გაკვეთილის ტექსტის ახსნა:

ჩვენ ვაგრძელებთ მყარი გეომეტრიის მონაკვეთის შესწავლას „რევოლუციის სხეული“.

რევოლუციის ორგანოებია: ცილინდრები, კონუსები, ბურთები.

გავიხსენოთ განმარტებები.

სიმაღლე არის მანძილი ფიგურის ან სხეულის ზემოდან ფიგურის (სხეულის) ფუძემდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფიგურის ზედა და ქვედა ნაწილის დამაკავშირებელი და მასთან პერპენდიკულარული სეგმენტი.

გახსოვდეთ, წრის ფართობის საპოვნელად გავამრავლოთ პი რადიუსის კვადრატზე.

წრის ფართობი ტოლია.

გაიხსენეთ როგორ მოვძებნოთ წრის ფართობი დიამეტრის ცოდნით? როგორც

მოდი ჩავწეროთ ფორმულაში:

კონუსი ასევე არის რევოლუციის სხეული.

კონუსი (უფრო ზუსტად, წრიული კონუსი) არის სხეული, რომელიც შედგება წრისგან - კონუსის ფუძისგან, წერტილისგან, რომელიც არ დევს ამ წრის სიბრტყეში - კონუსის ზევით და ყველა სეგმენტისგან, რომელიც აკავშირებს ზევით. კონუსი ფუძის წერტილებით.

მოდით გავეცნოთ კონუსის მოცულობის პოვნის ფორმულას.

თეორემა. კონუსის მოცულობა უდრის ბაზის ფართობის მესამედს გამრავლებული სიმაღლეზე.

დავამტკიცოთ ეს თეორემა.

მოცემული: კონუსი, S არის მისი ფუძის ფართობი,

h არის კონუსის სიმაღლე

დაამტკიცე: V=

დადასტურება: განვიხილოთ კონუსი V მოცულობით, ფუძის რადიუსით R, სიმაღლე h და მწვერვალი O წერტილში.

მოდით შემოვიტანოთ ღერძი Ox OM-ის გავლით, კონუსის ღერძი. კონუსის თვითნებური მონაკვეთი x ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყით არის წრე, რომელიც ცენტრშია წერტილზე

M1 - ამ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი Ox-ის ღერძთან. ამ წრის რადიუსი ავღნიშნოთ როგორც R1, ხოლო განივი უბანი S(x), სადაც x არის M1 წერტილის აბსცისა.

მართკუთხა სამკუთხედების OM1A1 და OMA მსგავსებიდან (ے OM1A1 = ے OMA - სწორი ხაზები, ےMOA - საერთო, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედები ორ კუთხით მსგავსია) გამოდის, რომ

ნახაზი აჩვენებს, რომ OM1=x, OM=h

ან საიდანაც პროპორციის თვისებით ვპოულობთ R1 = .

ვინაიდან მონაკვეთი არის წრე, შემდეგ S (x) \u003d πR12, ჩაანაცვლეთ წინა გამოხატულება R1-ით, მონაკვეთის ფართობი უდრის პი ერ კვადრატის ნამრავლის თანაფარდობას კვადრატზე x კვადრატზე სიმაღლის კვადრატთან:

მოდით გამოვიყენოთ ძირითადი ფორმულა

სხეულების მოცულობების გამოთვლა, a=0, b=h, მივიღებთ გამოსახულებას (1)

ვინაიდან კონუსის ფუძე არის წრე, კონუსის ფუძის ფართობი S ტოლი იქნება პიერ კვადრატის

სხეულის მოცულობის გამოთვლის ფორმულაში ჩვენ ვცვლით პიერ კვადრატის მნიშვნელობას ფუძის ფართობით და ვიღებთ, რომ კონუსის მოცულობა უდრის ფართობის ნამრავლის მესამედს. ფუძისა და სიმაღლის

თეორემა დადასტურდა.

თეორემის დასკვნა (ფორმულა შეკვეცილი კონუსის მოცულობისთვის)

შეკვეცილი კონუსის მოცულობა V, რომლის სიმაღლეა h, და S და S1 ფუძეების ფართობები, გამოითვლება ფორმულით.

Ve უდრის ფერფლის მესამედს, გამრავლებული ფუძის ფართობების ჯამით და ფუძის ფართობების ნამრავლის კვადრატულ ფესვზე.

Პრობლემის გადაჭრა

მართკუთხა სამკუთხედი 3 სმ და 4 სმ ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა.

როდესაც სამკუთხედი ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო, ვიღებთ კონუსს. ამ პრობლემის გადაჭრისას მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ შესაძლებელია ორი შემთხვევა. თითოეულ მათგანში ვიყენებთ კონუსის მოცულობის პოვნის ფორმულას: კონუსის მოცულობა უდრის ფუძის ნამრავლის მესამედს და სიმაღლეს.

პირველ შემთხვევაში, ნახატი ასე გამოიყურება: მოცემულია კონუსი. ვთქვათ რადიუსი r = 4, სიმაღლე h = 3

ფუძის ფართობი ტოლია π გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე

მაშინ კონუსის მოცულობა უდრის ნამრავლის მესამედს π გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე გამრავლებული სიმაღლეზე.

შეცვალეთ მნიშვნელობა ფორმულაში, გამოდის, რომ კონუსის მოცულობა არის 16π.

მეორე შემთხვევაში ასე: მოცემული კონუსი. ვთქვათ რადიუსი r = 3, სიმაღლე h = 4

კონუსის მოცულობა უდრის ბაზის ფართობის მესამედს გამრავლებული სიმაღლეზე:

ფუძის ფართობი ტოლია π გამრავლებული რადიუსის კვადრატზე:

მაშინ კონუსის მოცულობა უდრის ნამრავლის მესამედს π-ჯერ რადიუსის კვადრატზე გამრავლებული სიმაღლეზე:

შეცვალეთ მნიშვნელობა ფორმულაში, გამოდის, რომ კონუსის მოცულობა არის 12π.

პასუხი: V კონუსის მოცულობა არის 16 π ან 12 π

ამოცანა 2. მოცემულია 6 სმ რადიუსის მქონე მართი წრიული კონუსი, კუთხე BCO = 45.

იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

ამოხსნა: ამ ამოცანისთვის მოცემულია მზა ნახატი.

მოდით დავწეროთ კონუსის მოცულობის პოვნის ფორმულა:

ჩვენ გამოვხატავთ მას R ფუძის რადიუსის მიხედვით:

ჩვენ ვპოულობთ h \u003d BO კონსტრუქციით, - მართკუთხა, რადგან კუთხე BOC=90 (სამკუთხედის კუთხეების ჯამი), ფუძეზე კუთხეები ტოლია, ამიტომ სამკუთხედი ΔBOC ტოლია და BO=OC=6 სმ.

V ცილინდრი \u003d S მთავარი. თ

მაგალითი 2მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი ABC ტოლგვერდა, BO = 10. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

გადაწყვეტილება

იპოვეთ კონუსის ფუძის რადიუსი. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

მოდით OS = ა, შემდეგ BC = 2 ა. პითაგორას თეორემის მიხედვით:

პასუხი: .

მაგალითი 3. გამოთვალეთ ფიგურების მოცულობები, რომლებიც წარმოიქმნება მითითებული ხაზებით შემოსაზღვრული უბნების ბრუნვით.

y2=4x; y=0; x=4.

ინტეგრაციის ლიმიტები a = 0, b = 4.

V= | =32π

Დავალებები

ვარიანტი 1

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი არის კვადრატი, რომლის დიაგონალი არის 4 დმ. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

2. ღრუ სფეროს გარე დიამეტრი 18 სმ, კედლის სისქე 3 სმ იპოვეთ სფეროს კედლების მოცულობა.

X ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურა y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

ვარიანტი 2

1. სამი ბურთის რადიუსი უდრის 6 სმ, 8 სმ, 10 სმ. დაადგინეთ ბურთის რადიუსი, რომლის მოცულობა უდრის ამ ბურთების მოცულობების ჯამს.

2. კონუსის ძირის ფართობია 9 სმ 2, მთლიანი ზედაპირის ფართობი 24 სმ 2. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

3. გამოთვალეთ O ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი სხეულის მოცულობა Xხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურა y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

ტესტის კითხვები:

1. დაწერეთ სხეულების მოცულობის თვისებები.

2. დაწერეთ ფორმულა Oy ღერძის გარშემო ბრუნვის სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად.

დიაგნოსტიკური სამუშაო შედგება ორი ნაწილისგან, მათ შორის 19 დავალებისგან. ნაწილი 1 შეიცავს სირთულის ძირითადი დონის 8 ამოცანას მოკლე პასუხით. ნაწილი 2 შეიცავს 4 გაზრდილი სირთულის დავალებას მოკლე პასუხით და 7 გაზრდილი და მაღალი დონის სირთულის დავალებას დეტალური პასუხით.
მათემატიკაში დიაგნოსტიკური სამუშაოს შესასრულებლად გამოყოფილია 3 საათი 55 წუთი (235 წუთი).
1-12 დავალებების პასუხები იწერება როგორც მთელი რიცხვი ან ბოლო ათობითი წილადი. პასუხის ველებში ჩაწერეთ რიცხვები ნაწარმოების ტექსტში, შემდეგ კი გადაიტანეთ პასუხების ფურცელზე No1. 13-19 დავალებების შესრულებისას საჭიროა ჩაწეროთ სრული ამოხსნა და პასუხი პასუხების ფურცელზე No. 2.
ყველა ფორმა დასრულებულია ნათელი შავი მელნით. დასაშვებია გელის, კაპილარული ან შადრევანი კალმების გამოყენება.
დავალებების შესრულებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ მონახაზი. ნამუშევრების პროექტები არ ითვლება სამუშაოს შეფასებაში.
შეჯამებულია ქულები, რომლებსაც მიიღებთ დასრულებული დავალებებისთვის.
წარმატებებს გისურვებთ!

დავალების პირობები

1. იპოვე თუ
2. ლაბორატორიაში ეკრანზე ნათურის გადიდებული გამოსახულების მისაღებად გამოიყენება კონვერგირებადი ობიექტივი ძირითადი ფოკუსური მანძილით = 30 სმ. მანძილი ლინზიდან ნათურამდე შეიძლება იცვლებოდეს 40-დან 65 სმ-მდე, ხოლო მანძილი. ობიექტივიდან ეკრანამდე - 75-დან 100 სმ-მდე დიაპაზონში. ეკრანზე გამოსახულება ნათელი იქნება, თუ თანაფარდობა დაკმაყოფილდება. მიუთითეთ ყველაზე დიდი მანძილი ლინზიდან, რომლითაც ნათურა შეიძლება განთავსდეს ისე, რომ მისი გამოსახულება ეკრანზე იყოს ნათელი. გამოხატეთ თქვენი პასუხი სანტიმეტრებში.
3. გემი გადის მდინარის გასწვრივ დანიშნულების ადგილამდე 300 კმ და პარკირების შემდეგ ბრუნდება გამგზავრების ადგილზე. იპოვეთ დენის სიჩქარე, თუ გემის სიჩქარე უძრავ წყალში 15 კმ/სთ-ია, პარკინგი გრძელდება 5 საათი, გემი კი მისგან გამგზავრებიდან 50 საათის შემდეგ ბრუნდება გაფრენის წერტილში. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე
5. ა) ამოხსენით განტოლება ბ) იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს
6. მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი წვერით მ. კონუსის ღერძული მონაკვეთი - სამკუთხედი მწვერვალზე 120 ° კუთხით მ. კონუსის გენერატორი არის. წერტილის მეშვეობით მკონუსის მონაკვეთი შედგენილია ერთ-ერთი გენერატორის პერპენდიკულარულად.
   ა) დაამტკიცეთ, რომ მიღებული სამკუთხედი არის ბლაგვი სამკუთხედი.
   ბ) იპოვეთ მანძილი ცენტრიდან ოკონუსის საფუძველი მონაკვეთის სიბრტყემდე.
7. ამოხსენით განტოლება
8. წრე ცენტრით ომხარეს ეხება ABტოლფერდა სამკუთხედი abc,გვერდითი გაფართოებები ACდა ფონდის გაგრძელება მზეწერტილში ნ. Წერტილი მ- ბაზის შუა მზე.
   ა) დაამტკიცეთ ეს MN=AC.
   ბ) იპოვეთ OS,თუ სამკუთხედის გვერდები ABCარის 5, 5 და 8.
9. ბიზნეს პროექტი „ა“ ითვალისწინებს მასში დაბანდებული თანხების ზრდას ყოველწლიურად 34,56%-ით პირველი ორი წლის განმავლობაში და 44%-ით ყოველწლიურად მომდევნო ორი წლის განმავლობაში. პროექტი B ითვალისწინებს ზრდას მუდმივი მთელი რიცხვით ნპროცენტი ყოველწლიურად. იპოვეთ ყველაზე პატარა მნიშვნელობა ნ, რომლის ფარგლებშიც პირველი ოთხი წლის განმავლობაში პროექტი "B" უფრო მომგებიანი იქნება, ვიდრე პროექტი "A".
10. იპოვნეთ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, , რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებათა სისტემა აქვს ერთადერთი გამოსავალი
11. ანა თამაშობს თამაშს: დაფაზე იწერება ორი განსხვავებული ნატურალური რიცხვი და , ორივე 1000-ზე ნაკლებია. თუ ორივე ნატურალური რიცხვია, მაშინ ანა მოძრაობს - წინა რიცხვებს ცვლის ამ ორი რიცხვით. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ თამაში მთავრდება.
    ა) შეიძლება თუ არა თამაში გაგრძელდეს ზუსტად სამი სვლით?
    ბ) არის ორი საწყისი რიცხვი ისეთი, რომ თამაში გაგრძელდეს მინიმუმ 9 სვლით?
    გ) ანამ თამაშში პირველი ნაბიჯი გადადგა. იპოვეთ მიღებული ორი რიცხვის ნამრავლის უდიდესი შესაძლო შეფარდება ნამრავლთან

შესავალი

საკვლევი თემის აქტუალობა.კონუსური მონაკვეთები უკვე ცნობილი იყო ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებისთვის (მაგალითად, მენეხმუსი, ძვ. წ. IV ს.); ამ მოსახვევების დახმარებით მოგვარდა ზოგიერთი კონსტრუქციული პრობლემა (კუბის გაორმაგება და ა.შ.), რაც მიუწვდომელი აღმოჩნდა უმარტივესი სახატავი ხელსაწყოების – კომპასისა და სახაზავი – გამოყენებისას. ჩვენამდე მოღწეულ პირველ კვლევებში ბერძნულმა გეომეტრებმა მიიღეს კონუსური მონაკვეთები ერთ-ერთ გენერატორზე პერპენდიკულარული ჭრის სიბრტყის დახატვით, ხოლო კონუსის ზედა გახსნის კუთხიდან გამომდინარე (ანუ ყველაზე დიდი კუთხე გენერატორებს შორის. ერთი ღრუს), გადაკვეთის ხაზი აღმოჩნდა ელიფსი, თუ ეს კუთხე მწვავეა, ეს არის პარაბოლა, თუ მართი კუთხეა და ჰიპერბოლა, თუ ბლაგვია. ყველაზე სრულყოფილი ნამუშევარი, რომელიც მიეძღვნა ამ მოსახვევებს, იყო პერგას აპოლონიუს "კონუსური განყოფილებები" (დაახლოებით ძვ. წ. 200 წ.). კონუსური მონაკვეთების თეორიის შემდგომი წინსვლა დაკავშირებულია მე-17 საუკუნეში შექმნასთან. ახალი გეომეტრიული მეთოდები: პროექციული (ფრანგი მათემატიკოსები ჟ. დეზარგი, ბ. პასკალი) და განსაკუთრებით კოორდინატული (ფრანგი მათემატიკოსები რ. დეკარტი, პ. ფერმა).

კონუსური მონაკვეთებისადმი ინტერესს ყოველთვის მხარს უჭერდა ის ფაქტი, რომ ეს მრუდები ხშირად გვხვდება სხვადასხვა ბუნებრივ მოვლენებში და ადამიანის საქმიანობაში. მეცნიერებაში კონუსურმა მონაკვეთებმა განსაკუთრებული მნიშვნელობა შეიძინეს მას შემდეგ, რაც გერმანელმა ასტრონომმა ი. მონაკვეთები, რომელთა ფოკუსებიდან ერთში მზეა. შემდეგი მაგალითები ეხება კონუსური მონაკვეთების გარკვეულ ტიპებს: ჭურვი ან ქვა, რომელიც ჰორიზონტზე დახრილად არის აგდებული, აღწერს პარაბოლას (მრუდის სწორი ფორმა გარკვეულწილად დამახინჯებულია ჰაერის წინააღმდეგობის გამო); ზოგიერთ მექანიზმში გამოიყენება ელიფსური გადაცემათა კოლოფი ("ელიფსური მექანიზმი"); ჰიპერბოლა ემსახურება როგორც უკუპროპორციულობის გრაფიკს, რომელიც ხშირად შეინიშნება ბუნებაში (მაგალითად, ბოილ-მარიოტის კანონი).

მიზანი:

კონუსური მონაკვეთების თეორიის შესწავლა.

კვლევის თემა:

კონუსური სექციები.

კვლევის მიზანი:

თეორიულად შეისწავლეთ კონუსური მონაკვეთების თავისებურებები.

კვლევის ობიექტი:

კონუსური სექციები.

კვლევის საგანი:

კონუსური მონაკვეთების ისტორიული განვითარება.

1. კონუსური მონაკვეთების ფორმირება და მათი ტიპები

კონუსური მონაკვეთები არის ხაზები, რომლებიც წარმოიქმნება მარჯვენა წრიული კონუსის განყოფილებაში სხვადასხვა სიბრტყით.

გაითვალისწინეთ, რომ კონუსური ზედაპირი არის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზის მოძრაობით, რომელიც მუდმივად გადის ფიქსირებულ წერტილში (კონუსის ზედა ნაწილი) და მუდმივად კვეთს ფიქსირებულ მრუდს - სახელმძღვანელოს (ჩვენს შემთხვევაში, წრეს). ).

ამ ხაზების კლასიფიკაციის მიხედვით, კონუსის გენერატორებთან მიმართებაში სეკანტური სიბრტყეების ადგილმდებარეობის ბუნების მიხედვით, მიიღება სამი სახის მრუდი:

I. კონუსის მონაკვეთის მიერ წარმოქმნილი მრუდები სიბრტყეებით, რომლებიც არ არიან პარალელურად რომელიმე გენერატორის. ასეთი მოსახვევები იქნება სხვადასხვა წრეები და ელიფსები. ამ მოსახვევებს ელიფსური მრუდები ეწოდება.

II. კონუსის მონაკვეთის მიერ წარმოქმნილი მრუდები სიბრტყეებით, რომელთაგან თითოეული პარალელურია კონუსის ერთ-ერთი გენერატრიქსის (ნახ. 1ბ). მხოლოდ პარაბოლები იქნება ასეთი მრუდები.

III. კონუსის მონაკვეთის მიერ წარმოქმნილი მრუდები სიბრტყეებით, რომელთაგან თითოეული პარალელურია ორი გენერატორის (ნახ. 1c). ასეთი მრუდები იქნება ჰიპერბოლები.

აღარ შეიძლება არსებობდეს IV ტიპის მრუდები, ვინაიდან არ შეიძლება იყოს სიბრტყე პარალელურად კონუსის სამი გენერატორის ერთდროულად, რადგან თავად კონუსის სამი გენერატორი არ დევს იმავე სიბრტყეში.

გაითვალისწინეთ, რომ კონუსი შეიძლება გადაიკვეთოს სიბრტყეებით და ისე, რომ მონაკვეთში ორი სწორი ხაზი იყოს მიღებული. ამისათვის სეკანტური სიბრტყეები უნდა გაივლოს კონუსის ზემოდან.

2. ელიფსი

კონუსური მონაკვეთების თვისებების შესასწავლად მნიშვნელოვანია ორი თეორემა:

თეორემა 1. მოდით მივცეთ სწორი წრიული კონუსი, რომელიც იშლება მისი ღერძის პერპენდიკულარული b 1, b 2, b 3 სიბრტყეებით. მაშინ კონუსის გენერატორების ყველა სეგმენტი რომელიმე წყვილ წრეს შორის (მიღებული მოცემულ სიბრტყეებთან მონაკვეთში) ერთმანეთის ტოლია, ე.ი. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d და ა.შ. და B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d და ა.შ. თეორემა 2. თუ მოცემულია სფერული ზედაპირი და მის გარეთ არის რაღაც S წერტილი, მაშინ S წერტილიდან სფერულ ზედაპირზე გამოყვანილი ტანგენტების სეგმენტები ერთმანეთის ტოლი იქნება, ე.ი. SA 1 =SA 2 =SA 3 და ა.შ.

2.1 ელიფსის ძირითადი თვისება

ვჭრით მარჯვენა წრიულ კონუსს სიბრტყით, რომელიც კვეთს მის ყველა გენერატორს, განყოფილებაში ვიღებთ ელიფსს. მოდით დავხატოთ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სიბრტყე კონუსის ღერძის გავლით.

კონუსში ჩავწერთ ორ ბურთულას ისე, რომ სიბრტყის მოპირდაპირე მხარეს მდებარეობით და კონუსურ ზედაპირთან შეხებით, თითოეული მათგანი რაღაც მომენტში შეეხო სიბრტყეს.

მოდით, ერთი ბურთი შეეხოს თვითმფრინავს F 1 წერტილში და შეეხოს კონუსს C 1 წრის გასწვრივ, ხოლო მეორე F 2 წერტილს და შეეხოს კონუსს C 2 წრის გასწვრივ.

აიღეთ თვითნებური წერტილი P ელიფსზე.

ეს ნიშნავს, რომ მასზე გაკეთებული ყველა დასკვნა მოქმედი იქნება ელიფსის ნებისმიერი წერტილისთვის. მოდით დავხატოთ კონუსის OR-ის გენერაცია და მოვნიშნოთ R 1 და R 2 წერტილები, რომლებზეც ის ეხება აგებულ ბურთებს.

დააკავშირეთ P წერტილი F 1 და F 2 წერტილებთან. შემდეგ PF 1 = PR 1 და PF 2 = PR 2, რადგან PF 1, PR 1 არის ტანგენტები, რომლებიც გაყვანილია P წერტილიდან ერთ ბურთზე, და PF 2, PR 2 არის ტანგენტები, რომლებიც გამოყვანილია P წერტილიდან მეორე ბურთზე (თეორემა 2) . ორივე თანასწორობის ტერმინით ვამატებით, ვხვდებით

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

ეს ურთიერთობა გვიჩვენებს, რომ ელიფსის თვითნებური P წერტილის მანძილების ჯამი (РF 1 და РF 2) ორ წერტილამდე F 1 და F 2 არის ამ ელიფსის მუდმივი მნიშვნელობა (ე.ი. ეს არ არის დამოკიდებული პოზიციაზე. წერტილი P ელიფსზე).

წერტილებს F 1 და F 2 ეწოდება ელიფსის კერები. წერტილებს, რომლებზეც წრფე F 1 F 2 კვეთს ელიფსს, ელიფსის წვეროები ეწოდება. წვეროებს შორის სეგმენტს ელიფსის მთავარი ღერძი ეწოდება.

გენერატრიქსის R 1 R 2 სეგმენტი სიგრძით უდრის ელიფსის ძირითად ღერძს. შემდეგ ელიფსის მთავარი თვისება ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ელიფსის თვითნებური P წერტილის მანძილების ჯამი მის ფოკუსებამდე F 1 და F 2 არის ამ ელიფსის მუდმივი მნიშვნელობა, მისი ძირითადი ღერძის სიგრძის ტოლი.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ელიფსის კერები ემთხვევა, მაშინ ელიფსი არის წრე, ე.ი. წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა.

2.2 ელიფსის განტოლება

ელიფსის განტოლების ფორმულირებისთვის ელიფსი უნდა მივიჩნიოთ, როგორც წერტილების ადგილსამყოფელი, რომლებსაც აქვთ გარკვეული თვისება, რომელიც ახასიათებს ამ ადგილს. ავიღოთ ელიფსის მთავარი თვისება, როგორც მისი განმარტება: ელიფსი არის სიბრტყის წერტილების ადგილი, რომლისთვისაც მანძილების ჯამი ამ სიბრტყის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე F 1 და F 2, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა ტოლი. მისი ძირითადი ღერძის სიგრძე.

მოდით, სეგმენტის სიგრძე F 1 F 2 \u003d 2c, ხოლო მთავარი ღერძის სიგრძეა 2a. ელიფსის კანონიკური განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ დეკარტეზული კოორდინატთა სისტემის O საწყისს F 1 F 2 სეგმენტის შუაში და მივმართავთ ღერძებს Ox და Oy, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 5. (თუ კერები ემთხვევა, მაშინ O ემთხვევა F 1 და F 2-ს და Ox ღერძის მიღმა შეიძლება მივიღოთ როგორც O-ზე გამავალი ნებისმიერი ღერძი). შემდეგ არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში წერტილები F 1 (c, 0) და F 2 (-c, 0). ცხადია, 2a > 2c, ე.ი. a>c. მოდით M(x, y) იყოს ელიფსის კუთვნილი სიბრტყის წერტილი. მოდით МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . ელიფსის განმარტებით, თანასწორობა

r 1 +r 2 =2a (2) აუცილებელი და საკმარისი პირობაა M (x, y) წერტილის მდებარეობისთვის მოცემულ ელიფსზე. ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

r 1 =, r 2 =. დავუბრუნდეთ თანასწორობას (2):

გადავიტანოთ ერთი ფესვი ტოლობის მარჯვენა მხარეს და კვადრატში:

შემცირებით, ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, ვამცირებთ 4-ით და გამოვყოფთ რადიკალს:

ჩვენ მოედანზე

გახსენით ფრჩხილები და შეამცირეთ შემდეგზე:

საიდანაც ვიღებთ:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

გაითვალისწინეთ, რომ 2 -c 2 >0. მართლაც, r 1 +r 2 არის F 1 MF 2 სამკუთხედის ორი გვერდის ჯამი, ხოლო F 1 F 2 არის მისი მესამე გვერდი. ამიტომ, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , ან 2а>2с, ე.ი. a>c. აღნიშნეთ 2 -c 2 \u003d b 2. განტოლება (3) ასე გამოიყურება: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . მოდით შევასრულოთ ტრანსფორმაცია, რომელიც მოაქვს ელიფსის განტოლებას კანონიკურ (სიტყვასიტყვით: ნიმუშის სახით აღებული) ფორმამდე, კერძოდ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე ნაწილს 2 b 2-ზე:

(4) - ელიფსის კანონიკური განტოლება.

ვინაიდან განტოლება (4) არის (2*) განტოლების ალგებრული შედეგი, მაშინ ელიფსის ნებისმიერი M წერტილის x და y კოორდინატები ასევე დააკმაყოფილებს განტოლებას (4). ვინაიდან „დამატებითი ფესვები“ შეიძლება გამოჩნდეს ალგებრული გარდაქმნების დროს, რომლებიც დაკავშირებულია რადიკალების მოშორებასთან, აუცილებელია დავრწმუნდეთ, რომ ნებისმიერი წერტილი M, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (4), მდებარეობს ამ ელიფსზე. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ რაოდენობები r 1 და r 2 თითოეული წერტილისთვის აკმაყოფილებს მიმართებას (2). ასე რომ, M წერტილის x და y კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას (4). y 2 მნიშვნელობის ჩანაცვლებით (4) გამოსახულებით r 1 , მარტივი გარდაქმნების შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ r 1 =. ვინაიდან, მაშინ r 1 =. ანალოგიურად, ჩვენ ვხვდებით, რომ r 2 =. ამრიგად, განხილული წერტილისთვის M r 1 =, r 2 =, ე.ი. r 1 + r 2 \u003d 2a, ამიტომ წერტილი M მდებარეობს ელიფსზე. a და b სიდიდეებს უწოდებენ ელიფსის ძირითად და მცირე ნახევარღერძებს შესაბამისად.

2.3 ელიფსის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების მიხედვით

დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (4) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში, ასე რომ, თუ წერტილი (x, y) ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ წერტილები (x, - y), (-x, y), (-x, - y). აქედან გამომდინარეობს, რომ ელიფსი სიმეტრიულია Ox და Oy ღერძების მიმართ და ასევე O წერტილის მიმართ (0,0), რომელსაც ელიფსის ცენტრს უწოდებენ.

2. იპოვეთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. y \u003d 0-ის დაყენებით, ჩვენ ვიპოვით ორ წერტილს A 1 (a, 0) და A 2 (-a, 0), რომლებშიც Ox ღერძი კვეთს ელიფსს. x=0 (4) განტოლებაში ჩასვით ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს Oy ღერძთან: B 1 (0, b) და. B 2 (0, - b) წერტილებს A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ელიფსის წვეროებს უწოდებენ.

3. (4) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მარცხენა მხარეს თითოეული წევრი არ აღემატება ერთიანობას, ე.ი. არის უტოლობები და ან და. მაშასადამე, ელიფსის ყველა წერტილი დევს სწორი ხაზებით წარმოქმნილ მართკუთხედში, .

4. განტოლებაში (4) არაუარყოფითი წევრთა ჯამი და უდრის ერთს. მაშასადამე, როგორც ერთი ტერმინი იზრდება, მეორეც შემცირდება, ე.ი. თუ x იზრდება, მაშინ y მცირდება და პირიქით.

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 6 (ოვალური დახურული მრუდი).

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a = b, მაშინ განტოლება (4) მიიღებს x 2 + y 2 = a 2 ფორმას. ეს არის წრის განტოლება. ელიფსის მიღება შესაძლებელია a რადიუსის მქონე წრიდან, თუ ის ერთხელ შეკუმშულია Oy ღერძის გასწვრივ. ასეთი შეკუმშვისას წერტილი (x; y) წავა წერტილში (x; y 1), სადაც. წრის განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ ელიფსის განტოლებას: .

შემოვიღოთ კიდევ ერთი რაოდენობა, რომელიც ახასიათებს ელიფსის ფორმას.

ელიფსის ექსცენტრიულობა არის 2c ფოკუსური სიგრძის თანაფარდობა მისი ძირითადი ღერძის 2a სიგრძესთან.

ექსცენტრიულობა ჩვეულებრივ აღინიშნება e-ით: e = ვინაიდან გ< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

ბოლო თანასწორობიდან ადვილია ელიფსის ექსცენტრიულობის გეომეტრიული ინტერპრეტაციის მიღება. ძალიან მცირე რიცხვებისთვის a და b თითქმის ტოლია, ანუ ელიფსი ახლოსაა წრესთან. თუ ის ახლოსაა ერთიანობასთან, მაშინ b რიცხვი ძალიან მცირეა a რიცხვთან შედარებით და ელიფსი ძლიერ წაგრძელებულია ძირითადი ღერძის გასწვრივ. ამრიგად, ელიფსის ექსცენტრიულობა ახასიათებს ელიფსის გახანგრძლივების ზომას.

3. ჰიპერბოლა

3.1 ჰიპერბოლის მთავარი თვისება

ჰიპერბოლის შესწავლისას ელიფსის შესასწავლად განხორციელებული კონსტრუქციების მსგავსი კონსტრუქციების დახმარებით აღმოვაჩენთ, რომ ჰიპერბოლას აქვს ელიფსის მსგავსი თვისებები.

მოდით გავჭრათ სწორი წრიული კონუსი b სიბრტყით, რომელიც კვეთს მის ორივე სიბრტყეს, ე.ი. მისი ორი გენერატორის პარალელურად. განივი მონაკვეთი არის ჰიპერბოლა. კონუსის ST ღერძის გავლით დავხატოთ b სიბრტყის პერპენდიკულარული ASB სიბრტყე.

კონუსში ჩავწერთ ორ ბურთულას - ერთს მის ერთ ღრუში, მეორეს მეორეში ისე, რომ თითოეული მათგანი შეეხოს კონუსურ ზედაპირს და საჭრელ სიბრტყეს. დაე, პირველი ბურთი შეეხოს b სიბრტყეს F 1 წერტილში და შეეხოს კონუსურ ზედაპირს UґVґ წრის გასწვრივ. დაე, მეორე ბურთი შეეხოს b სიბრტყეს F 2 წერტილში და შეეხოს კონუსურ ზედაპირს ულტრაიისფერი წრის გასწვრივ.

ჰიპერბოლაზე ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს M. მასში გავავლოთ MS კონუსის გენერატრიქსი და მოვნიშნოთ d და D წერტილები, რომლებზეც ის ეხება პირველ და მეორე ბურთებს. M წერტილს ვუკავშირებთ F 1, F 2 წერტილებს, რომლებსაც ჰიპერბოლის ფოკუსებს დავარქმევთ. შემდეგ MF 1 =Md, ვინაიდან ორივე სეგმენტი ტანგენსია M წერტილიდან გამოყვანილ პირველ ბურთზე. ანალოგიურად, MF 2 =MD. ტერმინით გამოვაკლებთ პირველ ტოლობას მეორეს, ვპოულობთ

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

სადაც dD არის მუდმივი მნიშვნელობა (როგორც კონუსის გენერაცია UґVґ და UV ფუძეებით), ჰიპერბოლაზე M წერტილის არჩევისგან დამოუკიდებელი. P-ით და Q-ით აღნიშნეთ ის წერტილები, რომლებზეც წრფე F 1 F 2 კვეთს ჰიპერბოლას. ამ P და Q წერტილებს ჰიპერბოლის წვეროები ეწოდება. სეგმენტს PQ ეწოდება ჰიპერბოლის რეალური ღერძი. ელემენტარული გეომეტრიის მსვლელობისას დადასტურებულია, რომ dD=PQ. ამიტომ, MF 1 -MF 2 =PQ.

თუ წერტილი M იქნება ჰიპერბოლის იმ განშტოებაზე, რომლის მახლობლად ფოკუსი F 1 მდებარეობს, მაშინ MF 2 -MF 1 =PQ. შემდეგ საბოლოოდ მივიღებთ МF 1 -MF 2 =PQ.

ჰიპერბოლის თვითნებური M წერტილის დაშორებებს შორის სხვაობის მოდული მისი F 1 და F 2 კერებიდან არის ჰიპერბოლის რეალური ღერძის სიგრძის ტოლი მუდმივი მნიშვნელობა.

3.2 ჰიპერბოლის განტოლება

ავიღოთ ჰიპერბოლის ძირითადი თვისება, როგორც მისი განმარტება: ჰიპერბოლა არის სიბრტყის წერტილების ლოკუსი, რომლისთვისაც ამ სიბრტყის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე F 1 და F 2 მანძილების სხვაობის მოდული, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი. მნიშვნელობა მისი რეალური ღერძის სიგრძის ტოლია.

მოდით, სეგმენტის სიგრძე F 1 F 2 \u003d 2c, ხოლო რეალური ღერძის სიგრძე არის 2a. ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლების გამოსაყვანად, ჩვენ ვირჩევთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისს F 1 F 2 სეგმენტის შუაში და მივმართავთ ღერძებს Ox და Oy, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 5. შემდეგ არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში წერტილები F 1 (c, 0) და F 2 ( -s, 0). ცხადია 2ა<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) არის აუცილებელი და საკმარისი პირობა ამ ჰიპერბოლაზე M (x, y) წერტილის ადგილმდებარეობისთვის. ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

r 1 =, r 2 =. დავუბრუნდეთ თანასწორობას (5):

მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

შემცირებით, ჩვენ ვიღებთ:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

გაითვალისწინეთ, რომ c 2 -a 2 >0. აღნიშნეთ c 2 -a 2 =b 2 . განტოლება (6) ასე გამოიყურება: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . ჩვენ ვასრულებთ ტრანსფორმაციას, რომელიც ჰიპერბოლის განტოლებას მოაქვს კანონიკურ ფორმამდე, კერძოდ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე ნაწილს 2 b 2-ზე: (7) - ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება, a და b სიდიდეები, შესაბამისად, ჰიპერბოლის რეალური და წარმოსახვითი ნახევარღერძია.

უნდა დავრწმუნდეთ, რომ (5*) განტოლების ალგებრული გარდაქმნებით მიღებულ განტოლებას (7) არ აქვს ახალი ფესვები. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ M ყოველი წერტილისთვის, რომელთა კოორდინატები x და y აკმაყოფილებს განტოლებას (7), მნიშვნელობები r 1 და r 2 აკმაყოფილებენ მიმართებას (5). ელიფსის ფორმულის გამოტანისას მსგავსი არგუმენტების ჩატარებისას ვპოულობთ შემდეგ გამონათქვამებს r 1 და r 2-სთვის:

ამრიგად, განხილული M წერტილისთვის გვაქვს r 1 -r 2 =2a და, შესაბამისად, ის მდებარეობს ჰიპერბოლაზე.

3.3 ჰიპერბოლის განტოლების შესწავლა

ახლა ვცადოთ, განტოლების (7) განხილვის საფუძველზე, მივიღოთ იდეა ჰიპერბოლის ადგილმდებარეობის შესახებ.
1. უპირველეს ყოვლისა, განტოლება (7) აჩვენებს, რომ ჰიპერბოლა სიმეტრიულია ორივე ღერძის მიმართ. ეს აიხსნება იმით, რომ მრუდის განტოლებაში მხოლოდ კოორდინატების თანაბარი ხარისხი შედის. 2. ახლა ჩვენ აღვნიშნავთ სიბრტყის რეგიონს, სადაც მრუდი იქნება. ჰიპერბოლის განტოლებას, რომელიც ამოხსნილია y-ის მიმართ, აქვს ფორმა:

ეს გვიჩვენებს, რომ y ყოველთვის არსებობს, როცა x 2? ა 2 . ეს ნიშნავს რომ x-სთვის? a და x-სთვის? - და y-ორდინატი რეალური იქნება, ხოლო - a

გარდა ამისა, x (და დიდი a) გაზრდით, y-ორდინატი ასევე გაიზრდება მუდმივად (კერძოდ, აქედან ჩანს, რომ მრუდი არ შეიძლება იყოს ტალღოვანი, ანუ ისეთი, რომ x-ის აბსცისის ზრდასთან ერთად, y-ორდინატი ან იზრდება ან მცირდება).

3. ჰიპერბოლის ცენტრი არის წერტილი, რომლის მიმართაც ჰიპერბოლის თითოეულ წერტილს აქვს თავისი სიმეტრიული წერტილი. წერტილი O(0,0), საწყისი, რაც შეეხება ელიფსს, არის კანონიკური განტოლებით მოცემული ჰიპერბოლის ცენტრი. ეს ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლის თითოეულ წერტილს აქვს ჰიპერბოლაზე სიმეტრიული წერტილი O წერტილის მიმართ. ეს გამომდინარეობს ჰიპერბოლის სიმეტრიიდან Ox და Oy ღერძების მიმართ. ჰიპერბოლის ნებისმიერ აკორდს, რომელიც გადის მის ცენტრში, ეწოდება ჰიპერბოლის დიამეტრი.

4. ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილებს იმ წრფესთან, რომელზედაც მდებარეობს მისი კერები, ჰიპერბოლის წვეროები, ხოლო მათ შორის სეგმენტი ჰიპერბოლის რეალური ღერძი. ამ შემთხვევაში, რეალური ღერძი არის x ღერძი. გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპერბოლის რეალურ ღერძს ხშირად უწოდებენ სეგმენტს 2a და თავად სწორ ხაზს (Ox ღერძი), რომელზეც ის მდებარეობს.

იპოვეთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილები Oy ღერძთან. y-ღერძის განტოლება არის x=0. x = 0 (7) განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ, რომ ჰიპერბოლას არ აქვს გადაკვეთის წერტილები Oy ღერძთან. ეს გასაგებია, რადგან არ არის ჰიპერბოლის წერტილები 2a სიგანის ზოლში, რომელიც ფარავს Oy ღერძს.

ჰიპერბოლის რეალური ღერძის პერპენდიკულარულ ხაზს და მის ცენტრში გადის, ჰიპერბოლის წარმოსახვითი ღერძი ეწოდება. ამ შემთხვევაში ის ემთხვევა y-ღერძს. ასე რომ, x 2 და y 2-ის ტერმინების მნიშვნელებში ჰიპერბოლის განტოლებაში (7) არის ჰიპერბოლის რეალური და წარმოსახვითი ნახევარღერძების კვადრატები.

5. ჰიპერბოლა კვეთს y = kx წრფეს k-სთვის< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

მტკიცებულება

ჰიპერბოლისა და y = kx წრფის გადაკვეთის წერტილების კოორდინატების დასადგენად საჭიროა განტოლებათა სისტემის ამოხსნა.

აღმოფხვრის y, ჩვენ მივიღებთ

ან b 2 -k 2 a 2 0-სთვის, ანუ k-სთვის მიღებული განტოლება და, შესაბამისად, ამონახსნების სისტემა არ აქვს.

სწორ ხაზებს y= და y= განტოლებით - ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ეწოდება.

b 2 -k 2 a 2 >0, ანუ k-სთვის< система имеет два решения:

მაშასადამე, ყოველი სწორი ხაზი, რომელიც გადის საწყისზე, დახრილობით კ< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. ჰიპერბოლის ოპტიკური თვისება: ჰიპერბოლის ერთი ფოკუსიდან გამომავალი ოპტიკური სხივები, მისგან არეკლილი, თითქოს მეორე ფოკუსიდან მოდის.

ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის 2c ფოკუსური სიგრძის შეფარდება მისი რეალური ღერძის 2a სიგრძესთან?
იმათ. მისი ჩაზნექილი მხრიდან.

3.4 კონიუგატური ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლასთან (7) ერთად განიხილება მის მიმართ კონიუგირებული ჰიპერბოლა. კონიუგატური ჰიპერბოლა განისაზღვრება კანონიკური განტოლებით.

ნახ. 10 გვიჩვენებს ჰიპერბოლას (7) და მის კონიუგატულ ჰიპერბოლას. კონიუგატ ჰიპერბოლას აქვს იგივე ასიმპტოტები, რაც მოცემულს, მაგრამ F 1 (0, c),

4. პარაბოლა

4.1 პარაბოლას ძირითადი თვისება

მოდით დავადგინოთ პარაბოლის ძირითადი თვისებები. მოდით გავჭრათ მარჯვენა წრიული კონუსი S წვერით მისი ერთ-ერთი გენერატორის პარალელურად. განყოფილებაში ვიღებთ პარაბოლას. კონუსის ST ღერძის გავლით დავხატოთ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ASB სიბრტყე (სურ. 11). მასში მოთავსებული გენერატრიქსი SA იქნება თვითმფრინავის პარალელურად. კონუსში ჩავწეროთ სფერული ზედაპირი კონუსზე ტანგენტი წრის ულტრაიისფერი სხივის გასწვრივ და ტანგენსი F წერტილის სიბრტყეზე. გავავლოთ ხაზი F წერტილის გავლით გენერატორი SA-ის პარალელურად. მოდი, SB გენერატრიქსთან მისი გადაკვეთის წერტილი ავღნიშნოთ P-ით. F წერტილს ეწოდება პარაბოლის ფოკუსი, P წერტილი არის მისი წვერო, ხოლო PF წრფე, რომელიც გადის წვეროზე და ფოკუსზე (და გენერატრიქსის პარალელურად). SA) ეწოდება პარაბოლის ღერძი. პარაბოლას არ ექნება მეორე წვერო - PF ღერძის გადაკვეთის წერტილი გენერატრიქს SA-სთან: ეს წერტილი "მიდის უსასრულობამდე". მოდით ვუწოდოთ Directrix (თარგმანში ნიშნავს "მეგზურს") სიბრტყის გადაკვეთის ხაზს q 1 q 2 იმ სიბრტყესთან, რომელშიც დევს წრე UV. აიღეთ თვითნებური წერტილი M პარაბოლაზე და შეაერთეთ იგი კონუსის S წვეროსთან. ხაზი MS ეხება ბურთს UV წრეზე მდებარე D წერტილში. M წერტილს ვუკავშირებთ F ფოკუსს და პერპენდიკულარულ MK-ს ვაყრით M წერტილიდან მიმართულებამდე. შემდეგ გამოდის, რომ პარაბოლის თვითნებური M წერტილის მანძილი ფოკუსამდე (MF) და მიმართულებამდე (MK) ერთმანეთის ტოლია (პარაბოლის მთავარი თვისება), ე.ი. MF=MK.

დადასტურება: МF=MD (როგორც ბურთის ტანგენტები ერთი წერტილიდან). კონუსის რომელიმე გენერატრიქსსა და ST ღერძს შორის კუთხე ავღნიშნოთ როგორც q. მოდით გავაპროექტოთ MD და MK სეგმენტები ST ღერძზე. სეგმენტი MD ქმნის პროექციას ST ღერძზე, MDcosc-ის ტოლი, ვინაიდან MD დევს კონუსის გენერატრიქსზე; სეგმენტი MK ქმნის პროექციას ST ღერძზე, MKsoc-ის ტოლი, ვინაიდან MK სეგმენტი პარალელურია გენერატრიქსის SA-სთან. (ნამდვილად, მიმართულება q 1 q 1 არის ASB სიბრტყის პერპენდიკულარული. ამიტომ, PF წრფე კვეთს დირექტიკას L წერტილში სწორი კუთხით. მაგრამ წრფეები MK და PF დევს ერთ სიბრტყეში და MK ასევე პერპენდიკულარულია. დირექტორს). ორივე სეგმენტის MK და MD პროგნოზები ST ღერძზე ერთმანეთის ტოლია, რადგან მათი ერთ-ერთი ბოლო - წერტილი M - საერთოა, ხოლო დანარჩენი ორი D და K დევს ST ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში (ნახ. ). შემდეგ МDcosц= MKsоsц ან МD= MK. ამიტომ MF=MK.

საკუთრება 1.(პარაბოლის ფოკალური თვისება).

მანძილი პარაბოლის ნებისმიერი წერტილიდან მთავარი აკორდის შუა ნაწილამდე უდრის მის მანძილს მიმართულებამდე.

მტკიცებულება.

წერტილი F - წრფის QR და მთავარი აკორდის გადაკვეთის წერტილი. ეს წერტილი დევს Oy სიმეტრიის ღერძზე. მართლაც, სამკუთხედები RNQ და ROF თანმიმდევრულია, ისევე როგორც მართკუთხა სამკუთხედები

სამკუთხედები ადრეული ფეხებით (NQ=OF, OR=RN). ამიტომ, რაც არ უნდა ავიღოთ N წერტილი, მის გასწვრივ აგებული QR ხაზი გადაკვეთს მთავარ აკორდს მის F შუაში. ახლა ცხადია, რომ სამკუთხედი FMQ არის ტოლფერდა. მართლაც, სეგმენტი MR არის ამ სამკუთხედის როგორც მედიანა, ასევე სიმაღლე. ეს ნიშნავს, რომ MF=MQ.

საკუთრება 2.(პარაბოლის ოპტიკური თვისება).

პარაბოლაზე ნებისმიერი ტანგენსი ქმნის თანაბარ კუთხეებს ფოკუსური რადიუსით, რომელიც მიზიდულია ტანგენტის წერტილიდან და სხივი, რომელიც მოდის ტანგენსტური წერტილიდან და თანამიმართულია ღერძთან (ან, პარაბოლიდან არეკლილი ერთი ფოკუსიდან გამომავალი სხივები წავა. ღერძის პარალელურად).

მტკიცებულება. N წერტილისთვის, რომელიც დევს პარაბოლაზე, ტოლობა |FN|=|NH| მართალია, ხოლო N წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს პარაბოლის შიდა რეგიონში, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, ანუ წერტილი M" მდებარეობს პარაბოლის გარე რეგიონში. ამრიგად, მთელი l ხაზი, გარდა M წერტილისა, დევს გარე რეგიონში, ანუ პარაბოლის შიდა მხარე დევს l-ის ერთ მხარეს, რაც ნიშნავს, რომ l არის პარაბოლის ტანგენსი. ეს იძლევა პარაბოლის ოპტიკური თვისების მტკიცებულებას: კუთხე 1 უდრის კუთხე 2-ს, რადგან l არის FMK კუთხის ბისექტორი.

4.2 პარაბოლის განტოლება

პარაბოლის ძირითადი თვისებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაყალიბებთ მის განმარტებას: პარაბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული სწორი ხაზი, რომელსაც ეწოდება მიმართულება. . მანძილი F ფოკუსიდან დირექტიკულამდე ეწოდება პარაბოლის პარამეტრს და აღინიშნება p (p > 0).

პარაბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ Oxy კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ Oxy ღერძი გაიაროს F ფოკუსში, პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიმართულებიდან F-ის მიმართულებით, ხოლო საწყისი O მდებარეობს შუაში ფოკუსსა და დირექტიკას შორის. (სურ. 12). არჩეულ სისტემაში ფოკუსი არის F(, 0), ხოლო დირექტივის განტოლებას აქვს ფორმა x=-, ან x+=0. მოდით, m (x, y) იყოს პარაბოლის თვითნებური წერტილი. შეაერთეთ M წერტილი F-თან. დახაზეთ MH მონაკვეთი მიმართულების პერპენდიკულურად. პარაბოლის განმარტების მიხედვით MF = MH. ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით ვხვდებით:

მაშასადამე, განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ

იმათ. (8) განტოლებას (8) ეწოდება პარაბოლის კანონიკური განტოლება.

4.3 პარაბოლის ფორმების შესწავლა მისი განტოლების მიხედვით

1. განტოლებაში (8) ცვლადი y შედის ლუწი ხარისხით, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ; x-ღერძი არის პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

2. ვინაიდან c > 0, (8)-დან გამომდინარეობს, რომ x>0. ამრიგად, პარაბოლა მდებარეობს y-ღერძის მარჯვნივ.

3. მოდით x \u003d 0, შემდეგ y \u003d 0. ამიტომ პარაბოლა გადის საწყისზე.

4. x-ის შეუზღუდავი ზრდით, y მოდულიც განუსაზღვრელი ვადით იზრდება. პარაბოლას y 2 \u003d 2 px აქვს 13-ზე ნაჩვენები ფორმა (ფორმა). O (0; 0) წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება, FM \u003d r სეგმენტს ეწოდება M წერტილის ფოკუსური რადიუსი. განტოლებები y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) ასევე განსაზღვრავს პარაბოლებს.

1.5. კონუსური მონაკვეთების დირექტორიაში საკუთრება .

აქ ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ ყოველი არაწრიული (არადეგენერირებული) კონუსური მონაკვეთი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც M წერტილების ერთობლიობა, რომლის მანძილის თანაფარდობა MF ფიქსირებული წერტილიდან F წერტილიდან MP მანძილამდე ფიქსირებული ხაზიდან d, რომელიც არ გადის. წერტილი F უდრის e მუდმივ მნიშვნელობას: სადაც F - კონუსური მონაკვეთის ფოკუსი, სწორი ხაზი d არის მიმართულება, ხოლო შეფარდება e არის ექსცენტრიულობა. (თუ წერტილი F ეკუთვნის d წრფეს, მაშინ პირობა განსაზღვრავს წერტილთა სიმრავლეს, რომელიც არის წრფეების წყვილი, ანუ გადაგვარებული კონუსური მონაკვეთი; e = 1-ისთვის ეს წყვილი წრფეები ერწყმის ერთ წრფეს. დასამტკიცებლად ეს, განვიხილოთ კონუსი, რომელიც წარმოიქმნება l წრფის ბრუნვის შედეგად, რომელიც კვეთს მის ირგვლივ, სწორი წრფის O წერტილში, რომელიც წარმოადგენს l-ით b კუთხეს.< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

კონუსში ჩავწეროთ ბურთი K, რომელიც ეხება p სიბრტყეს F წერტილში და კონუსს ეხება S წრის გასწვრივ. p სიბრტყის გადაკვეთის წრფეს S წრის სიბრტყეს y სიბრტყესთან ვნიშნავთ d-ით.

მოდით, ახლა დავუკავშიროთ თვითნებური M წერტილი, რომელიც მდებარეობს p სიბრტყისა და კონუსის გადაკვეთის A წრფეზე, კონუსის O წვეროსთან და F წერტილთან და პერპენდიკულარული MP ჩამოვუშვათ M-დან d წრფემდე; ასევე ავღნიშნოთ E-ით კონუსის გენერატორის MO გადაკვეთის წერტილი S წრესთან.

უფრო მეტიც, MF = ME, როგორც ბურთის K ორი ტანგენტის სეგმენტები, გამოყვანილი M წერტილიდან.

გარდა ამისა, სეგმენტი ME კონუსის p ღერძთან ერთად ქმნის მუდმივ (ანუ M წერტილის არჩევისგან დამოუკიდებელ) კუთხეს 6, ხოლო სეგმენტი MP ქმნის მუდმივ კუთხეს β; შესაბამისად, ამ ორი სეგმენტის პროგნოზები p ღერძზე შესაბამისად ტოლია ME cos b და MP cos c.

მაგრამ ეს პროგნოზები ემთხვევა, რადგან სეგმენტებს ME და MP აქვთ საერთო საწყისი M, და მათი ბოლოები დევს y სიბრტყეში პერპენდიკულარულ p ღერძზე.

მაშასადამე, ME cos b = MP cos c, ან, ვინაიდან ME = MF, MF cos b = MP cos c, აქედან გამომდინარეობს, რომ

ასევე ადვილია იმის ჩვენება, რომ თუ p სიბრტყის წერტილი M კონუსს არ ეკუთვნის, მაშინ. ამრიგად, მარჯვენა წრიული კონუსის თითოეული მონაკვეთი შეიძლება აღწერილი იყოს, როგორც სიბრტყის წერტილების ნაკრები, რისთვისაც. მეორეს მხრივ, b და c კუთხეების მნიშვნელობების შეცვლით, ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ ექსცენტრიულობა ნებისმიერი მნიშვნელობა e > 0; გარდა ამისა, მსგავსების მოსაზრებებიდან გამომდინარე, ძნელი არ არის იმის გაგება, რომ მანძილი FQ ფოკუსიდან მიმართულებამდე პირდაპირპროპორციულია K ბურთის r რადიუსის (ან სიბრტყის d დაშორება O წვეროდან. კონუსი). შეიძლება აჩვენოს, რომ ამგვარად, d მანძილის სათანადო არჩევით, ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ FQ მანძილს ნებისმიერი მნიშვნელობა. მაშასადამე, M წერტილების თითოეული ნაკრები, რომლისთვისაც მანძილების შეფარდება M-დან ფიქსირებულ წერტილამდე F და დ ფიქსირებულ ხაზთან აქვს მუდმივი მნიშვნელობა, შეიძლება აღიწეროს როგორც მრუდი, რომელიც მიღებულია მარჯვენა წრიული კონუსის მონაკვეთზე თვითმფრინავი. ეს ადასტურებს, რომ (არადეგენერაციული) კონუსური მონაკვეთები ასევე შეიძლება განისაზღვროს ამ ქვეთავში განხილული თვისებით.

კონუსური მონაკვეთების ამ თვისებას მათ უწოდებენ დირექტორია საკუთრება. გასაგებია, რომ თუ c > b, მაშინ ე< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. მეორე მხრივ, ადვილი მისახვედრია, რომ თუ s > 6, მაშინ სიბრტყე p კვეთს კონუსს დახურული შემოსაზღვრული ხაზის გასწვრივ; თუ c = b, მაშინ p სიბრტყე კვეთს კონუსს შეუზღუდავი ხაზის გასწვრივ; თუ შიგნით< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

კონუსური მონაკვეთი, რომლისთვისაც ე< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 ეწოდება ჰიპერბოლას. ელიფსები ასევე შეიცავს წრეს, რომლის დაზუსტება შეუძლებელია დირექტორიას თვისებით; ვინაიდან წრისთვის თანაფარდობა უბრუნდება 0-ს (რადგან ამ შემთხვევაში β \u003d 90º), პირობითად ითვლება, რომ წრე არის კონუსური მონაკვეთი ექსცენტრიულობით 0.

6. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, როგორც კონუსური მონაკვეთები

კონუსური მონაკვეთის ელიფსის ჰიპერბოლა

ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა მენეხმუსმა, რომელმაც აღმოაჩინა ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, განსაზღვრა ისინი, როგორც წრიული კონუსის მონაკვეთები ერთ-ერთი გენერატორის პერპენდიკულარული სიბრტყით. მან მიღებულ მოსახვევებს უწოდა მახვილკუთხა, მართკუთხა და ბლაგვი კუთხიანი კონუსების მონაკვეთები, რაც დამოკიდებულია კონუსის ღერძულ კუთხეზე. პირველი, როგორც ქვემოთ დავინახავთ, არის ელიფსი, მეორე არის პარაბოლა, მესამე არის ჰიპერბოლის ერთი ტოტი. სახელები "ელიფსი", "ჰიპერბოლა" და "პარაბოლა" შემოიღო აპოლონიუსმა. თითქმის მთლიანად (8 წიგნიდან 7) ჩვენამდე მოვიდა აპოლონიუსის ნაშრომი „კონუსური კვეთების შესახებ“. ამ ნაშრომში აპოლონიუსი განიხილავს კონუსის ორივე სართულს და კვეთს კონუსს სიბრტყეებთან, რომლებიც აუცილებლად არ არიან პერპენდიკულარული ერთ-ერთი გენერატორის მიმართ.

თეორემა.ნებისმიერი სწორი წრიული კონუსის მონაკვეთი სიბრტყით (არ გადის მის წვეროზე) განსაზღვრავს მრუდს, რომელიც შეიძლება იყოს მხოლოდ ჰიპერბოლა (სურ. 4), პარაბოლა (სურ. 5) ან ელიფსი (ნახ. 6). უფრო მეტიც, თუ სიბრტყე კვეთს კონუსის მხოლოდ ერთ სიბრტყეს და დახურულ მრუდის გასწვრივ, მაშინ ეს მრუდი არის ელიფსი; თუ სიბრტყე კვეთს მხოლოდ ერთ სიბრტყეს ღია მრუდის გასწვრივ, მაშინ ეს მრუდი არის პარაბოლა; თუ ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე სიბრტყეს, მაშინ განყოფილებაში წარმოიქმნება ჰიპერბოლა.

ამ თეორემის ელეგანტური დადასტურება შემოგვთავაზა დანდელინის მიერ 1822 წელს სფეროების გამოყენებით, რომლებსაც ახლა დანდელინის სფეროებს უწოდებენ. მოდით შევხედოთ ამ მტკიცებულებას.

კონუსში ჩავწეროთ ორი სფერო, რომლებიც სხვადასხვა მხრიდან ეხებიან П განყოფილების სიბრტყეს. F1-ით და F2-ით აღნიშნეთ ამ სიბრტყესა და სფეროებს შორის შეხების წერტილები. ავიღოთ თვითნებური წერტილი კონუსის მონაკვეთის ხაზზე P სიბრტყით. M-ზე გამავალი კონუსის გენერატრიქსზე მოვნიშნავთ P1 და P2 წერტილებს, რომლებიც მდებარეობს k1 და k2 წრეზე, რომლის გასწვრივ სფეროები ეხება. კონუსი.

ნათელია, რომ MF1=MP1 როგორც M-დან გამომავალი პირველი სფეროს ორი ტანგენტის სეგმენტი; ანალოგიურად, MF2=MP2. ამიტომ, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. P1P2 სეგმენტის სიგრძე ერთი და იგივეა ჩვენი მონაკვეთის M ყველა წერტილისთვის: ეს არის 1 და 11 პარალელური სიბრტყეებით შემოსაზღვრული შეკვეცილი კონუსის გენერაცია, რომელშიც დევს წრეები k1 და k2. ამიტომ კონუსის მონაკვეთის ხაზი P სიბრტყით არის ელიფსი F1 და F2 კერებით. ამ თეორემის მართებულობა ასევე შეიძლება დადგინდეს ზოგადი პოზიციის საფუძველზე, რომ მეორე რიგის ზედაპირის გადაკვეთა სიბრტყით არის მეორე რიგის წრფე.

ლიტერატურა

1. ატანასიანი ლ.ს., ბაზილევი ვ.ტ. გეომეტრია. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ფიზიკა-მათემატიკის სტუდენტებისთვის. პედ. თანამებრძოლი-მ.: განმანათლებლობა, 1986 წ.

2. ბაზილევი ვ.ტ. და ა.შ.გეომეტრია. პროკ. შემწეობა ფიზიკის I კურსის სტუდენტებისთვის. - ხალიჩა. ფაქტები პედ. in. - ამხანაგი-მ .: განათლება, 1974 წ.

3. პოგორელოვი ა.ვ. გეომეტრია. პროკ. 7-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-4 გამოცემა-მ.: განმანათლებლობა, 1993 წ.

4. მათემატიკის ისტორია უძველესი დროიდან XIX საუკუნის დასაწყისამდე. იუშკევიჩი A.P. - მ.: ნაუკა, 1970 წ.

5. ბოლტიანსკი ვ.გ. ელიფსის, ჰიპერბოლისა და პარაბოლის ოპტიკური თვისებები. // კვანტური. - 1975. - No12. - თან. 19 - 23.

6. ეფრემოვი ნ.ვ. მოკლე კურსი ანალიტიკური გეომეტრიაში. - მ: ნაუკა, მე-6 გამოცემა, 1967. - 267გვ.

მსგავსი დოკუმენტები

კონუსური მონაკვეთების კონცეფცია. კონუსური სექციები - სიბრტყეების და კონუსების გადაკვეთები. კონუსური მონაკვეთების სახეები. კონუსური მონაკვეთების მშენებლობა. კონუსური მონაკვეთი არის წერტილების ლოკუსი, რომელიც აკმაყოფილებს მეორე რიგის განტოლებას.

რეზიუმე, დამატებულია 05.10.2008წ


აპოლონიუსის „კონუსური მონაკვეთები“. ბრუნვის მართკუთხა კონუსის მონაკვეთის მრუდის განტოლების წარმოშობა. პარაბოლის, ელიფსის და ჰიპერბოლის განტოლების წარმოშობა. კონუსური მონაკვეთების უცვლელობა. კონუსური მონაკვეთების თეორიის შემდგომი განვითარება აპოლონიუსის ნაშრომებში.

რეზიუმე, დამატებულია 02/04/2010


კონცეფცია და ისტორიული ინფორმაცია კონუსის შესახებ, მისი ელემენტების მახასიათებლები. კონუსის ფორმირების თავისებურებები და კონუსური მონაკვეთების ტიპები. დანდელინის სფეროს მშენებლობა და მისი პარამეტრები. კონუსური მონაკვეთების თვისებების გამოყენება. კონუსის ზედაპირების ფართობების გამოთვლები.

პრეზენტაცია, დამატებულია 04/08/2012


მრუდის მათემატიკური კონცეფცია. მეორე რიგის მრუდის ზოგადი განტოლება. წრის, ელიფსის, ჰიპერბოლის და პარაბოლის განტოლებები. ჰიპერბოლის სიმეტრიის ღერძი. პარაბოლას ფორმის შესწავლა. მესამე და მეოთხე რიგის მრუდები. Anjesi curl, დეკარტის ფურცელი.

ნაშრომი, დამატებულია 14/10/2011


პოლიედრების მონაკვეთების აგების სხვადასხვა მეთოდის მიმოხილვა და დახასიათება, მათი ძლიერი და სუსტი მხარეების დადგენა. დამხმარე მონაკვეთების მეთოდი, როგორც უნივერსალური მეთოდი პოლიედრების მონაკვეთების ასაგებად. საკვლევ თემაზე პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

პრეზენტაცია, დამატებულია 19/01/2014


მეორე რიგის მრუდის ზოგადი განტოლება. ელიფსის, წრის, ჰიპერბოლის და პარაბოლის განტოლებების შედგენა. ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა. პარაბოლის ფოკუსი და მიმართულება. ზოგადი განტოლების გარდაქმნა კანონიკურ ფორმაში. მრუდის ტიპის დამოკიდებულება ინვარიანტებზე.

პრეზენტაცია, დამატებულია 11/10/2014


სამკუთხედის გეომეტრიის ელემენტები: იზოგონალური და იზოტომური კონიუგაცია, ღირსშესანიშნავი წერტილები და ხაზები. სამკუთხედთან დაკავშირებული კონუსები: კონუსური მონაკვეთების თვისებები; სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული და მასში ჩაწერილი კონუსები; განაცხადი პრობლემის გადასაჭრელად.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 17.06.2012


ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა, როგორც მეორე რიგის მრუდები, რომლებიც გამოიყენება უმაღლეს მათემატიკაში. მეორე რიგის მრუდის კონცეფცია არის ხაზი სიბრტყეზე, რომელიც ზოგიერთ დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით. პასკამლის თეორემა და ბრიანშონის თეორემა.

რეზიუმე, დამატებულია 01/26/2011


კუბის გაორმაგების პრობლემის წარმოშობის შესახებ (ანტიკურობის ხუთი ცნობილი პრობლემადან ერთ-ერთი). პრობლემის გადაჭრის პირველი ცნობილი მცდელობა, ტარენტის არქიტის გადაწყვეტა. პრობლემის გადაჭრა ძველ საბერძნეთში არქიტასის შემდეგ. ხსნარები მენექმუსის და ერატოსთენეს კონუსური მონაკვეთების გამოყენებით.

რეზიუმე, დამატებულია 04/13/2014


კონუსის მონაკვეთის ძირითადი ტიპები. განყოფილება, რომელიც წარმოიქმნება სიბრტყით, რომელიც გადის კონუსის ღერძზე (ღერძულზე) და მის მწვერვალზე (სამკუთხედი). მონაკვეთის ფორმირება ღერძის პარალელურად (პარაბოლა), პერპენდიკულარული (წრე) და არა პერპენდიკულარული (ელიფსი) სიბრტყით.

მიეცით მარჯვენა წრიული ცილინდრი, პროგნოზების ჰორიზონტალური სიბრტყე მისი ფუძის პარალელურია. როდესაც ცილინდრი იკვეთება სიბრტყით ზოგად პოზიციაზე (ვვარაუდობთ, რომ სიბრტყე არ კვეთს ცილინდრის ფუძეებს), გადაკვეთის ხაზი არის ელიფსი, თავად მონაკვეთს აქვს ელიფსის ფორმა, მისი ჰორიზონტალური პროექცია ემთხვევა ცილინდრის ფუძის პროექცია, ხოლო წინა მხარეს ასევე აქვს ელიფსის ფორმა. მაგრამ თუ საჭრელი სიბრტყე ცილინდრის ღერძთან ერთად ქმნის 45 °-ის ტოლ კუთხეს, მაშინ მონაკვეთი, რომელსაც აქვს ელიფსის ფორმა, წრის მიერ არის დაპროექტებული იმ პროექციის სიბრტყეზე, რომლისკენაც მონაკვეთი დახრილია იმავე კუთხით.

თუ საჭრელი სიბრტყე კვეთს ცილინდრის გვერდით ზედაპირს და მის ერთ-ერთ ფუძეს (ნახ. 8.6), მაშინ გადაკვეთის ხაზს აქვს არასრული ელიფსის (ელიფსის ნაწილის) ფორმა. მონაკვეთის ჰორიზონტალური პროექცია ამ შემთხვევაში წრის ნაწილია (ბაზის პროექცია), ხოლო შუბლის ნაწილი ელიფსის ნაწილია. სიბრტყე შეიძლება განთავსდეს ნებისმიერი საპროექციო სიბრტყის პერპენდიკულარულად, შემდეგ მონაკვეთი დაპროექტებული იქნება ამ პროექციის სიბრტყეზე სწორი ხაზით (სკანტური სიბრტყის კვალის ნაწილი).

თუ ცილინდრი იკვეთება გენერატრიქსის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ გვერდითი ზედაპირის გადაკვეთის ხაზები სწორია, ხოლო თავად მონაკვეთს აქვს მართკუთხედის ფორმა, თუ ცილინდრი სწორია, ან პარალელოგრამი, თუ ცილინდრი დახრილია.

მოგეხსენებათ, ცილინდრიც და კონუსიც მართული ზედაპირებით იქმნება.

ხაზოვანი ზედაპირისა და სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი (გაჭრის ხაზი) ​​ზოგად შემთხვევაში არის გარკვეული მრუდი, რომელიც აგებულია გენერატორების კვეთის სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილებიდან.

მიეცეს სწორი წრიული კონუსი.სიბრტყით გადაკვეთისას გადაკვეთის ხაზს შეუძლია მიიღოს: სამკუთხედის, ელიფსის, წრის, პარაბოლის, ჰიპერბოლის (ნახ. 8.7), სიბრტყის მდებარეობის მიხედვით.

სამკუთხედი მიიღება, როდესაც ჭრის სიბრტყე, რომელიც გადაკვეთს კონუსს, გადის მის წვეროზე. ამ შემთხვევაში, გვერდითი ზედაპირთან გადაკვეთის ხაზები არის კონუსის თავზე გადაკვეთილი სწორი ხაზები, რომლებიც ფუძის გადაკვეთის ხაზთან ერთად წარმოქმნიან საპროექციო სიბრტყეებზე დახრილი სამკუთხედს. თუ სიბრტყე კვეთს კონუსის ღერძს, მაშინ განყოფილებაში მიიღება სამკუთხედი, რომელშიც კონუსის წვეროსთან დამთხვევა წვეროს კუთხე მაქსიმალური იქნება მოცემული კონუსის სამკუთხედის მონაკვეთებისთვის. ამ შემთხვევაში, მონაკვეთი დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ საპროექციო სიბრტყეზე (ის არის მისი ბაზის პარალელურად) სწორი ხაზის სეგმენტით.

სიბრტყისა და კონუსის გადაკვეთის ხაზი იქნება ელიფსი, თუ სიბრტყე არ არის კონუსის რომელიმე გენერატორის პარალელურად. ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ თვითმფრინავი კვეთს ყველა გენერატორს (კონუსის მთელ გვერდით ზედაპირს). თუ ჭრის სიბრტყე პარალელურია კონუსის ფუძის პარალელურად, მაშინ გადაკვეთის ხაზი არის წრე, თავად მონაკვეთი დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე, ხოლო შუბლის სიბრტყეზე - როგორც სწორი ხაზის სეგმენტი.

გადაკვეთის ხაზი იქნება პარაბოლა, როდესაც სეკანტური სიბრტყე პარალელურია კონუსის მხოლოდ ერთი გენერატრიქსის. თუ ჭრის სიბრტყე პარალელურია ორი გენერატორის ერთდროულად, მაშინ გადაკვეთის ხაზი არის ჰიპერბოლა.

შეკვეცილი კონუსი მიიღება, თუ მარჯვენა წრიული კონუსი იკვეთება ფუძის პარალელურად და კონუსის ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყით, ხოლო ზედა ნაწილი გადაყრილია. იმ შემთხვევაში, როდესაც ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე პარალელურია შეკვეცილი კონუსის ფუძეებთან, ეს ფუძეები დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე კონცენტრული წრეებით დამახინჯების გარეშე, ხოლო შუბლის პროექცია არის ტრაპეცია. როდესაც ჩამოჭრილი კონუსი იკვეთება სიბრტყით, მისი მდებარეობიდან გამომდინარე, ამოჭრილ ხაზს შეიძლება ჰქონდეს ტრაპეციის, ელიფსის, წრის, პარაბოლის, ჰიპერბოლის ან ამ მრუდის ნაწილის ფორმა, რომლის ბოლოები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. სწორი ხაზი.