გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი არ არის ნულოვანი და ყოველი შემდეგი წევრი უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე არანულოვან რიცხვზე.

აღინიშნება გეომეტრიული პროგრესია b1,b2,b3, …, bn, ….

გეომეტრიული შეცდომის ნებისმიერი წევრის შეფარდება მის წინა წევრთან იგივე რიცხვის ტოლია, ანუ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+). 1)/bn =…. ეს პირდაპირ გამომდინარეობს არითმეტიკული პროგრესიის განმარტებიდან. ამ რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი. როგორც წესი, გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი აღინიშნება ასო q-ით.

მონოტონური და მუდმივი თანმიმდევრობა

გეომეტრიული პროგრესიის დაყენების ერთ-ერთი გზაა მისი პირველი წევრის b1 და გეომეტრიული შეცდომის q მნიშვნელის დაყენება. მაგალითად, b1=4, q=-2. ეს ორი პირობა იძლევა გეომეტრიულ პროგრესიას 4, -8, 16, -32, ... .

თუ q>0 (q არ არის 1-ის ტოლი), მაშინ პროგრესია არის მონოტონური თანმიმდევრობა.მაგალითად, მიმდევრობა, 2, 4,8,16,32, ... არის მონოტონურად მზარდი მიმდევრობა (b1=2, q=2).

თუ მნიშვნელი q=1 გეომეტრიულ შეცდომაში, მაშინ გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრი ერთმანეთის ტოლი იქნება. ასეთ შემთხვევებში, პროგრესი ითვლება მუდმივი თანმიმდევრობა.

გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

იმისათვის, რომ რიცხვითი მიმდევრობა (bn) იყოს გეომეტრიული პროგრესია, აუცილებელია, რომ მისი თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, იყოს მეზობელი წევრების გეომეტრიული საშუალო. ანუ აუცილებელია შემდეგი განტოლების შესრულება
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), ნებისმიერი n>0-სთვის, სადაც n ეკუთვნის N ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.

გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა არის:

bn=b1*q^(n-1),

სადაც n ეკუთვნის N ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა არის:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) სადაც q არ უდრის 1-ს.

განვიხილოთ მარტივი მაგალითი:

გეომეტრიულ პროგრესიაში b1=6, q=3, n=8 იპოვეთ Sn.

S8-ის საპოვნელად ვიყენებთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n პუნქტების ჯამის ფორმულას.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680 წ.

მაგალითად, თანმიმდევრობა \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… არის გეომეტრიული პროგრესია, რადგან ყოველი შემდეგი ელემენტი განსხვავდება წინადან ორჯერ (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მისი მიღება შესაძლებელია წინადან ორზე გამრავლებით):

ნებისმიერი თანმიმდევრობის მსგავსად, გეომეტრიული პროგრესია აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით. რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, მას უწოდებენ წევრები(ან ელემენტები). ისინი აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც გეომეტრიული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც ტოლია ელემენტის ნომრის თანმიმდევრობით.

მაგალითად, გეომეტრიული პროგრესია \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) შედგება ელემენტებისაგან \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) და ასე შემდეგ. Სხვა სიტყვებით:

თუ გაიგებთ ზემოთ მოცემულ ინფორმაციას, თქვენ უკვე შეძლებთ ამ თემაზე არსებული პრობლემების უმეტესობის გადაჭრას.

მაგალითი (OGE):
გადაწყვეტილება:

უპასუხე : \(-686\).

მაგალითი (OGE): მოცემულია პროგრესის პირველი სამი წევრი \(324\); \(-108\); \(36\)…. იპოვეთ \(b_5\).
გადაწყვეტილება:

	თანმიმდევრობის გასაგრძელებლად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ მნიშვნელი. ვიპოვოთ ის ორი მეზობელი ელემენტიდან: რაზე უნდა გავამრავლოთ \(324\) რომ მივიღოთ \(-108\)?
\(324 q=-108\)	აქედან მარტივად შეგვიძლია გამოვთვალოთ მნიშვნელი.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	ახლა ჩვენ ადვილად ვიპოვით საჭირო ელემენტს.
	პასუხი მზადაა.

