მოსკოვის რეგიონის "კრასნოგორსკის კოლეჯის" სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულების შჩელკოვსკის ფილიალის მათემატიკის მასწავლებელი არტემიევი ვასილი ილიჩი.
თემის „სექციების მშენებლობის პრობლემების გადაჭრა“ სწავლა იწყება მე-10 კლასში ან არასამთავრობო დაწესებულებებში პირველ კურსზე. თუ მათემატიკის კლასი აღჭურვილია მულტიმედიური ხელსაწყოებით, მაშინ სწავლის პრობლემის გადაჭრა ხელს უწყობს სხვადასხვა პროგრამების დახმარებით. ერთ-ერთი ასეთი პროგრამაა პროგრამული უზრუნველყოფადინამიური მათემატიკა GeoGebra 4.0.12. ვარგისია სწავლისა და სწავლისთვის სწავლის ნებისმიერ საფეხურზე, ხელს უწყობს სტუდენტების მიერ მათემატიკური კონსტრუქციების და მოდელების შექმნას, რაც საშუალებას აძლევს ინტერაქტიულ კვლევას ობიექტების გადაადგილებისა და პარამეტრების შეცვლისას.
განვიხილოთ ამ პროგრამული პროდუქტის გამოყენება კონკრეტულ მაგალითზე.
დავალება. ააგეთ პირამიდის მონაკვეთი PQR სიბრტყით, თუ P წერტილი დევს SA წრფეზე, Q წერტილი დევს SB წრფეზე, წერტილი R დევს SC წრფეზე.
გადაწყვეტილება. განვიხილოთ ორი შემთხვევა. შემთხვევა 1. წერტილი P მიეკუთვნება SA კიდეს.
1. Point ინსტრუმენტის გამოყენებით მონიშნეთ თვითნებური წერტილები A, B, C, D. დააწკაპუნეთ D წერტილზე მარჯვენა ღილაკით, აირჩიეთ „გადარქმევა“. გადაარქვით D-ს S-ად და დააყენეთ ამ წერტილის პოზიცია, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 1.
2. ხელსაწყოს „სეგმენტი ორი წერტილით“ გამოყენებით ავაშენებთ SA, SB, SC, AB, AC, BC სეგმენტებს.
3. დააწკაპუნეთ მაუსის მარჯვენა ღილაკით AB სეგმენტზე და აირჩიეთ "თვისებები" - "სტილი". დააყენეთ წერტილოვანი ხაზი.
4. მონიშნეთ P, Q, R წერტილები SA, SB, CS სეგმენტებზე.
5. გამოიყენეთ ინსტრუმენტი "ხაზი ორი წერტილით" წრფის PQ ასაგებად.
6. განვიხილოთ PQ წრფე და წერტილი R. კითხვა მოსწავლეებისთვის: რამდენი სიბრტყე გადის PQ წრფესა და R წერტილზე? დაასაბუთეთ პასუხი. (პასუხი. თვითმფრინავი გადის ხაზს და მასზე არ მყოფ წერტილს და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთს).
7. ჩვენ ვაშენებთ პირდაპირ PR და QR.
8. აირჩიეთ Polygon ინსტრუმენტი და დააწკაპუნეთ PQRP წერტილებზე სათითაოდ.
9. გამოიყენეთ Move ინსტრუმენტი, რათა შეცვალოთ წერტილების პოზიცია და დააკვირდეთ ცვლილებებს განყოფილებაში.
სურათი 1.
10. დააწკაპუნეთ მაუსის მარჯვენა ღილაკით მრავალკუთხედზე და აირჩიეთ „Properties“ - „Color“. შეავსეთ მრავალკუთხედი ნაზი ფერით.
11. ობიექტის პანელზე დააწკაპუნეთ მარკერებზე და დამალეთ ხაზები.
12. დამატებითი დავალების სახით შეგიძლიათ გაზომოთ კვეთის ფართობი.
ამისათვის აირჩიეთ "არეა" ხელსაწყო და დააწკაპუნეთ მაუსის მარცხენა ღილაკით მრავალკუთხედზე.
შემთხვევა 2. წერტილი P დევს SA წრფეზე. ამ შემთხვევისთვის პრობლემის გადაჭრის განსახილველად შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა პრობლემის ნახაზი. დავმალოთ მხოლოდ მრავალკუთხედი და წერტილი P.
1. გამოიყენეთ ინსტრუმენტი „ხაზი ორი წერტილით“ სწორი ხაზის SA ასაგებად.
2. მონიშნეთ წერტილი P1 SA წრფეზე, როგორც ნაჩვენებია 2-ზე.
3. დახაზეთ ხაზი P1Q.
4. აირჩიეთ ხელსაწყო „ორი ობიექტის გადაკვეთა“ და დააწკაპუნეთ მაუსის მარცხენა ღილაკით AB და P1Q სწორ ხაზებზე. ვიპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილი K.
5. დავხაზოთ ხაზი P1R. იპოვეთ ამ წრფის M კვეთის წერტილი AC წრფესთან.
კითხვა სტუდენტებისთვის: რამდენი სიბრტყის დახატვა შეიძლება P1Q და P1R ხაზებით? დაასაბუთეთ პასუხი. (პასუხი. თვითმფრინავი გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე და მეტიც, მხოლოდ ერთში).
6. დავხატოთ პირდაპირი KM და QR. კითხვა სტუდენტებისთვის. რომელი სიბრტყეები მიეკუთვნება ერთდროულად K, M წერტილებს? რომელი სიბრტყეების გადაკვეთაა სწორი ხაზი KM?
7. ააგეთ მრავალკუთხედი QRKMQ. შეავსეთ ნაზი ფერით და დამალეთ დამხმარე ხაზები.
სურათი 2.
"Move" ხელსაწყოს გამოყენებით ვამოძრავებთ წერტილს სწორი ხაზის გასწვრივ AS. განვიხილავთ მონაკვეთის სიბრტყის სხვადასხვა პოზიციებს.
სექციების აგების ამოცანები:
1. ააშენეთ მონაკვეთი, რომელიც განსაზღვრულია პარალელური ხაზებით AA1 და CC1. რამდენი სიბრტყე გადის პარალელურ წრფეებზე? 
2. ააგეთ მონაკვეთი, რომელიც გადაკვეთს ხაზებს. რამდენი სიბრტყე გადის გადამკვეთ ხაზებზე? 
3. მონაკვეთების აგება პარალელური სიბრტყეების თვისებების გამოყენებით:
ა) ააგეთ პარალელეპიპედის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის M წერტილსა და AC წრფეზე. 
ბ) ააგეთ პრიზმის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის AB კიდესა და B1C1 კიდეს შუა.
გ) ააგეთ პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის K წერტილში და პარალელურად არის პირამიდის ფუძეების სიბრტყის პარალელურად.
4. მონაკვეთების აგება ტრასის მეთოდით:
ა) მოცემულია პირამიდა SABCD. ააგეთ პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის P, Q და R წერტილებზე.
5) დახაზეთ QF წრფე და იპოვეთ SB კიდესთან გადაკვეთის H წერტილი.
6) დავხატოთ პირდაპირი HR და PG.
7) აირჩიეთ მიღებული განყოფილება "პოლიგონის" ხელსაწყოთი და შეცვალეთ შევსების ფერი.
ბ) ააგეთ პარალელეპიპედის ABCDA1B1C1D1 მონაკვეთი საკუთარი სიბრტყით, რომელიც გადის P, K და M წერტილებზე. წყაროების სია.
1. ელექტრონული რესურსი http://www.geogebra.com/indexcf.php
2. ელექტრონული რესურსი http://geogebra.ru/www/index.php (ციმბირის გეოგებრა ინსტიტუტის საიტი)
3. ელექტრონული რესურსი http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF
4. ელექტრონული რესურსი. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/
5. ელექტრონული რესურსი http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(GeoGebra ფორუმი მასწავლებლებისა და სკოლის მოსწავლეებისთვის).
6. ელექტრონული რესურსი www.geogebratube.org (პროგრამასთან მუშაობის ინტერაქტიული მასალები)
პოლიედრების მონაკვეთების აგების პრობლემები მნიშვნელოვან ადგილს იკავებს როგორც სკოლის გეომეტრიის კურსში უფროსი კლასებისთვის, ასევე სხვადასხვა დონის გამოცდებში. ამ ტიპის პრობლემების გადაწყვეტა ხელს უწყობს სტერეომეტრიის აქსიომების ათვისებას, ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაციას, სივრცითი წარმოდგენისა და კონსტრუქციული უნარების განვითარებას. ცნობილია სირთულეები, რომლებიც წარმოიქმნება სექციების მშენებლობასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრაში.
ადრეული ბავშვობიდან ჩვენ სექციების წინაშე ვდგავართ. პურს, სოსისს და სხვა პროდუქტებს ვჭრით, დანით ვჭრით ჯოხს ან ფანქარს. სეკანტური სიბრტყე ყველა ამ შემთხვევაში არის დანის სიბრტყე. სექციები (სექციები ცალი) განსხვავებულია.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის მონაკვეთი არის ამოზნექილი მრავალკუთხედი, რომლის წვეროები, ზოგად შემთხვევაში, არის ჭრის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები მრავალკუთხედის კიდეებთან, ხოლო გვერდები არის საჭრელი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზები. სახეები.
ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის ასაგებად საკმარისია ამ სიბრტყეების ორი საერთო წერტილის პოვნა და მათში ხაზის გავლება. ეს ეფუძნება შემდეგ განცხადებებს:
1. თუ სწორი ხაზის ორი წერტილი სიბრტყეს ეკუთვნის, მაშინ მთელი ხაზი ამ სიბრტყეს ეკუთვნის;
2. თუ ორ განსხვავებულ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ ისინი იკვეთებიან ამ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის გასწვრივ.
როგორც უკვე ვთქვი, პოლიედრების მონაკვეთების აგება შეიძლება განხორციელდეს სტერეომეტრიის აქსიომებისა და ხაზებისა და სიბრტყეების პარალელიზმზე თეორემების საფუძველზე. ამავდროულად, არსებობს პოლიედრების თვითმფრინავის სექციების აგების გარკვეული მეთოდები. შემდეგი სამი მეთოდი ყველაზე ეფექტურია:
კვალი მეთოდი
შიდა დიზაინის მეთოდი
კომბინირებული მეთოდი.
გეომეტრიის და, კერძოდ, მისი იმ მონაკვეთების შესწავლისას, სადაც განიხილება გეომეტრიული ფიგურების გამოსახულებები, გეომეტრიული ფიგურების გამოსახულება ხელს უწყობს კომპიუტერული პრეზენტაციების გამოყენებას. კომპიუტერის დახმარებით ბევრი გეომეტრიის გაკვეთილი უფრო ვიზუალური და დინამიური ხდება. აქსიომებს, თეორემებს, მტკიცებულებებს, კონსტრუქციულ პრობლემებს, სექციების აგების პრობლემებს შეიძლება ახლდეს თანმიმდევრული კონსტრუქციები მონიტორის ეკრანზე. კომპიუტერის მიერ გენერირებული ნახატების შენახვა და ჩასმა შესაძლებელია სხვა დოკუმენტებში.
მსურს რამდენიმე სლაიდის ჩვენება თემაზე: "სექციების აგება გეომეტრიულ სხეულებში"
წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის ასაგებად სიბრტყეში იპოვეთ ხაზი, რომელიც კვეთს მოცემულ წრფეს. მაშინ სასურველი წერტილი არის ნაპოვნი წრფის მოცემულთან გადაკვეთის წერტილი. ვნახოთ ის შემდეგ სლაიდებზე.
დავალება 1.
ტეტრაედრის DABC-ის კიდეებზე ორი წერტილი M და N აღინიშნება; M GAD, N b DC. აირჩიეთ MN წრფის გადაკვეთის წერტილი ფუძის სიბრტყესთან.
ამოხსნა: MN წრფის სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად
ბაზაზე გავაგრძელებთ AC და სეგმენტს MN. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილს X-ით. X წერტილი ეკუთვნის MN წრფეს და AC სახეს, ხოლო AC დევს საბაზისო სიბრტყეში, რაც ნიშნავს, რომ X წერტილიც დევს საბაზისო სიბრტყეში. მაშასადამე, X წერტილი არის MN წრფის გადაკვეთის წერტილი ფუძის სიბრტყესთან.
განვიხილოთ მეორე პრობლემა. ცოტა გავართულოთ.
დავალება 2.
მოცემულია M და N წერტილების ტეტრაედონი DABC, სადაც M € DA, N C (DBC). იპოვეთ MN წრფის გადაკვეთის წერტილი ABC სიბრტყესთან.
ამოხსნა: MN წრფის ABC სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილი უნდა იყოს იმ სიბრტყეში, რომელიც შეიცავს MN წრფეს და ფუძის სიბრტყეში. ჩვენ ვაგრძელებთ სეგმენტს DN გადაკვეთის წერტილამდე ზღვარზე DC. ჩვენ ვნიშნავთ გადაკვეთის წერტილს E-ის გავლით. ვაგრძელებთ AE და MN ხაზს მათი გადაკვეთის წერტილამდე. შენიშვნა X. წერტილი X ეკუთვნის MN-ს, ამიტომ ის დევს სიბრტყეზე, რომელიც შეიცავს ხაზს MN და X ეკუთვნის AE-ს, ხოლო AE მდებარეობს ABC სიბრტყეზე. ასე რომ, X ასევე დევს ABC სიბრტყეში. აქედან გამომდინარე, X არის MN წრფის და ABC სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი.
დავალება გავართულოთ. განვიხილოთ გეომეტრიული ფიგურების მონაკვეთი სიბრტყეების მიხედვით, რომლებიც გადიან სამ მოცემულ წერტილს.
დავალება 3
წერტილები M, N და P მონიშნულია DABC ტეტრაედრის AC, AD და DB კიდეებზე. ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი სიბრტყით MNP.
ამოხსნა: ააგეთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ არის სიბრტყე MNP. კვეთს ABC სიბრტყეს. წერტილი M არის ამ სიბრტყეების საერთო წერტილი. კიდევ ერთი საერთო წერტილის ასაგებად, ჩვენ ვაგრძელებთ სეგმენტს AB და NP. ჩვენ აღვნიშნავთ გადაკვეთის წერტილს X-ის გავლით, რომელიც იქნება სიბრტყის MNP და ABC მეორე საერთო წერტილი. ასე რომ, ეს სიბრტყეები იკვეთება MX სწორი ხაზის გასწვრივ. MX კვეთს BC კიდეს E რაღაც წერტილში. ვინაიდან E დევს MX-ზე და MX არის MNP სიბრტყის კუთვნილი ხაზი, აქედან გამომდინარეობს, რომ PE ეკუთვნის MNP-ს. ოთხკუთხედი MNPE არის საჭირო მონაკვეთი.
დავალება 4
ჩვენ ვაშენებთ ABCA1B1C1 სწორი პრიზმის მონაკვეთს თვითმფრინავით, რომელიც გადის P წერტილებზე. , ქ,R, სადაც R ეკუთვნის ( აა 1C 1C), რეკუთვნის AT 1C1,
Q ეკუთვნის AB-ს
გადაწყვეტილება:სამივე წერტილი P, Q, R დევს სხვადასხვა სახეებზე, ამიტომ ჯერ არ შეგვიძლია ავაშენოთ სეკანტური სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი პრიზმის რომელიმე სახესთან. მოდი ვიპოვოთ PR-ის გადაკვეთის წერტილი ABC-სთან. ვიპოვოთ P და R წერტილების პროგნოზები PP1 BC-ზე პერპენდიკულარული და RR1 AC-ის პერპენდიკულარული საბაზისო სიბრტყეზე. ხაზი P1R1 კვეთს PR წრფეს X წერტილში. X არის PR წრფის გადაკვეთის წერტილი ABC სიბრტყესთან. ის დევს სასურველ K სიბრტყეში და ფუძის სიბრტყეში, Q წერტილის მსგავსად. XQ არის სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს K-ს ფუძის სიბრტყეს. XQ კვეთს AC წერტილს K. ამიტომ KQ არის X სიბრტყის გადაკვეთის სეგმენტი ABC სახესთან. K და R მდებარეობს X სიბრტყეში და AA1C1C სახის სიბრტყეში. დახაზეთ წრფე KR და მონიშნეთ A1Q E-სთან გადაკვეთის წერტილი. KE არის X სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი ამ სახესთან. იპოვეთ X სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი BB1A1A სახეების სიბრტყესთან. KE კვეთს A1A-ს Y წერტილში. წრფე QY არის სეკანტური სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი AA1B1B სიბრტყესთან. FPEKQ - სასურველი განყოფილება.
პოლიედრების მონაკვეთების ასაგებად 2 ძირითადი მეთოდი არსებობს:
მონაკვეთების აგების აქსიომატური მეთოდი
1. კვალის მეთოდი
მაგალითი 1
ABCA"B"C" პრიზმის AA" და B"C" კიდეებზე ვაყენებთ შესაბამისად P და Q წერტილებს. პრიზმის მონაკვეთს ვაშენებთ სიბრტყით (PQR), რომლის R წერტილს ვაყენებთ. ერთ-ერთ შემდეგ სახეზე:
ა) BCCB „C“;
ბ) A "B" C";
გ) ABC
გადაწყვეტილება.
ა) 1) ვინაიდან Q და R წერტილები დევს სიბრტყეში (BCC"), მაშინ წრფე QR დევს ამ სიბრტყეში. დახაზეთ იგი. ეს არის სიბრტყის (PQR) კვალი სიბრტყეზე (BCC"). (ნახ.1)
2) იპოვეთ B"" და C წერტილები", რომლებზეც წრფე QR კვეთს BB" და CC წრფეებს, შესაბამისად. B" და C" წერტილები არის სიბრტყის კვალი (PQR), შესაბამისად, BB" და CC წრფეებზე. ".
3) ვინაიდან B "" და P წერტილები დევს სიბრტყეში (ABB"), მაშინ წრფე B "" P დევს ამ სიბრტყეში. დავხატოთ იგი. სეგმენტი B ** P არის სიბრტყის კვალი (PQR) სახეზე ABB "A".
4) ვინაიდან P და C წერტილები დევს სიბრტყეში (ACC"), მაშინ წრფე PC"" დევს ამ სიბრტყეში. დახაზეთ იგი. ეს არის სიბრტყის (PQR) კვალი სიბრტყეზე (ACC").
5) იპოვეთ V წერტილი, რომელზედაც წრფივი PC"" კვეთს A"C კიდეს". ეს არის თვითმფრინავის (PQR) კვალი A "C" კიდეზე.
6) ეტლი, როგორც Q და V წერტილები დევს სიბრტყეში (A "B" C "), შემდეგ წრფე QV დევს ამ სიბრტყეში. დავხატოთ QV ხაზი. QV სეგმენტი არის სიბრტყის კვალი (PQR) ABC სახეზე მივიღეთ მრავალკუთხედი QB ""PV - საჭირო განყოფილება.
ბ) 1) ვინაიდან Q და R წერტილები დევს სიბრტყეში (A "B" C "), მაშინ წრფე QR დევს ამ სიბრტყეში. მოდით დავხატოთ იგი. ეს არის სიბრტყის (PQR) კვალი სიბრტყეზე (A" B "C"). (ნახ. .2)
2) იპოვეთ D" და E წერტილები", რომლებზეც QR წრფე კვეთს A"B" და B"C წრფეებს შესაბამისად. ვინაიდან წერტილი D" დევს A"B კიდეზე, სეგმენტი QD" არის სიბრტყის (PQR) კვალი A"B"C სახეზე.
3) ვინაიდან D "და P" წერტილები დევს სიბრტყეში (ABB"), მაშინ წრფე D "P დევს ამ სიბრტყეში. დახაზეთ იგი. ეს არის სიბრტყის (PQR) კვალი სიბრტყეზე (ABB"), და სეგმენტი D "P არის კვალის სიბრტყე (PQR) სახეზე ABB"A".
4) რაკი წერტილები P და E" დევს სიბრტყეში (ACC"), მაშინ PE დგას ამ სიბრტყეში. მოდით დავხატოთ იგი. ეს არის სიბრტყის (PQR) კვალი სიბრტყეზე (ACC").
5) იპოვეთ წერტილი C""=PE""CC". ვინაიდან წერტილი C"" დევს CC კიდეზე, მაშინ სეგმენტი PC"" არის სიბრტყის კვალი (PQR) სახეზე ACC"A" .
6) ვინაიდან Q და C წერტილები "" დევს სიბრტყეში (BCC"), მაშინ წრფე QC "" დევს ამ სიბრტყეში. დახაზეთ იგი. ეს არის სიბრტყის (PQR) კვალი სიბრტყეზე (BCC") , და სეგმენტი QC "" - სიბრტყის კვალი (PQR) სახეზე BCC"B". ასე რომ, მივიღეთ პოლიგონი QD"PC"" - ეს არის სასურველი განყოფილება.
in) 1) სამი მოცემული წერტილიდან P, Q და R, ორი არ არის პრიზმის სახეების არცერთ სიბრტყეში, ასე რომ, ჩვენ ვპოულობთ სიბრტყის მთავარ კვალს (PQR) (ანუ, გადაკვეთის ხაზს). თვითმფრინავი (PQR) თვითმფრინავით (ABC), რომელიც არჩეულია მთავარად). ამისათვის ჩვენ ჯერ ვპოულობთ P, Q და R წერტილების პროგნოზებს სიბრტყეზე (ABC) პრიზმის გვერდითი კიდის პარალელურად. ვინაიდან წერტილი P დევს AA კიდეზე, მაშინ P წერტილი ემთხვევა A წერტილს. ვინაიდან წერტილი Q დევს სიბრტყეში (BCC"), მაშინ ამ სიბრტყეში Q წერტილის გავლით ვხატავთ წრფეს პარალელურად. ხაზი BB" და იპოვე წერტილი Q ", რომელშიც დახაზული ხაზი კვეთს BC წრფეს. ვინაიდან წერტილი R, პირობით, დევს მთავარად არჩეულ სიბრტყეში, წერტილი R" ემთხვევა R წერტილს. სურ. 3)
2) პარალელური ხაზები PP" და QQ" განსაზღვრავს სიბრტყეს. ამ სიბრტყეში ვხაზავთ PQ და P"Q" წრფეებს და ვპოულობთ S=PQ წერტილს, რომელიც კვეთს P"Q-ს". ვინაიდან წერტილი S" დევს PQ წრფეზე, მაშინ ის დევს სიბრტყეში (PQR), და რადგან წერტილი S" დევს P"Q წრფეზე, მაშინ ის დევს სიბრტყეში (ABC). ამრიგად, წერტილი S "არის სიბრტყეების (PQR) და (ABC) საერთო წერტილი. ეს ნიშნავს, რომ სიბრტყეები (PQR) და (ABC) იკვეთება S წერტილში გამავალი სწორი ხაზის გასწვრივ".
3) ვინაიდან წერტილი R ემთხვევა R წერტილს, მაშინ წერტილი R არის სიბრტყეების (PQR) და (ABC) კიდევ ერთი საერთო წერტილი. ამრიგად, წრფე S "R არის სიბრტყის მთავარი კვალი (PQR). მოდით დავხატოთ ეს ხაზი. როგორც ნახატიდან ხედავთ, სწორი ხაზი S "R კვეთს პრიზმის ფუძის AB და BC კიდეებს, შესაბამისად, S" "და S" "" წერტილებზე.
4) ვინაიდან წერტილები S""" და Q დევს სიბრტყეში (BCC"), მაშინ წრფე S""" Q დევს ამ სიბრტყეში. დახაზეთ იგი. ეს არის სიბრტყის (PQR) კვალი სიბრტყეზე ( BCC"). ხოლო სეგმენტი S""" Q, არის სიბრტყის კვალი (PQR) BCC"B"-ის სახეზე.
5) ანალოგიურად, ვხვდებით სეგმენტს S "" P - სიბრტყის კვალი (PQR) სახეზე ABB "A".
7) ვპოულობთ F=PC"" წერტილს კვეთს A"C"-ს და შემდეგ ვიღებთ სეგმენტს PF - სიბრტყის (PQR) კვალს ACC"A"-ს სახეზე.
8) Q და F წერტილები დევს A"B"C სიბრტყეში, ამიტომ წრფე QF დევს სიბრტყეში (A"B"C"). დავხაზოთ სწორი ხაზი QF, მივიღებთ სეგმენტს QF - სიბრტყის კვალი (PQR) სახეზე A "B" C. ასე რომ, მივიღეთ მრავალკუთხედი QS "" "S" "PF - სასურველი მონაკვეთი.
3 შენიშვნა. ვაჩვენოთ C წერტილის პოვნის სხვა გზა, რომელშიც ვერ ვპოულობთ S""" Q წრფის გადაკვეთის წერტილს C"C" წრფესთან". ჩვენ შემდეგნაირად ვიკამათებთ. თუ სიბრტყის (PQR) კვალი CC" წრფეზე არის რაღაც V წერტილი, მაშინ მისი პროექცია სიბრტყეზე (ABC) ემთხვევა C წერტილს. მაშინ წერტილი S""""= V"P"იკვეთება VP სიცრუე. თვითმფრინავის მთავარ კვალზე S"R (PQR). ჩვენ ვაშენებთ ამ წერტილს S"""" როგორც ხაზების V"P" (ეს არის ხაზი CA) და S"R გადაკვეთის წერტილი. და შემდეგ ვხატავთ S"""""P წრფეს. “ წერტილში V.
მაგალითი 2
MABCD პირამიდის MB კიდეზე ვაყენებთ P წერტილს, მის სახეზე MCD ვსვამთ წერტილს Q. ვაშენებთ პირამიდის ნაწილს სიბრტყით (PQR), რომლის R წერტილს ვადგენთ:
ა) MC კიდეზე;
ბ) MAD-ის ზღვარზე;
გ) სიბრტყეში (MAS), პირამიდის გარეთ.
გადაწყვეტილება.
ა) სიბრტყის (PQR) კვალი MBC-ის სახეზე არის სეგმენტი PR, ხოლო მისი კვალი MCD-ის სახეზე არის სეგმენტი RD", სადაც წერტილი D" არის RQ წრფის გადაკვეთის წერტილი. კიდე MD. ნათელია, რომ თვითმფრინავს (PQR) აქვს კვალი MAD და MAB სახეებზე (რადგან თვითმფრინავს (PQR) აქვს საერთო წერტილები ამ სახეებთან). იპოვეთ თვითმფრინავის კვალი (PQR) MA ხაზზე. მოდით გავაკეთოთ ეს ასე:
1) ავაშენოთ წერტილები P, Q" და R" - P, Q და R წერტილების პროგნოზები M ცენტრიდან სიბრტყეზე (ABC), ამგვარად აღებული, როგორც მთავარი სიბრტყე. (ნახ. 4).
3) თუ სიბრტყე (PQR) კვეთს MA წრფეს რაღაც V წერტილში, მაშინ V" წერტილი ემთხვევა A წერტილს და წერტილი S"""= VQ კვეთს V"Q" დგას S"S" წრფეზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, S""" წერტილში სამი ხაზი იკვეთება: VQ, V"Q"" და S" S"". ამ სამის ბოლო ორი ხაზი უკვე ნახაზზეა. ამიტომ ჩვენ ვაშენებთ S""" წერტილს V"Q" და SS" წრფეების გადაკვეთის წერტილად.
4) დახაზეთ წრფე QS""" (ის ემთხვევა VQ წრფეს, ვინაიდან წრფე VQ უნდა გაიაროს S""" წერტილში, ანუ V, Q და S""" წერტილები დევს იმავე წრფეზე).
5) იპოვეთ V წერტილი, სადაც წრფე QS"" "კვეთს MA წრფეს, V წერტილი არის სიბრტყის (PQR) კვალი MA კიდეზე. გარდა ამისა, ცხადია, რომ სეგმენტები PV და VD" არის კვალი. თვითმფრინავის (PQR), შესაბამისად, MAB-ის და M.A.D-ის სახეებზე. ამრიგად, პოლიგონი PRD "V არის საჭირო განყოფილება.
ბ) 1) ავიღებთ სიბრტყეს (ABC) მთავარ სიბრტყედ და ვაშენებთ წერტილებს P, Q" და R" - P, Q და R წერტილების პროექცია, შესაბამისად, სიბრტყეზე (ABC). ამის ცენტრი. შიდა პროექცია არის წერტილი M. (ნახ. 5.)
2) ვაშენებთ სწორ ხაზს S"S"" - თვითმფრინავის მთავარი კვალი (PQR).
3) თუ სიბრტყე (PQR) კვეთს MA წრფეს V წერტილში, მაშინ წერტილი V "- V წერტილის პროექცია თვითმფრინავზე (ABC) M ცენტრიდან ემთხვევა A წერტილს, ხოლო წრფეები S. "S"", V"R" და წრფე VR, რომლის V წერტილი ჯერ არ ავაშენეთ, იკვეთება S""" წერტილზე. იპოვეთ ეს წერტილი S"""=V"R" კვეთს S"S. "" ."", და იპოვეთ წერტილი V=RS""" კვეთს MA. შემდგომი კონსტრუქცია ნათელია. საჭირო მონაკვეთი არის მრავალკუთხედი PVD"T.
in)
(ნახ.6.) წერტილი R მდებარეობდეს სიბრტყეში (MAS), როგორც ნაჩვენებია სურათზე 6.
1) ავიღებთ სიბრტყეს (ABC), როგორც მთავარ სიბრტყეს და ვაშენებთ წერტილებს P, Q" და R" - P, Q და R წერტილების პროექციები, შესაბამისად, სიბრტყეზე (ABC). (ცენტრი პროექცია არის წერტილი M.)
2) ვაშენებთ სწორ ხაზს S"S"", - თვითმფრინავის მთავარი კვალი (PQR).
3) იპოვეთ V წერტილი - სიბრტყის კვალი (PQR) MA წრფეზე. წერტილი V" - V წერტილის პროექცია სიბრტყეზე (ABC) M ცენტრიდან - ამ შემთხვევაში ემთხვევა A წერტილს.
4) იპოვეთ წერტილი S"""= P"V" კვეთს S"S" და შემდეგ წერტილი V =PS""" კვეთს MA.
5) ვიღებთ თვითმფრინავის კვალი PV (PQR) თვითმფრინავზე (MAB).
6) იპოვეთ T წერტილი - სიბრტყის კვალი (PQR) MO წრფეზე. ნათელია, რომ წერტილი T" ამ შემთხვევაში ემთხვევა D წერტილს. T წერტილის ასაგებად ვაშენებთ S წერტილს""""=Q"T" კვეთს S"S"-ს", შემდეგ კი წერტილი T = QS""" "კვეთს MT" .
7) კვალი PV, VT, TC, და C "P, ანუ პოლიგონის PVTC" - საჭირო განყოფილება.
კომბინირებული სექციური მეთოდი
პოლიედრების მონაკვეთების აგების კომბინირებული მეთოდის არსი არის თეორემების გამოყენება სივრცეში წრფეებისა და სიბრტყეების პარალელურობაზე აქსიომატიურ მეთოდთან ერთად.
მაგალითი ნომერი 1.
MABCD პირამიდის AB და AD კიდეებზე ვაყენებთ P და Q წერტილებს, შესაბამისად, ამ კიდეების შუა წერტილებს, ხოლო MC კიდეზე ვსვამთ R წერტილს. ავაშენოთ პირამიდის მონაკვეთი გამვლელი სიბრტყით. P, Q და R წერტილების მეშვეობით.
გადაწყვეტილება
(სურათი 14):
ერთი). ნათელია, რომ თვითმფრინავის PQR-ის მთავარი კვალი არის ხაზი PQ.
2). იპოვეთ K წერტილი, სადაც MAC სიბრტყე კვეთს PQ წრფეს. წერტილები K და R ეკუთვნის როგორც PQR სიბრტყეს, ასევე MAC სიბრტყეს. მაშასადამე, KR სწორი ხაზის დახაზვით ვიღებთ ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს.
3). ვიპოვოთ წერტილი N=AC BD, გავავლოთ ხაზი MN და ვიპოვოთ წერტილი F=KR MN.
4). წერტილი F არის PQR და MDB სიბრტყეების საერთო წერტილი, ანუ ეს სიბრტყეები იკვეთება F წერტილში გამავალი სწორი ხაზის გასწვრივ. ამავდროულად, ვინაიდან PQ არის ABD სამკუთხედის შუა ხაზი, მაშინ PQ პარალელურია. BD, ანუ PQ ხაზი ასევე პარალელურია თვითმფრინავის MDB. შემდეგ PQ წრფეზე გამავალი PQR სიბრტყე კვეთს MDB სიბრტყეს PQ წრფის პარალელურად, ანუ BD წრფის პარალელურად. მაშასადამე, MDB სიბრტყეში F წერტილის გავლით ვხატავთ წრფეს BD წრფის პარალელურად.
5). შემდგომი კონსტრუქციები ნათელია ფიგურიდან. შედეგად, ვიღებთ პოლიგონს PQD"RB" - საჭირო განყოფილებას.
1. მოცემულ წრფეზე სხვა მოცემული წრფის პარალელურად გამავალი მონაკვეთის აგება.
მოდით, მაგალითად, საჭიროა მრავალედნის მონაკვეთის აგება სიბრტყით @, რომელიც გადის მოცემულ წრფეზე p მეორე მოცემული წრფის q პარალელურად. ზოგად შემთხვევაში, ამ პრობლემის გადაჭრა მოითხოვს რამდენიმე წინასწარ მშენებლობას, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს შემდეგი გეგმის მიხედვით:
ერთი). მეორე ხაზის q და პირველი ხაზის W რაღაც წერტილის გავლით ვხატავთ ბეტა სიბრტყეს (ნახ.
2). დახაზეთ q" წრფე q-ის პარალელურად ბეტა სიბრტყეში W წერტილის გავლით.
3). გადამკვეთი წრფეები p და q". სიბრტყე @ განისაზღვრება. ამით სრულდება წინასწარი კონსტრუქციები და შეგვიძლია განვაგრძოთ პოლიედრონის პირდაპირი მონაკვეთის აგება სიბრტყით @. ზოგიერთ შემთხვევაში, კონკრეტული პრობლემის მახასიათებლები გვაძლევს საშუალებას განახორციელეთ გადაწყვეტის უფრო მოკლე გეგმა.მოდით განვიხილოთ მაგალითები.
მაგალითი ნომერი 2.
MABC პირამიდის BC და MA კიდეებზე განვსაზღვრავთ შესაბამისად P და Q წერტილებს.პირამიდის მონაკვეთს ვაშენებთ სიბრტყით @, რომელიც გადის PQ წრფეზე AR წრფის პარალელურად, წერტილი R, რომელსაც განვსაზღვრავთ. შემდეგნაირად: ა). ზღვარზე MB; ბ). იგი ემთხვევა B წერტილს; in). MAB-ის ზღვარზე.
გადაწყვეტილება:
ა)
.(სურათი მეორე წრფეზე გამავალი სიბრტყე, ანუ AR წრფე და პირველ სტრიქონზე აღებული წერტილი Q უკვე არის გამოსახულებაში. ეს არის MAB სიბრტყე.
2). MAB სიბრტყეში Q წერტილის გავლით ვხატავთ QF წრფეს AR-ის პარალელურად.
3). გადამკვეთი ხაზები PQ და QF განსაზღვრავს სიბრტყეს @ (ეს სიბრტყე PQF) - სასურველი მონაკვეთის სიბრტყეს. მოდით ავაშენოთ ეს განყოფილება ტრასის მეთოდით.
4). წერტილი B ემთხვევა F წერტილს - F წერტილის პროექცია ABC სიბრტყეზე (ცენტრიდან M), ხოლო A წერტილი ემთხვევა Q წერტილს - Q წერტილის პროექცია ამ სიბრტყეზე. მაშინ წერტილი S"=FQ F"Q" დევს სეკანტური სიბრტყის მთავარ კვალზე @. ვინაიდან წერტილი P დევს სეკანტური სიბრტყის მთავარ კვალზე, წრფე S"P არის @ სიბრტყის მთავარი კვალი, ხოლო S""P სეგმენტი არის სიბრტყის @ კვალი ABC-ის კიდეზე. გარდა ამისა, ნათელია, რომ წერტილი P უნდა იყოს დაკავშირებული F წერტილთან. შედეგად ვიღებთ ოთხკუთხედ PFQS"" - საჭირო მონაკვეთს.
ბ)
(სურათი AB წრფეზე და PQ წრფის P წერტილის გამავალი სიბრტყე უკვე აშენდა გამოსახულებაზე. ეს არის სიბრტყე ABC. გავაგრძელოთ კონსტრუქცია ზემოაღნიშნული გეგმის მიხედვით.
2). ABC სიბრტყეში P წერტილის გავლით ვხატავთ PD წრფეს AB წრფის პარალელურად.
3). PQ და PD გადამკვეთი ხაზები განსაზღვრავს ალფა სიბრტყეს (ეს არის PQD სიბრტყე) - სასურველი მონაკვეთის სიბრტყე. მოდით ავაშენოთ ეს განყოფილება.
4). ნათელია, რომ ალფა სიბრტყის კვალი MAC სახეზე არის სეგმენტი DQ.
5). ჩვენ ვახორციელებთ შემდგომ მშენებლობას შემდეგი მოსაზრებების გათვალისწინებით. ვინაიდან PD წრფე პარალელურია AB წრფესთან, PD წრფე პარალელურია MAB სიბრტყის. შემდეგ სიბრტყე ალფა, რომელიც გადის PD წრფეზე, კვეთს MAB სიბრტყეს PD წრფის პარალელურად, ანუ AB წრფეზე. ასე რომ, MAB სიბრტყეში Q წერტილის გავლით ვხატავთ QE სწორ ხაზს AB-ის პარალელურად. სეგმენტი QE არის ალფა სიბრტყის კვალი MAB-ის სახეზე.
6). დავუკავშიროთ P წერტილი E წერტილს. სეგმენტი PE არის ალფა სიბრტყის კვალი MBC-ის სახეზე. ამრიგად, ოთხკუთხედი PEQD არის საჭირო მონაკვეთი.ემთხვევა A წერტილს და წერტილი L" ემთხვევა R"=MR BC. მაშინ წერტილი S "=LQ L"Q" დევს სექანტული სიბრტყის ალფას მთავარ კვალზე. ეს მთავარი კვალი არის სწორი ხაზი S"P, ხოლო ალფა სიბრტყის კვალი ABC-ის სახეზე არის სეგმენტი S" „პ. გარდა ამისა, სწორი ხაზი PL არის ალფა სიბრტყის კვალი MBC სიბრტყეზე, ხოლო PN სეგმენტი არის ალფა სიბრტყის კვალი MBC სახეზე. ასე რომ, ოთხკუთხედი PS""QN არის სასურველი მონაკვეთი.
მაგალითი 3
ABCDEA"B"C"D"E" პრიზმის ფუძეების AC და C"E" დიაგონალებზე ვსვამთ შესაბამისად P და Q წერტილებს. ავაშენოთ პრიზმის მონაკვეთი წრფეზე გამავალი სიბრტყით ალფა. PQ ერთ-ერთი შემდეგი წრფის პარალელურად: ა) AB; ბ) .ac"; in). BC გამოსავალი:
ა)
(სურათი სიბრტყე, რომელიც გადის AB წრფეზე - მეორე მოცემული წრფე და წერტილი P, აღებული პირველ ხაზზე, უკვე აშენებულია. ეს არის სიბრტყე ABC.
2). ABC სიბრტყეში P წერტილის გავლით ვხატავთ AB წრფის პარალელურ წრფეს და ვპოულობთ K და L წერტილებს, რომლებშიც ეს წრფე კვეთს შესაბამისად BC და AE წრფეებს. B"C" ასევე ერთმანეთის პარალელურია. იმის გათვალისწინებით, რომ KL პარალელურია AB-ს და A"B" პარალელურია AB-ის, A"B"C" სიბრტყეში ვხაზავთ წრფეს Q წერტილის გავლით A"B წრფის პარალელურად" და ვპოულობთ F წერტილებს. და T რომელზედაც ეს წრფე იკვეთება, შესაბამისად სწორი ხაზები C"D" და A"E". შემდეგ ვიღებთ სეგმენტს TL - ალფა სიბრტყის კვალი სახეზე AEE"A", წერტილი S"=KL CD. , სწორი ხაზი S"F - ალფა სიბრტყის კვალი CDD სიბრტყეზე", სეგმენტი FC"" - ალფა სიბრტყის კვალი სახეზე CDD"C" და ბოლოს სეგმენტი C""K" - ალფა სიბრტყის კვალი სახეზე BCC"B". შედეგად, ჩვენ ვიღებთ მრავალკუთხედს KLTFC"" - საჭირო განყოფილება. 
ბ)
(სურათი მოდით დავხატოთ სიბრტყე AC წრფეზე "- მეორე მოცემული წრფე და P წერტილი აღებული პირველ ხაზზე. ეს არის სიბრტყე ACC".
2). ACC სიბრტყეში" P წერტილის გავლით ვხაზავთ AC წრფის პარალელურ წრფეს და ვპოულობთ C"" წერტილს, სადაც ეს წრფე კვეთს CC წრფეს".
3). გადამკვეთი ხაზები PQ და PC"" განსაზღვრავს ალფა სიბრტყეს (სიბრტყე C""PQ) - სასურველი მონაკვეთის სიბრტყე. მოდით ავაშენოთ ეს განყოფილება, მაგალითად, კვალი მეთოდით. ABC სიბრტყეზე ალფა სიბრტყის კვალის კუთვნილი ერთი წერტილი, რომელსაც ჩვენ მთავარს ვიღებთ, უკვე ნახაზზეა. ეს არის წერტილი P. მოდი ვიპოვოთ ამ კვალის კიდევ ერთი წერტილი.
4). ABC სიბრტყეზე C წერტილის პროექცია არის C წერტილი, ხოლო Q წერტილის პროექცია არის წერტილი Q "- CE წრფის გადაკვეთის წერტილი CEE სიბრტყეში გამავალ წრფესთან" წერტილის გავლით. Q EE წრფის პარალელურად. წერტილი S" \u003d C ""Q CQ" არის ალფა სიბრტყის მთავარი კვალის მეორე წერტილი. ასე რომ, ალფა სიბრტყის მთავარი კვალი არის ხაზი S "P. ის კვეთს პრიზმის ფუძის BC და AE გვერდებს, შესაბამისად, S"""""""""" წერტილებზე... მაშინ S""S"""" სეგმენტი არის სეკანტური სიბრტყის ალფა კვალი. სახე ABCDE. ხოლო სეგმენტი S""C" არის ალფა სიბრტყის კვალი BCC"B"-ის სახეზე. ადვილი მისახვედრია, რომ წრფეები C"" Q და EE" ერთ სიბრტყეში დევს. იპოვეთ წერტილი E"" =C""Q EE". შემდეგ გასაგებია ალფა სიბრტყის შემდგომი კვალის მოპოვება: S"""S"", S""""T, TF და FC"". შედეგად ვიღებთ მრავალკუთხედს S""S"""TFC"" - საჭირო განყოფილებას.
in)
(დახაზვა მეორე მოცემული ხაზის გავლით - BC წრფე "- და, მაგალითად, P წერტილის გავლით, რომელიც დევს პირველ მოცემულ წრფეზე, გადავიტანოთ სიბრტყე. გავაკეთოთ ეს კვალის მეთოდით. ამის დადგენა ადვილია. ამ სიბრტყის მთავარი კვალი BC" P არის წრფე BP. შემდეგ ვპოულობთ წერტილს S"=BP CD და კვალს S"C" სიბრტყის BC"P და სიბრტყის CDD".
2) BC სიბრტყეში "P წერტილის გავლით ვხაზავთ BC წრფის პარალელურ წრფეს". დახაზული წრფის გადაკვეთის წერტილი S"C" წრფესთან აღინიშნება V-ით.
3). გადაკვეთის ხაზები PQ და PV განსაზღვრავს სიბრტყის ალფას (სიბრტყე PQV) - სასურველი მონაკვეთის სიბრტყეს. მოდით ავაშენოთ ეს განყოფილება.
4). ვპოულობთ Q წერტილებს "და V" - Q და V წერტილების პროგნოზებს, შესაბამისად, ABC სიბრტყეზე, რომელსაც ვიღებთ მთავარ სიბრტყედ. შემდეგ ვპოულობთ წერტილს S""=QV Q"V". ეს არის ალფა სიბრტყის მთავარი კვალის ერთ-ერთი წერტილი. და ამ კვალის კიდევ ერთი წერტილი უკვე არსებობს. ეს არის მოცემული წერტილი P. ასე რომ, წრფე S "" P არის ალფა სიბრტყის მთავარი კვალი, ხოლო მიღებული სეგმენტი S "" "S" """ არის ალფა სიბრტყის კვალი ABCDE-ს სახეზე. მშენებლობის შემდგომი კურსი ნათელია: S "" "" "=S""P CD, S""""""V, წერტილები C""=S"""""V CC" და F=S""" ""V C"D", შემდეგ FQ და წერტილი T= FQ A"E" და ბოლოს TS"""". შედეგად ვიღებთ მრავალკუთხედს S"""C""FTS"""" - საჭირო განყოფილება.
შენიშვნა: მოკლედ გამოვყოთ მაგალითი 3, c ამოხსნის კურსი, რომელშიც Q წერტილი აღებულია პირველ მოცემულ წრფეზე და არა წერტილი P (სურათი 22).
ერთი). ჩვენ ვაშენებთ თვითმფრინავს BC"Q (ეს არის თვითმფრინავი BC"E").
2). სიბრტყე BC"Q კვეთს ABC სიბრტყეს BN სწორი ხაზის გასწვრივ C"E"-ს პარალელურად (კონსტრუქციისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ BN არის CE-ს პარალელურად).
3). სიბრტყეში BC"Q Q წერტილის გავლით ვხატავთ QM წრფეს BC-ის პარალელურად" (M=QM BN).
4). ჩვენ ვაშენებთ პრიზმის მონაკვეთს PQ და QM ხაზებით განსაზღვრული სიბრტყით. ეს შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი თანმიმდევრობით: MP, S"=MP AE და S""=MP BC, S""""=MP CE, C""=S""""Q CC", S""" C" ", F=S""""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. პოლიგონი S""C""FTS"- სასურველი განყოფილება.
2. მოცემულ წერტილში გამავალი მონაკვეთის აგება ორი მოცემული დახრილი ხაზის პარალელურად.
დაე, საჭირო იყოს პოლიედრონის მონაკვეთის აგება სიბრტყით, რომელიც გადის მოცემულ K წერტილზე ორი მოცემული ცალმხრივი წრფის l და m პარალელურად. ზეფონი:#FFCCCC; საზღვარი: outset #CC33FF 1.5pt">
1. ავირჩიოთ რომელიღაც W წერტილი (ეს წერტილი შეიძლება მდებარეობდეს ერთ-ერთ მოცემულ დახრილ ხაზზე, შეიძლება ემთხვეოდეს K წერტილს.)
2. W წერტილის გავლით გავავლოთ l" და m" ხაზები. (ბუნებრივია, თუ წერტილი W დევს ერთ-ერთ წრფეზე, მაგალითად, l წრფეზე, მაშინ ხაზი l" ემთხვევა l წრფეს.)
3. გადამკვეთი ხაზები l „და m“ განსაზღვრავს ბეტა სიბრტყეს - მრავალწახნაგების დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყეს. ჩვენ ვაშენებთ პოლიედრონის ნაწილს ბეტა სიბრტყით.
4. ააგეთ მრავალედრის მონაკვეთები ალფა სიბრტყით, რომელიც გადის K წერტილში და პარალელურად ბეტა სიბრტყეს.
განვიხილოთ ჩამოთვლილი გეგმის გამოყენების მაგალითები.
მაგალითი 4
ABCDA"B"C"D პრიზმის AD და C"D" კიდეებზე ვაყენებთ შესაბამისად P და Q წერტილებს, ხოლო კიდეზე DD" წერტილს K. ავაშენოთ პრიზმის მონაკვეთი. სიბრტყით ალფა, რომელიც გადის K წერტილში PQ წრფის პარალელურად და ერთ-ერთი შემდეგი სწორი ხაზით: ა) AB; ბ) A "B; გ) BR, რომლის R წერტილი მოცემულია A"D" კიდეზე.
გადაწყვეტილება. ა)
(ნახ. 2 მოდით წერტილი W ემთხვევა P წერტილს.
2) ABC სიბრტყეში P წერტილის გავლით გავავლოთ AB წრფის პარალელურად. იპოვეთ E წერტილი, სადაც დახაზული ხაზი კვეთს BC წრფეს.
3) PQ და PE გადამკვეთი ხაზები განსაზღვრავენ ბეტა სიბრტყეს - დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყეს. მოდით ავაშენოთ პრიზმის მონაკვეთი ბეტა სიბრტყით. პირდაპირი PEდა წერტილები C"" და D"" არის ბეტა სიბრტყის კვალი, შესაბამისად, CC" და DD სწორ ხაზებზე. შემდეგ ვაშენებთ სწორ ხაზს D "" P და ვიღებთ წერტილს F ზღვარზე A "D". ამრიგად, პრიზმის მონაკვეთი ბეტა სიბრტყით არის მრავალკუთხედი PEC""QF.
4) ახლა ვაშენებთ პრიზმის მონაკვეთს ალფა სიბრტყით, რომელიც გადის K წერტილის ბეტა სიბრტყის პარალელურად. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სამკუთხედს KLN - საჭირო მონაკვეთს.
ბ)
(ნახ. წერტილი W ემთხვევა Q წერტილს. A "B" წრფის პარალელურად რომ გავავლოთ Q წერტილით, ჯერ გავავლოთ გამა სიბრტყე A "B" წრფეზე და წერტილი Q. მოდით ასე გავაკეთოთ. გზა. იპოვეთ Q წერტილი" - Q წერტილის პროექცია ABC სიბრტყეზე და დახაზეთ წრფე AQ". გასაგებია, რომ AQ" პარალელურია A"Q-ის. ახლა ABC სიბრტყის B წერტილის გავლით ვხაზავთ წრფეს. l" AQ-ს პარალელურად". გადამკვეთი წრფეები A"B და l" განსაზღვრავს გამა სიბრტყეს. გამა სიბრტყეში Q წერტილის გავლით გაავლეთ წრფე l"" A"B-ს პარალელურად.
3) სწორი ხაზების გადაკვეთა PQ და l "", განისაზღვრება ბეტა სიბრტყე - პრიზმის დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყე. მოდით ავაშენოთ ეს განყოფილება. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ წერტილს S"=l" კვეთს l"-ს, შემდეგ კი წრფე PS" - ბეტა სიბრტყის მთავარი კვალი. შემდგომ ვპოულობთ წერტილს s""=PS" კვეთს CD-ს და ვხატავთ ხაზს. S""Q - ბეტა სიბრტყის კვალი CDD სიბრტყეზე ". ვიღებთ წერტილს D"" - ბეტა სიბრტყის კვალი DD ხაზზე". წერტილი D"" და წერტილი P დევს ADD სიბრტყეში. მაშასადამე, წრფე PD"" არის ბეტა სიბრტყის კვალი ADD-ზე, ხოლო PF სეგმენტი არის ბეტა სიბრტყის კვალი სახეზე. ᲓᲐᲐᲛᲐᲢᲔᲗ". ამრიგად, პრიზმის მონაკვეთი ბეტა სიბრტყით არის ოთხკუთხედი PS "" QF. (გთხოვთ გაითვალისწინოთ: QF არის PS "-ის პარალელურად". და ეს, რა თქმა უნდა, ასეა. ბოლოს და ბოლოს, პრიზმის ფუძეები პარალელურ სიბრტყეში დევს. ეს გარემოება შეიძლება გამოვიყენოთ პრიზმის მონაკვეთის აგებისას ბეტა სიბრტყით. .)
4) ახლა ჩვენ ვაშენებთ პრიზმის მონაკვეთს ალფა სიბრტყით, რომელიც გადის K წერტილში ბეტა სიბრტყის პარალელურად. ეს აშენება მარტივია. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სამკუთხედს KLN - საჭირო მონაკვეთს.
in)
(ნახ. წერტილი W ავირჩიოთ Q წერტილი.
2) დახაზეთ გამა სიბრტყე BR წრფესა და Q წერტილის გავლით. გამა სიბრტყე კვეთს ABC სიბრტყეს სწორი ხაზის გასწვრივ l "QR-ის პარალელურად. სწორი ხაზის ასაგებად l" ვაშენებთ R "და Q" წერტილებს - R და Q წერტილების პროგნოზებს, შესაბამისად, ABC სიბრტყეზე - და დავხატოთ სწორი ხაზი Q "R" და შემდეგ ABC სიბრტყეში In წერტილის გავლით ვხატავთ l" წრფეს Q"R-ის პარალელურად. გამა სიბრტყეში Q წერტილის გავლით ვხატავთ l"" წრფეს პარალელურად. BR ვიღებთ წერტილს S"=l" კვეთს l"".
3) გადამკვეთი ხაზები PQ და l "" განსაზღვრავს ბეტა სიბრტყეს - პრიზმის დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყეს. მოდით ავაშენოთ ეს განყოფილება. ნათელია, რომ ხაზი PS" არის ბეტა სიბრტყის მთავარი კვალი. შემდგომ ჩვენ ვპოულობთ წერტილებს S""= PS" კვეთს CD, S"""= PS" კვეთს BC და C"" = QS"" კვეთს CC. ". ვიღებთ სეგმენტებს PS"" ", S""C"" და C""Q- ბეტა სიბრტყის კვალი, შესაბამისად, ABCD, BCC"B და CDD"C სახეებზე. შემდეგი, ან დავხატოთ წრფე A "B" C სიბრტყეში "PS კვალის პარალელურად" და მივიღოთ წერტილი F, ან ვიპოვოთ წერტილი D "" \u003d S" "Q კვეთს DD" და დავხატოთ ხაზი. D "" P. ეს წრფე კვეთს A "D" წრფეს F წერტილში. ამრიგად, მივიღებთ ბეტა სიბრტყის კიდევ ორ კვალს: QF n FP. ასე რომ, მრავალკუთხედი PS""""C""QF არის მონაკვეთი. პრიზმის ბეტა სიბრტყით.
4) ახლა ავაშენოთ პრიზმის მონაკვეთი ალფა სიბრტყით, რომელიც გადის K წერტილის ბეტა სიბრტყის პარალელურად. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სამკუთხედს KLN - საჭირო მონაკვეთს.
მაგალითი 5.
MABCD პირამიდის MB და MA კიდეებზე ვაყენებთ შესაბამისად P და K წერტილებს, ხოლო AC სეგმენტზე ვსვამთ Q წერტილს. პირამიდის მონაკვეთს ვაშენებთ K წერტილის პარალელურად გამავალი სიბრტყით ალფა. PQ ხაზამდე და ერთ-ერთ შემდეგ ხაზამდე: ა) CD; ბ) MS; გ) RV, რომელთა R და V წერტილებს ვადგენთ შესაბამისად პირამიდის AB და MC კიდეებზე.
გადაწყვეტილება.
ა)
(ნახ. 2 ABC სიბრტყეში Q წერტილის გავლით ვხატავთ წრფეს CD წრფის პარალელურად და ვპოულობთ წერტილებს S". S"" და S""", რომლებზეც ეს წრფე კვეთს BC, AD და AB წრფეებს. , შესაბამისად.
2) გადამკვეთი წრფეები PQ და S"S"" განსაზღვრავს ბეტა სიბრტყეს - პირამიდის დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყეს. ავაშენოთ ეს მონაკვეთი. ბეტა სიბრტყის მთავარი კვალი არის ხაზი S"S"". სეგმენტი PS" არის ბეტა სიბრტყის კვალი MBC სახეზე, სწორი ხაზი PS""" არის მისი კვალი MAB სიბრტყეზე, სეგმენტი PA" არის MAB სახეზე, სეგმენტი A"S"" არის ჩართული. შეშლილი სახე.
ბ)
(სურ. 27.) ავაშენოთ მოცემული განყოფილება შემდეგი თანმიმდევრობით:
1) MAC სიბრტყეში გავლით
წერტილი Q ვხატავთ QA წრფეს MC-ის პარალელურად
2) სიბრტყით ვაშენებთ პირამიდის დამხმარე მონაკვეთს, რომელიც განისაზღვრება იმით. ამ მიზნით ვპოულობთ წერტილს S"=PA" კვეთს AB-ს, ვხაზავთ S"Q წრფეს, რომელიც არის PQA სიბრტყის მთავარი კვალი", ვიღებთ წერტილებს S""=S"Q კვეთს AD და S"" "=S"Q კვეთს BC და აკავშირებს A" წერტილს S" წერტილთან, ხოლო P წერტილი S წერტილთან""". ოთხკუთხედი PA"S""S""" არის პირამიდის დამხმარე მონაკვეთი. ამის სიბრტყე. მონაკვეთი პარალელურია PQ და MC წრფეებთან, მაგრამ არ გადის K წერტილში.
3) ახლა ავაშენოთ პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის K წერტილის სიბრტყის პარალელურად PQA ". შედეგად მივიღებთ ოთხკუთხედ B" KFE - სასურველ მონაკვეთს.
ა)
(ნახ. 28.) ავაშენოთ პირამიდის მოცემული მონაკვეთი ჯერ დამხმარე მონაკვეთის აგებით მისი სიბრტყით, რომელიც გადის PQ წრფეზე RV წრფის პარალელურად. მოდით გავაკეთოთ ეს შემდეგი თანმიმდევრობით:
1) ააგეთ წერტილი S "=PV კვეთს BC და დახაზეთ წრფე S" R.
2) გადამკვეთი წრფეები S "V და S" R განსაზღვრავს სიბრტყეს. ამ სიბრტყეში დახაზეთ PS"" ხაზი RV-ის პარალელურად P წერტილის გავლით.
3) გადამკვეთი ხაზები PQ და PS"" განსაზღვრავს პირამიდის დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყეს. მოდით ავაშენოთ ეს განყოფილება. თანმიმდევრულად ვპოულობთ სწორ ხაზს S "" Q - დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყის მთავარ კვალს, შემდეგ წერტილებს T "=S" "Q კვეთს BC, T" "= S" "Q კვეთს AB და T" "" \u003d S" "Q კვეთს CD-ს, დავხატოთ შემდეგ ხაზი T"P და ვიპოვოთ წერტილი E \u003d T"P კვეთს "MC. P წერტილს ვუკავშირებთ T წერტილს", ხოლო E წერტილი T-ს" "". ოთხკუთხედი PT ""T" "" E არის პირამიდის დამხმარე მონაკვეთი. ამ მონაკვეთის სიბრტყე პარალელურია წრფეების PQ და RV, მაგრამ არ გადის K წერტილში. ახლა ჩვენ ავაშენებთ პირამიდის მონაკვეთს. დამხმარე მონაკვეთის სიბრტყის პარალელურად გამავალი K წერტილით. შედეგად ვიღებთ ოთხკუთხედ KV „C“ D“ - სასურველ მონაკვეთს.
კვეთის ფართობის პოვნა პოლიედრებში.
დავალება ნომერი 1.
დავალება #2
დავალება ნომერი 3.
დავალება ნომერი 4.
დავალება ნომერი 5.
დავალება ნომერი 6.
დავალება #7
დავალება ნომერი 8.
მსგავსი სამკუთხედების თვისებების გამოყენება.
მაშასადამე, ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე მარტივი პრობლემა, რომლებშიც მსგავსი სამკუთხედები დიდ როლს ასრულებენ, მით უმეტეს, რომ მათ ასევე სჭირდებათ აშენება (და დანახვა!!!) სტანდარტული სტერეომეტრიული ტექნიკის გამოყენებით: გადაკვეთეთ ერთი სიბრტყე მეორე სიბრტყით და ააგეთ მათი გადაკვეთის ხაზი. თვითმფრინავებისთვის საერთო ორი წერტილის გასწვრივ.
დავალება ნომერი 1.
დავალება #2
დავალება #3
დავალება #4
დავალება #5
დახრილ ხაზებს შორის მანძილის დასადგენად ოთხი ძირითადი გზა არსებობს:
1) ორი გადამკვეთი წრფის საერთო პერპენდიკულარის სიგრძის პოვნა, ანუ სეგმენტი ამ წრფეებზე ბოლოებით და ორივეზე პერპენდიკულარული.
2) მანძილის პოვნა ერთ-ერთი გადამკვეთი წრფედან მეორე წრფეზე გამავალ მის პარალელურ სიბრტყემდე.
3) მანძილის პოვნა ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის, რომლებიც გადიან მოცემულ დახრილ ხაზებს.
4) მანძილის პოვნა წერტილიდან - რომელიც არის ერთ-ერთი გადამკვეთი წრფის პროექცია მის პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე - სხვა წრფის პროექციამდე იმავე სიბრტყეზე.
დავალება #18
დავალება #19
წარმოადგინეთ ამ პრობლემის გადაჭრის 4 ვარიანტი და აირჩიეთ მათგან ყველაზე რაციონალური. დაასაბუთეთ თქვენი არჩევანი.
დავალება #20
დავალება #21
დავალება #22
პოლიედრონში დახრილ ხაზებს შორის მანძილისა და კუთხის პოვნა.
დავალება ნომერი 1.
დავალება ნომერი 2.
დავალება ნომერი 3.
გადის გვერდით კიდეზე და მასთან გადაკვეთის ფუძის მედიანაზე და სიბრტყეზე, რომელიც გადის იმავე მედიანაზე და ნებისმიერი სხვა გვერდითი კიდის შუაზე.
სექციები.
დავალება ნომერი 1.
დავალება ნომერი 2.
დავალება ნომერი 3.
ტეტრაედრის ორი მოპირდაპირე კიდე პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძე უდრის a და b-ს, მათ შორის მანძილი c-ის ტოლია. ტეტრაედრონში ჩაწერილია კუბი, რომლის ოთხი კიდე პერპენდიკულარულია ოთხკუთხედის ამ ორ კიდეზე და კუბის ზუსტად ორი წვერო დევს ოთხკუთხედის თითოეულ სახეზე. იპოვეთ კუბის კიდე.
დავალება ნომერი 4.
დავალება ნომერი 5.
დავალება ნომერი 6.
დავალება ნომერი 7.
დავალება ნომერი 8.
დავალება ნომერი 9.
პოლიედრონის ნაწილების მოცულობების თანაფარდობა.
დავალება ნომერი 1.
დავალება ნომერი 2.
დავალება ნომერი 3.
დავალება ნომერი 4.
რეგულარული პოლიედრების პროგნოზები და მონაკვეთები.
დავალება ნომერი 1.
აჩვენეთ, რომ დოდეკაედრებისა და იკოსაედრების პროგნოზები მათი სახეების პარალელურ სიბრტყეებზე არის რეგულარული მრავალკუთხედები.
დავალება ნომერი 2.
აჩვენეთ, რომ დოდეკედრონის პროექცია სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე, რომელიც გადის მის ცენტრში და კიდის შუა წერტილში არის ექვსკუთხედი (არა ათკუთხედი).
დავალება ნომერი 3.
ა) აჩვენეთ, რომ იკოსედრონის პროექცია სიბრტყეზე. მის ცენტრში და წვეროზე გამავალი ხაზის პერპენდიკულარული არის რეგულარული ათკუთხედი. ბ). დაამტკიცეთ, რომ დოდეკედრის პროექცია მის ცენტრსა და წვეროზე გამავალი სწორი ხაზის პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე არარეგულარული დოდეკედრია.
დავალება ნომერი 4.
არსებობს თუ არა კუბის მონაკვეთი, რომელიც არის რეგულარული t ექვსკუთხედი?
დავალება ნომერი 5.
არის თუ არა რვაკუთხედის მონაკვეთი, რომელიც არის რეგულარული ექვსკუთხედი?
დავალება ნომერი 6.
არის თუ არა დოდეკედრის მონაკვეთი, რომელიც არის რეგულარული ექვსკუთხედი?
დავალება ნომერი 7.
იკოსაედრონის ყველა სახეს ABC და ABD აქვს საერთო კიდე AB. ABC სიბრტყის პარალელური სიბრტყე დახაზულია D წვეროზე. მართალია, რომ იკოსაედრონის მონაკვეთი ამ სიბრტყით არის რეგულარული ექვსკუთხედი?
ამოცანების პასუხები თემის მიხედვით:
4. კუთხე სიბრტყეებს შორის.
5. სექციები
6. პოლიედრონის ნაწილების მოცულობების შეფარდება.
7. რეგულარული პოლიედრების პროგნოზები და მონაკვეთები.
1. კვეთის ფართობის პოვნა პოლიედრებში.
პრობლემის გადაწყვეტა
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8
დავალება ნომერი 1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">
დავალება ნომერი 2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">
დავალება ნომერი 3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">
დავალება ნომერი 4.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">
დავალება ნომერი 5.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">
დავალება ნომერი 6.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">
დავალება ნომერი 7.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75 pt">
2. მსგავსი სამკუთხედების თვისებების გამოყენება.
პრობლემის გადაწყვეტა
№1 №2 №3 №4 №5
დავალება ნომერი 1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
მე-2 შემთხვევა 
დავალება ნომერი 2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
დავალება ნომერი 3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">
წერტილი C ეკუთვნის CB"A"D სიბრტყეს (რადგან CD" არის პერპენდიკულარული C"D-ზე, როგორც კვადრატის დიაგონალი, და რადგან B"C" არის CC"D"D სიბრტყის პერპენდიკულარული, რაც გულისხმობს, რომ B "C" არის CE-ზე პერპენდიკულარული), ვიღებთ CE პერპენდიკულარულია B"C"-ზე და CE პერპენდიკულარულია C"D-ზე). შემდეგ ვხატავთ EF პერპენდიკულარული B"D-ზე და შემდეგ მივიღებთ B"D პერპენდიკულარული CF-ზე სამი პერპენდიკულარული თეორემა: CF არის დახრილი AB"C"D სიბრტყის მიმართ, CE - პერპენდიკულარული და EF - ირიბი CF-ის პროექცია; მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია თავად ირიბი CF-ზე.) ვინაიდან EF და CF ეკუთვნის. შესაბამისად ორივე სიბრტყისთვის, კუთხე phi (კუთხე CFE) არის საჭირო.
ამ დასაბუთებას მოჰყვება მარტივი გამოთვლითი ნაწილი.
"B" EF და D ""C" EF), რის შედეგადაც პერპენდიკულარები A "" M და D "" M, შედგენილი ორივე ფიგურაში მათი გადაკვეთის ხაზთან, მოხვდება ერთ წერტილში M, უფრო მეტიც, შიგნით და არა პრიზმის მიღმა, ვინაიდან B"A""D და C"D""A კუთხეები ბლაგვია (B"D და მეტი BD=AC=A""C"" და C"A მეტი AC=BD=B" "D""). გარდა ამისა, რომბის დიაგონალების და გვერდების აღმოჩენის შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ სეგმენტები A "" M და D "" M, მაგალითად, რომბის ფართობის ორი ფორმულის გამოყენებით. 
Შენიშვნა:რა თქმა უნდა, ამ და მსგავს პრობლემებში არ არის საჭირო პოლიედრონის ზომები (მაგალითად, "a"), ამიტომ, პრობლემის სხვადასხვა ვარიანტებისთვის "k" პარამეტრის რიცხვითი მნიშვნელობების არჩევისას, შინაარსი მისი მდგომარეობა შესაბამის ადგილას უნდა ჩამოყალიბდეს, მაგალითად, შემდეგნაირად: „... პრიზმაში, რომლის სიმაღლე ამდენჯერ აღემატება ფუძის მხარეს...“ და ა.შ.
3. პოლიედრონში დახრილ ხაზებს შორის მანძილისა და კუთხის პოვნა.
პრობლემის გადაწყვეტა
№1 №2 №3 №4 №5
დავალება ნომერი 1.
MsoNormalTable">
№1
პრობლემის გადაჭრა პირველი გზით
ვარაუდობს:
- რთული დასაბუთება, რომ საჭირო პერპენდიკულარი (h skr.) ბოლოებით ორ მოცემულ გადამკვეთ ხაზზე მდებარეობს კუბის შიგნით (და არა მის გარეთ);
- ამ პერპენდიკულარულის მდებარეობის სავარაუდო განსაზღვრა;
- გამოიცანით, რომ იპოვოთ h skr სეგმენტის სიგრძე. აუცილებელია, თეორემის გამოყენებით სამ პერპენდიკულარზე, მისი დაპროექტება კუბის მიმდებარე სახეებზე, რომელსაც მიეკუთვნება გადამკვეთი ხაზები (დიაგონალები) და მხოლოდ ამის შემდეგ მივუდგეთ მარტივ ამოხსნას:
| 2.
პრობლემის მეორე გზით გადაჭრა მოიცავს
შემდეგი ქმედებები: |
სხვა სეკანტური სიბრტყის კონსტრუქცია, რომელიც გადის დიაგონალზე B "D" და კვეთს A "C" დახრილი ხაზების მეორეს; ეს სიბრტყე მოსახერხებელია აირჩიოს დიაგონალური მონაკვეთი BB "D" D ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის ამ ნიშანზე. სიბრტყის BB "D" D არის ACD სიბრტყის პერპენდიკულარული, რადგან სიბრტყე BB"D"D გადის სწორ ხაზში (B"D) პერპენდიკულარული სხვა სიბრტყის (ACD"). შემდეგი, ორივე სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი აგებულია მათი 2 საერთო წერტილის გასწვრივ (D "O) და ფიქსირდება ამ ხაზის გადაკვეთით B" D დიაგონალთან (წერტილი N);
-და ბოლოს, თეორემის მიხედვით, რომ თუ სიბრტყე პერპენდიკულარულია ერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ, O წერტილიდან "ეკუთვნის A"C" კვეთის სიბრტყეში ვხატავთ BB"D. "D D"O-სთან კვეთამდე სეგმენტი O "M არის B"D-ის პარალელურად; ამ შემთხვევაში, O "M იქნება ACD სიბრტყის პერპენდიკულარული" და, შესაბამისად, O "M \u003d h crt.;
- შემდეგ ამოხსნის გამოთვლით ნაწილში, განვიხილავთ განყოფილებას BB "D'D" და მასში - მართკუთხა სამკუთხედი OO'D", ვპოულობთ: როგორც ხედავთ, ორივე პირველი მეთოდი ნაკლებად გამოსადეგია. ამოცანები, რომლებიც წარმოადგენენ მინიმუმ გარკვეულ სირთულეს
| 3.
პრობლემის მესამე გზით გადაჭრა მოიცავს
: |
და ბოლოს, ამოხსნის გამოთვლით ნაწილში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხრიკი ამოხსნის წინა მეთოდიდან ან მიმართოთ სამკუთხედების მსგავსებას:
| 4.
პრობლემის მეოთხე გზით გადაჭრა მოიცავს: |
დავალება ნომერი 3.
ამ პრობლემაში, ამოხსნის მეთოდის არჩევისას, განმსაზღვრელი ფაქტორია AC წრფის პერპენდიკულურობა დიაგონალურ სიბრტყეს ВB'D'D (რადგან AC პერპენდიკულარულია ВD-ზე და AC პერპენდიკულარულია BB'-ზე), რომელსაც სხვა ხაზი B. 'F ეკუთვნის, ანუ სეკანტური სიბრტყე BB' D'D მოსახერხებელია მისი საპროექციო სიბრტყის არჩევისთვის. და შემდეგ მარტივი გაანგარიშების ნაწილი შემდეგია:
ერთი). სამკუთხედის DFT და D'FB' სამკუთხედის მსგავსებიდან ვხვდებით DT = kd;
2). სამკუთხედის NOT და BB'T სამკუთხედის მსგავსებიდან ვხვდებით ON: 
დავალება ნომერი 4.
ეს პრობლემა აქ წარმოდგენილია მეორე მეთოდის გამოყენების დემონსტრირებისთვის (პირველი ხაზიდან მეორე წრფის შემცველი პარალელური სიბრტყის პერპენდიკულარულის აგება) უმარტივეს სიტუაციებში დახრილი ხაზების განთავსების ისეთ რთულ პოლიედრონში, როგორიცაა რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">
დავალება ნომერი 5.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">
5. სექციები.
პრობლემის გადაწყვეტა
№1 №2 №3 №4 №5 №6
დავალება ნომერი 1.
ნებისმიერ შემთხვევაში, წერტილები A, B და C დევს ერთ სიბრტყეში და, შესაბამისად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ამ წერტილების შემცველი სიბრტყის მონაკვეთი. ვინაიდან მონაკვეთის სიბრტყე გადის სფეროების შეხების წერტილში (სიბრტყის სფეროები) და მონაკვეთი აღმოჩნდება წრეზე (წრე და წრფე) ტანგენსი. მოდით O' და 0'' იყოს პირველი და მეორე წრეების ცენტრები. მას შემდეგ, რაც O'A || 0''B და წერტილები O', C და 0'' დევს ერთ სწორ ხაზზე, კუთხე AO'C = კუთხე BO''C. მაშასადამე, კუთხე ACO' = კუთხე BCO'', ანუ წერტილები A, B და C დევს იმავე სწორ ხაზზე.
დავალება ნომერი 2.
ამ შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის შემოხაზული ტრაპეცია ABCD ბაზებით AD = 2R და BC = 2r. დავუშვათ, P იყოს ჩაწერილი წრის ტანგენსი AB გვერდით, O იყოს ჩაწერილი წრის ცენტრი. ABO სამკუთხედში A და B წვეროებზე კუთხეების ჯამი არის 90 °, ამიტომ ის მართკუთხაა. ამიტომ, AP: RO - RO: BP, ანუ, PO'2 = AP * BP. ასევე ნათელია, რომ AP = R და BP = r. მაშასადამე, კონუსში ჩაწერილი სფეროს RO რადიუსი უდრის R და r ნამრავლის კვადრატულ ფესვს და, შესაბამისად, S = 4п(R2 + Rr+ r2). ამ შეკვეცილი კონუსის მოცულობის გამოსახატავად ფორმულებით ვიღებთ, რომ მისი მთლიანი ზედაპირის ფართობი უდრის 2n(R2 + Rr + r2) = S/2 (გაითვალისწინეთ, რომ შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე უდრის ორჯერ იმ სფეროს რადიუსს, რომლის გარშემოც არის აღწერილი).
დავალება ნომერი 3.
ამ კიდეების საერთო პერპენდიკულარი იყოფა მათ პარალელურად კუბის სახეების სიბრტყეებით y, x და r სიგრძის სეგმენტებად (x არის კუბის კიდის სიგრძე; y სიგრძის სეგმენტი არის მიმდებარე ზღვარი ა). კუბის სახეების სიბრტყეები, ამ კიდეების პარალელურად, კვეთენ ტეტრაედრონს ორ მართკუთხედად. ამ მართკუთხედების პატარა გვერდები უდრის x კუბის კიდეს. ვინაიდან ამ მართკუთხედების გვერდები ადვილი გამოსათვლელია, მივიღებთ x = bu/c და x = az/c. მაშასადამე, c=x+y+r=x+cx/b + ex/a, ანუ x=abc/(ab + bc + ca).
დავალება ნომერი 4.
შედეგად მიღებული მრავალკუთხედის თითოეული მხარე ეკუთვნის კუბის ერთ-ერთ სახეს, ამიტომ მისი გვერდების რაოდენობა არ აღემატება 6-ს. გარდა ამისა, კუბის მოპირდაპირე გვერდების კუთვნილი გვერდები პარალელურია, რადგან კუბის გადაკვეთის ხაზები თვითმფრინავი ორი პარალელური სიბრტყით პარალელურია. ამრიგად, კუბის მონაკვეთი არ შეიძლება იყოს რეგულარული ხუთკუთხედი, რადგან მას არ აქვს პარალელური გვერდები. მარტივია იმის შემოწმება, რომ რეგულარული სამკუთხედი, კვადრატი და რეგულარული ექვსკუთხედი შეიძლება იყოს კუბის მონაკვეთები.
დავალება ნომერი 5.
განვიხილოთ წრე, რომელიც არის მოცემული სხეულის მონაკვეთი და გავავლოთ ხაზი l მის ცენტრში მისი სიბრტყის პერპენდიკულარული. ეს ხაზი კვეთს მოცემულ სხეულს ზოგიერთი AB სეგმენტის გასწვრივ. l წრფეზე გამავალი ყველა მონაკვეთი არის წრეები AB დიამეტრით.
დავალება ნომერი 6.
განვიხილოთ თვითნებური მონაკვეთი, რომელიც გადის A წვეროზე. ეს მონაკვეთი არის სამკუთხედი ABC, ხოლო მისი გვერდები AB და AC კონუსის გენერატორებია, ე.ი. აქვს მუდმივი სიგრძე. აქედან გამომდინარე, განივი ფართობი პროპორციულია BAC კუთხის სინუსთან. BAC კუთხე იცვლება 0°-დან φ-მდე,
MsoNormalTable">
დავალება ნომერი 2.
განვიხილოთ კუბი, რომლის წვეროები განლაგებულია დოდეკედრის წვეროებზე. ჩვენს პრობლემაში, ჩვენ ვსაუბრობთ პროექციაზე ამ კუბის სახის პარალელურად სიბრტყეზე. ახლა ადვილია იმის დადასტურება, რომ დოდეკედრის პროექცია მართლაც ექვსკუთხედია (სურ. 70).
დავალება ნომერი 3.
ა) იკოსაედრონის განხილული პროექცია გადადის საკუთარ თავში 36°-ით ბრუნვისას (ამ შემთხვევაში ზედა სახეების პროექციები გადადის ქვედა სახეების პროექციებში). მაშასადამე, ეს არის ჩვეულებრივი 10-ნახშირი (სურ. 71, ა).
ბ) დოდეკედრის განხილული პროექცია არის 12-გონიანი კუთხით გადაქცევა 60°-ით ბრუნვისას (ნახ. 71. ბ). მისი გვერდების ნახევარი კიდეების პროექციაა საპროექციო სიბრტყის პარალელურად, ხოლო გვერდების მეორე ნახევარი კიდეების პროექციაა, რომლებიც არ არის პროექციის სიბრტყის პარალელურად. ამიტომ, ეს 12-გონი არარეგულარულია.
MsoNormalTable">
დავალება ნომერი 4.
არსებობს. ნახ. კუბის 72 კიდე არის რეგულარული ექვსკუთხედის წვეროები. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ამ ექვსკუთხედის გვერდები პარალელურია რეგულარული სამკუთხედის PQR გვერდებთან და მათი სიგრძე ამ სამკუთხედის გვერდების სიგრძის ნახევარია.
დავალება ნომერი 6. არსებობს. ავიღოთ სამი ხუთკუთხა სახე საერთო A წვერით და განვიხილოთ სიბრტყის მონაკვეთი, რომელიც კვეთს ამ სახეებს და პარალელურად სიბრტყეს, რომელშიც დევს განსახილველი სახეების სამი წყვილი საერთო წვერო (სურ. 74). ეს მონაკვეთი არის ექვსკუთხედი წყვილი პარალელური მოპირდაპირე გვერდებით. როდესაც ბრუნავს 120 ° -ით ღერძის გარშემო, რომელიც გადის A წვეროზე და პერპენდიკულარულია ჭრის სიბრტყეზე, დოდეკაედონი და ჭრის სიბრტყე გადადიან საკუთარ თავში. მაშასადამე, მონაკვეთი არის ამოზნექილი ექვსკუთხედი 120° კუთხით, რომლის სიგრძეები, მონაცვლეობით, იღებს ორ მნიშვნელობას. იმისათვის, რომ ეს ექვსკუთხედი იყოს რეგულარული, საკმარისია ეს ორი მნიშვნელობა ტოლი იყოს. როდესაც საჭრელი სიბრტყე გადადის მისი ერთ-ერთი უკიდურესი პოზიციიდან მეორეზე, შორდება A წვეროდან, ამ მნიშვნელობებიდან პირველი იზრდება 0-დან d-მდე, ხოლო მეორე მცირდება d-დან a-მდე, სადაც a არის სიგრძე. დოდეკედრის კიდე. (d არის სახის დიაგონალის სიგრძე (d მეტია a-ზე). ამიტომ, რაღაც მომენტში, ეს მნიშვნელობები ტოლია, ანუ მონაკვეთი არის რეგულარული ექვსკუთხედი. |
|
დავალება ნომერი 7.
