• სისტემები მწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნაარის ასეთი რიცხვების ნაკრები ( x 1, x 2, ..., x n), რომლის ჩანაცვლებით სისტემის თითოეულ განტოლებაში მიიღება სწორი ტოლობა.
  სადაც a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, nარის სისტემის კოეფიციენტები;
  b i, i = 1, …, m- თავისუფალი წევრები;
  x j, j = 1, …, n- უცნობი.
  ზემოაღნიშნული სისტემა შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით: A X = B,
  
  
  
  
  სად ( ა|ბ) არის სისტემის მთავარი მატრიცა;
  ა- სისტემის გაფართოებული მატრიცა;
  X- უცნობის სვეტი;
  ბარის თავისუფალი წევრების სვეტი.
  თუ მატრიცა ბარ არის ნულოვანი მატრიცა ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას უწოდებენ არაჰომოგენურს.
  თუ მატრიცა ბ= ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას ერთგვაროვანი ეწოდება. ერთგვაროვან სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) გამოსავალი: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  წრფივი განტოლებათა ერთობლივი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს ამონახსნი.
  წრფივი განტოლებათა არათანმიმდევრული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც არ აქვს ამონახსნი.
  წრფივი განტოლებათა გარკვეული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს უნიკალური ამონახსნები.
  წრფივი განტოლებათა განუსაზღვრელი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
• n წრფივი განტოლების სისტემები n უცნობით
  თუ უცნობის რაოდენობა უდრის განტოლებათა რაოდენობას, მაშინ მატრიცა არის კვადრატი. მატრიცის განმსაზღვრელს ეწოდება წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი და აღინიშნება სიმბოლო Δ.
  კრამერის მეთოდისისტემების გადასაჭრელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  კრამერის წესი.
  თუ წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემა თანმიმდევრული და განსაზღვრულია და ერთადერთი გამოსავალი გამოითვლება კრამერის ფორმულების გამოყენებით:
  სადაც Δ i არის დეტერმინანტები, რომლებიც მიიღება Δ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელიდან შეცვლით მეე სვეტი თავისუფალი წევრების სვეტამდე. .
• m წრფივი განტოლებების სისტემები n უცნობით
  კრონეკერ-კაპელის თეორემა.
  
  
  იმისათვის, რომ წრფივი განტოლებათა ეს სისტემა იყოს თანმიმდევრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლი იყოს სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგის, წოდება (Α) = წოდება (Α|B).
  Თუ rang(Α) ≠ რანგი(Α|B), მაშინ სისტემას აშკარად არ აქვს გადაწყვეტილებები.
  თუ წოდება (Α) = წოდება (Α|B), მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა:
  1) rang(Α) = n(უცნობების რაოდენობამდე) - გამოსავალი უნიკალურია და მისი მიღება შესაძლებელია კრამერის ფორმულებით;
  2) წოდება (Α)< n − უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია.
• გაუსის მეთოდიწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის
  
  
  მოდით შევადგინოთ გაძლიერებული მატრიცა ( ა|ბ) კოეფიციენტების მოცემული სისტემის უცნობი და მარჯვენა მხარეს.
  გაუსის მეთოდი ან უცნობების აღმოფხვრის მეთოდი მოიცავს გაზრდილი მატრიცის შემცირებას ( ა|ბ) მის მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით დიაგონალურ ფორმამდე (ზედა სამკუთხედის ფორმამდე). განტოლებათა სისტემას რომ დავუბრუნდეთ, ყველა უცნობი განისაზღვრება.
  სიმებიანი ელემენტარული გარდაქმნები მოიცავს შემდეგს:
  1) ორი ხაზის შეცვლა;
  2) სტრიქონის გამრავლება 0-ის გარდა სხვა რიცხვზე;
  3) სტრიქონში სხვა სტრიქონის დამატება თვითნებური რიცხვით;
  4) ნულოვანი სტრიქონის გაუქმება.
  დიაგონალურ ფორმამდე დაყვანილი გაფართოებული მატრიცა შეესაბამება მოცემულის ექვივალენტურ წრფივ სისტემას, რომლის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს. .
• ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებათა სისტემა.
  ერთგვაროვან სისტემას აქვს ფორმა:
  
  იგი შეესაბამება მატრიცის განტოლებას A X = 0.
  1) ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ვინაიდან r(A) = r(A|B), ყოველთვის არის ნულოვანი ამონახსნი (0, 0, …, 0).
  2) იმისთვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია r = r(A)< n , რომელიც უდრის Δ = 0-ს.
  3) თუ რ< n , შემდეგ Δ = 0, მაშინ არის თავისუფალი უცნობი c 1 , c 2 , ..., c n-r, სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტილებები და მათგან უსაზღვროდ ბევრია.
  4) ზოგადი გადაწყვეტა Xზე რ< n შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით შემდეგნაირად:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  სად არის გადაწყვეტილებები X 1, X 2, …, X n-rქმნიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას.
  5) ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შეიძლება მივიღოთ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნით:
  
  ,
  თუ თანმიმდევრულად მივიღებთ პარამეტრების მნიშვნელობებს (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1).
  ზოგადი ამონახსნის დაშლა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის თვალსაზრისითარის ზოგადი ამონახსნის ჩანაწერი, როგორც ფუნდამენტური სისტემის კუთვნილი ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.
  თეორემა. იმისათვის, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისი, რომ Δ ≠ 0.
  ასე რომ, თუ განმსაზღვრელი Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
  თუ Δ ≠ 0, მაშინ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
  თეორემა. იმისთვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, ეს აუცილებელია და საკმარისია r(A)< n .
  მტკიცებულება:
  1) რმეტი არ შეიძლება ნ(მატრიცის რანგი არ აღემატება სვეტების ან მწკრივების რაოდენობას);
  2) რ< n , იმიტომ თუ r=n, შემდეგ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი Δ ≠ 0 და, კრამერის ფორმულების მიხედვით, არსებობს უნიკალური ტრივიალური ამოხსნა. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, რაც ეწინააღმდეგება პირობას. ნიშნავს, r(A)< n .
  შედეგი. ერთგვაროვანი სისტემის შესაქმნელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობებს აქვს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ Δ = 0.

მოცემულია N წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა (SLAE) უცნობიებით, რომლის კოეფიციენტები არის მატრიცის ელემენტები, ხოლო თავისუფალი წევრები - რიცხვები.

პირველი ინდექსი კოეფიციენტების გვერდით მიუთითებს, რომელ განტოლებაში მდებარეობს კოეფიციენტი, ხოლო მეორე - უცნობი უცნობიდან რომელზე მდებარეობს.

თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი

მაშინ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების ისეთი მოწესრიგებული სიმრავლე, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ განტოლებას სწორ ტოლობაში.

თუ სისტემის ყველა განტოლების მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია, მაშინ განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი. იმ შემთხვევაში, როდესაც ზოგიერთი მათგანი არ არის ნულოვანი, არაერთგვაროვანი

თუ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც, მაშინ მას თავსებადი ეწოდება, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეუთავსებელია.

თუ სისტემის ამონახსნი უნიკალურია, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება განსაზღვრული. იმ შემთხვევაში, როდესაც ერთობლივი სისტემის ამონახსნი არ არის უნიკალური, განტოლებათა სისტემას ეწოდება განუსაზღვრელი.

წრფივი განტოლების ორ სისტემას ეწოდება ეკვივალენტი (ან ეკვივალენტი), თუ ერთი სისტემის ყველა ამონახსნები მეორეს ამონახსნებია და პირიქით. ეკვივალენტური (ან ეკვივალენტური) სისტემები მიიღება ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენებით.

SLAE-ის ეკვივალენტური გარდაქმნები

1) განტოლებათა გადაწყობა;

2) განტოლებების გამრავლება (ან გაყოფა) არანულოვანი რიცხვით;

3) ზოგიერთ განტოლებას კიდევ ერთი განტოლების დამატება, გამრავლებული თვითნებური არანულოვანი რიცხვით.

SLAE გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს სხვადასხვა გზით.

კრამერის მეთოდი

კრამერის თეორემა. თუ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის განმსაზღვრელი უცნობია ნულისაგან, მაშინ ამ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომელიც ნაპოვნია კრამერის ფორმულებით:

არის განმსაზღვრელი, რომელიც წარმოიქმნება i-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით.

თუ , და ერთ-ერთი მაინც არ არის ნულოვანი, მაშინ SLAE-ს არ აქვს ამონახსნები. თუ , მაშინ SLAE-ს ბევრი გამოსავალი აქვს. განვიხილოთ მაგალითები კრამერის მეთოდის გამოყენებით.

—————————————————————

მოცემულია სამი წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით. სისტემის ამოხსნა კრამერის მეთოდით

იპოვეთ უცნობის კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი

ვინაიდან , მაშინ განტოლებათა მოცემული სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს უნიკალური ამონახსნები. მოდით გამოვთვალოთ დეტერმინანტები:

კრამერის ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ უცნობებს

Ისე სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

მოცემულია ოთხი წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემა. სისტემის ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

ვიპოვოთ კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი უცნობისთვის. ამისათვის ჩვენ ვაფართოებთ მას პირველი ხაზით.

იპოვნეთ დეტერმინანტის კომპონენტები:

შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები განმსაზღვრელში

მაშასადამე, განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს უნიკალური ამონახსნი. ჩვენ ვიანგარიშებთ დეტერმინანტებს კრამერის ფორმულების გამოყენებით:

მოდით გავაფართოვოთ თითოეული განმსაზღვრელი სვეტით, რომელშიც მეტი ნულებია.

კრამერის ფორმულებით ვპოულობთ

სისტემური გადაწყვეტა

ეს მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს მათემატიკური კალკულატორით YukhymCALC. პროგრამის ფრაგმენტი და გამოთვლების შედეგები ნაჩვენებია ქვემოთ.

——————————

C R A M E R მეთოდი

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2)-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= ათი

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

მასალების ნახვა:

(jკომენტარები)

ზოგადად, რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის წესი საკმაოდ რთულია. მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტებისთვის არსებობს მათი გამოთვლის რაციონალური გზები.

მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლები

მეორე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად აუცილებელია მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი გამოვაკლოთ მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს:

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები

არსებობს მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის წესები.

სამკუთხედის წესი

სქემატურად, ეს წესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

პირველი განმსაზღვრელი ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც დაკავშირებულია ხაზებით, აღებულია პლუსის ნიშნით; ანალოგიურად, მეორე განმსაზღვრელზეც შესაბამისი პროდუქტები აღებულია მინუს ნიშნით, ე.ი.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სამკუთხედის მეთოდი.

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

სარრუსის წესი

განმსაზღვრელზე მარჯვნივ ემატება პირველი ორი სვეტი და ელემენტების ნამრავლები მთავარ დიაგონალზე და მის პარალელურ დიაგონალებზე მიიღება პლუსის ნიშნით; და მეორადი დიაგონალის ელემენტების და მის პარალელურ დიაგონალების ნამრავლები მინუს ნიშნით:

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სარრუსის წესის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

განმსაზღვრელი მწკრივის ან სვეტის გაფართოება

განმსაზღვრელი უდრის განმსაზღვრელი მწკრივის ელემენტებისა და მათი ალგებრული კომპლიმენტების ნამრავლების ჯამს.

ჩვეულებრივ აირჩიეთ სტრიქონი/სვეტი, რომელშიც/ე არის ნულები. მწკრივი ან სვეტი, რომელზედაც ხდება დაშლა, მითითებული იქნება ისრით.

მაგალითი

ვარჯიში.პირველ რიგში გაფართოვდით, გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

ეს მეთოდი საშუალებას იძლევა დეტერმინანტის გამოთვლა შემცირდეს უფრო დაბალი რიგის დეტერმინანტის გამოთვლამდე.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

გადაწყვეტილება.განმსაზღვრელი მწკრივებზე გავაკეთოთ შემდეგი გარდაქმნები: მეორე მწკრივს გამოვაკლებთ პირველ ოთხს, ხოლო მესამე მწკრივს პირველი რიგის შვიდზე გამრავლებული, შედეგად, განმსაზღვრელი თვისებების მიხედვით, ვიღებთ მოცემულის ტოლი განმსაზღვრელი.

განმსაზღვრელი არის ნული, რადგან მეორე და მესამე რიგები პროპორციულია.

უპასუხე.

მეოთხე რიგის და უფრო მაღალი დეტერმინანტების გამოსათვლელად გამოიყენება ან მწკრივის/სვეტის გაფართოება, ან სამკუთხა ფორმამდე შემცირება, ან ლაპლასის თეორემის გამოყენებით.

დეტერმინანტის დაშლა მწკრივის ან სვეტის ელემენტების მიხედვით

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი , მისი დაშლა რომელიმე რიგის ან რომელიმე სვეტის ელემენტებით.

გადაწყვეტილება.მოდით, ჯერ შევასრულოთ ელემენტარული გარდაქმნები განმსაზღვრელი სტრიქონების მიხედვით, რაც შეიძლება მეტი ნულის შედგენით მწკრივში ან სვეტში. ამისათვის ჯერ პირველ ხაზს გამოვაკლებთ ცხრა მესამედს, მეორეს ხუთ მესამედს და მეოთხეს სამი მესამედს, მივიღებთ:

ჩვენ ვაფართოებთ მიღებულ განმსაზღვრელს პირველი სვეტის ელემენტებით:

შედეგად მიღებული მესამე რიგის განმსაზღვრელი ასევე გაფართოვდა მწკრივისა და სვეტის ელემენტებით, მანამდე მიღებული ნულები, მაგალითად, პირველ სვეტში.

ამისათვის ჩვენ გამოვაკლებთ ორ მეორე ხაზს პირველ ხაზს, ხოლო მეორეს მესამეს:

უპასუხე.

კომენტარი

ბოლო და ბოლო განმსაზღვრელი ვერ გამოითვალა, მაგრამ მაშინვე დავასკვნათ, რომ ისინი ნულის ტოლია, რადგან ისინი შეიცავს პროპორციულ რიგებს.

დეტერმინანტის მიყვანა სამკუთხა ფორმამდე

მწკრივებზე ან სვეტებზე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, განმსაზღვრელი მცირდება სამკუთხა ფორმამდე, შემდეგ კი მისი მნიშვნელობა, განმსაზღვრელი თვისებების მიხედვით, უდრის ძირითად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სამკუთხა ფორმამდე მიყვანა.

გადაწყვეტილება.პირველ რიგში, ჩვენ ვაკეთებთ ნულებს პირველ სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ.

4. დეტერმინანტთა თვისებები. მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი.

ყველა ტრანსფორმაცია უფრო ადვილი იქნება, თუ ელემენტი 1-ის ტოლია. ამისათვის ჩვენ შევცვლით დეტერმინანტის პირველ და მეორე სვეტებს, რაც, დეტერმინანტის თვისებების მიხედვით, გამოიწვევს მის საპირისპირო ნიშნის შეცვლას. :

შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ნულებს მეორე სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ არსებული ელემენტების ნაცვლად. და კიდევ, თუ დიაგონალური ელემენტი უდრის , მაშინ გამოთვლები უფრო მარტივი იქნება. ამისათვის ჩვენ ვცვლით მეორე და მესამე ხაზებს (და ამავდროულად ვცვლით განმსაზღვრელი საპირისპირო ნიშანს):

უპასუხე.

ლაპლასის თეორემა

მაგალითი

ვარჯიში.ლაპლასის თეორემის გამოყენებით გამოთვალეთ დეტერმინანტი

გადაწყვეტილება.ამ მეხუთე რიგის განმსაზღვრელში ვირჩევთ ორ რიგს - მეორეს და მესამეს, შემდეგ ვიღებთ (გამოვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც ნულის ტოლია):

უპასუხე.

წრფივი განტოლებები და უტოლობა I

§ 31 შემთხვევა, როდესაც განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ხოლო დამხმარე განმსაზღვრელთაგან ერთი მაინც განსხვავდება ნულისაგან.

თეორემა.თუ განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი

(1)

უდრის ნულს და მინიმუმ ერთი დამხმარე განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია.

ფორმალურად, ამ თეორემის დადასტურება არ არის რთული წინააღმდეგობით. დავუშვათ, რომ განტოლებათა სისტემას (1) აქვს ამონახსნი ( x 0 , წ 0). ვინაიდან, როგორც წინა პუნქტშია ნაჩვენები,

Δ x 0 = Δ x , Δ წ 0 = Δ წ (2)

მაგრამ პირობით Δ = 0 და ერთ-ერთი განმსაზღვრელი მაინც Δ x და Δ წ განსხვავდება ნულიდან. ამრიგად, თანასწორობა (2) არ შეიძლება ერთდროულად იყოს. თეორემა დადასტურდა.

თუმცა, საინტერესოა უფრო დეტალურად იმის გარკვევა, თუ რატომ არის განტოლებათა სისტემა (1) არათანმიმდევრული განსახილველ შემთხვევაში.

ნიშნავს, რომ უცნობების კოეფიციენტები განტოლებათა სისტემაში (1) პროპორციულია. მოდით, მაგალითად,

ა 1 = კა 2 , ბ 1 = კბ 2 .

ნიშნავს, რომ კოეფიციენტები ზე ხოლო (1) სისტემის განტოლებების თავისუფალი წევრები არ არის პროპორციული. Იმდენად, რამდენადაც ბ 1 = კბ 2, მაშინ გ 1 =/= კკ 2 .

ამრიგად, განტოლებათა სისტემა (1) შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

ამ სისტემაში კოეფიციენტები უცნობისთვის არის შესაბამისად პროპორციული, მაგრამ კოეფიციენტები ამისთვის ზე (ან როდის X ) და თავისუფალი პირობები არ არის პროპორციული. ასეთი სისტემა, რა თქმა უნდა, არათანმიმდევრულია. მართლაც, თუ მას ჰქონდა გამოსავალი ( x 0 , წ 0), შემდეგ რიცხვითი ტოლობები

კ (ა 2 x 0 + ბ 2 წ 0) = გ 1

ა 2 x 0 + ბ 2 წ 0 = გ 2 .

მაგრამ ამ თანასწორობიდან ერთი ეწინააღმდეგება მეორეს: ბოლოს და ბოლოს, გ 1 =/= კკ 2 .

ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის შემთხვევა, როდესაც Δ x =/= 0. ანალოგიურად შეგვიძლია განვიხილოთ შემთხვევა როცა Δ წ =/= 0."

დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად.

თუ კოეფიციენტები უცნობისთვის Xდა ზეგანტოლებათა სისტემაში (1) პროპორციულია და რომელიმე ამ უცნობი და თავისუფალი წევრის კოეფიციენტები არ არის პროპორციული, მაშინ განტოლებათა ეს სისტემა არათანმიმდევრულია.

მაგალითად, ადვილია იმის დადასტურება, რომ თითოეული ეს სისტემა არათანმიმდევრული იქნება:

კრამერის მეთოდი წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის

კრამერის ფორმულები

კრამერის მეთოდი ეფუძნება დეტერმინანტების გამოყენებას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას. ეს მნიშვნელოვნად აჩქარებს გადაწყვეტის პროცესს.

კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმდენი წრფივი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად, რამდენიც უცნობია თითოეულ განტოლებაში.

კრამერის მეთოდი. გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემებისთვის

თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ გამოსავალში შეიძლება გამოვიყენოთ კრამერის მეთოდი, თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ არ შეიძლება. გარდა ამისა, კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად, რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები.

განმარტება. უცნობის კოეფიციენტებისგან შემდგარ დეტერმინანტს სისტემის განმსაზღვრელი ეწოდება და აღინიშნება (დელტათი).

განმსაზღვრელი

მიღებულია კოეფიციენტების შეცვლით შესაბამის უცნობებში თავისუფალი ტერმინებით:

;

.

კრამერის თეორემა. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი, ხოლო უცნობი უდრის დეტერმინანტთა თანაფარდობას. მნიშვნელი არის სისტემის განმსაზღვრელი, ხოლო მრიცხველი არის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება სისტემის განმსაზღვრელისაგან კოეფიციენტების შეცვლით უცნობით თავისუფალი წევრებით. ეს თეორემა ეხება ნებისმიერი რიგის წრფივი განტოლებების სისტემას.

მაგალითი 1ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

Მიხედვით კრამერის თეორემაჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, სისტემის ამოხსნა (2):

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

როგორც ჩანს კრამერის თეორემებიწრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნისას შეიძლება მოხდეს სამი შემთხვევა:

პირველი შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი

(სისტემა არის თანმიმდევრული და გარკვეული)

*

მეორე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა

(სისტემა არის თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი)

**
,

იმათ. უცნობთა და თავისუფალი წევრთა კოეფიციენტები პროპორციულია.

მესამე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს

(სისტემა არათანმიმდევრულია)

ასე რომ სისტემა მწრფივი განტოლებები ნცვლადები ეწოდება შეუთავსებელითუ მას არ აქვს გამოსავალი და ერთობლივითუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც. განტოლებათა ერთობლივ სისტემას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი, ეწოდება გარკვეულიდა ერთზე მეტი გაურკვეველი.

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

მიეცით სისტემა

.

კრამერის თეორემაზე დაყრდნობით

………….
,

სადაც
—

სისტემის იდენტიფიკატორი. დარჩენილი დეტერმინანტები მიიღება სვეტის ჩანაცვლებით შესაბამისი ცვლადის (უცნობი) კოეფიციენტებით თავისუფალი წევრებით:

მაგალითი 2

.

ამიტომ, სისტემა გარკვეულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ დეტერმინანტებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, (1; 0; -1) არის სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

თუ წრფივი განტოლების სისტემაში არ არის ცვლადები ერთ ან რამდენიმე განტოლებაში, მაშინ განმსაზღვრელში მათ შესაბამისი ელემენტები ნულის ტოლია! ეს არის შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 3ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

ყურადღებით დააკვირდით განტოლებათა სისტემას და სისტემის განმსაზღვრელს და გაიმეორეთ პასუხი კითხვაზე, რომელ შემთხვევაშია დეტერმინანტის ერთი ან რამდენიმე ელემენტი ნულის ტოლი. ასე რომ, დეტერმინანტი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა განსაზღვრულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ უცნობის განმსაზღვრელებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

მაშ ასე, სისტემის ამონახსნი არის (2; -1; 1).

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

გვერდის ზედა

გაიარეთ ვიქტორინა წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თუ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ხოლო უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ მას არ აქვს ამონახსნები. მოდი ილუსტრაციით ვაჩვენოთ შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 4ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, შესაბამისად, წრფივი განტოლებათა სისტემა ან არათანმიმდევრული და განსაზღვრულია, ან არათანმიმდევრული, ანუ მას არ გააჩნია ამონახსნები. გასარკვევად, ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელებს უცნობისთვის

უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ არ აქვს ამონახსნები.

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

ხაზოვანი განტოლებების სისტემების ამოცანებში არის ისეთებიც, სადაც ცვლადის აღმნიშვნელი ასოების გარდა, არის სხვა ასოებიც. ეს ასოები ნიშნავს რაღაც რიცხვს, ყველაზე ხშირად რეალურ რიცხვს. პრაქტიკაში, ასეთი განტოლებები და განტოლებათა სისტემები იწვევს პრობლემებს ნებისმიერი ფენომენის და ობიექტის ზოგადი თვისებების პოვნაში. ანუ, თქვენ გამოიგონეთ ახალი მასალა ან მოწყობილობა და მისი თვისებების აღსაწერად, რომლებიც საერთოა ასლების ზომისა და რაოდენობის მიუხედავად, თქვენ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებების სისტემა, სადაც ცვლადების ზოგიერთი კოეფიციენტის ნაცვლად არის ასოები. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მაგალითები.

შემდეგი მაგალითი არის მსგავსი პრობლემისთვის, იზრდება მხოლოდ განტოლებების, ცვლადებისა და ასოების რაოდენობა, რომლებიც აღნიშნავენ რეალურ რიცხვს.

მაგალითი 6ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

უცნობების განმსაზღვრელთა პოვნა

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

,

,

.

და ბოლოს, ოთხი განტოლების სისტემა ოთხი უცნობით.

მაგალითი 7ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

.

ყურადღება! მეოთხე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები აქ არ იქნება ახსნილი. ამის შემდეგ - საიტის შესაბამის განყოფილებაში. მაგრამ იქნება რამდენიმე კომენტარი. გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

პატარა კომენტარი. თავდაპირველ განმსაზღვრელში მეოთხე რიგის ელემენტები აკლდა მეორე რიგის ელემენტებს, მეოთხე რიგის 2-ზე გამრავლებული ელემენტები გამოაკლო მესამე რიგის ელემენტებს, პირველი რიგის ელემენტები გამრავლებული 2-ით იყო გამოკლებულია მეოთხე რიგის ელემენტებს.სქემა. უცნობების განმსაზღვრელთა პოვნა

მეოთხე უცნობით განმსაზღვრელი გარდაქმნებისთვის, მეოთხე რიგის ელემენტები გამოაკლო პირველი რიგის ელემენტებს.

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, სისტემის ამონახსნები არის (1; 1; -1; -1).

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

ყველაზე ყურადღებიანებმა ალბათ შენიშნეს, რომ სტატიაში არ იყო ხაზოვანი განტოლებების განუსაზღვრელი სისტემების ამოხსნის მაგალითები. და ეს ყველაფერი იმის გამო, რომ შეუძლებელია ასეთი სისტემების გადაჭრა კრამერის მეთოდით, შეგვიძლია მხოლოდ განვაცხადოთ, რომ სისტემა განუსაზღვრელია. ასეთი სისტემების გადაწყვეტილებები მოცემულია გაუსის მეთოდით.

არ გაქვთ დრო გამოსავლის გასარკვევად? შეგიძლიათ შეუკვეთოთ სამუშაო!

გვერდის ზედა

გაიარეთ ვიქტორინა წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ

სხვა თემაზე "განტოლებათა და უტოლობათა სისტემები"

კალკულატორი - ონლაინ განტოლებების სისტემების ამოხსნა

C++-ში კრამერის მეთოდის პროგრამული განხორციელება

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით და მიმატების მეთოდით

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობის პირობა.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცა)

წრფივი უტოლობათა და წერტილთა ამოზნექილი სიმრავლეების სისტემები

თემის დასაწყისი "ხაზოვანი ალგებრა"

განმსაზღვრელი

ამ სტატიაში გავეცნობით ძალიან მნიშვნელოვან ცნებას წრფივი ალგებრის განყოფილებიდან, რომელსაც დეტერმინანტი ეწოდება.

მსურს დაუყოვნებლივ აღვნიშნო მნიშვნელოვანი წერტილი: განმსაზღვრელი ცნება მოქმედებს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის (სტრიქონების რაოდენობა = სვეტების რაოდენობა), სხვა მატრიცებს ეს არ აქვთ.

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი(განმსაზღვრელი) — მატრიცის რიცხვითი მახასიათებელი.

დეტერმინანტების აღნიშვნა: |A|, det A, ∆ ა.

განმსაზღვრელი"n" წესრიგს ეწოდება მისი ელემენტების ყველა შესაძლო პროდუქტის ალგებრული ჯამი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ მოთხოვნებს:

1) თითოეული ასეთი პროდუქტი შეიცავს ზუსტად "n" ელემენტებს (ანუ მეორე რიგის განმსაზღვრელი არის 2 ელემენტი).

2) თითოეულ პროდუქტში არის თითოეული მწკრივის და თითოეული სვეტის წარმომადგენელი, როგორც ფაქტორი.

3) თითოეულ პროდუქტში ნებისმიერი ორი ფაქტორი არ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს იმავე მწკრივს ან სვეტს.

ნამრავლის ნიშანი განისაზღვრება სვეტის ნომრების მონაცვლეობის თანმიმდევრობით, თუ პროდუქტში ელემენტები განლაგებულია მწკრივების რიცხვების ზრდის მიხედვით.

განვიხილოთ მატრიცის დეტერმინანტის პოვნის რამდენიმე მაგალითი:

პირველი რიგის მატრიცისთვის (ე.ი.

წრფივი განტოლებები. წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. კრამერის მეთოდი.

არის მხოლოდ 1 ელემენტი), განმსაზღვრელი უდრის ამ ელემენტს:

2. განვიხილოთ მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა:

3. განვიხილოთ მესამე რიგის კვადრატული მატრიცა (3×3):

4. ახლა კი განიხილეთ მაგალითები რეალური რიცხვებით:

სამკუთხედის წესი.

სამკუთხედის წესი არის მატრიცის დეტერმინანტის გამოსათვლელი გზა, რომელიც გულისხმობს მის პოვნას შემდეგი სქემის მიხედვით:

როგორც უკვე მიხვდით, მეთოდს ეწოდა სამკუთხედის წესი იმის გამო, რომ გამრავლებული მატრიცის ელემენტები ქმნიან თავისებურ სამკუთხედებს.

ამის უკეთ გასაგებად, ავიღოთ მაგალითი:

და ახლა განვიხილოთ მატრიცის განმსაზღვრელი გამოთვლა რეალური რიცხვებით სამკუთხედის წესის გამოყენებით:

დაფარული მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ მოვაგვარებთ კიდევ ერთ პრაქტიკულ მაგალითს:

დეტერმინანტების თვისებები:

1. თუ მწკრივის ან სვეტის ელემენტები ნულის ტოლია, მაშინ განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

2. განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს, თუ რომელიმე 2 მწკრივი ან სვეტი შეიცვლება. მოდით შევხედოთ ამას მცირე მაგალითით:

3. ტრანსპონირებული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელს.

4. განმსაზღვრელი არის ნული, თუ ერთი მწკრივის ელემენტები უდრის მეორე რიგის შესაბამის ელემენტებს (ასევე სვეტებისთვის). დეტერმინანტების ამ თვისების უმარტივესი მაგალითია:

5. განმსაზღვრელი არის ნული, თუ მისი 2 სტრიქონი პროპორციულია (ასევე სვეტებისთვის). მაგალითი (სტრიქონი 1 და 2 პროპორციულია):

6. მწკრივის (სვეტის) საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

7) განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ელემენტებს დაემატება სხვა მწკრივის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული იმავე მნიშვნელობით. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით:

მცირე და ალგებრული ავსება

მატრიცების შეკრება და გამოკლება მაგალითებით

მოქმედებები მატრიცებით

"მატრიცის" კონცეფცია

ნახვები: 57258

განმსაზღვრელი (aka determinant (განმსაზღვრელი)) გვხვდება მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებში. განმსაზღვრელი სხვა არაფერია, თუ არა მნიშვნელობა, რომელიც აერთიანებს მატრიცის ყველა ელემენტს, რომელიც შენარჩუნებულია რიგების ან სვეტების გადატანისას. ის შეიძლება აღინიშნოს როგორც det(A), |A|, Δ(A), Δ, სადაც A შეიძლება იყოს როგორც მატრიცა, ასევე მისი აღმნიშვნელი ასო. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ იგი სხვადასხვა გზით:

ყველა ზემოთ შემოთავაზებული მეთოდი გაანალიზდება სამი ან მეტი ზომის მატრიცებზე. ორგანზომილებიანი მატრიცის განმსაზღვრელი ნაპოვნია სამი ელემენტარული მათემატიკური ოპერაციის გამოყენებით, შესაბამისად, ორგანზომილებიანი მატრიცის განმსაზღვრელი პოვნა არცერთ მეთოდში არ მოხვდება. კარგად, გარდა დანამატისა, მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით.

იპოვეთ 2x2 მატრიცის განმსაზღვრელი:

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ჩვენი მატრიცის განმსაზღვრელი, საჭიროა გამოვაკლოთ ერთი დიაგონალის რიცხვების ნამრავლი მეორისგან, კერძოდ, ე.ი.

მეორე რიგის მატრიცების დეტერმინანტის პოვნის მაგალითები

მწკრივის/სვეტის დაშლა

მატრიცაში ნებისმიერი მწკრივი ან სვეტი არჩეულია. არჩეულ ხაზში თითოეული რიცხვი მრავლდება (-1) i+j-ზე, სადაც (i,j არის ამ რიცხვის მწკრივი, სვეტის ნომერი) და მრავლდება მეორე რიგის განმსაზღვრელთან, რომელიც შედგება დარჩენილი ელემენტებისაგან i - მწკრივის წაშლის შემდეგ და j - სვეტი. მოდით შევხედოთ მატრიცას

1. აირჩიეთ მწკრივი/სვეტი

მაგალითად, აიღეთ მეორე ხაზი.

Შენიშვნა: თუ ცალსახად არ არის მითითებული, რომელი ხაზით უნდა ვიპოვოთ განმსაზღვრელი, აირჩიეთ წრფე, რომელსაც აქვს ნული. ნაკლები გამოთვლები იქნება.

1. გამოთქმის შედგენა

ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ რიცხვის ნიშანი ყოველ მეორე ჯერზე იცვლება. ამიტომ, ერთეულების ნაცვლად, შეგიძლიათ იხელმძღვანელოთ შემდეგი ცხრილით:

1. მოდით შევცვალოთ ჩვენი რიცხვების ნიშანი

1. მოდი ვიპოვოთ ჩვენი მატრიცების დეტერმინანტები

1. ჩვენ განვიხილავთ ყველაფერს

გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ასე:

მწკრივის/სვეტის გაფართოებით განმსაზღვრელი პოვნის მაგალითები:

სამკუთხა ფორმამდე შემცირების მეთოდი (ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით)

განმსაზღვრელი გვხვდება მატრიცის სამკუთხა (საფეხურიან) ფორმამდე მიყვანით და მთავარ დიაგონალზე ელემენტების გამრავლებით.

სამკუთხა მატრიცა არის მატრიცა, რომლის ელემენტები დიაგონალის ერთ მხარეს ნულის ტოლია.

მატრიცის შექმნისას გახსოვდეთ სამი მარტივი წესი:

1. ყოველ ჯერზე, როდესაც სტრიქონები ერთმანეთს ცვლის, განმსაზღვრელი ცვლის საპირისპირო ნიშანს.
2. ერთი სტრიქონის არანულოვან რიცხვზე გამრავლების/გაყოფისას ის უნდა გაიყოს (თუ გამრავლებულია) / გავამრავლოთ (თუ იყოფა) მასზე, ან შეასრულოს ეს მოქმედება მიღებული განმსაზღვრელით.
3. რიცხვით გამრავლებული ერთი სტრიქონის მეორე სტრიქონზე დამატებისას, განმსაზღვრელი არ იცვლება (გამრავლებული სტრიქონი იღებს თავდაპირველ მნიშვნელობას).

შევეცადოთ მივიღოთ ნულები პირველ სვეტში, შემდეგ მეორეში.

მოდით გადავხედოთ ჩვენს მატრიცას:

ტა-ა-აკ. გამოთვლები რომ უფრო სასიამოვნო იყოს, მინდა ზევით ყველაზე ახლოს მქონდეს რიცხვი. შეგიძლიათ დატოვოთ, მაგრამ არ გჭირდებათ. კარგი, მეორე სტრიქონში გვაქვს დუი, პირველზე კი ოთხი.

მოდით გავცვალოთ ეს ორი ხაზი.

ხაზები გავცვალეთ, ახლა ან ერთი ხაზის ნიშანი უნდა შევცვალოთ, ან ბოლოს განმსაზღვრელი.

განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების გამოთვლა (გვ. 2)

ჩვენ ამას მოგვიანებით გავაკეთებთ.

ახლა, პირველ რიგში ნულის მისაღებად, პირველ მწკრივს ვამრავლებთ 2-ზე.

გამოვაკლოთ 1 რიგი მეორეს.

ჩვენი მე-3 წესის მიხედვით, ჩვენ ვაბრუნებთ თავდაპირველ სტრიქონს საწყის პოზიციაზე.

ახლა გავაკეთოთ ნული მე-3 სტრიქონში. შეგვიძლია პირველი ხაზი გავამრავლოთ 1,5-ზე და გამოვაკლოთ მესამეს, მაგრამ წილადებთან მუშაობა მცირე სიამოვნებას მოაქვს. მაშასადამე, მოდი ვიპოვოთ რიცხვი, რომელზეც ორივე სტრიქონი შეიძლება შემცირდეს - ეს არის 6.

გავამრავლოთ მე-3 რიგი 2-ზე.

ახლა ვამრავლებთ 1 მწკრივს 3-ზე და ვაკლებთ მე-3-ს.

დავაბრუნოთ ჩვენი პირველი რიგი.

არ დაგავიწყდეთ, რომ მე-3 მწკრივი გავამრავლეთ 2-ზე, ამიტომ განმსაზღვრელს გავყოფთ 2-ზე.

არის ერთი სვეტი. ახლა იმისთვის რომ მივიღოთ ნულები მეორეში - დავივიწყოთ 1-ლი ხაზი - ვმუშაობთ მე-2 სტრიქონთან. გავამრავლოთ მეორე რიგი -3-ზე და დავამატოთ მესამეს.

არ დაგავიწყდეთ მეორე ხაზის დაბრუნება.

ასე რომ, ჩვენ ავაშენეთ სამკუთხა მატრიცა. რა დაგვრჩენია? და რჩება რიცხვების გამრავლება მთავარ დიაგონალზე, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ.

კარგად, უნდა გვახსოვდეს, რომ ჩვენი განმსაზღვრელი უნდა გავყოთ 2-ზე და შევცვალოთ ნიშანი.

სარრუსის წესი (სამკუთხედების წესი)

სარრუსის წესი ვრცელდება მხოლოდ მესამე რიგის კვადრატულ მატრიცებზე.

განმსაზღვრელი გამოითვლება მატრიცის მარჯვნივ პირველი ორი სვეტის დამატებით, მატრიცის დიაგონალების ელემენტების გამრავლებით და მათი მიმატებით და საპირისპირო დიაგონალების ჯამის გამოკლებით. ნარინჯისფერ დიაგონალებს გამოვაკლოთ იისფერი.

სამკუთხედების წესი იგივეა, მხოლოდ სურათია განსხვავებული.

ლაპლასის თეორემა იხილეთ რიგის/სვეტის დაშლა

მთავარი > დოკუმენტი

მატრიქსები, დეტერმინანტები, ხაზოვანი განტოლებების სისტემები

მატრიქსის განმარტება. მატრიქსების ტიპებიმატრიცის ზომა m× ნმთლიანობას უწოდებენ m nმართკუთხა ცხრილში დალაგებული რიცხვები მხაზები და ნსვეტები. ეს ცხრილი ჩვეულებრივ ფრჩხილებშია ჩასმული. მაგალითად, მატრიცა შეიძლება გამოიყურებოდეს:

მოკლედ, მატრიცა შეიძლება აღინიშნოს ერთი დიდი ასოთი, მაგალითად, მაგრამან AT.ზოგადად, ზომის მატრიცა მ× ნდაწერე ასე

.

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან მატრიცას, ეწოდება მატრიცის ელემენტები. მოსახერხებელია მატრიცის ელემენტების მიწოდება ორი ინდექსით ა იჯ: პირველი მიუთითებს მწკრივის ნომერზე, ხოლო მეორე მიუთითებს სვეტის ნომერზე. Მაგალითად, ა 23 - ელემენტი არის მე-2 რიგში, მე-3 სვეტში. თუ მატრიცაში რიგების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას, მაშინ მატრიცას ეძახიან. კვადრატი, და მისი რიგების ან სვეტების რაოდენობას უწოდებენ წესითმატრიცები. ზემოხსენებულ მაგალითებში მეორე მატრიცა არის კვადრატი - მისი რიგი არის 3, ხოლო მეოთხე მატრიცა - მისი რიგი არის 1. მატრიცა, რომელშიც სტრიქონების რაოდენობა არ არის სვეტების რაოდენობის ტოლი, ე.წ. მართკუთხა. მაგალითებში ეს არის პირველი და მესამე მატრიცა. ასევე არის მატრიცები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი მწკრივი ან ერთი სვეტი. მატრიცას რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი მწკრივი ე.წ. მატრიცა - მწკრივი(ან სტრიქონი) და მატრიცა, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი სვეტი, მატრიცა - სვეტი.მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება nullდა აღინიშნება (0), ან უბრალოდ 0-ით. მაგალითად,

.

მთავარი დიაგონალიკვადრატული მატრიცა არის დიაგონალი, რომელიც მიდის ზედა მარცხნიდან ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება სამკუთხამატრიცა.

.

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ყველა ელემენტი, შესაძლოა, მთავარი დიაგონალის გარდა, ნულის ტოლია, ე.წ. დიაგონალიმატრიცა. მაგალითად, ან დიაგონალური მატრიცა, რომელშიც ყველა დიაგონალური ელემენტი ერთის ტოლია, ეწოდება მარტოხელამატრიცა და აღინიშნება ასო E. მაგალითად, მე-3 რიგის იდენტურობის მატრიცას აქვს ფორმა .მოქმედებები მატრიქსებზემატრიცული თანასწორობა. ორი მატრიცა ადა ბამბობენ, რომ ტოლები არიან, თუ მათ აქვთ მწკრივების და სვეტების იგივე რაოდენობა და მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია ა იჯ = ბ იჯ. ასე რომ, თუ და , მაშინ A=B, თუ ა 11 = ბ 11 , ა 12 = ბ 12 , ა 21 = ბ 21 და ა 22 = ბ 22 .ტრანსპოზიცია. განვიხილოთ თვითნებური მატრიცა ადან მხაზები და ნსვეტები. ის შეიძლება ასოცირებული იყოს შემდეგ მატრიცასთან ბდან ნხაზები და მსვეტები, სადაც თითოეული მწკრივი არის მატრიცის სვეტი აიგივე რიცხვით (აქედან გამომდინარე, თითოეული სვეტი არის მატრიცის მწკრივი აიგივე ნომრით). ასე რომ, თუ , მაშინ .ეს მატრიცა ბდაურეკა გადატანილიმატრიცა ა, და გადასვლას არომ B ტრანსპოზიცია.ამგვარად, ტრანსპოზიცია არის მატრიცის რიგებისა და სვეტების როლების შეცვლა. მატრიცა გადატანილია მატრიცაში ა, ჩვეულებრივ აღინიშნება ა თ.მატრიცას შორის კავშირი ადა მისი ტრანსპოზიცია შეიძლება დაიწეროს როგორც . Მაგალითად.იპოვეთ მოცემულზე გადატანილი მატრიცა. მატრიცის დამატება.მოდით მატრიცები ადა ბშედგება იმავე რაოდენობის სტრიქონებისა და იმავე რაოდენობის სვეტებისგან, ე.ი. აქვს იგივე ზომები. შემდეგ მატრიცების დასამატებლად ადა ბსაჭიროა ელემენტების მატრიცირება ამატრიცის ელემენტების დამატება ბიმავე ადგილებში დგას. ამრიგად, ორი მატრიცის ჯამი ადა ბმატრიცას უწოდებენ C, რომელიც განისაზღვრება წესით, მაგალითად,

მაგალითები.იპოვეთ მატრიცების ჯამი: ადვილია იმის შემოწმება, რომ მატრიცის შეკრება ემორჩილება შემდეგ კანონებს: კომუტაციური A+B=B+Aდა ასოციაციური ( A+B)+C=ა+(B+C).მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.მატრიცის გასამრავლებლად ათითო რიცხვზე კსაჭიროა მატრიცის თითოეული ელემენტი აგავამრავლოთ ამ რიცხვზე. ასე რომ, მატრიცის პროდუქტი ათითო რიცხვზე კარის ახალი მატრიცა, რომელიც განისაზღვრება წესით ან .ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბდა მატრიცები ადა ბთანასწორობა შესრულებულია: მაგალითები. . მატრიცა Cვერ მოიძებნება, რადგან მატრიცები ადა ბაქვს სხვადასხვა ზომის. მატრიცული გამრავლება.ეს ოპერაცია ტარდება თავისებური კანონის მიხედვით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მატრიცის ფაქტორების ზომები უნდა იყოს თანმიმდევრული. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მხოლოდ ის მატრიცები, რომელთა პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა ემთხვევა მეორე მატრიცის რიგების რაოდენობას (ანუ პირველი რიგის სიგრძე უდრის მეორე სვეტის სიმაღლეს). მუშაობამატრიცები აარა მატრიცა ბუწოდა ახალი მატრიცა C=AB, რომლის ელემენტები შედგენილია შემდეგნაირად:

ასე, მაგალითად, პროდუქტის მისაღებად (ანუ მატრიცაში C) ელემენტი პირველ რიგში და მე-3 სვეტში გ 13 , თქვენ უნდა აიღოთ 1-ლი მწკრივი 1-ელ მატრიცაში, მე-3 სვეტი მე-2-ში და შემდეგ გაამრავლოთ მწკრივის ელემენტები სვეტის შესაბამის ელემენტებზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები. ხოლო ნაწარმოების მატრიცის სხვა ელემენტები მიიღება პირველი მატრიცის რიგების მსგავსი ნამრავლის გამოყენებით მეორე მატრიცის სვეტებით.ზოგად შემთხვევაში მატრიცას თუ გავამრავლებთ. A = (ა იჯ ) ზომა მ× ნმატრიცამდე B = (ბ იჯ ) ზომა ნ× გვ, შემდეგ მივიღებთ მატრიცას Cზომა მ× გვ, რომლის ელემენტები გამოითვლება შემდეგნაირად: ელემენტი გ იჯმიიღება ელემენტების პროდუქტის შედეგად მემატრიცის მე-6 მწკრივი აშესაბამის ელემენტებზე ჯ- მატრიცის მე-ე სვეტი ბდა მათი შეკრება.ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ ყოველთვის შეგიძლიათ გაამრავლოთ ერთი და იგივე რიგის ორი კვადრატული მატრიცა, შედეგად მივიღებთ ერთი და იმავე რიგის კვადრატულ მატრიცას. კერძოდ, კვადრატული მატრიცა ყოველთვის შეიძლება თავისთავად გამრავლდეს, ე.ი. კვადრატი კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შემთხვევაა მატრიცა-სვეტის გამრავლება მატრიცა-სვეტზე და პირველის სიგანე ტოლი უნდა იყოს მეორის სიმაღლეზე, შედეგად მივიღებთ პირველი რიგის მატრიცას (ე.ი. ერთი ელემენტი). ). მართლაც,

.

მაგალითები. მოძებნეთ ელემენტები გ 12 , გ 23 და გ 21 მატრიცები C.

იპოვეთ მატრიცების ნამრავლი.

.
Პოვნა ABდა VA. Პოვნა ABდა VA. , B A– აზრი არ აქვს.ამგვარად, ეს მარტივი მაგალითები აჩვენებს, რომ მატრიცები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ მოძრაობენ ერთმანეთთან, ე.ი. A∙B ≠ B∙A . ამიტომ მატრიცების გამრავლებისას გულდასმით უნდა დავაკვირდეთ ფაქტორების თანმიმდევრობას.შეიძლება დადასტურდეს, რომ მატრიცული გამრავლება ემორჩილება ასოციაციურ და გამანაწილებელ კანონებს, ე.ი. (AB)C=A(BC)და (A+B)C=AC+BC.ასევე ადვილია ამის შემოწმება კვადრატული მატრიცის გამრავლებისას აიდენტურობის მატრიცას ეიმავე თანმიმდევრობით, ჩვენ კვლავ ვიღებთ მატრიცას ა, უფრო მეტიც AE=EA=A.შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგი კურიოზული ფაქტი. როგორც ცნობილია, 2 არანულოვანი რიცხვის ნამრავლი არ არის 0-ის ტოლი. მატრიცებისთვის ეს შეიძლება არ იყოს, ე.ი. 2 არანულოვანი მატრიცის ნამრავლი შეიძლება იყოს ნულოვანი მატრიცის ტოლი. მაგალითად, თუ , მაშინ

.

განმსაზღვრელთა ცნებამიეცით მეორე რიგის მატრიცა - კვადრატული მატრიცა, რომელიც შედგება ორი მწკრივისა და ორი სვეტისგან. მეორე რიგის განმსაზღვრელიამ მატრიცის შესაბამისი რიცხვი მიღებულია შემდეგნაირად: ა 11 ა 22 – ა 12 ა 21 .განმსაზღვრელი აღინიშნება სიმბოლოთი .ასე რომ, მეორე რიგის განმსაზღვრელი რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა გამოაკლოთ მეორე დიაგონალის გასწვრივ მყოფი ელემენტების ნამრავლი მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს. მაგალითები.გამოთვალეთ მეორე რიგის დეტერმინანტები.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მესამე რიგის მატრიცა და შესაბამისი განმსაზღვრელი. მესამე რიგის განმსაზღვრელიმესამე რიგის მოცემული კვადრატული მატრიცის შესაბამისი რიცხვი აღინიშნება და მიიღება შემდეგნაირად:

.

ამრიგად, ეს ფორმულა იძლევა მესამე რიგის განმსაზღვრელი გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით. ა 11 , ა 12 , ა 13 და ამცირებს მესამე რიგის დეტერმინანტის გამოთვლას მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლამდე. მაგალითები.გამოთვალეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი.
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. ანალოგიურად შეგვიძლია შემოვიტანოთ მეოთხე, მეხუთე და ა.შ. დეტერმინანტების ცნებები. ბრძანებები, მათი რიგის შემცირება პირველი რიგის ელემენტებზე გაფართოების გზით, ხოლო ნიშნები "+" და "-" ალტერნატიულია ტერმინებისთვის. ასე რომ, მატრიცისგან განსხვავებით, რომელიც არის რიცხვების ცხრილი, განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც არის გარკვეულწილად გასწორებული მატრიცა.

განმსაზღვრელთა თვისებები

მტკიცებულებახორციელდება გადამოწმებით, ე.ი. წერილობითი ტოლობის ორივე ნაწილის შედარებით. გამოთვალეთ დეტერმინანტები მარცხნივ და მარჯვნივ:

2 მწკრივის ან სვეტის შეცვლისას, განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს საპირისპიროდ, შეინარჩუნებს აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ე.ი., მაგალითად,

მტკიცებულებახორციელდება საკუთრების 1-ის დადასტურების მსგავსად ორივე ნაწილის შედარებით. განვახორციელოთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი.

მესამე რიგის განმსაზღვრელი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი. მართლაც, თუ აქ მე-2 და მე-3 სტრიქონებს გადავაწყობთ, მაშინ თვისებით მე-2 ამ დეტერმინანტმა უნდა შეიცვალოს ნიშანი, მაგრამ თავად დეტერმინანტი ამ შემთხვევაში არ იცვლება, ე.ი. მიიღეთ | ა| = –|ა| ან | ა| = 0. მტკიცებულებაგანხორციელებული შემოწმებით, აგრეთვე ქონებრივი 1. (დამოუკიდებლად)

თუ დეტერმინანტის რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ თავად განმსაზღვრელი ნულის ტოლია. (მტკიცებულება - გადამოწმება). თუ დეტერმინანტის რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტი წარმოდგენილია როგორც 2 წევრის ჯამი, მაშინ განმსაზღვრელი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 განმსაზღვრელი ჯამი ფორმულის მიხედვით, მაგალითად,

.

მტკიცებულება- დამოწმება, ქონების 1-ის მსგავსი.

თუ განმსაზღვრელი რომელიმე მწკრივს (ან სვეტს) დავუმატებთ სხვა რიგის (ან სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულს იმავე რიცხვზე, მაშინ განმსაზღვრელი არ ცვლის მის მნიშვნელობას. Მაგალითად,

. მოდით დავამტკიცოთ ეს ტოლობა დეტერმინანტის წინა თვისებების გამოყენებით.
დეტერმინანტების ეს თვისებები ხშირად გამოიყენება დეტერმინანტების გაანგარიშებისას და სხვადასხვა პრობლემების დროს. ალგებრული დამატებები და მცირემოდით მივიღოთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი: .მცირეწლოვანიამ ელემენტის შესაბამისი ა იჯმესამე რიგის განმსაზღვრელი ეწოდება მეორე რიგის განმსაზღვრელს, რომელიც მიიღება მოცემულიდან იმ მწკრივისა და სვეტის წაშლით, რომელთა გადაკვეთაზეც დგას მოცემული ელემენტი, ე.ი. მე-მე ხაზი და ჯ- ე სვეტი. მოცემული ელემენტის შესაბამისი მცირეწლოვანი ა იჯჩვენ აღვნიშნავთ მ იჯ .მაგალითად, მცირეწლოვანი მ 12 ელემენტის შესაბამისი ა 12 , იქნება განმსაზღვრელი , რომელიც მიიღება მოცემული განმსაზღვრელი 1-ლი მწკრივის და მე-2 სვეტის წაშლით.ამგვარად მესამე რიგის განმსაზღვრელი განმსაზღვრელი ფორმულა აჩვენებს, რომ ეს განმსაზღვრელი უდრის 1-ლი რიგის ელემენტების ნამრავლების ჯამს და შესაბამისი. არასრულწლოვნები; ხოლო ელემენტის შესაბამისი მინორი ა 12 , აღებულია „–“ ნიშნით, ე.ი. შეიძლება დაიწეროს რომ ანალოგიურად შეგვიძლია შემოვიტანოთ მცირეწლოვანთა განმარტებები მეორე რიგის და უმაღლესი რიგის განმსაზღვრელებისთვის, შემოვიღოთ კიდევ ერთი ცნება. ალგებრული დამატებაელემენტი ა იჯგანმსაზღვრელს უწოდებენ მის მინორს მ იჯგამრავლებული (–1) i+j ალგებრული ელემენტის კომპლიმენტი ა იჯაღინიშნა ა იჯ.განმარტებიდან მივიღებთ, რომ ელემენტის ალგებრული დანამატისა და მისი მინორის ურთიერთობა გამოიხატება ტოლობით. ა იჯ= (–1) i+j მ იჯ . Მაგალითად, მაგალითი.მოცემული განმსაზღვრელი. Პოვნა ა 13 , ა 21 , ა 32 .

ადვილი მისახვედრია, რომ ელემენტების ალგებრული დანამატების გამოყენებით, ფორმულა (1) შეიძლება დაიწეროს როგორც დეტერმინანტის მე-2 თვისების მიხედვით გვაქვს: გავაფართოვოთ მიღებული განმსაზღვრელი 1-ლი რიგის ელემენტებით.

.

აქედან რადგან მეორე რიგის განმსაზღვრელი ფორმულაში (2) არის ელემენტების მცირე რაოდენობა ა 21 , ა 22 , ა 23 . ამრიგად, ე.ი. ჩვენ მივიღეთ დეტერმინანტის დაშლა მე-2 რიგის ელემენტებით, ანალოგიურად, შეგვიძლია მივიღოთ დეტერმინანტის დაშლა მესამე რიგის ელემენტებით. განმსაზღვრელების 1 თვისების გამოყენებით (ტრანსპოზიციაზე) შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ მსგავსი გაფართოებები ასევე მოქმედებს სვეტის ელემენტების გაფართოებებზე, ასე რომ, შემდეგი თეორემა მართალია. თეორემა (დეტერმინანტის გაფართოებაზე მოცემულ მწკრივში ან სვეტში).განმსაზღვრელი უდრის მისი რომელიმე მწკრივის (ან სვეტის) ელემენტებისა და მათი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს. ყოველივე ზემოთქმული მართალია ნებისმიერი უმაღლესი რიგის დეტერმინანტებისთვის. მაგალითები.

გამოთვალეთ დეტერმინანტი მისი თვისებების გამოყენებით. სანამ განმსაზღვრელი რომელიმე მწკრივის ელემენტებზე გადავანაწილებთ, მესამე რიგის განმსაზღვრელებამდე ვამცირებთ, მას ვაქცევთ თვისების 7-ის გამოყენებით, ყველა ელემენტს ნებისმიერ მწკრივში ან სვეტში, ერთის გარდა, ნულის ტოლი ვაქცევთ. ამ შემთხვევაში, მოსახერხებელია განიხილოს მე -4 სვეტი ან მე -4 რიგი:

ინვერსიული მატრიცა

ინვერსიული მატრიცის კონცეფცია შემოღებულია მხოლოდ კვადრატული მატრიცები.Თუ აარის კვადრატული მატრიცა, მაშინ საპირისპირომისთვის მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც აღინიშნება ა -1 და პირობების დაკმაყოფილება. (ეს განმარტება შემოტანილია რიცხვების გამრავლების ანალოგიით) შემდეგი თეორემა მართალია: თეორემა.იმისათვის, რომ კვადრატული მატრიცა ააქვს შებრუნებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი განმსაზღვრელი ნულისაგან განსხვავებული იყოს. მტკიცებულება:

საჭიროება. მოდით მატრიცისთვის აარის ინვერსიული მატრიცა ა -1 . მოდით ვაჩვენოთ, რომ | ა| ≠ 0.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ შეგვიძლია დავამტკიცოთ დეტერმინანტების შემდეგი თვისება. დავუშვათ, რომ | ა| = 0. მაშინ . მაგრამ მეორე მხარეს . შედეგად წარმოქმნილი წინააღმდეგობა ადასტურებს, რომ | ა| ≠ 0. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ამ შემთხვევაში ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა , სად ა იჯელემენტის ალგებრული დანამატი ა იჯ. მოდი ვიპოვოთ AB=C. გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის ყველა დიაგონალური ელემენტი Cიქნება 1-ის ტოლი. მართლაც, მაგალითად,

ანალოგიურად, დეტერმინანტის გაფართოების თეორემით რიგის ელემენტების მიხედვით, შეიძლება დაამტკიცოს, რომ გ 22 = გ 33 = 1. გარდა ამისა, მატრიცის ყველა დიაგონალური ელემენტი Cნულის ტოლია. Მაგალითად,
აქედან გამომდინარე, AB=E. ანალოგიურად, შეიძლება ამის ჩვენება BA=E. Ისე B=A -1 ამდენად, თეორემა შეიცავს გზას შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად. თუ თეორემის პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ მატრიცას შებრუნებული მატრიცა შემდეგნაირად გვხვდება.

,

სადაც ა იჯ- ელემენტების ალგებრული დამატებები ა იჯმოცემული მატრიცა აასე რომ, შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად დაგჭირდებათ: ანალოგიურად მეორე რიგის მატრიცებისთვის, შემდეგი მატრიცა შებრუნებული იქნება. .მაგალითები. |ა| = 2. იპოვეთ მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატები ა. გამოცდა: . ანალოგიურად A∙A -1 =ე. . გამოვთვალოთ | ა| = 4. მაშინ . .

წრფივი განტოლებების სისტემები

m წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობითფორმათა სისტემას უწოდებენ

სადაც ა იჯდა ბ მე (მე=1,…,მ; ბ=1,…,ნ) არის რამდენიმე ცნობილი რიცხვი და x 1 ,…, x ნ- უცნობი. კოეფიციენტების აღნიშვნაში ა იჯპირველი ინდექსი მეაღნიშნავს განტოლების რიცხვს და მეორე ჯარის უცნობის რიცხვი, რომელზეც დგას ეს კოეფიციენტი. უცნობების კოეფიციენტები დაიწერება მატრიცის სახით, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ. სისტემის მატრიცა.რიცხვები განტოლებების მარჯვენა მხარეს ბ 1 ,…,ბ მდაურეკა თავისუფალი წევრები.Აგრეგატი ნნომრები გ 1 ,…,გ ნდაურეკა გადაწყვეტილებაამ სისტემის, თუ სისტემის თითოეული განტოლება ხდება ტოლობა მასში რიცხვების ჩანაცვლების შემდეგ გ 1 ,…,გ ნშესაბამისი უცნობის ნაცვლად x 1 ,…, x ნ.ჩვენი ამოცანა იქნება სისტემის გადაწყვეტილებების მოძიება. ამ შემთხვევაში შეიძლება წარმოიშვას სამი სიტუაცია: წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, ეწოდება ერთობლივი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ე.ი. თუ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, მაშინ მას უწოდებენ შეუთავსებელი.მოდით განვიხილოთ სისტემის გადაწყვეტის გზები. ხაზოვანი განტოლებების სისტემების გადაჭრის მატრიცული მეთოდიმატრიცები შესაძლებელს ხდის წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ ჩამოწერას. მიეცით 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

განვიხილოთ სისტემის მატრიცა უცნობი და თავისუფალი წევრების მატრიცული სვეტები მოდი ვიპოვოთ პროდუქტი

იმათ. პროდუქტის შედეგად ვიღებთ ამ სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს. შემდეგ, მატრიცული თანასწორობის განმარტების გამოყენებით, ეს სისტემა შეიძლება დაიწეროს როგორც ან უფრო მოკლე ა∙X=B.აქ მატრიცები ადა ბცნობილია და მატრიცა Xუცნობი. ის უნდა მოიძებნოს, რადგან. მისი ელემენტები ამ სისტემის გამოსავალია. ეს განტოლება ე.წ მატრიცული განტოლება.მატრიცის განმსაზღვრელი იყოს არანულოვანი | ა| ≠ 0. მაშინ მატრიცული განტოლება იხსნება შემდეგნაირად. გაამრავლეთ მარცხნივ განტოლების ორივე მხარე მატრიცით ა -1 მატრიცის ინვერსია ა: . Იმდენად, რამდენადაც ა -1 A=Eდა ე∙X=X, შემდეგ ვიღებთ მატრიცული განტოლების ამოხსნას სახით X=A -1 ბ გაითვალისწინეთ, რომ იმის გამო, რომ ინვერსიული მატრიცა შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის, მატრიცის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ იმ სისტემების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა იგივეა რაც უცნობის რაოდენობა. თუმცა, სისტემის მატრიცული აღნიშვნა შესაძლებელია იმ შემთხვევაშიც, როდესაც განტოლებათა რაოდენობა არ უდრის უცნობის რაოდენობას, მაშინ მატრიცა აარ არის კვადრატი და ამიტომ შეუძლებელია სისტემის გამოსავლის პოვნა ფორმაში X=A -1 ბ.მაგალითები.განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. ვიპოვოთ მატრიცა მატრიცის შებრუნებული ა. , ამრიგად, x = 3, წ = – 1.
Ისე, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. ჩვენ გამოვხატავთ საჭირო მატრიცას Xმოცემული განტოლებიდან. მოდი ვიპოვოთ მატრიცა მაგრამ -1 . გამოცდა: განტოლებიდან ვიღებთ . აქედან გამომდინარე, კრამერის წესიგანვიხილოთ 3 წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

სისტემის მატრიცის შესაბამისი მესამე რიგის განმსაზღვრელი, ე.ი. შედგენილი კოეფიციენტებისგან უცნობებზე,

დაურეკა სისტემის განმსაზღვრელი.შეადგინეთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი შემდეგნაირად: განმსაზღვრელ D-ში ჩაანაცვლეთ თანმიმდევრულად 1, 2 და 3 სვეტები თავისუფალი წევრების სვეტით.

შემდეგ შეგვიძლია დავამტკიცოთ შემდეგი შედეგი. თეორემა (კრამერის წესი).თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის Δ ≠ 0, მაშინ განსახილველ სისტემას აქვს ერთი და მხოლოდ ერთი ამონახსნი და

მტკიცებულება. ასე რომ, განვიხილოთ 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით. გაამრავლეთ სისტემის 1-ლი განტოლება ალგებრულ დანამატზე ა 11 ელემენტი ა 11 , მე-2 განტოლება - ჩართულია ა 21 და მე-3 - ჩართული ა 31 :

დავამატოთ ეს განტოლებები:

განვიხილოთ თითოეული ფრჩხილები და ამ განტოლების მარჯვენა მხარე. დეტერმინანტის გაფართოების თეორემით 1-ლი სვეტის ელემენტების მიხედვით

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია ვაჩვენოთ ეს და ბოლოს, ამის დანახვა ადვილია ამრიგად, ვიღებთ ტოლობას: .შესაბამისად, .ტოლობები და მიღებულია ანალოგიურად, საიდანაც გამომდინარეობს თეორემის დებულება. ამრიგად, აღვნიშნავთ, რომ თუ სისტემის განმსაზღვრელი Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი და პირიქით. თუ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემას ან აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები, ან არ აქვს ამონახსნები, ე.ი. შეუთავსებელი. მაგალითები.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა
Ისე, X=1, ზე=2, ზ=3. სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, თუ Δ ≠ 0. . Ისე . გაუსის მეთოდიადრე განხილული მეთოდები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ იმ სისტემების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ემთხვევა უცნობის რაოდენობას, ხოლო სისტემის განმსაზღვრელი უნდა იყოს განსხვავებული ნულიდან. გაუსის მეთოდი უფრო უნივერსალურია და შესაფერისია ნებისმიერი რაოდენობის განტოლების მქონე სისტემებისთვის. იგი შედგება სისტემის განტოლებიდან უცნობის ზედიზედ ამოღებაში. კვლავ განვიხილოთ სამი განტოლებისგან შემდგარი სისტემა სამი უცნობით:

.

RCHB დაცვის სამხედრო უნივერსიტეტის კოსტრომას ფილიალი

"მართვისა და კონტროლის ავტომატიზაციის დეპარტამენტი"

მხოლოდ მასწავლებლებისთვის

"Ვადასტურებ"

No9 დეპარტამენტის უფროსი

პოლკოვნიკი იაკოვლევი ა.ბ.

"____" ______________ 2004 წ

ასოცირებული პროფესორი A.I. სმირნოვა

„განმსაზღვრელი.

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა"

ლექცია № 2/1

9 დეპარტამენტის სხდომაზე განიხილეს

"____" ___________ 2004 წ

ოქმის ნომერი ___________

კოსტრომა, 2004 წ.

შესავალი

1. მეორე და მესამე რიგის განმსაზღვრელი.

2. დეტერმინანტთა თვისებები. დაშლის თეორემა.

3. კრამერის თეორემა.

დასკვნა

ლიტერატურა

1. ვ.ე. Schneider et al., A Short Course in Higher Mathematics, ტომი I, ჩ. 2, პუნქტი 1.

2. ვ.ს. შჩიპაჩოვი, უმაღლესი მათემატიკა, წ.10, გვ.2.

შესავალი

ლექცია ეხება მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტებს, მათ თვისებებს. ასევე კრამერის თეორემა, რომელიც იძლევა დეტერმინანტების გამოყენებით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის საშუალებას. დეტერმინანტები ასევე გამოიყენება მოგვიანებით თემაში „ვექტორული ალგებრა“ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის გამოთვლისას.

1 სასწავლო კითხვა მეორე და მესამეს კვალიფიკატორები

შეკვეთა

განვიხილოთ ფორმის ოთხი რიცხვის ცხრილი

ცხრილის რიცხვები აღინიშნება ასოებით ორი ინდექსით. პირველი ინდექსი მიუთითებს მწკრივის ნომერზე, მეორე ინდექსი მიუთითებს სვეტის ნომერზე.

განმარტება 1. მეორე რიგის განმსაზღვრელი დაურეკა გამოხატულება კეთილი :

(1)

ნომრები ა 11, …, ა 22 ეწოდება დეტერმინანტის ელემენტებს.

ელემენტებით ჩამოყალიბებული დიაგონალი ა 11 ; ა 22 ეწოდება მთავარს, ხოლო დიაგონალს, რომელიც ჩამოყალიბებულია ელემენტებით ა 12 ; ა 21 - გვერდზე.

ამრიგად, მეორე რიგის განმსაზღვრელი უდრის განსხვავებას ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ელემენტების პროდუქტებს შორის.

გაითვალისწინეთ, რომ პასუხი არის რიცხვი.

მაგალითები.გამოთვალეთ:

ახლა განვიხილოთ ცხრა რიცხვის ცხრილი, რომელიც დაწერილია სამ რიგში და სამ სვეტში:

განმარტება 2. მესამე რიგის განმსაზღვრელი ფორმის გამოხატულება ეწოდება :

ელემენტები ა 11; ა 22 ; ა 33 - შექმენით მთავარი დიაგონალი.

ნომრები ა 13; ა 22 ; ა 31 - ჩამოაყალიბეთ გვერდითი დიაგონალი.

მოდით, სქემატურად ასახოთ, როგორ იქმნება პლიუს და მინუს ტერმინები:

" + " " – "

პლუს მოიცავს: ელემენტების ნამრავლს მთავარ დიაგონალზე, დანარჩენი ორი ტერმინი არის ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც მდებარეობს სამკუთხედის წვეროებზე, რომელთა ფუძეები პარალელურია მთავარი დიაგონალზე.

მინუსის მქონე ტერმინები ყალიბდება ანალოგიურად მეორადი დიაგონალთან მიმართებაში.

მესამე რიგის დეტერმინანტის გამოთვლის ამ წესს ე.წ

უფლება

მაგალითები.გამოთვალეთ სამკუთხედების წესით:

კომენტარი. დეტერმინანტებს ასევე უწოდებენ დეტერმინანტებს.

მე-2 სასწავლო კითხვა განმსაზღვრელთა თვისებები.

გაფართოების თეორემა

საკუთრება 1. განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მისი რიგები შეიცვლება შესაბამის სვეტებთან.

.

ორივე დეტერმინანტის გაფართოებით, ჩვენ დავრწმუნდით თანასწორობის მართებულობაში.

თვისება 1 ადგენს განმსაზღვრელი რიგებისა და სვეტების ტოლობას. ამიტომ, განმსაზღვრელი ყველა შემდგომი თვისება ჩამოყალიბდება როგორც მწკრივებისთვის, ასევე სვეტებისთვის.

საკუთრება 2. როდესაც ორი მწკრივი (ან სვეტი) იცვლება, განმსაზღვრელი ცვლის საპირისპირო ნიშანს, ინარჩუნებს აბსოლუტურ მნიშვნელობას .

.

საკუთრება 3. რიგის ელემენტების საერთო მულტიპლიკატორი (ან სვეტი)შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

.

საკუთრება 4. თუ განმსაზღვრელს აქვს ორი იდენტური მწკრივი (ან სვეტი), მაშინ ის ნულის ტოლია.

ეს თვისება შეიძლება დადასტურდეს პირდაპირი შემოწმებით, ან შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვისება 2.

აღნიშნეთ განმსაზღვრელი D-ით. როცა ორი იდენტური პირველი და მეორე მწკრივი ერთმანეთს ენაცვლება, ის არ შეიცვლება და მეორე თვისებით უნდა შეიცვალოს ნიშანი, ე.ი.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

საკუთრება 5. თუ რომელიმე სტრიქონის ყველა ელემენტი (ან სვეტი)არის ნულოვანი, მაშინ განმსაზღვრელი არის ნული.

ეს ქონება შეიძლება ჩაითვალოს ქონების 3-ის განსაკუთრებულ შემთხვევად

საკუთრება 6. თუ ორი რიგის ელემენტები (ან სვეტები)განმსაზღვრელი არის პროპორციული, მაშინ განმსაზღვრელი არის ნული.

.

ეს შეიძლება დადასტურდეს პირდაპირი შემოწმებით ან 3 და 4 თვისებების გამოყენებით.

საკუთრება 7. განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ იცვლება, თუ რომელიმე მწკრივის (ან სვეტის) ელემენტები დაემატება სხვა მწკრივის (ან სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული იმავე რიცხვით.

.

ეს დასტურდება პირდაპირი შემოწმებით.

ამ თვისებების გამოყენებამ ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება ხელი შეუწყოს დეტერმინანტების გამოთვლის პროცესს, განსაკუთრებით მესამე რიგის.

შემდგომში, ჩვენ გვჭირდება მცირე და ალგებრული კომპლიმენტის ცნებები. განვიხილოთ ეს ცნებები მესამე რიგის დასადგენად.

განმარტება 3. მცირეწლოვანი მესამე რიგის დეტერმინანტის მოცემულ ელემენტს ეწოდება მეორე რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება მოცემულისაგან იმ მწკრივისა და სვეტის წაშლით, რომელთა გადაკვეთაზეც დგას მოცემული ელემენტი.

ელემენტი უმნიშვნელო ა მე ჯაღინიშნა მ მე ჯ. ასე რომ ელემენტისთვის ა 11 არასრულწლოვანი

იგი მიიღება მესამე რიგის განმსაზღვრელში პირველი მწკრივისა და პირველი სვეტის წაშლით.

განმარტება 4. განმსაზღვრელი ელემენტის ალგებრული დანამატი დავარქვათ მინორი გამრავლებული (-1)კ , სად კ - მწკრივისა და სვეტის ნომრების ჯამი, რომელთა გადაკვეთაზე მდებარეობს მოცემული ელემენტი.

ალგებრული ელემენტის დამატება ა მე ჯაღინიშნა მაგრამ მე ჯ .

ამრიგად, მაგრამ მე ჯ =

.

მოდით დავწეროთ ელემენტების ალგებრული დანამატები ა 11 და ა 12.

. .

სასარგებლოა დაიმახსოვროთ წესი: განმსაზღვრელი ელემენტის ალგებრული დანამატი უდრის მის მინორს. პლუს, თუ მწკრივისა და სვეტის ნომრების ჯამი, რომელშიც მდებარეობს ელემენტი, თუნდაც,და ნიშნით მინუსთუ ეს თანხა კენტი .

პასუხი: კრამერის მეთოდი ეფუძნება დეტერმინანტების გამოყენებას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას. ეს მნიშვნელოვნად აჩქარებს გადაწყვეტის პროცესს.

განმარტება. უცნობის კოეფიციენტებისგან შემდგარ დეტერმინანტს სისტემის განმსაზღვრელი ეწოდება და აღინიშნება (დელტათი).

განმსაზღვრელი

მიღებულია კოეფიციენტების შეცვლით შესაბამის უცნობებში თავისუფალი ტერმინებით:

;

.

კრამერის ფორმულები უცნობის საპოვნელად:

.

მნიშვნელობების პოვნა და შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში

ეს დასკვნა გამომდინარეობს შემდეგი თეორემიდან.

კრამერის თეორემა. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი, ხოლო უცნობი უდრის დეტერმინანტთა თანაფარდობას. მნიშვნელი არის სისტემის განმსაზღვრელი, ხოლო მრიცხველი არის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება სისტემის განმსაზღვრელისაგან კოეფიციენტების შეცვლით უცნობით თავისუფალი წევრებით. ეს თეორემა ეხება ნებისმიერი რიგის წრფივი განტოლებების სისტემას.

მაგალითი 1. ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

კრამერის თეორემის მიხედვით გვაქვს:

ასე რომ, სისტემის ამოხსნა (2):
9.ოპერაციები კომპლექტებზე. ვიენის დიაგრამები.

ეილერ-ვენის დიაგრამები არის სიმრავლეების გეომეტრიული გამოსახულებები. დიაგრამის კონსტრუქცია შედგება დიდი ოთხკუთხედის გამოსახულებით, რომელიც წარმოადგენს უნივერსალურ სიმრავლეს U, ხოლო მის შიგნით - წრეებს (ან სხვა დახურულ ფიგურებს), რომლებიც წარმოადგენს სიმრავლეს. ფიგურები უნდა იკვეთებოდეს პრობლემის ყველაზე ზოგად შემთხვევაში და შესაბამისად უნდა იყოს მონიშნული. წერტილები, რომლებიც მდებარეობს დიაგრამის სხვადასხვა ზონაში, შეიძლება ჩაითვალოს შესაბამისი ნაკრების ელემენტებად. აგებული სქემით შესაძლებელია გარკვეული უბნების დაჩრდილვა ახლად ჩამოყალიბებული კომპლექტების მითითებით.

კომპლექტის ოპერაციები განიხილება არსებულიდან ახალი კომპლექტების მისაღებად.

განმარტება. A და B სიმრავლეთა გაერთიანება არის სიმრავლე, რომელიც შედგება ყველა იმ ელემენტისგან, რომლებიც მიეკუთვნება A, B სიმრავლეებიდან ერთს მაინც (ნახ. 1):

განმარტება. A და B სიმრავლეების კვეთა არის სიმრავლე, რომელიც შედგება ყველა იმ ელემენტებისგან, რომლებიც ერთდროულად მიეკუთვნება A და B სიმრავლეს (ნახ. 2):

განმარტება. A და B სიმრავლეთა სხვაობა არის A-ს ყველა იმ და მხოლოდ იმ ელემენტების სიმრავლე, რომლებიც არ არის B-ში (ნახ. 3):

განმარტება. A და B სიმრავლეების სიმეტრიული სხვაობა არის ამ სიმრავლეების ელემენტების სიმრავლე, რომელიც ეკუთვნის ან მხოლოდ A სიმრავლეს ან მხოლოდ B სიმრავლეს (ნახ. 4):

11. ჩვენება (ფუნქცია), განსაზღვრების დომენი, სიმრავლეების გამოსახულებები ჩვენების დროს, ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები და მისი გრაფიკი.

პასუხი: E სიმრავლის დახატვა F სიმრავლესთან, ან E-ზე განსაზღვრული ფუნქცია F მნიშვნელობებით, არის წესი ან კანონი f, რომელიც თითოეულ ელემენტს ანიჭებს გარკვეულ ელემენტს.

ელემენტს ეწოდება დამოუკიდებელი ელემენტი, ან f ფუნქციის არგუმენტი, ელემენტს ეწოდება f ფუნქციის მნიშვნელობა, ანუ გამოსახულება; ელემენტს ელემენტის წინა გამოსახულება ეწოდება.

ასახვა (ფუნქცია) ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო f ან სიმბოლო , რაც მიუთითებს იმაზე, რომ f ასახავს E სიმრავლეს F-ს. აღნიშვნა ასევე გამოიყენება, რაც მიუთითებს, რომ x ელემენტი შეესაბამება f(x) ელემენტს. ზოგჯერ მოსახერხებელია ფუნქციის განსაზღვრა თანასწორობის საშუალებით, რომელიც შეიცავს შესაბამისობის კანონს. მაგალითად, შეგიძლიათ თქვათ, რომ "ფუნქცია f განისაზღვრება ტოლობით". თუ "y" არის F სიმრავლის ელემენტების ზოგადი სახელწოდება, ანუ F = (y), მაშინ გამოსახვა იწერება როგორც ტოლობა y = f(x) და ნათქვამია, რომ ეს გამოსახვა მოცემულია ცალსახად.

2. ნაკრების გამოსახულება და შებრუნებული გამოსახულება მოცემული რუკის ქვეშ

მიეცით რუკების და კომპლექტი.

ელემენტების სიმრავლეს F-დან, რომელთაგან თითოეული წარმოადგენს D-დან მინიმუმ ერთი ელემენტის გამოსახულებას f შედგენის ქვეშ, ეწოდება D სიმრავლის გამოსახულება და აღინიშნება f(D-ით).

ცხადია,.

ახლა მოდით კომპლექტი მიეცეს.

ისეთი ელემენტების სიმრავლე, რომელსაც ეწოდება Y სიმრავლის შებრუნებული გამოსახულება f შედგენის ქვეშ და აღინიშნება f -1 (Y).

თუ , მაშინ . თუ თითოეული სიმრავლისთვის f -1 (y) შედგება მაქსიმუმ ერთი ელემენტისგან, მაშინ f ეწოდება ერთი-ერთზე გამოსახვა E-დან F-მდე. თუმცა, შეიძლება განისაზღვროს სიმრავლის f-ის ერთი-ერთზე გამოსახვა. E-მდე F.

ჩვენება ჰქვია:

საინექციო (ან ინექცია, ან E სიმრავლის ერთ-ერთზე გადატანა F-ში), თუ , ან თუ განტოლებას f(x) = y აქვს მაქსიმუმ ერთი ამონახსნი;

სუბიექტივი (ან სურექცია, ან E სიმრავლის რუკა F-ზე) თუ f(E) = F და თუ განტოლებას f(x) = y აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი;

ბიჯექტივი (ან ბიექცია, ან E სიმრავლის ერთ-ერთზე დახატვა F-ზე), თუ ის არის ინექციური და ზედმეტად, ან თუ განტოლებას f(x) = y აქვს ერთი და მხოლოდ ერთი ამონახსნი.

3. რუკების სუპერპოზიცია. ინვერსიული, პარამეტრული და იმპლიციტური რუკები

1) მოდით და. ვინაიდან , შედგენის g ანიჭებს გარკვეულ ელემენტს თითოეულ ელემენტს.

ამრიგად, წესის საშუალებით, თითოეულს ენიჭება ელემენტი

ამრიგად, განისაზღვრება ახალი რუკების (ან ახალი ფუნქცია), რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ რუკების კომპოზიციას, ან რუკების სუპერპოზიციას, ან კომპლექსურ გამოსახულებას.

2) დავუშვათ ბიექტიური გამოსახვა და F = (y). ვინაიდან f ბიექტურია, თითოეული შეესაბამება x ერთეულ სურათს, რომელსაც ვნიშნავთ f -1 (y) და ისეთი, რომ f(x) = y. ამრიგად, განისაზღვრა რუკება, რომელსაც უწოდებენ f-ის შებრუნებულ ფუნქციას, ან f ფუნქციის შებრუნებულ ფუნქციას.

ცხადია, შედგენილი f არის შებრუნებული შედგენის f -1. მაშასადამე, f და f -1 გამოსახულებებს ურთიერთშებრუნებული ეწოდება. მათთვის ურთიერთობები

და ამ რუკებიდან ერთი მაინც, მაგალითად, არის ბიექტიური. შემდეგ არის შებრუნებული რუკა და აქედან გამომდინარე.

ამგვარად განსაზღვრულ რუკზე ამბობენ, რომ პარამეტრულად არის მოცემული რუკების დახმარებით; სადაც ცვლადს from ეწოდება პარამეტრი.

4) დაე, რუკების განსაზღვრა იყოს ნაკრებზე, სადაც სიმრავლე შეიცავს ნულოვან ელემენტს. დავუშვათ, რომ არსებობს ისეთი სიმრავლეები, რომ თითოეულ ფიქსირებულ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები. შემდეგ E სიმრავლეზე შესაძლებელია განვსაზღვროთ ასახვა, რომელიც თითოეულს ანიჭებს მნიშვნელობას, რომელიც მოცემული x-ისთვის არის განტოლების ამონახსნი.

რაც შეეხება ასე განსაზღვრულ რუკებს

ისინი ამბობენ, რომ იგი ირიბად მოცემულია განტოლების საშუალებით.

5) რუკებს უწოდებენ რუკების გაფართოებას, ხოლო g არის შეკუმშვა f თუ და .

რუკების შეზღუდვა ნაკრებზე ზოგჯერ აღინიშნება სიმბოლოთი.

6) ჩვენების გრაფიკი არის კომპლექტი

გასაგებია რომ.

12. მონოტონური ფუნქციები. შებრუნებული ფუნქცია, არსებობის თეორემა. ფუნქციები y=arcsinx y=arcos x x თვისებები და გრაფიკა.

პასუხი: მონოტონური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის მატება არ ცვლის ნიშანს, ანუ ის არის ან ყოველთვის არაუარყოფითი ან ყოველთვის არაპოზიტიური. თუ გარდა ამისა, ნამატი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ფუნქციას მკაცრად მონოტონური ეწოდება.

სეგმენტზე იყოს განსაზღვრული ფუნქცია f(x). , რომლის ღირებულებები ეკუთვნის ზოგიერთ სეგმენტს . Თუ

შემდეგ ამბობენ, რომ სეგმენტზე f(x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია განისაზღვრება და აღინიშნება შემდეგნაირად: x=f (-1) (y).

ყურადღება მიაქციეთ განსხვავებას ამ განმარტებასა და შევსებული სეგმენტის განმარტებას შორის. მთელს. f (-1) (...) განმარტებაში არის კვანტიფიკატორი, ე.ი. x-ის მნიშვნელობა, რომელიც უზრუნველყოფს თანასწორობას y=f(x), უნდა იყოს უნიკალური, ხოლო სეგმენტის განსაზღვრაში ივსება რაოდენობრივი მაჩვენებელი მყარია, რაც ნიშნავს, რომ შეიძლება იყოს x-ის რამდენიმე მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს y=f(x) თანასწორობას.

ჩვეულებრივ, შებრუნებულ ფუნქციაზე საუბრისას, შეცვალეთ x y-ით და y x-ით (x"y) და ჩაწერეთ y \u003d f (-1) (x). ცხადია, თავდაპირველი ფუნქცია f(x) და შებრუნებული ფუნქცია f (-1) (x) აკმაყოფილებენ მიმართებას

f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

საწყისი და შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები მიიღება ერთმანეთისგან პირველი კვადრატის ბისექტრის მიმართ არეკვით.

თეორემა. დაე, ფუნქცია f(x) იყოს განსაზღვრული, უწყვეტი და მკაცრად მონოტონურად მზარდი (კლებადი) ინტერვალზე. შემდეგ ინტერვალზე განისაზღვრება შებრუნებული ფუნქცია f (-1) (x), რომელიც ასევე უწყვეტი და მკაცრად მონოტონურად მზარდი (კლებადია).

მტკიცებულება.

დავამტკიცოთ თეორემა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც f(x) მკაცრად მონოტონურად იზრდება.

1. შებრუნებული ფუნქციის არსებობა.

ვინაიდან თეორემის ჰიპოთეზის მიხედვით f(x) უწყვეტია, მაშინ წინა თეორემის მიხედვით სეგმენტი მთლიანად ივსება. Ეს ნიშნავს, რომ.

დავამტკიცოთ, რომ x უნიკალურია. მართლაც, თუ ავიღებთ x'>x, მაშინ ეს იქნება f(x')>f(x)=y და შესაბამისად f(x')>y. თუ აიღებ x''

2. შებრუნებული ფუნქციის ერთფეროვნება.

მოდით გავაკეთოთ ჩვეულებრივი ჩანაცვლება x "y და დავწეროთ y = f (-1) (x). ეს ნიშნავს, რომ x=f(y).

მოდით x 1 >x 2 . შემდეგ:

y 1 \u003d f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y 2 \u003d f (-1) (x 2); x 2 \u003d f (y 2)

რა კავშირია y 1 და y 2 შორის? მოდით შევამოწმოთ პარამეტრები.

ა) y 1 x 2 .

ბ) y 1 \u003d y 2? მაგრამ შემდეგ f(y 1)=f(y 2) და x 1 =x 2 , და გვქონდა x 1 >x 2 .

გ) დარჩენილია მხოლოდ y 1 >y 2 , ე.ი. მაგრამ შემდეგ f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), და ეს ნიშნავს, რომ f (-1) (...) მკაცრად მონოტონურად იზრდება.

3. შებრუნებული ფუნქციის უწყვეტობა.

იმიტომ რომ შებრუნებული ფუნქციის მნიშვნელობები მთლიანად ავსებს სეგმენტს, შემდეგ, წინა თეორემის მიხედვით, f (-1) (...) უწყვეტია.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
ფუნქცია შებრუნებული ფუნქცია y = sin x, - / 2 x / 2	ფუნქცია შებრუნებული ფუნქცია y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = არქტანი x	y = arcctg x
ფუნქცია შებრუნებული ფუნქცია y = tg x, - / 2< x < / 2	ფუნქცია შებრუნებული ფუნქცია y = ctg x, 0< x <

13.ფუნქციის შემადგენლობა. ელემენტარული ფუნქციები. ფუნქციები y=arctg x, y=arcctg x, მათი თვისებები და გრაფიკები.

პასუხი: მათემატიკაში ფუნქციების შემადგენლობა (ფუნქციების სუპერპოზიცია) არის ერთი ფუნქციის გამოყენება მეორის შედეგზე.

G და F ფუნქციების შემადგენლობა ჩვეულებრივ აღინიშნება G∘F, რაც ნიშნავს G ფუნქციის გამოყენებას F ფუნქციის შედეგზე.

მოდით F:X→Y და G:F(X)⊂Y→Z იყოს ორი ფუნქცია. მაშინ მათი შემადგენლობა არის ფუნქცია G∘F:X→Z, რომელიც განისაზღვრება ტოლობით:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

ელემენტარული ფუნქციები - ფუნქციები, რომლებიც შეიძლება მიღებულ იქნეს სასრული რაოდენობის არითმეტიკული მოქმედებებისა და კომპოზიციების გამოყენებით შემდეგი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიდან:

• ალგებრული:
• ძალა;
• რაციონალური.
• ტრანსცენდენტური:
• ექსპონენციალური და ლოგარითმული;
• ტრიგონომეტრიული და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული.

თითოეული ელემენტარული ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით, ანუ სასრული რაოდენობის სიმბოლოების ნაკრები, რომელიც შეესაბამება გამოყენებულ ოპერაციებს. ყველა ელემენტარული ფუნქცია უწყვეტია მათი განმარტების სფეროზე.

ზოგჯერ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები ასევე მოიცავს ჰიპერბოლურ და ინვერსიულ ჰიპერბოლურ ფუნქციებს, თუმცა ისინი შეიძლება გამოიხატოს ზემოთ ჩამოთვლილი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებით.

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y > 0 x R-ისთვის ექსტრემა: არა არა ერთფეროვნების ხარვეზები: იზრდება x R-ზე მცირდება x R-ზე