ფორმის დიფერენციალური განტოლებების მარცხენა ნაწილები ზოგჯერ ზოგიერთი ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალურია. თუ ფუნქცია აღდგენილია მისი სრული დიფერენციალიდან, მაშინ იპოვება დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ინტეგრალი. ამ სტატიაში ჩვენ აღვწერთ ფუნქციის აღდგენის მეთოდს მისი მთლიანი დიფერენციალიდან; თეორიულ მასალას მივცემთ მაგალითებს და ამოცანებს ამოხსნის დეტალური აღწერით.

დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი U(x, y) = 0, თუ პირობა დაკმაყოფილებულია.

ვინაიდან U(x, y) = 0 ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი არის , მაშინ, თუ პირობა დაკმაყოფილებულია, შეგვიძლია ამის მტკიცება . აქედან გამომდინარე, .

სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს . ფუნქციის ნახვა შესაძლებელია სისტემის მეორე განტოლების გამოყენებით:

ეს იპოვის სასურველ ფუნქციას U(x, y) = 0 .

განვიხილოთ მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები .

გადაწყვეტილება.

ამ მაგალითში. პირობა დაკმაყოფილებულია იმიტომ

ამრიგად, თავდაპირველი დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი U(x, y) = 0. ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ეს ფუნქცია.

როგორც არის U(x, y) = 0 ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი, მაშინ . სისტემის პირველ განტოლებას ვაერთიანებთ x-ის მიმართ და მიღებულ შედეგს ვარჩევთ y-ის მიმართ. . მეორეს მხრივ, სისტემის მეორე განტოლებიდან გვაქვს . აქედან გამომდინარე,

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ამრიგად, ხოლო თავდაპირველი განტოლების ზოგადი ინტეგრალი არის .

არსებობს ფუნქციის პოვნის სხვა მეთოდი მისი მთლიანი დიფერენციალით. იგი მოიცავს მიღებას მრუდი ინტეგრალიფიქსირებული წერტილიდან (x 0 , y 0) წერტილამდე ცვლადი კოორდინატებით (x, y): . ამ შემთხვევაში, ინტეგრალის ღირებულება არ არის დამოკიდებული ინტეგრაციის გზაზე. მოსახერხებელია ინტეგრაციის გზად მივიღოთ გატეხილი ხაზი, რომლის ბმულები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია.

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი.

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები .

გადაწყვეტილება.

მოდით შევამოწმოთ მდგომარეობა:

ამრიგად, დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი U(x, y) = 0. ვიპოვოთ ეს ფუნქცია მრუდი ინტეგრალის გამოთვლით (1; 1) წერტილიდან (x, y) . როგორც ინტეგრაციის გზა, ჩვენ ვიღებთ გაწყვეტილ ხაზს: პოლიხაზის პირველი მონაკვეთი გაივლის სწორი ხაზის გასწვრივ y = 1 (1, 1) წერტილიდან (x, 1) , ბილიკის მეორე მონაკვეთი მიიღებს ა. სწორი ხაზის სეგმენტი (x, 1) წერტილიდან (x, y) .

ამ თემაში განვიხილავთ ფუნქციის აღდგენის მეთოდს მისი მთლიანი დიფერენციალიდან, მოვიყვანთ ამოცანების მაგალითებს ამოხსნის სრული ანალიზით.

ეს ხდება, რომ P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 ფორმის დიფერენციალური განტოლებები (DE) შეიძლება შეიცავდეს მარცხენა ნაწილებში ზოგიერთი ფუნქციის მთლიან დიფერენციალებს. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ DE-ს ზოგადი ინტეგრალი, თუ ჯერ აღვადგენთ ფუნქციას მისი სრული დიფერენციალიდან.

მაგალითი 1

განვიხილოთ განტოლება P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . მისი მარცხენა მხარის ჩანაწერი შეიცავს ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალს U(x, y) = 0. ამისთვის პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x უნდა დაკმაყოფილდეს.

U (x, y) = 0 ფუნქციის ჯამურ დიფერენციალს აქვს ფორმა d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x პირობის გათვალისწინებით, მივიღებთ:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

პირველი განტოლების გარდაქმნით განტოლებათა სისტემიდან, შეგვიძლია მივიღოთ:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ფუნქცია φ (y) ადრე მიღებული სისტემის მეორე განტოლებიდან:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ სასურველი ფუნქცია U (x, y) = 0.

მაგალითი 2

იპოვეთ DE-სთვის (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 ზოგადი ამონახსნი.

გადაწყვეტილება

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

შევამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

ჩვენი პირობა შესრულებულია.

გამოთვლების საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ორიგინალური DE-ს მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი U (x, y) = 0. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ეს ფუნქცია.

ვინაიდან (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y არის U ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი (x, y) = 0, მაშინ

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

ჩვენ ვაერთიანებთ სისტემის პირველ განტოლებას x-ის მიმართ:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

ახლა ჩვენ განვასხვავებთ შედეგს y-ის მიმართ:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

სისტემის მეორე განტოლების გარდაქმნით მივიღებთ: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ეს ნიშნავს, რომ
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ვიღებთ: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. საწყისი განტოლების ზოგადი ინტეგრალი არის x 3 3 - x y 2 + C = 0.

მოდით გავაანალიზოთ სხვა მეთოდი ფუნქციის მოსაძებნად ცნობილი მთლიანი დიფერენციალიდან. იგი მოიცავს მრუდი ინტეგრალის გამოყენებას ფიქსირებული წერტილიდან (x 0, y 0) წერტილამდე ცვლადი კოორდინატებით (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

ასეთ შემთხვევებში, ინტეგრალის ღირებულება არანაირად არ არის დამოკიდებული ინტეგრაციის გზაზე. ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ გატეხილი ხაზი, როგორც ინტეგრაციის გზა, რომლის რგოლები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია.

მაგალითი 3

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

გადაწყვეტილება

შევამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

გამოდის, რომ დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე წარმოდგენილია ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალით U (x, y) = 0. ამ ფუნქციის საპოვნელად აუცილებელია მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა წერტილიდან (1 ; 1) ადრე (x, y). ინტეგრაციის გზად ავიღოთ გატეხილი ხაზი, რომლის მონაკვეთები გაივლის სწორი ხაზის გასწვრივ y=1(1, 1) წერტილიდან (x, 1)-მდე და შემდეგ (x, 1) წერტილიდან (x, y)-მდე:

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

მივიღეთ x y - x y 2 + C = 0 ფორმის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

მაგალითი 4

განსაზღვრეთ y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები.

გადაწყვეტილება

შევამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

ვინაიდან ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, პირობა არ დაკმაყოფილდება. ეს ნიშნავს, რომ დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არ არის ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი. ეს არის განცალკევებული დიფერენციალური განტოლება და სხვა ამონახსნები შესაფერისია მის ამოსახსნელად.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განმარტება: ფორმის განტოლება

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

სადაც მარცხენა მხარე არის ორი ცვლადის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი, ეწოდება განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში.

აღნიშნეთ ორი ცვლადის ეს ფუნქცია F(x,y)-ით. შემდეგ განტოლება (9) შეიძლება გადაიწეროს როგორც dF(x,y) = 0 და ამ განტოლებას აქვს ზოგადი ამონახსნი F(x,y) = C.

მიეცით (9) ფორმის განტოლება. იმისათვის, რომ გაარკვიოთ არის თუ არა განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა გამოხატულება

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

ორი ცვლადის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი. ამისათვის აუცილებელია თანასწორობის შესრულების შემოწმება

დავუშვათ, რომ მოცემული გამოსახულებისთვის (10) თანასწორობა (11) დაკმაყოფილებულია ზოგიერთ უბრალოდ დაკავშირებულ დომენში (S) და, შესაბამისად, გამოხატულება (10) არის F(x,y) ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი (S) .

განვიხილოთ ამ ანტიწარმოებულის პოვნის შემდეგი გზა. აუცილებელია ვიპოვოთ ფუნქცია F(x,y) ისეთი, რომ

სადაც ქვემოთ იქნება განსაზღვრული ფუნქცია (y). ფორმულიდან (12) შემდეგ მოდის, რომ

ტერიტორიის ყველა წერტილში (S). ახლა ჩვენ ვირჩევთ ფუნქციას (y), რომ თანასწორობა მოხდეს

ამისათვის ჩვენ ხელახლა ვწერთ ტოლობას (14), რომელიც გვჭირდება F(x, y) ნაცვლად მისი გამოსახულებების (12) მიხედვით:

მოდით განვასხვავოთ y-ს მიმართ ინტეგრალური ნიშნით (ეს შეიძლება გაკეთდეს რადგან P(x, y) და ორი ცვლადის უწყვეტი ფუნქციაა):

მას შემდეგ, რაც (11) , შემდეგ, ჩანაცვლებით (16) ინტეგრალური ნიშნით, გვაქვს:

y-ზე ინტეგრირების შემდეგ ჩვენ ვპოულობთ თავად ფუნქციას (y), რომელიც აგებულია ისე, რომ თანასწორობა (14) მოქმედებს. ტოლობების (13) და (14) გამოყენებით ჩვენ ვხედავთ, რომ

ტერიტორიაზე (S). (თვრამეტი)

მაგალითი 5. შეამოწმეთ, არის თუ არა მოცემული დიფერენციალური განტოლება განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში და ამოხსენით იგი.

ეს არის დიფერენციალური განტოლება მთლიან დიფერენციალებში. მართლაც, აღსანიშნავად, ჩვენ ამას ვრწმუნდებით

და ეს არის აუცილებელი და საკმარისი პირობა გამოხატვისთვის

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

არის ზოგიერთი U(x,y) ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი. უფრო მეტიც, არის უწყვეტი ფუნქციები რ.

მაშასადამე, მოცემული დიფერენციალური განტოლების ინტეგრირებისთვის საჭიროა ვიპოვოთ ფუნქცია, რომლისთვისაც დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის მთლიანი დიფერენციალური. მოდით U(x,y) იყოს ასეთი ფუნქცია, მაშინ

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების ინტეგრირება x-ზე, მივიღებთ:

u(y) საპოვნელად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ

u(y)-ის ნაპოვნი მნიშვნელობის (*) ჩანაცვლებით, საბოლოოდ მივიღებთ ფუნქციას U(x, y):

თავდაპირველი განტოლების ზოგად ინტეგრალს აქვს ფორმა

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ძირითადი ტიპები (გაგრძელება).

წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

განმარტება: პირველი რიგის წრფივი განტოლება არის ფორმის განტოლება

y" + P(x)y = f(x), (21)

სადაც P(x) და f(x) უწყვეტი ფუნქციებია.

განტოლების სახელწოდება აიხსნება იმით, რომ წარმოებული y "არის y-ის წრფივი ფუნქცია, ანუ თუ გადავწერთ განტოლებას (21) როგორც y" = - P (x) + f (x), მაშინ მარჯვენა მხარე შეიცავს y-ს მხოლოდ პირველ ხარისხში.

თუ f(x) = 0, მაშინ განტოლება

yґ+ P(x) y = 0 (22)

ეწოდება წრფივი ერთგვაროვანი განტოლება. ცხადია, ერთგვაროვანი წრფივი განტოლება არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით:

y" + P(x)y = 0;,

თუ f(x) ? 0, შემდეგ განტოლება

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

ეწოდება წრფივი არაჰომოგენური განტოლება.

ზოგადად, განტოლებაში (21) ცვლადები არ შეიძლება განცალკევდეს.

განტოლება (21) ამოხსნილია შემდეგნაირად: ჩვენ ვეძებთ ამონახსანს ორი U(x) და V(x) ფუნქციის ნამრავლის სახით:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული:

y" = U"V + UV" (25)

და ჩაანაცვლეთ ეს გამონათქვამები განტოლებაში (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები მარცხენა მხარეს:

U "V + U \u003d f (x). (26)

მოდით დავაწესოთ პირობა ერთ-ერთ ფაქტორზე (24), კერძოდ, დავუშვათ, რომ ფუნქცია V(x) ისეთია, რომ ის აქცევს კვადრატულ ფრჩხილებში გამოსახულებას (26) იდენტურ ნულში, ე.ი. რომ ეს არის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი

V" + P(x)V = 0. (27)

ეს არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით, მისგან ვპოულობთ V (x):

ახლა ვიპოვოთ ფუნქცია U(x) ისეთი, რომ უკვე ნაპოვნი V(x) ფუნქციისთვის U V ნამრავლი არის გამოსავალი განტოლების (26). ამისათვის U(x) უნდა იყოს განტოლების ამონახსნი

ეს არის განცალკევებული ცვლადი განტოლება, ასე რომ

ნაპოვნი ფუნქციების (28) და (30) ჩანაცვლებით (4) ფორმულით, ვიღებთ (21) განტოლების ზოგად ამონახს:

ამრიგად, განხილული მეთოდი (ბერნულის მეთოდი) ამცირებს წრფივი განტოლების ამონახსს (21) ორი განტოლების ამონახსნებამდე გამყოფი ცვლადებით.

მაგალითი 6. იპოვეთ განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

ეს განტოლება არ არის წრფივი y და y მიმართ", მაგრამ წრფივი აღმოჩნდება, თუ ავიღებთ x-ს სასურველ ფუნქციად და y-ს არგუმენტად. მართლაც, გადასვლის შემდეგ მივიღებთ

მიღებული განტოლების ამოსახსნელად ვიყენებთ ჩანაცვლების მეთოდს (ბერნული). ჩვენ ვეძებთ განტოლების ამოხსნას x(y)=U(y)V(y) სახით, შემდეგ. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

ვირჩევთ V(y) ფუნქციას ისე, რომ. მერე

აქვს სტანდარტული ფორმა $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, რომელშიც მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი $F ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი. \left( x,y\right)$ ეწოდება განტოლებას ჯამურ დიფერენციალებში.

მთლიანი დიფერენციალური განტოლება ყოველთვის შეიძლება გადაიწეროს როგორც $dF\left(x,y\right)=0$, სადაც $F\left(x,y\right)$ არის ისეთი ფუნქცია, რომ $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე მხარეს $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; ნულოვანი მარჯვენა მხარის ინტეგრალი $C$-ის თვითნებური მუდმივის ტოლია. ამრიგად, ამ განტოლების ზოგად ამოხსნას იმპლიციტური ფორმით აქვს ფორმა $F\left(x,y\right)=C$.

იმისათვის, რომ მოცემული დიფერენციალური განტოლება იყოს განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში, აუცილებელია და საკმარისია პირობა $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $. . თუ ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ არსებობს ფუნქცია $F\left(x,y\right)$, რომლისთვისაც შეგვიძლია დავწეროთ: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, საიდანაც მივიღებთ ორ მიმართებას: $\ frac(\ ნაწილობრივი F)(\ ნაწილობრივი x) =P\left(x,y\right)$ და $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

ჩვენ ვაერთიანებთ პირველ მიმართებას $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$$x$-ზე და მივიღებთ $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, სადაც $U\left(y\right)$ არის $y$-ის თვითნებური ფუნქცია.

ავირჩიოთ ისე, რომ მეორე მიმართება $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ დაკმაყოფილდეს. ამისათვის ჩვენ განვასხვავებთ $F\left(x,y\right)$-ის მიღებულ მიმართებას $y$-ის მიმართ და მივატოლებთ შედეგს $Q\left(x,y\right)$-ით. ვიღებთ: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\მარცხნივ (x,y\right)$.

შემდეგი გამოსავალი არის:

• ბოლო ტოლობიდან ვპოულობთ $U"\left(y\right)$;
• გააერთიანეთ $U"\left(y\right)$ და იპოვეთ $U\left(y\right)$;
• ჩაანაცვლეთ $U\left(y\right)$$F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ და საბოლოოდ მივიღებთ ფუნქციას $F\left(x,y\right)$.

\

ჩვენ ვპოულობთ განსხვავებას:

ჩვენ ვაერთიანებთ $U"\left(y\right)$ $y$-ზე და ვპოულობთ $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

იპოვეთ შედეგი: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

ჩვენ ვწერთ ზოგად ამოხსნას $F\left(x,y\right)=C$, კერძოდ:

იპოვეთ კონკრეტული ამონახსნი $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, სადაც $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

კონკრეტულ ამოხსნას აქვს ფორმა: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

განმარტება 8.4.ფორმის დიფერენციალური განტოლება

სადაც
ეწოდება მთლიანი დიფერენციალური განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ ასეთი განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი
.

ზოგად შემთხვევაში, განტოლება (8.4) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

განტოლების ნაცვლად (8.5) შეიძლება განიხილოს განტოლება

,

რომლის ამონახსნი არის (8.4) განტოლების ზოგადი ინტეგრალი. ამრიგად, (8.4) განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა ფუნქციის პოვნა
. განტოლების (8.4) განმარტების შესაბამისად გვაქვს

(8.6)

ფუნქცია
ჩვენ ვეძებთ, როგორც ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ-ერთ ამ პირობას (8.6):

სადაც არის თვითნებური ფუნქცია დამოუკიდებელი .

ფუნქცია
განისაზღვრება ისე, რომ დაკმაყოფილებულია გამოხატვის მეორე პირობა (8.6).

(8.7)

გამოსახულებიდან (8.7) განისაზღვრება ფუნქცია
. მისი ჩანაცვლება გამოთქმაში
და მიიღეთ საწყისი განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

პრობლემა 8.3.განტოლების ინტეგრირება

Აქ
.

მაშასადამე, ეს განტოლება მიეკუთვნება დიფერენციალური განტოლებების ტიპს მთლიან დიფერენციალებში. ფუნქცია
ჩვენ ვეძებთ ფორმაში

.

Მეორეს მხრივ,

.

ზოგიერთ შემთხვევაში, მდგომარეობა
შეიძლება არ შესრულდეს.

შემდეგ ასეთი განტოლებები მცირდება განსახილველ ტიპზე გამრავლებით ეგრეთ წოდებულ ინტეგრირებულ ფაქტორზე, რომელიც, ზოგად შემთხვევაში, მხოლოდ ან .

თუ რომელიმე განტოლებას აქვს ინტეგრირების ფაქტორი, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ , მაშინ იგი განისაზღვრება ფორმულით

სად არის თანაფარდობა მხოლოდ ფუნქცია უნდა იყოს .

ანალოგიურად, ინტეგრირების ფაქტორი დამოკიდებულია მხოლოდ , განისაზღვრება ფორმულით

სად არის თანაფარდობა
მხოლოდ ფუნქცია უნდა იყოს .

ცვლადის არარსებობა ზემოაღნიშნულ კოეფიციენტებში, პირველ შემთხვევაში , ხოლო მეორეში - ცვლადი , არის მოცემული განტოლებისთვის ინტეგრაციული ფაქტორის არსებობის ნიშანი.

პრობლემა 8.4.მიიტანეთ ეს განტოლება განტოლებამდე ჯამური დიფერენციალებით.

.

განვიხილოთ ურთიერთობა:

.

თემა 8.2. წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

განმარტება 8.5. დიფერენციალური განტოლება
წრფივი ეწოდება, თუ ის წრფივია სასურველი ფუნქციის მიმართ , მისი წარმოებული და არ შეიცავს სასურველი ფუნქციის ნამრავლს და მის წარმოებულს.

წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ფორმა წარმოდგენილია შემდეგი მიმართებით:

(8.8)

თუ მიმართებაში (8.8) მარჯვენა მხარეს
, მაშინ ასეთ განტოლებას წრფივი ერთგვაროვანი ეწოდება. იმ შემთხვევაში, როდესაც მარჯვენა მხარე
, მაშინ ასეთ განტოლებას წრფივი არაჰომოგენური ეწოდება.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ განტოლება (8.8) ინტეგრირებადია კვადრატებში.

პირველ ეტაპზე განვიხილავთ წრფივ ერთგვაროვან განტოლებას.

ასეთი განტოლება არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. მართლაც,

;

/

ბოლო მიმართება განსაზღვრავს წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას.

წრფივი არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნის საპოვნელად გამოიყენება მუდმივის წარმოებულის ვარიაციის მეთოდი. მეთოდის იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ წრფივი არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნა იგივე ფორმითაა, როგორც შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა, თუმცა, თვითნებური მუდმივი. შეცვალა გარკვეული ფუნქციით
იყო მონდომებული. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:

(8.9)

(8.8) მიმართებაში ჩანაცვლება შესაბამისი გამონათქვამების
და
, ვიღებთ

ბოლო გამოხატვის ჩანაცვლებით მიმართებაში (8.9), მიიღება წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

ამრიგად, წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები განისაზღვრება ორი კვადრატით: წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები და წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების კონკრეტული ამონახსნები.

პრობლემა 8.5.განტოლების ინტეგრირება

ამრიგად, თავდაპირველი განტოლება მიეკუთვნება წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებების ტიპს.

პირველ ეტაპზე ვპოულობთ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსნებს.

;

მეორე ეტაპზე განვსაზღვრავთ წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსანს, რომელიც მოძიებულია ფორმით

,

სადაც
არის ფუნქცია, რომელიც უნდა განისაზღვროს.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:

კოეფიციენტების ჩანაცვლება და თავდაპირველ წრფივ არაჰომოგენურ განტოლებაში ვიღებთ:

;

;

.

წრფივი არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნა ასე გამოიყურება:

.