ინსტრუქცია

მტკიცების დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ ხაზები ერთსა და იმავე სიბრტყეშია და შესაძლებელია მასზე დახატვა. მტკიცების უმარტივესი მეთოდია სახაზავით გაზომვის მეთოდი. ამისათვის გამოიყენეთ სახაზავი, რათა გაზომოთ მანძილი სწორ ხაზებს შორის რამდენიმე ადგილას, რაც შეიძლება დაშორებით. თუ მანძილი იგივე რჩება, მოცემული ხაზები პარალელურია. მაგრამ ეს მეთოდი არ არის საკმარისად ზუსტი, ამიტომ უმჯობესია გამოიყენოთ სხვა მეთოდები.

დახაზეთ მესამე ხაზი ისე, რომ იგი გადაკვეთს ორივე პარალელურ წრფეს. მათთან ერთად ქმნის ოთხ გარე და ოთხ შიდა კუთხეს. განვიხილოთ შიდა კუთხეები. მათ, ვინც სცენტური ხაზის გავლით დევს, ჯვარედინი ტყუილი ეწოდება. მათ, ვინც ერთ მხარეს დევს, ცალმხრივს უწოდებენ. პროტრატორის გამოყენებით გაზომეთ ორი შიდა დიაგონალური კუთხე. თუ ისინი ტოლია, მაშინ ხაზები იქნება პარალელური. თუ ეჭვი გაქვთ, გაზომეთ ცალმხრივი შიდა კუთხეები და დაამატეთ მიღებული მნიშვნელობები. წრფეები იქნება პარალელური, თუ ცალმხრივი შიდა კუთხეების ჯამი უდრის 180º-ს.

თუ პროტრატორი არ გაქვთ, გამოიყენეთ 90º კვადრატი. გამოიყენეთ იგი ერთ-ერთი წრფის პერპენდიკულარული ასაგებად. ამის შემდეგ გააგრძელეთ ეს პერპენდიკულარი ისე, რომ გადაიკვეთოს სხვა წრფე. იმავე კვადრატის გამოყენებით შეამოწმეთ რა კუთხით კვეთს მას ეს პერპენდიკულარი. თუ ეს კუთხე ასევე უდრის 90º-ს, მაშინ წრფეები ერთმანეთის პარალელურია.

იმ შემთხვევაში, თუ ხაზები მოცემულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, იპოვეთ მათი სახელმძღვანელო ან ნორმალური ვექტორები. თუ ეს ვექტორები, შესაბამისად, ერთმანეთის ხაზოვანია, მაშინ ხაზები პარალელურია. მიიტანეთ წრფეთა განტოლება ზოგად ფორმამდე და იპოვეთ თითოეული წრფის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები. მისი კოორდინატები უდრის A და B კოეფიციენტებს. იმ შემთხვევაში, თუ ნორმალური ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების თანაფარდობა ერთნაირია, ისინი კოლინარულია და წრფეები პარალელური.

მაგალითად, სწორი ხაზები მოცემულია 4x-2y+1=0 და x/1=(y-4)/2 განტოლებებით. პირველი განტოლება ზოგადი ფორმისაა, მეორე კი კანონიკური. მიიტანეთ მეორე განტოლება ზოგად ფორმაში. ამისათვის გამოიყენეთ პროპორციების კონვერტაციის წესი და მიიღებთ 2x=y-4-ს. ზოგად ფორმაზე გადაყვანის შემდეგ მიიღეთ 2x-y + 4 = 0. ვინაიდან ნებისმიერი წრფის ზოგადი განტოლება იწერება Ax + Vy + C = 0, მაშინ პირველი ხაზისთვის: A = 4, B = 2, ხოლო მეორე ხაზისთვის A = 2, B = 1. ნორმალური ვექტორის პირველი პირდაპირი კოორდინატისთვის (4;2), ხოლო მეორესთვის - (2;1). იპოვეთ ნორმალური ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების შეფარდება 4/2=2 და 2/1=2. ეს რიცხვები ტოლია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ვექტორები კოლინარულია. ვინაიდან ვექტორები კოლინარულია, ხაზები პარალელურია.

ეს სტატია ეხება პარალელურ ხაზებს და პარალელურ ხაზებს. თავდაპირველად მოცემულია პარალელური წრფეების განმარტება სიბრტყეში და სივრცეში, შემოღებულია აღნიშვნა, მოცემულია პარალელური წრფეების მაგალითები და გრაფიკული ილუსტრაციები. შემდგომში გაანალიზებულია სწორი ხაზების პარალელურობის ნიშნები და პირობები. დასასრულს, ნაჩვენებია გადაწყვეტილებები სწორი ხაზების პარალელურობის დამადასტურებელი ტიპიური ამოცანებისთვის, რომლებიც მოცემულია სწორი ხაზის ზოგიერთი განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში.

გვერდის ნავიგაცია.

პარალელური ხაზები - ძირითადი ინფორმაცია.

განმარტება.

სიბრტყეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურადთუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება.

ორ ხაზს სამ განზომილებაში ეწოდება პარალელურადთუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ და საერთო წერტილები არ აქვთ.

გაითვალისწინეთ, რომ სივრცეში პარალელური წრფეების განსაზღვრაში პუნქტი „თუ ისინი ერთსა და იმავე სიბრტყეში არიან“ ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდით განვმარტოთ ეს პუნქტი: ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური, არამედ დახრილი.

აქ მოცემულია პარალელური ხაზების რამდენიმე მაგალითი. ნოუთბუქის ფურცლის საპირისპირო კიდეები დევს პარალელურ ხაზებზე. სწორი ხაზები, რომლითაც სახლის კედლის სიბრტყე კვეთს ჭერისა და იატაკის სიბრტყეებს, პარალელურია. რკინიგზის ლიანდაგები დონის ადგილზე ასევე შეიძლება ჩაითვალოს პარალელურ ხაზებად.

სიმბოლო "" გამოიყენება პარალელური ხაზების აღსანიშნავად. ანუ, თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგიძლიათ მოკლედ დაწეროთ b.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a წრფე პარალელურია b წრფესთან და ასევე, რომ b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით გამოვთქვათ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სიბრტყეში პარალელური წრფეების შესწავლაში: მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის გავლით, გადის მოცემული წრფის ერთადერთი პარალელურად. ეს დებულება მიღებულია როგორც ფაქტი (არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე) და მას უწოდებენ პარალელური წრფეების აქსიომას.

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს პარალელური წრფეების ზემოაღნიშნული აქსიომის გამოყენებით (მისი დადასტურება შეგიძლიათ გეომეტრიის სახელმძღვანელოში 10-11 კლასი, რომელიც ჩამოთვლილია სტატიის ბოლოს ბიბლიოგრაფიაში).

სივრცეში შემთხვევისთვის თეორემა მართალია: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა ადვილად დამტკიცდება ზემოთ მოცემული პარალელური წრფეების აქსიომის გამოყენებით.

წრფეთა პარალელიზმი – პარალელურობის ნიშნები და პირობები.

პარალელური ხაზების ნიშანიარის საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის, ანუ ისეთი პირობა, რომლის შესრულებაც პარალელური ხაზების გარანტიას იძლევა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია იმ ფაქტზე, რომ ხაზები პარალელურია.

ასევე არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში პარალელური ხაზებისთვის.

ავხსნათ ფრაზის მნიშვნელობა „აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ პარალელური ხაზების საკმარისი პირობა. და რა არის „აუცილებელი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“? სახელწოდებით „აუცილებელი“ ირკვევა, რომ ამ პირობის შესრულება აუცილებელია იმისთვის, რომ ხაზები იყოს პარალელური. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ხაზები არ არის პარალელური. ამრიგად, აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ხაზები იყოს პარალელურიარის პირობა, რომლის შესრულებაც აუცილებელია და საკმარისია პარალელური ხაზებისთვის. ანუ, ერთის მხრივ, ეს არის პარალელური წრფეების ნიშანი და მეორე მხრივ, ეს არის თვისება, რომელიც გააჩნია პარალელურ წრფეებს.

ხაზების პარალელურად ყოფნის აუცილებელ და საკმარის პირობამდე, სასარგებლოა გავიხსენოთ რამდენიმე დამხმარე განმარტება.

სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს.

სეკანტის ორი ხაზის გადაკვეთაზე იქმნება რვა არაგანლაგებული. Ე. წ იწვა ჯვარედინად, შესაბამისიდა ცალმხრივი კუთხეები. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ნახატზე.

თეორემა.

თუ სიბრტყეზე ორი წრფე იკვეთება სეკანტით, მაშინ მათი პარალელიზმისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი იყოს, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180 გრადუსს.

მოდით ვაჩვენოთ ამ აუცილებელი და საკმარისი პირობის გრაფიკული ილუსტრაცია სიბრტყეში პარალელური ხაზებისთვის.

ამ პირობების მტკიცებულება შეგიძლიათ იპოვოთ პარალელური ხაზებისთვის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში 7-9 კლასებისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობების გამოყენება შესაძლებელია სამგანზომილებიან სივრცეშიც - მთავარია, რომ ორი ხაზი და სეკანტი ერთ სიბრტყეში იყოს.

აქ არის კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის დადასტურება გამომდინარეობს პარალელური წრფეების აქსიომიდან.

მსგავსი პირობაა პარალელური ხაზებისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში.

თეორემა.

თუ სივრცეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ მახასიათებლის მტკიცებულება განიხილება მე-10 კლასის გეომეტრიის გაკვეთილებზე.

მოდით გამოვხატოთ გაჟღერებული თეორემები.

მოდით მივცეთ კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ სიბრტყეში წრფეების პარალელიზმი.

თეორემა.

თუ სიბრტყეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

არსებობს მსგავსი თეორემა სივრცეში წრფეებისთვის.

თეორემა.

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია იმავე სიბრტყეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.

მოდით დავხატოთ ამ თეორემების შესაბამისი სურათები.

ყველა ზემოთ ჩამოყალიბებული თეორემა, ნიშნები და აუცილებელი და საკმარისი პირობები სავსებით შესაფერისია სწორი ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გეომეტრიის მეთოდებით. ანუ ორი მოცემული წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად საჭიროა იმის ჩვენება, რომ ისინი პარალელურია მესამე წრფის, ან ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობის ჩვენება და ა.შ. ამ პრობლემებიდან ბევრი წყდება საშუალო სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია კოორდინატების მეთოდის გამოყენება სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემული წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი.

სტატიის ამ ნაწილში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ აუცილებელი და საკმარისი პირობები პარალელური ხაზებისთვისმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ ხაზებს და ასევე მივცემთ ტიპურ ამოცანებს დეტალურ ამონახსნებს.

დავიწყოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე ორი წრფის პარალელურობის პირობით. მისი მტკიცებულება ეფუძნება წრფის მიმართული ვექტორის განსაზღვრებას და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებას.

თეორემა.

იმისთვის, რომ სიბრტყეში ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან ამ წრფეების ნორმალური ვექტორები იყოს წრფივი, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი ნორმალურის პერპენდიკულარული იყოს. მეორე ხაზის ვექტორი.

ცხადია, სიბრტყეში ორი წრფის პარალელურობის პირობა მცირდება (წრფეთა მიმართულების ვექტორები ან წრფეების ნორმალური ვექტორები) ან (ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი და მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი). ამრიგად, თუ და არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები და და არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად, პარალელური წრფეებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა a და b შეიძლება ჩაიწეროს როგორც , ან , ან , სადაც t არის რეალური რიცხვი. თავის მხრივ, a და b სწორი ხაზების მიმართული და (ან) ნორმალური ვექტორების კოორდინატები გვხვდება სწორი ხაზების ცნობილი განტოლებიდან.

კერძოდ, თუ წრფე a მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე განსაზღვრავს ფორმის ხაზის ზოგად განტოლებას. და სწორი ხაზი b - , მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად და a და b წრფეების პარალელურობის პირობა დაიწერება როგორც .

თუ სწორი ხაზი a შეესაბამება სწორი ხაზის განტოლებას ფორმის დახრილობის კოეფიციენტთან . მაშასადამე, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე სწორი ხაზები პარალელურია და შეიძლება მიცემული იყოს დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზების განტოლებით, მაშინ ხაზების დახრილობის კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და პირიქით: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი სწორი ხაზები შეიძლება მიღებულ იქნას ტოლი დახრილობის კოეფიციენტებით სწორი ხაზის განტოლებით, მაშინ ასეთი სწორი ხაზები პარალელურია.

თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში a და წრფე b განსაზღვრავს წრფის კანონიკურ განტოლებებს ფორმის სიბრტყეზე. და , ან სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები ფორმის სიბრტყეზე და შესაბამისად, მაშინ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და , ხოლო a და b წრფეების პარალელურობის პირობა იწერება როგორც .

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

ხაზები პარალელურია? და ?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში, სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების სახით: . ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი და არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორი. ეს ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს რეალური რიცხვი t, რომლის ტოლობა ( ). შესაბამისად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, შესაბამისად, მოცემული წრფეები არ არის პარალელური.

პასუხი:

არა, ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი.

არის ხაზები და პარალელები?

გადაწყვეტილება.

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება მივყავართ დახრილობის მქონე სწორი ხაზის განტოლებამდე: . ცხადია, წრფეების განტოლებები და არ არის ერთნაირი (ამ შემთხვევაში მოცემული ხაზები იგივე იქნებოდა) და ხაზების დახრილობა ტოლია, შესაბამისად, თავდაპირველი ხაზები პარალელურია.

მეორე გამოსავალი.

ჯერ ვაჩვენოთ, რომ თავდაპირველი ხაზები არ ემთხვევა: აიღეთ წრფის რომელიმე წერტილი, მაგალითად, (0, 1), ამ წერტილის კოორდინატები არ აკმაყოფილებს წრფის განტოლებას, შესაბამისად, წრფეები არ ემთხვევა. ახლა შევამოწმოთ ამ წრფეების პარალელურობის პირობის შესრულება. წრფის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი , ხოლო წრფის მიმართულების ვექტორი არის ვექტორი . გამოვთვალოთ და: . შესაბამისად, ვექტორები და არიან პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა დაკმაყოფილებულია. ასე რომ, ხაზები პარალელურია.

პასუხი:

მოცემული ხაზები პარალელურია.

სამგანზომილებიან სივრცეში მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეთა პარალელურობის დასამტკიცებლად გამოიყენება შემდეგი აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

თეორემა.

სამგანზომილებიან სივრცეში შეუსაბამო ხაზები რომ იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი მიმართულების ვექტორები იყოს კოლინარული.

ამრიგად, თუ ცნობილია სამგანზომილებიანი სივრცეში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ხაზების განტოლებები და თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას, არის თუ არა ეს წრფეები პარალელური, მაშინ უნდა იპოვოთ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები და შეამოწმოთ. მიმართულების ვექტორების კოლინარობის პირობის შესრულება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ და - სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები მოცემულ ხაზებს აქვთ კოორდინატები და . როგორც , მაშინ . ამრიგად, დაკმაყოფილებულია აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ ორი ხაზი იყოს სივრცეში პარალელურად. ეს ადასტურებს ხაზების პარალელურობას და .

ბიბლიოგრაფია.

• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პოზნიაკი ე.გ., იუდინა ი.ი. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., კისელევა ლ.ს., პოზნიაკი ე.გ. გეომეტრია. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასებისთვის.
• პოგორელოვი A.V., გეომეტრია. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 7-11 კლასებისთვის.
• ბუგროვი ია.ს., ნიკოლსკი ს.მ. უმაღლესი მათემატიკა. ტომი პირველი: წრფივი ალგებრის ელემენტები და ანალიტიკური გეომეტრია.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. ანალიტიკური გეომეტრია.

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ პარალელურ ხაზებზე, მივცემთ განმარტებებს, აღვნიშნავთ პარალელიზმის ნიშნებსა და პირობებს. თეორიული მასალის სიცხადისთვის გამოვიყენებთ ილუსტრაციებს და ტიპიური მაგალითების ამოხსნას.

განმარტება 1

პარალელური ხაზები სიბრტყეშიარის ორი სწორი ხაზი სიბრტყეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება 2

პარალელური ხაზები 3D სივრცეში- ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ აქვთ საერთო წერტილები.

უნდა აღინიშნოს, რომ სივრცეში პარალელური ხაზების დასადგენად ძალიან მნიშვნელოვანია განმარტება „იგივე სიბრტყეში წევა“: ორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის. პარალელური, მაგრამ გადამკვეთი.

პარალელური ხაზების აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება სიმბოლო ∥ . ანუ, თუ მოცემული წრფეები a და b პარალელურია, ეს პირობა მოკლედ უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად: a ‖ b . სიტყვიერად, წრფეთა პარალელურობა მითითებულია შემდეგნაირად: a და b წრფეები პარალელურია, ან წრფე a პარალელურია b წრფესთან, ან b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შესასწავლ თემაში.

აქსიომა

წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, არის მხოლოდ ერთი ხაზი მოცემული წრფის პარალელურად. ეს განცხადება არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე.

იმ შემთხვევაში, როდესაც საქმე ეხება სივრცეს, თეორემა მართალია:

თეორემა 1

სივრცის ნებისმიერი წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მოცემული წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი იქნება.

ეს თეორემა ადვილი დასამტკიცებელია ზემოაღნიშნული აქსიომის საფუძველზე (გეომეტრიის პროგრამა 10-11 კლასებისთვის).

პარალელიზმის ნიშანი არის საკმარისი პირობა, რომლითაც პარალელური ხაზები გარანტირებულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია პარალელურობის ფაქტის დასადასტურებლად.

კერძოდ, სიბრტყეში და სივრცეში წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობებია. განვმარტოთ: აუცილებელი ნიშნავს პირობას, რომლის შესრულებაც აუცილებელია პარალელური ხაზებისთვის; თუ ის არ არის დაკმაყოფილებული, ხაზები არ არის პარალელური.

შეჯამება, წრფეთა პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა ისეთი პირობა, რომლის დაცვაც აუცილებელია და საკმარისია წრფეები ერთმანეთის პარალელურად იყოს. ერთის მხრივ, ეს არის პარალელიზმის ნიშანი, მეორეს მხრივ, პარალელური ხაზების თანდაყოლილი თვისება.

საჭირო და საკმარისი პირობების ზუსტი ფორმულირებამდე გავიხსენებთ კიდევ რამდენიმე დამატებით კონცეფციას.

განმარტება 3

სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს, რომლებიც ერთმანეთს არ ემთხვევა.

ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას სეკანტი ქმნის რვა გაშლილ კუთხეს. აუცილებელი და საკმარისი პირობის ჩამოსაყალიბებლად გამოვიყენებთ ისეთ ტიპის კუთხეებს, როგორიცაა ჯვარედინი, შესაბამისი და ცალმხრივი. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ილუსტრაციაში:

თეორემა 2

თუ სიბრტყეზე ორი წრფე კვეთს სეკანტს, მაშინ მოცემული წრფეები რომ იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი იყოს 180-ის ტოლი. გრადუსი.

მოდით გრაფიკულად წარმოვადგინოთ სიბრტყეზე პარალელური ხაზების აუცილებელი და საკმარისი პირობა:

ამ პირობების დადასტურება მოცემულია გეომეტრიის პროგრამაში 7-9 კლასებისთვის.

