ანალიზის მთავარი თეორემა

ანალიზის მთავარი თეორემაან ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულაიძლევა ურთიერთობას ორ ოპერაციას შორის: განსაზღვრული ინტეგრალის აღება და ანტიწარმოებულის გამოთვლა

ფორმულირება

განვიხილოთ ფუნქციის ინტეგრალი წ = ვ(x) მუდმივი რიცხვის ფარგლებში ანომერამდე x, რომელსაც განვიხილავთ ცვლადად. ჩვენ ვწერთ ინტეგრალს შემდეგი ფორმით:

ინტეგრალის ამ ტიპს ეწოდება ინტეგრალი ცვლადი ზედა ზღვრით. საშუალო-განსაზღვრული ინტეგრალური თეორემის გამოყენებით, ადვილია იმის ჩვენება, რომ მოცემული ფუნქცია უწყვეტი და დიფერენცირებადია. და ასევე ამ ფუნქციის წარმოებული x წერტილში უდრის თავად ინტეგრირებად ფუნქციას. აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერ უწყვეტ ფუნქციას აქვს ანტიდერივატი კვადრატის სახით: . და რადგან f ფუნქციის ანტიწარმოებულების კლასი განსხვავდება მუდმივით, ადვილია იმის ჩვენება, რომ: f ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი უდრის განსხვავებას ანტიწარმოებულების მნიშვნელობებს შორის b და a წერტილებში.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

• პლეადები
• 6174 (ნომერი)

ნახეთ, რა არის „ანალიზის მთავარი თეორემა“ სხვა ლექსიკონებში:

ფუნდამენტური ნარჩენების თეორემა- ნარჩენების თეორემა არის მძლავრი ინსტრუმენტი მერომორფული ფუნქციის ინტეგრალის გამოსათვლელად დახურულ კონტურზე. ასევე ხშირად გამოიყენება რეალური ინტეგრალების გამოსათვლელად. ეს არის კოშის ინტეგრალური თეორემისა და ინტეგრალური ... ... ვიკიპედიის განზოგადება

ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა- ამტკიცებს, რომ კომპლექსური კოეფიციენტების მქონე ყველა არამუდმივ მრავალწევრს (ერთი ცვლადის) აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი რთული რიცხვების ველში. თეორემის ეკვივალენტური ფორმულირება ასეთია: რთული რიცხვების ველი ... ... ვიკიპედია

ნიუტონის თეორემა- ნიუტონ ლაიბნიცის ფორმულა ანუ ანალიზის მთავარი თეორემა გვაძლევს ურთიერთობას ორ ოპერაციას შორის: განსაზღვრული ინტეგრალის აღება და ანტიწარმოებულის გამოთვლა. თუ ის უწყვეტია სეგმენტზე და მისი ნებისმიერი ანტიდერივატი ამ სეგმენტზე, მაშინ მას აქვს ... ვიკიპედია

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

ნიუტონი - ლაიბნიცის ფორმულა- ანალიზის მთავარი თეორემა ან ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა იძლევა ურთიერთობას ორ ოპერაციას შორის: განსაზღვრული ინტეგრალის აღება და ანტიწარმოებული ფორმულირების გამოთვლა. განვიხილოთ y \u003d f (x) ფუნქციის ინტეგრალი, რომელიც მერყეობს მუდმივი რიცხვიდან a-მდე .. ... ვიკიპედია

ინტეგრალური- განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც ფიგურის ფართობი ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობები აქვს, იხილეთ ინტეგრალი (გაურკვევლობა). ფუნქციის ინტეგრალი ... ვიკიპედია - ფუნქციისთვის, ეს არის მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის კრებული. თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია ინტერვალზე და მის ანტიწარმოებულზე, ანუ at, მაშინ ... ვიკიპედია

ერთხელ მე და მამაჩემი მანქანით შორს მივდიოდით. და ეს კარგი მიზეზია ჭკვიანი საუბრისთვის.

საუბარია „ძირითად თეორემებზე“. არითმეტიკის ძირითადი თეორემა არის ის, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიშალოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად და უნიკალური გზით. ალგებრის ძირითადი თეორემა არის ის, რომ მრავალწევრს იმდენი ფესვი აქვს, რამდენიც მისი ხარისხია (თუმცა ფორმულირებებით არის ჯოჯოხეთი). შემდეგ კი ანალიზის მთავარი თეორემა რატომღაც გამიფრინდა მაშინ.

მამა ვარაუდობდა, რომ ანალიზის ფუნდამენტური თეორემა არის ნიუტონ-ლაიბნიცის თეორემა. "Რაზეა?" Ვიკითხე. მამა: ”ზუსტი ფორმულირება არ მახსოვს, მაგრამ რაღაც იმ ფაქტზე, რომ ინტეგრაცია დიფერენციაციის საპირისპირო ოპერაციაა.”

მოიცადე, ეს არ არის განსაზღვრებით?

როგორც ყოველთვის ამ ფუნდამენტურ თეორემებთან დაკავშირებით, რასაც ისინი ამბობენ აშკარად ჩანს მას შემდეგ რაც უკვე გაიარეთ. მაგრამ სინამდვილეში, ეს არის მთავარი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ ინტეგრაცია და დიფერენციაცია, როგორც შებრუნებული ოპერაციები. ღრმად ანტიმეცნიერული მსჯელობა უფრო შორს წავა, სადაც ნებისმიერი მათემატიკოსი აღმოაჩენს 100500 ფორმალურ შეცდომას, მაგრამ ეს ახლა არ არის მნიშვნელოვანი.

რა არის დიფერენციაცია? ეს არის მაშინ, როდესაც ვხატავთ ტანგენტს ფუნქციის თითოეულ წერტილში და ვპოულობთ იმ კუთხის ტანგენტს, რომლითაც იგი ჰორიზონტზე გადადის, ასე:

ახლა, თუ თითოეულ წერტილს მიენიჭება ნაპოვნი ტანგენსი, მაშინ მიიღება ახალი ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება წარმოებული. შეგახსენებთ, რომ ნომერი ერომ ფუნქციის წარმოებული ყოფილიუდრის ყოფილი, ანუ თითოეულ წერტილში კუთხის ტანგენსი უდრის თავად ფუნქციის მნიშვნელობას.

რა არის ინტეგრაცია? ეს არის ფიგურის ფართობის პოვნა ფუნქციის მრუდის ქვეშ, რომელიც შემოსაზღვრულია ზოგიერთი ვერტიკალური საზღვრებით. ადა ბდა ჰორიზონტალური ღერძი:

თუ გაყოფთ მართკუთხედების მზარდ რაოდენობაზე და უყურებთ ფართობების ჯამის ზღვარს, მაშინ მიიღებთ მხოლოდ ამ ფიგურის ფართობს. ამ უბანს ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი ეწოდება წ = f(x)სეგმენტზე [ ა; ბ] და აღინიშნება ასე:

გულწრფელად რომ ვთქვათ, სულაც არ არის აშკარა, რომ სისულელეები კუთხეების შესახებ და სისულელეები ტერიტორიის შესახებ, ზოგადად, გარკვეულწილად დაკავშირებულია.

და ეს არის ის, თუ როგორ უკავშირდება ისინი. ფუნქციის შებრუნებულ წარმოებულს ანტიდერივატი ეწოდება. ანტიდერივატი საწყისი f(x)ასეთი ფუნქციაა g(x)რომ მისი წარმოებული g'(x) = f(x). მაგალითად, ფუნქცია წ = x 2 + 8 წარმოებული წ = 2x. ისე ფუნქციისთვის წ = xფუნქცია წ = (x 2/2) + 4 არის ანტიდერივატი.

ადვილი მისახვედრია, რომ ასეთი ფუნქციების უსასრულო რაოდენობაა. მაგალითად, ფუნქციის წარმოებული წ = x 2 + 28 არის ასევე წ = 2x. ისე ფუნქციისთვის წ = xფუნქცია ( x 2/2) + 14 ასევე ანტიდერივატია. ეს ლოგიკურია, რადგან წარმოებული არის კუთხე თითოეულ წერტილში და ბუნებრივია, რომ ის არ იცვლება იმის მიხედვით, თუ რა სიმაღლეზე ვერტიკალურად ავწევთ ფუნქციის მთლიან გრაფიკს. ისე ფუნქციისთვის xპრიმიტიული არის x 2/2 პლუსი რამდენიც მოგწონს.

ასე რომ, გამოდის, რომ იპოვოთ ფიგურის ფართობი ფუნქციის ქვეშ წ = f(x)დაწყებული აადრე ბ, თქვენ უნდა აიღოთ მისი ნებისმიერი ანტიდერივატივის მნიშვნელობები g(x)წერტილებში ბდა ადა გამოვაკლოთ ერთი მეორეს:

Აქ გ- მართალია ნებისმიერი, მაგრამ მაინც ერთგვარი ერთი პრიმიტიული, ამიტომ „რამდენიც მოგწონს“ მისთვის იგივე იქნება, ისინი ერთმანეთს ჩამოაკლდებიან და შედეგზე გავლენას არ მოახდენენ. თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ რამდენიმე მარტივი ფუნქცია, როგორიცაა წ = 2x, სადაც ინტეგრალების გარეშე ფართობის გამოთვლა და შემოწმება მარტივია. მუშაობს!

ამ ფორმულას უწოდებენ ანალიზის ფუნდამენტურ თეორემას ან ნიუტონ-ლაიბნიცის თეორემას. თუ ეს დადასტურდა, მაშინ ჩვენ უკვე შეგვიძლია ვუწოდოთ ანტიდერივატიული ინტეგრაციის აღმოჩენა და ზოგადად მივიჩნიოთ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია, როგორც ურთიერთშებრუნებული ოპერაციები.

§ 5. ანალიზის მთავარი თეორემა

1. მთავარი თეორემა. ინტეგრაციის და გარკვეულწილად დიფერენციაციის კონცეფცია კარგად იყო განვითარებული ნიუტონისა და ლაიბნიცის მუშაობამდე. მაგრამ აბსოლუტურად აუცილებელი იყო ერთი ძალიან მარტივი აღმოჩენის გაკეთება, რათა ბიძგი მისცეს ახლად შექმნილი მათემატიკური ანალიზის უზარმაზარ ევოლუციას. ორი, როგორც ჩანს, ურთიერთდამოუკიდებელი ლიმიტის პროცესი, რომელიც გამოიყენება ერთი დიფერენციაციისთვის, მეორე ფუნქციების ინტეგრირებისთვის, აღმოჩნდა, რომ მჭიდროდ იყო დაკავშირებული ერთმანეთთან. მართლაც, ისინი ორმხრივია

				საპირისპირო ოპერაციები,
				კარგია ისეთი ოპერაციებისთვის, როგორიცაა
				შეკრება და გამოკლება, ჭკვიანი
				ჭრა და გაყოფა. განსხვავებული -
				სოციალური და ინტეგრალური
				ნომრები არის
				რაღაც ერთიანი.
				ნიუ-ის დიდი მიღწევა
				ტონი და ლაიბნიცი არის
				იმაში პირველად ისინი
ბრინჯი. 274. ინტ ითამაშა როგორც ფუნქციაზედა				მაგრამ ესმოდა და გამოიყენა
				ანალიზის ეს მთავარი თეორემა
				უკან. ეჭვგარეშეა, ისინი ღიაა

ჰალსტუხი lay n მაგრამ პირდაპირი გზა არისმეცნიერული განვითარება და სულაც არ არის გასაკვირი აღსანიშნავია, განსხვავებაეს პირები დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად მივიდნენ ზემოაღნიშნული გარემოების მკაფიო გაგებამდე.

მთავარი თეორემის ზუსტად ჩამოსაყალიბებლად განვიხილავთ y = f(x) ფუნქციის ინტეგრალს მუდმივი რიცხვიდან x რიცხვამდე დიაპაზონში, რომელსაც განვიხილავთ ცვლადად. იმისათვის, რომ არ ავურიოთ ინტეგრაციის x-ის ზედა ზღვარი ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ გამოჩენილ ცვლადში, ჩვენ ვწერთ ინტეგრალს შემდეგი ფორმით (იხ. გვერდი 428):

F(x)=Z

რითაც ვაჩვენებთ ჩვენს განზრახვას შევისწავლოთ ინტეგრალი, როგორც მისი ზედა ზღვრის F(x) ფუნქცია (ნახ. 274). ეს ფუნქცია F (x) არის y = f(u) მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი u = a წერტილიდან u = x წერტილამდე. ზოგჯერ F(x) ინტეგრალს ცვლადი ზედა ზღვარით უწოდებენ "განუსაზღვრელი ინტეგრალი".

ანალიზის მთავარი თეორემა შემდეგნაირად იკითხება:

განუსაზღვრელი ინტეგრალის (1) წარმოებული მის ზედა ზღვართან x უდრის f(u) ფუნქციის მნიშვნელობას u = x წერტილში:

F 0 (x) = f (x).

ანალიზის მთავარი თეორემა

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ინტეგრაციის პროცესი, რომელიც მიდის f(x) ფუნქციიდან F(x) ფუნქციამდე "განადგურებულია" დიფერენციაციის შებრუნებული პროცესით, რომელიც გამოიყენება F(x) ფუნქციაზე.

ინტუიციურ საფუძველზე, ამ წინადადების დადასტურება არ არის რთული. იგი დაფუძნებულია F(x) ინტეგრალის ინტერპრეტაციაზე, როგორც ფართობზე, და ბუნდოვანი იქნება, თუ შევეცდებით F(x) ფუნქციის გამოსახვას და წარმოებული F0(x)-ის ინტერპრეტაციას, როგორც შესაბამის ფერდობზე. წარმოებულის ადრე დადგენილ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას რომ თავი დავანებოთ, ჩვენ შევინარჩუნებთ F (x) ინტეგრალის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, როგორც ფართობს და გავხდებით F (x) ფუნქციის დიფერენცირების ანალიზურ მეთოდად. განსხვავება

F (x1) - F (x)

უბრალოდ არის ფართობი მრუდის ქვეშ y = f(u) ზღვრებს შორის u = x1 და u = x (ნახ. 275), და ადვილი გასაგებია, რომ ამ ფართობის რიცხვითი მნიშვნელობა დევს რიცხვებს შორის (x1 − x. )m და (x1 − x) M:

(x1 − x)m 6 F (x1 ) − F (x) 6 (x1 − x)M,

სადაც M და m არის, შესაბამისად, f(u) ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები u = x-დან u = x1-მდე ინტერვალში. მართლაც, ეს პროდუქტები იძლევა ორი მართკუთხედის ფართობებს, რომელთაგან ერთი შეიცავს განხილულ მრუდის ზონას, ხოლო მეორე შეიცავს მასში.

ბრინჯი. 275. მთავარი თეორემის დამტკიცების შესახებ

ეს გულისხმობს

m 6 F (x1 ) − F (x) 6 M. x1 − x

დავუშვათ, რომ ფუნქცია f(u) არის უწყვეტი, ასე რომ, როგორც x1 მიდრეკილია x-ისკენ, M და m სიდიდეები მიდრეკილია f(u) ფუნქციის მნიშვნელობამდე u = x წერტილში, ე.ი. f(x). ამ შემთხვევაში შეიძლება განიხილოს

468 მათემატიკური ანალიზი ჩ. VIII

დაამტკიცა რომ
F 0 (x) = lim	F (x1) - F (x)
x1→x	x1 − x

ამ შედეგის ინტუიციური მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ მისი მატებასთან ერთად, y = f(x) მრუდის ქვეშ არსებული ფართობის ცვლილების სიჩქარე უდრის მრუდის სიმაღლეს x-ზე.

ზოგიერთ სახელმძღვანელოში ამ მთავარი თეორემის შინაარსი ბუნდოვანია არასწორად შერჩეული ტერმინოლოგიის გამო. კერძოდ, ბევრმა ავტორმა ჯერ წარმოადგინა წარმოებულის ცნება, შემდეგ კი განსაზღვრავს „განუსაზღვრელი ინტეგრალი“ უბრალოდ, როგორც შებრუნებული მოქმედების შედეგი დიფერენციაციის მიმართ: ისინი ამბობენ, რომ ფუნქცია G(x) არის f ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. (x) თუ

G0 (x) = f (x).

