თეორია:

უტოლობების გადაჭრისას გამოიყენება შემდეგი წესები:

1. უტოლობის ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს ერთი ნაწილიდან
უტოლობა მეორეს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.

2. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთზე
და იგივე დადებითი რიცხვი უტოლობის ნიშნის შეცვლის გარეშე.

3. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთზე
და იგივე უარყოფითი რიცხვი, ხოლო უტოლობის ნიშნის შეცვლა
საწინააღმდეგო.

ამოხსენით უტოლობა − 8 x + 11< − 3 x − 4
გადაწყვეტილება.

1. წევრის გადატანა − 3 xუტოლობის მარცხენა მხარეს და ტერმინი 11 - უტოლობის მარჯვენა მხარეს, ნიშნების საპირისპირო y-ზე შეცვლისას − 3 xდა ზე 11 .
შემდეგ მივიღებთ

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. გაყავით უტოლობის ორივე ნაწილი − 5 x< − 15 უარყოფით რიცხვამდე − 5 , ხოლო უთანასწორობის ნიშანი < , შეიცვლება > , ე.ი. ჩვენ გადავალთ საპირისპირო მნიშვნელობის უთანასწორობაზე.
ჩვენ ვიღებთ:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > −15 : (−5)

x > 3

x > 3არის მოცემული უტოლობის ამოხსნა.

Ყურადღებით!

გამოსავლის დაწერის ორი ვარიანტი არსებობს: x > 3ან როგორც რიცხვითი დიაპაზონი.

უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეს ვნიშნავთ ნამდვილ წრფეზე და პასუხს ვწერთ რიცხვითი შუალედის სახით.

x ∈ (3 ; + ∞ )

პასუხი: x > 3ან x ∈ (3 ; + ∞ )

ალგებრული უტოლობები.

კვადრატული უტოლობა. უმაღლესი ხარისხის რაციონალური უტოლობები.

უტოლობების ამოხსნის მეთოდები ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელ კლასს ეკუთვნის უტოლობის შემადგენელი ფუნქციები.

1. მე. კვადრატული უტოლობა, ანუ ფორმის უტოლობები

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

უტოლობის გადასაჭრელად შეგიძლიათ:

1. მოახდინე კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია, ანუ დაწერე უტოლობა როგორც

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. ჩასვით მრავალწევრის ფესვები რიცხვით წრფეზე. ფესვები ყოფენ რეალური რიცხვების სიმრავლეს ინტერვალებად, რომელთაგან თითოეულში შესაბამისი კვადრატული ფუნქცია იქნება მუდმივი ნიშნის.
2. დაადგინეთ a (x - x 1) (x - x 2) ნიშანი თითოეულ უფსკრულიდან და ჩაწერეთ პასუხი.

თუ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები, მაშინ D-სთვის<0 и a>0 არის კვადრატული ტრინომი ნებისმიერი x დადებითი.

• უტოლობის ამოხსნა. x 2 + x - 6 > 0.

კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება (x + 3) (x - 2) > 0

პასუხი: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

ეს უტოლობა მართალია ნებისმიერი x-ისთვის x = 6-ის გარდა.

პასუხი: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

აქ დ< 0, a = 1 >0. კვადრატული ტრინომი დადებითია ყველა x-ისთვის.

პასუხი: x О Ø.

უტოლობების ამოხსნა:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. პასუხი:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. პასუხი:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. პასუხი:
5. a-ს რომელ მნიშვნელობებს ეხება უტოლობა

x² - ax > შეესაბამება ნებისმიერ x-ს? პასუხი:

1. II. უმაღლესი ხარისხის რაციონალური უტოლობები,ანუ ფორმის უტოლობები

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

უმაღლესი ხარისხის მრავალწევრი უნდა იყოს ფაქტორირებული, ანუ უტოლობა უნდა ჩაიწეროს ფორმაში

a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).

რიცხვით წრფეზე მონიშნეთ ის წერტილები, სადაც ქრება მრავალწევრი.

განსაზღვრეთ მრავალწევრის ნიშნები თითოეულ ინტერვალზე.

1) ამოხსენით უტოლობა x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1)(x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). ასე რომ x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

პასუხი: (0; 1) (2; 3).

2) ამოხსენით უტოლობა (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

რეალურ ღერძზე მონიშნეთ ის წერტილები, სადაც ქრება მრავალწევრი. ეს არის x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d ½, x \u003d - ½.

x \u003d - ½ წერტილში არ ხდება ნიშნის ცვლილება, რადგან ბინომი (2x + 1) იზრდება ლუწი სიძლიერემდე, ანუ გამონათქვამი (2x + 1) 4 არ ცვლის ნიშანს წერტილის გავლისას. x \u003d - ½.

პასუხი: (-∞; -2) (½; 1).

3) ამოხსენით უტოლობა: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ სიმრავლეს

(1)-ის ამონახსნი არის x (-∞; -2) (3; +∞). ამონახსნი (2) არის x = 0, x = -2, x = 3. მიღებული ამონახსნები გაერთიანებით მივიღებთ x н (-∞; -2] (0) (0) .

წრფივი უტოლობებთან მუშაობის უნარის მოპოვებით, მათი ამონახსნები შეიძლება მოკლედ დაიწეროს ახსნის გარეშე. ამ შემთხვევაში, პირველად იწერება საწყისი წრფივი უტოლობა, ხოლო ქვემოთ მოცემულია ეკვივალენტური უტოლობები, რომლებიც მიღებულია ამოხსნის თითოეულ საფეხურზე:
3x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

პასუხი:

x≤−4 ან (−∞, −4] .

მაგალითი.

ჩამოთვალეთ −2,7 z>0 წრფივი უტოლობის ყველა ამონახსნები.

გადაწყვეტილება.

აქ კოეფიციენტი a z ცვლადთან არის −2,7. და კოეფიციენტი b არ არის გამოკვეთილი ფორმით, ანუ ის უდრის ნულს. მაშასადამე, ერთი ცვლადით წრფივი უტოლობის ამოხსნის ალგორითმის პირველი ნაბიჯის შესრულება არ არის საჭირო, რადგან ნულის მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ გადატანა არ ცვლის თავდაპირველი უტოლობის ფორმას.

რჩება უტოლობის ორივე მხარის გაყოფა −2,7-ზე, გვახსოვდეს, რომ შეცვალოს უტოლობის ნიშანი, რადგან −2,7 უარყოფითი რიცხვია. Ჩვენ გვაქვს (−2,7 z): (−2,7)<0:(−2,7) , და შემდგომ ზ<0 .

ახლა კი მოკლედ:
−2,7 z>0 ;
ზ<0 .

პასუხი:

ზ<0 или (−∞, 0) .

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ უნდა გადავჭრათ წრფივი უტოლობა a კოეფიციენტით x ცვლადისთვის, რომელიც ტოლია -5-ისა და b კოეფიციენტით, რომელსაც წილადი შეესაბამება −15/22. ჩვენ ვმოქმედებთ ცნობილი სქემის მიხედვით: ჯერ −15/22-ს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, რის შემდეგაც უტოლობის ორივე ნაწილს ვყოფთ უარყოფით რიცხვზე −5, ხოლო უტოლობის ნიშნის შეცვლას:

ბოლო გადასვლა მარჯვენა მხარეს იყენებს , შემდეგ შესრულებულია .

პასუხი:

ახლა გადავიდეთ შემთხვევაზე, როდესაც a=0 . x+b წრფივი უტოლობის ამოხსნის პრინციპი<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

რას ეფუძნება? ძალიან მარტივად: უტოლობის ამოხსნის განმარტებაზე. Როგორ? დიახ, აი: არ აქვს მნიშვნელობა x ცვლადის რა მნიშვნელობას შევცვლით თავდაპირველ წრფივ უტოლობაში, მივიღებთ b ფორმის ციფრულ უტოლობას.<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

ჩამოვაყალიბოთ ზემოაღნიშნული მსჯელობა ფორმაში წრფივი უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• განვიხილოთ რიცხვითი უტოლობა b<0 (≤, >, ≥) და
• თუ ეს მართალია, მაშინ საწყისი უტოლობის ამონახსნი არის ნებისმიერი რიცხვი;
• თუ ის მცდარია, მაშინ თავდაპირველ წრფივ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

ახლა მოდით შევხედოთ ამას მაგალითებით.

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა 0 x+7>0 .

გადაწყვეტილება.

x ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, წრფივი უტოლობა 0 x+7>0 იქცევა რიცხვით უტოლობად 7>0 . ბოლო უტოლობა მართალია, შესაბამისად, ნებისმიერი რიცხვი არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა.

პასუხი:

ამონახსნი არის ნებისმიერი რიცხვი ან (−∞, +∞) .

მაგალითი.

აქვს თუ არა წრფივ უტოლობას ამონახსნები 0 x−12.7≥0.

გადაწყვეტილება.

თუ x ცვლადის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ რომელიმე რიცხვს, მაშინ საწყისი უტოლობა გადაიქცევა რიცხვით უტოლობად −12,7≥0, რაც არასწორია. და ეს ნიშნავს, რომ არცერთი რიცხვი არ არის 0 x−12.7≥0 წრფივი უტოლობის ამოხსნა.

პასუხი:

არა, არა.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულებლად გავაანალიზებთ ორი წრფივი უტოლობის ამონახსნებს, რომელთა ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

მაგალითი.

0 x+0>0 და 0 x+0≥0 წრფივი უტოლობებიდან რომელს არ აქვს ამონახსნები და რომელს აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები?

გადაწყვეტილება.

თუ x ცვლადის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ რომელიმე რიცხვს, მაშინ პირველი უტოლობა მიიღებს ფორმას 0>0, ხოლო მეორე - 0≥0. პირველი არასწორია, მეორე კი სწორი. მაშასადამე, წრფივ უტოლობას 0 x+0>0 არ აქვს ამონახსნები, ხოლო უტოლობას 0 x+0≥0 აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები, კერძოდ, მისი ამონახსნები არის ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი:

უტოლობას 0 x+0>0 არ აქვს ამონახსნები, ხოლო უტოლობას 0 x+0≥0 აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.

ინტერვალის მეთოდი

ზოგადად, ინტერვალის მეთოდი სასკოლო ალგებრის კურსში უფრო გვიან ისწავლება, ვიდრე განიხილება წრფივი უტოლობების ერთი ცვლადით ამოხსნის თემა. მაგრამ ინტერვალის მეთოდი საშუალებას იძლევა გადაჭრას სხვადასხვა უტოლობა, მათ შორის წრფივი. ამიტომ, მოდით ვისაუბროთ მასზე.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ინტერვალის მეთოდი წრფივი უტოლობების გადასაჭრელად არანულოვანი კოეფიციენტით x ცვლადისთვის. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დასკვნა უტოლობის ამოხსნის შესახებ უფრო სწრაფი და მოსახერხებელია წინა აბზაცის ბოლოს განხილული გზით.

ინტერვალის მეთოდი გულისხმობს

• უტოლობის მარცხენა მხარის შესაბამისი ფუნქციის შემოღება, ჩვენს შემთხვევაში - ხაზოვანი ფუნქცია y=a x+b,
• იპოვნეთ მისი ნულები, რომლებიც ყოფს განსაზღვრების დომენს ინტერვალებად,
• ნიშნების განსაზღვრა, რომლებსაც აქვთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ ინტერვალებზე, რის საფუძველზეც კეთდება დასკვნა წრფივი უტოლობის ამოხსნის შესახებ.

მოდით შევაგროვოთ ეს მომენტები ალგორითმი, გამოვლენა, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი უტოლობები a x+b<0 (≤, >, ≥) a≠0 ინტერვალის მეთოდით:

• ნაპოვნია y=a x+b ფუნქციის ნულები, რომელთა ამოხსნისას x+b=0. მოგეხსენებათ, a≠0-ს აქვს ერთი ფესვი, რომელსაც აღვნიშნავთ x 0-ს.
• ის აგებულია და მასზე გამოსახულია წერტილი x 0 კოორდინატით. უფრო მეტიც, თუ მკაცრი უთანასწორობა მოგვარებულია (ნიშნით< или >), მაშინ ეს წერტილი კეთდება პუნქციურად (ცარიელი ცენტრით), ხოლო თუ მკაცრი არ არის (ნიშნით ≤ ან ≥), მაშინ იდება რეგულარული წერტილი. ეს წერტილი ყოფს კოორდინატთა ხაზს ორ ინტერვალად (−∞, x 0) და (x 0 , +∞) .
• განსაზღვრულია y=a·x+b ფუნქციის ნიშნები ამ ინტერვალებზე. ამისათვის ამ ფუნქციის მნიშვნელობა გამოითვლება ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში (−∞, x 0) , და ამ მნიშვნელობის ნიშანი იქნება სასურველი ნიშანი ინტერვალზე (−∞, x 0). ანალოგიურად, ნიშანი ინტერვალზე (x 0 , +∞) ემთხვევა y=a·x+b ფუნქციის მნიშვნელობის ნიშანს ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ამ გამოთვლების გარეშე და გამოიტანოთ დასკვნები ნიშნების შესახებ a კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან: თუ a>0, მაშინ ინტერვალებზე (−∞, x 0) და (x 0, +∞) იქნება ნიშნები. - და +, შესაბამისად, და თუ a >0 , მაშინ + და −.
• თუ > ან ≥ ნიშნით უტოლობა ამოხსნილია, მაშინ გამოჩეკვა განლაგებულია უფსკრულიდან პლუს ნიშნით, ხოლო თუ ნიშნებით უტოლობა ამოხსნილია.< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

განვიხილოთ წრფივი უტოლობის ამოხსნის მაგალითი ინტერვალის მეთოდით.

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა −3 x+12>0 .

გადაწყვეტილება.

როგორც კი გავაანალიზებთ ინტერვალების მეთოდს, მაშინ გამოვიყენებთ მას. ალგორითმის მიხედვით ჯერ ვპოულობთ განტოლების ძირს −3 x+12=0 , −3 x=−12 , x=4 . შემდეგი, ჩვენ გამოვსახავთ კოორდინატთა ხაზს და აღვნიშნავთ მასზე მე-4 კოორდინატით წერტილს და ამ პუნქტს ვხსნით, რადგან ვხსნით მკაცრ უტოლობას:

ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიშნებს ინტერვალებზე. ინტერვალზე (−∞, 4) ნიშნის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ y=−3 x+12 ფუნქციის მნიშვნელობა, მაგალითად, x=3-სთვის. გვაქვს −3 3+12=3>0, რაც ნიშნავს, რომ + ნიშანი ამ ინტერვალზეა. სხვა ინტერვალზე (4, +∞) ნიშნის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ y=−3 x+12 ფუნქციის მნიშვნელობა, მაგალითად, x=5 წერტილში. გვაქვს −3 5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

ვინაიდან უტოლობას ვხსნით > ნიშნით, უფსკრულის თავზე ვხატავთ ლუკს + ნიშნით, ნახატი იღებს ფორმას.

მიღებული სურათიდან გამომდინარე, ჩვენ ვასკვნით, რომ სასურველი გამოსავალი არის (−∞, 4) ან სხვა აღნიშვნით x<4 .

პასუხი:

(−∞, 4) ან x<4 .

გრაფიკულად

სასარგებლოა წარმოდგენა გქონდეთ ერთ ცვლადში წრფივი უტოლობების ამოხსნის გეომეტრიული ინტერპრეტაციის შესახებ. მის მისაღებად განვიხილოთ ოთხი წრფივი უტოლობა ერთი და იგივე მარცხენა მხარეს: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 და 0.5 x−1≥0, მათი ამონახსნები შესაბამისად x<2 , x≤2 , x>2 და x≥2 , ასევე დახაზეთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკი y=0,5 x−1 .

ამის დანახვა ადვილია

• 0,5 x−1 უტოლობის ამოხსნა<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• 0.5 x−1≤0 უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი, რომელზედაც y=0.5 x−1 ფუნქციის გრაფიკი არის Ox ღერძის ქვემოთ ან ემთხვევა მას (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არა აბსცისის ღერძის ზემოთ),
• ანალოგიურად, 0,5 x−1>0 უტოლობის ამონახსნი არის ის ინტერვალი, რომელზედაც ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ (გრაფიკის ეს ნაწილი ნაჩვენებია წითლად).
• ხოლო 0,5 x−1≥0 უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალი, რომელზედაც ფუნქციის გრაფიკი უფრო მაღალია ან ემთხვევა x ღერძს.

უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული გზა, კერძოდ წრფივი, და გულისხმობს იმ ინტერვალების პოვნას, რომლებზედაც განლაგებულია უტოლობის მარცხენა მხარის შესაბამისი ფუნქციის გრაფიკი ზემოთ, ქვემოთ, არც უფრო დაბალი ან არც უფრო მაღალი ვიდრე მარჯვენა მხარის შესაბამისი ფუნქციის გრაფიკი. უთანასწორობა. ჩვენი წრფივი უტოლობის შემთხვევაში მარცხენა მხარის შესაბამისი ფუნქცია არის y=a x+b , ხოლო მარჯვენა მხარე არის y=0 , რომელიც ემთხვევა Ox ღერძს.

ზემოაღნიშნული ინფორმაციის გათვალისწინებით, მისი ფორმულირება მარტივია წრფივი უტოლობების გრაფიკულად ამოხსნის ალგორითმი:

• აგებულია y=a x+b ფუნქციის გრაფიკი (შეგიძლიათ სქემატურად) და
• a x+b უტოლობის ამოხსნისას<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• a x+b≤0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, რომელზედაც გრაფიკი უფრო დაბალია ან ემთხვევა Ox ღერძს,
• a x+b>0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, რომელზედაც გრაფიკი არის Ox ღერძის ზემოთ,
• a x+b≥0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, რომელზედაც გრაფიკი უფრო მაღალია ან ემთხვევა Ox ღერძს.

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა გრაფიკულად.

გადაწყვეტილება.

ავაშენოთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი . ეს არის სწორი ხაზი, რომელიც მცირდება, ვინაიდან x-ზე კოეფიციენტი უარყოფითია. ჩვენ ასევე გვჭირდება მისი გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი აბსცისის ღერძთან, ეს არის განტოლების ფესვი. , რომელიც უდრის . ჩვენი მიზნებისთვის, ჩვენ არც კი გვჭირდება Oy ღერძის დახატვა. ასე რომ, ჩვენი სქემატური ნახაზი ასე გამოიყურება

ვინაიდან უტოლობას ვხსნით > ნიშნით, გვაინტერესებს რა შუალედია ფუნქციის გრაფიკი Ox ღერძის ზემოთ. სიცხადისთვის გრაფიკის ამ ნაწილს წითლად გამოვყოფთ, ხოლო ამ ნაწილის შესაბამისი ინტერვალის მარტივად დასადგენად წითლად გამოვყოფთ კოორდინატთა სიბრტყის იმ ნაწილს, რომელშიც მდებარეობს გრაფიკის არჩეული ნაწილი, როგორც ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში:

ჩვენთვის საინტერესო ინტერვალი არის Ox ღერძის ნაწილი, რომელიც აღმოჩნდა წითლად გამოკვეთილი. ცხადია, ეს არის ღია ნომრის სხივი . ეს არის სასურველი გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობას არა > ნიშნით, არამედ არამკაცრი უტოლობის ნიშნით ≥ რომ ვხსნიდით, მაშინ პასუხის დამატება მოგვიწევდა, რადგან ამ დროს ფუნქციის გრაფიკი ემთხვევა Ox ღერძს .y=0·x+7 , რომელიც იგივეა, რაც y=7 , განსაზღვრავს სწორ ხაზს კოორდინატულ სიბრტყეზე Ox ღერძის პარალელურად და მის ზემოთ მდებარე. მაშასადამე, უტოლობა 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

ხოლო y=0 x+0 ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც იგივეა, რაც y=0, არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა Ox ღერძს. მაშასადამე, 0 x+0≥0 უტოლობის ამონახსნი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

პასუხი:

მეორე უტოლობა, მისი ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

წრფივი უტოლობა

უტოლობების უზარმაზარი რაოდენობა ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური წრფივი უტოლობით, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემცირდეს წრფივ უტოლობამდე. ასეთ უტოლობას ე.წ უტოლობები ხაზოვანამდე.

სკოლაში, თითქმის ერთდროულად წრფივი უტოლობების ამოხსნასთან ერთად, განიხილავენ მარტივ უტოლობასაც, რომლებიც წრფივ მცირდება. განსაკუთრებული შემთხვევებია. მთელი რიცხვების უტოლობები, კერძოდ, მათ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებში არის მთელი რიცხვები, რომლებიც წარმოადგენს ან ხაზოვანი ბინომები, ან გარდაიქმნებიან მათ მიერ და . სიცხადისთვის მოვიყვანთ ასეთი უტოლობების რამდენიმე მაგალითს: 5−2 x>0 , 7 (x−1)+3≤4 x−2+x, .

უტოლობები, რომლებიც მსგავსია ზემოთ მითითებული უტოლობების სახით, ყოველთვის შეიძლება შემცირდეს წრფივებად. ეს შეიძლება გაკეთდეს ფრჩხილების გახსნით, მსგავსი ტერმინების მოტანით, ტერმინების გადალაგებით და ტერმინების გადაადგილებით უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით.

მაგალითად, 5−2 x>0 უტოლობის წრფივზე დასაყვანად საკმარისია მის მარცხენა მხარეს არსებული ტერმინების გადალაგება, გვაქვს −2 x+5>0. მეორე უტოლობა 7 (x−1)+3≤4 x−2+x წრფივზე რომ შევიყვანოთ, ცოტა მეტი სამუშაო გვჭირდება: მარცხენა მხარეს ვხსნით ფრჩხილებს 7 x−7+3≤4 x−. 2+x , ამის შემდეგ ორივე ნაწილში მოვიყვანთ მსგავს წევრებს 7 x−4≤5 x−2 , შემდეგ ტერმინებს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ 7 x−4−5 x+2≤0 , ბოლოს ვაძლევთ ტერმინების მსგავსად მარცხენა მხარეს 2 ·x−2≤0 . ანალოგიურად, მესამე უტოლობა შეიძლება შემცირდეს წრფივ უტოლობამდე.

იმის გამო, რომ ასეთი უტოლობები ყოველთვის შეიძლება შემცირდეს წრფივზე, ზოგიერთი ავტორი მათ წრფივსაც კი უწოდებს. თუმცა, ჩვენ მათ ხაზოვანად მივიჩნევთ.

ახლა ცხადი ხდება, რატომ განიხილება ასეთი უტოლობა წრფივ უტოლობასთან ერთად. და მათი ამოხსნის პრინციპი აბსოლუტურად იგივეა: ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულებით, ისინი შეიძლება დაიწიოს ელემენტარულ უტოლობამდე, რაც სასურველი ამონახსნებია.

ამ სახის უტოლობის გადასაჭრელად, შეგიძლიათ ჯერ შეამციროთ იგი წრფივზე და შემდეგ ამოხსნათ ეს წრფივი უტოლობა. მაგრამ ამის გაკეთება უფრო რაციონალური და მოსახერხებელია:

• ფრჩხილების გახსნის შემდეგ შეაგროვეთ ყველა ტერმინი ცვლადით უტოლობის მარცხენა მხარეს და ყველა რიცხვი მარჯვნივ,
• და შემდეგ დაამატეთ მსგავსი პირობები,
• შემდეგ კი მიღებული უტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ x-ის კოეფიციენტზე (თუ, რა თქმა უნდა, ის განსხვავდება ნულისაგან). ეს გასცემს პასუხს.

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა 5 (x+3)+x≤6 (x−3)+1 .

