განვიხილოთ სიბრტყე Q სივრცეში.მისი პოზიცია მთლიანად განისაზღვრება ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული N ვექტორის და Q სიბრტყეში მდებარე რაიმე ფიქსირებული წერტილის მითითებით. Q სიბრტყის პერპენდიკულარულ ვექტორს ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი ეწოდება. თუ A, B და C-ით აღვნიშნავთ N ნორმალური ვექტორის პროგნოზებს, მაშინ

გამოვიტანოთ Q სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში და აქვს მოცემული ნორმალური ვექტორი. ამისათვის განვიხილოთ ვექტორი, რომელიც აკავშირებს წერტილს Q სიბრტყის თვითნებურ წერტილთან (ნახ. 81).

M წერტილის ნებისმიერი პოზიციისთვის Q სიბრტყეზე MXM ვექტორი პერპენდიკულარულია Q სიბრტყის ნორმალური ვექტორის N-ზე. ამიტომ სკალარული ნამრავლი დავწეროთ სკალარული ნამრავლი პროგნოზების მიხედვით. მას შემდეგ, რაც და ვექტორი, მაშინ

და აქედან გამომდინარე

ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ Q სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (4). ადვილი მისახვედრია, რომ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც არ დევს Q სიბრტყეზე არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, ). ამიტომ მივიღეთ Q სიბრტყის საჭირო განტოლება. განტოლებას (4) ეწოდება მოცემულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება. ის პირველი ხარისხისაა მიმდინარე კოორდინატებთან შედარებით

ამრიგად, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ ნებისმიერი სიბრტყე შეესაბამება პირველი ხარისხის განტოლებას მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში.

მაგალითი 1. დაწერეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში.

გადაწყვეტილება. Აქ . ფორმულის (4) საფუძველზე ვიღებთ

ან გამარტივების შემდეგ,

(4) განტოლების A, B და C კოეფიციენტებისთვის განსხვავებული მნიშვნელობების მიცემით, შეგვიძლია მივიღოთ წერტილის გავლით ნებისმიერი სიბრტყის განტოლება. მოცემულ წერტილში გამავალ სიბრტყეთა სიმრავლეს სიბრტყეების თაიგული ეწოდება. განტოლება (4), რომელშიც A, B და C კოეფიციენტებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა, ეწოდება სიბრტყეების ტოტების განტოლება.

მაგალითი 2. დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის სამ წერტილში, (სურ. 82).

გადაწყვეტილება. მოდით დავწეროთ განტოლება წერტილში გამავალი სიბრტყეების თაიგულისთვის

არის სიბრტყის ზოგადი განტოლება სივრცეში

ნორმალური სიბრტყის ვექტორი

სიბრტყის ნორმალური ვექტორი არის არანულოვანი ვექტორი ორთოგონალური სიბრტყეში მდებარე თითოეული ვექტორის მიმართ.

მოცემული ნორმალური ვექტორის მქონე წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება

არის M0 წერტილში მოცემული ნორმალური ვექტორის მქონე სიბრტყის განტოლება

სიბრტყის მიმართულების ვექტორები

სიბრტყის პარალელურად ორ არასწორხაზოვან ვექტორს სიბრტყის მიმართულების ვექტორები ეწოდება

პარამეტრული სიბრტყის განტოლებები

– სიბრტყის პარამეტრული განტოლება ვექტორული სახით

არის სიბრტყის პარამეტრული განტოლება კოორდინატებში

სიბრტყის განტოლება მოცემულ წერტილში და ორი მიმართულების ვექტორებში

- ფიქსირებული წერტილი

უბრალოდ წერტილი lol

თანაპლენარულია, ამიტომ მათი შერეული პროდუქტი არის 0.

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს

– სიბრტყის განტოლება სამ წერტილში

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში

- სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში

მტკიცებულება

ამის დასამტკიცებლად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ჩვენი თვითმფრინავი გადის A, B, C და ნორმალურ ვექტორზე

მოდით შევცვალოთ n წერტილის და ვექტორის კოორდინატები სიბრტყის განტოლებაში ნორმალური ვექტორით.

გაყავით ყველაფერი და მიიღეთ

ასე მიდის.

ნორმალური სიბრტყის განტოლება

არის კუთხე ox-სა და ნორმალურ ვექტორს შორის სიბრტყესთან, რომელიც გამოდის O-დან.

არის კუთხე oy-სა და ნორმალურ ვექტორს შორის სიბრტყესთან, გამავალი O-დან.

არის კუთხე oz-სა და ნორმალურ ვექტორს შორის სიბრტყესთან, O-დან გამავალი.

არის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან სიბრტყემდე.

მტკიცებულებები ან ასეთი სისულელე

ნიშანი არის საპირისპირო D.

ანალოგიურად სხვა კოსინუსებისთვის. Დასასრული.

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე

წერტილი S, თვითმფრინავი

არის ორიენტირებული მანძილი S წერტილიდან სიბრტყემდე

თუ , მაშინ S და O დევს სიბრტყის მოპირდაპირე მხარეს

თუ , მაშინ S და O დევს ერთ მხარეს

გავამრავლოთ n-ზე

სივრცეში ორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

კუთხე თვითმფრინავებს შორის

გადაკვეთაზე იქმნება ორი წყვილი ვერტიკალური დიჰედრული კუთხე, ყველაზე პატარას სიბრტყეებს შორის კუთხე ეწოდება.

სწორი ხაზი სივრცეში

ხაზი სივრცეში შეიძლება იყოს მოცემული როგორც

ორი სიბრტყის კვეთა:

სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები

- ვექტორული სახით სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლება

არის სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლება კოორდინატებში

კანონიკური განტოლება

არის სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება.

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება

– ვექტორული სახით სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება;

სივრცეში ორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

სწორი ხაზისა და სიბრტყის ურთიერთგანლაგება სივრცეში

კუთხე ხაზსა და სიბრტყეს შორის

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში

a არის ჩვენი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

არის თვითნებური წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება მოცემულ ხაზს

- წერტილი, სადაც ჩვენ ვეძებთ მანძილს.

მანძილი ორ ხაზს შორის

მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის

M1 - წერტილი, რომელიც ეკუთვნის პირველ ხაზს

M2 არის წერტილი, რომელიც ეკუთვნის მეორე ხაზს

მეორე რიგის მრუდები და ზედაპირები

ელიფსი არის სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, მანძილების ჯამი, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე (ფოკუსი) არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ელიფსის კანონიკური განტოლება

მოდით შევცვალოთ იგი

გაყავით

ელიფსის თვისებები

გადაკვეთა კოორდინატთა ღერძებით

სიმეტრია შესახებ

1. წარმოშობა

ელიფსი არის მრუდი, რომელიც მდებარეობს თვითმფრინავის შეზღუდულ ნაწილში

ელიფსის მიღება შესაძლებელია წრიდან მისი დაჭიმვით ან შეკუმშვით

ელიფსის პარამეტრული განტოლება:

- რეჟისორები

ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლა არის სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომლისთვისაც 2 მოცემულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a).

ჩვენ ყველაფერს ისე ვაკეთებთ, როგორც ელიფსით, ვიღებთ

Შეცვლა

გაყავით

ჰიპერბოლის თვისებები

;

- რეჟისორები

ასიმპტოტი

ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი, რომელსაც მრუდი უსასრულოდ უახლოვდება, უსასრულობამდე მიდის.

პარაბოლა

პარაბოტის თვისებები

კავშირი ელიფსს, ჰიპერბოლასა და პარაბოლას შორის.

ამ მრუდებს შორის ურთიერთობას აქვს ალგებრული ახსნა: ისინი ყველა მოცემულია მეორე ხარისხის განტოლებით. ნებისმიერ კოორდინატულ სისტემაში ამ მრუდების განტოლებებს აქვს ფორმა: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, სადაც a, b, c, d, e, f რიცხვებია.

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემების ტრანსფორმირება

კოორდინატთა სისტემის პარალელური თარგმანი

– O’ ძველ კოორდინატულ სისტემაში

– წერტილის კოორდინატები ძველ კოორდინატულ სისტემაში

– წერტილის კოორდინატები ახალ კოორდინატულ სისტემაში

წერტილოვანი კოორდინატები ახალ კოორდინატულ სისტემაში.

როტაცია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში

- ახალი კოორდინატთა სისტემა

გარდამავალი მატრიცა ძველიდან ახალზე

- (პირველი სვეტის ქვეშ მე’ , მეორის ქვეშ ჯ’ ) გადასვლის მატრიცა საფუძვლიდან მე,ჯსაფუძველი მე’ ,ჯ’

ზოგადი შემთხვევა

1 ვარიანტი

1. კოორდინატთა სისტემის როტაცია

ვარიანტი 2

1. კოორდინატთა სისტემის როტაცია

   წარმოშობის პარალელური თარგმანი

მეორე რიგის ხაზების ზოგადი განტოლება და მისი გადაყვანა კანონიკურ ფორმამდე

არის მეორე რიგის მრუდის განტოლებების ზოგადი ფორმა

მეორე რიგის მრუდების კლასიფიკაცია

ელიფსოიდი

ელიფსოიდის ჯვარი მონაკვეთები

- ელიფსი

- ელიფსი

რევოლუციის ელიფსოიდები

რევოლუციის ელიფსოიდები არის ან ბრტყელი ან პროლატის სფეროიდები, იმისდა მიხედვით, თუ რის გარშემო ვტრიალებთ.

ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდი

ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდის სექციები

- ჰიპერბოლა რეალური ღერძით oy

არის ჰიპერბოლა რეალური x ღერძით

გამოდის ელიფსი ნებისმიერი თ. ასე მიდის.

რევოლუციის ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდები

რევოლუციის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის მიღება შესაძლებელია მისი წარმოსახვითი ღერძის გარშემო ჰიპერბოლის ბრუნვით.

ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი

ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის სექციები

- ჰიპერბოლა მოქმედებით. axisoz

არის ჰიპერბოლა რეალური ღერძით oz

კონუსი

- გადამკვეთი ხაზების წყვილი

- გადამკვეთი ხაზების წყვილი

ელიფსური პარაბოლოიდი

- პარაბოლა

- პარაბოლა

როტაციები

თუ , მაშინ ელიფსური პარაბოლოიდი არის ბრუნვის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება პარაბოლის ბრუნვის შედეგად მისი სიმეტრიის ღერძის გარშემო.

ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი

პარაბოლა

- პარაბოლა

h>0 ჰიპერბოლა x-ის პარალელურად რეალური ღერძით

თ<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

ცილინდრის ქვეშ ვგულისხმობთ ზედაპირს, რომელიც მიიღება სივრცეში სწორი ხაზის გადაადგილებისას, რომელიც არ იცვლის მიმართულებას, თუ სწორი ხაზი მოძრაობს oz-ის მიმართ, მაშინ ცილინდრის განტოლება არის სიბრტყის მონაკვეთის განტოლება. xoy.

ელიფსური ცილინდრი

ჰიპერბოლური ცილინდრი

პარაბოლური ცილინდრი

მეორე რიგის ზედაპირების სწორხაზოვანი გენერატორები

ხაზებს, რომლებიც მთლიანად ზედაპირზე დევს, ზედაპირის სწორხაზოვან გენერატორებს უწოდებენ.

რევოლუციის ზედაპირები

ჯანდაბა შენ lol

ჩვენება

ჩვენებითდავარქვათ წესი, რომლის მიხედვითაც A სიმრავლის თითოეული ელემენტი ასოცირდება B სიმრავლის ერთ ან რამდენიმე ელემენტთან. თუ თითოეულს ენიჭება B სიმრავლის ერთი ელემენტი, მაშინ გამოძახება გამოიძახება ცალსახა, წინააღმდეგ შემთხვევაში ორაზროვანი.

ტრანსფორმაციაკომპლექტს ეწოდება კომპლექტის ერთ-ერთზე საკუთარ თავზე გამოსახვა

ინექცია

ინექცია ან A კომპლექტის B კომპლექტში ერთი-ერთზე შეყვანა

(a-ს სხვადასხვა ელემენტები შეესაბამება B-ის სხვადასხვა ელემენტებს) მაგალითად y=x^2

სერჟექცია

A კომპლექტის შეყვანა ან რუკების დახატვა B სიმრავლეზე

ყოველ B-სთვის არის მინიმუმ ერთი A (მაგალითად, სინუსი)

B სიმრავლის თითოეულ ელემენტს შეესაბამება A სიმრავლის მხოლოდ ერთ ელემენტს (მაგალითად, y=x)

ამ სტატიაში განვიხილავთ თვითმფრინავის ნორმალურ განტოლებას. მოვიყვანოთ სიბრტყის ნორმალური განტოლების აგების მაგალითები ღერძებიდან სიბრტყის ნორმალური ვექტორის დახრის კუთხის მიხედვით. ოი, ოი, ოზიდა მანძილით რსაწყისიდან თვითმფრინავამდე. მოდით წარმოვადგინოთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ნორმალურ ფორმამდე შეყვანის მეთოდი. განვიხილოთ რიცხვითი მაგალითები.

სივრცეში მოცემული იყოს დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. მერე თვითმფრინავის ნორმალური განტოლება Ω წარმოდგენილია შემდეგი ფორმულით:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

სადაც რ− მანძილი საწყისიდან სიბრტყემდე Ω , ა α,β,γ არის კუთხეები ერთეულ ვექტორს შორის ნ, ორთოგონალური სიბრტყეზე Ω და საკოორდინაციო ღერძები ოი, ოი, ოზი, შესაბამისად (ნახ.1). (Თუ რ>0, შემდეგ ვექტორი ნთვითმფრინავისკენ მიმართული Ω თუ თვითმფრინავი გადის საწყისზე, მაშინ ვექტორის მიმართულება ნარჩეული თვითნებურად).

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას (1). სივრცეში მოცემული იყოს დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და სიბრტყე Ω (ნახ.1). დახაზეთ ხაზი საწყისიდან ქ, სიბრტყის პერპენდიკულარულად Ω , და გადაკვეთის წერტილი აღინიშნა რ. ამ ხაზზე ვირჩევთ ერთეულ ვექტორს ნ, ვექტორთან ემთხვევა მიმართულებით . (თუ წერტილები ოდა რმატჩი, შემდეგ მიმართულება ნშეიძლება თვითნებურად იქნას მიღებული).

ჩვენ გამოვხატავთ სიბრტყის განტოლებას Ω შემდეგი პარამეტრების მეშვეობით: სეგმენტის სიგრძე და დახრილობის კუთხეები α, β, γ ვექტორს შორის ნდა ცულები ოი, ოი, ოზი, შესაბამისად.

ვინაიდან ვექტორი ნარის ერთეული ვექტორი, შემდეგ მისი პროგნოზები ოი, ოი, ოზიექნება შემდეგი კოორდინატები:

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი ნდა აქვს შემდეგი ფორმა:

Იმის გათვალისწინებით, რომ n={cosα, cosβ, cosγ}, , ჩვენ მივიღებთ:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

ჩვენ მივიღეთ სიბრტყის ნორმალური განტოლება Ω . განტოლებას (7) (ან (1)) ასევე უწოდებენ ნორმალიზებული სიბრტყის განტოლება. ვექტორი ნდაურეკა სიბრტყის ნორმალური ვექტორი.

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ნომერი რგანტოლებაში (1) გვიჩვენებს თვითმფრინავის მანძილს საწყისიდან. მაშასადამე, სიბრტყის ნორმალური განტოლების არსებობისას, მარტივია თვითმფრინავის მანძილის დადგენა საწყისიდან. იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა სიბრტყის მოცემული განტოლება ნორმალური ფორმის განტოლება, თქვენ უნდა შეამოწმოთ ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის სიგრძე და რიცხვის ნიშანი. რ, ე.ი. თუ | ნ|=1 და რ>0, მაშინ ეს განტოლება არის სიბრტყის ნორმალური (ნორმალიზებული) განტოლება.

მაგალითი 1. მოცემულია შემდეგი სიბრტყის განტოლება:

განვსაზღვროთ ვექტორის სიგრძე ნ:

ვინაიდან (1) და (8) განტოლებებმა უნდა განსაზღვროს ერთი და იგივე სწორი ხაზი (წინადადება 2 მუხლის „სიბრტყის ზოგადი განტოლება“), მაშინ არის ასეთი რიცხვი. ტ, რა

გაამარტივე გამოთქმა და იპოვე ტ:

ტ 2 ა 2 +ტ 2 ბ 2 +ტ 2 C 2 =ტ 2 (ა 2 +ბ 2 +C 2)=1,

.

(11)

(11) მნიშვნელი განსხვავდება ნულისაგან, რადგან კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც A, B, Cარ არის ნულის ტოლი (წინააღმდეგ შემთხვევაში (8) არ წარმოადგენს სწორი ხაზის განტოლებას).

გაიგე რა ნიშანი ტ. ყურადღება მივაქციოთ მეოთხე ტოლობას (9). როგორც რარის მანძილი საწყისიდან თვითმფრინავამდე, მაშინ რ≥0. შემდეგ პროდუქტი tDუნდა ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი. იმათ. ნიშანი ტ in (11) უნდა იყოს საპირისპირო ნიშანი დ.

ჩანაცვლება (1)-ში ნაცვლად cosα, cosβ, cosγ და -rმნიშვნელობებს (9) ვიღებთ tAx+tBy+tCz+tD=0. იმათ. სიბრტყის ზოგადი განტოლების ნორმალურ ფორმაში მოსაყვანად, მოცემული განტოლება უნდა გაამრავლოთ ფაქტორზე (11). ფაქტორი (11) ეწოდება ნორმალიზების ფაქტორი.

მაგალითი 2. მოცემულია სიბრტყის ზოგადი განტოლება

როგორც დ>0, შემდეგ მოაწერეთ ხელი ტუარყოფითი:

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი არის მანძილი საწყისიდან სწორ ხაზამდე (12).

სიბრტყის პოზიცია სივრცეში მთლიანად განისაზღვრება, თუ დავადგენთ მის დაშორებას O საწყისიდან, ანუ O წერტილიდან სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარული OT-ის სიგრძეს და სიბრტყის პერპენდიკულარულ n° ერთეულ ვექტორს. და მიმართულია საწყისი O-დან სიბრტყემდე (სურ. 110).

როდესაც წერტილი M მოძრაობს სიბრტყის გასწვრივ, მაშინ მისი რადიუსის ვექტორი იცვლება ისე, რომ იგი ყოველთვის შეკრულია რაიმე პირობით. ვნახოთ რა არის ეს მდგომარეობა. ცხადია, თვითმფრინავში მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის გვაქვს:

ეს პირობა მოქმედებს მხოლოდ სიბრტყის წერტილებზე; ის ირღვევა, თუ წერტილი M დევს სიბრტყის გარეთ. ამრიგად, ტოლობა (1) გამოხატავს თვისებას, რომელიც საერთოა სიბრტყის ყველა წერტილისთვის და მხოლოდ მათთვის. § 7 Ch. 11 გვაქვს:

და, შესაბამისად, განტოლება (1) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

განტოლება (D) გამოხატავს მდგომარეობას, რომლის დროსაც წერტილი ) მდებარეობს მოცემულ სიბრტყეზე და მას ამ სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას უწოდებენ. სიბრტყის თვითნებური M წერტილის რადიუსის ვექტორს დენის რადიუსის ვექტორი ეწოდება.

სიბრტყის განტოლება (1) დაწერილია ვექტორული სახით. კოორდინატებზე გადასვლისას და კოორდინატების საწყისის ვექტორების საწყისთან დაყენებისას - წერტილი O, აღვნიშნავთ, რომ ერთეული ვექტორის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე არის ამ ვექტორის ღერძებით შედგენილი კუთხეების კოსინუსები და M წერტილის რადიუსის ვექტორის პროგნოზები

წერტილის კოორდინატებია, ანუ გვაქვს:

განტოლება (D) გადადის კოორდინატში:

სიბრტყის ვექტორული განტოლების (Г) კოორდინატულ განტოლებაში (2) გადაყვანისას გამოვიყენეთ ფორმულა (15) § 9 ჩ. 11 გამოხატავს სკალარული ნამრავლს ვექტორული პროგნოზების მიხედვით. განტოლება (2) გამოხატავს მდგომარეობას, რომლის დროსაც წერტილი M(x, y, z) დევს მოცემულ სიბრტყეზე და ეწოდება ამ სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას კოორდინატების სახით. შედეგად მიღებული განტოლება (2) არის პირველი ხარისხის მიმართ, ანუ ნებისმიერი სიბრტყე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პირველი ხარისხის განტოლებით მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში.

გაითვალისწინეთ, რომ მიღებული განტოლებები (1") და (2) ძალაში რჩება მაშინაც კი, როდესაც, ე.ი. მოცემული სიბრტყე გადის საწყისზე. ამ შემთხვევაში, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ორი ერთეული ვექტორიდან რომელიმე და ერთმანეთისგან განსხვავებული მიმართულებიდან.

კომენტარი. სიბრტყის (2) ნორმალური განტოლება შეიძლება მივიღოთ ვექტორული მეთოდის გამოყენების გარეშე.

აიღეთ თვითნებური სიბრტყე და დახაზეთ I სწორი ხაზი მასზე პერპენდიკულარული კოორდინატების საწყისში. დააყენეთ ამ წრფეზე დადებითი მიმართულება საწყისიდან სიბრტყემდე (თუ არჩეული სიბრტყე გავიდა საწყისზე, მაშინ ხაზის ნებისმიერი მიმართულება შეიძლება იყოს აღებული).

ამ სიბრტყის პოზიცია სივრცეში მთლიანად განისაზღვრება მისი დაშორებით საწყისიდან, ანუ ღერძის სეგმენტის სიგრძე l საწყისიდან სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილამდე (ნახ. 111 - სეგმენტი) და კუთხეებს შორის. ღერძი და კოორდინატთა ღერძები. როდესაც წერტილი მოძრაობს სიბრტყის გასწვრივ თავისი კოორდინატებით, მისი კოორდინატები ისე იცვლება, რომ ისინი ყოველთვის შეზღუდულნი არიან რაიმე პირობით. ვნახოთ რა არის ეს მდგომარეობა.

ავაშენოთ ნახ. სიბრტყის თვითნებური M წერტილის 111 კოორდინატთა პოლიწრიული OPSM. ავიღოთ ამ გატეხილი ხაზის პროექცია l-ღერძზე. აღვნიშნავთ, რომ გატეხილი ხაზის პროექცია უდრის მისი დახურვის სეგმენტის პროექციას (თავი I, § 3), გვაქვს.

სიბრტყის განტოლება. როგორ დავწეროთ განტოლება თვითმფრინავისთვის?
თვითმფრინავების ორმხრივი მოწყობა. Დავალებები

სივრცითი გეომეტრია არ არის ბევრად უფრო რთული, ვიდრე "ბრტყელი" გეომეტრია და ჩვენი ფრენები სივრცეში იწყება ამ სტატიით. თემის გასაგებად, ადამიანმა კარგად უნდა გაიგოს ვექტორები, გარდა ამისა, სასურველია სიბრტყის გეომეტრიის გაცნობა - იქნება ბევრი მსგავსება, ბევრი ანალოგი, ასე რომ ინფორმაცია გაცილებით უკეთ დაიჯესტება. ჩემი გაკვეთილების სერიაში 2D სამყარო იხსნება სტატიით სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება. მაგრამ ახლა ბეტმენმა დატოვა ბრტყელეკრანიანი ტელევიზორი და გადის ბაიკონურის კოსმოდრომიდან.

დავიწყოთ ნახატებითა და სიმბოლოებით. სქემატურად, სიბრტყე შეიძლება იყოს დახატული პარალელოგრამის სახით, რომელიც ქმნის სივრცის შთაბეჭდილებას:

თვითმფრინავი უსასრულოა, მაგრამ ჩვენ გვაქვს მისი მხოლოდ ნაწილის გამოსახვის შესაძლებლობა. პრაქტიკაში, პარალელოგრამის გარდა, ოვალური ან თუნდაც ღრუბელი შედგენილია. ტექნიკური მიზეზების გამო, ჩემთვის უფრო მოსახერხებელია თვითმფრინავის ასე და ამ მდგომარეობაში გამოსახვა. რეალური სიბრტყეები, რომლებსაც პრაქტიკულ მაგალითებში განვიხილავთ, შეიძლება ნებისმიერნაირად დაალაგოთ - გონებრივად აიღეთ ნახატი ხელში და გადაატრიალეთ სივრცეში, მიეცით თვითმფრინავს ნებისმიერი დახრილობა, ნებისმიერი კუთხე.

აღნიშვნა: ჩვეულებრივია თვითმფრინავების აღნიშვნა მცირე ბერძნული ასოებით, როგორც ჩანს, რომ არ აგვერიოს ისინი პირდაპირ თვითმფრინავშიან თან პირდაპირ სივრცეში. მიჩვეული ვარ ასოს გამოყენებას. ნახატზე ეს არის ასო „სიგმა“ და საერთოდ არა ხვრელი. მიუხედავად იმისა, რომ ნახვრეტიანი თვითმფრინავი, რა თქმა უნდა, ძალიან სასაცილოა.

ზოგიერთ შემთხვევაში, მოსახერხებელია გამოიყენოთ იგივე ბერძნული ასოები ხელმოწერებთან ერთად თვითმფრინავების დასანიშნად, მაგალითად, .

აშკარაა, რომ თვითმფრინავი ცალსახად განისაზღვრება სამი განსხვავებული წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე. ამიტომ, თვითმფრინავების სამასოიანი აღნიშვნები საკმაოდ პოპულარულია - მათ კუთვნილი წერტილების მიხედვით, მაგალითად და ა.შ. ხშირად ასოები ჩასმულია ფრჩხილებში: , რათა არ აგვერიოს თვითმფრინავი სხვა გეომეტრიულ ფიგურაში.

გამოცდილ მკითხველს მივცემ მალსახმობების მენიუ:

• როგორ დავწეროთ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ორი ვექტორის გამოყენებით?
• როგორ დავწეროთ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გამოყენებით?

და ჩვენ არ დავიღალებით ხანგრძლივი ლოდინი:

თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება

სიბრტყის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულოვანი.

რიგი თეორიული გამოთვლები და პრაქტიკული ამოცანები მოქმედებს როგორც ჩვეულებრივი ორთონორმალური, ასევე სივრცის აფინური საფუძვლისთვის (თუ ზეთი ზეთია, დაუბრუნდით გაკვეთილს ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი). სიმარტივისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა მოვლენა ხდება ორთონორმალურ საფუძველზე და დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ახლა კი ცოტა სივრცითი ფანტაზია ვავარჯიშოთ. არა უშავს, თუ ცუდად გაქვს, ახლა ცოტას განვავითარებთ. ნერვებზე თამაშიც კი პრაქტიკას მოითხოვს.

ყველაზე ზოგად შემთხვევაში, როდესაც რიცხვები არ არის ნულის ტოლი, სიბრტყე კვეთს სამივე კოორდინატულ ღერძს. მაგალითად, ასე:

კიდევ ერთხელ ვიმეორებ, რომ თვითმფრინავი უსასრულოდ აგრძელებს ყველა მიმართულებით და ჩვენ გვაქვს მისი მხოლოდ ნაწილის გამოსახვის შესაძლებლობა.

განვიხილოთ სიბრტყეების უმარტივესი განტოლებები:

როგორ გავიგოთ ეს განტოლება? იფიქრეთ ამაზე: "Z" ყოველთვის, რადგან "X" და "Y" ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის ტოლია. ეს არის "მშობლიური" კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება. მართლაც, ფორმალურად განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: , საიდანაც აშკარად ჩანს, რომ არ გვაინტერესებს, რა მნიშვნელობებს იღებს „x“ და „y“, მნიშვნელოვანია, რომ „z“ ნულის ტოლია.

ანალოგიურად:
არის კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება;
არის კოორდინატთა სიბრტყის განტოლება.

ცოტა გავართულოთ პრობლემა, განვიხილოთ სიბრტყე (აქ და შემდგომ აბზაცში ვივარაუდოთ, რომ რიცხვითი კოეფიციენტები ნულის ტოლი არ არის). გადავიწეროთ განტოლება სახით: . როგორ გავიგოთ? "X" ყოველთვის არის, რადგან "y" და "z" ნებისმიერი მნიშვნელობა უდრის გარკვეულ რიცხვს. ეს სიბრტყე კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურია. მაგალითად, სიბრტყე სიბრტყის პარალელურია და გადის წერტილს.

ანალოგიურად:
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყის;
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყის.

წევრების დამატება: . განტოლება შეიძლება ასე გადაიწეროს: , ანუ "Z" შეიძლება იყოს ნებისმიერი. Რას ნიშნავს? "X" და "Y" დაკავშირებულია თანაფარდობით, რომელიც ხაზს გარკვეულ სწორ ხაზს სიბრტყეში (თქვენ ამოიცნობთ სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლება?). ვინაიდან Z შეიძლება იყოს ნებისმიერი, ეს ხაზი "გამეორებულია" ნებისმიერ სიმაღლეზე. ამრიგად, განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს კოორდინატთა ღერძის პარალელურად

ანალოგიურად:
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძისა;
- სიბრტყის განტოლება, რომელიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძისა.

თუ თავისუფალი პირობები ნულის ტოლია, მაშინ თვითმფრინავები პირდაპირ გაივლიან შესაბამის ღერძებს. მაგალითად, კლასიკური "პირდაპირი პროპორციულობა":. დახაზეთ სწორი ხაზი სიბრტყეში და გონებრივად გაამრავლეთ იგი ზემოთ და ქვემოთ (რადგან "z" არის ნებისმიერი). დასკვნა: განტოლებით მოცემული სიბრტყე გადის კოორდინატთა ღერძზე.

ჩვენ ვასრულებთ მიმოხილვას: სიბრტყის განტოლება გადის საწყისზე. კარგად, აქ აშკარაა, რომ წერტილი აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას.

და ბოლოს, შემთხვევა, რომელიც ნახატზეა ნაჩვენები: - თვითმფრინავი მეგობრობს ყველა კოორდინატულ ღერძთან, მაშინ როცა ის ყოველთვის „აჭრის“ სამკუთხედს, რომელიც შეიძლება მდებარეობდეს რვა ოქტანტიდან ნებისმიერში.

წრფივი უტოლობა სივრცეში

ინფორმაციის გასაგებად საჭიროა კარგად შესწავლა წრფივი უტოლობები სიბრტყეშირადგან ბევრი რამ მსგავსი იქნება. პუნქტი იქნება მოკლე მიმოხილვა რამდენიმე მაგალითით, რადგან მასალა პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია.

თუ განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს, მაშინ უტოლობები
იკითხე ნახევრად სივრცეები. თუ უტოლობა არ არის მკაცრი (სიის ბოლო ორი), მაშინ უტოლობის ამოხსნა, ნახევარსივრცის გარდა, მოიცავს თავად სიბრტყეს.

მაგალითი 5

იპოვეთ სიბრტყის ერთეული ნორმალური ვექტორი .

გადაწყვეტილება: ერთეული ვექტორი არის ვექტორი, რომლის სიგრძე ერთია. ავღნიშნოთ ეს ვექტორი . სავსებით ნათელია, რომ ვექტორები არის კოლინარული:

პირველ რიგში, ჩვენ ვხსნით ნორმალურ ვექტორს სიბრტყის განტოლებიდან: .

როგორ მოვძებნოთ ერთეული ვექტორი? ერთეულის ვექტორის მოსაძებნად გჭირდებათ ყოველივექტორის კოორდინატი გაყოფილი ვექტორის სიგრძეზე.

მოდით გადავწეროთ ნორმალური ვექტორი ფორმაში და ვიპოვოთ მისი სიგრძე:

ზემოაღნიშნულის მიხედვით:

უპასუხე:

შემოწმება: , რომლის შემოწმებაც იყო საჭირო.

მკითხველებმა, რომლებმაც ყურადღებით შეისწავლეს გაკვეთილის ბოლო პუნქტი, ალბათ შენიშნეს ეს ერთეული ვექტორის კოორდინატები ზუსტად არის ვექტორის მიმართულების კოსინუსები:

მოდით გადავიდეთ დაშლილი პრობლემისგან: როდესაც გეძლევათ თვითნებური არანულოვანი ვექტორი, და პირობით საჭიროა მისი მიმართულების კოსინუსების პოვნა (იხილეთ გაკვეთილის ბოლო დავალებები ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი), მაშინ თქვენ, ფაქტობრივად, ასევე იპოვით მოცემულის ერთეულ ვექტორს. სინამდვილეში, ორი ამოცანა ერთ ბოთლში.

ერთეული ნორმალური ვექტორის პოვნის აუცილებლობა ჩნდება მათემატიკური ანალიზის ზოგიერთ პრობლემაში.

ჩვენ გავარკვიეთ ნორმალური ვექტორის თევზაობა, ახლა ჩვენ ვუპასუხებთ საპირისპირო კითხვას:

როგორ დავწეროთ სიბრტყის განტოლება წერტილისა და ნორმალური ვექტორის გამოყენებით?

ნორმალური ვექტორისა და წერტილის ეს ხისტი კონსტრუქცია კარგად არის ცნობილი ისრების სამიზნით. გთხოვთ გაწელეთ ხელი წინ და გონებრივად შეარჩიეთ სივრცეში თვითნებური წერტილი, მაგალითად, პატარა კატა გვერდითა დაფაზე. ცხადია, ამ წერტილიდან შეგიძლიათ დახაზოთ ერთი სიბრტყე თქვენი ხელის პერპენდიკულარულად.

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში, გამოიხატება ფორმულით: