რა არის ტერიტორია?

ფართობი - დახურული გეომეტრიული ფიგურის (წრე, კვადრატი, სამკუთხედი და სხვ.) მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს მის ზომას. ფართობი იზომება კვადრატულ სანტიმეტრებში, მეტრებში და ა.შ. აღინიშნება ასოებით ს(კვადრატი).

როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის ფართობი?

S= ა თ

სადაც ა- ბაზის სიგრძე თარის ფუძემდე დახატული სამკუთხედის სიმაღლე.

უფრო მეტიც, ბაზა არ უნდა იყოს ბოლოში. ამასაც გააკეთებს.

თუ სამკუთხედი ბლაგვი, შემდეგ სიმაღლე ეცემა ფუძის გაგრძელებას:

თუ სამკუთხედი მართკუთხა, მაშინ საფუძველი და სიმაღლე მისი ფეხებია:

2. კიდევ ერთი ფორმულა, რომელიც არანაკლებ სასარგებლოა, მაგრამ რომელიც რატომღაც ყოველთვის დავიწყებულია:

S= a b sinα

სადაც ადა ბსამკუთხედის ორი გვერდი sinaარის ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსი.

მთავარი პირობაა, რომ კუთხე აღებული იყოს ორ ცნობილ მხარეს შორის.

3. სამი მხარის ფართობის ფორმულა (ჰერონის ფორმულა):

S=

სადაც ა, ბდა თანარის სამკუთხედის გვერდები და R -ნახევრადპერიმეტრი. გვ = (a+b+c)/2.

4. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა შემოხაზული წრის რადიუსის მიხედვით:

S=

სადაც ა, ბდა თანარის სამკუთხედის გვერდები და R-შემოხაზული წრის რადიუსი.

5. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა ჩაწერილი წრის რადიუსის მიხედვით:

S= გვ რ

სადაც R -სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი და r-ჩაწერილი წრის რადიუსი.

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხედის ფართობი?

1. მართკუთხედის ფართობი საკმაოდ მარტივია:

S=ა ბ

არავითარი ხრიკები.

როგორ მოვძებნოთ კვადრატის ფართობი?

1. ვინაიდან კვადრატი არის მართკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია, მასზე მოქმედებს იგივე ფორმულა:

S=ა a = a2

2. ასევე, კვადრატის ფართობი შეიძლება ვიპოვოთ მისი დიაგონალის მეშვეობით:

S= დ 2

როგორ მოვძებნოთ პარალელოგრამის ფართობი?

1. პარალელოგრამის ფართობი გვხვდება ფორმულით:

S=ა თ

ეს იმის გამო ხდება, რომ თუ მისგან მარჯვნივ მართკუთხა სამკუთხედს ამოჭრით და მარცხნივ მიამაგრებთ, მიიღებთ მართკუთხედს:

2. ასევე, პარალელოგრამის ფართობი გვხვდება ორ მხარეს შორის კუთხით:

S=ა b sinα

როგორ მოვძებნოთ რომბის ფართობი?

რომბი არსებითად არის პარალელოგრამი, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია. ამიტომ, მასზე ვრცელდება იგივე ფართობის ფორმულები.

1. რომბის ფართობი სიმაღლის მიხედვით:

S=ა თ

გეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფორმულები - როგორიცაა სამკუთხედის ფართობი ან პარალელოგრამის ფართობი - ასევე მარტივი ხრიკები, რომლებზეც ჩვენ ვისაუბრებთ.

ჯერ ვისწავლოთ ფორმულები ფიგურების ფართობებისთვის. ჩვენ სპეციალურად მოვაგროვეთ ისინი მოსახერხებელ მაგიდაზე. დაბეჭდე, ისწავლე და მიმართე!

რა თქმა უნდა, ყველა გეომეტრიის ფორმულა არ არის ჩვენს ცხრილში. მაგალითად, მათემატიკაში პროფილის გამოცდის მეორე ნაწილში გეომეტრიისა და სტერეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად, ასევე გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის სხვა ფორმულები. ჩვენ აუცილებლად მოგიყვებით მათ შესახებ.

მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ არა ტრაპეციის ან სამკუთხედის ფართობი, არამედ რაიმე რთული ფიგურის ფართობი? არსებობს უნივერსალური გზები! ჩვენ მათ ვაჩვენებთ FIPI დავალების ბანკის მაგალითების გამოყენებით.

