როგორ გავყოთ რიცხვები ერთი და იგივე ძალებით. გაკვეთილი "ძალათა გამრავლება და გაყოფა"

ცხადია, სიმძლავრის მქონე რიცხვები შეიძლება დაემატოს სხვა რაოდენობებს , სათითაოდ მათი ნიშნების მიყოლებით.

ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4 .

შანსები ერთი და იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.

ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.

ასევე აშკარაა, რომ თუ ავიღებთ ორ კვადრატს a, ან სამ კვადრატს a, ან ხუთ კვადრატს a.

მაგრამ გრადუსები სხვადასხვა ცვლადებიდა სხვადასხვა ხარისხით იდენტური ცვლადები, უნდა დაემატოს მათი ნიშნების დამატებით.

ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.

აშკარაა, რომ a-ს კვადრატი და a-ს კუბი არ არის ორჯერ a-ს კვადრატი, არამედ ორჯერ მეტი a-ის კუბი.

a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .

გამოკლებაუფლებამოსილებები ხორციელდება ისევე, როგორც დამატება, გარდა იმისა, რომ სუბტრაჰენდის ნიშნები შესაბამისად უნდა შეიცვალოს.

ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6

სიმძლავრის გამრავლება

სიმძლავრეების მქონე რიცხვები შეიძლება გამრავლდეს, როგორც სხვა სიდიდეები, ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწერით, მათ შორის გამრავლების ნიშნით ან მის გარეშე.

ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.

ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ბოლო მაგალითში შედეგი შეიძლება დალაგდეს იგივე ცვლადების დამატებით.
გამოთქმა მიიღებს ფორმას: a 5 b 5 y 3 .

რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი არის რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხები.

ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.

ასე რომ, a n .a m = a m+n.

a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის სიმძლავრე;

და a m , მიიღება ფაქტორად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;

Ისე, იგივე ფუძეების მქონე სიმძლავრეები შეიძლება გამრავლდეს მაჩვენებლების დამატებით.

ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გაამრავლეთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია - უარყოფითი.

1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ

ორი რიცხვის ჯამის ან სხვაობის გამრავლების შედეგი უდრის მათი კვადრატების ჯამს ან განსხვავებას.

თუ ორი რიცხვის ჯამი და სხვაობა გაიზარდა კვადრატი, შედეგი იქნება ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის ტოლი მეოთხეხარისხი.

ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

უფლებამოსილებების დაყოფა

ძალაუფლების მქონე რიცხვები შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვების მსგავსად გამყოფისგან გამოკლებით, ან წილადის სახით მოთავსებით.

ასე რომ, a 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.

ან:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ის დაწერა 3-ზე გაყოფილი $\frac(a^5)(a^3)$-ს ჰგავს. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას, მათი მაჩვენებლები გამოკლებულია..

ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . ანუ $\frac(yyyy)(yy) = y$.

და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

ძალთა გამრავლებისა და გაყოფის კარგად დაუფლება აუცილებელია, ვინაიდან ასეთი მოქმედებები ძალიან ფართოდ გამოიყენება ალგებრაში.

წილადების მაგალითების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(5a^4)(3a^2)$-ში პასუხი: $\frac(5a^2)(3)$.

2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac(6x^6)(3x^5)$-ში. პასუხი: $\frac(2x)(1)$ ან 2x.

3. შეამცირეთ a 2 / a 3 და a -3 / a -4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
a 2 .a -4 არის -2 პირველი მრიცხველი.
a 3 .a -3 არის 0 = 1, მეორე მრიცხველი.
a 3 .a -4 არის -1, საერთო მრიცხველი.
გამარტივების შემდეგ: a -2 /a -1 და 1/a -1 .

4. შეამცირეთ 2a 4 /5a 3 და 2 /a 4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
პასუხი: 2a 3 / 5a 7 და 5a 5 / 5a 7 ან 2a 3 / 5a 2 და 5/5a 2.

5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.

6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.

8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.

9. გაყავით (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

როგორ გავამრავლოთ ძალები? რომელი ძალა შეიძლება გამრავლდეს და რომელი არა? როგორ გავამრავლოთ რიცხვი ხარისხზე?

ალგებრაში შეგიძლიათ იპოვოთ ძალაუფლების ნამრავლი ორ შემთხვევაში:

1) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე საფუძველი;

2) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე მაჩვენებლები.

ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას, ფუძე იგივე უნდა დარჩეს და მაჩვენებლები უნდა დაემატოს:

იმავე ინდიკატორებთან ხარისხების გამრავლებისას, მთლიანი მაჩვენებელი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან:

განვიხილოთ, როგორ გავამრავლოთ ძალაუფლება, კონკრეტული მაგალითებით.

მაჩვენებლის ერთეული არ იწერება, მაგრამ გრადუსების გამრავლებისას ისინი ითვალისწინებენ:

გამრავლებისას, გრადუსების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. უნდა გვახსოვდეს, რომ არ შეიძლება გამრავლების ნიშანი ასოზე ადრე დაწეროთ:

გამონათქვამებში პირველ რიგში სრულდება ექსპონენტაცია.

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხარისხზე გამრავლება, ჯერ უნდა შეასრულოთ სიმძლავრე და მხოლოდ ამის შემდეგ - გამრავლება:

www.algebraclass.ru

ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა

ძალაუფლების შეკრება და გამოკლება

ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4.

ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.

ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.

a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .

ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3სთ 2 ბ 6 - 4 სთ 2 ბ 6 \u003d -სთ 2 ბ 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6

სიმძლავრის გამრავლება

ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.

ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.

ასე რომ, a n .a m = a m+n.

a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის სიმძლავრე;

და a m , მიიღება ფაქტორად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;

ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გაამრავლეთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია − უარყოფითი.

1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ

ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

უფლებამოსილებების დაყოფა

ასე რომ, a 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.

5-ის დაწერა სამზე გაყოფილი ჰგავს $\frac-ს $. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.

ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . ანუ $\frac = y$.

და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac = a^n$.

ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

წილადების მაგალითების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac $-ში პასუხი: $\frac $.

2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac$-ში. პასუხი: $\frac $ ან 2x.

5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.

6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.

8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.

ხარისხის თვისებები

შეგახსენებთ, რომ ამ გაკვეთილში ჩვენ გვესმის ხარისხის თვისებებიბუნებრივი მაჩვენებლებით და ნულით. რაციონალური ინდიკატორების ხარისხები და მათი თვისებები განხილული იქნება მე-8 კლასის გაკვეთილებზე.

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებელს აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება, რაც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები მაჩვენებლის მაგალითებში.

ქონება #1
ძალაუფლების პროდუქტი

ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას ფუძე უცვლელი რჩება და ემატება მაჩვენებლები.

a m a n \u003d a m + n, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

ძალაუფლების ეს თვისება ასევე მოქმედებს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე.

გამოხატვის გამარტივება.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

წარადგინე როგორც ხარისხი.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

წარადგინე როგორც ხარისხი.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მითითებულ თვისებაში საუბარი იყო მხოლოდ ძალაუფლების გამრავლებაზე იმავე ფუძეებით.. ეს არ ეხება მათ დამატებას.

თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ ჯამი (3 3 + 3 2) 3 5-ით. ეს გასაგებია თუ
გამოთვალეთ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 და 3 5 = 243

ქონება #2
კერძო დიპლომები

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას ფუძე უცვლელი რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.

დაწერეთ კოეფიციენტი ხარისხად
(2ბ) 5: (2ბ) 3 = (2ბ) 5 − 3 = (2ბ) 2

გამოთვალეთ.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. ჩვენ ვიყენებთ ნაწილობრივი ხარისხის თვისებებს.
3 8: t = 3 4

პასუხი: t = 3 4 = 81

No1 და No2 თვისებების გამოყენებით შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ გამონათქვამები და შეასრულოთ გამოთვლები.

მაგალითი. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ საკუთრება 2 ეხებოდა მხოლოდ უფლებამოსილებების დაყოფას იმავე საფუძვლებით.

თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ განსხვავება (4 3 −4 2) 4 1-ით. ეს გასაგებია, თუ გამოთვლით (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 და 4 1 = 4

ქონება #3
ექსპონენტაცია

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, სიმძლავრის საფუძველი უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება.

(a n) m \u003d a n m, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თვისება No4, ისევე როგორც გრადუსების სხვა თვისებები, ასევე გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით.

(a n b n)= (a b) n

ანუ, იმავე მაჩვენებლებით გრადუსების გასამრავლებლად, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ფუძეები და დატოვოთ მაჩვენებლები უცვლელი.