ზოგადად, ეს პირობები ასევე გამოიყენება სამგანზომილებიანი სივრცისთვის, იმ პირობით, რომ ორი ხაზი და სეკანტი მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.

მოდით აღვნიშნოთ კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა 3

სიბრტყეში მესამის პარალელურად ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია. ეს თვისება დასტურდება ზემოხსენებული პარალელიზმის აქსიომაზე.

თეორემა 4

სამგანზომილებიან სივრცეში მესამეს პარალელურად ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.

ატრიბუტის დადასტურება შესწავლილია მე-10 კლასის გეომეტრიის პროგრამაში.

ჩვენ ვაძლევთ ამ თეორემების ილუსტრაციას:

მივუთითოთ კიდევ ერთი წყვილი თეორემები, რომლებიც ადასტურებენ წრფეების პარალელურობას.

თეორემა 5

სიბრტყეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ მსგავსი სამგანზომილებიანი სივრცისთვის.

თეორემა 6

სამგანზომილებიან სივრცეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.

მოდით ილუსტრაციით:

ყველა ზემოაღნიშნული თეორემა, ნიშანი და პირობა შესაძლებელს ხდის გეომეტრიის მეთოდებით მოხერხებულად დავამტკიცოთ წრფეების პარალელურობა. ანუ წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან ვაჩვენოთ ის ფაქტი, რომ ორი მოცემული წრფე პერპენდიკულარულია მესამეზე და ა.შ. მაგრამ ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ხშირად უფრო მოსახერხებელია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი

მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი განისაზღვრება ერთ-ერთი შესაძლო ტიპის სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებით. ანალოგიურად, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მოცემული სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში შეესაბამება სწორი ხაზის ზოგიერთ განტოლებას სივრცეში.

დავწეროთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეთა პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები, მოცემული წრფეების აღწერის განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ სიბრტყეში პარალელური წრფეების მდგომარეობით. იგი ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის და სიბრტყეში წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებებს.

თეორემა 7

იმისთვის, რომ სიბრტყეზე ორი არადამთხვევა წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან მოცემული წრფეების ნორმალური ვექტორები, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორები. მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარული.

აშკარა ხდება, რომ სიბრტყეზე პარალელური წრფეების მდგომარეობა ეფუძნება კოლინარული ვექტორების მდგომარეობას ან ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობის პირობას. ანუ, თუ a → = (a x , a y) და b → = (b x, b y) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები;

და n b → = (n b x, n b y) არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შემდეგ ზემოაღნიშნულ აუცილებელ და საკმარის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ან n a → = t n b → ⇔ n a x. = t n b x n a y = t n b y ან a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0, სადაც t არის რეალური რიცხვი. მიმართული ან პირდაპირი ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება წრფეების მოცემული განტოლებებით. განვიხილოთ ძირითადი მაგალითები.

1. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a წრფე განისაზღვრება წრფის ზოგადი განტოლებით: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; ხაზი b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (A 1 , B 1) და (A 2 , B 2) შესაბამისად. პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. სწორი ხაზი a აღწერილია სწორი ხაზის განტოლებით y = k 1 x + b 1 ფორმის დახრილობით. სწორი ხაზი b - y \u003d k 2 x + b 2. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (k 1 , - 1) და (k 2 , - 1) შესაბამისად და პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

ამრიგად, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე პარალელური ხაზები მოცემულია დახრილობის კოეფიციენტებით განტოლებით, მაშინ მოცემული წრფეების დახრილობის კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და საპირისპირო დებულება მართალია: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი ხაზები განისაზღვრება იმავე დახრილობის კოეფიციენტების მქონე წრფის განტოლებით, მაშინ ეს მოცემული ხაზები პარალელურია.

1. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a და b წრფეები მოცემულია სიბრტყეზე წრფის კანონიკური განტოლებებით: x - x 1 a x = y - y 1 a y და x - x 2 b x = y - y 2 b y ან პარამეტრული განტოლებები. სიბრტყეზე წრფის: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y და x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

მაშინ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იქნება: a x , a y და b x , b y შესაბამისად და პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:

a x = t b x a y = t b y

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1

მოცემულია ორი ხაზი: 2 x - 3 y + 1 = 0 და x 1 2 + y 5 = 1. თქვენ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა ისინი პარალელური.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას სეგმენტებში ზოგადი განტოლების სახით:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

ჩვენ ვხედავთ, რომ n a → = (2, - 3) არის წრფის ნორმალური ვექტორი 2 x - 3 y + 1 = 0 , და n b → = 2 , 1 5 არის x 1 2 + y 5 წრფის ნორმალური ვექტორი. = 1.

მიღებული ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს t-ის ისეთი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

ამრიგად, სიბრტყეზე ხაზების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.

პასუხი:მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი 2

მოცემული ხაზები y = 2 x + 1 და x 1 = y - 4 2 . ისინი პარალელურები არიან?

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიტანოთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება x 1 \u003d y - 4 2 სწორი ხაზის განტოლებაზე დახრილობით:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

ჩვენ ვხედავთ, რომ y = 2 x + 1 და y = 2 x + 4 წრფეების განტოლებები არ არის იგივე (სხვაგვარად რომ ყოფილიყო, წრფეები იგივე იქნებოდა) და ხაზების დახრილობა ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები პარალელურია.

შევეცადოთ პრობლემის გადაჭრა სხვაგვარად. პირველ რიგში ვამოწმებთ ემთხვევა თუ არა მოცემული ხაზები. ჩვენ ვიყენებთ y \u003d 2 x + 1 წრფის ნებისმიერ წერტილს, მაგალითად, (0, 1), ამ წერტილის კოორდინატები არ შეესაბამება x 1 \u003d y - 4 2 წრფის განტოლებას, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები არ ემთხვევა.

შემდეგი ნაბიჯი არის მოცემული წრფეებისთვის პარალელურობის პირობის შესრულების დადგენა.

y = 2 x + 1 წრფის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n a → = (2 , - 1) , ხოლო მეორე მოცემული წრფის მიმართულების ვექტორი არის b → = (1 , 2) . ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

ამრიგად, ვექტორები პერპენდიკულარულია: ეს გვიჩვენებს იმ აუცილებელი და საკმარისი პირობის შესრულებას, რომ ორიგინალური ხაზები იყოს პარალელური. იმათ. მოცემული ხაზები პარალელურია.

პასუხი:ეს ხაზები პარალელურია.