1. როგორ მოვძებნოთ არასტანდარტული ფიგურის ფართობი? მაგალითად, თვითნებური ოთხკუთხედი? მარტივი ტექნიკა - მოდით დავყოთ ეს ფიგურა მათზე, რაც ყველამ ვიცით და ვიპოვოთ მისი ფართობი - როგორც ამ ფიგურების ფართობების ჯამი.

გაყავით ეს ოთხკუთხედი ჰორიზონტალური ხაზით ორ სამკუთხედად, რომელთა საერთო ფუძე ტოლია. ამ სამკუთხედების სიმაღლეები ტოლია და . მაშინ ოთხკუთხედის ფართობი უდრის ორი სამკუთხედის ფართობების ჯამს: .

პასუხი:.

2. ზოგიერთ შემთხვევაში, ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სხვაობა ნებისმიერი სფეროდან.

არც ისე ადვილია გამოთვალო რის ტოლია ამ სამკუთხედში ფუძე და სიმაღლე! მაგრამ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ფართობი ტოლია გვერდითი და სამი მართკუთხა სამკუთხედის მქონე კვადრატის ფართობებს შორის სხვაობის. ხედავთ მათ სურათზე? ვიღებთ: .

პასუხი:.

3. ზოგჯერ ამოცანაში საჭიროა არა მთელი ფიგურის, არამედ მისი ნაწილის ფართობის პოვნა. ჩვეულებრივ, ჩვენ ვსაუბრობთ სექტორის ფართობზე - წრის ნაწილზე. იპოვეთ რადიუსის წრის სექტორის ფართობი, რომლის რკალის სიგრძე უდრის.

ამ სურათზე ჩვენ ვხედავთ წრის ნაწილს. მთელი წრის ფართობი უდრის, ვინაიდან. რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ნაწილია გამოსახული წრის. ვინაიდან მთელი წრის სიგრძე არის (მას შემდეგ), და ამ სექტორის რკალის სიგრძე ტოლია, შესაბამისად, რკალის სიგრძე რამდენჯერმე ნაკლებია მთელი წრის სიგრძეზე. კუთხე, რომელზეც ეს რკალი ეყრდნობა, ასევე ჯერ ნაკლებია სრულ წრეზე (ანუ გრადუსებზე). ეს ნიშნავს, რომ სექტორის ფართობი რამდენჯერმე ნაკლები იქნება, ვიდრე მთელი წრის ფართობი.

სიბრტყის ფიგურების ფართობის ყველა ფორმულა

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობი

1. ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა გვერდებისა და კუთხის მიხედვით

ა - ქვედა ბაზა

ბ - ზედა ბაზა

გ - თანაბარი მხარეები

α - კუთხე ქვედა ბაზაზე

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა გვერდების მიხედვით, (S):

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა გვერდებისა და კუთხის მიხედვით, (S):

2. ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა ჩაწერილი წრის რადიუსის მიხედვით

R- შემოხაზული წრის რადიუსი

D- შემოხაზული წრის დიამეტრი

O - წარწერიანი წრის ცენტრი

H- ტრაპეციის სიმაღლე

α, β - ტრაპეციის კუთხეები

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა ჩაწერილი წრის რადიუსის მიხედვით, (S):

სამართლიანი, ტოლფერდა ტრაპეციაში ჩაწერილი წრისთვის:

3. ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა დიაგონალების და მათ შორის კუთხის მიხედვით

d-დიაგონალი ტრაპეცია

α,β- კუთხეები დიაგონალებს შორის

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა დიაგონალების და მათ შორის კუთხის მიხედვით, (S):

4. ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა შუა ხაზის, გვერდითი მხარისა და ძირის კუთხის გავლით

გ- მხარე

მ- ტრაპეციის შუა ხაზი

α, β - კუთხეები ბაზაზე

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა შუა ხაზის, გვერდითი მხარისა და ძირის კუთხის მიხედვით,

(S):

5. ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა ფუძეებისა და სიმაღლის მიხედვით

a - ქვედა ბაზა

ბ - ზედა ბაზა

თ - ტრაპეციის სიმაღლე

ტოლფერდა ტრაპეციის ფართობის ფორმულა ფუძეებისა და სიმაღლის მიხედვით, (S):

სამკუთხედის ფართობი, მოცემული გვერდი და ორი კუთხე, ფორმულა.

a, b, c - სამკუთხედის გვერდები

α, β, γ - საპირისპირო კუთხეები

სამკუთხედის ფართობი გვერდით და ორი კუთხით (S):

რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობის ფორმულა

a - მრავალკუთხედის მხარე

n - გვერდების რაოდენობა

რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობი, (S):

სამკუთხედის ფართობის (ჰერონის) ფორმულა ნახევარპერიმეტრის მიხედვით (S):

ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობია:

ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელი ფორმულები.

a - სამკუთხედის მხარე

თ - სიმაღლე

როგორ გამოვთვალოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი?

ბ - სამკუთხედის საფუძველი

ა - თანაბარი მხარეები

თ - სიმაღლე

3. ტრაპეციის ფართობის ფორმულა ოთხი მხარის მიხედვით

a - ქვედა ბაზა

ბ - ზედა ბაზა

გ, დ - მხარეები

ტრაპეციის შემოხაზული წრის რადიუსი გვერდებზე და დიაგონალებზე

ა - ტრაპეციის გვერდები

გ - ქვედა ბაზა

ბ - ზედა ბაზა

d - დიაგონალი

თ - სიმაღლე

ტრაპეციის შემოხაზული წრის რადიუსის ფორმულა, (R)

იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის შემოხაზული წრის რადიუსი გვერდების გასწვრივ

თუ იცით ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ამ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსის დასადგენად.

a, b - სამკუთხედის გვერდები

ტოლფერდა სამკუთხედის შემოხაზული წრის რადიუსი (R):

ექვსკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი

a - ექვსკუთხედის მხარე

ექვსკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი, (r):

ჩაწერილი წრის რადიუსი რომბში

r - ჩაწერილი წრის რადიუსი

a - რომბის მხარე

D, d - დიაგონალები

თ - ალმასის სიმაღლე

ტოლფერდა ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის რადიუსი

გ - ქვედა ბაზა

ბ - ზედა ბაზა

ა - მხარეები

თ - სიმაღლე

ჩაწერილი წრის რადიუსი მართკუთხა სამკუთხედში

a, b - სამკუთხედის ფეხები

გ - ჰიპოტენუზა

ტოლფერდა სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი

a, b - სამკუთხედის გვერდები

დაამტკიცეთ, რომ ჩაწერილი ოთხკუთხედის ფართობი არის

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

სადაც p არის ნახევარპერიმეტრი და a, b, c და d არის ოთხკუთხედის გვერდები.

დაამტკიცეთ, რომ წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედის ფართობი არის

1/2 (ab + cb) sin α, სადაც a, b, c და d არის ოთხკუთხედის გვერდები და α არის კუთხე a და b გვერდებს შორის.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - წაიკითხეთ მეტი FB.ru-ზე:

თვითნებური ოთხკუთხედის ფართობი (ნახ. 1.13) შეიძლება გამოისახოს მისი გვერდების a, b, c და საპირისპირო კუთხის წყვილის ჯამის მიხედვით:

სადაც p არის ოთხკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედის ფართობი () (ნახ. 1.14, ა) გამოითვლება ბრაჰმაგუპტას ფორმულით

და აღწერილია (ნახ. 1.14, ბ) () - ფორმულის მიხედვით

თუ ოთხკუთხედი ერთდროულად არის ჩაწერილი და აღწერილი (ნახ. 1.14, გ), მაშინ ფორმულა საკმაოდ მარტივი ხდება:

პიკის ფორმულა

ქაღალდზე მრავალკუთხედის ფართობის შესაფასებლად საკმარისია გამოვთვალოთ რამდენ უჯრედს ფარავს ეს პოლიგონი (უჯრედის ფართობს ვიღებთ ერთეულად). უფრო ზუსტად, თუ S არის მრავალკუთხედის ფართობი, ეს არის უჯრედების რაოდენობა, რომლებიც მთლიანად დევს მრავალკუთხედის შიგნით და არის უჯრედების რაოდენობა, რომლებსაც აქვთ მინიმუმ ერთი საერთო წერტილი მრავალკუთხედის შიგთავსთან.

ქვემოთ განვიხილავთ მხოლოდ ისეთ მრავალკუთხედებს, რომელთა ყველა წვერო დგას ღერძიანი ქაღალდის კვანძებთან - მათში, სადაც ბადის ხაზები იკვეთება. გამოდის, რომ ასეთი პოლიგონებისთვის შეგიძლიათ მიუთითოთ შემდეგი ფორმულა:

სად არის ფართობი, r არის კვანძების რაოდენობა, რომლებიც მკაცრად დევს მრავალკუთხედის შიგნით.

ამ ფორმულას უწოდებენ "პიკის ფორმულას" მათემატიკოსის სახელით, რომელმაც ის 1899 წელს აღმოაჩინა.