უპასუხე : \(4\).

მაგალითი: პროგრესია მოცემულია პირობით \(b_n=0.8 5^n\). რომელი რიცხვია ამ პროგრესიის წევრი:

ა) \(-5\) ბ) \(100\) გ) \(25\) დ) \(0.8\) ?

გადაწყვეტილება: ამოცანის ფორმულირებიდან ჩანს, რომ ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი ნამდვილად ჩვენს პროგრესშია. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ გამოვთვალოთ მისი წევრები სათითაოდ, სანამ არ ვიპოვით საჭირო მნიშვნელობას. ვინაიდან ჩვენი პროგრესი მოცემულია ფორმულით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ელემენტების მნიშვნელობებს სხვადასხვა \(n\) ჩანაცვლებით:
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – სიაში ასეთი რიცხვი არ არის. Ჩვენ ვაგრძელებთ.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - და არც ეს არის.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – და აი ჩვენი ჩემპიონი!

პასუხი: \(100\).

მაგალითი (OGE): მოცემულია გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი …\(8\); \(x\); \(ორმოცდაათი\); \(-125\)…. იპოვეთ ელემენტის მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასო \(x\).

გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(-20\).

მაგალითი (OGE): პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \(4\) ტერმინების ჯამი.

გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(105\).

მაგალითი (OGE): ცნობილია, რომ ექსპონენტურად \(b_6=-11\),\(b_9=704\). იპოვეთ მნიშვნელი \(q\).

გადაწყვეტილება:

	მარცხნივ დიაგრამადან ჩანს, რომ \ (b_6 \)-დან \ (b_9 \)-მდე "მიღებისთვის" - ჩვენ ვდგამთ სამ "ნაბიჯს", ანუ ვამრავლებთ \ (b_6 \) სამჯერ. პროგრესიის მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	ჩაანაცვლეთ ჩვენთვის ცნობილი მნიშვნელობები.
\(704=(-11)q^3\)	„შეაბრუნეთ“ განტოლება და გაყავით \((-11)\-ზე).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	კუბური რა რიცხვი იძლევა \(-64\)? რა თქმა უნდა, \(-4\)!
	პასუხი ნაპოვნია. მისი შემოწმება შესაძლებელია რიცხვების ჯაჭვის აღდგენით \(-11\)-დან \(704\-მდე).
	ყველა შეთანხმდა - პასუხი სწორია.

პასუხი: \(-4\).

ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები

როგორც ხედავთ, გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანების უმეტესობა შეიძლება გადაწყდეს სუფთა ლოგიკით, უბრალოდ არსის გაგებით (ეს ზოგადად მათემატიკის დამახასიათებელია). მაგრამ ზოგჯერ გარკვეული ფორმულებისა და შაბლონების ცოდნა აჩქარებს და მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს გადაწყვეტას. ჩვენ შევისწავლით ორ ასეთ ფორმულას.

\(n\)-ე წევრის ფორმულა არის: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), სადაც \(b_1\) არის პროგრესიის პირველი წევრი; \(n\) – საჭირო ელემენტის ნომერი; \(q\) არის პროგრესიის მნიშვნელი; \(b_n\) არის პროგრესიის წევრი ნომრით \(n\).

ამ ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ, მაგალითად, პრობლემის გადაჭრა პირველივე მაგალითიდან მხოლოდ ერთი ნაბიჯით.

მაგალითი (OGE): გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=-2\); \(q=7\). იპოვეთ \(b_4\).
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(-686\).

ეს მაგალითი მარტივი იყო, ამიტომ ფორმულამ გამოთვლები ძალიან არ გაგვაადვილა. მოდით შევხედოთ პრობლემას ცოტა უფრო რთულად.

მაგალითი: გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). იპოვეთ \(b_(12)\).
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(10\).

რა თქმა უნდა, \(\frac(1)(2)\) \(11\)-ე ხარისხზე აყვანა არ არის ძალიან სასიხარულო, მაგრამ მაინც უფრო ადვილია, ვიდრე \(11\) \(20480\) ორად დაყოფა.

პირველი წევრის ჯამი \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , სადაც \(b_1\) არის პირველი წევრი პროგრესირება; \(n\) – შეჯამებული ელემენტების რაოდენობა; \(q\) არის პროგრესიის მნიშვნელი; \(S_n\) არის პროგრესიის პირველი წევრების \(n\) ჯამი.

მაგალითი (OGE): მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია \(b_n\), რომლის მნიშვნელი არის \(5\), და პირველი წევრი \(b_1=\frac(2)(5)\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი.
გადაწყვეტილება:

პასუხი: \(1562,4\).

და ისევ, ჩვენ შეგვეძლო პრობლემის გადაჭრა "შუბლზე" - რიგრიგობით ვიპოვოთ ექვსივე ელემენტი და შემდეგ დავამატოთ შედეგები. თუმცა, გამოთვლების რაოდენობა და, შესაბამისად, შემთხვევითი შეცდომის შანსი, მკვეთრად გაიზრდება.

გეომეტრიული პროგრესიისთვის, არის კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომლებიც ჩვენ არ განვიხილავთ აქ მათი დაბალი პრაქტიკული გამოყენების გამო. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ეს ფორმულები.

გეომეტრიული პროგრესიების გაზრდა და შემცირება

სტატიის დასაწყისში განხილული პროგრესიისთვის \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) მნიშვნელი \(q\) ერთზე მეტია და, შესაბამისად, ყოველი შემდეგი წევრი არის უფრო დიდი ვიდრე წინა. ასეთ პროგრესებს ე.წ იზრდება.

თუ \(q\) ერთზე ნაკლებია, მაგრამ დადებითია (ანუ არის ნულსა და ერთს შორის), მაშინ ყოველი შემდეგი ელემენტი წინაზე ნაკლები იქნება. მაგალითად, პროგრესში \(4\); \(2\); \(ერთი\); \(0.5\); \(0.25\)… \(q\)-ის მნიშვნელი არის \(\frac(1)(2)\).

ამ პროგრესირებას ე.წ მცირდება. გაითვალისწინეთ, რომ ამ პროგრესირების არცერთი ელემენტი არ იქნება უარყოფითი, ისინი უბრალოდ მცირდება და მცირდება ყოველი ნაბიჯით. ანუ ნელ-ნელა მივუახლოვდებით ნულს, მაგრამ ვერასდროს მივაღწევთ და არ გასცდებით. მათემატიკოსები ასეთ შემთხვევებში ამბობენ "ნულისკენ მიდრეკილება".

გაითვალისწინეთ, რომ უარყოფითი მნიშვნელით, გეომეტრიული პროგრესიის ელემენტები აუცილებლად შეიცვლება ნიშანი. მაგალითად, პროგრესია \(5\); \(-თხუთმეტი\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\)-ის მნიშვნელი არის \(-3\) და ამის გამო ელემენტების ნიშნები „ციმციმდება“.

განვიხილოთ სერია.

7 28 112 448 1792...

აბსოლუტურად ნათელია, რომ მისი რომელიმე ელემენტის ღირებულება წინაზე ზუსტად ოთხჯერ მეტია. ასე რომ, ეს სერია პროგრესია.

გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვების უსასრულო თანმიმდევრობა, რომლის მთავარი მახასიათებელია ის, რომ შემდეგი რიცხვი მიიღება წინადან რომელიმე კონკრეტულ რიცხვზე გამრავლებით. ეს გამოიხატება შემდეგი ფორმულით.

a z +1 =a z q, სადაც z არის შერჩეული ელემენტის რიცხვი.

შესაბამისად, z ∈ N.

პერიოდი, როდესაც სკოლაში სწავლობენ გეომეტრიულ პროგრესიას, არის მე-9 კლასი. მაგალითები დაგეხმარებათ გაიგოთ კონცეფცია:

0.25 0.125 0.0625...

ამ ფორმულის საფუძველზე, პროგრესიის მნიშვნელი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

არც q და არც b z არ შეიძლება იყოს ნული. ასევე, პროგრესის თითოეული ელემენტი არ უნდა იყოს ნულის ტოლი.

შესაბამისად, სერიის შემდეგი რიცხვის გასარკვევად, ბოლო უნდა გაამრავლოთ q-ზე.

ამ პროგრესიის დასაზუსტებლად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მისი პირველი ელემენტი და მნიშვნელი. ამის შემდეგ შესაძლებელია ნებისმიერი შემდგომი ტერმინის და მათი ჯამის პოვნა.

ჯიშები

q და a 1-დან გამომდინარე, ეს პროგრესია იყოფა რამდენიმე ტიპად:

• თუ 1 და q ერთზე მეტია, მაშინ ასეთი თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელიც იზრდება ყოველ მომდევნო ელემენტთან ერთად. ამის მაგალითი წარმოდგენილია ქვემოთ.

მაგალითი: a 1 =3, q=2 - ორივე პარამეტრი ერთზე მეტია.

მაშინ რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

3 6 12 24 48 ...

• თუ |q| ერთზე ნაკლები, ანუ მასზე გამრავლება გაყოფის ტოლფასია, მაშინ მსგავსი პირობების მქონე პროგრესია არის კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. ამის მაგალითი წარმოდგენილია ქვემოთ.

მაგალითი: a 1 =6, q=1/3 - a 1 მეტია ერთზე, q ნაკლებია.

შემდეგ რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

6 2 2/3 ... - ნებისმიერი ელემენტი 3-ჯერ მეტია მის შემდეგ ელემენტზე.

• ნიშანი-ცვლადი. თუ ქ<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

მაგალითი: a 1 = -3, q = -2 - ორივე პარამეტრი ნულზე ნაკლებია.

მაშინ თანმიმდევრობა შეიძლება დაიწეროს ასე:

3, 6, -12, 24,...

ფორმულები

გეომეტრიული პროგრესიების მოსახერხებელი გამოყენებისთვის, არსებობს მრავალი ფორმულა:

• z-ე წევრის ფორმულა. საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ელემენტი კონკრეტული რიცხვის ქვეშ წინა რიცხვების გამოთვლის გარეშე.

მაგალითი:ქ = 3, ა 1 = 4. საჭიროა პროგრესიის მეოთხე ელემენტის გამოთვლა.

გადაწყვეტილება:ა 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• პირველი ელემენტების ჯამი, რომელთა რიცხვი არის ზ. საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მიმდევრობის ყველა ელემენტის ჯამი მდეზინკლუზიური.

მას შემდეგ, რაც (1-ქ) არის მნიშვნელში, შემდეგ (1 - q)≠ 0, შესაბამისად q არ არის 1-ის ტოლი.

შენიშვნა: თუ q=1, მაშინ პროგრესია იქნება უსასრულოდ განმეორებადი რიცხვის სერია.

გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, მაგალითები:ა 1 = 2, ქ= -2. გამოთვალეთ S 5.

გადაწყვეტილება:ს 5 = 22 - გაანგარიშება ფორმულით.

• თანხა თუ |ქ| < 1 и если z стремится к бесконечности.

მაგალითი:ა 1 = 2 , ქ= 0.5. იპოვეთ თანხა.

გადაწყვეტილება:სზ = 2 · = 4

სზ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

ზოგიერთი თვისება:

• დამახასიათებელი თვისება. თუ შემდეგი პირობა შესრულებული ნებისმიერიზ, მაშინ მოცემული რიცხვების სერია არის გეომეტრიული პროგრესია:

ზ 2 = ზ -1 · აz+1

• ასევე, გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი იპოვება მოცემულ სერიაში ნებისმიერი სხვა ორი რიცხვის კვადრატების მიმატებით, თუ ისინი თანაბარ მანძილზე არიან ამ ელემენტისგან.

ზ 2 = ზ - ტ 2 + ზ + ტ 2 , სადტარის მანძილი ამ რიცხვებს შორის.

• ელემენტებიგანსხვავდება q-შიერთხელ.
• პროგრესიის ელემენტების ლოგარითმები ასევე ქმნიან პროგრესიას, მაგრამ უკვე არითმეტიკას, ანუ თითოეული მათგანი წინაზე მეტია გარკვეული რიცხვით.

ზოგიერთი კლასიკური პრობლემის მაგალითები

უკეთ რომ გავიგოთ, რა არის გეომეტრიული პროგრესია, მე-9 კლასის ამოხსნის მაგალითები დაგეხმარებათ.

• პირობები:ა 1 = 3, ა 3 = 48. იპოვექ.

გამოსავალი: ყოველი მომდევნო ელემენტი უფრო დიდია ვიდრე წინაქ ერთხელ.აუცილებელია ზოგიერთი ელემენტის გამოხატვა სხვების მეშვეობით მნიშვნელის გამოყენებით.

აქედან გამომდინარე,ა 3 = ქ 2 · ა 1

ჩანაცვლებისასქ= 4

• პირობები:ა 2 = 6, ა 3 = 12. გამოთვალეთ S 6.

გადაწყვეტილება:ამისათვის საკმარისია მოძებნოთ q, პირველი ელემენტი და ჩაანაცვლოთ იგი ფორმულაში.

ა 3 = ქ· ა 2 , შესაბამისად,ქ= 2

a 2 = q a 1,Ამიტომაც a 1 = 3

S 6 = 189

• · ა 1 = 10, ქ= -2. იპოვეთ პროგრესიის მეოთხე ელემენტი.

გამოსავალი: ამისათვის საკმარისია მეოთხე ელემენტის გამოხატვა პირველი და მნიშვნელის მეშვეობით.

a 4 = q 3· a 1 = -80

განაცხადის მაგალითი:

• ბანკის კლიენტმა შეიტანა დეპოზიტი 10000 რუბლის ოდენობით, რომლის პირობებით ყოველწლიურად კლიენტი დაამატებს მის 6%-ს ძირითად თანხას. რა თანხა იქნება ანგარიშზე 4 წლის შემდეგ?

გამოსავალი: საწყისი თანხა 10 ათასი რუბლია. ასე რომ, ინვესტიციიდან ერთი წლის შემდეგ ანგარიშს ექნება 10000 + 10000 ტოლი თანხა. · 0,06 = 10000 1,06

შესაბამისად, ანგარიშზე არსებული თანხა კიდევ ერთი წლის შემდეგ გამოისახება შემდეგნაირად:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

ანუ ყოველწლიურად თანხა 1,06-ჯერ იზრდება. ეს ნიშნავს, რომ 4 წლის შემდეგ ანგარიშზე თანხების ოდენობის საპოვნელად საკმარისია იპოვოთ პროგრესიის მეოთხე ელემენტი, რომელიც მოცემულია პირველი ელემენტის ტოლი 10 ათასის, ხოლო მნიშვნელის ტოლი 1,06-ის.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

დავალებების მაგალითები ჯამის გამოსათვლელად:

სხვადასხვა ამოცანებში გამოიყენება გეომეტრიული პროგრესია. თანხის საპოვნელად შეიძლება მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი:

ა 1 = 4, ქ= 2, გამოთვალეთS5.

გამოსავალი: გაანგარიშებისთვის საჭირო ყველა მონაცემი ცნობილია, თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაანაცვლოთ ისინი ფორმულაში.

ს 5 = 124

• ა 2 = 6, ა 3 = 18. გამოთვალეთ პირველი ექვსი ელემენტის ჯამი.

გადაწყვეტილება:

გეომ. პროგრესიით, ყოველი შემდეგი ელემენტი q-ჯერ მეტია წინაზე, ანუ ჯამის გამოსათვლელად თქვენ უნდა იცოდეთ ელემენტია 1 და მნიშვნელიქ.

ა 2 · ქ = ა 3

ქ = 3

ანალოგიურად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთა 1 , იცისა 2 დაქ.

ა 1 · ქ = ა 2

a 1 =2

ს 6 = 728.

გეომეტრიული პროგრესიის მაგალითი: 2, 6, 18, 54, 162.

აქ ყოველი ტერმინი პირველის შემდეგ სამჯერ არის წინა. ანუ ყოველი მომდევნო წევრი არის წინა წევრის 3-ზე გამრავლების შედეგი:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

ჩვენს მაგალითში მეორე წევრის პირველზე გაყოფისას, მესამეზე მეორეზე და ა.შ. ვიღებთ 3. რიცხვი 3 არის ამ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

მაგალითი:

დავუბრუნდეთ ჩვენს გეომეტრიულ პროგრესიას 2, 6, 18, 54, 162. ავიღოთ მეოთხე წევრი და კვადრატში:
54 2 = 2916.

ახლა ვამრავლებთ ტერმინებს 54 რიცხვის მარცხნივ და მარჯვნივ:

18 162 = 2916.

როგორც ხედავთ, მესამე წევრის კვადრატი ტოლია მეზობელი მეორე და მეოთხე წევრის ნამრავლის.

მაგალითი 1: ავიღოთ რამდენიმე გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის 2-ს, ხოლო გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი უდრის 1,5-ს. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესის მე-4 ტერმინი.

მოცემული:
ბ 1 = 2

ქ = 1,5
ნ = 4

————
ბ 4 - ?

გადაწყვეტილება.

ფორმულის გამოყენება ბ ნ= b 1 q ნ- 1, მასში შესაბამისი მნიშვნელობების ჩასმა:
ბ 4 \u003d 2 1.5 4 - 1 \u003d 2 1.5 3 \u003d 2 3.375 \u003d 6.75.

უპასუხე: მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მეოთხე წევრია რიცხვი 6.75.

მაგალითი 2: იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი, თუ პირველი და მესამე წევრები არიან, შესაბამისად, 12 და 192.

მოცემული:
ბ 1 = 12
ბ 3 = 192
————
ბ 5 - ?

გადაწყვეტილება.

1) ჯერ უნდა ვიპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი, რომლის გარეშეც შეუძლებელია ამოცანის ამოხსნა. როგორც პირველი ნაბიჯი, ჩვენი ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ b 3-ის ფორმულას:

ბ 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი:

ბ 3 192
ქ 2 = —— = —— = 16
ბ 1 12

ქ= √16 = 4 ან -4.

2) რჩება მნიშვნელობის პოვნა ბ 5 .
Თუ ქ= 4, მაშინ

ბ 5 = ბ 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

ზე ქ= -4 შედეგი იგივე იქნება. ამრიგად, პრობლემას ერთი გამოსავალი აქვს.

უპასუხე: მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრია რიცხვი 3072.

მაგალითიიპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ხუთი წევრის ჯამი ( ბ ნ), რომელშიც პირველი წევრი უდრის 2-ს, ხოლო გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი არის 3.

მოცემული:

ბ 1 = 2

ქ = 3

ნ = 5
————
ს 5 - ?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიყენებთ ზემოთ მოყვანილი ორიდან მეორე ფორმულას:

ბ 1 (ქ 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
ს 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
ქ - 1 3 - 1 2 2

უპასუხე: მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ხუთი წევრის ჯამი არის 242.

უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი.

აუცილებელია განვასხვავოთ ცნებები "უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი" და "ჯამობა". ნგეომეტრიული პროგრესიის წევრები. მეორე კონცეფცია ეხება ნებისმიერ გეომეტრიულ პროგრესიას, ხოლო პირველი - მხოლოდ ერთს, სადაც მნიშვნელი 1 მოდულოზე ნაკლებია.

>> მათემატიკა: გეომეტრიული პროგრესია

მკითხველის მოხერხებულობისთვის, ეს განყოფილება ზუსტად იმავე გეგმას მიჰყვება, როგორც წინა ნაწილში.

1. ძირითადი ცნებები.

განმარტება.ციფრულ მიმდევრობას, რომლის ყველა წევრი განსხვავდება 0-დან და რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, მიიღება წინა წევრისგან იმავე რიცხვზე გამრავლებით, გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება. ამ შემთხვევაში რიცხვ 5-ს გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა (b n), რომელიც მოცემულია რეკურსიულად ურთიერთობებით.

შესაძლებელია თუ არა რიცხვების მიმდევრობის დათვალიერებით დადგინდეს არის თუ არა ეს გეომეტრიული პროგრესია? შეუძლია. თუ დარწმუნებული ხართ, რომ მიმდევრობის რომელიმე წევრის შეფარდება წინა წევრთან მუდმივია, მაშინ გეომეტრიული პროგრესია გაქვთ.
მაგალითი 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

მაგალითი 2

ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელიც
მაგალითი 3

ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელიც
მაგალითი 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, სადაც b 1 - 8, q = 1.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა ასევე არის არითმეტიკული პროგრესია (იხ. მაგალითი 3 § 15-დან).

მაგალითი 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

ცხადია, გეომეტრიული პროგრესია არის მზარდი მიმდევრობა, თუ b 1 > 0, q > 1 (იხ. მაგალითი 1) და კლებადი მიმდევრობა, თუ b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

იმის საჩვენებლად, რომ მიმდევრობა (b n) არის გეომეტრიული პროგრესია, ზოგჯერ მოსახერხებელია შემდეგი აღნიშვნა:

ხატი ცვლის ფრაზას „გეომეტრიული პროგრესია“.
ჩვენ აღვნიშნავთ გეომეტრიული პროგრესიის ერთ ცნობისმოყვარე და ამავე დროს საკმაოდ აშკარა თვისებას:
თუ თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, შემდეგ კვადრატების მიმდევრობა, ე.ი. არის გეომეტრიული პროგრესია.
მეორე გეომეტრიულ პროგრესიაში პირველი წევრი უდრის q 2-ს.
თუ b n-ის შემდეგ ყველა ტერმინს გამოვრიცხავთ ექსპონენციალურად, მაშინ მივიღებთ სასრულ გეომეტრიულ პროგრესიას.
ამ განყოფილების შემდეგ აბზაცებში განვიხილავთ გეომეტრიული პროგრესიის ყველაზე მნიშვნელოვან თვისებებს.

2. გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა.

განვიხილოთ გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელი q. Ჩვენ გვაქვს:

ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის n ტოლია

ეს არის გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა.

კომენტარი.

თუ წაიკითხეთ მნიშვნელოვანი შენიშვნა წინა აბზაციდან და გაიგეთ იგი, მაშინ შეეცადეთ დაამტკიცოთ ფორმულა (1) მათემატიკური ინდუქციით, ისევე როგორც ეს გაკეთდა არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულისთვის.

გადავიწეროთ გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა

და შემოიტანეთ აღნიშვნა: ჩვენ ვიღებთ y \u003d mq 2, ან, უფრო დეტალურად,
არგუმენტი x შეიცავს მაჩვენებელს, ამიტომ ასეთ ფუნქციას ექსპონენციალური ფუნქცია ეწოდება. ეს ნიშნავს, რომ გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება ჩაითვალოს ექსპონენციალურ ფუნქციად, რომელიც მოცემულია ნატურალური რიცხვების N სიმრავლეზე. ნახ. 96a გვიჩვენებს ნახ. 966 - ფუნქციის გრაფიკი ორივე შემთხვევაში გვაქვს იზოლირებული წერტილები (აბსცისებით x = 1, x = 2, x = 3 და ა.შ.), რომლებიც დევს ზოგიერთ მრუდზე (ორივე ფიგურა აჩვენებს ერთსა და იმავე მრუდს, მხოლოდ განსხვავებულად მდებარეობს და გამოსახულია სხვადასხვა მასშტაბებში). ამ მრუდს ექსპონენტი ეწოდება. მეტი ექსპონენციალური ფუნქციისა და მისი გრაფიკის შესახებ განხილული იქნება მე-11 კლასის ალგებრის კურსში.

დავუბრუნდეთ წინა აბზაცის 1-5 მაგალითებს.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც b 1 \u003d 1, q \u003d 3. მოდით გავაკეთოთ ფორმულა n-ე წევრისთვის
2) ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც ჩამოვაყალიბოთ n-ე წევრი

ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელიც შეადგინეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც b 1 \u003d 8, q \u003d 1. მოდით გავაკეთოთ ფორმულა n-ე წევრისთვის
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... ეს არის გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც b 1 = 2, q = -1. შეადგინეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის

მაგალითი 6

გეომეტრიული პროგრესიის გათვალისწინებით

ყველა შემთხვევაში, ამონახსნი ეფუძნება გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას

ა) n = 6-ის ჩასმა გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულაში მივიღებთ

ბ) გვაქვს

512 \u003d 2 9-დან ვიღებთ n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

დ) გვაქვს

მაგალითი 7

სხვაობა გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე და მეხუთე წევრებს შორის არის 48, პროგრესიის მეხუთე და მეექვსე წევრების ჯამი ასევე 48. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთორმეტე წევრი.

პირველი ეტაპი.მათემატიკური მოდელის შედგენა.

დავალების პირობები შეიძლება მოკლედ დაიწეროს შემდეგნაირად:

გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
მაშინ ამოცანის მეორე პირობა (b 7 - b 5 = 48) შეიძლება ჩაიწეროს როგორც

ამოცანის მესამე პირობა (b 5 +b 6 = 48) შეიძლება დაიწეროს როგორც

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ორი განტოლების სისტემას ორი ცვლადით b 1 და q:

რომელიც ზემოთ დაწერილ 1) პირობასთან ერთად არის პრობლემის მათემატიკური მოდელი.

მეორე ფაზა.

შედგენილ მოდელთან მუშაობა. სისტემის ორივე განტოლების მარცხენა ნაწილების გავატოლებით, მივიღებთ:

(განტოლების ორივე მხარე დავყავით გამოსახულებად b 1 q 4, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან).

განტოლებიდან q 2 - q - 2 = 0 ვპოულობთ q 1 = 2, q 2 = -1. სისტემის მეორე განტოლებაში q = 2 მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, მივიღებთ
სისტემის მეორე განტოლებაში q = -1 მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, მივიღებთ b 1 1 0 = 48; ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

ასე რომ, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ეს წყვილი არის განტოლებათა შედგენილი სისტემის გამოსავალი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ მოცემული გეომეტრიული პროგრესია: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

მესამე ეტაპი.

პასუხი პრობლემის კითხვაზე. საჭიროა b 12-ის გამოთვლა. Ჩვენ გვაქვს

პასუხი: b 12 = 2048.

3. სასრული გეომეტრიული პროგრესიის წევრების ჯამის ფორმულა.

დაე, იყოს სასრული გეომეტრიული პროგრესია

S n-ით აღვნიშნოთ მისი ტერმინების ჯამი, ე.ი.

მოდით გამოვიტანოთ ფორმულა ამ ჯამის საპოვნელად.

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით, როდესაც q = 1. მაშინ გეომეტრიული პროგრესია b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn შედგება n რიცხვისაგან, რომელიც ტოლია b 1 , ე.ი. პროგრესია არის b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . ამ რიცხვების ჯამი არის nb 1.

ახლა q = 1 S n-ის საპოვნელად ვიყენებთ ხელოვნურ მეთოდს: შევასრულოთ S n q გამოთქმის რამდენიმე ტრანსფორმაცია. Ჩვენ გვაქვს:

გარდაქმნების შესრულებისას, პირველ რიგში, გამოვიყენეთ გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება, რომლის მიხედვითაც (იხ. მსჯელობის მესამე ხაზი); მეორეც, დაუმატეს და გამოაკლეს, რატომ არ შეცვლილა გამოთქმის მნიშვნელობა, რა თქმა უნდა (იხ. მსჯელობის მეოთხე სტრიქონი); მესამე, ჩვენ გამოვიყენეთ გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა:

ფორმულიდან (1) ვხვდებით:

ეს არის გეომეტრიული პროგრესიის n წევრის ჯამის ფორმულა (იმ შემთხვევისთვის, როდესაც q = 1).

მაგალითი 8

მოცემულია სასრული გეომეტრიული პროგრესია

ა) პროგრესიის წევრთა ჯამი; ბ) მისი წევრთა კვადრატების ჯამი.

ბ) ზემოთ (იხ. გვ. 132) უკვე აღვნიშნეთ, რომ თუ გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრი კვადრატშია, მაშინ მიიღება გეომეტრიული პროგრესია პირველი წევრით b 2 და მნიშვნელი q 2. შემდეგ ახალი პროგრესიის ექვსი წევრის ჯამი გამოითვლება

მაგალითი 9

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მე-8 წევრი, რომლისთვისაც

ფაქტობრივად, ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი თეორემა.

რიცხვითი მიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრის კვადრატი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი, სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და მომდევნო წევრის ნამრავლს. (გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება).