u (x) და v (x) ფუნქციები განსაზღვრულია და უწყვეტია, შემდეგ მათი პირველი რიგის წარმოებულები v "(x) u (x) ინტეგრირებადია, ასე რომ, ამ ინტერვალიდან ინტეგრირებადი ფუნქციისთვის u" (x) v (x) ტოლობა ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x მართალია.

ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მაშინ, აუცილებელია გამოვთვალოთ ინტეგრალი ∫ a b f (x) d x , და ∫ f (x) d x საჭირო იყო მისი პოვნა ნაწილებით ინტეგრაციის გამოყენებით.

მაგალითი 5

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

გადაწყვეტილება

ფუნქცია x sin x 3 + π 6 ინტეგრირებადია სეგმენტზე - π 2; 3 π 2, ამიტომ ის უწყვეტია.

მოდით u (x) \u003d x, შემდეგ d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, და d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, და v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . ფორმულიდან ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x ვიღებთ ამას

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - ცოდვა - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

მაგალითის გადაწყვეტა შეიძლება სხვა გზითაც.

იპოვეთ x sin x 3 + π 6 ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით ნაწილების ინტეგრაციის გამოყენებით:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

პასუხი: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

1 30-დან

პრეზენტაცია თემაზე:ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

სლაიდი ნომერი 1

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 2

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 3

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 4

სლაიდის აღწერა:

ნიუტონი და ლაიბნიცი შემორჩენილი დოკუმენტებიდან მეცნიერების ისტორიკოსებმა გაარკვიეს, რომ ნიუტონმა აღმოაჩინა დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლები ჯერ კიდევ 1665-1666 წლებში, მაგრამ არ გამოაქვეყნა იგი 1704 წლამდე. ლაიბნიცმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა ანალიზის ვერსია (1675 წლიდან), თუმცა მისი აზრის საწყისი იმპულსი ალბათ მოვიდა ჭორებიდან, რომ ნიუტონს უკვე ჰქონდა ასეთი გაანგარიშება, ასევე ინგლისში სამეცნიერო საუბრებისა და ნიუტონთან მიმოწერის წყალობით. ნიუტონისგან განსხვავებით, ლაიბნიცმა მაშინვე გამოაქვეყნა თავისი ვერსია და მოგვიანებით, იაკობთან და იოჰან ბერნულთან ერთად, ფართოდ გაავრცელა ეს საეტაპო აღმოჩენა მთელ ევროპაში. კონტინენტზე მეცნიერთა უმეტესობას ეჭვი არ ეპარებოდა, რომ ლაიბნიცმა აღმოაჩინა ანალიზი.

სლაიდი ნომერი 5

სლაიდის აღწერა:

მის პატრიოტიზმზე მოწოდებული მეგობრების დარწმუნების გათვალისწინებით, ნიუტონმა თავისი "პრინციპების" მე-2 წიგნში (1687) თქვა: წერილებში, რომლებიც გავცვალე დაახლოებით ათი წლის წინ ძალიან დახელოვნებულ მათემატიკოსთან, ბატონი იყო მეთოდი მაქსიმუმის და მინიმუმის დასადგენად. ტანგენტების დახატვა და მსგავსი კითხვების გადაჭრა, თანაბრად გამოიყენება როგორც რაციონალურ, ასევე ირაციონალურ ტერმინებზე, და დავმალე მეთოდი შემდეგი წინადადების ასოების გადალაგებით: „როდესაც მოცემულია განტოლება, რომელიც შეიცავს მიმდინარე სიდიდეების ნებისმიერ რაოდენობას, იპოვნეთ ნაკადები და უკან“. ყველაზე ცნობილმა ქმარმა მიპასუხა, რომ ისიც თავს დაესხა ასეთ მეთოდს და მომაწოდა თავისი მეთოდი, რომელიც ჩემგან ძლივს განსხვავდებოდა და შემდეგ მხოლოდ ფორმულების ტერმინებითა და წარწერებით.

სლაიდი ნომერი 6

სლაიდის აღწერა:

1693 წელს, როდესაც ნიუტონმა საბოლოოდ გამოაქვეყნა ანალიზის თავისი ვერსიის პირველი რეზიუმე, მან გაცვალა მეგობრული წერილები ლაიბნიცთან. ნიუტონმა თქვა: ჩვენმა უოლისმა დაურთო თავის "ალგებრას", რომელიც ახლახან გამოჩნდა, ზოგიერთი წერილი, რომელიც მე მოგწერე ჩემს დროს. ამავდროულად, მომთხოვა, ღიად განმეცხადებინა ის მეთოდი, რომელსაც მაშინ გიმალავდი ასოების გადალაგებით; რაც შემეძლო მოკლედ გავაკეთე. ვიმედოვნებ, რომ თქვენთვის უსიამოვნო არაფერი დამიწერია, მაგრამ თუ ეს მოხდა, გთხოვთ შემატყობინოთ, რადგან ჩემი მეგობრები მათემატიკური აღმოჩენებზე ძვირფასები არიან ჩემთვის.

სლაიდი ნომერი 7

სლაიდის აღწერა:

ნიუტონის ანალიზის პირველი დეტალური პუბლიკაციის გამოჩენის შემდეგ (მათემატიკური დანამატი "ოპტიკაში", 1704 წ.), ანონიმური მიმოხილვა გამოჩნდა ლაიბნიცის ჟურნალში "Acta eruditorum" ნიუტონის შეურაცხმყოფელი მინიშნებებით. მიმოხილვამ ნათლად მიუთითა, რომ ახალი გაანგარიშების ავტორი იყო ლაიბნიცი. თავად ლაიბნიცმა კატეგორიულად უარყო, რომ მიმოხილვა მის მიერ იყო დაწერილი, მაგრამ ისტორიკოსებმა შეძლეს იპოვონ მისი ხელნაწერით დაწერილი პროექტი. ნიუტონმა უგულებელყო ლაიბნიცის სტატია, მაგრამ მისმა მოსწავლეებმა აღშფოთებით უპასუხეს, რის შემდეგაც დაიწყო პან-ევროპული პრიორიტეტული ომი, „ყველაზე სამარცხვინო ჩხუბი მათემატიკის მთელ ისტორიაში“.

სლაიდი ნომერი 8

სლაიდის აღწერა:

1713 წლის 31 იანვარს სამეფო საზოგადოებამ მიიღო წერილი ლაიბნიცისგან, რომელიც შეიცავდა შემრიგებლურ ფორმულირებას: ის ეთანხმება, რომ ნიუტონი დამოუკიდებლად მოვიდა ანალიზზე, „ჩვენსავით ზოგად პრინციპებზე“. გაბრაზებულმა ნიუტონმა მოითხოვა საერთაშორისო კომისიის შექმნა პრიორიტეტის გასარკვევად. კომისიას დიდი დრო არ დასჭირვებია: თვენახევრის შემდეგ, შეისწავლა ნიუტონის მიმოწერა ოლდენბურგთან და სხვა დოკუმენტებთან, მან ერთხმად აღიარა ნიუტონის პრიორიტეტი, უფრო მეტიც, ამჯერად ლაიბნიცისთვის შეურაცხმყოფელი ფორმულირებით. კომისიის გადაწყვეტილება საზოგადოების საქმისწარმოებაში დაიბეჭდა ყველა დამადასტურებელი დოკუმენტით.

სლაიდი ნომერი 9

სლაიდის აღწერა:

ამის საპასუხოდ, 1713 წლის ზაფხულიდან ევროპა დატბორა ანონიმური ბროშურებით, რომლებიც იცავდნენ ლაიბნიცის პრიორიტეტს და ამტკიცებდნენ, რომ „ნიუტონი თავის თავს ითვისებს იმ პატივს, რომელიც სხვას ეკუთვნის“. ბროშურები ასევე ადანაშაულებდნენ ნიუტონს ჰუკისა და ფლამსტიდის შედეგების მოპარვაში. ნიუტონის მეგობრებმა, თავის მხრივ, თავად ლაიბნიცი პლაგიატში დაადანაშაულეს; მათი თქმით, ლაიბნიცი ლონდონში ყოფნისას (1676 წ.) სამეფო საზოგადოებაში გაეცნო ნიუტონის გამოუქვეყნებელ ნაშრომებს და წერილებს, რის შემდეგაც ლაიბნიცმა გამოაქვეყნა იქ გამოთქმული იდეები და გადასცა ისინი თავისებურად, ომი არ შესუსტებულა დეკემბრამდე. 1716 წელს, როდესაც აბატმა კონტიმ ნიუტონს აცნობა: „ლაიბნიცი მოკვდა - დავა დასრულდა.

სლაიდი ნომერი 10

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 11

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 12

სლაიდის აღწერა:

დააყენეთ თვითნებური მნიშვნელობა x € (a.b) და განსაზღვრეთ ახალი ფუნქცია. ის განსაზღვრულია ყველა მნიშვნელობისთვის x € (a.b), რადგან ვიცით, რომ თუ არსებობს ʄ-ის ინტეგრალი (a,b)-ზე, მაშინ არსებობს ასევე ʄ-ის (a,b)-ის ინტეგრალი, სადაც შეგახსენებთ, რომ ჩვენ ვივარაუდოთ განსაზღვრებით

სლაიდი ნომერი 13

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 14

სლაიდის აღწერა:

ამრიგად F არის უწყვეტი (a,b)-ზე, აქვს თუ არა ʄ უწყვეტობა; მნიშვნელოვანია, რომ ʄ იყოს ინტეგრირებადი (a,b)-ზე. ნახაზი გვიჩვენებს ʄ-ის გრაფიკს. ცვლადი ფიგურის aABx ფართობი უდრის F (X) მისი ნამატი F (X+h)-F(x) უდრის xBC(x+h) ფიგურის ფართობს, რაც, იმის გამო ʄ-ის საზღვარი, აშკარად მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც h → 0, მიუხედავად იმისა, იქნება თუ არა x უწყვეტობის წერტილი თუ შეწყვეტის წერტილი ʄ მაგ. x-d წერტილი

სლაიდი ნომერი 15

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 16

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 17

სლაიდის აღწერა:

h→0-ში ზღვარზე გადასვლა გვიჩვენებს F-ის წარმოებულის არსებობას წერტილში და ტოლობის მართებულობას. x=a,b-ზე ვსაუბრობთ, შესაბამისად, მარჯვენა და მარცხენა წარმოებულებზე. თუ ფუნქცია ʄ არის უწყვეტი (a,b) -ზე, მაშინ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შესაბამის ფუნქციას აქვს წარმოებული ტოლი ამიტომ, ფუნქცია F(x) არის ანტიწარმოებული ʄ-სთვის (a,b)

სლაიდი ნომერი 18

სლაიდის აღწერა:

ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თვითნებურ უწყვეტ ფუნქციას ʄ სეგმენტზე (a,b) აქვს ანტიდერივატი ამ სეგმენტზე, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით. ეს ადასტურებს ანტიდერივატივის არსებობას ნებისმიერი უწყვეტი ფუნქციისთვის ინტერვალზე. ახლა მოდით იყოს ʄ(x) ფუნქციის თვითნებური ანტიდერივატი (a,b)-ზე. ჩვენ ვიცით, რომ სადაც C არის რაღაც მუდმივი. თუ დავუშვებთ ამ თანასწორობას x=a და იმის გათვალისწინებით, რომ F(a)=0 მივიღებთ Ф(a)=C ამგვარად, მაგრამ

სლაიდი ნომერი 19

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 20

სლაიდის აღწერა:

ინტეგრალი ფუნქციის ინტეგრალი არის მიმდევრობის ჯამის ბუნებრივი ანალოგი. ანალიზის ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით, ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის საპირისპირო ოპერაცია. ინტეგრალის პოვნის პროცესს უწოდებენ ინტეგრაციას, არსებობს ინტეგრაციის მოქმედების რამდენიმე განსხვავებული განმარტება, რომლებიც განსხვავდება ტექნიკური დეტალებით. თუმცა, ისინი ყველა თავსებადია, ანუ ინტეგრაციის ნებისმიერი ორი მეთოდი, თუ მათი გამოყენება შესაძლებელია მოცემულ ფუნქციაზე, იგივე შედეგს მოგვცემს.

სლაიდი ნომერი 21

სლაიდის აღწერა:

სლაიდი ნომერი 22

სლაიდის აღწერა:

ისტორია dx წარმოშობის ინტეგრალის ნიშნები პირველად გამოიყენა ლაიბნიცმა მე-17 საუკუნის ბოლოს. ინტეგრალის სიმბოლო ჩამოყალიბდა ასო S-დან - სიტყვა ლატის აბრევიატურა. ჯამი (ჯამობა). ინტეგრალი ანტიკურში ინტეგრაცია შეიძლება აღმოჩნდეს ძველ ეგვიპტეში, დაახლოებით 1800 წ. ე., მოსკოვის მათემატიკური პაპირუსი აჩვენებს დამსხვრეული პირამიდის მოცულობის ფორმულის ცოდნას. ინტეგრალების გამოთვლის პირველი ცნობილი მეთოდი არის ევდოქსის (დაახლოებით ძვ. წ. 370) ამოწურვის მეთოდი, რომელიც ცდილობდა მოეპოვებინა ფართობები და მოცულობები მათი უსასრულო რაოდენობის ნაწილებად დაშლით, რომელთა ფართობი ან მოცულობა უკვე ცნობილია. ეს მეთოდი აიღო და შეიმუშავა არქიმედესმა და გამოიყენა პარაბოლების ფართობის გამოსათვლელად და წრის ფართობის მიახლოებით. მსგავსი მეთოდები დამოუკიდებლად შეიმუშავა ჩინეთში მე-3 საუკუნეში ლიუ ჰუის მიერ, რომელმაც გამოიყენა ისინი წრის ფართობის დასადგენად. ეს მეთოდი შემდგომში გამოიყენა ჯუ ჩონგშიმ სფეროს მოცულობის საპოვნელად.

სლაიდი ნომერი 23

სლაიდის აღწერა:

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის ისტორიული მნიშვნელობა და ფილოსოფიური მნიშვნელობა ამ სერიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კვლევის ინსტრუმენტია ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა და მის უკან არსებული ანტიდერივატიული ფუნქციის პოვნის მეთოდი მისი წარმოებულის ინტეგრირებით. ფორმულის ისტორიული მნიშვნელობა არის უსასრულო სიდიდეების გამოყენებაში და დასმულ კითხვაზე აბსოლუტურად ზუსტ პასუხში. ცნობილია ამ მეთოდის გამოყენების უპირატესობები მათემატიკური, ფიზიკური და სხვა საბუნებისმეტყველო ამოცანების გადასაჭრელად, მაგალითად, წრის კვადრატის კლასიკური ამოცანა - მოცემული წრის თანაბარი ზომის კვადრატის აგება. ფილოსოფიური მნიშვნელობა - მთელის შესახებ ინფორმაციის მოპოვების შესაძლებლობა მისი უსასრულო მცირე ნაწილიდან, რომელიც ზემოთ აღინიშნა - აშკარად რეალიზებულია მედიცინასა და ბიოლოგიაში, რისი მაგალითიც შეიძლება იყოს გენეტიკური ინჟინერიის წარმატება კლონირებაში - ორმხრივი მსგავსი ცოცხალი არსებების შექმნა. . ისტორია რჩება იშვიათ გამონაკლისად იმ მეცნიერებათა სიაში, რომლებმაც გამოიყენეს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. ისტორიული წყაროებიდან ინფორმაციის რიცხვით - ფორმულის არგუმენტების სახით წარმოდგენის შეუძლებლობა ტრადიციულია. ამრიგად, ამ დრომდე, ფორმულის ფილოსოფიური მნიშვნელობა არ არის მთლიანად ფილოსოფიური, რადგან ის რეალიზებულია მხოლოდ საბუნებისმეტყველო ცოდნაში, ტოვებს სოციალურ და ჰუმანიტარულ ცოდნას ასეთი ძლიერი ინსტრუმენტის გარეშე. თუმცა, თუ ადამიანი იცავს სოციალური და ჰუმანიტარული ცოდნის ტრადიციულ მახასიათებლებს, მის სისუსტეებს, ასე ვთქვათ, ეს მასზეა დამოკიდებული.

სლაიდი ნომერი 24

სლაიდის აღწერა:

მაგრამ შემდგომი მეცნიერული ანალიზი ჩვენს დროში ახალ, განსხვავებულ სურათს იძლევა მიმდინარე პროცესის შესახებ. ატომისტური შეხედულებები, რომლებიც ახლა დომინანტურია მეცნიერებაში, არღვევს მატერიას პაწაწინა ნაწილაკების გროვად ან ძალთა რეგულარულად განლაგებულ ცენტრებად, რომლებიც მარადიულ სხვადასხვა მოძრაობაში არიან. ანალოგიურად, ეთერის შემღწევი მატერია მუდმივად აღგზნებულია და ტალღებად რხევა. მატერიისა და ეთერის ყველა ეს მოძრაობა ყველაზე მჭიდრო და უწყვეტ კავშირშია მსოფლიო სივრცესთან, რომელიც ჩვენთვის უსასრულოა. ჩვენი კონკრეტული წარმოსახვისთვის მიუწვდომელი ასეთი წარმოდგენა ფიზიკის მონაცემებიდან გამომდინარეობს.

სლაიდი ნომერი 25

სლაიდის აღწერა:

მისტიკურმა და მაგიურმა მიმდინარეობებმაც კი უნდა გაითვალისწინონ ეს პოზიცია, თუმცა მათ შეუძლიათ, დროის კონცეფციისთვის განსხვავებული მნიშვნელობის მინიჭებით, მთლიანად გაანადგურონ ამ ფაქტის მნიშვნელობა ზოგად მსოფლმხედველობაში. ამრიგად, სანამ კითხვა ეხება გრძნობებით აღქმულ ფენომენებს, ფილოსოფიის და რელიგიის ეს სფეროებიც კი, რომლებიც ყველაზე შორს არიან ზუსტი ცოდნისაგან, უნდა გაითვალისწინონ მეცნიერულად დადასტურებული ფაქტი, როგორც უნდა გაითვალისწინონ ის ფაქტი, რომ ორჯერ ორი არის ოთხი. არე, რომელიც ექვემდებარება გრძნობებს.და გონებას.

სლაიდი ნომერი 26

სლაიდის აღწერა:

ამავდროულად, კაცობრიობის მიერ დაგროვილი ცოდნის რაოდენობა უკვე სავსებით საკმარისია ამ ტრადიციის დასარღვევად. მართლაც, არ არის საჭირო პითაგორას გზით მოძებნოთ ციფრული კორესპონდენცია გამონათქვამებთან „პეტრე მე ეწვია ვენეციას დიდი საელჩოს დროს“ და „პეტრე მე არ ვიყავი ვენეციაში დიდი საელჩოს დროს“, როდესაც ეს გამონათქვამები თავისთავად ადვილად შეიძლება ემსახურებოდეს. როგორც ჯორჯ ბულის ლოგიკის ალგებრის არგუმენტები. ყოველი ისტორიული კვლევის შედეგი არსებითად ასეთი არგუმენტების ერთობლიობაა. ამრიგად, ჩემი აზრით, გამართლებულია ლოგიკის ალგებრის არგუმენტების სახით წარმოდგენილი ისტორიული კვლევების ინტეგრირებული ფუნქციის სახით გამოყენება, რათა მივიღოთ შესასწავლი ისტორიული მოვლენის ყველაზე სავარაუდო რეკონსტრუქცია. ანტიდერივატი. გზაზე ბევრი გამოწვევაა. კერძოდ: კონკრეტული ისტორიული კვლევის წარმოდგენა - რეკონსტრუქციული მოვლენის წარმოებული - ლოგიკური გამონათქვამების ნაკრების სახით - ოპერაცია აშკარად უფრო რთულია, ვიდრე, მაგალითად, მარტივი ბიბლიოთეკის არქივის ელექტრონული კატალოგი. ამასთან, მე-20-ე საუკუნის ბოლოს - 21-ე საუკუნის დასაწყისის ინფორმაციული გარღვევა (ელემენტური ბაზის უკიდურესად მაღალი ხარისხი და ინფორმაციის სიმძლავრის ზრდა) ამგვარი ამოცანის შესრულებას საკმაოდ რეალურს ხდის.

სლაიდი ნომერი 27

სლაიდის აღწერა:

ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით, დღევანდელ ეტაპზე ისტორიული ანალიზი არის მათემატიკური ანალიზი ალბათობის თეორიითა და ლოგიკის ალგებრით, ხოლო სასურველი ანტიდერივატიული ფუნქცია არის ისტორიული მოვლენის ალბათობა, რომელიც ზოგადად საკმაოდ თანმიმდევრული და თანაბარია. ავსებს მეცნიერების იდეას ამჟამინდელ ეტაპზე, რადგან არსის ცნების ჩანაცვლება ფუნქციის კონცეფციით - რაც მთავარია თანამედროვე მეცნიერების გაგებაში - ავსებს ამ ფუნქციის შეფასებით. შესაბამისად, ფორმულის თანამედროვე ისტორიული მნიშვნელობა მდგომარეობს ლაიბნიცის ოცნების რეალიზაციის შესაძლებლობაში „იმ დროს, როდესაც გაუთავებელი კამათის ნაცვლად, ორი ფილოსოფოსი, როგორც ორი მათემატიკოსი, აიღებს კალმებს ხელში და მაგიდასთან დასხდნენ, შეცვალონ. დავა გაანგარიშებით“. თითოეულ ისტორიულ კვლევა-დასკვნას აქვს არსებობის უფლება, ასახავს რეალურ მოვლენას და ავსებს ინფორმაციულ ისტორიულ სურათს. ისტორიული მეცნიერების გადაგვარების საშიშროება უფერო ფრაზები-განცხადებების ერთობლიობაში - შემოთავაზებული მეთოდის გამოყენების შედეგი, სხვა არაფერია, თუ არა მუსიკის გადაგვარების საშიშროება ბგერათა ერთობლიობაში და ფერთა ნაკრებად გადაქცევის საფრთხე. ადამიანის განვითარების ამჟამინდელი ეტაპი. ასე ვხედავ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის ახალ ფილოსოფიურ მნიშვნელობას, რომელიც პირველად იქნა მოცემული მე-17 საუკუნის ბოლოს - მე-18 საუკუნის დასაწყისში.

სლაიდი ნომერი 28

სლაიდის აღწერა:

ფაქტობრივად, ფორმულა, სოციალური და ჰუმანიტარული ცოდნის მატარებლების მიერ მათემატიკური სიმბოლოების აღქმის თავისებურებიდან გამომდინარე, რომელიც გამოხატულია პანიკური შიშით ამ ნიშნების ნებისმიერი წარმოდგენის ამ მატარებლების მიერ, მოცემულია სიტყვიერი ფორმით: განსაზღვრული ინტეგრალი. ფუნქციის წარმოებული არის ამ ფუნქციის ანტიდერივატი. გარკვეული ფორმალური განსხვავება წრის კვადრატის პრობლემის მოცემულ მაგალითსა და დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში თვითნებური მრუდის ქვეშ მდებარე ფართობის გამოთვლის ჩვეულებრივ საგანმანათლებლო და მათემატიკურ მაგალითს შორის, რა თქმა უნდა, არ ცვლის არსს.

სლაიდი ნომერი 29

სლაიდის აღწერა:

გამოყენებული ლიტერატურა: 1. ბროდსკი ი.ა. ნაწარმოები ოთხ ტომად. T.3. SPb., 1994. 2. ვერნადსკი ვ.ი. ბიოსფერო და ნოოსფერო. მ., 2003. 3. ვუნდტი, ვილჰელმი. შესავალი ფილოსოფიაში. მ., 2001. 4. გაიდენკო პ.პ. მეცნიერების კონცეფციის ევოლუცია. მ., 1980. 5. დეკარტი, რენე. რეფლექსია პრიმიტიულ ფილოსოფიაზე. SPb., 1995. 6. კარპოვი გ.მ. პეტრე I. კალინინგრადის დიდი საელჩო, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Vidman F. Philosophy: dtv-Atlas. მ., 2002. 8. მალახოვსკი ვ.ს. მათემატიკის ისტორიის რჩეული თავები. კალინინგრადი, 2002. 9. Natanson I.P. მოკლე კურსი უმაღლესი მათემატიკაში. SPb., 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. მ., 1988. 11. შერემეტევსკი ვ.პ. ნარკვევები მათემატიკის ისტორიის შესახებ. მ., 2004 ინტერნეტ რესურსები http://ru.wikipedia.org

სლაიდი ნომერი 30

სლაიდის აღწერა: