რეალური რიცხვები. რეალური რიცხვების მიახლოება სასრული ათობითი წილადებით.

რეალური ან რეალური რიცხვი არის მათემატიკური აბსტრაქცია, რომელიც წარმოიშვა ჩვენს ირგვლივ სამყაროს გეომეტრიული და ფიზიკური რაოდენობების გაზომვის აუცილებლობის გამო, ისევე როგორც ისეთი ოპერაციების განხორციელება, როგორიცაა ფესვის ამოღება, ლოგარითმების გამოთვლა და ალგებრული განტოლებების ამოხსნა. თუ ნატურალური რიცხვები წარმოიშვა დათვლის პროცესში, რაციონალური რიცხვები - მთელის ნაწილებთან მოქმედების საჭიროებიდან, მაშინ რეალური რიცხვები განკუთვნილია უწყვეტი რაოდენობების გასაზომად. ამრიგად, განსახილველი რიცხვების მარაგის გაფართოებამ გამოიწვია რეალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც რაციონალური რიცხვების გარდა მოიცავს სხვა ელემენტებსაც ე.წ. ირაციონალური რიცხვები .

აბსოლუტური შეცდომა და მისი ზღვარი.

დაე, იყოს გარკვეული რიცხვითი მნიშვნელობა და მისთვის მინიჭებული რიცხვითი მნიშვნელობა ჩაითვალოს ზუსტი, შემდეგ რიცხვითი მნიშვნელობის სავარაუდო მნიშვნელობის შეცდომა (შეცდომა) გაიგოს განსხვავება რიცხვითი მნიშვნელობის ზუსტ და სავარაუდო მნიშვნელობას შორის: . შეცდომას შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები. მნიშვნელობა ეწოდება ცნობილი დაახლოებარიცხვითი მნიშვნელობის ზუსტ მნიშვნელობამდე - ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოიყენება ზუსტი მნიშვნელობის ნაცვლად. შეცდომის უმარტივესი რაოდენობრივი საზომი არის აბსოლუტური შეცდომა. აბსოლუტური შეცდომასავარაუდო მნიშვნელობა ეწოდება მნიშვნელობას, რომლის შესახებაც ცნობილია: ფარდობითი შეცდომა და მისი ლიმიტი.

მიახლოების ხარისხი არსებითად დამოკიდებულია მიღებულ საზომ ერთეულებზე და რაოდენობების მასშტაბებზე, ამიტომ მიზანშეწონილია რაოდენობის შეცდომის და მისი მნიშვნელობის კორელაცია, რისთვისაც შემოღებულია ფარდობითი შეცდომის ცნება. შედარებითი შეცდომასავარაუდო მნიშვნელობა ეწოდება მნიშვნელობას, რომლის შესახებაც ცნობილია, რომ: . შედარებითი შეცდომა ხშირად გამოხატულია პროცენტულად. შედარებითი შეცდომების გამოყენება მოსახერხებელია, კერძოდ, იმიტომ, რომ ისინი არ არიან დამოკიდებული რაოდენობებისა და საზომი ერთეულების სკალებზე.

ირაციონალური განტოლებები

განტოლებას, რომელშიც ცვლადი შეიცავს ფესვის ნიშნის ქვეშ, ირაციონალური ეწოდება. ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას მიღებული ამონახსნები საჭიროებს გადამოწმებას, რადგან, მაგალითად, არასწორი ტოლობა კვადრატის დროს შეუძლია სწორი ტოლობის მიცემა. მართლაც, არასწორი ტოლობა კვადრატში იძლევა სწორ ტოლობას 1 2 = (-1) 2 , 1=1. ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა ეკვივალენტური გადასვლების გამოყენებით.

ამ განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ; გარდაქმნების შემდეგ მივდივართ კვადრატულ განტოლებამდე; და ჩავიცვათ.

რთული რიცხვები. მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე.

რთული რიცხვები - რეალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოება, რომელიც ჩვეულებრივ აღინიშნება. ნებისმიერი რთული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმალური ჯამის სახით x + iy, სად xდა წ- რეალური რიცხვები, მე- წარმოსახვითი ერთეული რთული რიცხვები ქმნიან ალგებრულად დახურულ ველს - ეს ნიშნავს, რომ ხარისხის მრავალწევრი ნკომპლექსური კოეფიციენტებით აქვს ზუსტად ნრთული ფესვები, ანუ ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა მართალია. ეს არის კომპლექსური რიცხვების ფართო გამოყენების ერთ-ერთი მთავარი მიზეზი მათემატიკური კვლევებში. გარდა ამისა, რთული რიცხვების გამოყენება შესაძლებელს ხდის მოხერხებულად და კომპაქტურად ჩამოაყალიბოს მათემატიკური ფიზიკაში და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში გამოყენებული მრავალი მათემატიკური მოდელი - ელექტროინჟინერია, ჰიდროდინამიკა, კარტოგრაფია, კვანტური მექანიკა, რხევების თეორია და მრავალი სხვა.

შედარება ა + ბი = გ + დინიშნავს რომ ა = გდა ბ = დ(ორი რთული რიცხვი ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია).

დამატება ( ა + ბი) + (გ + დი) = (ა + გ) + (ბ + დ) მე .

გამოკლება ( ა + ბი) − (გ + დი) = (ა − გ) + (ბ − დ) მე .

გამრავლება

რიცხვითი ფუნქცია. ფუნქციის დაყენების გზები

მათემატიკაში რიცხვითი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის დომენები და მნიშვნელობები არის რიცხვთა სიმრავლეების ქვესიმრავლეები - ზოგადად რეალური რიცხვების სიმრავლე ან რთული რიცხვების სიმრავლე.

ვერბალური: ბუნებრივი ენის გამოყენებით, Y უდრის X-ის მთელ ნაწილს. ანალიტიკური: ანალიტიკური ფორმულის გამოყენებით ვ (x) = x !

Graphical Via graph ფუნქციის გრაფიკის ფრაგმენტი.

ცხრილი: მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენება

ფუნქციის ძირითადი თვისებები

1) ფუნქციის ფარგლები და ფუნქციის დიაპაზონი . ფუნქციის ფარგლები x(ცვლადი x) რისთვისაც ფუნქცია y=f(x)განსაზღვრული.

ფუნქციის დიაპაზონი წრომ ფუნქცია იღებს. ელემენტარულ მათემატიკაში ფუნქციები შეისწავლება მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე.2 ) ფუნქცია ნული) ფუნქციის ერთფეროვნება . ფუნქციის გაზრდა კლების ფუნქცია . თუნდაც ფუნქცია X f(-x) = f(x). უცნაური ფუნქცია- ფუნქცია, რომლის განსაზღვრების დომენი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ და ნებისმიერისთვის X f(-x) = -f(x. ფუნქციას ეძახიან შეზღუდული შეუზღუდავი .7) ფუნქციის პერიოდულობა. ფუნქცია f(x) - პერიოდული ფუნქციონირების პერიოდი

ფუნქციების გრაფიკები. გრაფიკების უმარტივესი გარდაქმნები ფუნქციის მიხედვით

ფუნქციის გრაფიკი- პუნქტების კომპლექტი, რომელთა აბსციები არის სწორი არგუმენტის მნიშვნელობები xდა ორდინატები არის ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები წ .

Სწორი ხაზი- წრფივი ფუნქციის გრაფიკი y=ax+b. ფუნქცია y მონოტონურად იზრდება a > 0-ისთვის და მცირდება a-სთვის< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

პარაბოლა- კვადრატული ტრინომალური ფუნქციის გრაფიკი y \u003d ცული 2 + bx + c. მას აქვს სიმეტრიის ვერტიკალური ღერძი. თუ a > 0, აქვს მინიმალური თუ a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

ჰიპერბოლა- ფუნქციის გრაფიკი. როცა a > O მდებარეობს I და III კვარტალში, როცა ა< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ან y - x (a< 0).

