ამ გვერდზე თქვენ ნახავთ ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულას, რომელიც დაგეხმარებათ ამოხსნათ მრავალი სავარჯიშო, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს თავად გამოხატვას.
ტრიგონომეტრიული ფორმულები არის მათემატიკური ტოლობები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის, რომლებიც მოქმედებს ყველა მოქმედი არგუმენტისთვის.
ფორმულები ადგენს შეფარდებას მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.
კუთხის სინუსი არის წერტილის y კოორდინატი (ორდინატი) ერთეულ წრეზე. კუთხის კოსინუსი არის წერტილის x-კოორდინატი (აბსციზა).
ტანგენსი და კოტანგენსი არის, შესაბამისად, სინუსის შეფარდება კოსინუსთან და პირიქით.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \\alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \Z-ში
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \Z-ში`
და ორი, რომელიც ნაკლებად გამოიყენება - სეკანტი, კოსეკანტი. ისინი აღნიშნავენ 1-ის შეფარდებას კოსინუსთან და სინუსთან.
`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \Z-ში`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \\alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \Z-ში`
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებიდან ხედავთ, თუ რა ნიშნები აქვთ თითოეულ კვარტალში. ფუნქციის ნიშანი დამოკიდებულია მხოლოდ იმაზე, თუ რომელ კვადრატშია არგუმენტი.
არგუმენტის ნიშნის "+"-დან "-"-ზე შეცვლისას მხოლოდ კოსინუს ფუნქცია არ ცვლის მის მნიშვნელობას. მას ჰქვია კიდეც. მისი გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ.
დარჩენილი ფუნქციები (სინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი) კენტია. როდესაც არგუმენტის ნიშანი "+"-დან "-"-ზე იცვლება, მათი მნიშვნელობაც უარყოფითად იცვლება. მათი გრაფიკები სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\alpha`
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები არის ფორმულები, რომლებიც ადგენენ კავშირს ერთი კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის (`sin \\alpha, \ cos \\alpha, \ tg \\alpha, \ ctg \\alpha") და რომლებიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მნიშვნელობა. თითოეული ამ ფუნქციის მეშვეობით ნებისმიერი ცნობილი სხვა.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \Z-ში`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კუთხეების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები
არგუმენტების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულები გამოხატავს ორი კუთხის ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \\beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \\alpha\ cos \\beta-cos \ \alpha\ sin \\beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \\alpha\ cos \\beta-sin \ \alpha\ sin \\beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \\alpha\ cos \\beta+sin \\alpha\ sin \\beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \\alpha+tg \\beta)(1-tg \\alpha\ tg \\beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \\alpha-tg \\beta)(1+tg \\alpha \ tg \\beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \\alpha \ ctg \\beta-1)(ctg \\beta+ctg \\alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \\alpha\ ctg \\beta+1)(ctg \\beta-ctg \\alpha)`
ორმაგი კუთხის ფორმულები
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\alpha+ctg \\alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \\alpha-tg \\alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \\alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \\alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\ frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \\alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
სამმაგი კუთხის ფორმულები
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \\alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \\alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
ნახევარი კუთხის ფორმულები
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \\alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \\alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \\alpha)(1+cos \\alpha))=` `\frac (sin \\alpha)(1+cos \\ alpha)=\frac (1-cos \\alpha)(sin \\alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \\alpha)(1-cos \\alpha))=` `\frac (sin \\alpha)(1-cos \\ alpha)=\frac (1+cos \\alpha)(sin \\alpha)`
ნახევარი, ორმაგი და სამმაგი არგუმენტების ფორმულები გამოხატავს ამ არგუმენტების `sin, \cos, \tg, \ctg` ფუნქციებს (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) იგივე ფუნქციების არგუმენტის ტერმინები `\alpha`.
მათი გამომავალი შეიძლება მივიღოთ წინა ჯგუფიდან (არგუმენტების შეკრება და გამოკლება). მაგალითად, ორმაგი კუთხის იდენტობები ადვილად მიიღება `\beta`-ით `\alpha`-ით ჩანაცვლებით.
შემცირების ფორმულები
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კვადრატების (კუბურები და ა.შ.) ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ 2,3, ... გრადუსიდან პირველი ხარისხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებამდე, მაგრამ მრავალი კუთხით (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` ან `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \\alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \\alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \\alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \\alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები
ფორმულები არის სხვადასხვა არგუმენტების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების გარდაქმნა პროდუქტად.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ ბეტა)2\sin\frac(\ბეტა-\ალფა)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \\alpha \ cos \\beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \\alpha \ sin \\beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \\alpha \ sin \\beta)`
აქ ერთი არგუმენტის ფუნქციების შეკრება და გამოკლება გარდაიქმნება პროდუქტად.
`cos \ \alpha+sin \\alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
შემდეგი ფორმულები გარდაქმნის ერთეულისა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ჯამს და განსხვავებას ნამრავლად.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \\alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \\beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ ბეტა \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \\alpha \ sin \\beta)`
ფუნქციების კონვერტაციის ფორმულები
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის გადაქცევის ფორმულები `\alpha` და `\beta` არგუმენტებით ამ არგუმენტების ჯამში (განსხვავებაში).
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ ბეტა)) =` `\frac(tg \\alpha + tg \\beta)(ctg \\alpha + ctg \\beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ ბეტა)) =` `\frac(ctg \\alpha + ctg \\beta)(tg \\alpha + tg \\beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha +\beta)-sin(\alpha - \ ბეტა))`
უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება
ეს ფორმულები გამოხატავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \\alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \ Z-ში,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \Z-ში
ჩამოსხმის ფორმულები
შემცირების ფორმულების მიღება შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ისეთი თვისებების გამოყენებით, როგორიცაა პერიოდულობა, სიმეტრია, გადანაცვლების თვისება მოცემული კუთხით. ისინი საშუალებას აძლევს თვითნებური კუთხის ფუნქციების გარდაქმნას ფუნქციებად, რომელთა კუთხე არის 0-დან 90 გრადუსამდე.
კუთხისთვის (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ან (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \\alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \\alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;` `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
კუთხისთვის (`\pi \pm \alpha`) ან (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \\alpha;` `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;` `cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \\alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \\alpha;` `ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
კუთხისთვის (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ან (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
კუთხისთვის (`2\pi \pm \alpha`) ან (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \\alpha;` `cos(2\pi + \alpha)=cos \\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \\alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოხატვა სხვების თვალსაზრისით
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \\alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \\alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`tg \ \alpha=\frac (sin \\alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \\alpha)=` `\frac (cos \\alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \\alpha)`
ტრიგონომეტრია სიტყვასიტყვით ითარგმნება როგორც "სამკუთხედების გაზომვა". მისი შესწავლა იწყება სკოლაში და უფრო დეტალურად გრძელდება უნივერსიტეტებში. ამიტომ საჭიროა ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულები, როგორც მე-10 კლასიდან, ასევე გამოცდის ჩაბარებისთვის. ისინი აღნიშნავენ კავშირებს ფუნქციებს შორის და რადგან ამ კავშირებიდან ბევრია, თავადაც საკმაოდ ბევრი ფორმულაა. ყველა მათგანის დამახსოვრება არც ისე ადვილია და არც აუცილებელი - საჭიროების შემთხვევაში, ყველა მათგანის დასკვნა შეიძლება.
ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამოიყენება ინტეგრალურ გამოთვლებში, ასევე ტრიგონომეტრიულ გამარტივებებში, გამოთვლებში და გარდაქმნებში.
თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!
ტოლობას, რომელიც შეიცავს უცნობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ (`sin x, cos x, tg x` ან `ctg x`) ტრიგონომეტრიული განტოლება ეწოდება და მათ ფორმულებს შემდგომ განვიხილავთ.
უმარტივესი განტოლებებია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.
1. განტოლება `sin x=a`.
`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.
`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. განტოლება `cos x=a`
`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსების შემთხვევაში, ნამდვილ რიცხვებს შორის ამონახსნები არ არის.
`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში. 
3. განტოლება `tg x=a`
აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. განტოლება `ctg x=a`
მას ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები ცხრილში
სინუსისთვის: 
კოსინუსისთვის: 
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის: 
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები
ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:
- გამოყენება უმარტივესზე გადასაყვანად;
- ამოხსენით მიღებული მარტივი განტოლება ფესვებისა და ცხრილების ზემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით.
განვიხილოთ გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები მაგალითების გამოყენებით.
ალგებრული მეთოდი.
ამ მეთოდით ხდება ცვლადის ჩანაცვლება და მისი თანასწორობით ჩანაცვლება.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,
ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
ფაქტორიზაცია.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.
გადაწყვეტილება. გადაიტანეთ მარცხნივ ტოლობის ყველა პირობა: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე
პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:
`a sin x+b cos x=0` (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).
შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` პირველი შემთხვევისთვის და `cos^2 x \ne 0` მეორეზე. ვიღებთ `tg x`-ის განტოლებებს: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
გადაწყვეტილება. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, რომელიც ვყოფთ მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, შედეგად `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.
უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.
გადადით ნახევარ კუთხეში
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
გადაწყვეტილება. ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, შედეგი არის: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
ზემოთ აღწერილი ალგებრული მეთოდის გამოყენებით მივიღებთ:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.
უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.
დამხმარე კუთხის დანერგვა
ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, ორივე ნაწილს ვყოფთ `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.
მარცხენა მხარეს კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ, მათი კვადრატების ჯამი არის 1, ხოლო მოდული მაქსიმუმ 1. ავღნიშნოთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , შემდეგ:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ შემდეგ მაგალითს:
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.
გადაწყვეტილება. განტოლების ორივე გვერდის გაყოფა `sqrt (3^2+4^2)`-ზე მივიღებთ:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
აღნიშნეთ `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5`, როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
წილად-რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები
ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველებსა და მნიშვნელებში არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
გადაწყვეტილება. გაამრავლეთ და გაყავით განტოლების მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
წილადის მრიცხველი გავაიგივოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნებია `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.
უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.
ტრიგონომეტრია და კერძოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა მე-10 კლასში იწყება, გამოცდისთვის ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ ეცადეთ დაიმახსოვროთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ყველა ფორმულა - ისინი აუცილებლად გამოგადგებათ!
თუმცა, მათი დამახსოვრებაც კი არ არის საჭირო, მთავარია, გაიგოთ არსი და შეძლოთ დასკვნა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.
თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!
ორმაგი კუთხის ფორმულები შესაძლებელს ხდის "2\ალფა" კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი) გამოხატვას "\ალფა" კუთხის სწორედ ამ ფუნქციების მიხედვით.
ქვემოთ მოყვანილი სია არის ორმაგი კუთხის ძირითადი ფორმულები, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება ტრიგონომეტრიაში. კოსინუსისთვის სამი მათგანია, ყველა ტოლფასია და თანაბრად მნიშვნელოვანია.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \ალფა-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \\alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \\alpha)`
შემდეგი იდენტობები გამოხატავს `2\ალფა` კუთხის ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას კუთხის ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების მიხედვით.
`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \\alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\alpha+ctg \\alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \\alpha-tg \\alpha)(ctg \\alpha+tg \\alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \\alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
ორმაგი კუთხის კოსინუსისა და სინუსის ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი კუთხისთვის `\alpha`. ორმაგი კუთხის ტანგენტის ფორმულები მოქმედებს იმ `\alpha`-სთვის, რომლისთვისაც არის განსაზღვრული `tg \ 2\alpha, ანუ ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n. \ Z-ში. ანალოგიურად, კოტანგენსისთვის, ისინი ემართებათ იმ `\alpha`-ს, რომლისთვისაც არის განსაზღვრული `ctg \ 2\alpha`, ანუ ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \Z-ში.
ორმაგი კუთხის ფორმულების დადასტურება
ყველა ორმაგი კუთხის ფორმულა მიღებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კუთხეების ჯამისა და სხვაობის ფორმულებიდან.
ავიღოთ ორი ფორმულა სინუსისა და კოსინუსების კუთხეების ჯამისთვის:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` და `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \\beta`. აიღეთ `\beta=\alpha`, შემდეგ `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \\alpha\ cos \\alpha+cos \\alpha\ sin \\alpha=2 \ sin \\alpha \ cos \ \alpha`, მსგავსი `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \\alpha\ cos \\alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, რომელიც და ამტკიცებს ორმაგი კუთხის ფორმულებს სინუსისა და კოსინუსისთვის.
დანარჩენი ორი ტოლობა კოსინუსისთვის `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` და `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` მცირდება იმაზე, რაც უკვე დადასტურდა, თუ ჩვენ ვცვლით 1 მათში `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. ასე რომ, `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` და ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
ორმაგი კუთხის ტანგენტისა და კოტანგენსის ფორმულების დასამტკიცებლად ვიყენებთ ამ ფუნქციების განმარტებას. ჩაწერეთ `tg \ 2\alpha` და `ctg \ 2\alpha` როგორც `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` და `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. სინუსისა და კოსინუსისთვის უკვე დადასტურებული ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)" და `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\ \alpha)`.
ტანგენტის შემთხვევაში ბოლო წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ `cos^2 \alpha`-ზე, კოტანგენსისთვის, თავის მხრივ, `sin^2 \alpha`-ზე.
`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \\alpha \ cos \\alpha) (cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \\alpha \ cos \\alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac(sin \alpha)(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.
`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \\alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \\alpha \ cos \\alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)(sin \alpha))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\\alpha)`.
ჩვენ ასევე გთავაზობთ ვიდეოს ყურებას თეორიული მასალის უკეთ კონსოლიდაციის მიზნით:
ფორმულების გამოყენების მაგალითები ამოცანების გადაჭრაში
ორმაგი კუთხის ფორმულები უმეტეს შემთხვევაში გამოიყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გადასაყვანად. განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა, თუ როგორ შეგიძლიათ მათი გამოყენება პრაქტიკაში კონკრეტული პრობლემების გადაჭრისას.
მაგალითი 1. შეამოწმეთ ორმაგი კუთხის იდენტობების მართებულობა `\alpha=30^\circ`-ისთვის.
გადაწყვეტილება. ჩვენი ფორმულები იყენებს ორ კუთხეს `\alpha' და `2\alpha`. პირველი კუთხის მნიშვნელობა მოცემულია პირობით, მეორე იქნება `2\alpha=60^\circ` შესაბამისად. ჩვენ ასევე ვიცით ამ კუთხის ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რიცხვითი მნიშვნელობები. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` და
`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.
მაშინ გვექნება
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,
`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.
რაც ადასტურებს პირობით მოცემული კუთხის ტოლობების მართებულობას.
მაგალითი 2. გამოხატეთ `sin \frac (2\alpha)3` `\frac (\alpha)6` კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით.
გადაწყვეტილება. სინუს კუთხეს ვწერთ შემდეგნაირად ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. შემდეგ, ორმაგი კუთხის ფორმულის ორჯერ გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ ჩვენი პრობლემა.
პირველ რიგში, ვიყენებთ ორმაგი კუთხის სინუს განტოლებას: `sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, ახლა ჩვენ ვიყენებთ ჩვენს ფორმულებს სინუსი და ისევ კოსინუსი, შესაბამისად. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
უპასუხე. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
სამმაგი კუთხის ფორმულები
ეს ფორმულები, ისევე როგორც წინა ფორმულები, შესაძლებელს ხდის კუთხის `3\alpha` ფუნქციების გამოხატვას სწორედ ამ კუთხის `\alpha` ფუნქციების მიხედვით.
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \\alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \\alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
თქვენ შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ისინი კუთხეების ჯამისა და სხვაობის ტოლობების, აგრეთვე ორმაგი კუთხის ცნობილი ფორმულების გამოყენებით.
`sin \ 3\alpha = sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
მიღებულ ფორმულაში შეცვალეთ `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` -ით `1-sin^2\alpha` და მიიღეთ `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.
ასევე სამმაგი კუთხის კოსინუსისთვის:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
საბოლოო განტოლებაში `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` `1-cos^2\alpha`-ით ჩანაცვლებით, მივიღებთ `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.
სინუსისა და კოსინუსისთვის დადასტურებული იდენტობების გამოყენებით, შეიძლება დაამტკიცოს ტანგენტსა და კოტანგენტს:
`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha)(cos \alpha) -\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \\alpha-tg^3 \ ალფა)(1-3ტგ^2 \ალფა)`;
`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha)(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)(sin \alpha))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.
`4\alpha` კუთხის ფორმულების დასამტკიცებლად, შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ის როგორც `2 \cdot 2\alpha` და ორჯერ სცადოთ ორმაგი კუთხის ფორმულები.
მსგავსი ტოლობების გამოსაყვანად `5\ალფა` კუთხისთვის, შეგიძლიათ დაწეროთ ის, როგორც `3\ალფა + 2\ალფა` და გამოიყენოთ კუთხეების ჯამისა და განსხვავებისა და ორმაგი და სამმაგი კუთხის იდენტურობები.
ანალოგიურად, სხვა მრავალი კუთხის ყველა ფორმულა მიღებულია, ამიტომ ისინი იშვიათად არის საჭირო პრაქტიკაში.
ტრიგონომეტრია, ტრიგონომეტრიული ფორმულები
მოცემულია მიმართებები მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. ტრიგონომეტრიული ფორმულები. და რადგან ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის საკმაოდ ბევრი კავშირია, ეს ასევე ხსნის ტრიგონომეტრიული ფორმულების სიმრავლეს. ზოგიერთი ფორმულა აკავშირებს ერთი და იგივე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, სხვები - მრავალჯერადი კუთხის ფუნქციებს, სხვები - საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ხარისხი, მეოთხე - გამოვხატოთ ყველა ფუნქცია ნახევარი კუთხის ტანგენტის საშუალებით და ა.შ.
ამ სტატიაში ჩვენ თანმიმდევრობით ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულებს, რომლებიც საკმარისია ტრიგონომეტრიის ამოცანების დიდი უმრავლესობის გადასაჭრელად. დამახსოვრებისა და გამოყენების სიმარტივის მიზნით, ჩვენ დავაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით და შევიყვანთ ცხრილებში.
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობებიდააყენეთ კავშირი ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ისინი გამომდინარეობს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებიდან, ასევე ერთეული წრის კონცეფციიდან. ისინი საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მეორის მეშვეობით.
ამ ტრიგონომეტრიის ფორმულების დეტალური აღწერისთვის, მათი წარმოშობისა და გამოყენების მაგალითებისთვის იხილეთ სტატია ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
გვერდის ზედა
ჩამოსხმის ფორმულები
ჩამოსხმის ფორმულებიმოჰყვება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის თვისებებს, ანუ ისინი ასახავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის თვისებას, სიმეტრიის თვისებას და ასევე მოცემული კუთხით გადანაცვლების თვისებას. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური კუთხით სამუშაოდან ნულიდან 90 გრადუსამდე დიაპაზონის კუთხეებზე მუშაობაზე.
ამ ფორმულების დასაბუთება, მათი დამახსოვრების მნემონური წესი და მათი გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ შემცირების ფორმულების სტატიაში.
გვერდის ზედა
დამატების ფორმულები
ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ორი კუთხის ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. ეს ფორმულები ემსახურება შემდეგი ტრიგონომეტრიული ფორმულების წარმოშობის საფუძველს.
დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ დამატების ფორმულები.
გვერდის ზედა
ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე
ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე (მათ ასევე უწოდებენ მრავალი კუთხის ფორმულებს) გვიჩვენებს, თუ როგორ ფუნქციონირებს ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხეები () გამოიხატება ერთი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. მათი წარმოშობა ემყარება დამატების ფორმულებს.
უფრო დეტალური ინფორმაცია გროვდება სტატიის ფორმულებში ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე.
გვერდის ზედა
ნახევარი კუთხის ფორმულები
ნახევარი კუთხის ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ნახევარკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მთელი რიცხვის კუთხის კოსინუსებით. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამომდინარეობს ორმაგი კუთხის ფორმულებიდან.
მათი წარმოშობა და გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიის ნახევარკუთხის ფორმულებში.
გვერდის ზედა
შემცირების ფორმულები
ტრიგონომეტრიული ფორმულები ხარისხების შემცირებისთვისშექმნილია იმისთვის, რომ ხელი შეუწყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბუნებრივი ძალებიდან პირველი ხარისხის სინუსებსა და კოსინუსებზე გადასვლას, მაგრამ მრავალ კუთხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძალა პირველზე.
გვერდის ზედა
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები
მთავარი მიზანი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულებიმოიცავს ფუნქციების პროდუქტზე გადასვლას, რაც ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას. ეს ფორმულები ასევე ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რადგან ისინი იძლევა სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფაქტორინგის საშუალებას.
ფორმულების წარმოშობისთვის, ასევე მათი გამოყენების მაგალითებისთვის იხილეთ სტატიის ფორმულები სინუსისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის შესახებ.
გვერდის ზედა
სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლიდან ჯამზე ან განსხვავებაზე გადასვლა ხორციელდება სინუსების, კოსინუსების და სინუსების ნამრავლის ფორმულების მეშვეობით.
გვერდის ზედა
უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება
ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების მიმოხილვას ვასრულებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოხატვის ფორმულებით ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით. ამ ჩანაცვლებას ე.წ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება. მისი მოხერხებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია გამოიხატება ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით რაციონალურად ფესვების გარეშე.
დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ სტატია უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება.
გვერდის ზედა
- Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351 გვ.: ილ. — ISBN 5-09-004617-4.
- Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
ტრიგონომეტრიული ფორმულები- ეს არის ყველაზე საჭირო ფორმულები ტრიგონომეტრიაში, რომლებიც აუცილებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოსახატავად, რომლებიც შესრულებულია არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
დამატების ფორმულები.
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
ორმაგი კუთხის ფორმულები.
cos 2α = cos²α - ცოდვა²α
cos 2α = 2cos²α — 1
cos 2α = 1 - 2sin²α
ცოდვა 2α = 2ცოდα cosα
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2ქტგα )
სამმაგი კუთხის ფორმულები.
sin3α = 3sinα - 4sin³α
cos 3α = 4cos³α - 3 ცα
tg 3α = (3 ტგα - tg³α ) ÷ (1 - 3 ტგ²α )
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
ნახევარი კუთხის ფორმულები.
ჩამოსხმის ფორმულები.
|
ფუნქცია / კუთხე რად. |
π/2 - α |
π/2 + α |
3π/2 - α |
3π/2 + α |
2π - α |
2π + α |
||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
ფუნქცია / კუთხე °-ში |
90° - α |
90° + α |
180° - α |
180° + α |
270° - α |
270° + α |
360° - α |
360° + α |
შემცირების ფორმულების დეტალური აღწერა.
ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები.
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა:
sin2α+cos2α=1
ეს იდენტურობა არის პითაგორას თეორემის გამოყენების შედეგი ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის სამკუთხედზე.
კავშირი კოსინუსსა და ტანგენტს შორის:
1/cos 2 α−tan 2 α=1 ან წმ 2 α−tan 2 α=1.
ეს ფორმულა არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის შედეგი და მისგან მიღებულია მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების cos2α-ზე გაყოფით. ვარაუდობენ, რომ α≠π/2+πn,n∈Z.
კავშირი სინუსსა და კოტანგენტს შორის:
1/sin 2 α−cot 2 α=1 ან csc 2 α−cot 2 α=1.
ეს ფორმულა ასევე გამომდინარეობს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობიდან (მისგან მიღებული მარცხენა და მარჯვენა მხარის გაყოფით sin2α. აქ ვარაუდობენ, რომ α≠πn,n∈Z.
ტანგენტის განმარტება:
tanα=sinα/cosα,
სადაც α≠π/2+πn,n∈Z.
კოტანგენტის განმარტება:
cotα=cosα/sinα,
სადაც α≠πn,n∈Z.
ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებების შედეგი:
თანა⋅ cotα=1,
სადაც α≠πn/2,n∈Z.
სეკანტის განმარტება:
secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ ზ
კოზეკანტის განმარტება:
cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ ზ
ტრიგონომეტრიული უტოლობები.
უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობა:
sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,
cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,
tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,
cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კვადრატები.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კუბების ფორმულები.
ტრიგონომეტრია მათემატიკა. ტრიგონომეტრია. ფორმულები. გეომეტრია. თეორია
ჩვენ განვიხილეთ ყველაზე ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (არ მოტყუვდეთ, გარდა სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტისა, არსებობს უამრავი სხვა ფუნქცია, მაგრამ მათზე უფრო მოგვიანებით), მაგრამ ახლა განვიხილავთ რამდენიმე ძირითად თვისებას. უკვე შესწავლილი ფუნქციებიდან.
რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
როგორიც არ უნდა იყოს აღებული რეალური რიცხვი t, მას შეიძლება მიენიჭოს ცალსახად განსაზღვრული რიცხვი sin(t).
მართალია, მიმოწერის წესი საკმაოდ რთულია და შემდეგია.
სინდის (t) მნიშვნელობის საპოვნელად t რიცხვით, საჭიროა:
- დააყენეთ რიცხვითი წრე კოორდინატულ სიბრტყეზე ისე, რომ წრის ცენტრი დაემთხვეს საწყისს და წრის საწყისი წერტილი A მოხვდეს წერტილში (1; 0);
- იპოვეთ წერტილი t რიცხვის შესაბამის წრეზე;
- იპოვეთ ამ პუნქტის ორდინატი.
- ეს ორდინატი არის სასურველი sin(t).
სინამდვილეში, ჩვენ ვსაუბრობთ ფუნქციაზე s = sin(t), სადაც t არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ჩვენ ვიცით, როგორ გამოვთვალოთ ამ ფუნქციის ზოგიერთი მნიშვნელობა (მაგალითად, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) და ა.შ.) ჩვენ ვიცით მისი ზოგიერთი თვისება.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შეერთება
როგორც თქვენ, იმედი მაქვს, გამოიცანით, რომ ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ურთიერთდაკავშირებულია და ერთის მნიშვნელობის ცოდნის გარეშეც კი, მისი პოვნა შესაძლებელია მეორის მეშვეობით.
მაგალითად, ყველა ტრიგონომეტრიის ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულაა ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა:
\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
როგორც ხედავთ, სინუსის მნიშვნელობის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ კოსინუსის მნიშვნელობა და პირიქით.
ტრიგონომეტრიის ფორმულები
ასევე ძალიან გავრცელებული ფორმულები, რომლებიც აკავშირებს სინუსს და კოსინუსს ტანგენტსა და კოტანგენტს:
\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\;)(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
ბოლო ორი ფორმულიდან შეიძლება კიდევ ერთი ტრიგომეტრიული იდენტურობის გამოტანა, რომელიც ამჯერად აკავშირებს ტანგენტსა და კოტანგენტს:
\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
ახლა ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ფორმულები პრაქტიკაში.
მაგალითი 1. გაამარტივეთ გამოთქმა: ა) \(1+ \tan^2 \; t \), ბ) \(1+ \cot^2 \; t \)
ა) უპირველეს ყოვლისა ვწერთ ტანგენტს კვადრატის შენარჩუნებით:
\[ 1+ \თან^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ ყველაფერს საერთო მნიშვნელის ქვეშ და მივიღებთ:
\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]
და ბოლოს, როგორც ვხედავთ, მრიცხველი შეიძლება შემცირდეს ერთამდე ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით, შედეგად მივიღებთ: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
ბ) კოტანგენტით ვასრულებთ ყველა ერთსა და იმავე მოქმედებას, მხოლოდ მნიშვნელს აღარ ექნება კოსინუსი, არამედ სინუსი და პასუხი ასეთი იქნება:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
ამ ამოცანის დასრულების შემდეგ, ჩვენ მივიღეთ კიდევ ორი ძალიან მნიშვნელოვანი ფორმულა, რომლებიც აკავშირებს ჩვენს ფუნქციებს, რომლებიც ასევე უნდა იცოდეთ, როგორც ხელის უკანა მხარეს:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
თქვენ ზეპირად უნდა იცოდეთ ჩარჩოში წარმოდგენილი ყველა ფორმულა, წინააღმდეგ შემთხვევაში ტრიგონომეტრიის შემდგომი შესწავლა მათ გარეშე უბრალოდ შეუძლებელია. მომავალში კიდევ იქნება ფორმულები და იქნება ბევრი და გარწმუნებთ, რომ აუცილებლად გემახსოვრებათ ყველა დიდი ხნით, ან შეიძლება არ გახსოვთ, მაგრამ ეს ექვსი ცალი ყველამ უნდა იცოდეს. !
ყველა ძირითადი და იშვიათი ტრიგონომეტრიული შემცირების ფორმულის სრული ცხრილი.
აქ შეგიძლიათ იპოვოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულები მოსახერხებელი ფორმით. და ტრიგონომეტრიული შემცირების ფორმულები შეგიძლიათ ნახოთ სხვა გვერდზე.
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები
არის მათემატიკური გამოსახულებები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის, რომლებიც შესრულებულია არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობისთვის.
- sin² α + cos² α = 1
- tgα ctgα = 1
- tan α = sin α ÷ cos α
- ctg α = cos α ÷ sin α
- 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
- 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
დამატების ფორმულები
- sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
- sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
- cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
- tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
- tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
- ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
- ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org
ორმაგი კუთხის ფორმულები
- cos 2α = cos² α - sin² α
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos 2α = 1 - 2sin² α
- sin2α = 2sinα cosα
- tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
- ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
სამმაგი კუთხის ფორმულები
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
- cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
- tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
- ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
შემცირების ფორმულები
- sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
- sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
- cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
- cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
- sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
- sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
პროდუქტიდან ჯამზე გადასვლა
- sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
- sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
- cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))
ჩვენ ჩამოვთვალეთ საკმაოდ ბევრი ტრიგონომეტრიული ფორმულა, მაგრამ თუ რამე აკლია, დაწერეთ.
ყველაფერი სწავლისთვის » მათემატიკა სკოლაში » ტრიგონომეტრიული ფორმულები - მოტყუების ფურცელი
გვერდის დასანიშნებლად დააჭირეთ Ctrl+D.
ჯგუფი სასარგებლო ინფორმაციის სიმრავლით (გამოწერა თუ გაქვთ გამოცდა ან გამოცდა):
რეფერატების, კურსების, ნაშრომების და სხვა სასწავლო მასალების მთელი ბაზა მოცემულია უფასოდ. საიტის მასალების გამოყენებით თქვენ ადასტურებთ, რომ წაიკითხეთ მომხმარებლის შეთანხმება და სრულად ეთანხმებით მის ყველა პუნქტს.
დეტალურად განიხილება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ზოგადი ამონახსნების ჯგუფების გარდაქმნა. მესამე ნაწილი ეხება არასტანდარტულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს, რომელთა ამონახსნები ეფუძნება ფუნქციურ მიდგომას.
ყველა ტრიგონომეტრიის ფორმულა (განტოლებები): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)
მეოთხე განყოფილება ეხება ტრიგონომეტრიულ უტოლობებს. ელემენტარული ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის მეთოდები დეტალურად არის განხილული, როგორც ერთეულების წრეზე, ასევე ...
… კუთხე 1800-α= ჰიპოტენუზისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> ასე რომ, სკოლის გეომეტრიის კურსში ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კონცეფცია შემოტანილია გეომეტრიული საშუალებებით მათი უფრო დიდი ხელმისაწვდომობის გამო. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესწავლის ტრადიციული მეთოდოლოგიური სქემა ასეთია: 1) პირველ რიგში, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განისაზღვრება მართკუთხა კუთხის მწვავე კუთხისთვის ...
… საშინაო დავალება 19(3,6), 20(2,4) მიზნების დასახვა საცნობარო ცოდნის განახლება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები შემცირების ფორმულები ახალი მასალა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა გაერთიანება ამოცანების ამოხსნა გაკვეთილის მიზანი: დღეს გამოთვალეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და ამოხსენით…
... ჩამოყალიბებულ ჰიპოთეზას უნდა ამოეხსნა შემდეგი ამოცანები: 1. გამოეკვლია ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების როლი მათემატიკის სწავლებაში; 2. ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის უნარების ფორმირების მეთოდოლოგიის შემუშავება, რომელიც მიმართულია ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების შემუშავებისკენ; 3. შემუშავებული მეთოდოლოგიის ეფექტურობის ექსპერიმენტულად შემოწმება. გადაწყვეტილებისთვის…
ტრიგონომეტრიული ფორმულები
ტრიგონომეტრიული ფორმულები
თქვენს ყურადღებას წარმოგიდგენთ ტრიგონომეტრიასთან დაკავშირებულ სხვადასხვა ფორმულებს.
| ctg (2α) = | ctg 2 (α) - 1 2ctg (α) |
ზოგადი ფორმულები
- ბეჭდური ვერსია
განმარტებები α კუთხის სინუსი (დანიშნულება sin (α)) არის α კუთხის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. α კუთხის კოსინუსი (დანიშნულება cos(α)) არის α კუთხის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. α კუთხის ტანგენსი (დანიშნულება tg(α)) არის α კუთხის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელ ფეხთან. ეკვივალენტური განმარტება არის α კუთხის სინუსის შეფარდება იმავე კუთხის კოსინუსთან, sin(α)/cos(α). α კუთხის კოტანგენსი (დანიშნულება ctg(α)) არის α კუთხის მიმდებარე გვერდის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს. ეკვივალენტური განმარტება არის α კუთხის კოსინუსის თანაფარდობა იმავე კუთხის სინუსთან - cos(α)/sin(α). სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: სეკანტი — წმ(α) = 1/cos(α); კოსეკანტი cosec(α) = 1/sin(α). შენიშვნა ჩვენ კონკრეტულად არ ვწერთ ნიშანს * (გამრავლება), - სადაც ორი ფუნქცია იწერება ზედიზედ, ინტერვალის გარეშე, იგულისხმება. ნახავ მრავალჯერადი (4+) კუთხის კოსინუსის, სინუსის, ტანგენსის ან კოტანგენსის ფორმულების გამოსატანად საკმარისია მათი ჩაწერა ფორმულების შესაბამისად. ჯამის კოსინუსი, სინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი, ან შემცირება წინა შემთხვევებზე, დაყვანით სამმაგი და ორმაგი კუთხეების ფორმულებამდე. დამატება წარმოებული ცხრილი© სკოლის მოსწავლე. მათემატიკა (მხარდაჭერით Branch Tree) 2009—2016 წწ
