მათემატიკასა და ფიზიკაში სტუდენტები და სკოლის მოსწავლეები ხშირად აწყდებიან ამოცანებს ვექტორული რაოდენობებისა და მათზე სხვადასხვა მოქმედებების შესასრულებლად. რა განსხვავებაა ჩვენთვის ნაცნობ ვექტორულ სიდიდეებსა და სკალარ სიდიდეებს შორის, რომელთა ერთადერთი მახასიათებელია რიცხვითი მნიშვნელობა? რადგან მათ აქვთ მიმართულება.

ვექტორული სიდიდეების გამოყენება ყველაზე ნათლად არის ახსნილი ფიზიკაში. უმარტივესი მაგალითებია ძალები (ხახუნის ძალა, ელასტიური ძალა, წონა), სიჩქარე და აჩქარება, რადგან რიცხვითი მნიშვნელობების გარდა მათ აქვთ მოქმედების მიმართულებაც. შედარებისთვის ავიღოთ სკალარული მაგალითი: ეს შეიძლება იყოს მანძილი ორ წერტილს შორის ან სხეულის მასა. რატომ არის საჭირო ვექტორულ სიდიდეებზე მოქმედებების შესრულება, როგორიცაა შეკრება ან გამოკლება? ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ 2 ან მეტი ელემენტისგან შემდგარი ვექტორული სისტემის მოქმედების შედეგი.

ვექტორული მათემატიკის განმარტებები

წარმოგიდგენთ ძირითად განმარტებებს, რომლებიც გამოიყენება ხაზოვანი ოპერაციების შესრულებისას.

1. ვექტორი არის მიმართული (აქვს საწყისი წერტილი და ბოლო წერტილი) სეგმენტი.
2. სიგრძე (მოდული) არის მიმართული სეგმენტის სიგრძე.
3. კოლინარული ვექტორები არის ორი ვექტორი, რომლებიც ან პარალელურია იმავე წრფის ან ერთდროულად დევს მასზე.
4. საპირისპიროდ მიმართულ ვექტორებს უწოდებენ კოლინარული და ამავე დროს მიმართულნი სხვადასხვა მიმართულებით. თუ მათი მიმართულება ემთხვევა, მაშინ ისინი თანამიმართულები არიან.
5. ვექტორები ტოლია, როდესაც ისინი თანამიმართულები არიან და აქვთ იგივე აბსოლუტური მნიშვნელობა.
6. ორი ვექტორის ჯამი ადა ბარის ასეთი ვექტორი გ, რომლის დასაწყისი ემთხვევა პირველის დასაწყისს, ხოლო დასასრული - მეორის დასასრულს, იმ პირობით, რომ ბიწყება იმავე მომენტში და მთავრდება ა.
7. ვექტორული განსხვავება ადა ბდარეკეთ თანხა ადა ( - ბ ), სად ( - ბ ) - ვექტორის საწინააღმდეგოდ ბ. ასევე, ორი ვექტორის განსხვავების განსაზღვრა შეიძლება შემდეგნაირად: სხვაობით გრამდენიმე ვექტორი ადა ბდაუძახეთ ამას გ, რომელიც, როდესაც დაემატება ქვეტრაჰენდს ბაყალიბებს შემცირებულს ა.

ანალიტიკური მეთოდი

ანალიტიკური მეთოდი გულისხმობს სხვაობის კოორდინატების მიღებას ფორმულის მიხედვით კონსტრუქციის გარეშე. შესაძლებელია გამოთვლა ბრტყელი (ორგანზომილებიანი), მოცულობითი (სამგანზომილებიანი) ან n-განზომილებიანი სივრცისთვის.

ორგანზომილებიანი სივრცისთვის და ვექტორული რაოდენობები ა {a₁;a₂) და ბ {b1;b₂} გამოთვლები ასე გამოიყურება: გ {c1; c₂} = {a1 – b1; a₂ – b2}.

მესამე კოორდინატის დამატების შემთხვევაში გაანგარიშება განხორციელდება ანალოგიურად და რისთვის ა {a₁;a₂; a₃) და ბ {b1;b₂; b₃) განსხვავების კოორდინატები ასევე მიიღება წყვილი გამოკლებით: გ {c1; c2; c₃} = {a1 – b1; a₂ – b2; a₃–b3}.

განსხვავების გამოთვლა გრაფიკულად

იმისთვის, რომ განსხვავება გრაფიკულად გამოსახოთ, უნდა გამოიყენოთ სამკუთხედის წესი. ამისათვის თქვენ უნდა შეასრულოთ მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობა:

1. მოცემული კოორდინატებისთვის ააგეთ ვექტორები, რომლებისთვისაც სხვაობა უნდა იპოვოთ.
2. გააერთიანეთ მათი ბოლოები (ანუ ააგეთ მოცემულის ტოლი ორი მიმართული სეგმენტი, რომელიც დასრულდება იმავე წერტილში).
3. დააკავშირეთ ორივე მიმართული სეგმენტის დასაწყისი და მიუთითეთ მიმართულება; შედეგად მიღებული ერთი დაიწყება იმავე წერტილიდან, სადაც ვექტორი, რომელიც minuend იყო, დაიწყო და დასრულდება გამოკლებული ვექტორის საწყისი წერტილით.

გამოკლების ოპერაციის შედეგი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში..

ასევე არსებობს სხვაობის აგების მეთოდი, წინაგან ოდნავ განსხვავებული. მისი არსი მდგომარეობს ვექტორთა სხვაობის შესახებ თეორემის გამოყენებაში, რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: იმისათვის, რომ ვიპოვოთ წყვილი მიმართული სეგმენტების სხვაობა, საკმარისია ვიპოვოთ მათგან პირველის ჯამი საპირისპირო სეგმენტით. მეორემდე. მშენებლობის ალგორითმი ასე გამოიყურება:

1. შექმენით საწყისი მიმართული სეგმენტები.
2. ის, რომელიც არის ქვეტრაჰენდი, უნდა აისახოს, ანუ ააგოს საპირისპიროდ მიმართული და თანაბარი სეგმენტი; შემდეგ შეუთავსეთ მისი დასაწყისი შემცირებულს.
3. შეადგინეთ ჯამი: დააკავშირეთ პირველი სეგმენტის დასაწყისი მეორის დასასრულთან.

ამ გადაწყვეტილების შედეგი ნაჩვენებია ფიგურაში:

Პრობლემის გადაჭრა

უნარის გასამყარებლად, ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე დავალებას, რომლებშიც საჭიროა სხვაობის ანალიტიკური ან გრაფიკული გამოთვლა.

დავალება 1. სიბრტყეზე არის 4 წერტილი: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). განსაზღვრეთ ვექტორის q = AB - CD კოორდინატები და ასევე გამოთვალეთ მისი სიგრძე.

გადაწყვეტილება. ჯერ უნდა იპოვოთ კოორდინატები ABდა CD. ამისათვის გამოაკლეთ საწყისი წერტილების კოორდინატები ბოლო წერტილების კოორდინატებს. ამისთვის ABდასაწყისი არის ა(1; -3) და დასასრული - ბ(0; 4). გამოთვალეთ მიმართული სეგმენტის კოორდინატები:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

ანალოგიური გაანგარიშება ხორციელდება CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

ახლა, კოორდინატების ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ ვექტორების განსხვავება. თვითმფრინავის ამოცანების ანალიტიკური ამოხსნის ფორმულა ადრე განიხილებოდა: ამისთვის გ = ა- ბკოორდინატები ჰგავს ( c1; c₂} = {a1 – b1; a₂ – b2). კონკრეტული შემთხვევისთვის შეგიძლიათ დაწეროთ:

ქ = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

სიგრძის საპოვნელად ქ, ვიყენებთ ფორმულას | ქ| = √(q1² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.

დავალება 2. ნახატზე ნაჩვენებია m, n და p ვექტორები.

მათთვის აუცილებელია განსხვავებების აგება: გვ- n; მ- n; მ-ნ- გვ. გაარკვიეთ რომელს აქვს ყველაზე პატარა მოდული.

გადაწყვეტილება. დავალება მოითხოვს სამ კონსტრუქციას. მოდით შევხედოთ დავალების თითოეულ ნაწილს უფრო დეტალურად.

Ნაწილი 1.გამოსასახად გვ-n,გამოვიყენოთ სამკუთხედის წესი. ამისათვის, პარალელური თარგმანის გამოყენებით, ჩვენ ვაკავშირებთ სეგმენტებს ისე, რომ მათი ბოლო წერტილი ემთხვევა. ახლა მოდით დავაკავშიროთ საწყისი წერტილები და განვსაზღვროთ მიმართულება. ჩვენს შემთხვევაში, სხვაობის ვექტორი იწყება იმავე ადგილიდან, როგორც გამოკლებული. ნ.

Მე -2 ნაწილი.მოდით გამოვსახოთ მ-ნ. ახლა ამოხსნისთვის ვიყენებთ თეორემას ვექტორთა სხვაობის შესახებ. ამისათვის ააგეთ საპირისპირო ვექტორი n,და შემდეგ იპოვეთ მისი ჯამი მ.შედეგი ასე გამოიყურება:

ნაწილი 3იმისათვის, რომ ვიპოვოთ განსხვავება m-n-p,გაყავით გამოხატულება ორ ეტაპად. ვინაიდან არითმეტიკის კანონების მსგავსი კანონები გამოიყენება ვექტორულ ალგებრაში, შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები:

• m-(n+p): ამ შემთხვევაში ჯერ ჯამი აგებულია n+p, რომელსაც შემდეგ აკლდება მ;
• (მ-ნ)-გვ: აქ ჯერ უნდა იპოვოთ მ-ნ, და შემდეგ გამოვაკლოთ ამ განსხვავებას გვ;
• (მ-პ)-ნ: პირველი მოქმედება განისაზღვრება მ-პ, რის შემდეგაც შედეგის გამოკლება გჭირდებათ ნ.

ვინაიდან პრობლემის წინა ნაწილში ჩვენ უკვე ვიპოვნეთ განსხვავება მ-ნ, ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ გამოვაკლოთ გვ. მოდით ავაშენოთ ორი მოცემული ვექტორის სხვაობა განსხვავების თეორემის გამოყენებით. პასუხი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე (წითელი მიუთითებს შუალედურ შედეგზე, ხოლო მწვანე მიუთითებს საბოლოო შედეგზე).

რჩება იმის დადგენა, რომელ სეგმენტს აქვს ყველაზე პატარა მოდული. შეგახსენებთ, რომ სიგრძისა და მოდულის ცნებები ვექტორულ მათემატიკაში იდენტურია. ვიზუალურად შეაფასეთ სიგრძე გვ- ნ, მ-ნდა მ-ნ-გვ. ცხადია, პასუხი ამოცანის ბოლო ნაწილში არის ყველაზე მოკლე და აქვს ყველაზე მცირე მოდული, კერძოდ მ-ნ-გვ.

ვექტორთა ჯამი. ვექტორის სიგრძე. ძვირფასო მეგობრებო, უკანა გამოცდის ტიპებში არის ვექტორებით დავალებების ჯგუფი. საკმაოდ ფართო დიაპაზონის ამოცანები (მნიშვნელოვანია თეორიული საფუძვლების ცოდნა). უმეტესობა წყდება ზეპირად. კითხვები დაკავშირებულია ვექტორის სიგრძის, ვექტორების ჯამის (განსხვავების), სკალარული ნამრავლის პოვნასთან. ასევე ბევრი ამოცანაა, რომელთა გადაწყვეტისას აუცილებელია ვექტორების კოორდინატებით მოქმედებების განხორციელება.

ვექტორების თეორია მარტივია და კარგად უნდა იყოს გაგებული. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ამოცანებს, რომლებიც დაკავშირებულია ვექტორის სიგრძის პოვნასთან, ასევე ვექტორების ჯამთან (განსხვავებასთან). ზოგიერთი თეორიული პუნქტი:

ვექტორის კონცეფცია

ვექტორი არის მიმართული ხაზის სეგმენტი.

ყველა ვექტორი, რომელსაც აქვს იგივე მიმართულება და სიგრძით ტოლია, ტოლია.

* ზემოთ ოთხივე ვექტორი ტოლია!

ანუ ჩვენთვის მოცემული ვექტორის გადასატანად თუ გამოვიყენებთ პარალელურ ტრანსლაციას, ყოველთვის მივიღებთ ორიგინალის ტოლ ვექტორს. ამრიგად, შეიძლება იყოს უსასრულო რაოდენობის თანაბარი ვექტორები.

ვექტორული აღნიშვნა

ვექტორი შეიძლება აღინიშნოს ლათინური დიდი ასოებით, მაგალითად:

აღნიშვნის ამ ფორმით ჯერ იწერება ვექტორის დასაწყისის აღმნიშვნელი ასო, შემდეგ ვექტორის დასასრულის აღმნიშვნელი ასო.

კიდევ ერთი ვექტორი აღინიშნება ლათინური ანბანის ერთი ასოთი (კაპიტალი):

ასევე შესაძლებელია აღნიშვნა ისრების გარეშე:

ორი ვექტორის AB და BC ჯამი იქნება ვექტორი AC.

იწერება როგორც AB + BC \u003d AC.

ამ წესს ჰქვია - სამკუთხედის წესი.

ანუ, თუ გვაქვს ორი ვექტორი - ვუწოდოთ მათ პირობითად (1) და (2), ხოლო ვექტორის (1) ბოლო ემთხვევა ვექტორის (2) დასაწყისს, მაშინ ამ ვექტორების ჯამი იქნება ვექტორი, რომლის დასაწყისი ემთხვევა ვექტორის დასაწყისს (1) , ხოლო დასასრული ემთხვევა ვექტორის დასასრულს (2).

დასკვნა: თუ ჩვენ გვაქვს ორი ვექტორი სიბრტყეზე, ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი ჯამი. პარალელური თარგმანის გამოყენებით შეგიძლიათ გადაიტანოთ რომელიმე ამ ვექტორიდან და დააკავშიროთ მისი დასაწყისი მეორის ბოლოს. Მაგალითად:

გადავიტანოთ ვექტორი ბ, ან სხვა გზით - ჩვენ ავაშენებთ მის ტოლს:

როგორ არის ნაპოვნი რამდენიმე ვექტორის ჯამი? იგივე პრინციპით:

* * *

პარალელოგრამის წესი

ეს წესი ზემოაღნიშნულის შედეგია.

საერთო საწყისის მქონე ვექტორებისთვის მათი ჯამი წარმოდგენილია ამ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალით.

ავაშენოთ ვექტორის ტოლი ვექტორი ბისე რომ მისი დასაწყისი ემთხვევა ვექტორის დასასრულს ადა ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ ვექტორი, რომელიც იქნება მათი ჯამი:

პრობლემების გადასაჭრელად საჭიროა კიდევ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ინფორმაცია.

ვექტორი, რომელიც სიგრძით ტოლია თავდაპირველს, მაგრამ საპირისპიროდ მიმართული, ასევე აღინიშნება, მაგრამ აქვს საპირისპირო ნიშანი:

ეს ინფორმაცია ძალზე სასარგებლოა ამოცანების გადასაჭრელად, რომლებშიც ჩნდება ვექტორების განსხვავების პოვნა. როგორც ხედავთ, ვექტორთა სხვაობა შეცვლილი ფორმით იგივე ჯამია.

მიეცით ორი ვექტორი, იპოვეთ მათი განსხვავება:

ჩვენ ავაშენეთ ვექტორი b ვექტორის საწინააღმდეგოდ და ვიპოვეთ განსხვავება.

ვექტორული კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატების მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ შესაბამისი საწყისი კოორდინატები ბოლო კოორდინატებს:

ანუ ვექტორის კოორდინატები არის რიცხვების წყვილი.

Თუ

და ვექტორების კოორდინატები ასე გამოიყურება:

შემდეგ c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Თუ

შემდეგ c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

ვექტორული მოდული

ვექტორის მოდული არის მისი სიგრძე, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:

ვექტორის სიგრძის განსაზღვრის ფორმულა, თუ ცნობილია მისი დასაწყისისა და დასასრულის კოორდინატები:

განიხილეთ დავალებები:

ABCD მართკუთხედის ორი გვერდი არის 6 და 8. დიაგონალები იკვეთება O წერტილში. იპოვეთ AO და BO ვექტორებს შორის სხვაობის სიგრძე.

