ელიფსი არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, თითოეული მათგანის მანძილების ჯამი ორ მოცემულ წერტილამდე F_1, ხოლო F_2 არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a), რომელიც აღემატება მანძილს (2c) მოცემულ წერტილებს შორის (ნახ. 3.36, ა). ეს გეომეტრიული განსაზღვრება გამოხატავს ელიფსის ფოკუსური თვისება.
ელიფსის ფოკუსური თვისება
წერტილებს F_1 და F_2 ეწოდება ელიფსის ფოკუსები, მათ შორის მანძილი 2c=F_1F_2 არის ფოკუსური მანძილი, F_1F_2 სეგმენტის შუა წერტილი არის ელიფსის ცენტრი, ნომერი 2a არის ძირითადი ღერძის სიგრძე. ელიფსი (შესაბამისად, რიცხვი a არის ელიფსის მთავარი ნახევარღერძი). ელიფსის თვითნებური M წერტილის მის კერებთან დამაკავშირებელ F_1M და F_2M სეგმენტებს M წერტილის კეროვანი რადიუსი ეწოდება. ხაზის მონაკვეთს, რომელიც აკავშირებს ელიფსის ორ წერტილს, ეწოდება ელიფსის აკორდი.
შეფარდება e=\frac(c)(a) ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობას. განმარტებიდან (2a>2c) გამოდის, რომ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
ელიფსის გეომეტრიული განმარტება, რომელიც გამოხატავს მის ფოკუსურ თვისებას, უდრის მის ანალიტიკურ განმარტებას - ხაზი, რომელიც მოცემულია ელიფსის კანონიკური განტოლებით:
მართლაც, შემოვიღოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (სურ. 3.36, გ). კოორდინატთა სისტემის სათავედ აღებულია ელიფსის O ცენტრი; კერებში გამავალ სწორ ხაზს (კეროვანი ღერძი ან ელიფსის პირველი ღერძი), ავიღებთ აბსცისის ღერძად (მასზე დადებით მიმართულებას F_1 წერტილიდან F_2 წერტილამდე); ფოკუსური ღერძის პერპენდიკულარული და ელიფსის ცენტრში (ელიფსის მეორე ღერძი) გამავალი სწორი ხაზი აღებულია y-ღერძად (y ღერძზე მიმართულება არჩეულია ისე, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy სწორია. ).
ჩამოვაყალიბოთ ელიფსის განტოლება მისი გეომეტრიული განმარტების გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს ფოკუსურ თვისებას. შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ განვსაზღვრავთ კერების კოორდინატებს F_1(-c,0),~F_2(c,0). M(x,y) თვითნებური წერტილისთვის, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს, გვაქვს:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
ამ თანასწორობის კოორდინატების სახით ჩაწერისას მივიღებთ:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
მეორე რადიკალს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-ზე გაყოფით, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში ვსვამთ:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
აღმნიშვნელი b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ვიღებთ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ორივე ნაწილის გაყოფით a^2b^2\ne0-ზე მივდივართ ელიფსის კანონიკურ განტოლებამდე:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
ამიტომ არჩეული კოორდინატთა სისტემა კანონიკურია.
თუ ელიფსის კერები ემთხვევა, მაშინ ელიფსი არის წრე (ნახ. 3.36.6), ვინაიდან a=b. ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომლის საწყისი წერტილია O\equiv F_1\equiv F_2, და განტოლება x^2+y^2=a^2 არის წრის განტოლება O ცენტრით და a რადიუსით.
უკუღმა მსჯელობით შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (3.49) და მხოლოდ ისინი მიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომელსაც ელიფსს უწოდებენ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსის ანალიტიკური განმარტება უდრის მის გეომეტრიულ განმარტებას, რომელიც გამოხატავს ელიფსის კეროვან თვისებას.
ელიფსის დირექტორიის თვისება
ელიფსის მიმართულებები არის ორი სწორი ხაზი, რომელიც გადის კანონიკური კოორდინატთა სისტემის ორდინატთა ღერძის პარალელურად მისგან იმავე მანძილზე \frac(a^2)(c). c=0-ისთვის, როდესაც ელიფსი არის წრე, არ არსებობს მიმართულებები (შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მიმართულებები უსასრულოდ არის ამოღებული).
ელიფსი ექსცენტრიულობით 0
მართლაც, მაგალითად, ფოკუსისთვის F_2 და მიმართულებისთვის d_2 (ნახ. 3.37.6) მდგომარეობა \frac(r_2)(\rho_2)=eშეიძლება ჩაიწეროს კოორდინატის სახით:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და ჩანაცვლება e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, მივდივართ ელიფსის კანონიკურ განტოლებამდე (3.49). მსგავსი მსჯელობა შეიძლება განხორციელდეს ფოკუსისთვის F_1 და დირექტიულისთვის d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
ელიფსის განტოლება პოლარულ კოორდინატებში
ელიფსის განტოლებას პოლარული კოორდინატთა სისტემაში F_1r\varphi (ნახ.3.37,c და 3.37(2)) აქვს ფორმა
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
სადაც p=\frac(b^2)(a) არის ელიფსის ფოკალური პარამეტრი.
ფაქტობრივად, ავირჩიოთ ელიფსის მარცხენა ფოკუსი F_1 პოლარული კოორდინატთა სისტემის პოლუსად, ხოლო სხივი F_1F_2 პოლარული ღერძად (ნახ. 3.37, გ). მაშინ M(r,\varphi) თვითნებური წერტილისთვის, ელიფსის გეომეტრიული განმარტების (ფოკალური თვისების) მიხედვით გვაქვს r+MF_2=2a . ჩვენ გამოვხატავთ მანძილს M(r,\varphi) და F_2(2c,0) წერტილებს შორის (იხ. 2.8 შენიშვნების მე-2 პუნქტი):
\begin(გასწორებული)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (გასწორებული)
მაშასადამე, კოორდინატულ ფორმაში ელიფსის განტოლებას F_1M+F_2M=2a აქვს ფორმა
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
ჩვენ გამოვყოფთ რადიკალს, კვადრატში განტოლების ორივე მხარეს, ვყოფთ 4-ზე და ვაძლევთ მსგავს წევრებს:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
გამოვხატავთ პოლარული რადიუსს r და ვაკეთებთ ჩანაცვლებას e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
ქ.ე.დ.
კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა ელიფსის განტოლებაში
ვიპოვოთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები (იხ. სურ. 3.37, ა) კოორდინატთა ღერძებით (ზლიფების წვეროები). y=0 განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს აბსცისის ღერძთან (ფოკალური ღერძით): x=\pm a . მაშასადამე, ელიფსის შიგნით ჩასმული ფოკუსური ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2a-ს. ამ სეგმენტს, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ეწოდება ელიფსის მთავარი ღერძი, ხოლო რიცხვი a არის ელიფსის მთავარი ნახევარღერძი. x=0-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ y=\pm b. მაშასადამე, ელიფსის შიგნით ჩასმული ელიფსის მეორე ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2b-ს. ამ სეგმენტს ელიფსის მცირე ღერძი ეწოდება, b რიცხვს კი ელიფსის მცირე ნახევარღერძი.
მართლაც, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ხოლო b=a ტოლობა მიიღება მხოლოდ c=0 შემთხვევაში, როცა ელიფსი არის წრე. დამოკიდებულება k=\frac(b)(a)\leqslant1ელიფსის შეკუმშვის ფაქტორი ეწოდება.
შენიშვნები 3.9
1. ხაზები x=\pm a,~y=\pm b ზღუდავს მთავარ ოთხკუთხედს კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომლის შიგნითაც მდებარეობს ელიფსი (იხ. სურ. 3.37, ა).
2. ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს როგორც წრის მის დიამეტრზე შეკუმშვით მიღებული წერტილების ადგილი.
მართლაც, მოდით, მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy წრის განტოლებას აქვს ფორმა x^2+y^2=a^2. x ღერძზე 0-ის კოეფიციენტით შეკუმშვისას \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) წრის განტოლებაში x=x" და y=\frac(1)(k)y"-ის ჩანაცვლებით, მივიღებთ M(x) წერტილის M"(x",y") გამოსახულების კოორდინატთა განტოლებას. , y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\მარჯვნივ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ვინაიდან b=k\cdot a . ეს არის ელიფსის კანონიკური განტოლება. 3. კოორდინატთა ღერძები (კანონიკური კოორდინატთა სისტემის) არის ელიფსის სიმეტრიის ღერძი (ე.წ. ელიფსის ძირითად ღერძებს), ხოლო მისი ცენტრი არის სიმეტრიის ცენტრი. მართლაც, თუ წერტილი M(x,y) ეკუთვნის ელიფსს. მაშინ M"(x,-y) და M""(-x,y) წერტილები, კოორდინატთა ღერძების მიმართ M წერტილის სიმეტრიული, ასევე იმავე ელიფსს ეკუთვნის. 4. ელიფსის განტოლებიდან პოლარული კოორდინატთა სისტემაში r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(იხ. სურ. 3.37, გ), დაზუსტებულია ფოკალური პარამეტრის გეომეტრიული მნიშვნელობა - ეს არის ელიფსის აკორდის სიგრძის ნახევარი, რომელიც გადის მის ფოკუსზე პერპენდიკულარულად კეროვანი ღერძის მიმართ ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. ექსცენტრიულობა e ახასიათებს ელიფსის ფორმას, კერძოდ განსხვავებას ელიფსსა და წრეს შორის. რაც უფრო დიდია e, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი და რაც უფრო ახლოს არის e ნულთან, მით უფრო უახლოვდება ელიფსი წრეს (სურ. 3.38, ა). მართლაც, იმის გათვალისწინებით, რომ e=\frac(c)(a) და c^2=a^2-b^2, მივიღებთ E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\მარჯვნივ )\^2=1-k^2,
!} სადაც k არის ელიფსის შეკუმშვის ფაქტორი, 0 6. განტოლება \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1თვის
7. განტოლება \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bგანსაზღვრავს ელიფსს, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილზე "(x_0, y_0) , რომლის ღერძები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია (ნახ. 3.38, გ). a=b=R-ისთვის განტოლება (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2აღწერს R რადიუსის წრეს, რომელიც მდებარეობს O წერტილზე"(x_0,y_0) . ელიფსის პარამეტრული განტოლებაკანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში აქვს ფორმა \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
მართლაც, ამ გამონათქვამების (3.49) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ მივდივართ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობამდე \cos^2t+\sin^2t=1. მაგალითი 3.20.ელიფსის დახატვა \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1კანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში Oxy. იპოვეთ ნახევარღერძი, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა, ასპექტის თანაფარდობა, ფოკალური პარამეტრი, მიმართულების განტოლებები. გადაწყვეტილება.მოცემული განტოლების კანონიკურთან შედარებისას განვსაზღვრავთ ნახევარღერძებს: a=2 - ძირითადი ნახევარღერძი, b=1 - ელიფსის მცირე ნახევარღერძი. მთავარ მართკუთხედს ვაშენებთ საწყისზე ორიენტირებული გვერდებით 2a=4,~2b=2 (სურ.3.39). ელიფსის სიმეტრიის გათვალისწინებით, ჩვენ მას ვუთავსებთ მთავარ მართკუთხედს. საჭიროების შემთხვევაში განვსაზღვრავთ ელიფსის ზოგიერთი წერტილის კოორდინატებს. მაგალითად, x=1 ჩანაცვლებით ელიფსის განტოლებაში, მივიღებთ \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). ამიტომ, წერტილები კოორდინატებით \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ეკუთვნის ელიფსს. გამოთვალეთ შეკუმშვის კოეფიციენტი k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ფოკუსური მანძილი 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ექსცენტრიულობა e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ფოკალური პარამეტრი p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ჩვენ ვადგენთ საპირისპირო განტოლებებს: x=\pm\frac(a^2)(c)~\მარცხნივ ისარი~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). განმარტება 7.1.სიბრტყეზე ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლისთვისაც მანძილების ჯამი ორ ფიქსირებულ წერტილამდე F 1 და F 2 არის მოცემული მუდმივი ეწოდება ელიფსი. ელიფსის განმარტება იძლევა გეომეტრიულად აგების შემდეგ ხერხს. ჩვენ ვაფიქსირებთ ორ წერტილს F 1 და F 2 სიბრტყეზე და ვნიშნავთ არაუარყოფით მუდმივ მნიშვნელობას 2a-ით. F 1 და F 2 წერტილებს შორის მანძილი იყოს 2c-ის ტოლი. წარმოიდგინეთ, რომ 2a სიგრძის გაუწელავი ძაფი ფიქსირდება F 1 და F 2 წერტილებზე, მაგალითად, ორი ნემსის დახმარებით. ნათელია, რომ ეს შესაძლებელია მხოლოდ ≥ ც. ძაფის ფანქრით გაჭიმვა, დახაზეთ ხაზი, რომელიც იქნება ელიფსი (სურ. 7.1). ასე რომ, აღწერილი ნაკრები არ არის ცარიელი, თუ a ≥ c. როდესაც a = c, ელიფსი არის სეგმენტი ბოლოებით F 1 და F 2 და როდესაც c = 0, ე.ი. თუ ელიფსის განმარტებაში მითითებული ფიქსირებული წერტილები ემთხვევა, ეს არის a რადიუსის წრე. ამ დეგენერაციული შემთხვევების უგულებელყოფით, ჩვენ შემდგომში, როგორც წესი, ვივარაუდებთ, რომ a > c > 0. ფიქსირებული წერტილები F 1 და F 2 ელიფსის 7.1 განმარტებაში (იხ. ნახ. 7.1) ე.წ. ელიფსის ხრიკები, მათ შორის მანძილი, აღინიშნება 2c-ით, - ფოკუსური მანძილიდა სეგმენტები F 1 M და F 2 M, რომლებიც აკავშირებენ ელიფსის თვითნებურ წერტილს M მის კერებთან, - ფოკუსური რადიუსი. ელიფსის ფორმა მთლიანად განისაზღვრება ფოკუსური მანძილით |F 1 F 2 | = 2с და პარამეტრი a და მისი პოზიცია სიბრტყეზე - F 1 და F 2 წერტილების წყვილით. ელიფსის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ის სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ, რომელიც გადის F 1 და F 2 კერებს, ისევე როგორც სწორი ხაზის შესახებ, რომელიც ყოფს F 1 F 2 სეგმენტს ნახევრად და არის მასზე პერპენდიკულარული (ნახ. 7.2, ა). ამ ხაზებს ე.წ ელიფსის ცულები. მათი გადაკვეთის O წერტილი არის ელიფსის სიმეტრიის ცენტრი და მას ე.წ ელიფსის ცენტრი, და ელიფსის გადაკვეთის წერტილები სიმეტრიის ღერძებთან (პუნქტები A, B, C და D ნახ. 7.2, a) - ელიფსის წვეროები. ნომერი ა იწოდება ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძიდა b = √ (a 2 - c 2) - მისი ნახევრად მცირე ღერძი. ადვილი მისახვედრია, რომ c > 0-ისთვის, a ძირითადი ნახევრადღერძი უდრის მანძილს ელიფსის ცენტრიდან მის წვეროებამდე, რომლებიც იმავე ღერძზეა, როგორც ელიფსის კერები (წვეროები A და B ნახ. 7.2, a) და მცირე ნახევარღერძი b უდრის მანძილს ცენტრის ელიფსიდან მის სხვა ორ წვერომდე (C და D წვეროები ნახ. 7.2, a). ელიფსის განტოლება.განვიხილოთ სიბრტყეზე რამდენიმე ელიფსი ფოკუსებით F 1 და F 2 წერტილებში, ძირითადი ღერძი 2a. მოდით 2c იყოს ფოკუსური მანძილი, 2c = |F 1 F 2 | ჩვენ ვირჩევთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას Oxy სიბრტყეზე ისე, რომ მისი წარმოშობა ემთხვევა ელიფსის ცენტრს, ხოლო ფოკუსები მდებარეობს. აბსცისა(ნახ. 7.2, ბ). ამ კოორდინატთა სისტემას ე.წ კანონიკურიგანსახილველი ელიფსისთვის და შესაბამისი ცვლადებია კანონიკური. შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში კერებს აქვთ კოორდინატები F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). წერტილებს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით ვწერთ პირობას |F 1 M| + |F 2 M| = 2a კოორდინატებში: √((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2) ეს განტოლება მოუხერხებელია, რადგან შეიცავს ორ კვადრატულ რადიკალს. მოდით გარდაქმნას იგი. (7.2) განტოლების მეორე რადიკალს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს და კვადრატში: (x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 . ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ მივიღებთ √((x + c) 2 + y 2) = a + εx სადაც ε = c/a. ჩვენ ვიმეორებთ კვადრატის ოპერაციას მეორე რადიკალის მოსაშორებლადაც: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ან, შეყვანილი ε პარამეტრის მნიშვნელობის გათვალისწინებით, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . ვინაიდან a 2 - c 2 = b 2 > 0, მაშინ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4) განტოლება (7.4) კმაყოფილდება ელიფსზე მდებარე ყველა წერტილის კოორდინატებით. მაგრამ ამ განტოლების გამოყვანისას გამოყენებული იქნა საწყისი განტოლების (7.2) არაეკვივალენტური გარდაქმნები - ორი კვადრატი, რომელიც აშორებს კვადრატულ რადიკალებს. განტოლების კვადრატი არის ექვივალენტური ტრანსფორმაცია, თუ ორივე მხარე შეიცავს სიდიდეებს ერთი და იგივე ნიშნით, მაგრამ ჩვენ ეს არ შევამოწმეთ ჩვენს გარდაქმნებში. ჩვენ შეიძლება არ შევამოწმოთ გარდაქმნების ეკვივალენტობა, თუ გავითვალისწინებთ შემდეგს. წერტილების წყვილი F 1 და F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, სიბრტყეზე განსაზღვრავს ელიფსების ოჯახს ამ წერტილებში კერებით. სიბრტყის თითოეული წერტილი, F 1 F 2 სეგმენტის წერტილების გარდა, მიეკუთვნება მითითებული ოჯახის რომელიმე ელიფსს. ამ შემთხვევაში ორი ელიფსი არ იკვეთება, ვინაიდან ფოკალური რადიუსების ჯამი ცალსახად განსაზღვრავს კონკრეტულ ელიფსს. ასე რომ, ელიფსების აღწერილი ოჯახი გადაკვეთის გარეშე მოიცავს მთელ სიბრტყეს, გარდა F 1 F 2 სეგმენტის წერტილებისა. განვიხილოთ წერტილების ნაკრები, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს (7.4) განტოლებას a პარამეტრის მოცემული მნიშვნელობით. შესაძლებელია თუ არა ამ ნაკრების განაწილება რამდენიმე ელიფსზე? სიმრავლის ზოგიერთი წერტილი ეკუთვნის ელიფსს ნახევრად მთავარი ღერძით a. დაე იყოს წერტილი ამ სიმრავლეში, რომელიც დევს ელიფსზე ნახევრად ძირითადი ღერძით a. მაშინ ამ წერტილის კოორდინატები ემორჩილება განტოლებას იმათ. განტოლებებს (7.4) და (7.5) აქვთ საერთო ამონახსნები. თუმცა, ადვილია იმის შემოწმება, რომ სისტემა ამისთვის ã ≠ a არ აქვს ამონახსნები. ამისათვის საკმარისია გამოვრიცხოთ, მაგალითად, x პირველი განტოლებიდან: რომელიც გარდაქმნების შემდეგ მივყავართ განტოლებამდე არ აქვს ამონახსნები ã ≠ a-სთვის, რადგან . ასე რომ, (7.4) არის ელიფსის განტოლება ნახევრად მთავარი ღერძი a > 0 და მცირე ნახევრადღერძი b = √ (a 2 - c 2) > 0. მას ე.წ. ელიფსის კანონიკური განტოლება. ელიფსის ხედი.ზემოთ განხილული ელიფსის აგების გეომეტრიული მეთოდი იძლევა საკმარის წარმოდგენას ელიფსის გარეგნობის შესახებ. მაგრამ ელიფსის ფორმა ასევე შეიძლება გამოიკვლიოს მისი კანონიკური განტოლების (7.4) დახმარებით. მაგალითად, y ≥ 0-ის გათვალისწინებით, შეგიძლიათ გამოხატოთ y x-ით: y = b√(1 - x 2 /a 2) და ამ ფუნქციის შესწავლის შემდეგ ააწყოთ მისი გრაფიკი. ელიფსის აგების კიდევ ერთი გზა არსებობს. a რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია ელიფსის კანონიკური კოორდინატთა სისტემის საწყისზე (7.4) აღწერილია განტოლებით x 2 + y 2 = a 2 . თუ ის შეკუმშულია კოეფიციენტით a/b > 1 გასწვრივ y-ღერძი, მაშინ მიიღებთ მრუდს, რომელიც აღწერილია განტოლებით x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, ანუ ელიფსი. შენიშვნა 7.1.თუ იგივე წრე შეკუმშულია a/b კოეფიციენტით ელიფსის ექსცენტრიულობა. ელიფსის ფოკუსური სიგრძის შეფარდება მის მთავარ ღერძთან ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობადა აღინიშნება ε. მოცემული ელიფსისთვის კანონიკური განტოლება (7.4), ε = 2c/2a = с/a. თუ (7.4)-ში a და b პარამეტრები დაკავშირებულია a უტოლობით c = 0-ისთვის, როდესაც ელიფსი იქცევა წრედ, და ε = 0. სხვა შემთხვევაში, 0 განტოლება (7.3) უდრის განტოლებას (7.4), რადგან განტოლებები (7.4) და (7.2) ეკვივალენტურია. მაშასადამე, (7.3) ასევე არის ელიფსის განტოლება. გარდა ამისა, მიმართება (7.3) საინტერესოა იმით, რომ იძლევა მარტივი რადიკალისგან თავისუფალ ფორმულას |F 2 M| ელიფსის M(x; y) წერტილის ერთ-ერთი ფოკალური რადიუსი: |F 2 M| = a + εx. მეორე ფოკალური რადიუსის მსგავსი ფორმულა შეიძლება მივიღოთ სიმეტრიის მოსაზრებებიდან ან გამოთვლების განმეორებით, რომლებშიც, განტოლების კვადრატამდე (7.2), პირველი რადიკალი გადადის მარჯვენა მხარეს და არა მეორე. ასე რომ, ნებისმიერი წერტილისთვის M(x; y) ელიფსის შესახებ (იხ. ნახ. 7.2) |F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6) და თითოეული ეს განტოლება არის ელიფსის განტოლება. მაგალითი 7.1.ვიპოვოთ ელიფსის კანონიკური განტოლება ნახევრად მთავარი ღერძი 5 და ექსცენტრიულობა 0.8 და ავაშენოთ. ელიფსის a = 5 ძირითადი ნახევრადღერძის და ε = 0.8 ექსცენტრიულობის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ მის მცირე ნახევარღერძს b. ვინაიდან b \u003d √ (a 2 - c 2), და c \u003d εa \u003d 4, შემდეგ b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. ასე რომ, კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. ელიფსის ასაგებად მოსახერხებელია მართკუთხედის დახატვა, რომელიც ორიენტირებულია კანონიკური კოორდინატთა სისტემის საწყისზე, რომლის გვერდები პარალელურია ელიფსის სიმეტრიის ღერძებთან და ტოლია მის შესაბამისი ცულები (სურ. 7.4). ეს მართკუთხედი იკვეთება ელიფსის ღერძი მის წვეროებზე A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) და მასში ჩაწერილია თავად ელიფსი. ნახ. 7.4 ასევე აჩვენებს ელიფსის F 1.2 (±4; 0) კერებს. ელიფსის გეომეტრიული თვისებები.მოდით გადავწეროთ პირველი განტოლება (7.6) როგორც |F 1 M| = (ა/ε - x)ε. გაითვალისწინეთ, რომ a / ε - x-ის მნიშვნელობა a > c-სთვის დადებითია, რადგან ფოკუსი F 1 არ ეკუთვნის ელიფსს. ეს მნიშვნელობა არის მანძილი d ვერტიკალურ ხაზამდე: x = a/ε წერტილიდან M(x; y) ამ ხაზის მარცხნივ. ელიფსის განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც |F 1 M|/(ა/ε - x) = ε ეს ნიშნავს, რომ ეს ელიფსი შედგება სიბრტყის იმ წერტილებისგან M (x; y), რომლებისთვისაც ფოკუსური რადიუსის სიგრძის თანაფარდობა F 1 M დ სწორ ხაზთან დაშორებით არის მუდმივი მნიშვნელობა ε-ის ტოლი (ნახ. 7.5). d ხაზს აქვს "ორმაგი" - ვერტიკალური ხაზი d, სიმეტრიულია d-ის მიმართ ელიფსის ცენტრის მიმართ, რომელიც მოცემულია განტოლებით x \u003d -a / ε. d-ის მიმართ", ელიფსი არის აღწერილია ისევე, როგორც დ. ორივე სტრიქონი d და d" ეწოდება ელიფსის მიმართულებები. ელიფსის მიმართულებები პერპენდიკულარულია ელიფსის სიმეტრიის ღერძის მიმართ, რომელზედაც მდებარეობს მისი კერები და გამოყოფილია ელიფსის ცენტრიდან a / ε = a 2 / c მანძილით (იხ. სურ. 7.5). მანძილი p დირექტივიდან მასთან ყველაზე ახლოს ფოკუსამდე ეწოდება ელიფსის ფოკალური პარამეტრი. ეს პარამეტრი უდრის p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c ელიფსს აქვს კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი გეომეტრიული თვისება: კეროვანი რადიუსი F 1 M და F 2 M ქმნიან ტოლ კუთხეებს ელიფსის ტანგენსთან M წერტილში (ნახ. 7.6). ამ თვისებას აქვს მკაფიო ფიზიკური მნიშვნელობა. თუ სინათლის წყარო მოთავსებულია F 1 ფოკუსზე, მაშინ ამ ფოკუსიდან გამომავალი სხივი, ელიფსიდან ასახვის შემდეგ, წავა მეორე ფოკუსური რადიუსის გასწვრივ, რადგან ასახვის შემდეგ ის იგივე კუთხით იქნება მრუდის მიმართ, როგორც ასახვამდე. . ამრიგად, ყველა სხივი, რომელიც ტოვებს ფოკუსს F 1, კონცენტრირებული იქნება მეორე ფოკუსში F 2 და პირიქით. ამ ინტერპრეტაციის საფუძველზე, ამ თვისებას ე.წ ელიფსის ოპტიკური თვისება. საფუძვლიანი შესწავლის შემდეგ სწორი ხაზები თვითმფრინავზე
ჩვენ ვაგრძელებთ ორგანზომილებიანი სამყაროს გეომეტრიის შესწავლას. ფსონები გაორმაგებულია და გეპატიჟებით ეწვიოთ ელიფსების, ჰიპერბოლების, პარაბოლების თვალწარმტაცი გალერეას, რომლებიც ტიპიური წარმომადგენლები არიან. მეორე რიგის ხაზები. ტური უკვე დაწყებულია და ჯერ მოკლე ინფორმაცია მუზეუმის სხვადასხვა სართულზე მთელი გამოფენის შესახებ: ხაზს თვითმფრინავზე ეწოდება ალგებრული, თუ შიგნით აფინური კოორდინატთა სისტემა
მის განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც არის მრავალწევრი, რომელიც შედგება ფორმის ტერმინებისგან (ნამდვილი რიცხვია, არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვები). როგორც ხედავთ, ალგებრული წრფის განტოლება არ შეიცავს სინუსებს, კოსინუსებს, ლოგარითმებს და სხვა ფუნქციურ ბომონდს. მხოლოდ "x" და "y" ში მთელი რიცხვი არაუარყოფითიგრადუსი. ხაზის შეკვეთაუდრის მასში შემავალი ტერმინების მაქსიმალურ მნიშვნელობას. შესაბამისი თეორემის მიხედვით, ალგებრული წრფის კონცეფცია, ისევე როგორც მისი რიგი, არ არის დამოკიდებული არჩევანზე. აფინური კოორდინატთა სისტემა
მაშასადამე, ყოფნის სიმარტივისთვის, მიგვაჩნია, რომ ყველა შემდგომი გამოთვლა ხდება ქ დეკარტის კოორდინატები
. ზოგადი განტოლებამეორე რიგის ხაზს აქვს ფორმა, სადაც თუ , მაშინ განტოლება ამარტივებს ბევრს ესმოდა ახალი ტერმინების მნიშვნელობა, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, მასალის 100%-ით ათვისების მიზნით, თითებს ბუდეში ვყრით. ხაზის რიგის დასადგენად, გაიმეორეთ ყველა ტერმინიმისი განტოლებები და თითოეული მათგანისთვის იპოვეთ უფლებამოსილებების ჯამიშემომავალი ცვლადები. Მაგალითად: ტერმინი შეიცავს "x"-ს პირველ ხარისხამდე; ახლა მოდით გავარკვიოთ, რატომ ადგენს განტოლება ხაზს მეორეშეკვეთა: ტერმინი შეიცავს "x"-ს მე-2 ხარისხში; მაქსიმალური ღირებულება: 2 თუ დამატებით დავამატებთ ჩვენს განტოლებას, ვთქვათ, , მაშინ ის უკვე განსაზღვრავს მესამე შეკვეთის ხაზი. აშკარაა, რომ მე-3 რიგის ხაზის განტოლების ზოგადი ფორმა შეიცავს ტერმინების „სრულ კომპლექტს“, ცვლადების ხარისხების ჯამი, რომელშიც სამი ტოლია: იმ შემთხვევაში, თუ დაემატება ერთი ან მეტი შესაფერისი ტერმინი, რომელიც შეიცავს მე-3, მე-4 და უმაღლესი რიგის ალგებრულ ხაზებთან არაერთხელ მოგვიწევს საქმე, კერძოდ, გაცნობისას პოლარული კოორდინატთა სისტემა
. თუმცა, დავუბრუნდეთ ზოგად განტოლებას და გავიხსენოთ მისი უმარტივესი სასკოლო ვარიაციები. მაგალითებია პარაბოლა, რომლის განტოლება ადვილად შეიძლება შემცირდეს ზოგად ფორმამდე და ჰიპერბოლა ექვივალენტური განტოლებით. თუმცა ყველაფერი ასე გლუვი არ არის.... ზოგადი განტოლების მნიშვნელოვანი ნაკლი არის ის, რომ თითქმის ყოველთვის არ არის ნათელი, რომელ ხაზს განსაზღვრავს იგი. უმარტივეს შემთხვევაშიც კი, მაშინვე ვერ მიხვდებით, რომ ეს ჰიპერბოლაა. ასეთი განლაგება კარგია მხოლოდ მასკარადისთვის, ამიტომ ანალიტიკური გეომეტრიის მსვლელობისას განიხილება ტიპიური პრობლემა. მე-2 რიგის ხაზის განტოლების შემცირება კანონიკურ ფორმამდე
. ეს არის განტოლების ზოგადად მიღებული სტანდარტული ფორმა, როდესაც რამდენიმე წამში ირკვევა, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტს განსაზღვრავს იგი. გარდა ამისა, კანონიკური ფორმა ძალიან მოსახერხებელია მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად. ასე, მაგალითად, კანონიკური განტოლების მიხედვით "ბრტყელი" სწორი
, ჯერ ერთი, მაშინვე ცხადია, რომ ეს არის სწორი ხაზი და მეორეც, მისი კუთვნილი წერტილი და მიმართულების ვექტორი უბრალოდ ჩანს. ცხადია, ნებისმიერი 1-ლი შეკვეთის ხაზიწარმოადგენს სწორ ხაზს. მეორე სართულზე აღარ გველოდება დამლაგებელი, არამედ ცხრა ქანდაკებისგან შემდგარი გაცილებით მრავალფეროვანი კომპანია: მოქმედებების სპეციალური ნაკრების დახმარებით, ნებისმიერი მეორე რიგის ხაზის განტოლება მცირდება ერთ-ერთ შემდეგ ტიპზე: (და დადებითი რეალური რიცხვებია) 1) 2) არის ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება; 3) 4) – წარმოსახვითი
ელიფსი; 5) - გადამკვეთი ხაზების წყვილი; 6) - წყვილი წარმოსახვითი
გადამკვეთი ხაზები (საწყისზე გადაკვეთის ერთადერთი რეალური წერტილით); 7) - პარალელური წრფეების წყვილი; 8) - წყვილი წარმოსახვითი
პარალელური ხაზები; 9) არის წყვილი, რომლებიც ემთხვევა ერთმანეთს. ზოგიერთ მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს შთაბეჭდილება, რომ სია არასრულია. მაგალითად, მე-7 პუნქტში, განტოლება ადგენს წყვილს პირდაპირი
, ღერძის პარალელურად და ჩნდება კითხვა: სად არის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს y ღერძის პარალელურ წრფეებს? Უპასუხე არ ითვლება კანონად. სწორი ხაზები წარმოადგენს იგივე სტანდარტულ შემთხვევას, რომელიც შემოტრიალებულია 90 გრადუსით, ხოლო კლასიფიკაციაში დამატებითი ჩანაწერი ზედმეტია, რადგან ის არ შეიცავს რაიმე ძირეულად ახალს. ამრიგად, არსებობს ცხრა და მხოლოდ ცხრა განსხვავებული ტიპის მეორე რიგის ხაზები, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაზე გავრცელებულია ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა
. ჯერ ელიფსს გადავხედოთ. ჩვეულებისამებრ, მე ყურადღებას ვამახვილებ იმ პუნქტებზე, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს პრობლემების გადასაჭრელად, და თუ გჭირდებათ ფორმულების დეტალური წარმოშობა, თეორემების მტკიცებულებები, გთხოვთ, მიმართოთ, მაგალითად, ბაზილევის / ატანასიანის ან ალექსანდროვის სახელმძღვანელოს. მართლწერა... გთხოვთ, არ გაიმეოროთ Yandex-ის ზოგიერთი მომხმარებლის შეცდომები, რომლებსაც აინტერესებთ "როგორ ავაშენოთ ელიფსი", "განსხვავება ელიფსსა და ოვალურს შორის" და "ელების ექსცენტრიულობა". ელიფსის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია და. ელიფსის განმარტებას მოგვიანებით ჩამოვაყალიბებ, მაგრამ ახლა დროა შეისვენოთ საუბარს და გადავჭრათ საერთო პრობლემა: დიახ, აიღე და უბრალოდ დახატე. დავალება საერთოა და მოსწავლეთა მნიშვნელოვანი ნაწილი არც თუ ისე კომპეტენტურად უმკლავდება ნახატს: მაგალითი 1 ააგეთ განტოლებით მოცემული ელიფსი გადაწყვეტილება: ჯერ განტოლებას მივყავართ კანონიკურ ფორმამდე: რატომ მოიტანე? კანონიკური განტოლების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მყისიერად განსაზღვროთ ელიფსის წვეროები, რომლებიც არიან პუნქტებში . ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას. Ამ შემთხვევაში : იმისათვის, რომ სწრაფად წარმოიდგინოთ, როგორ გამოიყურება ესა თუ ის ელიფსი, უბრალოდ გადახედეთ მისი კანონიკური განტოლების "a" და "be" მნიშვნელობებს. ყველაფერი კარგად არის, მოწესრიგებული და ლამაზი, მაგრამ არის ერთი გაფრთხილება: დავასრულე ნახატი პროგრამის გამოყენებით. და თქვენ შეგიძლიათ დახატოთ ნებისმიერი აპლიკაციით. თუმცა, მკაცრ რეალობაში, მაგიდაზე ფურცელი დევს და თაგვები ჩვენს ხელებზე ცეკვავენ. მხატვრული ნიჭის მქონე ადამიანებს, რა თქმა უნდა, შეუძლიათ კამათი, მაგრამ თაგვებიც გყავთ (თუმცა უფრო პატარა). ტყუილად არ გამოიგონა კაცობრიობამ სახაზავი, კომპასი, პროტრაქტორი და სხვა მარტივი სახატავი მოწყობილობები. ამ მიზეზით, ჩვენ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ შევძლოთ ზუსტად დავხატოთ ელიფსი, მხოლოდ წვეროების ცოდნა. მაინც კარგია, თუ ელიფსი პატარაა, მაგალითად, ნახევარღერძებით. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ მასშტაბი და, შესაბამისად, ნახაზის ზომები. მაგრამ ზოგად შემთხვევაში ძალიან სასურველია დამატებითი ქულების პოვნა. ელიფსის აგების ორი მიდგომა არსებობს - გეომეტრიული და ალგებრული. არ მიყვარს კომპასით და სახაზავით აშენება მოკლე ალგორითმისა და ნახატის მნიშვნელოვანი აურზაურის გამო. აუცილებლობის შემთხვევაში, გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ რეალურად გაცილებით რაციონალურია ალგებრის იარაღების გამოყენება. მონახაზის ელიფსის განტოლებიდან ჩვენ სწრაფად გამოვხატავთ: შემდეგ განტოლება იყოფა ორ ფუნქციად: კანონიკური განტოლებით მოცემული ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ასევე საწყისის მიმართ. და ეს მშვენიერია - სიმეტრია თითქმის ყოველთვის არის უფასო საწინდარი. ცხადია, საკმარისია საქმე 1 კოორდინატულ კვარტალთან, ამიტომ გვჭირდება ფუნქცია მონიშნეთ წერტილები ნახაზზე (წითელი ფერი), სიმეტრიული წერტილები დანარჩენ რკალებზე (ლურჯი ფერი) და ყურადღებით დააკავშირეთ მთელი კომპანია ხაზით: ელიფსი არის ოვალის განსაკუთრებული შემთხვევა. სიტყვა „ოვალური“ ფილისტიმური გაგებით არ უნდა გავიგოთ („ბავშვმა ოვალური დახატა“ და ა.შ.). ეს არის მათემატიკური ტერმინი დეტალური ფორმულირებით. ამ გაკვეთილის მიზანი არ არის განიხილოს ოვალების თეორია და მათი სხვადასხვა ტიპები, რომლებსაც პრაქტიკულად არ ექცევა ყურადღება ანალიტიკური გეომეტრიის სტანდარტულ კურსში. და, უფრო მიმდინარე საჭიროებების შესაბამისად, ჩვენ დაუყოვნებლივ მივდივართ ელიფსის მკაცრ განმარტებაზე: ელიფსი- ეს არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, თითოეულ მათგანთან მანძილების ჯამი ორი მოცემული წერტილიდან, ე.წ. ხრიკებიელიფსი არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც რიცხობრივად უდრის ამ ელიფსის მთავარი ღერძის სიგრძეს: . ახლა უფრო ნათელი გახდება: წარმოიდგინეთ, რომ ლურჯი წერტილი "მიდის" ელიფსზე. ასე რომ, არ აქვს მნიშვნელობა ელიფსის რომელ წერტილს ავიღებთ, სეგმენტების სიგრძის ჯამი ყოველთვის იგივე იქნება: დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს მაგალითში ჯამის მნიშვნელობა ნამდვილად რვის ტოლია. ძალაუნებურად მოათავსეთ წერტილი „ემ“ ელიფსის მარჯვენა წვეროში, შემდეგ: , რომლის შემოწმებაც საჭირო იყო. ელიფსის დახატვის კიდევ ერთი გზა ემყარება ელიფსის განმარტებას. უმაღლესი მათემატიკა, ზოგჯერ, დაძაბულობისა და სტრესის მიზეზია, ამიტომ დროა განტვირთვის კიდევ ერთი სესია. გთხოვთ, აიღეთ ქაღალდის ნაჭერი ან მუყაოს დიდი ფურცელი და მიამაგრეთ მაგიდაზე ორი ფრჩხილით. ეს იქნება ხრიკები. ამობურცულ ფრჩხილის თავებს მიამაგრეთ მწვანე ძაფი და ფანქრით ბოლომდე მიათრევთ. ფანქრის კისერი იქნება რაღაც მომენტში, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს. ახლა დაიწყეთ ფანქრის წარმართვა ქაღალდის ფურცელზე, შეინარჩუნეთ მწვანე ძაფი ძალიან დაჭიმული. გააგრძელეთ პროცესი მანამ, სანამ არ დაბრუნდებით საწყის წერტილში ... შესანიშნავად ... ნახატი შეიძლება გადაეცეს ექიმმა მასწავლებელს დასამოწმებლად =) ზემოთ მოყვანილ მაგალითში მე გამოვხატე "მზად" ფოკუსირების წერტილები და ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ გამოვყოთ ისინი გეომეტრიის სიღრმიდან. თუ ელიფსი მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მის კერებს აქვთ კოორდინატები გამოთვლები უფრო ადვილია, ვიდრე ორთქლზე მოხარშული ტურპები: ! "ce" მნიშვნელობით შეუძლებელია ტრიუკების კონკრეტული კოორდინატების დადგენა!ვიმეორებ, ეს არის DISTANCE თითოეული ფოკუსიდან ცენტრამდე(რომელიც ზოგად შემთხვევაში არ უნდა მდებარეობდეს ზუსტად საწყისზე). ელიფსის ექსცენტრიულობა არის თანაფარდობა, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები შიგნით. ჩვენს შემთხვევაში: მოდით გავარკვიოთ, როგორ არის დამოკიდებული ელიფსის ფორმა მის ექსცენტრიულობაზე. Ამისთვის დააფიქსირეთ მარცხენა და მარჯვენა წვეროებიგანხილული ელიფსის, ანუ ნახევრად მთავარი ღერძის მნიშვნელობა მუდმივი დარჩება. მაშინ ექსცენტრიულობის ფორმულა მიიღებს ფორმას: . დავიწყოთ ექსცენტრიულობის მნიშვნელობის ერთიანობამდე მიახლოება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ. Რას ნიშნავს? ... ხრიკების გახსენება ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ელიფსის ექსცენტრიულობა ერთთან, მით უფრო გრძელია ელიფსი. ახლა გავაკეთოთ საპირისპირო პროცესის სიმულაცია: ელიფსის კერები ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ნულთან, მით უფრო გამოიყურება ელიფსი... შეხედეთ შემზღუდველ შემთხვევას, როდესაც კერები წარმატებით გაერთიანებულია საწყისთან: მართლაც, ნახევარღერძების თანასწორობის შემთხვევაში ელიფსის კანონიკური განტოლება იღებს ფორმას, რომელიც რეფლექსურად გარდაიქმნება სკოლიდან ცნობილ წრის განტოლებაში, ცენტრით "a" რადიუსის სათავეში. პრაქტიკაში, აღნიშვნა "სალაპარაკო" ასო "er" უფრო ხშირად გამოიყენება:. რადიუსს უწოდებენ სეგმენტის სიგრძეს, ხოლო წრის თითოეული წერტილი ამოღებულია ცენტრიდან რადიუსის მანძილით. გაითვალისწინეთ, რომ ელიფსის განმარტება რჩება სრულიად სწორი: კერები ემთხვევა და წრის თითოეული წერტილისთვის შესაბამისი სეგმენტების სიგრძის ჯამი მუდმივი მნიშვნელობაა. ვინაიდან კერებს შორის მანძილი არის ნებისმიერი წრის ექსცენტრიულობა ნულის ტოლია. წრე შენდება მარტივად და სწრაფად, საკმარისია შეიარაღო კომპასით. მიუხედავად ამისა, ზოგჯერ საჭიროა მისი ზოგიერთი წერტილის კოორდინატების გარკვევა, ამ შემთხვევაში მივდივართ ნაცნობ გზაზე - განტოლებას მივყავართ მხიარულ მატანის ფორმამდე: შემდეგ ჩვენ ვიპოვით სასურველ მნიშვნელობებს, დიფერენცირებადი
, ინტეგრირება
და გააკეთე სხვა კარგი საქმეები. სტატია, რა თქმა უნდა, მხოლოდ საცნობაროა, მაგრამ როგორ შეიძლება ცხოვრება სიყვარულის გარეშე მსოფლიოში? კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის მაგალითი 2 შეადგინეთ ელიფსის კანონიკური განტოლება, თუ ცნობილია მისი ერთ-ერთი კერა და ნახევრად მცირე ღერძი (ცენტრი სათავეშია). იპოვეთ წვეროები, დამატებითი წერტილები და დახაზეთ ხაზი ნახაზზე. გამოთვალეთ ექსცენტრიულობა. ამოხსნა და ნახატი გაკვეთილის ბოლოს დავამატოთ მოქმედება: დავუბრუნდეთ ელიფსის კანონიკურ განტოლებას, კერძოდ, იმ მდგომარეობას, რომლის გამოცანა აწუხებს ცნობისმოყვარე გონებას ამ მრუდის პირველი ხსენების შემდეგ. აქ ჩვენ განვიხილეთ ელიფსი ასეთი განტოლება იშვიათია, მაგრამ გვხვდება. და ის განსაზღვრავს ელიფსს. მოდით გავფანტოთ მისტიკოსი: ელიფსის პარამეტრული განტოლება
გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!
მეორე რიგის ხაზები.
ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება. წრეალგებრული წრფის კონცეფცია და მისი რიგი
არის თვითნებური რეალური რიცხვები (ჩვეულებრივია დაწეროთ მულტიპლიკატორით - "ორი")და კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი.
და თუ კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ეს არის ზუსტად "ბრტყელი" სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება
, რომელიც წარმოადგენს პირველი შეკვეთის ხაზი.
ტერმინი შეიცავს "Y" 1-ლი ხარისხით;
ტერმინში არ არის ცვლადები, ამიტომ მათი ძალების ჯამი არის ნული.
ტერმინს აქვს ცვლადების ხარისხების ჯამი: 1 + 1 = 2;
ტერმინი შეიცავს „y“-ს მე-2 ხარისხში;
ყველა სხვა პირობა - ნაკლებიხარისხი.
, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი.
, შემდეგ ჩვენ ვისაუბრებთ მე -4 შეკვეთის ხაზებიდა ა.შ.რა არის განტოლების კანონიკური ფორმა?
მეორე რიგის ხაზების კლასიფიკაცია
არის ელიფსის კანონიკური განტოლება;
არის პარაბოლის კანონიკური განტოლება;ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება
როგორ ავაშენოთ ელიფსი?
ხაზის სეგმენტიდაურეკა ძირითადი ღერძიელიფსი;
ხაზის სეგმენტი – მცირე ღერძი;
ნომერი 
დაურეკა ნახევრად ძირითადი ღერძიელიფსი;
ნომერი 
– ნახევრად მცირე ღერძი.
ჩვენს მაგალითში: .
– განსაზღვრავს ელიფსის ზედა რკალს; 
– განსაზღვრავს ელიფსის ქვედა რკალს.
. იგი გვთავაზობს დამატებითი ქულების პოვნას აბსცისებით 
. კალკულატორზე დავაფიქსირეთ სამი SMS: 
რა თქმა უნდა, სასიამოვნოა ისიც, რომ თუ გამოთვლებში დაშვებულია სერიოზული შეცდომა, მაშინ ეს მაშინვე გახდება ნათელი მშენებლობის დროს.
სჯობს საწყისი ესკიზი თხლად და თხლად დახატოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ დააჭიროთ ფანქარს. შედეგი უნდა იყოს საკმაოდ წესიერი ელიფსი. სხვათა შორის, გსურთ იცოდეთ რა არის ეს მრუდი?ელიფსის განმარტება. ელიფსის კერები და ელიფსის ექსცენტრიულობა
ამ შემთხვევაში კერებს შორის მანძილი ამ მნიშვნელობაზე ნაკლებია: .
როგორ მოვძებნოთ ელიფსის ფოკუსი?
, სად არის მანძილი თითოეული კერიდან ელიფსის სიმეტრიის ცენტრამდე.
და, მაშასადამე, კერებს შორის მანძილი არ შეიძლება იყოს მიბმული ელიფსის კანონიკურ პოზიციასთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსი შეიძლება გადავიდეს სხვა ადგილას და მნიშვნელობა უცვლელი დარჩეს, ხოლო კერები ბუნებრივად შეცვლიან კოორდინატებს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ ეს თემის შემდგომი შესწავლისას.ელიფსის ექსცენტრიულობა და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა
. ეს ნიშნავს, რომ ელიფსის ფოკუსები აბსცისის ღერძის გასწვრივ გვერდითი წვეროებამდე „გაიფანტება“. და, რადგან „მწვანე სეგმენტები არ არის რეზინის“, ელიფსი აუცილებლად დაიწყებს გაბრტყელებას, გადაიქცევა ღერძზე დაკიდებულ თხელ და თხელ სოსისად.
ერთმანეთისკენ წავიდნენ, ცენტრს მიუახლოვდნენ. ეს ნიშნავს, რომ "ce"-ს მნიშვნელობა მცირდება და, შესაბამისად, ექსცენტრიულობა ნულისკენ მიისწრაფვის: .
ამ შემთხვევაში, "მწვანე სეგმენტები", პირიქით, "გადატვირთული გახდება" და ისინი დაიწყებენ ელიფსის ხაზის "დაძაბვას" ზემოთ და ქვემოთ.
წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა
არის ზედა ნახევარწრის ფუნქცია;
არის ქვედა ნახევარწრის ფუნქცია.დაატრიალეთ და თარგმნეთ ელიფსი
, მაგრამ პრაქტიკაში არ შეიძლება განტოლება 
? თუმცა აქაც ხომ ელიფსს ჰგავს!
აგების შედეგად მიიღება ჩვენი მშობლიური ელიფსი, რომელიც ბრუნავს 90 გრადუსით. ე.ი. 
- ეს არაკანონიკური ჩანაწერიელიფსი 
. ჩანაწერი!- განტოლება 
არ აკონკრეტებს სხვა ელიფსს, ვინაიდან ღერძზე არ არის წერტილები (ფოკუსები), რომლებიც დააკმაყოფილებს ელიფსის განმარტებას.
