მათემატიკური ანალიზი

ფუნქციის ლიმიტი

თანმიმდევრობის ლიმიტი და ფუნქცია. ლიმიტის თეორემები

მუდმივი რიცხვი ადაურეკა თანმიმდევრობის ლიმიტი(x n ) თუ რაიმე თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის e არსებობს რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა მნიშვნელობა x n, რომლისთვისაც n>N აკმაყოფილებს უტოლობას

êx n - a ê< e. (1.1)

ჩაწერეთ შემდეგნაირად: ან x n ® a.

უტოლობა (1.1) უდრის ორმაგ უტოლობას

ა-ე< x n < a + e, (1.2)

რაც ნიშნავს, რომ ქულები x n, დაწყებული რაღაც n>N რიცხვიდან, დევს ინტერვალის შიგნით (a-e, a+e), ე.ი. მოხვდება წერტილის ნებისმიერ პატარა ელექტრონულ სამეზობლოში ა.

თანმიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება თანხვედრა, წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული.

ფუნქციის ლიმიტის ცნება არის მიმდევრობის ზღვრის კონცეფციის განზოგადება, ვინაიდან მიმდევრობის ლიმიტი შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც მთელი რიცხვის არგუმენტის x n = f(n) ფუნქციის ზღვარი. ნ.

მიეცით ფუნქცია f(x) და მოდით ა - ლიმიტის წერტილიამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი D(f), ე.ი. ისეთი წერტილი, რომლის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს D(f) სიმრავლის წერტილებს, რომლებიც განსხვავდებიან ა. Წერტილი აშეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ იყოს D(f) სიმრავლეს.

განმარტება 1.მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ფუნქციის ლიმიტი f(x) ზე x®a თუ რომელიმე მიმდევრობისთვის (x n) არგუმენტების მნიშვნელობების მიმართ ა, შესაბამის მიმდევრობებს (f(x n)) აქვთ იგივე ზღვარი A.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა ჰაინეს მიხედვით,ან " თანმიმდევრობის ენაზე”.

განმარტება 2. მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ფუნქციის ლიმიტი f(x) ზე x®a, თუ თვითნებური, თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვის e მინიჭების შემთხვევაში, შეიძლება ვიპოვოთ d >0 (დამოკიდებულია e) ისეთი, რომ ყველასთვის x, წევს ნომრის დ-მეზობლად ა, ე.ი. ამისთვის xუთანასწორობის დაკმაყოფილება
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა კოშის მიხედვით,ან „ენაზეე - დ“.

1 და 2 განმარტებები ექვივალენტურია. თუ ფუნქცია f(x) როგორც x ® a აქვს A-ს ტოლი ლიმიტი, ეს იწერება როგორც

F(x) = A. (1.3)

იმ შემთხვევაში, თუ მიმდევრობა (f(x n)) იზრდება (ან მცირდება) განუსაზღვრელი ვადით მიახლოების ნებისმიერი მეთოდისთვის xთქვენს ლიმიტამდე ა, მაშინ ვიტყვით, რომ f(x) ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი,და დაწერე როგორც:

F(x) = ¥ ( f(x) = - ¥).

ცვლადს (ანუ თანმიმდევრობას ან ფუნქციას), რომელსაც აქვს ნული, როგორც მისი ზღვარი, ეწოდება უსასრულოდ პატარა.

ცვლადი, რომელსაც აქვს უსასრულო ზღვარი, ეწოდება უსასრულოდ დიდი.

პრაქტიკაში საზღვრების მოსაძებნად გამოიყენება შემდეგი თეორემები.

თეორემა 1. თუ არსებობს ზღვრები f(x)=A, g(x)=B, მაშინ

(f(x)+(g(x)) = A + B, (1.4)

F(x) g(x) = AB, (1.5)

F(x)/g(x) = A/B (B 10). (1.6)

კომენტარი. 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ ფორმის გამონათქვამები განუსაზღვრელია, მაგალითად, ორი უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი რაოდენობის თანაფარდობა და ამ სახის ზღვრების პოვნას ეწოდება "გაურკვევლობის გამჟღავნება".

თეორემა 2.(f(x)) a = ( f(x)) a , სადაც a = const, (1.7)

იმათ. შესაძლებელია მუდმივ მაჩვენებელზე ხარისხის ფუძის ზღვარზე გადასვლა, კერძოდ, ;

B f(x) =b A , სადაც b = const, f(x)=A; (1.8)

Log c f(x) = log c f(x), სადაც c = const. (1.9)

თეორემა 3.= 1, = 1, a = const, a >0,

(1 + ა) 1/ a = ე, (1.11)

სადაც ე» 2.7 არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი. ფორმულებს (1.10) და (1.11) უწოდებენ პირველ და მეორე ღირსშესანიშნავ ზღვრებს.

ფორმულის (1.11) შედეგები ასევე გამოიყენება პრაქტიკაში:

ჟურნალი გ ე, (1.12)

(a a - 1)/a = log a, (1.13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (1.14)

კერძოდ,

თუ x® a და x > a, მაშინ ჩაწერეთ x® a+0. თუ, კერძოდ, a=0, მაშინ სიმბოლოს ნაცვლად 0+0 ჩაწერეთ +0. ანალოგიურად, თუ x®a და, უფრო მეტიც, x ლიმიტი მარჯვნივდა ლიმიტი ფუნქციის მარცხნივ f(x) წერტილში ა. f(x) ფუნქციის ზღვრის x®a-დ არსებობისთვის აუცილებელია და საკმარისია = .

ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი წერტილში x 0 თუ

პირობა (1.15) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ანუ ლიმიტზე გადასვლა ფუნქციის ნიშნით შესაძლებელია, თუ იგი მოცემულ წერტილში უწყვეტია.

თუ თანასწორობა (1.15) ირღვევა, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ ზე x = xo ფუნქცია f(x) აქვს უფსკრული.განვიხილოთ ფუნქცია y = 1/x. ამ ფუნქციის დომენი არის ნაკრები რ, გარდა x = 0. წერტილი x = 0 არის D(f) სიმრავლის ზღვრული წერტილი, ვინაიდან მის რომელიმე უბანში, ე.ი. ნებისმიერი ღია ინტერვალი, რომელიც შეიცავს 0 წერტილს, შეიცავს წერტილებს D(f)-დან, მაგრამ ის თავად არ მიეკუთვნება ამ სიმრავლეს. მნიშვნელობა f(x o)= f(0) არ არის განსაზღვრული, ამიტომ ფუნქციას აქვს უწყვეტობა x o = 0 წერტილში.

ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი მარჯვნივ ერთ წერტილში xo თუ

და უწყვეტი მარცხნივ ერთ წერტილში x o თუ

ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში x oუდრის მის უწყვეტობას ამ წერტილში, როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ.

იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში x oმაგალითად, მარჯვნივ, აუცილებელია, ჯერ ერთი, რომ იყოს სასრული ზღვარი და მეორეც, ეს ზღვარი ტოლი იყოს f(x o). ამიტომ, თუ ამ ორი პირობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ფუნქციას ექნება ხარვეზი.

1. თუ არსებობს და არ უდრის f(x o), მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია f(x) წერტილში xo აქვს პირველი სახის შესვენება,ან ხტომა.

2. თუ ¥ ტოლია ან არ არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ ში წერტილი x o ფუნქციას აქვს მეორე სახის უწყვეტობა.

მაგალითად, ფუნქციას y = ctg x x® +0-ზე აქვს ზღვარი +¥-ის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ x=0 წერტილში მას აქვს მეორე სახის უწყვეტობა. ფუნქცია y = E(x) (მთლიანი ნაწილი x) მთელი რიცხვის აბსცისის მქონე წერტილებში აქვს პირველი სახის წყვეტები, ანუ ნახტომები.

ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალის ყველა წერტილში, ეწოდება უწყვეტი in . უწყვეტი ფუნქცია წარმოდგენილია მყარი მრუდით.

ბევრი პრობლემა, რომელიც დაკავშირებულია გარკვეული რაოდენობის უწყვეტ ზრდასთან, იწვევს მეორე საყურადღებო ზღვარს. ასეთი ამოცანები, მაგალითად, მოიცავს: შენატანის ზრდა ნაერთის კანონის მიხედვით, ქვეყნის მოსახლეობის ზრდა, რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა, ბაქტერიების გამრავლება და ა.შ.

განიხილეთ Ya. I. Perelman-ის მაგალითი, რომელიც იძლევა რიცხვის ინტერპრეტაციას ერთული პროცენტის პრობლემაში. ნომერი ეარის ზღვარი ე= . შემნახველ ბანკებში საპროცენტო ფული ყოველწლიურად ემატება ძირითად კაპიტალს. თუ კავშირი უფრო ხშირად კეთდება, მაშინ კაპიტალი უფრო სწრაფად იზრდება, რადგან ინტერესის ფორმირებაში დიდი თანხაა ჩართული. ავიღოთ წმინდა თეორიული, უაღრესად გამარტივებული მაგალითი. ბანკმა დადოს 100 დენ. ერთეულები წელიწადში 100%-ით. თუ პროცენტიანი ფული ძირითად კაპიტალს მხოლოდ ერთი წლის შემდეგ დაემატება, მაშინ ამ დროისთვის 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 200 დენად. ახლა ვნახოთ 100 დენში რა გადაიქცევა. ერთეულები, თუ საპროცენტო თანხა ემატება ძირითად კაპიტალს ყოველ ექვს თვეში ერთხელ. ნახევარი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გაიზრდება 100 × 1,5 = 150-ით, ხოლო კიდევ ექვს თვეში - 150 × 1,5 = 225-ით (დენ. ერთეული). თუ შეერთება ხდება ყოველ 1/3 წელიწადში, მაშინ ერთი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 100 × (1 + 1/3) 3"237 (დენ. ერთეული). ჩვენ გავზრდით საპროცენტო თანხის დამატების ვადებს 0.1 წელზე, 0.01 წელს, 0.001 წელს და ა.შ. მერე 100 დენიდან. ერთეულები ერთი წლის შემდეგ:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (დენ. ერთეული).

გაერთიანების პროცენტის შეუზღუდავი შემცირებით, დაგროვილი კაპიტალი განუსაზღვრელი ვადით არ იზრდება, მაგრამ უახლოვდება გარკვეულ ზღვარს, რომელიც უდრის დაახლოებით 271-ს. წლიური 100%-ზე განთავსებული კაპიტალი არ შეიძლება გაიზარდოს 2,71-ჯერ მეტი, თუნდაც დარიცხული პროცენტი იყოს. ყოველ წამს ემატება დედაქალაქს, რადგან

მაგალითი 1რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის გამოყენებით დაამტკიცეთ, რომ x n =(n-1)/n მიმდევრობას აქვს 1-ის ტოლი ზღვარი.

გადაწყვეტილება.ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ რაც არ უნდა ავიღოთ e>0, მისთვის არის ნატურალური რიცხვი N, ისეთი, რომ ყველა n > N-ისთვის უტოლობა იყოს ½ x n -1 ½

ავიღოთ ნებისმიერი e >0. ვინაიდან ½ x n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, მაშინ N-ის საპოვნელად საკმარისია 1/n უტოლობის ამოხსნა. 1/e და, შესაბამისად, N შეიძლება მივიღოთ, როგორც 1/e-ის მთელი რიცხვი, N = E(1/e). ამით ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ x n = 1.

მაგალითი 2. იპოვეთ საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი x n = .

გადაწყვეტილება.ვიყენებთ ჯამის ლიმიტის თეორემას და ვპოულობთ თითოეული წევრის ზღვარს. როგორც n ®¥ თითოეული წევრის მრიცხველი და მნიშვნელი მიისწრაფვის უსასრულობისკენ და ჩვენ არ შეგვიძლია პირდაპირ გამოვიყენოთ კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემა. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით x n, პირველი წევრის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა n 2და მეორე ნ. შემდეგ, კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემისა და ჯამის ლიმიტის თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ:

მაგალითი 3. x n = . იპოვეთ x n.

გადაწყვეტილება. = .

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ხარისხის ლიმიტის თეორემა: ხარისხის ზღვარი უდრის ფუძის ლიმიტის ხარისხს.

მაგალითი 4. Პოვნა ().

გადაწყვეტილება.შეუძლებელია სხვაობის ზღვრული თეორემის გამოყენება, რადგან გვაქვს ¥ - ¥ ფორმის განუსაზღვრელობა. მოდით გადავცვალოთ ზოგადი ტერმინის ფორმულა:

მაგალითი 5. მოცემულია ფუნქცია f(x)=2 1/x. დაამტკიცე რომ არ არსებობს.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ ფუნქციის ლიმიტის 1 განმარტებას მიმდევრობით. აიღეთ თანმიმდევრობა ( x n ) 0-მდე, ე.ი. xn=0. ვაჩვენოთ, რომ მნიშვნელობა f(x n)= განსხვავებულად იქცევა სხვადასხვა მიმდევრობისთვის. მოდით x n = 1/n. ცხადია, 1/n =0, შემდეგ = 2 n = +¥. ავირჩიოთ ახლა როგორც x nმიმდევრობა საერთო ტერმინით x n = -1/n, ასევე ნულისკენ მიდრეკილი. = 2 - n = 1/2 n = 0. ამიტომ, 2 1/x არ არსებობს.

მაგალითი 6. დაამტკიცე ეს ცოდვა xარ არსებობს.

გადაწყვეტილება.მოდით x 1 , x 2 ,..., x n ,... იყოს მიმდევრობა რომლისთვისაც
x n = ¥. როგორ იქცევა მიმდევრობა (f(x n)) = (sin x n ) სხვადასხვა x n ®¥-სთვის?

თუ x n = pn, მაშინ sin x n = sin pn = 0 ყველასთვის ნდა sinxn=0. თუ
x n \u003d 2pn + p / 2, შემდეგ sin x n \u003d sin (2pn + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 ყველასთვის ნდა შესაბამისად sin x n =1. ასე რომ, sin x არ არსებობს.

მაგალითი 7Პოვნა .

გადაწყვეტილება.გვაქვს: = 5. აღნიშნეთ t = 5x. x®0-სთვის გვაქვს: t®0. ფორმულის (3.10) გამოყენებით ვიღებთ 5-ს.

მაგალითი 8. გამოთვალეთ.

გადაწყვეტილება.ავღნიშნოთ y=p-x. შემდეგ, როგორც x®p, y®0, გვაქვს:

sin 3x \u003d sin 3 (p-y) \u003d sin (3p-3y) \u003d sin 3y.

sin 4x \u003d sin 4 (p-y) \u003d sin (4p-4y) \u003d - ცოდვა 4y.

მაგალითი 9. Პოვნა .

გადაწყვეტილება.აღნიშნეთ arcsin x=t. შემდეგ x=sin t და x®0 t®0-სთვის. = .

მაგალითი 10. იპოვე 1); 2) ; 3).

გადაწყვეტილება.

1. 1 თეორემის გამოყენებით სხვაობისა და ნამრავლის ზღვარზე ვპოულობთ მნიშვნელის ზღვარს: .

მნიშვნელის ზღვარი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, 1-ლი თეორემის მიხედვით კოეფიციენტის ზღვარზე ვიღებთ: = .

2. აქ მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია ნულისკენ, ე.ი. არის 0/0 ფორმის გაურკვევლობა. კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემა უშუალოდ არ გამოიყენება. "გაურკვევლობის გასამჟღავნებლად", ჩვენ გარდაქმნით ამ ფუნქციას. მრიცხველისა და მნიშვნელის x-2-ზე გაყოფით, x ¹ 2-ისთვის მივიღებთ ტოლობას:

ვინაიდან (x + 1) ¹ 0, მაშასადამე, კოეფიციენტის ზღვრული თეორემით ვპოულობთ

3. x®¥-ის მრიცხველი და მნიშვნელი უსასრულოდ დიდი ფუნქციებია. მაშასადამე, კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემა უშუალოდ არ გამოიყენება. გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი x2და გამოიყენე კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემა მიღებულ ფუნქციაზე:

მაგალითი 11. Პოვნა .

გადაწყვეტილება.აქ მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია ნულისკენ: , x-9®0, ე.ი. ჩვენ გვაქვს ფორმის გაურკვევლობა.

ჩვენ გარდაქმნით ამ ფუნქციას მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით გამოხატვის ჯამის არასრულ კვადრატზე, მივიღებთ

მაგალითი 12. Პოვნა .

გადაწყვეტილება. = .

6.2. ლიმიტების გამოყენება ეკონომიკურ გამოთვლებში

Საერთო ინტერესი

პრაქტიკულ გამოთვლებში ძირითადად გამოიყენება დისკრეტული პროცენტები, ე.ი. პროცენტი დარიცხული ფიქსირებული თანაბარი დროის ინტერვალებით (წელი, ნახევარი წელი, კვარტალი და ა.შ.). დრო არის დისკრეტული ცვლადი. ზოგიერთ შემთხვევაში, უწყვეტ პროცესებთან დაკავშირებულ მტკიცებულებებში და გამოთვლებში, საჭირო ხდება უწყვეტი პროცენტების გამოყენება. განვიხილოთ რთული პროცენტის ფორმულა:

S = P(1 + i) n. (1.16)

აქ P არის საწყისი თანხა, i არის საპროცენტო განაკვეთი (ათწილადი წილადი), S არის თანხა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სესხის ვადის ბოლოს. ნწელიწადი. რთული პროცენტის ზრდა არის პროცესი, რომელიც ვითარდება ექსპონენტურად. დარიცხული პროცენტის დამატება იმ თანხაზე, რომელიც მათი დადგენის საფუძველს წარმოადგენდა, ხშირად უწოდებენ პროცენტის კაპიტალიზაცია.ფინანსურ პრაქტიკაში ხშირად აწყდებიან პრობლემას, რომელიც დაგროვილი თანხის დადგენის საპირისპიროა: მოცემულ თანხაზე S, რომელიც უნდა გადაიხადოს გარკვეული დროის შემდეგ. ნ, აუცილებელია მიღებული სესხის ოდენობის განსაზღვრა P. ამ შემთხვევაში ვამბობთ, რომ თანხა ს ფასდაკლებით, და პროცენტები სხვაობის სახით S - P ეწოდება ფასდაკლება.მნიშვნელობა P, რომელიც ნაპოვნია S დისკონტირებით, ეწოდება თანამედროვე,ან მოცემული,მნიშვნელობა S. ჩვენ გვაქვს:

P = z P = = 0.

ამრიგად, გადახდის ძალიან გრძელი პირობებით, ამ უკანასკნელის დღევანდელი ღირებულება უკიდურესად უმნიშვნელო იქნება.

პრაქტიკულ ფინანსურ და საკრედიტო ოპერაციებში იშვიათად გამოიყენება ფულის დარიცხვის უწყვეტი პროცესები, ანუ დროის უსასრულოდ მცირე პერიოდებში დარიცხვა. უწყვეტ ზრდას გაცილებით დიდი მნიშვნელობა აქვს რთული სამრეწველო და ეკონომიკური ობიექტების და ფენომენების რაოდენობრივ ფინანსურ და ეკონომიკურ ანალიზში, მაგალითად, საინვესტიციო გადაწყვეტილებების შერჩევისა და დასაბუთებისას. უწყვეტი დარიცხვების (ან უწყვეტი პროცენტების) გამოყენების აუცილებლობა განისაზღვრება, პირველ რიგში, იმით, რომ ბევრი ეკონომიკური ფენომენი ბუნებით უწყვეტია, შესაბამისად, ანალიტიკური აღწერა უწყვეტი პროცესების სახით უფრო ადეკვატურია, ვიდრე დისკრეტულზე დაფუძნებული. ჩვენ განვაზოგადებთ რთული პროცენტის ფორმულას იმ შემთხვევისთვის, როდესაც პროცენტი დარიცხულია მწელიწადში ერთხელ:

S = P (1 + ი/მ) მნ .

დისკრეტულ პროცესებში დაგროვილი რაოდენობა ამ ფორმულით არის ნაპოვნი აქ მ- წელიწადში დარიცხვის პერიოდების რაოდენობა, მე- წლიური ან ნომინალური განაკვეთი. Უფრო მრაც უფრო მოკლეა დროის ინტერვალი პროცენტის გამოთვლის მომენტებს შორის. ლიმიტში, როგორც m ®¥ გვაქვს:

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n .

ვინაიდან (1 + i/m) m = e i, მაშინ `S = P e in.

პროცენტის უწყვეტი ზრდით გამოიყენება სპეციალური ტიპის საპროცენტო განაკვეთი - ზრდის სიძლიერე, რომელიც ახასიათებს დაგროვილი რაოდენობის შედარებით ზრდას დროის უსასრულოდ მცირე პერიოდში. პროცენტის უწყვეტი კაპიტალიზაციისას დარიცხული თანხა უდრის საბოლოო თანხას, რომელიც დამოკიდებულია საწყის თანხაზე, დარიცხვის პერიოდზე და ნომინალურ საპროცენტო განაკვეთზე. იმისათვის, რომ განვასხვავოთ უწყვეტი საპროცენტო განაკვეთები და დისკრეტული საპროცენტო განაკვეთები, პირველს აღვნიშნავთ d-ით, შემდეგ `S = Pe .

ზრდის ძალა d არის ნომინალური საპროცენტო განაკვეთი m®¥-ზე. მულტიპლიკატორი გამოითვლება კომპიუტერის გამოყენებით ან ფუნქციების ცხრილების მიხედვით.