ვიპოვოთ ვექტორი, რომელიც იქნება AO - VO-ს შედეგი:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

ანუ განსხვავება AO და ვექტორებს შორის VO იქნება ვექტორი AB. და მისი სიგრძე რვაა.

რომბის დიაგონალები Ა Ბ Გ Დარის 12 და 16. იპოვეთ AB +AD ვექტორის სიგრძე.

ვიპოვოთ ვექტორი, რომელიც იქნება AD და AB BC ვექტორების ჯამი AD ვექტორის ტოლი. ასე რომ AB+AD=AB+BC=AC

AC არის რომბის დიაგონალის სიგრძე ACუდრის 16-ს.

ABCD რომბის დიაგონალები იკვეთება წერტილში ოდა უდრის 12-ს და 16-ს. იპოვეთ AO + BO ვექტორის სიგრძე.

ვიპოვოთ ვექტორი, რომელიც იქნება AO და BO BO ვექტორების ჯამი OD ვექტორის ტოლი,

AD არის რომბის მხარის სიგრძე. პრობლემა მცირდება ჰიპოტენუზის პოვნამდე მართკუთხა სამკუთხედში AOD. მოდით გამოვთვალოთ ფეხები:

პითაგორას თეორემის მიხედვით:

ABCD რომბის დიაგონალები იკვეთება O წერტილში და უდრის 12-ს და 16-ს. იპოვეთ AO –BO ვექტორის სიგრძე.

ვიპოვოთ ვექტორი, რომელიც იქნება AO - VO-ს შედეგი:

AB არის რომბის მხარის სიგრძე. პრობლემა მცირდება AB ჰიპოტენუზის პოვნამდე მართკუთხა სამკუთხედში AOB. გამოთვალეთ ფეხები:

პითაგორას თეორემის მიხედვით:

რეგულარული სამკუთხედის ABC გვერდები არის 3.

იპოვეთ AB -AC ვექტორის სიგრძე.

ვიპოვოთ ვექტორთა სხვაობის შედეგი:

CB უდრის სამს, რადგან პირობა ამბობს, რომ სამკუთხედი ტოლკუთხედია და მისი გვერდები 3-ის ტოლია.

27663. იპოვეთ a (6; 8) ვექტორის სიგრძე.

27664. იპოვეთ AB ვექტორის სიგრძის კვადრატი.

მათემატიკური ან ფიზიკური სიდიდეები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც სკალარული სიდიდეები (რიცხობრივი მნიშვნელობა) ან ვექტორული სიდიდეები (სიდიდე და მიმართულება სივრცეში).

ვექტორი არის მიმართული ხაზის სეგმენტი, რომლისთვისაც მითითებულია, რომელია მისი სასაზღვრო წერტილი დასაწყისი და რომელი დასასრული. ამრიგად, ვექტორში არის ორი კომპონენტი - ეს არის მისი სიგრძე და მიმართულება.

ვექტორის გამოსახულება ნახაზზე.

ვექტორებთან მუშაობისას ხშირად შემოდის გარკვეული დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც ვექტორის კოორდინატები განისაზღვრება მისი საბაზისო ვექტორებად დაშლით:

ვექტორისთვის, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა სივრცეში (x,y,z) და ტოვებს საწყისს

ვექტორის დასაწყისსა და დასასრულს შორის მანძილს უწოდებენ მის სიგრძეს, ხოლო მოდულის სიმბოლო გამოიყენება ვექტორის სიგრძის აღსანიშნავად (მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა).

ვექტორებს, რომლებიც განლაგებულია იმავე ხაზზე ან პარალელურ ხაზებზე, ეწოდება კოლინარული. ნულოვანი ვექტორი განიხილება ნებისმიერი ვექტორის კოლინარად. კოლინურ ვექტორებს შორის გამოიყოფა თანაბრად მიმართული (თანამართული) და საპირისპიროდ მიმართული ვექტორები. ვექტორებს უწოდებენ კოპლანარს, თუ ისინი განლაგებულია იმავე სიბრტყეზე ან იმავე სიბრტყის პარალელურ სწორ ხაზებზე.

1.ვექტორის სიგრძე (ვექტორული მოდული)

ვექტორის სიგრძე განსაზღვრავს მის სკალარული მნიშვნელობას და დამოკიდებულია მის კოორდინატებზე, მაგრამ არ არის დამოკიდებული მის მიმართულებაზე. ვექტორის სიგრძე (ან ვექტორის მოდული) გამოითვლება ვექტორის კოორდინატების (კომპონენტების) კვადრატების ჯამის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის გამოყენებით (გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის გამოთვლის წესი, სადაც ვექტორი თავად ხდება ჰიპოტენუზა).

კოორდინატების საშუალებით ვექტორის მოდული გამოითვლება შემდეგნაირად:

ვექტორისთვის, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა სივრცეში (x,y) და გამოდის საწყისიდან

ვექტორისთვის, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა სივრცეში (x, y, z) და გამოდის საწყისიდან, ფორმულა მსგავსი იქნება მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალის ფორმულის, ვინაიდან სივრცეში ვექტორი ერთსა და იმავე პოზიციას იკავებს კოორდინატთან მიმართებაში. ცულები.

2. კუთხე ვექტორებს შორის

ერთი წერტილიდან გამოსახულ ორ ვექტორს შორის კუთხე არის უმოკლესი კუთხე, რომლითაც ერთ-ერთი ვექტორი უნდა შემობრუნდეს თავისი საწყისის გარშემო მეორე ვექტორის პოზიციამდე. ვექტორებს შორის კუთხე განისაზღვრება გამოხატვის გამოყენებით ვექტორების სკალარული პროდუქტის დასადგენად

ამრიგად, ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი უდრის სკალარული ნამრავლის შეფარდებას ვექტორების სიგრძის ან მოდულის ნამრავლთან. ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ ცნობილია ვექტორების სიგრძე და მათი სკალარული ნამრავლი, ან ვექტორები მოცემულია კოორდინატებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე ან სივრცეში სახით: და .

თუ ვექტორები A და B მოცემულია სამგანზომილებიან სივრცეში და თითოეული მათგანის კოორდინატები მოცემულია სახით: და , მაშინ ვექტორებს შორის კუთხე განისაზღვრება შემდეგი გამოსახულებით:

უნდა აღინიშნოს, რომ კუთხე ვექტორებს შორის და ასევე შეიძლება განისაზღვროს სამკუთხედის კოსინუსების თეორემის გამოყენებით: სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს მინუს ორჯერ ნამრავლი. ეს გვერდები მათ შორის კუთხის კოსინუსით.

სადაც AB, OA, OB არის სამკუთხედის შესაბამისი გვერდი.

კოსინუსების თეორემა სამკუთხედისთვის

რაც შეეხება ვექტორულ გამოთვლებს, ეს ფორმულა გადაიწერება შემდეგნაირად:

ამრიგად, კუთხე ვექტორებს შორის განისაზღვრება შემდეგი გამოსახულებით:

სადაც და არის ვექტორის მოდული (სიგრძე) და არის ვექტორის მოდული (სიგრძე), რომელიც განისაზღვრება ორი ვექტორის სხვაობიდან. განტოლებაში შემავალი უცნობები განისაზღვრება ვექტორების კოორდინატებით და .

3. ვექტორის დამატება

ორი ვექტორის დამატება და (ორი ვექტორის ჯამი) არის ვექტორის გამოთვლის ოპერაცია, რომლის ყველა ელემენტი უდრის ვექტორების შესაბამისი ელემენტების წყვილთა ჯამს და . თუ ვექტორები მოცემულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ვექტორთა ჯამი

გრაფიკულად, თან ორი თავისუფალი ვექტორის პოზიციაშეიძლება განხორციელდეს როგორც სამკუთხედის წესით, ასევე პარალელოგრამის წესით.

ორი ვექტორის დამატება

ორი მოცურების ვექტორის დამატება განისაზღვრება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ხაზები, რომლებზეც ისინი განლაგებულია, იკვეთება. ორი ფიქსირებული ვექტორის დამატება განისაზღვრება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ საერთო საწყისი.

სამკუთხედის წესი.

ორი ვექტორის დასამატებლად და სამკუთხედის წესის მიხედვით, ორივე ეს ვექტორი გადატანილია თავის პარალელურად ისე, რომ ერთის დასაწყისი მეორის დასასრულს ემთხვევა. მაშინ ჯამის ვექტორი მოცემულია ჩამოყალიბებული სამკუთხედის მესამე გვერდით და მისი დასაწყისი ემთხვევა პირველი ვექტორის დასაწყისს, ხოლო დასასრული მეორე ვექტორის დასასრულს.

სად არის კუთხე ვექტორებს შორის, როდესაც ერთის დასაწყისი ემთხვევა მეორის დასასრულს.

პარალელოგრამის წესი.

ორი ვექტორის დასამატებლად და პარალელოგრამის წესის მიხედვით, ორივე ეს ვექტორი გადატანილია თავის პარალელურად ისე, რომ მათი საწყისი ემთხვევა. შემდეგ ჯამის ვექტორი მოცემულია მათზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალით, რომელიც მოდის მათი საერთო საწყისიდან.

ჯამის ვექტორის მოდული (სიგრძე) განისაზღვრება კოსინუსების თეორემით:

სად არის კუთხე ერთი და იმავე წერტილიდან გამოსულ ვექტორებს შორის.

Შენიშვნა:

როგორც ხედავთ, იმის მიხედვით, თუ რომელი კუთხეა არჩეული, კუთხის კოსინუსის წინ ნიშანი იცვლება ჯამის ვექტორის მოდულის (სიგრძის) განსაზღვრის ფორმულაში.

4. ვექტორთა განსხვავება

ვექტორთა სხვაობა და (ვექტორის გამოკლება) არის ვექტორის გამოთვლის ოპერაცია, რომლის ყველა ელემენტი უდრის ვექტორების შესაბამისი ელემენტების წყვილი სხვაობას და . თუ ვექტორები მოცემულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ვექტორული განსხვავებადა შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

გრაფიკული სახით ვექტორთა სხვაობა და არის ვექტორისა და ვექტორის საპირისპირო ჯამი, ე.ი.

ორი თავისუფალი ვექტორის განსხვავება

ორი თავისუფალი ვექტორის განსხვავება გრაფიკულ ფორმაში შეიძლება განისაზღვროს როგორც სამკუთხედის წესით, ასევე პარალელოგრამის წესით. სხვაობის ვექტორის მოდული (სიგრძე) განისაზღვრება კოსინუსების თეორემით. ფორმულაში გამოყენებული კუთხიდან გამომდინარე, კოსინუსის წინ ნიშანი იცვლება (ადრე განვიხილეთ).

5. ვექტორთა წერტილოვანი ნამრავლი

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის რეალური რიცხვი, რომელიც ტოლია გამრავლებული ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის. ვექტორების სკალარული ნამრავლი და აღინიშნება შემდეგი აღნიშვნებიდან ერთ-ერთი ან ან და განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც არის ვექტორების სიგრძეები და, შესაბამისად, და არის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი.

ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლი

სკალარული ნამრავლი ასევე შეიძლება გამოითვალოს ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეში ან სივრცეში.

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან სივრცეში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში არის ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამი და .

ამრიგად, ვექტორებისთვის და სიბრტყეზე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში, სკალარული ნამრავლის გამოთვლის ფორმულა შემდეგია:

სამგანზომილებიანი სივრცისთვის, ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლის ფორმულა აქვს შემდეგი ფორმა:

სკალარული პროდუქტის თვისებები.

1. სკალარული პროდუქტის კომუტატიურობის თვისება

2. სკალარული პროდუქტის განაწილების თვისება

3. სკალარული პროდუქტის ასოციაციური თვისება (ასოციაციურობა)

სადაც არის თვითნებური რეალური რიცხვი.

უნდა აღინიშნოს, რომ იმ შემთხვევაში, თუ:

თუ წერტილოვანი პროდუქტი დადებითია, მაშინ ვექტორებს შორის კუთხე მკვეთრია (90 გრადუსზე ნაკლები);

თუ წერტილის ნამრავლი უარყოფითია, მაშინ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია (90 გრადუსზე მეტი);

თუ წერტილის ნამრავლი არის 0, მაშინ ვექტორები ორთოგონალურია (რომლებიც ერთმანეთზე პერპენდიკულურად დევს);

თუ სკალარული ნამრავლი ტოლია ვექტორების სიგრძის ნამრავლის, მაშინ ეს ვექტორები ერთმანეთთან კოლინარულია (პარალელური).

6. ვექტორთა ვექტორული ნამრავლი

ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი, რომლისთვისაც დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

1. ვექტორი ორთოგონალურია (პერპენდიკულარული) ვექტორების სიბრტყეზე და ;

ბევრი ფიზიკური რაოდენობა მთლიანად განისაზღვრება გარკვეული რიცხვის მინიჭებით. ეს არის, მაგალითად, მოცულობა, მასა, სიმკვრივე, სხეულის ტემპერატურა და ა.შ. ასეთ სიდიდეებს სკალარული ეწოდება. ამ მიზეზით, ციფრებს ზოგჯერ სკალერებს უწოდებენ. მაგრამ არის ისეთი რაოდენობებიც, რომლებიც განისაზღვრება არა მხოლოდ რიცხვის, არამედ გარკვეული მიმართულების დაყენებით. მაგალითად, როდესაც სხეული მოძრაობს, უნდა განისაზღვროს არა მხოლოდ სხეულის სიჩქარე, არამედ მოძრაობის მიმართულებაც. ანალოგიურად, ნებისმიერი ძალის მოქმედების შესწავლისას აუცილებელია მიუთითოთ არა მხოლოდ ამ ძალის მნიშვნელობა, არამედ მისი მოქმედების მიმართულებაც. ასეთ რაოდენობას ე.წ ვექტორი.მათ აღსაწერად დაინერგა ვექტორის ცნება, რომელიც მათემატიკისთვის გამოსადეგი აღმოჩნდა.

ვექტორის განმარტება

A-დან B წერტილების ნებისმიერი მოწესრიგებული წყვილი სივრცეში განსაზღვრავს მიმართული სეგმენტი, ე.ი. სეგმენტი მასზე მითითებულ მიმართულებასთან ერთად. თუ წერტილი A არის პირველი, მაშინ მას უწოდებენ მიმართული სეგმენტის დასაწყისს, ხოლო B წერტილს - დასასრულს. სეგმენტის მიმართულება არის მიმართულება თავიდან ბოლომდე.

განმარტება
მიმართულ სეგმენტს ვექტორი ეწოდება.

ვექტორს აღვნიშნავთ სიმბოლოთი \(\overrightarrow(AB) \), სადაც პირველი ასო ნიშნავს ვექტორის დასაწყისს, ხოლო მეორე - მის დასასრულს.

ვექტორს, რომლის დასაწყისი და დასასრული ერთნაირია, ეწოდება ნულიდა აღინიშნება \(\vec(0) \) ან უბრალოდ 0-ით.

მანძილს ვექტორის დასაწყისსა და დასასრულს შორის მისი ეწოდება გრძელიდა აღინიშნება \(|\overrightarrow(AB)| \) ან \(|\vec(a)| \).

გამოძახებულია ვექტორები \(\vec(a) \) და \(\vec(b) \). კოლინარულითუ ისინი დგანან ერთსა და პარალელურ ხაზებზე. კოლინარული ვექტორები შეიძლება იყოს მიმართული იგივე ან საპირისპირო.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ორი ვექტორის ტოლობის მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

განმარტება
ვექტორებს \(\vec(a) \) და \(\vec(b) \) ტოლი ეწოდება (\(\vec(a) = \vec(b) \)), თუ ისინი ხაზოვანია, აქვთ იგივე მიმართულება, და მათი სიგრძე ტოლია.

ნახ. 1, არათანაბარი ვექტორები ნაჩვენებია მარცხნივ, ხოლო თანაბარი ვექტორები \(\vec(a) \) და \(\vec(b) \) ნაჩვენებია მარჯვნივ. ვექტორთა ტოლობის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მოცემული ვექტორი გადაადგილდება თავის პარალელურად, მაშინ მიიღება მოცემულის ტოლი ვექტორი. ამ მხრივ ანალიტიკურ გეომეტრიაში ვექტორებს უწოდებენ უფასო.

ვექტორის პროექცია ღერძზე

ღერძი \(u\) და რამდენიმე ვექტორი \(\overrightarrow(AB)\) მოცემულია სივრცეში. დავხაზოთ A და B წერტილები ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში \ (u \). ავღნიშნოთ A-ით „და B“-ით ამ სიბრტყეების ღერძთან გადაკვეთის წერტილები (იხ. სურათი 2).

\(\overrightarrow(AB) \) ვექტორის პროექცია \(u\) ღერძზე არის A"B" მიმართული სეგმენტის A"B" მნიშვნელობა \(u\) ღერძზე. გავიხსენოთ რომ
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , თუ მიმართულება \(\overrightarrow(A"B) \) იგივეა, რაც ღერძის მიმართულება \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B)| \) თუ \(\overrightarrow(A"B") \) მიმართულება \(u \) ღერძის მიმართულების საპირისპიროა,
\(\overrightarrow(AB) \) ვექტორის პროექცია ღერძზე \(u \) აღინიშნება შემდეგნაირად: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).

თეორემა
\(\overrightarrow(AB) \) ვექტორის პროექცია ღერძზე \(u\) უდრის ვექტორის სიგრძეს \(\overrightarrow(AB) \) გამრავლებული ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსზე \( \overrightarrow(AB) \) და ღერძი \( u \) , ე.ი.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) სადაც \(\varphi \) არის კუთხე ვექტორს \(\overrightarrow(AB) \) და ღერძს \(u) შორის \).

კომენტარი
მიეცით \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) და ზოგიერთი ღერძი \(u \). თითოეულ ამ ვექტორზე თეორემის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) ე.ი. თანაბარ ვექტორებს აქვთ თანაბარი პროგნოზები იმავე ღერძზე.

ვექტორული პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე

სივრცეში მოცემული იყოს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxyz და თვითნებური ვექტორი \(\overrightarrow(AB) \). მოდით, შემდგომში, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). კოორდინატთა ღერძებზე \(\overrightarrow(AB) \) ვექტორის X, Y, Z პროგნოზები მას უწოდებენ. კოორდინატები.ამავე დროს წერენ
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

თეორემა
როგორიც არ უნდა იყოს ორი წერტილი A(x 1; y 1; z 1) და B(x 2; y 2; z 2), ვექტორის კოორდინატები \(\overrightarrow(AB) \) განისაზღვრება შემდეგი ფორმულებით. :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

კომენტარი
თუ ვექტორი \(\overrightarrow(AB) \) ტოვებს საწყისს, ე.ი. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, მაშინ \(\overrightarrow(AB) \) ვექტორის X, Y, Z კოორდინატები უდრის მისი ბოლო კოორდინატებს:
X=x, Y=y, Z=z.

ვექტორული მიმართულების კოსინუსები

დაუშვით თვითნებური ვექტორი \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ \(\vec(a) \) ტოვებს საწყისს და არ დევს არცერთ კოორდინატულ სიბრტყეში. მოდით დავხატოთ A წერტილიდან ღერძებზე პერპენდიკულარული სიბრტყეები. კოორდინატთა სიბრტყეებთან ერთად ისინი ქმნიან მართკუთხა პარალელეპიპედს, რომლის დიაგონალი არის OA სეგმენტი (იხ. სურათი).

ელემენტარული გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალის სიგრძის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების სიგრძის კვადრატების ჯამს. აქედან გამომდინარე,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
მაგრამ \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); რითაც ვიღებთ
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
ან
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
ეს ფორმულა გამოხატავს თვითნებური ვექტორის სიგრძეს მისი კოორდინატების მიხედვით.

აღნიშნეთ \(\ალფა, \; \ბეტა, \; \გამა \) კუთხეები ვექტორსა და კოორდინატთა ღერძებს შორის. ვექტორის ღერძზე და ვექტორის სიგრძეზე პროექციის ფორმულებიდან ვიღებთ
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \გამა = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \გამა \) ეწოდება ვექტორის მიმართულების კოსინუსები \(\vec(a) \).

თითოეული წინა ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარის კვადრატში და შედეგების შეჯამება გვაქვს
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \ბეტა + \cos^2 \გამა = 1 \)
იმათ. ნებისმიერი ვექტორის კვადრატული მიმართულების კოსინუსების ჯამი ერთის ტოლია.

ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებზე და მათი ძირითადი თვისებები

ვექტორებზე წრფივი მოქმედებები არის ვექტორების შეკრება და გამოკლების ოპერაციები და ვექტორების რიცხვებზე გამრავლება.

ორი ვექტორის დამატება

მიეცით ორი ვექტორი \(\vec(a) \) და \(\vec(b) \). ჯამი \(\vec(a) + \vec(b) \) არის ვექტორი, რომელიც მიდის ვექტორის დასაწყისიდან \(\vec(a) \) ვექტორის ბოლომდე \(\vec(b) \) იმ პირობით, რომ ვექტორი \(\vec(b) \) მიმაგრებულია ვექტორის ბოლოზე \(\vec(a) \) (იხ. სურათი).

კომენტარი
ვექტორების გამოკლების მოქმედება შეკრების მოქმედების საპირისპიროა, ე.ი. განსხვავება \(\vec(b) - \vec(a) \) ვექტორების \(\vec(b) \) და \(\vec(a) \) არის ვექტორი, რომელიც ვექტორთან ერთად \( \vec(a) ) \) იძლევა ვექტორს \(\vec(b) \) (იხ. სურათი).

კომენტარი
ორი ვექტორის ჯამის დადგენის შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ მოცემული ვექტორების ნებისმიერი რაოდენობის ჯამი. მოდით, მაგალითად, მოცემული სამი ვექტორი \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). \(\vec(a) \) და \(\vec(b) \) მიმატებით, მივიღებთ ვექტორს \(\vec(a) + \vec(b) \). ახლა მას ვუმატებთ ვექტორს \(\vec(c) \), მივიღებთ ვექტორს \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

ვექტორის ნამრავლი რიცხვით

მოცემული იყოს ვექტორი \(\vec(a) \neq \vec(0) \) და რიცხვი \(\lambda \neq 0 \). ნამრავლი \(\ ლამბდა \vec(a) \) არის ვექტორი, რომელიც თანამიმართულია ვექტორთან \(\vec(a) \), აქვს სიგრძე \(|\lambda| |\vec(a)| \), და მიმართულება იგივეა, რაც ვექტორი \(\vec(a) \) თუ \(\lambda > 0 \), და საპირისპირო თუ \(\lambda (0) \) რიცხვით \(\lambda \neq 0 \) შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად: თუ \(|\lambda| >1 \), მაშინ ვექტორის \(\vec(a) \) რიცხვზე \( \lambda \) გამრავლებისას ვექტორი \( \vec(a) \) არის "გაჭიმული" \(\lambda \)-ჯერ და თუ \(|\lambda| 1 \).

თუ \(\lambda =0 \) ან \(\vec(a) = \vec(0) \), მაშინ ნამრავლი \(\lambda \vec(a) \) ჩაითვლება ნულოვანი ვექტორის ტოლი.

კომენტარი
ვექტორის რიცხვზე გამრავლების განმარტების გამოყენებით, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ თუ ვექტორები \(\vec(a) \) და \(\vec(b) \) წრფივია და \(\vec(a) \neq \vec(0) \), მაშინ არსებობს (და მხოლოდ ერთი) ნომერი \(\lambda \) ისეთი, რომ \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

წრფივი მოქმედებების ძირითადი თვისებები

1. შეკრების კომუტაციური თვისება
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. მიმატების ასოციაციური თვისება
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. გამრავლების ასოციაციური თვისება
\(\ ლამბდა (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. გამანაწილებელი თვისება რიცხვთა ჯამის მიმართ
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \ლამბდა \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. გამანაწილებელი თვისება ვექტორთა ჯამის მიმართ
\(\ლამბდა (\vec(a)+\vec(b)) = \ლამბდა \vec(a) + \ლამბდა \vec(b) \)

კომენტარი
წრფივი მოქმედებების ამ თვისებებს ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს, რადგან ისინი შესაძლებელს ხდის ვექტორებზე ჩვეულებრივი ალგებრული მოქმედებების შესრულებას. მაგალითად, 4 და 5 თვისებების გამო, შესაძლებელია სკალარული მრავალწევრის გამრავლება ვექტორულ პოლინომზე „ტერმინი ტერმინით“.

ვექტორული პროექციის თეორემები

თეორემა
ორი ვექტორის ჯამის პროექცია ღერძზე უდრის მათი პროექციების ჯამს ამ ღერძზე, ე.ი.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

თეორემა შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინების შემთხვევაში.

თეორემა
ვექტორის \(\vec(a) \) რიცხვით \(\ლამბდა \) გამრავლებისას, მისი პროექცია ღერძზე ასევე მრავლდება ამ რიცხვზე, ე.ი. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

შედეგი
თუ \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) და \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), მაშინ
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

შედეგი
თუ \(\vec(a) = (x;y;z) \), მაშინ \(\ლამბდა \vec(a) = (\ლამბდა x; \; \ლამბდა y; \; \ლამბდა ზ) \) ამისთვის ნებისმიერი რიცხვი \(\ლამბდა\)

აქედან მარტივია დასკვნა ორი ვექტორის კოლინარობის პირობა კოორდინატებში.
მართლაც, ტოლობა \(\vec(b) = \ლამბდა \vec(a) \) ექვივალენტურია ტოლობების \(x_2 = \ლამბდა x_1, \; y_2 = \ლამბდა y_1, \; z_2 = \ლამბდა z_1 \ ) ან
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) ე.ი. ვექტორები \(\vec(a) \) და \(\vec(b) \) კოლინარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოორდინატები პროპორციულია.

ვექტორის დაშლა საფუძვლების მიხედვით

ვექტორები \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) იყოს კოორდინატთა ღერძების ერთეული ვექტორები, ე.ი. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), და თითოეული მათგანი თანაბრად არის მიმართული შესაბამისი კოორდინატთა ღერძით (იხ. სურათი). ვექტორების სამმაგი \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ეწოდება საფუძველი.
შემდეგი თეორემა მოქმედებს.

თეორემა
ნებისმიერი ვექტორი \(\vec(a) \) შეიძლება ცალსახად გაფართოვდეს \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), ე.ი. სახით წარმოდგენილი
\(\vec(a) = \ლამბდა \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
სადაც \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) არის რამდენიმე რიცხვი.