წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ეს ოპერაცია ბევრად უფრო ლამაზია ვიდრე შეკრება-გამოკლება! იმიტომ რომ უფრო ადვილია. შეგახსენებთ: წილადის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრიცხველები (ეს იქნება შედეგის მრიცხველი) და მნიშვნელები (ეს იქნება მნიშვნელი). ანუ:

Მაგალითად:

ყველაფერი უკიდურესად მარტივია. და გთხოვთ ნუ ეძებთ საერთო მნიშვნელს! აქ არ გჭირდება...

წილადის წილადზე გასაყოფად საჭიროა გადაატრიალოთ მეორე(ეს მნიშვნელოვანია!) წილადი და გაამრავლე, ე.ი.

Მაგალითად:

თუ გამრავლება ან გაყოფა მთელი რიცხვებითა და წილადებით არის დაჭერილი, არაუშავს. როგორც შეკრებისას, ჩვენ ვაკეთებთ წილადს მთელი რიცხვიდან ერთეულით მნიშვნელში - და წავიდეთ! Მაგალითად:

საშუალო სკოლაში ხშირად გიწევს საქმე სამსართულიან (ან თუნდაც ოთხსართულიან!) წილადებთან. Მაგალითად:

როგორ მივიყვანოთ ეს წილადი ღირსეულ ფორმამდე? დიახ, ძალიან მარტივია! გამოიყენეთ გაყოფა ორი წერტილით:

მაგრამ არ დაივიწყოთ გაყოფის ბრძანება! გამრავლებისგან განსხვავებით, აქ ეს ძალიან მნიშვნელოვანია! რა თქმა უნდა, ჩვენ არ აგვირევთ 4:2 ან 2:4. მაგრამ სამსართულიან ფრაქციაში ადვილია შეცდომის დაშვება. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, მაგალითად:

პირველ შემთხვევაში (გამოთქმა მარცხნივ):

მეორეში (გამოთქმა მარჯვნივ):

Იგრძენი განსხვავება? 4 და 1/9!

როგორია გაყოფის თანმიმდევრობა? ან ფრჩხილები, ან (როგორც აქ) ჰორიზონტალური ტირეების სიგრძე. განავითარეთ თვალი. და თუ არ არის ფრჩხილები ან ტირეები, მაგალითად:

შემდეგ გაყოფა-გამრავლება თანმიმდევრობით, მარცხნიდან მარჯვნივ!

და კიდევ ერთი ძალიან მარტივი და მნიშვნელოვანი ხრიკი. გრადუსით მოქმედებებში ის გამოგადგებათ! მოდით გავყოთ ერთეული რომელიმე წილადზე, მაგალითად, 13/15-ზე:

გასროლა გადატრიალდა! და ეს ყოველთვის ხდება. 1-ის რომელიმე წილადზე გაყოფისას შედეგი არის იგივე წილადი, მხოლოდ შებრუნებული.

ეს არის ყველა მოქმედება წილადებთან. საქმე საკმაოდ მარტივია, მაგრამ საკმარისზე მეტ შეცდომებს იძლევა. გაითვალისწინეთ პრაქტიკული რჩევები და მათი (შეცდომები) ნაკლები იქნება!

პრაქტიკული რჩევები:

1. წილადობრივ გამონათქვამებთან მუშაობისას ყველაზე მნიშვნელოვანია სიზუსტე და ყურადღება! ეს არ არის ჩვეულებრივი სიტყვები, არ არის კეთილი სურვილები! ეს სერიოზული მოთხოვნილებაა! შეასრულეთ ყველა გამოთვლა გამოცდაზე, როგორც სრულფასოვანი დავალება, კონცენტრაციით და სიცხადით. სჯობს დაწეროთ ორი დამატებითი სტრიქონი მონახაზში, ვიდრე აურიოთ თქვენს თავში გაანგარიშებისას.

2. სხვადასხვა ტიპის წილადების მაგალითებში - გადადით ჩვეულებრივ წილადებზე.

3. ყველა წილადს ვამცირებთ გაჩერებამდე.

4. მრავალდონიანი წილადის გამოსახულებებს ვამცირებთ ჩვეულებრივზე გაყოფის გამოყენებით ორი წერტილით (ვიცავთ გაყოფის რიგს!).

5. ჩვენ გონებაში ვყოფთ ერთეულს წილადად, უბრალოდ წილადის გადაბრუნებით.

აქ არის ამოცანები, რომლებიც უნდა შეასრულოთ. პასუხები მოცემულია ყველა დავალების შემდეგ. გამოიყენეთ ამ თემის მასალები და პრაქტიკული რჩევები. გამოთვალეთ რამდენი მაგალითის ამოხსნა შეგიძლიათ სწორად. Პირველად! კალკულატორის გარეშე! და გამოიტანე სწორი დასკვნები...

დაიმახსოვრე სწორი პასუხი მეორე (განსაკუთრებით მესამე) დროიდან მიღებული - არ ითვლება!ასეთია მკაცრი ცხოვრება.

Ისე, ამოხსნა საგამოცდო რეჟიმში ! სხვათა შორის, ეს გამოცდისთვის მზადებაა. ვხსნით მაგალითს, ვამოწმებთ, ვხსნით შემდეგს. ჩვენ ყველაფერი გადავწყვიტეთ - ისევ შევამოწმეთ პირველიდან ბოლომდე. მხოლოდ შემდეგშეხედე პასუხებს.

გამოთვალეთ:

გადაწყვიტე?

ვეძებ პასუხებს, რომლებიც შეესაბამება თქვენს პასუხს. მე კონკრეტულად ჩავწერე არეულად, ცდუნებისგან შორს, ასე ვთქვათ... აი, პასუხები, მძიმით ჩაწერილი.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

და ახლა ჩვენ გამოვიტანთ დასკვნებს. თუ ყველაფერი გამოვიდა - ბედნიერია თქვენთვის! ელემენტარული გამოთვლები წილადებით არ არის თქვენი პრობლემა! შეგიძლიათ უფრო სერიოზული საქმეების გაკეთება. Თუ არა...

ასე რომ, თქვენ გაქვთ ორი პრობლემა. ან ორივე ერთდროულად.) ცოდნის ნაკლებობა და (ან) უყურადღებობა. Მაგრამ ეს ხსნადი პრობლემები.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

) და მნიშვნელი მნიშვნელის მიხედვით (ვიღებთ ნამრავლის მნიშვნელს).

წილადის გამრავლების ფორმულა:

Მაგალითად:

მრიცხველთა და მნიშვნელთა გამრავლებამდე აუცილებელია წილადის შემცირების შესაძლებლობის შემოწმება. თუ მოახერხებთ წილადის შემცირებას, მაშინ გაგიადვილდებათ გამოთვლების გაგრძელება.

ჩვეულებრივი წილადის გაყოფა წილადზე.

ნატურალური რიცხვის შემცველი წილადების გაყოფა.

ეს არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს. როგორც შეკრების შემთხვევაში, მთელ რიცხვს ვაქცევთ წილადად, რომლის ერთეულია მნიშვნელში. Მაგალითად:

შერეული წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების წესები (შერეული):

• შერეული წილადების გადაქცევა არასწორად;
• წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება;
• ჩვენ ვამცირებთ წილადს;
• თუ არასწორ წილადს მივიღებთ, მაშინ არასწორ წილადს ვაქცევთ შერეულ წილადად.

Შენიშვნა!შერეული წილადის სხვა შერეულ წილადზე გასამრავლებლად ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი არასათანადო წილადების სახით, შემდეგ კი გაამრავლოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის მიხედვით.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების მეორე გზა.

უფრო მოსახერხებელია ჩვეულებრივი წილადის რიცხვზე გამრავლების მეორე მეთოდის გამოყენება.

Შენიშვნა!წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად აუცილებელია წილადის მნიშვნელის გაყოფა ამ რიცხვზე და მრიცხველი უცვლელი დარჩეს.

ზემოაღნიშნული მაგალითიდან ირკვევა, რომ ეს ვარიანტი უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც წილადის მნიშვნელი ნაშთების გარეშე იყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

მრავალდონიანი წილადები.

საშუალო სკოლაში ხშირად გვხვდება სამსართულიანი (ან მეტი) წილადები. მაგალითი:

ასეთი წილადის ჩვეულ ფორმამდე მისასვლელად გამოიყენება 2 წერტილის გაყოფა:

Შენიშვნა!წილადების გაყოფისას ძალიან მნიშვნელოვანია გაყოფის თანმიმდევრობა. ფრთხილად იყავით, აქ დაბნეულობა ადვილია.

Შენიშვნა, Მაგალითად:

ერთი რომელიმე წილადზე გაყოფისას შედეგი იქნება იგივე წილადი, მხოლოდ შებრუნებული:

პრაქტიკული რჩევები წილადების გამრავლებისა და გაყოფისთვის:

1. წილადობრივ გამონათქვამებთან მუშაობისას ყველაზე მნიშვნელოვანია სიზუსტე და ყურადღება. გააკეთეთ ყველა გამოთვლა ფრთხილად და ზუსტად, კონცენტრირებულად და ნათლად. სჯობს ჩაწეროთ რამდენიმე დამატებითი სტრიქონი მონახაზში, ვიდრე თავში დაბნეული იყოთ გამოთვლებში.

2. სხვადასხვა ტიპის წილადებთან ამოცანებში - გადადით ჩვეულებრივი წილადების ტიპზე.

3. ვამცირებთ ყველა წილადს მანამ, სანამ შემცირება აღარ იქნება შესაძლებელი.

4. მრავალდონიანი წილადი გამონათქვამები ჩვეულებრივ გამოსახულებებს ვატანთ 2 ქულაზე გაყოფის გამოყენებით.

5. ჩვენ გონებაში ვყოფთ ერთეულს წილადად, უბრალოდ წილადის გადაბრუნებით.

ვაგრძელებთ მოქმედებების შესწავლას ჩვეულებრივი წილადებით. ახლა ყურადღების ცენტრშია საერთო წილადების გამრავლება. ამ სტატიაში მივცემთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესს, განიხილეთ ამ წესის გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას. ასევე ყურადღებას გავამახვილებთ ჩვეულებრივი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებაზე. დასასრულს, განიხილეთ როგორ ხდება სამი ან მეტი წილადის გამრავლება.

გვერდის ნავიგაცია.

საერთო წილადის გამრავლება საერთო წილადზე

დავიწყოთ ფორმულირებით საერთო წილადების გამრავლების წესები: წილადის წილადზე გამრავლებით მიიღება წილადი, რომლის მრიცხველი ტოლია გამრავლებული წილადების მრიცხველების ნამრავლის, ხოლო მნიშვნელი ტოლია მნიშვნელების ნამრავლის.

ანუ, ფორმულა შეესაბამება ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებას a/b და c/d.

მოვიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის საილუსტრაციო მაგალითი. განვიხილოთ კვადრატი 1 ერთეულის გვერდით. , ხოლო მისი ფართობი 1 ერთეული 2 . დაყავით ეს კვადრატი თანაბარ მართკუთხედებად გვერდებით 1/4 ერთეული. და 1/8 ერთეული. , ხოლო თავდაპირველი კვადრატი შედგება 4 8 = 32 მართკუთხედისაგან, შესაბამისად, თითოეული მართკუთხედის ფართობი არის თავდაპირველი კვადრატის ფართობის 1/32, ანუ უდრის 1/32 ერთეულს 2. ახლა მოდით დავხატოთ ორიგინალური კვადრატის ნაწილი. ყველა ჩვენი ქმედება აისახება ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

შევსებული მართკუთხედის გვერდები 5/8 ერთეულია. და 3/4 ერთეული. , რაც ნიშნავს, რომ მისი ფართობი უდრის 5/8 და 3/4 წილადების ნამრავლს, ანუ 2 ერთეულებს. მაგრამ შევსებული მართკუთხედი შედგება 15 "პატარა" მართკუთხედისაგან, ამიტომ მისი ფართობია 15/32 ერთეული 2 . აქედან გამომდინარე,. ვინაიდან 5 3=15 და 8 4=32, ბოლო ტოლობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც , რომელიც ადასტურებს ფორმის ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების ფორმულას .

გაითვალისწინეთ, რომ გახმოვანებული გამრავლების წესის დახმარებით შეგიძლიათ გაამრავლოთ როგორც სწორი, ისე არასწორი წილადები, ასევე წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით და წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით.

განიხილეთ საერთო წილადების გამრავლების მაგალითები.

გაამრავლეთ საერთო წილადი 7/11 საერთო წილადზე 9/8.

7-ისა და 9-ის გამრავლებული წილადების მრიცხველების ნამრავლი არის 63, ხოლო 11-ისა და 8-ის მნიშვნელების ნამრავლი არის 88. ამგვარად, საერთო წილადების 7/11 და 9/8 გამრავლებით მივიღებთ წილადს 63/88.

აქ მოცემულია გადაწყვეტის მოკლე შინაარსი: .

არ უნდა დავივიწყოთ მიღებული წილადის შემცირება, თუ გამრავლების შედეგად მიიღება შემცირებადი წილადი და არასათანადო წილადიდან მთელი ნაწილის შერჩევა.

გაამრავლე წილადები 4/15 და 55/6.

გამოვიყენოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესი: .

ცხადია, მიღებული წილადი შემცირდება (10-ზე გაყოფის ნიშანი გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ 220/90 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო კოეფიციენტი 10). შევამციროთ წილადი 220/90: GCD(220, 90)=10 და . რჩება მთელი რიცხვის ნაწილის არჩევა მიღებული არასწორი წილადიდან: .

გაითვალისწინეთ, რომ წილადის შემცირება შეიძლება განხორციელდეს მრიცხველების ნამრავლების და გამრავლებული წილადების მნიშვნელების ნამრავლების გამოთვლამდე, ანუ როცა წილადს აქვს ფორმა . ამ რიცხვისთვის a, b, c და d იცვლება მათი მარტივი ფაქტორიზაციებით, რის შემდეგაც უქმდება მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები.

გასარკვევად, დავუბრუნდეთ წინა მაგალითს.

გამოთვალეთ ფორმის წილადების ნამრავლი.

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების ფორმულით გვაქვს .

ვინაიდან 4=2 2, 55=5 11, 15=3 5 და 6=2 3, მაშინ . ახლა ჩვენ ვაუქმებთ საერთო პირველ ფაქტორებს: .

რჩება მხოლოდ პროდუქტების გამოთვლა მრიცხველში და მნიშვნელში, შემდეგ კი აირჩიეთ მთელი ნაწილი არასწორი წილადიდან: .

უნდა აღინიშნოს, რომ წილადების გამრავლება ხასიათდება კომუტაციური თვისებით, ანუ გამრავლებული წილადები შეიძლება შეიცვალოს: .

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება

დავიწყოთ ფორმულირებით საერთო წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესები: წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებით მიიღება წილადი, რომლის მრიცხველი ტოლია გამრავლებული წილადის მრიცხველის ნამრავლის ნატურალურ რიცხვზე, ხოლო მნიშვნელი ტოლია გამრავლებული წილადის მნიშვნელის.

ასოების დახმარებით a/b წილადის n ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესს აქვს ფორმა .

ფორმულა გამომდინარეობს ფორმის ორი ჩვეულებრივი წილადის გამრავლების ფორმულიდან. მართლაც, ნატურალური რიცხვის წარმოდგენით წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით, მივიღებთ .

განვიხილოთ წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების მაგალითები.

წილადი 2/27 გავამრავლოთ 5-ზე.

მრიცხველი 2-ის 5-ზე გამრავლება იძლევა 10-ს, მაშასადამე, წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესის მიხედვით, 2/27-ის ნამრავლი 5-ზე უდრის წილადს 10/27.

მთელი გამოსავალი შეიძლება მოხერხებულად დაიწეროს შემდეგნაირად: .

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებისას მიღებული წილადი ხშირად უნდა შემცირდეს, ხოლო თუ ის ასევე არასწორია, მაშინ წარმოადგინეთ იგი შერეულ რიცხვად.

წილადი 5/12 გავამრავლოთ 8 რიცხვზე.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ცხადია, მიღებული წილადი მცირდება (2-ზე გაყოფის ნიშანი მიუთითებს მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო გამყოფ 2-ზე). შევამციროთ წილადი 40/12: ვინაიდან LCM(40, 12)=4, მაშინ . რჩება მთელი ნაწილის შერჩევა: .

აქ არის მთელი გამოსავალი: .

გაითვალისწინეთ, რომ შემცირება შეიძლება განხორციელდეს მრიცხველში და მნიშვნელში რიცხვების ჩანაცვლებით მათი გაფართოებით მარტივ ფაქტორებად. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება:

ამ აბზაცის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ წილადის გამრავლებას ნატურალურ რიცხვზე აქვს კომუტაციური თვისება, ანუ წილადის ნამრავლი ნატურალური რიცხვით ტოლია ამ ნატურალური რიცხვის ნამრავლის წილადით: .

გაამრავლეთ სამი ან მეტი წილადი

ჩვენ მიერ განვსაზღვრეთ ჩვეულებრივი წილადები და მათთან გამრავლების მოქმედება, გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ ნატურალური რიცხვების გამრავლების ყველა თვისება ვრცელდება წილადების გამრავლებაზე.

გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებები იძლევა ცალსახად განსაზღვრას სამი ან მეტი წილადისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლება. ამ შემთხვევაში ყველაფერი ხდება ანალოგიით სამი ან მეტი ნატურალური რიცხვის გამრავლებით. კერძოდ, ნაწარმოებში წილადები და ნატურალური რიცხვები შეიძლება გადააწყდეს გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის, ხოლო ფრჩხილების არარსებობის შემთხვევაში, რომელიც მიუთითებს მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობას, ჩვენ შეგვიძლია თავად მოვაწყოთ ფრჩხილები ნებისმიერი დაშვებული გზით.

განვიხილოთ რამდენიმე წილადისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლების მაგალითები.

გაამრავლეთ სამი საერთო წილადი 1/20, 12/5, 3/7 და 5/8.

დავწეროთ პროდუქტი, რომელიც უნდა გამოვთვალოთ . წილადების გამრავლების წესის მიხედვით, დაწერილი ნამრავლი ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი ტოლია ყველა წილადის მრიცხველების ნამრავლის, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი: .

მრიცხველში და მნიშვნელში პროდუქციის გამოთვლამდე, მიზანშეწონილია ყველა ფაქტორი ჩაანაცვლოს მათი გაფართოებით პირველ ფაქტორებად და შემცირდეს (რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ წილადის შემცირება გამრავლების შემდეგ, მაგრამ ხშირ შემთხვევაში ამას დიდი გამოთვლითი ძალისხმევა სჭირდება): .

.

გაამრავლეთ ხუთი რიცხვი .

ამ პროდუქტში მოსახერხებელია წილადის 7/8 დაჯგუფება 8 რიცხვით, ხოლო 12 რიცხვი წილადით 5/36, ეს გაამარტივებს გამოთვლებს, რადგან ასეთი დაჯგუფებით შემცირება აშკარაა. Ჩვენ გვაქვს
.

.

წილადების გამრავლება

ჩვენ განვიხილავთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებას რამდენიმე შესაძლო გზით.

წილადის გამრავლება წილადზე

ეს არის უმარტივესი შემთხვევა, რომელშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი წილადების გამრავლების წესები.

რომ წილადის გამრავლება წილადზე, აუცილებელი:

• გაამრავლეთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე და ჩაწერეთ მათი ნამრავლი ახალი წილადის მრიცხველში;
• გაამრავლოს პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე და ჩაწეროს მათი ნამრავლი ახალი წილადის მნიშვნელში;

მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლებამდე შეამოწმეთ შესაძლებელია თუ არა წილადების შემცირება. წილადების შემცირება გამოთვლებში მნიშვნელოვნად გაამარტივებს თქვენს გამოთვლებს.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება

წილადამდე გამრავლება ნატურალურ რიცხვზეთქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე და დატოვოთ წილადის მნიშვნელი უცვლელი.

თუ გამრავლების შედეგი არასწორი წილადია, არ დაგავიწყდეთ მისი გადაქცევა შერეულ რიცხვად, ანუ აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

შერეული რიცხვების გამრავლება

შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ ისინი უნდა გადააქციოთ არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის მიხედვით.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების კიდევ ერთი გზა

ზოგჯერ გამოთვლებში უფრო მოსახერხებელია ჩვეულებრივი წილადის რიცხვზე გამრავლების განსხვავებული მეთოდის გამოყენება.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე და მრიცხველი იგივე დატოვოთ.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, წესის ამ ვერსიის გამოყენება უფრო მოსახერხებელია, თუ წილადის მნიშვნელი ნაშთების გარეშე იყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

შერეული რიცხვების გამრავლება: წესები, მაგალითები, ამონახსნები.

ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ შერეული რიცხვების გამრავლება. ჯერ გავახმოვანოთ შერეული რიცხვების გამრავლების წესი და განვიხილოთ ამ წესის გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას. შემდეგ ვისაუბრებთ შერეული რიცხვისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლებაზე. და ბოლოს, ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ გავამრავლოთ შერეული რიცხვი და ჩვეულებრივი წილადი.

გვერდის ნავიგაცია.

შერეული რიცხვების გამრავლება.

შერეული რიცხვების გამრავლებაშეიძლება შემცირდეს ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებამდე. ამისათვის საკმარისია შერეული რიცხვების გადაყვანა არასწორ წილადებად.

მოდი ჩავწეროთ გამრავლების წესი შერეული რიცხვებისთვის:

• ჯერ გასამრავლებელი შერეული რიცხვები უნდა შეიცვალოს არასწორი წილადებით;
• მეორეც, თქვენ უნდა გამოიყენოთ წილადის წილადზე გამრავლების წესი.

განვიხილოთ ამ წესის გამოყენების მაგალითები შერეული რიცხვის შერეულ რიცხვზე გამრავლებისას.

შეასრულეთ შერეული რიცხვების გამრავლება და .

პირველ რიგში, ჩვენ წარმოვადგენთ გამრავლებულ შერეულ რიცხვებს არასწორ წილადებად: და . ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ შერეული რიცხვების გამრავლება ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებით: . წილადების გამრავლების წესის გამოყენებით მივიღებთ . მიღებული წილადი შეუქცევადია (იხ. შემცირებადი და შეუქცევადი წილადები), მაგრამ არასწორია (იხ. რეგულარული და არასწორი წილადები), ამიტომ, საბოლოო პასუხის მისაღებად, რჩება არასათანადო წილადიდან მთელი რიცხვის ამოღება: .

დავწეროთ მთელი ამონახსნი ერთ სტრიქონში: .

.

შერეული რიცხვების გამრავლების უნარების გასამყარებლად, განიხილეთ სხვა მაგალითის ამოხსნა.

გააკეთეთ გამრავლება.

სასაცილო რიცხვები და ტოლია წილადების შესაბამისად 13/5 და 10/9. მერე . ამ ეტაპზე დროა გავიხსენოთ წილადის შემცირება: წილადის ყველა რიცხვს ჩავანაცვლებთ მათი გაფართოებით მარტივ ფაქტორებად და შევასრულებთ იგივე ფაქტორების შემცირებას.

შერეული რიცხვისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლება

შერეული რიცხვის არასწორი წილადით ჩანაცვლების შემდეგ, შერეული და ნატურალური რიცხვის გამრავლებამცირდება ჩვეულებრივი წილადისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლებამდე.

გაამრავლეთ შერეული რიცხვი და ნატურალური რიცხვი 45 .

შერეული რიცხვი არის წილადი . წილადის რიცხვები შევცვალოთ მათი გაფართოებებით მარტივ ფაქტორებად, გავაკეთოთ შემცირება, რის შემდეგაც ვირჩევთ მთელ ნაწილს: .

.

შერეული რიცხვისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლება ზოგჯერ მოხერხებულად ხდება შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში შერეული რიცხვისა და ნატურალური რიცხვის ნამრავლი უდრის მოცემული ნატურალური რიცხვის მთელი ნაწილის ნამრავლების ჯამს და მოცემული ნატურალური რიცხვის წილადი ნაწილის, ე.ი. .

გამოთვალეთ პროდუქტი.

შერეულ რიცხვს ვცვლით მთელი და წილადი ნაწილების ჯამით, რის შემდეგაც გამოვიყენებთ გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას: .

შერეული რიცხვისა და საერთო წილადის გამრავლებაყველაზე მოსახერხებელია ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებამდე შემცირება, გამრავლებული შერეული რიცხვის წარმოდგენა არასწორ წილადად.

შერეული რიცხვი გავამრავლოთ საერთო წილადზე 4/15.

შერეული რიცხვის წილადით ჩანაცვლებით მივიღებთ .

წილადი რიცხვების გამრავლება

§ 140. განმარტებები. 1) წილადი რიცხვის გამრავლება მთელ რიცხვზე განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამრავლება, კერძოდ: გარკვეული რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება მთელ რიცხვზე (ფაქტორზე) ნიშნავს იდენტური წევრთა ჯამის შედგენას, რომელშიც ყოველი წევრი ტოლია მამრავლის, ხოლო წევრთა რაოდენობა ტოლია მულტიპლიკატორის.

ასე რომ, 5-ზე გამრავლება ნიშნავს ჯამის პოვნას:
2) ზოგიერთი რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება წილადზე (გამრავლება) ნიშნავს ნამრავლის ამ წილადის პოვნას.

ამრიგად, მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა, რომელიც ადრე განვიხილეთ, ახლა წილადზე გამრავლებას დავარქმევთ.

3) რაიმე რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება შერეულ რიცხვზე (ფაქტორზე) ნიშნავს გამრავლების ჯერ ფაქტორზე მთელ რიცხვზე, შემდეგ წილადზე და ამ ორი გამრავლების შედეგების შეკრებას.

Მაგალითად:

გამრავლების შემდეგ მიღებულ რიცხვს ყველა ამ შემთხვევაში ეწოდება მუშაობა, ანუ ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამრავლებისას.

ამ განმარტებებიდან ირკვევა, რომ წილადი რიცხვების გამრავლება არის მოქმედება, რომელიც ყოველთვის შესაძლებელია და ყოველთვის ცალსახა.

§ 141. ამ განმარტებების მიზანშეწონილობა.გამრავლების ბოლო ორი განმარტების არითმეტიკაში შეყვანის მიზანშეწონილობის გასაგებად, ავიღოთ შემდეგი ამოცანა:

დავალება. მატარებელი, თანაბრად მოძრაობს, მოძრაობს 40 კმ საათში; როგორ გავარკვიოთ რამდენ კილომეტრს გაივლის ეს მატარებელი მოცემულ საათებში?

თუ დავრჩებოდით გამრავლების იგივე განსაზღვრებით, რაც მითითებულია მთელი რიცხვების არითმეტიკაში (ტოლი წევრების დამატება), მაშინ ჩვენს პრობლემას ექნებოდა სამი განსხვავებული ამონახსნი, კერძოდ:

თუ მოცემული საათების რაოდენობა არის მთელი რიცხვი (მაგალითად, 5 საათი), მაშინ პრობლემის გადასაჭრელად 40 კმ უნდა გავამრავლოთ საათების ამ რაოდენობაზე.

თუ საათების მოცემული რაოდენობა გამოიხატება წილადად (მაგალითად, საათი), მაშინ მოგიწევთ ამ წილადის მნიშვნელობის პოვნა 40 კმ-დან.

დაბოლოს, თუ საათების მოცემული რაოდენობა შერეულია (მაგალითად, საათები), მაშინ საჭირო იქნება 40 კმ გავამრავლოთ შერეულ რიცხვში შემავალი მთელი რიცხვი და შედეგს დავუმატოთ 40 კმ-დან ისეთი წილადი, როგორიც არის შერეული რიცხვი.

ჩვენ მიერ მოყვანილი განმარტებები საშუალებას გვაძლევს გავცეთ ერთი ზოგადი პასუხი ყველა ამ შესაძლო შემთხვევაზე:

40 კმ უნდა გავამრავლოთ მოცემულ საათზე, როგორიც არ უნდა იყოს ის.

ამრიგად, თუ პრობლემა წარმოდგენილია ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად:

ერთნაირად მოძრავი მატარებელი მოძრაობს v კმ საათში. რამდენ კილომეტრს გაივლის მატარებელი t საათში?

მაშინ, როგორიც არ უნდა იყოს v და t რიცხვები, შეგვიძლია გამოვხატოთ ერთი პასუხი: სასურველი რიცხვი გამოიხატება v · t ფორმულით.

Შენიშვნა. მოცემული რიცხვის ზოგიერთი წილადის პოვნა, ჩვენი განმარტებით, იგივეს ნიშნავს, რაც მოცემული რიცხვის ამ წილადზე გამრავლებას; ამიტომ, მაგალითად, მოცემული რიცხვის 5%-ის (ანუ ხუთი ასეულის) პოვნა ნიშნავს იგივეს, რაც მოცემული რიცხვის გამრავლებას ან ზე; მოცემული რიცხვის 125%-ის პოვნა იგივეა, რაც ამ რიცხვის გამრავლება ან-ზე და ა.შ.

§ 142. შენიშვნა იმის შესახებ, თუ როდის იზრდება რიცხვი და როდის მცირდება გამრავლებისგან.

სათანადო წილადზე გამრავლებიდან რიცხვი მცირდება, ხოლო არასწორ წილადზე გამრავლებიდან რიცხვი იზრდება, თუ ეს არასწორი წილადი ერთზე მეტია და უცვლელი რჩება, თუ ერთის ტოლია.
კომენტარი. წილადი რიცხვების, ისევე როგორც მთელი რიცხვების გამრავლებისას, ნამრავლი მიიღება ნულის ტოლი, თუ რომელიმე ფაქტორი ნულის ტოლია, ასე რომ,.

§ 143. გამრავლების წესების გამოყვანა.

1) წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე. წილადი გავამრავლოთ 5-ზე. ეს ნიშნავს 5-ჯერ გაზრდას. წილადის 5-ით გასაზრდელად საკმარისია მისი მრიცხველის გაზრდა ან მნიშვნელის 5-ჯერ შემცირება (§ 127).

Ისე:
წესი 1. წილადის მთელ რიცხვზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ ამ მთელ რიცხვზე, ხოლო მნიშვნელი იგივე დატოვოთ; ამის ნაცვლად, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაყოთ წილადის მნიშვნელი მოცემულ მთელ რიცხვზე (თუ შესაძლებელია) და მრიცხველი იგივე დატოვოთ.

კომენტარი. წილადისა და მისი მნიშვნელის ნამრავლი მისი მრიცხველის ტოლია.

Ისე:
წესი 2. მთელი რიცხვი წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადის მრიცხველზე და ეს ნამრავლი აქციოთ მრიცხველად, ხოლო მოცემული წილადის მნიშვნელს ხელი მოაწეროთ მნიშვნელად.
წესი 3. წილადის წილადზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველზე და მნიშვნელი მნიშვნელზე და პირველი ნამრავლი მრიცხველად აქციოთ, მეორე კი ნამრავლის მნიშვნელად.

კომენტარი. ეს წესი ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ წილადის მთელ რიცხვზე და მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებისას, თუ მხოლოდ მთელ რიცხვს განვიხილავთ, როგორც წილადს ერთის მნიშვნელით. Ისე:

ამრიგად, ახლა ჩამოთვლილი სამი წესი შეიცავს ერთში, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს ზოგადი თვალსაზრისით შემდეგნაირად:
4) შერეული რიცხვების გამრავლება.

წესი 4. შერეული რიცხვების გასამრავლებლად საჭიროა მათი გადაყვანა არასწორ წილადებად და შემდეგ გამრავლება წილადების გამრავლების წესების მიხედვით. Მაგალითად:
§ 144. გამრავლების შემცირება. წილადების გამრავლებისას, თუ ეს შესაძლებელია, უნდა მოხდეს წინასწარი შემცირება, როგორც ეს ჩანს შემდეგი მაგალითებიდან:

ასეთი შემცირება შესაძლებელია, რადგან წილადის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შემცირდება ერთი და იგივე რაოდენობის ჯერ.

§ 145. პროდუქტის ცვლილება ფაქტორების ცვლილებით.როდესაც ფაქტორები იცვლება, წილადი რიცხვების ნამრავლი ზუსტად ისევე შეიცვლება, როგორც მთელი რიცხვების ნამრავლი (§ 53), კერძოდ: თუ რამდენჯერმე გაზრდით (ან ამცირებთ) რომელიმე ფაქტორს, მაშინ ნამრავლი გაიზრდება (ან შემცირდება) იგივე რაოდენობით.

ასე რომ, თუ მაგალითში:
რამდენიმე წილადის გასამრავლებლად აუცილებელია მათი მრიცხველები ერთმანეთში და მნიშვნელები ერთმანეთში გავამრავლოთ და პირველი ნამრავლი იყოს მრიცხველი, მეორე კი ნამრავლის მნიშვნელი.

კომენტარი. ეს წესი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ისეთ პროდუქტებზეც, რომლებშიც რიცხვის ზოგიერთი ფაქტორი არის მთელი ან შერეული, თუ მხოლოდ მთელ რიცხვს განვიხილავთ წილადად, რომლის მნიშვნელი ერთია და შერეულ რიცხვებს ვაქციოთ არასწორ წილადებად. Მაგალითად:
§ 147. გამრავლების ძირითადი თვისებები.წილადი რიცხვების გამრავლებას მიეკუთვნება გამრავლების ის თვისებები, რომლებიც ჩვენ მივუთითეთ მთელი რიცხვებისთვის (§ 56, 57, 59). მოდით დავაკონკრეტოთ ეს თვისებები.

1) პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების ადგილების შეცვლისგან.

Მაგალითად:

მართლაც, წინა პუნქტის წესის მიხედვით, პირველი ნამრავლი წილადის ტოლია, მეორე კი წილადის. მაგრამ ეს წილადები ერთი და იგივეა, რადგან მათი წევრები განსხვავდებიან მხოლოდ მთელი რიცხვების ფაქტორების თანმიმდევრობით და მთელი რიცხვების ნამრავლი არ იცვლება, როდესაც ფაქტორები ადგილს იცვლიან.

2) პროდუქტი არ შეიცვლება, თუ ფაქტორების რომელიმე ჯგუფი ჩანაცვლდება მათი პროდუქტით.

Მაგალითად:

შედეგები იგივეა.

გამრავლების ამ თვისებიდან შეიძლება გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა:

ზოგიერთი რიცხვის ნამრავლზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ ეს რიცხვი გაამრავლოთ პირველ ფაქტორზე, მიღებული რიცხვი გაამრავლოთ მეორეზე და ა.შ.

Მაგალითად:
3) გამრავლების კანონი (შეკრების მიმართ). ჯამის რომელიმე რიცხვზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე ცალ-ცალკე და დაამატოთ შედეგები.

ეს კანონი ჩვენ მიერ იქნა ახსნილი (§ 59), როგორც გამოიყენება მთელ რიცხვებზე. ის რჩება ჭეშმარიტი ყოველგვარი ცვლილების გარეშე წილადი რიცხვებისთვის.

მოდით ვაჩვენოთ, ფაქტობრივად, რომ თანასწორობა

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(გამრავლების კანონი შეკრების მიმართ) ჭეშმარიტი რჩება მაშინაც კი, როცა ასოები ნიშნავს წილად რიცხვებს. განვიხილოთ სამი შემთხვევა.

1) ჯერ დავუშვათ, რომ m ფაქტორი არის მთელი რიცხვი, მაგალითად m = 3 (a, b, c არის ნებისმიერი რიცხვი). მთელი რიცხვით გამრავლების განმარტების მიხედვით, შეიძლება დაწეროთ (სიმარტივისთვის შემოიფარგლება სამი ტერმინით):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

მიმატების ასოციაციური კანონის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვტოვოთ ყველა ფრჩხილი მარჯვენა მხარეს; შეკრების შემცვლელი კანონის გამოყენებით, შემდეგ კი კომბინაციის კანონის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია, ცხადია, გადავიწეროთ მარჯვენა მხარე შემდეგნაირად:

(ა + ა + ა) + (ბ + ბ + ბ) + (გ + გ + გ).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

მაშასადამე, ამ საქმეში გამანაწილებელი კანონი დადასტურებულია.

წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე

სექციები:მათემატიკა

თ კლასის ტიპი: ONZ (ახალი ცოდნის აღმოჩენა - სწავლების აქტივობის მეთოდის ტექნოლოგიის მიხედვით).

1. წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფის მეთოდების გამოყვანა;
2. წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფის უნარის ჩამოყალიბება;
3. გაიმეორეთ და გააერთიანეთ წილადების გაყოფა;
4. ასწავლეთ წილადების შემცირების, ამოცანების ანალიზისა და ამოხსნის უნარს.

აღჭურვილობის დემო მასალა:

1. ცოდნის განახლების ამოცანები:

2. საცდელი (ინდივიდუალური) დავალება.

1. შეასრულეთ დაყოფა:

2. შეასრულეთ გაყოფა გამოთვლების მთელი ჯაჭვის შესრულების გარეშე: .

• წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფისას შეგიძლიათ მნიშვნელი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და მრიცხველი იგივე დატოვოთ.

• თუ მრიცხველი იყოფა ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ წილადის ამ რიცხვზე გაყოფისას შეგიძლიათ მრიცხველი გაყოთ რიცხვზე და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

I. სასწავლო აქტივობების მოტივაცია (თვითგამორკვევა).

1. საგანმანათლებლო საქმიანობის მხრივ მოსწავლის მიმართ მოთხოვნების აქტუალიზაციის ორგანიზება („უნდა“);
2. მოსწავლეთა აქტივობების ორგანიზება თემატური ჩარჩოს ჩამოყალიბების მიზნით („მე შემიძლია“);
3. შეუქმნას მოსწავლეს საგანმანათლებლო საქმიანობაში ჩართვის შინაგანი მოთხოვნილება („მინდა“).

სასწავლო პროცესის ორგანიზება I ეტაპზე.

გამარჯობა! მიხარია, რომ ყველას გნახავ მათემატიკის გაკვეთილზე. იმედი მაქვს ორმხრივია.

ბიჭებო, რა ახალი ცოდნა მიიღეთ ბოლო გაკვეთილზე? (გაყავით წილადები).

უფლება. რა გეხმარებათ წილადების გაყოფაში? (წესი, თვისებები).

სად გვჭირდება ეს ცოდნა? (მაგალითებში, განტოლებებში, ამოცანებში).

კარგად გააკეთე! ბოლო გაკვეთილზე კარგად გამოგდით. გსურთ დღეს ახალი ცოდნის აღმოჩენა? (დიახ).

Მაშინ წადი! და გაკვეთილის დევიზია განცხადება "მათემატიკა ვერ ისწავლება იმის ყურებით, თუ როგორ აკეთებს ამას შენი მეზობელი!".

II. ცოდნის აქტუალიზაცია და ინდივიდუალური სირთულის დაფიქსირება საცდელ მოქმედებაში.

1. მოქმედების შესწავლილი მეთოდების აქტუალიზაციის ორგანიზება, რაც საკმარისია ახალი ცოდნის შესაქმნელად. ამ მეთოდების სიტყვიერად (მეტყველებაში) და სიმბოლურად (სტანდარტული) დაფიქსირება და მათი განზოგადება;
2. ახალი ცოდნის ასაშენებლად საკმარისი გონებრივი ოპერაციებისა და შემეცნებითი პროცესების აქტუალიზაციის ორგანიზება;
3. საცდელი მოქმედების მოტივაცია და მისი დამოუკიდებელი განხორციელება და დასაბუთება;
4. საცდელი მოქმედებისთვის ინდივიდუალური დავალების წარმოდგენა და მისი ანალიზი ახალი საგანმანათლებლო შინაარსის გამოსავლენად;
5. საგანმანათლებლო მიზნისა და გაკვეთილის თემის დაფიქსირების ორგანიზება;
6. საცდელი მოქმედების განხორციელების ორგანიზება და სირთულის დაფიქსირება;
7. მიღებული პასუხების ანალიზის ორგანიზება და საცდელი მოქმედების შესრულებისას ან მის დასაბუთებაში ინდივიდუალური სირთულეების აღრიცხვა.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება II ეტაპზე.

ფრონტალურად, ტაბლეტების (ინდივიდუალური დაფების) გამოყენებით.

1. შეადარეთ გამონათქვამები:

(ეს გამონათქვამები თანაბარია)

რა საინტერესო რამ შენიშნე? (დივიდენდის მრიცხველი და მნიშვნელი, გამყოფის მრიცხველი და მნიშვნელი თითოეულ გამოსახულებაში გაიზარდა ერთი და იგივე რამით. ამრიგად, გამონათქვამებში დივიდენდები და გამყოფები წარმოდგენილია წილადებით, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია).

იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა და ჩაწერეთ ტაბლეტზე. (2)

როგორ ჩავწეროთ ეს რიცხვი წილადად?

როგორ შეასრულეთ გაყოფის მოქმედება? (ბავშვები გამოთქვამენ წესს, მასწავლებელი ასოებს კიდებს დაფაზე)

2. გამოთვალეთ და ჩაწერეთ მხოლოდ შედეგები:

3. დაამატეთ თქვენი შედეგები და ჩაწერეთ თქვენი პასუხი. (2)

რა ჰქვია მე-3 ამოცანაში მიღებულ რიცხვს? (ბუნებრივი)

როგორ ფიქრობთ, შეგიძლიათ წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე? (დიახ, ჩვენ შევეცდებით)

სცადე ეს.

4. ინდივიდუალური (საცდელი) დავალება.

გააკეთეთ დაყოფა: (მაგალითი მხოლოდ)

რა წესი გამოიყენე გასაყოფად? (წილადის წილადზე გაყოფის წესის მიხედვით)

ახლა კი გაყავით წილადი ნატურალურ რიცხვზე უფრო მარტივი გზით, გამოთვლების მთელი ჯაჭვის გარეშე: (მაგალითი ბ). მე გაძლევთ 3 წამს ამისთვის.

ვინ ვერ შეასრულა დავალება 3 წამში?

ვინ გააკეთა? (ასეთი არ არსებობს)

რატომ? (ჩვენ არ ვიცით გზა)

Რა მიიღე? (სირთულე)

როგორ ფიქრობთ, რას გავაკეთებთ კლასში? (წილადები გაყავით ნატურალურ რიცხვებზე)

ასეა, გახსენით რვეულები და ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა „წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე“.

რატომ ჟღერს ეს თემა ახალი, როცა უკვე იცი წილადების გაყოფა? (საჭიროა ახალი გზა)

უფლება. დღეს ჩვენ დავამკვიდრებთ ტექნიკას, რომელიც ამარტივებს წილადის გაყოფას ნატურალურ რიცხვზე.

III. სირთულის ადგილმდებარეობისა და მიზეზის დადგენა.

1. შესრულებული ოპერაციების აღდგენის ორგანიზება და დაფიქსირება (სიტყვიერი და სიმბოლური) ადგილი - ნაბიჯი, ოპერაცია, სადაც გაჩნდა სირთულე;
2. სტუდენტების ქმედებების კორელაციის ორგანიზება გამოყენებულ მეთოდთან (ალგორითმთან) და სირთულის მიზეზის გარე მეტყველებაში დაფიქსირება - ის სპეციფიკური ცოდნა, უნარები ან შესაძლებლობები, რომლებიც საკმარისი არ არის ამ ტიპის საწყისი პრობლემის გადასაჭრელად.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება III საფეხურზე.

რა დავალების შესრულება მოგიწიათ? (წილადი გაყავით ნატურალურ რიცხვზე გამოთვლების მთელი ჯაჭვის გარეშე)

რამ გაგიჭირათ? (მოკლე დროში სწრაფი გზით ვერ გადაჭრა)

რა არის ჩვენი გაკვეთილის მიზანი? (იპოვეთ წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფის სწრაფი გზა)

რა დაგეხმარება? (წილადების გაყოფის უკვე ცნობილი წესი)

IV. სირთულიდან გასასვლელის პროექტის მშენებლობა.

1. პროექტის მიზნის გარკვევა;
2. მეთოდის არჩევანი (დაზუსტება);
3. სახსრების განსაზღვრა (ალგორითმი);
4. მიზნის მისაღწევად გეგმის შედგენა.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება IV საფეხურზე.

დავუბრუნდეთ საცდელ საქმეს. შენ თქვი რომ წილადების გაყოფის წესით გაყავი? (დიახ)

ამისათვის შევცვალოთ ნატურალური რიცხვი წილადით? (დიახ)

როგორ ფიქრობთ, რომელი ნაბიჯის გამოტოვება შეგიძლიათ?

(ხსნარის ჯაჭვი ღიაა დაფაზე:

გაანალიზეთ და გამოიტანეთ დასკვნა. (Ნაბიჯი 1)

თუ პასუხი არ არის, მაშინ ჩვენ ვაჯამებთ კითხვებს:

სად წავიდა ბუნებრივი გამყოფი? (მნიშვნელისკენ)

მრიცხველი შეიცვალა? (არა)

მაშ რა ნაბიჯის „გამოტოვება“ შეიძლება? (Ნაბიჯი 1)

• გაამრავლეთ წილადის მნიშვნელი ნატურალურ რიცხვზე.
• მრიცხველი არ იცვლება.
• ვიღებთ ახალ წილადს.

V. აშენებული პროექტის განხორციელება.

1. კომუნიკაციური ურთიერთქმედების ორგანიზება შექმნილი პროექტის განსახორციელებლად, რომელიც მიზნად ისახავს დაკარგული ცოდნის შეძენას;
2. მეტყველებაში და ნიშნებში მოქმედების აგებული მეთოდის ფიქსაციის ორგანიზება (სტანდარტის დახმარებით);
3. თავდაპირველი პრობლემის გადაჭრის ორგანიზება და სირთულის დაძლევის ჩაწერა;
4. ახალი ცოდნის ზოგადი ხასიათის გარკვევის ორგანიზება.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება V ეტაპზე.

ახლა სწრაფად გაუშვით ტესტი ახალი გზით.

შეგიძლიათ ახლა სწრაფად დაასრულოთ დავალება? (დიახ)

ახსენი როგორ გააკეთე ეს? (ბავშვები საუბრობენ)

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ მივიღეთ ახალი ცოდნა: წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფის წესი.

კარგად გააკეთე! თქვით წყვილებში.

შემდეგ ერთი მოსწავლე ესაუბრება კლასს. წეს-ალგორითმს ვაფიქსირებთ სიტყვიერად და სტანდარტის სახით დაფაზე.

ახლა შეიყვანეთ ასოების აღნიშვნები და ჩაწერეთ ჩვენი წესის ფორმულა.

მოსწავლე წერს დაფაზე, გამოთქვამს წესს: წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფისას შეგიძლიათ მნიშვნელი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და მრიცხველი იგივე დატოვოთ.

(ფორმულას ყველა წერს რვეულებში).

ახლა კი კიდევ ერთხელ გააანალიზეთ საცდელი ამოცანის გადაჭრის ჯაჭვი, განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ პასუხს. Რა გააკეთეს? (15 წილადის მრიცხველი იყოფა (შემცირდა) რიცხვზე 3)

რა არის ეს ნომერი? (ბუნებრივი, გამყოფი)

სხვაგვარად როგორ შეიძლება წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე? (შეამოწმეთ: თუ წილადის მრიცხველი იყოფა ამ ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ შეგიძლიათ მრიცხველი გაყოთ ამ რიცხვზე, ჩაწეროთ შედეგი ახალი წილადის მრიცხველში და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ)

დაწერეთ ეს მეთოდი ფორმულის სახით. (მოსწავლე წერს წესს დაფაზე. ყველა იწერს ფორმულას რვეულებში).

დავუბრუნდეთ პირველ მეთოდს. შეიძლება მისი გამოყენება, თუ a:n? (დიახ, ეს არის ზოგადი გზა)

და როდის არის მეორე მეთოდი მოსახერხებელი გამოსაყენებლად? (როდესაც წილადის მრიცხველი იყოფა ნატურალურ რიცხვზე ნარჩენის გარეშე)

VI. პირველადი კონსოლიდაცია გარე მეტყველებაში გამოთქმით.

1. ბავშვების მიერ მოქმედების ახალი მეთოდის ათვისების ორგანიზება გარე მეტყველებაში მათი გამოთქმის ტიპიური პრობლემების გადაჭრისას (ფრონტალურად, წყვილებში ან ჯგუფებში).

სასწავლო პროცესის ორგანიზება VI საფეხურზე.

გამოთვალეთ ახალი გზით:

• No363 (ა; დ) - დაფაზე შესრულება, წესის წარმოთქმა.
• No363 (დ; ვ) - წყვილებში ჩეკით ნიმუშზე.

VII. სტანდარტის მიხედვით დამოუკიდებელი მუშაობა თვითტესტით.

1. მოსწავლეთა მიერ ამოცანების დამოუკიდებლად შესრულების ორგანიზება მოქმედების ახალი რეჟიმისთვის;
2. სტანდარტთან შედარების საფუძველზე თვითტესტის ორგანიზება;
3. დამოუკიდებელი მუშაობის შედეგებზე დაყრდნობით მოაწყეთ რეფლექსია მოქმედების ახალი რეჟიმის ათვისებაზე.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება VII საფეხურზე.

გამოთვალეთ ახალი გზით:

მოსწავლეები ამოწმებენ სტანდარტს, აღნიშნავენ შესრულების სისწორეს. გაანალიზებულია შეცდომების მიზეზები და გამოსწორებულია შეცდომები.

მასწავლებელი ეკითხება იმ მოსწავლეებს, რომლებმაც დაუშვეს შეცდომები, რა არის მიზეზი?

ამ ეტაპზე მნიშვნელოვანია, რომ თითოეულმა მოსწავლემ დამოუკიდებლად შეამოწმოს თავისი ნამუშევარი.

8 ამოცანის ამოხსნამდე) განვიხილოთ მაგალითი სახელმძღვანელოდან:

IX. სასწავლო აქტივობების ასახვა კლასში.

1. გაკვეთილზე შესწავლილი ახალი შინაარსის ფიქსაციის ორგანიზება;
2. საგანმანათლებლო აქტივობების ამრეკლავი ანალიზის ორგანიზება სტუდენტებისთვის ცნობილი მოთხოვნების შესრულების თვალსაზრისით;
3. მოსწავლეთა მიერ გაკვეთილზე საკუთარი აქტივობების შეფასების ორგანიზება;
4. გაკვეთილზე გადაუჭრელი სირთულეების დაფიქსირების ორგანიზება, როგორც მომავალი სასწავლო აქტივობების მიმართულება;
5. საშინაო დავალების დისკუსიისა და ჩაწერის ორგანიზება.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება IX საფეხურზე.

ბიჭებო, რა ახალი ცოდნა აღმოაჩინეთ დღეს? (ჩვენ ვისწავლეთ წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე მარტივი გზით)

ჩამოაყალიბეთ ზოგადი გზა. (Ისინი ამბობენ)

რა გზით და რა შემთხვევებში შეგიძლიათ კვლავ გამოიყენოთ იგი? (Ისინი ამბობენ)

რა უპირატესობა აქვს ახალ მეთოდს?

მივაღწიეთ თუ არა გაკვეთილის მიზანს? (დიახ)

რა ცოდნა გამოიყენე მიზნის მისაღწევად? (Ისინი ამბობენ)

მიაღწიეთ წარმატებას?

რა სირთულეები იყო?

§ 87. წილადების შეკრება.

წილადების შეკრებას ბევრი მსგავსება აქვს მთელი რიცხვების შეკრებასთან. წილადების დამატება არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ რამდენიმე მოცემული რიცხვი (ტერმინი) გაერთიანებულია ერთ რიცხვში (ჯამში), რომელიც შეიცავს ტერმინების ერთეულების ყველა ერთეულს და წილადს.

თავის მხრივ განვიხილავთ სამ შემთხვევას:

1. ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
3. შერეული რიცხვების შეკრება.

1. ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

განვიხილოთ მაგალითი: 1 / 5 + 2 / 5 .

აიღეთ სეგმენტი AB (სურ. 17), აიღეთ იგი ერთეულად და გაყავით 5 ტოლ ნაწილად, შემდეგ ამ სეგმენტის AC ნაწილი AB სეგმენტის 1/5-ის ტოლი იქნება, ხოლო CD იმავე სეგმენტის ნაწილი. უდრის 2/5 AB-ს.

ნახაზიდან ჩანს, რომ თუ ავიღებთ AD ​​სეგმენტს, მაშინ ის უდრის 3/5 AB-ს; მაგრამ სეგმენტი AD არის ზუსტად AC და CD სეგმენტების ჯამი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ამ ტერმინებისა და მიღებული თანხის გათვალისწინებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ჯამის მრიცხველი მიიღეს წევრთა მრიცხველების მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი უცვლელი დარჩა.

აქედან ვიღებთ შემდეგ წესს: იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

განვიხილოთ მაგალითი:

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

მოდით დავამატოთ წილადები: 3/4 + 3/8 ჯერ ისინი უნდა შევიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური ბმული 6/8 + 3/8 ვერ დაიწერა; ჩვენ დავწერეთ აქ მეტი სიცხადისთვის.

ამგვარად, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელთან, დაუმატოთ მათი მრიცხველები და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს.

განვიხილოთ მაგალითი (დამატებით ფაქტორებს დავწერთ შესაბამის წილადებზე):

3. შერეული რიცხვების შეკრება.

მოდით დავამატოთ რიცხვები: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

ჯერ მივიყვანოთ ჩვენი რიცხვების წილადი ნაწილები საერთო მნიშვნელთან და ხელახლა დავწეროთ:

ახლა დაამატეთ მთელი და წილადი ნაწილები თანმიმდევრობით:

§ 88. წილადების გამოკლება.

წილადების გამოკლება განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. ეს არის მოქმედება, რომლითაც ორი ტერმინის და ერთი მათგანის ჯამის გათვალისწინებით, სხვა ტერმინი გვხვდება. რიგრიგობით განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

განვიხილოთ მაგალითი:

13 / 15 - 4 / 15

ავიღოთ სეგმენტი AB (სურ. 18), ავიღოთ ერთეული და გავყოთ 15 ტოლ ნაწილად; მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი იქნება AB-ის 1/15, ხოლო ამავე სეგმენტის AD ნაწილი შეესაბამება 13/15 AB-ს. მოდით გამოვყოთ კიდევ ერთი სეგმენტი ED, ტოლი 4/15 AB.

13/15-ს უნდა გამოვაკლოთ 4/15. ნახაზში ეს ნიშნავს, რომ ED სეგმენტი უნდა გამოკლდეს AD სეგმენტს. შედეგად დარჩება სეგმენტი AE, რომელიც არის AB სეგმენტის 9/15. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენ მიერ მოყვანილი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სხვაობის მრიცხველი მიღებული იქნა მრიცხველების გამოკლებით და მნიშვნელი იგივე დარჩა.

მაშასადამე, იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ქვეტრაჰენდის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

მაგალითი. 3/4 - 5/8

ჯერ ეს წილადები შევამციროთ უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური ბმული 6 / 8 - 5 / 8 დაწერილია აქ სიცხადისთვის, მაგრამ მომავალში მისი გამოტოვება შეიძლება.

ამრიგად, წილადს რომ გამოვაკლოთ წილადი, ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ გამოაკლოთ წილის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს მათი სხვაობის ქვეშ.

განვიხილოთ მაგალითი:

3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

მაგალითი. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

მოდით მივიყვანოთ წილადის ნაწილები minuend-ისა და subtrahend-ის ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

მთლიანს გამოვაკლეთ მთლიანი და წილადი - წილადი. მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც სუბტრაჰენდის წილადი ნაწილი აღემატება მინუენდის წილად ნაწილს. ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ერთეული მინუენდის მთელი რიცხვიდან, გაყოთ ის იმ ნაწილებად, რომლებშიც გამოიხატება წილადი ნაწილი და დაუმატოთ მინუენდის წილადი ნაწილი. და შემდეგ გამოკლება შესრულდება ისევე, როგორც წინა მაგალითში:

§ 89. წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.
2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.
3. მთელი რიცხვის გამრავლება წილადზე.
4. წილადის გამრავლება წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გამრავლება.
6. ინტერესის ცნება.
7. მოცემული რიცხვის პროცენტების პოვნა. განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.

წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გამრავლებას. წილადის (გამრავლების) გამრავლება მთელ რიცხვზე (მულტიპლიკატორზე) ნიშნავს იდენტური წევრთა ჯამის შედგენას, რომელშიც თითოეული წევრი ტოლია გამრავლების, ხოლო წევრთა რაოდენობა ტოლია გამრავლების.

ასე რომ, თუ გჭირდებათ 1/9 7-ზე გამრავლება, მაშინ ეს შეიძლება გაკეთდეს ასე:

ჩვენ ადვილად მივიღეთ შედეგი, რადგან მოქმედება შემცირდა იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების მიმატებამდე. აქედან გამომდინარე,

ამ მოქმედების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე უდრის ამ წილადის იმდენჯერ გაზრდას, რამდენჯერაც არის ერთეულები მთელ რიცხვში. და რადგან წილადის ზრდა მიიღწევა ან მისი მრიცხველის გაზრდით

ან მისი მნიშვნელის შემცირებით , მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ან გავამრავლოთ მრიცხველი მთელ რიცხვზე, ან გავყოთ მნიშვნელი მასზე, თუ ასეთი გაყოფა შესაძლებელია.

აქედან ვიღებთ წესს:

წილადის მთელ რიცხვზე გასამრავლებლად, მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ ამ მთელ რიცხვზე და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი ან, თუ შესაძლებელია, გაყოთ მნიშვნელი ამ რიცხვზე, მრიცხველი უცვლელი დარჩეს.

გამრავლებისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.ბევრი პრობლემაა, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ, ან გამოთვალოთ მოცემული რიცხვის ნაწილი. განსხვავება ამ დავალებებს შორის არის ის, რომ ისინი იძლევიან ზოგიერთი ობიექტის ან საზომი ერთეულის რაოდენობას და თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვის ნაწილი, რომელიც ასევე მითითებულია აქ გარკვეული წილადით. გაგების გასაადვილებლად ჯერ მოვიყვანთ ასეთი პრობლემების მაგალითებს, შემდეგ კი გავაცნობთ მათი გადაჭრის მეთოდს.

დავალება 1.მე მქონდა 60 მანეთი; ამ თანხის 1/3 დავხარჯე წიგნების შესაძენად. რა დაჯდა წიგნები?

დავალება 2.მატარებელმა უნდა გაიაროს A და B ქალაქებს შორის მანძილი 300 კმ-ის ტოლი. მან ამ მანძილის 2/3 უკვე დაფარა. ეს რამდენი კილომეტრია?

დავალება 3.სოფელში 400 სახლია, 3/4 აგურის, დანარჩენი ხის. რამდენი აგურის სახლია?

აქ არის რამოდენიმე პრობლემა, რომლებთანაც უნდა ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის წილადი. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ პრობლემებს მოცემული რიცხვის წილადის საპოვნელად.

პრობლემის გადაწყვეტა 1. 60 რუბლიდან. 1/3 დავხარჯე წიგნებზე; ასე რომ, წიგნების ღირებულების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 60 3-ზე:

პრობლემის 2 გადაწყვეტა.პრობლემის მნიშვნელობა ის არის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 300 კმ-ის 2/3. გამოთვალეთ 300-დან პირველი 1/3; ეს მიიღწევა 300 კმ 3-ზე გაყოფით:

300: 3 = 100 (ეს არის 300-ის 1/3).

300-ის ორი მესამედის საპოვნელად, თქვენ უნდა გააორმაგოთ მიღებული კოეფიციენტი, ანუ გაამრავლოთ 2-ზე:

100 x 2 = 200 (ეს არის 300-ის 2/3).

პრობლემის გადაწყვეტა 3.აქ თქვენ უნდა დაადგინოთ აგურის სახლების რაოდენობა, რომელიც არის 400-ის 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 400-დან 1/4.

400: 4 = 100 (ეს არის 400-ის 1/4).

400-ის სამი მეოთხედის გამოსათვლელად, მიღებული კოეფიციენტი უნდა გაასამმაგდეს, ანუ გამრავლდეს 3-ზე:

100 x 3 = 300 (ეს არის 400-ის 3/4).

ამ პრობლემების გადაწყვეტის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი წესი:

მოცემული რიცხვის წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა ეს რიცხვი გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და მიღებული კოეფიციენტი გაამრავლოთ მის მრიცხველზე.

3. მთელი რიცხვის გამრავლება წილადზე.

ადრე (§ 26) დადგინდა, რომ მთელი რიცხვების გამრავლება უნდა იქნას გაგებული, როგორც იდენტური ტერმინების დამატება (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). ამ აბზაცში (პუნქტი 1) დადგინდა, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე ნიშნავს ამ წილადის ტოლი იდენტური წევრთა ჯამის პოვნას.

ორივე შემთხვევაში, გამრავლება შედგებოდა იდენტური ტერმინების ჯამის პოვნაში.

ახლა გადავდივართ მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებაზე. აქ შევხვდებით ასეთ, მაგალითად, გამრავლებას: 9 2/3. სავსებით აშკარაა, რომ გამრავლების წინა განმარტება ამ შემთხვევაში არ ვრცელდება. ეს აშკარაა იმ ფაქტიდან, რომ ჩვენ ვერ შევცვლით ასეთ გამრავლებას თანაბარი რიცხვების მიმატებით.

ამის გამო მოგვიწევს გამრავლების ახალი განმარტების მიცემა, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პასუხი გავცეთ კითხვას, თუ რა უნდა გავიგოთ წილადზე გამრავლებით, როგორ უნდა გავიგოთ ეს მოქმედება.

მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლების მნიშვნელობა ნათელია შემდეგი განმარტებიდან: მთელი რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება წილადზე (გამრავლება) ნიშნავს მულტიპლიკატორის ამ წილადის პოვნას.

კერძოდ, 9-ის 2/3-ზე გამრავლება ნიშნავს ცხრა ერთეულის 2/3-ის პოვნას. წინა პუნქტში ასეთი პრობლემები მოგვარდა; ასე რომ, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ჩვენ მივიღებთ 6-ს.

მაგრამ ახლა ჩნდება საინტერესო და მნიშვნელოვანი კითხვა: რატომ ჰქვია არითმეტიკაში ისეთ ერთი შეხედვით განსხვავებულ მოქმედებებს, როგორიცაა ტოლი რიცხვების ჯამის პოვნა და რიცხვის წილადის პოვნა ერთი და იგივე სიტყვა „გამრავლება“?

ეს იმიტომ ხდება, რომ წინა მოქმედება (რიცხვის გამეორება ტერმინებით რამდენჯერმე) და ახალი მოქმედება (რიცხვის წილადის პოვნა) პასუხობს ერთგვაროვან კითხვებზე. ეს ნიშნავს, რომ აქ ჩვენ გამოვდივართ იმ მოსაზრებებიდან, რომ ერთგვაროვანი კითხვები ან ამოცანები წყდება ერთი და იგივე მოქმედებით.

ამის გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი პრობლემა: „1 მ ქსოვილი 50 მანეთი ღირს. რა დაჯდება 4 მ ასეთი ქსოვილი?

ეს პრობლემა მოგვარებულია რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (4) რაოდენობის გამრავლებით, ანუ 50 x 4 = 200 (რუბლი).

ავიღოთ იგივე პრობლემა, მაგრამ მასში ტანსაცმლის რაოდენობა გამოიხატება წილადი რიცხვის სახით: „1 მ ქსოვილი ღირს 50 მანეთი. რა დაჯდება 3/4 მ ასეთი ქსოვილი?

ეს პრობლემა ასევე უნდა გადაწყდეს რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (3/4) გამრავლებით.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ რამდენჯერმე შეცვალოთ მასში არსებული რიცხვები პრობლემის მნიშვნელობის შეუცვლელად, მაგალითად, აიღეთ 9/10 მ ან 2 3/10 მ და ა.შ.

ვინაიდან ამ ამოცანებს ერთი და იგივე შინაარსი აქვთ და მხოლოდ რიცხვებით განსხვავდებიან, მათი ამოხსნისას გამოყენებულ მოქმედებებს ერთსა და იმავე სიტყვას - გამრავლებას ვუწოდებთ.

როგორ მრავლდება მთელი რიცხვი წილადზე?

ავიღოთ ბოლო ამოცანისას შეხვედრილი რიცხვები:

განმარტების მიხედვით უნდა ვიპოვოთ 50-დან 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 50-დან 1/4, შემდეგ კი 3/4.

50-დან 1/4 არის 50/4;

50-დან 3/4 არის.

აქედან გამომდინარე.

განვიხილოთ სხვა მაგალითი: 12 5 / 8 = ?

12-დან 1/8 არის 12/8,

12 რიცხვის 5/8 არის .

აქედან გამომდინარე,

აქედან ვიღებთ წესს:

მთელი რიცხვი წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადის მრიცხველზე და ეს ნამრავლი აქციოთ მრიცხველად, ხოლო მოცემული წილადის მნიშვნელს ხელი მოაწეროთ მნიშვნელად.

ჩვენ ვწერთ ამ წესს ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულყოფილად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გამრავლების წესთან, რომელიც ჩამოყალიბებულია § 38-ში.

უნდა გვახსოვდეს, რომ გამრავლების შესრულებამდე უნდა გააკეთოთ (თუ შესაძლებელია) ჭრის, Მაგალითად:

4. წილადის გამრავლება წილადზე.წილადის წილადზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს რაც მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებას, ანუ წილადის წილადზე გამრავლებისას უნდა იპოვო წილადი მამრავლში პირველი წილადიდან (გამრავლებით).

კერძოდ, 3/4-ის 1/2-ზე (ნახევარზე) გამრავლება ნიშნავს 3/4-ის ნახევრის პოვნას.

როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?

ავიღოთ მაგალითი: 3/4 გამრავლებული 5/7. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 5/7 3/4-დან. იპოვეთ ჯერ 1/7 3/4-დან და შემდეგ 5/7

3/4-ის 1/7 ასე იქნება გამოხატული:

5/7 რიცხვები 3/4 გამოისახება შემდეგნაირად:

ამრიგად,

კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8-ჯერ 4/9.

5/8-ის 1/9 არის,

4/9 რიცხვები 5/8 არის.

ამრიგად,

ამ მაგალითებიდან შეიძლება გამოიტანოს შემდეგი წესი:

წილადის წილადზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე და პირველი ნამრავლი მრიცხველად აქციოთ, ხოლო მეორე ნამრავლი ნამრავლის მნიშვნელად.

ეს წესი ზოგადად შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

გამრავლებისას საჭიროა (თუ შესაძლებელია) შემცირება. განვიხილოთ მაგალითები:

5. შერეული რიცხვების გამრავლება.ვინაიდან შერეული რიცხვები ადვილად შეიძლება შეიცვალოს არასწორი წილადებით, ეს გარემოება ჩვეულებრივ გამოიყენება შერეული რიცხვების გამრავლებისას. ეს ნიშნავს, რომ იმ შემთხვევებში, როდესაც მამრავლი, ან მამრავლი, ან ორივე ფაქტორი გამოიხატება შერეული რიცხვებით, მაშინ ისინი იცვლება არასწორი წილადებით. გაამრავლეთ, მაგალითად, შერეული რიცხვები: 2 1/2 და 3 1/5. თითოეულ მათგანს ვაქცევთ არასწორ წილადად და შემდეგ მივამრავლებთ მიღებულ წილადებს წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით:

წესი.შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით.

Შენიშვნა.თუ ერთ-ერთი ფაქტორი არის მთელი რიცხვი, მაშინ გამრავლება შეიძლება განხორციელდეს განაწილების კანონის საფუძველზე შემდეგნაირად:

6. ინტერესის ცნება.ამოცანების ამოხსნისას და სხვადასხვა პრაქტიკული გამოთვლების შესრულებისას ვიყენებთ ყველა სახის წილადს. მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ბევრი რაოდენობა მათთვის არა რომელიმე, არამედ ბუნებრივ ქვედანაყოფებს აღიარებს. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეასედი (1/100), ეს იქნება პენი, ორი მეასედი არის 2 კაპიკი, სამი მეასედი არის 3 კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის 1/10, ეს იქნება "10 კაპიკი, ან დიმი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეოთხედი, ანუ 25 კაპიკი, ნახევარი რუბლი, ანუ 50 კაპიკი (ორმოცდაათი კაპიკი). აიღეთ, მაგალითად, 2/7 რუბლი, რადგან რუბლი არ იყოფა მეშვიდედ.

წონის საზომი ერთეული, ანუ კილოგრამი, საშუალებას იძლევა, პირველ რიგში, ათობითი ქვედანაყოფები, მაგალითად, 1/10 კგ ან 100 გ. და კილოგრამის ისეთი წილადები, როგორიცაა 1/6, 1/11, 1/ 13 იშვიათია.

ზოგადად, ჩვენი (მეტრული) ზომები არის ათობითი და ნებადართულია ათობითი ქვედანაყოფები.

თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ უაღრესად სასარგებლო და მოსახერხებელია მრავალფეროვან შემთხვევებში, რაოდენობების დაყოფის ერთი და იგივე (ერთგვაროვანი) მეთოდის გამოყენება. მრავალწლიანმა გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი კარგად დასაბუთებული დაყოფა არის "მეასედიანი". მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც ეხება ადამიანის პრაქტიკის ყველაზე მრავალფეროვან სფეროებს.

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12/100-ით შემცირდა.

მაგალითი. წიგნის წინა ფასი 10 მანეთია. ის 1 რუბლით დაეცა. 20 კოპი.

2. შემნახველი ბანკები წლის განმავლობაში უხდიან მეანაბრეებს შემნახველში ჩადებული თანხის 2/100-ს.

მაგალითი. 500 მანეთი იდება სალაროში, ამ თანხიდან შემოსავალი წელიწადში 10 რუბლია.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 5/100-ს.

მაგალითი სკოლაში მხოლოდ 1200 მოსწავლე სწავლობდა, მათგან 60-მა სკოლა დაამთავრა.

რიცხვის მეასედს ეწოდება პროცენტი..

სიტყვა "პროცენტი" ნასესხებია ლათინური ენიდან და მისი ძირი "cent" ნიშნავს ასს. წინადადებასთან ერთად (pro centum) ეს სიტყვა ნიშნავს "ასისთვის". ამ გამოთქმის მნიშვნელობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ თავდაპირველად ძველ რომში პროცენტი იყო ფული, რომელსაც მოვალე უხდიდა გამსესხებელს „ყოველ ასეულზე“. სიტყვა "ცენტი" ისმის ასეთი ნაცნობი სიტყვებით: ცენტნერი (ასი კილოგრამი), სანტიმეტრი (ამბობენ სანტიმეტრი).

მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ, რომ ქარხანამ მის მიერ წარმოებული ყველა პროდუქტის 1/100 წარმოადგინა გასული თვის განმავლობაში, ჩვენ ვიტყვით: გასულ თვეში ქარხანამ გამოუშვა ნარჩენების ერთი პროცენტი. იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ: ქარხანამ დადგენილ გეგმაზე 4/100-ით მეტი პროდუქტი გამოუშვა, ჩვენ ვიტყვით: ქარხანამ გეგმას 4 პროცენტით გადააჭარბა.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას:

1. წიგნების ფასი წინა ფასზე 12 პროცენტით შემცირდა.

2. შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს უხდიან დანაზოგში ჩადებული თანხის 2 პროცენტს წელიწადში.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა სკოლის ყველა მოსწავლის 5 პროცენტს.

ასოს შესამოკლებლად ჩვეულებრივია სიტყვის „პროცენტის“ ნაცვლად % ნიშნის დაწერა.

თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ % ნიშანი ჩვეულებრივ არ იწერება გამოთვლებში, ის შეიძლება ჩაიწეროს პრობლემის დებულებაში და საბოლოო შედეგში. გამოთვლების შესრულებისას ამ ხატით მთელი რიცხვის ნაცვლად უნდა დაწეროთ წილადი 100-იანი მნიშვნელით.

თქვენ უნდა შეგეძლოთ შეცვალოთ მთელი რიცხვი მითითებული ხატით წილადით 100 მნიშვნელით:

პირიქით, თქვენ უნდა მიეჩვიოთ მთელი რიცხვის დაწერას მითითებული ხატით წილადის ნაცვლად 100 მნიშვნელით:

7. მოცემული რიცხვის პროცენტების პოვნა.

დავალება 1.სკოლამ მიიღო 200 კუბური მეტრი. მ შეშა, არყის შეშა შეადგენს 30%-ს. რამდენი იყო არყის ხე?

ამ პრობლემის აზრი ის არის, რომ არყის შეშა იყო მხოლოდ შეშის ნაწილი, რომელიც მიიტანეს სკოლაში და ეს ნაწილი გამოიხატება წილად 30/100. ასე რომ, ჩვენ წინაშე დგას დავალება, ვიპოვოთ რიცხვის წილადი. მის ამოსახსნელად უნდა გავამრავლოთ 200 30/100-ზე (რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანები წყდება რიცხვის წილადზე გამრავლებით.).

ასე რომ, 200-დან 30% უდრის 60-ს.

წილადი 30/100, რომელიც გვხვდება ამ პრობლემაში, შეიძლება შემცირდეს 10-ით. ამ შემცირების განხორციელება თავიდანვე იქნებოდა შესაძლებელი; პრობლემის გადაწყვეტა არ შეიცვლება.

დავალება 2.ბანაკში სხვადასხვა ასაკის 300 ბავშვი იყო. 11 წლის ბავშვები იყო 21%, 12 წლის ბავშვები 61% და ბოლოს 13 წლის 18%. თითოეული ასაკის რამდენი ბავშვი იყო ბანაკში?

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა შეასრულოთ სამი გამოთვლა, ანუ თანმიმდევრულად იპოვოთ 11 წლის, შემდეგ 12 წლის და ბოლოს 13 წლის ბავშვების რაოდენობა.

ასე რომ, აქ საჭირო იქნება რიცხვის წილადის სამჯერ პოვნა. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

1) რამდენი ბავშვი იყო 11 წლის?

2) რამდენი ბავშვი იყო 12 წლის?

3) რამდენი ბავშვი იყო 13 წლის?

პრობლემის გადაჭრის შემდეგ სასარგებლოა ნაპოვნი რიცხვების დამატება; მათი ჯამი უნდა იყოს 300:

63 + 183 + 54 = 300

ყურადღება უნდა მიაქციოთ იმასაც, რომ პრობლემის პირობებში მოცემული პროცენტების ჯამი არის 100:

21% + 61% + 18% = 100%

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ბანაკში ბავშვების საერთო რაოდენობა 100%-ად იქნა აღებული.

3 და ჩა 3.მუშა თვეში 1200 მანეთს იღებდა. აქედან 65% კვებაზე დახარჯა, 6% ბინასა და გათბობაზე, 4% გაზზე, ელექტროენერგიასა და რადიოს, 10% კულტურულ საჭიროებებზე და 15% დაზოგა. რა თანხა დაიხარჯა დავალებაში მითითებულ საჭიროებებზე?

ამ პრობლემის გადასაჭრელად 1200 რიცხვის წილადი უნდა იპოვო 5-ჯერ.მოდით გავაკეთოთ.

1) რა თანხა იხარჯება საკვებზე? ამოცანაში ნათქვამია, რომ ეს ხარჯი არის მთელი შემოსავლის 65%, ანუ 1200 რიცხვის 65/100. მოდით გამოვთვალოთ:

2) რა თანხა გადაიხადეს ბინაში გათბობით? წინანდელივით კამათით მივდივართ შემდეგ გამოთვლებამდე:

3) რა თანხა გადაიხადე გაზზე, ელექტროენერგიაში და რადიოში?

4) რა თანხა იხარჯება კულტურულ საჭიროებებზე?

5) რა თანხა დაზოგა მუშამ?

გადამოწმებისთვის სასარგებლოა ამ 5 კითხვაში ნაპოვნი ნომრების დამატება. თანხა უნდა იყოს 1200 რუბლი. ყველა შემოსავალი აღებულია, როგორც 100%, რაც ადვილი შესამოწმებელია პრობლემის პირობებში მოცემული პროცენტების დამატებით.

სამი პრობლემა მოვაგვარეთ. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ამოცანები სხვადასხვა რამეს ეხებოდა (სკოლისთვის შეშის მიწოდება, სხვადასხვა ასაკის ბავშვების რაოდენობა, მუშის ხარჯები), ისინი ერთნაირად წყდებოდა. ეს იმიტომ მოხდა, რომ ყველა ამოცანაში საჭირო იყო მოცემული რიცხვების რამდენიმე პროცენტის პოვნა.

§ 90. წილადების დაყოფა.

წილადების გაყოფის შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.
2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე
3. მთელი რიცხვის გაყოფა წილადზე.
4. წილადის გაყოფა წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გაყოფა.
6. რიცხვის პოვნა მისი წილადის მიხედვით.
7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.

როგორც მთელი რიცხვების განყოფილებაში აღინიშნა, გაყოფა არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ ორი ფაქტორის (დივიდენდის) და ამ ფაქტორებიდან ერთ-ერთის (გამყოფის) ნამრავლის გათვალისწინებით, გვხვდება სხვა ფაქტორი.

მთელი რიცხვის დაყოფა მთელ რიცხვზე ჩვენ განვიხილეთ მთელი რიცხვების განყოფილებაში. იქ დაყოფის ორ შემთხვევას შევხვდით: გაყოფა ნარჩენების გარეშე, ან „მთლიანად“ (150: 10 = 15) და გაყოფა ნაშთით (100: 9 = 11 და 1 ნაშთში). ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მთელი რიცხვების სფეროში ზუსტი გაყოფა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, რადგან დივიდენდი ყოველთვის არ არის გამყოფისა და მთელი რიცხვის პროდუქტი. წილადზე გამრავლების შემოღების შემდეგ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მთელი რიცხვების გაყოფის ნებისმიერი შემთხვევა (გამორიცხულია მხოლოდ ნულზე გაყოფა).

მაგალითად, 7-ის 12-ზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომლის ნამრავლი 12-ზე იქნება 7. ეს რიცხვი არის წილადი 7/12, რადგან 7/12 12 = 7. კიდევ ერთი მაგალითი: 14: 25 = 14/25, რადგან 14/25 25 = 14.

ამრიგად, მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გააკეთოთ წილადი, რომლის მრიცხველი დივიდენდის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი არის გამყოფი.

2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.

გაყავით წილადი 6/7 3-ზე. ზემოთ მოცემული გაყოფის განმარტების მიხედვით, აქ გვაქვს ნამრავლი (6/7) და ერთ-ერთი ფაქტორი (3); საჭიროა ისეთი მეორე ფაქტორის პოვნა, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მისცემს მოცემულ ნამრავლს 6/7. ცხადია, ის ამ პროდუქტზე სამჯერ მცირე უნდა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენს წინაშე დასახული დავალება იყო წილადის 6/7 3-ჯერ შემცირება.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ წილადის შემცირება შეიძლება მოხდეს მრიცხველის შემცირებით ან მნიშვნელის გაზრდით. ამიტომ, შეგიძლიათ დაწეროთ:

ამ შემთხვევაში მრიცხველი 6 იყოფა 3-ზე, ამიტომ მრიცხველი 3-ჯერ უნდა შემცირდეს.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გაყოფილი 2-ზე. აქ მრიცხველი 5 არ იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე:

ამის საფუძველზე შეგვიძლია განვაცხადოთ წესი: წილადის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველი ამ მთელ რიცხვზე(თუ შესაძლებელია), დატოვეთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, ან გაამრავლოთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე, დატოვოთ იგივე მრიცხველი.

3. მთელი რიცხვის გაყოფა წილადზე.

დაე, საჭირო გახდეს 5-ის 1/2-ზე გაყოფა, ანუ იპოვეთ რიცხვი, რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 5. ცხადია, ეს რიცხვი უნდა იყოს 5-ზე მეტი, რადგან 1/2 არის სწორი წილადი. ხოლო რიცხვის სათანადო წილადზე გამრავლებისას ნამრავლი უნდა იყოს ნამრავლზე ნაკლები. უფრო გასაგებად, მოდით დავწეროთ ჩვენი მოქმედებები შემდეგნაირად: 5: 1 / 2 = X , ასე რომ x 1/2 \u003d 5.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი X , რომელიც 1/2-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. ვინაიდან გარკვეული რიცხვის 1/2-ზე გამრავლება ნიშნავს ამ რიცხვის 1/2-ის პოვნას, მაშასადამე, უცნობი რიცხვის 1/2. X არის 5 და მთელი რიცხვი X ორჯერ მეტი, ანუ 5 2 \u003d 10.

ასე რომ 5: 1/2 = 5 2 = 10

მოდით შევამოწმოთ:

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაე, საჭირო გახდეს 6-ის გაყოფა 2/3-ზე. ჯერ ვცადოთ სასურველი შედეგის პოვნა ნახატის გამოყენებით (სურ. 19).

სურ.19

დახაზეთ AB სეგმენტი, რომელიც უდრის ზოგიერთი ერთეულის 6-ს ​​და დაყავით თითოეული ერთეული 3 ტოლ ნაწილად. თითოეულ ერთეულში, სამი მესამედი (3/3) მთელ სეგმენტში AB არის 6-ჯერ დიდი, ე.ი. ე 18/3. ჩვენ ვაკავშირებთ პატარა ფრჩხილების დახმარებით 2-ის 18 მიღებულ სეგმენტს; იქნება მხოლოდ 9 სეგმენტი. ეს ნიშნავს, რომ წილადი 2/3 შეიცავს b ერთეულში 9-ჯერ, ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი 2/3 არის 9-ჯერ ნაკლები 6 მთელი რიცხვის ერთეულზე. აქედან გამომდინარე,

როგორ მივიღოთ ეს შედეგი ნახაზის გარეშე მხოლოდ გამოთვლების გამოყენებით? ვიკამათებთ შემდეგნაირად: საჭიროა 6-ის გაყოფა 2/3-ზე, ანუ საჭიროა პასუხის გაცემა კითხვაზე, რამდენჯერ შეიცავს 2/3 6-ში. ჯერ გავარკვიოთ: რამდენჯერ არის 1/3. შეიცავს 6-ში? მთლიან ერთეულში - 3 მესამედი, ხოლო 6 ერთეულში - 6-ჯერ მეტი, ანუ 18 მესამედი; ამ რიცხვის საპოვნელად 6 უნდა გავამრავლოთ 3-ზე. აქედან გამომდინარე, 1/3 შეიცავს b ერთეულებში 18-ჯერ, ხოლო 2/3 შეიცავს b-ს არა 18-ჯერ, არამედ იმდენივეჯერ, ანუ 18: 2 = 9. ამიტომ, 6-ის 2/3-ზე გაყოფისას ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

აქედან ვიღებთ მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფის წესს. მთელი რიცხვი წილადზე რომ გავყოთ, ეს მთელი რიცხვი უნდა გავამრავლოთ მოცემული წილადის მნიშვნელზე და ამ ნამრავლის მრიცხველად აქციოთ, გავყოთ მოცემული წილადის მრიცხველზე.

ჩვენ ვწერთ წესს ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულყოფილად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გაყოფის წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში. გაითვალისწინეთ, რომ იქაც იგივე ფორმულა იქნა მიღებული.

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

4. წილადის გაყოფა წილადზე.

დაე, საჭირო გახდეს 3/4-ის გაყოფა 3/8-ზე. რა იქნება რიცხვი, რომელიც მიიღება გაყოფის შედეგად? ის უპასუხებს კითხვას რამდენჯერ შეიცავს წილადი 3/8 წილადში 3/4. ამ საკითხის გასაგებად დავხატოთ ნახატი (სურ. 20).

აიღეთ AB სეგმენტი, აიღეთ ერთეულად, გაყავით 4 ტოლ ნაწილად და მონიშნეთ 3 ასეთი ნაწილი. სეგმენტი AC უდრის AB სეგმენტის 3/4-ს. მოდით, ახლა გავყოთ ოთხი საწყისი სეგმენტიდან თითოეული ნახევრად, შემდეგ AB სეგმენტი დაიყოფა 8 ტოლ ნაწილად და თითოეული ასეთი ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/8-ის ტოლი. 3 ასეთ სეგმენტს ვაკავშირებთ რკალებით, მაშინ თითოეული სეგმენტი AD და DC იქნება AB სეგმენტის 3/8-ის ტოლი. ნახაზზე ჩანს, რომ 3/8-ის ტოლი სეგმენტი შეიცავს 3/4-ის ტოლ სეგმენტში ზუსტად 2-ჯერ; ასე რომ, გაყოფის შედეგი შეიძლება დაიწეროს ასე:

3 / 4: 3 / 8 = 2

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაე, საჭირო გახდეს 15/16-ის გაყოფა 3/32-ზე:

შეგვიძლია ასე ვიმსჯელოთ: უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 3/32-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 15/16-ის ტოლი. მოდით დავწეროთ გამოთვლები ასე:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 უცნობი ნომერი X შეადგინეთ 15/16

1/32 უცნობი ნომერი X არის,

32/32 ნომრები X კოსმეტიკა .

აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, წილადის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გაამრავლოთ მეორის მრიცხველზე და პირველი ნამრავლი გააკეთოთ მრიცხველი და მრიცხველი. მეორე მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

5. შერეული რიცხვების გაყოფა.

შერეული რიცხვების გაყოფისას ისინი ჯერ უნდა გადაიზარდოს არასწორ წილადებად, შემდეგ კი მიღებული წილადები დაიყოს წილადი რიცხვების გაყოფის წესების მიხედვით. განვიხილოთ მაგალითი:

შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად:

ახლა გავყოთ:

ამრიგად, შერეული რიცხვების გასაყოფად საჭიროა მათი გადაყვანა არასწორ წილადებად და შემდეგ გაყოფა წილადების გაყოფის წესის მიხედვით.

6. რიცხვის პოვნა მისი წილადის მიხედვით.

წილადებზე სხვადასხვა ამოცანებს შორის, ზოგჯერ არის ისეთებიც, რომლებშიც მითითებულია უცნობი რიცხვის ზოგიერთი წილადის მნიშვნელობა და საჭიროა ამ რიცხვის პოვნა. ამ ტიპის ამოცანები შებრუნებული იქნება მოცემული რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანზე; იქ რიცხვი იყო მოცემული და საჭირო იყო ამ რიცხვის რაღაც წილადის პოვნა, აქ მოცემულია რიცხვის წილადი და საჭიროა თავად ამ რიცხვის პოვნა. ეს იდეა კიდევ უფრო ნათელი გახდება, თუ ამ ტიპის პრობლემის გადაწყვეტას მივმართავთ.

დავალება 1.პირველ დღეს მინაშენებმა 50 ფანჯარა შეამინეს, რაც აშენებული სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ია. რამდენი ფანჯარაა ამ სახლში?

გადაწყვეტილება.პრობლემა ამბობს, რომ 50 მინის ფანჯარა შეადგენს სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ს, რაც იმას ნიშნავს, რომ სულ 3-ჯერ მეტი ფანჯარაა, ე.ი.

სახლს 150 ფანჯარა ჰქონდა.

დავალება 2.მაღაზიაში გაიყიდა 1500 კგ ფქვილი, რაც მაღაზიაში არსებული ფქვილის მთლიანი მარაგის 3/8-ია. როგორი იყო მაღაზიის ფქვილის საწყისი მარაგი?

გადაწყვეტილება.პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ გაყიდული 1500 კგ ფქვილი მთლიანი მარაგის 3/8-ს შეადგენს; ეს ნიშნავს, რომ ამ მარაგის 1/8 იქნება 3-ჯერ ნაკლები, ანუ მის გამოსათვლელად საჭიროა 1500-ის შემცირება 3-ჯერ:

1500: 3 = 500 (ეს არის მარაგის 1/8).

ცხადია, მთლიანი მარაგი 8-ჯერ მეტი იქნება. აქედან გამომდინარე,

500 8 \u003d 4000 (კგ).

მაღაზიაში ფქვილის საწყისი მარაგი 4000 კგ იყო.

ამ პრობლემის განხილვიდან გამომდინარე, შემდეგი წესი შეიძლება გამოიტანოს.

რიცხვის საპოვნელად მისი წილადის მოცემული მნიშვნელობით საკმარისია ეს მნიშვნელობა გავყოთ წილადის მრიცხველზე და გავამრავლოთ შედეგი წილადის მნიშვნელზე.

ჩვენ გადავწყვიტეთ ორი ამოცანა რიცხვის პოვნის შესახებ მისი წილადის მიხედვით. ასეთი ამოცანები, როგორც ბოლოდან განსაკუთრებით კარგად ჩანს, წყდება ორი მოქმედებით: გაყოფით (ერთი ნაწილის აღმოჩენისას) და გამრავლებით (როცა მთელი რიცხვი იპოვება).

თუმცა წილადების დაყოფის შესწავლის შემდეგ ზემოაღნიშნული ამოცანების ამოხსნა შესაძლებელია ერთ მოქმედებაში, კერძოდ: წილადზე გაყოფა.

მაგალითად, ბოლო დავალება შეიძლება გადაწყდეს ერთი მოქმედებით ასე:

სამომავლოდ მოვაგვარებთ რიცხვის მისი წილადით პოვნის პრობლემას ერთ მოქმედებაში - გაყოფაში.

7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

ამ ამოცანებში მოგიწევთ რიცხვის პოვნა, ამ რიცხვის რამდენიმე პროცენტის ცოდნა.

დავალება 1.ამ წლის დასაწყისში შემნახველი ბანკიდან ავიღე 60 მანეთი. შემოსავალი იმ თანხიდან, რომელიც მე ჩავდე დანაზოგში ერთი წლის წინ. რამდენი ფული ჩავდე შემნახველ ბანკში? (სალაროები აძლევენ მეანაბრეებს შემოსავლის 2%-ს წელიწადში.)

პრობლემის აზრი ის არის, რომ გარკვეული თანხა შემნახველ ბანკში ჩავდე და იქ ერთი წელი ვიწექი. ერთი წლის შემდეგ მისგან 60 მანეთი მივიღე. შემოსავალი, რაც ჩემს მიერ ჩადებული თანხის 2/100-ია. რამდენი ფული ჩავდე?

მაშასადამე, ვიცოდეთ ამ ფულის ნაწილი, რომელიც გამოიხატება ორი გზით (რუბლით და წილადებით), უნდა ვიპოვოთ მთელი, ჯერჯერობით უცნობი, თანხა. ეს რიგითი პრობლემაა რიცხვის პოვნისას მისი წილადის მიხედვით. შემდეგი ამოცანები წყდება გაყოფით:

ასე რომ, შემნახველ ბანკში 3000 მანეთი ჩაიდო.

დავალება 2.ორ კვირაში მეთევზეებმა თვიური გეგმა 64%-ით შეასრულეს და 512 ტონა თევზი მოამზადეს. რა იყო მათი გეგმა?

პრობლემის მდგომარეობიდან ცნობილია, რომ მეთევზეებმა გეგმის ნაწილი დაასრულეს. ეს ნაწილი უდრის 512 ტონას, რაც გეგმის 64%-ია. რამდენი ტონა თევზია საჭირო გეგმის მიხედვით, არ ვიცით. პრობლემის გადაწყვეტა იქნება ამ რიცხვის პოვნა.

ასეთი ამოცანები წყდება გაყოფით:

ასე რომ, გეგმის მიხედვით, თქვენ უნდა მოამზადოთ 800 ტონა თევზი.

დავალება 3.მატარებელი რიგადან მოსკოვში წავიდა. როდესაც მან 276-ე კილომეტრი გაიარა, ერთ-ერთმა მგზავრმა გამვლელ კონდუქტორს ჰკითხა, რამდენი გზა ჰქონდათ უკვე გავლილი. ამაზე კონდუქტორმა უპასუხა: ”ჩვენ უკვე დავფარეთ მთელი მოგზაურობის 30%. რა მანძილია რიგადან მოსკოვამდე?

პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ რიგიდან მოსკოვამდე მგზავრობის 30% არის 276 კმ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მთელი მანძილი ამ ქალაქებს შორის, ანუ ამ ნაწილისთვის ვიპოვოთ მთელი:

§ 91. საპასუხო რიცხვები. გაყოფის შეცვლა გამრავლებით.

აიღეთ წილადი 2/3 და გადააწყვეთ მრიცხველი მნიშვნელის ადგილზე, მივიღებთ 3/2. ჩვენ მივიღეთ ფრაქცია, ამის საპასუხო.

იმისათვის, რომ მიიღოთ წილადის საპასუხო წილადი, თქვენ უნდა დააყენოთ მისი მრიცხველი მნიშვნელის ადგილას, ხოლო მნიშვნელი მრიცხველის ადგილზე. ამ გზით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ წილადი, რომელიც არის ნებისმიერი წილადის საპასუხო. Მაგალითად:

3/4, საპირისპირო 4/3; 5/6, საპირისპირო 6/5

ორ წილადს, რომელსაც აქვს თვისება, რომ პირველის მრიცხველი იყოს მეორის მნიშვნელი და პირველის მნიშვნელი მეორის მრიცხველი, ეწოდება. ურთიერთშებრუნებული.

ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელი წილადი იქნება 1/2-ის საპასუხო. ცხადია, ეს იქნება 2/1, ან უბრალოდ 2. ვეძებთ ამის საპასუხოდ, მივიღეთ მთელი რიცხვი. და ეს შემთხვევა არ არის იზოლირებული; პირიქით, ყველა წილადისთვის, რომელთა მრიცხველია 1 (ერთი), საპასუხო რიცხვები იქნება მთელი რიცხვები, მაგალითად:

1/3, ინვერსიული 3; 1/5, საპირისპირო 5

ვინაიდან რეციპროკულების ძიებისას მთელი რიცხვებიც შევხვდით, სამომავლოდ საპასუხო მნიშვნელობებზე კი არ ვისაუბრებთ.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ დავწეროთ მთელი რიცხვის საპასუხო. წილადებისთვის ეს მარტივად წყდება: მრიცხველის ადგილას მნიშვნელი უნდა დააყენოთ. ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ მთელი რიცხვის საპასუხო, რადგან ნებისმიერ მთელ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელი 1. ასე რომ, 7-ის საპასუხო იქნება 1/7, რადგან 7 \u003d 7/1; 10 რიცხვისთვის საპირისპირო არის 1/10, ვინაიდან 10 = 10/1

ეს აზრი შეიძლება სხვაგვარად გამოითქვას: მოცემული რიცხვის საპასუხოობა მიიღება მოცემულ რიცხვზე ერთის გაყოფით. ეს განცხადება მართალია არა მხოლოდ მთელი რიცხვებისთვის, არამედ წილადებისთვისაც. მართლაც, თუ გსურთ დაწეროთ რიცხვი, რომელიც არის 5/9-ის საპასუხო, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ 1 და გავყოთ 5/9-ზე, ე.ი.

ახლა ავღნიშნოთ ერთი ქონებაორმხრივი ნომრები, რომლებიც გამოგვადგება: ურთიერთ საპასუხო რიცხვების ნამრავლი უდრის ერთს.Ნამდვილად:

ამ თვისების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ რეციპროკულები შემდეგი გზით. ვიპოვოთ 8-ის საპასუხო.

ასოთი ავღნიშნოთ X , შემდეგ 8 X = 1, შესაბამისად X = 1/8. ვიპოვოთ სხვა რიცხვი, 7/12-ის შებრუნებული, აღვნიშნოთ იგი ასოთი X , შემდეგ 7/12 X = 1, შესაბამისად X = 1:7 / 12 ან X = 12 / 7 .

ჩვენ აქ შემოვიღეთ ორმხრივი რიცხვების ცნება, რათა ოდნავ შევავსოთ ინფორმაცია წილადების გაყოფის შესახებ.

როდესაც რიცხვ 6-ს ვყოფთ 3/5-ზე, მაშინ ვაკეთებთ შემდეგს:

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ გამოთქმას და შეადარეთ მოცემულს: .

თუ გამოთქმას ცალ-ცალკე ავიღებთ, წინასთან კავშირის გარეშე, მაშინ შეუძლებელია ამოხსნათ კითხვა, საიდან გაჩნდა: 6-ის 3/5-ზე გაყოფით თუ 6-ის 5/3-ზე გამრავლებიდან. ორივე შემთხვევაში შედეგი ერთნაირია. ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს დივიდენდის გამყოფის საპასუხოზე გამრავლებით.

ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები სრულად ადასტურებს ამ დასკვნას.

ათწილადი გამრავლებახდება სამ ეტაპად.

ათწილადები იწერება სვეტში და მრავლდება ჩვეულებრივ რიცხვებად.

ჩვენ ვითვლით ათწილადების რაოდენობას პირველი და მეორე ათწილადისთვის. ჩვენ ვამატებთ მათ რიცხვს.

მიღებულ შედეგში ვითვლით მარჯვნიდან მარცხნივ იმდენ ციფრს, რამდენიც აღმოჩნდა ზემოთ მოცემულ აბზაცში და ვსვამთ მძიმით.

როგორ გავამრავლოთ ათწილადები

ჩვენ ვწერთ ათობითი წილადებს სვეტში და ვამრავლებთ მათ ბუნებრივ რიცხვებად, მძიმეების უგულებელყოფით. ანუ 3.11 მივიჩნევთ 311-ად, ხოლო 0.01 1-ად.

მიღებული 311 . ახლა ჩვენ ვითვლით ნიშნების (ციფრების) რაოდენობას ათწილადის შემდეგ ორივე წილადისთვის. პირველ ათწილადს აქვს ორი ციფრი, ხოლო მეორე - ორი. მძიმების შემდეგ ციფრების საერთო რაოდენობა:

ჩვენ ვითვლით მარჯვნიდან მარცხნივ მიღებული რიცხვის 4 სიმბოლოს (ციფრს). შედეგში ნაკლები ციფრია, ვიდრე საჭიროა მძიმით გამოყოფა. ამ შემთხვევაში, თქვენ გჭირდებათ დატოვამიანიჭეთ ნულების გამოტოვებული რაოდენობა.

ერთი ციფრი გვაკლია, ამიტომ მარცხნივ ერთ ნულს მივაწერთ.

ნებისმიერი ათობითი წილადის გამრავლებისას 10-ზე; 100; 1000 და ა.შ. ათწილადი მოძრაობს მარჯვნივ იმდენი ციფრი, რამდენიც არის ნული ერთის შემდეგ.

• 70.1 10 = 701
• 0,023 100 = 2,3
• 5.6 1000 = 5600

ათწილადის გამრავლება 0.1-ზე; 0,01; 0,001 და ა.შ., აუცილებელია ამ წილადში მძიმის გადატანა მარცხნივ იმდენი ციფრით, რამდენიც ნულებია ერთეულის წინ.

ჩვენ ვითვლით ნულ მთელ რიცხვებს!

• 12 0.1 = 1.2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1.256 0.01 = 0.012 56

წილადების გამრავლება

ჩვენ განვიხილავთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებას რამდენიმე შესაძლო გზით.

წილადის გამრავლება წილადზე

ეს არის უმარტივესი შემთხვევა, რომელშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი წილადების გამრავლების წესები.

რომ წილადის გამრავლება წილადზე, აუცილებელი:

• გაამრავლეთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე და ჩაწერეთ მათი ნამრავლი ახალი წილადის მრიცხველში;
• გაამრავლოს პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე და ჩაწეროს მათი ნამრავლი ახალი წილადის მნიშვნელში;

მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლებამდე შეამოწმეთ შესაძლებელია თუ არა წილადების შემცირება. წილადების შემცირება გამოთვლებში მნიშვნელოვნად გაამარტივებს თქვენს გამოთვლებს.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება

წილადამდე გამრავლება ნატურალურ რიცხვზეთქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე და დატოვოთ წილადის მნიშვნელი უცვლელი.

თუ გამრავლების შედეგი არასწორი წილადია, არ დაგავიწყდეთ მისი გადაქცევა შერეულ რიცხვად, ანუ აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

შერეული რიცხვების გამრავლება

შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ ისინი უნდა გადააქციოთ არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის მიხედვით.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების კიდევ ერთი გზა

ზოგჯერ გამოთვლებში უფრო მოსახერხებელია ჩვეულებრივი წილადის რიცხვზე გამრავლების განსხვავებული მეთოდის გამოყენება.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე და მრიცხველი იგივე დატოვოთ.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, წესის ამ ვერსიის გამოყენება უფრო მოსახერხებელია, თუ წილადის მნიშვნელი ნაშთების გარეშე იყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

როგორ გავამრავლოთ წილადი მთელი წესით

ᲛᲔ. ათწილადი წილადის ბუნებრივ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ იგი ამ რიცხვზე, მძიმის უგულებელყოფით და შედეგად ნამრავლში გამოყოთ იმდენი ციფრი მარჯვნივ, რამდენიც იყო მოცემულ წილადში ათწილადის შემდეგ.

მაგალითები.შეასრულეთ გამრავლება: 1) 1.25 7; 2) 0.345 8; 3) 2.391 14.

გადაწყვეტილება.

II. ერთი ათობითი წილადის მეორეზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლება, უგულებელყოთ მძიმეები და შედეგად გამოყავით იმდენივე ციფრი მძიმით მარჯვნივ, რამდენიც იყო მძიმების შემდეგ ორივე ფაქტორში ერთად.

მაგალითები.შეასრულეთ გამრავლება: 1) 18.2 0.09; 2) 3.2 0.065; 3) 0,54 12,3.

გადაწყვეტილება.

III.ათწილადის გასამრავლებლად 10, 100, 1000 და ა.შ., თქვენ უნდა გადაიტანოთ ათობითი წერტილი მარჯვნივ 1, 2, 3 და ა.შ. ციფრით.

მაგალითები.შეასრულეთ გამრავლება: 1) 3.25 10; 2) 0.637 100; 3) 4.307 1000; 4) 2.04 1000; 5) 0.00031 10000.

გადაწყვეტილება.

IV.ათწილადის გამრავლება 0.1-ზე; 0,01; 0.001 და ა.შ., საჭიროა მძიმის გადატანა მარცხნივ 1, 2, 3 და ა.შ. ციფრით.

მაგალითები.შეასრულეთ გამრავლება: 1) 28,3 0,1; 2) 324.7 0.01; 3) 6,85 0,01; 4) 6179,5 0,001; 5) 92,1 0,0001.

www.mathematics-repetition.com

ათობითი წილადების გამრავლება, წესები, მაგალითები, ამონახსნები.

ჩვენ მივმართავთ შემდეგი მოქმედების შესწავლას ათობითი წილადებით, ახლა სრულყოფილად განვიხილავთ ათწილადების გამრავლება. ჯერ განვიხილოთ ათობითი წილადების გამრავლების ზოგადი პრინციპები. ამის შემდეგ გადავიდეთ ათობითი წილადის ათწილად წილადზე გამრავლებაზე, ვაჩვენოთ როგორ ხდება ათწილადის წილადების გამრავლება სვეტზე, განვიხილოთ მაგალითების ამონახსნები. შემდეგ გავაანალიზებთ ათობითი წილადების გამრავლებას ნატურალურ რიცხვებზე, კერძოდ 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. დასასრულს, მოდით ვისაუბროთ ათობითი წილადების ჩვეულებრივ წილადებზე და შერეულ რიცხვებზე გამრავლებაზე.

მაშინვე ვთქვათ, რომ ამ სტატიაში ვისაუბრებთ მხოლოდ დადებითი ათობითი წილადების გამრავლებაზე (იხ. დადებითი და უარყოფითი რიცხვები). დანარჩენი შემთხვევები გაანალიზებულია სტატიებში რაციონალური რიცხვების გამრავლება და რეალური რიცხვების გამრავლება.

გვერდის ნავიგაცია.

ათწილადების გამრავლების ზოგადი პრინციპები

განვიხილოთ ზოგადი პრინციპები, რომლებიც უნდა დავიცვათ ათობითი წილადებით გამრავლების შესრულებისას.

ვინაიდან უკანა ათწილადები და უსასრულო პერიოდული წილადები არის საერთო წილადების ათობითი ფორმა, ასეთი ათწილადების გამრავლება არსებითად საერთო წილადების გამრავლებაა. Სხვა სიტყვებით, საბოლოო ათწილადების გამრავლება, ბოლო და პერიოდული ათობითი წილადების გამრავლება, ისევე, როგორც პერიოდული ათწილადების გამრავლებამოდის ჩვეულებრივი წილადების გამრავლება ათწილადი წილადების ჩვეულებრივად გადაქცევის შემდეგ.

განვიხილოთ ათობითი წილადების გამრავლების გახმოვანებული პრინციპის გამოყენების მაგალითები.

შეასრულეთ ათწილადების გამრავლება 1,5 და 0,75.

შევცვალოთ გამრავლებული ათობითი წილადები შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადებით. ვინაიდან 1.5=15/10 და 0.75=75/100, მაშინ. თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი, შემდეგ კი შეარჩიოთ მთელი ნაწილი არასწორი წილადიდან და უფრო მოსახერხებელია მიღებული ჩვეულებრივი წილადის ჩაწერა 1 125/1 000, როგორც ათობითი წილადი 1.125.

უნდა აღინიშნოს, რომ მოსახერხებელია ბოლო ათობითი წილადების გამრავლება სვეტში, ათწილადების გამრავლების ამ მეთოდზე მომდევნო აბზაცში ვისაუბრებთ.

განვიხილოთ პერიოდული ათობითი წილადების გამრავლების მაგალითი.

გამოთვალეთ პერიოდული ათწილადების ნამრავლი 0,(3) და 2,(36) .

გადავიყვანოთ პერიოდული ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად:

მერე. შეგიძლიათ მიღებული ჩვეულებრივი წილადი გადაიყვანოთ ათობითი წილადად:

თუ გამრავლებულ ათობითი წილადებს შორის არის უსასრულო არაპერიოდული წილადები, მაშინ ყველა გამრავლებული წილადი, სასრულის და პერიოდულის ჩათვლით, უნდა დამრგვალდეს გარკვეულ ციფრამდე (იხ. რიცხვების დამრგვალება), შემდეგ კი შეასრულეთ დამრგვალების შემდეგ მიღებული საბოლოო ათობითი წილადების გამრავლება.

გაამრავლეთ ათწილადები 5.382… და 0.2.

ჯერ ვამრგვალებთ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი, დამრგვალება შეიძლება გაკეთდეს მეასედებამდე, გვაქვს 5,382 ... ≈5,38. საბოლოო ათობითი წილადი 0.2 არ საჭიროებს დამრგვალებას მეასედებად. ამრიგად, 5.382… 0.2≈5.38 0.2. რჩება საბოლოო ათობითი წილადების ნამრავლის გამოთვლა: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1,076.

ათობითი წილადების გამრავლება სვეტზე

სასრული ათობითი წილადების გამრავლება შეიძლება შესრულდეს სვეტით, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვების სვეტით გამრავლება.

ჩამოვაყალიბოთ ათობითი წილადების გამრავლების წესი. ათობითი წილადების სვეტზე გასამრავლებლად საჭიროა:

• მძიმეების იგნორირება, გამრავლების შესრულება ნატურალური რიცხვების სვეტით გამრავლების ყველა წესის მიხედვით;
• მიღებულ რიცხვში გამოყავით იმდენი ციფრი მარჯვნივ ათობითი წერტილით, რამდენიც არის ათწილადი ორივე ფაქტორში ერთად, და თუ პროდუქტში საკმარისი ციფრი არ არის, მაშინ ნულების საჭირო რაოდენობა უნდა დაემატოს მარცხნივ.

განვიხილოთ ათობითი წილადების სვეტზე გამრავლების მაგალითები.

გაამრავლეთ ათწილადები 63.37 და 0.12.

განვახორციელოთ ათობითი წილადების გამრავლება სვეტზე. პირველ რიგში, ჩვენ ვამრავლებთ რიცხვებს, უგულებელვყოფთ მძიმეებს:

რჩება მძიმის დადება მიღებულ პროდუქტში. მან უნდა გამოყოს 4 ციფრი მარჯვნივ, რადგან ფაქტორებში ოთხი ათობითი ადგილია (ორი 3.37 წილადში და ორი წილადი 0.12). იქ არის საკმარისი რიცხვები, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ ნულების დამატება მარცხნივ. დავასრულოთ ჩანაწერი:

შედეგად, ჩვენ გვაქვს 3.37 0.12 = 7.6044.

გამოთვალეთ ათწილადების ნამრავლი 3.2601 და 0.0254.

სვეტით გამრავლების შემდეგ მძიმეების გათვალისწინების გარეშე ვიღებთ შემდეგ სურათს:

ახლა პროდუქტში თქვენ უნდა გამოყოთ 8 ციფრი მარჯვნივ მძიმით, რადგან გამრავლებული წილადების ათობითი ადგილების საერთო რაოდენობა რვაა. მაგრამ პროდუქტში მხოლოდ 7 ციფრია, ამიტომ მარცხნივ იმდენი ნულის მინიჭება გჭირდებათ, რათა 8 ციფრი მძიმით გამოიყოს. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ უნდა მივაკუთვნოთ ორი ნული:

ეს ასრულებს ათობითი წილადების გამრავლებას სვეტით.

ათწილადების გამრავლება 0.1-ზე, 0.01-ზე და ა.შ.

ხშირად თქვენ უნდა გაამრავლოთ ათწილადები 0.1-ზე, 0.01-ზე და ა.შ. ამიტომ მიზანშეწონილია ჩამოაყალიბოთ ათწილადი წილადის ამ რიცხვებზე გამრავლების წესი, რომელიც გამომდინარეობს ზემოთ განხილული ათობითი წილადების გამრავლების პრინციპებიდან.

Ისე, მოცემული ათწილადის გამრავლება 0.1-ზე, 0.01-ზე, 0.001-ზე და ა.შ.იძლევა წილადს, რომელიც მიღებულია ორიგინალიდან, თუ მის ჩანაწერში მძიმით გადაადგილებულია მარცხნივ, შესაბამისად, 1, 2, 3 და ასე შემდეგ ციფრებით, და თუ არ არის საკმარისი ციფრები მძიმის გადასატანად, მაშინ საჭიროა რომ დაამატოთ საჭირო რაოდენობის ნულები მარცხნივ.

მაგალითად, ათწილადი 54.34 0.1-ზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ ათობითი წერტილი მარცხნივ 1 ციფრით წილადში 54.34 და მიიღებთ წილადს 5.434, ანუ 54.34 0.1 \u003d 5.434. ავიღოთ სხვა მაგალითი. ათწილადი 9.3 გაამრავლეთ 0.0001-ზე. ამისთვის უნდა გადავიტანოთ მძიმით 4 ციფრი მარცხნივ გამრავლებულ ათობითი წილადში 9.3, მაგრამ 9.3 წილადის ჩანაწერი არ შეიცავს სიმბოლოების ასეთ რაოდენობას. მაშასადამე, მარცხნივ წილადის 9.3 ჩანაწერში იმდენი ნულის მინიჭება გვჭირდება, რომ მძიმით ადვილად გადავიტანოთ 4 ციფრი, გვაქვს 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

გაითვალისწინეთ, რომ ათწილადის 0.1-ზე, 0.01, ...-ზე გამრავლების გამოცხადებული წესი მოქმედებს უსასრულო ათობითი წილადებისთვისაც. მაგალითად, 0,(18) 0,01=0,00(18) ან 93,938… 0,1=9,3938….

ათწილადის გამრავლება ნატურალურ რიცხვზე

მის ბირთვში ათწილადების გამრავლება ნატურალურ რიცხვებზეარაფრით განსხვავდება ათწილადის ათწილადზე გამრავლებისგან.

ყველაზე მოსახერხებელია სასრული ათობითი წილადის გამრავლება ბუნებრივ რიცხვზე სვეტით, მაშინ როდესაც თქვენ უნდა დაიცვან ათწილადის წილადების სვეტით გამრავლების წესები, რომლებიც განხილულია ერთ-ერთ წინა აბზაცში.

გამოთვალეთ პროდუქტი 15 2.27.

განვახორციელოთ ნატურალური რიცხვის გამრავლება სვეტში ათწილად წილადზე:

პერიოდული ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებისას პერიოდული წილადი უნდა შეიცვალოს ჩვეულებრივი წილადით.

გაამრავლეთ ათობითი წილადი 0,(42) ნატურალურ რიცხვზე 22.

ჯერ პერიოდული ათწილადი გადავიყვანოთ საერთო წილადად:

ახლა გავაკეთოთ გამრავლება: . ეს ათობითი შედეგი არის 9,(3).

ხოლო უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებისას ჯერ ის უნდა დამრგვალოთ.

გააკეთეთ გამრავლება 4 2.145….

თავდაპირველი უსასრულო ათობითი წილადის დამრგვალება მეასედამდე, მივალთ ნატურალური რიცხვისა და საბოლოო ათობითი წილადის გამრავლებამდე. გვაქვს 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

ათწილადის გამრავლება 10-ზე, 100, ...

საკმაოდ ხშირად გიწევთ ათობითი წილადების გამრავლება 10-ზე, 100-ზე,... ამიტომ, მიზანშეწონილია ამ შემთხვევებზე დეტალურად ვისაუბროთ.

ხმა ამოვიღოთ ათწილადის გამრავლების წესი 10, 100, 1000 და ა.შ.ათწილადი წილადის 10-ზე, 100-ზე, ... გამრავლებისას მის ჩანაწერში საჭიროა მძიმის მარჯვნივ გადატანა 1, 2, 3, ... ციფრებით, ხოლო მარცხნივ ზედმეტი ნულები გადააგდეთ; თუ გამრავლებული წილადის ჩანაწერში არ არის საკმარისი ციფრი მძიმის გადასატანად, მაშინ მარჯვნივ უნდა დაამატოთ ნულების საჭირო რაოდენობა.

ათწილადი 0,0783 გავამრავლოთ 100-ზე.

გადავიტანოთ წილადი 0.0783 ორციფრიანი მარჯვნივ ჩანაწერში და მივიღებთ 007.83. მარცხნივ ორი ​​ნულის ჩამოშვებით მივიღებთ ათობითი წილადს 7.38. ამრიგად, 0.0783 100=7.83.

ათწილადი 0.02 გაამრავლეთ 10000-ზე.

0.02 10000-ზე გასამრავლებლად საჭიროა მძიმით 4 ციფრი მარჯვნივ გადავიტანოთ. ცხადია, 0.02 წილადის ჩანაწერში არ არის საკმარისი ციფრი მძიმის 4 ციფრზე გადასატანად, ამიტომ მარჯვნივ დავამატებთ რამდენიმე ნულს, რათა მძიმით გადავიდეს. ჩვენს მაგალითში საკმარისია სამი ნულის დამატება, გვაქვს 0.02000. მძიმის გადატანის შემდეგ ვიღებთ ჩანაწერს 00200.0. მარცხნივ ნულების ჩამოგდება გვაქვს რიცხვი 200.0, რომელიც უდრის ნატურალურ რიცხვს 200, ეს არის ათწილადის 0.02 10000-ზე გამრავლების შედეგი.

მითითებული წესი მოქმედებს უსასრულო ათობითი წილადების 10-ზე გასამრავლებლადაც, 100-ზე, ... პერიოდული ათობითი წილადების გამრავლებისას ფრთხილად უნდა იყოთ იმ წილადის პერიოდთან, რომელიც არის გამრავლების შედეგი.

პერიოდული ათობითი 5.32(672) გავამრავლოთ 1000-ზე.

გამრავლებამდე პერიოდულ ათობითი წილადს ვწერთ 5.32672672672 ..., ეს საშუალებას მოგვცემს თავიდან ავიცილოთ შეცდომები. ახლა მძიმით გადავიტანოთ მარჯვნივ 3 ციფრით, გვაქვს 5 326.726726 ... . ამრიგად, გამრავლების შემდეგ, პერიოდული ათობითი წილადი მიიღება 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

უსასრულო არაპერიოდული წილადების 10-ზე, 100-ზე, ... გამრავლებისას ჯერ უსასრულო წილადი უნდა დამრგვალოთ გარკვეულ ციფრამდე, შემდეგ კი განახორციელოთ გამრავლება.

ათწილადის გამრავლება ჩვეულებრივ წილადზე ან შერეულ რიცხვზე

სასრული ათობითი წილადის ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის ჩვეულებრივი წილადის ან შერეული რიცხვის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ ათობითი წილადი, როგორც ჩვეულებრივი წილადი და შემდეგ განახორციელოთ გამრავლება.

გაამრავლეთ ათობითი წილადი 0,4 შერეულ რიცხვზე.

ვინაიდან 0.4=4/10=2/5 და მერე. შედეგად მიღებული რიცხვი შეიძლება დაიწეროს პერიოდული ათობითი წილადის სახით 1.5(3).

უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის საერთო წილადზე ან შერეულ რიცხვზე გამრავლებისას, საერთო წილადი ან შერეული რიცხვი უნდა შეიცვალოს ათობითი წილადით, შემდეგ დამრგვალოთ გამრავლებული წილადები და დაასრულოთ გამოთვლა.

მას შემდეგ, რაც 2/3 \u003d 0.6666 ..., მაშინ. გამრავლებული წილადების მეათასედებზე დამრგვალების შემდეგ მივდივართ ორი საბოლოო ათობითი წილადის ნამრავლამდე 3,568 და 0,667. მოდით გავამრავლოთ სვეტში:

მიღებული შედეგი უნდა დამრგვალდეს მეათასედებში, ვინაიდან გამრავლებული წილადები აღებულია მეათასედის სიზუსტით, გვაქვს 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლება: წესები, მაგალითები, ამონახსნები.

ვაგრძელებთ მოქმედებების შესწავლას ჩვეულებრივი წილადებით. ახლა ყურადღების ცენტრშია საერთო წილადების გამრავლება. ამ სტატიაში მივცემთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესს, განიხილეთ ამ წესის გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას. ასევე ყურადღებას გავამახვილებთ ჩვეულებრივი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებაზე. დასასრულს, განიხილეთ როგორ ხდება სამი ან მეტი წილადის გამრავლება.

გვერდის ნავიგაცია.

საერთო წილადის გამრავლება საერთო წილადზე

დავიწყოთ ფორმულირებით საერთო წილადების გამრავლების წესები: წილადის წილადზე გამრავლებით მიიღება წილადი, რომლის მრიცხველი ტოლია გამრავლებული წილადების მრიცხველების ნამრავლის, ხოლო მნიშვნელი ტოლია მნიშვნელების ნამრავლის.

ანუ, ფორმულა შეესაბამება ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებას a/b და c/d.

მოვიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის საილუსტრაციო მაგალითი. განვიხილოთ კვადრატი 1 ერთეულის გვერდით. , ხოლო მისი ფართობი 1 ერთეული 2 . დაყავით ეს კვადრატი თანაბარ მართკუთხედებად გვერდებით 1/4 ერთეული. და 1/8 ერთეული. , ხოლო თავდაპირველი კვადრატი შედგება 4 8 = 32 მართკუთხედისაგან, შესაბამისად, თითოეული მართკუთხედის ფართობი არის თავდაპირველი კვადრატის ფართობის 1/32, ანუ უდრის 1/32 ერთეულს 2. ახლა მოდით დავხატოთ ორიგინალური კვადრატის ნაწილი. ყველა ჩვენი ქმედება აისახება ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

შევსებული მართკუთხედის გვერდები 5/8 ერთეულია. და 3/4 ერთეული. , რაც ნიშნავს, რომ მისი ფართობი უდრის 5/8 და 3/4 წილადების ნამრავლს, ანუ 2 ერთეულებს. მაგრამ შევსებული მართკუთხედი შედგება 15 "პატარა" მართკუთხედისაგან, ამიტომ მისი ფართობია 15/32 ერთეული 2 . აქედან გამომდინარე,. ვინაიდან 5 3=15 და 8 4=32, ბოლო ტოლობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც , რომელიც ადასტურებს ფორმის ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების ფორმულას .

გაითვალისწინეთ, რომ გახმოვანებული გამრავლების წესის დახმარებით შეგიძლიათ გაამრავლოთ როგორც სწორი, ისე არასწორი წილადები, ასევე წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით და წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით.

განიხილეთ საერთო წილადების გამრავლების მაგალითები.

გაამრავლეთ საერთო წილადი 7/11 საერთო წილადზე 9/8.

7-ისა და 9-ის გამრავლებული წილადების მრიცხველების ნამრავლი არის 63, ხოლო 11-ისა და 8-ის მნიშვნელების ნამრავლი არის 88. ამგვარად, საერთო წილადების 7/11 და 9/8 გამრავლებით მივიღებთ წილადს 63/88.

აქ მოცემულია გადაწყვეტის მოკლე შინაარსი: .

არ უნდა დავივიწყოთ მიღებული წილადის შემცირება, თუ გამრავლების შედეგად მიიღება შემცირებადი წილადი და არასათანადო წილადიდან მთელი ნაწილის შერჩევა.

გაამრავლე წილადები 4/15 და 55/6.

გამოვიყენოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესი: .

ცხადია, მიღებული წილადი შემცირდება (10-ზე გაყოფის ნიშანი გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ 220/90 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო კოეფიციენტი 10). შევამციროთ წილადი 220/90: GCD(220, 90)=10 და . რჩება მთელი რიცხვის ნაწილის არჩევა მიღებული არასწორი წილადიდან: .

გაითვალისწინეთ, რომ წილადის შემცირება შეიძლება განხორციელდეს მრიცხველების ნამრავლების და გამრავლებული წილადების მნიშვნელების ნამრავლების გამოთვლამდე, ანუ როცა წილადს აქვს ფორმა . ამ რიცხვისთვის a, b, c და d იცვლება მათი მარტივი ფაქტორიზაციებით, რის შემდეგაც უქმდება მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები.

გასარკვევად, დავუბრუნდეთ წინა მაგალითს.

გამოთვალეთ ფორმის წილადების ნამრავლი.

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების ფორმულით გვაქვს .

ვინაიდან 4=2 2, 55=5 11, 15=3 5 და 6=2 3, მაშინ . ახლა ჩვენ ვაუქმებთ საერთო პირველ ფაქტორებს: .

რჩება მხოლოდ პროდუქტების გამოთვლა მრიცხველში და მნიშვნელში, შემდეგ კი აირჩიეთ მთელი ნაწილი არასწორი წილადიდან: .

უნდა აღინიშნოს, რომ წილადების გამრავლება ხასიათდება კომუტაციური თვისებით, ანუ გამრავლებული წილადები შეიძლება შეიცვალოს: .

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება

დავიწყოთ ფორმულირებით საერთო წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესები: წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებით მიიღება წილადი, რომლის მრიცხველი ტოლია გამრავლებული წილადის მრიცხველის ნამრავლის ნატურალურ რიცხვზე, ხოლო მნიშვნელი ტოლია გამრავლებული წილადის მნიშვნელის.

ასოების დახმარებით a/b წილადის n ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესს აქვს ფორმა .

ფორმულა გამომდინარეობს ფორმის ორი ჩვეულებრივი წილადის გამრავლების ფორმულიდან. მართლაც, ნატურალური რიცხვის წარმოდგენით წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით, მივიღებთ .

განვიხილოთ წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების მაგალითები.

წილადი 2/27 გავამრავლოთ 5-ზე.

მრიცხველი 2-ის 5-ზე გამრავლება იძლევა 10-ს, მაშასადამე, წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესის მიხედვით, 2/27-ის ნამრავლი 5-ზე უდრის წილადს 10/27.

მთელი გამოსავალი შეიძლება მოხერხებულად დაიწეროს შემდეგნაირად: .

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებისას მიღებული წილადი ხშირად უნდა შემცირდეს, ხოლო თუ ის ასევე არასწორია, მაშინ წარმოადგინეთ იგი შერეულ რიცხვად.

წილადი 5/12 გავამრავლოთ 8 რიცხვზე.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ცხადია, მიღებული წილადი მცირდება (2-ზე გაყოფის ნიშანი მიუთითებს მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო გამყოფ 2-ზე). შევამციროთ წილადი 40/12: ვინაიდან LCM(40, 12)=4, მაშინ . რჩება მთელი ნაწილის შერჩევა: .

აქ არის მთელი გამოსავალი: .

გაითვალისწინეთ, რომ შემცირება შეიძლება განხორციელდეს მრიცხველში და მნიშვნელში რიცხვების ჩანაცვლებით მათი გაფართოებით მარტივ ფაქტორებად. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება:

ამ აბზაცის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ წილადის გამრავლებას ნატურალურ რიცხვზე აქვს კომუტაციური თვისება, ანუ წილადის ნამრავლი ნატურალური რიცხვით ტოლია ამ ნატურალური რიცხვის ნამრავლის წილადით: .

გაამრავლეთ სამი ან მეტი წილადი

ჩვენ მიერ განვსაზღვრეთ ჩვეულებრივი წილადები და მათთან გამრავლების მოქმედება, გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ ნატურალური რიცხვების გამრავლების ყველა თვისება ვრცელდება წილადების გამრავლებაზე.

გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებები იძლევა ცალსახად განსაზღვრას სამი ან მეტი წილადისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლება. ამ შემთხვევაში ყველაფერი ხდება ანალოგიით სამი ან მეტი ნატურალური რიცხვის გამრავლებით. კერძოდ, ნაწარმოებში წილადები და ნატურალური რიცხვები შეიძლება გადააწყდეს გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის, ხოლო ფრჩხილების არარსებობის შემთხვევაში, რომელიც მიუთითებს მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობას, ჩვენ შეგვიძლია თავად მოვაწყოთ ფრჩხილები ნებისმიერი დაშვებული გზით.

განვიხილოთ რამდენიმე წილადისა და ნატურალური რიცხვის გამრავლების მაგალითები.

გაამრავლეთ სამი საერთო წილადი 1/20, 12/5, 3/7 და 5/8.

დავწეროთ პროდუქტი, რომელიც უნდა გამოვთვალოთ . წილადების გამრავლების წესის მიხედვით, დაწერილი ნამრავლი ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი ტოლია ყველა წილადის მრიცხველების ნამრავლის, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი: .

მრიცხველში და მნიშვნელში პროდუქციის გამოთვლამდე, მიზანშეწონილია ყველა ფაქტორი ჩაანაცვლოს მათი გაფართოებით პირველ ფაქტორებად და შემცირდეს (რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ წილადის შემცირება გამრავლების შემდეგ, მაგრამ ხშირ შემთხვევაში ამას დიდი გამოთვლითი ძალისხმევა სჭირდება): .

.

გაამრავლეთ ხუთი რიცხვი .

ამ პროდუქტში მოსახერხებელია წილადის 7/8 დაჯგუფება 8 რიცხვით, ხოლო 12 რიცხვი წილადით 5/36, ეს გაამარტივებს გამოთვლებს, რადგან ასეთი დაჯგუფებით შემცირება აშკარაა. Ჩვენ გვაქვს
.

.

www.cleverstudents.ru

პოპულარული:

• რაიონულ სასამართლოში მიმართვისას საიტის ძვირფასო სტუმრებო! ფედერალური ხაზინის დეპარტამენტი სანკტ-პეტერბურგში (რუსეთის ინტერრაიონული IFTS No. 10 სანკტ-პეტერბურგისთვის) საგადასახადო ორგანოს ბენეფიციარის ანგარიშის ნომერი ჩრდილო-დასავლეთი […]
• ალიმენტის ოდენობის შემცირების სახელმწიფო ბაჟის გამოთვლა სასამართლოები იცავენ შემდეგ პოზიციას: სახელმწიფო ბაჟი გამოითვლება იმ თანხიდან, რომლითაც მცირდება ალიმენტის ოდენობა (სარჩელის ღირებულებიდან). სასამართლოს წინაშე სახელმწიფო ბაჟის ოდენობის გაანგარიშების მაგალითი, როდესაც [...]
• ათობითი წილადების დაყოფა, წესები, მაგალითები, ამონახსნები. ვაგრძელებთ ათწილადის წილადებით მოქმედებების შესწავლას, დროა ვისაუბროთ ათობითი წილადების გაყოფაზე. დავიწყოთ ათობითი გაყოფის ზოგადი პრინციპებით. უფრო შორს […]
• რუსეთის ფედერაციის საგადასახადო კოდექსის 333.19 მუხლი. რუსეთის ფედერაციის უზენაესი სასამართლოს, საერთო იურისდიქციის სასამართლოების, რუსეთის ფედერაციის საგადასახადო კოდექსის ST 333.19 სამშვიდობო მოსამართლეების მიერ განხილულ საქმეებში სახელმწიფო ბაჟის ზომები. 1. უზენაესი სასამართლოს საქმეებში […]
• სოციალური დაზღვევის კომისიის (ავტორიზებული) მოდელის რეგულირება N 556a "სოციალური დაზღვევის კომისიის (ავტორიზებული) რეგულირების მოდელი" დამტკიცებული რუსეთის ფედერაციის სოციალური დაზღვევის ფონდის თავმჯდომარის მიერ […]
• რუსეთის ფედერაციის შეიარაღებული ძალების სახელმწიფო გადასახადის გადახდის დეტალებმა, ასევე მოსკოვის საარბიტრაჟო სასამართლომ და მოსკოვის ოლქის საარბიტრაჟო სასამართლომ შეცვალა უზენაესში განსახილველ საქმეებში სახელმწიფო გადასახადის გადახდის ახალი საბანკო მონაცემები. რუსეთის ფედერაციის სასამართლო, მოსკოვის საარბიტრაჟო სასამართლო და […]
• ბურღვის რეზერვუარი არის მაღალი ფორიანობის და გამტარიანობის მქონე კლდე, რომელიც შეიცავს ნავთობისა და გაზის ამოსაღებ რაოდენობას. რეზერვუარის ძირითადი კლასიფიკაციის მახასიათებლებია ფილტრაციის და დაგროვების პირობები […]
• ჩვენი ჯგუფი VK-ში მიიღეთ ფასდაკლება ტრენინგზე. იჩქარეთ, მიიღეთ ფასდაკლება 1000 მანეთი! ავტოსკოლაში ჩარიცხვა შეავსეთ ეს ფორმა, დაგიკავშირდებით და გიწვევთ გაკვეთილებზე. მოგესალმებით! 1. გამაფრთხილებელი ნიშნები გამაფრთხილებელი […]