გადახდის ნაკადები. ფინანსური ქირა

კონტრაქტები, ტრანზაქციები, კომერციული და საწარმოო და საქმიანი ოპერაციები ხშირად ითვალისწინებს არა ცალკეულ ერთჯერად გადახდებს, არამედ დროთა განმავლობაში განაწილებულ მრავალ გადახდებსა და ქვითრებს. ასეთი სერიის ცალკეულ ელემენტებს და ზოგჯერ მთლიანობაში გადახდების სერიას უწოდებენ გადახდის ნაკადი. გადახდის ნაკადის წევრები შეიძლება იყოს დადებითი (ქვითრები) ან უარყოფითი (გადახდები). გადახდების ნაკადი, რომლის ყველა წევრი დადებითი მნიშვნელობებია და დროის ინტერვალი ორ თანმიმდევრულ გადახდას შორის მუდმივია, ე.წ. ფინანსური ქირა. ანუიტეტები იყოფა წლიურ და რ- სასწრაფო, სად რახასიათებს წლის განმავლობაში გადახდების რაოდენობას. ეს არის დისკრეტული ქირა. ფინანსურ და ეკონომიკურ პრაქტიკაში ასევე არსებობს გადახდების თანმიმდევრობა, რომელიც ხდება ისე ხშირად, რომ პრაქტიკაში შეიძლება ჩაითვალოს უწყვეტად. ასეთი გადახდები აღწერილია უწყვეტი ანუიტეტებით.

მაგალითი 13დავუშვათ, რომ ყოველი წლის ბოლოს ოთხი წლის განმავლობაში ბანკში დეპონირებულია 1 მილიონი რუბლი, პროცენტი დარიცხულია წლის ბოლოს, განაკვეთი არის 5% წელიწადში. ამ შემთხვევაში, პირველი შენატანი ანუიტეტური პერიოდის ბოლომდე გახდება 10 6 ´ 1,05 3, ვინაიდან შესაბამისი თანხა ანგარიშზეა 3 წელი, მეორე შენატანი გაიზრდება 10 6 ´ 1,05 2-მდე. , ვინაიდან 2 წელია ანგარიშზეა . ბოლო განვადება პროცენტს არ იხდის. ამრიგად, ანუიტეტური პერიოდის ბოლოს, შენატანები დარიცხული პროცენტით წარმოადგენს რიცხვების სერიას: 10 6 ´ 1.05 3; 10 6 ´ 1,05 2 ; 10 6 ´ 1,05; 10 6. ანუიტეტური პერიოდის ბოლომდე დაგროვილი ღირებულება ამ სერიის წევრთა ჯამის ტოლი იქნება. რომ შევაჯამოთ ნათქვამი, გამოვიყვანთ წლიური ანუიტეტის დაგროვილი თანხის შესაბამის ფორმულას. აღნიშნეთ: S - ანუიტეტის დაგროვილი თანხა, R - ანუიტეტის ვადის ზომა,
i - საპროცენტო განაკვეთი (ათწილადი ფრაქცია), n - ანუიტეტური ვადა (წლების რაოდენობა). ანუიტეტის წევრებს საპროცენტო განაკვეთი ეკისრებათ n - 1, n - 2,..., 2, 1 და 0 წლით, ხოლო ანუიტეტის წევრების დაგროვილი ღირებულება იქნება.

R (1 + i) n - 1, R (1 + i) n - 2,..., R (1 + i), R.

მოდით გადავიწეროთ ეს სერია საპირისპირო თანმიმდევრობით. ეს არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით (1+i) და პირველი წევრით R. ვიპოვოთ პროგრესიის წევრთა ჯამი. ვიღებთ: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) =
= R´((1 + i) n - 1)/ i. აღვნიშნო S n; i = ((1 + i) n - 1)/ i და დავუძახებ მას ქირის დაგროვების ფაქტორი. თუ პროცენტი დარიცხულია მწელიწადში ერთხელ, შემდეგ S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), სადაც i არის ნომინალური საპროცენტო განაკვეთი.

მნიშვნელობა a n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i ეწოდება ქირის შემცირების ფაქტორი. ანუიტეტის შემცირების კოეფიციენტი n ®¥-ზე გვიჩვენებს, რამდენჯერ მეტია ანუიტეტის ამჟამინდელი ღირებულება მის ტერმინზე:

ან; i \u003d (1 - (1 + i) - n) / i \u003d 1 / i.

მაგალითი 14ქვეშ მარადიული ანუიტეტიგაგებულია, როგორც გადახდების თანმიმდევრობა, რომლის წევრების რაოდენობა შეზღუდული არ არის - იგი იხდის უსასრულო რაოდენობის წლებს. მუდმივი ანუიტეტი არ არის სუფთა აბსტრაქცია - პრაქტიკაში ეს არის გარკვეული სახის ობლიგაციული სესხები, საპენსიო ფონდების უნარის შეფასება, შეასრულონ თავიანთი ვალდებულებები. დაფუძნებული
მუდმივი ანუიტეტის არსი, შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მისი დაგროვილი თანხა
უდრის უსასრულოდ დიდ მნიშვნელობას, რომლის დამტკიცება მარტივია ფორმულით:
R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ როგორც n ® ¥.

მუდმივი ანუიტეტისთვის შემცირების კოეფიციენტი a n; i ® 1/i, საიდანაც A = R/i, ანუ დღევანდელი ღირებულება დამოკიდებულია მხოლოდ ანუიტეტის ვადის ღირებულებაზე და მიღებულ საპროცენტო განაკვეთზე.

მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელიც აშენებს სამყაროს. მეცნიერიც და უბრალო ადამიანიც - ამის გარეშე არავის შეუძლია. ჯერ მცირეწლოვან ბავშვებს ასწავლიან დათვლას, შემდეგ შეკრებას, გამოკლებას, გამრავლებას და გაყოფას, საშუალო სკოლაში ასოების აღნიშვნები თამაშში შედის, ხოლო უფროსში მათ აღარ შეუძლიათ უარი თქვან.

მაგრამ დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ იმაზე, თუ რას ეფუძნება ყველა ცნობილი მათემატიკა. რიცხვთა საზოგადოების შესახებ, რომელსაც ეწოდება "მიმდევრობის საზღვრები".

რა არის თანმიმდევრობა და სად არის მათი ზღვარი?

სიტყვა „მიმდევრობის“ მნიშვნელობის ინტერპრეტაცია რთული არ არის. ეს არის ნივთების ისეთი კონსტრუქცია, სადაც ვიღაც ან რაღაც მდებარეობს გარკვეული თანმიმდევრობით ან რიგში. მაგალითად, ზოოპარკში ბილეთების რიგი არის თანმიმდევრობა. და შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი! თუ, მაგალითად, უყურებთ მაღაზიის რიგს, ეს არის ერთი თანმიმდევრობა. და თუ ერთი ადამიანი მოულოდნელად ტოვებს ამ რიგს, მაშინ ეს სხვა რიგია, სხვა რიგი.

სიტყვა „ლიმიტი“ ასევე მარტივად არის განმარტებული - ეს არის რაღაცის დასასრული. თუმცა, მათემატიკაში, მიმდევრობის საზღვრები არის ის მნიშვნელობები რიცხვითი წრფეზე, რომლისკენაც მიისწრაფვის რიცხვების თანმიმდევრობა. რატომ იბრძვის და არ მთავრდება? ეს მარტივია, რიცხვთა წრფეს დასასრული არ აქვს და მიმდევრობების უმეტესობას, სხივების მსგავსად, მხოლოდ დასაწყისი აქვს და ასე გამოიყურება:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

აქედან გამომდინარე, მიმდევრობის განმარტება ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციაა. უფრო მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის გარკვეული ნაკრების წევრების სერია.

როგორ იქმნება რიცხვითი თანმიმდევრობა?

რიცხვების მიმდევრობის უმარტივესი მაგალითი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს: 1, 2, 3, 4, …n…

უმეტეს შემთხვევაში, პრაქტიკული მიზნებისთვის, მიმდევრობები აგებულია რიცხვებიდან და სერიის ყოველ მომდევნო წევრს, X-ით აღვნიშნოთ, თავისი სახელი აქვს. Მაგალითად:

x 1 - რიგის პირველი წევრი;

x 2 - რიგითობის მეორე წევრი;

x 3 - მესამე წევრი;

x n არის n-ე წევრი.

პრაქტიკულ მეთოდებში, თანმიმდევრობა მოცემულია ზოგადი ფორმულით, რომელშიც არის გარკვეული ცვლადი. Მაგალითად:

X n \u003d 3n, მაშინ თავად რიცხვების სერია ასე გამოიყურება:

უნდა გვახსოვდეს, რომ მიმდევრობების ზოგად აღნიშვნაში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ლათინური ასო და არა მხოლოდ X. მაგალითად: y, z, k და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესია, როგორც მიმდევრობის ნაწილი

სანამ მიმდევრობების საზღვრებს ვეძებთ, მიზანშეწონილია ჩავუღრმავდეთ ასეთი რიცხვების სერიის კონცეფციას, რომელიც ყველას შეხვდა, როდესაც ისინი საშუალო კლასში იყვნენ. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე ტერმინებს შორის მუდმივია.

დავალება: „დავუშვათ 1 \u003d 15 და რიცხვების სერიის პროგრესირების ნაბიჯი d \u003d 4. შექმენით ამ რიგის პირველი 4 წევრი"

ამოხსნა: a 1 = 15 (პირობით) არის პროგრესიის პირველი წევრი (რიცხვების სერია).

და 2 = 15+4=19 არის პროგრესიის მეორე წევრი.

და 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 არის მესამე წევრი.

და 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 არის მეოთხე წევრი.

თუმცა, ამ მეთოდით ძნელია დიდი მნიშვნელობების მიღწევა, მაგალითად, 125-მდე. განსაკუთრებით ასეთი შემთხვევებისთვის, მიღებული იქნა პრაქტიკისთვის მოსახერხებელი ფორმულა: a n \u003d a 1 + d (n-1). ამ შემთხვევაში, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

თანმიმდევრობის ტიპები

თანმიმდევრობების უმეტესობა დაუსრულებელია, ღირს მისი გახსენება მთელი სიცოცხლის განმავლობაში. რიცხვების სერიების ორი საინტერესო ტიპი არსებობს. პირველი მოცემულია ფორმულით a n =(-1) n . მათემატიკოსები ხშირად მიმართავენ ამ ფლეშის თანმიმდევრობას. რატომ? მოდით შევამოწმოთ მისი ნომრები.

1, 1, -1, 1, -1, 1 და ა.შ. ამ მაგალითით ირკვევა, რომ რიცხვები მიმდევრობით ადვილად შეიძლება განმეორდეს.

ფაქტორული თანმიმდევრობა. ადვილი მისახვედრია, რომ ფორმულაში არის ფაქტორიალი, რომელიც განსაზღვრავს თანმიმდევრობას. მაგალითად: და n = (n+1)!

შემდეგ თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება:

და 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

და 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიით მოცემულ მიმდევრობას უსასრულოდ კლებადი ეწოდება, თუ უტოლობა -1 დაფიქსირდა მის ყველა წევრზე.

და 3 \u003d - 1/8 და ა.შ.

არის ერთი და იგივე რიცხვისგან შემდგარი თანმიმდევრობაც კი. ასე რომ, და n \u003d 6 შედგება ექვსის უსასრულო რაოდენობისგან.

მიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა

მიმდევრობის საზღვრები მათემატიკაში დიდი ხანია არსებობს. რა თქმა უნდა, ისინი იმსახურებენ საკუთარ კომპეტენტურ დიზაინს. ასე რომ, დროა ვისწავლოთ მიმდევრობის საზღვრების განსაზღვრა. პირველ რიგში, დეტალურად განიხილეთ წრფივი ფუნქციის ლიმიტი:

1. ყველა ლიმიტი შემოკლებულია, როგორც lim.
2. ლიმიტის ჩანაწერი შედგება აბრევიატურა lim, ზოგიერთი ცვლადი, რომელიც მიდრეკილია გარკვეული რიცხვის, ნულის ან უსასრულობისკენ, ისევე როგორც თავად ფუნქციისგან.

ადვილი გასაგებია, რომ მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრა შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს: ეს არის გარკვეული რიცხვი, რომელსაც უსასრულოდ უახლოვდება მიმდევრობის ყველა წევრი. მარტივი მაგალითი: და x = 4x+1. შემდეგ თავად თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება.

5, 9, 13, 17, 21…x…

ამრიგად, ეს თანმიმდევრობა გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით, რაც ნიშნავს, რომ მისი ზღვარი უდრის უსასრულობას, როგორც x→∞ და ეს უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

თუ ავიღებთ მსგავს მიმდევრობას, მაგრამ x მიდრეკილია 1-ისკენ, მივიღებთ:

და რიცხვების სერია იქნება ასეთი: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 და ა.შ. ყოველ ჯერზე თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ რიცხვი უფრო და უფრო ახლოს ერთთან (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). ამ სერიიდან ჩანს, რომ ფუნქციის ზღვარი არის ხუთი.

ამ ნაწილიდან უნდა გვახსოვდეს რა არის რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, მარტივი ამოცანების გადაჭრის განმარტება და მეთოდი.

ზოგადი აღნიშვნა მიმდევრობის ზღვრისთვის

რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის გაანალიზების შემდეგ, მისი განმარტება და მაგალითები, შეგვიძლია გადავიდეთ უფრო რთულ თემაზე. თანმიმდევრობების აბსოლუტურად ყველა ზღვარი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი ფორმულით, რომელიც ჩვეულებრივ ანალიზდება პირველ სემესტრში.

მაშ, რას ნიშნავს ასოების, მოდულების და უთანასწორობის ნიშნების ეს ნაკრები?

∀ არის უნივერსალური კვანტიფიკატორი, რომელიც ცვლის ფრაზებს "ყველასთვის", "ყველაფრისთვის" და ა.შ.

∃ არის არსებობის კვანტიფიკატორი, ამ შემთხვევაში ეს ნიშნავს, რომ არსებობს გარკვეული მნიშვნელობა N, რომელიც მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.

გრძელი ვერტიკალური ჯოხი N-ის შემდეგ ნიშნავს, რომ მოცემული ნაკრები N არის "ასეთი". პრაქტიკაში შეიძლება ნიშნავდეს „ასეთს“, „ისეთს“ და ა.შ.

მასალის კონსოლიდაციისთვის წაიკითხეთ ფორმულა ხმამაღლა.

ლიმიტის გაურკვევლობა და სიზუსტე

მიმდევრობების ზღვრის პოვნის მეთოდი, რომელიც ზემოთ იყო განხილული, თუმცა მარტივი გამოსაყენებელია, მაგრამ პრაქტიკაში არც ისე რაციონალურია. შეეცადეთ იპოვოთ ლიმიტი ამ ფუნქციისთვის:

თუ ჩავანაცვლებთ სხვადასხვა x მნიშვნელობებს (ყოველ ჯერზე იზრდება: 10, 100, 1000 და ა.შ.), მაშინ მივიღებთ ∞ მრიცხველში, მაგრამ ასევე ∞ მნიშვნელში. გამოდის საკმაოდ უცნაური წილადი:

მაგრამ მართლა ასეა? რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის გამოთვლა ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივი ჩანს. შეიძლებოდა ყველაფერი ისე დაეტოვებინა, როგორც არის, რადგან პასუხი მზადაა და გონივრულ პირობებში მიიღეს, მაგრამ არის სხვა გზა კონკრეტულად ასეთი შემთხვევებისთვის.

ჯერ ვიპოვოთ წილადის მრიცხველში უმაღლესი ხარისხი - ეს არის 1, ვინაიდან x შეიძლება წარმოდგენილი იყოს x 1-ად.

ახლა ვიპოვოთ უმაღლესი ხარისხი მნიშვნელში. ასევე 1.

გაყავით მრიცხველიც და მნიშვნელიც ცვლადზე უმაღლესი ხარისხით. ამ შემთხვევაში წილადს ვყოფთ x 1-ზე.

შემდეგი, მოდით ვიპოვოთ რა მნიშვნელობისკენ არის მიდრეკილი ცვლადის შემცველი თითოეული ტერმინი. ამ შემთხვევაში განიხილება წილადები. როგორც x→∞, თითოეული წილადის მნიშვნელობა ნულისკენ მიისწრაფვის. ნაშრომის წერილობით გაკეთებისას ღირს შემდეგი სქოლიოების გაკეთება:

მიიღება შემდეგი გამოხატულება:

რა თქმა უნდა, x-ის შემცველი წილადები არ გახდნენ ნულები! მაგრამ მათი ღირებულება იმდენად მცირეა, რომ სავსებით დასაშვებია მისი არ გათვალისწინება გამოთვლებში. ფაქტობრივად, x ამ შემთხვევაში არასოდეს იქნება 0-ის ტოლი, რადგან არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

რა არის სამეზობლო?

დავუშვათ, რომ პროფესორს აქვს რთული თანმიმდევრობა, რომელიც, ცხადია, არანაკლებ რთული ფორმულით არის მოცემული. პროფესორმა იპოვა პასუხი, მაგრამ ჯდება? ყოველივე ამის შემდეგ, ყველა ადამიანი უშვებს შეცდომებს.

ოგიუსტ კოშიმ მოიფიქრა შესანიშნავი გზა მიმდევრობის საზღვრების დასამტკიცებლად. მის მეთოდს სამეზობლო ოპერაცია ეწოდა.

დავუშვათ, რომ არსებობს a წერტილი, მისი მეზობლობა ორივე მიმართულებით რეალურ ხაზზე უდრის ε („ეპსილონი“). ვინაიდან ბოლო ცვლადი არის მანძილი, მისი მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითია.

ახლა დავაყენოთ გარკვეული თანმიმდევრობა x n და დავუშვათ, რომ მიმდევრობის მეათე წევრი (x 10) შედის a-ს სამეზობლოში. როგორ დავწეროთ ეს ფაქტი მათემატიკური ენაზე?

დავუშვათ, x 10 არის a წერტილის მარჯვნივ, შემდეგ მანძილი x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

ახლა დროა პრაქტიკაში ავხსნათ ზემოთ ნახსენები ფორმულა. სამართლიანია, რომ რომელიმე რიცხვს a ვუწოდოთ მიმდევრობის ბოლო წერტილი, თუ უტოლობა ε>0 მოქმედებს მის რომელიმე ზღვარზე და მთელ მეზობელს აქვს თავისი ბუნებრივი რიცხვი N, ისეთი, რომ მიმდევრობის ყველა წევრი უფრო მაღალი რიცხვებით იქნება. მიმდევრობის შიგნით |x n - a|< ε.

ასეთი ცოდნით ადვილია მიმდევრობის საზღვრების ამოხსნა, მზა პასუხის დამტკიცება ან უარყოფა.

თეორემები

თეორემები მიმდევრობის საზღვრებზე თეორიის მნიშვნელოვანი კომპონენტია, რომლის გარეშე პრაქტიკა შეუძლებელია. არსებობს მხოლოდ ოთხი ძირითადი თეორემა, რომელთა დამახსოვრებაც შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ ამოხსნის ან დამტკიცების პროცესი:

1. მიმდევრობის ზღვრის უნიკალურობა. ნებისმიერ თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ლიმიტი ან საერთოდ არ ჰქონდეს. იგივე მაგალითი რიგით, რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ბოლო.
2. თუ რიცხვთა სერიას აქვს ლიმიტი, მაშინ ამ რიცხვების თანმიმდევრობა შეზღუდულია.
3. მიმდევრობათა ჯამის (განსხვავების, ნამრავლის) ზღვარი მათი ზღვრების ჯამის (განსხვავების, ნამრავლის) ტოლია.
4. ორი მიმდევრობის კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ზღვრების კოეფიციენტის, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელი არ ქრება.

თანმიმდევრობის მტკიცებულება

ზოგჯერ საჭიროა შებრუნებული ამოცანის ამოხსნა, რიცხვითი მიმდევრობის მოცემული ზღვრის დამტკიცება. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

დაამტკიცეთ, რომ ფორმულით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი ნულის ტოლია.

ზემოაღნიშნული წესის მიხედვით, ნებისმიერი მიმდევრობისთვის უტოლდება |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

გამოვხატოთ n „ეპსილონის“ მიხედვით, რათა დავანახოთ გარკვეული რიცხვის არსებობა და დავამტკიცოთ მიმდევრობის ზღვრის არსებობა.

ამ ეტაპზე მნიშვნელოვანია გავიხსენოთ, რომ „ეპსილონი“ და „ენ“ დადებითი რიცხვებია და არ უდრის ნულს. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გააგრძელოთ შემდგომი ტრანსფორმაციები საშუალო სკოლაში მიღებული უთანასწორობის შესახებ ცოდნის გამოყენებით.

საიდანაც გამოდის, რომ n > -3 + 1/ε. ვინაიდან უნდა გვახსოვდეს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე, შედეგის დამრგვალება შესაძლებელია კვადრატულ ფრჩხილებში ჩასმით. ამრიგად, დადასტურდა, რომ a = 0 წერტილის „ეპსილონის“ მეზობლობის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის აღმოჩნდა ისეთი მნიშვნელობა, რომ დაკმაყოფილებულია საწყისი უტოლობა. აქედან შეგვიძლია უსაფრთხოდ ვამტკიცებთ, რომ რიცხვი a არის მოცემული მიმდევრობის ზღვარი. ქ.ე.დ.

ასეთი მოსახერხებელი მეთოდით შეგიძლიათ დაამტკიცოთ რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, რაც არ უნდა რთული ჩანდეს ერთი შეხედვით. მთავარია, ამოცანის დანახვაზე პანიკაში არ ჩავარდეთ.

ან იქნებ ის არ არსებობს?

თანმიმდევრობის ლიმიტის არსებობა პრაქტიკაში აუცილებელი არ არის. ადვილია ისეთი რიცხვების სერიის პოვნა, რომელსაც დასასრული ნამდვილად არ აქვს. მაგალითად, იგივე flasher x n = (-1) n . აშკარაა, რომ ციკლურად განმეორებადი მხოლოდ ორი ციფრისგან შემდგარ მიმდევრობას არ შეიძლება ჰქონდეს ლიმიტი.

იგივე ამბავი მეორდება ერთი რიცხვისაგან შემდგარი მიმდევრობით, წილადი, რომელსაც გამოთვლების დროს აქვს რაიმე რიგის გაურკვევლობა (0/0, ∞/∞, ∞/0 და ა.შ.). თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ არასწორი გაანგარიშებაც ხდება. ზოგჯერ საკუთარი გადაწყვეტის ხელახლა შემოწმება დაგეხმარებათ მემკვიდრეობის ლიმიტის პოვნაში.

მონოტონური თანმიმდევრობა

ზემოთ განვიხილეთ მიმდევრობების რამდენიმე მაგალითი, მათი ამოხსნის მეთოდები, ახლა კი შევეცადოთ ავიღოთ უფრო კონკრეტული შემთხვევა და ვუწოდოთ მას „მონოტონური თანმიმდევრობა“.

განმარტება: ნებისმიერ მიმდევრობას სამართლიანია ვუწოდოთ მონოტონურად მზარდი, თუ ის აკმაყოფილებს მკაცრ უტოლობას x n.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

ამ ორ პირობასთან ერთად არის მსგავსი არამკაცრი უტოლობაც. შესაბამისად, x n ≤ x n +1 (არაკლებადი თანმიმდევრობა) და x n ≥ x n +1 (არამზარდი თანმიმდევრობა).

მაგრამ ამის გაგება უფრო ადვილია მაგალითებით.

x n \u003d 2 + n ფორმულით მოცემული თანმიმდევრობა ქმნის რიცხვთა შემდეგ სერიას: 4, 5, 6 და ა.შ. ეს არის მონოტონურად მზარდი თანმიმდევრობა.

და თუ ავიღებთ x n \u003d 1 / n, მაშინ მივიღებთ სერიას: 1/3, ¼, 1/5 და ა.შ. ეს არის მონოტონურად კლებადი თანმიმდევრობა.

კონვერგენტული და შემოსაზღვრული მიმდევრობის ლიმიტი

შემოსაზღვრული მიმდევრობა არის მიმდევრობა, რომელსაც აქვს ზღვარი. კონვერგენტული მიმდევრობა არის რიცხვების სერია, რომელსაც აქვს უსასრულოდ მცირე ზღვარი.

ამრიგად, შემოსაზღვრული მიმდევრობის ზღვარი არის ნებისმიერი რეალური ან რთული რიცხვი. გახსოვდეთ, რომ შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი ლიმიტი.

კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვარი არის უსასრულო მცირე რაოდენობა (რეალური ან რთული). თუ დახატავთ თანმიმდევრობის დიაგრამას, მაშინ გარკვეულ მომენტში ის, თითქოსდა, გადაიქცევა, გარკვეულ მნიშვნელობად გადაიქცევა. აქედან მოდის სახელწოდება - კონვერგენტული მიმდევრობა.

მონოტონური მიმდევრობის ლიმიტი

ასეთ თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს ლიმიტი. პირველ რიგში, სასარგებლოა იმის გაგება, თუ როდის არის ეს, აქედან შეგიძლიათ დაიწყოთ ლიმიტის არარსებობის დადასტურებისას.

მონოტონურ მიმდევრობებს შორის განასხვავებენ კონვერგენტსა და დივერგენტს. კონვერგენტული - ეს არის თანმიმდევრობა, რომელიც იქმნება x სიმრავლით და აქვს რეალური ან რთული ზღვარი ამ სიმრავლეში. დივერგენტი - თანმიმდევრობა, რომელსაც არ აქვს ლიმიტი თავის სიმრავლეში (არც რეალური და არც რთული).

უფრო მეტიც, თანმიმდევრობა იყრის თავს, თუ მისი ზედა და ქვედა ზღვრები ერთმანეთს ემთხვევა გეომეტრიულ წარმოდგენაში.

კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვარი ხშირ შემთხვევაში შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ვინაიდან ნებისმიერ უსასრულოდ მცირე მიმდევრობას აქვს ცნობილი ზღვარი (ნული).

რომელი კონვერგენტული მიმდევრობაც არ უნდა აიღოთ, ისინი ყველა შემოსაზღვრულია, მაგრამ ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობისგან შორს იყრის თავს.

ორი კონვერგენტული მიმდევრობის ჯამი, განსხვავება, ნამრავლი ასევე კონვერგენტული მიმდევრობაა. თუმცა, კოეფიციენტიც შეიძლება გადაიზარდოს, თუ ის განსაზღვრულია!

სხვადასხვა მოქმედებები ლიმიტებით

მიმდევრობის ლიმიტები ისეთივე მნიშვნელოვანია (უმეტეს შემთხვევაში), როგორც რიცხვები და რიცხვები: 1, 2, 15, 24, 362 და ა.შ. გამოდის, რომ ზოგიერთი ოპერაციების შესრულება შესაძლებელია ლიმიტებით.

პირველი, ისევე როგორც ციფრები და რიცხვები, ნებისმიერი მიმდევრობის საზღვრები შეიძლება დაემატოს და გამოკლდეს. მიმდევრობათა ზღვრების შესახებ მესამე თეორემის საფუძველზე მართებულია შემდეგი ტოლობა: მიმდევრობათა ჯამის ზღვარი მათი ზღვრების ჯამის ტოლია.

მეორეც, მიმდევრობათა ზღვრების შესახებ მეოთხე თეორემიდან გამომდინარე, ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობა: რიგით n-ე რაოდენობის ნამრავლის ზღვარი უდრის მათი ზღვრების ნამრავლს. იგივე ეხება გაყოფას: ორი მიმდევრობის კოეფიციენტის ზღვარი უდრის მათი ზღვრების კოეფიციენტს, იმ პირობით, რომ ზღვარი არ იყოს ნულის ტოლი. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ მიმდევრობების ზღვარი ნულის ტოლია, მაშინ გამოვა ნულზე გაყოფა, რაც შეუძლებელია.

თანმიმდევრობის მნიშვნელობის თვისებები

როგორც ჩანს, რიცხვითი თანმიმდევრობის ზღვარი უკვე დეტალურად არის გაანალიზებული, მაგრამ ისეთი ფრაზები, როგორიცაა "უსასრულოდ მცირე" და "უსასრულოდ დიდი" რიცხვები არაერთხელ არის ნახსენები. ცხადია, თუ არის მიმდევრობა 1/x, სადაც x→∞, მაშინ ასეთი წილადი უსასრულოდ მცირეა, ხოლო თუ იგივე მიმდევრობა, მაგრამ ზღვარი ნულისკენ მიისწრაფვის (x→0), მაშინ წილადი ხდება უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა. . და ასეთ ღირებულებებს აქვთ საკუთარი მახასიათებლები. თვითნებური მცირე ან დიდი მნიშვნელობების მქონე თანმიმდევრობის ლიმიტის თვისებები შემდეგია:

1. ნებისმიერი რაოდენობის თვითნებურად მცირე რაოდენობით ჯამი ასევე იქნება მცირე რაოდენობა.
2. ნებისმიერი რაოდენობის დიდი მნიშვნელობების ჯამი იქნება უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა.
3. თვითნებურად მცირე რაოდენობით პროდუქტი უსასრულოდ მცირეა.
4. თვითნებურად დიდი რიცხვების ნამრავლი არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა.
5. თუ თავდაპირველი მიმდევრობა მიდრეკილია უსასრულო რიცხვისკენ, მაშინ მისი ორმხრივი იქნება უსასრულოდ მცირე და მიდრეკილია ნულისკენ.

სინამდვილეში, მიმდევრობის ლიმიტის გამოთვლა არც ისე რთული ამოცანაა, თუ იცით მარტივი ალგორითმი. მაგრამ თანმიმდევრობის საზღვრები არის თემა, რომელიც მოითხოვს მაქსიმალურ ყურადღებას და გამძლეობას. რა თქმა უნდა, საკმარისია უბრალოდ ჩავწვდეთ ასეთი გამონათქვამების ამოხსნის არსს. მცირედან დაწყებული, დროთა განმავლობაში, შეგიძლიათ მიაღწიოთ დიდ სიმაღლეებს.

თეორემა 1.ორი, სამი და საერთოდ გარკვეული რაოდენობის ფუნქციების ალგებრული ჯამის ზღვარი უდრის ამ ფუნქციების ზღვრების ალგებრულ ჯამს, ე.ი.

მტკიცებულება. ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას ორი ვადით, რადგან ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინებისთვის იგი ხორციელდება იმავე გზით. დაე .მაშინ f(x)=b+α(x)და g(x)=c+β(x), სად α და β უსასრულოდ მცირე ფუნქციებია. აქედან გამომდინარე,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

როგორც ბ+გარის მუდმივი და α(x) + β(x)არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია, მაშინ

მაგალითი. თეორემა 2.ორი, სამი და ზოგადად სასრული რაოდენობის ფუნქციების ნამრავლის ზღვარი უდრის ამ ფუნქციების ზღვრების ნამრავლს: მტკიცებულება. იყოს . აქედან გამომდინარე, f(x)=b+α(x)და g(x)=c+β(x)და fg = (b + α) (c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

მუშაობა ძვ.წარის მუდმივი მნიშვნელობა. ფუნქცია bβ + cα + αβუსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებების საფუძველზე არსებობს უსასრულო სიდიდე. Ისე

შედეგი 1.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ლიმიტის ნიშნიდან:

შედეგი 2.ხარისხის ზღვარი უდრის ლიმიტის ხარისხს: მაგალითი. თეორემა 3.ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების კოეფიციენტის, თუ მნიშვნელის ზღვარი განსხვავდება ნულისაგან, ე.ი. მტკიცებულება. იყოს . აქედან გამომდინარე, f(x)=b+α(x)და g(x)=c+β(x), სად α, β უსასრულოდ პატარები არიან. განვიხილოთ კოეფიციენტი

წილადი უსასრულოდ მცირე ფუნქციაა, რადგან მრიცხველი უსასრულო მცირე ფუნქციაა, ხოლო მნიშვნელს აქვს ზღვარი. c2 ≠0.

მაგალითები.

3. განიხილეთ. ზე x→1წილადის მრიცხველი მიდრეკილია 1-ისკენ, ხოლო მნიშვნელი 0-ისკენ. მაგრამ ვინაიდან, ე.ი. არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია x→ 1, მაშინ

თეორემა 4.მიეცით სამი ფუნქცია f(x), u(x)და v(x), უტოლობების დაკმაყოფილება u (x)≤f(x)≤v(x). თუ ფუნქციები u(x)და v(x)აქვთ იგივე ზღვარი x→a(ან x→∞), შემდეგ ფუნქცია f(x)მიდრეკილია იმავე ზღვარზე, ე.ი. თუ

თეორემა 5.თუ ზე x→a(ან x→∞) ფუნქცია y=f(x)იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს y≥0და მიდრეკილია ზღვრამდე ბ, მაშინ ეს ზღვარი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი: b≥0.

მტკიცებულება. მტკიცება განხორციელდება წინააღმდეგობით. მოდი ვიჩვენოთ, რომ ბ<0 , მაშინ |y – b|≥|b|და, შესაბამისად, სხვაობის მოდული არ არის ნულისკენ მიდრეკილი x→a. Მაგრამ შემდეგ წზღვრამდე არ მიდის ბზე x→a, რაც ეწინააღმდეგება თეორემის პირობას.

თეორემა 6.თუ ორი ფუნქცია f(x)და g(x)არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის xდააკმაყოფილეთ უთანასწორობა f(x)≥ g(x)და გვაქვს ლიმიტები, მაშინ გვაქვს უთანასწორობა b≥c.

მტკიცებულება.თეორემის მიხედვით f(x)-g(x) ≥0მაშასადამე, თეორემა 5, ან.

6. გაურკვევლობების გამჟღავნება (0/0), ∞ -∞

ᲛᲔ.გაურკვევლობა.

მრიცხველის ფაქტორებად დაშლისას გამოვიყენეთ მრავალწევრის მრავალწევრზე „კუთხით“ გაყოფის წესი. ნომრიდან გამომდინარე x=1 არის მრავალწევრის ფესვი x 3 – 6x2 + 11x– 6, შემდეგ გაყოფისას ვიღებთ

7. მიმდევრობის ლიმიტი . ბუნებრივი ლოგარითმის კონცეფცია.

მეორე აღსანიშნავი ლიმიტი

მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი ემსახურება 1 ∞ გაურკვევლობის გამოვლენას და ასე გამოიყურება

მაგალითები:

ბაზის ლოგარითმი ე (ე- ტრანსცენდენტული რიცხვი დაახლოებით ტოლია 2.718281828 ...) ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმი. რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი xაღინიშნება ln x. ბუნებრივი ლოგარითმები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, ფიზიკაში და საინჟინრო გამოთვლებში.

ლოგარითმები ფართოდ გამოიყენება

ბაზა, რომელსაც ეწოდება ბუნებრივი. ბუნებრივი ლოგარითმები აღინიშნება სიმბოლოთი

ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია.

ფუნქციის უწყვეტობის კონცეფცია პირდაპირ კავშირშია ფუნქციის ლიმიტის კონცეფციასთან.

A რიცხვს ეწოდება f ფუნქციის ზღვარი a წერტილში, რომელიც შემზღუდველია E სიმრავლისთვის, თუ A წერტილის რომელიმე V(A) მეზობლისთვის არსებობს a წერტილის პუნქციური მეზობლობა, რომ მისი გამოსახულება შედგენის ქვეშ f არის A წერტილის V(A) მოცემული უბნის ქვესიმრავლე.

f ფუნქციის ზღვარი a წერტილში, რომელიც არის ზღვარი E სიმრავლისთვის, აღინიშნება შემდეგნაირად: ან , თუ შესაძლებელია E სიმრავლის ხსენების გამოტოვება.

ვინაიდან თითოეული სამეზობლო შეიძლება ასოცირდებოდეს საკუთარ რეგულარულ (სიმეტრიულ) სამეზობლოსთან, ლიმიტის განმარტება შეიძლება ჩამოყალიბდეს -δ ენაზე, მათემატიკური ანალიზის დროს ჩვეულებრივი ფორმით:

ფუნქციის ზღვარი f წერტილში a წერტილში, რომელიც არის ზღვარი E სიმრავლისთვის, პირდაპირ არის დაკავშირებული მიმდევრობის ზღვართან.

ჩვენ განვიხილავთ E სიმრავლის წერტილების ყველა შესაძლო თანმიმდევრობას, რომელსაც აქვს წერტილი a, როგორც მათი ზღვარი, და ფუნქციის მნიშვნელობების შესაბამის თანმიმდევრობას მიმდევრობის წერტილებში. თუ a წერტილში f ფუნქციის ლიმიტი არსებობს, მაშინ ეს ზღვარი იქნება თითოეული მიმდევრობის ზღვარი.

საპირისპირო ასევე მართალია: თუ ყველა მიმდევრობა ერთსა და იმავე მნიშვნელობას ემთხვევა, მაშინ ფუნქციას აქვს მოცემული მნიშვნელობის ტოლი ლიმიტი.

მუდმივი რიცხვი ადაურეკა ზღვარი თანმიმდევრობები(x n) თუ რაიმე თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვისε > 0 არის რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა მნიშვნელობა x n, რომლისთვისაც n>N აკმაყოფილებს უტოლობას

|x n - a|< ε. (6.1)

ჩაწერეთ შემდეგნაირად: ან x n →ა.

უტოლობა (6.1) უდრის ორმაგ უტოლობას

ა-ე< x n < a + ε, (6.2)

რაც ნიშნავს, რომ ქულები x nრაღაც n>N რიცხვიდან დაწყებული, დევს ინტერვალის შიგნით (a-ε, a + ε ), ე.ი. მოხვდება რომელიმე პატარაε -პუნქტის სამეზობლო ა.

თანმიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება თანხვედრა, წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული.

ფუნქციის ლიმიტის ცნება არის მიმდევრობის ზღვრის კონცეფციის განზოგადება, ვინაიდან მიმდევრობის ლიმიტი შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც მთელი რიცხვის არგუმენტის x n = f(n) ფუნქციის ზღვარი. ნ.

მიეცით ფუნქცია f(x) და მოდით ა - ლიმიტის წერტილიამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი D(f), ე.ი. ისეთი წერტილი, რომლის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს D(f) სიმრავლის წერტილებს, რომლებიც განსხვავდებიან ა. Წერტილი აშეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ იყოს D(f) სიმრავლეს.

განმარტება 1.მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→a თუ ნებისმიერი თანმიმდევრობისთვის (x n) არგუმენტების მნიშვნელობების მიმართ ა, შესაბამის მიმდევრობებს (f(x n)) აქვთ იგივე ზღვარი A.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა ჰაინეს მიხედვით,ან " თანმიმდევრობის ენაზე”.

განმარტება 2. მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→a თუ, მოცემული თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი ε, შეიძლება ასეთი δ>0 (დამოკიდებულია ε), რომელიც ყველასთვის xიწვაε- რიცხვის უბნები ა, ე.ი. ამისთვის xუთანასწორობის დაკმაყოფილება
0 < x-a< ε , f(x) ფუნქციის მნიშვნელობები იქნებაε- A რიცხვის მეზობლობა, ე.ი.|f(x)-A|< ε.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა კოშის მიხედვით,ან „ენაში ε - δ “.

1 და 2 განმარტებები ექვივალენტურია. თუ ფუნქცია f(x) x →აქვს ზღვარიტოლია A-ს, ეს იწერება როგორც

. (6.3)

იმ შემთხვევაში, თუ მიმდევრობა (f(x n)) იზრდება (ან მცირდება) განუსაზღვრელი ვადით მიახლოების ნებისმიერი მეთოდისთვის xთქვენს ლიმიტამდე ა, მაშინ ვიტყვით, რომ f(x) ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი,და დაწერე როგორც:

ცვლადს (ანუ თანმიმდევრობას ან ფუნქციას), რომლის ზღვარი არის ნული, ეწოდება უსასრულოდ პატარა.

ცვლადი, რომლის ზღვარი უდრის უსასრულობას, ეწოდება უსასრულოდ დიდი.

პრაქტიკაში ლიმიტის მოსაძებნად გამოიყენეთ შემდეგი თეორემები.

თეორემა 1 . თუ ყველა ზღვარი არსებობს

(6.4)

(6.5)

(6.6)

კომენტარი. გამონათქვამები, როგორიცაა 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - გაურკვეველია, მაგალითად, ორი უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი რაოდენობის თანაფარდობა და ამ სახის ლიმიტის პოვნას ეწოდება "გაურკვევლობის გამჟღავნება".

თეორემა 2. (6.7)

იმათ. შესაძლებელია მუდმივ მაჩვენებელზე ხარისხის ფუძის ზღვარზე გადასვლა, კერძოდ, ;

(6.8)

(6.9)

თეორემა 3.

(6.10)

(6.11)

სადაც ე » 2.7 არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი. ფორმულებს (6.10) და (6.11) ეწოდება პირველი მშვენიერი ლიმიტიდა მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი.

ფორმულის (6.11) შედეგები ასევე გამოიყენება პრაქტიკაში:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

კერძოდ ლიმიტი

თუ x → a და ამავე დროს x > a, შემდეგ ჩაწერეთ x→a + 0. თუ, კერძოდ, a = 0, მაშინ 0+0 სიმბოლოს ნაცვლად იწერება +0. ანალოგიურად, თუ x→a და ამავე დროს x a-0. ნომრები და დასახელებულია შესაბამისად. მარჯვენა ზღვარიდა მარცხენა ლიმიტი ფუნქციები f(x) წერტილში ა. f(x) ფუნქციის ლიმიტი რომ არსებობდეს x→a არის აუცილებელი და საკმარისი ამისთვის . ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი წერტილში x 0 თუ ლიმიტი

. (6.15)

პირობა (6.15) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

,

ანუ ლიმიტზე გადასვლა ფუნქციის ნიშნით შესაძლებელია, თუ იგი მოცემულ წერტილში უწყვეტია.

თუ თანასწორობა (6.15) ირღვევა, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ ზე x = xo ფუნქცია f(x) Მას აქვს უფსკრული.განვიხილოთ ფუნქცია y = 1/x. ამ ფუნქციის დომენი არის ნაკრები რ, გარდა x = 0. წერტილი x = 0 არის D(f) სიმრავლის ზღვრული წერტილი, ვინაიდან მის რომელიმე უბანში, ე.ი. ნებისმიერი ღია ინტერვალი, რომელიც შეიცავს 0 წერტილს, შეიცავს წერტილებს D(f)-დან, მაგრამ ის თავად არ მიეკუთვნება ამ სიმრავლეს. მნიშვნელობა f(x o)= f(0) არ არის განსაზღვრული, ამიტომ ფუნქციას აქვს უწყვეტობა x o = 0 წერტილში.

ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი მარჯვნივ ერთ წერტილში x o თუ ლიმიტი

,

და უწყვეტი მარცხნივ ერთ წერტილში x o თუ ლიმიტი

.

ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში x oუდრის მის უწყვეტობას ამ წერტილში, როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ.

იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში x oმაგალითად, მარჯვნივ, აუცილებელია, ჯერ ერთი, რომ იყოს სასრული ზღვარი და მეორეც, ეს ზღვარი ტოლი იყოს f(x o). ამიტომ, თუ ამ ორი პირობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ფუნქციას ექნება ხარვეზი.

1. თუ ლიმიტი არსებობს და არ უდრის f(x o), მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია f(x) წერტილში xo აქვს პირველი სახის შესვენება,ან ხტომა.

2. თუ ლიმიტი არის+∞ ან -∞ ან არ არსებობს, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ in წერტილი x o ფუნქციას აქვს შესვენება მეორე სახის.

მაგალითად, ფუნქცია y = ctg x x-ზე→ +0-ს აქვს +∞-ის ტოლი ზღვარი, მაშასადამე, x=0 წერტილში მას აქვს მეორე სახის შეწყვეტა. ფუნქცია y = E(x) (მთლიანი ნაწილი x) მთელი რიცხვის აბსცისის მქონე წერტილებში აქვს პირველი სახის წყვეტები, ანუ ნახტომები.

ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალის ყველა წერტილში, ეწოდება უწყვეტი in . უწყვეტი ფუნქცია წარმოდგენილია მყარი მრუდით.

ბევრი პრობლემა, რომელიც დაკავშირებულია გარკვეული რაოდენობის უწყვეტ ზრდასთან, იწვევს მეორე საყურადღებო ზღვარს. ასეთი ამოცანები, მაგალითად, მოიცავს: შენატანის ზრდა ნაერთის კანონის მიხედვით, ქვეყნის მოსახლეობის ზრდა, რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა, ბაქტერიების გამრავლება და ა.შ.

განიხილეთ Ya. I. Perelman-ის მაგალითი, რომელიც იძლევა რიცხვის ინტერპრეტაციას ერთული პროცენტის პრობლემაში. ნომერი ეარის ზღვარი . შემნახველ ბანკებში საპროცენტო ფული ყოველწლიურად ემატება ძირითად კაპიტალს. თუ კავშირი უფრო ხშირად კეთდება, მაშინ კაპიტალი უფრო სწრაფად იზრდება, რადგან ინტერესის ფორმირებაში დიდი თანხაა ჩართული. ავიღოთ წმინდა თეორიული, უაღრესად გამარტივებული მაგალითი. ბანკმა დადოს 100 დენ. ერთეულები წელიწადში 100%-ით. თუ პროცენტიანი ფული ძირითად კაპიტალს მხოლოდ ერთი წლის შემდეგ დაემატება, მაშინ ამ დროისთვის 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 200 დენად. ახლა ვნახოთ 100 დენში რა გადაიქცევა. ერთეულები, თუ საპროცენტო თანხა ემატება ძირითად კაპიტალს ყოველ ექვს თვეში ერთხელ. ნახევარი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გაიზარდოს 100-მდე× 1.5 \u003d 150 და კიდევ ექვსი თვის შემდეგ - 150-ზე× 1.5 \u003d 225 (დენ. ერთეული). თუ შეერთება ხდება ყოველ 1/3 წელიწადში, მაშინ ერთი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 100-ად× (1 +1/3) 3 » 237 (დენ. ერთეული). ჩვენ გავზრდით საპროცენტო თანხის დამატების ვადებს 0.1 წელზე, 0.01 წელს, 0.001 წელს და ა.შ. მერე 100 დენიდან. ერთეულები ერთი წლის შემდეგ:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (დენ. ერთეული).

გაერთიანების პროცენტის შეუზღუდავი შემცირებით, დაგროვილი კაპიტალი განუსაზღვრელი ვადით არ იზრდება, მაგრამ უახლოვდება გარკვეულ ზღვარს, რომელიც უდრის დაახლოებით 271-ს. წლიური 100%-ზე განთავსებული კაპიტალი არ შეიძლება გაიზარდოს 2,71-ჯერ მეტი, თუნდაც დარიცხული პროცენტი იყოს. კაპიტალს ყოველ წამს ემატება ლიმიტის გამო

მაგალითი 3.1.რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის გამოყენებით დაამტკიცეთ, რომ x n =(n-1)/n მიმდევრობას აქვს 1-ის ტოლი ზღვარი.

გადაწყვეტილება.ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ რაც არ უნდა იყოსε > 0 ვიღებთ, მისთვის არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა n N-ისთვის არის უტოლობა|xn-1|< ε.

აიღეთ ნებისმიერი e > 0. ვინაიდან ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, მაშინ N-ის საპოვნელად საკმარისია 1/n უტოლობის ამოხსნა.< ე. აქედან გამომდინარე n>1/ ე და, შესაბამისად, N შეიძლება მივიღოთ, როგორც 1/-ის მთელი რიცხვი e , N = E(1/e ). ჩვენ ამით დავამტკიცეთ, რომ ლიმიტი.

მაგალითი 3.2 . იპოვეთ საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი .

გადაწყვეტილება.გამოიყენეთ ზღვრული ჯამის თეორემა და იპოვეთ თითოეული წევრის ზღვარი. იყიდება ნ→ ∞ თითოეული წევრის მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია უსასრულობისკენ და ჩვენ არ შეგვიძლია პირდაპირ გამოვიყენოთ კოეფიციენტის ზღვრული თეორემა. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით x n, პირველი წევრის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა n 2და მეორე ნ. შემდეგ, კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემისა და ჯამის ლიმიტის თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ:

.

მაგალითი 3.3. . Პოვნა .

გადაწყვეტილება. .

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ხარისხის ლიმიტის თეორემა: ხარისხის ზღვარი უდრის ფუძის ლიმიტის ხარისხს.

მაგალითი 3.4 . Პოვნა ( ).

გადაწყვეტილება.შეუძლებელია სხვაობის ზღვრული თეორემის გამოყენება, რადგან გვაქვს ფორმის გაურკვევლობა ∞-∞ . მოდით გადავცვალოთ ზოგადი ტერმინის ფორმულა:

.

მაგალითი 3.5 . მოცემულია ფუნქცია f(x)=2 1/x. დაამტკიცეთ, რომ ზღვარი არ არსებობს.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ ფუნქციის ლიმიტის 1 განმარტებას მიმდევრობით. აიღეთ თანმიმდევრობა ( x n ) 0-მდე, ე.ი. ვაჩვენოთ, რომ მნიშვნელობა f(x n)= განსხვავებულად იქცევა სხვადასხვა მიმდევრობისთვის. მოდით x n = 1/n. ცხადია, მაშინ ზღვარი ავირჩიოთ ახლა როგორც x nმიმდევრობა საერთო ტერმინით x n = -1/n, ასევე ნულისკენ მიდრეკილი. ამიტომ, შეზღუდვა არ არსებობს.

მაგალითი 3.6 . დაამტკიცეთ, რომ ზღვარი არ არსებობს.

გადაწყვეტილება.მოდით x 1 , x 2 ,..., x n ,... იყოს მიმდევრობა რომლისთვისაც
. როგორ იქცევა მიმდევრობა (f(x n)) = (sin x n ) სხვადასხვა x n-სთვის → ∞

თუ x n \u003d p n, მაშინ sin x n \u003d sin p n = 0 ყველასთვის ნდა ლიმიტი თუ
xn=2 p n+ p /2, შემდეგ sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 ყველასთვის ნდა აქედან გამომდინარე ლიმიტი. ამრიგად, არ არსებობს.

ვიჯეტი ონლაინ ლიმიტების გამოსათვლელად

ზედა ველში sin(x)/x-ის ნაცვლად შეიყვანეთ ფუნქცია, რომლის ლიმიტის პოვნაც გსურთ. ქვედა ველში შეიყვანეთ რიცხვი, რომლისკენაც x მიდრეკილია და დააჭირეთ ღილაკს Calcul, მიიღეთ სასურველი ლიმიტი. თუ შედეგის ფანჯარაში ზედა მარჯვენა კუთხეში დააწკაპუნებთ ნაბიჯების ჩვენებაზე, მიიღებთ დეტალურ გადაწყვეტას.

ფუნქციის შეყვანის წესები: sqrt(x) - კვადრატული ფესვი, cbrt(x) - კუბური ფესვი, exp(x) - ექსპონენტი, ln(x) - ბუნებრივი ლოგარითმი, sin(x) - sine, cos(x) - კოსინუსი, თან (x) - tangent, cot(x) - კოტანგენსი, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - არქტანგენსი. ნიშნები: * გამრავლება, / გაყოფა, ^ გაძლიერება, ნაცვლად უსასრულობაუსასრულობა. მაგალითი: ფუნქცია შეყვანილია როგორც sqrt(tan(x/2)).

მოცემულია ზღვრებით რიცხვითი მიმდევრობების ძირითადი თეორემებისა და თვისებების დებულებები. შეიცავს თანმიმდევრობის განმარტებას და მის ზღვარს. განიხილება არითმეტიკული მოქმედებები მიმდევრობით, უტოლობასთან დაკავშირებული თვისებები, კონვერგენციის კრიტერიუმები, უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდი მიმდევრობების თვისებები.

თანმიმდევრობები

რიცხვითი თანმიმდევრობაკანონს (წესს) უწოდებენ, რომლის მიხედვითაც, თითოეულ ნატურალურ რიცხვს ენიჭება რიცხვი.
რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის n-ე წევრს ან ელემენტს.
შემდეგში ვივარაუდებთ, რომ მიმდევრობის ელემენტები რეალური რიცხვებია.

შეზღუდული, თუ არსებობს M რიცხვი ისეთი, რომ ყველა რეალური n-სთვის.

ზედა სახემიმდევრობას უწოდებენ იმ რიცხვთაგან უმცირესს, რომელიც საზღვრავს მიმდევრობას ზემოდან. ანუ ეს არის რიცხვი s, რომლისთვისაც ყველა n-სთვის და ნებისმიერისთვის არის მიმდევრობის ისეთი ელემენტი, რომელიც აღემატება s′ : .

ქვედა სახემიმდევრობა ასახელებს რიცხვებიდან ყველაზე დიდს, რომელიც ზღუდავს მიმდევრობას ქვემოდან. ანუ ეს არის რიცხვი i, რომლისთვისაც ყველა n-სთვის და ნებისმიერისთვის არის მიმდევრობის ისეთი ელემენტი, რომელიც ნაკლებია i-ზე: .

ზედა კიდეს ასევე ე.წ ზუსტი ზედა ზღვარიდა ქვედა ზღვარი ზუსტი ქვედა ზღვარი. ზედა და ქვედა საზღვრების ცნებები მოქმედებს არა მხოლოდ მიმდევრობისთვის, არამედ რეალური რიცხვების ნებისმიერი სიმრავლისთვის.

მიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა

რიცხვს a ეწოდება მიმდევრობის ზღვარი, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის არსებობს ისეთი ნატურალური რიცხვი N , დამოკიდებულია იმაზე, რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის არის უტოლობა
.
მიმდევრობის ზღვარი აღინიშნება შემდეგნაირად:
.
ან ზე.

არსებობისა და უნივერსალურობის ლოგიკური სიმბოლოების გამოყენებით, ლიმიტის განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
.

ღია ინტერვალი (a - ε, a + ε)ეწოდება a წერტილის ε-მეზობლობა.

თანმიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება კონვერგენტული თანმიმდევრობა. იმასაც ამბობენ, რომ თანმიმდევრობა იყრის თავსა. თანმიმდევრობას, რომელსაც არ აქვს ლიმიტი, ეწოდება განსხვავებული.

წერტილი ა არ არის მიმდევრობის ზღვარი, თუ არსებობს ისეთი, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის არსებობს ისეთი ბუნებრივი m > ნ, რა
.
.
ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ a წერტილის ისეთი ε - მეზობლობა, რომლის გარეთაც იქნება უსასრულო რაოდენობის ელემენტების მიმდევრობა.

მიმდევრობების სასრული ზღვრების თვისებები

ძირითადი თვისებები

წერტილი a არის მიმდევრობის ზღვარი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოშია ელემენტების სასრული რაოდენობათანმიმდევრობები ან ცარიელი ნაკრები.

თუ რიცხვი a არ არის მიმდევრობის ზღვარი, მაშინ არის a წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომლის გარეთ არის მიმდევრობის ელემენტების უსასრულო რაოდენობა.

უნიკალურობის თეორემა რიცხვთა მიმდევრობის ზღვრისთვის. თუ თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი, მაშინ ის უნიკალურია.

თუ მიმდევრობას აქვს სასრული ზღვარი, მაშინ ის შეზღუდული.

თუ მიმდევრობის თითოეული ელემენტი იგივე რიცხვის ტოლია C:, მაშინ ამ მიმდევრობას აქვს C რიცხვის ტოლი ზღვარი.

თუ თანმიმდევრობა დაამატეთ, ჩამოაგდეთ ან შეცვალეთ პირველი m ელემენტები, მაშინ ეს არ იმოქმედებს მის კონვერგენციაზე.

ძირითადი თვისებების მტკიცებულებაგვერდზე მოცემული
მიმდევრობათა სასრული ზღვრების ძირითადი თვისებები >>> .

არითმეტიკა ლიმიტებით

იყოს სასრული საზღვრები და მიმდევრობები და . და მოდით C იყოს მუდმივი, ანუ მოცემული რიცხვი. მერე
;
;
;
, თუ .
კოეფიციენტის შემთხვევაში, ვარაუდობენ, რომ ყველა n.

თუ , მაშინ .

არითმეტიკული თვისების მტკიცებულებებიგვერდზე მოცემული
მიმდევრობათა სასრული ზღვრების არითმეტიკული თვისებები >>> .

უტოლობასთან დაკავშირებული თვისებები

თუ მიმდევრობის ელემენტები, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან, აკმაყოფილებს უტოლობას, მაშინ ამ მიმდევრობის ზღვარიც აკმაყოფილებს უტოლობას.

თუ მიმდევრობის ელემენტები, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან, მიეკუთვნება დახურულ ინტერვალს (სეგმენტს), მაშინ ზღვარი a ასევე ეკუთვნის ამ ინტერვალს: .

თუ რომელიმე რიცხვიდან დაწყებული მიმდევრობის ელემენტები და და აკმაყოფილებენ უტოლობას, მაშინ .

თუ და, რაღაც რიცხვიდან დაწყებული, , მაშინ .
კერძოდ, თუ რომელიმე რიცხვიდან დაწყებული, მაშინ
თუ , მაშინ ;
თუ , მაშინ .

თუ და, მაშინ.

დაე და . Თუ < b , მაშინ არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა n-სთვის > ნუთანასწორობა დაკმაყოფილებულია.

უტოლობასთან დაკავშირებული თვისებების მტკიცებულებებიგვერდზე მოცემული
>>> უტოლობასთან დაკავშირებული მიმდევრობის ზღვრების თვისებები.

უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ მცირე მიმდევრობები

უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა

ქვემიმდევრობა უსასრულოდ მცირე მიმდევრობას უწოდებენთუ მისი ზღვარი ნულის ტოლია:
.

ჯამი და განსხვავებაუსასრულო რაოდენობის უსასრულო მიმდევრობა არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

შემოსაზღვრული მიმდევრობის პროდუქტიუსასრულოდ მცირე არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

სასრული რიცხვის ნამრავლიუსასრულოდ მცირე მიმდევრობა არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

იმისთვის, რომ მიმდევრობას ჰქონდეს ზღვარი a, აუცილებელია და საკმარისია, სადაც არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის თვისებების მტკიცებულებაგვერდზე მოცემული
უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობები - განმარტება და თვისებები >>> .

უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა

ქვემიმდევრობა უსასრულო მიმდევრობას უწოდებენ, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის არსებობს ისეთი ნატურალური რიცხვი N , დამოკიდებულია იმაზე, რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის არის უტოლობა
.
ამ შემთხვევაში დაწერეთ
.
ან ზე.
ისინი ამბობენ, რომ ის მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

თუ N-დან დაწყებული, მაშინ
.
თუ, მაშინ
.

თუ მიმდევრობები უსასრულოდ დიდია, მაშინ N რიცხვიდან დაწყებული, განისაზღვრება უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა. თუ არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა არანულოვანი ელემენტებით, მაშინ მიმდევრობა უსასრულოდ დიდია.

თუ თანმიმდევრობა უსასრულოდ დიდია და თანმიმდევრობა შეზღუდულია, მაშინ
.

თუ მიმდევრობის ელემენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები ქვემოდან შემოსაზღვრულია დადებითი რიცხვით () და უსასრულოდ მცირეა არანულოვანი ელემენტებით, მაშინ
.

Დეტალებში უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის განსაზღვრა მაგალითებითგვერდზე მოცემული
უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განმარტება >>> .
უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის თვისებების მტკიცებულებებიგვერდზე მოცემული
უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის თვისებები >>> .

თანმიმდევრობის კონვერგენციის კრიტერიუმები

მონოტონური მიმდევრობები

თანმიმდევრობა ე.წ მკაცრად იზრდებათუ ყველა n-სთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
.
შესაბამისად, ამისთვის მკაცრად მცირდებათანმიმდევრობით, მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
.
ამისთვის არ კლებულობს:
.
ამისთვის არ მზარდი:
.

აქედან გამომდინარეობს, რომ მკაცრად მზარდი თანმიმდევრობა ასევე არ არის კლებადი. მკაცრად კლებადი თანმიმდევრობა ასევე არ არის მზარდი.

თანმიმდევრობა ე.წ ერთფეროვანითუ ის არ არის კლებადი ან არ მზარდი.

მონოტონური მიმდევრობა ერთ მხარეს მაინც შემოსაზღვრულია . ქვემოდან შემოსაზღვრულია შეუმცირებელი მიმდევრობა: . ზემოდან შემოსაზღვრულია არამზარდი მიმდევრობა: .

ვაიერშტრასის თეორემა. იმისათვის, რომ არკლებად (არამზარდი) მიმდევრობას ჰქონდეს სასრული ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ იგი შემოიფარგლოს ზემოდან (ქვემოდან). აქ M არის რაღაც რიცხვი.

ვინაიდან ნებისმიერი კლებადი (არამზარდი) მიმდევრობა შემოსაზღვრულია ქვემოდან (ზემოდან), ვეიერშტრასის თეორემა შეიძლება შემდეგნაირად ჩამოყალიბდეს:

იმისთვის, რომ მონოტონურ მიმდევრობას ჰქონდეს სასრული ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია მისი შემოსაზღვრული: .

მონოტონური შეუზღუდავი მიმდევრობააქვს უსასრულო ზღვარი, ტოლია შეუმცირებელი და არმზარდი მიმდევრებისთვის.

ვაიერშტრასის თეორემის დადასტურებაგვერდზე მოცემული
ვაიერშტრასის თეორემა მონოტონური მიმდევრობის ზღვარზე >>> .

კუშის კრიტერიუმი მიმდევრობის კონვერგენციისთვის

კოშის მდგომარეობა. მიმდევრობა აკმაყოფილებს კოშის პირობას, თუ რომელიმესთვის არსებობს ისეთი ნატურალური რიცხვი, რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის n და m, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობას, უტოლობა
.
კოშის მდგომარეობის დამაკმაყოფილებელი თანმიმდევრობები ასევე ეწოდება ფუნდამენტური მიმდევრობები.

კუშის კრიტერიუმი მიმდევრობის კონვერგენციისთვის. იმისთვის, რომ მიმდევრობას ჰქონდეს სასრული ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ იგი აკმაყოფილებდეს კოშის პირობას.

კოშის კონვერგენციის კრიტერიუმის დადასტურებაგვერდზე მოცემული
კოშის კონვერგენციის კრიტერიუმი მიმდევრობისთვის >>> .

ქვემიმდევრობები

ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემა. ნებისმიერი შემოსაზღვრული მიმდევრობისგან შეიძლება გამოირჩეოდეს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა. და ნებისმიერი შეუზღუდავი მიმდევრობიდან - უსასრულოდ დიდი ქვემიმდევრობა, რომელიც ემთხვევა ან .

ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემის დადასტურებაგვერდზე მოცემული
ბოლცანო-ვეიერშტრასის თეორემა >>> .

გვერდზე განხილულია ქვემიმდევრობების და ნაწილობრივი ზღვრების განმარტებები, თეორემები და თვისებები
მიმდევრობების ქვემიმდევრობა და ნაწილობრივი საზღვრები >>>.

ცნობები:
ᲡᲛ. ნიკოლსკი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 1983 წ.
ლ.დ. კუდრიავცევი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 2003 წ.
ვ.ა. ზორიხი. მათემატიკური ანალიზი. ნაწილი 1. მოსკოვი, 1997 წ.
ვ.ა. ილინი, ე.გ. პოზნიაკი. მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები. ნაწილი 1. მოსკოვი, 2005 წ.