რომლებიც უკვე საკმაოდ მობეზრებულები არიან. და ვგრძნობ, რომ დადგა მომენტი, როდესაც დადგა დრო, რომ ახალი დაკონსერვებული საკვები გამოვიტანოთ თეორიის სტრატეგიული მარაგებიდან. შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის სერიის გაფართოება სხვა გზით? მაგალითად, გამოვხატოთ სწორი ხაზის სეგმენტი სინუსებით და კოსინუსებით? როგორც ჩანს წარმოუდგენელია, მაგრამ ასეთი ერთი შეხედვით შორეული ფუნქციები თავს იჩენს
"გაერთიანება". თეორიასა და პრაქტიკაში ნაცნობი ხარისხების გარდა, არსებობს სხვა მიდგომები ფუნქციის სერიაში გაფართოების მიზნით.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავეცნობით ტრიგონომეტრიულ ფურიეს სერიებს, შევეხებით მისი დაახლოების და ჯამის საკითხს და, რა თქმა უნდა, გავაანალიზებთ უამრავ მაგალითს ფურიეს სერიებში ფუნქციების გაფართოებისთვის. მე გულწრფელად მინდოდა დამერქვა სტატია "ფურიეს სერია დუმებისთვის", მაგრამ ეს მზაკვრული იქნებოდა, რადგან პრობლემების გადაჭრა მოითხოვს მათემატიკური ანალიზის სხვა სექციების ცოდნას და გარკვეულ პრაქტიკულ გამოცდილებას. მაშასადამე, პრეამბულა ასტრონავტების მომზადებას წააგავს =)
პირველ რიგში, გვერდის მასალების შესწავლა შესანიშნავ ფორმაში უნდა მივიდეთ. მძინარე, დასვენებული და ფხიზელი. ძლიერი ემოციების გარეშე ზაზუნის გატეხილი თათის და აკვარიუმის თევზის ცხოვრების გაჭირვებაზე აკვიატებული ფიქრების გარეშე. ფურიეს სერია არ არის რთული გაგების თვალსაზრისით, თუმცა, პრაქტიკული ამოცანები უბრალოდ მოითხოვს ყურადღების კონცენტრაციას - იდეალურ შემთხვევაში, თქვენ მთლიანად უნდა მიატოვოთ გარე სტიმული. სიტუაციას ისიც ამძიმებს, რომ გამოსავლისა და პასუხის შესამოწმებლად მარტივი გზა არ არსებობს. ამრიგად, თუ თქვენი ჯანმრთელობა საშუალოზე დაბალია, მაშინ ჯობია რაიმე უფრო მარტივი გააკეთოთ. სიმართლე.
მეორეც, კოსმოსში გაფრენამდე აუცილებელია კოსმოსური ხომალდის ინსტრუმენტთა პანელის შესწავლა. დავიწყოთ იმ ფუნქციების მნიშვნელობებით, რომლებიც უნდა დააწკაპუნოთ მანქანაზე:
ნებისმიერი ბუნებრივი ღირებულებისთვის:
ერთი). და ფაქტობრივად, სინუსოიდი "ციმციმებს" x-ღერძს თითოეული "pi"-ს მეშვეობით:
. არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების შემთხვევაში, შედეგი, რა თქმა უნდა, იგივე იქნება: .
2). მაგრამ ეს ყველამ არ იცოდა. კოსინუსი „პი ენ“ არის „მოციმციმე შუქის“ ტოლფასი:
უარყოფითი არგუმენტი საქმეს არ ცვლის: 
.
ალბათ საკმარისია.
და მესამე, ძვირფასო კოსმონავტთა კორპუსი, თქვენ უნდა შეძლოთ ... ინტეგრირება.
კერძოდ, რა თქმა უნდა მოიტანეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ, ნაწილების მიხედვით ინტეგრირებადა კარგი ურთიერთობა გქონდეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. დავიწყოთ ფრენისწინა მნიშვნელოვანი ვარჯიშები. კატეგორიულად არ გირჩევთ მის გამოტოვებას, რათა მოგვიანებით ნულოვანი სიმძიმით არ გაბრტყელდეთ:
მაგალითი 1
განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა
სადაც ბუნებრივი ფასეულობებია.
გადაწყვეტილება: ინტეგრაცია ხორციელდება "x" ცვლადზე და ამ ეტაპზე დისკრეტული ცვლადი "en" განიხილება მუდმივად. ყველა ინტეგრალში მოიტანეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:
გადაწყვეტის მოკლე ვერსია, რომლის გადაღებაც კარგი იქნებოდა, ასე გამოიყურება:
Მიჩვევა:
დარჩენილი ოთხი ქულა თავისთავად არის. ეცადეთ, კეთილსინდისიერად მოეპყროთ დავალებას და მოკლედ მოაწყოთ ინტეგრალები. ამოხსნის ნიმუშები გაკვეთილის ბოლოს.
QUALITY ვარჯიშის შემდეგ ჩავიცვით კოსმოსური კოსტუმი
და ემზადები დასაწყებად!
ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში ინტერვალზე
განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულიყოველ შემთხვევაში, ინტერვალზე (და, შესაძლოა, უფრო დიდ ინტერვალზე). თუ ეს ფუნქცია ინტეგრირებადია სეგმენტზე, მაშინ ის შეიძლება გაფართოვდეს ტრიგონომეტრიულად ფურიეს სერია:
, სადაც არიან ე.წ ფურიეს კოეფიციენტები.
ამ შემთხვევაში, ნომერი იწოდება დაშლის პერიოდიდა ნომერი არის ნახევარგამოყოფის დაშლა.
ცხადია, ზოგად შემთხვევაში, ფურიეს სერია შედგება სინუსებისა და კოსინუსებისგან: 
მართლაც, დაწვრილებით დავწეროთ:
სერიის ნულოვანი წევრი ჩვეულებრივ იწერება როგორც .
ფურიეს კოეფიციენტები გამოითვლება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით: 
მშვენივრად მესმის, რომ ახალი ტერმინები ჯერ კიდევ ბუნდოვანია დამწყებთათვის თემის შესასწავლად: დაშლის პერიოდი, ნახევარი ციკლი, ფურიეს კოეფიციენტებიდა სხვები.. ნუ შეგეშინდებათ, ეს არ არის შედარებული კოსმოსური გასეირნების წინ აღფრთოვანებასთან. მოდით გავარკვიოთ ყველაფერი უახლოეს მაგალითში, რომლის შესრულებამდე ლოგიკურია დაუსვათ აქტუალური პრაქტიკული კითხვები:
რა უნდა გააკეთოთ შემდეგ ამოცანებში?
გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში. გარდა ამისა, ხშირად საჭიროა ფუნქციის გრაფიკის დახატვა, სერიის ჯამის გრაფიკის, ნაწილობრივი ჯამის და დახვეწილი პროფესორული ფანტაზიების შემთხვევაში სხვა რამის გაკეთება.
როგორ გავაფართოვოთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში?
არსებითად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფურიეს კოეფიციენტები, ანუ შეადგინეთ და გამოთვალეთ სამი განსაზღვრული ინტეგრალები.
გთხოვთ დააკოპიროთ ფურიეს სერიის ზოგადი ფორმა და სამი სამუშაო ფორმულა თქვენს ნოუთბუქში. ძალიან მიხარია, რომ საიტის ზოგიერთ ვიზიტორს აქვს ბავშვობის ოცნება, გახდეს ასტრონავტი ჩემს თვალწინ =)
მაგალითი 2
გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიად ინტერვალზე. შექმენით გრაფიკი, სერიის ჯამის გრაფიკი და ნაწილობრივი ჯამი.
გადაწყვეტილება: დავალების პირველი ნაწილი არის ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში.
დასაწყისი სტანდარტულია, აუცილებლად დაწერეთ ეს:
ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი, ნახევარპერიოდი.
ჩვენ ვაფართოებთ ფუნქციას ფურიეს სერიაში ინტერვალზე: 
შესაბამისი ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ ფურიეს კოეფიციენტები. ახლა ჩვენ უნდა შევადგინოთ და გამოვთვალოთ სამი განსაზღვრული ინტეგრალები. მოხერხებულობისთვის დავთვლი ქულებს:
1) პირველი ინტეგრალი უმარტივესია, თუმცა მას უკვე თვალი და თვალი სჭირდება: 
2) ჩვენ ვიყენებთ მეორე ფორმულას:
ეს ინტეგრალი ცნობილია და ის ნაწილ-ნაწილ იღებს: 
როცა იპოვეს გამოყენებული ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანის მეთოდი.
განსახილველ ამოცანაში უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გამოყენება ნაწილების მიერ განსაზღვრულ ინტეგრალში ინტეგრაციის ფორმულა 
:
რამდენიმე ტექნიკური შენიშვნა. პირველი, ფორმულის გამოყენების შემდეგ მთელი გამოთქმა უნდა იყოს ჩასმული დიდ ფრჩხილებში, ვინაიდან თავდაპირველი ინტეგრალის წინ არის მუდმივი. არ დავკარგოთ! ფრჩხილების გახსნა შესაძლებელია ნებისმიერ შემდგომ ეტაპზე, მე ეს გავაკეთე ბოლო მხრივ. პირველ "ნაჭერში" 
ჩვენ ვაჩვენებთ ჩანაცვლების უკიდურეს სიზუსტეს, როგორც ხედავთ, მუდმივი გამორთულია და ინტეგრაციის საზღვრები ჩანაცვლებულია პროდუქტში. ეს მოქმედება აღინიშნება კვადრატული ფრჩხილებით. ისე, ფორმულის მეორე "ნაწილის" ინტეგრალი თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სავარჯიშო ამოცანიდან ;-)
და რაც მთავარია - ყურადღების საბოლოო კონცენტრაცია!
3) ჩვენ ვეძებთ მესამე ფურიეს კოეფიციენტს:
მიღებულია წინა ინტეგრალის ნათესავი, რომელიც ასევე ნაწილებით ინტეგრირებული:
ეს მაგალითი ცოტა უფრო რთულია, შემდგომ ნაბიჯებს კომენტარს გავაკეთებ ეტაპობრივად: 
(1) მთელი გამოხატულება ჩასმულია დიდ ფრჩხილებში.. არ მინდოდა მოწყენილად მეჩვენებოდა, ისინი ძალიან ხშირად კარგავენ მუდმივობას.
(2) ამ შემთხვევაში, მე მაშინვე გავაფართოვე ეს დიდი ფრჩხილები. Განსაკუთრებული ყურადღებაჩვენ ვუძღვნით პირველ „ნაჭერს“: მუდმივი ეწევა გვერდით და არ მონაწილეობს პროდუქტში ინტეგრაციის (და) საზღვრების ჩანაცვლებაში. ჩანაწერის არეულობის გათვალისწინებით, კვლავ მიზანშეწონილია ამ მოქმედების ხაზგასმა კვადრატულ ფრჩხილებში. მეორე "ნაჭერით" 
ყველაფერი უფრო მარტივია: აქ წილადი გამოჩნდა დიდი ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, ხოლო მუდმივი - ნაცნობი ინტეგრალის ინტეგრირების შედეგად ;-)
(3) კვადრატულ ფრჩხილებში ვახორციელებთ გარდაქმნებს, ხოლო მარჯვენა ინტეგრალში ვცვლით ინტეგრაციის საზღვრებს.
(4) კვადრატული ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ „ფლეშერს“: , რის შემდეგაც ვხსნით შიდა ფრჩხილებს: .
(5) ვაუქმებთ 1 და -1 ფრჩხილებში, ვაკეთებთ საბოლოო გამარტივებებს.
საბოლოოდ ვიპოვნეთ ფურიეს სამივე კოეფიციენტი: 
ჩაანაცვლეთ ისინი ფორმულაში 
:
არ დაგავიწყდეთ შუაზე გაყოფა. ბოლო საფეხურზე ჯამიდან ამოღებულია მუდმივი ("მინუს ორი"), რომელიც არ არის დამოკიდებული "en"-ზე.
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში ინტერვალზე: 
მოდით შევისწავლოთ ფურიეს სერიის კონვერგენციის საკითხი. მე კონკრეტულად ავხსნი თეორიას დირიხლეს თეორემა, სიტყვასიტყვით "თითებზე", ასე რომ, თუ მკაცრი ფორმულირებები გჭირდებათ, გთხოვთ, მიმართოთ კალკულუსის სახელმძღვანელოს (მაგალითად, ბოჰანის მე-2 ტომი; ან ფიხტენჰოლცის მე-3 ტომი, მაგრამ მასში უფრო რთულია).
დავალების მეორე ნაწილში საჭიროა გრაფიკის, სერიის ჯამის და ნაწილობრივი ჯამის გრაფიკის დახატვა.
ფუნქციის გრაფიკი ჩვეულებრივია სწორი ხაზი თვითმფრინავზე, რომელიც დახატულია შავი წერტილოვანი ხაზით: 
საქმე გვაქვს სერიის ჯამთან. მოგეხსენებათ, ფუნქციონალური სერიები ფუნქციებს ემთხვევა. ჩვენს შემთხვევაში, აგებული ფურიეს სერია 
"x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვისემთხვევა წითლად გამოსახულ ფუნქციას. ეს ფუნქცია ექვემდებარება პირველი სახის შესვენებებიწერტილებში, მაგრამ ასევე განსაზღვრულია მათში (წითელი წერტილები ნახატზე)
ამრიგად: 
. ადვილი მისახვედრია, რომ ის მკვეთრად განსხვავდება ორიგინალური ფუნქციისგან, რის გამოც ნოტაციაში 
ტოლი ნიშნის ნაცვლად გამოიყენება ტილდი.
მოდით შევისწავლოთ ალგორითმი, რომლითაც მოსახერხებელია სერიის ჯამის აგება.
ცენტრალურ ინტერვალზე, ფურიეს სერია თავსდება ფუნქციასთან (ცენტრალური წითელი სეგმენტი ემთხვევა ხაზოვანი ფუნქციის შავ წერტილოვან ხაზს).
ახლა მოდით ვისაუბროთ განხილული ტრიგონომეტრიული გაფართოების ბუნებაზე. ფურიეს სერია 
მოიცავს მხოლოდ პერიოდულ ფუნქციებს (მუდმივი, სინუსები და კოსინუსები), ასე რომ, რიგის ჯამი 
ასევე პერიოდული ფუნქციაა.
რას ნიშნავს ეს ჩვენს კონკრეტულ მაგალითში? და ეს ნიშნავს, რომ სერიის ჯამი 
–აუცილებლად პერიოდულიდა შუალედის წითელი სეგმენტი უსასრულოდ უნდა განმეორდეს მარცხნივ და მარჯვნივ.
ვფიქრობ, ახლა საბოლოოდ გაირკვა ფრაზის „დაშლის პერიოდის“ მნიშვნელობა. მარტივად რომ ვთქვათ, ყოველ ჯერზე სიტუაცია მეორდება ისევ და ისევ.
პრაქტიკაში, როგორც წესი, საკმარისია სამი დაშლის პერიოდის გამოსახვა, როგორც ეს კეთდება ნახატზე. კარგად, და მეზობელი პერიოდების უფრო მეტი "ნაკბენები" - ნათლად რომ ვთქვათ, რომ სქემა გრძელდება.
განსაკუთრებით საინტერესოა 1-ლი ტიპის შეწყვეტის წერტილები. ასეთ წერტილებში ფურიეს სერიები იყრის თავს იზოლირებულ მნიშვნელობებს, რომლებიც განლაგებულია ზუსტად უწყვეტი „ნახტომის“ შუაში (ნახაზზე წითელი წერტილები). როგორ მოვძებნოთ ამ წერტილების ორდინატი? ჯერ ვიპოვოთ „ზედა სართულის“ ორდინატი: ამისთვის გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა ცენტრალური გაფართოების პერიოდის ყველაზე მარჯვენა წერტილში: . „ქვედა სართულის“ ორდინატის გამოსათვლელად უმარტივესი გზაა იმავე პერიოდის მარცხენა მნიშვნელობის აღება: 
. საშუალო მნიშვნელობის ორდინატი არის "ზედა და ქვედა" ჯამის საშუალო არითმეტიკული: . სასიამოვნოა ის ფაქტი, რომ ნახატის აგებისას, მაშინვე დაინახავთ, სწორად არის თუ არა გათვლილი შუა.
ავაშენოთ სერიის ნაწილობრივი ჯამი და ამავდროულად გავიმეოროთ ტერმინი „კონვერგენცია“. მოტივი ცნობილია გაკვეთილიდან რიცხვთა სერიის ჯამი. მოდით დეტალურად აღვწეროთ ჩვენი სიმდიდრე:
ნაწილობრივი ჯამის შესაქმნელად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ სერიის ნული + კიდევ ორი წევრი. ე.ი.
ნახაზზე ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია მწვანედ და, როგორც ხედავთ, საკმაოდ მჭიდროდ ახვევს მთლიან ჯამს. თუ გავითვალისწინებთ სერიის ხუთი წევრის ნაწილობრივ ჯამს, მაშინ ამ ფუნქციის გრაფიკი კიდევ უფრო ზუსტად მიაახლოებს წითელ ხაზებს, თუ ასი წევრია, მაშინ "მწვანე გველი" რეალურად მთლიანად შეერწყმის წითელ სეგმენტებს. და ა.შ. ამრიგად, ფურიეს სერიები ემთხვევა მის ჯამს.
საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი ნაწილობრივი ჯამი არის უწყვეტი ფუნქცია, მაგრამ სერიის მთლიანი ჯამი კვლავ შეწყვეტილია.
პრაქტიკაში იშვიათი არაა ნაწილობრივი ჯამის გრაფიკის აგება. Როგორ გავაკეთო ეს? ჩვენს შემთხვევაში, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ფუნქცია სეგმენტზე, გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში და შუალედურ წერტილებში (რაც მეტ ქულას განიხილავთ, მით უფრო ზუსტი იქნება გრაფიკი). შემდეგ თქვენ უნდა მონიშნოთ ეს წერტილები ნახაზზე და ყურადღებით დახაზოთ დიაგრამა პერიოდზე და შემდეგ „გაიმეოროთ“ ის მიმდებარე ინტერვალებით. სხვა როგორ? ბოლოს და ბოლოს, მიახლოებაც პერიოდული ფუნქციაა ... ... მისი გრაფიკი რაღაცნაირად მაგონებს გულის თანაბარ რიტმს სამედიცინო მოწყობილობის ეკრანზე.
რა თქმა უნდა, არ არის ძალიან მოსახერხებელი კონსტრუქციის განხორციელება, რადგან თქვენ უნდა იყოთ უკიდურესად ფრთხილად, შეინარჩუნოთ სიზუსტე არანაკლებ ნახევარი მილიმეტრით. თუმცა, სიამოვნებით ვასწრებ მკითხველებს, რომლებიც ეწინააღმდეგებიან ნახატს - "რეალურ" ამოცანაში, ყოველთვის არ არის აუცილებელი ნახატის შესრულება, სადღაც 50% შემთხვევაში საჭიროა ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში და ეს არის ის.
ნახაზის დასრულების შემდეგ ვასრულებთ დავალებას:
უპასუხე: 
ბევრ ამოცანაში ფუნქცია ზარალდება 1-ლი სახის რღვევაპირდაპირ დაშლის პერიოდში:
მაგალითი 3
გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში ინტერვალზე მოცემული ფუნქცია. დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი და სერიების ჯამი.
შემოთავაზებული ფუნქცია მოცემულია ცალ-ცალკე (და, გაითვალისწინეთ, მხოლოდ სეგმენტზე)და გაუძლო 1-ლი სახის რღვევაწერტილში. შესაძლებელია თუ არა ფურიეს კოეფიციენტების გამოთვლა? Არაა პრობლემა. ფუნქციის ორივე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები ინტეგრირებადია მათი ინტერვალებით, ამიტომ სამივე ფორმულიდან თითოეულში ინტეგრალები უნდა იყოს წარმოდგენილი ორი ინტეგრალის ჯამად. ვნახოთ, მაგალითად, როგორ კეთდება ეს ნულოვანი კოეფიციენტისთვის:
მეორე ინტეგრალი ნულის ტოლი აღმოჩნდა, რამაც შეამცირა სამუშაო, მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის.
ორი სხვა ფურიეს კოეფიციენტი იწერება ანალოგიურად.
როგორ აჩვენოთ სერიის ჯამი? მარცხენა ინტერვალზე ვხატავთ სწორი ხაზის სეგმენტს, ხოლო ინტერვალზე - სწორი ხაზის სეგმენტს (ღერძის მონაკვეთი მონიშნეთ თამამად). ანუ გაფართოების ინტერვალზე სერიის ჯამი ყველგან ემთხვევა ფუნქციას, გარდა სამი „ცუდი“ წერტილისა. ფუნქციის შეწყვეტის წერტილში, ფურიეს სერია გადადის იზოლირებულ მნიშვნელობამდე, რომელიც მდებარეობს ზუსტად შესვენების „ნახტომის“ შუაში. ზეპირად დანახვა არ არის რთული: მარცხენა ლიმიტი:, მარჯვენა ლიმიტი: 
და, ცხადია, შუა წერტილის ორდინატი არის 0,5.
ჯამის პერიოდულობის გამო სურათი უნდა „გამრავლდეს“ მეზობელ პერიოდებში, კერძოდ, ერთი და იგივე გამოსახოს ინტერვალებზე და . ამ შემთხვევაში, წერტილებში, ფურიეს სერია გადადის მედიანურ მნიშვნელობებთან.
ფაქტობრივად, აქ ახალი არაფერია.
შეეცადეთ მოაგვაროთ ეს პრობლემა დამოუკიდებლად. გაკვეთილის ბოლოს ჯარიმა დიზაინისა და ნახატის სავარაუდო ნიმუში.
ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში თვითნებურ პერიოდზე
თვითნებური გაფართოების პერიოდისთვის, სადაც "el" არის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, ფურიეს სერიის და ფურიეს კოეფიციენტების ფორმულები განსხვავდება ოდნავ რთული სინუსისა და კოსინუსების არგუმენტით:
თუ , მაშინ ვიღებთ ფორმულებს იმ ინტერვალისთვის, რომლითაც დავიწყეთ.
პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი და პრინციპები მთლიანად არის დაცული, მაგრამ გათვლების ტექნიკური სირთულე იზრდება:
მაგალითი 4
გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიებად და დახაზეთ ჯამი. 
გადაწყვეტილება: ფაქტობრივად, N3 მაგალითის ანალოგი 1-ლი სახის რღვევაწერტილში. ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი, ნახევარპერიოდი. ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ ნახევარ ინტერვალზე, მაგრამ ეს არ ცვლის რამეს - მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქციის ორივე ნაწილი ინტეგრირებული იყოს.
მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში:
ვინაიდან ფუნქცია სათავეში წყვეტილია, ფურიეს თითოეული კოეფიციენტი აშკარად უნდა დაიწეროს, როგორც ორი ინტეგრალის ჯამი:
1) პირველ ინტეგრალს დავწერ რაც შეიძლება დეტალურად:
2) ფრთხილად შეხედეთ მთვარის ზედაპირს:
მეორე ინტეგრალი ნაწილებად აღება:
რას უნდა მიაქციოთ დიდი ყურადღება მას შემდეგ, რაც ხსნარის გაგრძელებას ვარსკვლავით გავხსნით?
პირველი, ჩვენ არ ვკარგავთ პირველ ინტეგრალს 
, სადაც მაშინვე ვასრულებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანა. მეორეც, არ დაივიწყოთ უბედური მუდმივი დიდი ფრჩხილების წინ და არ დაიბნეთ ნიშნებიფორმულის გამოყენებისას 
. დიდი ფრჩხილები, ბოლოს და ბოლოს, უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გახსნა შემდეგ ეტაპზე.
დანარჩენი ტექნიკის საკითხია, მხოლოდ ინტეგრალების ამოხსნის არასაკმარისმა გამოცდილებამ შეიძლება გამოიწვიოს სირთულეები.
დიახ, ტყუილად არ იყო აღშფოთებული ფრანგი მათემატიკოსის ფურიეს გამოჩენილი კოლეგები - როგორ გაბედა მან ფუნქციების ტრიგონომეტრიულ სერიებად დაშლა ?! =) სხვათა შორის, ალბათ ყველას აინტერესებს მოცემული ამოცანის პრაქტიკული მნიშვნელობა. თავად ფურიე მუშაობდა სითბოს გამტარობის მათემატიკურ მოდელზე და შემდგომში მისი სახელობის სერიების გამოყენება დაიწყო მრავალი პერიოდული პროცესის შესასწავლად, რომლებიც აშკარად უხილავია გარე სამყაროში. ახლა, სხვათა შორის, ჩემი თავი იმ აზრზე დავიჭირე, რომ შემთხვევითი არ იყო, რომ მეორე მაგალითის გრაფიკი პერიოდულ გულის რიტმს შევადარე. მსურველებს შეუძლიათ გაეცნონ პრაქტიკულ აპლიკაციას ფურიეს გარდაქმნებიმესამე მხარის წყაროებიდან. ... თუმცა სჯობს არ - ეს დაიმახსოვრდება როგორც პირველი სიყვარული =)
3) არაერთხელ ნახსენები სუსტი რგოლებიდან გამომდინარე, საქმე გვაქვს მესამე კოეფიციენტთან:
ნაწილების მიხედვით ინტეგრირება: 
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი ფურიეს კოეფიციენტებს ფორმულაში 
ნუ დაგავიწყდებათ ნულოვანი კოეფიციენტის ნახევარზე გაყოფა:
მოდით გამოვსახოთ სერიის ჯამი. მოკლედ გავიმეოროთ პროცედურა: ინტერვალზე ვაშენებთ ხაზს, ხოლო ინტერვალზე - ხაზს. "x"-ის ნულოვანი მნიშვნელობით ჩვენ ვათავსებთ წერტილს უფსკრულის "ნახტომის" შუაში და "ვიმეორებთ" დიაგრამას მეზობელი პერიოდებისთვის: 
პერიოდების „შეერთებისას“ ჯამი ასევე უდრის უფსკრული „ნახტომის“ შუა წერტილებს.
მზადაა. შეგახსენებთ, რომ თავად ფუნქცია პირობითად არის განსაზღვრული მხოლოდ ნახევარინტერვალზე და, ცხადია, ემთხვევა სერიების ჯამს ინტერვალებზე.
უპასუხე:
ზოგჯერ ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქცია ასევე უწყვეტია გაფართოების პერიოდში. უმარტივესი მაგალითი: 
. გადაწყვეტილება (იხილეთ ბოჰანის ტომი 2)იგივეა, რაც ორ წინა მაგალითში: მიუხედავად ფუნქციის უწყვეტობაწერტილში, თითოეული ფურიეს კოეფიციენტი გამოიხატება ორი ინტეგრალის ჯამით.
დაშლის ინტერვალში 1-ლი ტიპის შეწყვეტის წერტილებიდა/ან გრაფიკის „შეერთების“ წერტილები შეიძლება იყოს მეტი (ორი, სამი და ზოგადად ნებისმიერი საბოლოოთანხა). თუ ფუნქცია ინტეგრირებადია ყველა ნაწილზე, მაშინ ის ასევე გაფართოვდება ფურიეს სერიაში. მაგრამ პრაქტიკული გამოცდილებიდან არ მახსოვს ასეთი კალა. მიუხედავად ამისა, არსებობს უფრო რთული ამოცანები, ვიდრე ახლა განვიხილეთ და სტატიის ბოლოს ყველასთვის არის ბმულები გაზრდილი სირთულის ფურიეს სერიასთან.
ამასობაში მოდი, დავისვენოთ, სკამებზე დავეყრდენით და ვარსკვლავების გაუთავებელ სივრცეებზე ვიფიქროთ:
მაგალითი 5
გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიად ინტერვალზე და დახაზეთ სერიების ჯამი.
ამ ამოცანაში ფუნქცია უწყვეტიდაშლის ნახევარ ინტერვალზე, რაც ამარტივებს ხსნარს. ყველაფერი ძალიან ჰგავს მაგალითს #2. კოსმოსურ ხომალდს ვერ მოშორდებით - თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ =) ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს, განრიგი თან ერთვის.
ლუწი და კენტი ფუნქციების ფურიეს სერიის გაფართოება
ლუწი და კენტი ფუნქციებით, პრობლემის გადაჭრის პროცესი შესამჩნევად გამარტივებულია. და ამიტომ. დავუბრუნდეთ ფუნქციის გაფართოებას ფურიეს სერიაში "ორი პი" პერიოდის განმავლობაში. 
და თვითნებური პერიოდი "ორი ალები" 
.
დავუშვათ, რომ ჩვენი ფუნქცია ლუწია. სერიის ზოგადი ტერმინი, როგორც ხედავთ, შეიცავს ლუწი კოსინუსებს და კენტ სინუსებს. და თუ ლუწი ფუნქციას დავშლით, მაშინ რატომ გვჭირდება კენტი სინუსები?! გადავაყენოთ არასაჭირო კოეფიციენტი: .
ამრიგად, ლუწი ფუნქცია ფართოვდება ფურიეს სერიაში მხოლოდ კოსინუსებში:
Იმდენად, რამდენადაც ლუწი ფუნქციების ინტეგრალებიინტეგრაციის სეგმენტზე, რომელიც სიმეტრიულია ნულის მიმართ, შეიძლება გაორმაგდეს, შემდეგ დარჩენილი ფურიეს კოეფიციენტებიც გამარტივდება.
ხანგრძლივობისთვის: 
თვითნებური ინტერვალისთვის: 
სახელმძღვანელოების მაგალითები, რომლებიც გვხვდება გაანგარიშების თითქმის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში, მოიცავს ლუწი ფუნქციების გაფართოებებს 
. გარდა ამისა, ისინი არაერთხელ შეხვდნენ ჩემს პირად პრაქტიკაში:
მაგალითი 6
მოცემული ფუნქცია. საჭირო:
1) გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში წერტილით, სადაც არის თვითნებური დადებითი რიცხვი;
2) ჩაწერეთ გაფართოება ინტერვალზე, შექმენით ფუნქცია და გამოიტანეთ სერიის ჯამი.
გადაწყვეტილება: პირველ აბზაცში შემოთავაზებულია პრობლემის გადაჭრა ზოგადი გზით და ეს ძალიან მოსახერხებელია! საჭირო იქნება - უბრალოდ შეცვალეთ თქვენი ღირებულება.
1) ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი, ნახევარპერიოდი. შემდგომი მოქმედებების დროს, განსაკუთრებით ინტეგრაციის დროს, „ელ“ განიხილება მუდმივად
ფუნქცია ლუწია, რაც ნიშნავს, რომ ის ფურიეს სერიაში მხოლოდ კოსინუსებში ვრცელდება: 
.
ფურიეს კოეფიციენტები იძებნება ფორმულებით 
. ყურადღება მიაქციეთ მათ აბსოლუტურ უპირატესობებს. პირველ რიგში, ინტეგრაცია ხორციელდება გაფართოების პოზიტიურ სეგმენტზე, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უსაფრთხოდ მოვიშორებთ მოდულს. 
ორი ნაწილიდან მხოლოდ "x"-ს გათვალისწინებით. და მეორეც, ინტეგრაცია შესამჩნევად გამარტივებულია.
ორი: 
ნაწილების მიხედვით ინტეგრირება:
ამრიგად:
, ხოლო მუდმივი , რომელიც არ არის დამოკიდებული "en"-ზე, ამოღებულია ჯამიდან.
უპასუხე: 
2) ჩვენ ვწერთ გაფართოებას ინტერვალზე, ამისათვის ჩვენ ვცვლით ნახევარ პერიოდის სასურველ მნიშვნელობას ზოგად ფორმულაში:
რიგი კოსინუსებში და სინუსებში მრავალი რკალი, ანუ ფორმის რიგი
ან რთული ფორმით
სადაც კ,ბ კან, შესაბამისად, გ კდაურეკა T.r-ის კოეფიციენტები.
პირველად თ.რ. შეხვდით L. Euler-ში (L. Euler, 1744). მან მიიღო გაფართოებები
ყველა რ. მე -18 საუკუნე სიმის თავისუფალი ვიბრაციის პრობლემის შესწავლასთან დაკავშირებით გაჩნდა საკითხი სიმის საწყისი პოზიციის დამახასიათებელი ფუნქციის T.r-ის ჯამის სახით წარმოდგენის შესაძლებლობის შესახებ. ამ კითხვამ გამოიწვია მწვავე დებატები, რომელიც გაგრძელდა რამდენიმე ათეული წლის განმავლობაში, იმ დროის საუკეთესო ანალიტიკოსები - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Euler). ფუნქციის ცნების შინაარსთან დაკავშირებული დავა. იმ დროს ფუნქციები ჩვეულებრივ ასოცირდებოდა მათ ანალიტიკასთან. დავალება, რამაც გამოიწვია მხოლოდ ანალიტიკური ან ცალმხრივი ანალიტიკური ფუნქციების განხილვა. და აქ აუცილებელი გახდა ფუნქციისთვის, რომლის გრაფიკი საკმარისად თვითნებური მრუდია ამ ფუნქციის გამოსახული T.r.-ის ასაგებად. მაგრამ ამ დავების მნიშვნელობა უფრო დიდია. სინამდვილეში, ისინი განიხილავდნენ ან წარმოიშვნენ მათემატიკის ბევრ ფუნდამენტურად მნიშვნელოვან კონცეფციასთან და იდეასთან დაკავშირებულ კითხვებთან დაკავშირებით. ანალიზი ზოგადად - ფუნქციების წარმოდგენა ტეილორის სერიებით და ანალიტიკური. ფუნქციების გაგრძელება, განსხვავებული სერიების გამოყენება, ზღვრების პერმუტაცია, განტოლებათა უსასრულო სისტემები, ფუნქციების ინტერპოლაცია მრავალწევრებით და ა.შ.
და მომავალში, როგორც ამ საწყის პერიოდში, თეორია თ. ემსახურებოდა მათემატიკაში ახალი იდეების წყაროს. კითხვა, რომელიც მე-18 საუკუნეში მათემატიკოსებს შორის დაპირისპირებას მოჰყვა, 1807 წელს გადაჭრა ჯ.ფურიემ, რომელმაც მიუთითა T.r-ის კოეფიციენტების გამოთვლის ფორმულები. (1), რომელიც უნდა. წარმოადგენს f(x) ფუნქციაზე:
და გამოიყენეს ისინი სითბოს გამტარობის პრობლემების გადაჭრაში. ფორმულებს (2) უწოდებენ ფურიეს ფორმულებს, თუმცა მათ ადრე შეხვდა A. Clairaut (1754) და L. Euler (1777) მოვიდა მათში ტერმინის-ტერმინის ინტეგრაციის გამოყენებით. თ.რ. (1), რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმულებით (2), ე.წ. ფურიეს ფუნქციის მახლობლად f და რიცხვები a k, b k- ფურიეს კოეფიციენტები.
მიღებული შედეგების ბუნება დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ არის გაგებული ფუნქციის წარმოდგენა სერიად, როგორ არის გაგებული ინტეგრალი ფორმულებში (2). თ. მდ. თეორიის თანამედროვე შეხედულება. შეძენილი ლებეგის ინტეგრალის გამოჩენის შემდეგ.
თეორია თ რ. პირობითად შეიძლება დაიყოს ორ დიდ ნაწილად - თეორიად ფურიეს სერია,რომელშიც ვარაუდობენ, რომ რიგი (1) არის გარკვეული ფუნქციის ფურიეს სერია და გენერალი T. R.-ის თეორია, სადაც ასეთი ვარაუდი არ კეთდება. ქვემოთ მოცემულია ზოგადი თ.რ. თეორიაში მიღებული ძირითადი შედეგები. (ამ შემთხვევაში სიმრავლეების საზომი და ფუნქციების გაზომვა გაგებულია ლებეგის მიხედვით).
პირველი სისტემატური კვლევა T. r., რომელშიც არ იყო ვარაუდი, რომ ეს სერიები ფურიეს სერიებია, იყო V. Riemann-ის დისერტაცია (V. Riemann, 1853). მაშასადამე, თეორია გენერალ ტ.რ. დაურეკა ზოგჯერ თერმოდინამიკის რიმანის თეორია.
თვითნებური თ-ის თვისებების შესასწავლად. (1) ნულისკენ მიდრეკილი კოეფიციენტებით B. რიმანმა განიხილა უწყვეტი ფუნქცია F(x) ,
რომელიც არის ერთგვაროვნად კონვერგენტული რიგის ჯამი
მიღებული (1) სერიის ორმაგი ტერმინი-ტერმინი ინტეგრაციის შემდეგ. თუ რიგი (1) რაღაც წერტილში ხვდება x რიცხვს s-ს, მაშინ ამ მომენტში მეორე სიმეტრია არსებობს და უდრის s-ს. F ფუნქციის წარმოებული:
მაშინ ეს იწვევს ფაქტორების მიერ წარმოქმნილი სერიის (1) შეჯამებას 
დაურეკა რიმანის შეჯამების მეთოდით. F ფუნქციის გამოყენებით ჩამოყალიბებულია რიმანის ლოკალიზაციის პრინციპი, რომლის მიხედვითაც (1) რიგის ქცევა x წერტილში დამოკიდებულია მხოლოდ F ფუნქციის ქცევაზე ამ წერტილის თვითნებურად მცირე სამეზობლოში.
თუ თ.რ. ემთხვევა დადებითი საზომების ერთობლიობას, შემდეგ მისი კოეფიციენტები ნულისკენ მიისწრაფვის (კანტორ-ლებესგის თეორემა). ტენდენცია ნულოვანი კოეფიციენტებისკენ T. r. ასევე გამომდინარეობს მისი კონვერგენციიდან მეორე კატეგორიის სიმრავლეზე (W. Young, W. Young, 1909).
ზოგადი თერმოდინამიკის თეორიის ერთ-ერთი ცენტრალური პრობლემა არის თვითნებური ფუნქციის წარმოდგენის პრობლემა T.r. ნ.ნ.ლუზინის (1915) შედეგების გაძლიერებით აბელ-პუასონისა და რიმანის ფუნქციების წარმოდგენის შესახებ აბელ-პუასონისა და რიმანის თითქმის ყველგან შეჯამებული მეთოდებით, დ.ე.მენშოვმა დაამტკიცა (1940) შემდეგი თეორემა, რომელიც ეხება ყველაზე მნიშვნელოვან შემთხვევას, როდესაც წარმოდგენა ხდება f ფუნქცია გაგებულია, როგორც T.r-ის კონვერგენცია. რომ ვ(x) თითქმის ყველგან. ყოველი გაზომვადი და სასრული თითქმის ყველგან f ფუნქციისთვის არსებობს T.R, რომელიც თითქმის ყველგან ემთხვევა მას (მენშოვის თეორემა). უნდა აღინიშნოს, რომ მაშინაც კი, თუ f ფუნქცია ინტეგრირებადია, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ შეიძლება ფუნქციის f ფურიეს სერიები ასეთ სერიად მივიღოთ, რადგან არის ფურიეს სერიები, რომლებიც ყველგან განსხვავდებიან.
მენშოვის ზემოხსენებული თეორემა აღიარებს შემდეგ დახვეწას: თუ ფუნქცია f არის გაზომვადი და სასრული თითქმის ყველგან, მაშინ არსებობს ისეთი უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც 
თითქმის ყველგან და j ფუნქციის ტერმინებით დიფერენცირებული ფურიეს სერია თითქმის ყველგან ხვდება f(x)-ს (N. K. Bari, 1952).
არ არის ცნობილი (1984) შესაძლებელია თუ არა სასრულობის პირობის გამოტოვება f ფუნქციისთვის თითქმის ყველგან მენშოვის თეორემაში. კერძოდ, არ არის ცნობილი (1984 წ.) თ.რ. თითქმის ყველგან იყრიან თავს
მაშასადამე, ფუნქციების წარმოდგენის პრობლემა, რომელსაც შეუძლია მიიღოს უსასრულო მნიშვნელობები პოზიტიურ საზომებზე, განიხილებოდა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც კონვერგენცია თითქმის ყველგან შეიცვალა უფრო სუსტი მოთხოვნით, ზომით კონვერგენცია. ზომით კონვერგენცია ფუნქციებთან, რომლებსაც შეუძლიათ მიიღონ უსასრულო მნიშვნელობები, განისაზღვრება შემდეგნაირად: ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა T. p. s n(x) ზომით კონვერგირდება f(x) ფუნქციასთან .
თუ სად f n(x) თითქმის ყველგან ემთხვევა / (x)-ს და თანმიმდევრობა ზომით ნულს ემთხვევა. ამ პარამეტრში ფუნქციების წარმოდგენის პრობლემა ბოლომდე მოგვარებულია: ყოველი გაზომვადი ფუნქციისთვის არსებობს T. R., რომელიც მას ზომით ემთხვევა (D. E. Men'shov, 1948).
ბევრი კვლევა მიეძღვნა T. r.-ის უნიკალურობის პრობლემას: შეიძლება თუ არა ორი განსხვავებული T. განსხვავდებოდეს ერთი და იგივე ფუნქცია? განსხვავებული ფორმულირებით: თუ თ.რ. იყრის ნულს, გამოდის, რომ სერიის ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. აქ შეიძლება იგულისხმებოდეს კონვერგენცია ყველა წერტილში ან ყველა წერტილში გარკვეული ნაკრების გარეთ. ამ კითხვებზე პასუხი არსებითად დამოკიდებულია სიმრავლის თვისებებზე, რომლის გარეთაც კონვერგენცია არ არის გათვალისწინებული.
ჩამოყალიბებულია შემდეგი ტერმინოლოგია. ბევრი სახელი. უნიკალურობის ნაკრებიან U-დააყენეთ თუ თ რ-ის კონვერგენციიდან. ნულამდე ყველგან, გარდა, შესაძლოა, ნაკრების წერტილებისა E,აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ სერიის ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. თორემ ენაზ. M- კომპლექტი.
როგორც გ. კანტორმა (1872) აჩვენა, ცარიელი სიმრავლე, ისევე როგორც ნებისმიერი სასრული, არის U-სიმრავლეები. თვითნებური თვლადი ნაკრები ასევე არის U-სიმრავლე (W. Jung, 1909). მეორეს მხრივ, დადებითი საზომის ყველა ნაკრები არის M-სიმრავლე.
ნულის ზომების M-სიმრავლეების არსებობა დაადგინა დ.ე.მენშოვმა (1916წ.), რომელმაც შექმნა სრულყოფილი სიმრავლის პირველი მაგალითი ამ თვისებებით. ამ შედეგს ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს უნიკალურობის პრობლემაში. ნულის ზომების M-სიმრავლეების არსებობიდან გამომდინარეობს, რომ T.R.-ის ფუნქციების წარმოდგენისას, რომლებიც თითქმის ყველგან იკრიბებიან, ეს სერიები უცვლელად ორაზროვნად არის განსაზღვრული.
სრულყოფილი კომპლექტები ასევე შეიძლება იყოს U- კომპლექტები (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). ნულის საზომი სიმრავლეების ძალიან დახვეწილი მახასიათებლები მნიშვნელოვან როლს ასრულებს უნიკალურობის პრობლემაში. ზოგადი კითხვა ნულის ზომით სიმრავლეების კლასიფიკაციის შესახებ M-და U-sets რჩება (1984) ღია. იდეალური კომპლექტებისთვისაც კი არ წყდება.
შემდეგი პრობლემა დაკავშირებულია უნიკალურობის პრობლემასთან. თუ თ.რ. უხდება ფუნქციას 
მაშინ ეს სერია უნდა იყოს თუ არა ფუნქციის ფურიეს სერია /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) ამ კითხვაზე დადებითი პასუხი გასცა, თუ f ინტეგრირებადია რიმანის გაგებით და სერია ყველა წერტილში იყრის f(x)-ს. III შედეგებიდან. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) გულისხმობს, რომ პასუხი დადებითია, მაშინაც კი, თუ სერია ყველგან ერთვის, გარდა წერტილთა თვლადი სიმრავლისა და მისი ჯამი სასრულია.
თუ T.p უახლოვდება აბსოლუტურად რაღაც x 0 წერტილს, მაშინ ამ სერიის დაახლოების წერტილები, ისევე როგორც მისი აბსოლუტური კონვერგენციის წერტილები, განლაგებულია სიმეტრიულად x 0 წერტილის მიმართ.
(P. Fatou, P. Fatou, 1906 წ.).
Მიხედვით დენჟოი - ლუზინის თეორემათ რ-ის აბსოლუტური კონვერგენციიდან. (1) პოზიტიური საზომის ერთობლიობაზე, სერია ერთდება 
და, შესაბამისად, სერიის (1) აბსოლუტური კონვერგენცია ყველასთვის X.ამ თვისებას ფლობენ აგრეთვე მეორე კატეგორიის სიმრავლეები, აგრეთვე ნულის ზომების გარკვეული სიმრავლეები.
ეს კვლევა მოიცავს მხოლოდ ერთგანზომილებიან T.r. (ერთი). არსებობს ცალკეული შედეგები, რომლებიც დაკავშირებულია ზოგადი თ. რამდენიმე ცვლადიდან. აქ ხშირ შემთხვევაში ჯერ კიდევ საჭიროა ბუნებრივი პრობლემური განცხადებების პოვნა.
განათებული: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; ზიგმუნდ ა., ტრიგონომეტრიული სერია, ტრანს. ინგლისურიდან, ტ.1-2, მ., 1965; Luzin N. N., ინტეგრალური და ტრიგონომეტრიული სერია, M.-L., 1951; Riemann B., Works, თარგმანი. გერმანულიდან, M.-L., 1948, გვ. 225-61 წწ.
S.A. თელიაკოვსკი.
- - საბოლოო ტრიგონომეტრიული ჯამი, - ფორმის გამოხატულება რეალური კოეფიციენტებით a 0, და k, bk, k=l, . . ., n; გამოძახებული ნომერი n. შეუკვეთეთ T. 0)...
მათემატიკური ენციკლოპედია
- - რიგი კოსინუსებში და სინუსებში მრავალი რკალი, ე.ი. ფორმის ან რთული ფორმის სერია, სადაც ak, bk ან, შესაბამისად, ck ეწოდება. T.r-ის კოეფიციენტები. პირველად თ.რ. შეხვედრა L. Euler-ში...
მათემატიკური ენციკლოპედია
- - სამკუთხედის წერტილი, - გეოდეზიური წერტილი, რომლის პოზიცია დედამიწის ზედაპირზე განისაზღვრება სამკუთხედის მეთოდით ...
დიდი ენციკლოპედიური პოლიტექნიკური ლექსიკონი
- - იხილეთ სამკუთხედი...
ბროკჰაუზისა და ეუფრონის ენციკლოპედიური ლექსიკონი
- - გეოდეზიაში, ტრიგონომეტრიულ წერტილებზე მიწაზე დამონტაჟებული კონსტრუქცია. თ. შედგება ორი ნაწილისაგან - გარე და მიწისქვეშა...
დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია
- - ფორმის ფუნქციური სერია, ანუ რიგი, რომელიც მდებარეობს მრავალი რკალის სინუსებისა და კოსინუსების გასწვრივ. ხშირად თ.რ. დაწერილი რთული ფორმით.
მიეცით ტრიგონომეტრიული სერია
იმის გასარკვევად არის თუ არა ის თანხვედრაში, ბუნებრივია გავითვალისწინოთ რიცხვების სერია
(2)
ძირითადი, როგორც ამბობენ, სერია (1). მისი წევრები, შესაბამისად, აღემატება სერიის წევრების აბსოლუტურ მნიშვნელობებს:
.
აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ სერია (2) იყრის თავს, მაშინ სერია (1) იყრის თავს ყველასთვის და, უფრო მეტიც, აბსოლუტურად და ერთნაირად (იხ. ჩვენი წიგნი უმაღლესი მათემატიკა. დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლა, § 9.8, თეორემა 1). მაგრამ სერია (1) შეიძლება გადავიდეს სერიების (2) თანხვედრის გარეშე. ყოველივე ამის შემდეგ, მისი პირობები ყოველი ცვლილების ნიშნისთვის (რყევა) უსასრულოდ რამდენჯერმე იცვლება და შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ თანხვედრა ხდება დადებითი ტერმინების უარყოფითით კომპენსაციის გამო. სერიების ზოგად თეორიაში არის მსგავსი სერიების კონვერგენციის ნიშნები. ასეთი ტესტებია დირიხლეტისა და აბელის ტესტები (იხ. § 9.9, ამავე წიგნის თეორემები 3 და 4), რომლებიც კარგად არის ადაპტირებული ტრიგონომეტრიული სერიების შესასწავლად.
ასეა თუ ისე, თუ დადგინდა, რომ სერია (1) ერთნაირად იყრის თავს, მაშინ იქიდან, რომ მისი ტერმინები პერიოდის უწყვეტი ფუნქციებია, გამოდის, რომ მისი ჯამი
(3)
არის უწყვეტი პერიოდის ფუნქცია (იხ. § 9.8, თეორემა 2 და § 9.9, თეორემა 2 იმავე წიგნის) და სერია (3) შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ტერმინით.
სერია (3) შეიძლება ოფიციალურად დიფერენცირებული იყოს:
(4)
და შეადგინეთ მისი ძირითადი სერიები
(5)
ისევ, თუ სერია (5) ემთხვევა, მაშინ სერია (4) ერთნაირად იყრის თავს. უფრო მეტიც, ერთნაირად კონვერგენტული სერიების თეორიიდან კარგად ცნობილ თეორემაზე დაყრდნობით, მაშინ რიგის ჯამი (4) არის (3) რიგის ჯამის წარმოებული, ე.ი.
.
ზოგადად, თუ სერია
ემთხვევა რაღაც ნატურალურ რიცხვს, მაშინ რიგი (3) შეიძლება ლეგალურად იყოს დიფერენცირებული ტერმინით.
თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ შესაძლებელია, რომ სერია (3) ლეგიტიმურად იყოს დიფერენცირებული კიდევ ერთხელ (ანუ ჯერ).
მაგალითი. გაარკვიეთ რამდენჯერ შეიძლება სერიების დიფერენცირება ტერმინების მიხედვით
ნომრები a n, ბ ნან c n T.r-ის კოეფიციენტებს უწოდებენ.
თ.რ. თამაშობენ ძალიან მნიშვნელოვან როლს მათემატიკასა და მის გამოყენებაში. უპირველეს ყოვლისა, თ.რ. უზრუნველყოფს ფუნქციების გამოსახვისა და შესწავლის საშუალებებს და, შესაბამისად, ფუნქციების თეორიის ერთ-ერთ მთავარ აპარატს წარმოადგენს. გარდა ამისა, თერმული გამოსხივება ბუნებრივად ჩნდება მათემატიკური ფიზიკის რიგი ამოცანების გადაწყვეტაში, რომელთა შორის შეგვიძლია აღვნიშნოთ სიმის ვიბრაციის პრობლემა, სითბოს გავრცელების პრობლემა და სხვა. ბოლოს თერმული გამოსხივების თეორია. . ხელი შეუწყო მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ცნებების გარკვევას (ფუნქცია, ინტეგრალი), გააცოცხლა მათემატიკის არაერთი მნიშვნელოვანი განყოფილება (ფურიეს ინტეგრალების თეორია, თითქმის პერიოდული ფუნქციების თეორია), იყო ერთ-ერთი ამოსავალი წერტილი. სიმრავლეების თეორიის შემუშავება, რეალური ცვლადის ფუნქციების თეორია და ფუნქციონალური ანალიზი და დაწყებულია ზოგადი ჰარმონიული ანალიზი.
ეილერმა აღნიშნა კავშირი ძალაუფლების სერიებსა და T.R.-ს შორის: თუ 
c n რეალურია, მაშინ
კერძოდ:
ნათ.: Luzin N. N., ინტეგრალური და ტრიგონომეტრიული სერია, M. - L., 1951; ბარინი. კ., ტრიგონომეტრიული სერია, მოსკოვი, 1961; ზიგმუნდ ა., ტრიგონომეტრიული სერია, ტრანს. ინგლისურიდან, მე-2 გამოცემა, ტ.1-2, მ., 1965წ.
დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .
ნახეთ, რა არის "ტრიგონომეტრიული სერია" სხვა ლექსიკონებში:
მრავალი რკალის კოსინუსებისა და სინუსების სერია, ანუ ფორმის ან რთული ფორმის სერია, სადაც ak, bk ან, შესაბამისად, ck ეწოდება. T.r-ის კოეფიციენტები. პირველად თ.რ. შეხვდით L. Euler-ში (L. Euler, 1744). მან მიიღო გაფართოებები სერში. მე -18 საუკუნე დაკავშირებით…… მათემატიკური ენციკლოპედია
ფორმის სერია, სადაც კოეფიციენტები a0, a1, b1, a2, b2 ... არ არის დამოკიდებული x ცვლადზე ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი
მათემატიკაში ტრიგონომეტრიული რიგი არის ფორმის ნებისმიერი რიგი: ტრიგონომეტრიულ სერიას ეწოდება ფუნქციის ფურიეს სერია, თუ კოეფიციენტები და განისაზღვრება შემდეგნაირად ... ვიკიპედია
ფორმის სერია, სადაც კოეფიციენტი a0, a1, b1, a2, b2, ... არ არის დამოკიდებული x ცვლადზე. * * * ტრიგონომეტრიული სერიები ტრიგონომეტრიული სერიები, ფორმის სერია, სადაც კოეფიციენტები a0, a1, b1, a2, b2 ... არ არის დამოკიდებული x ცვლადზე ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი
ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია არის თვითნებური ფუნქციის წარმოდგენა წერტილით სერიის სახით (1) ან რთული აღნიშვნის გამოყენებით, სერიების სახით: . სარჩევი ... ვიკიპედია
უსასრულო ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია- - სატელეკომუნიკაციო თემები, ძირითადი ცნებები EN ფურიეს სერია ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო
ტიპის სერია (1) ტიპის სერია K. Weierstrass-მა შემოიღო 1872 წელს უწყვეტი არსად დიფერენცირებადი ფუნქცია. ჯ.ჰადამარმა 1892 წელს გამოიყენა სერია (1), უწოდა მათ ლაკუნარული, ანალიტიკური კვლევისთვის. ფუნქციის გაგრძელება. სისტემატური… მათემატიკური ენციკლოპედია
სერიების სერიამდე ეს სერიები, შესაბამისად, არის სერიის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები z=eix-ზე. j(x) ფუნქციის ნაწილობრივი ჯამების ფორმულა კონიუგირებულია ფურიეს რიგის ტრიგონომეტრიულთან. სერია, სადაც არის დირიხლეს კონიუგირებული ბირთვი. თუ f(x) არის შემოსაზღვრული ვარიაციის ფუნქცია... ... მათემატიკური ენციკლოპედია
ფურიეს სერიის პირობების დამატება ... ვიკიპედია
I არის უსასრულო ჯამი, მაგალითად, ფორმის u1 + u2 + u3 + ... + un + ... ან, მოკლედ, ელემენტარულ მათემატიკაში უკვე ნაპოვნი R.-ის ერთ-ერთი უმარტივესი მაგალითია უსასრულოდ. მცირდება ჯამი...... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია
შესავალი შენიშვნები
ამ განყოფილებაში განვიხილავთ პერიოდული სიგნალების წარმოდგენას ფურიეს სერიის გამოყენებით. ფურიეს სერიები არის სპექტრული ანალიზის თეორიის საფუძველი, რადგან, როგორც მოგვიანებით ვნახავთ, არაპერიოდული სიგნალის ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება მივიღოთ, როგორც ფურიეს რიგის ზღვრული გადასვლა უსასრულო გამეორების პერიოდით. შედეგად, ფურიეს სერიის თვისებები ასევე მოქმედებს არაპერიოდული სიგნალების ფურიეს ტრანსფორმაციისთვის.ჩვენ განვიხილავთ ფურიეს სერიების გამონათქვამებს ტრიგონომეტრიული და რთული ფორმებით და ასევე ყურადღებას მივაქცევთ დირიხლეს პირობებს ფურიეს სერიების კონვერგენციისთვის. გარდა ამისა, ჩვენ დეტალურად ვისაუბრებთ ისეთი კონცეფციის ახსნაზე, როგორიცაა სიგნალის სპექტრის უარყოფითი სიხშირე, რომელიც ხშირად იწვევს სირთულეს სპექტრული ანალიზის თეორიის გაცნობისას.
პერიოდული სიგნალი. ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია
იყოს უწყვეტი დროის პერიოდული სიგნალი, რომელიც მეორდება c წერტილით, ე.ი. , სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი.მაგალითად, სურათი 1 გვიჩვენებს c ხანგრძლივობის მართკუთხა იმპულსების თანმიმდევრობას, რომელიც მეორდება c პერიოდით.
სურათი 1. პერიოდული თანმიმდევრობა
მართკუთხა პულსები
მათემატიკური ანალიზის კურსიდან ცნობილია, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სისტემა
მრავალჯერადი სიხშირით, სადაც რად/ს არის მთელი რიცხვი, ქმნის ორთონორმალურ საფუძველს პერიოდული სიგნალების გაფართოებისთვის დირიხლეს პირობების დამაკმაყოფილებელი პერიოდით.
დირიხლეს პირობები ფურიეს სერიის კონვერგენციისთვის მოითხოვს პერიოდული სიგნალის მიცემას სეგმენტზე, შემდეგი პირობების დაკმაყოფილებისას:
მაგალითად, პერიოდული ფუნქცია 
არ აკმაყოფილებს დირიხლეს პირობებს, რადგან ფუნქცია აქვს მეორე სახის უწყვეტობა და იღებს უსასრულო მნიშვნელობებს , სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი. ასე რომ ფუნქცია არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფურიეს სერიით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მოიყვანოთ ფუნქციის მაგალითი 
, რომელიც შემოსაზღვრულია, მაგრამ ასევე არ აკმაყოფილებს დირიხლეს პირობებს, ვინაიდან მას აქვს უსასრულო რაოდენობის უკიდურესი წერტილები ნულთან მიახლოებისას. ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 2.
სურათი 2. ფუნქციის გრაფიკი :
A - გამეორების ორი პერიოდი; ბ - სამეზობლოში
სურათი 2a გვიჩვენებს ფუნქციის ორ გამეორების პერიოდს , და 2b სურათზე არის ფართობი . ჩანს, რომ ნულთან მიახლოებისას რხევის სიხშირე უსასრულოდ იზრდება და ასეთი ფუნქცია არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფურიეს სერიით, რადგან ის არ არის ნაწილებად მონოტონური.
უნდა აღინიშნოს, რომ პრაქტიკაში არ არსებობს სიგნალები დენის ან ძაბვის უსასრულო მნიშვნელობებით. ფუნქციები უსასრულო რაოდენობის ექსტრემებით ასევე არ გვხვდება აპლიკაციურ პრობლემებში. ყველა რეალური პერიოდული სიგნალი აკმაყოფილებს დირიხლეს პირობებს და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმის უსასრულო ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერიით:
 |
გამოხატულებაში (2), კოეფიციენტი განსაზღვრავს პერიოდული სიგნალის მუდმივ კომპონენტს.
ყველა წერტილში, სადაც სიგნალი უწყვეტია, ფურიეს სერია (2) კონვერგირდება მოცემული სიგნალის მნიშვნელობებთან, ხოლო პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილებში, საშუალო მნიშვნელობამდე, სადაც და არის ზღვრები მარცხნივ და მარჯვნივ. შეწყვეტის წერტილის, შესაბამისად.
ასევე ცნობილია მათემატიკური ანალიზის კურსიდან, რომ შეკვეცილი ფურიეს სერიის გამოყენება, რომელიც შეიცავს მხოლოდ პირველ წევრებს უსასრულო ჯამის ნაცვლად, იწვევს სიგნალის სავარაუდო წარმოდგენას:
რომელიც უზრუნველყოფს მინიმალურ საშუალო კვადრატულ შეცდომას. სურათი 3 ასახავს პერიოდული კვადრატული ტალღის მატარებლის და პერიოდული ხერხის კბილის ტალღის მიახლოებას ფურიეს სერიის ტერმინების სხვადასხვა რიცხვის გამოყენებით.
სურათი 3. სიგნალების დაახლოება შეკვეცილი ფურიეს სერიით:
A - მართკუთხა პულსები; ბ - ხერხის კბილის სიგნალი
ფურიეს სერია რთული ფორმით
წინა აბზაცში განვიხილეთ ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია თვითნებური პერიოდული სიგნალის გაფართოებისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს დირიხლეს პირობებს. ეილერის ფორმულის გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია ვაჩვენოთ: |
შემდეგ ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია (2) (4) გათვალისწინებით:
ამრიგად, პერიოდული სიგნალი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს DC კომპონენტისა და რთული ექსპონენტების ჯამით, რომლებიც ბრუნავენ სიხშირეებზე კოეფიციენტებით დადებითი სიხშირეებისთვის და რთული ექსპონენტებისთვის, რომლებიც ბრუნავენ უარყოფით სიხშირეებზე.
განვიხილოთ კოეფიციენტები კომპლექსური ექსპონენტებისთვის, რომლებიც ბრუნავენ დადებითი სიხშირეებით:
გამონათქვამები (6) და (7) ემთხვევა, გარდა ამისა, მუდმივი კომპონენტი ასევე შეიძლება დაიწეროს რთული ექსპონენციალური ნულოვანი სიხშირით:
ამრიგად, (5), (6)-(8) გათვალისწინებით, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი ჯამი, როდესაც ინდექსირებულია მინუს უსასრულობიდან უსასრულობამდე:
 |
გამოხატულება (9) არის ფურიეს სერია რთული ფორმით. ფურიეს სერიის კოეფიციენტები კომპლექსურ ფორმაში დაკავშირებულია კოეფიციენტებთან და რიგის ტრიგონომეტრიული ფორმით და განისაზღვრება როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი სიხშირეებისთვის. სიხშირის აღნიშვნაში ინდექსი მიუთითებს დისკრეტული ჰარმონიის რაოდენობაზე, უარყოფითი ინდექსებით, რომლებიც შეესაბამება უარყოფით სიხშირეებს.
გამონათქვამიდან (2) გამომდინარეობს, რომ რეალური სიგნალისთვის კოეფიციენტები და სერიები (2) ასევე რეალურია. თუმცა, (9) ანიჭებს რეალურ სიგნალს, რთული კონიუგატური კოეფიციენტების ერთობლიობას, რომელიც დაკავშირებულია როგორც დადებით, ასევე უარყოფით სიხშირეებთან.
ზოგიერთი ახსნა ფურიეს სერიის რთული ფორმით
წინა ნაწილში ჩვენ განვახორციელეთ გადასვლა ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერიიდან (2) ფურიეს სერიებზე რთული ფორმით (9). შედეგად, რეალური ტრიგონომეტრიული ფუნქციების საფუძველზე პერიოდული სიგნალების გაფართოების ნაცვლად, მივიღეთ გაფართოება რთული ექსპონენციალების საფუძველზე, რთული კოეფიციენტებით და გაფართოებაში უარყოფითი სიხშირეებიც კი გამოჩნდა! ვინაიდან ეს საკითხი ხშირად არასწორად არის გაგებული, საჭიროა გარკვეული განმარტებების მიცემა.პირველი, კომპლექსურ ექსპონენტებთან მუშაობა უმეტეს შემთხვევაში უფრო ადვილია, ვიდრე ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან მუშაობა. მაგალითად, რთული ექსპონენციალების გამრავლებისა და გაყოფისას საკმარისია მხოლოდ მაჩვენებლების დამატება (გამოკლება), ხოლო ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამრავლებისა და გაყოფის ფორმულები უფრო რთულია.
ექსპონენტების, თუნდაც რთულის, დიფერენცირება და ინტეგრირება ასევე უფრო ადვილია, ვიდრე ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, რომლებიც გამუდმებით იცვლება დიფერენცირებისა და ინტეგრაციისას (სინუსი ხდება კოსინუსი და პირიქით).
თუ სიგნალი პერიოდული და რეალურია, მაშინ ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია (2) უფრო საილუსტრაციოდ გამოიყურება, რადგან ყველა გაფართოების კოეფიციენტი რჩება რეალური. თუმცა, ადამიანს ხშირად უწევს საქმე რთულ პერიოდულ სიგნალებთან (მაგალითად, მოდულაცია და დემოდულაცია იყენებს რთული კონვერტის კვადრატულ წარმოდგენას). ამ შემთხვევაში, ფურიეს ტრიგონომეტრიული სერიის გამოყენებისას, ყველა კოეფიციენტი და გაფართოება (2) გახდება რთული, ხოლო ფურიეს სერიის რთული ფორმით (9) გამოყენებისას, იგივე გაფართოების კოეფიციენტები გამოყენებული იქნება როგორც რეალური, ასევე რთული შეყვანის სიგნალებისთვის. .
და ბოლოს, საჭიროა ვისაუბროთ იმ უარყოფითი სიხშირეების ახსნაზე, რომლებიც გამოჩნდა (9). ეს კითხვა ხშირად არასწორად არის გაგებული. ყოველდღიურ ცხოვრებაში არ ვხვდებით უარყოფით სიხშირეებს. მაგალითად, ჩვენ არასდროს ვაყენებთ ჩვენს რადიოს უარყოფით სიხშირეზე. განვიხილოთ შემდეგი ანალოგია მექანიკიდან. იყოს მექანიკური ზამბარის ქანქარა, რომელიც თავისუფლად რხევა გარკვეული სიხშირით. შეუძლია თუ არა ქანქარას უარყოფითი სიხშირით რხევა? Რათქმაუნდა არა. ისევე, როგორც არ არსებობს რადიოსადგურები, რომლებიც ეთერში გადიან უარყოფით სიხშირეზე, ასევე ქანქარის სიხშირე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. მაგრამ ზამბარის ქანქარა არის ერთგანზომილებიანი ობიექტი (ქანქარა ირხევა ერთი სწორი ხაზის გასწვრივ).
ჩვენ ასევე შეგვიძლია მივცეთ სხვა ანალოგია მექანიკიდან: ბორბალი, რომელიც ბრუნავს . ბორბალი, ქანქარისგან განსხვავებით, ბრუნავს, ე.ი. ბორბლის ზედაპირზე წერტილი მოძრაობს სიბრტყეში და არ ირხევა მხოლოდ ერთი სწორი ხაზის გასწვრივ. მაშასადამე, ბორბლის ბრუნვის ცალსახად დასაყენებლად, საკმარისი არ არის ბრუნვის სიხშირის დაყენება, რადგან ასევე აუცილებელია ბრუნვის მიმართულების დაყენება. ეს არის ზუსტად ის, რისთვისაც შეგვიძლია გამოვიყენოთ სიხშირის ნიშანი.
ასე რომ, თუ ბორბალი ბრუნავს რადი / წმ სიხშირით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ მიგვაჩნია, რომ ბორბალი ბრუნავს დადებითი სიხშირით, ხოლო თუ ის ბრუნავს საათის ისრის მიმართულებით, მაშინ ბრუნვის სიხშირე იქნება უარყოფითი. ამრიგად, ბრუნვის დასაზუსტებლად, უარყოფითი სიხშირე წყვეტს სისულელეს და მიუთითებს ბრუნვის მიმართულებაზე.
ახლა კი ყველაზე მთავარი, რაც უნდა გავიგოთ. ერთგანზომილებიანი ობიექტის რხევა (მაგალითად, ზამბარის ქანქარა) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მე-4 ნახაზზე ნაჩვენები ორი ვექტორის ბრუნვის ჯამი.
ნახაზი 4. ზამბარის ქანქარის რხევა
როგორც ორი ვექტორის ბრუნვის ჯამი
კომპლექსურ თვითმფრინავზე
ქანქარა რხევა რთული სიბრტყის რეალური ღერძის გასწვრივ ჰარმონიული კანონის მიხედვით. ქანქარის მოძრაობა ნაჩვენებია ჰორიზონტალური ვექტორის სახით. ზედა ვექტორი ბრუნავს კომპლექსურ სიბრტყეში დადებითი სიხშირით (საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით), ხოლო ქვედა ვექტორი ბრუნავს უარყოფითი სიხშირით (საათის ისრის მიმართულებით). სურათი 4 ნათლად ასახავს ცნობილ მიმართებას ტრიგონომეტრიის კურსიდან:
ამრიგად, ფურიეს სერია რთული ფორმით (9) წარმოადგენს პერიოდულ ერთგანზომილებიან სიგნალებს, როგორც ვექტორების ჯამს კომპლექსურ სიბრტყეზე, რომელიც ბრუნავს დადებითი და უარყოფითი სიხშირეებით. ამავდროულად, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ რეალური სიგნალის შემთხვევაში, (9) მიხედვით, უარყოფითი სიხშირეების გაფართოების კოეფიციენტები რთული კონიუგატია დადებითი სიხშირეების შესაბამის კოეფიციენტებთან. რთული სიგნალის შემთხვევაში, კოეფიციენტების ეს თვისება არ მოქმედებს იმის გამო, რომ და ასევე რთულია.
პერიოდული სიგნალების სპექტრი
ფურიეს სერია რთული ფორმით არის პერიოდული სიგნალის დაშლა კომპლექსური ექსპონენციალების ჯამად, რომლებიც ბრუნავს დადებითი და უარყოფითი სიხშირეებით რად/წმ-ის ჯერადებში შესაბამისი რთული კოეფიციენტებით, რომლებიც განსაზღვრავენ სიგნალის სპექტრს. რთული კოეფიციენტები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ეილერის ფორმულით, სადაც არის ამპლიტუდის სპექტრი და a არის ფაზის სპექტრი.ვინაიდან პერიოდული სიგნალები სერიებად გაფართოებულია მხოლოდ ფიქსირებული სიხშირის ქსელში, პერიოდული სიგნალების სპექტრი არის ხაზი (დისკრეტული).
სურათი 5. პერიოდული მიმდევრობის სპექტრი
მართკუთხა პულსები:
A არის ამპლიტუდის სპექტრი; ბ - ფაზის სპექტრი
სურათი 5 გვიჩვენებს მართკუთხა იმპულსების პერიოდული მიმდევრობის ამპლიტუდისა და ფაზური სპექტრის მაგალითს (იხ. სურათი 1) c-სთვის, პულსის ხანგრძლივობა c და პულსის ამპლიტუდა B.
ორიგინალური რეალური სიგნალის ამპლიტუდის სპექტრი სიმეტრიულია ნულოვანი სიხშირის მიმართ, ხოლო ფაზის სპექტრი ანტისიმეტრიულია. ამავე დროს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ფაზური სპექტრის მნიშვნელობები და 
შეესაბამება იმავე წერტილს კომპლექსურ სიბრტყეში.
შეიძლება დავასკვნათ, რომ შემცირებული სიგნალის გაფართოების ყველა კოეფიციენტი არის წმინდა რეალური, ხოლო ფაზის სპექტრი 
შეესაბამება უარყოფით კოეფიციენტებს.
გაითვალისწინეთ, რომ ამპლიტუდის სპექტრის განზომილება ემთხვევა სიგნალის განზომილებას. თუ აღწერს ძაბვის ცვლილებას დროთა განმავლობაში, რომელიც იზომება ვოლტებში, მაშინ სპექტრის ჰარმონიკის ამპლიტუდასაც ექნება ვოლტის განზომილება.
დასკვნები
ამ განყოფილებაში განვიხილავთ პერიოდული სიგნალების წარმოდგენას ფურიეს სერიის გამოყენებით. მოცემულია ფურიეს რიგის გამონათქვამები ტრიგონომეტრიული და რთული ფორმებით. ჩვენ განსაკუთრებული ყურადღება მივაქციეთ დირიხლეს პირობებს ფურიეს სერიების კონვერგენციისთვის და მივეცით ფუნქციების მაგალითები, რომლებისთვისაც ფურიეს სერია განსხვავდება.ჩვენ დეტალურად ვისაუბრეთ ფურიეს სერიის გამოხატულებაზე რთული ფორმით და ვაჩვენეთ, რომ პერიოდული სიგნალები, როგორც რეალური, ასევე რთული, წარმოდგენილია რთული ექსპონენციალების სერიით დადებითი და უარყოფითი სიხშირეებით. ამ შემთხვევაში, გაფართოების კოეფიციენტები ასევე რთულია და ახასიათებს პერიოდული სიგნალის ამპლიტუდასა და ფაზურ სპექტრს.
შემდეგ განყოფილებაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ პერიოდული სიგნალების სპექტრის თვისებებს.