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვხსნით ფრჩხილებს, შედეგად მივიღებთ უტოლობას 5 x+15+x≤6 x−18+1 . ახლა წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს: 6 x+15≤6 x−17 . შემდეგ ტერმინებს გადავიტანთ მარცხენა მხრიდან, მივიღებთ 6 x+15−6 x+17≤0 , და ისევ მოვიყვანთ მსგავს წევრებს (რაც მიგვიყვანს წრფივ უტოლობამდე 0 x+32≤0 ) და გვაქვს 32≤0. . ასე რომ, მივედით არასწორ რიცხვით უტოლობამდე, საიდანაც დავასკვნით, რომ თავდაპირველ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი:

არ არის გადაწყვეტილებები.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ არსებობს მრავალი სხვა უტოლობა, რომელიც მცირდება წრფივ უტოლობამდე, ან ზემოთ განხილული ფორმის უტოლობამდე. მაგალითად, გამოსავალი ექსპონენციალური უტოლობა 5 2 x−1 ≥1 მცირდება წრფივი უტოლობის ამოხსნამდე 2 x−1≥0 . მაგრამ ამაზე ვისაუბრებთ, როდესაც გავაანალიზებთ შესაბამისი ფორმის უტოლობების ამონახსნებს.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
• მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ .: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.

პირველი, რამდენიმე ლექსი, რათა იგრძნოთ პრობლემა, რომელსაც ინტერვალის მეთოდი წყვეტს. დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავჭრათ შემდეგი უტოლობა:

(x − 5)(x + 3) > 0

რა ვარიანტებია? პირველი, რაც სტუდენტების უმეტესობას ახსენდება, არის წესები „პლუს ჯერ პლუსი ქმნის პლუსს“ და „მინუს გამრავლებული მინუს ქმნის პლუსს“. მაშასადამე, საკმარისია განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ორივე ფრჩხილი დადებითია: x − 5 > 0 და x + 3 > 0. შემდეგ განვიხილავთ შემთხვევასაც, როდესაც ორივე ფრჩხილი უარყოფითია: x − 5.< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

უფრო მოწინავე მოსწავლეებს დაიმახსოვრებენ (ალბათ), რომ მარცხნივ არის კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი არის პარაბოლა. უფრო მეტიც, ეს პარაბოლა კვეთს OX ღერძს x = 5 და x = −3 წერტილებში. შემდგომი მუშაობისთვის საჭიროა ფრჩხილების გახსნა. Ჩვენ გვაქვს:

x 2 − 2x − 15 > 0

ახლა ცხადია, რომ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, რადგან კოეფიციენტი a = 1 > 0. შევეცადოთ დავხატოთ ამ პარაბოლის დიაგრამა:

ფუნქცია ნულზე მეტია, სადაც ის გადის OX ღერძის ზემოთ. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ინტერვალები (−∞ −3) და (5; +∞) - ეს არის პასუხი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სურათზე ზუსტად ჩანს ფუნქციის დიაგრამადა არა მისი განრიგი. რადგან რეალური გრაფიკისთვის საჭიროა კოორდინატების გამოთვლა, ოფსეტების და სხვა სისულელეების გამოთვლა, რაც ახლა საერთოდ არ გვჭირდება.

რატომ არის ეს მეთოდები არაეფექტური?

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ერთი და იგივე უტოლობის ორი გამოსავალი. ორივე ძალიან შრომატევადი აღმოჩნდა. პირველი გადაწყვეტილება ჩნდება - უბრალოდ იფიქრე ამაზე! არის უტოლობათა სისტემების ერთობლიობა. მეორე გამოსავალი ასევე არ არის ძალიან მარტივი: თქვენ უნდა გახსოვდეთ პარაბოლის გრაფიკი და სხვა მცირე ფაქტები.

ეს იყო ძალიან მარტივი უთანასწორობა. მას აქვს მხოლოდ 2 მულტიპლიკატორი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ იქნება არა 2 მამრავლი, არამედ მინიმუმ 4. მაგალითად:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

როგორ მოვაგვაროთ ასეთი უთანასწორობა? გაიარეთ დადებითი და უარყოფითი მხარეების ყველა შესაძლო კომბინაცია? დიახ, ჩვენ უფრო სწრაფად დავიძინებთ, ვიდრე გამოსავალს ვიპოვით. გრაფიკის დახატვა ასევე არ არის ვარიანტი, რადგან გაუგებარია როგორ იქცევა ასეთი ფუნქცია კოორდინატულ სიბრტყეში.

ასეთი უტოლობებისთვის საჭიროა სპეციალური ამოხსნის ალგორითმი, რომელსაც დღეს განვიხილავთ.

რა არის ინტერვალის მეთოდი

ინტერვალის მეთოდი არის სპეციალური ალგორითმი, რომელიც შექმნილია f (x) > 0 და f (x) ფორმის რთული უტოლობების გადასაჭრელად.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. ამოხსენით განტოლება f (x) \u003d 0. ამრიგად, უტოლობის ნაცვლად, ვიღებთ განტოლებას, რომლის ამოხსნაც გაცილებით ადვილია;
2. მონიშნეთ ყველა მიღებული ფესვი კოორდინატთა ხაზზე. ამრიგად, სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე ინტერვალად;
3. გაარკვიეთ f (x) ფუნქციის ნიშანი (პლუს ან მინუს) ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე. ამისათვის საკმარისია f (x)-ში ჩავანაცვლოთ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც იქნება ყველა მონიშნული ფესვის მარჯვნივ;
4. მონიშნეთ ნიშნები სხვა ინტერვალებზე. ამისათვის საკმარისია გახსოვდეთ, რომ თითოეულ ფესვზე გავლისას ნიშანი იცვლება.

Სულ ეს არის! ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ ჩვენთვის საინტერესო ინტერვალების ჩამოწერა. ისინი აღინიშნება "+" ნიშნით, თუ უტოლობა იყო ფორმის f (x) > 0, ან "−" ნიშნით, თუ უტოლობა იყო ფორმის f (x)< 0.

ერთი შეხედვით, შეიძლება ჩანდეს, რომ ინტერვალის მეთოდი ერთგვარი კალისაა. მაგრამ პრაქტიკაში ყველაფერი ძალიან მარტივი იქნება. ამას ცოტა პრაქტიკა სჭირდება - და ყველაფერი ნათელი გახდება. გადახედეთ მაგალითებს და თავად დარწმუნდებით:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

(x − 2)(x + 7)< 0

ვმუშაობთ ინტერვალების მეთოდზე. ნაბიჯი 1: შეცვალეთ უტოლობა განტოლებით და ამოხსენით იგი:

(x − 2)(x + 7) = 0

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

ორი ფესვი აქვს. გადადით მე-2 ნაბიჯზე: მონიშნეთ ეს ფესვები კოორდინატთა ხაზზე. Ჩვენ გვაქვს:

ახლა ნაბიჯი 3: ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის ნიშანს ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე (მონიშნული წერტილის მარჯვნივ x = 2). ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც მეტია რიცხვზე x = 2. მაგალითად, ავიღოთ x = 3 (მაგრამ არავინ კრძალავს x = 4, x = 10 და თუნდაც x = 10,000). ჩვენ ვიღებთ:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

ჩვენ ვიღებთ, რომ f (3) = 10 > 0, ასე რომ, ჩვენ ვაყენებთ პლუს ნიშანს ყველაზე მარჯვენა ინტერვალში.

ჩვენ გადავდივართ ბოლო პუნქტზე - აუცილებელია აღინიშნოს ნიშნები დარჩენილ ინტერვალებზე. გახსოვდეთ, რომ თითოეულ ფესვზე გავლისას ნიშანი უნდა შეიცვალოს. მაგალითად, x = 2 ფესვის მარჯვნივ არის პლუსი (ამაში დავრწმუნდით წინა ეტაპზე), ამიტომ მარცხნივ უნდა იყოს მინუსი.

ეს მინუსი ვრცელდება მთელ ინტერვალზე (−7; 2), ამიტომ არის მინუსი x = −7 ფესვის მარჯვნივ. მაშასადამე, ფესვის მარცხნივ არის პლუსი x = −7. რჩება ამ ნიშნების აღნიშვნა კოორდინატთა ღერძზე. Ჩვენ გვაქვს:

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ უტოლობას, რომელიც ასე გამოიყურებოდა:

(x − 2)(x + 7)< 0

ასე რომ, ფუნქცია უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაინტერესებს მინუს ნიშანი, რომელიც გვხვდება მხოლოდ ერთ ინტერვალზე: (−7; 2). ეს იქნება პასუხი.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

ნაბიჯი 1: მარცხენა მხარის გათანაბრება ნულთან:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

დაიმახსოვრეთ: პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულია. ამიტომ გვაქვს უფლება, თითოეული ცალკეული ფრჩხილის ნულთან გავატოლოთ.

ნაბიჯი 2: მონიშნეთ ყველა ფესვი კოორდინატთა ხაზზე:

ნაბიჯი 3: გაარკვიეთ ყველაზე მარჯვენა უფსკრულის ნიშანი. ვიღებთ ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც მეტია x = 1-ზე. მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ x = 10. გვაქვს:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

ნაბიჯი 4: მოათავსეთ დანარჩენი ნიშნები. გახსოვდეთ, რომ თითოეულ ფესვზე გავლისას ნიშანი იცვლება. შედეგად, ჩვენი სურათი ასე გამოიყურება:

Სულ ეს არის. რჩება მხოლოდ პასუხის დაწერა. კიდევ ერთხელ შეხედეთ თავდაპირველ უტოლობას:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

ეს არის f (x) ფორმის უტოლობა.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

ეს არის პასუხი.

შენიშვნა ფუნქციის ნიშნების შესახებ

პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ინტერვალის მეთოდში ყველაზე დიდი სირთულეები წარმოიქმნება ბოლო ორ საფეხურზე, ე.ი. ნიშნების განთავსებისას. ბევრი სტუდენტი იწყებს დაბნეულობას: რა რიცხვები აიღოს და სად დააყენოს ნიშნები.

ინტერვალის მეთოდის საბოლოოდ გასაგებად, განიხილეთ ორი შენიშვნა, რომლებზეც ის აგებულია:

1. უწყვეტი ფუნქცია ცვლის ნიშანს მხოლოდ წერტილებზე სადაც ის ნულის ტოლია. ასეთი წერტილები კოორდინატთა ღერძს ნაწილებად ყოფს, რომლის ფარგლებშიც ფუნქციის ნიშანი არასოდეს იცვლება. ამიტომ ვხსნით განტოლებას f (x) \u003d 0 და მოვნიშნავთ ნაპოვნი ფესვებს სწორ ხაზზე. ნაპოვნი რიცხვები არის "სასაზღვრო" წერტილები, რომლებიც ყოფს პლიუსებს მინუსებისგან.
2. ნებისმიერ ინტერვალზე ფუნქციის ნიშნის გასარკვევად, საკმარისია ამ ინტერვალიდან ნებისმიერი რიცხვი ჩაანაცვლოთ ფუნქციაში. მაგალითად, ინტერვალისთვის (−5; 6) შეგვიძლია ავიღოთ x = −4, x = 0, x = 4 და თუნდაც x = 1,29374 თუ გვინდა. Რატომ არის ეს მნიშვნელოვანი? დიახ, რადგან ბევრი სტუდენტი იწყებს ეჭვების გაღვივებას. მაგალითად, რა მოხდება, თუ x = −4-სთვის მივიღებთ პლუსს, ხოლო x = 0-სთვის მივიღებთ მინუს? მსგავსი არაფერი მოხდება. ყველა წერტილი ერთსა და იმავე ინტერვალში იძლევა ერთსა და იმავე ნიშანს. დაიმახსოვრე ეს.

ეს არის ყველაფერი, რაც თქვენ უნდა იცოდეთ ინტერვალის მეთოდის შესახებ. რა თქმა უნდა, ჩვენ მისი უმარტივესი ფორმით დემონტაჟი მოვახერხეთ. არსებობს უფრო რთული უტოლობები - არა მკაცრი, წილადი და განმეორებითი ფესვებით. მათთვის ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტერვალის მეთოდი, მაგრამ ეს ცალკე დიდი გაკვეთილის თემაა.

ახლა მინდა გავაანალიზო მოწინავე ხრიკი, რომელიც მკვეთრად ამარტივებს ინტერვალის მეთოდს. უფრო ზუსტად, გამარტივება გავლენას ახდენს მხოლოდ მესამე საფეხურზე - ნიშნის გამოთვლაზე ხაზის ყველაზე მარჯვენა ნაწილზე. რატომღაც ეს ტექნიკა სკოლებში არ ტარდება (ეს მაინც არავინ ამიხსნა). მაგრამ უშედეგოდ - სინამდვილეში, ეს ალგორითმი ძალიან მარტივია.

ამრიგად, ფუნქციის ნიშანი არის რიცხვითი ღერძის მარჯვენა ნაწილზე. ამ ნაწილს აქვს ფორმა (a; +∞), სადაც a არის ყველაზე დიდი ფესვი განტოლების f (x) = 0. იმისათვის, რომ ჩვენი ტვინი არ გავფუჭოთ, განვიხილოთ კონკრეტული მაგალითი:

(x − 1)(2 + x )(7 − x)< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

ჩვენ მივიღეთ 3 ფესვი. ჩამოვთვლით მათ ზრდადი მიმდევრობით: x = −2, x = 1 და x = 7. ცხადია, უდიდესი ფესვი არის x = 7.

ვისაც გრაფიკულად მსჯელობა უადვილდება, ამ ფესვებს კოორდინატთა ხაზზე მოვნიშნავ. ვნახოთ რა მოხდება:

საჭიროა f (x) ფუნქციის ნიშნის პოვნა ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე, ე.ი. on (7; +∞). მაგრამ როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ნიშნის დასადგენად, ამ ინტერვალიდან ნებისმიერი რიცხვის აღება შეგიძლიათ. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ x = 8, x = 150 და ა.შ. ახლა კი - იგივე ტექნიკა, რომელსაც სკოლებში არ ასწავლიან: ავიღოთ უსასრულობა რიცხვად. Უფრო ზუსტად, პლუს უსასრულობა, ე.ი. +∞.

„გაქვავდნენ? როგორ შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ უსასრულობა ფუნქციაში? ალბათ, იკითხავთ. მაგრამ დაფიქრდით: ჩვენ არ გვჭირდება თავად ფუნქციის მნიშვნელობა, ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ ნიშანი. ამიტომ, მაგალითად, მნიშვნელობები f (x) \u003d −1 და f (x) \u003d -938 740 576 215 იგივეს ნიშნავს: ამ ინტერვალზე ფუნქცია უარყოფითია. მაშასადამე, ყველაფერი რაც თქვენგან გჭირდებათ, არის უსასრულობის დროს არსებული ნიშნის პოვნა და არა ფუნქციის მნიშვნელობის.

სინამდვილეში, უსასრულობის ჩანაცვლება ძალიან მარტივია. დავუბრუნდეთ ჩვენს ფუნქციას:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

წარმოიდგინეთ, რომ x არის ძალიან დიდი რიცხვი. მილიარდი ან თუნდაც ტრილიონი. ახლა ვნახოთ, რა ხდება თითოეულ ფრჩხილში.

პირველი ფრჩხილი: (x − 1). რა მოხდება, თუ მილიარდს გამოაკლებთ ერთს? შედეგი იქნება რიცხვი, რომელიც არ განსხვავდება მილიარდისგან და ეს რიცხვი დადებითი იქნება. ანალოგიურად მეორე ფრჩხილით: (2 + x). თუ ორს მილიარდს დავუმატებთ, კაპიკებით მილიარდს მივიღებთ - ეს დადებითი რიცხვია. ბოლოს მესამე ფრჩხილი: (7 − x ). აქ იქნება მინუს მილიარდი, საიდანაც შვიდეულის სახით საცოდავი ნაჭერი "გაიჭედა". იმათ. შედეგად მიღებული რიცხვი დიდად არ განსხვავდება მინუს მილიარდიდან - ეს იქნება უარყოფითი.

რჩება მთელი ნაწარმოების ნიშნის პოვნა. ვინაიდან პირველ ფრჩხილებში გვქონდა პლიუსი, ხოლო ბოლო ფრჩხილში მინუსი, მივიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

(+) · (+) · (−) = (−)

საბოლოო ნიშანი არის მინუსი! არ აქვს მნიშვნელობა რა არის თავად ფუნქციის მნიშვნელობა. მთავარია ეს მნიშვნელობა იყოს უარყოფითი, ე.ი. ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე არის მინუს ნიშანი. რჩება ინტერვალის მეთოდის მეოთხე საფეხურის დასრულება: დაალაგეთ ყველა ნიშანი. Ჩვენ გვაქვს:

თავდაპირველი უტოლობა ასე გამოიყურებოდა:

(x − 1)(2 + x )(7 − x)< 0

ამიტომ გვაინტერესებს მინუს ნიშნით მონიშნული ინტერვალები. ჩვენ ვწერთ პასუხს:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

ეს არის მთელი ხრიკი, რომლის თქმაც მინდოდა. დასასრულს, არის კიდევ ერთი უტოლობა, რომელიც იხსნება ინტერვალის მეთოდით უსასრულობის გამოყენებით. გამოსავლის ვიზუალურად შესამცირებლად, არ დავწერ ნაბიჯების ნომრებს და დეტალურ კომენტარებს. დავწერ მხოლოდ იმას, რაც რეალურად უნდა დაიწეროს რეალური პრობლემების გადაჭრისას:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

უტოლობას ვცვლით განტოლებით და ვხსნით:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

ჩვენ აღვნიშნავთ სამივე ფესვს კოორდინატთა ხაზზე (მაშინვე ნიშნებით):

არის პლუსი კოორდინატთა ღერძის მარჯვენა მხარეს, რადგან ფუნქცია ასე გამოიყურება:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

და თუ ჩავანაცვლებთ უსასრულობას (მაგალითად, მილიარდს), მივიღებთ სამ დადებით ფრჩხილს. ვინაიდან ორიგინალური გამოხატულება უნდა იყოს ნულზე მეტი, ჩვენ მხოლოდ პლიუსები გვაინტერესებს. რჩება პასუხის დაწერა:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

Რა "კვადრატული უთანასწორობა"?კითხვა არაა!) თუ აიღებთ ნებისმიერიკვადრატული განტოლება და შეცვალეთ მასში ნიშანი "=" (ტოლი) ნებისმიერი უთანასწორობის ხატულაზე ( > ≥ < ≤ ≠ ), ვიღებთ კვადრატულ უტოლობას. Მაგალითად:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

აბა, გესმით იდეა...)

აქ შეგნებულად დავაკავშირე განტოლებები და უტოლობა. ფაქტია, რომ პირველი ნაბიჯი გადაჭრის ნებისმიერიკვადრატული უტოლობა - ამოხსენით განტოლება, საიდანაც ეს უტოლობა დგება.ამ მიზეზით - კვადრატული განტოლებების ამოხსნის შეუძლებლობა ავტომატურად იწვევს უტოლობაში სრულ მარცხს. მინიშნება გასაგებია?) თუ რამეა, შეხედეთ როგორ ამოხსნათ ნებისმიერი კვადრატული განტოლება. იქ ყველაფერი დეტალურადაა აღწერილი. და ამ გაკვეთილში ჩვენ განვიხილავთ უთანასწორობებს.

ამოხსნისთვის მზა უტოლობას აქვს ფორმა: მარცხნივ - კვადრატული ტრინომიალი ცული 2 +bx+c, მარჯვნივ - ნული.უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი. პირველი ორი მაგალითი აქ არის მზად არიან გადაწყვეტილების მისაღებად.მესამე მაგალითი ჯერ კიდევ მოსამზადებელია.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ცვლადებთან უტოლობების შესახებ საწყისი ინფორმაციის მიღების შემდეგ მივმართავთ მათი ამოხსნის საკითხს. გავაანალიზოთ წრფივი უტოლობების ამოხსნა ერთი ცვლადით და მათი ამოხსნის ყველა მეთოდი ალგორითმებითა და მაგალითებით. განიხილება მხოლოდ წრფივი განტოლებები ერთი ცვლადით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რა არის წრფივი უტოლობა?

ჯერ უნდა განსაზღვროთ წრფივი განტოლება და გაარკვიოთ მისი სტანდარტული ფორმა და რით განსხვავდება ის სხვებისგან. სკოლის კურსიდან ჩვენ გვაქვს, რომ უთანასწორობას ფუნდამენტური განსხვავება არ აქვს, ამიტომ რამდენიმე განმარტება უნდა იქნას გამოყენებული.

განმარტება 1

წრფივი უტოლობა ერთი ცვლადით x არის a x + b > 0 ფორმის უტოლობა, როდესაც გამოიყენება ნებისმიერი უტოლობის ნიშანი >-ის ნაცვლად.< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

განმარტება 2

უტოლობები a x< c или a · x >c , სადაც x არის ცვლადი და a და c ზოგიერთი რიცხვი, ეწოდება წრფივი უტოლობა ერთი ცვლადით.

ვინაიდან არაფერია ნათქვამი იმის შესახებ, შეიძლება თუ არა კოეფიციენტის ტოლი 0 , მაშინ მკაცრი უტოლობა 0 x > c და 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

მათი განსხვავებებია:

• აღნიშვნა a · x + b > 0 პირველში და a · x > c – მეორეში;
• ნულოვანი კოეფიციენტის დასაშვებობა a , a ≠ 0 - პირველში და a = 0 - მეორეში.

ითვლება, რომ a x + b > 0 და a x > c უტოლობები ეკვივალენტურია, რადგან ისინი მიიღება ტერმინის ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანით. 0 · x + 5 > 0 უტოლობის ამოხსნა მიგვიყვანს იმ ფაქტამდე, რომ მისი ამოხსნა იქნება საჭირო და a = 0 შემთხვევა არ იმუშავებს.

განმარტება 3

ითვლება, რომ წრფივი უტოლობა ერთ ცვლადში x არის ფორმის უტოლობები a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0და a x + b ≥ 0, სადაც a და b რეალური რიცხვებია. x-ის ნაცვლად შეიძლება იყოს ჩვეულებრივი რიცხვი.

წესზე დაყრდნობით გვაქვს, რომ 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 წრფივი ეწოდება.

როგორ ამოხსნათ წრფივი უტოლობა

ასეთი უტოლობების ამოხსნის მთავარი გზა არის ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება ელემენტარული უტოლობების საპოვნელად x< p (≤ , >, ≥) , p არის რაღაც რიცხვი, a ≠ 0-სთვის და a ფორმისთვის< p (≤ , >, ≥) a = 0-ისთვის.

უტოლობის გადასაჭრელად ერთი ცვლადით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტერვალის მეთოდი ან წარმოადგინოთ იგი გრაფიკულად. ნებისმიერი მათგანი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იზოლირებულად.

ექვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება

x + b ფორმის წრფივი უტოლობის ამოხსნა< 0 (≤ , >, ≥), აუცილებელია უტოლობის ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება. კოეფიციენტი შეიძლება იყოს ან არ იყოს ნული. განვიხილოთ ორივე შემთხვევა. გასარკვევად, აუცილებელია დაიცვან სქემა, რომელიც შედგება 3 წერტილისგან: პროცესის არსი, ალგორითმი, თავად გადაწყვეტა.

განმარტება 4

წრფივი უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი a x + b< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0-ისთვის

• რიცხვი b გადაინაცვლებს უტოლობის მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, რაც საშუალებას მოგვცემს მივიდეთ x-ის ეკვივალენტამდე.< − b (≤ , > , ≥) ;
• უტოლობის ორივე ნაწილი გაიყოფა რიცხვზე, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი. უფრო მეტიც, როდესაც a დადებითია, ნიშანი რჩება, როდესაც a უარყოფითია, იცვლება პირიქით.

განვიხილოთ ამ ალგორითმის გამოყენება მაგალითების ამოხსნაში.

მაგალითი 1

ამოხსენით 3 · x + 12 ≤ 0 ფორმის უტოლობა.

გადაწყვეტილება

ამ წრფივ უტოლობას აქვს a = 3 და b = 12 . აქედან გამომდინარე, x-ის კოეფიციენტი a არ არის ნულის ტოლი. გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ალგორითმები და მოვაგვაროთ.

აუცილებელია ტერმინი 12 გადავიტანოთ უტოლობის სხვა ნაწილზე მის წინ ნიშნის ცვლილებით. შემდეგ ვიღებთ 3 · x ≤ − 12 ფორმის უტოლობას. აუცილებელია ორივე ნაწილის 3-ზე გაყოფა. ნიშანი არ შეიცვლება, რადგან 3 დადებითი რიცხვია. მივიღებთ, რომ (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , რომელიც მისცემს შედეგს x ≤ − 4 .

x ≤ − 4 ფორმის უტოლობა ტოლია. ანუ 3 x + 12 ≤ 0-ის ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, რომელიც ნაკლებია ან ტოლია 4-ზე. პასუხი იწერება x ≤ − 4 უტოლობის სახით, ან ფორმის რიცხვითი ინტერვალით (− ∞ , − 4 ] .

ზემოთ აღწერილი მთელი ალგორითმი დაწერილია შემდეგნაირად:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

პასუხი: x ≤ − 4 ან (− ∞ , − 4 ] .

მაგალითი 2

მიუთითეთ უტოლობის ყველა არსებული ამონახსნები − 2 , 7 · z > 0 .

გადაწყვეტილება

პირობიდან ჩვენ ვხედავთ, რომ კოეფიციენტი a at z უდრის - 2, 7 და b აშკარად არ არის ან ტოლია ნულის. თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ალგორითმის პირველი ნაბიჯი, მაგრამ დაუყოვნებლივ გადადით მეორეზე.

განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ რიცხვზე - 2, 7. ვინაიდან რიცხვი უარყოფითია, აუცილებელია უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა. ანუ, მივიღებთ, რომ (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

ჩვენ ვწერთ მთელ ალგორითმს მოკლე ფორმით:

− 2, 7 z > 0; ზ< 0 .

პასუხი:ზ< 0 или (− ∞ , 0) .

მაგალითი 3

ამოხსენით უტოლობა - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

გადაწყვეტილება

პირობის მიხედვით ვხედავთ, რომ აუცილებელია x ცვლადისთვის a კოეფიციენტით ამოხსნას უტოლობა, რომელიც უდრის - 5-ს, b კოეფიციენტით, რომელიც შეესაბამება წილადს - 15 22 . აუცილებელია უტოლობის ამოხსნა ალგორითმის მიხედვით, ანუ: გადაიტანეთ - 15 22 სხვა ნაწილზე საპირისპირო ნიშნით, გაყავით ორივე ნაწილი - 5-ზე, შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

ბოლო გადასვლისას, მარჯვენა მხარისთვის, გამოიყენება სხვადასხვა ნიშნით რიცხვის გაყოფის წესი 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, რის შემდეგაც ჩვენ ვყოფთ ჩვეულებრივ წილადს ნატურალურ რიცხვზე - 15 22: 5. \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

პასუხი: x ≥ - 3 22 და [ - 3 22 + ∞) .

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც a = 0. a x + b ფორმის წრფივი გამოხატულება< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ყველაფერი ეფუძნება უთანასწორობის ამოხსნის განმარტებას. x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ვიღებთ b ფორმის რიცხვით უტოლობას< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

ყველა განსჯას განვიხილავთ წრფივი უტოლობების ამოხსნის ალგორითმის სახით 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

განმარტება 5

ბ ფორმის რიცხვითი უტოლობა< 0 (≤ , >, ≥) არის ჭეშმარიტი, მაშინ თავდაპირველ უტოლობას აქვს გამოსავალი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის და მცდარია, როდესაც თავდაპირველ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

მაგალითი 4

ამოხსენით უტოლობა 0 · x + 7 > 0 .

გადაწყვეტილება

ეს წრფივი უტოლობა 0 · x + 7 > 0 შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა x . მაშინ მივიღებთ 7 > 0 ფორმის უტოლობას. ბოლო უტოლობა ითვლება ჭეშმარიტად, ამიტომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს მისი ამონახსნი.

უპასუხე: ინტერვალი (− ∞ , + ∞) .

მაგალითი 5

იპოვეთ ამონახსნი 0 · x − 12, 7 ≥ 0 უტოლობაზე.

გადაწყვეტილება

x ცვლადის ჩანაცვლებით ნებისმიერი რიცხვით, მივიღებთ, რომ უტოლობა მიიღებს − 12 , 7 ≥ 0 ფორმას. არასწორია. ანუ 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი:არ არის გადაწყვეტილებები.

განვიხილოთ წრფივი უტოლობების ამონახსნი, სადაც ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

მაგალითი 6

განსაზღვრეთ ამოუხსნელი უტოლობა 0 · x + 0 > 0-დან და 0 · x + 0 ≥ 0-დან.

გადაწყვეტილება

x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლებისას მივიღებთ 0 > 0 ფორმის ორ უტოლობას და 0 ≥ 0 . პირველი არასწორია. ეს ნიშნავს, რომ 0 x + 0 > 0-ს არ აქვს ამონახსნები, ხოლო 0 x + 0 ≥ 0 აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ანუ ნებისმიერი რიცხვი.

უპასუხე: უტოლობას 0 x + 0 > 0 არ აქვს ამონახსნები, ხოლო 0 x + 0 ≥ 0 აქვს ამონახსნები.

ეს მეთოდი განიხილება მათემატიკის სასკოლო კურსში. ინტერვალის მეთოდს შეუძლია გადაჭრას სხვადასხვა სახის უტოლობა, მათ შორის წრფივი.

ინტერვალის მეთოდი გამოიყენება წრფივი უტოლობებისთვის, როდესაც x კოეფიციენტის მნიშვნელობა არ არის 0-ის ტოლი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ მოგიწევთ გამოთვლა სხვა მეთოდის გამოყენებით.

განმარტება 6

დაშორების მეთოდი შემდეგია:

• y = a x + b ფუნქციის შესავალი;
• ნულების მოძიება განსაზღვრების დომენის ინტერვალებად გასაყოფად;
• ნიშნების განსაზღვრა მათი კონცეფციისთვის ინტერვალებით.

მოდით ავაწყოთ a x + b წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0-ისთვის ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით:

• y = a · x + b ფუნქციის ნულების პოვნა a · x + b = 0 ფორმის განტოლების ამოსახსნელად. თუ a ≠ 0, მაშინ ამონახსნი იქნება ერთადერთი ფესვი, რომელიც მიიღებს აღნიშვნას x 0;
• კოორდინატთა წრფის აგება წერტილის გამოსახულებით x 0 კოორდინატით, მკაცრი უტოლობით, წერტილი აღინიშნება პუნჩით, არამკაცრი უტოლობით, დაჩრდილულია;
• y = a x + b ფუნქციის ნიშნების განსაზღვრა ინტერვალებზე, ამისათვის აუცილებელია ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნა ინტერვალის წერტილებში;
• უტოლობის ამოხსნა კოორდინატთა ხაზზე > ან ≥ ნიშნებით, გამოჩეკვა ემატება დადებითი უფსკრულის ზემოთ,< или ≤ над отрицательным промежутком.

განვიხილოთ წრფივი უტოლობის ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი ინტერვალის მეთოდით.

მაგალითი 6

ამოხსენით უტოლობა − 3 · x + 12 > 0 .

გადაწყვეტილება

ალგორითმიდან გამომდინარეობს, რომ ჯერ უნდა იპოვოთ განტოლების ფესვი − 3 · x + 12 = 0. მივიღებთ, რომ − 3 · x = − 12 , x = 4 . აუცილებელია კოორდინატთა ხაზის გამოსახვა, სადაც მე-4 წერტილს ვნიშნავთ. ეს იქნება პუნქცია, რადგან უთანასწორობა მკაცრია. განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ნახაზი.

აუცილებელია ნიშნების დადგენა ინტერვალებზე. მისი დასადგენად ინტერვალზე (− ∞ , 4) , საჭიროა გამოვთვალოთ ფუნქცია y = − 3 · x + 12 x = 3-ისთვის. აქედან მივიღებთ, რომ − 3 3 + 12 = 3 > 0 . უფსკრულის ნიშანი დადებითია.

ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიშანს ინტერვალიდან (4, + ∞), შემდეგ ვცვლით მნიშვნელობას x \u003d 5. გვაქვს − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

უტოლობის ამოხსნას ვასრულებთ > ნიშნით, გამოჩეკვა კი დადებითი უფსკრულით. განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ნახაზი.

ნახაზიდან ჩანს, რომ სასურველ ამოხსნას აქვს ფორმა (− ∞ , 4) ან x.< 4 .

უპასუხე: (− ∞ , 4) ან x< 4 .

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა წარმოვადგინოთ გრაფიკულად, საჭიროა განვიხილოთ 4 წრფივი უტოლობა, როგორც მაგალითი: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 და 0, 5 x − 1 ≥ 0. მათი ამონახსნები იქნება x< 2 , x ≤ 2 , x >2 და x ≥ 2 . ამისათვის დახაზეთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკი y = 0 , 5 · x − 1 ქვემოთ.

გასაგებია რომ

განმარტება 7

• 0 , 5 x − 1 უტოლობის ამოხსნა< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• ამონახსნი 0 , 5 x − 1 ≤ 0 არის ინტერვალი, სადაც ფუნქცია y = 0 , 5 x − 1 არის 0 x-ზე ქვემოთ ან ემთხვევა;
• ამონახსნი 0 , 5 x − 1 > 0 ითვლება ინტერვალად, სადაც ფუნქცია მდებარეობს O x ზემოთ;
• ამონახსნი 0 , 5 x − 1 ≥ 0 არის ინტერვალი, სადაც გრაფიკი უფრო მაღალია ვიდრე O x ან ემთხვევა.

უტოლობათა გრაფიკული ამოხსნის მნიშვნელობა არის უფსკრულის პოვნა, რომელიც უნდა იყოს გამოსახული გრაფიკზე. ამ შემთხვევაში, მივიღებთ, რომ მარცხენა მხარეს აქვს y \u003d a x + b, ხოლო მარჯვენა მხარეს აქვს y \u003d 0 და ის ემთხვევა დაახლოებით x-ს.

განმარტება 8

y = a x + b ფუნქციის დახატვა შესრულებულია:

• a x + b უტოლობის ამოხსნისას< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• a x + b ≤ 0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, სადაც გრაფიკი ნაჩვენებია O x ღერძის ქვემოთ ან ემთხვევა;
• a x + b > 0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, სადაც გრაფიკი ნაჩვენებია O x ზემოთ;
• a x + b ≥ 0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ინტერვალი, სადაც გრაფიკი O x-ზე მაღლა დგას ან ემთხვევა.

მაგალითი 7

ამოხსენით უტოლობა - 5 · x - 3 > 0 გრაფიკის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება

აუცილებელია წრფივი ფუნქციის გრაფიკის აგება - 5 · x - 3 > 0 . ეს წრფე მცირდება, რადგან x-ის კოეფიციენტი უარყოფითია. O x - 5 · x - 3 > 0-თან მისი გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების დასადგენად ვიღებთ მნიშვნელობას - 3 5 . დავხატოთ გრაფიკი.

უტოლობის ამოხსნა ნიშნით >, მაშინ ყურადღება უნდა მიაქციოთ O x-ის ზემოთ არსებულ ინტერვალს. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ თვითმფრინავის აუცილებელ ნაწილს წითლად და ვიღებთ ამას

საჭირო უფსკრული არის წითელი ფერის O x ნაწილი. აქედან გამომდინარე, ღია რიცხვის სხივი - ∞ , - 3 5 იქნება უტოლობის ამოხსნა. თუ პირობით მათ ჰქონდათ არამკაცრი უტოლობა, მაშინ წერტილის მნიშვნელობაც - 3 5 იქნებოდა უტოლობის ამოხსნა. და დაემთხვა O x-ს.

უპასუხე: - ∞ , - 3 5 ან x< - 3 5 .

გრაფიკული ამოხსნა გამოიყენება მაშინ, როდესაც მარცხენა მხარე შეესაბამება ფუნქციას y = 0 x + b , ანუ y = b . მაშინ ხაზი იქნება O x-ის პარალელურად ან ემთხვევა b \u003d 0-ზე. ეს შემთხვევები აჩვენებს, რომ უტოლობას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, ან ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს გამოსავალი.

მაგალითი 8

განსაზღვრეთ უტოლობებიდან 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

გადაწყვეტილება

გამოსახულება y = 0 x + 7 არის y = 7, შემდეგ მიიღება კოორდინატთა სიბრტყე სწორი ხაზით O x-ის პარალელურად და O x ზემოთ. ანუ 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

y \u003d 0 x + 0 ფუნქციის გრაფიკი ითვლება y \u003d 0, ანუ ხაზი ემთხვევა O x-ს. მაშასადამე, უტოლობას 0 · x + 0 ≥ 0 აქვს მრავალი ამონახსნები.

უპასუხე: მეორე უტოლობას აქვს ამონახსნი x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

წრფივი უტოლობა

უტოლობათა ამოხსნა შეიძლება შემცირდეს წრფივი განტოლების ამოხსნამდე, რომელსაც წრფივი უტოლობა ეწოდება.

ეს უთანასწორობები გათვალისწინებული იყო სასკოლო კურსში, ვინაიდან ეს იყო უტოლობების ამოხსნის განსაკუთრებული შემთხვევა, რამაც გამოიწვია ფრჩხილების გახსნა და მსგავსი ტერმინების შემცირება. მაგალითად, განვიხილოთ, რომ 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

ზემოთ მოცემული უტოლობა ყოველთვის მცირდება წრფივი განტოლების სახით. ამის შემდეგ იხსნება ფრჩხილები და მოცემულია მსგავსი ტერმინები, გადატანილი სხვადასხვა ნაწილიდან, ცვლის ნიშანი საპირისპიროდ.

5 − 2 x > 0 უტოლობის წრფივზე შემცირებისას გამოვხატავთ მას ისე, რომ აქვს ფორმა − 2 x + 5 > 0, ხოლო მეორეს რომ შევამციროთ მივიღებთ 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . აუცილებელია ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების მოტანა, ყველა ტერმინის მარცხენა მხარეს გადატანა და მსგავსი ტერმინების მოტანა. ეს ასე გამოიყურება:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

ეს მოაქვს ამონახსნის წრფივ უთანასწორობას.

ეს უტოლობა განიხილება როგორც წრფივი, ვინაიდან მათ აქვთ ამოხსნის ერთი და იგივე პრინციპი, რის შემდეგაც შესაძლებელია მათი დაყვანა ელემენტარულ უტოლობამდე.

ამ სახის უტოლობის გადასაჭრელად აუცილებელია მისი შემცირება წრფივზე. ეს უნდა გაკეთდეს ასე:

განმარტება 9

• ღია ფრჩხილები;
• შეაგროვეთ ცვლადები მარცხნივ, ხოლო რიცხვები მარჯვნივ;
• მსგავსი პირობების მოტანა;
• ორივე ნაწილი გავყოთ x-ის კოეფიციენტზე.

მაგალითი 9

ამოხსენით უტოლობა 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

გადაწყვეტილება

ვაფართოებთ ფრჩხილებს, შემდეგ მივიღებთ 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 ფორმის უტოლობას. მსგავსი წევრების შემცირების შემდეგ გვაქვს 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . ტერმინების მარცხნიდან მარჯვნივ გადატანის შემდეგ მივიღებთ, რომ 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . მაშასადამე, მას აქვს ფორმის უტოლობა 32 ≤ 0 გაანგარიშებით მიღებული შედეგიდან 0 · x + 32 ≤ 0 . ჩანს, რომ უტოლობა მცდარია, რაც ნიშნავს, რომ პირობით მოცემულ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

უპასუხე: გადაწყვეტილებები არ არის.

აღსანიშნავია, რომ არსებობს მრავალი სხვა სახის უტოლობა, რომელიც შეიძლება შემცირდეს წრფივ ან ზემოთ ნაჩვენები სახის უტოლობამდე. მაგალითად, 5 2 x − 1 ≥ 1 არის ექსპონენციალური განტოლება, რომელიც მცირდება წრფივ ამონახვამდე 2 · x − 1 ≥ 0 . ეს შემთხვევები განიხილება ამ ტიპის უტოლობების ამოხსნისას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter