რა არის ფრაქტალი. ფრაქტალების მრავალფეროვანი სამყარო

ჩვენ უკვე დავწერეთ იმის შესახებ, თუ როგორ ჰპოვა ქაოსის აბსტრაქტულმა მათემატიკურმა თეორიამ გამოყენება სხვადასხვა მეცნიერებებში - ფიზიკიდან ეკონომიკამდე და პოლიტიკურ მეცნიერებამდე. ახლა კიდევ ერთ მსგავს მაგალითს მოვიყვანთ - ფრაქტალების თეორიას. მათემატიკაშიც კი არ არსებობს „ფრაქტალის“ ცნების მკაცრი განმარტება. რაღაცას ამბობენ, რა თქმა უნდა. მაგრამ "ჩვეულებრივ ადამიანს" ეს არ ესმის. როგორ, მაგალითად, ასეთი ფრაზა: "ფრაქტალი არის კომპლექტი წილადი ჰაუსდორფის განზომილებით, რომელიც მეტია ტოპოლოგიურზე." მიუხედავად ამისა, ისინი, ფრაქტალები, გარს გვახვევენ და გვეხმარებიან ცხოვრების სხვადასხვა სფეროს მრავალი ფენომენის გაგებაში.

როგორ დაიწყო ეს ყველაფერი

დიდი ხნის განმავლობაში პროფესიონალი მათემატიკოსების გარდა არავინ დაინტერესებულა ფრაქტალებით. კომპიუტერების და მასთან დაკავშირებული პროგრამული უზრუნველყოფის გამოჩენამდე. ყველაფერი შეიცვალა 1982 წელს, როდესაც გამოიცა ბენუა მანდელბროტის წიგნი „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“. ეს წიგნი გახდა ბესტსელერი, არა იმდენად მასალის მარტივი და გასაგები წარმოდგენის გამო (თუმცა ეს განცხადება ძალზე ფარდობითია - ადამიანი, რომელსაც არ აქვს პროფესიული მათემატიკური განათლება, მასში ვერაფერს გაიგებს), არამედ იმის გამო, რომ ფრაქტალების კომპიუტერული ილუსტრაციები, რომლებიც მართლაც მომხიბვლელია. მოდით შევხედოთ ამ სურათებს. ისინი ნამდვილად იმსახურებენ ამად.

და ბევრი ასეთი სურათია. მაგრამ რა კავშირი აქვს მთელ ამ ბრწყინვალებას ჩვენს რეალურ ცხოვრებასთან და რა არის გარშემორტყმული ბუნებაში და ყოველდღიურ სამყაროში? გამოდის ყველაზე პირდაპირი.

მაგრამ პირველ რიგში, მოდით ვთქვათ რამდენიმე სიტყვა თავად ფრაქტალებზე, როგორც გეომეტრიულ ობიექტებზე.

რა არის ფრაქტალი, მარტივი სიტყვებით

Პირველი. როგორ აგებულია ისინი, ფრაქტალები. ეს საკმაოდ რთული პროცედურაა, რომელიც იყენებს სპეციალურ გარდაქმნებს კომპლექსურ სიბრტყეზე (თქვენ არ გჭირდებათ იცოდეთ რა არის ეს). ერთადერთი მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ეს გარდაქმნები მეორდება (ხდება, როგორც მათემატიკაში ამბობენ, გამეორებები). სწორედ ამ გამეორების შედეგად წარმოიქმნება ფრაქტალები (ის, რაც ზემოთ იხილეთ).

მეორე. ფრაქტალი არის საკუთარი თავის მსგავსი (ზუსტად ან დაახლოებით) სტრუქტურა. ეს ნიშნავს შემდეგს. თუ რომელიმე წარმოდგენილ სურათზე მიიტანთ მიკროსკოპს, გადიდებთ გამოსახულებას, მაგალითად, 100-ჯერ და დააკვირდებით ოკულარში ჩავარდნილ ფრაქტალის ფრაგმენტს, აღმოაჩენთ, რომ ის ორიგინალური გამოსახულების იდენტურია. თუ აიღებთ უფრო ძლიერ მიკროსკოპს, რომელიც ადიდებს გამოსახულებას 1000-ჯერ, აღმოაჩენთ, რომ წინა სურათის ფრაგმენტის ნაწილს, რომელიც ოკულარში ჩავარდა, იგივე ან ძალიან მსგავსი სტრუქტურა აქვს.

ეს იწვევს ძალიან მნიშვნელოვან დასკვნას, რაც შემდეგშია. ფრაქტალს აქვს უკიდურესად რთული სტრუქტურა, რომელიც მეორდება სხვადასხვა მასშტაბით. მაგრამ რაც უფრო მეტად ჩავუღრმავდებით მის მოწყობილობას, მით უფრო რთული ხდება ის ზოგადად. და ორიგინალური სურათის თვისებების რაოდენობრივი შეფასებები შეიძლება შეიცვალოს.

ახლა ჩვენ დავტოვებთ აბსტრაქტულ მათემატიკას და გადავალთ ჩვენს ირგვლივ არსებულ საგნებზე - ასე რომ, როგორც ჩანს, მარტივი და გასაგები.

ფრაქტალური ობიექტები ბუნებაში

სანაპირო ზოლი

წარმოიდგინეთ, რომ დედამიწის ორბიტიდან იღებთ კუნძულს, როგორიცაა ბრიტანეთი. თქვენ მიიღებთ იგივე სურათს, როგორც გეოგრაფიულ რუკაზე. სანაპიროს გლუვი მოხაზულობა, ყველა მხრიდან - ზღვა.

სანაპირო ზოლის სიგრძის დადგენა ძალიან მარტივია. აიღეთ ჩვეულებრივი ძაფი და ფრთხილად დადეთ კუნძულის საზღვრების გასწვრივ. შემდეგ გაზომეთ მისი სიგრძე სანტიმეტრებში და მიღებული რიცხვი გაამრავლეთ რუკის მასშტაბით - ერთ სანტიმეტრში რამდენიმე კილომეტრია. აი შედეგი.

ახლა კი შემდეგი ექსპერიმენტი. თქვენ დაფრინავთ თვითმფრინავით ჩიტის თვალით და გადაიღეთ სანაპირო ზოლი. გამოდის ისეთი სურათი, როგორიც სატელიტის ფოტოებია. მაგრამ ეს სანაპირო ზოლი ჩაჭრილია. თქვენს სურათებზე ჩანს პატარა ყურეები, ყურეები, ზღვაში ამოსული მიწის ფრაგმენტები. ეს ყველაფერი მართალია, მაგრამ თანამგზავრიდან არ ჩანს. სანაპირო ხაზის სტრუქტურა უფრო რთული ხდება.

დავუშვათ, სახლში მისვლისას თქვენ გააკეთეთ სანაპირო ზოლის დეტალური რუკა თქვენი სურათების მიხედვით. და ჩვენ გადავწყვიტეთ გავზომოთ მისი სიგრძე იმავე ძაფის დახმარებით, დავაყენოთ იგი მკაცრად თქვენს მიერ მიღებული ახალი მონაცემების მიხედვით. ახალი სანაპირო ზოლის სიგრძის ღირებულება აღემატება ძველს. და მნიშვნელოვანი. ეს ინტუიციურად ნათელია. ყოველივე ამის შემდეგ, ახლა თქვენი ძაფი უნდა გაიაროს ყველა ყურისა და ყურის სანაპიროზე და არა მხოლოდ სანაპიროს გასწვრივ.

Შენიშვნა. ჩვენ დავაპატარეთ და ყველაფერი გაცილებით რთული და დამაბნეველი გახდა. ფრაქტალების მსგავსად.

ახლა კი სხვა განმეორებისთვის. თქვენ იმავე სანაპიროზე მიდიხართ. და დააფიქსირეთ სანაპირო ზოლის რელიეფი. გამოდის, რომ ყურეების და ყურეების ნაპირები, რომლებიც თვითმფრინავიდან გადაიღეთ, სულაც არ არის ისეთი გლუვი და მარტივი, როგორც შენს სურათებზე ფიქრობდი. მათ აქვთ რთული სტრუქტურა. ასე რომ, თუ ამ "ფეხით მოსიარულე" სანაპირო ზოლს რუკაზე დააფიქსირებთ, ის კიდევ უფრო გაიზრდება.

დიახ, ბუნებაში უსასრულობა არ არსებობს. მაგრამ სრულიად ნათელია, რომ სანაპირო ზოლი ტიპიური ფრაქტალია. ის იგივე რჩება, მაგრამ მისი სტრუქტურა უფრო და უფრო რთული ხდება, რაც უფრო ახლოს ხედავთ (იფიქრეთ მიკროსკოპის მაგალითზე).

ეს მართლაც საოცარი ფენომენია. ჩვენ მიჩვეულები ვართ, რომ სიბრტყეზე (კვადრატი, სამკუთხედი, წრე) ზომით შეზღუდული ნებისმიერ გეომეტრიულ ობიექტს აქვს მისი საზღვრების ფიქსირებული და სასრული სიგრძე. მაგრამ აქ ყველაფერი სხვაგვარადაა. ზღვარში სანაპირო ზოლის სიგრძე უსასრულო აღმოჩნდება.

Ტყე

წარმოვიდგინოთ ხე. ჩვეულებრივი ხე. ერთგვარი ფხვიერი ცაცხვი. მოდით შევხედოთ მის ღეროს. ფესვის ირგვლივ. ეს არის ოდნავ დეფორმირებული ცილინდრი. იმათ. აქვს ძალიან მარტივი ფორმა.

მოდით, თვალები მაღლა ავწიოთ. ტოტები იწყება მაგისტრალიდან. თითოეულ ტოტს, თავის დასაწყისში, აქვს იგივე სტრუქტურა, რაც ღეროს - ცილინდრული, გეომეტრიული თვალსაზრისით. მაგრამ მთელი ხის სტრუქტურა შეიცვალა. გაცილებით რთული გახდა.

ახლა მოდით შევხედოთ ამ ტოტებს. მათგან უფრო მცირე ტოტები ვრცელდება. მათ ბაზაზე მათ აქვთ იგივე ოდნავ დეფორმირებული ცილინდრული ფორმა. იგივე საბარგულის მსგავსად. შემდეგ კი მათგან გაცილებით პატარა ტოტები შორდებიან. და ა.შ.

ხე ამრავლებს საკუთარ თავს, ყველა დონეზე. ამავდროულად, მისი სტრუქტურა მუდმივად უფრო რთული ხდება, მაგრამ თავის მსგავსი რჩება. ფრაქტალი არაა?

ცირკულაცია

აქ არის ადამიანის სისხლის მიმოქცევის სისტემა. მას ასევე აქვს ფრაქტალური სტრუქტურა. არის არტერიები და ვენები. ერთ-ერთის მიხედვით სისხლი გულში (ვენებში) მოდის, სხვების აზრით კი მისგან (არტერიები). და შემდეგ, სისხლის მიმოქცევის სისტემა იწყებს იგივე ხეს, რომელზეც ზემოთ ვისაუბრეთ. გემები, მათი სტრუქტურის შენარჩუნებისას, უფრო თხელი და განშტოებული ხდებიან. ისინი შეაღწევენ ჩვენი სხეულის ყველაზე შორეულ ადგილებში, მოაქვთ ჟანგბადი და სხვა სასიცოცხლო კომპონენტები ყველა უჯრედში. ეს არის ტიპიური ფრაქტალური სტრუქტურა, რომელიც ამრავლებს საკუთარ თავს უფრო და უფრო მცირე მასშტაბებზე.

მდინარის სანიაღვრე

"შორიდან მდინარე ვოლგა მიედინება დიდი ხნის განმავლობაში." გეოგრაფიულ რუკაზე ეს არის ასეთი ლურჯი გრაგნილი ხაზი. ისე, ძირითადი შენაკადები აღინიშნება. კარგი, კამა. რა მოხდება, თუ ვამცირებთ? გამოდის, რომ ეს შენაკადები გაცილებით დიდია. არა მხოლოდ თავად ვოლგასთან, არამედ ოკას და კამასთან. და მათ აქვთ საკუთარი შენაკადები, მხოლოდ უფრო მცირე. და მათ აქვთ თავიანთი. ჩნდება სტრუქტურა, რომელიც საოცრად ჰგავს ადამიანის სისხლის მიმოქცევის სისტემას. და ისევ ჩნდება კითხვა. რა არის მთელი ამ წყლის სისტემის მასშტაბები? თუ გაზომავთ მხოლოდ მთავარი არხის სიგრძეს, ყველაფერი გასაგებია. შეგიძლიათ წაიკითხოთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში. რა მოხდება, თუ ყველაფერი იზომება? ისევ ლიმიტში მიიღება უსასრულობა.

ჩვენი სამყარო

რა თქმა უნდა, მილიარდობით სინათლის წლის მასშტაბით, ის, სამყარო, ერთნაირადაა მოწყობილი. მაგრამ მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას. და მაშინ დავინახავთ, რომ მასში არ არის ერთგვაროვნება. სადღაც არის გალაქტიკები (ვარსკვლავური მტევნები), სადღაც სიცარიელეა. რატომ? რატომ ემორჩილება მატერიის განაწილება არარეგულარულ იერარქიულ კანონებს. და რა ხდება გალაქტიკების შიგნით (კიდევ ერთი შემცირება). სადღაც მეტი ვარსკვლავია, სადღაც ნაკლები. სადღაც არის პლანეტარული სისტემები, როგორც ჩვენს მზის სისტემაში, მაგრამ სადღაც არა.

აქ სამყაროს ფრაქტალური არსი არ იჩენს თავს? ახლა, რა თქმა უნდა, უზარმაზარი უფსკრულია ფარდობითობის ზოგად თეორიას შორის, რომელიც ხსნის ჩვენი სამყაროს გაჩენას და მის სტრუქტურას, და ფრაქტალ მათემატიკას შორის. მაგრამ ვინ იცის? შესაძლოა, ეს ყველაფერი ოდესღაც „საერთო მნიშვნელამდე“ მივიდეს და ჩვენ გარშემო სივრცეს სულ სხვა თვალით შევხედოთ.

პრაქტიკულ საკითხებზე

ბევრი ასეთი მაგალითის მოყვანა შეიძლება. მაგრამ მოდით, უფრო პროზაულ საკითხებს დავუბრუნდეთ. ავიღოთ, მაგალითად, ეკონომიკა. როგორც ჩანს, და აქ ფრაქტალები. თურმე, ძალიან. ამის მაგალითია საფონდო ბირჟები.

პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ეკონომიკური პროცესები ხშირად ქაოტური და არაპროგნოზირებადია. დღემდე არსებული მათემატიკური მოდელები, რომლებიც ცდილობდნენ აღეწერათ ეს პროცესები, არ ითვალისწინებდნენ ერთ ძალიან მნიშვნელოვან ფაქტორს – ბაზრის თვითორგანიზების უნარს.