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გამოიყენება შემდეგი აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

თეორემა 8

იმისთვის, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი შეუსაბამო ხაზი იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ხაზების მიმართულების ვექტორები იყოს კოლინური.

იმათ. სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეთა მოცემული განტოლებისთვის პასუხი კითხვაზე: პარალელურები არიან თუ არა, გვხვდება მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატების დადგენით, აგრეთვე მათი კოლინარობის მდგომარეობის შემოწმებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a → = (a x, a y, a z) და b → = (b x, b y, b z) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები, მაშინ იმისათვის, რომ ისინი იყოს პარალელური, არსებობა ასეთი რეალური რიცხვი t აუცილებელია, რათა ტოლობა იყოს:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

მაგალითი 3

მოცემული ხაზები x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 და x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. აუცილებელია ამ წრფეების პარალელურობის დამტკიცება.

გადაწყვეტილება

ამოცანის პირობებია ერთი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები სივრცეში და მეორე სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები სივრცეში. მიმართულების ვექტორები a → და b → მოცემულ ხაზებს აქვთ კოორდინატები: (1 , 0 , - 3) და (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, შემდეგ a → = 1 2 b →.

ამიტომ, სივრცეში პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა დაკმაყოფილებულია.

პასუხი:დასტურდება მოცემული წრფეების პარალელურობა.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

Პარალელური ხაზები. პარალელური წრფეების თვისებები და ნიშნები

1. პარალელის აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, მაქსიმუმ ერთი სწორი ხაზის გაყვანა შესაძლებელია მოცემულის პარალელურად.

2. თუ ორი წრფე პარალელურია ერთი და იგივე წრფის, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.

3. ერთი და იგივე წრფის პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია.

4. თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამედზე, მაშინ ერთდროულად წარმოქმნილი შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია; შესაბამისი კუთხეები ტოლია; შიდა ცალმხრივი კუთხეები ემატება 180°-ს.

5. თუ ორი სწორი ხაზის გადაკვეთაზე მესამე ქმნის თანაბარ შიდა ჯვარედინი დაწოლილ კუთხეებს, მაშინ სწორი ხაზები პარალელურია.

6. თუ ორი წრფის გადაკვეთაზე მესამე ტოლი შესაბამის კუთხეებს ქმნის, მაშინ წრფეები პარალელურია.

7. თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამია 180 °, მაშინ წრფეები პარალელურია.

თალესის თეორემა. თუ თანაბარი სეგმენტები განლაგებულია კუთხის ერთ მხარეს და პარალელური სწორი ხაზები გავლებულია მათ ბოლოებში, რომლებიც კვეთენ კუთხის მეორე მხარეს, მაშინ თანაბარი სეგმენტები ასევე დაიდება კუთხის მეორე მხარეს.

თეორემა პროპორციულ სეგმენტებზე. პარალელური სწორი ხაზები, რომლებიც კვეთენ კუთხის გვერდებს, ჭრიან მათზე პროპორციულ სეგმენტებს.

სამკუთხედი. სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

1. თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, შესაბამისად, უდრის ორ გვერდს და კუთხე მათ შორის მეორე სამკუთხედს, მაშინ სამკუთხედები კონგრუენტულია.

2. თუ ერთი სამკუთხედის მის მიმდებარე გვერდი და ორი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და მის მიმდებარე ორი კუთხე, მაშინ სამკუთხედები კონგრუენტულია.

3. თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი შესაბამისად უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ სამკუთხედები კონგრუენტულია.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

1. ორ ფეხზე.

2. ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ.

3. ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით.

4. ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხე.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის და მისი შედეგების შესახებ

1. სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამია 180°.

2. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის მის მიმდებარე ორი შიდა კუთხის ჯამს.

3. ამოზნექილი n-გონების შიდა კუთხეების ჯამი არის

4. გა-გონის გარე კუთხეების ჯამია 360°.

5. ორმხრივი პერპენდიკულარული გვერდების მქონე კუთხეები ტოლია, თუ ორივე მახვილია ან ორივე ბლაგვია.

6. მიმდებარე კუთხეების ბისექტორებს შორის კუთხე არის 90°.

7. პარალელური წრფეებითა და სეკანტის მქონე შიდა ცალმხრივი კუთხეების ბისექტრები პერპენდიკულურია.

ტოლფერდა სამკუთხედის ძირითადი თვისებები და ნიშნები

1. ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეზე კუთხეები ტოლია.

2. თუ სამკუთხედის ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ის ტოლია.

3. ტოლკუთხედის სამკუთხედში შუამავალი, ბისექტორი და ფუძესთან დახატული სიმაღლე ერთნაირია.

4. თუ სამკუთხედში რომელიმე წყვილი სეგმენტი - მედიანა, ბისექტორი, სიმაღლე - ემთხვევა სამკუთხედს, მაშინ ის ტოლფერდაა.

სამკუთხედის უტოლობა და მისი შედეგები

1. სამკუთხედის ორი გვერდის ჯამი მეტია მის მესამე გვერდზე.

2. გაწყვეტილი ხაზის რგოლების ჯამი მეტია დასაწყისის დამაკავშირებელ სეგმენტზე

პირველი ბმული უკანასკნელის დასასრულით.

3. სამკუთხედის უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროდ დევს დიდი გვერდი.

4. სამკუთხედის უფრო დიდი მხარის წინააღმდეგ უფრო დიდი კუთხეა.

5. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.

6. თუ პერპენდიკულური და დახრილი დახატულია ერთი წერტილიდან სწორ ხაზზე, მაშინ

1) პერპენდიკულარი უფრო მოკლეა, ვიდრე დახრილი;

2) უფრო დიდი დახრილობა შეესაბამება უფრო დიდ პროექციას და პირიქით.

სამკუთხედის შუა ხაზი.

სამკუთხედის ორი გვერდის შუა წერტილების დამაკავშირებელ ხაზს სამკუთხედის შუა ხაზი ეწოდება.

სამკუთხედის შუა ხაზის თეორემა.

სამკუთხედის შუა ხაზი არის სამკუთხედის გვერდის პარალელურად და მისი ნახევრის ტოლია.

სამკუთხედის მედიანური თეორემები

1. სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში და გაყავით იგი 2:1 თანაფარდობით, დათვალეთ ზემოდან.

2. თუ სამკუთხედის მედიანა უდრის იმ გვერდის ნახევარს, რომლისკენაც ის არის დახატული, მაშინ სამკუთხედი მართკუთხაა.

3. მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედის მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტორების თვისება. სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტრები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი.

სამკუთხედის სიმაღლის თეორემა. სამკუთხედის სიმაღლეების შემცველი ხაზები იკვეთება ერთ წერტილში.

სამკუთხედის ბისექტრის თეორემა. სამკუთხედის ბისექტრები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც არის სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

სამკუთხედის ბისექტრის თვისება. სამკუთხედის ბისექტრი მის გვერდს ყოფს დანარჩენ ორი გვერდის პროპორციულ მონაკვეთებად.

სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

1. თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე შესაბამისად მეორის ორი კუთხის ტოლია, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

2. თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი შესაბამისად მეორის ორი გვერდის პროპორციულია და ამ გვერდებს შორის ჩასმული კუთხეები ტოლია, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

3. თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი მეორის სამი გვერდის შესაბამისად პროპორციულია, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

მსგავსი სამკუთხედების არეები

1. მსგავსი სამკუთხედების ფართობების შეფარდება ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.

2. თუ ორ სამკუთხედს აქვს თანაბარი კუთხე, მაშინ მათი ფართობები დაკავშირებულია იმ გვერდების ნამრავლებად, რომლებიც აკრავს ამ კუთხეებს.

მართკუთხა სამკუთხედში

1. მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და მოპირდაპირე კუთხის სინუსის ნამრავლის ან ამ ფეხის მიმდებარე მწვავე კუთხის კოსინუსის.

2. მართკუთხა სამკუთხედის წვერი ტოლია მეორე ფეხის გამრავლებული საპირისპირო ტანგენსზე ან ამ ფეხის მიმდებარე მწვავე კუთხის კოტანგენსზე.

3. 30 ° კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

4. თუ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს, მაშინ ამ ფეხის მოპირდაპირე კუთხე არის 30°.

5. R = ; g \u003d, სადაც a, b არის ფეხები და c არის მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა; r და R არის შემოხაზული და შემოხაზული წრეების რადიუსი, შესაბამისად.

პითაგორას თეორემა და პითაგორას თეორემის საპირისპირო

1. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის კუთხის კვადრატების ჯამს.

2. თუ სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის მისი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს, მაშინ სამკუთხედი მართკუთხაა.

საშუალო პროპორციები მართკუთხა სამკუთხედში.

მართკუთხა კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე არის საშუალო პროპორციული ფეხების პროექციისა ჰიპოტენუზაზე და თითოეული ფეხი არის საშუალო პროპორციული ჰიპოტენუზასა და მისი პროექცია ჰიპოტენუზაზე.

მეტრიკული თანაფარდობები სამკუთხედში

1. კოსინუსების თეორემა. სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდების ნამრავლის გაორმაგების გარეშე მათ შორის კუთხის კოსინუსზე.

2. დასკვნა კოსინუსების თეორემიდან. პარალელოგრამის დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის მისი ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს.

3. ფორმულა სამკუთხედის მედიანასთვის. თუ m არის c გვერდისკენ დახატული სამკუთხედის მედიანა, მაშინ m = სადაც a და b არის სამკუთხედის დარჩენილი გვერდები.

4. სინუსების თეორემა. სამკუთხედის გვერდები საპირისპირო კუთხის სინუსების პროპორციულია.

5. განზოგადებული სინუსების თეორემა. სამკუთხედის გვერდის თანაფარდობა მოპირდაპირე კუთხის სინუსთან ტოლია სამკუთხედის გარშემო მყოფი წრის დიამეტრის.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

1. სამკუთხედის ფართობი არის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის ნახევარი.

2. სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

3. სამკუთხედის ფართობი ტოლია მისი ნახევრადპერიმეტრისა და ჩაწერილი წრის რადიუსის ნამრავლისა.

4. სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი სამი გვერდის ნამრავლს გაყოფილი შემოხაზული წრის რადიუსზე ოთხჯერ.

5. ჰერონის ფორმულა: S=, სადაც p არის ნახევარპერიმეტრი; a, b, c - სამკუთხედის გვერდები.

ტოლგვერდა სამკუთხედის ელემენტები. h, S, r, R იყოს a გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედის შემოხაზული და შემოხაზული წრეების სიმაღლე, ფართობი, რადიუსი. მერე
ოთხკუთხედები

პარალელოგრამი. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია.

პარალელოგრამის თვისებები და მახასიათებლები.

1. დიაგონალი პარალელოგრამს ყოფს ორ ტოლ სამკუთხედად.

2. პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში ტოლია.

3. პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები წყვილებში ტოლია.

4. პარალელოგრამის დიაგონალები კვეთენ და კვეთენ გადაკვეთის წერტილს.

5. თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად ტოლია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

6. თუ ოთხკუთხედის ორი მოპირდაპირე გვერდი ტოლია და პარალელურია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

7. თუ ოთხკუთხედის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

ოთხკუთხედის გვერდების შუა წერტილების თვისება. ნებისმიერი ოთხკუთხედის გვერდების შუა წერტილები არის პარალელოგრამის წვეროები, რომლის ფართობი არის ოთხკუთხედის ფართობის ნახევარი.

მართკუთხედი.მართკუთხედი არის პარალელოგრამი მართი კუთხით.

მართკუთხედის თვისებები და ნიშნები.

1. მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია.

2. თუ პარალელოგრამის დიაგონალები ტოლია, მაშინ ეს პარალელოგრამი მართკუთხედია.

მოედანი.კვადრატი არის მართკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია.

რომბი.რომბი არის ოთხკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია.

რომბის თვისებები და ნიშნები.

1. რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია.

2. რომბის დიაგონალები ყოფენ მის კუთხეებს.

3. თუ პარალელოგრამის დიაგონალები პერპენდიკულარულია, მაშინ ეს პარალელოგრამი არის რომბი.

4. თუ პარალელოგრამის დიაგონალები მის კუთხეებს შუაზე ყოფს, მაშინ ეს პარალელოგრამი არის რომბი.

ტრაპეცია.ტრაპეცია არის ოთხკუთხედი, რომელშიც მხოლოდ ორი მოპირდაპირე მხარე (ფუძე) არის პარალელური. ტრაპეციის მედიანური ხაზი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს არაპარალელური გვერდების შუა წერტილებს (გვერდითი მხარეები).

1. ტრაპეციის შუა ხაზი ფუძეების პარალელურია და მათი ნახევარჯმის ტოლია.

2. ტრაპეციის დიაგონალების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი უდრის ფუძეთა ნახევარგანსხვავებას.

ტრაპეციის შესანიშნავი თვისება. ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, გვერდების გაფართოების და ფუძეების შუა წერტილების გადაკვეთის წერტილი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს.

ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციას უწოდებენ ტოლფერს, თუ მისი გვერდები ტოლია.

ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებები და ნიშნები.

1. ტოლფერდა ტრაპეციის ძირში კუთხეები ტოლია.

2. ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები ტოლია.

3. თუ ტრაპეციის ფუძის კუთხეები ტოლია, მაშინ ის ტოლფერდაა.

4. თუ ტრაპეციის დიაგონალები ტოლია, მაშინ ის ტოლფერდაა.

5. ტოლფერდა ტრაპეციის გვერდითი პროექცია ფუძეზე უდრის ფუძეთა ნახევარგანსხვავებას, ხოლო დიაგონალის პროექცია ფუძეების ჯამის ნახევარია.

ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულები

1. პარალელოგრამის ფართობი უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს.

2. პარალელოგრამის ფართობი უდრის მისი მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

3. მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი მიმდებარე გვერდის ნამრავლს.

4. რომბის ფართობი მისი დიაგონალების ნამრავლის ნახევარია.

5. ტრაპეციის ფართობი უდრის ფუძეებისა და სიმაღლის ჯამის ნახევრის ნამრავლს.

6. ოთხკუთხედის ფართობი უდრის მისი დიაგონალების ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

7. ჰერონის ფორმულა ოთხკუთხედისთვის, რომლის ირგვლივ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი:

S \u003d, სადაც a, b, c, d არის ამ ოთხკუთხედის გვერდები, p არის ნახევარპერიმეტრი და S არის ფართობი.

მსგავსი ფიგურები

1. მსგავსი ფიგურების შესაბამისი წრფივი ელემენტების შეფარდება ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის.

2. მსგავსი ფიგურების ფართობების შეფარდება ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.

რეგულარული მრავალკუთხედი.

მოდით a n იყოს რეგულარული n-გონის გვერდი, ხოლო r n და R n იყოს შემოხაზული და შემოხაზული წრეების რადიუსი. მერე

წრე.

წრე არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლებიც იმავე დადებით მანძილზე არიან მოცემული წერტილიდან, რომელსაც წრის ცენტრი ეწოდება.

წრის ძირითადი თვისებები

1. აკორდის პერპენდიკულარული დიამეტრი ყოფს აკორდს და მის მიერ გამოკლებულ რკალებს შუაზე.

2. დიამეტრი, რომელიც გადის აკორდის შუაში, რომელიც არ არის დიამეტრი, ამ აკორდის პერპენდიკულარულია.

3. აკორდის პერპენდიკულარული მედიანა გადის წრის ცენტრში.

4. წრის ცენტრიდან თანაბარი მანძილით ამოღებულია თანაბარი აკორდები.

5. ცენტრიდან თანაბარი დაშორებული წრის აკორდები ტოლია.

6. წრე სიმეტრიულია მისი რომელიმე დიამეტრის მიმართ.

7. პარალელურ აკორდებს შორის ჩასმული წრის რკალი ტოლია.

8. ორი აკორდიდან უფრო დიდია ის, რომელიც ცენტრიდან ნაკლებად არის დაშორებული.

9. დიამეტრი წრის ყველაზე დიდი აკორდია.

წრის ტანგენტი. წრფეს, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი წრესთან, წრეზე ტანგენსი ეწოდება.

1. ტანგენსი პერპენდიკულარულია შეხების წერტილამდე გამოყვანილ რადიუსზე.

2. თუ წრფე a, რომელიც გადის წრის წერტილზე, პერპენდიკულარულია ამ წერტილამდე მიყვანილ რადიუსზე, მაშინ წრფე a არის წრეზე ტანგენსი.

3. თუ M წერტილში გამავალი წრფეები A და B წერტილებში წრეს ეხება, მაშინ MA = MB და ﮮAMO = ﮮBMO, სადაც O წერტილი არის წრის ცენტრი.

4. კუთხეში ჩაწერილი წრის ცენტრი დევს ამ კუთხის ბისექტორზე.

ტანგენტი წრე. ამბობენ, რომ ორ წრეს ეხება, თუ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი (ტანგენტური წერტილი).

1. ორი წრის შეხების წერტილი დევს მათ ცენტრების ხაზზე.

2. R და R რადიუსების წრეები O 1 და O 2 ცენტრებით ეხებიან გარედან, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ R + r \u003d O 1 O 2.

3. r და R რადიუსების წრეები (r

4. წრეები O 1 და O 2 ცენტრებით გარედან ეხებიან K წერტილს. ზოგიერთი სწორი ხაზი ეხება ამ წრეებს სხვადასხვა A და B წერტილებში და კვეთს საერთო ტანგენტს, რომელიც გადის K წერტილზე C წერტილში. შემდეგ ﮮAK B \u003d 90 ° და ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. საერთო გარე ტანგენტის მონაკვეთი r და R რადიუსების ორ ტანგენტს წრეზე უდრის საერთო გარე ტანგენტის სეგმენტს, რომელიც ჩასმულია საერთო გარედან. ორივე ეს სეგმენტი თანაბარია.

წრესთან დაკავშირებული კუთხეები

1. წრის რკალის მნიშვნელობა უდრის მასზე დაფუძნებული ცენტრალური კუთხის მნიშვნელობას.

2. ჩაწერილი კუთხე უდრის რკალის კუთხის სიდიდის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა.

3. იმავე რკალზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხეები ტოლია.

4. გადამკვეთ აკორდებს შორის კუთხე უდრის აკორდების მიერ მოჭრილი მოპირდაპირე რკალების ჯამის ნახევარს.

5. წრეწირის გარეთ გადამკვეთ ორ სეკანტს შორის კუთხე უდრის წრეზე სკანტების მიერ ამოჭრილი რკალების ნახევრად სხვაობას.

6. შეხების წერტილიდან გამოყვანილ ტანგენტსა და აკორდს შორის კუთხე უდრის ამ აკორდით წრეზე ამოჭრილი რკალის კუთხური მნიშვნელობის ნახევარს.

წრის აკორდების თვისებები

1. ორი გადამკვეთი წრის ცენტრების ხაზი მათი საერთო აკორდის პერპენდიკულარულია.

2. E წერტილში გადამკვეთი წრის AB და CD აკორდების სეგმენტების სიგრძის პროდუქტები ტოლია, ანუ AE EB \u003d CE ED.

ჩაწერილი და შემოხაზული წრეები

1. წესიერი სამკუთხედის შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ემთხვევა ერთმანეთს.

2. მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი არის ჰიპოტენუზის შუა წერტილი.

3. თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ოთხკუთხედში, მაშინ მისი მოპირდაპირე გვერდების ჯამები ტოლია.

4. თუ ოთხკუთხედი შეიძლება ჩაიწეროს წრეში, მაშინ მისი მოპირდაპირე კუთხეების ჯამი არის 180°.

5. თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე კუთხეების ჯამი 180°-ია, მაშინ მის ირგვლივ წრე შეიძლება შემოიხაზოს.

6. თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ ტრაპეციის გვერდითი მხარე ჩანს წრის ცენტრიდან მარჯვენა კუთხით.

7. თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ წრის რადიუსი არის საშუალო პროპორციული იმ სეგმენტებისა, რომლებშიც ტანგენტის წერტილი ყოფს გვერდით მხარეს.

8. თუ მრავალკუთხედში წრე შეიძლება ჩაიწეროს, მაშინ მისი ფართობი მრავალკუთხედის ნახევარპერიმეტრისა და ამ წრის რადიუსის ნამრავლის ტოლია.

ტანგენსი და სეკანტური თეორემა და მისი დასკვნა

1. თუ ტანგენსი და სეკანტი დახაზულია ერთი წერტილიდან წრეზე, მაშინ მთელი სეკანტის ნამრავლი მის გარე ნაწილზე უდრის ტანგენსის კვადრატს.

2. მთელი სეკანტის ნამრავლი მის გარე ნაწილზე მოცემულ წერტილსა და მოცემულ წრეზე მუდმივია.

R რადიუსის წრის გარშემოწერილობა არის C= 2πR

თავი III.
ᲞᲐᲠᲐᲚᲔᲚᲣᲠᲘ ᲮᲐᲖᲔᲑᲘ

§ 35. ორი პირდაპირი ხაზის პარალელურობის ნიშნები.

თეორემა იმის შესახებ, რომ ერთი წრფის ორი პერპენდიკულარი პარალელურია (§ 33) იძლევა ნიშანს, რომ ორი წრფე პარალელურია. შესაძლებელია ორი წრფის პარალელურობის უფრო ზოგადი ნიშნების გამოყვანა.

1. პარალელიზმის პირველი ნიშანი.

თუ ორი წრფის მესამესთან გადაკვეთისას შიდა კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია.

მოდით AB და CD ხაზები გადაკვეთონ EF და / 1 = / 2. აიღეთ წერტილი O - სეგმენტის KL სეგმენტის შუა EF ​​(სურ. 189).

პერპენდიკულარული OM ჩამოვუშვათ O წერტილიდან AB წრფემდე და გავაგრძელოთ სანამ არ გადაიკვეთება CD წრფესთან, AB_|_MN. დავამტკიცოთ, რომ CD_|_MN.
ამისათვის განიხილეთ ორი სამკუთხედი: MOE და NOK. ეს სამკუთხედები ერთმანეთის ტოლია. Ნამდვილად: / 1 = / 2 თეორემის პირობით; OK = OL - კონსტრუქციით;
/ MOL = / NOK, როგორც ვერტიკალური კუთხეები. ამრიგად, ერთი სამკუთხედის მიმდებარე გვერდი და ორი კუთხე, შესაბამისად, უდრის მეორე სამკუთხედის გვერდს და მის მიმდებარე ორ კუთხეს; აქედან გამომდინარე, /\ MOL = /\ NOK და აქედან გამომდინარე
/ LMO = / ვიცი მაგრამ / LMO არის პირდაპირი, შესაბამისად, და / KNO ასევე პირდაპირია. ამრიგად, AB და CD წრფეები პერპენდიკულარულია ერთი და იგივე წრფის MN-ზე, ამიტომ ისინი პარალელურები არიან (§ 33), რაც დასამტკიცებელი იყო.

Შენიშვნა. MO და CD ხაზების გადაკვეთა შეიძლება დადგინდეს MOL სამკუთხედის O წერტილის გარშემო 180°-ით შემობრუნებით.

2. პარალელიზმის მეორე ნიშანი.

ვნახოთ არის თუ არა AB და CD წრფეები პარალელური, თუ მათი მესამე ხაზის EF გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

მოდით, ზოგიერთი შესაბამისი კუთხე ტოლი იყოს, მაგალითად / 3 = / 2 (დევ. 190);
/ 3 = / 1, რადგან კუთხეები ვერტიკალურია; ნიშნავს, / 2 ტოლი იქნება / 1. მაგრამ კუთხეები 2 და 1 არის შიდა ჯვარედინი დაწოლილი კუთხეები და ჩვენ უკვე ვიცით, რომ თუ ორი წრფის მესამედზე გადაკვეთისას შიდა ჯვარედინი დაწოლილი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია. ამიტომ, AB || CD.

თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს ორი წრფე პარალელურია.

ამ თვისებას ეფუძნება პარალელური ხაზების აგება სახაზავისა და სახატავი სამკუთხედის დახმარებით. ეს კეთდება შემდეგნაირად.

მოდით მივამაგროთ სამკუთხედი სახაზავზე, როგორც ნაჩვენებია 191-ე ნახატზე. ჩვენ გადავაადგილებთ სამკუთხედს ისე, რომ მისი ერთ-ერთი მხარე სრიალდეს სახაზავთან და დავხატოთ რამდენიმე სწორი ხაზი სამკუთხედის ნებისმიერი სხვა მხარის გასწვრივ. ეს ხაზები იქნება პარალელური.

3. პარალელიზმის მესამე ნიშანი.

გავიგოთ, რომ ორი AB და CD წრფის მესამე წრფესთან გადაკვეთისას ნებისმიერი შიდა ცალმხრივი კუთხის ჯამი უდრის 2-ს. დ(ან 180°). იქნება თუ არა AB და CD წრფეები ამ შემთხვევაში პარალელური (სურ. 192).

დაე იყოს / 1 და / 2 შიდა ცალმხრივი კუთხე და დაამატეთ 2-მდე დ.
მაგრამ / 3 + / 2 = 2დროგორც მიმდებარე კუთხეები. აქედან გამომდინარე, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

აქედან / 1 = / 3, და ეს კუთხეები შიგნიდან ჯვარედინად დევს. ამიტომ, AB || CD.

თუ ორი წრფის მესამედზე გადაკვეთისას შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 2 d, მაშინ ორი წრფე პარალელურია.

Ვარჯიში.

დაამტკიცეთ, რომ წრფეები პარალელურია:
ა) თუ გარე ჯვარედინ დაწოლის კუთხეები ტოლია (სურ. 193);
ბ) თუ გარე ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 2 დ(ეშმაკი 194).