მაგალითი. გამოთვალეთ.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

მაგალითი. გამოთვალეთ.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

უფრო რთულ მაგალითებში შეიძლება იყოს შემთხვევები, როდესაც გამრავლება და გაყოფა უნდა განხორციელდეს სხვადასხვა ფუძის და განსხვავებული მაჩვენებლის მქონე ხარისხებზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გირჩევთ გააკეთოთ შემდეგი.

მაგალითად, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ათობითი წილადის გაძლიერების მაგალითი.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

თვისებები 5
კოეფიციენტის სიმძლავრე (წილადები)

კოეფიციენტის ხარისხზე ასამაღლებლად, შეგიძლიათ დივიდენდი და გამყოფი ცალ-ცალკე გაზარდოთ ამ ხარისხზე და გაყოთ პირველი შედეგი მეორეზე.

(a: b) n \u003d a n: b n, სადაც "a", "b" არის ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი, b ≠ 0, n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

მაგალითი. გამოხატეთ გამოხატვა ნაწილობრივი ძალების სახით.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

შეგახსენებთ, რომ კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ამიტომ, წილადის სიმძლავრემდე აწევის თემაზე უფრო დეტალურად შევჩერდებით შემდეგ გვერდზე.

ხარისხები და ფესვები

ოპერაციები ძალებითა და ფესვებით. ხარისხი უარყოფითით ,

ნულოვანი და წილადი მაჩვენებელი. გამოთქმების შესახებ, რომლებსაც აზრი არ აქვს.

ოპერაციები ხარისხით.

1. ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ემატება:

ვარ · a n = a m + n.

2. იმავე ფუძით გრადუსების დაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოკლებული .

3. ორი ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი ტოლია ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლის.

4. თანაფარდობის (წილადის) ხარისხი უდრის დივიდენდის (მრიცხველის) და გამყოფის (მნიშვნელის) ხარისხების შეფარდებას:

(ა/ბ) n = a n / b n .

5. ხარისხის ხარისხზე აყვანისას მათი მაჩვენებლები მრავლდება:

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა იკითხება და სრულდება ორივე მიმართულებით მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

მაგალითი (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

ოპერაციები ფესვებით. ქვემოთ მოცემულ ყველა ფორმულაში სიმბოლო ნიშნავს არითმეტიკული ფესვი(რადიკალური გამოხატულება დადებითია).

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და გამყოფის ფესვების შეფარდებას:

3. ფესვის ძლიერებამდე აწევისას საკმარისია ამ ძალამდე აყვანა ფესვის ნომერი:

4. თუ ფესვის ხარისხს გაზრდით m-ჯერ და ერთდროულად აწევთ ფესვის რიცხვს m-ე ხარისხამდე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ ფესვის ხარისხს m-ჯერ შეამცირებთ და ამავდროულად ამოიღებთ m-ე ხარისხის ფესვს რადიკალური რიცხვიდან, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხის ცნების გაფართოება. ჯერჯერობით ხარისხები მხოლოდ ბუნებრივი მაჩვენებლით განვიხილეთ; მაგრამ ძალებითა და ფესვებით ოპერაციებმა ასევე შეიძლება გამოიწვიოს უარყოფითი, ნულიდა წილადიინდიკატორები. ყველა ეს მაჩვენებელი მოითხოვს დამატებით განმარტებას.

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით. უარყოფითი (მთლიანი) მაჩვენებლის მქონე გარკვეული რიცხვის ხარისხი განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომლის მაჩვენებლით ტოლია უარყოფითი მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ახლა ფორმულა ვარ : a n = მ-ნშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ, მეტი ვიდრე ნ, არამედ ზე მ, ნაკლები ვიდრე ნ .

მაგალითი ა 4: ა 7 = ა 4 — 7 = ა — 3 .

თუ ფორმულა გვინდა ვარ : a n = ვარ — ნსამართლიანი იყო m = n, ჩვენ გვჭირდება ნულოვანი ხარისხის განმარტება.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით. ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით არის 1.

მაგალითები. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ რეალური რიცხვი a ავიყვანოთ m/n სიმძლავრემდე, თქვენ უნდა ამოიღოთ n-ე ხარისხის ფესვი ამ რიცხვის m-დან a:

გამოთქმების შესახებ, რომლებსაც აზრი არ აქვს. რამდენიმე ასეთი გამოთქმა არსებობს.

სადაც ა ≠ 0 , არ არსებობს.

მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ xარის გარკვეული რიცხვი, მაშინ, გაყოფის ოპერაციის განმარტების შესაბამისად, გვაქვს: ა = 0· x, ე.ი. ა= 0, რომელიც ეწინააღმდეგება პირობას: ა ≠ 0

— ნებისმიერი ნომერი.

მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ ეს გამონათქვამი უდრის რაღაც რიცხვს x, მაშინ გაყოფის ოპერაციის განსაზღვრის მიხედვით გვაქვს: 0 = 0 x. მაგრამ ეს თანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერი რიცხვი x, რაც დასამტკიცებელი იყო.

0 0 — ნებისმიერი ნომერი.

გამოსავალი. განვიხილოთ სამი ძირითადი შემთხვევა:

1) x = 0 – ეს მნიშვნელობა არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას

2) როდის x> 0 ვიღებთ: x / x= 1, ე.ი. 1 = 1, საიდანაც შემდეგია,

რა x- ნებისმიერი ნომერი; მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ

ჩვენი საქმე x> 0, პასუხი არის x > 0 ;

ძალაუფლების გამრავლების წესები სხვადასხვა ფუძით

ხარისხი რაციონალური ინდიკატორით,

დენის ფუნქცია IV

§ 69. ძალათა გამრავლება და გაყოფა ერთი და იგივე ფუძეებით

თეორემა 1.ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გასამრავლებლად, საკმარისია დაამატოთ მაჩვენებლები და დატოვოთ ფუძე იგივე, ანუ

მტკიცებულება.ხარისხის განსაზღვრებით

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

ჩვენ განვიხილეთ ორი ძალაუფლების პროდუქტი. ფაქტობრივად, დადასტურებული თვისება მართალია ნებისმიერი რაოდენობის უფლებამოსილებისთვის, რომლებსაც აქვთ იგივე ბაზები.

თეორემა 2.ძალაუფლების ერთნაირი საფუძვლებით გასაყოფად, როდესაც დივიდენდის მაჩვენებელი გამყოფის ინდიკატორზე მეტია, საკმარისია გამყოფის მაჩვენებელი გამოვაკლოთ დივიდენდის ინდიკატორს და ფუძე იგივე დავტოვოთ, ე.ი. ზე t > n

(ა =/= 0)

მტკიცებულება.შეგახსენებთ, რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფის კოეფიციენტი არის რიცხვი, რომელიც გამყოფზე გამრავლებისას იძლევა დივიდენდს. ამიტომ დაამტკიცეთ ფორმულა სად ა =/= 0, ეს ფორმულის დამტკიცებას ჰგავს

Თუ t > n , შემდეგ ნომერი t - გვ ბუნებრივი იქნება; შესაბამისად, თეორემა 1-ით

თეორემა 2 დადასტურებულია.

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულა

ჩვენ მიერ დამტკიცებული მხოლოდ იმ ვარაუდით, რომ t > n . აქედან გამომდინარე, რაც დადასტურდა, ჯერ არ არის შესაძლებელი, მაგალითად, შემდეგი დასკვნების გამოტანა:

გარდა ამისა, ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ხარისხებს უარყოფითი მაჩვენებლებით და ჯერ არ ვიცით, რა მნიშვნელობა შეიძლება მივცეთ გამოხატვას 3. - 2 .

თეორემა 3. სიმძლავრის ხარისხზე ასამაღლებლად საკმარისია მაჩვენებლების გამრავლება და მაჩვენებლის ფუძე იგივე დარჩეს, ე.ი

მტკიცებულება.ამ ნაწილის ხარისხის და თეორემა 1-ის განმარტების გამოყენებით, მივიღებთ:

ქ.ე.დ.

მაგალითად, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (ზეპირ.) განსაზღვრა X განტოლებიდან:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (მორგებული) გამარტივება:

520. (მორგებული) გამარტივება:

521. წარმოადგინე ეს გამონათქვამები ხარისხებად იმავე ფუძეებით:

1) 32 და 64; 3) 85 და 163; 5) 4 100 და 32 50;

2) -1000 და 100; 4) -27 და -243; 6) 81 75 8 200 და 3 600 4 150.

