სტატისტიკა გვეხმარება მრავალი პრობლემის გადაჭრაში, მაგალითად: როდესაც შეუძლებელია დეტერმინისტული მოდელის აგება, როდესაც არსებობს ძალიან ბევრი ფაქტორი, ან როდესაც ჩვენ გვჭირდება შედგენილი მოდელის ალბათობის შეფასება არსებული მონაცემების გათვალისწინებით. სტატისტიკასთან კავშირი ორაზროვანია. ითვლება, რომ არსებობს სამი სახის ტყუილი: ტყუილი, აშკარა ტყუილი და სტატისტიკა. მეორეს მხრივ, სტატისტიკის ბევრ „მომხმარებელს“ ეს ძალიან სჯერა, სრულყოფილად არ ესმით როგორ მუშაობს: მაგალითად, ტესტის გამოყენება ნებისმიერ მონაცემზე მისი ნორმალურობის შემოწმების გარეშე. ასეთმა დაუდევრობამ შეიძლება სერიოზული შეცდომები გამოიწვიოს და ტესტის „ფანები“ სტატისტიკის მოძულეებად აქციოს. შევეცადოთ დავაყენოთ დენები i-ზე და გავარკვიოთ, შემთხვევითი ცვლადების რომელი მოდელები უნდა იქნას გამოყენებული გარკვეული ფენომენების აღსაწერად და რა სახის გენეტიკური კავშირი არსებობს მათ შორის.
უპირველეს ყოვლისა, ეს მასალა დააინტერესებს ალბათობის თეორიისა და სტატისტიკის შემსწავლელი სტუდენტებისთვის, თუმცა „მომწიფებულ“ სპეციალისტებს საშუალება ექნებათ გამოიყენონ იგი ცნობადად. ერთ-ერთ შემდეგ ნაშრომში მე გაჩვენებთ სტატისტიკის გამოყენების მაგალითს ბირჟის სავაჭრო სტრატეგიების ინდიკატორების მნიშვნელობის შესაფასებლად ტესტის შესაქმნელად.
ნამუშევარი განიხილება:
სტატიის დასასრულს მოცემულია რეფლექსიისთვის. ჩემს მოსაზრებებს ამის შესახებ ჩემს შემდეგ სტატიაში გაგიზიარებთ.
ზოგიერთი მოცემული უწყვეტი განაწილება განსაკუთრებული შემთხვევაა.
დისკრეტული განაწილებები
დისკრეტული განაწილებები გამოიყენება იზოლირებულ წერტილებში განსაზღვრული არადიფერენცირებადი მახასიათებლების მქონე მოვლენების აღსაწერად. მარტივად რომ ვთქვათ, მოვლენებისთვის, რომელთა შედეგი შეიძლება მიეკუთვნებოდეს გარკვეულ დისკრეტულ კატეგორიას: წარმატება ან წარუმატებლობა, მთელი რიცხვი (მაგალითად, რულეტის თამაში, კამათელი), თავები ან კუდები და ა.შ.დისკრეტული განაწილება აღწერილია მოვლენის თითოეული შესაძლო შედეგის დადგომის ალბათობით. რაც შეეხება ნებისმიერ განაწილებას (მათ შორის უწყვეტს), მოლოდინისა და დისპერსიის ცნებები განისაზღვრება დისკრეტული მოვლენებისთვის. თუმცა, უნდა გვესმოდეს, რომ დისკრეტული შემთხვევითი მოვლენის მოლოდინი, როგორც წესი, არარეალიზდება, როგორც ერთი შემთხვევითი მოვლენის შედეგი, არამედ როგორც მნიშვნელობა, რომელსაც მოვლენების შედეგების საშუალო არითმეტიკული ზრდის ტენდენცია ექნება მათი რიცხვის ზრდასთან ერთად.
დისკრეტული შემთხვევითი მოვლენების მოდელირებისას კომბინატორიკა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, რადგან მოვლენის შედეგის ალბათობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც კომბინაციების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელიც იძლევა სასურველ შედეგს კომბინაციების მთლიან რაოდენობასთან. მაგალითად: კალათაში არის 3 თეთრი და 7 შავი ბურთი. როდესაც კალათიდან ვირჩევთ 1 ბურთს, შეგვიძლია ამის გაკეთება 10 სხვადასხვა გზით (კომბინაციების საერთო რაოდენობა), მაგრამ თეთრი ბურთის არჩევის მხოლოდ 3 გზით (3 კომბინაცია, რომელიც იძლევა საჭირო შედეგს). ამრიგად, თეთრი ბურთის არჩევის ალბათობაა: ().
ასევე აუცილებელია განასხვავოთ ნიმუშები შეცვლით და ჩანაცვლების გარეშე. მაგალითად, ორი თეთრი ბურთის არჩევის ალბათობის აღსაწერად მნიშვნელოვანია განვსაზღვროთ, დაბრუნდება თუ არა პირველი ბურთი კალათში. თუ არა, მაშინ საქმე გვაქვს გამოსაცვლელ ნიმუშთან () და ალბათობა იქნება შემდეგი: - საწყისი ნიმუშიდან თეთრი ბურთის არჩევის ალბათობა გამრავლებული კალათაში დარჩენილიდან თეთრი ბურთის არჩევის ალბათობაზე. . თუ პირველი ბურთი დაბრუნდა კალათში, მაშინ ეს არის დაბრუნების მოტანა (). ამ შემთხვევაში, ორი თეთრი ბურთის არჩევის ალბათობაა.
თუ კალათის მაგალითს ოდნავ ფორმალიზდება შემდეგნაირად: მოდით, მოვლენის შედეგმა მიიღოს ორი მნიშვნელობიდან ერთ-ერთი 0 ან 1 ალბათობებით და შესაბამისად, მაშინ თითოეული შემოთავაზებული შედეგის მიღების ალბათობის განაწილებას დაერქმევა ბერნულის განაწილება. :
ტრადიციულად, შედეგს 1-ის მნიშვნელობით ეწოდება "წარმატება", ხოლო 0-ის მნიშვნელობის შედეგს "მარცხი". აშკარაა, რომ შედეგის მიღება "წარმატება ან წარუმატებლობა" ხდება ალბათობით.
ბერნულის განაწილების მოლოდინი და ვარიაცია:
საცდელებში წარმატებების რაოდენობა, რომლის შედეგიც ნაწილდება წარმატების ალბათობით (მაგალითად, ბურთების კალათში დაბრუნებით), აღწერილია ორობითი განაწილებით:
სხვა გზით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ბინომიალური განაწილება აღწერს დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამს, რომელიც შეიძლება განაწილდეს წარმატების ალბათობით.
მოლოდინი და განსხვავება:
ბინომალური განაწილება მოქმედებს მხოლოდ ხელახალი შერჩევისთვის, ანუ, როდესაც წარმატების ალბათობა მუდმივი რჩება ცდების მთელი სერიის განმავლობაში.
თუ რაოდენობებს და აქვთ ბინომალური განაწილება პარამეტრებთან და შესაბამისად, მაშინ მათი ჯამიც განაწილდება ბინომალურად პარამეტრებთან ერთად.
წარმოიდგინეთ სიტუაცია, როდესაც კალათიდან ვიღებთ ბურთებს და ვაბრუნებთ უკან, სანამ თეთრი ბურთი არ გათამაშდება. ასეთი ოპერაციების რაოდენობა აღწერილია გეომეტრიული განაწილებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: გეომეტრიული განაწილება აღწერს ცდების რაოდენობას პირველ წარმატებამდე, თითოეულ ცდაში წარმატების ალბათობის გათვალისწინებით. თუ იგულისხმება ცდის რაოდენობა, რომელშიც წარმატებას მიაღწიეს, მაშინ გეომეტრიული განაწილება აღწერილი იქნება შემდეგი ფორმულით:
გეომეტრიული განაწილების მოლოდინი და ვარიაცია:
გეომეტრიული განაწილება გენეტიკურად დაკავშირებულია განაწილებასთან, რომელიც აღწერს უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს: დრო მოვლენამდე, მოვლენების მუდმივი ინტენსივობით. გეომეტრიული განაწილება ასევე განსაკუთრებული შემთხვევაა.
პასკალის განაწილება არის განაწილების განზოგადება: იგი აღწერს წარუმატებლობის რაოდენობის განაწილებას დამოუკიდებელ ცდებში, რომლის შედეგი ნაწილდება წარმატების ალბათობაზე წარმატებების ჯამამდე. ამისთვის, ჩვენ ვიღებთ განაწილებას რაოდენობისთვის.
სად არის კომბინაციების რაოდენობა დან .
უარყოფითი ბინომიალური განაწილების მოლოდინი და ვარიაცია:
პასკალის მიხედვით განაწილებული დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამი ასევე განაწილებულია პასკალის მიხედვით: მას ჰქონდეს განაწილება და - . იყოს ასევე დამოუკიდებელი, მაშინ მათ ჯამს ექნება განაწილება
აქამდე ჩვენ განვიხილეთ ხელახლა შემოსული ნიმუშების მაგალითები, ანუ შედეგის ალბათობა არ იცვლება საცდელიდან საცდელზე.
ახლა განიხილეთ სიტუაცია ჩანაცვლების გარეშე და აღწერეთ პოპულაციის წარმატებული ნიმუშების რაოდენობის ალბათობა წარმატებებისა და წარუმატებლობის წინასწარ განსაზღვრული რაოდენობით (კალათაში თეთრი და შავი ბურთების წინასწარ განსაზღვრული რაოდენობა, გემბანზე კოზირები, დეფექტური ნაწილები თამაში და ა.შ.).
მოდით, მთლიანი კოლექცია შეიცავდეს ობიექტებს, რომელთაგან იარლიყით "1" და როგორც "0". წარმატებულად განვიხილავთ ობიექტის შერჩევას წარწერით „1“, ხოლო წარუმატებლად წარწერით „0“. ჩავატაროთ n ტესტი და შერჩეული ობიექტები აღარ მიიღებენ მონაწილეობას შემდგომ ტესტებში. წარმატების ალბათობა მოჰყვება ჰიპერგეომეტრიულ განაწილებას:
სად არის კომბინაციების რაოდენობა დან .
მოლოდინი და განსხვავება:
პუასონის განაწილება
(აქედან აღებული)
პუასონის განაწილება მნიშვნელოვნად განსხვავდება ზემოთ განხილული დისტრიბუციებისგან მის "საგნის" არეალში: ახლა განიხილება არა კონკრეტული ტესტის შედეგის ალბათობა, არამედ მოვლენების ინტენსივობა, ანუ მოვლენების საშუალო რაოდენობა დროის ერთეულზე.
პუასონის განაწილება აღწერს დროთა განმავლობაში დამოუკიდებელი მოვლენების დადგომის ალბათობას მოვლენების საშუალო ინტენსივობით:
პუასონის განაწილების მოლოდინი და განსხვავება:
პუასონის განაწილების ვარიაცია და საშუალო იდენტურად ტოლია.
პუასონის განაწილება ერთად , რომელიც აღწერს დროის ინტერვალებს დამოუკიდებელი მოვლენების დაწყებას შორის, ქმნის სანდოობის თეორიის მათემატიკურ საფუძველს.
x და y () შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის ალბათობის სიმკვრივე განაწილებით და შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:
ქვემოთ მოყვანილი ზოგიერთი განაწილება არის პირსონის განაწილების განსაკუთრებული შემთხვევები, რაც თავის მხრივ არის განტოლების ამოხსნა:
სად და არის განაწილების პარამეტრები. არსებობს პირსონის განაწილების 12 ტიპი, რაც დამოკიდებულია პარამეტრების მნიშვნელობებზე.
განაწილებებს, რომლებიც განხილული იქნება ამ ნაწილში, მჭიდრო კავშირშია ერთმანეთთან. ეს კავშირები გამოიხატება იმით, რომ ზოგიერთი განაწილება არის სხვა განაწილების განსაკუთრებული შემთხვევები, ან აღწერს შემთხვევითი ცვლადების გარდაქმნას სხვა განაწილებასთან.
ქვემოთ მოცემული დიაგრამა გვიჩვენებს კავშირებს ზოგიერთ უწყვეტ განაწილებას შორის, რომლებიც განხილული იქნება ამ ნაშრომში. დიაგრამაზე მყარი ისრები აჩვენებს შემთხვევითი ცვლადების ტრანსფორმაციას (ისრის დასაწყისი მიუთითებს საწყის განაწილებაზე, ისრის ბოლო - მიღებულს), ხოლო წერტილოვანი ისრები აჩვენებს განზოგადების მიმართებას (ისრის დასაწყისი მიუთითებს განაწილება, რომელიც არის ისრის ბოლოში მითითებულის განსაკუთრებული შემთხვევა). პირსონის განაწილების განსაკუთრებული შემთხვევებისთვის წერტილოვანი ისრებით, მითითებულია პირსონის განაწილების შესაბამისი ტიპი.
ქვემოთ შემოთავაზებული დისტრიბუციების მიმოხილვა მოიცავს ბევრ შემთხვევას, რომლებიც ხდება მონაცემთა ანალიზისა და პროცესის მოდელირებისას, თუმცა, რა თქმა უნდა, ის არ შეიცავს მეცნიერებისთვის ცნობილ აბსოლუტურად ყველა განაწილებას.
ნორმალური განაწილება (გაუსური განაწილება)
(აქედან აღებული)
ნორმალური განაწილების ალბათობის სიმკვრივე პარამეტრებით და აღწერილია გაუსის ფუნქციით:
თუ და , მაშინ ასეთ განაწილებას სტანდარტი ეწოდება.
ნორმალური განაწილების მოლოდინი და ვარიაცია:
ნორმალური განაწილების განსაზღვრის დომენი არის რეალური რიცხვების სიმრავლე.
ნორმალური განაწილება არის VI ტიპის განაწილება.
დამოუკიდებელი ნორმალური მნიშვნელობების კვადრატების ჯამს აქვს და დამოუკიდებელი გაუსის მნიშვნელობების შეფარდება ნაწილდება მასზე.
ნორმალური განაწილება უსასრულოდ იყოფა: ნორმალურად განაწილებული სიდიდეების ჯამი და პარამეტრებთან და შესაბამისად ასევე აქვს ნორმალური განაწილება პარამეტრებით, სადაც და .
ნორმალური განაწილების ჭა აყალიბებს რაოდენობებს, რომლებიც აღწერს ბუნებრივ მოვლენებს, თერმოდინამიკური ხასიათის ხმაურს და გაზომვის შეცდომებს.
გარდა ამისა, ცენტრალური ზღვრული თეორემის მიხედვით, ერთი და იმავე რიგის დამოუკიდებელი წევრთა ჯამი გადადის ნორმალურ განაწილებამდე, მიუხედავად ტერმინების განაწილებისა. ამ თვისების გამო, ნორმალური განაწილება პოპულარულია სტატისტიკურ ანალიზში, ბევრი სტატისტიკური ტესტი განკუთვნილია ნორმალურად განაწილებული მონაცემებისთვის.
z-ტესტი ეფუძნება ნორმალური განაწილების უსასრულო გაყოფას. ეს ტესტი გამოიყენება იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა ნორმალურად განაწილებული ცვლადების ნიმუშის მოლოდინი რაიმე მნიშვნელობის ტოლი. დისპერსიის მნიშვნელობა უნდა იყოს ცნობილია. თუ დისპერსიის მნიშვნელობა უცნობია და გამოითვლება გაანალიზებული ნიმუშის საფუძველზე, მაშინ t-ტესტი ეფუძნება .
მოდით გვქონდეს n დამოუკიდებელი ნორმალურად განაწილებული მნიშვნელობების ნიმუში ზოგადი პოპულაციისგან სტანდარტული გადახრით, მოდით ვივარაუდოთ, რომ . მაშინ მნიშვნელობას ექნება სტანდარტული ნორმალური განაწილება. მიღებული z-ის მნიშვნელობის სტანდარტული განაწილების კვანტილებთან შედარებით, შეიძლება მივიღოთ ან უარვყოთ ჰიპოთეზა საჭირო დონის მნიშვნელოვნებით.
გაუსის განაწილების გავრცელების გამო, ბევრმა მკვლევარმა, რომლებმაც არ იციან სტატისტიკა, ავიწყდება, რომ შეამოწმოს მონაცემები ნორმალურად, ან შეაფასოს განაწილების სიმკვრივის დიაგრამა "თვალით", ბრმად სჯერა, რომ მათ საქმე აქვთ გაუსის მონაცემებთან. შესაბამისად, თამამად მიმართავენ ტესტებს, რომლებიც განკუთვნილია ნორმალური განაწილებისთვის და სრულიად არასწორი შედეგების მისაღებად. ალბათ, აქედან გაჩნდა ჭორები სტატისტიკის, როგორც ყველაზე საშინელი ტიპის ტყუილის შესახებ.
განვიხილოთ მაგალითი: ჩვენ უნდა გავზომოთ გარკვეული მნიშვნელობის რეზისტორების სიმრავლის წინააღმდეგობა. წინააღმდეგობას აქვს ფიზიკური ბუნება, ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ წინააღმდეგობის გადახრების განაწილება ნომინალური მნიშვნელობიდან ნორმალური იქნება. ჩვენ ვზომავთ, ვიღებთ ზარის ფორმის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას გაზომილი მნიშვნელობებისთვის რეზისტორების რეიტინგის სიახლოვეს რეჟიმით. ეს ნორმალური განაწილებაა? თუ კი, მაშინ ჩვენ ვეძებთ დეფექტურ რეზისტორებს ან z-ტესტის გამოყენებით, თუ წინასწარ ვიცით განაწილების დისპერსიაზე. მე ვფიქრობ, რომ ბევრი ამას გააკეთებს.
მაგრამ მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ წინააღმდეგობის გაზომვის ტექნოლოგიას: წინააღმდეგობა განისაზღვრება, როგორც გამოყენებული ძაბვის თანაფარდობა მიმდინარე ნაკადთან. ჩვენ გავზომეთ დენი და ძაბვა ინსტრუმენტებით, რომლებსაც, თავის მხრივ, ჩვეულებრივ აქვთ შეცდომები განაწილებული. ანუ დენის და ძაბვის გაზომილი მნიშვნელობებია ჩვეულებრივ განაწილებული შემთხვევითი ცვლადებიმათემატიკური მოლოდინებით, რომლებიც შეესაბამება გაზომილი სიდიდეების ნამდვილ მნიშვნელობებს. და ეს ნიშნავს, რომ მიღებული წინააღმდეგობის მნიშვნელობები ნაწილდება გასწვრივ და არა გაუსის მიხედვით.
განაწილება აღწერს შემთხვევითი ცვლადების კვადრატების ჯამს, რომელთაგან თითოეული განაწილებულია სტანდარტული ნორმალური კანონის მიხედვით:
სად არის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა, .
განაწილების მოლოდინი და განსხვავება:
განსაზღვრების დომენი არის არაუარყოფითი ნატურალური რიცხვების სიმრავლე. არის უსასრულოდ გამყოფი განაწილება. თუ და - განაწილებულია და აქვს და თავისუფლების ხარისხებზე, შესაბამისად, მაშინ მათი ჯამიც გადანაწილდება და ექნება თავისუფლების ხარისხები.
ეს არის განსაკუთრებული შემთხვევა (და შესაბამისად III ტიპის განაწილება) და განზოგადება. განაწილებულზე განაწილებული რაოდენობების თანაფარდობა.
პირსონის სიკეთე-of-fit ტესტი ეფუძნება განაწილებას. ეს კრიტერიუმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმის შესამოწმებლად, ეკუთვნის თუ არა შემთხვევითი ცვლადის ნიმუში გარკვეულ თეორიულ განაწილებას.
დავუშვათ, რომ გვაქვს რაიმე შემთხვევითი ცვლადის ნიმუში. ამ ნიმუშის საფუძველზე, ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას, რომ მნიშვნელობები მოხვდება ინტერვალებში (). ასევე არსებობდეს ვარაუდი განაწილების ანალიტიკური გამოხატვის შესახებ, რომლის მიხედვითაც, არჩეულ ინტერვალებში მოხვედრის ალბათობა უნდა იყოს . შემდეგ რაოდენობები ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით გადანაწილდება.
ჩვენ მივყავართ სტანდარტულ ნორმალურ განაწილებამდე:
სად და.
მიღებულ სიდიდეებს აქვთ ნორმალური განაწილება პარამეტრებით (0, 1) და შესაბამისად, მათი კვადრატების ჯამი ნაწილდება თავისუფლების ხარისხით. თავისუფლების ხარისხის დაქვეითება ასოცირდება დამატებით შეზღუდვასთან ინტერვალებში მოხვედრის მნიშვნელობების ალბათობის ჯამზე: ის უნდა იყოს 1-ის ტოლი.
მნიშვნელობის განაწილების კვანტილებთან შედარებით, შეიძლება მივიღოთ ან უარვყოთ ჰიპოთეზა მონაცემთა თეორიული განაწილების შესახებ მნიშვნელობის საჭირო დონით.
სტუდენტის განაწილება გამოიყენება t-ტესტის ჩასატარებლად: ტესტი განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების ნიმუშის მოსალოდნელი მნიშვნელობის ტოლობისთვის გარკვეულ მნიშვნელობამდე, ან ორი ნიმუშის მოსალოდნელი მნიშვნელობების ტოლობის ერთნაირი დისპერსიით ( უნდა შემოწმდეს განსხვავებების თანასწორობა). სტუდენტის t-განაწილება აღწერს განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის თანაფარდობას მნიშვნელობასთან განაწილებულზე.
მოდით და იყოს დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები თავისუფლების ხარისხით და შესაბამისად. მაშინ რაოდენობას ექნება ფიშერის განაწილება თავისუფლების ხარისხით, ხოლო რაოდენობას ექნება ფიშერის განაწილება თავისუფლების ხარისხით.
ფიშერის განაწილება განისაზღვრება რეალური არაუარყოფითი არგუმენტებისთვის და აქვს ალბათობის სიმკვრივე:
ფიშერის განაწილების მოლოდინი და ვარიაცია:
მოლოდინი განისაზღვრება და დისპერსია განისაზღვრება .
რიგი სტატისტიკური ტესტები ეფუძნება ფიშერის განაწილებას, როგორიცაა რეგრესიის პარამეტრების მნიშვნელოვნების შეფასება, ჰეტეროსცედასტიურობის ტესტი და სინჯის დისპერსიების თანასწორობის ტესტი (f-ტესტი, გამორჩეული ზუსტიფიშერის ტესტი).
F-ტესტი: იყოს ორი დამოუკიდებელი ნიმუში და განაწილებული მონაცემების მოცულობა და შესაბამისად. მოდით წამოვაყენოთ ჰიპოთეზა ნიმუშის დისპერსიების თანასწორობის შესახებ და შევამოწმოთ იგი სტატისტიკურად.
მოდით გამოვთვალოთ ღირებულება. მას ექნება ფიშერის განაწილება თავისუფლების ხარისხით.
მნიშვნელობის შედარებით ფიშერის შესაბამისი განაწილების კვანტილებთან, შეგვიძლია მივიღოთ ან უარვყოთ ჰიპოთეზა, რომ ნიმუშის ვარიაციები უდრის მნიშვნელოვნების საჭირო დონეს.
ექსპონენციალური (ექსპონენციალური) განაწილება და ლაპლასის განაწილება (ორმაგი ექსპონენციალური, ორმაგი ექსპონენციალური)
(აქედან აღებული)
ექსპონენციალური განაწილება აღწერს დროის ინტერვალებს დამოუკიდებელ მოვლენებს შორის, რომლებიც ხდება საშუალო ინტენსივობით. ასეთი მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში აღწერილია დისკრეტული . ექსპონენციალური განაწილება ერთად ქმნის სანდოობის თეორიის მათემატიკურ საფუძველს.
სანდოობის თეორიის გარდა, ექსპონენციური განაწილება გამოიყენება სოციალური ფენომენების აღწერაში, ეკონომიკაში, რიგის თეორიაში, სატრანსპორტო ლოჯისტიკაში - იქ, სადაც საჭიროა მოვლენების ნაკადის მოდელირება.
ექსპონენციალური განაწილება არის სპეციალური შემთხვევა (n=2-ისთვის) და აქედან გამომდინარე. ვინაიდან ექსპონენციურად განაწილებული სიდიდე არის ხი-კვადრატული სიდიდე 2 გრადუსიანი თავისუფლებით, ის შეიძლება განიმარტოს, როგორც ორი დამოუკიდებელი ნორმალურად განაწილებული სიდიდის კვადრატების ჯამი.
ასევე, ექსპონენციალური განაწილება პატიოსანი შემთხვევაა
დაე, სამიზნე გაისროლოს პირველ დარტყმამდე, ალბათობით გვყოველ გასროლაში მიზანში დარტყმა ერთნაირია და არ არის დამოკიდებული წინა გასროლის შედეგებზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განსახილველ ექსპერიმენტში განხორციელებულია ბერნულის სქემა. როგორც შემთხვევითი ცვლადი X განვიხილავთ გასროლის რაოდენობას. ცხადია, X შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები ნატურალური რიცხვებია: x 1 =1, x 2 = 2, ... მაშინ ამის ალბათობა კდარტყმები ტოლი იქნება
ამ ფორმულაში ჩასმა კ=1,2, ... ვიღებთ გეომეტრიულ პროგრესიას პირველი წევრით გვდა მულტიპლიკატორი ქ:
ამ მიზეზით, (6.11) ფორმულით განსაზღვრული განაწილება ეწოდება გეომეტრიული .
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ადვილია იმის დადასტურება, რომ
.
ვიპოვოთ გეომეტრიული განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები.
DSW-ს მათემატიკური მოლოდინის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს
.
ჩვენ ვიანგარიშებთ დისპერსიას ფორმულით
.
ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ
.
აქედან გამომდინარე,
.
ასე რომ, გეომეტრიული განაწილების მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია არის
.
(6.12)
6.4.* გენერირების ფუნქცია
DSV-სთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას ხშირად გამოიყენება კომბინატორიკის მეთოდები. კომბინატორიული ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე განვითარებული თეორიული მეთოდია ფუნქციების გენერირების მეთოდი, რომელიც ერთ-ერთი ყველაზე ძლიერი მეთოდია აპლიკაციებში. მოკლედ გავიცნოთ იგი.
თუ შემთხვევითი ცვლადი იღებს მხოლოდ არაუარყოფით მთელ რიცხვებს, ე.ი.
,
მაშინ გენერირების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილებას ფუნქცია ეწოდება
,
(6.13)
სადაც ზარის რეალური ან რთული ცვლადი. Გაითვალისწინე გენერირების ფუნქციების სიმრავლეს შორის ( x)და მრავალი განაწილება(P(= კ)} არის ერთი-ერთზე მიმოწერა.
დაე, შემთხვევითი ცვლადი ჰქონდეს ბინომალური განაწილება
.
შემდეგ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ
,
იმათ. ბინომალური განაწილების გენერირების ფუნქცია ფორმა აქვს
.
(6.14)
დამატება. პუასონის განაწილების გენერირების ფუნქცია
ფორმა აქვს
.
(6.15)
გეომეტრიული განაწილების გენერატორი ფუნქცია
ფორმა აქვს
.
(6.16)
გენერირების ფუნქციების დახმარებით მოსახერხებელია DSW-ის ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლების პოვნა. მაგალითად, პირველი და მეორე საწყისი მომენტები დაკავშირებულია გენერირების ფუნქციასთან შემდეგი თანასწორობებით:
,
(6.17)
.
(6.18)
ფუნქციების გენერირების მეთოდი ხშირად მოსახერხებელია, რადგან ზოგიერთ შემთხვევაში DSW-ის განაწილების ფუნქციის დადგენა ძალიან რთულია, მაშინ როცა გენერირების ფუნქცია ზოგჯერ ადვილი მოსაძებნია. მაგალითად, განიხილეთ ზედიზედ დამოუკიდებელი ბერნულის ცდების სქემა, მაგრამ შეიტანეთ ერთი ცვლილება მასში. მოდით, მოვლენის ალბათობა აგანსხვავდება ტესტიდან ტესტამდე. ეს ნიშნავს, რომ ბერნულის ფორმულა ასეთი სქემისთვის გამოუსადეგარი ხდება. განაწილების ფუნქციის პოვნის ამოცანა ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვან სირთულეებს წარმოადგენს. თუმცა მოცემული სქემისთვის გენერირების ფუნქცია ადვილად მოიძებნება და, შესაბამისად, შესაბამისი რიცხვითი მახასიათებლებიც ადვილად მოიძებნება.
გენერირების ფუნქციების ფართო გამოყენება ემყარება იმ ფაქტს, რომ შემთხვევითი ცვლადების ჯამების შესწავლა შეიძლება შეიცვალოს შესაბამისი გენერირების ფუნქციების პროდუქტების შესწავლით. ასე რომ, თუ 1 , 2 , …, ნდამოუკიდებელი, მაშინ
დაე იყოს გვ კ =პ კ (ა) არის "წარმატების" ალბათობა კ-ე ტესტი ბერნულის სქემაში (შესაბამისად, ქ კ =1–გვ კ- "მარცხის" ალბათობა კტესტი). შემდეგ, ფორმულის შესაბამისად (6.19), გენერირების ფუნქციას ექნება ფორმა
.
(6.20)
ამ გენერირების ფუნქციის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ
.
აქ გათვალისწინებულია, რომ გვ კ + ქ კ=1. ახლა, ფორმულის გამოყენებით (6.1), ჩვენ ვპოულობთ მეორე საწყის მომენტს. ამისათვის ჩვენ ჯერ გამოვთვალოთ
და 
.
კონკრეტულ შემთხვევაში გვ 1 =გვ 2 =…=გვ ნ =გვ(ანუ ბინომალური განაწილების შემთხვევაში) მიღებული ფორმულებიდან გამომდინარეობს, რომ M= np, D= npq.
გეომეტრიულ განაწილებაში ბერნულის სქემაში ექსპერიმენტები ტარდება პირველ წარმატებამდე, წარმატების p ალბათობით ერთ ექსპერიმენტში.
ასეთი მნიშვნელობების მაგალითები შეიძლება იყოს:
- დარტყმების რაოდენობა პირველ დარტყმამდე;
- მოწყობილობის ტესტების რაოდენობა პირველ მარცხამდე;
- ბურთების რაოდენობა თეთრის პირველ გამოჩენამდე. იხილეთ გამოსავალი;
- პირველი კუდების წინ მონეტის გადაგდების რაოდენობა და ა.შ.
| X | 1 | 2 | 3 | … | მ | … |
| გვ | გვ | qp | q 2 გვ | … | q m-1 გვ | … |
ალბათობები ქმნიან გეომეტრიულ პროგრესიას პირველი წევრით p და მნიშვნელი q.
X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია, რომელსაც აქვს გეომეტრიული განაწილება პარამეტრით p, უდრის:
ჰიპერგეომეტრიული განაწილება
დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს აქვს ჰიპერგეომეტრიული განაწილება n, k, m პარამეტრებით, თუ ის იღებს მნიშვნელობებს 0, 1, 2, ... ალბათობით.
.
ჰიპერგეომეტრიულ განაწილებას აქვს X შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ტოლია მოცემული თვისების მქონე ობიექტების რაოდენობას m ობიექტებს შორის შემთხვევით ამოღებულ (ჩანაცვლების გარეშე) n ობიექტის სიმრავლიდან, რომელთაგან k აქვს ეს თვისება.
Მაგალითად:
- 10 ნაწილისგან შემდგარ პარტიაში 3 დეფექტურია. ამოღებულია 4 ელემენტი. X არის კარგი ნაწილების რაოდენობა ამოღებულთა შორის. (m = 4, n = 10, k = 3). იხილეთ გამოსავალი
მაგალითი #1. ურნა შეიცავს 2 თეთრ და 3 შავ ბურთულას. ბურთები იშლება ურნადან შემთხვევით, ჩანაცვლების გარეშე, სანამ თეთრი ბურთი არ გამოჩნდება. როგორც კი ეს მოხდება, პროცესი ჩერდება. შეადგინეთ შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების ცხრილი - ჩატარებული ექსპერიმენტების რაოდენობა, იპოვეთ F(x), P(X ≤ 2), M(X), D(X).
გადაწყვეტილება:აღნიშნეთ A - თეთრი ბურთის გამოჩენა. ექსპერიმენტი შეიძლება ჩატარდეს მხოლოდ ერთხელ, თუ თეთრი ბურთი მაშინვე გამოჩნდება: 
. თუ პირველად თეთრი ბურთი არ გამოჩნდა, მაგრამ გამოჩნდა მეორე ამოღების დროს, მაშინ X=2. ასეთი მოვლენის ალბათობაა. ანალოგიურად: , , 
. მოდით ჩავწეროთ მონაცემები ცხრილში:
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
პ | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
იპოვეთ F(x):
იპოვეთ P(X ≤ 2) = P(X = 1 ან X = 2) = 0.4 + 0.3 = 0.7
M(X) = 1 0.4 + 2 0.3 + 3 0.2 + 4 0.1 = 2.
D(X) = (1-2) 2 0.4 + (2-2) 2 0.3 + (3-2) 2 0.2 + (4-2) 2 0.1 = 1.
მაგალითი #2. ყუთი შეიცავს 11 ნაწილს, აქედან 5 დეფექტურია. ასამბლეერი შემთხვევით ხაზავს 4 ცალს.
1. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებულ ნაწილებს შორის: ა) 4 დეფექტური; ბ) ერთი დეფექტური; გ) ორი დეფექტური; დ) ერთი მაინც დეფექტურია.
2. შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X- დეფექტური ნაწილების რაოდენობა ამოღებულთა შორის.
3. იპოვეთ M(X), D(X), σ(X).
4. გამოთვალეთ P(1
გადაწყვეტილება:
1. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებულ ნაწილებს შორის:
ა) 4 დეფექტური; 
ბ) ერთი დეფექტური;
ამ ცდებისთვის შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობა უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია 11-დან 4 ნაწილის ამოღება: 
მოდით გამოვთვალოთ ამ მოვლენის სასარგებლო შედეგების რაოდენობა (4 ნაწილიდან ზუსტად 1 ნაწილია დეფექტური): 
დარჩენილი 3 ნაწილის შერჩევა შესაძლებელია 7-დან: 
აქედან გამომდინარე, ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობაა: 5*20 = 100
სასურველი ალბათობა უდრის მოვლენის სასარგებლოდ მიღებული შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას ყველა ელემენტარული შედეგის რაოდენობასთან: P(1) = 100/330 = 0.303
გ) ორი დეფექტური; 
დ) ერთი მაინც დეფექტურია.
ალბათობა იმისა, რომ არ არის დეფექტური ნაწილები. X = 0. 
მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი დეფექტი არის:
P = 1 - P (0) = 1 - 0.0455 = 0.95
2. შეადგინეთ განაწილების კანონი P(x), X - დეფექტური ნაწილების რაოდენობა ამოღებულთა შორის.
იპოვეთ სამი დეფექტური პროდუქტის ალბათობა. 
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
პ | 0,0455 | 0,303 | 0,4545 | 0,182 | 0,015 |
2. იპოვე M(X), D(X),σ(X).
მათემატიკური მოლოდინი გვხვდება m = ∑x i p i ფორმულით.
მათემატიკური მოლოდინი M[X].
M[x] = 0*0.0455 + 1*0.303 + 2*0.4545 + 3*0.182 + 4*0.015 = 1.818
დისპერსია გვხვდება ფორმულით d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
დისპერსია D[X].
D[X] = 0 2 *0.0455 + 1 2 *0.303 + 2 2 *0.4545 + 3 2 *0.182 + 4 2 *0.015 - 1.818 2 = 0.694
სტანდარტული გადახრა σ(x).
3. გამოთვალეთ P(1
F(0< x ≤1) = 0.0455
F(1< x ≤2) = 0.303 + 0.0455 = 0.349
F(2< x ≤3) = 0.455 + 0.349 = 0.803
F(3< x ≤4) = 0.182 + 0.803 = 0.985
F(x>4) = 1
SW-ის გარკვეულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა გვხვდება ფორმულით:
P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)
იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ SW იქნება 1 ≤ X ინტერვალში< 4
P(1 ≤ X< 4) = F(4) - F(1) = 0.985 - 0.0455 = 0.9395
მაგალითი #3. ლოტში არის 7 ნაწილი, 3 დეფექტური. კონტროლერი შემთხვევით ხატავს 4 ნაწილს. შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის X - კარგი ნაწილების რაოდენობა ნიმუშში. იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიული X. დახაზეთ განაწილების ფუნქცია.
სულ კარგი ნაწილები: 7-3 = 4
1. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ შერჩეულ 4 ნაწილს შორის ერთი ემსახურება.
ამ ტესტების შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობა უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შესაძლებელია 7 ნაწილის ამოღება: 
მოდით გამოვთვალოთ ამ მოვლენის სასარგებლო შედეგების რაოდენობა.
განვიხილოთ გეომეტრიული განაწილება, გამოთვალეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია. MS EXCEL ფუნქციის OTRBINOM.DIST() გამოყენებით, ჩვენ გამოვსახავთ განაწილების ფუნქციის და ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკებს.
გეომეტრიული განაწილება(ინგლისური) გეომეტრიული განაწილება) არის განსაკუთრებული შემთხვევა (r=1-ისთვის).
მოდით ჩატარდეს ტესტები, რომელთაგან თითოეულში მხოლოდ მოვლენა "წარმატება" შეიძლება მოხდეს ალბათობით გვ ან მოვლენის „ჩავარდნა“ ალბათობით ქ =1-p().
განვსაზღვროთ x როგორც სასამართლო პროცესის ნომერი, რომელშიც ის დარეგისტრირდა პირველი წარმატება. ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი ცვლადი x მექნება გეომეტრიული განაწილება:
გეომეტრიული განაწილება MS EXCEL-ში
MS EXCEL-ში, 2010 წლის ვერსიიდან დაწყებული, ამისთვის უარყოფითი ბინომალური განაწილებაარის ფუნქცია NEGBINOM.DIST() , ინგლისური სახელია NEGBINOM.DIST(), რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ დადგომის ალბათობა წარუმატებლობის რაოდენობასანამ წარმატებების მოცემული რაოდენობა მიიღება წარმატების მოცემული ალბათობისთვის.
ამისთვის გეომეტრიული განაწილებაამ ფუნქციის მეორე არგუმენტი უნდა იყოს 1, რადგან ჩვენ მხოლოდ პირველი წარმატება გვაინტერესებს.
ეს განმარტება ოდნავ განსხვავდება ზემოაღნიშნულისგან, რომელიც ითვლის ალბათობას, რომ პირველი წარმატება იქნება ამის შემდეგ xტესტები. განსხვავება დამოკიდებულია დიაპაზონის ცვლილების დიაპაზონში x: თუ ალბათობა განისაზღვრება ცდების რაოდენობის მიხედვით, მაშინ Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები დაწყებული 1-დან და თუ წარუმატებლობის რიცხვით, მაშინ 0-დან. ამიტომ მოქმედებს შემდეგი ფორმულა: p(x_ წარუმატებლობები)=p(x_ ტესტები- ერთი). Სმ. მაგალითი ფაილის ფურცელი მაგალითი, სადაც მოცემულია გაანგარიშების 2 მეთოდი.
MS EXCEL ფუნქციაში მიღებული მიდგომა გამოიყენება ქვემოთ: წარუმატებლობის რაოდენობის მიხედვით.
Გამოთვლა ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია p(x), იხილეთ ფორმულა ზემოთ, თქვენ უნდა დააყენოთ მეოთხე არგუმენტი INTBINOM.DIST() ფუნქციაზე FALSE. Გამოთვლა , თქვენ უნდა დააყენოთ მეოთხე არგუმენტი TRUE-ზე.
შენიშვნა : MS EXCEL 2010-მდე EXCEL-ს ჰქონდა ფუნქცია INTERBINOMDIST(), რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მხოლოდ ალბათობის სიმკვრივე. ნიმუშის ფაილი შეიცავს ფორმულას, რომელიც დაფუძნებულია INTBINOMDIST() ფუნქციის გამოსათვლელად ინტეგრალური განაწილების ფუნქცია. ასევე არსებობს განსაზღვრების საშუალებით ალბათობის გამოთვლის ფორმულა.
მაგალითის ფაილი შეიცავს გრაფიკებს ალბათობის განაწილების სიმკვრივედა ინტეგრალური განაწილების ფუნქცია.
შენიშვნა: p პარამეტრის ფორმულების ჩაწერის მოხერხებულობისთვის a .
შენიშვნა: ფუნქციაში DISTBINOM.DIST( )
არა მთელი მნიშვნელობით X, . მაგალითად, შემდეგი ფორმულები დააბრუნებს იგივე მნიშვნელობას:
DISTBINOM.DIST( 2
; ერთი; 0.4; მართალი)=
DISTBINOM.DIST( 2,9
; ერთი; 0.4; მართალია)
Დავალებები
მოცემულია პრობლემის გადაწყვეტილებები ფაილის მაგალითი ფურცელზე მაგალითი.
დავალება 1. ნავთობკომპანია ბურღავს ჭებს ნავთობის მოსაპოვებლად. ჭაბურღილში ნავთობის აღმოჩენის ალბათობა 20%-ია.
რა არის ალბათობა იმისა, რომ პირველი ზეთი მიიღება მესამე ცდაზე?
რა არის იმის ალბათობა, რომ პირველი ზეთის პოვნას სამი მცდელობა დასჭირდება?
გამოსავალი 1:
=INTERBINOM.DIST(3-1, 1, 0.2, FALSE)
=INTERBINOM.DIST(3-1, 1, 0.2, TRUE)
დავალება 2. სარეიტინგო სააგენტო აკეთებს გამოკითხვას ქალაქში შემთხვევით გამვლელებს მათი საყვარელი მარკის მანქანის შესახებ. შეგახსენებთ, რომ მოქალაქეების 1%-ს ჰყავს საყვარელი მანქანა ლადაგრანტა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ 10 ადამიანის გამოკითხვის შემდეგ ამ მარკის მანქანის პირველ თაყვანისმცემელს შეხვდებით?
გამოსავალი 2: \u003d OTRBINOM.DIST (10-1, 1, 0.01; მართალი)=9,56%
ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ყველაზე გავრცელებული კანონები:
- ბინომალური განაწილების კანონი
- პუასონის განაწილების კანონი
- გეომეტრიული განაწილების კანონი
- ჰიპერგეომეტრიული განაწილების კანონი
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მოცემული განაწილებისთვის მათი მნიშვნელობების ალბათობების, აგრეთვე რიცხობრივი მახასიათებლების (მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია და ა.შ.) გამოთვლა ხორციელდება გარკვეული „ფორმულების“ მიხედვით. აქედან გამომდინარე, ძალიან მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ ამ ტიპის განაწილება და მათი ძირითადი თვისებები.
1. ბინომალური განაწილების კანონი.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ბინომიურ ალბათობის განაწილებას, თუ ის იღებს მნიშვნელობებს $0,\ 1, \ 2, \ \dots , \ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. სინამდვილეში, შემთხვევითი ცვლადი $X$ არის $A$ მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა $n$ დამოუკიდებელ ცდებში. ალბათობის განაწილების კანონი შემთხვევითი $X$ ცვლადისთვის:
$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \წერტილები & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\მარჯვნივ) & P_n\left(1\მარჯვნივ) & \dots & P_n\left(n\მარჯვნივ) \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$
ასეთი შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი არის $M\left(X\right)=np$, დისპერსიაა $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
მაგალითი . ოჯახში ორი შვილია. ვივარაუდოთ, რომ ბიჭისა და გოგოს დაბადების ალბათობა $0.5$-ის ტოლია, იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი $\xi $ - ოჯახში ბიჭების რაოდენობა.
შემთხვევითი ცვლადი $\xi $ იყოს ოჯახში ბიჭების რაოდენობა. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს $\xi:\ 0, \ 1, \ 2$. ამ მნიშვნელობების ალბათობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, სადაც $n =2$ - დამოუკიდებელი ცდების რაოდენობა, $p=0.5$ - მოვლენის დადგომის ალბათობა $n$ ცდების სერიაში. ჩვენ ვიღებთ:
$P\left(\xi =0\მარჯვნივ)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\მარჯვნივ))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\მარჯვნივ))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$
მაშინ $\xi $ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის კორესპონდენცია $0,\ 1,\ 2$ მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობებს შორის, ე.ი.
$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$
განაწილების კანონში ალბათობების ჯამი უნდა იყოს $1$-ის ტოლი, ანუ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.
მოლოდინი $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ვარიაცია $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, სტანდარტული გადახრა $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\დაახლოებით $0.707.
2. პუასონის განაწილების კანონი.
თუ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს მხოლოდ არაუარყოფითი მთელი რიცხვები $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)=((( \ლამბდა )^კ )\ზედა (კ}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
კომენტარი. ამ განაწილების თავისებურება ის არის, რომ ექსპერიმენტულ მონაცემებზე დაყრდნობით ვპოულობთ შეფასებებს $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, თუ მიღებული შეფასებები ერთმანეთთან ახლოსაა, მაშინ ჩვენ აქვს საფუძველი იმის დასამტკიცებლად, რომ შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება პუასონის განაწილების კანონს.
მაგალითი . პუასონის განაწილების კანონის დაქვემდებარებული შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები შეიძლება იყოს: მანქანების რაოდენობა, რომლებსაც ხვალ მოემსახურება ბენზინგასამართი სადგური; დეფექტური ნივთების რაოდენობა წარმოებულ პროდუქტში.
მაგალითი . ქარხანამ ბაზას $500 დოლარის პროდუქცია გაუგზავნა. ტრანზიტის დროს პროდუქტის დაზიანების ალბათობა არის $0.002$. იპოვეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი დაზიანებული პროდუქტების რაოდენობის ტოლი; რაც უდრის $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
დაე, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს დაზიანებული პროდუქტების რაოდენობა. ასეთი შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება პუასონის განაწილების კანონს პარამეტრით $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. მნიშვნელობების ალბათობაა $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\მარჯვნივ)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\მარცხნივ(X=1\მარჯვნივ)=((1^1)\ზედა (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\მარცხნივ(X=2\მარჯვნივ)=((1^2)\ზედა (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\მარცხნივ(X=3\მარჯვნივ)=((1^3)\ზედა (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\მარცხნივ(X=4\მარჯვნივ)=((1^4)\ზედა (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\მარცხნივ(X=5\მარჯვნივ)=((1^5)\ზედა (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\მარცხნივ(X=6\მარჯვნივ)=((1^6)\ზედა (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\მარჯვნივ)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
$X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:
$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\hline
P_i & 0.368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\ლამბდა )^k)\ზედა (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\ბოლო (მასივი)$
ასეთი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია ერთმანეთის ტოლია და პარამეტრის ტოლია $\lambda $, ანუ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1. $.
3. განაწილების გეომეტრიული კანონი.
თუ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ბუნებრივი მნიშვნელობები $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ მარჯვნივ)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ასეთი შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ალბათობის განაწილების გეომეტრიულ კანონს. ფაქტობრივად, გეომეტრიული განაწილება, როგორც ჩანს, არის ბერნულის ცდები პირველ წარმატებამდე.
მაგალითი . შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები, რომლებსაც აქვთ გეომეტრიული განაწილება, შეიძლება იყოს: გასროლების რაოდენობა მიზანზე პირველ დარტყმამდე; მოწყობილობის ტესტების რაოდენობა პირველ მარცხამდე; მონეტების გადაყრის რაოდენობა პირველი თავების ზემოთ და ა.შ.
გეომეტრიული განაწილების ქვეშ მყოფი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია არის შესაბამისად $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.
მაგალითი . თევზის გადაადგილების გზაზე ქვირითის ადგილისკენ არის $4$-იანი საკეტი. თითოეულ საკეტში თევზის გავლის ალბათობაა $p=3/5$. შექმენით $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია - თევზის მიერ გავლილი საკეტების რაოდენობა საკეტში პირველ გაჩერებამდე. იპოვეთ $M\left(X\right),\ D\left(X\right), \ \sigma \left(X\right)$.
დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს თევზის მიერ გავლილი სლუიების რაოდენობა სასხლეტის პირველ გაჩერებამდე. ასეთი შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება ალბათობის განაწილების გეომეტრიულ კანონს. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს შემთხვევითი ცვლადი $X არის: 1, 2, 3, 4. ამ მნიშვნელობების ალბათობა გამოითვლება ფორმულით: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, სადაც: $ p=2/5$ - საკეტში თევზის დაჭერის ალბათობა, $q=1-p=3/5$ - საკეტში თევზის გავლის ალბათობა, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4$.
$P\left(X=1\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\მარჯვნივ))^0=((2)\ მეტი(5)=0.4;$
$P\left(X=2\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\მარჯვნივ))^2=(2)\ მეტი (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\მარჯვნივ))^3+(\left(( (3)\ზედ (5))\მარჯვნივ))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\მარჯვნივ) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$
Მოსალოდნელი ღირებულება:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
დისპერსია:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ მარცხენა(1-2,176\მარჯვნივ))^2+0,24\cdot (\ მარცხენა (2-2,176\მარჯვნივ))^2+0,144\cdot (\ მარცხნივ(3-2,176\მარჯვნივ))^2+$
$+\ 0.216\cdot (\ მარცხნივ(4-2.176\მარჯვნივ))^2\დაახლოებით 1.377.$
Სტანდარტული გადახრა:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\დაახლოებით 1173.$
4. ჰიპერგეომეტრიული განაწილების კანონი.
თუ არის $N$ ობიექტები, რომელთა შორის $m$ ობიექტებს აქვთ მოცემული თვისება. შემთხვევით, ჩანაცვლების გარეშე, ამოღებულია $n$ ობიექტები, რომელთა შორის არის $k$ ობიექტები, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება. ჰიპერგეომეტრიული განაწილება შესაძლებელს ხდის შეფასდეს ალბათობა იმისა, რომ ნიმუშის ზუსტად $k$ ობიექტებს აქვთ მოცემული თვისება. დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს იმ ობიექტების რაოდენობა ნიმუშში, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება. შემდეგ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ალბათობა:
$P\left(X=k\მარჯვნივ)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
კომენტარი. Excel $f_x$ Function Wizard-ის HYPERGEOMET სტატისტიკური ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ გარკვეული რაოდენობის ცდები წარმატებული იქნება.
$f_x\$-მდე სტატისტიკური$\ to$ ჰიპერგეომეტი$\ to$ კარგი. გამოჩნდება დიალოგური ფანჯარა, რომელიც უნდა შეავსოთ. გრაფაში წარმატებების_რაოდენობა_ნიმუშშიმიუთითეთ $k$-ის მნიშვნელობა. ნიმუში_ზომაუდრის $n$. გრაფაში პოპულაციაში_წარმატებების_რაოდენობამიუთითეთ $m$-ის ღირებულება. მოსახლეობის_ზომაუდრის $N$.
$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია, რომელიც ექვემდებარება გეომეტრიული განაწილების კანონს არის $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\მარცხნივ) (1 -((მ)\ზედ (N))\მარჯვნივ)\მარცხნივ(1-((n)\ზედა (N))\მარჯვნივ))\ზედ (N-1))$.
მაგალითი . ბანკის საკრედიტო განყოფილებაში დასაქმებულია 5 უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტი და 3 უმაღლესი იურიდიული განათლების მქონე სპეციალისტი. ბანკის ხელმძღვანელობამ გადაწყვიტა 3 სპეციალისტი გაეგზავნა კვალიფიკაციის ასამაღლებლად, რომლებიც შემთხვევით შეარჩიეს.
ა) შეადგინოს სადისტრიბუციო სერია უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტების რაოდენობისა, რომლებიც შეიძლება გადავიდნენ კვალიფიკაციის ამაღლებაზე;
ბ) იპოვეთ ამ განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები.
დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტების რაოდენობა შერჩეულ სამს შორის. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს $X:0,\ 1,\ 2, \ 3$. ეს შემთხვევითი ცვლადი $X$ ნაწილდება ჰიპერგეომეტრიული განაწილების მიხედვით შემდეგი პარამეტრებით: $N=8$ - პოპულაციის ზომა, $m=5$ - წარმატებების რაოდენობა პოპულაციაში, $n=3$ - ნიმუშის ზომა, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - წარმატებების რაოდენობა ნიმუშში. შემდეგ $P\left(X=k\right)$ ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $-ზე მეტი. Ჩვენ გვაქვს:
$P\left(X=0\მარჯვნივ)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\დაახლოებით 0.018;$
$P\left(X=1\მარჯვნივ)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\დაახლოებით 0,268;$
$P\left(X=2\მარჯვნივ)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\დაახლოებით 0,536;$
$P\left(X=3\მარჯვნივ)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\დაახლოებით 0.179.$
შემდეგ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია:
$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$
მოდით გამოვთვალოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები ჰიპერგეომეტრიული განაწილების ზოგადი ფორმულების გამოყენებით.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\მარჯვნივ)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\მარჯვნივ))\ზედ (8-1))=((225)\ზედმეტად (448))\დაახლოებით 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\დაახლოებით 0.7085.$
