განვიხილოთ ნატურალური რიცხვების სერია: 1, 2, 3, , ნ – 1, ნ,  .

თუ ყველა ნატურალურ რიცხვს შევცვლით ნამ სერიაში რაღაც ნომერი ა ნზოგიერთი კანონის დაცვით, მივიღებთ რიცხვების ახალ სერიას:

ა 1 , ა 2 , ა 3, , ა ნ –1 , ა ნ , ,

შემოკლება და დაუძახა რიცხვითი თანმიმდევრობა. ღირებულება ა ნეწოდება რიცხვითი მიმდევრობის საერთო წევრი. ჩვეულებრივ, რიცხვითი თანმიმდევრობა მოცემულია რაიმე ფორმულით ა ნ = ვ(ნ) რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი მისი ნომრის მიხედვით ნ; ამ ფორმულას ეწოდება ზოგადი ტერმინი ფორმულა. გაითვალისწინეთ, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი რიცხვითი მიმდევრობის მითითება ზოგადი ტერმინის ფორმულით; ზოგჯერ თანმიმდევრობა მითითებულია მისი წევრების აღწერით.

განმარტებით, მიმდევრობა ყოველთვის შეიცავს ელემენტთა უსასრულო რაოდენობას: მისი ნებისმიერი ორი განსხვავებული ელემენტი მაინც განსხვავდება მათი რიცხვით, რომელთაგანაც უსასრულოდ ბევრია.

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა. თანმიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე და იღებს მნიშვნელობებს რეალური რიცხვების სიმრავლეში, ანუ ფორმის ფუნქცია. ვ : ნ  რ.

ქვემიმდევრობა
დაურეკა იზრდება(მცირდება), თუ რომელიმე ნ  ნ
ასეთ თანმიმდევრობას ე.წ მკაცრად ერთფეროვანი.

ზოგჯერ მოსახერხებელია არა ყველა ნატურალური რიცხვის რიცხვად გამოყენება, არამედ მხოლოდ ზოგიერთი მათგანი (მაგალითად, ნატურალური რიცხვები, რომლებიც იწყება ნატურალური რიცხვიდან. ნ 0). ნუმერაციისთვის ასევე შესაძლებელია გამოვიყენოთ არა მხოლოდ ნატურალური რიცხვები, არამედ სხვა რიცხვებიც, მაგ. ნ= 0, 1, 2,  (აქ, ნული ემატება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს, როგორც სხვა რიცხვს). ასეთ შემთხვევებში, თანმიმდევრობის მითითებით, მიუთითეთ რა მნიშვნელობებს იღებს რიცხვები. ნ.

თუ რომელიმე თანმიმდევრობით ნ  ნ
მაშინ თანმიმდევრობა ეწოდება არ კლებულობს(არ მზარდი). ასეთ თანმიმდევრობას ე.წ ერთფეროვანი.

მაგალითი 1 . რიცხვითი მიმდევრობა 1, 2, 3, 4, 5, ... არის ნატურალური რიცხვების სერია და აქვს საერთო ტერმინი. ა ნ = ნ.

მაგალითი 2 . რიცხვების მიმდევრობა 2, 4, 6, 8, 10, ... არის ლუწი რიცხვების სერია და აქვს საერთო ტერმინი. ა ნ = 2ნ.

მაგალითი 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... არის სავარაუდო მნიშვნელობების რიცხვითი თანმიმდევრობა მზარდი სიზუსტით.

ბოლო მაგალითში შეუძლებელია მიმდევრობის საერთო ტერმინის ფორმულის მიცემა.

მაგალითი 4 . დაწერეთ რიცხვითი მიმდევრობის პირველი 5 წევრი მისი საერთო წევრით
. Გამოთვლა ა 1 საჭიროა საერთო ტერმინის ფორმულაში ა ნიმის მაგივრად ნჩაანაცვლე 1 გამოთვლა ა 2 − 2 და ა.შ. მაშინ გვაქვს:

ტესტი 6 . 1, 2, 6, 24, 120,  მიმდევრობის საერთო წევრია:

1)

2)

3)

4)

ტესტი 7 .
არის:

1)

2)

3)

4)

ტესტი 8 . რიგის საერთო წევრი
არის:

1)

2)

3)

4)

რიცხვების მიმდევრობის ლიმიტი

განვიხილოთ რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის საერთო ტერმინი უახლოვდება გარკვეულ რიცხვს მაგრამსერიული ნომრის გაზრდით ნ. ამ შემთხვევაში რიცხვთა თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი. ამ კონცეფციას უფრო მკაცრი განმარტება აქვს.

ნომერი მაგრამეწოდება რიცხვთა მიმდევრობის ზღვარი
:

(1)

თუ რომელიმე  > 0-ისთვის არის ასეთი რიცხვი ნ 0 = ნ 0 (), დამოკიდებულია -ზე, რომელიც
ზე ნ > ნ 0 .

ეს განმარტება იმას ნიშნავს მაგრამარსებობს რიცხვთა მიმდევრობის ზღვარი, თუ მისი საერთო ტერმინი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება მაგრამმატებასთან ერთად ნ. გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი  > 0-ისთვის შეიძლება ასეთი რიცხვის პოვნა ნ 0, რომელიც, დაწყებული ნ > ნ 0, მიმდევრობის ყველა წევრი განლაგებულია ინტერვალის შიგნით ( მაგრამ – , მაგრამ+ ). თანმიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება თანხვედრა; წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული.

რიცხვთა თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს გარკვეული ნიშნის მხოლოდ ერთი ზღვარი (სასრული ან უსასრულო).

მაგალითი 5 . ჰარმონიული თანმიმდევრობა აქვს რიცხვი 0, როგორც ზღვარი. მართლაც, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (–; +) როგორც რიცხვი ნ 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი მეტი. მაშინ ყველასთვის ნ > ნ 0 > გვაქვს

მაგალითი 6 . თანმიმდევრობა 2, 5, 2, 5,  განსხვავებულია. მართლაც, არც ერთი სიგრძის ინტერვალი, მაგალითად, ერთზე ნაკლები, არ შეიძლება შეიცავდეს მიმდევრობის ყველა წევრს, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან.

თანმიმდევრობა ე.წ შეზღუდულითუ არის ასეთი რიცხვი მ, რა
ყველასთვის ნ. ყველა კონვერგენტული მიმდევრობა შემოსაზღვრულია. ყველა მონოტონურ და შემოსაზღვრულ მიმდევრობას აქვს საზღვარი. ყველა კონვერგენტულ მიმდევრობას აქვს უნიკალური ზღვარი.

მაგალითი 7 . ქვემიმდევრობა
იზრდება და შეზღუდულია. მას აქვს საზღვარი
=ე.

ნომერი ედაურეკა ეილერის ნომერიდა დაახლოებით უდრის 2.718 28-ს.

ტესტი 9 . თანმიმდევრობა 1, 4, 9, 16,  არის:

1) თანხვედრა;

2) განსხვავებული;

3) შეზღუდული;

ტესტი 10 . ქვემიმდევრობა
არის:

1) თანხვედრა;

2) განსხვავებული;

3) შეზღუდული;

4) არითმეტიკული პროგრესია;

5) გეომეტრიული პროგრესია.

ტესტი 11 . ქვემიმდევრობა არ არის:

1) თანხვედრა;

2) განსხვავებული;

3) შეზღუდული;

4) ჰარმონიული.

ტესტი 12 . საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ლიმიტი
თანაბარი.

რიცხვითი მიმდევრობა და მისი ზღვარი მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი პრობლემაა ამ მეცნიერების არსებობის ისტორიის მანძილზე. მუდმივად განახლებული ცოდნა, ფორმულირებული ახალი თეორემები და მტკიცებულებები - ეს ყველაფერი საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ ეს კონცეფცია ახალი პოზიციებიდან და სხვადასხვა პირობებში.

რიცხვითი მიმდევრობა, ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული განმარტების შესაბამისად, არის მათემატიკური ფუნქცია, რომლის საფუძველს წარმოადგენს ამა თუ იმ ნიმუშის მიხედვით მოწყობილი ნატურალური რიცხვების სიმრავლე.

რიცხვების თანმიმდევრობის შესაქმნელად რამდენიმე ვარიანტი არსებობს.

პირველ რიგში, ეს ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ეგრეთ წოდებული "გამოკვეთილი" გზით, როდესაც არსებობს გარკვეული ფორმულა, რომლითაც მისი თითოეული წევრი შეიძლება განისაზღვროს რიგობითი რიცხვის მოცემულ მიმდევრობაში უბრალოდ ჩანაცვლებით.

მეორე მეთოდს ეწოდება "რეკურსიული". მისი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია რიცხვითი მიმდევრობის პირველი რამდენიმე წევრი, ასევე სპეციალური რეკურსიული ფორმულა, რომლის დახმარებითაც, წინა წევრის შეცნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგი.

დაბოლოს, მიმდევრობების დაზუსტების ყველაზე ზოგადი გზაა ეგრეთ წოდებული, როდესაც, დიდი სირთულის გარეშე, შეიძლება არა მხოლოდ ამა თუ იმ ტერმინის იდენტიფიცირება გარკვეული სერიული ნომრის ქვეშ, არამედ, რამდენიმე თანმიმდევრული ტერმინის ცოდნით, მიხვიდეთ ამის ზოგად ფორმულამდე. ფუნქცია.

რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს კლებადი ან გაზრდილი. პირველ შემთხვევაში ყოველი მომდევნო ტერმინი წინაზე ნაკლებია, მეორეში კი პირიქით უფრო დიდია.

ამ თემის გათვალისწინებით, შეუძლებელია არ შევეხოთ მიმდევრობის საზღვრების საკითხს. მიმდევრობის ზღვარი არის ისეთი რიცხვი, როდესაც რომელიმესთვის, მათ შორის უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობისთვის, არის რიგითი რიცხვი, რის შემდეგაც მიმდევრობის თანმიმდევრული წევრების გადახრა მოცემული წერტილიდან რიცხვითი ფორმით ხდება მითითებულ მნიშვნელობაზე ნაკლები. ამ ფუნქციის ფორმირება.

რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება გარკვეული ინტეგრალური და დიფერენციალური გამოთვლების ჩატარებისას.

მათემატიკურ მიმდევრობებს საკმაოდ საინტერესო თვისებების მთელი ნაკრები აქვთ.

პირველ რიგში, ნებისმიერი რიცხვითი თანმიმდევრობა არის მათემატიკური ფუნქციის მაგალითი, შესაბამისად, ის თვისებები, რომლებიც დამახასიათებელია ფუნქციებისთვის, შეიძლება უსაფრთხოდ იქნას გამოყენებული მიმდევრობებზე. ასეთი თვისებების ყველაზე ნათელი მაგალითია დებულება არითმეტიკული სერიების გაზრდისა და კლების შესახებ, რომლებიც გაერთიანებულია ერთი საერთო კონცეფციით - მონოტონური მიმდევრობით.

მეორეც, არის მიმდევრობების საკმაოდ დიდი ჯგუფი, რომლებიც არ შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც მზარდი ან კლებადი - ეს არის პერიოდული თანმიმდევრობა. მათემატიკაში ისინი განიხილება იმ ფუნქციებად, რომლებშიც არის ეგრეთ წოდებული პერიოდის სიგრძე, ანუ გარკვეული მომენტიდან (n), შემდეგი თანასწორობა იწყებს მოქმედებას y n \u003d y n + T, სადაც T იქნება პერიოდის ძალიან ხანგრძლივობა.

აკვანი. საფენები. Ტირილი.
სიტყვა. ნაბიჯი. Ცივი. ექიმი.
გარშემო სირბილი. სათამაშოები. ძმაო.
ეზო. საქანელა. საბავშვო ბაღი.
სკოლა. დეუსი. ტროიკა. ხუთი.
ბურთი. ნაბიჯი. თაბაშირი. Საწოლი.
ბრძოლა. სისხლი. გატეხილი ცხვირი.
ეზო. Მეგობრები. წვეულება. ძალის.
ინსტიტუტი. გაზაფხული. ბუჩქები.
ზაფხული. სესია. კუდები.
ლუდი. არაყი. ცივი ჯინი.
ყავა. სესია. Დიპლომი.
რომანტიზმი. სიყვარული. ვარსკვლავი.
იარაღი. ტუჩები. ღამე ძილის გარეშე.
ქორწილი. Სიდედრი. მამამთილი. ხაფანგი.
არგუმენტი. Კლუბი. Მეგობრები. თასი.
სახლი. Სამუშაო. სახლი. ოჯახი.
Მზე. ზაფხული. თოვლი. ზამთარი.
შვილო. საფენები. აკვანი.
Სტრესი. ბედია. Საწოლი.
ბიზნესი. ფული. Გეგმა. ავრალი.
Ტელევიზორი. სერიალი.
Აგარაკი. ალუბალი. ყაბაყი.
Ნაცრისფერი თმა. შაკიკი. Სათვალე.
შვილიშვილი. საფენები. აკვანი.
Სტრესი. წნევა. Საწოლი.
Გული. თირკმლები. ძვლები. ექიმი.
გამოსვლები. კუბო. დამშვიდობება. Ტირილი.

ცხოვრების თანმიმდევრობა

SEQUENCE - (მიმდევრობა), ორგანიზებულად დალაგებული რიცხვები ან ელემენტები. მიმდევრობები შეიძლება იყოს სასრული (შეზღუდული რაოდენობის ელემენტებით) ან უსასრულო, როგორც 1, 2, 3, 4 ნატურალური რიცხვების სრული მიმდევრობა………

სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

განმარტება:რიცხვითი თანმიმდევრობაეწოდება რიცხვითი, რომელიც მოცემულია ნატურალური რიცხვების N სიმრავლეზე. რიცხვითი მიმდევრებისთვის, როგორც წესი, ნაცვლად f(n)დაწერე a n და აღნიშნეთ თანმიმდევრობა ასე: a n ). ნომრები ა 1 , ა 2 , …, ნ,… დაურეკა თანმიმდევრობის ელემენტები.

ჩვეულებრივ, რიცხვითი თანმიმდევრობა განისაზღვრება პარამეტრით ნ-ე ელემენტი ან რეკურსიული ფორმულა, რომლის მიხედვითაც ყოველი შემდეგი ელემენტი განისაზღვრება წინას მეშვეობით. ასევე შესაძლებელია რიცხვითი მიმდევრობის დაზუსტების აღწერითი გზა. Მაგალითად:

• მიმდევრობის ყველა წევრი არის "1". ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სტაციონარულ მიმდევრობაზე 1, 1, 1, ..., 1, ....

• თანმიმდევრობა შედგება ყველა მარტივი რიცხვისაგან ზრდადი მიმდევრობით.ამრიგად, მოცემულია თანმიმდევრობა 2, 3, 5, 7, 11, .... ამ მაგალითში მიმდევრობის დაზუსტების ამ გზით, ძნელია პასუხის გაცემა, ვთქვათ, რის ტოლია მიმდევრობის მე-1000 ელემენტი.

განმეორებითი მეთოდით, მითითებულია ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ნმიმდევრობის მე-1 წევრი წინაზე და მიუთითეთ მიმდევრობის 1-2 საწყისი წევრი.

• წ 1 = 3; y n =წ n-1 + 4 , თუ ნ = 2, 3, 4,…

Აქ წ 1 = 3; წ 2 = 3 + 4 = 7;წ 3 = 7 + 4 = 11; ….

• წ 1 = 1; წ 2 = 1; y n =წ n-2 + წ n-1 , თუ ნ = 3, 4,…

Აქ: წ 1 = 1; წ 2 = 1; წ 3 = 1 + 1 = 2; წ 4 = 1 + 2 = 3; წ 5 = 2 + 3 = 5; წ 6 = 3 + 5 = 8;

რეკურსიული ფორმულით გამოხატული თანმიმდევრობა y n =წ n-1 + 4 ასევე შეიძლება იყოს ანალიტიკური: y n= y 1 +4*(n-1)

შეამოწმეთ: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

აქ n-ე ელემენტის გამოსათვლელად არ გვჭირდება რიცხვითი მიმდევრობის წინა წევრის ცოდნა, უბრალოდ უნდა მივუთითოთ მისი რიცხვი და პირველი ელემენტის მნიშვნელობა.

როგორც ვხედავთ, რიცხვითი მიმდევრობის დაზუსტების ეს გზა ძალიან ჰგავს ფუნქციების დაზუსტების ანალიტიკურ ხერხს. სინამდვილეში, რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქციის განსაკუთრებული სახეობა, ამიტომ ფუნქციების მთელი რიგი თვისებები შეიძლება ჩაითვალოს მიმდევრობებისთვისაც.

რიცხვების თანმიმდევრობა ძალიან საინტერესო და ინფორმაციული თემაა. ეს თემა გვხვდება გაზრდილი სირთულის ამოცანებში, რომლებსაც სტუდენტებს სთავაზობენ დიდაქტიკური მასალების ავტორები, მათემატიკური ოლიმპიადების ამოცანებში, უმაღლეს სასწავლებლებში მისაღებ გამოცდებში და სხვა.და თუ გსურთ გაიგოთ მეტი სხვადასხვა ტიპის რიცხვების მიმდევრობის შესახებ, დააწკაპუნეთ აქ. კარგად, თუ ყველაფერი გასაგები და მარტივია თქვენთვის, მაგრამ შეეცადეთ უპასუხოთ.

იოჰანისიან ევა

რიცხვითი მიმდევრობები. Აბსტრაქტული.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება
„31-ე საშუალო სკოლა“
ქალაქი ბარნაული

რიცხვების მიმდევრობები

აბსტრაქტული

დასრულებული სამუშაო:
ოგანესიანი ევა,
მე-8 კლასის მოსწავლე MBOU "31 საშუალო სკოლა"
ხელმძღვანელი:
პოლევა ირინა ალექსანდროვნა,
მათემატიკის მასწავლებელი MBOU "Secondary School No. 31"

ბარნაული - 2014 წ

შესავალი …………………………………………………………………………………… 2

რიცხვითი მიმდევრობები………………………………………………...3

რიცხვითი მიმდევრობების დაყენების გზები………………………………4

პროგრესირების დოქტრინის შემუშავება…………………………………………………..5

რიცხვითი მიმდევრობის თვისებები…………………………………………7

არითმეტიკული პროგრესია……………………………………………………………. ..............9

გეომეტრიული პროგრესია…………………………………………….10

დასკვნა …………………………………………………………………… 11

ლიტერატურა………………………………………………………………………………………………………………………………

შესავალი

ამ აბსტრაქტის მიზანი– რიცხვითი მიმდევრობასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებების შესწავლა, მათი გამოყენება პრაქტიკაში.
Დავალებები:

1. პროგრესირების დოქტრინის განვითარების ისტორიული ასპექტების შესწავლა;
2. განვიხილოთ რიცხვითი მიმდევრობების დაყენების გზები და თვისებები;
3. შეიტყვეთ არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების შესახებ.

ამჟამად რიცხვითი მიმდევრობები განიხილება, როგორც ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევები. რიცხვითი მიმდევრობა ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციაა. რიცხვითი მიმდევრობის კონცეფცია წარმოიშვა და განვითარდა ფუნქციის თეორიის შექმნამდე დიდი ხნით ადრე. აქ მოცემულია ანტიკურში ცნობილი უსასრულო რიცხვების მიმდევრობის მაგალითები:

1, 2, 3, 4, 5, ... - ნატურალური რიცხვების მიმდევრობა.

2, 4, 6, 8, 10,… - ლუწი რიცხვების თანმიმდევრობა.

1, 3, 5, 7, 9,... - კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა.

1, 4, 9, 16, 25,… - ნატურალური რიცხვების კვადრატების მიმდევრობა.

2, 3, 5, 7, 11… - მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობა.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - ნატურალური რიცხვების საპასუხო მიმდევრობა.

თითოეული ამ სერიის წევრების რაოდენობა უსასრულოა; პირველი ხუთი თანმიმდევრობა მონოტონურად იზრდება, ბოლო კი მონოტონურად კლებულობს. ყველა ჩამოთვლილი მიმდევრობა, გარდა მე-5-ისა, მოცემულია იმის გამო, რომ თითოეული მათგანისთვის ცნობილია საერთო ტერმინი, ანუ ნებისმიერი რიცხვით ტერმინის მიღების წესი. მარტივი რიცხვების მიმდევრობისთვის, საერთო ტერმინი უცნობია, მაგრამ ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში. ძვ.წ ე. ალექსანდრიელმა მეცნიერმა ერატოსთენესმა მიუთითა მეთოდი (თუმცა ძალიან რთული) მისი n-ე წევრის მისაღებად. ამ მეთოდს ეწოდა "ერატოსთენეს საცერი".

პროგრესიები - რიცხვითი მიმდევრობების ცალკეული ტიპები - გვხვდება ძვ.წ. II ათასწლეულის ძეგლებში. ე.

რიცხვების მიმდევრობები

რიცხვების თანმიმდევრობის სხვადასხვა განმარტება არსებობს.

რიცხვითი თანმიმდევრობა – ეს არის რიცხვითი სივრცის ელემენტების თანმიმდევრობა (ვიკიპედია).

რიცხვითი თანმიმდევრობა – ეს არის დანომრილი რიცხვების ნაკრები.

y = f (x), x ფორმის ფუნქციაეწოდება ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია ანრიცხვითი თანმიმდევრობადა აღვნიშნავთ y = f(n) ან

, , , …, აღნიშვნა ().

დადებით ლუწი რიცხვებს გამოვწერთ ზრდადი თანმიმდევრობით. პირველი ასეთი რიცხვია 2, მეორე არის 4, მესამე არის 6, მეოთხე არის 8 და ა.შ., ასე რომ მივიღებთ მიმდევრობას: 2; 4; 6; რვა; ათი….

ცხადია, ამ მიმდევრობაში მეხუთე ადგილი იქნება რიცხვი 10, მეათე - 20, მეასე - 200. ზოგადად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n, შეგიძლიათ მიუთითოთ შესაბამისი დადებითი ლუწი რიცხვი; ის უდრის 2n-ს.

მოდით შევხედოთ სხვა თანმიმდევრობას. ჩვენ კლებადობით ჩავწერთ წილადებს 1-ის ტოლი მრიცხველით:

; ; ; ; ; … .

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n შეგვიძლია მივუთითოთ შესაბამისი წილადი; ის უდრის. ასე რომ, მეექვსე ადგილზე უნდა იყოს წილადიოცდაათზე - , მეათასედზე - წილადი .

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან მიმდევრობას, ეწოდებათ შესაბამისად პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. თანმიმდევრობის წევრები. მიმდევრობის წევრები, როგორც წესი, აღინიშნება ასოებით, რომლებიც მიუთითებენ წევრის რიგით რიცხვს. Მაგალითად:, , და ა.შ. ზოგადად, მიმდევრობის ტერმინი n ნომრით, ან, როგორც ამბობენ, მიმდევრობის n-ე წევრი, აღინიშნება.. თანმიმდევრობა თავისთავად აღინიშნება (). მიმდევრობა შეიძლება შეიცავდეს წევრთა უსასრულო რაოდენობასაც და სასრულსაც. ამ შემთხვევაში მას საბოლოო ეწოდება. მაგ: ორნიშნა რიცხვების მიმდევრობა.10; თერთმეტი; 12; ცამეტი; …; 98; 99

რიცხვითი მიმდევრობების დაზუსტების მეთოდები

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე გზით.

ჩვეულებრივ, თანმიმდევრობა უფრო შესაფერისია დასაყენებლადმისი საერთო n-ე ტერმინის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი მისი ნომრის ცოდნით. ამ შემთხვევაში ნათქვამია, რომ თანმიმდევრობა მოცემულიაანალიტიკურად. მაგალითად: დადებითი ლუწი ტერმინების თანმიმდევრობა=2ნ.

ამოცანა: იპოვეთ მიმდევრობის საერთო ტერმინის ფორმულა (:

6; 20; 56; 144; 352;…

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ თანმიმდევრობის თითოეულ ტერმინს შემდეგი ფორმით:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

როგორც ხედავთ, მიმდევრობის პირობები არის ორის ხარისხზე გამრავლებული თანმიმდევრული კენტი რიცხვებით, და ორი ამაღლებულია ხარისხამდე, რომელიც უდრის მოცემული ელემენტის რაოდენობას. ამრიგად, ჩვენ ვასკვნით, რომ

პასუხი: საერთო ტერმინის ფორმულა:

მიმდევრობის დაზუსტების კიდევ ერთი გზა არის მიმდევრობის მითითება გამოყენებითგანმეორებადი ურთიერთობა. ფორმულა, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის რომელიმე წევრს, დაწყებული ზოგიერთიდან წინამდე (ერთი ან მეტი), ე.წ.განმეორებადი (ლათინური სიტყვიდან recurro - დაბრუნება).

ამ შემთხვევაში მითითებულია მიმდევრობის ერთი ან რამდენიმე პირველი ელემენტი, დანარჩენი კი გარკვეული წესის მიხედვით განისაზღვრება.

რეკურსიულად მოცემული მიმდევრობის მაგალითია ფიბონაჩის რიცხვების მიმდევრობა - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , რომელშიც ყოველი მომდევნო რიცხვი, მესამედან დაწყებული, არის ორი წინა რიცხვის ჯამი. პირობა: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 და ასე შემდეგ. ეს თანმიმდევრობა შეიძლება მიცემული იყოს რეკურსიულად:

N N, = 1.

ამოცანა: შემდგომი მიმდევრობარეციდივის მიმართებით მოცემული+ n N, = 4. ჩამოწერეთ ამ თანმიმდევრობის პირველი რამდენიმე წევრი.

გადაწყვეტილება. ვიპოვოთ მოცემული მიმდევრობის მესამე წევრი:

+ =

და ა.შ.

როდესაც თანმიმდევრობები განმეორებით არის მითითებული, გამოთვლები ძალიან რთულია, რადგან დიდი რიცხვების მქონე ელემენტების საპოვნელად აუცილებელია მითითებული მიმდევრობის ყველა წინა წევრის პოვნა, მაგალითად,ჩვენ უნდა ვიპოვოთ წინა 499 წევრი.

აღწერითი გზარიცხვითი მიმდევრობის მინიჭება გულისხმობს იმის ახსნას, თუ რა ელემენტებისგან არის აგებული მიმდევრობა.

მაგალითი 1. "მიმდევრობის ყველა წევრი არის 1." ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სტაციონარულ მიმდევრობაზე 1, 1, 1, ..., 1, ....

მაგალითი 2. "მიმდევრობა შედგება ყველა მარტივი რიცხვისაგან ზრდადი მიმდევრობით." ამრიგად, მოცემულია თანმიმდევრობა 2, 3, 5, 7, 11, .... ამ მაგალითში მიმდევრობის დაზუსტების ამ გზით, ძნელია პასუხის გაცემა, ვთქვათ, რის ტოლია მიმდევრობის მე-1000 ელემენტი.

ასევე, რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მარტივიმისი წევრების ჩამონათვალში.

პროგრესირების დოქტრინის შემუშავება

სიტყვა პროგრესი ლათინური წარმოშობისაა (პროგრესიო), სიტყვასიტყვით ნიშნავს „წინსვლას“ (როგორც სიტყვა „პროგრესი“) და პირველად რომაელ ავტორ ბოეთიუსს შეხვდა (V-VI სს.) გააგრძელეთ განუსაზღვრელი ვადით ერთი მიმართულებით, მაგალითად. , ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა, მათი კვადრატები და კუბები. შუა საუკუნეების ბოლოს და თანამედროვეობის დასაწყისში ეს ტერმინი წყვეტს ჩვეულებრივ გამოყენებას. მე-17 საუკუნეში, მაგალითად, ჯ. გრიგორი პროგრესირების ნაცვლად იყენებდა ტერმინს „სერიები“, ხოლო კიდევ ერთი გამოჩენილი ინგლისელი მათემატიკოსი ჯ.უოლისი უსასრულო სერიებისთვის იყენებდა ტერმინს „უსასრულო პროგრესიები“.

ამჟამად პროგრესებს განვიხილავთ, როგორც რიცხვითი მიმდევრობის განსაკუთრებულ შემთხვევებს.

პროგრესირებასთან დაკავშირებული თეორიული ინფორმაცია პირველად გვხვდება ძველი საბერძნეთის ჩვენამდე მოღწეულ დოკუმენტებში.

ფსამიტში არქიმედეს პირველად ადარებს არითმეტიკულ და გეომეტრიულ პროგრესირებას:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

პროგრესიები განიხილებოდა პროპორციების გაგრძელებად, რის გამოც ეპითეტები არითმეტიკული და გეომეტრიული პროპორციებიდან პროგრესირებაზე გადავიდა.

პროგრესების ეს შეხედულება შეინარჩუნა მე-17 და მე-18 საუკუნეების ბევრმა მათემატიკოსმა. ასე უნდა აიხსნას ის ფაქტი, რომ ბაროუში აღმოჩენილმა სიმბოლომ, შემდეგ კი იმდროინდელ სხვა ინგლისელ მეცნიერებში, უწყვეტი გეომეტრიული პროპორციის აღსანიშნავად, დაიწყო გეომეტრიული პროგრესიის აღნიშვნა მე-18 საუკუნის ინგლისურ და ფრანგულ სახელმძღვანელოებში. ანალოგიით, მათ დაიწყეს არითმეტიკული პროგრესიის დანიშვნა.

არქიმედეს ერთ-ერთი მტკიცებულება, რომელიც მოყვანილია მის ნაშრომში "პარაბოლას კვადრატი", არსებითად მთავრდება უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამამდე.

გეომეტრიისა და მექანიკის ზოგიერთი ამოცანის გადასაჭრელად არქიმედესმა გამოიტანა ნატურალური რიცხვების კვადრატების ჯამის ფორმულა, თუმცა მასზე ადრე გამოიყენებოდა.

1/6n(n+1)(2n+1)

პროგრესირებასთან დაკავშირებული ზოგიერთი ფორმულა ცნობილი იყო ჩინელი და ინდოელი მეცნიერებისთვის. ასე რომ, არიაბჰატამ (V საუკუნე) იცოდა საერთო ტერმინის ფორმულები, არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი და ა.შ., მაგავირამ (IX საუკუნე) გამოიყენა ფორმულა: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) და სხვა უფრო რთული სერიები. თუმცა, თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინთა ჯამის პოვნის წესი პირველად გვხვდება ლეონარდო პიზას წიგნში აბაკუსი (1202). რიცხვების მეცნიერებაში (1484) ნ.შუკი, არქიმედესის მსგავსად, ადარებს არითმეტიკულ პროგრესიას გეომეტრიულს და იძლევა ზოგად წესს ნებისმიერი უსასრულოდ მცირე კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამებისთვის. უსაზღვროდ კლებადი პროგრესიის შეჯამების ფორმულა ცნობილი იყო პ.ფერმატისა და მე-17 საუკუნის სხვა მათემატიკოსებისთვის.

არითმეტიკული (და გეომეტრიული) პროგრესირების ამოცანები ასევე გვხვდება ძველ ჩინურ ტრაქტატში „მათემატიკა ცხრა წიგნში“, რომელიც, თუმცა, არ შეიცავს რაიმე შემაჯამებელი ფორმულის გამოყენების ინსტრუქციას.

პირველი პროგრესირების პრობლემები, რომლებიც ჩვენამდე მოვიდა, დაკავშირებულია ეკონომიკური ცხოვრებისა და სოციალური პრაქტიკის მოთხოვნებთან, როგორიცაა პროდუქციის განაწილება, მემკვიდრეობის დაყოფა და ა.შ.

ერთი ლურსმული ფირფიტიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მთვარეზე ახალი მთვარედან სავსემთვარეობამდე დაკვირვებით, ბაბილონელები მივიდნენ შემდეგ დასკვნამდე: ახალი მთვარის დაწყებიდან პირველ ხუთ დღეში, მთვარის დისკის განათების ზრდა ხდება შესაბამისად. გეომეტრიული პროგრესიის კანონი მნიშვნელით 2. სხვა გვიანდელ ტაბლეტში საუბარია შემაჯამებელ გეომეტრიულ პროგრესიაზე:

1+2+ +…+ . ამოხსნა და პასუხი S=512+(512-1), ფირფიტაში მოცემული მონაცემები ვარაუდობს, რომ ავტორმა გამოიყენა ფორმულა.

Sn= +( -1), მაგრამ არავინ იცის, როგორ მიაღწია მას.

გეომეტრიული პროგრესიების შეჯამება და შესაბამისი ამოცანების შედგენა, რომლებიც ყოველთვის არ აკმაყოფილებენ პრაქტიკულ მოთხოვნილებებს, მათემატიკის მრავალი მოყვარული პრაქტიკაში გამოიყენებოდა ძველ და შუა საუკუნეებში.

რიცხვების მიმდევრობის თვისებები

რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა და ამიტომ ფუნქციების ზოგიერთი თვისება (შეზღუდულობა, ერთფეროვნება) ასევე განიხილება მიმდევრობებისთვის.

შეზღუდული თანმიმდევრობა

შემდგომი () ეწოდება ზემოდან შემოსაზღვრული, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის,მ.

შემდგომი () ეწოდება ქვემოდან შემოსაზღვრული, თუ არსებობს ასეთი რიცხვი m, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის,მ.

შემდგომი () ეწოდება შემოსაზღვრული თუ ზემოდან შემოსაზღვრულია და ქვემოდან შემოსაზღვრული, ანუ არსებობს ასეთი რიცხვი M0, რომელიც ნებისმიერი n რიცხვისთვის,მ.

შემდგომი () ეწოდება შეუზღუდავი თუ არსებობს ასეთი რიცხვი M0 რომ არსებობს რიცხვი n ისეთი, რომ,მ.

ამოცანა: შეისწავლეთ თანმიმდევრობა = შეზღუდვამდე.

გადაწყვეტილება. მოცემული მიმდევრობა შეზღუდულია, რადგან ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

0 1,

ანუ თანმიმდევრობა ქვემოდან შემოსაზღვრულია ნულით და ამავდროულად ზემოდან შემოსაზღვრულია ერთით და შესაბამისად, ისიც შემოსაზღვრულია.

პასუხი: თანმიმდევრობა შეზღუდულია - ქვემოდან ნულით, ზემოდან კი ერთით.

მზარდი და დაღმავალი მიმდევრობები

შემდგომი () მზარდი ეწოდება , თუ თითოეული წევრი წინაზე მეტია:

მაგალითად, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... არის მზარდი მიმდევრობა.

შემდგომი () კლებადი ეწოდება თუ თითოეული ტერმინი წინაზე ნაკლებია:

მაგალითად, 1; არის დაღმავალი მიმდევრობა.

მზარდი და კლებადი თანმიმდევრობები გაერთიანებულია საერთო ტერმინით -მონოტონური მიმდევრობები. ავიღოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი.

1; - ეს თანმიმდევრობა არც მზარდია და არც კლებადი (არამონოტონური თანმიმდევრობა).

2n. ჩვენ ვსაუბრობთ მიმდევრობაზე 2, 4, 8, 16, 32, ... - მზარდი მიმდევრობა.

ზოგადად, თუ a > 1, მაშინ თანმიმდევრობა= იზრდება;

თუ 0 = მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესია

რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი მეორიდან დაწყებული უდრის წინა წევრის ჯამს და იგივე რიცხვი d, ე.წ.არითმეტიკული პროგრესიადა რიცხვი d არის არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ამრიგად, არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა

X, == + d, (n = 2, 3, 4, ...; a და d მოცემულია რიცხვები).

მაგალითი 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... არის მზარდი არითმეტიკული პროგრესია, რომელშიც= 1, d = 2.

მაგალითი 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - კლებადი არითმეტიკული პროგრესია, რომელშიც= 20, d = –3.

მაგალითი 3. განვიხილოთ ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა, რომლებსაც ოთხზე გაყოფისას აქვთ ნაშთი 1:1; 5; ცხრა; ცამეტი; 17; 21…

მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული, მიიღება წინა წევრზე 4-ის მიმატებით.ეს მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითი.

მარტივია გამოკვეთილი (ფორმულის) გამოხატვის პოვნამეშვეობით n. შემდეგი ელემენტის მნიშვნელობა წინასთან შედარებით იზრდება d-ით, ამდენად, n ელემენტის მნიშვნელობა არითმეტიკული პროგრესიის პირველ წევრთან შედარებით გაიზრდება (n - 1)d-ით, ე.ი.

= + d (n – 1). ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა.

ეს არის ჯამის ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის n წევრი.

არითმეტიკული პროგრესია დასახელებულია იმიტომ, რომ მასში ყოველი ტერმინი, გარდა პირველისა, უდრის მის მიმდებარე ორის საშუალო არითმეტიკულს - წინა და მომდევნო, მართლაც,

გეომეტრიული პროგრესია

რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის ყველა წევრი არ არის ნულოვანი და რომლის თითოეული წევრი მეორედან დაწყებული, მიღებულია წინა წევრისგან იმავე რიცხვზე q გამრავლებით, ე.წ.გეომეტრიული პროგრესიადა რიცხვი q არის გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი. ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობა (რეკურსიულად მოცემულია ურთიერთობებით

B, = q (n = 2, 3, 4…; b და q მოცემულია რიცხვები).

მაგალითი 1. 2, 6, 18, 54, ... - გეომეტრიული პროგრესიის გაზრდა

2, q = 3.

მაგალითი 2. 2, -2, 2, -2, ... არის გეომეტრიული პროგრესია= 2, q = –1.

გეომეტრიული პროგრესიის ერთ-ერთი აშკარა თვისება ის არის, რომ თუ მიმდევრობა გეომეტრიული პროგრესიაა, მაშინ კვადრატების მიმდევრობა, ე.ი.; ;…-

არის გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის, და მნიშვნელი არის.

გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა არის:

გეომეტრიული პროგრესიის n წევრის ჯამის ფორმულა:

დამახასიათებელი თვისებაგეომეტრიული პროგრესია: რიცხვითი თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრის კვადრატი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და შემდგომი წევრების ნამრავლს.

დასკვნა

რიცხვითი თანმიმდევრობები მრავალი საუკუნის განმავლობაში შეისწავლა მრავალი მეცნიერის მიერ.პირველი პროგრესირების პრობლემები, რომლებიც ჩვენამდე მოვიდა, დაკავშირებულია ეკონომიკური ცხოვრებისა და სოციალური პრაქტიკის მოთხოვნებთან, როგორიცაა პროდუქციის განაწილება, მემკვიდრეობის დაყოფა და ა.შ. ისინი მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი ცნებაა. ჩემს ნამუშევარში მე ვცდილობდი აესახა რიცხვითი თანმიმდევრობასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები, როგორ დავაყენო ისინი, თვისებები და განვიხილე ზოგიერთი მათგანი. ცალკე განიხილებოდა პროგრესიები (არითმეტიკული და გეომეტრიული) და აღწერილი იყო მათთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები.

ბიბლიოგრაფია

1. ა.გ. მორდკოვიჩი, ალგებრა, მე-10 კლასი, სახელმძღვანელო, 2012 წ
2. ა.გ. მორდკოვიჩი, ალგებრა, მე-9 კლასი, სახელმძღვანელო, 2012 წ
3. შესანიშნავი სტუდენტური სახელმძღვანელო. მოსკოვი, "დროფა", 2001 წ
4. გ.ი. გლეიზერი, მათემატიკის ისტორია სკოლაში,

მ.: განმანათლებლობა, 1964 წ.

1. „მათემატიკა სკოლაში“, ჟურნალი, 2002 წ.
2. საგანმანათლებლო ონლაინ სერვისები Webmath.ru
3. უნივერსალური პოპულარული სამეცნიერო ონლაინ ენციკლოპედია "კრუგოსვეტი"

ვიდა წ= ვ(x), xო ნ, სადაც ნარის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე (ან ნატურალური არგუმენტის ფუნქცია), აღინიშნება წ=ვ(ნ) ან წ 1 ,წ 2 ,…, y n,…. ღირებულებები წ 1 ,წ 2 ,წ 3 ,… ეძახიან შესაბამისად პირველ, მეორე, მესამე, ... მიმდევრობის წევრებს.

მაგალითად, ფუნქციისთვის წ= ნ 2 შეიძლება დაიწეროს:

წ 1 = 1 2 = 1;

წ 2 = 2 2 = 4;

წ 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

მიმდევრობის დაყენების მეთოდები.თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით, რომელთა შორის სამი განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია: ანალიტიკური, აღწერითი და განმეორებადი.

1. მიმდევრობა მოცემულია ანალიზურად, თუ მოცემულია მისი ფორმულა ნ-ე წევრი:

y n=ვ(ნ).

მაგალითი. y n= 2n- 1 – კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. აღწერითი რიცხვითი მიმდევრობის მითითების გზა არის ის, რომ ის განმარტავს, თუ რა ელემენტებისგან არის აგებული მიმდევრობა.

მაგალითი 1. "მიმდევრობის ყველა წევრი უდრის 1." ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სტაციონარულ მიმდევრობაზე 1, 1, 1, ..., 1, ....

მაგალითი 2. "მიმდევრობა შედგება ყველა მარტივი რიცხვისაგან ზრდადი მიმდევრობით." ამრიგად, მოცემულია თანმიმდევრობა 2, 3, 5, 7, 11, .... ამ მაგალითში მიმდევრობის დაზუსტების ამ გზით, ძნელია პასუხის გაცემა, ვთქვათ, რის ტოლია მიმდევრობის მე-1000 ელემენტი.

3. თანმიმდევრობის დაზუსტების განმეორებადი გზა არის ის, რომ მითითებულია წესი, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს გამოთვალოს ნ-მიმდევრობის მე-1 წევრი, თუ ცნობილია მისი წინა წევრები. სახელწოდება მორეციდივე მეთოდი ლათინური სიტყვიდან მოდის განმეორებადი- დაბრუნდი. ყველაზე ხშირად, ასეთ შემთხვევებში, მითითებულია ფორმულა, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოხატოს ნმიმდევრობის მე-1 წევრი წინაზე და მიუთითეთ მიმდევრობის 1-2 საწყისი წევრი.

მაგალითი 1 წ 1 = 3; y n = y n–1 + 4 თუ ნ = 2, 3, 4,….

Აქ წ 1 = 3; წ 2 = 3 + 4 = 7;წ 3 = 7 + 4 = 11; ….

ჩანს, რომ ამ მაგალითში მიღებული თანმიმდევრობა ასევე შეიძლება დაზუსტდეს ანალიტიკურად: y n= 4n- 1.

მაგალითი 2 წ 1 = 1; წ 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 თუ ნ = 3, 4,….

Აქ: წ 1 = 1; წ 2 = 1; წ 3 = 1 + 1 = 2; წ 4 = 1 + 2 = 3; წ 5 = 2 + 3 = 5; წ 6 = 3 + 5 = 8;

ამ მაგალითში შედგენილი თანმიმდევრობა სპეციალურად არის შესწავლილი მათემატიკაში, რადგან მას აქვს მრავალი საინტერესო თვისება და გამოყენება. მას ფიბონაჩის მიმდევრობას უწოდებენ - მე-13 საუკუნის იტალიელი მათემატიკოსის მიხედვით. ფიბონაჩის მიმდევრობის რეკურსიულად განსაზღვრა ძალიან მარტივია, მაგრამ ანალიტიკურად ძალიან რთული. ნფიბონაჩის რიცხვი გამოიხატება მისი რიგითი რიცხვის მიხედვით შემდეგი ფორმულით.

ერთი შეხედვით, ფორმულა ნფიბონაჩის რიცხვი წარმოუდგენლად გამოიყურება, რადგან ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს მხოლოდ ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობას, შეიცავს კვადრატულ ფესვებს, მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ამ ფორმულის მართებულობა პირველი რამდენიმესთვის "ხელით". ნ.

რიცხვითი მიმდევრობების თვისებები.

რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა, ამიტომ ფუნქციების მთელი რიგი თვისებები ასევე განიხილება მიმდევრობებისთვის.

განმარტება . შემდგომი ( y n} ეწოდება მზარდი, თუ მისი თითოეული წევრი (გარდა პირველისა) მეტია წინაზე:

წ 1 y 2 y 3 y n y n +1

განმარტება.მიმდევრობა ( y n} კლებადი ეწოდება, თუ მისი ყოველი პირობა (პირველის გარდა) წინაზე ნაკლებია:

წ 1 > წ 2 > წ 3 > … > y n> y n +1 > … .

მზარდი და კლებადი მიმდევრობები გაერთიანებულია საერთო ტერმინით - მონოტონური მიმდევრობები.

მაგალითი 1 წ 1 = 1; y n= ნ 2 არის მზარდი თანმიმდევრობა.

ამრიგად, შემდეგი თეორემა მართალია (არითმეტიკული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება). რიცხვითი მიმდევრობა არის არითმეტიკული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი თითოეული წევრი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.

მაგალითი. რა ღირებულებით xნომერი 3 x + 2, 5x- 4 და 11 x+ 12 ქმნიან სასრულ არითმეტიკულ პროგრესიას?

დამახასიათებელი თვისების მიხედვით მოცემული გამონათქვამები უნდა აკმაყოფილებდეს მიმართებას

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

ამ განტოლების ამოხსნა იძლევა x= –5,5. ამ ღირებულებით xმოცემული გამონათქვამები 3 x + 2, 5x- 4 და 11 x+ 12 იღებს, შესაბამისად, მნიშვნელობებს -14.5, –31,5, –48,5. ეს არის არითმეტიკული პროგრესია, მისი სხვაობა არის -17.

გეომეტრიული პროგრესია.

რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის ყველა წევრი არ არის ნულოვანი და რომლის თითოეული წევრი მეორედან დაწყებული, მიღებულია წინა წევრისგან იმავე რიცხვზე გამრავლებით. ქ, ეწოდება გეომეტრიულ პროგრესიას და რიცხვს ქ- გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობა ( ბ ნ) რეკურსიულად მოცემულია მიმართებებით

ბ 1 = ბ, ბ ნ = ბ ნ –1 ქ (ნ = 2, 3, 4…).

(ბდა q-მოცემული ნომრები, ბ ≠ 0, ქ ≠ 0).

მაგალითი 1. 2, 6, 18, 54, ... - გეომეტრიული პროგრესიის გაზრდა ბ = 2, ქ = 3.

მაგალითი 2. 2, -2, 2, -2, ... – გეომეტრიული პროგრესია ბ= 2,ქ= –1.

მაგალითი 3. 8, 8, 8, 8,… – გეომეტრიული პროგრესია ბ= 8, ქ= 1.

გეომეტრიული პროგრესია არის მზარდი თანმიმდევრობა, თუ ბ 1 > 0, ქ> 1 და მცირდება თუ ბ 1 > 0, 0 ქ

გეომეტრიული პროგრესიის ერთ-ერთი აშკარა თვისება ის არის, რომ თუ მიმდევრობა გეომეტრიული პროგრესიაა, მაშინ კვადრატების მიმდევრობა, ე.ი.

ბ 1 2 , ბ 2 2 , ბ 3 2 , …, ბ ნ 2,… არის გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის ბ 1 2 და მნიშვნელი არის ქ 2 .

ფორმულა n-გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინს აქვს ფორმა

ბ ნ= ბ 1 q n– 1 .

შეგიძლიათ მიიღოთ სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა.

დაე, იყოს სასრული გეომეტრიული პროგრესია

ბ 1 ,ბ 2 ,ბ 3 , …, ბ ნ

იყოს S n -მისი წევრების ჯამი, ე.ი.

S n= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + … +ბ ნ.

მიღებულია რომ ქ No 1. რათა დადგინდეს S nგამოიყენება ხელოვნური ხრიკი: შესრულებულია გამოხატვის ზოგიერთი გეომეტრიული გარდაქმნა S n q.

S n q = (ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + … + ბ ნ –1 + ბ ნ)ქ = ბ 2 + ბ 3 + ბ 4 + …+ ბ ნ+ ბ ნ ქ = S n+ ბ ნ ქ– ბ 1 .

ამრიგად, S n q= S n +b n q – ბ 1 და აქედან გამომდინარე

ეს არის ფორმულა umma n გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიიმ შემთხვევისთვის, როდესაც ქ≠ 1.

ზე ქ= 1 ფორმულის ცალ-ცალკე გამოყვანა შეუძლებელია, აშკარაა, რომ ამ შემთხვევაში S n= ა 1 ნ.

მას გეომეტრიულ პროგრესიას უწოდებენ, რადგან მასში ყოველი წევრი, გარდა პირველისა, უდრის წინა და შემდგომი ტერმინების გეომეტრიულ საშუალოს. მართლაც, მას შემდეგ

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

აქედან გამომდინარე, ბ ნ 2= b n– 1 bn+ 1 და შემდეგი თეორემა მართალია (გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება):

რიცხვითი მიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრის კვადრატი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და შემდგომი პუნქტების ნამრავლს.

თანმიმდევრობის ლიმიტი.

იყოს თანმიმდევრობა ( c n} = {1/ნ}. ამ თანმიმდევრობას ჰქვია ჰარმონიული, რადგან მისი თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, არის ჰარმონიული საშუალო წინა და მომდევნო წევრებს შორის. რიცხვების გეომეტრიული საშუალო ადა ბარის ნომერი

წინააღმდეგ შემთხვევაში, თანმიმდევრობას ეწოდება განსხვავებული.

ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარე, შეიძლება, მაგალითად, დაამტკიცოს ლიმიტის არსებობა A=0ჰარმონიული თანმიმდევრობისთვის ( c n} = {1/ნ). მოდით, ε იყოს თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი. ჩვენ განვიხილავთ განსხვავებას

არსებობს ასეთი ნრომ ყველასთვის n≥ ნუთანასწორობა 1 /N? თუ მიიღება როგორც ნნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი, რომელიც აღემატება 1/ε , მაშინ ყველასთვის n ≥ Nუთანასწორობა 1 /n ≤ 1/N ε , ქ.ე.დ.

ზოგჯერ ძალიან რთულია კონკრეტული თანმიმდევრობის ლიმიტის არსებობის დამტკიცება. ყველაზე გავრცელებული თანმიმდევრობები კარგად არის შესწავლილი და ჩამოთვლილია საცნობარო წიგნებში. არსებობს მნიშვნელოვანი თეორემები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის დავასკვნათ, რომ მოცემულ მიმდევრობას აქვს ლიმიტი (და მისი გამოთვლაც კი) უკვე შესწავლილი მიმდევრობების საფუძველზე.

თეორემა 1. თუ მიმდევრობას აქვს ზღვარი, მაშინ ის შემოსაზღვრულია.

თეორემა 2. თუ მიმდევრობა არის ერთფეროვანი და შემოსაზღვრული, მაშინ მას აქვს ზღვარი.

თეორემა 3. თუ მიმდევრობა ( a n} აქვს ლიმიტი ა, შემდეგ მიმდევრობები ( დაახლოებით ნ}, {a n+ გ) და (| a n|} აქვს საზღვრები cA, ა +გ, |ა| შესაბამისად (აქ გარის თვითნებური რიცხვი).

თეორემა 4. თუ მიმდევრობები ( a n} და ( ბ ნ) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბ pa n + qb n) აქვს ლიმიტი pA+ qB.

თეორემა 5. თუ მიმდევრობები ( a n) და ( ბ ნ) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბშესაბამისად, შემდეგ თანმიმდევრობა ( a n b n) აქვს ლიმიტი AB.

თეორემა 6. თუ მიმდევრობები ( a n} და ( ბ ნ) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბშესაბამისად და დამატებით b n ≠ 0 და B≠ 0, შემდეგ თანმიმდევრობა ( a n / b n) აქვს ლიმიტი A/B.

ანა ჩუგაინოვა