მათემატიკა 1. საიდან გაჩნდა სიტყვა მათემატიკა 2. ვინ გამოიგონა მათემატიკა? 3. ძირითადი თემები. 4. განმარტება 5. ეტიმოლოგია ბოლო სლაიდზე.
საიდან გაჩნდა სიტყვა (გადადით წინა სლაიდზე) მათემატიკა ბერძნულიდან - შესწავლა, მეცნიერება) არის მეცნიერება სტრუქტურების, წესრიგისა და ურთიერთობების შესახებ, ისტორიულად დაფუძნებული ობიექტების დათვლის, გაზომვისა და აღწერის ოპერაციებზე. მათემატიკური ობიექტები იქმნება რეალური ან სხვა მათემატიკური ობიექტების თვისებების იდეალიზაციით და ამ თვისებების ფორმალურ ენაზე ჩაწერით.
ვინ გამოიგონა მათემატიკა (გადადით მენიუში) პირველ მათემატიკოსს ჩვეულებრივ უწოდებენ თალეს მილეტელს, რომელიც ცხოვრობდა VI საუკუნეში. ძვ.წ ე. , საბერძნეთის შვიდი ბრძენიდან ერთ-ერთი ე.წ. როგორც არ უნდა იყოს, ის იყო პირველი, ვინც დააფუძნა მთელი ცოდნის ბაზა ამ თემაზე, რომელიც დიდი ხანია ჩამოყალიბდა მისთვის ცნობილ სამყაროში. თუმცა, მათემატიკის შესახებ ჩვენამდე მოღწეული პირველი ტრაქტატის ავტორი იყო ევკლიდე (ძვ. წ. III ს.). ისიც დამსახურებულად ჩაითვალა ამ მეცნიერების მამად.
ძირითადი თემები (გადადით მენიუში) მათემატიკის დარგი მოიცავს მხოლოდ იმ მეცნიერებებს, რომლებშიც განიხილება რიგი ან ზომა და საერთოდ არ აქვს მნიშვნელობა ეს არის რიცხვები, ფიგურები, ვარსკვლავები, ბგერები, თუ სხვა რამე, რომელშიც ეს ზომაა. ნაპოვნია. ამრიგად, უნდა არსებობდეს რაიმე ზოგადი მეცნიერება, რომელიც განმარტავს ყველაფერს, რაც ეხება წესრიგსა და ზომას, რაიმე კონკრეტული საგნების შესწავლის გარეშე, და ამ მეცნიერებას უნდა ეწოდოს არა უცხო, არამედ ძველი, უკვე გავრცელებული სახელი ზოგადი მათემატიკის.
განმარტება (გადადით მენიუში) თანამედროვე ანალიზი ეფუძნება კლასიკურ მათემატიკურ ანალიზს, რომელიც განიხილება მათემატიკის სამი ძირითადი მიმართულებიდან ერთ-ერთ (ალგებრასთან და გეომეტრიასთან ერთად). ამავდროულად, ტერმინი „მათემატიკური ანალიზი“ კლასიკური გაგებით ძირითადად გამოიყენება სასწავლო გეგმებსა და მასალებში. ანგლო-ამერიკული ტრადიციის თანახმად, კლასიკური მათემატიკური ანალიზი შეესაბამება კურსების პროგრამებს სახელწოდებით "კალკულუსი".
ეტიმოლოგია (გადადით მენიუში) სიტყვა "მათემატიკა" მომდინარეობს სხვა ბერძნულიდან. , რაც ნიშნავს სწავლას, ცოდნას, მეცნიერებას და ა.შ. -ბერძნული, თავდაპირველად ნიშნავს მიმღებს, წარმატებულს, მოგვიანებით დაკავშირებულს სწავლასთან, მოგვიანებით დაკავშირებულს მათემატიკასთან. კერძოდ, ლათინურად ნიშნავს მათემატიკის ხელოვნებას. ტერმინი სხვა - ბერძნულია. ამ სიტყვის თანამედროვე მნიშვნელობით „მათემატიკა“ უკვე გვხვდება არისტოტელეს ნაშრომებში (ძვ. წ. IV ს.) „რჩეულთა წიგნში მოკლედ ცხრა მუზასა და შვიდ თავისუფალ ხელოვნებაზე“ (1672 წ.)
მათემატიკა, როგორც რაოდენობრივი ურთიერთობებისა და რეალობის სივრცითი ფორმების მეცნიერება, სწავლობს ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროს, ბუნებრივ და სოციალურ მოვლენებს. მაგრამ სხვა მეცნიერებებისგან განსხვავებით, მათემატიკა სწავლობს მათ განსაკუთრებულ თვისებებს, აბსტრაქციას სხვებისგან. ასე რომ, გეომეტრია სწავლობს საგნების ფორმას და ზომას, მათი სხვა თვისებების გათვალისწინების გარეშე: ფერი, მასა, სიმტკიცე და ა.შ. ზოგადად, მათემატიკური საგნები (გეომეტრიული ფიგურა, რიცხვი, ღირებულება) შექმნილია ადამიანის გონების მიერ და არსებობს მხოლოდ ადამიანის აზროვნებაში, მათემატიკურ ენას ქმნიან ნიშნებსა და სიმბოლოებში.
მათემატიკის აბსტრაქტულობა საშუალებას იძლევა გამოიყენოს იგი სხვადასხვა სფეროში, ეს არის ძლიერი ინსტრუმენტი ბუნების გასაგებად.
ცოდნის ფორმები იყოფა ორ ჯგუფად.
პირველი ჯგუფიწარმოადგენს სენსორული შემეცნების ფორმებს, რომლებიც ხორციელდება სხვადასხვა გრძნობის ორგანოების დახმარებით: მხედველობა, სმენა, ყნოსვა, შეხება, გემო.
Co. მეორე ჯგუფიმოიცავს აბსტრაქტული აზროვნების ფორმებს, პირველ რიგში ცნებებს, განცხადებებსა და დასკვნებს.
სენსორული შემეცნების ფორმებია იგრძენი, აღქმადა წარმომადგენლობა.
თითოეულ საგანს აქვს არა ერთი, არამედ მრავალი თვისება და ჩვენ მათ ვიცნობთ შეგრძნებების დახმარებით.
განცდა- ეს არის მატერიალური სამყაროს საგნების ან ფენომენების ინდივიდუალური თვისებების ასახვა, რომლებიც პირდაპირ (ანუ ახლა, მომენტში) გავლენას ახდენს ჩვენს გრძნობებზე. ეს არის ობიექტების წითელი, თბილი, მრგვალი, მწვანე, ტკბილი, გლუვი და სხვა ინდივიდუალური თვისებების შეგრძნებები [Getmanova, გვ. 7].
ინდივიდუალური შეგრძნებებიდან ყალიბდება მთლიანი საგნის აღქმა. მაგალითად, ვაშლის აღქმა შედგება ასეთი შეგრძნებებისგან: სფერული, წითელი, ტკბილი და მჟავე, სურნელოვანი და ა.შ.
Აღქმაარის გარე მატერიალური ობიექტის ჰოლისტიკური ასახვა, რომელიც პირდაპირ მოქმედებს ჩვენს გრძნობებზე [Getmanova, გვ. რვა]. მაგალითად, თეფშის, ჭიქის, კოვზის, სხვა ჭურჭლის გამოსახულება; მდინარის გამოსახულება, თუ ახლა მის გასწვრივ ვცურავთ ან მის ნაპირებზე ვართ; ტყის გამოსახულება, თუ ახლა მოვედით ტყეში და ა.შ.
აღქმები, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი რეალობის სენსორული ანარეკლია ჩვენს გონებაში, დიდწილად დამოკიდებულია ადამიანის გამოცდილებაზე. მაგალითად, ბიოლოგი ერთნაირად აღიქვამს მდელოს (სხვადასხვა სახის მცენარეებს დაინახავს), ტურისტი ან მხატვარი კი სულ სხვანაირად აღიქვამს.
Შესრულება- ეს არის საგნის სენსუალური გამოსახულება, რომელიც ამჟამად არ არის ჩვენ მიერ აღქმული, მაგრამ რომელიც ადრე ჩვენ მიერ ამა თუ იმ ფორმით აღიქმებოდა [Getmanova, გვ. ათი]. მაგალითად, ვიზუალურად შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ნაცნობების სახეები, ჩვენი ოთახი სახლში, არყის ხე ან სოკო. ეს არის მაგალითები რეპროდუცირებაწარმოდგენები, როგორც ვნახეთ ეს ობიექტები.
პრეზენტაცია შეიძლება იყოს შემოქმედებითი, მათ შორის ფანტასტიკური. წარმოგიდგენთ მშვენიერ პრინცესა სვანს, ან ცარ სალტანს, ან ოქროს მამალს და სხვა მრავალ პერსონაჟს ზღაპრებიდან A.S. პუშკინი, რომელიც ჩვენ არასდროს გვინახავს და ვერასდროს ვიხილავთ. ეს არის შემოქმედებითი პრეზენტაციის მაგალითები სიტყვიერ აღწერილობაში. ჩვენ ასევე წარმოვიდგენთ თოვლის ქალწულს, თოვლის ბაბუას, ქალთევზას და ა.შ.
ასე რომ, სენსორული ცოდნის ფორმებია შეგრძნებები, აღქმები და წარმოდგენები. მათი დახმარებით ვსწავლობთ ობიექტის გარე ასპექტებს (მის თვისებებს, მათ შორის თვისებებს).
აბსტრაქტული აზროვნების ფორმებია ცნებები, განცხადებები და დასკვნები.
ცნებები. ცნებების ფარგლები და შინაარსი
ტერმინი „ცნება“ ჩვეულებრივ გამოიყენება თვითნებური ხასიათის ობიექტების მთელი კლასის აღსანიშნავად, რომლებსაც აქვთ გარკვეული დამახასიათებელი (განმასხვავებელი, არსებითი) თვისება ან ასეთი თვისებების მთელი ნაკრები, ე.ი. თვისებები, რომლებიც უნიკალურია ამ კლასის წევრებისთვის.
ლოგიკის თვალსაზრისით, ცნება არის აზროვნების განსაკუთრებული ფორმა, რომელიც ხასიათდება შემდეგით: 1) კონცეფცია არის მაღალ ორგანიზებული მატერიის პროდუქტი; 2) კონცეფცია ასახავს მატერიალურ სამყაროს; 3) კონცეფცია ჩნდება ცნობიერებაში, როგორც განზოგადების საშუალება; 4) ცნება გულისხმობს კონკრეტულად ადამიანის საქმიანობას; 5) კონცეფციის ჩამოყალიბება ადამიანის გონებაში განუყოფელია მისი გამოხატვისგან მეტყველების, წერის ან სიმბოლოების საშუალებით.
როგორ ჩნდება ჩვენს გონებაში რეალობის რომელიმე ობიექტის კონცეფცია?
გარკვეული კონცეფციის ჩამოყალიბების პროცესი ეტაპობრივი პროცესია, რომელშიც რამდენიმე თანმიმდევრული ეტაპები ჩანს. განვიხილოთ ეს პროცესი უმარტივესი მაგალითის გამოყენებით - 3 რიცხვის კონცეფციის ჩამოყალიბება ბავშვებში.
1. შემეცნების პირველ საფეხურზე ბავშვები ეცნობიან სხვადასხვა სპეციფიკურ ნაკრებებს, საგნობრივი ნახატების გამოყენებით და სამი ელემენტის სხვადასხვა ნაკრების ჩვენებით (სამი ვაშლი, სამი წიგნი, სამი ფანქარი და ა.შ.). ბავშვები არა მხოლოდ ხედავენ თითოეულ ამ კომპლექტს, არამედ მათ შეუძლიათ შეეხონ (შეხება) იმ ობიექტებს, რომლებიც ამ კომპლექტებს ქმნიან. „ნახვის“ ეს პროცესი ბავშვის გონებაში ქმნის რეალობის ასახვის განსაკუთრებულ ფორმას, რომელსაც ე.წ. აღქმა (განცდა).
2. მოვაშოროთ თითოეული ნაკრების შემადგენელი საგნები (ობიექტები) და მოვიწვიოთ ბავშვები, რათა დაადგინონ, იყო თუ არა რაიმე საერთო, რომელიც ახასიათებს თითოეულ კომპლექტს. თითოეულ კომპლექტში საგნების რაოდენობა უნდა აღბეჭდილიყო ბავშვების გონებაში, რომ ყველგან "სამი" იყო. თუ ეს ასეა, მაშინ ბავშვების გონებაში ახალი ფორმა შეიქმნა - სამი ნომრის იდეა.
3. შემდეგ ეტაპზე აზროვნების ექსპერიმენტის საფუძველზე ბავშვებმა უნდა დაინახონ, რომ სიტყვა „სამში“ გამოხატული თვისება ახასიათებს ფორმის სხვადასხვა ელემენტების რომელიმე კომპლექტს (ა; ბ; გ). ამრიგად, გამოიყოფა ასეთი ნაკრების ძირითადი საერთო მახასიათებელი: "ჰქონდეს სამი ელემენტი".ახლა შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ბავშვების გონებაში ჩამოყალიბდა 3 რიცხვის კონცეფცია.
შინაარსი- ეს არის აზროვნების განსაკუთრებული ფორმა, რომელიც ასახავს საგნების ან შესწავლის საგნების არსებით (განმასხვავებელ) თვისებებს.
ცნების ენობრივი ფორმა არის სიტყვა ან სიტყვათა ჯგუფი. მაგალითად, "სამკუთხედი", "ნომერი სამი", "წერტილი", "სწორი ხაზი", "ტოლფერდა სამკუთხედი", "მცენარე", "წიწვოვანი ხე", "მდინარე იენიზეი", "მაგიდა" და ა.შ.
მათემატიკური ცნებები აქვს მთელი რიგი მახასიათებლები. მთავარი ის არის, რომ მათემატიკური ობიექტები, რომლებზეც აუცილებელია კონცეფციის ჩამოყალიბება, სინამდვილეში არ არსებობს. მათემატიკური საგნები იქმნება ადამიანის გონებით. ეს არის იდეალური ობიექტები, რომლებიც ასახავს რეალურ ობიექტებს ან ფენომენებს. მაგალითად, გეომეტრიაში სწავლობენ საგნების ფორმასა და ზომას, მათი სხვა თვისებების გათვალისწინების გარეშე: ფერი, მასა, სიმტკიცე და ა.შ. ამ ყველაფრისგან ისინი განადგურდებიან, აბსტრაქტულნი არიან. ამიტომ გეომეტრიაში სიტყვა „ობიექტის“ ნაცვლად ამბობენ „გეომეტრიული ფიგურა“. აბსტრაქციის შედეგია აგრეთვე ისეთი მათემატიკური ცნებები, როგორიცაა „რიცხვი“ და „მნიშვნელობა“.
Ძირითადი მახასიათებლებინებისმიერი ცნებები არისშემდეგი: 1) მოცულობა; 2) შინაარსი; 3) ცნებებს შორის ურთიერთობა.
როდესაც ისინი საუბრობენ მათემატიკური კონცეფციის შესახებ, ისინი ჩვეულებრივ გულისხმობენ საგნების მთელ კომპლექსს (ნაკრებს), რომელიც აღინიშნა ერთი ტერმინით (სიტყვა ან სიტყვათა ჯგუფი). ასე რომ, კვადრატზე საუბრისას, ისინი გულისხმობენ ყველა გეომეტრიულ ფიგურას, რომელიც არის კვადრატი. ითვლება, რომ ყველა კვადრატის სიმრავლე არის "კვადრატის" კონცეფციის ფარგლები.
კონცეფციის ფარგლებიობიექტების ან ობიექტების ერთობლიობას, რომლებზეც ეს კონცეფცია გამოიყენება, ეწოდება.
მაგალითად, 1) „პარალელოგრამის“ ცნების ფარგლები არის ოთხკუთხედების ერთობლიობა, როგორიცაა საკუთარი პარალელოგრამები, რომბები, მართკუთხედები და კვადრატები; 2) „ერთნიშნა ნატურალური რიცხვის“ ცნების ფარგლები იქნება სიმრავლე - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
ნებისმიერ მათემატიკურ ობიექტს აქვს გარკვეული თვისებები. მაგალითად, კვადრატს აქვს ოთხი გვერდი, ოთხი მართი კუთხე დიაგონალების ტოლი, დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით. თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ მისი სხვა თვისებები, მაგრამ ობიექტის თვისებებს შორის არის არსებითი (გამორჩეული)და არაარსებითი.
ქონება ე.წ არსებითი (განმასხვავებელი) ობიექტისთვის, თუ იგი თანდაყოლილია ამ საგანში და მის გარეშე ვერ იარსებებს; ქონებას ეძახიან უმნიშვნელო ობიექტისთვის თუ მას შეუძლია მის გარეშე არსებობა.
მაგალითად, კვადრატისთვის, ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი თვისება აუცილებელია. თვისება „გვერდი AD არის ჰორიზონტალური“ არარელევანტური იქნება ABCD კვადრატისთვის (ნახ. 1). თუ ეს კვადრატი შემოტრიალდება, მაშინ AD მხარე ვერტიკალური იქნება.
განვიხილოთ მაგალითი სკოლამდელი ასაკის ბავშვებისთვის ვიზუალური მასალის გამოყენებით (ნახ. 2):
აღწერეთ ფიგურა.
პატარა შავი სამკუთხედი. ბრინჯი. 2
დიდი თეთრი სამკუთხედი.
როგორ არის ფიგურები მსგავსი?
რით განსხვავდება ფიგურები?
ფერი, ზომა.
რა აქვს სამკუთხედს?
3 გვერდი, 3 კუთხე.
ამრიგად, ბავშვები იგებენ „სამკუთხედის“ ცნების არსებით და არაარსებით თვისებებს. არსებითი თვისებები - "აქვს სამი გვერდი და სამი კუთხე", არაარსებითი თვისებები - ფერი და ზომა.
ამ ცნებაში ასახული საგნის ან საგნის ყველა არსებითი (განმასხვავებელი) თვისების ერთობლიობას ეწოდება კონცეფციის შინაარსი .
მაგალითად, "პარალელოგრამის" კონცეფციისთვის შინაარსი არის თვისებების ერთობლიობა: მას აქვს ოთხი გვერდი, აქვს ოთხი კუთხე, მოპირდაპირე მხარეები წყვილი პარალელურია, მოპირდაპირე მხარეები ტოლია, საპირისპირო კუთხეები ტოლია, დიაგონალები კვეთაზე. ქულები იყოფა ნახევრად.
არსებობს კავშირი ცნების მოცულობასა და მის შინაარსს შორის: თუ ცნების მოცულობა იზრდება, მაშინ მისი შინაარსი მცირდება და პირიქით. ასე, მაგალითად, ცნების „ტოლფერდა სამკუთხედის“ ფარგლები არის ცნების „სამკუთხედის“ ფარგლების ნაწილი, ხოლო ცნების „ტოლფერდა სამკუთხედის“ შინაარსი მოიცავს უფრო მეტ თვისებას, ვიდრე ცნების „სამკუთხედის“ შინაარსი. ტოლფერდა სამკუთხედს აქვს არა მხოლოდ სამკუთხედის ყველა თვისება, არამედ სხვები, რომლებიც თან ახლავს მხოლოდ ტოლფერდა სამკუთხედებს ("ორი გვერდი ტოლია", "ორი კუთხე ტოლია", "ორი მედიანა ტოლია" და ა.შ.).
ცნებები იყოფა მარტოხელა, საერთოდა კატეგორიები.
ცნებას, რომლის მოცულობა 1-ის ტოლია, ეწოდება ერთი კონცეფცია .
მაგალითად, ცნებები: "მდინარე იენიზეი", "ტუვას რესპუბლიკა", "ქალაქი მოსკოვი".
ცნებები, რომელთა მოცულობა 1-ზე მეტია, ეწოდება გენერალი .
მაგალითად, ცნებები: "ქალაქი", "მდინარე", "ოთხკუთხედი", "რიცხვი", "მრავალკუთხედი", "განტოლება".
ნებისმიერი მეცნიერების საფუძვლების შესწავლის პროცესში ბავშვები ზოგადად აყალიბებენ ზოგად ცნებებს. მაგალითად, დაწყებით კლასებში მოსწავლეები ეცნობიან ისეთ ცნებებს, როგორიცაა "რიცხვი", "რიცხვი", "ცალნიშნა რიცხვები", "ორნიშნა რიცხვები", "მრავალნიშნა რიცხვები", "წილადი", "წილი". ", "მიმატება", "ტერმინი", "ჯამობა", "გამოკლება", "გამოკლებული", "შემცირებული", "განსხვავება", "გამრავლება", "გამრავლება", "პროდუქტი", "გაყოფა", "გაყოფა", "გამყოფი", "თანაბარი", "ბურთი, ცილინდრი, კონუსი, კუბი, პარალელეპიპედი, პირამიდა, კუთხე, სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, კვადრატი, ოთხკუთხედი, მრავალკუთხედი, წრე, "წრე", "მრუდი", "პოლიხაზი", "სეგმენტი" , "სეგმენტის სიგრძე", "სხივი", "სწორი ხაზი", "წერტილი", "სიგრძე", "სიგანე", "სიმაღლე", "პერიმეტრი", "ფიგურის ფართობი", "მოცულობა", "დრო", " სიჩქარე“, „მასა“, „ფასი“, „ღირებულება“ და მრავალი სხვა. ყველა ეს კონცეფცია ზოგადი ცნებებია.
ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნეში ალექსანდრიაში გაჩნდა ამავე სახელწოდების წიგნი ევკლიდეს, რუსულ თარგმანში „საწყისები“. ლათინური სახელწოდებიდან "Beginnings" წარმოიშვა ტერმინი "ელემენტარული გეომეტრია". მიუხედავად იმისა, რომ ევკლიდეს წინამორბედების თხზულებანი ჩვენამდე არ მოსულა, ამ თხზულების შესახებ გარკვეული აზრის ჩამოყალიბება შეგვიძლია ევკლიდეს ელემენტებიდან. "საწყისებში" არის სექციები, რომლებიც ლოგიკურად ძალიან ცოტაა დაკავშირებული სხვა განყოფილებებთან. მათი გარეგნობა აიხსნება მხოლოდ იმით, რომ ისინი ტრადიციის მიხედვით შემოიღეს და აკოპირებენ ევკლიდეს წინამორბედების „საწყისებს“.
ევკლიდეს ელემენტები შედგება 13 წიგნისგან. წიგნები 1 - 6 ეძღვნება პლანიმეტრიას, 7 - 10 წიგნები არის არითმეტიკული და შეუდარებელი სიდიდეების შესახებ, რომლებიც შეიძლება აშენდეს კომპასისა და სწორი ხაზის გამოყენებით. წიგნები 11-დან 13-მდე დაეთმო სტერეომეტრიას.
„საწყისები“ იწყება 23 განმარტებისა და 10 აქსიომის პრეზენტაციით. პირველი ხუთი აქსიომა არის "ზოგადი ცნებები", დანარჩენს "პოსტულატები" ეწოდება. პირველი ორი პოსტულატი განსაზღვრავს მოქმედებებს იდეალური მმართველის დახმარებით, მესამე - იდეალური კომპასის დახმარებით. მეოთხე, „ყველა მართი კუთხე ერთმანეთის ტოლია“ ზედმეტია, რადგან მისი დადგენა შესაძლებელია დანარჩენი აქსიომებიდან. ბოლო, მეხუთე პოსტულატში ნათქვამია: „თუ სწორი ხაზი ეცემა ორ სწორ ხაზს და ქმნის შიდა ცალმხრივ კუთხეებს ორზე ნაკლები წრფის ჯამით, მაშინ, ამ ორი სწორი ხაზის შეუზღუდავი გაგრძელებით, ისინი იკვეთება მხარე, სადაც კუთხეები ორ სწორ ხაზზე ნაკლებია."
ევკლიდეს ხუთი „ზოგადი ცნება“ არის სიგრძის, კუთხეების, ფართობების, მოცულობების გაზომვის პრინციპები: „ტოლი ერთი და იგივე ტოლია“, „თუ ტოლებს ემატება ტოლები, ჯამები ერთმანეთის ტოლია“. „თუ ტოლებს აკლებენ ტოლებს, ნაშთები ერთმანეთის ტოლია“, „ერთმანეთთან შერწყმა ერთმანეთის ტოლია“, „მთელი მეტია ნაწილზე“.
შემდეგ გაჩნდა ევკლიდეს გეომეტრიის კრიტიკა. ევკლიდე გააკრიტიკეს სამი მიზეზის გამო: იმის გამო, რომ მან განიხილა მხოლოდ ისეთი გეომეტრიული სიდიდეები, რომლებიც შეიძლება აშენდეს კომპასისა და სტრიქონის გამოყენებით; გეომეტრიისა და არითმეტიკის დაშლისთვის და მთელი რიცხვებისთვის იმის დასამტკიცებლად, რაც მან უკვე დაამტკიცა გეომეტრიული სიდიდეებისთვის და ბოლოს, ევკლიდეს აქსიომებისთვის. მეხუთე პოსტულატი, ევკლიდეს ყველაზე რთული პოსტულატი, ყველაზე მკაცრად გააკრიტიკეს. ბევრი მიიჩნევდა მას ზედმეტად და რომ ეს შეიძლება და უნდა გამოიტანოს სხვა აქსიომებიდან. სხვები თვლიდნენ, რომ ის უნდა შეიცვალოს უფრო მარტივი და ილუსტრაციულით, მისი ექვივალენტურით: „სწორი ხაზის მიღმა არსებული წერტილის გავლით, მათ სიბრტყეში არ შეიძლება იყოს ერთზე მეტი სწორი ხაზის დახატვა, რომელიც არ კვეთს ამ სწორ ხაზს“.
გეომეტრიასა და არითმეტიკას შორის უფსკრულის კრიტიკამ განაპირობა რიცხვის ცნების რეალურ რიცხვზე გაფართოება. მეხუთე პოსტულატის შესახებ კამათმა განაპირობა ის, რომ მე-19 საუკუნის დასაწყისში N.I. Lobachevsky, J. Bolyai და K.F. Gauss ააგეს ახალი გეომეტრია, რომელშიც შესრულდა ევკლიდეს გეომეტრიის ყველა აქსიომა, გარდა მეხუთე პოსტულატისა. იგი შეიცვალა საპირისპირო დებულებით: „სიბრტყეში, რომელიც გადის წრფეს მიღმა, ერთზე მეტი ხაზის დახაზვა შეიძლება, რომელიც არ კვეთს მოცემულს“. ეს გეომეტრია ისეთივე თანმიმდევრული იყო, როგორც ევკლიდეს გეომეტრია.
ობაჩევსკის პლანიმეტრიის მოდელი ევკლიდეს სიბრტყეზე ააგო ფრანგმა მათემატიკოსმა ანრი პუანკარემ 1882 წელს.
დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი ევკლიდეს სიბრტყეზე. ამ წრფეს აბსოლუტური (x) ეწოდება. აბსოლუტის ზემოთ მდებარე ევკლიდეს სიბრტყის წერტილები ლობაჩევსკის სიბრტყის წერტილებია. ლობაჩევსკის თვითმფრინავი არის ღია ნახევრად თვითმფრინავი, რომელიც მდებარეობს აბსოლუტის ზემოთ. პუანკარეს მოდელში არაევკლიდური სეგმენტები არის წრეების რკალი, რომლებიც ორიენტირებულია აბსოლუტურ ან წრფივ სეგმენტებზე პერპენდიკულარულ აბსოლუტურზე (AB, CD). ლობაჩევსკის სიბრტყეზე ფიგურა არის ღია ნახევრად სიბრტყის ფიგურა, რომელიც დევს აბსოლუტურზე (F) ზემოთ. არაევკლიდური მოძრაობა არის ინვერსიების სასრული რაოდენობის შემადგენლობა, რომელიც ორიენტირებულია აბსოლუტურ და ღერძულ სიმეტრიებზე, რომელთა ღერძები პერპენდიკულარულია აბსოლუტურზე. ორი არაევკლიდური სეგმენტი ტოლია, თუ ერთი მათგანი შეიძლება მეორეში გადაითარგმნოს არაევკლიდური მოძრაობით. ეს არის ლობაჩევსკის პლანიმეტრიის აქსიომატიკის ძირითადი ცნებები.
ლობაჩევსკის პლანიმეტრიის ყველა აქსიომა თანმიმდევრულია. „არაევკლიდური წრფე არის ნახევარწრიული ბოლოებით აბსოლუტურზე, ან სხივი, რომლის საწყისია აბსოლუტურზე და პერპენდიკულარულია აბსოლუტურზე“. ამგვარად, ლობაჩევსკის პარალელურობის აქსიომის მტკიცება ეხება არა მხოლოდ ზოგიერთ a წრფეს და A წერტილს, რომლებიც არ დევს ამ წრფეზე, არამედ ნებისმიერ a წრფეზე და ნებისმიერ A წერტილზე, რომელიც არ არის მასზე.
ლობაჩევსკის გეომეტრიის მიღმა წარმოიშვა სხვა თანმიმდევრული გეომეტრიები: ევკლიდესგან გამოყოფილი პროექციული გეომეტრია, განვითარდა მრავალგანზომილებიანი ევკლიდური გეომეტრია, წარმოიშვა რიმანის გეომეტრია (სივრცეების ზოგადი თეორია სიგრძის გაზომვის თვითნებური კანონით) და ა.შ. ევკლიდური სივრცე, გეომეტრია 40-50 წლის განმავლობაში გადაიქცა სხვადასხვა თეორიების ერთობლიობაში, მხოლოდ გარკვეულწილად მსგავსი მისი წინამორბედის - ევკლიდეს გეომეტრიის.
თანამედროვე მათემატიკის ფორმირების ძირითადი ეტაპები. თანამედროვე მათემატიკის სტრუქტურა
აკადემიკოსი A.N. კოლმოგოროვი გამოყოფს მათემატიკის განვითარების ოთხ პერიოდს კოლმოგოროვი ა.ნ. - მათემატიკა, მათემატიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი, მოსკოვი, საბჭოთა ენციკლოპედია, 1988: მათემატიკის დაბადება, ელემენტარული მათემატიკა, ცვლადების მათემატიკა, თანამედროვე მათემატიკა.
ელემენტარული მათემატიკის განვითარების დროს რიცხვების თეორია თანდათან იზრდება არითმეტიკიდან. ალგებრა იქმნება როგორც ლიტერატურული გაანგარიშება. და ძველი ბერძნების მიერ შექმნილი ელემენტარული გეომეტრიის წარმოდგენის სისტემა - ევკლიდეს გეომეტრია - ორი ათასწლეულის განმავლობაში გახდა მათემატიკური თეორიის დედუქციური კონსტრუქციის მოდელი.
მე-17 საუკუნეში საბუნებისმეტყველო მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების მოთხოვნებმა განაპირობა ისეთი მეთოდების შექმნა, რომლებიც მოძრაობის მათემატიკური შესწავლის, რაოდენობების შეცვლის პროცესების და გეომეტრიული ფიგურების გარდაქმნის საშუალებას იძლევა. ანალიტიკურ გეომეტრიაში ცვლადების გამოყენებით და დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების შექმნით იწყება ცვლადების მათემატიკის პერიოდი. მე-17 საუკუნის დიდი აღმოჩენები არის ნიუტონისა და ლაიბნიცის მიერ შემოტანილი უსასრულო სიდიდის კონცეფცია, უსასრულო სიდიდეების ანალიზის საფუძვლების შექმნა (მათემატიკური ანალიზი).
წინა პლანზე მოდის ფუნქციის კონცეფცია. ფუნქცია ხდება შესწავლის მთავარი საგანი. ფუნქციის შესწავლას მივყავართ მათემატიკური ანალიზის ძირითად ცნებებამდე: ლიმიტი, წარმოებული, დიფერენციალური, ინტეგრალი.
ამ დროს ეკუთვნის რ. დეკარტის ბრწყინვალე იდეის გაჩენა კოორდინატების მეთოდზეც. იქმნება ანალიტიკური გეომეტრია, რომელიც გეომეტრიული ობიექტების შესწავლის საშუალებას იძლევა ალგებრისა და ანალიზის მეთოდებით. მეორე მხრივ, კოორდინატთა მეთოდმა გახსნა ალგებრული და ანალიტიკური ფაქტების გეომეტრიული ინტერპრეტაციის შესაძლებლობა.
მათემატიკის შემდგომმა განვითარებამ მე-19 საუკუნის დასაწყისში გამოიწვია რაოდენობრივი ურთიერთობის შესაძლო ტიპებისა და სივრცითი ფორმების საკმაოდ ზოგადი თვალსაზრისით შესწავლის პრობლემის ფორმულირება.
მათემატიკასა და ბუნებისმეტყველებას შორის კავშირი სულ უფრო და უფრო რთული ხდება. ახალი თეორიები წარმოიქმნება და ისინი წარმოიქმნება არა მხოლოდ საბუნებისმეტყველო მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების მოთხოვნების შედეგად, არამედ მათემატიკის შინაგანი მოთხოვნილების შედეგადაც. ასეთი თეორიის ღირსშესანიშნავი მაგალითია N.I. Lobachevsky-ის წარმოსახვითი გეომეტრია. მე-19 და მე-20 საუკუნეებში მათემატიკის განვითარება საშუალებას გვაძლევს მივაწეროთ იგი თანამედროვე მათემატიკის პერიოდს. თავად მათემატიკის განვითარებამ, მეცნიერების სხვადასხვა დარგის მათემატიზაციამ, მათემატიკური მეთოდების შეღწევამ პრაქტიკული საქმიანობის მრავალ სფეროში, კომპიუტერული ტექნოლოგიების პროგრესმა განაპირობა ახალი მათემატიკური დისციპლინების გაჩენა, მაგალითად, ოპერაციების კვლევა, თამაშების თეორია, მათემატიკური ეკონომიკა და სხვა.
მათემატიკური კვლევის ძირითადი მეთოდებია მათემატიკური მტკიცებულებები - მკაცრი ლოგიკური მსჯელობა. მათემატიკური აზროვნება არ შემოიფარგლება მხოლოდ ლოგიკური მსჯელობით. მათემატიკური ინტუიცია აუცილებელია პრობლემის სწორად ჩამოყალიბებისთვის, მისი გადაჭრის მეთოდის არჩევის შესაფასებლად.
მათემატიკაში შეისწავლება ობიექტების მათემატიკური მოდელები. იმავე მათემატიკურ მოდელს შეუძლია აღწეროს რეალური ფენომენების თვისებები, რომლებიც ერთმანეთისგან შორს არიან. ამრიგად, იმავე დიფერენციალურ განტოლებას შეუძლია აღწეროს მოსახლეობის ზრდისა და რადიოაქტიური მასალის დაშლის პროცესები. მათემატიკოსისთვის მნიშვნელოვანია არა განხილული ობიექტების ბუნება, არამედ მათ შორის არსებული ურთიერთობები.
მათემატიკაში მსჯელობის ორი ტიპი არსებობს: დედუქცია და ინდუქცია.
ინდუქცია არის კვლევის მეთოდი, რომლის დროსაც ზოგადი დასკვნა აგებულია კონკრეტული უბნების საფუძველზე.
დედუქცია არის მსჯელობის მეთოდი, რომლის საშუალებითაც კონკრეტული ხასიათის დასკვნა გამომდინარეობს ზოგადი დებულებიდან.
მათემატიკა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს საბუნებისმეტყველო, საინჟინრო და ჰუმანიტარულ კვლევებში. მათემატიკის შეღწევის მიზეზი ცოდნის სხვადასხვა დარგებში არის ის, რომ იგი გვთავაზობს ძალიან მკაფიო მოდელებს გარემომცველი რეალობის შესასწავლად, განსხვავებით სხვა მეცნიერებების მიერ შემოთავაზებული ნაკლებად ზოგადი და უფრო ბუნდოვანი მოდელებისგან. თანამედროვე მათემატიკის გარეშე, მისი განვითარებული ლოგიკური და გამოთვლითი აპარატით, შეუძლებელი იქნებოდა პროგრესი ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში.
მათემატიკა არა მხოლოდ მძლავრი იარაღია გამოყენებითი პრობლემების გადასაჭრელად და მეცნიერების უნივერსალური ენა, არამედ საერთო კულტურის ელემენტია.
მათემატიკური აზროვნების ძირითადი მახასიათებლები
ამ საკითხთან დაკავშირებით განსაკუთრებით საინტერესოა ა.ია.ხინჩინის მიერ მოცემული მათემატიკური აზროვნების მახასიათებელი, უფრო სწორად, მისი სპეციფიკური ისტორიული ფორმა - მათემატიკური აზროვნების სტილი. გამოავლენს მათემატიკური აზროვნების სტილის არსს, ის გამოყოფს ყველა ეპოქისთვის საერთო ოთხ მახასიათებელს, რომლებიც შესამჩნევად განასხვავებს ამ სტილს სხვა მეცნიერებების აზროვნების სტილებისაგან.
პირველ რიგში, მათემატიკოსს ახასიათებს ზღვარამდე მიყვანილი მსჯელობის ლოგიკური სქემის დომინირება. მათემატიკოსი, რომელიც კარგავს ამ სქემას, დროებით მაინც, საერთოდ კარგავს მეცნიერულად აზროვნების უნარს. მათემატიკური აზროვნების სტილის ამ თავისებურ მახასიათებელს თავისთავად დიდი მნიშვნელობა აქვს. ცხადია, ის მაქსიმალურ საშუალებას გაძლევთ თვალყური ადევნოთ აზროვნების ნაკადის სისწორეს და გარანტიებს შეცდომებისგან; მეორეს მხრივ, იგი აიძულებს მოაზროვნეს თვალწინ ჰქონდეს ანალიზის დროს არსებული შესაძლებლობების მთლიანობა და ავალდებულებს, რომ გაითვალისწინოს თითოეული მათგანი ერთის გამოტოვების გარეშე (ასეთი გამოტოვება სავსებით შესაძლებელია და, ფაქტობრივად, ხშირად შეინიშნება. აზროვნების სხვა სტილში).
მეორეც, ლაკონურობა, ე.ი. შეგნებული სურვილი ყოველთვის იპოვოთ უმოკლესი ლოგიკური გზა, რომელიც მიდის მოცემულ მიზნამდე, უმოწყალო უარყოფა ყველაფრისა, რაც აბსოლუტურად აუცილებელია არგუმენტის უნაკლო მართებულობისთვის. კარგი სტილის მათემატიკური ნარკვევი, არ მოითმენს არანაირ „წყალს“, არც გალამაზებას, ასუსტებს ლოგიკური დაძაბულობის რყევას, ყურადღების გადატანას გვერდით; უკიდურესი სიძუნწე, აზროვნების მკაცრი სიმკაცრე და მისი პრეზენტაცია მათემატიკური აზროვნების განუყოფელი თვისებაა. ამ თვისებას დიდი მნიშვნელობა აქვს არა მხოლოდ მათემატიკური, არამედ ნებისმიერი სხვა სერიოზული მსჯელობისთვის. ლაკონიზმი, სურვილი არ დაუშვას რაიმე ზედმეტი, ეხმარება როგორც მოაზროვნეს, ასევე მის მკითხველს თუ მსმენელს, სრულად კონცენტრირდნენ მოცემულ აზროვნებაზე, მეორადი იდეებით ყურადღების გადატანის გარეშე და მსჯელობის მთავარ ხაზთან პირდაპირი კონტაქტის დაკარგვის გარეშე.
მეცნიერების კორიფეები, როგორც წესი, აზროვნებენ და გამოხატავენ ლაკონურად ცოდნის ყველა სფეროში, მაშინაც კი, როცა მათი აზროვნება ქმნის და აყალიბებს ფუნდამენტურად ახალ იდეებს. რა დიდებული შთაბეჭდილებაა, მაგალითად, ფიზიკის უდიდესი შემქმნელების: ნიუტონის, აინშტაინის, ნილს ბორის აზროვნებისა და მეტყველების კეთილშობილური სიძუნწე! ალბათ, ძნელია იპოვოთ უფრო ნათელი მაგალითი იმისა, თუ რა ღრმა გავლენა შეიძლება მოახდინოს მისი შემქმნელების აზროვნების სტილმა მეცნიერების განვითარებაზე.
მათემატიკისთვის აზროვნების ლაკონურობა უდავო კანონია, რომელიც საუკუნეების განმავლობაში კანონიზირებულია. ნებისმიერი მცდელობა დატვირთოს პრეზენტაცია სულაც არ არის აუცილებელი (თუნდაც მსმენელისთვის სასიამოვნო და მომხიბვლელი) სურათებით, ყურადღების გაფანტვით, ორატორობით წინასწარ არის ლეგიტიმური ეჭვი და ავტომატურად იწვევს კრიტიკულ სიფხიზლეს.
მესამე, მსჯელობის კურსის მკაფიო გაკვეთა. თუ, მაგალითად, წინადადების დამტკიცებისას უნდა გავითვალისწინოთ ოთხი შესაძლო შემთხვევა, რომელთაგან თითოეული შეიძლება დაიყოს ამა თუ იმ რაოდენობის ქვეშემთხვევად, მაშინ მსჯელობის ყოველ მომენტში მათემატიკოსმა ნათლად უნდა ახსოვდეს რომელ შემთხვევაში და ქვეშემთხვევაში. ფიქრი ახლა შეძენილია და რომელი შემთხვევები და ქვესაქმეები ჯერ კიდევ უნდა განიხილოს. ნებისმიერი სახის განშტოებული ჩამოთვლებით, მათემატიკოსმა ყოველ წუთს უნდა იცოდეს, თუ რომელი ზოგადი კონცეფციისთვის ჩამოთვლის სახეობების ცნებებს, რომლებიც მას ქმნიან. ჩვეულებრივ, არამეცნიერულ აზროვნებაში ძალიან ხშირად ვაკვირდებით ასეთ შემთხვევებში დაბნეულობას და ხტუნვას, რაც იწვევს დაბნეულობას და მსჯელობაში შეცდომებს. ხშირად ხდება, რომ ადამიანი იწყებს ერთი გვარის სახეობების ჩამოთვლას, შემდეგ კი მსმენელებისთვის (და ხშირად საკუთარი თავისთვის) შეუმჩნევლად, მსჯელობის არასაკმარისი ლოგიკური განსხვავებულობის გამოყენებით, გადახტება სხვა გვარში და ამთავრებს იმ განცხადებით, რომ ორივე გვარი ახლა კლასიფიცირებულია; და მსმენელებმა თუ მკითხველებმა არ იციან სად გადის საზღვარი პირველი და მეორე სახის სახეობებს შორის.
იმისათვის, რომ ასეთი დაბნეულობა და ნახტომი შეუძლებელი ყოფილიყო, მათემატიკოსები დიდი ხანია ფართოდ იყენებდნენ ცნებებისა და განსჯის ნუმერაციის მარტივ გარე მეთოდებს, რომლებიც ზოგჯერ (მაგრამ გაცილებით ნაკლებად ხშირად) გამოიყენება სხვა მეცნიერებებში. ის შესაძლო შემთხვევები ან ის ზოგადი ცნებები, რომლებიც გასათვალისწინებელია ამ მსჯელობაში, წინასწარ არის გადანომრილი; ყოველი ასეთი შემთხვევის ფარგლებში, ის ქვესაქმეები, რომლებიც უნდა ჩაითვალოს, რომ შეიცავს, ასევე გადანომრილია (ზოგჯერ, განსხვავებისთვის, ნუმერაციის სხვა სისტემის გამოყენებით). ყოველი აბზაცის წინ, სადაც იწყება ახალი ქვესაქმის განხილვა, იდება ამ ქვესაქმისთვის მიღებული აღნიშვნა (მაგალითად: II 3 - ეს ნიშნავს, რომ აქ იწყება მეორე შემთხვევის მესამე ქვესაქმის განხილვა, ან მესამეს აღწერა. მეორე სახის ტიპი, თუ ვსაუბრობთ კლასიფიკაციაზე). მკითხველმა კი იცის, რომ სანამ არ წააწყდება ახალ ციფრულ რუბრიკას, ყველაფერი რაც წარმოდგენილია ეხება მხოლოდ ამ შემთხვევას და ქვეშედეგს. ცხადია, რომ ასეთი ნუმერაცია არის მხოლოდ გარეგანი მოწყობილობა, ძალიან სასარგებლო, მაგრამ არავითარ შემთხვევაში სავალდებულო, და რომ საკითხის არსი მდგომარეობს არა მასში, არამედ არგუმენტაციის ან კლასიფიკაციის მკაფიო დაყოფაში, რომელსაც იგი ასტიმულირებს და აღნიშნავს. თავისით.
მეოთხე, სიმბოლოების, ფორმულების, განტოლებების სკრუპულოზური სიზუსტე. ანუ, „თითოეულ მათემატიკურ სიმბოლოს აქვს მკაცრად განსაზღვრული მნიშვნელობა: მისი სხვა სიმბოლოთი ჩანაცვლება ან სხვა ადგილას გადაკეთება, როგორც წესი, იწვევს ამ განცხადების მნიშვნელობის დამახინჯებას და ზოგჯერ სრულ განადგურებას“.
მათემატიკური აზროვნების სტილის ძირითადი მახასიათებლების გამოყოფის შემდეგ, ა.ია. ხინჩინი აღნიშნავს, რომ მათემატიკა (განსაკუთრებით ცვლადების მათემატიკა) თავისი ბუნებით აქვს დიალექტიკური ხასიათი და, შესაბამისად, ხელს უწყობს დიალექტიკური აზროვნების განვითარებას. მართლაც, მათემატიკური აზროვნების პროცესში ხდება ვიზუალური (კონკრეტული) და კონცეპტუალური (აბსტრაქტული) ურთიერთქმედება. ”ჩვენ არ შეგვიძლია ვიფიქროთ ხაზებზე,” წერდა კანტი, ”მისი გონებრივად დახატვის გარეშე, ჩვენ არ შეგვიძლია ვიფიქროთ სამ განზომილებაზე, ერთი წერტილიდან ერთმანეთის მიმართ პერპენდიკულარული სამი ხაზის დახატვის გარეშე.”
კონკრეტული და აბსტრაქტული მათემატიკური აზროვნების ურთიერთქმედებამ ახალი და ახალი ცნებებისა და ფილოსოფიური კატეგორიების განვითარებამდე მიიყვანა. ძველ მათემატიკაში (მუდმივთა მათემატიკაში) ეს იყო "რიცხვი" და "სივრცე", რომლებიც თავდაპირველად აისახა არითმეტიკასა და ევკლიდეს გეომეტრიაში, მოგვიანებით კი ალგებრასა და სხვადასხვა გეომეტრიულ სისტემებში. ცვლადების მათემატიკა „დაფუძნებული იყო“ ცნებებზე, რომლებიც ასახავდა მატერიის მოძრაობას - „სასრული“, „უსასრულო“, „განგრძობა“, „დისკრეტული“, „უსასრულოდ მცირე“, „წარმოებული“ და ა.შ.
თუ ვსაუბრობთ მათემატიკური ცოდნის განვითარების ამჟამინდელ ისტორიულ ეტაპზე, მაშინ ეს ფილოსოფიური კატეგორიების შემდგომ განვითარებას შეესაბამება: ალბათობის თეორია „ითვისებს“ შესაძლებლისა და შემთხვევითობის კატეგორიებს; ტოპოლოგია - მიმართების და უწყვეტობის კატეგორიები; კატასტროფის თეორია - ნახტომის კატეგორია; ჯგუფის თეორია - სიმეტრიისა და ჰარმონიის კატეგორიები და ა.შ.
მათემატიკური აზროვნებისას გამოიხატება ფორმის მსგავსი ლოგიკური კავშირების აგების ძირითადი ნიმუშები. მისი დახმარებით ხდება სინგულარულიდან (ვთქვათ, გარკვეული მათემატიკური მეთოდებიდან - აქსიომური, ალგორითმული, კონსტრუქციული, სიმრავლე-თეორიული და სხვა) გადასვლა სპეციალურზე და ზოგადზე, განზოგადებულ დედუქციურ კონსტრუქციებზე. მეთოდებისა და მათემატიკის საგნის ერთიანობა განსაზღვრავს მათემატიკური აზროვნების სპეციფიკას, საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ სპეციალურ მათემატიკურ ენაზე, რომელიც არა მხოლოდ ასახავს რეალობას, არამედ ასინთეზებს, აზოგადებს და პროგნოზირებს სამეცნიერო ცოდნას. მათემატიკური აზროვნების ძალა და სილამაზე მდგომარეობს მისი ლოგიკის უაღრესად სიცხადეში, კონსტრუქციების ელეგანტურობაში და აბსტრაქციების ოსტატურად აგებულებაში.
გონებრივი აქტივობის ფუნდამენტურად ახალი შესაძლებლობები გაიხსნა კომპიუტერის გამოგონებით, მანქანების მათემატიკის შექმნით. მნიშვნელოვანი ცვლილებები მოხდა მათემატიკის ენაში. თუ კლასიკური გამოთვლითი მათემატიკის ენა შედგებოდა ალგებრის, გეომეტრიისა და ანალიზის ფორმულებისაგან, რომლებიც ორიენტირებულია ბუნების უწყვეტი პროცესების აღწერაზე, ძირითადად სწავლობდა მექანიკაში, ასტრონომიაში, ფიზიკაში, მაშინ მისი თანამედროვე ენა არის ალგორითმებისა და პროგრამების ენა, მათ შორის. ფორმულების ძველი ენა, როგორც კონკრეტული შემთხვევა.
თანამედროვე გამოთვლითი მათემატიკის ენა სულ უფრო და უფრო უნივერსალური ხდება, მას შეუძლია რთული (მრავალპარამეტრული) სისტემების აღწერა. ამავე დროს, მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ რაც არ უნდა სრულყოფილი იყოს მათემატიკური ენა, რომელიც გაუმჯობესებულია ელექტრონული გამოთვლითი ტექნოლოგიით, ის არ წყვეტს კავშირს მრავალფეროვან „ცოცხალ“, ბუნებრივ ენასთან. უფრო მეტიც, სალაპარაკო ენა ხელოვნური ენის საფუძველია. ამ მხრივ საინტერესოა მეცნიერთა ბოლო აღმოჩენა. საქმე ისაა, რომ აიმარა ინდიელების უძველესი ენა, რომელზეც ბოლივიასა და პერუში დაახლოებით 2,5 მილიონი ადამიანი საუბრობს, კომპიუტერული ტექნოლოგიებისთვის უაღრესად მოსახერხებელი აღმოჩნდა. ჯერ კიდევ 1610 წელს იტალიელმა იეზუიტმა მისიონერმა ლუდოვიკო ბერტონიმ, რომელმაც შეადგინა პირველი აიმარას ლექსიკონი, აღნიშნა მისი შემქმნელების გენიალურობა, რომლებმაც მიაღწიეს მაღალ ლოგიკურ სიწმინდეს. აიმარაში, მაგალითად, არ არსებობს არარეგულარული ზმნები და გამონაკლისი რამდენიმე მკაფიო გრამატიკული წესიდან. აიმარას ენის ამ მახასიათებლებმა საშუალება მისცა ბოლივიელ მათემატიკოსს ივან გუზმან დე როხასს შეექმნა პროგრამაში შემავალი ხუთი ევროპული ენიდან რომელიმე ხუთი ევროპული ენიდან ერთდროული კომპიუტერული თარგმანის სისტემა, რომელთა შორის არის "ხიდი" აიმარას ენა. ბოლივიელი მეცნიერის მიერ შექმნილი კომპიუტერი „აიმარა“ სპეციალისტების დიდი მოწონება დაიმსახურა. აზროვნების მათემატიკური სტილის არსის შესახებ კითხვის ამ ნაწილის შეჯამებით, უნდა აღინიშნოს, რომ მისი ძირითადი შინაარსი ბუნების გაგებაა.
აქსიომური მეთოდი
აქსიომატიკა არის თეორიის აგების მთავარი გზა, უძველესი დროიდან დღემდე, რაც ადასტურებს მის უნივერსალურობას და ყოველგვარ გამოყენებადობას.
მათემატიკური თეორიის აგება ემყარება აქსიომატიურ მეთოდს. მეცნიერული თეორია ემყარება ზოგიერთ თავდაპირველ დებულებას, რომელსაც ეწოდება აქსიომები, ხოლო თეორიის ყველა სხვა დებულება მიიღება აქსიომების ლოგიკური შედეგებით.
აქსიომური მეთოდი გაჩნდა ძველ საბერძნეთში და ამჟამად გამოიყენება თითქმის ყველა თეორიულ მეცნიერებაში და, უპირველეს ყოვლისა, მათემატიკაში.
სამი, გარკვეული თვალსაზრისით, დამატებითი გეომეტრიის შედარებისას: ევკლიდეს (პარაბოლური), ლობაჩევსკის (ჰიპერბოლური) და რიმანის (ელიფსური), უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთ მსგავსებასთან ერთად, დიდი განსხვავებაა სფერულ გეომეტრიას შორის, ერთის მხრივ. მხრივ, ხოლო ევკლიდესა და ლობაჩევსკის გეომეტრიები - მეორეს მხრივ.
ფუნდამენტური განსხვავება თანამედროვე გეომეტრიას შორის არის ის, რომ ის ახლა მოიცავს უსასრულო რაოდენობის სხვადასხვა წარმოსახვითი სივრცის „გეომეტრიას“. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა ეს გეომეტრია არის ევკლიდეს გეომეტრიის ინტერპრეტაცია და ეფუძნება აქსიომატიურ მეთოდს, რომელიც პირველად გამოიყენა ევკლიდესმა.
კვლევის საფუძველზე შემუშავდა და ფართოდ გამოიყენება აქსიომური მეთოდი. ამ მეთოდის გამოყენების განსაკუთრებულ შემთხვევად არის სტერეომეტრიაში კვალის მეთოდი, რომელიც საშუალებას იძლევა გადაჭრას ამოცანები პოლიედრებში მონაკვეთების აგებაზე და სხვა პოზიციური ამოცანების შესახებ.
აქსიომური მეთოდი, რომელიც პირველად განვითარდა გეომეტრიაში, ახლა გახდა მათემატიკის, ფიზიკისა და მექანიკის სხვა დარგების შესწავლის მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტი. ამჟამად მიმდინარეობს მუშაობა თეორიის აგების აქსიომატური მეთოდის დახვეწასა და უფრო ღრმად შესწავლაზე.
მეცნიერული თეორიის აგების აქსიომატური მეთოდი შედგება ძირითადი ცნებების ხაზგასმა, თეორიების აქსიომების ფორმულირება და ყველა სხვა დებულება მიღებულია ლოგიკური გზით, მათზე დაყრდნობით. ცნობილია, რომ ერთი ცნება უნდა აიხსნას სხვების დახმარებით, რომლებიც, თავის მხრივ, ასევე განისაზღვრება ზოგიერთი ცნობილი ცნების დახმარებით. ამრიგად, ჩვენ მივდივართ ელემენტარულ ცნებებამდე, რომლებიც არ შეიძლება განისაზღვროს სხვების თვალსაზრისით. ამ ცნებებს ძირითადი ეწოდება.
როდესაც ვამტკიცებთ დებულებას, თეორემას, ჩვენ ვეყრდნობით წინაპირობებს, რომლებიც უკვე დადასტურებულად ითვლება. მაგრამ ეს წინაპირობაც დადასტურდა, დასაბუთებული უნდა ყოფილიყო. საბოლოოდ მივდივართ დაუმტკიცებელ განცხადებებამდე და ვიღებთ მათ მტკიცების გარეშე. ამ განცხადებებს აქსიომები ეწოდება. აქსიომების ნაკრები ისეთი უნდა იყოს, რომ მასზე დაყრდნობით შემდგომი განცხადებების დამტკიცება მოხდეს.
გამოვყოთ ძირითადი ცნებები და ჩამოვაყალიბეთ აქსიომები, შემდეგ ლოგიკურად გამოვიყვანთ თეორემებსა და სხვა ცნებებს. ეს არის გეომეტრიის ლოგიკური სტრუქტურა. აქსიომები და ძირითადი ცნებები ქმნიან პლანიმეტრიის საფუძვლებს.
ვინაიდან შეუძლებელია ყველა გეომეტრიის ძირითადი ცნებების ერთიანი განმარტების მიცემა, გეომეტრიის ძირითადი ცნებები უნდა განისაზღვროს, როგორც ნებისმიერი ბუნების ობიექტები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ გეომეტრიის აქსიომებს. ამრიგად, გეომეტრიული სისტემის აქსიომატური აგებისას ჩვენ ვიწყებთ აქსიომების გარკვეული სისტემიდან, ანუ აქსიომატიკიდან. ეს აქსიომები აღწერს გეომეტრიული სისტემის ძირითადი ცნებების თვისებებს და ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ძირითადი ცნებები ნებისმიერი ბუნების ობიექტების სახით, რომლებსაც აქვთ აქსიომებში მითითებული თვისებები.
პირველი გეომეტრიული დებულებების ჩამოყალიბებისა და დამტკიცების შემდეგ შესაძლებელი ხდება ზოგიერთი დებულების (თეორემების) დამტკიცება სხვების დახმარებით. მრავალი თეორემის მტკიცებულება მიეწერება პითაგორას და დემოკრიტეს.
ჰიპოკრატე ქიოსელს მიეწერება გეომეტრიის პირველი სისტემატური კურსის შედგენა განმარტებებისა და აქსიომების საფუძველზე. ამ კურსს და მის შემდგომ დამუშავებებს ეწოდა „ელემენტები“.
მეცნიერული თეორიის აგების აქსიომატური მეთოდი
მეცნიერების აგების დედუქციური ან აქსიომური მეთოდის შექმნა მათემატიკური აზროვნების ერთ-ერთი უდიდესი მიღწევაა. ეს მოითხოვდა მეცნიერთა მრავალი თაობის მუშაობას.
წარმოდგენის დედუქციური სისტემის ღირსშესანიშნავი თვისებაა ამ კონსტრუქციის სიმარტივე, რაც შესაძლებელს ხდის მის აღწერას რამდენიმე სიტყვით.
წარმოდგენის დედუქციური სისტემა მცირდება:
1) ძირითადი ცნებების ჩამონათვალში,
2) განმარტებების წარდგენამდე,
3) აქსიომების პრეზენტაციამდე,
4) თეორემების პრეზენტაციამდე,
5) ამ თეორემების დასამტკიცებლად.
აქსიომა არის განცხადება, რომელიც მიღებულია მტკიცებულების გარეშე.
თეორემა არის დებულება, რომელიც გამომდინარეობს აქსიომებიდან.
მტკიცებულება დედუქციური სისტემის განუყოფელი ნაწილია, ეს არის მსჯელობა, რომელიც აჩვენებს, რომ განცხადების ჭეშმარიტება ლოგიკურად გამომდინარეობს წინა თეორემებისა თუ აქსიომების ჭეშმარიტებიდან.
დედუქციურ სისტემაში ორი საკითხის გადაჭრა შეუძლებელია: 1) ძირითადი ცნებების მნიშვნელობის შესახებ, 2) აქსიომების ჭეშმარიტების შესახებ. მაგრამ ეს არ ნიშნავს იმას, რომ ეს კითხვები ზოგადად გადაუჭრელია.
საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ისტორია გვიჩვენებს, რომ კონკრეტული მეცნიერების აქსიომატური აგების შესაძლებლობა ჩნდება მხოლოდ ამ მეცნიერების განვითარების საკმაოდ მაღალ დონეზე, დიდი რაოდენობით ფაქტობრივი მასალის საფუძველზე, რაც შესაძლებელს ხდის მკაფიოდ იდენტიფიცირდეს ძირითადი კავშირები და მიმართებები, რომლებიც არსებობს ამ მეცნიერების მიერ შესწავლილ ობიექტებს შორის.
მათემატიკური მეცნიერების აქსიომატური კონსტრუქციის მაგალითია ელემენტარული გეომეტრია. გეომეტრიის აქსიომათა სისტემა განმარტა ევკლიდემ (დაახლოებით ძვ. წ. 300 წ.) ნაშრომში „საწყისები“ თავისი მნიშვნელობით შეუდარებელი. ეს სისტემა დიდწილად დღემდე შემორჩა.
ძირითადი ცნებები: წერტილი, წრფე, სიბრტყე ძირითადი გამოსახულებები; შორის მოტყუება, კუთვნილება, მოძრაობა.
ელემენტარულ გეომეტრიას აქვს 13 აქსიომა, რომლებიც იყოფა ხუთ ჯგუფად. მეხუთე ჯგუფში არის ერთი აქსიომა პარალელების შესახებ (ევკლიდეს V პოსტულატი): სიბრტყის წერტილის გავლით მხოლოდ ერთი სწორი ხაზის გაყვანა შეიძლება, რომელიც არ კვეთს ამ სწორ ხაზს. ეს არის ერთადერთი აქსიომა, რომელმაც მტკიცების საჭიროება გამოიწვია. მეხუთე პოსტულატის დამტკიცების მცდელობები მათემატიკოსებს 2 ათასწლეულზე მეტი ხნის განმავლობაში, მე-19 საუკუნის პირველ ნახევრამდე ეკავა, ე.ი. იმ მომენტამდე, სანამ ნიკოლაი ივანოვიჩ ლობაჩევსკიმ თავის ნაშრომებში დაამტკიცა ამ მცდელობების სრული უიმედობა. ამჟამად, მეხუთე პოსტულატის დაუმტკიცებლობა მკაცრად დადასტურებული მათემატიკური ფაქტია.
აქსიომა პარალელური N.I. ლობაჩევსკიმ შეცვალა აქსიომა: მოცემულ სიბრტყეში იყოს მოცემული სწორი ხაზი და წრფის გარეთ მდებარე წერტილი. ამ წერტილის მეშვეობით, მოცემულ წრფესთან შესაძლებელია მინიმუმ ორი პარალელური ხაზის დახატვა.
აქსიომების ახალი სისტემიდან N.I. ლობაჩევსკიმ, უნაკლო ლოგიკური სიმკაცრით, გამოიტანა თეორემების თანმიმდევრული სისტემა, რომელიც წარმოადგენს არაევკლიდეს გეომეტრიის შინაარსს. ევკლიდესა და ლობაჩევსკის ორივე გეომეტრია ტოლია როგორც ლოგიკური სისტემები.
მე-19 საუკუნეში სამი დიდი მათემატიკოსი, თითქმის ერთდროულად, ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად, მივიდა მეხუთე პოსტულატის დაუმტკიცებლობისა და არაევკლიდური გეომეტრიის შექმნის ერთსა და იმავე შედეგებამდე.
ნიკოლაი ივანოვიჩ ლობაჩევსკი (1792-1856)
კარლ ფრიდრიხ გაუსი (1777-1855)
იანოშ ბოლაი (1802-1860)
მათემატიკური მტკიცებულება
მათემატიკური კვლევის მთავარი მეთოდი არის მათემატიკური მტკიცებულება - მკაცრი ლოგიკური მსჯელობა. ობიექტური აუცილებლობის გამო, აღნიშნავს რუსეთის მეცნიერებათა აკადემიის წევრ-კორესპონდენტი ლ.დ.კუდრიავცევი კუდრიავცევი ლ.დ. - თანამედროვე მათემატიკა და მისი სწავლება, მოსკოვი, ნაუკა, 1985, ლოგიკური მსჯელობა (რომელიც თავისი ბუნებით, თუ სწორია, ასევე მკაცრია) მათემატიკის მეთოდია, მათემატიკა მათ გარეშე წარმოუდგენელია. უნდა აღინიშნოს, რომ მათემატიკური აზროვნება არ შემოიფარგლება მხოლოდ ლოგიკური მსჯელობით. პრობლემის სწორი ფორმულირებისთვის, მისი მონაცემების შესაფასებლად, მათგან მნიშვნელოვანის შერჩევისა და მისი გადაჭრის მეთოდის არჩევისთვის აუცილებელია მათემატიკური ინტუიცია, რაც შესაძლებელს ხდის სასურველი შედეგის წინასწარ განჭვრეტას. მიღებულია, დასაჯერებელი მსჯელობით კვლევის გზის გამოკვეთა. მაგრამ განსახილველი ფაქტის მართებულობა დასტურდება არა მისი რამდენიმე მაგალითის შემოწმებით, არა რიგი ექსპერიმენტების ჩატარებით (რაც თავისთავად დიდ როლს თამაშობს მათემატიკურ კვლევაში), არამედ წმინდა ლოგიკური გზით, შესაბამისად. ფორმალური ლოგიკის კანონები.
ითვლება, რომ მათემატიკური მტკიცებულება არის საბოლოო ჭეშმარიტება. გადაწყვეტილება, რომელიც დაფუძნებულია წმინდა ლოგიკაზე, უბრალოდ არ შეიძლება იყოს არასწორი. მაგრამ მეცნიერების განვითარებასთან ერთად და მათემატიკოსების წინაშე არსებული ამოცანები უფრო და უფრო რთულდება.
„ჩვენ შევედით ეპოქაში, როდესაც მათემატიკური აპარატურა იმდენად რთული და შრომატევადი გახდა, რომ ერთი შეხედვით უკვე შეუძლებელია იმის თქმა, არის თუ არა არსებული პრობლემა“, - თვლის კეიტ დევლინი სტენფორდის უნივერსიტეტიდან, კალიფორნია, აშშ. მას მაგალითად მოჰყავს „მარტივი სასრულ ჯგუფების კლასიფიკაცია“, რომელიც ჩამოყალიბდა ჯერ კიდევ 1980 წელს, მაგრამ სრული ზუსტი მტკიცებულება ჯერ არ არის მოწოდებული. სავარაუდოდ, თეორემა მართალია, მაგრამ ამის შესახებ დარწმუნებით თქმა შეუძლებელია.
კომპიუტერულ გადაწყვეტას არ შეიძლება ეწოდოს ზუსტი, რადგან ასეთ გამოთვლებს ყოველთვის აქვს შეცდომა. 1998 წელს ჰეილსმა შესთავაზა კეპლერის თეორემის კომპიუტერის დახმარებით გადაწყვეტა, რომელიც ჩამოყალიბდა ჯერ კიდევ 1611 წელს. ეს თეორემა აღწერს ბურთების ყველაზე მჭიდრო შეფუთვას სივრცეში. მტკიცებულება წარმოდგენილი იყო 300 გვერდზე და შეიცავდა 40000 სტრიქონს მანქანის კოდს. 12 მიმომხილველი ამოწმებდა გამოსავალს ერთი წლის განმავლობაში, მაგრამ მათ ვერ მიაღწიეს 100%-იან ნდობას დადასტურების სისწორეში და კვლევა გაიგზავნა გადასინჯვისთვის. შედეგად, იგი გამოქვეყნდა მხოლოდ ოთხი წლის შემდეგ და რეცენზენტების სრული სერტიფიცირების გარეშე.
გამოყენებული პრობლემების ყველა უახლესი გამოთვლა კეთდება კომპიუტერზე, მაგრამ მეცნიერები თვლიან, რომ მეტი საიმედოობისთვის, მათემატიკური გამოთვლები შეცდომების გარეშე უნდა იყოს წარმოდგენილი.
მტკიცების თეორია განვითარებულია ლოგიკაში და მოიცავს სამ სტრუქტურულ კომპონენტს: დისერტაციას (რაც უნდა დადასტურდეს), არგუმენტებს (ფაქტების ერთობლიობა, საყოველთაოდ მიღებული ცნებები, კანონები და ა.შ. შესაბამისი მეცნიერების) და დემონსტრირება (პროცედურა თავად მტკიცებულების გამოყენება; დასკვნების თანმიმდევრული ჯაჭვი, როდესაც n-ე დასკვნა ხდება n+1 დასკვნის ერთ-ერთი წინაპირობა). გამოიყოფა მტკიცების წესები, მითითებულია შესაძლო ლოგიკური შეცდომები.
მათემატიკურ მტკიცებულებას ბევრი საერთო აქვს ფორმალური ლოგიკით დადგენილ პრინციპებთან. უფრო მეტიც, მსჯელობისა და მოქმედებების მათემატიკური წესები აშკარად ემსახურებოდა ლოგიკაში მტკიცების პროცედურის შემუშავების ერთ-ერთ საფუძველს. კერძოდ, ფორმალური ლოგიკის ფორმირების ისტორიის მკვლევარები თვლიან, რომ ერთ დროს, როდესაც არისტოტელემ პირველი ნაბიჯები გადადგა კანონებისა და ლოგიკის წესების შესაქმნელად, იგი მიუბრუნდა მათემატიკას და იურიდიული საქმიანობის პრაქტიკას. ამ წყაროებში მან აღმოაჩინა მასალა ჩაფიქრებული თეორიის ლოგიკური კონსტრუქციებისთვის.
მე-20 საუკუნეში მტკიცების ცნებამ დაკარგა მკაცრი მნიშვნელობა, რაც მოხდა სიმრავლეების თეორიაში დამალული ლოგიკური პარადოქსების აღმოჩენასთან და განსაკუთრებით იმ შედეგებთან დაკავშირებით, რაც მოიტანა კ.
უპირველეს ყოვლისა, ამან გავლენა მოახდინა თავად მათემატიკაზე, ამასთან დაკავშირებით ითვლებოდა, რომ ტერმინს „მტკიცებულება“ არ აქვს ზუსტი განმარტება. მაგრამ თუ ასეთი მოსაზრება (რომელიც დღესაც არსებობს) გავლენას ახდენს თავად მათემატიკაზე, მაშინ ისინი მიდიან დასკვნამდე, რომ მტკიცებულება უნდა იქნას მიღებული არა ლოგიკურ-მათემატიკური, არამედ ფსიქოლოგიური გაგებით. უფრო მეტიც, ანალოგიური შეხედულება გვხვდება თავად არისტოტელეშიც, რომელიც თვლიდა, რომ მტკიცება ნიშნავს ისეთი მსჯელობის ჩატარებას, რომელიც დაგვარწმუნებს იმდენად, რომ მისი გამოყენებით სხვებს დავარწმუნებთ რაღაცის სისწორეში. ფსიქოლოგიური მიდგომის გარკვეულ ჩრდილს ვპოულობთ A.E. Yesenin-Volpin-ში. იგი კატეგორიულად ეწინააღმდეგება ჭეშმარიტების მიღებას მტკიცების გარეშე, უკავშირებს მას რწმენის აქტთან და შემდგომ წერს: „განსჯის მტკიცებას ვუწოდებ პატიოსან მეთოდს, რომელიც ამ განსჯას უდავოს ხდის“. ესენინ-ვოლპინი იუწყება, რომ მისი განმარტება ჯერ კიდევ გასარკვევია. ამავდროულად, მტკიცებულებების „პატიოსან მეთოდად“ დახასიათება არ ღალატობს მორალურ-ფსიქოლოგიურ შეფასებაზე მიმართვას?
ამავდროულად, სიმრავლე-თეორიული პარადოქსების აღმოჩენამ და გოდელის თეორემების გამოჩენამ ხელი შეუწყო ინტუიციონისტების, განსაკუთრებით კონსტრუქტივისტული მიმართულების და დ. ჰილბერტის მიერ მათემატიკური მტკიცებულების თეორიის განვითარებას.
ზოგჯერ ითვლება, რომ მათემატიკური მტკიცებულება უნივერსალურია და წარმოადგენს სამეცნიერო მტკიცებულების იდეალურ ვერსიას. თუმცა, ეს არ არის ერთადერთი მეთოდი, არსებობს მტკიცებულებებზე დაფუძნებული პროცედურების და ოპერაციების სხვა მეთოდები. მართალია, მათემატიკურ მტკიცებულებას ბევრი საერთო აქვს ბუნებისმეტყველებაში განხორციელებულ ფორმალურ ლოგიკურთან და რომ მათემატიკურ მტკიცებულებას აქვს გარკვეული სპეციფიკა, ისევე როგორც ტექნიკა-ოპერაციების ერთობლიობა. სწორედ აქ შევჩერდებით, გამოვტოვებთ იმ ზოგადს, რაც მას აკავშირებს მტკიცებულებათა სხვა ფორმებთან, ანუ ალგორითმის, წესების, შეცდომების და ა.შ. ყველა საფეხურზე (თუნდაც მთავარში) გამოყენების გარეშე. მტკიცებულების პროცესი.
მათემატიკური მტკიცებულება არის მსჯელობა, რომელსაც აქვს დავალება დაასაბუთოს დებულების ჭეშმარიტება (რა თქმა უნდა, მათემატიკური, ანუ, როგორც დედუქციურობის, გაგებით).
მტკიცებულებაში გამოყენებული წესების ნაკრები ჩამოყალიბდა მათემატიკური თეორიის აქსიომატური კონსტრუქციების მოსვლასთან ერთად. ეს ყველაზე ნათლად და სრულად იქნა გაცნობიერებული ევკლიდეს გეომეტრიაში. მისი „პრინციპები“ იქცა მათემატიკური ცოდნის აქსიომური ორგანიზაციის ერთგვარ სამოდელო სტანდარტად და დიდი ხნის განმავლობაში დარჩა მათემატიკოსებისთვის.
გარკვეული თანმიმდევრობის სახით წარმოდგენილმა განცხადებებმა უნდა უზრუნველყოს დასკვნა, რომელიც, ლოგიკური მოქმედების წესების დაცვით, დადასტურებულად ითვლება. ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ გარკვეული მსჯელობა არის დასტური მხოლოდ ზოგიერთი აქსიომური სისტემის მიმართ.
მათემატიკური მტკიცებულების დახასიათებისას გამოიყოფა ორი ძირითადი მახასიათებელი. უპირველეს ყოვლისა, ის ფაქტი, რომ მათემატიკური მტკიცებულება გამორიცხავს ნებისმიერ მითითებას ემპირიულ მტკიცებულებებზე. დასკვნის სიმართლის დასაბუთების მთელი პროცედურა ტარდება მიღებული აქსიომატიკის ფარგლებში. ამ მხრივ ხაზს უსვამს აკადემიკოსი ა.დ. ალექსანდროვი. თქვენ შეგიძლიათ გაზომოთ სამკუთხედის კუთხეები ათასობით ჯერ და დარწმუნდით, რომ ისინი უდრის 2d-ს. მაგრამ მათემატიკა არაფერს ამტკიცებს. თქვენ ამას დაუმტკიცებთ მას, თუ ზემოთ მოცემულ დებულებას აქსიომებიდან გამოიტანთ. გავიმეოროთ. აქ მათემატიკა ახლოსაა სქოლასტიკის მეთოდებთან, რომელიც ასევე ძირეულად უარყოფს არგუმენტაციას ექსპერიმენტულად მოცემული ფაქტებით.
მაგალითად, როდესაც აღმოაჩინეს სეგმენტების შეუსაბამობა, ამ თეორემის დადასტურებისას გამოირიცხა ფიზიკური ექსპერიმენტის მიმართ აპელირება, რადგან, ჯერ ერთი, თვით "შეუდარებლობის" ცნება მოკლებულია ფიზიკურ მნიშვნელობას და, მეორეც, მათემატიკოსებს არ შეეძლოთ, როდესაც საქმე გვაქვს აბსტრაქციასთან, დასახმარებლად მივიყვანოთ მატერიალურ-ბეტონის გაფართოებები, გაზომვადი სენსორულ-ვიზუალური მოწყობილობით. კვადრატის გვერდისა და დიაგონალის შეუდარებლობა დადასტურებულია მთელი რიცხვების თვისების საფუძველზე პითაგორას თეორემის გამოყენებით ჰიპოტენუზის კვადრატის (შესაბამისად, დიაგონალის) ტოლობის შესახებ კვადრატების ჯამს. ფეხები (მართკუთხა სამკუთხედის ორი მხარე). ან როცა ლობაჩევსკი ეძებდა დადასტურებას თავისი გეომეტრიისთვის, ასტრონომიული დაკვირვების შედეგებზე მიუთითებდა, მაშინ ეს დადასტურება მის მიერ განხორციელდა წმინდა სპეკულაციური ხასიათის საშუალებით. კეილი-კლაინისა და ბელტრამის არაევკლიდური გეომეტრიის ინტერპრეტაციებში ასევე იყო ტიპიური მათემატიკური და არა ფიზიკური ობიექტები.
მათემატიკური მტკიცებულების მეორე მახასიათებელია მისი უმაღლესი აბსტრაქტულობა, რომლითაც იგი განსხვავდება სხვა მეცნიერებების მტკიცების პროცედურებისგან. და ისევ, როგორც მათემატიკური ობიექტის ცნების შემთხვევაში, საქმე ეხება არა მხოლოდ აბსტრაქციის ხარისხს, არამედ მის ბუნებას. ფაქტია, რომ მტკიცებულება აბსტრაქციის მაღალ დონეს აღწევს რიგ სხვა მეცნიერებებში, მაგალითად, ფიზიკაში, კოსმოლოგიაში და, რა თქმა უნდა, ფილოსოფიაში, ვინაიდან ყოფისა და აზროვნების საბოლოო პრობლემები ხდება ამ უკანასკნელის საგანი. მათემატიკა კი იმითაა გამორჩეული, რომ აქ ფუნქციონირებს ცვლადები, რომელთა მნიშვნელობაც რაიმე კონკრეტული თვისების აბსტრაქციაშია. შეგახსენებთ, რომ განმარტებით, ცვლადები არის ნიშნები, რომლებსაც თავისთავად არ აქვთ მნიშვნელობა და იძენენ ამ უკანასკნელს მხოლოდ მაშინ, როდესაც მათ ჩაანაცვლებს გარკვეული ობიექტების სახელები (ინდივიდუალური ცვლადები) ან როდესაც მითითებულია კონკრეტული თვისებები და მიმართებები (პრედიკატული ცვლადები), ან, ბოლოს და ბოლოს. , ცვლადის შინაარსიანი დებულებით (პროპოზიციური ცვლადი) ჩანაცვლების შემთხვევაში.
აღნიშნული მახასიათებელი განსაზღვრავს მათემატიკური მტკიცებულებაში გამოყენებული ნიშნების უკიდურესი აბსტრაქტულობის ხასიათს, ასევე განცხადებებს, რომლებიც, მათ სტრუქტურაში ცვლადების ჩართვის გამო, გადაიქცევა განცხადებებად.
თავად მტკიცების პროცედურა, რომელიც ლოგიკაში დემონსტრირებად არის განსაზღვრული, მიმდინარეობს დასკვნის წესების საფუძველზე, რომელთა საფუძველზეც ხდება ერთი დადასტურებული დებულებიდან მეორეზე გადასვლა, რაც ქმნის დასკვნების თანმიმდევრულ ჯაჭვს. ყველაზე გავრცელებულია ორი წესი (დასკვნის ჩანაცვლება და გამოტანა) და დედუქციის თეორემა.
ჩანაცვლების წესი. მათემატიკაში ჩანაცვლება განისაზღვრება, როგორც მოცემული სიმრავლის a ელემენტის თითოეული ელემენტის ჩანაცვლება იმავე სიმრავლის სხვა F(a) ელემენტით. მათემატიკური ლოგიკაში ჩანაცვლების წესი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად. თუ წინადადების გამოთვლაში ჭეშმარიტი ფორმულა M შეიცავს ასოს, ვთქვათ A, მაშინ მისი ჩანაცვლებით, სადაც ის ხდება, თვითნებური ასო D-ით, მივიღებთ ფორმულას, რომელიც ასევე შეესაბამება ორიგინალს. ეს შესაძლებელია და დასაშვებია, ზუსტად იმიტომ, რომ წინადადებების გამოთვლაში აბსტრაქტული ხდება წინადადებების (ფორმულების) მნიშვნელობიდან... მხედველობაში მიიღება მხოლოდ მნიშვნელობები „ჭეშმარიტი“ ან „მცდარი“. მაგალითად, M ფორმულაში: A--> (BUA) ჩვენ ვცვლით გამონათქვამს (AUB) A-ს ნაცვლად, შედეგად ვიღებთ ახალ ფორმულას (AUB) -->[(BU(AUB) ].
დასკვნების გამოტანის წესი შეესაბამება ფორმალურ ლოგიკაში პირობითად კატეგორიული სილოგიზმის modus ponens (დადებითი რეჟიმი) სტრუქტურას. ეს ასე გამოიყურება:
ა .
მოცემულია წინადადება (a-> b) და ასევე მოცემულია a. მას მოსდევს ბ.
მაგალითად: თუ წვიმს, მაშინ ტროტუარი სველია, წვიმს (ა), შესაბამისად, ტროტუარი სველია (ბ). მათემატიკური ლოგიკაში ეს სილოგიზმი იწერება შემდეგნაირად (a-> b) a-> b.
დასკვნა განისაზღვრება, როგორც წესი, განცალკევების გზით. თუ მოცემულია იმპლიკაცია (a-> b) და მისი წინამორბედი (a), მაშინ უფლება გვაქვს მსჯელობას (მტკიცებულებას) დავამატოთ ამ იმპლიკაციის (b) შედეგიც. სილოგიზმი არის იძულებითი, წარმოადგენს მტკიცებულების დედუქციური საშუალებების არსენალს, ანუ აბსოლუტურად აკმაყოფილებს მათემატიკური მსჯელობის მოთხოვნებს.
მათემატიკურ მტკიცებულებაში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს დედუქციის თეორემა - ზოგადი სახელწოდება რიგი თეორემებისა, რომელთა პროცედურა შესაძლებელს ხდის დადგინდეს იმპლიკაციების დასამტკიცებლად: A-> B, როდესაც არსებობს ლოგიკური წარმოშობა. ფორმულა B A ფორმულიდან. წინადადებების გამოთვლის ყველაზე გავრცელებულ ვერსიაში (კლასიკურ, ინტუიციურ და სხვა ტიპის მათემატიკაში) დედუქციის თეორემა შემდეგია. თუ მოცემულია G შენობების სისტემა და A ნაგებობა, საიდანაც, წესების მიხედვით, B G, A B (- წარმოშობის ნიშანი) შეიძლება გამოიტანოს, მაშინ გამოდის, რომ მხოლოდ G-ს შენობიდან შეიძლება მივიღოთ A წინადადება. --> ბ.
ჩვენ განვიხილეთ ტიპი, რაც პირდაპირი მტკიცებულებაა. ამავდროულად, ლოგიკაში გამოიყენება ეგრეთ წოდებული არაპირდაპირი მტკიცებულებაც, არის არაპირდაპირი მტკიცებულებები, რომლებიც განლაგებულია შემდეგი სქემის მიხედვით. არაერთი მიზეზის გამო (სასწავლო ობიექტის მიუწვდომლობა, მისი არსებობის რეალობის დაკარგვა და ა.შ.) საშუალება არ აქვთ რაიმე განცხადების, თეზისის ჭეშმარიტების პირდაპირი დადასტურება, აშენებენ ანტითეზას. ისინი დარწმუნებულნი არიან, რომ ანტითეზა იწვევს წინააღმდეგობებს და, შესაბამისად, მცდარია. შემდეგ ანტითეზის სიცრუის ფაქტიდან გამოდის - გამორიცხული შუა (a v) კანონის საფუძველზე - დასკვნა თეზისის ჭეშმარიტების შესახებ.
მათემატიკაში ფართოდ გამოიყენება არაპირდაპირი მტკიცების ერთ-ერთი ფორმა – მტკიცება წინააღმდეგობით. ის განსაკუთრებით ღირებული და, ფაქტობრივად, შეუცვლელია მათემატიკის ფუნდამენტური ცნებებისა და დებულებების მიღებაში, მაგალითად, ფაქტობრივი უსასრულობის ცნებაში, რომლის შემოღებაც სხვაგვარად შეუძლებელია.
წინააღმდეგობრივი მტკიცების მოქმედება მათემატიკურ ლოგიკაში შემდეგნაირად არის წარმოდგენილი. მოცემულია G ფორმულების თანმიმდევრობა და A-ს უარყოფა (G, A). თუ ეს გულისხმობს B და მის უარყოფას (G, A B, არა-B), მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ A-ს ჭეშმარიტება გამომდინარეობს G ფორმულების თანმიმდევრობიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თეზისის ჭეშმარიტება გამომდინარეობს ანტითეზის სიცრუისგან. .
ცნობები:
1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, უმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის, სახელმძღვანელო, მოსკოვი, 2002;
2. ლ.დ.კუდრიავცევი, თანამედროვე მათემატიკა და მისი სწავლება, მოსკოვი, ნაუკა, 1985;
3. O. I. Larichev, ობიექტური მოდელები და სუბიექტური გადაწყვეტილებები, მოსკოვი, ნაუკა, 1987;
4. A.Ya.Halamizer, „მათემატიკა? - სასაცილოა!“, საავტორო გამოცემა, 1989 წ.;
5. პ.კ.რაშევსკი, რიმანის გეომეტრია და ტენსორის ანალიზი, მოსკოვი, მე-3 გამოცემა, 1967 წ.;
6. ვ.ე.გმურმანი, ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა, მოსკოვი, უმაღლესი სკოლა, 1977 წ.;
7. მსოფლიო ქსელი Enternet.
მათემატიკა არის მეცნიერება რაოდენობრივი ურთიერთობებისა და რეალური სამყაროს სივრცითი ფორმების შესახებ. მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების მოთხოვნებთან მჭიდრო კავშირში, მათემატიკის მიერ შესწავლილი რაოდენობრივი ურთიერთობებისა და სივრცითი ფორმების მარაგი მუდმივად ფართოვდება, ამიტომ ზემოაღნიშნული განმარტება უნდა იქნას გაგებული ყველაზე ზოგადი გაგებით.
მათემატიკის შესწავლის მიზანია ზოგადი მსოფლმხედველობის გაზრდა, აზროვნების კულტურა, მეცნიერული მსოფლმხედველობის ჩამოყალიბება.
მათემატიკის, როგორც განსაკუთრებული მეცნიერების დამოუკიდებელი პოზიციის გაგება შესაძლებელი გახდა საკმაოდ დიდი რაოდენობით ფაქტობრივი მასალის დაგროვების შემდეგ და პირველად წარმოიშვა ძველ საბერძნეთში ძვ.წ. VI-V საუკუნეებში. ეს იყო დაწყებითი მათემატიკის პერიოდი.
ამ პერიოდის განმავლობაში მათემატიკური კვლევა ეხებოდა მხოლოდ საბაზისო ცნებების საკმაოდ შეზღუდულ მარაგს, რომლებიც წარმოიშვა ეკონომიკური ცხოვრების უმარტივეს მოთხოვნებთან. ამავდროულად, უკვე ხდება მათემატიკის, როგორც მეცნიერების ხარისხობრივი გაუმჯობესება.
თანამედროვე მათემატიკას ხშირად ადარებენ დიდ ქალაქს. ეს შესანიშნავი შედარებაა, რადგან მათემატიკაში, ისევე როგორც დიდ ქალაქში, მიმდინარეობს ზრდისა და გაუმჯობესების უწყვეტი პროცესი. ახალი სფეროები ჩნდება მათემატიკაში, შენდება ელეგანტური და ღრმა ახალი თეორიები, როგორიცაა ახალი უბნებისა და შენობების მშენებლობა. მაგრამ მათემატიკის პროგრესი არ შემოიფარგლება მხოლოდ ქალაქის სახის შეცვლით ახლის აშენების გამო. ძველი უნდა შევცვალოთ. ძველი თეორიები შედის ახალ, უფრო ზოგად თეორიებში; საჭიროა ძველი შენობების საძირკვლის გამაგრება. ახალი ქუჩების გაყვანაა საჭირო, რათა მათემატიკური ქალაქის შორეულ კვარტალებს შორის კავშირი დამყარდეს. მაგრამ ეს საკმარისი არ არის - არქიტექტურული დიზაინი დიდ ძალისხმევას მოითხოვს, რადგან მათემატიკის სხვადასხვა სფეროს მრავალფეროვნება არა მხოლოდ აფუჭებს მეცნიერების საერთო შთაბეჭდილებას, არამედ ხელს უშლის მთლიანად მეცნიერების გაგებას, აყალიბებს კავშირებს მის სხვადასხვა ნაწილებს შორის.
ხშირად გამოიყენება კიდევ ერთი შედარება: მათემატიკა ადარებს დიდ განტოტულ ხეს, რომელიც სისტემატურად იძლევა ახალ ყლორტებს. ხის თითოეული ტოტი არის მათემატიკის ერთი ან სხვა სფერო. ტოტების რაოდენობა არ რჩება უცვლელი, რადგან იზრდება ახალი ტოტები, იზრდებიან თავიდან ერთად იზრდებიან ცალკე, ზოგიერთი ტოტი შრება, მოკლებულია მკვებავ წვენებს. ორივე შედარება წარმატებულია და ძალიან კარგად გადმოსცემს საქმის რეალურ მდგომარეობას.
უდავოდ, მათემატიკური თეორიების აგებისას მნიშვნელოვან როლს თამაშობს სილამაზეზე მოთხოვნა. ცხადია, რომ სილამაზის აღქმა ძალიან სუბიექტურია და ხშირად საკმაოდ მახინჯი იდეები არსებობს ამის შესახებ. და მაინც, უნდა გაგიკვირდეთ ერთსულოვნებით, რომელსაც მათემატიკოსები აყენებენ "სილამაზის" კონცეფციაში: შედეგი მშვენივრად ითვლება, თუ მცირე რაოდენობის პირობებიდან შესაძლებელია ზოგადი დასკვნის მიღება ობიექტთა ფართო სპექტრთან დაკავშირებით. მათემატიკური წარმოშობა ლამაზად ითვლება, თუ მასში მნიშვნელოვანი მათემატიკური ფაქტის დამტკიცება მარტივი და მოკლე მსჯელობით არის შესაძლებელი. მათემატიკოსის სიმწიფე, მისი ნიჭი გამოცნობილია იმით, თუ რამდენად განვითარებულია მისი სილამაზის გრძნობა. ესთეტიურად სრული და მათემატიკურად სრულყოფილი შედეგები უფრო ადვილად გასაგები, დამახსოვრება და გამოყენებაა; უფრო ადვილია მათი ურთიერთობის იდენტიფიცირება ცოდნის სხვა სფეროებთან.
მათემატიკა ჩვენს დროში გახდა სამეცნიერო დისციპლინა კვლევის მრავალი სფეროთი, შედეგების და მეთოდების დიდი რაოდენობით. მათემატიკა ახლა იმდენად დიდია, რომ ერთმა ადამიანმა არ შეიძლება მისი ყველა ნაწილის დაფარვა, არ არსებობს მასში უნივერსალური სპეციალისტი იყოს. მის ცალკეულ მიმართულებებს შორის კავშირების დაკარგვა, რა თქმა უნდა, ამ მეცნიერების სწრაფი განვითარების უარყოფითი შედეგია. თუმცა, მათემატიკის ყველა დარგის განვითარების საფუძველში არის საერთო რამ - განვითარების წარმოშობა, მათემატიკის ხის ფესვები.
ევკლიდეს გეომეტრია, როგორც პირველი საბუნებისმეტყველო თეორია
მათემატიკა არის მეცნიერება რეალური სამყაროს რაოდენობრივი მიმართებებისა და სივრცითი ფორმების შესახებ; ბერძნული სიტყვა (მათემატიკა) მომდინარეობს ბერძნული სიტყვიდან (მათემა), რაც ნიშნავს "ცოდნას", "მეცნიერებას".
მათემატიკა წარმოიშვა ძველ დროში ადამიანების პრაქტიკული მოთხოვნილებებიდან. მისი შინაარსი და ხასიათი იცვლებოდა ისტორიის მანძილზე და ახლაც იცვლება. დადებითი მთელი რიცხვის შესახებ პირველადი საგნის იდეებიდან, ისევე როგორც სწორი ხაზის სეგმენტის, როგორც ორ წერტილს შორის უმოკლეს მანძილის იდეიდან, მათემატიკამ განვითარების გრძელი გზა გაიარა, სანამ არ გახდება აბსტრაქტული მეცნიერება კონკრეტული კვლევის მეთოდებით.
სივრცითი ფორმების თანამედროვე გაგება ძალიან ფართოა. იგი მოიცავს სამგანზომილებიანი სივრცის გეომეტრიულ ობიექტებთან ერთად (ხაზი, წრე, სამკუთხედი, კონუსი, ცილინდრი, ბურთი და ა. , და უფრო მეტი. ანალოგიურად, რაოდენობრივი ურთიერთობები ახლა გამოიხატება არა მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვებით ან რაციონალური რიცხვებით, არამედ რთული რიცხვები, ვექტორები, ფუნქციებია.შ. მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების განვითარება აიძულებს მათემატიკას განუწყვეტლივ გააფართოვოს თავისი იდეები სივრცითი ფორმებისა და რაოდენობრივი ურთიერთობების შესახებ.
მათემატიკის ცნებები ამოღებულია კონკრეტული ფენომენებისა და ობიექტებისგან; ისინი მიიღება ფენომენებისა და ობიექტების მოცემული დიაპაზონისთვის დამახასიათებელი თვისებრივი მახასიათებლების აბსტრაქციის შედეგად. ეს გარემოება ძალზე მნიშვნელოვანია მათემატიკის გამოყენებისთვის. ნომერი 2 განუყოფლად არ არის დაკავშირებული რაიმე კონკრეტულ საგნობრივ შინაარსთან. ეს შეიძლება ეხებოდეს ორ ვაშლს, ან ორ წიგნს, ან ორ აზრს. ის ერთნაირად კარგად ვრცელდება ყველა ამ და სხვა უამრავ ობიექტზე. ანალოგიურად, ბურთის გეომეტრიული თვისებები არ იცვლება, რადგან ის დამზადებულია მინისგან, ფოლადისგან ან სტეარინისაგან. რა თქმა უნდა, ობიექტის თვისებებიდან აბსტრაცია ამცირებს ჩვენს ცოდნას მოცემული ობიექტის, მისთვის დამახასიათებელი მატერიალური მახასიათებლების შესახებ. ამავდროულად, ეს არის ეს აბსტრაქცია ცალკეული ობიექტების განსაკუთრებული თვისებებიდან, რომელიც ანიჭებს ცნებებს საერთოს, შესაძლებელს ხდის მათემატიკის გამოყენებას მათი მატერიალური ბუნების ყველაზე მრავალფეროვან მოვლენებზე. ამრიგად, მათემატიკის იგივე კანონები, იგივე მათემატიკური აპარატი შეიძლება საკმაოდ დამაკმაყოფილებლად იქნას გამოყენებული ბუნებრივი მოვლენების, ტექნიკური, ასევე ეკონომიკური და სოციალური პროცესების აღწერისას.
ცნებების აბსტრაქტულობა არ არის მათემატიკის ექსკლუზიური თვისება; ნებისმიერი სამეცნიერო და ზოგადი კონცეფცია ატარებს აბსტრაქციის ელემენტს კონკრეტული ნივთების თვისებებიდან. მაგრამ მათემატიკაში აბსტრაქციის პროცესი უფრო შორს მიდის, ვიდრე საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში; მათემატიკაში ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა დონის აბსტრაქციის აგების პროცესი. დიახ, კონცეფცია ჯგუფებიწარმოიშვა რიცხვების მთლიანობის ზოგიერთი თვისებისა და სხვა აბსტრაქტული ცნებების აბსტრაქტირებით. მათემატიკა ხასიათდება მისი შედეგების მიღების მეთოდითაც. თუ ბუნებისმეტყველი მუდმივად მიმართავს გამოცდილებას თავისი პოზიციების დასამტკიცებლად, მაშინ მათემატიკოსი თავის შედეგებს მხოლოდ ლოგიკური მსჯელობით ამტკიცებს. მათემატიკაში არცერთი შედეგი არ შეიძლება ჩაითვალოს დადასტურებულად, სანამ მას არ დასჭირდება ლოგიკური მტკიცებულება და ეს მაშინაც კი, თუ სპეციალური ექსპერიმენტებით დადასტურდა ეს შედეგი. ამასთან, მათემატიკური თეორიების ჭეშმარიტება პრაქტიკითაც მოწმდება, მაგრამ ამ გადამოწმებას განსაკუთრებული ხასიათი აქვს: მათემატიკის ძირითადი ცნებები ყალიბდება მათი ხანგრძლივი კრისტალიზაციის შედეგად პრაქტიკის კონკრეტული მოთხოვნებიდან; თავად ლოგიკის წესები განვითარდა მხოლოდ ბუნებაში პროცესების მსვლელობის ათასწლეულის დაკვირვების შემდეგ; თეორემების ფორმულირება და მათემატიკაში ამოცანების ფორმულირებაც პრაქტიკის მოთხოვნებიდან გამომდინარეობს. მათემატიკა წარმოიშვა პრაქტიკული საჭიროებიდან გამომდინარე და მისი კავშირები პრაქტიკასთან დროთა განმავლობაში სულ უფრო მრავალფეროვანი და ღრმა ხდებოდა.
პრინციპში, მათემატიკა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი ტიპის მოძრაობის, მრავალფეროვანი ფენომენის შესასწავლად. სინამდვილეში, მისი როლი სამეცნიერო და პრაქტიკული საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში არ არის ერთნაირი. მათემატიკის როლი განსაკუთრებით დიდია თანამედროვე ფიზიკის, ქიმიის, ტექნოლოგიის მრავალი დარგის განვითარებაში, ზოგადად იმ ფენომენების შესწავლაში, სადაც მათი სპეციფიკური თვისებრივი მახასიათებლების მნიშვნელოვანი აბსტრაქციაც კი შესაძლებელს ხდის საკმაოდ ზუსტად აღბეჭდოს რაოდენობრივი და სივრცითი. მათში თანდაყოლილი ნიმუშები. მაგალითად, ციური სხეულების მოძრაობის მათემატიკური შესწავლა, მათი რეალური მახასიათებლების მნიშვნელოვანი აბსტრაქციების საფუძველზე (სხეულები, მაგალითად, განიხილება მატერიალური წერტილები), გამოიწვია და მიგვიყვანს სრულყოფილ შესატყვისებამდე მათ რეალურ მოძრაობასთან. ამის საფუძველზე შესაძლებელია არა მხოლოდ ციური ფენომენების წინასწარი პროგნოზირება (დაბნელება, პლანეტების პოზიციები და ა.შ.), არამედ ისეთი პლანეტების არსებობის პროგნოზირება, რომლებიც აქამდე არ დაფიქსირებულა (ამ გზით პლუტონი აღმოაჩინეს 1930 წელს. ნეპტუნი 1846 წელს). უფრო მცირე, მაგრამ მაინც მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკას ისეთ მეცნიერებებში, როგორიცაა ეკონომიკა, ბიოლოგია და მედიცინა. ამ მეცნიერებებში შესწავლილი ფენომენების ხარისხობრივი ორიგინალობა იმდენად დიდია და იმდენად ძლიერ გავლენას ახდენს მათი კურსის ბუნებაზე, რომ მათემატიკური ანალიზი ჯერჯერობით მხოლოდ დაქვემდებარებული როლის შესრულება შეუძლია. განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს სოციალურ და ბიოლოგიურ მეცნიერებებს მათემატიკის სტატისტიკა.თავად მათემატიკა ასევე ვითარდება ბუნებისმეტყველების, ტექნიკისა და ეკონომიკის მოთხოვნების გავლენით. ბოლო წლებშიც კი გაჩნდა რიგი მათემატიკური დისციპლინები, რომლებიც წარმოიშვა პრაქტიკული მოთხოვნების საფუძველზე: ინფორმაციის თეორია, თამაშის თეორიადა ა.შ.
ნათელია, რომ ფენომენების შემეცნების ერთი ეტაპიდან მეორეზე, უფრო ზუსტზე გადასვლა, ახალ მოთხოვნებს უყენებს მათემატიკას და იწვევს ახალი ცნებების, ახალი კვლევის მეთოდების შექმნას. ამრიგად, ასტრონომიის მოთხოვნებმა, წმინდა აღწერითი ცოდნიდან ზუსტ ცოდნაზე გადასვლამ განაპირობა ძირითადი ცნებების განვითარება. ტრიგონომეტრია: ძვ.წ მე-2 საუკუნეში ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა ჰიპარქემ შეადგინა აკორდების ცხრილები, რომლებიც შეესაბამება სინუსების თანამედროვე ცხრილებს; ძველი ბერძენი მეცნიერები I საუკუნეში მენელაოსმა და II საუკუნეში კლავდიუს პტოლემეოსმა შექმნეს საფუძველი. სფერული ტრიგონომეტრია.მოძრაობის შესწავლისადმი გაზრდილმა ინტერესმა, რომელიც გააცოცხლა წარმოების, ნავიგაციის, არტილერიის და ა.შ. განვითარებით, განაპირობა მე-17 საუკუნეში კონცეფციების შექმნამდე. მათემატიკური ანალიზი, ახალი მათემატიკის განვითარება. მათემატიკური მეთოდების ფართოდ დანერგვამ ბუნებრივი ფენომენების შესწავლაში (პირველ რიგში ასტრონომიული და ფიზიკური) და ტექნოლოგიების (განსაკუთრებით მექანიკური ინჟინერიის) განვითარებამ გამოიწვია მე-18 და მე-19 საუკუნეებში თეორიული მექანიკისა და თეორიის სწრაფი განვითარება. დიფერენციალური განტოლებები.მატერიის მოლეკულური სტრუქტურის იდეების განვითარებამ გამოიწვია სწრაფი განვითარება ალბათობის თეორია. დღესდღეობით, ჩვენ შეგვიძლია მივაკვლიოთ მათემატიკური კვლევის ახალი სფეროების გაჩენას მრავალი მაგალითის საშუალებით. განსაკუთრებით აღსანიშნავია მიღწევები გამოთვლითი მათემატიკა და კომპიუტერული ტექნოლოგია და მათ მიერ წარმოებული გარდაქმნები მათემატიკის ბევრ დარგში.
ისტორიული ნარკვევი. მათემატიკის ისტორიაში შეიძლება გამოიკვეთოს ოთხი პერიოდი არსებითად ხარისხობრივი სხვაობით. ძნელია ამ პერიოდების ზუსტად გამოყოფა, რადგან ყოველი შემდგომი განვითარდა წინაში და, შესაბამისად, იყო საკმაოდ მნიშვნელოვანი გარდამავალი ეტაპები, როდესაც ახალი იდეები ახლახან ჩნდებოდა და ჯერ კიდევ არ გამხდარა სახელმძღვანელო არც მათემატიკაში და არც მის გამოყენებაში.
1) მათემატიკის, როგორც დამოუკიდებელი სამეცნიერო დისციპლინის დაბადების პერიოდი; ამ პერიოდის დასაწყისი იკარგება ისტორიის სიღრმეში; იგი გაგრძელდა დაახლოებით ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 6-5 საუკუნეებამდე. ე.
2) ელემენტარული მათემატიკის პერიოდი, მუდმივთა მათემატიკა; ეს გაგრძელდა დაახლოებით მე-17 საუკუნის ბოლომდე, როდესაც ახალი, „უმაღლესი“ მათემატიკის განვითარება საკმაოდ შორს წავიდა.
3) ცვლადების მათემატიკის პერიოდი; ახასიათებს მათემატიკური ანალიზის შექმნა და განვითარება, მათ მოძრაობაში მიმდინარე პროცესების შესწავლა, განვითარება.
4) თანამედროვე მათემატიკის პერიოდი; ახასიათებს რაოდენობრივი მიმართებებისა და სივრცითი ფორმების შესაძლო ტიპების შეგნებული და სისტემატური შესწავლა. გეომეტრიაში შესწავლილია არა მხოლოდ რეალური სამგანზომილებიანი სივრცე, არამედ მისი მსგავსი სივრცითი ფორმები. მათემატიკური ანალიზის დროს განიხილება ცვლადები, რომლებიც დამოკიდებულნი არიან არა მხოლოდ ციფრულ არგუმენტზე, არამედ რომელიმე ხაზზე (ფუნქციაზე), რაც ცნებებს იწვევს. ფუნქციონირებადა ოპერატორი. Ალგებრაგადაიქცა თვითნებური ხასიათის ელემენტებზე ალგებრული მოქმედებების თეორიად. თუ შესაძლებელი იყო მათზე ამ ოპერაციების შესრულება. ამ პერიოდის დასაწყისს, ბუნებრივია, XIX საუკუნის პირველ ნახევარს შეიძლება მივაკუთვნოთ.
ძველ სამყაროში მათემატიკური ინფორმაცია თავდაპირველად მღვდლებისა და ხელისუფლების წარმომადგენლების ცოდნის განუყოფელი ნაწილი იყო. ამ ინფორმაციის მარაგი, როგორც შეიძლება ვიმსჯელოთ უკვე გაშიფრული ბაბილონის თიხის ფირფიტებით და ეგვიპტური მათემატიკური პაპირუსები,შედარებით დიდი იყო. არსებობს მტკიცებულება, რომ მესოპოტამიაში ძველ ბერძენ მეცნიერ პითაგორამდე ათასი წლით ადრე, არა მხოლოდ ცნობილი იყო პითაგორას თეორია, არამედ გადაწყდა ყველა მართკუთხა სამკუთხედის მთელი რიცხვების მქონე სამკუთხედის პოვნის პრობლემაც. ამასთან, იმდროინდელი დოკუმენტების აბსოლუტური უმრავლესობა წარმოადგენს წესების კრებულს უმარტივესი არითმეტიკული მოქმედებების შესასრულებლად, აგრეთვე ფიგურების ფართობისა და სხეულების მოცულობის გამოსათვლელად. ამ გამოთვლების გასაადვილებლად ასევე დაცულია სხვადასხვა ცხრილები. ყველა სახელმძღვანელოში წესები არ არის ჩამოყალიბებული, მაგრამ ახსნილია ხშირი მაგალითებით. მათემატიკის ტრანსფორმაცია ფორმალიზებულ მეცნიერებად კარგად ჩამოყალიბებული დედუქციური კონსტრუქციის მეთოდით მოხდა ძველ საბერძნეთში. იმავე ადგილას, მათემატიკური შემოქმედება შეწყდა უსახელო. პრაქტიკული არითმეტიკა და გეომეტრიაძველ საბერძნეთში ჰქონდა განვითარების მაღალი დონე. ბერძნული გეომეტრიის დასაწყისი დაკავშირებულია თალეს მილეტელის სახელთან (ძვ. წ. VII საუკუნის დასასრული - ძვ. წ. VI საუკუნის დასაწყისი), რომელმაც პირველადი ცოდნა ეგვიპტიდან ჩამოიტანა. სამოსის პითაგორას სკოლაში (ძვ. წ. VI ს.) შეისწავლეს რიცხვების გაყოფა, შეაჯამეს უმარტივესი პროგრესიები, შეისწავლეს სრულყოფილი რიცხვები, გათვალისწინებულ იქნა სხვადასხვა ტიპის საშუალო (არითმეტიკული, გეომეტრიული, ჰარმონიული), პითაგორას რიცხვები. კვლავ იქნა ნაპოვნი (მთლიანი რიცხვების სამმაგი, რომლებიც შეიძლება იყოს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები). V-VI საუკუნეებში ძვ.წ. წარმოიშვა ანტიკურობის ცნობილი პრობლემები - წრის კვადრატი, კუთხის ტრისექცია, კუბის გაორმაგება, აშენდა პირველი ირაციონალური რიცხვები. გეომეტრიის პირველი სისტემატური სახელმძღვანელო მიეწერება ჰიპოკრატე ქიოსელს (ძვ. წ. V საუკუნის II ნახევარი). ამავდროულად, პლატონური სკოლის მნიშვნელოვანი წარმატება, რომელიც დაკავშირებულია სამყაროს მატერიის სტრუქტურის რაციონალურად ახსნის მცდელობებთან, ეკუთვნის ყველა რეგულარული პოლიედრების ძიებას. V-IV სს-ის მიჯნაზე ძვ.წ. დემოკრიტემ, ატომისტურ იდეებზე დაყრდნობით, შემოგვთავაზა სხეულების მოცულობის განსაზღვრის მეთოდი. ეს მეთოდი შეიძლება ჩაითვალოს უსასრულოდ მცირე მეთოდის პროტოტიპად. IV საუკუნეში ძვ.წ. ევდოქსი კნიდუსელმა შეიმუშავა პროპორციების თეორია. მე-3 საუკუნე მათემატიკური შემოქმედების უდიდესი ინტენსივობით ხასიათდება. (ე.წ. ალექსანდრიის ეპოქის I საუკუნე). III საუკუნეში ძვ.წ. მუშაობდნენ ისეთი მათემატიკოსები, როგორიცაა ევკლიდე, არქიმედეს, პერგას აპოლონიოსი, ერატოსთენე; მოგვიანებით - ჰერონი (ახ. წ. I ს.) დიოფანტი (მე-3 საუკუნე). თავის „ელემენტებში“ ევკლიდემ შეაგროვა და დაექვემდებარა მიღწევების საბოლოო ლოგიკურ დამუშავებას გეომეტრიის დარგში; ამავე დროს, მან ჩაუყარა საფუძველი რიცხვების თეორიას. არქიმედეს მთავარი დამსახურება გეომეტრიაში იყო სხვადასხვა ფართობისა და მოცულობის განსაზღვრა. დიოფანტე ძირითადად სწავლობდა რაციონალურ დადებით რიცხვებში განტოლებების ამოხსნას. III საუკუნის ბოლოდან დაიწყო ბერძნული მათემატიკის დაცემა.
მათემატიკამ მნიშვნელოვან განვითარებას მიაღწია ძველ ჩინეთსა და ინდოეთში. ჩინელ მათემატიკოსებს ახასიათებთ გამოთვლების შესრულების მაღალი ტექნიკა და ინტერესი ზოგადი ალგებრული მეთოდების შემუშავებით. II-I საუკუნეებში ძვ.წ. მათემატიკა ცხრა წიგნში დაიწერა. იგი შეიცავს კვადრატული ფესვის ამოღების იგივე ტექნიკას, რომელიც ასევე წარმოდგენილია თანამედროვე სკოლაში: წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდებს, პითაგორას თეორემის არითმეტიკული ფორმულირება.
ინდურ მათემატიკას, რომელიც აყვავებული იყო მე-5-მე-12 საუკუნეებში, მიენიჭა თანამედროვე ათობითი ნუმერაციის გამოყენება, ისევე როგორც ნული, რომელიც მიუთითებს მოცემული კატეგორიის ერთეულების არარსებობაზე და ალგებრის ბევრად უფრო ფართო განვითარების დამსახურებაზე, ვიდრე დიოფანტი, რომელიც მოქმედებს არა მხოლოდ დადებითი რაციონალური რიცხვებით, არამედ უარყოფით და ირაციონალურ რიცხვებთან.
არაბთა დაპყრობებმა განაპირობა ის, რომ შუა აზიიდან იბერიის ნახევარკუნძულამდე მეცნიერები IX-XV საუკუნეებში იყენებდნენ არაბულ ენას. IX საუკუნეში შუააზიელმა მეცნიერმა ალ-ხვარეზმმა პირველად ჩამოაყალიბა ალგებრა, როგორც დამოუკიდებელი მეცნიერება. ამ პერიოდში ბევრმა გეომეტრიულმა პრობლემამ მიიღო ალგებრული ფორმულირება. სირიელმა ალ-ბატანმა შემოიტანა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.სამარყანდელმა მეცნიერმა ალ-კაშიმ (მე-15 საუკუნე) შემოიტანა ათობითი წილადები და წარმოადგინა სისტემატური პრეზენტაცია, ჩამოაყალიბა ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა.
მათემატიკის განვითარებაში არსებითად ახალი პერიოდი დაიწყო მე-17 საუკუნეში, როდესაც მოძრაობის, ცვლილების იდეა აშკარად შემოვიდა მათემატიკაში. ცვლადების გათვალისწინებამ და მათ შორის ურთიერთობამ გამოიწვია ფუნქციების, წარმოებულებისა და ინტეგრალების ცნებები.
მე-18 საუკუნის ბოლოდან მე-19 საუკუნის დასაწყისამდე მათემატიკის განვითარებაში არაერთი არსებითად ახალი თვისება შეიმჩნევა. მათგან ყველაზე დამახასიათებელი იყო მათემატიკის საფუძვლის რიგი საკითხების კრიტიკული გადახედვის ინტერესი. უსასრულოდ მცირე ზომის ბუნდოვანი ცნებები შეიცვალა ზუსტი ფორმულირებებით, რომლებიც დაკავშირებულია ლიმიტის კონცეფციასთან.
მე-19 საუკუნეში ალგებრაში განიმარტა ალგებრული განტოლებების რადიკალებში ამოხსნის შესაძლებლობის საკითხი (ნორვეგიელი მეცნიერი ნ. აბელი, ფრანგი მეცნიერი ე. გალუა).
მე-19 და მე-20 საუკუნეებში მათემატიკის რიცხვითი მეთოდები გადაიზარდა დამოუკიდებელ ფილიალში - გამოთვლით მათემატიკაში. ახალი კომპიუტერული ტექნოლოგიების მნიშვნელოვანი გამოყენება აღმოაჩინა მათემატიკის ფილიალმა, რომელიც განვითარდა მე-19 და მე-20 საუკუნეებში - მათემატიკური ლოგიკა.
მასალა მოამზადა მათემატიკის მასწავლებელმა ლეშჩენკომ ო.ვ.