არა, არ შეესაბამება სიმართლეს. განვიხილოთ იკოსაედონის პროექცია ABC სიბრტყეზე. ეს არის რეგულარული ექვსკუთხედი (იხ. სურ. 69). მაშასადამე, განხილული მონაკვეთი იქნება რეგულარული ექვსკუთხედი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A, B და C წერტილებთან (და განსხვავებული A, B და C-სგან განსხვავებული) კიდეებით დაკავშირებული ექვსივე წვერო ერთ სიბრტყეშია. მაგრამ, როგორც იოლად ხედავთ, ეს სიმართლეს არ შეესაბამება (თორემ აღმოჩნდება, რომ იკოსედრონის ყველა წვერო განლაგებულია სამ პარალელურ სიბრტყეზე).
ᲓᲐᲕᲐᲚᲔᲑᲔᲑᲘ
|
2. მსგავსი სამკუთხედების თვისებების გამოყენება.
პრობლემის გადაწყვეტა
№1 №2 №3 №4 №5
დავალება ნომერი 1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
მე-2 შემთხვევა
დავალება ნომერი 2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
დავალება ნომერი 3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">
დავალება ნომერი 4.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">მარჯვნივ">
გაკვეთილის განმავლობაში ყველას შეეძლება მიიღოს იდეა თემაზე "პარალელეპიპედში მონაკვეთების აგების პრობლემები. პირველ რიგში, ჩვენ ვიმეორებთ ყუთის ოთხ მთავარ დამხმარე თვისებას. შემდეგ, მათი გამოყენებით, ჩვენ მოვაგვარებთ რამდენიმე ტიპურ პრობლემას პარალელეპიპედში მონაკვეთების ასაგებად და პარალელეპიპედის განივი ფართობის დასადგენად.
თემა: წრფეებისა და სიბრტყეების პარალელიზმი
გაკვეთილი: ამოცანები პარალელეპიპედში მონაკვეთების აგებისთვის
გაკვეთილის მსვლელობისას ყველას შეეძლება მიიღოს იდეა თემაზე. "პრობლემები პარალელეპიპედში მონაკვეთების აგებისას".
განვიხილოთ პარალელეპიპედი ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 (ნახ. 1). გავიხსენოთ მისი თვისებები.
ბრინჯი. 1. პარალელეპიპედის თვისებები
1) საპირისპირო სახეები (ტოლი პარალელოგრამები) დევს პარალელურ სიბრტყეში.
მაგალითად, ABCD და A 1 B 1 C 1 D 1 პარალელოგრამები ტოლია (ანუ მათი დადება შესაძლებელია) და დევს პარალელურ სიბრტყეში.
2) პარალელური კიდეების სიგრძე ტოლია.
მაგალითად, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (ნახ. 2).
ბრინჯი. 2. პარალელეპიპედის მოპირდაპირე კიდეების სიგრძეები ტოლია
3) პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ყოფს ამ წერტილს.
მაგალითად, პარალელეპიპედის BD 1 და B 1 D დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და კვეთს ამ წერტილს (ნახ. 3).
4) პარალელეპიპედის მონაკვეთში შეიძლება იყოს სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, ხუთკუთხედი, ექვსკუთხედი.
პრობლემა პარალელეპიპედის მონაკვეთზე
მაგალითად, განიხილეთ შემდეგი პრობლემის გადაჭრა. მოცემულია პარალელეპიპედი ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 და M, N, K წერტილები AA 1, A 1 D 1, A 1 B 1 კიდეებზე, შესაბამისად (ნახ. 4). ააგეთ პარალელეპიპედის მონაკვეთები MNK სიბრტყით. წერტილები M და N ერთდროულად დევს AA 1 D 1 სიბრტყეში და ჭრის სიბრტყეში. აქედან გამომდინარე, MN არის ორი მითითებული სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი. ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ MK და KN. ანუ მონაკვეთი იქნება სამკუთხედი MKN.
1. გეომეტრია. 10-11 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და პროფილის დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, შესწორებული და დამატებული - მ.: მნემოზინა, 2008. - 288 გვ.: ილ.
ამოცანები 13, 14, 15 გვ 50
2. მოცემულია პარალელეპიპედი ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 . M და N არის DC და A 1 B 1 კიდეების შუა წერტილები.
ა) ააგეთ AM და AN წრფეების გადაკვეთის წერტილები BB 1 C 1 C სახის სიბრტყით.
ბ) ააგეთ AMN და BB 1 C 1 სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი
3. ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 პარალელეპიპედის მონაკვეთების აგება სიბრტყით, რომელიც გადის BC 1-ზე და კიდის M შუა წერტილზე DD 1 .
ამ მეთოდით, პირველი ნაბიჯი (ამ წერტილების მეორადი პროგნოზების პოვნის შემდეგ) არის საჭრელი სიბრტყის კვალის აგება პრიზმის ზედა ან ქვედა ფუძის სიბრტყეზე ან დამსხვრეული პირამიდის ან პირამიდის ფუძეზე.
ტრაკი 2. მოცემულია სამკუთხა პრიზმის გამოსახულება ABCA 1 ბ 1 C 1 და სამი ქულამ, ნ, პ, რომლებიც დევს შესაბამისად CC კიდეზე 1 და სახეები ABB 1 ა 1 , BCC 1 ბ 1 . ააგეთ პრიზმის მონაკვეთი სიბრტყით, გავლით მ, ნ, პ.
გადაწყვეტილება. ჩვენ უკვე გვაქვს ერთი წერტილი პრიზმის ზედა ფუძეზე, ამიტომ ავაშენებთ კვალს ზედა ფუძეზე. ჩვენ ვაშენებთ წერტილების მეორად პროგნოზებს ნდა პ ზედა ბაზაზე. შემდეგ: 1 .ნპნ 3 პ 3 =X; 2 .მX=გვ-ტრეკი; 3 .გვბ 1 C 1 =დ.
შემდგომი ნაბიჯები უკვე ნაჩვენებია ზემოთ ნახაზში.
ტრაკი 3. დეკ. პრიზმის ქვედა ბაზაზე ავაშენებთ საჭრელი სიბრტყის კვალს.
შენობა: 1. მნედ=X, მპEP 3 =ი;
2. გვ=XY- კვალი; 3. გვბC=გ, გვდC=ჰ.
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ წერტილი ზღვარზე BB 1 ან ზღვარზე აა 1 .
AT 
ასპექტები ABB 1 ა 1 ჩვენ უკვე გვაქვს ერთი ქულა პ. ამიტომ, ამ სახის ქვედა კიდე, ე.ი. AB, ვაგრძელებთ კვალთან გადაკვეთამდე.
4. აბგვ=ზ.
5. პზაა 1 =ფ; პზBB 1 =კ.შემდეგი მოქმედებები უკვე ნაჩვენებია ზემოთ.
თუ აღმოჩნდება, რომ ხაზი AB არ იკვეთება კვალი, მაშინ სასურველი FK ასევე იქნება პარალელური. ტრაკი 4. დეკ. 1. პნპო ნ o= X;
2. მნCN o= ი;3. გვ=XY- კვალი;
3. Cბგვ=ზ;4. ზმსბ=ე;
5. ენსა=გ 6. GEMF- განყოფილების პრეტენზია.
17. ცილინდრის მონაკვეთის აგება.
თუ ჭრის სიბრტყე მოცემულია სამი წერტილით, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი კვალი ცილინდრის ან კონუსის ფუძის სიბრტყეზე და წერტილი ( პ, ო) მის ღერძზე. აქედან გამომდინარე, მიგვაჩნია, რომ ჭრის თვითმფრინავი მოცემულია ამ ელემენტებით.
თან 
რბოლის დასაწყისი არის შემთხვევა, როდესაც თვითმფრინავი კვეთს მხოლოდ ცილინდრის გვერდით ზედაპირს. მაშინ ცილინდრის მონაკვეთი იქნება ელიფსი (;¯ და მისი გამოსახულება ასევე არის ელიფსი. ჩვენ ვიცით როგორ ავაშენოთ ელიფსი, თუ ცნობილია მისი ორი კონიუგატური დიამეტრი. ახლა ჩვენ გაჩვენებთ, როგორ ვიპოვოთ მთავარის გამოსახულება. ელიფსის დიამეტრი (;¯.
მოდით და 1 იყოს ელიფსები, რომლებიც წარმოადგენს ცილინდრის ქვედა და ზედა ფუძეს, ო და ო 1 - მათი ცენტრები. დავხატოთ დიამეტრი ა 3 ბ 3 ქვედა ფუძე, კვალისა და მისი კონიუგატის დიამეტრის პარალელურად C 3 დ 3 . მშენებლობისთვის C 3 დ 3 ჩვენ ვიყენებთ აკორდს კ 3 ლ 3, რომლის ერთი ბოლო ეკუთვნის კონტურულ გენერატრიქსს. გავიხსენოთ რომ ა 3 ბ 3 და C 3 დ 3 ასახავს პერპენდიკულარულ დიამეტრებს. Გავაგრძელოთ C 3 დ 3 კვალთან კვეთამდე. მოდით მივიღოთ აზრი X. პირდაპირ PX უწოდეთ მას მონაკვეთის ღერძი.
მოდით ავწიოთ ქულები C 3 და დ 3 მონაკვეთის ღერძამდე. მიიღეთ Cდა დ. ხაზის სეგმენტი CDარის დიდი დიამეტრის მონაკვეთის გამოსახულება. ავწიოთ სეგმენტი ა 3 ბ 3 სიმაღლეზე OP. ჩვენ ვიღებთ სეგმენტს AB, რომელიც წარმოადგენს მცირე დიამეტრის მონაკვეთის გამოსახულებას. უარყოფითი AB და CD – შეჯვარება დია. ელიფსი .
ჰ 
იპოვეთ მეტი წერტილი, რომლებზეც ელიფსი გადადის ცილინდრის ხილული მხრიდან უხილავზე, რაც ნიშნავს, რომ მყარი ხაზი იქცევა წერტილოვან ხაზად. ეს არის კვეთის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები კონტურულ გენერატორებთან. დაე იყოს ი 3 =კ 3 ლ 3 C 3 დ 3 . ავწიოთ ი 3 მონაკვეთის ღერძამდე. მოდით მივიღოთ წერტილი ი. აკორდი ავწიოთ კ 3 ლ 3 სიმაღლეზე YY 3 . ჩვენ ვიღებთ სეგმენტს KL. ჩვენ ვიპოვეთ საჭირო წერტილი კდა გზაში, კიდევ ერთი დამატებითი წერტილი ლ. Წერტილი მსკანტური სიბრტყის გადაკვეთის და მეორე კონტურის გენერატრიქსის გამოსახვა არის სიმეტრიული წერტილის მიმართ კპუნქტთან შედარებით პ.დამატებით ავაშენებთ პუნქტს ნ, სიმეტრიული ლ
ურთიერთობის წერტილები პ
მოდით ვაჩვენოთ გზა, თუ როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რაოდენობის წერტილი მონაკვეთზე ამ დიამეტრის გამოყენების გარეშე.
აირჩიეთ ნებისმიერი. წერტილი ვ 3 ელიფსზე . ჩვენ ვატარებთ დიამეტრს ვ 3 თ 3 და გააგრძელეთ კვალთან გადაკვეთამდე.ვიღებთ წერტილს U. ჩვენ ვამაღლებთ ქულებს ვ 3 და თ 3 პირდაპირ U.P.. ჩვენ ვიღებთ ორ ქულას ვდა თმონაკვეთზე. ამის ნაცვლად არჩევა ვკიდევ 3 ქულა, ჩვენ ვიღებთ კიდევ 2 ქულას თითო მონაკვეთზე.თუ თქვენ აირჩიეთ წერტილი კ 3, რომელიც დევს კონტურულ გენერატრიქსზე, ჩვენ ვიპოვით წერტილებს კ და მ, რომელშიც მონაკვეთზე მყარი ხაზი უნდა იქცეს წყვეტილ ხაზად.