ლოგარითმული ფუნქცია y = log a x(a > 0)

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.ტრიგონომეტრიული ფუნქციების აგებისას ვიყენებთ რადიანიკუთხეების ზომა. შემდეგ ფუნქცია წ= ცოდვა xწარმოდგენილია გრაფიკით (სურ. 19). ეს მრუდი ე.წ სინუსოიდი .

ფუნქციის გრაფიკი წ= cos xნაჩვენებია ნახ. 20; ის ასევე არის სინუსური ტალღა, რომელიც წარმოიქმნება გრაფიკის გადაადგილების შედეგად წ= ცოდვა xღერძის გასწვრივ Xდარჩა /2.

ფუნქციების ძირითადი თვისებები. ერთფეროვნება, თანაბრობა, უცნაურობა, ფუნქციების პერიოდულობა.

ფუნქციის ფარგლები და ფუნქციის დიაპაზონი . ფუნქციის ფარგლებიარის არგუმენტის ყველა მოქმედი მნიშვნელობის ნაკრები x(ცვლადი x) რისთვისაც ფუნქცია y=f(x)განსაზღვრული.

ფუნქციის დიაპაზონიარის ყველა რეალური ღირებულების ნაკრები წრომ ფუნქცია იღებს.

ელემენტარულ მათემატიკაში ფუნქციები შეისწავლება მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე.2 ) ფუნქცია ნული- არის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია.3 ) ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალები- არგუმენტების მნიშვნელობების ის ნაკრები, რომლებზეც ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ დადებითია ან მხოლოდ უარყოფითი.4 ) ფუნქციის ერთფეროვნება .

ფუნქციის გაზრდა(რაღაც ინტერვალში) - ფუნქცია, რომელშიც არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.

კლების ფუნქცია(რაღაც ინტერვალში) - ფუნქცია, რომელშიც არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.5. ) ლუწი (კენტი) ფუნქციები . თუნდაც ფუნქცია- ფუნქცია, რომლის განსაზღვრების დომენი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ და ნებისმიერისთვის Xგანმარტების სფეროდან თანასწორობა f(-x) = f(x).ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ. უცნაური ფუნქცია- ფუნქცია, რომლის განსაზღვრების დომენი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ და ნებისმიერისთვის Xგანმარტების სფეროდან თანასწორობა f(-x) = -f(x). კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.6 ) შეზღუდული და შეუზღუდავი ფუნქციები. ფუნქციას ეძახიან შეზღუდული, თუ არის დადებითი რიცხვი M ისეთი, რომ |f (x) | ≤ M x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. თუ ასეთი რიცხვი არ არსებობს, მაშინ ფუნქცია არის შეუზღუდავი .7) ფუნქციის პერიოდულობა. ფუნქცია f(x) - პერიოდული, თუ არსებობს ისეთი არანულოვანი რიცხვი T, რომ ნებისმიერი x ფუნქციის დომენიდან მოქმედებს: f (x+T) = f (x). ამ უმცირეს რიცხვს ე.წ ფუნქციონირების პერიოდი. ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია. (ტრიგონომეტრიული ფორმულები).

პერიოდული ფუნქციები. ფუნქციის ძირითადი პერიოდის პოვნის წესები.

პერიოდული ფუნქციაარის ფუნქცია, რომელიც იმეორებს თავის მნიშვნელობებს გარკვეული არანულოვანი პერიოდის შემდეგ, ანუ არ ცვლის მის მნიშვნელობას, როდესაც არგუმენტს ემატება ფიქსირებული არანულოვანი რიცხვი (პერიოდი). ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია. ცდებიანდებულებები პერიოდული ფუნქციების ჯამის შესახებ: 2 ფუნქციის ჯამი შესაბამისი (თუნდაც ძირითადი) პერიოდებით. თ 1 და თ 2 არის ფუნქცია LCM პერიოდით ( თ 1 ,თ 2). შეუდარებელი (თუნდაც ძირითადი) პერიოდებით 2 უწყვეტი ფუნქციის ჯამი არაპერიოდული ფუნქციაა. არ არსებობს პერიოდული ფუნქციები, რომლებიც არ იყოს ტოლი მუდმივის, რომლის პერიოდები შეუდარებელი რიცხვებია.

დენის ფუნქციების შედგენა.

დენის ფუნქცია. ეს არის ფუნქცია: y = ცული n, სად ა, ნ- მუდმივი. ზე ნ= 1 მივიღებთ პირდაპირი პროპორციულობა : წ =ნაჯახი; ზე ნ = 2 - კვადრატული პარაბოლა; ზე ნ = 1 - უკუპროპორციულობაან ჰიპერბოლა. ამრიგად, ეს ფუნქციები არის დენის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევები. ჩვენ ვიცით, რომ ნულის გარდა ნებისმიერი რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე უდრის 1-ს, შესაბამისად, როდის ნ= 0 სიმძლავრის ფუნქცია ხდება მუდმივი: წ =ა, ე.ი. მისი გრაფიკი არის სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად Xკოორდინატების წარმოშობის გამოკლებით (გთხოვთ განმარტოთ რატომ?). ყველა ეს შემთხვევა (ერთად ა= 1) ნაჩვენებია ნახ. 13-ში ( ნ 0) და სურ.14 ( ნ < 0). Отрицательные значения xაქ არ განიხილება, რადგან შემდეგ რამდენიმე ფუნქცია:

ინვერსიული ფუნქცია

ინვერსიული ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც აბრუნებს ამ ფუნქციით გამოხატულ დამოკიდებულებას. ფუნქცია შებრუნებულია ფუნქციის მიმართ, თუ არსებობს შემდეგი იდენტობები: ყველასთვის ყველასთვის

ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. ლიმიტის ძირითადი თვისებები.

n-ე ხარისხის ფესვი და მისი თვისებები.

რიცხვის n-ე ფესვი არის რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის a-ს.

განმარტება: a რიცხვის n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის a-ს.

ფესვების ძირითადი თვისებები:

ხარისხი თვითნებური რეალური მაჩვენებლით და მისი თვისებებით.

მიეცეს დადებითი რიცხვი და თვითნებური რეალური რიცხვი. რიცხვს ეწოდება ხარისხი, რიცხვი არის ხარისხის საფუძველი, რიცხვი არის მაჩვენებელი.

განმარტებით ვარაუდობენ:

თუ და არის დადებითი რიცხვები და არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, მაშინ შემდეგი თვისებები მართალია:

.

.

სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკები

დენის ფუნქციართული ცვლადი ვ (ზ) = z nმთელი რიცხვის მაჩვენებლით განისაზღვრება რეალური არგუმენტის მსგავსი ფუნქციის ანალიტიკური გაგრძელების გამოყენებით. ამისთვის გამოიყენება რთული რიცხვების ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა. სიმძლავრის ფუნქცია მთელი რიცხვის მაჩვენებლით ანალიტიკურია მთელ კომპლექსურ სიბრტყეში, როგორც იდენტობის შედგენის შემთხვევების სასრული რაოდენობის პროდუქტი. ვ (ზ) = ზ. უნიკალურობის თეორემის მიხედვით, ეს ორი კრიტერიუმი საკმარისია მიღებული ანალიტიკური გაგრძელების უნიკალურობისთვის. ამ განმარტების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავასკვნათ, რომ რთული ცვლადის სიმძლავრის ფუნქციას აქვს მნიშვნელოვანი განსხვავებები მისი რეალური ანალოგისგან.

ეს არის ფორმის ფუნქცია . განიხილება შემდეგი შემთხვევები:

ა). თუ , მაშინ . შემდეგ, ; თუ რიცხვი ლუწია, მაშინ ფუნქცია ლუწია (ე.ი. ყველასთვის ); თუ რიცხვი კენტია, მაშინ ფუნქცია კენტია (ანუ ყველასთვის).

ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკები

ექსპონენციალური ფუნქცია- მათემატიკური ფუნქცია.

რეალურ შემთხვევაში, ხარისხის საფუძველი არის რაიმე არაუარყოფითი რეალური რიცხვი, ხოლო ფუნქციის არგუმენტი არის რეალური მაჩვენებლები.

რთული ფუნქციების თეორიაში განიხილება უფრო ზოგადი შემთხვევა, როდესაც თვითნებური კომპლექსური რიცხვი შეიძლება იყოს არგუმენტი და მაჩვენებელი.

ყველაზე ზოგადი გზით - u vლაიბნიცის მიერ შემოღებული 1695 წელს.

განსაკუთრებით ხაზგასმულია შემთხვევა, როდესაც რიცხვი e მოქმედებს ხარისხის საფუძვლად. ასეთ ფუნქციას ეწოდება ექსპონენტი (რეალური ან რთული).

Თვისებები ; ; .

ექსპონენციალური განტოლებები.

მოდით პირდაპირ გავაგრძელოთ ექსპონენციალური განტოლებები. ექსპონენციალური განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა გამოვიყენოთ შემდეგი თეორემა: თუ გრადუსები ტოლია და ფუძეები ტოლია, დადებითი და ერთისგან განსხვავებული, მაშინ მათი მაჩვენებლებიც ტოლია. დავამტკიცოთ ეს თეორემა: მოდით a>1 და a x =a y .

დავამტკიცოთ, რომ ამ შემთხვევაში x=y. დავუშვათ იმის საპირისპირო, რაც დასამტკიცებელია, ე.ი. ვთქვათ, რომ x>y ან ის x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х y . ორივე ეს შედეგი ეწინააღმდეგება თეორემის ჰიპოთეზას. მაშასადამე, x=y, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

თეორემა დადასტურებულია იმ შემთხვევისთვისაც, როცა 0 0 და a≠1.

ექსპონენციური უტოლობები

ფორმის (ან ნაკლები) უტოლობები for a(x) >0და იხსნება ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებების მიხედვით: for 0 < а (х) < 1 შედარებისას f(x)და g(x)უთანასწორობის ნიშანი იცვლება და როდის a(x) > 1- გადარჩენილია. ყველაზე რთული შემთხვევა ნაჯახი)< 0 . აქ მხოლოდ ზოგადი მითითების მიცემა შეგვიძლია: განვსაზღვროთ რა მნიშვნელობებზე Xინდიკატორები f(x)და g(x)იყოს მთელი რიცხვები და აირჩიე მათგან ის, ვინც აკმაყოფილებს პირობას. და ბოლოს, თუ თავდაპირველი უტოლობა მოქმედებს a(x) = 0ან a(x) = 1(მაგალითად, როდესაც უთანასწორობა არ არის მკაცრი), მაშინ ეს შემთხვევებიც გასათვალისწინებელია.

ლოგარითმები და მათი თვისებები

რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით ა (ბერძნული λόγος - "სიტყვა", "კავშირი" და ἀριθμός - "რიცხვი") განისაზღვრება, როგორც ინდიკატორი იმისა, თუ რა ხარისხით უნდა გაიზარდოს ბაზა. ანომრის მისაღებად ბ. Დანიშნულება: . განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ჩანაწერები და ეკვივალენტურია. მაგალითი: იმიტომ. Თვისებები

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმული ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკები.

ლოგარითმული ფუნქცია ფორმის ფუნქციაა ვ (x) = ჟურნალი ნაჯახი, განსაზღვრულია

დომენი:

ღირებულების დიაპაზონი:

ნებისმიერი ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი გადის წერტილში (1; 0)

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული არის:

ლოგარითმული განტოლებები

განტოლებას, რომელიც შეიცავს ცვლადს ლოგარითმის ნიშნით, ეწოდება ლოგარითმული განტოლება. ლოგარითმული განტოლების უმარტივესი მაგალითია განტოლება log a x \u003d b (სადაც a > 0 და 1). მისი გადაწყვეტილება x = a b .

განტოლებების ამოხსნა ლოგარითმის განმარტების საფუძველზე, მაგალითად, განტოლება log a x \u003d b (a\u003e 0, მაგრამ 1)აქვს გამოსავალი x = a b .

გაძლიერების მეთოდი. პოტენციაციაში იგულისხმება გადასვლა ლოგარითმების შემცველი ტოლობიდან ტოლობაზე, რომელიც არ შეიცავს მათ:

თუ log a f (x) = log a g (x),მაშინ f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , a 1 .

ლოგარითმული განტოლების კვადრატულზე შემცირების მეთოდი.

განტოლების ორივე ნაწილის ლოგარითმის აღების მეთოდი.

ლოგარითმების იმავე ფუძემდე შემცირების მეთოდი.

ლოგარითმული უტოლობები.

უტოლობას, რომელიც შეიცავს ცვლადს მხოლოდ ლოგარითმის ნიშნით, ეწოდება ლოგარითმული: log a f (x) > log a g (x).

ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული უტოლობების ზოგადი თვისებები, ლოგარითმული ფუნქციის ერთფეროვნების თვისება და მისი განმარტების სფერო. უთანასწორობა log a f (x) > log a g (x)სისტემის ტოლფასია f (x) > g (x) > 0 a > 1-ისთვისდა სისტემა 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

კუთხეების და რკალების რადიული გაზომვა. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.

ხარისხის საზომი. აქ არის საზომი ერთეული ხარისხი (აღნიშვნა ) - არის სხივის ბრუნვა ერთი სრული ბრუნის 1/360-ით. ამრიგად, სხივის სრული ბრუნვა არის 360. ერთი ხარისხი შედგება 60-ისგან წუთი (მათი აღნიშვნა '); ერთი წუთი - შესაბამისად 60-დან წამი (მონიშნულია ").

რადიანის ზომა. როგორც პლანიმეტრიიდან ვიცით (იხ. პუნქტი „რკალის სიგრძე“ განყოფილებაში „წერტილების ადგილი. წრე და წრე“), რკალის სიგრძე. ლ,რადიუსი რდა შესაბამისი ცენტრალური კუთხე დაკავშირებულია: = ლ / რ.

ეს ფორმულა საფუძვლად უდევს კუთხეების რადიანის ზომის განსაზღვრას. ასე რომ, თუ ლ = r,მაშინ = 1 და ჩვენ ვამბობთ, რომ კუთხე  უდრის 1 რადიანს, რომელიც აღინიშნება: = 1 გახარებული. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს რადიანის ზომის შემდეგი განმარტება:

რადიანი არის ცენტრალური კუთხე, რომლის რკალის სიგრძე და რადიუსი ტოლია(ა მ B = AO, ნახ. 1). Ისე, კუთხის რადიანის ზომა არის რკალის სიგრძის თანაფარდობა, რომელიც შედგენილია თვითნებური რადიუსით და ჩაკეტილია ამ კუთხის გვერდებს შორის რკალის რადიუსთან.

მწვავე კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძის თანაფარდობა.

სინუსი:

კოსინუსი:

ტანგენტი:

კოტანგენტი:

რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

განმარტება .

x-ის სინუსი არის რიცხვი, რომელიც უდრის კუთხის სინუსს x რადიანებში. x რიცხვის კოსინუსი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია კუთხის კოსინუსს x რადიანებში .

რიცხვითი არგუმენტის სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ანალოგიურად არის განსაზღვრული X .

მოჩვენებების ფორმულები.

დამატების ფორმულები. ორმაგი და ნახევარი არგუმენტის ფორმულები.

Ორმაგი.

( ; .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და მათი გრაფიკები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები- სახის ელემენტარული ფუნქციები. მათ ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ სინუსი (ცოდვა x), კოსინუსი (cos x), ტანგენსი (tg x), კოტანგენსი (ctg x), ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, როგორც წესი, განსაზღვრულია გეომეტრიულად, მაგრამ ისინი შეიძლება განისაზღვროს ანალიტიკურად სერიების ჯამებით ან გარკვეული დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნებით, რაც საშუალებას გვაძლევს გავაფართოვოთ ამ ფუნქციების განსაზღვრის დომენი კომპლექსურ რიცხვებზე.

ფუნქცია y sinx მისი თვისებები და გრაფიკი

Თვისებები:

2. E (y) \u003d [-1; ერთი].

3. ფუნქცია y \u003d sinx არის უცნაური, რადგან, განსაზღვრებით, ტრიგონომეტრიული კუთხის სინუსი ცოდვა (- x)= - y/R = - სინქსი, სადაც R არის წრის რადიუსი, y არის წერტილის ორდინატი (ნახ.).

4. T \u003d 2n - ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი. მართლაც,

sin(x+p) = sinx.

Ox ღერძით: სინქსი= 0; x = pn, nОZ;

y ღერძით: თუ x = 0, მაშინ y = 0.6. მუდმივი ინტერვალები:

sinx > 0, თუ xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

სინქსი< 0 , თუ xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

სინუს ნიშნები მეოთხედებში

y > 0 პირველი და მეორე მეოთხედის a კუთხისთვის.

ზე< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. ერთფეროვნების ინტერვალები:

y= სინქსიიზრდება თითოეულ ინტერვალზე [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz და მცირდება თითოეულ ინტერვალზე, nнz.

8. ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და უკიდურესი წერტილები:

xmax= p/2 + 2pn, nнz; წ მაქს = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nнz; ymin = - 1.

ფუნქციის თვისებები y= cosxდა მისი განრიგი:

Თვისებები:

2. E (y) \u003d [-1; ერთი].

3. ფუნქცია y= cosx- კი, რადგან ტრიგონომეტრიული კუთხის კოსინუსის განმარტებით cos (-a) = x/R = cosa ტრიგონომეტრიულ წრეზე (ბრინჯი)

4. T \u003d 2p - ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი. მართლაც,

cos(x+2pn) = cosx.

5. გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:

Ox ღერძით: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

y ღერძით: თუ x = 0, მაშინ y = 1.

6. ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები:

cos > 0, თუ xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , თუ xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

ეს დასტურდება ტრიგონომეტრიულ წრეზე (ნახ.). კოსინუსის ნიშნები მეოთხედებში:

x > 0 პირველი და მეოთხე კვადრატის a კუთხისთვის.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. ერთფეროვნების ინტერვალები:

y= cosxიზრდება თითოეულ ინტერვალზე [-p + 2pn; 2pn],

nнz და მცირდება თითოეულ ინტერვალზე, nнz.

ფუნქციის თვისებები y= tgxდა მისი ნაკვეთი: თვისებები -

1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. ფუნქცია y = tgx - კენტი

tgx > 0

tgx< 0 xн-სთვის (-p/2 + pn; pn), nнZ.

იხილეთ ფიგურა ტანგენსის ნიშნების მეოთხედებში.

6. ერთფეროვნების ინტერვალები:

y= tgxყოველი ინტერვალით იზრდება

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. ფუნქციის უკიდურესი და უკიდურესი წერტილები:

8. x = p/2 + pn, nнz - ვერტიკალური ასიმპტოტები

ფუნქციის თვისებები y= ctgxდა მისი განრიგი:

Თვისებები:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. ფუნქცია y= ctgx- უცნაურად.

4. T \u003d p - ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი.

5. ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები:

ctgx > 0 xО-სთვის (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 xÎ-სთვის (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

კოტანგენტების ნიშნები მეოთხედებისთვის, იხილეთ ფიგურა.

6. ფუნქცია ზე= ctgxიზრდება თითოეულ ინტერვალზე (pn; p + pn), nОZ.

7. ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და უკიდურესობები y= ctgxარა.

8. ფუნქციის გრაფიკი y= ctgxარის ტანგენტოიდი, მიღებული ნაკვეთის ცვლაზე y=tgx Ox ღერძის გასწვრივ მარცხნივ p/2-ით და გამრავლებით (-1) (ნახ)

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (წრიული ფუნქციები , რკალი ფუნქციები) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შებრუნებული მათემატიკური ფუნქციები. ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ჩვეულებრივ მოიცავს ექვს ფუნქციას: რკალი , რკალის კოსინუსი , რკალის ტანგენსი ,არკოტანგები.შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სახელი წარმოიქმნება შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სახელიდან პრეფიქსი "ark-"-ის დამატებით (ლათ. რკალი- რკალი). ეს გამოწვეულია იმით, რომ გეომეტრიულად შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება ასოცირებული იყოს ერთეული წრის რკალის სიგრძესთან (ან კუთხესთან, რომელიც ამ რკალს ექვემდებარება), რომელიც შეესაბამება ამა თუ იმ სეგმენტს. ზოგჯერ უცხოურ ლიტერატურაში ისინი იყენებენ აღნიშვნებს, როგორიცაა sin −1 რკალისთვის და ა.შ.; ეს არ არის მთლად სწორად მიჩნეული, რადგან შესაძლებელია დაბნეულობა ფუნქციის −1 ხარისხამდე აწევასთან. ძირითადი თანაფარდობა

ფუნქცია y=arcsinX, მისი თვისებები და გრაფიკები.

რკალინომრები მამ კუთხეს უწოდებენ xრომელი ფუნქციისთვის წ= ცოდვა x წ= რკალი xმკაცრად იზრდება. (ფუნქცია უცნაურია).

ფუნქცია y=arccosX, მისი თვისებები და გრაფიკები.

რკალის კოსინუსინომრები მამ კუთხეს უწოდებენ x, რისთვისაც

ფუნქცია წ= cos xუწყვეტი და შემოსაზღვრული მთელი მისი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ. ფუნქცია წ= არკოები xმკაცრად მცირდება. cos (arccos x) = xზე არკოები (cos წ) = წზე დ(არკოები x) = [− 1; 1], (დომენი), ე(არკოები x) = . (ღირებულებების დიაპაზონი). arccos ფუნქციის თვისებები (ფუნქცია არის ცენტრალიზებული სიმეტრიული წერტილის მიმართ

ფუნქცია y=arctgX, მისი თვისებები და გრაფიკები.

არქტანგენტინომრები მკუთხე α ეწოდება ისე, რომ ფუნქცია არის უწყვეტი და შემოსაზღვრული მთელ მის რეალურ წრფეზე. ფუნქცია მკაცრად იზრდება.

ზე

arctg ფუნქციის თვისებები

,

.

ფუნქცია y=arcctg, მისი თვისებები და გრაფიკები.

რკალის ტანგენსინომრები მამ კუთხეს უწოდებენ x, რისთვისაც

ფუნქცია უწყვეტია და შემოსაზღვრულია მთელ მის რეალურ ხაზზე.

ფუნქცია მკაცრად მცირდება. 0-ზე< წ < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки ნებისმიერისთვის x .

.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

განმარტება.ვადას განტოლებები sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, სად x

ტრიგონომეტრიული განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევები

განმარტება.ვადას განტოლებები sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, სად x- ცვლადი, aR, ეწოდება მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები

სტერეომეტრიის აქსიომები და მათგან მიღებული შედეგები

ძირითადი ფიგურები სივრცეში: წერტილები, ხაზები და სიბრტყეები. წერტილების, წრფეების და სიბრტყეების ძირითადი თვისებები, მათი ურთიერთგანლაგების შესახებ, გამოხატულია აქსიომებში.

A1.ნებისმიერი სამი წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, გადის სიბრტყე და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი. A2.თუ წრფის ორი წერტილი დევს სიბრტყეში, მაშინ წრფის ყველა წერტილი დევს ამ სიბრტყეში.

კომენტარი.თუ წრფესა და სიბრტყეს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი აქვთ, მაშინ ამბობენ, რომ ისინი იკვეთებიან.

A3.თუ ორ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ მათ აქვთ საერთო ხაზი, რომელზეც დევს ამ სიბრტყეების ყველა საერთო წერტილი.

	A და იკვეთება a ხაზის გასწვრივ.

შედეგი 1.ხაზისა და მასზე არ მდებარე წერტილის გავლით გადის თვითმფრინავი და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი. შედეგი 2.თვითმფრინავი გადის ორ გადამკვეთ სწორ ხაზზე და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთზე.

სივრცეში ორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

განტოლებებით მოცემული ორი სწორი ხაზი

იკვეთება ერთ წერტილში.

წრფისა და სიბრტყის პარალელიზმი.

განმარტება 2.3წრფეს და სიბრტყეს პარალელურს უწოდებენ, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები. თუ a წრფე პარალელურია α სიბრტყის, მაშინ ჩაწერეთ || ა. თეორემა 2.4 სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი.თუ სიბრტყის გარეთ წრფე პარალელურია სიბრტყის წრფის პარალელურად, მაშინ ეს წრფე ასევე პარალელურია თავად სიბრტყის. მტკიცებულება მოდით b α, a || b და a (ნახაზი 2.2.1). წინააღმდეგობით დავამტკიცებთ. დაე, a არ იყოს α-ს პარალელურად, მაშინ a წრფე კვეთს α სიბრტყეს A რაღაც წერტილში. უფრო მეტიც, A b, ვინაიდან a || ბ. დახრილი ხაზების კრიტერიუმის მიხედვით, ხაზები a და b არის დახრილი. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით. თეორემა 2.5თუ β სიბრტყე გადის α სიბრტყის პარალელურად a წრფეზე და კვეთს ამ სიბრტყეს b წრფის გასწვრივ, მაშინ b || ა. დადასტურება მართლაც, a და b წრფეები არ არის დახრილი, რადგან ისინი დევს β სიბრტყეში. უფრო მეტიც, ამ ხაზებს არ აქვთ საერთო წერტილები, რადგან || ა. განმარტება 2.4 b ხაზს ზოგჯერ უწოდებენ β სიბრტყის კვალს α სიბრტყეზე.

სწორი ხაზების გადაკვეთა. გადაკვეთის ხაზების ნიშანი

წრფეებს უწოდებენ გადამკვეთს, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: თუ წარმოვიდგენთ, რომ ერთ-ერთი წრფე ეკუთვნის თვითნებურ სიბრტყეს, მაშინ მეორე წრფე გადაკვეთს ამ სიბრტყეს ისეთ წერტილში, რომელიც არ ეკუთვნის პირველ წრფეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორი წრფე სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში იკვეთება, თუ მათ შემცველი სიბრტყე არ არის. მარტივად რომ ვთქვათ, სივრცეში ორი ხაზი, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები, მაგრამ არ არიან პარალელური.

თეორემა (1): თუ ორი წრფედან ერთი დევს გარკვეულ სიბრტყეში, ხოლო მეორე წრფე კვეთს ამ სიბრტყეს იმ წერტილში, რომელიც არ არის პირველ წრფეზე, მაშინ ეს წრფეები დახრილია.

თეორემა (2): ყოველი ორი გადამკვეთი წრფედან გადის სიბრტყე მეორე წრფის პარალელურად და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.

თეორემა (3): თუ ორი კუთხის გვერდი, შესაბამისად, თანასწორია, მაშინ ასეთი კუთხეები ტოლია.

ხაზების პარალელიზმი. პარალელური სიბრტყეების თვისებები.

პარალელური (ზოგჯერ - ტოლფერდა) სწორი ხაზებიეწოდება სწორი ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და ემთხვევა ან არ იკვეთება. ზოგიერთ სკოლის განმარტებაში, თანხვედრილი ხაზები არ განიხილება პარალელურად; ასეთი განმარტება აქ არ განიხილება. თვისებები პარალელიზმი არის ორობითი ეკვივალენტური მიმართება, ამიტომ ის ყოფს წრფეთა მთელ სიმრავლეს ერთმანეთის პარალელურ წრფეებად. ნებისმიერ მოცემულ წერტილში შეიძლება იყოს ზუსტად ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს არის ევკლიდური გეომეტრიის გამორჩეული თვისება, სხვა გეომეტრიებში რიცხვი 1 იცვლება სხვებით (ლობაჩევსკის გეომეტრიაში სულ მცირე ორი ასეთი ხაზია) სივრცეში 2 პარალელური ხაზი დევს იმავე სიბრტყეში. ბ 2 პარალელური წრფის მესამედით გადაკვეთაზე, ე.წ სეკანტი: სეკანტი აუცილებლად კვეთს ორივე წრფეს. გადაკვეთისას იქმნება 8 კუთხე, რომელთა ზოგიერთ დამახასიათებელ წყვილს აქვს სპეციალური სახელები და თვისებები: ჯვარი იტყუებაკუთხეები ტოლია. შესაბამისიკუთხეები ტოლია. ცალმხრივიკუთხეები ემატება 180°-მდე.

წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულურობა.

წრფე, რომელიც კვეთს სიბრტყეს, ეწოდება პერპენდიკულარულიეს სიბრტყე თუ ის პერპენდიკულარულია ყველა წრფეზე, რომელიც დევს მოცემულ სიბრტყეში და გადის გადაკვეთის წერტილში.

წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი.

თუ სიბრტყის გადაკვეთის წრფე პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის ორ წრფეზე, რომელიც გადის მოცემული წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილში, მაშინ ის სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

პერპენდიკულარული ხაზების და სიბრტყეების 1-ლი საკუთრება .

თუ სიბრტყე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.

მე-2 პერპენდიკულარული ხაზებისა და სიბრტყეების საკუთრება .

ერთი და იგივე სიბრტყის პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია.

სამი პერპენდიკულარული თეორემა

დაე იყოს AB- α სიბრტყის პერპენდიკულარული, AC- ირიბი და გ- სწორი ხაზი α სიბრტყეში, რომელიც გადის წერტილში Cდა პერპენდიკულარული პროექცია ძვ.წ. დავხატოთ სწორი ხაზი CKსწორი ხაზის პარალელურად AB. პირდაპირ CKα სიბრტყის პერპენდიკულარული (რადგან ის პარალელურია AB), და აქედან გამომდინარე, ამ სიბრტყის ნებისმიერი ხაზი, შესაბამისად, CKხაზის პერპენდიკულარული გ ABდა CKβ სიბრტყე (პარალელური ხაზები განსაზღვრავს სიბრტყეს და მხოლოდ ერთს). პირდაპირ გპერპენდიკულარულია β სიბრტყეში მდებარე ორ გადამკვეთ წრფეზე, ეს ძვ.წპირობით და CKკონსტრუქციით, ეს ნიშნავს, რომ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის კუთვნილი ნებისმიერი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ ის ასევე არის წრფის პერპენდიკულარული AC .

სამი პერპენდიკულარულის თეორემის შებრუნება

თუ დახრილი ხაზის ფუძის გავლით სიბრტყეში დახატული სწორი ხაზი დახრილი ხაზის პერპენდიკულარულია, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მის პროექციაზე.

დაე იყოს AB- სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ა , AC- ირიბი და თან- სწორი ხაზი თვითმფრინავში აფერდობის ფუძის გავლით თან. დავხატოთ სწორი ხაზი სკ, ხაზის პარალელურად AB. პირდაპირ სკსიბრტყეზე პერპენდიკულარული ა(ამ თეორემით, რადგან ის პარალელურია AB), და აქედან გამომდინარე, ამ სიბრტყის ნებისმიერი ხაზი, შესაბამისად, სკხაზის პერპენდიკულარული თან. დახაზეთ პარალელური ხაზები ABდა სკთვითმფრინავი ბ(პარალელური ხაზები განსაზღვრავს სიბრტყეს და მხოლოდ ერთს). პირდაპირ თანპერპენდიკულარული ორი სწორი ხაზის სიბრტყეში ბ, ეს ACპირობით და სკკონსტრუქციით, ეს ნიშნავს, რომ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის კუთვნილი ნებისმიერი წრფის მიმართ, რაც იმას ნიშნავს, რომ ის ასევე არის წრფის პერპენდიკულარული მზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროექცია მზეხაზის პერპენდიკულარული თანთვითმფრინავში იწვა ა .

პერპენდიკულური და ირიბი.

Პერპენდიკულარულიმოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყეზე დაბლა, ეწოდება სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს მოცემულ წერტილს სიბრტყის წერტილთან და დევს სიბრტყის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე. ამ სეგმენტის დასასრული, რომელიც დევს თვითმფრინავში, ე.წ პერპენდიკულარულის საფუძველი .

ირიბიმოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე დახატული არის ნებისმიერი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მოცემულ წერტილს სიბრტყის წერტილთან, რომელიც არ არის სიბრტყის პერპენდიკულარული. სიბრტყეში მოქცეული სეგმენტის დასასრული ეწოდება დახრილის საფუძველი. დახრილი ხაზის პერპენდიკულარულის ფუძეების დამაკავშირებელი მონაკვეთი, რომელიც გამოყვანილია იმავე წერტილიდან, ე.წ. ირიბი პროექცია .

განმარტება 1. მოცემული წრფის პერპენდიკულარი არის მოცემული წრფის პერპენდიკულარული წრფის სეგმენტი, რომელსაც აქვს მისი ერთ-ერთი ბოლო მათი გადაკვეთის წერტილში. სეგმენტის დასასრულს, რომელიც დევს მოცემულ წრფეზე, ეწოდება პერპენდიკულარულის ფუძე.

განმარტება 2. მოცემული წერტილიდან მოცემულ წრფეზე დახატული ირიბი წრფე არის მონაკვეთი, რომელიც აკავშირებს მოცემულ წერტილს წრფის ნებისმიერ წერტილთან, რომელიც არ არის იმავე წერტილიდან მოცემულ წრფეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. AB - α სიბრტყის პერპენდიკულარული.

AC - ირიბი, CB - პროექცია.

C - დახრილის საფუძველი, B - პერპენდიკულარულის საფუძველი.

კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის.

კუთხე ხაზსა და სიბრტყეს შორისნებისმიერ კუთხეს სწორ ხაზსა და მის პროექციას შორის ამ სიბრტყეზე ეწოდება.

დიჰედრული კუთხე.

დიჰედრული კუთხე- სივრცითი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი სწორი ხაზიდან გამომავალი ორი ნახევრად სიბრტყით, აგრეთვე ამ ნახევარსიბრტყეებით შემოსაზღვრული სივრცის ნაწილით. ნახევარ თვითმფრინავებს ეძახიან სახეებიდიედრული კუთხე და მათი საერთო სწორი ხაზი - ზღვარი. ორწახნაგოვანი კუთხეები იზომება წრფივი კუთხით, ანუ კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება დიედრული კუთხის გადაკვეთით მის კიდეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყესთან. ყოველი პოლიედონი, რეგულარული თუ არარეგულარული, ამოზნექილი თუ ჩაზნექილი, აქვს ორწახნაგოვანი კუთხე ყველა კიდეზე.

ორი სიბრტყის პერპენდიკულურობა.

სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი.

თუ სიბრტყე გადის სხვა სიბრტყის პერპენდიკულარულ წრფეზე, მაშინ ეს სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

Გამოქვეყნების თარიღი: 2016-03-23

Მოკლე აღწერა: ...

განტოლებების ამოხსნის მაგალითები ზოგიერთი ორიგინალური ტექნიკის გამოყენებით.

1
. ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა.

1. ჩანაცვლების მეთოდი.

1.1.1 განტოლების ამოხსნა .

გაითვალისწინეთ, რომ x-ის ნიშნები რადიკალის ქვეშ განსხვავებულია. ჩვენ წარმოგიდგენთ აღნიშვნას

, .

შემდეგ,

მოდით შევასრულოთ განტოლების ორივე ნაწილის ტერმინით შეკრება.

და ჩვენ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

რადგან a + b = 4, მაშინ

Z იკითხება: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. პასუხი: x \u003d 1.

1.1.2. ამოხსენით განტოლება .

ჩვენ წარმოგიდგენთ აღნიშვნას: ; , .

ნიშნავს:

განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა გვერდების ტერმინებით ვამატებით, გვაქვს .

და ჩვენ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

a + b = 2, , , ,

დავუბრუნდეთ განტოლებათა სისტემას:

, .

(ab) განტოლების ამოხსნის შემდეგ, გვაქვს ab = 9, ab = -1 (-1 უცხო ფესვი, რადგან , .).

ამ სისტემას არ აქვს ამონახსნები, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას ასევე არ აქვს ამონახსნი.

პასუხი: არ არის გამოსავალი.

1. 1. ამოხსენით განტოლება: .

შემოგვაქვს აღნიშვნა , სადაც . შემდეგ , .

, ,

განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ერთი; 2). a = 2.

გამოსავალი: [1; 2].

Თუ , შემდეგ , , .

პასუხი: .

1.2. მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეფასების მეთოდი (მაჟორანტის მეთოდი).

მაჟორანტი მეთოდი არის ფუნქციის შეზღუდულობის პოვნის მეთოდი.

მაიორიზაცია - ფუნქციის შეზღუდვის წერტილების მოძიება. M არის მაიორანტი.

თუ გვაქვს f(x) = g(x) და ODZ ცნობილია და თუ

, , მაშინ

1. 1. ამოხსენით განტოლება: .

ODZ: .

განვიხილოთ განტოლების მარჯვენა მხარე.

მოდით შემოვიტანოთ ფუნქცია. გრაფიკი არის პარაბოლა A (3 ; 2) წვერით.

y(3) = 2 ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა, ე.ი.

განვიხილოთ განტოლების მარცხენა მხარე.

მოდით შემოვიტანოთ ფუნქცია. წარმოებულის გამოყენებით ადვილია იმ ფუნქციის მაქსიმუმის პოვნა, რომელიც დიფერენცირებადია x -ზე (2 ; 4).

ზე ,

X=3.

გ` + -

2 3 4

გ(3) = 2.

Ჩვენ გვაქვს .

შედეგად, მაშინ

მოდით შევადგინოთ განტოლებათა სისტემა ზემოაღნიშნული პირობების საფუძველზე:

სისტემის პირველი განტოლების ამოხსნით, გვაქვს x = 3. ამ მნიშვნელობის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ x = 3 არის სისტემის ამონახსნი.

პასუხი: x = 3.

1.3. ფუნქციის ერთფეროვნების გამოყენება.

1.3.1. ამოხსენით განტოლება:

DZ-ის შესახებ: , იმიტომ  .

ცნობილია, რომ მზარდი ფუნქციების ჯამი არის მზარდი ფუნქცია.

მარცხენა მხარე არის მზარდი ფუნქცია. მარჯვენა მხარე წრფივი ფუნქციაა (k=0). გრაფიკული ინტერპრეტაცია ვარაუდობს, რომ ფესვი უნიკალურია. ჩვენ ვპოულობთ მას შერჩევით, გვაქვს x = 1.

მტკიცებულება:

დავუშვათ, რომ ფესვი x 1-ზე მეტია, მაშინ

რადგან x 1 >1,

.დავასკვნით, რომ ერთზე დიდი ფესვები არ არსებობს.

ანალოგიურად, შეიძლება დაამტკიცოს, რომ არ არსებობს ფესვები ერთზე ნაკლები.

ასე რომ x=1 არის ერთადერთი ფესვი.

პასუხი: x = 1.

1.3.2. ამოხსენით განტოლება:

DZ-ის შესახებ: [0.5; + ), რადგან იმათ. .

გადავცვალოთ განტოლება,

მარცხენა მხარე არის მზარდი ფუნქცია (ფუნქციების გაზრდის პროდუქტი), მარჯვენა მხარე არის წრფივი ფუნქცია (k = 0). გეომეტრიული ინტერპრეტაცია გვიჩვენებს, რომ თავდაპირველ განტოლებას უნდა ჰქონდეს ერთი ფესვი, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს მორგებით, x = 7.

გამოცდა:

შეიძლება დადასტურდეს, რომ სხვა ფესვები არ არსებობს (იხ. მაგალითი ზემოთ).

პასუხი: x = 7.

2. ლოგარითმული განტოლებები.

1. მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეფასების მეთოდი.

2.1.1. ამოხსენით განტოლება: ჟურნალი 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

მოდით შევაფასოთ განტოლების მარცხენა მხარე.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

შემდეგ ჟურნალი 2 (2x - x 2 + 15)  4.

მოდით შევაფასოთ განტოლების მარჯვენა მხარე.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

თავდაპირველ განტოლებას გამოსავალი შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე მხარე ოთხის ტოლია.

ნიშნავს

პასუხი: x = 1.

დამოუკიდებელი მუშაობისთვის.

2.1.2. ჟურნალი 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 პასუხი: x \u003d 3.

2.1.3. ჟურნალი 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 პასუხი: x \u003d 6.

2.1.4. ჟურნალი 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 პასუხი: x \u003d 1.

2.1.5. ჟურნალი 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 პასუხი: x \u003d 3.

2.2. ფუნქციის ერთფეროვნების გამოყენება, ფესვების შერჩევა.

2.2.1. ამოხსენით განტოლება: ჟურნალი 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

გავაკეთოთ ცვლილება 2x - x 2 + 15 = t, t>0. შემდეგ x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, შემდეგ

ჟურნალი 2 ტ = 20 - ტ.

ფუნქცია y = log 2 t იზრდება, ხოლო ფუნქცია y = 20 - t მცირდება. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია გვაფიქრებინებს, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რომლის პოვნაც მარტივად შეიძლება t = 16-ის არჩევით.

2x - x 2 + 15 = 16 განტოლების ამოხსნით, ვხვდებით, რომ x = 1.

შეამოწმეთ, რომ დარწმუნდეთ, რომ არჩეული მნიშვნელობა სწორია.

პასუხი: x = 1.

2.3. რამდენიმე "საინტერესო" ლოგარითმული განტოლება.

2.3.1. ამოხსენით განტოლება .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

გადავიდეთ განტოლებაზე

, , ,

გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, ან cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 ან cos x = -1,

x=2  k, k Z. x =  + 2 l, l Z.

მოდით შევამოწმოთ ნაპოვნი მნიშვნელობები მათი ODZ-ში ჩანაცვლებით.

1) თუ x = 15, მაშინ (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 არასწორია.

x = 15 - არ არის განტოლების ფესვი.

2) თუ x = 2  k, k Z, შემდეგ (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, გაითვალისწინეთ, რომ 15  5 . Ჩვენ გვაქვს

კ > 2,5, კ Z,

k = 3, 4, 5, ... .

3) თუ x =  + 2 l, l Z, შემდეგ ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 ლ< 15,

2ლ< 15 -  , заметим, что 15  5  .

გვაქვს: ლ< 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

პასუხი: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1.0, -1, - 2, ...).

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

3.1. განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეფასების მეთოდი.

4.1.1. ამოხსენით განტოლება cos3x cos2x = -1.

პირველი გზა..

0.5 (მას x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

რადგან კოს x - 1, cos 5 x - 1, ჩვენ ვასკვნით, რომ cos x+ cos 5 x> -2, შესაბამისად

მიჰყვება განტოლებათა სისტემას

c os x = -1,

cos 5 x = - 1.

განტოლების ამოხსნა cos x= -1, მივიღებთ X=  + 2 k, სადაც k Z.

ეს ღირებულებები Xასევე არის cos 5 განტოლების ამონახსნები x= -1, რადგან

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

ამრიგად, X=  + 2 k, სადაც k Z , არის სისტემის ყველა ამონახსნები და აქედან გამომდინარეობს თავდაპირველი განტოლება.

პასუხი: X=  (2k + 1), k Z.

მეორე გზა.

შეიძლება აჩვენოს, რომ სისტემების სიმრავლე გამომდინარეობს თავდაპირველი განტოლებიდან

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

განტოლებათა თითოეული სისტემის ამოხსნისას ვიპოვით ფესვების გაერთიანებას.

პასუხი: x = (2  + 1-მდე), k Z.

დამოუკიდებელი მუშაობისთვის.

ამოხსენით განტოლებები:

3.1.2. 2 და 3x + 4 ცოდვა x/2 = 7. პასუხი: ამოხსნის გარეშე.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. პასუხი: არ არის გამოსავალი.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. პასუხი: x = 2 მდე, კ ზ.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. პასუხი: x = /2 +  მდე, კ ზ.

3.1.6. cos 8 x + ცოდვა 7 x = 1. პასუხი: x = მ, მ Z; x = /2 + 2  n, n ზ.

1.1 ირაციონალური განტოლებები

ირაციონალურ განტოლებებს ხშირად ვხვდებით მათემატიკაში მისაღებ გამოცდებზე, რადგან მათი დახმარებით ადვილია დიაგნოსტირება ისეთი ცნებების შესახებ, როგორიცაა ეკვივალენტური გარდაქმნები, განსაზღვრების სფერო და სხვა. ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები, როგორც წესი, ემყარება ირაციონალური განტოლების რაციონალურით ჩანაცვლების შესაძლებლობას (გარკვეული გარდაქმნების დახმარებით), რომელიც ან ორიგინალური ირაციონალური განტოლების ექვივალენტურია, ან მისი შედეგია. ყველაზე ხშირად, განტოლების ორივე მხარე ერთსა და იმავე სიძლიერეზეა აყვანილი. ეკვივალენტობა არ ირღვევა, როდესაც ორივე ნაწილი კენტ ხარისხზეა აყვანილი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, საჭიროა ნაპოვნი ამონახსნების შემოწმება ან განტოლების ორივე ნაწილის ნიშნის შეფასება. მაგრამ არსებობს სხვა ხრიკები, რომლებიც შეიძლება უფრო ეფექტური იყოს ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მეთოდი.

მაგალითი 1: ამოხსენით განტოლება

Მას შემდეგ . აქედან გამომდინარე, შეიძლება დააყენოს . განტოლება მიიღებს ფორმას

მაშინ სად დავაყენოთ

.

.

პასუხი: .

ალგებრული ამოხსნა

Მას შემდეგ . ნიშნავს, , ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გააფართოვოთ მოდული

.

პასუხი: .

განტოლების ალგებრული გზით ამოხსნა მოითხოვს იდენტური გარდაქმნების განხორციელების კარგ უნარს და ეკვივალენტური გადასვლების კომპეტენტურ მართვას. მაგრამ ზოგადად, ორივე მიდგომა ექვივალენტურია.

მაგალითი 2: ამოხსენით განტოლება

.

გამოსავალი ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლების დომენი მოცემულია უტოლობით , რომელიც ექვივალენტურია პირობის , მაშინ . ამიტომ, შეგვიძლია დავაყენოთ. განტოლება მიიღებს ფორმას

Მას შემდეგ . მოდით გავხსნათ შიდა მოდული

დავსვათ , მაშინ

.

პირობა დაკმაყოფილებულია ორი მნიშვნელობით და .

.

.

პასუხი: .

ალგებრული ამოხსნა

.

პირველი კომპლექტის სისტემის განტოლების კვადრატში მივიღებთ

მოდით, მაშინ. განტოლება გადაიწერება ფორმაში

შემოწმებით ვადგენთ, რომ ეს არის ფესვი, შემდეგ მრავალწევრის ბინომალზე გაყოფით ვიღებთ განტოლების მარჯვენა მხარის დაშლას ფაქტორებად.

გადავიდეთ ცვლადიდან ცვლადზე, მივიღებთ

.

მდგომარეობა დააკმაყოფილებს ორ მნიშვნელობას

.

ამ მნიშვნელობების თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ, რომ ეს არის ფესვი.

თავდაპირველი პოპულაციის მეორე სისტემის განტოლების ანალოგიურად ამოხსნით, აღმოვაჩენთ, რომ ის ასევე ფესვია.

პასუხი: .

თუ წინა მაგალითში ალგებრული ამონახსნები და ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით ამონახსნები ეკვივალენტური იყო, მაშინ ამ შემთხვევაში ჩანაცვლებითი ამოხსნა უფრო მომგებიანია. ალგებრის საშუალებით განტოლების ამოხსნისას უნდა ამოხსნათ ორი განტოლებისგან შემდგარი სიმრავლე, ანუ კვადრატში ორჯერ. ამ არაეკვივალენტური ტრანსფორმაციის შემდეგ მიიღება მეოთხე ხარისხის ორი განტოლება ირაციონალური კოეფიციენტებით, რომელთა მოცილებაშიც ჩანაცვლება გვეხმარება. კიდევ ერთი სირთულე არის ნაპოვნი ამონახსნების გადამოწმება თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება

.

გამოსავალი ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით

Მას შემდეგ . გაითვალისწინეთ, რომ უცნობის უარყოფითი მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს პრობლემის გადაწყვეტა. მართლაც, ჩვენ გარდაქმნით თავდაპირველ განტოლებას ფორმაში

.

განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილებში კოეფიციენტი დადებითია, განტოლების მარჯვენა მხარე ასევე დადებითია, ამიტომ განტოლების მარცხენა მხარეს კოეფიციენტი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. ამიტომ, მაშინ, ამიტომ შეგიძლიათ დააყენოთ ორიგინალური განტოლება გადაიწერება ფორმაში

მას შემდეგ და . განტოლება მიიღებს ფორმას

იყოს . გადავიდეთ განტოლებიდან ეკვივალენტურ სისტემაზე

.

რიცხვები და არის კვადრატული განტოლების ფესვები

.

ალგებრული ამონახსნები გავავლოთ განტოლების ორივე მხარე

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას , მაშინ განტოლება დაიწერება ფორმაში

მეორე ფესვი ზედმეტია, ასე რომ, განიხილეთ განტოლება

.

Მას შემდეგ .

ამ შემთხვევაში ალგებრული ამოხსნა ტექნიკურად უფრო მარტივია, მაგრამ აუცილებელია ზემოაღნიშნული ამონახსნის გათვალისწინება ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით. ეს, პირველ რიგში, განპირობებულია თავად ჩანაცვლების არასტანდარტული ბუნებით, რაც ანგრევს სტერეოტიპს, რომ ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც . გამოდის, რომ თუ ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლებაც იპოვის გამოყენებას. მეორეც, არსებობს გარკვეული სირთულე ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნისას , რომელიც მცირდება განტოლებათა სისტემაში ცვლილების შეტანით. გარკვეული გაგებით, ეს ჩანაცვლება ასევე შეიძლება ჩაითვალოს არასტანდარტულად და მისი გაცნობა საშუალებას გაძლევთ გაამდიდროთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ხრიკებისა და მეთოდების არსენალი.

მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლება

.

გამოსავალი ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით

ვინაიდან ცვლადს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა, ჩვენ ვაყენებთ . მერე

,

როგორც .

თავდაპირველი განტოლება, განხორციელებული გარდაქმნების გათვალისწინებით, მიიღებს ფორმას

ვინაიდან, განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ ზე, მივიღებთ

დაე იყოს , მაშინ . განტოლება მიიღებს ფორმას

.

ჩანაცვლების გათვალისწინებით , ვიღებთ ორი განტოლების სიმრავლეს

.

ცალ-ცალკე გადავჭრათ თითოეული სიმრავლის განტოლება.

.

არ შეიძლება იყოს სინუსური მნიშვნელობა, როგორც არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

.

როგორც და ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარე დადებითია, მაშინ . საიდანაც გამომდინარეობს, რომ .

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, ვინაიდან .

ასე რომ, თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი

.

ალგებრული ამოხსნა

ეს განტოლება ადვილად შეიძლება „გადაიქცეს“ მერვე ხარისხის რაციონალურ განტოლებად თავდაპირველი განტოლების ორივე ნაწილის კვადრატში. შედეგად მიღებული რაციონალური განტოლების ფესვების ძიება რთულია და ამოცანის შესასრულებლად საჭიროა ჭკუის მაღალი ხარისხი. ამიტომ, მიზანშეწონილია ვიცოდეთ გადაჭრის სხვა გზა, ნაკლებად ტრადიციული. მაგალითად, I.F. Sharygin-ის მიერ შემოთავაზებული ჩანაცვლება.

დავსვათ , მაშინ

გადავცვალოთ განტოლების მარჯვენა მხარე :

გარდაქმნების გათვალისწინებით განტოლება მიიღებს ფორმას

.

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას, მაშინ

.

მეორე ფესვი ზედმეტია, ამიტომ და .

თუ განტოლების ამოხსნის იდეა წინასწარ არ არის ცნობილი , მაშინ სტანდარტული გზით ამოხსნა განტოლების ორივე ნაწილის კვადრატში პრობლემურია, რადგან შედეგი არის მერვე ხარისხის განტოლება, რომლის ფესვების პოვნა უკიდურესად რთულია. გამოსავალი ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით რთული გამოიყურება. შეიძლება გაგიჭირდეთ განტოლების ფესვების პოვნა, თუ ვერ შეამჩნევთ, რომ ის განმეორებადია. ამ განტოლების ამოხსნა ხდება ალგებრის აპარატის გამოყენებით, ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შემოთავაზებული ამოხსნა კომბინირებულია. მასში ინფორმაცია ალგებრადან და ტრიგონომეტრიიდან ერთად მუშაობენ ერთი მიზნისთვის - ამოხსნის მისაღებად. ასევე, ამ განტოლების ამოხსნა მოითხოვს ორი შემთხვევის ფრთხილად განხილვას. ჩანაცვლების გამოსავალი ტექნიკურად უფრო მარტივი და ლამაზია, ვიდრე ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება. სასურველია, მოსწავლეებმა იცოდნენ ჩანაცვლების ეს მეთოდი და გამოიყენონ პრობლემების გადასაჭრელად.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება პრობლემების გადასაჭრელად უნდა იყოს გააზრებული და გამართლებული. მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ჩანაცვლება იმ შემთხვევებში, როდესაც სხვა გზით გამოსავალი უფრო რთული ან საერთოდ შეუძლებელია. მოვიყვანთ კიდევ ერთ მაგალითს, რომელიც, წინაგან განსხვავებით, სტანდარტული გზით უფრო ადვილად და სწრაფად ასახსნელია.