დენის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აროდესაც:

ოპერაციები ხარისხით.

1. გრადუსების გამრავლება ერთიდაიგივე ფუძით, მათი მაჩვენებლები ჯამდება:

ვარa n = a m + n.

2. იმავე ფუძის მქონე გრადუსების დაყოფისას მათ მაჩვენებლებს აკლებენ:

3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:

(abc…) n = a n b n c n…

4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:

(a/b) n = a n / b n .

5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:

(am) n = a m n .

თითოეული ზემოთ მოყვანილი ფორმულა სწორია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ოპერაციები ფესვებით.

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:

3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა:

4. თუ ფესვის ხარისხს გავზრდით ში ნერთხელ და ამავე დროს ამაღლება ნ th ძალა არის ძირეული რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ დავაკლებთ ფესვის ხარისხს ში ნ root ამავე დროს ნრადიკალური რიცხვიდან th ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.რიცხვის ხარისხი არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლით განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომელსაც ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ფორმულა ვარ:a n = a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ ზე მ< ნ.

მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ფორმულამდე ვარ:a n = a m - nსამართლიანი გახდა m=n, თქვენ გჭირდებათ ნულოვანი ხარისხის არსებობა.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით.ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულოვანი მაჩვენებლით უდრის ერთს.

მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მამ რიცხვის ე ძალა ა.

ყოველი არითმეტიკული ოპერაცია ხანდახან ზედმეტად შრომატევადი ხდება ჩასაწერად და ცდილობენ მის გამარტივებას. ადრე იგივე იყო დამატების ოპერაციაზე. საჭირო იყო ადამიანებმა განახორციელონ ერთი და იგივე ტიპის განმეორებითი მიმატებები, მაგალითად, გამოეთვალათ ასი სპარსული ხალიჩის ღირებულება, რომლის ღირებულებაა თითო 3 ოქროს მონეტა. 3+3+3+…+3 = 300. უხერხულობის გამო, გამოიგონეს აღნიშვნის შემცირება 3 * 100 = 300-მდე. სინამდვილეში, აღნიშვნა „სამჯერ ასი“ ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ასი. სამეული და დაამატეთ ისინი ერთად. გამრავლებამ გაიდგა ფესვი, მოიპოვა საერთო პოპულარობა. მაგრამ სამყარო არ დგას და შუა საუკუნეებში საჭირო გახდა იმავე ტიპის განმეორებითი გამრავლება. მახსენდება ძველი ინდური გამოცანა ბრძენი კაცის შესახებ, რომელიც გაწეული შრომის სანაცვლოდ ხორბლის მარცვლებს სთხოვდა შემდეგი რაოდენობით: ჭადრაკის დაფის პირველი უჯრედისთვის სთხოვა ერთი მარცვალი, მეორესთვის - ორი, მესამეს - ოთხი. , მეხუთე - რვა და ა.შ. ასე გაჩნდა ძალების პირველი გამრავლება, რადგან მარცვლების რაოდენობა უჯრედის რიცხვის სიძლიერის ორს უდრიდა. მაგალითად, ბოლო უჯრედზე იქნება 2*2*2*…*2 = 2^63 მარცვალი, რაც უდრის 18 სიმბოლოს სიგრძის რიცხვს, რაც, ფაქტობრივად, არის გამოცანის მნიშვნელობა.

სიმძლავრის ამაღლების ოპერაციამ საკმაოდ სწრაფად მიიღო ფესვი და ასევე სწრაფად გახდა საჭირო ხარისხების შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და გამრავლება. ამ უკანასკნელის უფრო დეტალურად განხილვა ღირს. ძალების დამატების ფორმულები მარტივია და ადვილად დასამახსოვრებელი. გარდა ამისა, ძალიან ადვილია იმის გაგება, თუ საიდან მოდის ისინი, თუ დენის ოპერაცია ჩანაცვლებულია გამრავლებით. მაგრამ ჯერ უნდა გესმოდეთ ელემენტარული ტერმინოლოგია. გამოთქმა a ^ b (წაიკითხეთ "a ხარისხზე b") ნიშნავს, რომ რიცხვი a უნდა გამრავლდეს თავის თავზე b-ჯერ, ხოლო "a" ეწოდება ხარისხის ფუძეს, ხოლო "b" არის მაჩვენებელი. თუ ძალაუფლების საფუძვლები იგივეა, მაშინ ფორმულები საკმაოდ მარტივად არის მიღებული. კონკრეტული მაგალითი: იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2^3 * 2^4. იმის გასაგებად, თუ რა უნდა მოხდეს, გამოსავლის დაწყებამდე უნდა გაიგოთ პასუხი კომპიუტერზე. ამ გამოთქმის შეყვანა ნებისმიერ ონლაინ კალკულატორში, საძიებო სისტემაში, აკრიფეთ "ძალების გამრავლება სხვადასხვა ბაზებით და იგივე" ან მათემატიკური პაკეტით, გამომავალი იქნება 128. ახლა დავწეროთ ეს გამოთქმა: 2^3 = 2*2*2. და 2^4 = 2 *2*2*2. გამოდის, რომ 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . გამოდის, რომ ერთი და იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეების ნამრავლი უდრის წინა ორი სიმძლავრის ჯამის ტოლი სიმძლავრის ტოლს.

შეიძლება იფიქროთ, რომ ეს უბედური შემთხვევაა, მაგრამ არა: ნებისმიერ სხვა მაგალითს შეუძლია მხოლოდ ამ წესის დადასტურება. ამრიგად, ზოგადად, ფორმულა ასე გამოიყურება: a^n * a^m = a^(n+m) . ასევე არსებობს წესი, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის. აქ უნდა გვახსოვდეს უარყოფითი ძალების წესი: a^(-n) = 1 / a^n. ანუ, თუ 2^3 = 8, მაშინ 2^(-3) = 1/8. ამ წესის გამოყენებით შეგვიძლია დავამტკიცოთ ტოლობა a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) შეიძლება შემცირდეს და რჩება ერთი. აქედან გამომდინარეობს წესი, რომ იგივე ფუძის მქონე ძალების კოეფიციენტი უდრის ამ ფუძეს დივიდენდის და გამყოფის კოეფიციენტის ტოლი ხარისხით: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . მაგალითი: გაამარტივე გამოთქმა 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . გამრავლება არის კომუტაციური ოპერაცია, ამიტომ ჯერ უნდა დაემატოს გამრავლების მაჩვენებლები: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. შემდეგი, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ გაყოფას უარყოფითი ხარისხით. აუცილებელია გამყოფის მაჩვენებლის გამოკლება დივიდენდის მაჩვენებელს: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. გამოდის, რომ უარყოფით ხარისხზე გაყოფის ოპერაცია მსგავსი დადებითი მაჩვენებლით გამრავლების ოპერაციის იდენტურია. ასე რომ, საბოლოო პასუხი არის 8.

არის მაგალითები, სადაც ხდება ძალაუფლების არაკანონიკური გამრავლება. ძალების გამრავლება სხვადასხვა ფუძით ძალიან ხშირად ბევრად უფრო რთულია და ზოგჯერ შეუძლებელიც კი. მოყვანილი უნდა იყოს სხვადასხვა შესაძლო მიდგომის რამდენიმე მაგალითი. მაგალითი: გაამარტივე გამოთქმა 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. ცხადია, ადგილი აქვს ძალაუფლების გამრავლებას სხვადასხვა ფუძით. მაგრამ, უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა საფუძველი არის სამეულის სხვადასხვა ძალა. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. წესის (a^n) ^m = a^(n*m) გამოყენებით, თქვენ უნდა გადაწეროთ გამონათქვამი უფრო მოსახერხებელი ფორმით: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . პასუხი: 3^11. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს სხვადასხვა ფუძე, წესი a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n მუშაობს თანაბარ მაჩვენებლებზე. მაგალითად, 3^3 * 7^3 = 21^3. წინააღმდეგ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს სხვადასხვა ფუძე და ინდიკატორი, შეუძლებელია სრული გამრავლება. ზოგჯერ შეგიძლიათ ნაწილობრივ გაამარტივოთ ან მიმართოთ კომპიუტერული ტექნოლოგიების დახმარებას.

მათემატიკაში ხარისხის ცნება შემოღებულია უკვე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილზე. და მომავალში, მათემატიკის შესწავლის განმავლობაში, ეს კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა ფორმით. ხარისხი საკმაოდ რთული თემაა, რომელიც მოითხოვს ღირებულებების დამახსოვრებას და სწორად და სწრაფად დათვლის უნარს. მათემატიკის ხარისხებთან უფრო სწრაფი და უკეთესი მუშაობისთვის, მათ მიიღეს ხარისხის თვისებები. ისინი ხელს უწყობენ დიდი გამოთვლების შემცირებას, უზარმაზარი მაგალითის გარკვეულ რიცხვად გადაქცევას. ამდენი თვისება არ არის და ყველა მათგანი ადვილად დასამახსოვრებელი და პრაქტიკაში გამოყენებაა. აქედან გამომდინარე, სტატიაში განხილულია ხარისხის ძირითადი თვისებები, ასევე სად გამოიყენება ისინი.

ხარისხის თვისებები

ჩვენ განვიხილავთ ხარისხის 12 თვისებას, მათ შორის იგივე საფუძვლების მქონე ძალაუფლების თვისებებს, და მოვიყვანთ მაგალითს თითოეული თვისებისთვის. თითოეული ეს თვისება დაგეხმარებათ გადაჭრათ პრობლემები ხარისხით უფრო სწრაფად, ასევე დაზოგოთ მრავალი გამოთვლითი შეცდომისგან.

1-ლი ქონება.

ბევრი ადამიანი ხშირად ივიწყებს ამ თვისებას, უშვებს შეცდომებს, ნულოვან ხარისხში რიცხვს ნულის სახით წარმოადგენს.

მე-2 ქონება.

მე-3 ქონება.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ თვისების გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების გამრავლებისას, ის არ მუშაობს ჯამით! და არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს და შემდეგი თვისებები ვრცელდება მხოლოდ იმავე ბაზის მქონე ძალებზე.

მე-4 ქონება.

თუ მნიშვნელში რიცხვი ამაღლებულია უარყოფით ხარისხზე, მაშინ გამოკლებისას მნიშვნელის ხარისხი აღებულია ფრჩხილებში, რათა სწორად შეიცვალოს ნიშანი შემდგომი გამოთვლებით.

ქონება მუშაობს მხოლოდ გაყოფისას და არა გამოკლებისას!

მე-5 ქონება.

მე-6 ქონება.

ეს თვისება ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპიროდ. ერთეული, რომელიც გარკვეულწილად იყოფა რიცხვზე, არის ეს რიცხვი უარყოფით ხარისხზე.

მე-7 ქონება.

ეს თვისება არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჯამზე და განსხვავებაზე! ჯამის ან სხვაობის ხარისხზე გაზრდისას გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები და არა სიმძლავრის თვისებები.

მე-8 ქონება.

მე-9 ქონება.

ეს თვისება მუშაობს ნებისმიერ წილად ხარისხზე ერთის ტოლი მრიცხველით, ფორმულა იგივე იქნება, მხოლოდ ფესვის ხარისხი შეიცვლება ხარისხის მნიშვნელის მიხედვით.

ასევე, ეს ქონება ხშირად გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით. რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრის ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ეს რიცხვი ერთის ხარისხში გაყოფილი ფესვის ხარისხზე. ეს თვისება ძალიან სასარგებლოა იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვის ფესვი არ არის ამოღებული.

მე-10 ქონება.

ეს ქონება მუშაობს არა მხოლოდ კვადრატული ფესვით და მეორე ხარისხით. თუ ფესვის ხარისხი და ამ ფესვის ამაღლების ხარისხი ერთნაირია, მაშინ პასუხი იქნება რადიკალური გამოხატულება.

მე-11 ქონება.

თქვენ უნდა შეძლოთ ამ თვისების დროულად დანახვა მისი ამოხსნისას, რათა თავი დააღწიოთ თავს უზარმაზარი გათვლებისგან.

მე-12 ქონება.

თითოეული ეს თვისება შეგხვდებათ არაერთხელ დავალებების შესრულებისას, ის შეიძლება მიენიჭოთ სუფთა სახით, ან შეიძლება მოითხოვოს გარკვეული ტრანსფორმაციები და სხვა ფორმულების გამოყენება. ამიტომ სწორი ამოხსნისთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ თვისებების ცოდნა, საჭიროა ივარჯიშოთ და დააკავშიროთ დანარჩენი მათემატიკური ცოდნა.

ხარისხების გამოყენება და მათი თვისებები

ისინი აქტიურად გამოიყენება ალგებრასა და გეომეტრიაში. ცალკე, მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკის ხარისხს. მათი დახმარებით იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები, ასევე ძლევამოსილებები ხშირად ართულებს მათემატიკის სხვა მონაკვეთებთან დაკავშირებულ განტოლებებსა და მაგალითებს. ექსპონენტები ხელს უწყობენ დიდი და გრძელი გამოთვლების თავიდან აცილებას, უფრო ადვილია ექსპონენტების შემცირება და გამოთვლა. მაგრამ დიდი სიმძლავრეებით, ან დიდი რიცხვების სიმძლავრეებით მუშაობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ ხარისხის თვისებები, არამედ კომპეტენტურად იმუშაოთ საფუძვლებთან, შეძლოთ მათი დაშლა, რათა თქვენი დავალება გაგიადვილოთ. მოხერხებულობისთვის, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ სიძლიერეზე აყვანილი რიცხვების მნიშვნელობა. ეს შეამცირებს თქვენს დროს გადაჭრის დროს ხანგრძლივი გამოთვლების საჭიროების აღმოფხვრის გზით.

ხარისხის ცნება განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ლოგარითმებში. ვინაიდან ლოგარითმი, არსებითად, არის რიცხვის ძალა.

გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ძალაუფლების გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითია. მათ არ შეუძლიათ ხარისხების თვისებების გამოყენება, ისინი იშლება სპეციალური წესების მიხედვით, მაგრამ ყოველ შემოკლებულ გამრავლების ფორმულაში უცვლელად არის გრადუსები.

დიპლომები ასევე აქტიურად გამოიყენება ფიზიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ყველა თარგმანი SI სისტემაში ხდება გრადუსების გამოყენებით, ხოლო მომავალში, პრობლემების გადაჭრისას, გამოიყენება ხარისხის თვისებები. კომპიუტერულ მეცნიერებაში აქტიურად გამოიყენება ორი ძალა, რიცხვების დათვლისა და აღქმის გასამარტივებლად. შემდგომი გამოთვლები საზომი ერთეულების კონვერტაციისთვის ან ამოცანების გამოთვლებისთვის, ისევე როგორც ფიზიკაში, ხდება ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

ხარისხები ასევე ძალიან სასარგებლოა ასტრონომიაში, სადაც იშვიათად შეგიძლიათ იპოვოთ ხარისხის თვისებების გამოყენება, მაგრამ თავად გრადუსები აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა რაოდენობისა და მანძილების ჩაწერის შესამცირებლად.

ხარისხები გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც, ფართობების, მოცულობების, მანძილების გაანგარიშებისას.

ხარისხების დახმარებით, ძალიან დიდი და ძალიან მცირე მნიშვნელობები იწერება მეცნიერების ნებისმიერ დარგში.

ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები

ხარისხის თვისებებს განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ზუსტად ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობაში. ეს ამოცანები ძალიან ხშირია, როგორც სკოლის კურსზე, ასევე გამოცდებზე. ყველა მათგანი მოგვარებულია ხარისხის თვისებების გამოყენებით. უცნობი ყოველთვის თავად ხარისხშია, ამიტომ, ყველა თვისების ცოდნით, ასეთი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა არ იქნება რთული.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

სიმძლავრის გამრავლება

უფლებამოსილებების დაყოფა

წილადების მაგალითების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა

ძალაუფლების შეკრება და გამოკლება

სიმძლავრის გამრავლება

უფლებამოსილებების დაყოფა

წილადების მაგალითების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

ხარისხის თვისებები

ქონება #1 ძალაუფლების პროდუქტი

ქონება #2 კერძო დიპლომები

ქონება #3 ექსპონენტაცია

თვისებები 5 კოეფიციენტის სიმძლავრე (წილადები)

ხარისხები და ფესვები

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა იკითხება და სრულდება ორივე მიმართულებით მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

ძალაუფლების გამრავლების წესები სხვადასხვა ფუძით

ხარისხის თვისებები

ხარისხების გამოყენება და მათი თვისებები

ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ

ქონება #1
ძალაუფლების პროდუქტი

ქონება #2
კერძო დიპლომები

ქონება #3
ექსპონენტაცია

თვისებები 5
კოეფიციენტის სიმძლავრე (წილადები)