ამრიგად, წარმოდგენის ეს გზა პირდაპირ აკავშირებს დიფერენციაციას სიტყვა „ინტეგრალთან“. მხოლოდ მოგვიანებით შემოვიდა ცნება "განსაზღვრული ინტეგრალი", განიხილება როგორც ფართობი ან როგორც ჯამების თანმიმდევრობის ზღვარი, და საკმარისად არ არის ხაზგასმული, რომ სიტყვა "ინტეგრალი" ახლა ნიშნავს სრულიად განსხვავებულს, ვიდრე ადრე. ახლა კი ირკვევა, რომ ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც შეიცავს თეორიას, მხოლოდ ფარულად იძენს - უკანა კარიდან და სტუდენტი სერიოზულ სირთულეებს აწყდება საკითხის არსის გაგების მცდელობაში. ჩვენ გვირჩევნია ვუწოდოთ ფუნქციები G(x), რომლებისთვისაც G0 (x) = f(x) არა „განსაზღვრული ინტეგრალები“, არამედ f(x) ფუნქციის ანტიდერივატივები. შემდეგ მთავარი თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

ფუნქცია F (x), რომელიც არის f(x) ფუნქციის ინტეგრალი x მუდმივი ქვედა და ცვლადი ზედა ზღვრით, არის f(x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი.

ჩვენ ვამბობთ "ერთ-ერთ" ანტიწარმოებულ ფუნქციას იმ მიზეზით, რომ თუ G(x) არის f(x-ის ანტიწარმოებული ფუნქცია), მაშინვე ცხადია, რომ ნებისმიერი ფუნქცია H(x) = G(x) + c. (c - თვითნებური მუდმივი) ასევე არის ანტიწარმოებული, რადგან H0 (x) = G0 (x). პირიქითაც მართალია. ორი ანტიდერივატიული ფუნქცია G(x)

და H(x) შეიძლება განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან მხოლოდ მუდმივი წევრით. მართლაც, განსხვავებას U(x) = G(x) − H(x) აქვს U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0, როგორც წარმოებული, ე.ი. ანუ, ეს განსხვავება მუდმივია, ვინაიდან აშკარაა, რომ თუ ფუნქციის გრაფიკი ჰორიზონტალურია მის თითოეულ წერტილში, მაშინ თავად ფუნქცია, რომელიც გრაფიკით არის წარმოდგენილი, აუცილებლად უნდა იყოს მუდმივი.

ეს მივყავართ ძალიან მნიშვნელოვან წესს a-სა და b-ს შორის ინტეგრალის გამოსათვლელად - თუ ვივარაუდებთ, რომ ჩვენ ვიცით f(x) ფუნქციის G(x) ანტიდერივატიული ფუნქცია. ჩვენი მთავარის მიხედვით

ანალიზის მთავარი თეორემა

თეორემა, ფუნქცია

ასევე არსებობს f(x) ფუნქციის ანტიდერივატიული ფუნქცია. ასე რომ, F(x) =

G(x) + c, სადაც c არის მუდმივი. ამ მუდმივის მნიშვნელობა განისაზღვრება,

თუ გავითვალისწინებთ, რომ F (a) = f(u) du = 0. ეს გულისხმობს:

0 = G(a) + c, ამიტომ c = −G(a). მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი a-სა და x-ს შორის იდენტურად აკმაყოფილებს ტოლობას

F (x) = f(u) du = G(x) − G(a);

x-ის b-ით ჩანაცვლება მივყავართ ფორმულამდე

f(u) du = G(b) - G(a),

იმისდა მიუხედავად, რომელი ანტიდერივატიული ფუნქცია იყო „გაშვებული“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: გამოვთვალოთ გარკვეული

ინტეგრალი f(x) dx, საკმარისია ვიპოვოთ ფუნქცია G(x), რომლისთვისაც

Swarm G0 (x) = f(x) და შემდეგ გააკეთე სხვაობა G(b) − G(a).

2. პირველი განაცხადები. xr , cos x, sin x ფუნქციების ინტეგრაცია. arctg x ფუნქცია. აქ შეუძლებელია ძირითადი თეორემის როლის ამომწურავი წარმოდგენა და ჩვენ შემოვიფარგლებით რამდენიმე გამომხატველი მაგალითის მოყვანით. მექანიკასა და ფიზიკაში ან თავად მათემატიკაში წარმოქმნილ ამოცანებში ძალიან ხშირად საჭიროა გარკვეული ინტეგრალის რიცხვითი მნიშვნელობის გამოთვლა. ინტეგრალის, როგორც ლიმიტის პოვნის პირდაპირი მცდელობა შეიძლება გადაულახავად რთული იყოს. მეორე მხრივ, როგორც § 3-ში ვნახეთ, ნებისმიერი დიფერენციაცია შედარებით მარტივად ხორციელდება და შესაძლებელია ძალიან დიდი რაოდენობის დიფერენციაციის ფორმულების დაგროვება სირთულის გარეშე. ყოველი ასეთი ფორმულა G0 (x) = f(x), პირიქით, შეიძლება ჩაითვალოს f(x) ფუნქციის G(x) ანტიწარმოებული ფუნქციის განმსაზღვრელ ფორმულად.

ფორმულა (3) საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ცნობილი ანტიწარმოებული ფუნქცია f(x) ფუნქციის ინტეგრალის გამოსათვლელად მოცემულ ინტერვალში.

თუ ჩვენ, მაგალითად, გვსურს ვიპოვოთ x2, x3 ან xn სიმძლავრეების ინტეგრალები ზოგადად, მაშინ უმარტივესი რამ არის ვიმოქმედოთ ისე, როგორც მითითებულია § 1-ში. სიმძლავრის დიფერენციაციის ფორმულით, xn-ის წარმოებული არის nxn−1.

470 მათემატიკური ანალიზი ჩ. VIII

ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული

G(x) = n x
	1 (n 6= -1)

არის ფუნქცია

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn .

xn+1

ამ შემთხვევაში, ფუნქცია n + 1 არის ანტიდერივატიული ფუნქცია

f(x) = xn ფუნქციის მიმართ და ამიტომ მაშინვე ვიღებთ ფორმულას

x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − a n+1 . n + 1

ეს არგუმენტი შეუდარებლად უფრო მარტივია, ვიდრე ინტეგრალის ჯამის ლიმიტის პირდაპირ გამოთვლის რთულ პროცედურას.

როგორც უფრო ზოგადი შემთხვევა, ჩვენ აღმოვაჩინეთ § 3-ში, რომ ნებისმიერი რაციონალური s-სთვის, როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, xs ფუნქციის წარმოებული უდრის sxs−1-ს და, შესაბამისად, s = r + 1-ისთვის ფუნქცია.

x r+1

აქვს წარმოებული f(x) = G0 (x) = xr (ვვარაუდობთ, რომ r 6= −1,

x r+1

ანუ s 6=0). ასე რომ, ფუნქცია r + 1 არის ანტიდერივატიული ფუნქცია, ან

xr-ის „განუსაზღვრელი ინტეგრალი“ და ვიღებთ (a და b დადებითისთვის და r 6= −1) ფორმულას

xr dx =	b r+1 − a r+1

ფორმულაში (4) უნდა ვივარაუდოთ, რომ xr ფუნქცია ინტეგრალის ქვეშ არის განსაზღვრული და უწყვეტი ინტეგრაციის ინტერვალში, ამიტომ წერტილი x = 0 უნდა გამოირიცხოს, თუ r.< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

თუ დავაყენებთ G(x) = − cos x, მაშინ მივიღებთ G0 (x) = sin x და შესაბამისად წარმოიქმნება მიმართება

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

ანალოგიურად, თუ G(x) = sin x, მაშინ G0 (x) = cos x და აქედან გამომდინარე

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

§ 5 ანალიზის მთავარი თეორემა 471

განსაკუთრებით საინტერესო შედეგი მიიღება arctg x ფუნქციის დიფერენცირების ფორმულიდან:

	ვინაიდან arctg x ფუნქცია ანტიდერივატიულია ფუნქციის მიმართ
							1+x2

შემდეგ, ფორმულის (3) საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ

არქტანი b − არქტანი 0 = Z 0	1 + x2dx.

მაგრამ არქტანი 0 = 0 (ტანგენტის ნულოვანი მნიშვნელობა შეესაბამება კუთხის ნულოვან მნიშვნელობას). ასე რომ, ჩვენ გვაქვს

arctg b = Z 0

1+x2

Კერძოდ,

მნიშვნელობა

ტანგენსი,

1, მატჩი

45◦-ზე, რაც რადიანის ზომით შეესაბამება

აყენებს პ . ამრიგად, ჩვენ

ვიღებთ

მშვენიერი

1 + x2dx.

აჩვენებს

რა ფართობი

განრიგი

1 + x 2 x = 0-დან x =-მდე

1 უდრის ერთეულის ფართობის მეოთხედს

276. ტერიტორია კრის ქვეშ

არანაირი წრე.

ფარგლებში

3. ფორმულა

ლაიბნიცი

1+x2

იწვევს

პ . უახლესი შედეგი

ყველაზე ლამაზი

მე-17 საუკუნეში აღმოჩენილი მათემატიკური ფორმულები - ნიშან-ცვლადამდე

ლაიბნიცის სერიამდე, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოთვალოთ p:

4 p = 1 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + . . .

+ სიმბოლო. . . უნდა გვესმოდეს იმ გაგებით, რომ სასრული "ნაწილობრივი ჯამების" თანმიმდევრობა მიღებულია, როდესაც მარჯვენა მხარე

ტოლობებიდან მიღებულია ჯამის მხოლოდ n წევრი, მიდრეკილია p ზღვარზე at

შეუზღუდავი ზრდა n.

მათემატიკური ანალიზი

ამ შესანიშნავი ფორმულის დასამტკიცებლად, ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა გავიხსენოთ.

1 − qn = 1 + q + q2 + . . . + qn−1,

სადაც "ნარჩენი ვადა" Rn გამოიხატება ფორმულით

Rn = (−1)n x 2n 2 .

ტოლობა (8) შეიძლება ინტეგრირებული იყოს 0-დან 1-მდე დიაპაზონში. § 3-ის a) წესის მიხედვით, უნდა ავიღოთ მარჯვენა მხარეს ცალკეული ტერმინების ინტეგრალების ჯამი. (4)-ზე დაყრდნობით ჩვენ ვიცით, რომ

xm dx =

bm+1

- am+1

კერძოდ, ვიღებთ

xm dx =

საიდან, საიდან

1+x2

1 − 3 +

და შესაბამისად,

− 7

+ . . . + (−1)n−1

2n − 1 + Tn,

p R0

1+x2

Tn = (

ფორმულის მიხედვით (5), ფორმის მარცხენა მხარე არის

ly (9) არის

შორის განსხვავება

და კერძო თანხა

(−1)n−1

Sn = 1 -

− Sn = Tn. რჩება იმის დასამტკიცებლად, რომ Tn მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც

იზრდება n. ჩვენ გვაქვს უთანასწორობა

x 2n 6 x2n.

1+x2

გავიხსენოთ ფორმულა (13) § 1, რომელიც ადგენს უთანასწორობას

f(x) dx 6 g(x) dx f(x) 6 g(x) და a< b,

ინტეგრაციის და გარკვეულწილად დიფერენციაციის კონცეფცია კარგად იყო განვითარებული ნიუტონისა და ლაიბნიცის მუშაობამდე. მაგრამ აბსოლუტურად აუცილებელი იყო ერთი ძალიან მარტივი აღმოჩენის გაკეთება, რათა ბიძგი მისცეს ახლად შექმნილი მათემატიკური ანალიზის უზარმაზარ ევოლუციას. ორი, როგორც ჩანს, ურთიერთდამოუკიდებელი ლიმიტის პროცესი, რომელიც გამოიყენება ერთი დიფერენციაციისთვის, მეორე ფუნქციების ინტეგრირებისთვის, აღმოჩნდა, რომ მჭიდროდ იყო დაკავშირებული ერთმანეთთან. მართლაც, ისინი ურთიერთშებრუნებული ოპერაციებია, როგორიცაა შეკრება და გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლები ერთია.

ნიუტონისა და ლაიბნიცის უდიდესი მიღწევა ის არის, რომ პირველად მათ ნათლად გააცნობიერეს და გამოიყენეს ანალიზის ეს ძირითადი თეორემა. ეჭვგარეშეა, რომ მათი აღმოჩენა ბუნებრივ სამეცნიერო განვითარების პირდაპირ გზაზე იყო და სულაც არ არის გასაკვირი, რომ სხვადასხვა პიროვნებები დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად მიდიოდნენ ზემოთ აღნიშნული გარემოების მკაფიო გაგებამდე.

ბრინჯი. 274. ინტეგრალი, როგორც ზედა ლიმიტის ფუნქცია

მთავარი თეორემის ზუსტად ჩამოსაყალიბებლად განვიხილავთ ფუნქციის ინტეგრალს, რომელიც მერყეობს მუდმივი რიცხვიდან x რიცხვამდე, რომელსაც განვიხილავთ ცვლადად. იმისათვის, რომ არ ავურიოთ ინტეგრაციის x-ის ზედა ზღვარი ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ გამოჩენილ ცვლადში, ჩვენ ვწერთ ინტეგრალს შემდეგი ფორმით (იხ. გვ. 459):

რითაც დემონსტრირდება ჩვენი განზრახვა შევისწავლოთ ინტეგრალი მისი ზედა ზღვრის ფუნქციით (სურ. 274). ეს ფუნქცია არის მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი წერტილიდან წერტილამდე.ზოგჯერ ინტეგრალს ცვლადი ზედა ზღვრით ეწოდება "განუსაზღვრელი ინტეგრალი".

ანალიზის მთავარი თეორემა შემდეგნაირად იკითხება: განუსაზღვრელი ინტეგრალის (1) წარმოებული მის ზედა ზღვართან x უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ინტეგრაციის პროცესი, რომელიც მიდის ფუნქციიდან ფუნქციამდე, "განადგურებულია" ფუნქციაზე გამოყენებული დიფერენციაციის ინვერსიული პროცესით.

ბრინჯი. 275. მთავარი თეორემის დამტკიცების შესახებ

ინტუიციურ საფუძველზე, ამ წინადადების დადასტურება არ არის რთული. იგი ეფუძნება ინტეგრალის, როგორც ფართობის ინტერპრეტაციას და დაბნელდება, თუ შევეცდებით ფუნქციის გამოსახვას და წარმოებულის ინტერპრეტაციას, როგორც შესაბამის ფერდობზე. წარმოებულის ადრე დადგენილ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას რომ თავი დავანებოთ, ჩვენ შევინარჩუნებთ ინტეგრალის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას, როგორც ფართობს და გავხდებით ფუნქციის დიფერენცირების ანალიტიკურ მეთოდად. განსხვავება

უბრალოდ არის მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი საზღვრებს შორის (ნახ. 275) და ძნელი არ არის იმის გაგება, რომ ამ არეალის რიცხვითი მნიშვნელობა ციფრებს შორისაა ჩასმული.

სად არის (შესაბამისად, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ინტერვალში დან მდე) მართლაც, ეს პროდუქტები იძლევა ორი მართკუთხედის ფართობებს, რომელთაგან ერთი შეიცავს განხილულ მრუდი ზონას, ხოლო მეორე შეიცავს მასში.

ეს გულისხმობს:

დავუშვათ, რომ ფუნქცია უწყვეტია, ისე, რომ ორივე სიდიდე მიდრეკილია ფუნქციის მნიშვნელობისკენ

წერტილში, ანუ მნიშვნელობამდე ამ შემთხვევაში შეგვიძლია დადასტურებულად მივიჩნიოთ, რომ

ამ შედეგის ინტუიციური მნიშვნელობა ის არის, რომ მისი ზრდისას მრუდის ქვეშ არსებული ფართობის ცვლილების სიჩქარე უდრის მრუდის სიმაღლეს x-ზე.

ზოგიერთ სახელმძღვანელოში ამ მთავარი თეორემის შინაარსი ბუნდოვანია არასწორად შერჩეული ტერმინოლოგიის გამო. კერძოდ, ბევრმა ავტორმა ჯერ წარმოადგინა წარმოებულის ცნება, შემდეგ კი განსაზღვრავს „განუსაზღვრელი ინტეგრალი“ უბრალოდ, როგორც დიფერენციაციის შებრუნებული მოქმედების შედეგი: ისინი ამბობენ, რომ ფუნქცია არის ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი, თუ

ამრიგად, წარმოდგენის ეს გზა პირდაპირ აკავშირებს დიფერენციაციას სიტყვა „ინტეგრალთან“. მხოლოდ მოგვიანებით შემოვიდა ცნება "განსაზღვრული ინტეგრალი", განიხილება როგორც ფართობი ან როგორც ჯამების თანმიმდევრობის ზღვარი, და საკმარისად არ არის ხაზგასმული, რომ სიტყვა "ინტეგრალი" ახლა ნიშნავს სრულიად განსხვავებულს, ვიდრე ადრე. ახლა კი ირკვევა, რომ ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც შეიცავს თეორიას, მხოლოდ ფარულად იძენს - უკანა კარიდან და სტუდენტი სერიოზულ სირთულეებს აწყდება საკითხის არსის გაგების მცდელობაში. ჩვენ უპირატესობას ვანიჭებთ ფუნქციებს, რომლებისთვისაც ჩვენ ვუწოდებთ არა „განსაზღვრულ ინტეგრალებს“, არამედ ფუნქციის ანტიდერივატიულ ფუნქციებს. მაშინ მთავარი თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

ფუნქცია, რომელიც არის ფუნქციის ინტეგრალი მუდმივი ქვედა და ცვლადი ზედა ზღვარი x არის ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატიული ფუნქცია.

ჩვენ ვამბობთ "ერთ-ერთ" ანტიწარმოებულ ფუნქციას იმ მიზეზით, რომ თუ არის ანტიწარმოებული ფუნქცია, მაშინვე ცხადი ხდება, რომ ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია (c არის თვითნებური მუდმივი) ასევე ანტიდერივატიულია, რადგან საპირისპირო დებულება ასევე მართალია. ორი ანტიდერივატიული ფუნქცია შეიძლება განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან მხოლოდ მუდმივი ვადით. მართლაც, განსხვავება წარმოებულად აქვს ე.ი. ეს განსხვავება მუდმივია, ვინაიდან აშკარაა, რომ თუ ფუნქციის გრაფიკი თითოეულში

ინტეგრაციის და გარკვეულწილად დიფერენციაციის კონცეფცია კარგად იყო განვითარებული ნიუტონისა და ლაიბნიცის მუშაობამდე. მაგრამ აბსოლუტურად აუცილებელი იყო ერთი ძალიან მარტივი აღმოჩენის გაკეთება, რათა ბიძგი მისცეს ახლად შექმნილი მათემატიკური ანალიზის უზარმაზარ ევოლუციას. ორი, როგორც ჩანს, ურთიერთშეზღუდული შემზღუდველი პროცესი, რომელიც გამოიყენება ერთი დიფერენციაციისთვის, მეორე კი ფუნქციების ინტეგრირებისთვის, მჭიდროდ იყო დაკავშირებული ერთმანეთთან. მართლაც, ისინი ურთიერთშებრუნებული ოპერაციებია, როგორიცაა შეკრება და გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლები ერთია.

ნიუტონისა და ლაიბნიცის უდიდესი მიღწევა ის არის, რომ პირველად მათ ნათლად აღიარეს და გამოიყენეს ეს ანალიზის მთავარი თეორემა.ეჭვგარეშეა, რომ მათი აღმოჩენა ბუნებრივ სამეცნიერო განვითარების პირდაპირ გზაზე იყო და სულაც არ არის გასაკვირი, რომ სხვადასხვა პიროვნებები დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად მიდიოდნენ ზემოთ აღნიშნული გარემოების მკაფიო გაგებამდე.

მთავარი თეორემის ზუსტად ჩამოსაყალიბებლად განვიხილავთ ფუნქციის ინტეგრალს y=f(x)მუდმივი რიცხვიდან a-დან x რიცხვამდე დაწყებული, რომელსაც განვიხილავთ ცვლადად. იმისათვის, რომ არ ავურიოთ ინტეგრაციის x-ის ზედა ზღვარი ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ გამოჩენილ ცვლადში, ჩვენ ვწერთ ინტეგრალს შემდეგი ფორმით (იხ. გვ. 435):

რითაც ვაჩვენებთ ჩვენს განზრახვას შევისწავლოთ ინტეგრალი, როგორც მისი ზედა ზღვრის F(x) ფუნქცია (სურ. 274). ეს ფუნქცია F(x) არის მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი y=f(u)წერტილიდან u = aაზრამდე u=x. ზოგჯერ F(x) ინტეგრალს ცვლადი ზედა ზღვარით უწოდებენ "განუსაზღვრელი ინტეგრალი".

ანალიზის მთავარი თეორემა შემდეგნაირად იკითხება: განუსაზღვრელი ინტეგრალის (1) წარმოებული მის ზედა ზღვართან x უდრის f (u) ფუნქციის მნიშვნელობას u = x წერტილში:

F "(x) \u003d f (x).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ინტეგრაციის პროცესი, რომელიც მიდის f(x) ფუნქციიდან F(x) ფუნქციამდე "განადგურებულია" დიფერენციაციის შებრუნებული პროცესით, რომელიც გამოიყენება F(x) ფუნქციაზე.

ინტუიციურ საფუძველზე, ამ წინადადების დადასტურება არ არის რთული. იგი დაფუძნებულია F(x) ინტეგრალის, როგორც ფართობის ინტერპრეტაციაზე, და ბუნდოვანი იქნება, თუ შევეცდებით F(x) ფუნქციის გამოსახვას და F"(x) წარმოებულის ინტერპრეტაციას, როგორც შესაბამის ფერდობზე. გვერდიდან რომ დავტოვოთ წინა წარმოებულის დადგენილი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, ჩვენ შევინარჩუნებთ F (x) ინტეგრალის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას ფართობად და F (x) ფუნქციის დიფერენცირება გახდება ანალიტიკურ მეთოდად.

F (x 1) - F (x)

არის მხოლოდ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი y=f(u)ზღვრებს შორის u = x 1 და u=x(ნახ. 275) და ადვილი გასაგებია, რომ ამ ფართობის რიცხვითი მნიშვნელობა ციფრებს შორისაა ჩასმული. (x 1 - x)მდა (x 1 - x) M:

(x 1 - x)m≤F (x 1) - F (x) ≤(x 1 - x) M,

სადაც M და m, შესაბამისად, არის f (u) ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები u = x-დან u = x 1-მდე ინტერვალში. მართლაც, ეს პროდუქტები იძლევა ორი მართკუთხედის ფართობებს, რომელთაგან ერთი შეიცავს განხილულ მრუდის ზონას, ხოლო მეორე შეიცავს მასში.

ეს გულისხმობს:

დავუშვათ, რომ ფუნქცია f (u) არის უწყვეტი, ასე რომ, როგორც x 1 მიდრეკილია x-ზე, M და m სიდიდეები მიდრეკილია f (u) ფუნქციის მნიშვნელობამდე u \u003d x წერტილში, ე.ი. f (x). ამ შემთხვევაში დადასტურებულად შეიძლება ჩაითვალოს რომ

ამ შედეგის ინტუიციური მნიშვნელობა ის არის, რომ მრუდის ქვეშ მდებარე ფართობის ცვლილების სიჩქარე იზრდება, y=f(x)მრუდის სიმაღლის ტოლია x-ზე.

ზოგიერთ სახელმძღვანელოში ამ მთავარი თეორემის შინაარსი ბუნდოვანია ცუდად შერჩეული ტერმინოლოგიით. კერძოდ, ბევრმა ავტორმა ჯერ წარმოადგინა წარმოებულის ცნება, შემდეგ კი განსაზღვრავს „განუსაზღვრელი ინტეგრალი“ უბრალოდ, როგორც შებრუნებული მოქმედების შედეგი დიფერენციაციის მიმართ: ისინი ამბობენ, რომ ფუნქცია G (x) არის f ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. (x) თუ

G"(x) = f(x).

ამრიგად, წარმოდგენის ეს გზა პირდაპირ აკავშირებს დიფერენციაციას სიტყვა „ინტეგრალთან“. მხოლოდ მოგვიანებით შემოვიდა ცნება "განსაზღვრული ინტეგრალი", განიხილება როგორც ფართობი ან როგორც ჯამების თანმიმდევრობის ზღვარი, და საკმარისად არ არის ხაზგასმული, რომ სიტყვა "ინტეგრალი" ახლა ნიშნავს სრულიად განსხვავებულს, ვიდრე ადრე. ახლა კი ირკვევა, რომ ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც თეორიაშია, მხოლოდ უკანა კარიდან შეძენილია და სტუდენტი სერიოზულ სირთულეებს აწყდება საკითხის არსის გაგების მცდელობაში. ჩვენ ვანიჭებთ უპირატესობას ფუნქციებს G(x), რომლისთვისაც G "(x) \u003d f (x), ვუწოდოთ არა "განსაზღვრული ინტეგრალები", არამედ ანტიდერივატიული ფუნქციები f(x) ფუნქციიდან. შემდეგ მთავარი თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

ფუნქცია F (x), რომელიც არის f (x) ფუნქციის ინტეგრალი x მუდმივი ქვედა და ცვლადი ზედა ზღვრით, არის f (x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი.

ჩვენ ვამბობთ "ერთ-ერთ" ანტიწარმოებულ ფუნქციას იმ მიზეზით, რომ თუ G(x) არის f(x-ის ანტიდერივატიული ფუნქცია), მაშინვე ცხადი ხდება, რომ ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია. H(x) = G(x) + c(c არის თვითნებური მუდმივი) ასევე ანტიდერივატია, ვინაიდან H "(x) = G" (x). პირიქითაც მართალია. ორი ანტიდერივატიული ფუნქცია G(x) და H(x) შეიძლება განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან მხოლოდ მუდმივი წევრით.მართლაც, განსხვავება U(x) = G(x) - H(x)აქვს როგორც წარმოებული U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, ანუ ეს სხვაობა მუდმივია, ვინაიდან აშკარაა, რომ თუ ფუნქციის გრაფიკი ჰორიზონტალურია მის თითოეულ წერტილში, მაშინ თავად ფუნქცია, რომელიც გრაფიკით არის წარმოდგენილი, აუცილებლად უნდა იყოს მუდმივი.