თუ ერთგვაროვანი სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია მაშინ. დეტერმინანტის მიყვანა სამკუთხა ფორმამდე

კრამერის მეთოდი ეფუძნება დეტერმინანტების გამოყენებას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას. ეს მნიშვნელოვნად აჩქარებს გადაწყვეტის პროცესს.

კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმდენი წრფივი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად, რამდენიც უცნობია თითოეულ განტოლებაში. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ გამოსავალში შეიძლება გამოვიყენოთ კრამერის მეთოდი, თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ არ შეიძლება. გარდა ამისა, კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად, რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები.

განმარტება. უცნობის კოეფიციენტებისგან შედგენილ განმსაზღვრელს სისტემის განმსაზღვრელი ეწოდება და აღინიშნება (დელტათი).

განმსაზღვრელი

მიღებულია კოეფიციენტების შეცვლით შესაბამის უცნობებში თავისუფალი ტერმინებით:

;

კრამერის თეორემა. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი, ხოლო უცნობი უდრის დეტერმინანტთა თანაფარდობას. მნიშვნელი არის სისტემის განმსაზღვრელი, ხოლო მრიცხველი არის განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია სისტემის განმსაზღვრელი კოეფიციენტების ჩანაცვლებით უცნობით თავისუფალი წევრებით. ეს თეორემა ეხება ნებისმიერი რიგის წრფივი განტოლებების სისტემას.

მაგალითი 1ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

Მიხედვით კრამერის თეორემაჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, სისტემის ამოხსნა (2):

ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

როგორც ჩანს კრამერის თეორემებიწრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნისას შეიძლება მოხდეს სამი შემთხვევა:

პირველი შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი

(სისტემა არის თანმიმდევრული და გარკვეული)

მეორე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა

(სისტემა არის თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი)

** ,

იმათ. უცნობთა და თავისუფალი წევრთა კოეფიციენტები პროპორციულია.

მესამე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს

(სისტემა არათანმიმდევრულია)

ასე რომ სისტემა მწრფივი განტოლებები ნცვლადები ეწოდება შეუთავსებელითუ მას არ აქვს გამოსავალი და ერთობლივითუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც. განტოლებათა ერთობლივ სისტემას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი, ეწოდება გარკვეულიდა ერთზე მეტი გაურკვეველი.

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

მიეცით სისტემა

კრამერის თეორემაზე დაყრდნობით

………….
,

სადაც
-

სისტემის იდენტიფიკატორი. დარჩენილი დეტერმინანტები მიიღება სვეტის ჩანაცვლებით შესაბამისი ცვლადის (უცნობი) კოეფიციენტებით თავისუფალი წევრებით:

მაგალითი 2

ამიტომ, სისტემა გარკვეულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ დეტერმინანტებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, (1; 0; -1) არის სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

თუ წრფივი განტოლების სისტემაში არ არის ცვლადები ერთ ან რამდენიმე განტოლებაში, მაშინ განმსაზღვრელში მათ შესაბამისი ელემენტები ნულის ტოლია! ეს არის შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 3ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

ყურადღებით დააკვირდით განტოლებათა სისტემას და სისტემის განმსაზღვრელს და გაიმეორეთ პასუხი კითხვაზე, რომელ შემთხვევაშია დეტერმინანტის ერთი ან რამდენიმე ელემენტი ნულის ტოლი. ასე რომ, დეტერმინანტი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა განსაზღვრულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ უცნობის განმსაზღვრელებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

მაშ ასე, სისტემის ამონახსნი არის (2; -1; 1).

გვერდის ზედა

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ სისტემების გადაჭრას კრამერის მეთოდით

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თუ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ხოლო უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ მას არ აქვს ამონახსნები. მოდი ილუსტრაციით ვაჩვენოთ შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 6ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, შესაბამისად, წრფივი განტოლებათა სისტემა ან არათანმიმდევრული და განსაზღვრულია, ან არათანმიმდევრული, ანუ მას არ გააჩნია ამონახსნები. გასარკვევად, ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელებს უცნობისთვის

უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ არ აქვს ამონახსნები.

ხაზოვანი განტოლებების სისტემების ამოცანებში არის ისეთებიც, სადაც ცვლადის აღმნიშვნელი ასოების გარდა, არის სხვა ასოებიც. ეს ასოები ნიშნავს რაღაც რიცხვს, ყველაზე ხშირად რეალურ რიცხვს. პრაქტიკაში, ასეთი განტოლებები და განტოლებათა სისტემები იწვევს პრობლემებს ნებისმიერი ფენომენის და ობიექტის ზოგადი თვისებების პოვნაში. ანუ, თქვენ გამოიგონეთ ახალი მასალა ან მოწყობილობა და მისი თვისებების აღსაწერად, რომლებიც საერთოა ასლების ზომისა და რაოდენობის მიუხედავად, თქვენ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებების სისტემა, სადაც ცვლადების ზოგიერთი კოეფიციენტის ნაცვლად არის ასოები. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მაგალითები.

შემდეგი მაგალითი არის მსგავსი პრობლემისთვის, იზრდება მხოლოდ განტოლებების, ცვლადებისა და ასოების რაოდენობა, რომლებიც აღნიშნავენ რეალურ რიცხვს.

მაგალითი 8ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

უცნობების განმსაზღვრელთა პოვნა

m წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობითფორმათა სისტემას უწოდებენ

სადაც აიჯდა ბ ი (მე=1,…,მ; ბ=1,…,ნ) არის რამდენიმე ცნობილი რიცხვი და x 1,…,x n- უცნობი. კოეფიციენტების აღნიშვნაში აიჯპირველი ინდექსი მეაღნიშნავს განტოლების რიცხვს და მეორე ჯარის უცნობის რიცხვი, რომელზეც დგას ეს კოეფიციენტი.

კოეფიციენტები უცნობისთვის დაიწერება მატრიცის სახით , რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ სისტემის მატრიცა.

განტოლებების მარჯვენა მხარეს რიცხვები b 1,…,b mდაურეკა თავისუფალი წევრები.

Აგრეგატი ნნომრები c 1,…,c nდაურეკა გადაწყვეტილებაამ სისტემის, თუ სისტემის თითოეული განტოლება ხდება ტოლობა მასში რიცხვების ჩანაცვლების შემდეგ c 1,…,c nშესაბამისი უცნობის ნაცვლად x 1,…,x n.

ჩვენი ამოცანა იქნება სისტემის გადაწყვეტის პოვნა. ამ შემთხვევაში შეიძლება წარმოიშვას სამი სიტუაცია:

წრფივი განტოლებათა სისტემას, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, ეწოდება ერთობლივი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ე.ი. თუ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, მაშინ მას უწოდებენ შეუთავსებელი.

განიხილეთ სისტემის გადაწყვეტის გზების პოვნა.

ხაზოვანი განტოლებების სისტემების გადაჭრის მატრიცული მეთოდი

მატრიცები შესაძლებელს ხდის წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ ჩამოწერას. მიეცით 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

განვიხილოთ სისტემის მატრიცა უცნობი და თავისუფალი წევრების მატრიცული სვეტები

მოდი ვიპოვოთ პროდუქტი

იმათ. პროდუქტის შედეგად ვიღებთ ამ სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს. შემდეგ, მატრიცული თანასწორობის განმარტების გამოყენებით, ეს სისტემა შეიძლება დაიწეროს როგორც

ან უფრო მოკლე ა∙X=B.

აქ არის მატრიცები ადა ბცნობილია და მატრიცა Xუცნობი. ის უნდა მოიძებნოს, რადგან. მისი ელემენტები ამ სისტემის გამოსავალია. ეს განტოლება ე.წ მატრიცული განტოლება.

დაე, მატრიცის განმსაზღვრელი იყოს განსხვავებული ნულიდან | ა| ≠ 0. მაშინ მატრიცული განტოლება იხსნება შემდეგნაირად. გაამრავლეთ მარცხნივ განტოლების ორივე მხარე მატრიცით A-1მატრიცის ინვერსია ა: . Იმდენად, რამდენადაც A -1 A = Eდა ე∙X=X, შემდეგ ვიღებთ მატრიცული განტოლების ამოხსნას სახით X = A -1 B .

გაითვალისწინეთ, რომ იმის გამო, რომ ინვერსიული მატრიცა შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის, მატრიცის მეთოდს შეუძლია გადაჭრას მხოლოდ ის სისტემები, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა იგივეა რაც უცნობის რაოდენობა. თუმცა, სისტემის მატრიცული აღნიშვნა შესაძლებელია იმ შემთხვევაშიც, როდესაც განტოლებათა რაოდენობა არ უდრის უცნობის რაოდენობას, მაშინ მატრიცა აარ არის კვადრატი და ამიტომ შეუძლებელია სისტემის გამოსავლის პოვნა ფორმაში X = A -1 B.

მაგალითები.განტოლებათა სისტემების ამოხსნა.

კრამერის წესი

განვიხილოთ 3 წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

სისტემის მატრიცის შესაბამისი მესამე რიგის განმსაზღვრელი, ე.ი. შედგენილი კოეფიციენტებისგან უცნობებზე,

დაურეკა სისტემის განმსაზღვრელი.

ჩვენ ვადგენთ კიდევ სამ განმსაზღვრელს შემდეგნაირად: ჩვენ ვანაცვლებთ თანმიმდევრულად 1, 2 და 3 სვეტებს განმსაზღვრელ D-ში თავისუფალი წევრების სვეტით.

შემდეგ შეგვიძლია დავამტკიცოთ შემდეგი შედეგი.

თეორემა (კრამერის წესი).თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის Δ ≠ 0, მაშინ განსახილველ სისტემას აქვს ერთი და მხოლოდ ერთი ამონახსნი და

მტკიცებულება. ასე რომ, განვიხილოთ 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით. გაამრავლეთ სისტემის 1-ლი განტოლება ალგებრულ დანამატზე A 11ელემენტი a 11, მე-2 განტოლება - ჩართულია A21და მე-3 - ჩართული A 31:

დავამატოთ ეს განტოლებები:

განვიხილოთ თითოეული ფრჩხილები და ამ განტოლების მარჯვენა მხარე. დეტერმინანტის გაფართოების თეორემით 1-ლი სვეტის ელემენტების მიხედვით

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ და .

ბოლოს და ბოლოს, ამის დანახვა ადვილია

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას: .

აქედან გამომდინარე,.

ტოლობები და მიღებულია ანალოგიურად, საიდანაც მოდის თეორემის მტკიცება.

ამრიგად, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი და პირიქით. თუ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემას ან აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები, ან არ აქვს ამონახსნები, ე.ი. შეუთავსებელი.

მაგალითები.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გაუსის მეთოდი

ადრე განხილული მეთოდები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ იმ სისტემების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ემთხვევა უცნობის რაოდენობას, ხოლო სისტემის განმსაზღვრელი უნდა იყოს განსხვავებული ნულიდან. გაუსის მეთოდი უფრო უნივერსალურია და შესაფერისია ნებისმიერი რაოდენობის განტოლების მქონე სისტემებისთვის. იგი შედგება სისტემის განტოლებიდან უცნობის თანმიმდევრული აღმოფხვრაში.

კვლავ განვიხილოთ სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

პირველ განტოლებას ვტოვებთ უცვლელად, ხოლო მე-2 და მე-3-დან გამოვრიცხავთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს x 1. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ მეორე განტოლებას ა 21 და გაამრავლე - ა 11 და შემდეგ დავამატოთ 1 განტოლება. ანალოგიურად, ჩვენ ვყოფთ მესამე განტოლებას ა 31 და გაამრავლე - ა 11 და შემდეგ დაამატეთ იგი პირველს. შედეგად, ორიგინალური სისტემა მიიღებს ფორმას:

ახლა, ბოლო განტოლებიდან, ჩვენ გამოვრიცხავთ შემცველ ტერმინს x2. ამისათვის გაყავით მესამე განტოლება ზე, გაამრავლეთ და დაუმატეთ მეორეს. მაშინ გვექნება განტოლებათა სისტემა:

აქედან გამომდინარე, ბოლო განტოლებიდან მისი პოვნა ადვილია x 3, შემდეგ მე-2 განტოლებიდან x2და ბოლოს 1-დან - x 1.

გაუსის მეთოდის გამოყენებისას, საჭიროების შემთხვევაში, განტოლებები შეიძლება შეიცვალოს.

ხშირად, განტოლებათა ახალი სისტემის დაწერის ნაცვლად, ისინი შემოიფარგლებიან სისტემის გაფართოებული მატრიცის ჩამოწერით:

და შემდეგ მიიყვანეთ სამკუთხა ან დიაგონალურ ფორმამდე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით.

რომ ელემენტარული გარდაქმნებიმატრიცები მოიცავს შემდეგ გარდაქმნებს:

რიგების ან სვეტების პერმუტაცია;
სტრიქონის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;
ერთ ხაზზე სხვა ხაზების დამატება.

მაგალითები:განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამრიგად, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მოცემულია N წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა (SLAE) უცნობიებით, რომლის კოეფიციენტები არის მატრიცის ელემენტები, ხოლო თავისუფალი წევრები რიცხვები.

კოეფიციენტების გვერდით პირველი ინდექსი მიუთითებს, რომელ განტოლებაში მდებარეობს კოეფიციენტი, ხოლო მეორე - უცნობი უცნობიდან რომელზე მდებარეობს.

თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი

მაშინ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების ისეთი მოწესრიგებული სიმრავლე, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ განტოლებას სწორ ტოლობაში.

თუ სისტემის ყველა განტოლების მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია, მაშინ განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი. იმ შემთხვევაში, როდესაც ზოგიერთი მათგანი არ არის ნულოვანი, არაერთგვაროვანი

თუ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც, მაშინ მას თავსებადი ეწოდება, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეუთავსებელია.

თუ სისტემის ამონახსნი უნიკალურია, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება განსაზღვრული. იმ შემთხვევაში, როდესაც ერთობლივი სისტემის ამონახსნი არ არის უნიკალური, განტოლებათა სისტემას ეწოდება განუსაზღვრელი.

წრფივი განტოლებების ორ სისტემას ეწოდება ეკვივალენტი (ან ეკვივალენტი), თუ ერთი სისტემის ყველა ამონახსნები მეორეს ამონახსნებია და პირიქით. ეკვივალენტური (ან ეკვივალენტური) სისტემები მიიღება ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენებით.

SLAE-ის ეკვივალენტური გარდაქმნები

1) განტოლებათა გადაწყობა;

2) განტოლებების გამრავლება (ან გაყოფა) არანულოვანი რიცხვით;

3) ზოგიერთ განტოლებას კიდევ ერთი განტოლების დამატება, გამრავლებული თვითნებური არანულოვანი რიცხვით.

SLAE გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს სხვადასხვა გზით.

კრამერის მეთოდი

კრამერის თეორემა. თუ უცნობებთან წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, მაშინ ამ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც ნაპოვნია კრამერის ფორმულებით:

არის განმსაზღვრელი, რომელიც წარმოიქმნება i-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით.

თუ , და ერთ-ერთი მაინც არ არის ნულოვანი, მაშინ SLAE-ს არ აქვს ამონახსნები. თუ , მაშინ SLAE-ს ბევრი გამოსავალი აქვს. განვიხილოთ მაგალითები კრამერის მეთოდის გამოყენებით.

—————————————————————

მოცემულია სამი წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით. სისტემის ამოხსნა კრამერის მეთოდით

იპოვეთ უცნობის კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი

ვინაიდან , მაშინ განტოლებათა მოცემული სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს უნიკალური ამონახსნები. მოდით გამოვთვალოთ დეტერმინანტები:

კრამერის ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ უცნობებს

Ისე სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

მოცემულია ოთხი წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემა. სისტემის ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

ვიპოვოთ კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი უცნობისთვის. ამისათვის ჩვენ ვაფართოებთ მას პირველი ხაზით.

იპოვნეთ დეტერმინანტის კომპონენტები:

შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები განმსაზღვრელში

მაშასადამე, განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს უნიკალური ამონახსნი. ჩვენ ვიანგარიშებთ დეტერმინანტებს კრამერის ფორმულების გამოყენებით:

მოდით გავაფართოვოთ თითოეული განმსაზღვრელი სვეტით, რომელშიც მეტი ნულებია.

კრამერის ფორმულებით ვპოულობთ

სისტემის გადაწყვეტა

ეს მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს მათემატიკური კალკულატორით YukhymCALC. პროგრამის ფრაგმენტი და გამოთვლების შედეგები ნაჩვენებია ქვემოთ.

——————————

C R A M E R მეთოდი

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2)-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= ათი

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

მასალების ნახვა:

(jკომენტარები)

ზოგადად, რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის წესი საკმაოდ რთულია. მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტებისთვის არსებობს მათი გამოთვლის რაციონალური გზები.

მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლები

მეორე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, აუცილებელია გამოვაკლოთ მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს:

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები

არსებობს მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის წესები.

სამკუთხედის წესი

სქემატურად, ეს წესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

პირველი განმსაზღვრელი ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც დაკავშირებულია ხაზებით, აღებულია პლუსის ნიშნით; ანალოგიურად, მეორე განმსაზღვრელზეც შესაბამისი პროდუქტები აღებულია მინუს ნიშნით, ე.ი.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სამკუთხედის მეთოდი.

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

სარრუსის წესი

განმსაზღვრელზე მარჯვნივ ემატება პირველი ორი სვეტი და ელემენტების ნამრავლები მთავარ დიაგონალზე და მის პარალელურ დიაგონალებზე მიიღება პლუსის ნიშნით; და მეორადი დიაგონალის ელემენტების და მის პარალელურ დიაგონალების ნამრავლები მინუს ნიშნით:

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სარრუსის წესის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

განმსაზღვრელი მწკრივის ან სვეტის გაფართოება

განმსაზღვრელი უდრის განმსაზღვრელი მწკრივის ელემენტებისა და მათი ალგებრული კომპლიმენტების ნამრავლების ჯამს.

ჩვეულებრივ აირჩიეთ სტრიქონი/სვეტი, რომელშიც/ე არის ნულები. მწკრივი ან სვეტი, რომელზედაც ხდება დაშლა, მითითებული იქნება ისრით.

მაგალითი

ვარჯიში.პირველ რიგში გაფართოვდით, გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

გადაწყვეტილება.

უპასუხე.

ეს მეთოდი საშუალებას იძლევა დეტერმინანტის გამოთვლა შემცირდეს უფრო დაბალი რიგის დეტერმინანტის გამოთვლამდე.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

გადაწყვეტილება.განმსაზღვრელი მწკრივებზე გავაკეთოთ შემდეგი გარდაქმნები: მეორე მწკრივს გამოვაკლებთ პირველ ოთხს, ხოლო მესამე მწკრივს პირველი რიგის შვიდზე გამრავლებული, შედეგად, განმსაზღვრელი თვისებების მიხედვით, ვიღებთ მოცემულის ტოლი განმსაზღვრელი.

განმსაზღვრელი არის ნული, რადგან მეორე და მესამე რიგები პროპორციულია.

უპასუხე.

მეოთხე რიგის და ზემოთ დეტერმინანტების გამოსათვლელად გამოიყენება ან გაფართოება მწკრივში / სვეტში, ან სამკუთხა ფორმამდე შემცირება, ან ლაპლასის თეორემის გამოყენებით.

დეტერმინანტის დაშლა მწკრივის ან სვეტის ელემენტების მიხედვით

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი , მისი დაშლა რომელიმე რიგის ან რომელიმე სვეტის ელემენტებით.

გადაწყვეტილება.მოდით, ჯერ შევასრულოთ ელემენტარული გარდაქმნები განმსაზღვრელი სტრიქონების მიხედვით, რაც შეიძლება მეტი ნულის შედგენით მწკრივში ან სვეტში. ამისათვის ჯერ პირველ ხაზს გამოვაკლებთ ცხრა მესამედს, მეორეს ხუთ მესამედს და მეოთხეს სამი მესამედს, მივიღებთ:

ჩვენ ვაფართოებთ მიღებულ განმსაზღვრელს პირველი სვეტის ელემენტებით:

შედეგად მიღებული მესამე რიგის განმსაზღვრელი ასევე გაფართოვდა მწკრივისა და სვეტის ელემენტებით, მანამდე მიღებული ნულები, მაგალითად, პირველ სვეტში.

ამისათვის ჩვენ გამოვაკლებთ ორ მეორე ხაზს პირველ ხაზს, ხოლო მეორეს მესამეს:

უპასუხე.

კომენტარი

ბოლო და ბოლო განმსაზღვრელი ვერ გამოითვლება, მაგრამ დაუყოვნებლივ დავასკვნათ, რომ ისინი ნულის ტოლია, რადგან ისინი შეიცავს პროპორციულ რიგებს.

დეტერმინანტის მიყვანა სამკუთხა ფორმამდე

მწკრივებზე ან სვეტებზე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, განმსაზღვრელი მცირდება სამკუთხა ფორმამდე, შემდეგ კი მისი მნიშვნელობა, განმსაზღვრელი თვისებების მიხედვით, უდრის ძირითად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სამკუთხა ფორმამდე მიყვანა.

გადაწყვეტილება.პირველ რიგში, ჩვენ ვაკეთებთ ნულებს პირველ სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ.

4. დეტერმინანტთა თვისებები. მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი.

ყველა ტრანსფორმაცია უფრო ადვილი იქნება, თუ ელემენტი 1-ის ტოლია. ამისათვის ჩვენ შევცვლით დეტერმინანტის პირველ და მეორე სვეტებს, რაც, დეტერმინანტის თვისებების მიხედვით, გამოიწვევს მის საპირისპირო ნიშნის შეცვლას. :

შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ნულებს მეორე სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ არსებული ელემენტების ნაცვლად. და კიდევ, თუ დიაგონალური ელემენტი უდრის , მაშინ გამოთვლები უფრო მარტივი იქნება. ამისათვის ჩვენ ვცვლით მეორე და მესამე ხაზებს (და ამავდროულად ვცვლით განმსაზღვრელი საპირისპირო ნიშანს):

უპასუხე.

ლაპლასის თეორემა

მაგალითი

ვარჯიში.ლაპლასის თეორემის გამოყენებით გამოთვალეთ დეტერმინანტი

გადაწყვეტილება.ამ მეხუთე რიგის განმსაზღვრელში ვირჩევთ ორ რიგს - მეორეს და მესამეს, შემდეგ ვიღებთ (გამოვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც ნულის ტოლია):

უპასუხე.

წრფივი განტოლებები და უტოლობა I

§ 31 შემთხვევა, როდესაც განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ხოლო დამხმარე განმსაზღვრელთაგან ერთი მაინც განსხვავდება ნულისაგან.

თეორემა.თუ განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი

(1)

უდრის ნულს და მინიმუმ ერთი დამხმარე განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია.

ფორმალურად, ამ თეორემის დადასტურება არ არის რთული წინააღმდეგობით. დავუშვათ, რომ განტოლებათა სისტემას (1) აქვს ამონახსნი ( x 0 , წ 0). ვინაიდან, როგორც წინა პუნქტშია ნაჩვენები,

Δ x 0 = Δ x , Δ წ 0 = Δ წ (2)

მაგრამ პირობით Δ = 0 და ერთ-ერთი განმსაზღვრელი მაინც Δ x და Δ წ განსხვავდება ნულიდან. ამრიგად, თანასწორობა (2) არ შეიძლება ერთდროულად იყოს. თეორემა დადასტურდა.

თუმცა, საინტერესოა უფრო დეტალურად იმის გარკვევა, თუ რატომ არის განტოლებათა სისტემა (1) არათანმიმდევრული განსახილველ შემთხვევაში.

ნიშნავს, რომ უცნობების კოეფიციენტები განტოლებათა სისტემაში (1) პროპორციულია. მოდით, მაგალითად,

ა 1 = კა 2 , ბ 1 = კბ 2 .

ნიშნავს, რომ კოეფიციენტები ზე ხოლო (1) სისტემის განტოლებების თავისუფალი წევრები არ არის პროპორციული. Იმდენად, რამდენადაც ბ 1 = კბ 2, მაშინ გ 1 =/= კკ 2 .

ამრიგად, განტოლებათა სისტემა (1) შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

ამ სისტემაში კოეფიციენტები უცნობისთვის არის შესაბამისად პროპორციული, მაგრამ კოეფიციენტები ამისთვის ზე (ან როდის X ) და თავისუფალი პირობები არ არის პროპორციული. ასეთი სისტემა, რა თქმა უნდა, არათანმიმდევრულია. მართლაც, თუ მას ჰქონდა გამოსავალი ( x 0 , წ 0), შემდეგ რიცხვითი ტოლობები

კ (ა 2 x 0 + ბ 2 წ 0) = გ 1

ა 2 x 0 + ბ 2 წ 0 = გ 2 .

მაგრამ ამ თანასწორობიდან ერთი ეწინააღმდეგება მეორეს: ბოლოს და ბოლოს, გ 1 =/= კკ 2 .

ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის შემთხვევა, როდესაც Δ x =/= 0. ანალოგიურად შეგვიძლია განვიხილოთ შემთხვევა როცა Δ წ =/= 0."

დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად.

თუ კოეფიციენტები უცნობისთვის Xდა ზეგანტოლებათა სისტემაში (1) პროპორციულია, და კოეფიციენტები რომელიმე ამ უცნობისთვის და თავისუფალი წევრებისთვის არ არის პროპორციული, მაშინ განტოლებათა ეს სისტემა არათანმიმდევრულია.

მაგალითად, ადვილია იმის დადასტურება, რომ თითოეული ეს სისტემა არათანმიმდევრული იქნება:

კრამერის მეთოდი წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის

კრამერის ფორმულები

კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმდენი წრფივი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად, რამდენიც უცნობია თითოეულ განტოლებაში.

კრამერის მეთოდი. გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემებისთვის

თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ გამოსავალში შეიძლება გამოვიყენოთ კრამერის მეთოდი, თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ არ შეიძლება. გარდა ამისა, კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად, რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები.

განმსაზღვრელი

;

მაგალითი 1ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

Მიხედვით კრამერის თეორემაჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, სისტემის ამოხსნა (2):

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

(სისტემა არის თანმიმდევრული და გარკვეული)

(სისტემა არის თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი)

**
,

იმათ. უცნობთა და თავისუფალი წევრთა კოეფიციენტები პროპორციულია.

მესამე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს

(სისტემა არათანმიმდევრულია)

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

მიეცით სისტემა

კრამერის თეორემაზე დაყრდნობით

………….
,

სადაც
—

მაგალითი 2

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, (1; 0; -1) არის სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

თუ წრფივი განტოლებების სისტემაში არ არის ცვლადები ერთ ან რამდენიმე განტოლებაში, მაშინ განმსაზღვრელში მათ შესაბამისი ელემენტები ნულის ტოლია! ეს არის შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 3ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

მაშ ასე, სისტემის ამონახსნი არის (2; -1; 1).

გვერდის ზედა

გაიარეთ ვიქტორინა წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ

მაგალითი 4ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

მაგალითი 6ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

უცნობების განმსაზღვრელთა პოვნა

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

და ბოლოს, ოთხი განტოლების სისტემა ოთხი უცნობით.

მაგალითი 7ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

ყურადღება! მეოთხე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები აქ არ იქნება ახსნილი. ამის შემდეგ - საიტის შესაბამის განყოფილებაში. მაგრამ იქნება რამდენიმე კომენტარი. გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

პატარა კომენტარი. თავდაპირველ განმსაზღვრელში მეოთხე რიგის ელემენტები აკლდა მეორე რიგის ელემენტებს, მეოთხე რიგის 2-ზე გამრავლებული ელემენტები გამოაკლო მესამე რიგის ელემენტებს, პირველი რიგის ელემენტები გამრავლებული 2-ით იყო გამოკლებულია მეოთხე რიგის ელემენტებს.სქემა. უცნობების განმსაზღვრელთა პოვნა

მეოთხე უცნობით განმსაზღვრელი გარდაქმნებისთვის, მეოთხე რიგის ელემენტები გამოაკლო პირველი რიგის ელემენტებს.

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, სისტემის ამონახსნები არის (1; 1; -1; -1).

ყველაზე ყურადღებიანებმა ალბათ შენიშნეს, რომ სტატიაში არ იყო ხაზოვანი განტოლებების განუსაზღვრელი სისტემების ამოხსნის მაგალითები. და ეს ყველაფერი იმის გამო, რომ შეუძლებელია ასეთი სისტემების გადაჭრა კრამერის მეთოდით, შეგვიძლია მხოლოდ განვაცხადოთ, რომ სისტემა განუსაზღვრელია. ასეთი სისტემების გადაწყვეტილებები მოცემულია გაუსის მეთოდით.

არ გაქვთ დრო გამოსავლის გასარკვევად? შეგიძლიათ შეუკვეთოთ სამუშაო!

გვერდის ზედა

გაიარეთ ვიქტორინა წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ

სხვა თემაზე "განტოლებათა და უტოლობათა სისტემები"

კალკულატორი - ონლაინ განტოლებების სისტემების ამოხსნა

C++-ში კრამერის მეთოდის პროგრამული განხორციელება

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით და მიმატების მეთოდით

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობის პირობა.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცა)

წრფივი უტოლობათა და წერტილთა ამოზნექილი სიმრავლეების სისტემები

თემის დასაწყისი "ხაზოვანი ალგებრა"

განმსაზღვრელი

ამ სტატიაში გავეცნობით ძალიან მნიშვნელოვან ცნებას წრფივი ალგებრის განყოფილებიდან, რომელსაც დეტერმინანტი ეწოდება.

მსურს დაუყოვნებლივ აღვნიშნო მნიშვნელოვანი წერტილი: განმსაზღვრელი ცნება მოქმედებს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის (სტრიქონების რაოდენობა = სვეტების რაოდენობა), სხვა მატრიცებს ეს არ აქვთ.

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი(განმსაზღვრელი) — მატრიცის რიცხვითი მახასიათებელი.

დეტერმინანტების აღნიშვნა: |A|, det A, ∆ ა.

განმსაზღვრელი"n" წესრიგს ეწოდება მისი ელემენტების ყველა შესაძლო პროდუქტის ალგებრული ჯამი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ მოთხოვნებს:

1) თითოეული ასეთი პროდუქტი შეიცავს ზუსტად "n" ელემენტებს (ანუ მეორე რიგის განმსაზღვრელი არის 2 ელემენტი).

2) თითოეულ პროდუქტში არის თითოეული მწკრივის და თითოეული სვეტის წარმომადგენელი, როგორც ფაქტორი.

3) თითოეულ პროდუქტში ნებისმიერი ორი ფაქტორი არ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს იმავე მწკრივს ან სვეტს.

ნამრავლის ნიშანი განისაზღვრება სვეტის რიცხვების მონაცვლეობის თანმიმდევრობით, თუ პროდუქტში ელემენტები განლაგებულია მწკრივების რიცხვების ზრდის მიხედვით.

განვიხილოთ მატრიცის დეტერმინანტის პოვნის რამდენიმე მაგალითი:

პირველი რიგის მატრიცისთვის (ე.ი.

წრფივი განტოლებები. წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. კრამერის მეთოდი.

არის მხოლოდ 1 ელემენტი), განმსაზღვრელი უდრის ამ ელემენტს:

2. განვიხილოთ მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა:

3. განვიხილოთ მესამე რიგის კვადრატული მატრიცა (3×3):

4. ახლა კი განიხილეთ მაგალითები რეალური რიცხვებით:

სამკუთხედის წესი.

სამკუთხედის წესი არის მატრიცის დეტერმინანტის გამოსათვლელი გზა, რომელიც გულისხმობს მის პოვნას შემდეგი სქემის მიხედვით:

როგორც უკვე მიხვდით, მეთოდს ეწოდა სამკუთხედის წესი იმის გამო, რომ გამრავლებული მატრიცის ელემენტები ქმნიან თავისებურ სამკუთხედებს.

ამის უკეთ გასაგებად, ავიღოთ მაგალითი:

და ახლა განვიხილოთ მატრიცის განმსაზღვრელი გამოთვლა რეალური რიცხვებით სამკუთხედის წესის გამოყენებით:

დაფარული მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, ჩვენ მოვაგვარებთ კიდევ ერთ პრაქტიკულ მაგალითს:

დეტერმინანტების თვისებები:

1. თუ მწკრივის ან სვეტის ელემენტები ნულის ტოლია, მაშინ განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

2. განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს, თუ რომელიმე 2 მწკრივი ან სვეტი შეიცვლება. მოდით შევხედოთ ამას მცირე მაგალითით:

3. ტრანსპონირებული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელს.

4. განმსაზღვრელი არის ნული, თუ ერთი მწკრივის ელემენტები უდრის მეორე რიგის შესაბამის ელემენტებს (ასევე სვეტებისთვის). დეტერმინანტების ამ თვისების უმარტივესი მაგალითია:

5. განმსაზღვრელი არის ნული, თუ მისი 2 სტრიქონი პროპორციულია (ასევე სვეტებისთვის). მაგალითი (სტრიქონი 1 და 2 პროპორციულია):

6. მწკრივის (სვეტის) საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

7) განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ელემენტები დაემატება სხვა მწკრივის (სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულს იმავე მნიშვნელობაზე. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით:

მცირე და ალგებრული დამატება

მატრიცების შეკრება და გამოკლება მაგალითებით

მოქმედებები მატრიცებით

"მატრიცის" კონცეფცია

ნახვები: 57258

განმსაზღვრელი (aka determinant (განმსაზღვრელი)) გვხვდება მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებში. განმსაზღვრელი სხვა არაფერია, თუ არა მნიშვნელობა, რომელიც აერთიანებს მატრიცის ყველა ელემენტს, რომელიც შენარჩუნებულია რიგების ან სვეტების გადატანისას. ის შეიძლება აღინიშნოს როგორც det(A), |A|, Δ(A), Δ, სადაც A შეიძლება იყოს როგორც მატრიცა, ასევე მისი აღმნიშვნელი ასო. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ იგი სხვადასხვა გზით:

ყველა ზემოთ შემოთავაზებული მეთოდი გაანალიზდება სამი ან მეტი ზომის მატრიცებზე. ორგანზომილებიანი მატრიცის განმსაზღვრელი ნაპოვნია სამი ელემენტარული მათემატიკური ოპერაციის გამოყენებით, შესაბამისად, ორგანზომილებიანი მატრიცის განმსაზღვრელი პოვნა არცერთ მეთოდში არ მოხვდება. კარგად, გარდა დანამატისა, მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით.

იპოვეთ 2x2 მატრიცის განმსაზღვრელი:

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ჩვენი მატრიცის განმსაზღვრელი, საჭიროა გამოვაკლოთ ერთი დიაგონალის რიცხვების ნამრავლი მეორისგან, კერძოდ, ე.ი.

მეორე რიგის მატრიცების დეტერმინანტის პოვნის მაგალითები

მწკრივის/სვეტის დაშლა

მატრიცაში ნებისმიერი მწკრივი ან სვეტი არჩეულია. არჩეულ ხაზში თითოეული რიცხვი მრავლდება (-1) i+j-ზე, სადაც (i,j არის ამ რიცხვის მწკრივი, სვეტის ნომერი) და მრავლდება მეორე რიგის განმსაზღვრელთან, რომელიც შედგება დარჩენილი ელემენტებისაგან i - მწკრივის წაშლის შემდეგ და j - სვეტი. მოდით შევხედოთ მატრიცას

აირჩიეთ სტრიქონი/სვეტი

მაგალითად, აიღეთ მეორე ხაზი.

Შენიშვნა: თუ ცალსახად არ არის მითითებული, რომელი ხაზით უნდა ვიპოვოთ განმსაზღვრელი, აირჩიეთ წრფე, რომელსაც აქვს ნული. ნაკლები გამოთვლები იქნება.

გამოთქმის შედგენა

ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ რიცხვის ნიშანი ყოველ მეორე ჯერზე იცვლება. ამიტომ, ერთეულების ნაცვლად, შეგიძლიათ იხელმძღვანელოთ შემდეგი ცხრილით:

მოდით შევცვალოთ ჩვენი რიცხვების ნიშანი

მოდი ვიპოვოთ ჩვენი მატრიცების დეტერმინანტები

ჩვენ განვიხილავთ ყველაფერს

გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ასე:

მწკრივის/სვეტის გაფართოებით განმსაზღვრელი პოვნის მაგალითები:

სამკუთხა ფორმამდე შემცირების მეთოდი (ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით)

განმსაზღვრელი გვხვდება მატრიცის სამკუთხა (საფეხურიან) ფორმამდე მიყვანით და მთავარ დიაგონალზე ელემენტების გამრავლებით.

სამკუთხა მატრიცა არის მატრიცა, რომლის ელემენტები დიაგონალის ერთ მხარეს ნულის ტოლია.

მატრიცის შექმნისას გახსოვდეთ სამი მარტივი წესი:

ყოველ ჯერზე, როდესაც სტრიქონები ერთმანეთს ცვლის, განმსაზღვრელი ცვლის საპირისპირო ნიშანს.
ერთი წრფის გამრავლების / გაყოფისას არანულოვანი რიცხვით, ის უნდა გაიყოს (თუ გამრავლდა) / გავამრავლოთ (თუ იყოფა) მასზე, ან შეასრულოთ ეს მოქმედება მიღებული განმსაზღვრელით.
რიცხვით გამრავლებული ერთი სტრიქონის მეორე სტრიქონზე დამატებისას, განმსაზღვრელი არ იცვლება (გამრავლებული სტრიქონი იღებს თავდაპირველ მნიშვნელობას).

შევეცადოთ მივიღოთ ნულები პირველ სვეტში, შემდეგ მეორეში.

მოდით გადავხედოთ ჩვენს მატრიცას:

ტა-ა-აკ. გამოთვლები რომ უფრო სასიამოვნო იყოს, მინდა ზევით ყველაზე ახლოს მქონდეს რიცხვი. შეგიძლიათ დატოვოთ, მაგრამ არ გჭირდებათ. კარგი, მეორე სტრიქონში გვაქვს დუი, პირველზე კი ოთხი.

მოდით გავცვალოთ ეს ორი ხაზი.

ხაზები გავცვალეთ, ახლა ან ერთი ხაზის ნიშანი უნდა შევცვალოთ, ან ბოლოს განმსაზღვრელი.

განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების გამოთვლა (გვ. 2)

ჩვენ ამას მოგვიანებით გავაკეთებთ.

ახლა, პირველ რიგში ნულის მისაღებად, პირველ მწკრივს ვამრავლებთ 2-ზე.

გამოვაკლოთ 1 რიგი მეორეს.

ჩვენი მე-3 წესის მიხედვით, ჩვენ ვაბრუნებთ თავდაპირველ სტრიქონს საწყის პოზიციაზე.

ახლა გავაკეთოთ ნული მე-3 სტრიქონში. შეგვიძლია პირველი ხაზი გავამრავლოთ 1,5-ზე და გამოვაკლოთ მესამეს, მაგრამ წილადებთან მუშაობა მცირე სიამოვნებას მოაქვს. მაშასადამე, მოდი ვიპოვოთ რიცხვი, რომელზეც ორივე სტრიქონი შეიძლება შემცირდეს - ეს არის 6.

გავამრავლოთ მე-3 რიგი 2-ზე.

ახლა ვამრავლებთ 1 მწკრივს 3-ზე და ვაკლებთ მე-3-ს.

დავაბრუნოთ ჩვენი პირველი რიგი.

არ დაგავიწყდეთ, რომ მე-3 მწკრივი გავამრავლეთ 2-ზე, ამიტომ განმსაზღვრელს გავყოფთ 2-ზე.

არის ერთი სვეტი. ახლა იმისთვის რომ მივიღოთ ნულები მეორეში - დავივიწყოთ 1-ლი ხაზი - ვმუშაობთ მე-2 სტრიქონთან. გავამრავლოთ მეორე რიგი -3-ზე და დავამატოთ მესამეს.

არ დაგავიწყდეთ მეორე ხაზის დაბრუნება.

ასე რომ, ჩვენ ავაშენეთ სამკუთხა მატრიცა. რა დაგვრჩენია? და რჩება რიცხვების გამრავლება მთავარ დიაგონალზე, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ.

კარგად, უნდა გვახსოვდეს, რომ ჩვენი განმსაზღვრელი უნდა გავყოთ 2-ზე და შევცვალოთ ნიშანი.

სარრუსის წესი (სამკუთხედების წესი)

სარრუსის წესი ვრცელდება მხოლოდ მესამე რიგის კვადრატულ მატრიცებზე.

განმსაზღვრელი გამოითვლება მატრიცის მარჯვნივ პირველი ორი სვეტის დამატებით, მატრიცის დიაგონალების ელემენტების გამრავლებით და მათი მიმატებით და საპირისპირო დიაგონალების ჯამის გამოკლებით. ნარინჯისფერ დიაგონალებს გამოვაკლოთ იისფერი.

სამკუთხედების წესი იგივეა, მხოლოდ სურათია განსხვავებული.

ლაპლასის თეორემა იხილეთ რიგის/სვეტის დაშლა

1.1. ორი წრფივი განტოლებისა და მეორე რიგის დეტერმინანტების სისტემები

განვიხილოთ ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით:

შანსები უცნობთან და აქვს ორი ინდექსი: პირველი მიუთითებს განტოლების რაოდენობას, მეორე - ცვლადის რაოდენობას.

კრამერის წესი: სისტემის ამონახსნის პოვნა ხდება დამხმარე დეტერმინანტების სისტემის მთავარ განმსაზღვრელზე გაყოფით.

შენიშვნა 1.კრამერის წესის გამოყენება შესაძლებელია თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი.

შენიშვნა 2.კრამერის ფორმულები ასევე შეიძლება განზოგადდეს უფრო მაღალი დონის სისტემებზე.

მაგალითი 1ამოხსნის სისტემა:
.

გადაწყვეტილება.

;
;

;

გამოცდა:

დასკვნა:სისტემა სწორია:
.

1.2. სამი წრფივი განტოლების სისტემა და მესამე რიგის განმსაზღვრელი

განვიხილოთ სამი წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

უცნობის კოეფიციენტებისგან შემდგარ დეტერმინანტს ე.წ სისტემის კვალიფიკატორი ან ძირითადი კვალიფიკატორი:

Თუ
შემდეგ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, რომელიც განისაზღვრება კრამერის ფორმულებით:

სად არის განმსაზღვრელი
ეწოდება დამხმარე და მიიღება განმსაზღვრელი მისი პირველი, მეორე ან მესამე სვეტის შეცვლით სისტემის თავისუფალი წევრების სვეტით.

მაგალითი 2გადაჭრით სისტემა
.

ჩამოვაყალიბოთ ძირითადი და დამხმარე დეტერმინანტები:

რჩება მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის წესების გათვალისწინება. სამი მათგანია: სვეტის დამატების წესი, სარრუსის წესი და დაშლის წესი.

ა) მთავარი განმსაზღვრელთან პირველი ორი სვეტის დამატების წესი:

გამოთვლა ხდება შემდეგნაირად: მათი ნიშნით არის ძირითადი დიაგონალის ელემენტების ნაწარმი და მის პარალელების გასწვრივ, საპირისპირო ნიშნით, ისინი იღებენ მეორადი დიაგონალის ელემენტების პროდუქტებს და მის პარალელებს. .

ბ) სარუსის წესი:

მათი ნიშნით ისინი იღებენ ძირითადი დიაგონალის ელემენტების ნაწარმოებებს და მის პარალელებს, ხოლო დაკარგული მესამე ელემენტი აღებულია მოპირდაპირე კუთხიდან. საპირისპირო ნიშნით იღებენ მეორადი დიაგონალის ელემენტების პროდუქტებს და მასთან პარალელების გასწვრივ მესამე ელემენტს იღებენ მოპირდაპირე კუთხიდან.

გ) მწკრივის ან სვეტის ელემენტებით გაფართოების წესი:

Თუ
, მაშინ .

ალგებრული დამატებაარის ქვედა რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია შესაბამისი მწკრივისა და სვეტის წაშლით და ნიშნის გათვალისწინებით
, სად - ხაზის ნომერი - სვეტის ნომერი.

Მაგალითად,

,
,
და ა.შ.

ამ წესის მიხედვით გამოვთვალოთ დამხმარე დეტერმინანტები და , აფართოებს მათ პირველი რიგის ელემენტებით.

ყველა განმსაზღვრელი გამოთვლის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ ცვლადებს კრამერის წესის მიხედვით:

გამოცდა:

დასკვნა:სისტემა სწორია: .

დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები

უნდა გვახსოვდეს, რომ განმსაზღვრელი არის ნომერი, ნაპოვნია გარკვეული წესების მიხედვით. მისი გამოთვლა შეიძლება გამარტივდეს, თუ გამოვიყენებთ ძირითად თვისებებს, რომლებიც მოქმედებს ნებისმიერი რიგის დეტერმინანტებისთვის.

საკუთრება 1. დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მისი ყველა მწკრივი შეიცვლება შესაბამისი სვეტებით და პირიქით.

რიგების სვეტებით ჩანაცვლების ოპერაციას ეწოდება ტრანსპოზიცია. ამ თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი განცხადება, რომელიც ჭეშმარიტია განმსაზღვრელი სტრიქონებისთვის, ასევე იქნება ჭეშმარიტი მისი სვეტებისთვის.

საკუთრება 2. თუ ორი მწკრივი (სვეტი) ერთმანეთს ენაცვლება განმსაზღვრელში, მაშინ დეტერმინანტის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.

საკუთრება 3. თუ დეტერმინანტის რომელიმე მწკრივის ყველა ელემენტი 0-ის ტოლია, მაშინ განმსაზღვრელი 0-ის ტოლია.

საკუთრება 4. თუ განმსაზღვრელი სტრიქონის ელემენტები გამრავლებულია (იყოფა) რომელიმე რიცხვზე , მაშინ დეტერმინანტის მნიშვნელობა გაიზრდება (დაიკლებს). ერთხელ.

თუ რომელიმე რიგის ელემენტებს აქვთ საერთო ფაქტორი, მაშინ მისი ამოღება შესაძლებელია განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

საკუთრება 5. თუ განმსაზღვრელს აქვს ორი იდენტური ან პროპორციული მწკრივი, მაშინ ასეთი განმსაზღვრელი უდრის 0-ს.

საკუთრება 6. თუ დეტერმინანტის რომელიმე მწკრივის ელემენტები არის ორი წევრის ჯამი, მაშინ განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელი ჯამის.

საკუთრება 7. განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ იცვლება, თუ მწკრივის ელემენტები დაემატება სხვა რიგის ელემენტებს, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

ამ განმსაზღვრელში ჯერ მესამე 2-ზე გამრავლებული დაემატა მეორე რიგს, შემდეგ მეორე გამოაკლო მესამე სვეტს, რის შემდეგაც მეორე რიგი დაემატა პირველს და მესამეს, შედეგად მივიღეთ ბევრი. ნულები და გაამარტივა გამოთვლა.

ელემენტარულიგარდაქმნები განმსაზღვრელი ეწოდება მის გამარტივებებს ამ თვისებების გამოყენების გამო.

მაგალითი 1გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

ერთ-ერთი ზემოაღნიშნული წესის მიხედვით პირდაპირი დათვლა იწვევს რთულ გამოთვლებს. ამიტომ, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ თვისებები:

ა) პირველ რიგში გამოვაკლოთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე;

ბ) მეორე მწკრივს გამოვაკლოთ მესამე მწკრივი, გამრავლებული 3-ზე.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

მოდით გავაფართოვოთ ეს განმსაზღვრელი პირველი სვეტის ელემენტების მიხედვით, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ არანულ ელემენტს.

უმაღლესი რიგის სისტემები და დეტერმინანტები

სისტემა წრფივი განტოლებები უცნობი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ამ შემთხვევისთვის ასევე შესაძლებელია ძირითადი და დამხმარე დეტერმინანტების შედგენა და უცნობის დადგენა კრამერის წესით. პრობლემა ის არის, რომ უმაღლესი რიგის დეტერმინანტების გამოთვლა შესაძლებელია მხოლოდ რიგის შემცირებით და მათი მესამე რიგის დეტერმინანტებამდე შემცირებით. ეს შეიძლება გაკეთდეს მწკრივის ან სვეტის ელემენტებად პირდაპირი დაშლით, ასევე წინასწარი ელემენტარული გარდაქმნებითა და შემდგომი დაშლით.

მაგალითი 4გამოთვალეთ მეოთხე რიგის განმსაზღვრელი

გადაწყვეტილებაიპოვეთ ორი გზით:

ა) პირველი რიგის ელემენტებზე პირდაპირი გაფართოებით:

ბ) წინასწარი გარდაქმნებითა და შემდგომი დაშლით

	ა) გამოვაკლოთ 3 სტრიქონი 1 სტრიქონს
	ბ) დაუმატეთ II სტრიქონი IV სტრიქონს

მაგალითი 5გამოთვალეთ მეხუთე რიგის განმსაზღვრელი, მიიღეთ ნულები მესამე რიგში მეოთხე სვეტის გამოყენებით

პირველ რიგს გამოვაკლოთ მეორე, მესამეს გამოვაკლოთ მეორე და მეოთხეს გამოვაკლოთ 2-ზე გამრავლებული მეორე.

გამოვაკლოთ მესამე მეორე სვეტს:

გამოვაკლოთ მესამე მეორე რიგს:

მაგალითი 6ამოხსნის სისტემა:

გადაწყვეტილება.მოდით შევადგინოთ სისტემის განმსაზღვრელი და, განმსაზღვრელთა თვისებების გამოყენებით, გამოვთვალოთ იგი:

(პირველი მწკრივს ვაკლებთ მესამეს, შემდეგ კი მიღებულ მესამე რიგის განმსაზღვრელში მესამე სვეტს ვაკლებთ პირველს, გამრავლებული 2-ზე). განმსაზღვრელი
მაშასადამე, კრამერის ფორმულები გამოიყენება.

მოდით გამოვთვალოთ დანარჩენი დეტერმინანტები:

მეოთხე სვეტი მრავლდება 2-ზე და აკლდება დანარჩენებს

მეოთხე სვეტს აკლდა პირველი, შემდეგ კი, გამრავლებული 2-ზე, გამოაკლო მეორე და მესამე სვეტებს.

აქაც იგივე გარდაქმნები განხორციელდა, როგორც
.

როცა იპოვეს პირველი სვეტი გამრავლდა 2-ზე და გამოაკლო დანარჩენს.

კრამერის წესის მიხედვით გვაქვს:

ნაპოვნი მნიშვნელობების განტოლებებში ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ სისტემის ამოხსნა არის სწორი.

2. მატრიქსები და მათი გამოყენება

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

2. თუ │A│=0, მაშინ მატრიცა A არის გადაგვარებული და შებრუნებული მატრიცა A -1 არ არსებობს.

თუ A მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ არსებობს შებრუნებული მატრიცა.

3. იპოვნეთ A T გადატანილი A-ზე.

4. იპოვეთ გადატანილი მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატები და შეადგინეთ მათგან მიმდებარე მატრიცა. 5. შებრუნებულ მატრიცას ვიანგარიშებთ ფორმულის მიხედვით: 6. შევამოწმოთ შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის სისწორე, მისი განმარტებიდან გამომდინარე A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· m x n მატრიცაში, ნებისმიერი მწკრივისა და სვეტის წაშლით, შეიძლება აირჩიოთ kth რიგის კვადრატული ქვემატრიცები, სადაც k≤min(m; n). ასეთი ქვემატრიცების განმსაზღვრელებს უწოდებენ A მატრიცის k-th რიგის მინორებს.

· A მატრიცის რანგი არის ამ მატრიცის არანულოვანი მინორების უმაღლესი რიგი.

· A მატრიცის რანგი აღინიშნება A ან r(A) რანგით.

· განმარტებიდან შემდეგია:

· 1) m x n ზომის მატრიცის რანგი არ აღემატება მის ზომათა უმცირესს, ე.ი. r(A) ≤ წთ (m; n).

· 2) r(A)=0 თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ე.ი. A=0.

· 3) n-ე რიგის კვადრატული მატრიცისთვის, r(A) = n თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მატრიცა A არასიგნორულია.

· ზოგადად, მატრიცის რანგის დადგენა ყველა არასრულწლოვანთა დათვლით საკმაოდ შრომატევადია. ამ ამოცანის გასაადვილებლად გამოიყენება ელემენტარული გარდაქმნები, რომლებიც ინარჩუნებენ მატრიცის წოდებას:

· 1) ნულოვანი რიგის (სვეტის) უარყოფა.

· 2) მატრიცის მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით.

· 3) მატრიცის რიგების (სვეტების) რიგის შეცვლა.

· 4) ერთი რიგის (სვეტის) თითოეულ ელემენტს ემატება მეორე რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე.

· 5) მატრიცის ტრანსპოზიცია.

· თეორემა. მატრიცის რანგი არ შეიცვლება მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნების დროს.

№31

მოდით, (1) სისტემაში განტოლებების რაოდენობა იყოს ცვლადების რაოდენობის ტოლი, ე.ი. m=n. მაშინ სისტემის მატრიცა არის კვადრატი, ხოლო მის განმსაზღვრელს Δ=│А│ სისტემის დეტერმინანტი ეწოდება.

დავუშვათ, რომ │А│ არ არის ნულის ტოლი, მაშინ არის შებრუნებული მატრიცა A -1.

მატრიცის ტოლობის ორივე ნაწილის მარცხნივ გამრავლებით შებრუნებული მატრიცით A -1 მივიღებთ:

A -1 (AX) \u003d A -1 B.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შებრუნებული მატრიცის მეთოდით იქნება სვეტის მატრიცა:

X \u003d A -1 B.

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

კრამერის თეორემა. მოდით Δ იყოს A სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელი, ხოლო Δ j მატრიციდან მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი j-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. მაშინ თუ Δ არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრულია კრამერის ფორმულებით:

სადაც j=1..n.

№33

გაუსის მეთოდი - ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - შედგება იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურიანი ან სამკუთხა ტიპის ეკვივალენტურ სისტემამდე.

განვიხილოთ მატრიცა:

ამ მატრიცას ეწოდება სისტემის გაფართოებული მატრიცა (1), რადგან A სისტემის მატრიცის გარდა, იგი დამატებით შეიცავს უფასო ტერმინების სვეტს.

№26

N-განზომილებიანი ვექტორი არის n რეალური რიცხვის მოწესრიგებული სიმრავლე, რომელიც დაწერილია X=(x 1,x 2,...x n) , სადაც x i არის X ვექტორის i-ე კომპონენტი.

ორი n-განზომილებიანი ვექტორი ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი შესაბამისი კომპონენტები ტოლია, ე.ი. X=Y თუ x i =y i, i=1…n.

რეალური კომპონენტების მქონე ვექტორთა სიმრავლეს, რომლებშიც ვექტორების დამატების და ვექტორის გამრავლების ოპერაციები ზემოაღნიშნულ თვისებებს აკმაყოფილებს, განსაზღვრულია, ეწოდება ვექტორული სივრცე.

ვექტორულ სივრცეს R ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ მასში არის n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორი და ნებისმიერი n + 1 ვექტორი უკვე დამოკიდებულია. რიცხვს n ეწოდება ვექტორული სივრცის განზომილება R და აღინიშნება dim(R).

№29

ხაზოვანი ოპერატორები

განმარტება. თუ მოცემულია კანონი (წესი), რომლის მიხედვითაც სივრცის ყოველი x ვექტორი ასოცირდება სივრცის y ვექტორთან.

შემდეგ ამბობენ: რომ ოპერატორი (ტრანსფორმაცია, გამოსახვა) A(x) არის მოცემული, რომელიც მოქმედებს და-დან

ჩაწერეთ y=A(x).

ოპერატორს ეწოდება წრფივი, თუ სივრცის x და y ვექტორისთვის

და ნებისმიერი რიცხვი λ, მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

№37

ვთქვათ А არის სიმრავლე, რომელიც შედგება სასრული რაოდენობის ელემენტებისაგან a 1 , a 2 , a 3 …a n . ჯგუფები შეიძლება ჩამოყალიბდეს A ნაკრების სხვადასხვა ელემენტებისგან. თუ თითოეული ჯგუფი მოიცავს m ელემენტების ერთსა და იმავე რაოდენობას (m n-დან), მაშინ ამბობენ, რომ ისინი ქმნიან n ელემენტის ნაერთებს m თითოეულთან ერთად. არსებობს სამი სახის კავშირი: განლაგება, კომბინაციები და პერმუტაციები.

კავშირები,რომელთაგან თითოეული მოიცავს A სიმრავლის ყველა n ელემენტს და რომლებიც, მაშასადამე, ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით, ეწოდება n ელემენტის პერმუტაცია. ასეთი პერმუტაციების რაოდენობა აღინიშნება Р n სიმბოლოთი.

№35

ალბათობის კლასიკური განმარტება ეფუძნება მოვლენათა თანაბარი ალბათობის კონცეფციას.

მოვლენების ეკვივალენტობა ნიშნავს, რომ არ არსებობს რაიმე მიზეზი, რომ რომელიმე მათგანს სხვებზე უპირატესობა მიანიჭოთ.

განვიხილოთ ტესტი, რომლის შედეგადაც შეიძლება მოხდეს მოვლენა A. თითოეულ შედეგს, რომელშიც A მოვლენა ხდება, ეწოდება ხელსაყრელი მოვლენა A.

A მოვლენის ალბათობა (აღნიშნავს P(A)) არის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის შეფარდება (აღნიშნავს k-ით) ყველა ტესტის შედეგის რაოდენობას - N ე.ი. P(A)=k/N.

შემდეგი თვისებები გამომდინარეობს ალბათობის კლასიკური განმარტებიდან:

ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა.

გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს.

შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია

№39, 40

მიმატების თეორემა. თუ A და B არათანმიმდევრულია, მაშინ P(A + B) = P(A) + P(B)

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

გვერდის ზედა

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ სისტემების გადაჭრას კრამერის მეთოდით

მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლები

მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები

სამკუთხედის წესი

სარრუსის წესი

განმსაზღვრელი მწკრივის ან სვეტის გაფართოება

დეტერმინანტის დაშლა მწკრივის ან სვეტის ელემენტების მიხედვით

კომენტარი

დეტერმინანტის მიყვანა სამკუთხა ფორმამდე

4. დეტერმინანტთა თვისებები. მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი.

ლაპლასის თეორემა

კრამერის მეთოდი წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის

კრამერის ფორმულები

კრამერის მეთოდი. გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემებისთვის

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

გვერდის ზედა

გაიარეთ ვიქტორინა წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ

წრფივი განტოლებები. წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. კრამერის მეთოდი.

განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების გამოთვლა (გვ. 2)

1.2. სამი წრფივი განტოლების სისტემა და მესამე რიგის განმსაზღვრელი

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