ცნობილია, რომ ძირის ნიშანი არის რომელიმე რიცხვის კვადრატული ფესვი. თუმცა, ფესვის ნიშანი ნიშნავს არა მხოლოდ ალგებრულ ოპერაციას, არამედ გამოიყენება ხის დამუშავებაშიც - ფარდობითი ზომების გამოთვლაში.

Yandex.RTB R-A-339285-1

თუ გსურთ ისწავლოთ ფესვების გამრავლება "თან" ან "გარეშე" ფაქტორებით, მაშინ ეს სტატია თქვენთვისაა. მასში განვიხილავთ ფესვების გამრავლების მეთოდებს:

• მულტიპლიკატორების გარეშე;
• მამრავლებით;
• სხვადასხვა მაჩვენებლებით.

ძირეული გამრავლების მეთოდი მამრავლების გარეშე

მოქმედების ალგორითმი:

დარწმუნდით, რომ ფესვს აქვს იგივე მაჩვენებლები (გრადუსები). შეგახსენებთ, რომ ხარისხი იწერება მარცხნივ ძირის ნიშნის ზემოთ. თუ არ არის ხარისხის აღნიშვნა, ეს ნიშნავს, რომ ფესვი არის კვადრატი, ე.ი. მე-2 ხარისხით და ის შეიძლება გამრავლდეს სხვა ფესვებზე მე-2 გრადუსით.

მაგალითი

მაგალითი 1: 18 × 2 = ?

მაგალითი 2: 10 × 5 = ?

მაგალითი

მაგალითი 1: 18 × 2 = 36

მაგალითი 2: 10 × 5 = 50

მაგალითი 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

ძირეული გამონათქვამების გამარტივება.როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ ფესვებს ერთმანეთთან, ჩვენ შეგვიძლია გავამარტივოთ მიღებული რადიკალური გამოხატულება რიცხვის (ან გამოხატვის) ნამრავლზე სრული კვადრატით ან კუბით:

მაგალითი

მაგალითი 1: 36 = 6. 36 არის ექვსის კვადრატული ფესვი (6 × 6 = 36).

მაგალითი 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . ჩვენ ვანაწილებთ რიცხვს 50 25-ისა და 2-ის ნამრავლად. 25-ის ფესვი არის 5, ამიტომ ძირის ნიშნის ქვეშ ვიღებთ 5-ს და ვამარტივებთ გამოხატვას.

მაგალითი 3: 27 3 = 3. 27-ის კუბური ფესვი არის 3: 3 × 3 × 3 = 27.

მაჩვენებლების გამრავლების მეთოდი მამრავლებით

მოქმედების ალგორითმი:

მამრავლების გამრავლება.მულტიპლიკატორი არის რიცხვი, რომელიც მოდის ძირის ნიშანზე წინ. მულტიპლიკატორის არარსებობის შემთხვევაში, ის, ნაგულისხმევად, ერთად ითვლება. შემდეგი, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ფაქტორები:

მაგალითი

მაგალითი 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

მაგალითი 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

გაამრავლეთ რიცხვები ფესვის ნიშნის ქვეშ.ფაქტორების გამრავლების შემდეგ, თავისუფლად გაამრავლეთ რიცხვები ფესვის ნიშნის ქვეშ:

მაგალითი

მაგალითი 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

მაგალითი 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

ძირეული გამოხატვის გამარტივება.შემდეგი, თქვენ უნდა გაამარტივოთ მნიშვნელობები, რომლებიც ძირის ნიშნის ქვეშ არის - თქვენ უნდა ამოიღოთ შესაბამისი რიცხვები ძირეული ნიშნიდან. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები და ფაქტორები, რომლებიც მოდის ძირის ნიშანზე:

მაგალითი

მაგალითი 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

მაგალითი 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

ფესვის გამრავლების მეთოდი სხვადასხვა მაჩვენებლით

მოქმედების ალგორითმი:

იპოვეთ მაჩვენებლების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM).უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ორივე მაჩვენებელზე.

მაგალითი

აუცილებელია ვიპოვოთ ინდიკატორების LCM შემდეგი გამოსახულებისთვის:

მაჩვენებლები არის 3 და 2. ამ ორი რიცხვისთვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი 6 (ის ნარჩენების გარეშე იყოფა როგორც 3-ზე, ასევე 2-ზე). ფესვების გასამრავლებლად საჭიროა 6-ის მაჩვენებელი.