სწორედ აქ მოდის სამაშველოში ფრაქტალების თეორია, რომლებსაც აქვთ „თვითორგანიზაციის“ თვისებები, ახდენენ საკუთარი თავის რეპროდუცირებას სხვადასხვა მასშტაბის დონეზე. რა თქმა უნდა, ფრაქტალი წმინდა მათემატიკური ობიექტია. ბუნებაში და ეკონომიკაში ისინი არ არსებობენ. მაგრამ არსებობს ფრაქტალური ფენომენის კონცეფცია. ისინი ფრაქტალებია მხოლოდ სტატისტიკური გაგებით. მიუხედავად ამისა, ფრაქტალური მათემატიკისა და სტატისტიკის სიმბიოზი შესაძლებელს ხდის საკმარისად ზუსტი და ადეკვატური პროგნოზების მიღებას. ეს მიდგომა განსაკუთრებით ეფექტურია საფონდო ბაზრების ანალიზისას. და ეს არ არის მათემატიკოსების "ცნებები". ექსპერტთა მონაცემები აჩვენებს, რომ საფონდო ბირჟებზე ბევრი მონაწილე დიდ ფულს ხარჯავს ფრაქტალის მათემატიკის დარგის სპეციალისტებისთვის.

რას გვაძლევს ფრაქტალების თეორია? იგი ამტკიცებს ფასების ზოგად, გლობალურ დამოკიდებულებას წარსულში მომხდარზე. რა თქმა უნდა, ადგილობრივად ფასების პროცესი შემთხვევითია. მაგრამ შემთხვევითი ნახტომები და ფასების ვარდნა, რაც შეიძლება მომენტალურად მოხდეს, აქვს კლასტერებში შეკრების თავისებურება. რომლებიც რეპროდუცირებულია დროის დიდი მასშტაბით. ამიტომ, იმის გაანალიზებით, რაც იყო ერთხელ, შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ, რამდენ ხანს გაგრძელდება ბაზრის განვითარების ესა თუ ის ტენდენცია (ზრდა თუ დაცემა).

ამრიგად, გლობალური მასშტაბით, ესა თუ ის ბაზარი თავის თავს „ამრავლებს“. გარე ფაქტორების მასით გამოწვეული შემთხვევითი რყევების დაშვება დროის თითოეულ კონკრეტულ მომენტში. მაგრამ გლობალური ტენდენციები შენარჩუნებულია.

დასკვნა

რატომ არის სამყარო მოწყობილი ფრაქტალის პრინციპით? პასუხი, ალბათ, ის არის, რომ ფრაქტალებს, როგორც მათემატიკურ მოდელს, აქვთ თვითორგანიზების და თვითმსგავსების თვისება. ამავდროულად, მათი თითოეული ფორმა (იხილეთ სტატიის დასაწყისში მოცემული სურათები) თვითნებურად რთულია, მაგრამ ცხოვრობს საკუთარი ცხოვრებით, ავითარებს თავის მსგავს ფორმებს. ასე არ მუშაობს ჩვენი სამყარო?

და აქ არის საზოგადოება. რაღაც იდეა ჩნდება. თავიდან საკმაოდ აბსტრაქტული. შემდეგ კი „შეაღწევს მასებში“. დიახ, რაღაცნაირად იცვლება. მაგრამ ზოგადად შენარჩუნებულია. და ის ადამიანების უმეტესობის დონეზე იქცევა ცხოვრების გზის მიზნობრივ აღნიშვნად. აქ არის იგივე სსრკ. CPSU-ს მომდევნო ყრილობამ მიიღო შემდეგი საეტაპო გადაწყვეტილებები და ეს ყველაფერი ძირს წავიდა. უფრო მცირე მასშტაბით. საქალაქო კომიტეტები, პარტიული კომიტეტები. და ასე შემდეგ თითოეული ადამიანისთვის. განმეორებითი სტრუქტურა.

რა თქმა უნდა, ფრაქტალის თეორია არ გვაძლევს მომავალი მოვლენების პროგნოზირების საშუალებას. და ეს ძნელად შესაძლებელია. მაგრამ ბევრი რამ, რაც ჩვენს გარშემოა და რაც ხდება ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში, გვაძლევს საშუალებას სრულიად განსხვავებული თვალით შევხედოთ. შეგნებული.

კაჭარავა ა.ს. ერთი

ხოლინოვა ო.ა. ერთი

1 რეგიონალური სახელმწიფო საბიუჯეტო პროფესიული საგანმანათლებლო დაწესებულება „კოსტრომას სავაჭრო-ეკონომიკური კოლეჯი“ (OGBPOU „KTEK“)

ნაწარმოების ტექსტი განთავსებულია გამოსახულების და ფორმულების გარეშე.
ნამუშევრის სრული ვერსია ხელმისაწვდომია ჩანართში "სამუშაო ფაილები" PDF ფორმატში

შესავალი

კვლევის აქტუალობა.

მათემატიკის ძალა არ შეიძლება შეფასდეს. მაგრამ, სამწუხაროდ, ბევრს მიაჩნია, რომ მათემატიკა "მშრალი" მეცნიერებაა და მასში არაფერია საინტერესო: მხოლოდ რიცხვები და ფორმულები. შეიძლება ვინმე არ დაეთანხმოს ამას. ინგლისელი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი ბერტრანდ რასელი ამბობდა: „მათემატიკა, თუ სწორად შეხედავთ, ასახავს არა მხოლოდ სიმართლეს, არამედ შეუდარებელ სილამაზესაც“.

მეცნიერების ყველაზე გენიალურ აღმოჩენებს შეუძლია რადიკალურად შეცვალოს ადამიანის ცხოვრება. ერთ-ერთი ასეთი "შეუმჩნეველი" აღმოჩენა არის ფრაქტალები.

ფრაქტალების სამყარო საოცარი, უზარმაზარი და მრავალფეროვანი სამყაროა. ის იპყრობს, იპყრობს, მაგრამ ზოგჯერ ძნელია ამის გაგება. ფრაქტალური ნახატები ოსტატის შთაგონების მწვერვალია მათემატიკის, კომპიუტერული მეცნიერებისა და ხელოვნების სრულყოფილი ერთიანობის გზაზე. ბოლო დროს გამოსახულია ბუნებრივი ობიექტების გეომეტრიული მოდელები მარტივი ფორმების კომბინაციების გამოყენებით, როგორიცაა ხაზები, სამკუთხედები, წრეები, სფეროები, პოლიედრები. მაგრამ ადვილი არ არის უფრო რთული ბუნებრივი ობიექტების აღწერა, როგორიცაა ფოროვანი მასალები, ღრუბლების ფორმები, ხეების გვირგვინები და ა.შ., ამ ცნობილი ფიგურების ნაკრებით. ახალმა კომპიუტერულმა ინსტრუმენტებმა მათემატიკა უკიდურესად მაღალ დონეზე მიიყვანა. როდესაც სწავლობ ფრაქტალებს, ხვდები, რომ ძალიან რთულია მათემატიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებას შორის ზღვარის დადგენა, რადგან ისინი მჭიდროდ არიან გადაჯაჭვული და ცდილობენ უნიკალური, უნიკალური მოდელების აღმოჩენას. ფრაქტალები გვაახლოებს ზოგიერთი ბუნებრივი პროცესის და ფენომენის გაგებასთან. ამიტომ, ფრაქტალების თემა ყველაზე საინტერესო და ამაღელვებელია შესასწავლად.

სამიზნე:შეისწავლეთ მათემატიკის ახალი ფილიალი - ფრაქტალები და გამოყენების საფუძვლები რეალურ ცხოვრებაში.

Დავალებები:

გააანალიზონ და იმუშაონ ლიტერატურით საკვლევ თემაზე.

ბ. მანდელბროტის კონცეფციის, წარმოშობის ისტორიისა და კვლევის გაცნობა;

წარმოდგენა მოგვცეს ფრაქტალების შესახებ, რომლებიც გვხვდება ჩვენს ცხოვრებაში.

მიმდებარე სამყაროს ფრაქტალობის თეორიის დადასტურების მოძიება;

განსაზღვრავს ფრაქტალების ფარგლებს;

კვლევის ობიექტი -ფრაქტალები მათემატიკაში და რეალურ სამყაროში. ფრაქტალები და მათი პრაქტიკული გამოყენება.

სასწავლო საგანი -ფრაქტალის გეომეტრია.

კვლევის მეთოდები სამუშაოში:ანალიზი, სინთეზი, ძიება, მოდელირება.

"ფრაქტალის" კონცეფციის ისტორია

ფრაქტალის გეომეტრიის პირველი იდეები წარმოიშვა მე-19 საუკუნეში.

გეორგ კანტორი (კანტორი, 1845-1918) - გერმანელი მათემატიკოსი, ლოგიკოსი, თეოლოგი, უსასრულო სიმრავლეების თეორიის შემქმნელი, მარტივი რეკურსიული (განმეორებითი) პროცედურის გამოყენებით, ხაზს უკავშირებდა წერტილების სიმრავლეს. მან აიღო ხაზი და ამოიღო ცენტრალური მესამედი და შემდეგ იგივე გაიმეორა დანარჩენ სეგმენტებთან ერთად. აღმოჩნდა ე.წ Cantor Dust.

ჯუზეპე პეანო (1858-1932) - იტალიელმა მათემატიკოსმა გამოსახა სპეციალური ხაზი. მან აიღო სწორი ხაზი და შეცვალა იგი 9 სეგმენტით 3-ჯერ უფრო მოკლე, ვიდრე საწყისი ხაზის სიგრძე. შემდეგ მან იგივე გააკეთა თითოეულ სეგმენტთან დაკავშირებით. და ასე უსასრულოდ. ასეთი ხაზის უნიკალურობა ის არის, რომ ის ავსებს მთელ თვითმფრინავს. მოგვიანებით მსგავსი კონსტრუქცია სამგანზომილებიან სივრცეშიც განხორციელდა.

თავად სიტყვა "ფრაქტალი" გაჩნდა ბრწყინვალე მეცნიერის ბენუა მანდელბროტის წყალობით.

მან ეს ტერმინი თავად გამოიგონა 1970-იან წლებში, ისესხა სიტყვა fractus ლათინურიდან, სადაც ის სიტყვასიტყვით ნიშნავს "გატეხილს" ან "დამსხვრევას". Რა არის ეს? დღეს სიტყვა "ფრაქტალი" ყველაზე ხშირად გამოიყენება სტრუქტურის გრაფიკულ გამოსახულებაზე, რომელიც მსგავსია უფრო ფართო მასშტაბით.

მანდელბროტის მიერ მოცემული ფრაქტალის განმარტება ასეთია: „ფრაქტალი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც გარკვეული გაგებით ჰგავს მთლიანს“.

ფრაქტალების თეორიის გაჩენის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ბენუა მანდელბროტის დაბადებამდე მრავალი წლით ადრე, მაგრამ მისი განვითარება მხოლოდ გამოთვლითი მოწყობილობების გამოჩენით შეიძლებოდა. სამეცნიერო კარიერის დასაწყისში ბენუა მუშაობდა IBM კვლევით ცენტრში. ამ დროს ცენტრის თანამშრომლები მონაცემთა დისტანციურ გადაცემაზე მუშაობდნენ. კვლევის დროს მეცნიერებს შეექმნათ ხმაურის ჩარევის შედეგად წარმოქმნილი დიდი დანაკარგების პრობლემა. ბენუას წინაშე დგას რთული და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანა - იმის გაგება, თუ როგორ უნდა იწინასწარმეტყველოთ ხმაურის ჩარევის წარმოშობა ელექტრონულ სქემებში, როდესაც სტატისტიკური მეთოდი არაეფექტურია.

ხმაურის გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მანდელბროტმა ყურადღება მიიპყრო ერთ უცნაურ ნიმუშზე - სხვადასხვა მასშტაბის ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა. იდენტური ნიმუში დაფიქსირდა იმისდა მიუხედავად, იყო ეს ხმაურის ნაკვეთი ერთი დღის, კვირის ან საათის განმავლობაში. ღირდა გრაფიკის მასშტაბის შეცვლა და სურათი ყოველ ჯერზე მეორდებოდა.

სიცოცხლის განმავლობაში ბენუა მანდელბროტმა არაერთხელ თქვა, რომ მას საქმე არ ჰქონდა ფორმულებთან, არამედ უბრალოდ თამაშობდა ნახატებთან. ეს ადამიანი ძალიან გადატანითი მნიშვნელობით ფიქრობდა და ნებისმიერი ალგებრული პრობლემა გადათარგმნა გეომეტრიის ველში, სადაც, მისი თქმით, სწორი პასუხი ყოველთვის აშკარაა.

გასაკვირი არ არის, რომ სწორედ ასეთი მდიდარი სივრცითი წარმოსახვის მქონე ადამიანი გახდა ფრაქტალის გეომეტრიის მამა. ყოველივე ამის შემდეგ, ფრაქტალების არსის გაცნობიერება ხდება ზუსტად მაშინ, როდესაც დაიწყებთ ნახატების შესწავლას და ფიქრობთ უცნაური შაბლონების მნიშვნელობაზე - მორევები.

ფრაქტალ ნიმუშს არ აქვს იდენტური ელემენტები, მაგრამ აქვს მსგავსება ნებისმიერი მასშტაბით. ასეთი გამოსახულების მაღალი ხარისხის დეტალების ხელით აგება უბრალოდ შეუძლებელი იყო ადრე, მას დიდი გამოთვლები სჭირდებოდა.

ფრაქტალის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო მანდელბროტის ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც წარმოიშვა გასტონ მორის ჯულიას კვლევის შედეგად.

ბუნებაში ბევრ ობიექტს აქვს ფრაქტალური თვისებები, როგორიცაა სანაპიროები, ღრუბლები, ხეების გვირგვინები, ფიფქები, სისხლის მიმოქცევის სისტემა და ადამიანის ან ცხოველების ალვეოლარული სისტემა.

ფრაქტალების გამოყენება

ფრაქტალები სულ უფრო მეტ გამოყენებას პოულობენ მეცნიერებაში. ამის მთავარი მიზეზი ის არის, რომ ისინი აღწერენ რეალურ სამყაროს ზოგჯერ უფრო კარგად ვიდრე ტრადიციული ფიზიკა ან მათემატიკა.

ფრაქტალური მხატვრობა.

ფრაქტალის ფერწერა თანამედროვე ხელოვნების ერთ-ერთი ტენდენციაა, რომელიც პოპულარულია ციფრულ მხატვრებში. ფრაქტალის ნახატებს აქვთ უჩვეულო და მომხიბვლელი ეფექტი მნახველზე, რაც იწვევს ნათელ ცეცხლოვან სურათებს. ზღაპრული აბსტრაქციები იქმნება მოსაწყენი მათემატიკური ფორმულებით, მაგრამ ფანტაზია მათ ცოცხლად აღიქვამს.

ფრაქტალები გრაფიკაში

კომპიუტერულ მეცნიერებაში ფრაქტალების ყველაზე სასარგებლო გამოყენება არის ფრაქტალური მონაცემების შეკუმშვა. ამ ტიპის შეკუმშვა ემყარება იმ ფაქტს, რომ რეალური სამყარო კარგად არის აღწერილი ფრაქტალის გეომეტრიით. ამავდროულად, სურათები გაცილებით უკეთ იკუმშება, ვიდრე ჩვეულებრივი მეთოდებით (როგორიცაა jpeg ან gif). ფრაქტალური შეკუმშვის კიდევ ერთი უპირატესობა ის არის, რომ სურათის გადიდებისას არ არის პიქსელაციის ეფექტი (წერტილების ზომის გაზრდა იმ ზომებამდე, რომელიც ამახინჯებს სურათს). ფრაქტალური შეკუმშვით, მასშტაბირების შემდეგ, სურათი ხშირად უფრო კარგად გამოიყურება, ვიდრე ადრე. ფრაქტალები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში - ხეების, ბუჩქების, ზღვების ზედაპირის, მთის პეიზაჟების და სხვა ბუნებრივი ობიექტების გამოსახულების აგებისას. ფრაქტალური გრაფიკის წყალობით, გამოიგონეს ეფექტური გზა რთული არაევკლიდური ობიექტების განსახორციელებლად, რომელთა გამოსახულებები ბუნებრივის მსგავსია: ეს არის ფრაქტალის კოეფიციენტების სინთეზირების ალგორითმები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ რეპროდუციროთ ნებისმიერი სურათის ასლი ორიგინალთან რაც შეიძლება ახლოს. საინტერესოა, რომ გარდა ფრაქტალის „მხატვრობისა“, არის ფრაქტალი მუსიკა და ფრაქტალი ანიმაციაც. ვიზუალურ ხელოვნებაში არის მიმართულება, რომელიც ეხება შემთხვევითი ფრაქტალის გამოსახულების მიღებას - „ფრაქტალური მონოტიპი“ ან „სტოჩატი“.

ფრაქტალის გრაფიკის მათემატიკური საფუძველია ფრაქტალის გეომეტრია, სადაც „გამოსახულება-მემკვიდრეების“ აგების მეთოდები ეფუძნება ორიგინალური „ობიექტები-მშობლების“ მემკვიდრეობის პრინციპს. თავად ფრაქტალის გეომეტრიისა და ფრაქტალის გრაფიკის ცნებები მხოლოდ დაახლოებით 30 წლის წინ გამოჩნდა, მაგრამ უკვე მყარად დამკვიდრდა კომპიუტერული დიზაინერებისა და მათემატიკოსების ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

ფრაქტალური კომპიუტერული გრაფიკის ძირითადი ცნებებია:

ფრაქტალის სამკუთხედი - ფრაქტალის ფიგურა - ფრაქტალის ობიექტი (იერარქია კლებადობით)

ფრაქტალის ხაზი

ფრაქტალის შემადგენლობა

"მშობელი ობიექტი" და "მემკვიდრე ობიექტი"

ისევე, როგორც ვექტორულ და 3D გრაფიკაში, ფრაქტალური სურათების შექმნა მათემატიკურად გამოთვლადია. პირველი ორი ტიპის გრაფიკისგან მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ფრაქტალის გამოსახულება აგებულია განტოლების ან განტოლებათა სისტემის მიხედვით - სხვა არაფერია, თუ არა ფორმულა უნდა იყოს შენახული კომპიუტერის მეხსიერებაში ყველა გამოთვლების შესასრულებლად - და ასეთი კომპაქტური მათემატიკური აპარატმა დაუშვა ამ იდეის გამოყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში. განტოლების კოეფიციენტების უბრალოდ შეცვლით, შეგიძლიათ მარტივად მიიღოთ სრულიად განსხვავებული ფრაქტალური გამოსახულება - რამდენიმე მათემატიკური კოეფიციენტის დახმარებით, მითითებულია ძალიან რთული ფორმის ზედაპირი და ხაზები, რაც საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ ისეთი კომპოზიციური ტექნიკა, როგორიცაა ჰორიზონტალური და ვერტიკალური. , სიმეტრია და ასიმეტრია, დიაგონალური მიმართულებები და მრავალი სხვა.

ფრაქტალები დეცენტრალიზებულ ქსელებში

ფრაქტალური ინფორმაციის შეკუმშვის პრინციპი Netsukuku ქსელის კვანძების შესახებ ინფორმაციის კომპაქტური შენახვისთვის იყენებს IP მისამართის მინიჭების სისტემას. მისი თითოეული კვანძი ინახავს 4 კილობაიტ ინფორმაციას მეზობელი კვანძების მდგომარეობის შესახებ. ნებისმიერი ახალი კვანძი უკავშირდება საჯარო ინტერნეტს IP მისამართების განაწილების ცენტრალური რეგულირების საჭიროების გარეშე. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფრაქტალური ინფორმაციის შეკუმშვის პრინციპი უზრუნველყოფს მთელი ქსელის დეცენტრალიზებულ მუშაობას და, შესაბამისად, მასში მუშაობა მაქსიმალურად სტაბილურია.

ფრაქტალები რადიოინჟინერიაში

ფრაქტალური ანტენები. დისტანციებზე მონაცემების გადასაცემად გამოიყენება ფრაქტალის ფორმის ანტენები, რაც მნიშვნელოვნად ამცირებს მათ ზომასა და წონას.

ფრაქტალური გეომეტრიის გამოყენება ანტენის მოწყობილობების დიზაინში პირველად გამოიყენა ამერიკელმა ინჟინერმა ნათან კოენმა, რომელიც ცხოვრობდა ბოსტონის ცენტრში, სადაც აკრძალული იყო გარე ანტენების დაყენება მისიებზე. ბოსტონის ხელისუფლების აკრძალვის გვერდის ავლით გარე ანტენების სახლებში დაყენების შესახებ, მან შენიღბულია თავისი რადიოსადგურის ანტენა, როგორც დეკორატიული ფიგურა, რომელიც დაფუძნებულია შვედი მათემატიკოსის ჰელგე ფონ კოხის მიერ 1904 წელს აღწერილი ფრაქტალის გატეხილი ხაზის მიხედვით. ნათანმა ალუმინის ფოლგას კოხის მრუდის სახით ფიგურა ამოჭრა და ფურცელზე გააკრა, შემდეგ მიმღებზე მიამაგრა. კოენმა დააარსა საკუთარი კომპანია და დაიწყო მათი სერიული წარმოება.

კოენის მიერ გამოქვეყნებული ახალი ანტენის დიზაინის მახასიათებლების შესწავლის შედეგებმა მიიპყრო სპეციალისტების ყურადღება. მრავალი მკვლევარის ძალისხმევის წყალობით, დღეს ფრაქტალური ანტენების თეორია გახდა დამოუკიდებელ, საკმაოდ განვითარებულ აპარატად EMA-ს სინთეზისა და ანალიზისთვის.

ფრაქტალური ანტენები არის ელექტრო მცირე ანტენების შედარებით ახალი კლასი (ESA), რომლებიც ძირეულად განსხვავდება მათი გეომეტრიით ცნობილი გადაწყვეტილებებისგან. ფაქტობრივად, ანტენების ტრადიციული ევოლუცია ეფუძნებოდა ევკლიდეს გეომეტრიას, მოქმედებდა მთელი რიცხვის განზომილების ობიექტებთან (ხაზი, წრე, ელიფსი, პარაბოლოიდი და ა.შ.).

ფრაქტალ გეომეტრიულ ფორმებს შორის მთავარი განსხვავებაა მათი წილადური განზომილება, რომელიც გარეგნულად ვლინდება თავდაპირველი დეტერმინისტული ან შემთხვევითი შაბლონების მზარდი ან კლებადი მასშტაბის რეკურსიულ გამეორებაში. ფრაქტალური ტექნოლოგიები ფართოდ გავრცელდა სიგნალის ფილტრაციის ხელსაწყოების ფორმირებაში, ბუნებრივი ლანდშაფტების სამგანზომილებიანი კომპიუტერული მოდელების სინთეზში და გამოსახულების შეკუმშვაში.

სავსებით ბუნებრივია, რომ ფრაქტალმა „მოდამ“ ანტენების თეორიას არ გვერდი აუარა. უფრო მეტიც, ანტენის ტექნოლოგიაში თანამედროვე ფრაქტალური ტექნოლოგიების პროტოტიპი იყო გასული საუკუნის 60-იანი წლების შუა ხანებში შემოთავაზებული ლოგ-პერიოდული და სპირალური კონსტრუქციები. მართალია, მკაცრი მათემატიკური გაგებით, განვითარების დროს ასეთ კონსტრუქციებს საერთო არაფერი ჰქონდა ფრაქტალ გეომეტრიასთან, სინამდვილეში იყო მხოლოდ პირველი ტიპის ფრაქტალები. ახლა მკვლევარები, ძირითადად საცდელი და შეცდომით, ცდილობენ გამოიყენონ გეომეტრიაში ცნობილი ფრაქტალები ანტენის გადაწყვეტილებებში.

ფრაქტალური ანტენები საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ თითქმის იგივე მოგება, როგორც ჩვეულებრივი, მაგრამ უფრო მცირე ზომებით, რაც მნიშვნელოვანია მობილური აპლიკაციებისთვის. განვიხილოთ სხვადასხვა ტიპის ფრაქტალური ანტენების შექმნის სფეროში მიღებული შედეგები.

პირველი პუბლიკაციები ფრაქტალური სტრუქტურების ელექტროდინამიკის შესახებ გასული საუკუნის 80-იანი წლებით თარიღდება. ფრაქტალური ანტენების ისტორიის შესახებ პუბლიკაციებში ჩვეულებრივ ნახსენებია პენსილვანიის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მეცნიერების ი. კიმი და დ.ლ. ჯაგარდი. მრავალზოლიანი სიხშირის ანტენების ფორმირებისთვის ფრაქტალური ფორმების გამოყენების შესაძლებლობის თეორიულ კვლევებში უპირატესობას ანიჭებს კატალონიის ტექნოლოგიური უნივერსიტეტის მეცნიერი C. Puente. ფრაქტალური ანტენის პირველი დიზაინი ყველაზე სრულად შესწავლილი ელექტრომაგნიტური და მიმართულების თვისებებით იყო ანტენა, რომელიც დაფუძნებულია პრეფრაქტალურ კოხის მრუდზე.

ფრაქტალები ციფრულ ტექნოლოგიაში

ფრაქტალმა გეომეტრიამ ფასდაუდებელი წვლილი შეიტანა ციფრული მუსიკის სფეროში ახალი ტექნოლოგიების განვითარებაში და ასევე შესაძლებელი გახადა ციფრული სურათების შეკუმშვა. არსებული ფრაქტალური გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმები ეფუძნება შეკუმშვის გამოსახულების შენახვის პრინციპს თავად ციფრული გამოსახულების ნაცვლად. შეკუმშვის სურათისთვის მთავარი სურათი რჩება ფიქსირებულ წერტილად. მაიკროსოფტმა თავისი ენციკლოპედიის გამოქვეყნებისას გამოიყენა ამ ალგორითმის ერთ-ერთი ვარიანტი, მაგრამ ამა თუ იმ მიზეზის გამო ეს იდეა ფართოდ არ გამოიყენებოდა.

ფრაქტალები საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში.

ფიზიკაში ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი პროცესების მოდელირებისას, როგორიცაა ტურბულენტური სითხის ნაკადი, რთული დიფუზია-ადსორბციული პროცესები, ალი, ღრუბლები და ა.შ. ფრაქტალები გამოიყენება ფოროვანი მასალების მოდელირებისთვის, მაგალითად, ნავთობქიმიაში. ნაკადებში ტურბულენტობის შესწავლა ძალიან კარგად ეგუება ფრაქტალებს. ტურბულენტური ნაკადები ქაოტურია და ამიტომ ძნელია ზუსტად მოდელირება. და აქ ფრაქტალ რეპრეზენტაციაზე გადასვლა ეხმარება, რაც მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს ინჟინრებისა და ფიზიკოსების მუშაობას, რაც მათ საშუალებას აძლევს უკეთ გაიგონ რთული ნაკადების დინამიკა. ბიოლოგიაში ისინი გამოიყენება პოპულაციების მოდელირებისთვის და შინაგანი ორგანოების სისტემების აღსაწერად. ამ დროისთვის ფრაქტალები გამოიყენება და სავარაუდოდ გამოიყენებენ მედიცინაში. თავად ადამიანის სხეული შედგება მრავალი ფრაქტალის მსგავსი სტრუქტურისგან: სისხლის მიმოქცევის სისტემა, კუნთები, ბრონქები და ა.შ.

ძალიან ხშირად ფრაქტალები გამოიყენება გეოლოგიასა და გეოფიზიკაში. საიდუმლო არ არის, რომ კუნძულების და კონტინენტების სანაპიროებს აქვთ გარკვეული ფრაქტალური განზომილება, რომლის ცოდნაც შეგიძლიათ ზუსტად გამოთვალოთ სანაპიროების სიგრძე.

ფრაქტალების ფიზიკური ინტერპრეტაცია

ალგებრული ფრაქტალის გასაგებად, განიხილეთ მარტივი ექსპერიმენტი. ძაფზე დაკიდებული ბურთი იხრება ვერტიკალიდან და თავისუფლდება. არის რყევები. თუ ბურთი ოდნავ გადახრილია, მაშინ მისი მოძრაობა აღწერილია წრფივი განტოლებებით. თუ გადახრა საკმარისად დიდია, განტოლებები აღარ იქნება წრფივი. რა შეიცვლება ამით? პირველ შემთხვევაში, რხევის სიხშირე (და, შესაბამისად, პერიოდი) არ არის დამოკიდებული საწყისი გადახრის ხარისხზე. მეორეში - ასეთი დამოკიდებულება ხდება. მექანიკური ქანქარის, როგორც რხევითი სისტემის სრული ანალოგი არის რხევითი წრე, ანუ „ელექტრული ქანქარა“. უმარტივეს შემთხვევაში, იგი შედგება ინდუქტორის, კონდენსატორისგან (ტევადობა) და რეზისტორისგან (წინააღმდეგობა). თუ სამივე ეს ელემენტი წრფივია, მაშინ წრეში რხევები წრფივი ქანქარის რხევების ტოლფასია. მაგრამ თუ, მაგალითად, ტევადობა არაწრფივია, რხევის პერიოდი დამოკიდებული იქნება მათ ამპლიტუდაზე.

რხევადი წრედის დინამიკა განისაზღვრება ორი ცვლადით, მაგალითად, დენი წრეში და ძაბვა ტევადობაზე. თუ ამ სიდიდეებს გამოვსახავთ ღერძების გასწვრივ Xდა ი, მაშინ სისტემის ყოველი მდგომარეობა შეესატყვისება გარკვეულ წერტილს მიღებულ კოორდინატულ სიბრტყეზე. ასეთ სიბრტყეს ეწოდება ფაზის სიბრტყე. (შესაბამისად, თუ დინამიური სისტემა განისაზღვრება n ცვლადით, მაშინ ორგანზომილებიანი ფაზის სიბრტყის ნაცვლად მას შეიძლება მივანიჭოთ n-განზომილებიანი ფაზის სივრცე).

ახლა დავიწყოთ ქანქარებზე მოქმედება გარე პერიოდული სიგნალით. წრფივი და არაწრფივი სისტემების რეაქცია განსხვავებული იქნება. პირველ შემთხვევაში, რეგულარული პერიოდული რხევები თანდათან დამყარდება იმავე სიხშირით, როგორც მამოძრავებელი სიგნალის სიხშირე. ფაზის სიბრტყეზე, ასეთი მოძრაობა შეესაბამება დახურულ მრუდს, რომელსაც ეწოდება მიმზიდველი (ინგლისური ზმნიდან მოზიდვა- მოზიდვა), - სტაბილური პროცესის დამახასიათებელი ტრაექტორიების ერთობლიობა. არაწრფივი ქანქარის შემთხვევაში, რთული, არაპერიოდული რხევები შეიძლება წარმოიშვას, როდესაც ფაზის სიბრტყეზე ტრაექტორია არ იხურება თვითნებურად დიდი ხნის განმავლობაში. ამ შემთხვევაში, დეტერმინისტული სისტემის ქცევა გარეგნულად სრულიად შემთხვევით პროცესს დაემსგავსება.

ამრიგად, სისტემის ფაზური სივრცე დაყოფილია მიზიდულობის მიზიდულობის რეგიონებად. თუ ფაზური სივრცე ორგანზომილებიანია, მაშინ მიზიდულობის ზონების სხვადასხვა ფერებით შეღებვით, შეგიძლიათ მიიღოთ ამ სისტემის ფერადი ფაზის პორტრეტი (იტერატიული პროცესი). ფერის შერჩევის ალგორითმის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ რთული ფრაქტალის ნიმუშები ლამაზი მრავალფეროვანი ნიმუშებით.

ფრაქტალები გამოიყენება ზედაპირების გამრუდების აღსაწერად. არათანაბარი ზედაპირი ხასიათდება ორი განსხვავებული ფრაქტალის კომბინაციით.

ფრაქტალები ბუნებაში.

ბუნება ხშირად ქმნის საოცარ და ლამაზ ფრაქტალებს სრულყოფილი გეომეტრიით და ისეთი ჰარმონიით, რომ უბრალოდ აღტაცებისგან იყინები.

ფრაქტალები ბუნებაში ხშირი მოვლენაა. ბუნება ქმნის საოცარ და ლამაზ ფრაქტალებს, სრულყოფილი გეომეტრიით და ისეთი ჰარმონიით, რომ უბრალოდ იყინები აღტაცებისგან. ეს არის ელვა, რომელიც ცურავს ცას ჰორიზონტამდე; ჩაღრმავებული მატერიკზე სანაპირო ზოლი და მთის ქედები; წყალქვეშა მარჯნები, ბუნებაში მათი 3500-ზე მეტი სახეობაა და ზღვის ჭურვები; რვაფეხა სხეულის ფრაქტალური აგებულებით და რვავე საცეცზე ჩამწოვებით და გასტროპოდის ნუდიბრანჩი; ყვავილოვანი კომბოსტო მარჯნის კომბოსტო არასტანდარტული ამოზნექილი რელიეფით; ხეების ფოთლები ყვავილები; ადამიანის სისხლის მიმოქცევის სისტემა და მრავალი სხვა. იაპონელი მხატვრის ჰოკუსაის სურათზე „დიდი ტალღა“ ხედავთ, რომ მხატვარმა, ტალღის წვეროზე დახატა, გამოიყენა ბუნებაში შესამჩნევი ფრაქტალი, თითქოს მრავალი მტაცებელი წყლისგან შედგებოდა. თათები.

ფრაქტალები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში ბუნებრივი ობიექტების გამოსახულების შესაქმნელად, როგორიცაა ხეები, ბუჩქები, მთის პეიზაჟები, ზღვის ზედაპირი და ა.შ. ფრაქტალების როლი კომპიუტერულ გრაფიკაში დღეს საკმაოდ დიდია. ისინი სამაშველოში მოდიან, მაგალითად, როდესაც საჭიროა ძალიან რთული ფორმის ხაზების და ზედაპირების მოპოვება. ფრაქტალები გამოიყენება ზედაპირების გამრუდების აღსაწერად. არათანაბარი ზედაპირი ხასიათდება ორი განსხვავებული ფრაქტალის კომბინაციით. კომპიუტერული გრაფიკის თვალსაზრისით, ფრაქტალის გეომეტრია შეუცვლელია ხელოვნური ღრუბლების, სამგანზომილებიანი რელიეფური მთებისა და ზღვის ზედაპირის წარმოქმნისთვის. ფაქტობრივად, იპოვეს გზა, რომლითაც ადვილად წარმოადგენენ რთულ არაევკლიდეს ობიექტებს, რომელთა გამოსახულებები ძალიან ჰგავს ბუნებრივებს. ფრაქტალური კომპიუტერული გრაფიკა ფართოდ გამოიყენება მულტფილმებისა და სამეცნიერო ფანტასტიკის ფილმების შესაქმნელად. გამოიყენება ფრაქტალის ფორმის ანტენები, რაც მნიშვნელოვნად ამცირებს მათ ზომას და წონას. თუ ფრაქტალებს განვიხილავთ ბიოლოგიის თვალსაზრისით, მაშინ ეს არის ნებისმიერი ქაოტური პროცესის მოდელირება, კერძოდ, პოპულაციის მოდელების აღწერაში.

ფრაქტალების გამოყენება ფორექს ვაჭრობაში

ფრაქტალები გამოიყენება ვაჭრობაში მრავალი ფორექსის ტრეიდერის მიერ. ბილ უილიამსმა დაიწყო მათი აქტიური გამოყენება ვაჭრობაში, მაგრამ უნდა აღინიშნოს, რომ ისინი მასზე დიდი ხნით ადრე იყენებდნენ, თუმცა სხვა სახელით. დოქტორი უილიამსი თავისი სამეცნიერო მუშაობის შედეგად მივიდა დასკვნამდე, რომ ბაზარი ისევე მოძრაობს, როგორც ქაოტური სისტემები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სისხლის მიმოქცევა გულში, სანაპირო ზოლში და ბამბის ფასი იგივე სტრუქტურით მოძრაობს. ბილ უილიამსის კვლევამ აჩვენა, რომ ბაზარი არა ხაზოვანი, არამედ ქაოტური სისტემაა. შესაბამისად, ხაზოვან ფუნქციებზე დაფუძნებული სტანდარტული ინდიკატორების გამოყენება მისი ანალიზისთვის არ მოიტანს ადეკვატურ შედეგს. აქედან გამომდინარეობს ისიც, რომ ბაზრის სტაბილურობა დროებითია, მუდმივი კი სწორედ ქაოსია. კომპიუტერული სიმულაციის პროცესში აღმოაჩინეს ფორექს ფრაქტალები, ამავე დროს აღმოჩენილი იქნა უკუკავშირები, რომლებიც აღწერს ბაზრის სტრუქტურას. ფრაქტალი არსებითად არის განმეორებადი ფორმირება, რომელიც თანდაყოლილია ნებისმიერ გაჩერების დაკარგვაში. ფორექსში ეს არის ნებისმიერი ბაზარი, ნებისმიერი ვადები. და მათი წარმოშობა, სასაქონლო და საფონდო ბირჟის ფრაქტალები, სანაპირო ხაზის ფრაქტალები, იგივე ბუნებაა.

ფრაქტალები არის ინდიკატორი, რომელიც შემუშავებულია ბილ უილიამსის მიერ. ეს არის მარტივი და ამავე დროს მრავალმხრივი. მისი გამოყენება შესაძლებელია როგორც დამოუკიდებელი ინდიკატორის სახით, ასევე სხვა ტექნიკური ანალიზის ინსტრუმენტებთან ერთად.

ვაჭრობა ფრაქტალების გამოყენებით ბილ უილიამსის "ქაოსის თეორიის" მიხედვით

ფრაქტალის ინდიკატორი არის ბილ უილიამსის ხუთი სავაჭრო სისტემის ინდიკატორიდან ერთ-ერთი. სისტემის მიხედვით, ფრაქტალებიდან მომდინარე სიგნალები უნდა იყოს გაფილტრული ინდიკატორის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება ალიგატორი.

აი, როგორ ვაჭროთ ფრაქტალებით:

· თუ ყიდვის სიგნალის მიმცემი ფრაქტალი ალიგატორის კბილებზე მაღლა დგას (წითელი ხაზი), ტრეიდერებმა უნდა განათავსონ მომლოდინე ყიდვის ორდერი ფრაქტალიდან რამდენიმე პუნქტით ზემოთ.

· თუ გაყიდვის სიგნალის მიმცემი ფრაქტალი ალიგატორის კბილების ქვემოთაა, ტრეიდერებმა უნდა განათავსონ მომლოდინე გაყიდვის ორდერი ფრაქტალის ქვემოთ რამდენიმე პუნქტით.

სხვა შემთხვევაში, არ უნდა ენდოთ ფრაქტალის ინდიკატორით მოწოდებულ სავაჭრო სიგნალებს.

როდესაც ვაჭრობთ ბილ უილიამსის მეთოდით, უნდა დაიცვათ ყველაზე მნიშვნელოვანი წესი: არასოდეს ენდოთ სხვა ინდიკატორების სავაჭრო სიგნალებს (Gator მაჩვენებელი, გასაოცარი ოსცილატორი, MFI და ა. კბილები (მაშინ არის წითელი ხაზის მეორე მხარეს)

სიგნალი რჩება აქტუალური მანამ, სანამ არ გააქტიურდება მომლოდინე შეკვეთა ან არ გამოჩნდება ახალი სიგნალი (ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეცვალოთ მომლოდინე შეკვეთის დონე). ყოველი ახალი ტენდენციის ფრაქტალი შეიძლება გამოყენებულ იქნას სავაჭრო პოზიციის შესაქმნელად.

ფრაქტალური ანტენები.

მობილური სატელეკომუნიკაციო ტექნოლოგიების, რადარებისა და მიკროტალღური მოძრაობის სენსორების განვითარება კარნახობს ახალი მრავალელემენტიანი ანტენის სისტემების შემუშავების აუცილებლობას, რომელიც შედგება მცირე ზომის და ოპტიმალური კონფიგურაციის მქონე ემიტერებისგან. ანტენა არის ნებისმიერი რადიო საინჟინრო მოწყობილობის განუყოფელი ნაწილი, რომელიც შექმნილია ინფორმაციის გადასაცემად ან მისაღებად რადიოტალღების გამოყენებით მიმდებარე სივრცეში. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ფრაქტალ ანტენებს აქვთ გეომეტრია, რომელიც განსხვავდება ყველა სხვა ტიპის ანტენისგან. ფრაქტალური გეომეტრიული ფორმების მთავარი მახასიათებელია მათი წილადური განზომილება. ფრაქტალური სტრუქტურების მრავალფეროვნებას შორის, მინკოვსკის ფრაქტალები ერთ-ერთი ყველაზე მოსახერხებელია ანტენების შესაქმნელად. ფრაქტალის „ინიციატორი“ არის სეგმენტი, ხოლო „გენერატორი“ არის რვა რგოლის გატეხილი ხაზი (ორი თანაბარი ბმული აგრძელებს ერთმანეთს).

ანტენის ხსნარებში გამოიყენება არა ნამდვილი ფრაქტალები, არამედ მათი პირველი განმეორებითი ფორმებიდან მხოლოდ რამდენიმე, რომლებსაც გეომეტრიაში უწოდებენ სივრცის შევსების მრუდები (SFC) ან სიბრტყე (Plane-Filling Curves, PFC). ტერმინი „პრეფრაქტალები“ ნაკლებად გამოიყენება. ყველა ეს კონცეფცია ანტენის სტრუქტურებთან დაკავშირებით შეიძლება გამოყენებულ იქნას სინონიმად. ეს არის ფრაქტალური ანტენების თეორიის ისტორიული ტერმინოლოგია, თუმცა ის არ შეესაბამება მიღებულ მათემატიკურ განმარტებებს.

SFC შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც შაბლონები მონოპოლების და დიპოლური მკლავების წარმოებისთვის, ბეჭდური ანტენების ტოპოლოგიის ფორმირებისთვის, სიხშირეზე შერჩევითი ზედაპირების (სიხშირის შერჩევითი ზედაპირები, FSS) ან სარკის რეფლექტორების ჭურვები, მარყუჟის ანტენის კონტურების და საყვირის დიაფრაგმის პროფილების ასაგებად, აგრეთვე ფრეზებში. სლოტი ანტენები. ინგლისურენოვან ლიტერატურაში შესაბამის ანტენებს ხშირად უწოდებენ "სივრცის შემავსებელ ანტენას" (SFA) (სივრცის შემავსებელი ანტენა).

მავთულის ანტენების შემთხვევაში, SFC თვითგადაკვეთა დასაშვებია მხოლოდ საწყისი (ან დასასრული) წერტილში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრაქტალის ხაზი შეიძლება გამოიყურებოდეს დახურულ კონტურს, მაგრამ არც ერთი მისი ნაწილი არ შეიძლება იყოს დახურული ფრაგმენტი. SFC ობიექტებში თვითკონტაქტის წერტილების არარსებობა საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ მათზე, როგორც „თვითაცილების“ მრუდები. აქედან, სხვათა შორის, მომდინარეობს ამ გატეხილი ხაზების სხვა სახელი - FASS-curves (space-Filling self-Avoidance Simplicity Similarity - მსგავსი სეგმენტების თვითაცილება მრუდები, რომლებიც ავსებენ სივრცეს).

არსებობს კიდევ ერთი შეზღუდვა ყველა ტიპის ფრაქტალური ანტენისთვის: მათში გამოყენებული SFC ხაზების სეგმენტები უნდა იყოს ანტენის ოპერაციული ტალღის სიგრძის მეათედზე მოკლე თავისუფალ სივრცეში. ამ შემთხვევაში, სასურველია, რომ ანტენის ტოპოლოგიებში დაკავშირებული SFC სეგმენტების საერთო რაოდენობა 10-ს აღემატებოდეს.

Cushcraft-ის სპეციალისტების მიერ მიღებული ექსპერიმენტული მონაცემები კოხის მრუდისთვის, მეანდრის ოთხი გამეორება და ხვეული ანტენა შესაძლებელს ხდის კოხის ანტენის ელექტრული თვისებების შედარებას პერიოდული სტრუქტურის მქონე სხვა ემიტერებთან. ყველა შედარებულ რადიატორს ჰქონდა მრავალსიხშირული თვისებები, რაც გამოიხატებოდა წინაღობის გრაფიკებში პერიოდული რეზონანსების არსებობით. ამასთან, მრავალ დიაპაზონის აპლიკაციებისთვის ყველაზე შესაფერისია კოხის ფრაქტალი, რომლისთვისაც, სიხშირის მატებასთან ერთად, რეაქტიული და აქტიური წინააღმდეგობების პიკური მნიშვნელობები მცირდება, ხოლო მეანდრისა და სპირალისთვის ისინი იზრდება.

ზოგადად, უნდა აღინიშნოს, რომ რთული ტოპოლოგიის მქონე გამტარში ტალღის პროცესების ანალიტიკური აღწერის არარსებობის გამო ძნელია თეორიულად წარმოადგინოს ურთიერთქმედების მექანიზმი ფრაქტალის მიმღებ ანტენასა და მასზე მოხვედრილ ელექტრომაგნიტურ ტალღებს შორის. ასეთ ვითარებაში მიზანშეწონილია ფრაქტალური ანტენების ძირითადი პარამეტრების დადგენა მათემატიკური მოდელირებით. საკმაოდ დიდი სამუშაო დაეთმო ელექტრომაგნიტური პროცესების რიცხვით შესწავლას, რომლებიც ხდება ფრაქტალ ანტენებში და გარემო ობიექტებთან მათი ურთიერთქმედების დროს. მათი დეტალური მიმოხილვა და ანალიზი სცილდება ამ სტატიის ფარგლებს. ფრაქტალური ანტენების კვლევის შედეგების შესახებ ყველა ცნობილი პუბლიკაციის საერთო ნაკლი არის ექსპერიმენტების შედეგების სტატისტიკური დამუშავების ჩვენებების არარსებობა. კერძოდ, ისინი არ აწვდიან ინფორმაციას გაზომილი პარამეტრების ნდობის ინტერვალების შესახებ, რაც არ იძლევა საშუალებას განვსაჯოთ მიღებული ემპირიული ურთიერთობების სიზუსტეზე. ზოგადად, ფრაქტალური ანტენების სტატისტიკური თეორია, რიცხვითი მეთოდებით გაანგარიშებისას, ჯერ კიდევ ელოდება მის შემქმნელებს.

ამრიგად, ანტენის სისტემის სხვადასხვა პარამეტრების ნაკრების არჩევის შესაძლებლობა კოხის გატეხილი ხაზის საფუძველზე საშუალებას აძლევს დიზაინს დააკმაყოფილოს შიდა წინააღმდეგობის მნიშვნელობისა და რეზონანსული სიხშირეების განაწილების სხვადასხვა მოთხოვნები. თუმცა, ვინაიდან რეკურსიული განზომილების და ანტენის მახასიათებლების ურთიერთდამოკიდებულების მიღება შესაძლებელია მხოლოდ გარკვეული გეომეტრიისთვის, განხილული თვისებების მართებულობა სხვა რეკურსიული კონფიგურაციისთვის საჭიროებს დამატებით შესწავლას.

დასკვნა

ფრაქტალების მეცნიერება ძალიან ახალგაზრდაა, რადგან მათ გამოჩენა დაიწყეს კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარებით. აქედან გამომდინარე, ჯერ კიდევ ბევრი რამ არ არის შესწავლილი და კიდევ ბევრია გასარკვევი. ფრაქტალების გამოყენების ძირითადი მიზეზი სხვადასხვა მეცნიერებებში არის ის, რომ ისინი აღწერენ რეალურ სამყაროს ზოგჯერ უფრო კარგად ვიდრე ტრადიციული ფიზიკა ან მათემატიკა. ჩვენ გავარკვიეთ, რომ ფრაქტალების გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ ზუსტ მეცნიერებებში, არამედ თითქმის ყველაფერში, რაც ჩვენს გარშემოა: ტანსაცმელი, ინტერიერის დეკორაციის ელემენტები, ღია ბარათების დიზაინი, ფარდები და მრავალი სხვა.

გარდა სასარგებლო როლისა, რომელსაც ფრაქტალის გეომეტრია ასრულებს ბუნებრივი ობიექტების სირთულის აღწერისას, ის ასევე იძლევა კარგ შესაძლებლობას მათემატიკური ცოდნის პოპულარიზაციისთვის. ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები ნათელი და ინტუიციურია. მისი ფორმები მიმზიდველია ესთეტიკური თვალსაზრისით და აქვს მრავალფეროვანი გამოყენება. მაშასადამე, ფრაქტალის გეომეტრია შესაძლოა დაგვეხმაროს მათემატიკის, როგორც მშრალი და მიუწვდომელი დისციპლინის ხედვის უარყოფაში და გახდება დამატებითი სტიმული მოსწავლეებისთვის, დაეუფლონ ამ საინტერესო და მომხიბვლელ მეცნიერებას.

ყველაფერში, რაც ჩვენს გარშემოა, ჩვენ ხშირად ვხედავთ ქაოსს, მაგრამ სინამდვილეში ეს არ არის შემთხვევითი, არამედ იდეალური ფორმა, რომლის ამოცნობაშიც ფრაქტალები გვეხმარება. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ სადმე ვერ ვხედავთ შაბლონებს, ეს ნიშნავს, რომ ის სხვა მასშტაბით უნდა ვეძებოთ. ადამიანები ამას უკეთესად და უკეთესად ესმით, ცდილობენ მრავალი გზით მიბაძონ ბუნებრივ ფორმებს. ინჟინრები ქმნიან დინამიკების სისტემებს გარსის სახით, ქმნიან ანტენებს ფიფქის გეომეტრიით და ა.შ. დარწმუნებული ვართ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ბევრ საიდუმლოს ინახავს და ბევრი მათგანი ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი ადამიანმა.

ფრაქტალების აღმოჩენის შემდეგ, ბევრისთვის ცხადი გახდა, რომ ევკლიდეს გეომეტრიის კარგი ძველი ფორმები ბევრად ჩამოუვარდება ბუნებრივ ობიექტებს, მათში გარკვეული უწესრიგობის, უწესრიგობისა და არაპროგნოზირებადობის არარსებობის გამო. შესაძლებელია, რომ ფრაქტალის გეომეტრიის ახალი იდეები ხელს შეუწყობს გარემომცველი ბუნების მრავალი იდუმალი ფენომენის შესწავლას.

ჩვენ მოვახერხეთ იმის ჩვენება, რომ ყველაფერი, რაც რეალურ სამყაროში არსებობს, არის ფრაქტალი. ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ისინი, ვინც ფრაქტალებთან არის დაკავშირებული, აღმოაჩენენ მშვენიერ, გასაოცარ სამყაროს, რომელშიც მათემატიკა, ბუნება და ხელოვნება მეფობს. ვიმედოვნებთ, რომ ჩვენი ნამუშევრის გაცნობის შემდეგ თქვენც, ისევე როგორც ჩვენ, დარწმუნდებით, რომ მათემატიკა ლამაზი და საოცარია.

გარდა დიდი ფუნქციონალურისა, ფრაქტალების გამოყენების შესაძლებლობისა ცხოვრების სხვადასხვა სფეროში, ეს არის ძალიან ნათელი, წვნიანი, საოცრად ლამაზი სურათები, რომლებიც დიდ ესთეტიკურ სიამოვნებას მოაქვს და საშუალებას გაძლევთ დატკბეთ. ნებისმიერს შეუძლია შექმნას საკუთარი ფრაქტალები ხელმისაწვდომი გრაფიკული პროგრამების გამოყენებით. ჩვენთვის სრულიად ახალი და ამავდროულად წარმოუდგენლად ლამაზი, ზოგჯერ ფანტასტიკური შექმნის პროცესიდან დიდ სიამოვნებას იღებთ. ფრაქტალები ძალიან მრავალფეროვანია, ისევე როგორც მათი აპლიკაციები. პრაქტიკული გამოყენებისთვის ფრაქტალის მოდელების შესწავლით, ყველას შეეძლება აირჩიოს მისთვის შესაფერისი მიმართულება.

ფრაქტალური ანტენების ფარგლები არ შემოიფარგლება სატელევიზიო სიგნალის მიღებით / გადაცემით. ისინი წარმატებით გამოიყენება wi-fi ქსელების, ფიჭური კომუნიკაციების, მათ შორის დახურული სამხედრო რადიო არხების ორგანიზებისთვის. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფრაქტალების აგების ტექნიკის დაუფლება და მათი გამოყენების არეალის ცოდნა ხელს უწყობს ცხოველური და უსულო ბუნების მრავალი ობიექტისა და პროცესის შესწავლის ეფექტურობის გაზრდას. თავის მხრივ, ეს, ერთის მხრივ, მოტივაციას უქმნის გეომეტრიის, ფიზიკის, კომპიუტერული მეცნიერების და საბუნებისმეტყველო ციკლის სხვა საგნების გამოყენების პრაქტიკულ სფეროებს, მეორეს მხრივ, საშუალებას გვაძლევს თვალყური ადევნოთ კავშირს მეცნიერებასა და რეალურ ცხოვრებას შორის. და ცალკეულ განყოფილებებს შორის

შეიძლება ითქვას, რომ, ფაქტობრივად, იპოვეს გზა რთული არაევკლიდური ობიექტების მარტივი, მოსახერხებელი წარმოდგენისთვის, რომელთა გამოსახულებები ბუნებრივის მსგავსია.

ფრაქტალები საშუალებას გაძლევთ შეხედოთ მათემატიკას სრულიად განსხვავებული პერსპექტივიდან. როგორც ჩანს, ჩვეულებრივი გამოთვლები კეთდება ჩვეულებრივი რიცხვებით, მაგრამ ეს იძლევა უნიკალურ, განუმეორებელ შედეგებს, რაც გაგრძნობინებთ ბუნების შემოქმედად. ფრაქტალები ცხადყოფს, რომ მათემატიკა ასევე სილამაზის მეცნიერებაა.

მეცნიერებისთვის ფრაქტალების აღმოჩენის მნიშვნელობა ძნელად შეიძლება გადაჭარბებული იყოს. გარემოს პრაქტიკულად ზუსტი მოდელების შექმნა საშუალებას მოგვცემს უფრო ზუსტად განვიხილოთ და შევაფასოთ მის მდგომარეობასა და განვითარებაზე მოქმედი ფაქტორები.

ფრაქტალების მიღმა დევს განვითარების უზარმაზარი პრაქტიკული პერსპექტივები. ფრაქტალები აღმოჩნდა ფუნდამენტურად ახალი აღმოჩენა გეომეტრიაში, რომელსაც შეუძლია შეცვალოს უძველესი, ბოლო დრომდე არსებული იდეები სამყაროს გეომეტრიული სტრუქტურის შესახებ.

დღესდღეობით ფრაქტალების თეორია ფართოდ გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. კვლევისთვის წმინდა სამეცნიერო ობიექტისა და უკვე ნახსენები ფრაქტალის ფერწერის გარდა, ფრაქტალები გამოიყენება ინფორმაციის თეორიაში გრაფიკული მონაცემების შეკუმშვისთვის (აქ ძირითადად გამოიყენება ფრაქტალების თვითმსგავსების თვისება - ბოლოს და ბოლოს, მცირე ფრაგმენტის დასამახსოვრებლად. ნახატისა და გარდაქმნების შესახებ, რომლითაც შეგიძლიათ მიიღოთ დანარჩენი ნაწილები, გაცილებით ნაკლები მეხსიერება სჭირდება, ვიდრე მთლიანი ფაილის შესანახად). შემთხვევითი არეულობა ფორმულებში, რომლებიც განსაზღვრავენ ფრაქტალს, შეიძლება მივიღოთ სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც ძალიან დამაჯერებლად გადმოსცემს ზოგიერთ რეალურ ობიექტს - რელიეფის ელემენტებს, წყლის ობიექტების ზედაპირს, ზოგიერთ მცენარეს, რაც წარმატებით გამოიყენება ფიზიკაში, გეოგრაფიაში და კომპიუტერულ გრაფიკაში. სიმულირებული ობიექტების უფრო დიდი მსგავსება რეალურთან. რადიო ელექტრონიკაში, ბოლო ათწლეულში, მათ დაიწყეს ანტენების წარმოება, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მცირე ადგილს იკავებენ, ისინი უზრუნველყოფენ საკმაოდ მაღალი ხარისხის სიგნალის მიღებას. ეკონომისტები იყენებენ ფრაქტალებს ვალუტის რყევების მრუდების აღსაწერად (ეს თვისება მანდელბროტმა აღმოაჩინა 30 წელზე მეტი ხნის წინ). ამით დასრულდა ეს მოკლე ექსკურსია ფრაქტალების სამყაროში, საოცარი სილამაზითა და მრავალფეროვნებით.

ამ კვლევითი სამუშაოს მსვლელობისას დასახული ამოცანები შესრულდა, მიღწეული იქნა მიზანი და დადასტურდა ჰიპოთეზა.

ბიბლიოგრაფია

მათემატიკური ზედაპირების სილამაზე. - M.: Kub, 2005;

ლეონტიევი VP, უახლესი ინტერნეტ ენციკლოპედია. - მ.: OLMA-PRESS, 2003;

მანდელბროტი ბ. ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია. - მ .: "კომპიუტერული კვლევების ინსტიტუტი", 2002;

მარშაკ ს.ია. რედ.: მხატვრული ლიტერატურა 1985;

შლიახტინა ს., "ფრაქტალური გრაფიკის სამყაროში". - სანკტ-პეტერბურგი, კომპიუტერის ფასი, 2005;

გაზეთი „ინფორმატიკა“, No24, 2008 წ.;

Paytgen H.-O., Richter P. H. ფრაქტალების სილამაზე. - M .: "Mir", 1993;

Kronover R. M. ფრაქტალები და ქაოსი დინამიურ სისტემებში. თეორიის საფუძვლები;

Mandelbrot B. Self-affine ფრაქტალების კომპლექტები, "ფრაქტალები ფიზიკაში". მ.: მირი 1988;

მოროზოვი ა.დ. ფრაქტალების თეორიის შესავალი. ნიჟნი ნოვგოროდი: ნიჟეგოროდის გამომცემლობა. 1999 წლის უნივერსიტეტი;

ბოჟოკინი ს.ვ., პარშინი დ.ა. ფრაქტალები და მულტიფრაქტალები. RHD 2001 წ

J. Milnor Holomorphic დინამიკა. RHD 2000

Vitolin D. ფრაქტალების გამოყენება კომპიუტერულ გრაფიკაში. // Computerworld-Russia.-1995 წ.

Paytgen H.-O., Richter P. H. ფრაქტალების სილამაზე. - მ .: "მირ", 1993 წ.

Kronover R. M. ფრაქტალები და ქაოსი დინამიურ სისტემებში. თეორიის საფუძვლები

Mandelbrot B. Self-affine ფრაქტალების კომპლექტები, "ფრაქტალები ფიზიკაში". მ.: მირი 1988 წ

მანდელბროტი ბ. ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია.

მოროზოვი ა.დ. ფრაქტალების თეორიის შესავალი. ნიჟნი ნოვგოროდი: ნიჟეგოროდის გამომცემლობა. უნივერსიტეტი 1999 წ.

ინტერნეტ რესურსები

http://elementy.ru;

http://ru.wikipedia.org;

http://www.deviantart.com

http://fractals.nsu.ru;

http://fraktals.ucoz.ru;

http://www.bsu.burnet.ru/library/berson/index.html;

http://www.uni-dubna.ru/kafedr/mazny/page11.htm;

http://robots.ural.net/fractals/;

ისინი წარმოიქმნება ზუსტად მათემატიკური ანალიზის საფუძვლებიდან. მათემატიკური კონცეფციის ფრაქტალების თეორია ემყარება იმ ფაქტს, რომ ყველა ფენომენი, რომელიც ჩვენს გარშემოა, ხშირად შედგება ერთგვარი თვითგანმეორებადი ფიგურებისგან.

მაგალითად, სანაპირო ზოლს ან ხის ფოთოლს შეიძლება ეწოდოს ფრაქტალური ფორმები. მათემატიკის თეორიაში ფრაქტალი უსაზღვროდ საკუთარი თავის მსგავსია, რომელშიც მასშტაბის შემცირებისას ყოველი ფრაგმენტი მეორდება.

თუ რომელიმე სანაპირო ხაზის ხაზს დააკვირდებით, თვითმფრინავის მხრიდან, შეგიძლიათ დაინახოთ ხაზი ერთი მოსახვევის გარეშე, მაგრამ როგორც კი დაღმართს დავიწყებთ, უფრო და უფრო მეტი მოსახვევები გამოჩნდება სანაპირო ზოლზე, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფიგურა დაიწყებს უფრო მკაფიო მონახაზის მიღებას.

ფრაქტალების თეორიის ძირითადი მახასიათებლები

ფრაქტალების თეორია სწავლობს ასეთი შემთხვევითი ფენომენების ფორმირების ნიმუშებს. ბაზარი შესანიშნავი ფიგურაა, რომელიც შედგება სხვადასხვა განზომილებისგან. ამასთან დაკავშირებით, გრაფიკზე მნიშვნელოვანი პუნქტების მოძიება შეიძლება განხორციელდეს ფრაქტალურ ანალიზზე დაფუძნებული მეთოდების გამოყენებით.

ყველაზე ხელმისაწვდომი ფრაქტალების თეორიის თეზისები გამოთქვა თავისი დროის ცნობილმა ტრეიდერმა ბილ გილმსმა.

სწორედ მან დაადგინა ფრაქტალი ჩარტზე ხუთ ბარიანი დაბალი და მაღალი მნიშვნელობის სახით. ამ ჰიპოთეზის მთავარი იდეა ისაა, რომ ფასის დონე 5 ცალკეული დროის ინტერვალის განმავლობაში არ უნდა გაიზარდოს ან დაბლა დაეცეს მოცემული დროის მაქსიმუმზე (მაგალითად, წუთი, საათი ან დღე).

რეკომენდირებულია: ფრაქტალები, რომლებსაც იყენებენ სპეციალისტები ვაჭრობაში:

არც ისე მნიშვნელოვანია, როგორი იქნება ეს გრაფიკები, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, პრაქტიკულად, რუსული ბაზრის სფეროში, ისინი უდიდეს ეფექტურობას იძლევა. ხშირ შემთხვევაში, დაბალი და მაღალი მაჩვენებლები ქმნიან მხარდაჭერისა და წინააღმდეგობის ხაზებს. და მას შემდეგ, რაც ფასი გადალახავს ამ დონეებს, ის ჩვეულებრივ აგრძელებს მოძრაობას იმავე მიმართულებით გარკვეული ხნით.

ძირითადად ტენდენციურ ბაზარზე, ზემოაღნიშნული დონეების გავლისას, (ეს იყოს) გაყიდვა ან ყიდვა, ხშირად ტრეიდერს კარგ შემოსავალს აძლევს.

მაგრამ თუ ბაზარზე სიმშვიდეა, საკომისიოს შეუძლია დაბლოკოს ინვესტორის მთელი შემოსავალი და იმისათვის, რომ ეს არ მოხდეს, აზრი აქვს დამატებით შემოიტანოთ თქვენს სავაჭრო სტრატეგიაში.

მათემატიკა,
თუ სწორად შეხედავ,
ასახავს არა მხოლოდ სიმართლეს,
არამედ შეუდარებელი სილამაზეც.
ბერტრანდ რასელი.

თქვენ, რა თქმა უნდა, გსმენიათ ფრაქტალების შესახებ. თქვენ ნამდვილად გინახავთ ეს თვალწარმტაცი სურათები Bryce3d-დან, რომლებიც უფრო რეალურია, ვიდრე თავად რეალობა. მთები, ღრუბლები, ხის ქერქი – ეს ყველაფერი სცილდება ჩვეულებრივ ევკლიდეს გეომეტრიას. ჩვენ არ შეგვიძლია აღვწეროთ ქვა ან კუნძულის საზღვრები ხაზებით, წრეებით და სამკუთხედებით. სწორედ აქ მოდის ფრაქტალები სამაშველოში. რა არის ეს ნაცნობი უცნობები? როდის გამოჩნდნენ?

გარეგნობის ისტორია.

ფრაქტალის გეომეტრიის პირველი იდეები წარმოიშვა მე-19 საუკუნეში. კანტორმა, მარტივი რეკურსიული (განმეორებითი) პროცედურის გამოყენებით, ხაზი გადააქცია ერთმანეთთან დაუკავშირებელ წერტილებად (ე.წ. Cantor Dust). მან აიღო ხაზი და ამოიღო ცენტრალური მესამედი და შემდეგ იგივე გაიმეორა დანარჩენ სეგმენტებთან ერთად. პეანომ დახატა სპეციალური სახის ხაზი (ნახაზი #1). მის დასახატად პეანომ გამოიყენა შემდეგი ალგორითმი.

პირველ საფეხურზე მან აიღო სწორი ხაზი და შეცვალა იგი 9 სეგმენტით 3-ჯერ უფრო მოკლე, ვიდრე თავდაპირველი ხაზის სიგრძე (1-ლი სურათის ნაწილი 1 და 2). შემდეგ მან იგივე გააკეთა მიღებული ხაზის თითოეულ სეგმენტთან. და ასე უსასრულოდ. მისი უნიკალურობა მდგომარეობს იმაში, რომ იგი ავსებს მთელ თვითმფრინავს. დადასტურებულია, რომ სიბრტყის ყველა წერტილისთვის შეიძლება იპოვოთ წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება Peano ხაზს. პეანოს მრუდი და კანტორის მტვერი გასცდა ჩვეულებრივ გეომეტრიულ ობიექტებს. მათ არ ჰქონდათ მკაფიო განზომილება. კანტორის მტვერი აგებული იყო, როგორც ჩანს, ერთგანზომილებიანი სწორი ხაზის საფუძველზე, მაგრამ შედგებოდა წერტილებისგან (განზომილება 0). და პეანოს მრუდი აშენდა ერთგანზომილებიანი ხაზის საფუძველზე და შედეგი იყო თვითმფრინავი. მეცნიერების ბევრ სხვა სფეროში გაჩნდა პრობლემები, რამაც გამოიწვია უცნაური შედეგები, როგორიცაა ზემოთ აღწერილი (ბრაუნის მოძრაობა, აქციების ფასები).

ფრაქტალების მამა

მე-20 საუკუნემდე ასეთ უცნაურ ობიექტებზე მონაცემების დაგროვება ხდებოდა მათი სისტემატიზაციის მცდელობის გარეშე. ასე იყო მანამ, სანამ ისინი არ მიიღეს ბენუა მანდელბროტმა - თანამედროვე ფრაქტალის გეომეტრიის და სიტყვის ფრაქტალის მამამ. IBM-ში მათემატიკურ ანალიტიკოსად მუშაობისას, ის სწავლობდა ხმაურს ელექტრონულ სქემებში, რომლის აღწერა შეუძლებელია სტატისტიკის გამოყენებით. თანდათანობით ფაქტების შედარებისას მივიდა მათემატიკაში ახალი მიმართულების - ფრაქტალის გეომეტრიის აღმოჩენამდე.

რა არის ფრაქტალი. მანდელბროტმა თავად მიიღო სიტყვა ფრაქტალი ლათინური სიტყვიდან fractus, რაც ნიშნავს გატეხილს (ნაწილებად დაყოფას). და ფრაქტალის ერთ-ერთი განმარტება არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან და რომელიც შეიძლება დაიყოს ნაწილებად, რომელთაგან თითოეული იქნება მთლიანის (მინიმუმ დაახლოებით) პატარა ასლი.

უფრო ნათლად რომ წარმოვიდგინოთ ფრაქტალი, განვიხილოთ ბ. მანდელბროტის წიგნში „The Fractal Geometry of Nature“ („ბუნების ფრაქტალი გეომეტრია“), რომელიც კლასიკად იქცა – „რა არის სანაპიროს სიგრძე. ბრიტანეთი?". ამ კითხვაზე პასუხი არც ისე მარტივია, როგორც ჩანს. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია ხელსაწყოს სიგრძეზე, რომელსაც ჩვენ გამოვიყენებთ. კილომეტრის სახაზავით სანაპიროს გაზომვით მივიღებთ გარკვეულ სიგრძეს. თუმცა, ჩვენ გამოგვტოვებს ბევრი პატარა ყურე და ნახევარკუნძული, რომლებიც ბევრად უფრო მცირეა ვიდრე ჩვენი დიაპაზონი. მმართველის ზომის, ვთქვათ, 1 მეტრამდე შემცირებით, გავითვალისწინებთ ლანდშაფტის ამ დეტალებს და, შესაბამისად, სანაპიროს სიგრძე უფრო გრძელი გახდება. მოდით წავიდეთ წინ და გავზომოთ სანაპიროს სიგრძე მილიმეტრიანი სახაზავი, ჩვენ გავითვალისწინებთ დეტალებს, რომლებიც მილიმეტრზე მეტია, სიგრძე კიდევ უფრო გრძელი იქნება. შედეგად, ასეთ ერთი შეხედვით მარტივ კითხვაზე პასუხმა შეიძლება ვინმე დააბნიოს – ბრიტანეთის სანაპიროს სიგრძე უსასრულოა.

ცოტა ზომების შესახებ.

ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ მუდმივად ვხვდებით განზომილებებს. ჩვენ ვაფასებთ გზის სიგრძეს (250 მ), ვიგებთ ბინის ფართობს (78 მ2) და ვეძებთ ლუდის ბოთლის მოცულობას (0,33 დმ3) სტიკერზე. ეს კონცეფცია საკმაოდ ინტუიციურად ნათელია და, როგორც ჩანს, არ საჭიროებს განმარტებას. წრფეს აქვს განზომილება 1. ეს ნიშნავს, რომ საცნობარო წერტილის არჩევით შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ ხაზის ნებისმიერი წერტილი 1 რიცხვის გამოყენებით - დადებითი ან უარყოფითი. და ეს ეხება ყველა ხაზს - წრეს, კვადრატს, პარაბოლას და ა.შ.

განზომილება 2 ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია ცალსახად განვსაზღვროთ ნებისმიერი წერტილი ორი რიცხვით. არ იფიქროთ, რომ ორგანზომილებიანი ნიშნავს ბრტყელს. სფეროს ზედაპირი ასევე ორგანზომილებიანია (ის შეიძლება განისაზღვროს ორი მნიშვნელობის გამოყენებით - კუთხეები, როგორიცაა სიგანე და გრძედი).

თუ მათემატიკური თვალსაზრისით გადავხედავთ, მაშინ განზომილება განისაზღვრება შემდეგნაირად: ერთგანზომილებიანი ობიექტებისთვის - მათი წრფივი ზომის გაორმაგება იწვევს ზომის (ამ შემთხვევაში სიგრძის) ორჯერ გაზრდას (2 ^ 1).

ორგანზომილებიანი ობიექტებისთვის, ხაზოვანი ზომების გაორმაგება იწვევს ზომის ოთხჯერ (2^2) ზრდას (მაგალითად, მართკუთხედის ფართობი).

სამგანზომილებიანი ობიექტებისთვის, წრფივი ზომების ორჯერ გაზრდა იწვევს მოცულობის რვაჯერ გაზრდას (2^3) და ა.შ.

ამრიგად, განზომილება D შეიძლება გამოითვალოს S ობიექტის "ზომის" ზრდის დამოკიდებულების საფუძველზე ხაზოვანი ზომების ზრდაზე L. D=log(S)/log(L). ხაზისთვის D=log(2)/log(2)=1. სიბრტყისთვის D=log(4)/log(2)=2. ტომისთვის D=log(8)/log(2)=3. შეიძლება ცოტა დამაბნეველი იყოს, მაგრამ ზოგადად მარტივი და გასაგებია.

რატომ ვამბობ ამ ყველაფერს? და იმისათვის, რომ გავიგოთ, როგორ გამოვყოთ ფრაქტალები, ვთქვათ, ძეხვისგან. შევეცადოთ გამოვთვალოთ პენოს მრუდის განზომილება. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს თავდაპირველი ხაზი, რომელიც შედგება X სიგრძის სამი სეგმენტისგან, შეცვლილი 9 სეგმენტით სამჯერ ნაკლები სიგრძით. ამრიგად, როდესაც მინიმალური სეგმენტი 3-ჯერ იზრდება, მთელი ხაზის სიგრძე იზრდება 9-ჯერ და D=log(9)/log(3)=2 არის ორგანზომილებიანი ობიექტი!!!

ასე რომ, როდესაც ზოგიერთი მარტივი ობიექტიდან (სეგმენტებიდან) მიღებული ფიგურის განზომილება აღემატება ამ ობიექტების განზომილებას, საქმე გვაქვს ფრაქტალთან.

ფრაქტალები იყოფა ჯგუფებად. ყველაზე დიდი ჯგუფებია:

გეომეტრიული ფრაქტალები.

სწორედ მათთან დაიწყო ფრაქტალების ისტორია. ამ ტიპის ფრაქტალები მიიღება მარტივი გეომეტრიული კონსტრუქციებით. როგორც წესი, ამ ფრაქტალების აგებისას ასე ხდება: იღებენ „თესლს“ - აქსიომას - სეგმენტების ერთობლიობას, რომლის საფუძველზეც აშენდება ფრაქტალი. გარდა ამისა, ამ "თესლზე" გამოიყენება წესების ნაკრები, რომელიც მას რაღაც გეომეტრიულ ფიგურად გარდაქმნის. გარდა ამისა, წესების იგივე ნაკრები კვლავ გამოიყენება ამ ფიგურის თითოეულ ნაწილზე. ყოველი ნაბიჯის შემდეგ ფიგურა უფრო და უფრო რთული გახდება და თუ განვახორციელებთ (გონებით მაინც) უსასრულო რაოდენობის ტრანსფორმაციას, მივიღებთ გეომეტრიულ ფრაქტალს.

ზემოთ განხილული პეანოს მრუდი არის გეომეტრიული ფრაქტალი. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს გეომეტრიული ფრაქტალების სხვა მაგალითებს (მარცხნიდან მარჯვნივ, კოხის ფიფქი, ლისტი, სიერპინსკის სამკუთხედი).

ფიფქია კოხი

ფურცელი

სიერპინსკის სამკუთხედი

ამ გეომეტრიული ფრაქტალებიდან პირველი ძალიან საინტერესო და საკმაოდ ცნობილი - კოხის ფიფქია. აგებულია ტოლგვერდა სამკუთხედის საფუძველზე. თითოეული ხაზი, რომლის ___ ჩანაცვლებულია 4 ხაზით, თითოეული 1/3 ორიგინალის _/\_ სიგრძის. ამრიგად, ყოველი გამეორებით, მრუდის სიგრძე მესამედით იზრდება. და თუ ჩვენ გავაკეთებთ უსასრულო რაოდენობის გამეორებას, მივიღებთ ფრაქტალს - უსასრულო სიგრძის კოხის ფიფქს. გამოდის, რომ ჩვენი უსასრულო მრუდი მოიცავს შეზღუდულ ფართობს. სცადეთ იგივე გააკეთოთ ევკლიდეს გეომეტრიის მეთოდებით და ფიგურებით.

კოხის ფიფქის ზომა (როდესაც ფიფქი 3-ჯერ იზრდება მისი სიგრძე იზრდება 4-ჯერ) D=log(4)/log(3)=1.2619...

ეგრეთ წოდებული L-სისტემები კარგად არის შესაფერისი გეომეტრიული ფრაქტალების ასაგებად. ამ სისტემების არსი მდგომარეობს იმაში, რომ არსებობს სისტემის სიმბოლოების გარკვეული ნაკრები, რომელთაგან თითოეული აღნიშნავს გარკვეულ მოქმედებას და სიმბოლოების გარდაქმნის წესებს. მაგალითად, კოხის ფიფქის აღწერა L-Systems-ის გამოყენებით Fractint პროგრამაში

; ადრიან მარიანო მანდელბროტის ბუნების ფრაქტალური გეომეტრიიდან Koch1 ( ;დააყენეთ ბრუნვის კუთხე 360/6=60 გრადუსიკუთხე 6 ; ასაშენებელი საწყისი ნახაზიაქსიომა F--F--F ; სიმბოლოების კონვერტაციის წესი F=F+F--F+F)

ამ აღწერაში, სიმბოლოების გეომეტრიული მნიშვნელობები შემდეგია:

F ნიშნავს ხაზის დახატვას + საათის ისრის მიმართულებით მოხვევას - საათის ისრის საწინააღმდეგოდ შემობრუნებას

ფრაქტალების მეორე თვისებაა თვითმსგავსება. ავიღოთ, მაგალითად, სიერპინსკის სამკუთხედი. ტოლგვერდა სამკუთხედის ცენტრიდან ასაგებად, სამკუთხედს „ამოვჭრით“. იგივე პროცედურას ვიმეორებთ სამი ჩამოყალიბებული სამკუთხედის (გარდა ცენტრალური) და ასე უსასრულოდ. თუ ახლა ავიღებთ რომელიმე ჩამოყალიბებულ სამკუთხედს და გავდიდებთ, მივიღებთ მთლიანის ზუსტ ასლს. ამ შემთხვევაში საქმე გვაქვს სრულ თვითმსგავსებასთან.

მე მაშინვე გავაკეთებ დათქმას, რომ ამ სტატიაში ფრაქტალის ნახატების უმეტესობა მიღებულია Fractint პროგრამის გამოყენებით. თუ გაინტერესებთ ფრაქტალები, მაშინ ეს თქვენთვის აუცილებელი პროგრამაა. მისი დახმარებით შეგიძლიათ ააწყოთ ასობით სხვადასხვა ფრაქტალი, მიიღოთ ამომწურავი ინფორმაცია მათ შესახებ და მოუსმინოთ კიდეც, როგორ ჟღერს ფრაქტალები;).

იმის თქმა, რომ პროგრამა კარგია, არაფრის თქმაა. მშვენიერია ერთის გარდა - უახლესი ვერსია 20.0 ხელმისაწვდომია მხოლოდ DOS ვერსიაში :(. შეგიძლიათ იპოვოთ ეს პროგრამა (უახლესი ვერსია 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .

დატოვე კომენტარი

კომენტარები

კარგად, საჭმლისთვის, Microsoft Excel-ის საინტერესო მაგალითი. A2 და B2 უჯრედებში, იგივე მნიშვნელობები 0-დან 1-მდეა. 0,5 მნიშვნელობით, არანაირი ეფექტი არ არის.

გამარჯობა ყველას, ვინც მოახერხა პროგრამის შექმნა ფრატის სურათიდან. ვინ მეტყვის ციკლის რომელი მეთოდი გამოვიყენო გვიმრის ფრაქტალების მდელოს ასაშენებლად 3D max საყრდენით 100 000 გამეორებით ქვაზე 2800 mH სიხშირით

არის დრაკონის მრუდის დახატვის პროგრამით წყარო, ასევე ფრაქტალი.

სტატია გასაოცარია. და Excel ალბათ კოპროცესორის შეცდომაა (ბოლო დაბალ ბიტებზე)

როგორ აღმოაჩინეს ფრაქტალი

მათემატიკური ფორმები, რომლებიც ცნობილია როგორც ფრაქტალები, ეკუთვნის გამოჩენილი მეცნიერის ბენუა მანდელბროტის გენიოსს. ცხოვრების უმეტესი ნაწილი ასწავლიდა მათემატიკას იელის უნივერსიტეტში, შეერთებულ შტატებში. 1977 - 1982 წლებში მანდელბროტმა გამოაქვეყნა სამეცნიერო ნაშრომები, რომლებიც ეძღვნებოდა "ფრაქტალური გეომეტრიის" ან "ბუნების გეომეტრიის" შესწავლას, რომელშიც მან დაშალა ერთი შეხედვით შემთხვევითი მათემატიკური ფორმები შემადგენელ ელემენტებად, რომლებიც მეორდებოდა უფრო დეტალური შემოწმებისას, რაც დადასტურდა. კოპირებისთვის გარკვეული ნიმუშის არსებობა. მანდელბროტის აღმოჩენას მნიშვნელოვანი შედეგები მოჰყვა ფიზიკის, ასტრონომიისა და ბიოლოგიის განვითარებაში.

ფრაქტალები ბუნებაში

ბუნებაში, ბევრ ობიექტს აქვს ფრაქტალური თვისებები, მაგალითად: ხის გვირგვინები, ყვავილოვანი კომბოსტო, ღრუბლები, ადამიანებისა და ცხოველების სისხლის მიმოქცევის და ალვეოლარული სისტემები, კრისტალები, ფიფქები, რომელთა ელემენტები ერთ რთულ სტრუქტურაშია, სანაპიროები (ფრაქტალის კონცეფცია დაშვებულია მეცნიერები ბრიტანეთის კუნძულების სანაპირო ზოლისა და სხვა ადრე გაუზომავი ობიექტების გასაზომად).

განვიხილოთ ყვავილოვანი კომბოსტოს სტრუქტურა. თუ რომელიმე ყვავილს მოჭრით, აშკარაა, რომ ხელებში იგივე ყვავილოვანი კომბოსტო რჩება, მხოლოდ მცირე ზომის. ჩვენ შეგვიძლია განვაგრძოთ ჭრა ისევ და ისევ, თუნდაც მიკროსკოპის ქვეშ - მაგრამ მხოლოდ ყვავილოვანი კომბოსტოს პაწაწინა ასლები ვიღებთ. ამ უმარტივეს შემთხვევაში, ფრაქტალის მცირე ნაწილიც კი შეიცავს ინფორმაციას მთელი საბოლოო სტრუქტურის შესახებ.

ფრაქტალები ციფრულ ტექნოლოგიაში

ფრაქტალური კომპიუტერული გრაფიკის ძირითადი ცნებებია:

ფრაქტალის სამკუთხედი - ფრაქტალის ფიგურა - ფრაქტალის ობიექტი (იერარქია კლებადობით)
ფრაქტალის ხაზი
ფრაქტალის შემადგენლობა
"მშობელი ობიექტი" და "მემკვიდრე ობიექტი"

როგორ ავაშენოთ ფრაქტალი?

ფრაქტალების შემქმნელი ერთდროულად ასრულებს მხატვრის, ფოტოგრაფის, მოქანდაკისა და მეცნიერ-გამომგონებლის როლს. როგორია ნახატის ნულიდან შექმნის ეტაპები?

დააყენეთ სურათის ფორმა მათემატიკური ფორმულით
შეისწავლეთ პროცესის კონვერგენცია და შეცვალეთ მისი პარამეტრები
აირჩიეთ სურათის ტიპი
აირჩიეთ ფერების პალიტრა

ფრაქტალის გრაფიკულ რედაქტორებსა და სხვა გრაფიკულ პროგრამებს შორისაა:

"ხელოვნების დამლაგებელი"
"მხატვარი" (კომპიუტერის გარეშე ვერცერთი მხატვარი ვერასოდეს მიაღწევს პროგრამისტების მიერ დადგენილ შესაძლებლობებს მხოლოდ ფანქრისა და ფუნჯის კალმის დახმარებით)
"Adobe Photoshop" (მაგრამ აქ სურათი არ იქმნება ნულიდან, არამედ, როგორც წესი, მხოლოდ დამუშავებულია)

განვიხილოთ თვითნებური ფრაქტალური გეომეტრიული ფიგურის განლაგება. მის ცენტრში არის უმარტივესი ელემენტი - ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომელმაც მიიღო იგივე სახელი: "ფრაქტალი". გვერდების შუა სეგმენტზე ვაშენებთ ტოლგვერდა სამკუთხედებს, რომელთა გვერდი უდრის საწყისი ფრაქტალური სამკუთხედის გვერდის მესამედს. ამავე პრინციპით შენდება მეორე თაობის კიდევ უფრო მცირე სამკუთხედები-მემკვიდრეები - და ასე უსასრულოდ. მიღებულ ობიექტს ეწოდება "ფრაქტალური ფიგურა", რომლის მიმდევრობებიდან ვიღებთ "ფრაქტალურ კომპოზიციას".

წყარო: http://www.iknowit.ru/

ფრაქტალები და უძველესი მანდალები

ეს არის მანდალა ფულის მოსაზიდად. ამბობენ, რომ წითელი მუშაობს ფულის მაგნიტივით. მორთული ნიმუშები რამეს გახსენებთ? ისინი ძალიან ნაცნობი მეჩვენებოდნენ და დავიწყე მანდალების შესწავლა ფრაქტალის სახით.

პრინციპში, მანდალა არის რთული სტრუქტურის გეომეტრიული სიმბოლო, რომელიც განმარტებულია, როგორც სამყაროს მოდელი, "კოსმოსის რუკა". აი, ფრაქტალობის პირველი ნიშანი!

ისინი ნაქარგია ქსოვილზე, მოხატული ქვიშაზე, დამზადებულია ფერადი ფხვნილებით და დამზადებულია ლითონის, ქვისა და ხისგან. მისი ნათელი და მომხიბლავი გარეგნობა აქცევს მას ინდოეთის ტაძრების იატაკის, კედლებისა და ჭერის მშვენიერ დეკორაციას. ძველ ინდურ ენაზე "მანდალა" ნიშნავს სამყაროს სულიერ და მატერიალურ ენერგიებს შორის ურთიერთობის მისტიკურ წრეს, ან სხვაგვარად სიცოცხლის ყვავილს.

მინდოდა დამეწერა ძალიან მოკლე მიმოხილვა ფრაქტალური მანდალაების შესახებ, მინიმალური აბზაცებით, რომ მეჩვენებინა, რომ ურთიერთობა აშკარად არსებობს. თუმცა, როდესაც ვცდილობდი ფრაქტალებისა და მანდალების შესახებ ინფორმაციის ერთ მთლიანობაში მოძიებას და დაკავშირებას, მე მქონდა კვანტური ნახტომის განცდა უცნობ სივრცეში.

მე ვაჩვენებ ამ თემის უკიდეგანობას ციტატით: ”ასეთი ფრაქტალური კომპოზიციები ან მანდალები შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ნახატების, საცხოვრებელი და სამუშაო შენობების დიზაინის ელემენტების, ჩასაცმელი ამულეტების, ვიდეო კასეტების, კომპიუტერული პროგრამების სახით ... ზოგადად, ფრაქტალების შესწავლის თემა უბრალოდ უზარმაზარია.

ერთი რამ დანამდვილებით შემიძლია ვთქვა, რომ სამყარო ბევრად უფრო მრავალფეროვანი და მდიდარია, ვიდრე ჩვენი გონების სავალალო წარმოდგენები მასზე.

ფრაქტალური ზღვის ცხოველები

ჩემი ვარაუდები ფრაქტალ ზღვის ცხოველების შესახებ უსაფუძვლო არ იყო. აქ არის პირველი წარმომადგენლები. რვაფეხა არის ზღვის ფსკერის ცხოველი კეფალოპოდების რიგიდან.

ამ ფოტოს დათვალიერებისას, ჩემთვის აშკარა გახდა მისი სხეულის ფრაქტალური სტრუქტურა და ამ ცხოველის რვავე საცეცზე ჩოჩქოლი. ზრდასრული რვაფეხის საცეცებზე მწოვრები 2000-მდე აღწევს.

საინტერესო ფაქტია ის, რომ რვაფეხას სამი გული აქვს: ერთი (მთავარი) ლურჯ სისხლს ატარებს მთელ სხეულში, ხოლო მეორე ორი - ღრმულები - სისხლს უბიძგებს ლოყებში. ამ ღრმა ზღვის ფრაქტალების ზოგიერთი ტიპი შხამიანია.

გარემოსთან ადაპტაციით და შენიღბვით, რვაფეხას აქვს ძალიან სასარგებლო უნარი შეცვალოს ფერი.

რვაფეხა ითვლება ყველაზე „ჭკვიანად“ ყველა უხერხემლო ცხოველს შორის. ისინი ცნობენ ადამიანებს, ეჩვევიან მათ, ვინც მათ კვებავს. საინტერესო იქნებოდა რვაფეხების ნახვა, რომელთა გაწვრთნა მარტივია, კარგი მეხსიერება და გეომეტრიული ფორმების გარჩევაც კი. მაგრამ ამ ფრაქტალური ცხოველების ასაკი არ არის დიდი - მაქსიმუმ 4 წელი.

ადამიანი იყენებს ამ ცოცხალი ფრაქტალისა და სხვა ცეფალოპოდების მელანს. მათ ეძებენ მხატვრები მათი გამძლეობისა და ლამაზი ყავისფერი ტონის გამო. ხმელთაშუა ზღვის სამზარეულოში რვაფეხა არის ვიტამინების B3, B12, კალიუმის, ფოსფორის და სელენის წყარო. მაგრამ მე ვფიქრობ, რომ თქვენ უნდა შეძლოთ ამ ზღვის ფრაქტალების მომზადება, რათა ისიამოვნოთ მათი საკვების სახით.

სხვათა შორის, უნდა აღინიშნოს, რომ რვაფეხები მტაცებლები არიან. ისინი თავიანთი ფრაქტალური საცეცებით იკავებენ მსხვერპლს მოლუსკების, კიბოსნაირებისა და თევზის სახით. სამწუხაროა, თუ ასეთი ლამაზი მოლუსკი ამ ზღვის ფრაქტალების საკვები გახდება. ჩემი აზრით, ის ასევე ზღვის სამეფოს ფრაქტალების ტიპიური წარმომადგენელია.

ეს არის ლოკოკინების ნათესავი, გასტროპოდური ნუდიბრანჩის მოლუსკი Glaucus, aka Glaucus, aka Glaucus atlanticus, aka Glaucilla marginata. ეს ფრაქტალი ასევე უჩვეულოა იმითაც, რომ ის ცხოვრობს და მოძრაობს წყლის ზედაპირის ქვეშ, ზედაპირული დაძაბულობით. იმიტომ რომ მოლუსკი ჰერმაფროდიტია, შემდეგ შეჯვარების შემდეგ ორივე „პარტნიორი“ დებს კვერცხებს. ეს ფრაქტალი გვხვდება ტროპიკული ზონის ყველა ოკეანეში.

ზღვის სამეფოს ფრაქტალები

თითოეულ ჩვენგანს ცხოვრებაში ერთხელ მაინც ეჭირა ხელში და ჭეშმარიტი ბავშვური ინტერესით გამოიკვლია ზღვის ჭურვი.

ჩვეულებრივ, ჭურვი არის ლამაზი სუვენირი, რომელიც მოგაგონებთ ზღვაში მოგზაურობას. როდესაც უყურებთ უხერხემლო მოლუსკების ამ სპირალურ ფორმირებას, ეჭვი არ ეპარება მის ფრაქტალურ ბუნებაში.

ჩვენ ადამიანები გარკვეულწილად ვგავართ ამ რბილ მოლუსკებს, ვცხოვრობთ კომფორტულ ფრაქტალური ბეტონის სახლებში, ათავსებენ და მოძრაობენ სხეულს სწრაფ მანქანებში.

ფრაქტალის წყალქვეშა სამყაროს კიდევ ერთი ტიპიური წარმომადგენელია მარჯანი.
ბუნებაში ცნობილია მარჯნის 3500-ზე მეტი სახეობა, რომელთა პალიტრაში 350-მდე ფერის ელფერი გამოირჩევა.

მარჯანი არის მარჯნის პოლიპების კოლონიის ჩონჩხის მასალა, ასევე უხერხემლოების ოჯახიდან. მათი უზარმაზარი დაგროვება ქმნის მთელ მარჯნის რიფებს, რომელთა ფორმირების ფრაქტალური გზა აშკარაა.

მარჯანი სრული თავდაჯერებულობით შეიძლება ეწოდოს ფრაქტალს ზღვის სამეფოდან.

მას ასევე იყენებს ადამიანი, როგორც სუვენირი ან ნედლეული სამკაულებისა და ორნამენტებისთვის. მაგრამ ფრაქტალური ბუნების სილამაზისა და სრულყოფილების გამეორება ძალიან რთულია.

რატომღაც ეჭვი არ მეპარება, რომ წყალქვეშა სამყაროში ბევრი ფრაქტალი ცხოველიც მოიძებნება.

კიდევ ერთხელ, სამზარეულოში რიტუალს ჩავატარე დანით და საჭრელი დაფით, შემდეგ კი, დანა ცივ წყალში ჩავრგე, ისევ ცრემლით ვხვდებოდი, როგორ გავუმკლავდე ცრემლის ფრაქტალს, რომელიც თითქმის ყოველდღიურად ჩნდება ჩემს თვალწინ.

ფრაქტალობის პრინციპი იგივეა, რაც ცნობილი მობუდარი თოჯინის - ბუდეების. ამიტომ ფრაქტალობა მაშინვე არ შეიმჩნევა. გარდა ამისა, ღია ერთგვაროვანი ფერი და უსიამოვნო შეგრძნებების გამოწვევის მისი ბუნებრივი უნარი არ უწყობს ხელს სამყაროს მჭიდრო დაკვირვებას და ფრაქტალური მათემატიკური ნიმუშების იდენტიფიკაციას.

მაგრამ იასამნისფერი სალათის ხახვი, მისი ფერისა და ცრემლსადენი ფიტონციდების არარსებობის გამო, მიბიძგა მეფიქრა ამ ბოსტნეულის ბუნებრივ ფრაქტალობაზე. რა თქმა უნდა, ეს არის მარტივი ფრაქტალი, სხვადასხვა დიამეტრის ჩვეულებრივი წრეები, შეიძლება ითქვას, ყველაზე პრიმიტიული ფრაქტალიც კი. მაგრამ ცუდი არ იქნება გავიხსენოთ, რომ ბურთი ჩვენს სამყაროში იდეალურ გეომეტრიულ ფიგურად ითვლება.

ინტერნეტში ბევრი სტატია გამოქვეყნდა ხახვის სასარგებლო თვისებების შესახებ, მაგრამ რატომღაც არავის უცდია ამ ბუნებრივი ნიმუშის შესწავლა ფრაქტალობის თვალსაზრისით. მე შემიძლია მხოლოდ განვაცხადო ჩემს სამზარეულოში ხახვის სახით ფრაქტალის გამოყენების სარგებლობა.

P.S. და მე უკვე ვიყიდე ბოსტნეულის საჭრელი ფრაქტალის დასაჭრელად. ახლა თქვენ უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ რამდენად ფრაქტალურია ისეთი ჯანსაღი ბოსტნეული, როგორიცაა ჩვეულებრივი თეთრი კომბოსტო. ბუდეების იგივე პრინციპი.

ფრაქტალები ხალხურ ხელოვნებაში

ჩემი ყურადღება მსოფლიოში ცნობილი სათამაშო „მატრიოშკას“ ისტორიამ მიიპყრო. უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ეს სუვენირების სათამაშო ტიპიური ფრაქტალია.

ფრაქტალობის პრინციპი აშკარაა, როცა ხის სათამაშოს ყველა ფიგურა ზედიზედ დალაგებულია და არა ერთმანეთში ბუდობს.

ჩემმა პატარა კვლევამ მსოფლიო ბაზარზე ამ სათამაშო ფრაქტალის გამოჩენის ისტორიაში აჩვენა, რომ ამ სილამაზეს იაპონური ფესვები აქვს. მატრიოშკა ყოველთვის ითვლებოდა ორიგინალურ რუსულ სუვენირად. მაგრამ აღმოჩნდა, რომ ის იყო ძველი ბრძენი ფუკურუმის იაპონური ფიგურის პროტოტიპი, რომელიც ერთხელ იაპონიიდან მოსკოვში ჩამოიყვანეს.

მაგრამ ეს იყო რუსული სათამაშო ხელნაკეთობა, რომელმაც მსოფლიო პოპულარობა მოუტანა ამ იაპონურ ფიგურას. საიდან გაჩნდა სათამაშოს ფრაქტალური ბუდეების იდეა, პირადად ჩემთვის, საიდუმლო დარჩა. სავარაუდოდ, ამ სათამაშოს ავტორმა გამოიყენა ფიგურების ერთმანეთში ბუდობის პრინციპი. და ინვესტიციის ყველაზე მარტივი გზა არის სხვადასხვა ზომის მსგავსი ფიგურები და ეს უკვე ფრაქტალია.

არანაკლებ საინტერესო შესწავლის ობიექტია ფრაქტალის სათამაშოს მოხატვა. ეს არის დეკორატიული ნახატი - ხოხლომა. ხოხლომას ტრადიციული ელემენტებია ყვავილების, კენკრის და ტოტების მცენარეული ნიმუშები.

ისევ და ისევ, ფრაქტალობის ყველა ნიშანი. ყოველივე ამის შემდეგ, ერთი და იგივე ელემენტი შეიძლება რამდენჯერმე განმეორდეს სხვადასხვა ვერსიით და პროპორციით. შედეგი არის ხალხური ფრაქტალის ფერწერა.

და თუ არავის გააკვირვებთ კომპიუტერის მაუსების, ლეპტოპის გადასაფარებლებისა და ტელეფონების ახალი ნახატით, მაშინ მანქანის ფრაქტალური დაყენება ხალხურ სტილში რაღაც ახალია მანქანის დიზაინში. რჩება მხოლოდ გაკვირვება ჩვენს ცხოვრებაში ფრაქტალების სამყაროს ასეთი უჩვეულო გზით ჩვენთვის ასეთ ჩვეულებრივ ნივთებში.

ფრაქტალები სამზარეულოში

ყოველთვის, როცა ყვავილოვან კომბოსტოს ვჭრიდი პატარა ყვავილედებად მდუღარე წყალში გასათეთრებლად, არასოდეს მიმიქცევია ყურადღება ფრაქტალურობის აშკარა ნიშნებზე, სანამ ეს ნიმუში ხელში არ მქონდა.

ჩემი სამზარეულოს მაგიდაზე მცენარეული სამყაროს ფრაქტალის ტიპიური წარმომადგენელი ფრიალებდა.

ყვავილოვანი კომბოსტოსადმი მთელი ჩემი სიყვარულით, ყოველთვის ვხვდებოდი ეგზემპლარებს ერთიანი ზედაპირით, ფრაქტალურობის ხილული ნიშნების გარეშე, და ერთმანეთში ბუდებული ყვავილის დიდი რაოდენობაც კი არ მაძლევდა მიზეზს ამ სასარგებლო ბოსტნეულში ფრაქტალი მენახა.

მაგრამ ამ კონკრეტული ნიმუშის ზედაპირი გამოხატული ფრაქტალური გეომეტრიით ეჭვს არ ტოვებდა ამ ტიპის კომბოსტოს ფრაქტალურ წარმოშობაზე.

ჰიპერმარკეტში კიდევ ერთმა მოგზაურობამ მხოლოდ დაადასტურა კომბოსტოს ფრაქტალური სტატუსი. ეგზოტიკური ბოსტნეულის უზარმაზარ რაოდენობას შორის იყო ფრაქტალების მთელი ყუთი. ეს იყო რომანესკუ, ანუ რომაული ბროკოლი, მარჯნის ყვავილოვანი კომბოსტო.

გამოდის, რომ დიზაინერები და 3D მხატვრები აღფრთოვანებული არიან მისი ეგზოტიკური ფრაქტალის მსგავსი ფორმებით.

კომბოსტოს კვირტები იზრდება ლოგარითმული სპირალით. რომანესკუს კომბოსტოს პირველი ნახსენები იტალიიდან მე-16 საუკუნეში მოვიდა.

ბროკოლი კი სულაც არ არის ჩემი რაციონში ხშირი სტუმარი, თუმცა ყვავილოვან კომბოსტოს საკვებ ნივთიერებებისა და მიკროელემენტების შემცველობით მრავალჯერ აჯობებს. მაგრამ მისი ზედაპირი და ფორმა იმდენად ერთგვაროვანია, რომ აზრადაც არ მომსვლია მასში მცენარეული ფრაქტალის დანახვა.

ფრაქტალები კვილინგში

კვილინგის ტექნიკის გამოყენებით ღია ხელნაკეთობების დანახვისას, არასდროს დამტოვებია იმის განცდა, რომ ისინი რაღაცას მახსენებენ. ერთი და იგივე ელემენტების გამეორება სხვადასხვა ზომებში - რა თქმა უნდა, ეს არის ფრაქტალობის პრინციპი.

კვილინგის მორიგი მასტერკლასის ყურების შემდეგ, ეჭვიც კი არ შეგვეპარა კვილინგის ფრაქტალობაში. მართლაც, კვილინგისგან ხელნაკეთობების სხვადასხვა ელემენტების დასამზადებლად გამოიყენება სპეციალური სახაზავი სხვადასხვა დიამეტრის წრეებით. პროდუქტების მთელი სილამაზითა და ორიგინალურობით, ეს წარმოუდგენლად მარტივი ტექნიკაა.

ქვილინგის ხელნაკეთობების თითქმის ყველა ძირითადი ელემენტი დამზადებულია ქაღალდისგან. უფასო quilling ქაღალდის შესანახად, შეამოწმეთ თქვენი წიგნების თაროები სახლში. რა თქმა უნდა, იქ ნახავთ რამდენიმე ნათელ პრიალა ჟურნალს.

Quilling ინსტრუმენტები მარტივი და იაფია. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ სამოყვარულო კვილინგის გასაკეთებლად, შეგიძლიათ იპოვოთ თქვენს სახლში საკანცელარიო ნივთებს შორის.

კვილინგის ისტორია კი ევროპაში მე-18 საუკუნიდან იწყება. რენესანსის ეპოქაში, ფრანგული და იტალიური მონასტრების ბერები იყენებდნენ კვილინგს წიგნების ყდის გასაფორმებლად და არც კი იცოდნენ მათ მიერ გამოგონილი ქაღალდის გადახვევის ტექნიკის ფრაქტალურობა. მაღალი საზოგადოების გოგონები კვილინგის კურსს სპეციალურ სკოლებშიც კი გაიარეს. ასე დაიწყო ამ ტექნიკის გავრცელება ქვეყნებსა და კონტინენტებზე.

ამ ვიდეოს quilling მასტერკლასს მდიდრული ქლიავის დამზადების შესახებ შეიძლება ეწოდოს "გააკეთე შენ თვითონ ფრაქტალებიც". ქაღალდის ფრაქტალების დახმარებით მიიღება მშვენიერი ექსკლუზიური ვალენტინობის ბარათები და ბევრი სხვა საინტერესო რამ. ყოველივე ამის შემდეგ, ფანტაზია, ისევე როგორც ბუნება, ამოუწურავია.

საიდუმლო არ არის, რომ იაპონელები ცხოვრებაში ძალიან შეზღუდულია სივრცეში და, შესაბამისად, მათ ყველანაირად უნდა გამოირჩეოდნენ მისი ეფექტური გამოყენებისას. Takeshi Miyakawa გვიჩვენებს, თუ როგორ შეიძლება ამის გაკეთება ეფექტურად და ესთეტიურად ამავე დროს. მისი ფრაქტალის კარადა ადასტურებს, რომ ფრაქტალების გამოყენება დიზაინში არა მხოლოდ მოდის ხარკია, არამედ ჰარმონიული დიზაინის გადაწყვეტა შეზღუდულ სივრცეში.

რეალურ ცხოვრებაში ფრაქტალების გამოყენების ამ მაგალითმა, ავეჯის დიზაინთან დაკავშირებით, მაჩვენა, რომ ფრაქტალები რეალურია არა მხოლოდ ქაღალდზე მათემატიკურ ფორმულებში და კომპიუტერულ პროგრამებში.

და როგორც ჩანს, ბუნება ყველგან იყენებს ფრაქტალურობის პრინციპს. თქვენ უბრალოდ უნდა დააკვირდეთ მას და ის გამოვლინდება მთელი თავისი ბრწყინვალე სიმრავლითა და არსების უსასრულობით.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

როგორ დაიწყო ეს ყველაფერი

რა არის ფრაქტალი, მარტივი სიტყვებით

ფრაქტალური ობიექტები ბუნებაში

სანაპირო ზოლი

Ტყე

ცირკულაცია

მდინარის სანიაღვრე

ჩვენი სამყარო

პრაქტიკულ საკითხებზე

დასკვნა

ფრაქტალების თეორიის ძირითადი მახასიათებლები

რეკომენდირებულია: ფრაქტალები, რომლებსაც იყენებენ სპეციალისტები ვაჭრობაში:

გარეგნობის ისტორია.

ფრაქტალების მამა

ცოტა ზომების შესახებ.

გეომეტრიული ფრაქტალები.

დატოვე კომენტარი

კომენტარები

როგორ აღმოაჩინეს ფრაქტალი

ფრაქტალები ბუნებაში

ფრაქტალები ციფრულ ტექნოლოგიაში

როგორ ავაშენოთ ფრაქტალი?

ფრაქტალები და უძველესი მანდალები

ფრაქტალური ზღვის ცხოველები

ზღვის სამეფოს ფრაქტალები

ფრაქტალები ხალხურ ხელოვნებაში

ფრაქტალები სამზარეულოში

ფრაქტალები კვილინგში

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