დაწერეთ თითოეული გამონათქვამი ახალი მაჩვენებლით:

იპოვეთ რიცხვები, რომლებითაც საჭიროა ინდიკატორების გამრავლება LCM-ის მისაღებად.

გამოთქმაში 5 3 თქვენ უნდა გაამრავლოთ 3 2-ზე 6-ის მისაღებად. ხოლო გამოთქმაში 2 2 - პირიქით, 6-ის მისაღებად აუცილებელია 3-ზე გამრავლება.

აწიეთ რიცხვი ძირის ნიშნის ქვეშ წინა საფეხურზე ნაპოვნი რიცხვის ტოლი სიმძლავრით. პირველი გამოსახულებისთვის 5 უნდა გაიზარდოს 2-ის ხარისხზე, ხოლო მეორე - 2 3-ის ხარისხზე:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

აწიეთ გამოხატვის ძალა და ჩაწერეთ შედეგი ძირეული ნიშნის ქვეშ:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

გაამრავლეთ რიცხვები ფესვის ქვეშ:

(8×25) 6

დაწერე შედეგი:

(8 × 25) 6 = 200 6

თუ შესაძლებელია, გაამარტივეთ გამოხატვა, მაგრამ ამ შემთხვევაში ეს არ არის გამარტივებული.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

გამარჯობა კნუტები! ბოლო დროს დეტალურად გავაანალიზეთ რა არის ფესვები (თუ არ გახსოვთ, გირჩევთ წაიკითხოთ). ამ გაკვეთილის მთავარი დასკვნა: არსებობს ფესვების მხოლოდ ერთი უნივერსალური განმარტება, რომელიც უნდა იცოდეთ. დანარჩენი სისულელეა და დროის კარგვაა.

დღეს ჩვენ უფრო შორს მივდივართ. ვისწავლით ფესვების გამრავლებას, შევისწავლით გამრავლებასთან დაკავშირებულ ზოგიერთ პრობლემას (თუ ეს ამოცანები არ მოგვარდება, შეიძლება გამოცდაზე საბედისწერო გახდეს) და სათანადოდ ვივარჯიშებთ. ასე რომ, შეაგროვეთ პოპკორნი, თავი კომფორტულად იგრძნოთ - და ჩვენ დავიწყებთ. :)

ჯერ არ მოუწევიათ, არა?

გაკვეთილი საკმაოდ დიდი აღმოჩნდა, ამიტომ ორ ნაწილად დავყავი:

1. პირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ გამრავლების წესებს. ქუდი თითქოს მიანიშნებს: ეს არის მაშინ, როდესაც ორი ფესვია, მათ შორის არის ნიშანი "გამრავლება" - და ჩვენ გვინდა რაღაც გავაკეთოთ.
2. შემდეგ გავაანალიზებთ საპირისპირო ვითარებას: არის ერთი დიდი ფესვი და ჩვენ მოუთმენელი ვიყავით, რომ უფრო მარტივი სახით წარმოგვედგინა ის, როგორც ორი ფესვის პროდუქტი. რა შიშით არის საჭირო ეს ცალკე საკითხია. ჩვენ მხოლოდ ალგორითმს გავაანალიზებთ.

მათთვის, ვინც ვერ ითმენს პირდაპირ ნაწილ 2-ში გადასვლას, მოგესალმებით. დავიწყოთ დანარჩენი თანმიმდევრობით.

გამრავლების ძირითადი წესი

დავიწყოთ უმარტივესი - კლასიკური კვადრატული ფესვებით. ისინი, რომლებიც აღინიშნება $\sqrt(a)$-ით და $\sqrt(b)$-ით. მათთვის, ზოგადად, ყველაფერი ნათელია:

გამრავლების წესი. ერთი კვადრატული ფესვის მეორეზე გასამრავლებლად, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მათი რადიკალური გამონათქვამები და დაწეროთ შედეგი საერთო რადიკალის ქვეშ:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

არანაირი დამატებითი შეზღუდვა არ არის დაწესებული მარჯვნივ ან მარცხნივ რიცხვებზე: თუ არსებობს მულტიპლიკატორის ფესვები, მაშინ პროდუქტიც არსებობს.

მაგალითები. განვიხილოთ ოთხი მაგალითი ერთდროულად რიცხვებით:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, ამ წესის მთავარი მნიშვნელობა ირაციონალური გამონათქვამების გამარტივებაა. და თუ პირველ მაგალითში ახალი წესების გარეშე ამოვიღებდით ფესვებს 25-დან და 4-დან, მაშინ იწყება კალა: $\sqrt(32)$ და $\sqrt(2)$ თავისთავად არ ითვლიან, მაგრამ მათი ნამრავლი აღმოჩნდება ზუსტი კვადრატი, ამიტომ მისი ფესვი რაციონალური რიცხვის ტოლია.

ცალკე მინდა აღვნიშნო ბოლო სტრიქონი. იქ ორივე რადიკალური გამონათქვამი წილადია. პროდუქტის წყალობით, მრავალი ფაქტორი ქრება და მთელი გამოხატულება იქცევა ადექვატურ რიცხვად.

რა თქმა უნდა, ყველაფერი ყოველთვის ასე ლამაზი არ იქნება. ზოგჯერ ფესვების ქვეშ სრული სისულელე იქნება - გაუგებარია რა უნდა გააკეთოს და როგორ გარდაიქმნას გამრავლების შემდეგ. ცოტა მოგვიანებით, როცა დაიწყებთ ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების შესწავლას, იქნება ყველანაირი ცვლადი და ზოგადად ფუნქცია. და ძალიან ხშირად, პრობლემების შემდგენელები მხოლოდ იმედოვნებენ იმ ფაქტს, რომ თქვენ იპოვით კონტრაქტის პირობებს ან ფაქტორებს, რის შემდეგაც ამოცანა მნიშვნელოვნად გამარტივდება.

გარდა ამისა, არ არის აუცილებელი ზუსტად ორი ფესვის გამრავლება. შეგიძლიათ გაამრავლოთ სამი ერთდროულად, ოთხი - დიახ, თუნდაც ათი! ეს წესს არ შეცვლის. Შეხედე:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ისევ მცირე შენიშვნა მეორე მაგალითზე. როგორც ხედავთ, მესამე მულტიპლიკატორში ფესვის ქვეშ არის ათობითი წილადი - გამოთვლების პროცესში მას ვცვლით ჩვეულებრივით, რის შემდეგაც ყველაფერი მარტივად მცირდება. ასე რომ: უაღრესად გირჩევთ, თავი დააღწიოთ ათობითი წილადებს ნებისმიერ ირაციონალურ გამონათქვამებში (ანუ შეიცავს მინიმუმ ერთ რადიკალურ ხატს). ეს დაზოგავს დიდ დროსა და ნერვებს მომავალში.

მაგრამ ეს იყო ლირიკული გადახვევა. ახლა განვიხილოთ უფრო ზოგადი შემთხვევა - როდესაც ფესვის მაჩვენებელი შეიცავს თვითნებურ რიცხვს $n$ და არა მხოლოდ "კლასიკურ" ორს.

თვითნებური ინდიკატორის შემთხვევა

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კვადრატული ფესვები. და რა ვუყოთ კუბებს? ან საერთოდ $n$ თვითნებური ხარისხის ფესვებით? დიახ, ყველაფერი იგივეა. წესი იგივე რჩება:

$n$ ხარისხის ორი ფესვის გასამრავლებლად საკმარისია მათი რადიკალური გამონათქვამების გამრავლება, რის შემდეგაც შედეგი იწერება ერთი რადიკალის ქვეშ.

ზოგადად, არაფერი რთული. თუ გამოთვლების მოცულობა შეიძლება იყოს მეტი. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითები. პროდუქტების გამოთვლა:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((25)^(3 ))))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ისევ ყურადღება მეორე გამოთქმაზე. ვამრავლებთ კუბურ ფესვებს, ვაშორებთ ათწილადის წილადს და შედეგად ვიღებთ მნიშვნელში 625 და 25 რიცხვების ნამრავლს, ეს საკმაოდ დიდი რიცხვია - პირადად მე მაშინვე არ გამოვთვლი რის ტოლია. რომ.

ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ შევარჩიეთ ზუსტი კუბი მრიცხველში და მნიშვნელში, შემდეგ კი გამოვიყენეთ $n$th ხარისხის ფესვის ერთ-ერთი ძირითადი თვისება (ან, თუ გნებავთ, განმარტება):

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\მარცხენა| a\ უფლება|. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასეთმა „თაღლითებმა“ შეიძლება დაზოგოთ ბევრი დრო გამოცდაზე ან გამოცდაზე, ამიტომ გახსოვდეთ:

ნუ იჩქარებთ რადიკალურ გამოსახულებაში რიცხვების გამრავლებას. პირველი, შეამოწმეთ: რა მოხდება, თუ რაიმე გამონათქვამის ზუსტი ხარისხი იქ „დაშიფრულია“?

ამ შენიშვნის მთელი ცხადია, უნდა ვაღიარო, რომ მოუმზადებელი სტუდენტების უმეტესობა ცარიელ წერტილში ვერ ხედავს ზუსტ ხარისხს. სამაგიეროდ ამრავლებენ ყველაფერს წინ და მერე აინტერესებთ: რატომ მიიღეს ასეთი სასტიკი ნომრები? :)

თუმცა, ეს ყველაფერი ბავშვის თამაშია იმასთან შედარებით, რასაც ახლა შევისწავლით.

ფესვების გამრავლება სხვადასხვა მაჩვენებლით

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ფესვები იმავე მაჩვენებლებით. რა მოხდება, თუ ქულები განსხვავებულია? თქვით, როგორ გავამრავლოთ ჩვეულებრივი $\sqrt(2)$ რაღაც სისულელეზე, როგორიცაა $\sqrt(23)$? შესაძლებელია კი ამის გაკეთება?

დიახ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ. ყველაფერი კეთდება ამ ფორმულის მიხედვით:

ფესვის გამრავლების წესი. $\sqrt[n](a)$-ზე $\sqrt[p](b)$-ზე გასამრავლებლად, უბრალოდ გააკეთეთ შემდეგი ტრანსფორმაცია:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

თუმცა, ეს ფორმულა მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რადიკალური გამონათქვამები არანეგატიურია. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა, რომელსაც ცოტა მოგვიანებით დავუბრუნდებით.

ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ახლა გავარკვიოთ, საიდან გაჩნდა არანეგატიურობის მოთხოვნა და რა მოხდება, თუ მას დავარღვევთ. :)

ფესვების გამრავლება ადვილია.

რატომ უნდა იყოს რადიკალური გამონათქვამები არაუარყოფითი?

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ სკოლის მასწავლებლებივით გახდეთ და ჭკვიანური იერით მოიყვანოთ სახელმძღვანელო:

არანეგატიურობის მოთხოვნა დაკავშირებულია ლუწი და კენტი ხარისხის ფესვების განსხვავებულ განმარტებებთან (შესაბამისად, მათი განსაზღვრის დომენებიც განსხვავებულია).

ისე, უფრო ნათელი გახდა? მე პირადად მე-8 კლასში რომ წავიკითხე ეს სისულელე, მე თვითონ მივხვდი ასე: „არანეგატიურობის მოთხოვნა *#&^@(*#@^#)~%-თან ასოცირდება“ - მოკლედ, მე. იმ დროს სისულელე ვერ გავიგე :)

ამიტომ ახლა ყველაფერს ნორმალურად აგიხსნით.

ჯერ გავარკვიოთ, საიდან მოდის ზემოთ მოცემული გამრავლების ფორმულა. ამისათვის შეგახსენებთ root-ის ერთ მნიშვნელოვან თვისებას:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავზარდოთ ძირეული გამოხატულება ნებისმიერ ბუნებრივ სიმძლავრემდე $k$ - ამ შემთხვევაში, ფესვის ინდექსი უნდა გამრავლდეს იმავე სიმძლავრეზე. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია ადვილად დავამციროთ ნებისმიერი ფესვი საერთო ინდიკატორამდე, რის შემდეგაც ვამრავლებთ. აქედან მოდის გამრავლების ფორმულა:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((ბ)^(n)))\]

მაგრამ არის ერთი პრობლემა, რომელიც მკვეთრად ზღუდავს ყველა ამ ფორმულის გამოყენებას. გაითვალისწინეთ ეს რიცხვი:

ახლახან მოცემული ფორმულის მიხედვით, შეგვიძლია დავამატოთ ნებისმიერი ხარისხი. მოდით ვცადოთ $k=2$-ის დამატება:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

მინუსი სწორედ იმიტომ მოვაცილეთ, რომ კვადრატი წვავს მინუსს (როგორც ნებისმიერი სხვა ლუწი ხარისხი). ახლა კი შევასრულოთ საპირისპირო ტრანსფორმაცია: „შევამციროთ“ ორი მაჩვენებლით და ხარისხით. ყოველივე ამის შემდეგ, ნებისმიერი თანასწორობა შეიძლება წაიკითხოს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ა); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ შემდეგ რაღაც გიჟური ხდება:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

ეს არ შეიძლება იყოს იმიტომ, რომ $\sqrt(-5) \lt 0$ და $\sqrt(5) \gt 0$. ეს ნიშნავს, რომ ლუწი ძალებისა და უარყოფითი რიცხვებისთვის ჩვენი ფორმულა აღარ მუშაობს. რის შემდეგაც გვაქვს ორი ვარიანტი:

1. კედელთან ბრძოლა იმის მტკიცებით, რომ მათემატიკა სულელური მეცნიერებაა, სადაც „რაღაც წესებია, მაგრამ ეს არაზუსტია“;
2. დანერგეთ დამატებითი შეზღუდვები, რომლითაც ფორმულა გახდება 100% მოქმედი.

პირველ ვარიანტში, ჩვენ მუდმივად მოგვიწევს "არასამუშაო" შემთხვევების დაჭერა - ეს რთული, გრძელი და ზოგადად ფუ არის. ამიტომ მათემატიკოსებმა მეორე ვარიანტს ამჯობინეს. :)

მაგრამ არ ინერვიულო! პრაქტიკაში, ეს შეზღუდვა არანაირად არ მოქმედებს გამოთვლებზე, რადგან ყველა აღწერილი პრობლემა ეხება მხოლოდ უცნაური ხარისხის ფესვებს და მათგან მინუსების ამოღება შესაძლებელია.

აქედან გამომდინარე, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ სხვა წესს, რომელიც ზოგადად ვრცელდება ფესვებთან დაკავშირებული ყველა მოქმედებაზე:

ფესვების გამრავლებამდე დარწმუნდით, რომ რადიკალური გამონათქვამები არაუარყოფითი იყოს.

მაგალითი. რიცხვში $\sqrt(-5)$ შეგიძლიათ ამოიღოთ მინუსი ძირის ნიშნის ქვეშ - მაშინ ყველაფერი კარგად იქნება:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(გასწორება)\]

Იგრძენი განსხვავება? თუ ფესვის ქვეშ დატოვებთ მინუსს, მაშინ როდესაც რადიკალური გამოხატულება კვადრატში იქნება, ის გაქრება და დაიწყება სისულელე. და თუ პირველად ამოიღებთ მინუსს, მაშინ შეგიძლიათ კვადრატის აწევა/მოხსნა მანამ, სანამ სახეზე ცისფერი არ გახდებით - რიცხვი დარჩება უარყოფითი. :)

ამრიგად, ფესვების გამრავლების ყველაზე სწორი და საიმედო გზა შემდეგია:

1. ამოიღეთ ყველა მინუსი რადიკალების ქვეშ. მინუსები მხოლოდ კენტი სიმრავლის ფესვებშია - ისინი შეიძლება განთავსდეს ფესვის წინ და, საჭიროების შემთხვევაში, შემცირდეს (მაგალითად, თუ ამ მინუსებიდან ორია).
2. შეასრულეთ გამრავლება დღევანდელ გაკვეთილზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. თუ ფესვების ინდექსები ერთნაირია, უბრალოდ გაამრავლეთ ძირეული გამონათქვამები. და თუ ისინი განსხვავდებიან, ვიყენებთ ბოროტ ფორმულას \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. ჩვენ გვიხარია შედეგი და კარგი შეფასებები. :)

კარგად? ვივარჯიშოთ?

მაგალითი 1. გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის უმარტივესი ვარიანტი: ფესვების მაჩვენებლები იგივე და უცნაურია, პრობლემა მხოლოდ მეორე მულტიპლიკატორის მინუსშია. ჩვენ ვიტანთ ამ მინუს ნაფიგს, რის შემდეგაც ყველაფერი მარტივად განიხილება.

მაგალითი 2. გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \მარჯვნივ))^(3))\cdot ((\ left(((2)^(2)) \მარჯვნივ))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( გასწორება)\]

აქ ბევრი დაბნეული იქნებოდა იმით, რომ გამომავალი აღმოჩნდა ირაციონალური რიცხვი. დიახ, ეს ხდება: ჩვენ ბოლომდე ვერ მოვიშორეთ ფესვი, მაგრამ მაინც მნიშვნელოვნად გავამარტივეთ გამოხატულება.

მაგალითი 3. გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( ა)^(4)) \მარჯვნივ))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(გასწორება)\]

ეს არის ის, რაზეც მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო. აქ არის ორი წერტილი:

1. ფესვის ქვეშ არის არა კონკრეტული რიცხვი ან ხარისხი, არამედ ცვლადი $a$. ერთი შეხედვით, ეს ცოტა უჩვეულოა, მაგრამ სინამდვილეში, მათემატიკური ამოცანების ამოხსნისას, ყველაზე ხშირად მოგიწევთ ცვლადებთან გამკლავება.
2. საბოლოოდ, ჩვენ მოვახერხეთ ძირეული მაჩვენებლისა და ხარისხის „შემცირება“ რადიკალურ გამოხატულებაში. ეს ხდება საკმაოდ ხშირად. და ეს ნიშნავს, რომ შესაძლებელი იყო გამოთვლების მნიშვნელოვნად გამარტივება, თუ არ იყენებთ მთავარ ფორმულას.

მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \მარჯვნივ))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \ბოლო (გასწორება)\]

ფაქტობრივად, ყველა ტრანსფორმაცია განხორციელდა მხოლოდ მეორე რადიკალით. და თუ დეტალურად არ დახატავთ ყველა შუალედურ საფეხურს, მაშინ საბოლოოდ გამოთვლების რაოდენობა მნიშვნელოვნად შემცირდება.

სინამდვილეში, ჩვენ უკვე შევხვდით მსგავს ამოცანას ზემოთ $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ მაგალითის ამოხსნისას. ახლა უფრო მარტივად შეიძლება დაწერო:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \მარჯვნივ))^(2))) = \\ & =\sqrt(((\left(75 \მარჯვნივ))^(2))) =\sqrt(75). \ბოლო(გასწორება)\]

კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ ფესვების გამრავლება. ახლა განიხილეთ საპირისპირო ოპერაცია: რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც ფესვის ქვეშ არის სამუშაო?

დენის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აროდესაც:

ოპერაციები ხარისხით.

1. გრადუსების გამრავლება ერთიდაიგივე ფუძით, მათი მაჩვენებლები ჯამდება:

ვარa n = a m + n.

2. იმავე ფუძის მქონე გრადუსების დაყოფისას მათ მაჩვენებლებს აკლებენ:

3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:

(abc…) n = a n b n c n…

4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:

(a/b) n = a n / b n .

5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:

(am) n = a m n .

თითოეული ზემოთ მოყვანილი ფორმულა სწორია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ოპერაციები ფესვებით.

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:

3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა:

4. თუ ფესვის ხარისხს გავზრდით ში ნერთხელ და ამავე დროს ამაღლება ნ th ძალა არის ძირეული რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ დავაკლებთ ფესვის ხარისხს ში ნ root ამავე დროს ნრადიკალური რიცხვიდან th ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.რიცხვის ხარისხი არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლით განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომელსაც ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ფორმულა ვარ:a n = a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ ზე მ< ნ.

მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ფორმულამდე ვარ:a n = a m - nსამართლიანი გახდა m=n, თქვენ გჭირდებათ ნულოვანი ხარისხის არსებობა.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით.ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულოვანი მაჩვენებლით უდრის ერთს.

მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მამ რიცხვის ე ძალა ა.