კონუსი. ფრუსტუმი

შეკუმშული ზედაპირიეწოდება ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ყველა სწორი ხაზით, რომელიც გადის მოცემული მრუდის თითოეულ წერტილს და მრუდის გარეთ არსებულ წერტილს (სურ. 32).

ეს მრუდი ე.წ სახელმძღვანელო პირდაპირი - წარმოქმნის , წერტილი - სამიტი კონუსური ზედაპირი.

სწორი წრიული ზედაპირიეწოდება ზედაპირს, რომელიც წარმოქმნის ყველა წრფეს, რომელიც გადის მოცემული წრის თითოეულ წერტილს და წრფის წერტილს, რომელიც პერპენდიკულარულია წრის სიბრტყეზე და გადის მის ცენტრში. შემდეგში, ამ ზედაპირს მოკლედ მოიხსენიებენ, როგორც კონუსური ზედაპირი (სურ.33).

კონუსი (სწორი წრიული კონუსი ) ეწოდება გეომეტრიულ სხეულს, რომელიც შემოსაზღვრულია კონუსური ზედაპირით და სიბრტყით, რომელიც პარალელურია სახელმძღვანელო წრის სიბრტყის (სურ. 34).

ბრინჯი. 32 ნახ. 33 ნახ. 34

კონუსი შეიძლება ჩაითვალოს სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის ერთ-ერთ ფეხს.

წრე, რომელიც ზღუდავს კონუსს, ეწოდება საფუძველი . კონუსური ზედაპირის წვერო ეწოდება სამიტი კონუსი. ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის ზედა ნაწილს მისი ფუძის ცენტრთან, ეწოდება სიმაღლე კონუსი. სეგმენტებს, რომლებიც ქმნიან კონუსურ ზედაპირს, ე.წ წარმოქმნის კონუსი. ღერძი კონუსი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის კონუსის წვეროზე და მისი ფუძის ცენტრში. ღერძული განყოფილება კონუსის ღერძზე გამავალ მონაკვეთს უწოდებენ. გვერდითი ზედაპირის განვითარება კონუსი არის სექტორი, რომლის რადიუსი უდრის კონუსის გენერატრიქსის სიგრძეს, ხოლო სექტორის რკალის სიგრძე უდრის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობას.

კონუსისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც რარის ფუძის რადიუსი;

ჰ- სიმაღლე;

ლ- გენერატრიქსის სიგრძე;

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

S მხარე

S სავსე

ვარის კონუსის მოცულობა.

შეკვეცილი კონუსიეწოდება კონუსის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და საჭრელ სიბრტყეს შორის კონუსის ფუძის პარალელურად (სურ. 35).

ჩამოჭრილი კონუსი შეიძლება მივიჩნიოთ სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა ტრაპეციის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს ტრაპეციის გვერდით მხარეს, ფუძეებზე პერპენდიკულარული.

ორ წრეს, რომლებიც აკრავს კონუსს, მისი ეწოდება საფუძველი . სიმაღლე შეკვეცილი კონუსი არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. სეგმენტები, რომლებიც ქმნიან შეკვეცილი კონუსის კონუსურ ზედაპირს, ეწოდება წარმოქმნის . ფუძეების ცენტრებში გამავალ სწორ ხაზს ეწოდება ღერძი შეკვეცილი კონუსი. ღერძული განყოფილება მოუწოდა მონაკვეთი, რომელიც გადის შეკვეცილი კონუსის ღერძზე.

შეკვეცილი კონუსისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

(8)

სადაც რარის ქვედა ფუძის რადიუსი;

რარის ზედა ფუძის რადიუსი;

ჰარის სიმაღლე, l არის გენერატრიქსის სიგრძე;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

ვარის შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

მაგალითი 1კონუსის მონაკვეთი ძირის პარალელურად ყოფს სიმაღლეს 1:3 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა. იპოვეთ შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლეა 9 სმ და 12 სმ.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 36).

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას (8). იპოვეთ ფუძეების რადიუსი დაახლოებით 1 ადა დაახლოებით 1 ვდა გენერირება AB.

განვიხილოთ მსგავსი სამკუთხედები SO 2 Bდა SO 1A, მსგავსების კოეფიციენტი , მაშინ

აქედან

Მას შემდეგ

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის:

პასუხი: .

მაგალითი 2.რადიუსის მეოთხედი წრე იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლე.

გადაწყვეტილება.წრის ოთხმაგი არის კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება. აღნიშნეთ რარის მისი ფუძის რადიუსი, H-სიმაღლე. გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: . ის უდრის წრის მეოთხედის ფართობს: . ვიღებთ განტოლებას ორი უცნობით რდა ლ(კონუსის გენერატორი). ამ შემთხვევაში, გენერატრიქსი უდრის წრის მეოთხედის რადიუსს რ, ასე რომ, მივიღებთ შემდეგ განტოლებას: , საიდანაც ფუძისა და გენერატრიქსის რადიუსის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ კონუსის სიმაღლეს:

პასუხი: 2 სმ,.

მაგალითი 3მართკუთხა ტრაპეცია მწვავე კუთხით 45 O, უფრო მცირე ფუძით 3 სმ და ტოლი დახრილი გვერდით, ბრუნავს ფუძეების პერპენდიკულარული მხარის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის მიღებული სხეულის მოცულობა.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 37).

ბრუნვის შედეგად ვიღებთ ჩამოჭრილ კონუსს, მისი მოცულობის საპოვნელად ვიანგარიშებთ უფრო დიდი ფუძის რადიუსს და სიმაღლეს. ტრაპეციაში O 1 O 2 ABდავხარჯავთ AC^O 1 B. ჩვენ გვაქვს: ასე რომ, ეს სამკუთხედი არის ტოლფერდა AC=ძვ.წ\u003d 3 სმ.

პასუხი:

მაგალითი 4სამკუთხედი გვერდებით 13 სმ, 37 სმ და 40 სმ ბრუნავს გარე ღერძის ირგვლივ, რომელიც უფრო დიდი მხარის პარალელურია და მისგან 3 სმ დაშორებით (ღერძი მდებარეობს სამკუთხედის სიბრტყეში). იპოვეთ რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება . დავხატოთ ნახატი (სურ. 38).

რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირი შედგება ორი შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირისა და ცილინდრის გვერდითი ზედაპირისგან. ამ უბნების გამოსათვლელად საჭიროა ვიცოდეთ კონუსების და ცილინდრის ფუძეების რადიუსი ( BEდა OCკონუსების ფორმირება ( ძვ.წდა AC) და ცილინდრის სიმაღლე ( AB). უცნობია მხოლოდ CO. არის მანძილი სამკუთხედის გვერდიდან ბრუნვის ღერძამდე. მოდი ვიპოვოთ DC. ABC სამკუთხედის ფართობი ერთ მხარეს უდრის AB გვერდის ნახევრის ნამრავლს და მისკენ მიზიდულ სიმაღლეს. DC, მეორეს მხრივ, სამკუთხედის ყველა გვერდის ცოდნით, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ჰერონის ფორმულით.

სიბრტყის ფიგურების მეტრიკული მახასიათებლების განსაზღვრის ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტური მეთოდია ბრუნვა ღერძის გარშემო, რომელიც ჩვეულებრივ გამოიყენება როგორც დონის ხაზი ან საპროექტო ხაზი.

მშენებლობის ძირითადი წესები

1. წერტილის ბრუნვის რადიუსი უდრის მანძილს წერტილსა და დონის ხაზს შორის, რომელიც მოქმედებს როგორც ღერძი. რადიუსის ბუნებრივი მნიშვნელობა განისაზღვრება მართკუთხა სამკუთხედის მეთოდით.
2. ჰორიზონტალური h-ის გარშემო ბრუნვისას წერტილი მოძრაობს წრის გასწვრივ, რომელიც დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე ჰორიზონტალური h-ის ჰორიზონტალური პროექციის პერპენდიკულარულ სწორხაზოვან სეგმენტში. ”შუბლის სიბრტყეზე წრე, რომლის გასწვრივაც მოძრაობს წერტილი არის. ელიფსად დაპროექტებული.არ არის საჭირო მისი აგება.
3. შუბლის f-ის ირგვლივ ბრუნვისას წერტილი მოძრაობს წრის გასწვრივ, რომელიც დაპროექტებულია შუბლის სიბრტყეზე სწორი ხაზის სეგმენტად, რომელიც პერპენდიკულარულია შუბლის f"-ის შუბლის პროექციის მიმართ. ამავდროულად, გადაადგილების ხაზის ჰორიზონტალური პროექცია არის ელიფსი, რომლის აგება არ არის საჭირო.

განვიხილოთ როგორ განვსაზღვროთ A წერტილში გადამკვეთ a და b წრფეებს შორის კუთხის რეალური მნიშვნელობა. კონსტრუქციები ნაჩვენებია ნახატზე და შესრულებულია ქვემოთ აღწერილი ალგორითმის მიხედვით.

ამოხსნის ალგორითმი

1. ვახორციელებთ ჰორიზონტალური h-ის შუბლის პროექციას h"". ის კვეთს a""" და b""" წრფეებს 1""" და 2" წერტილებზე. ჩვენ განვსაზღვრავთ ჰორიზონტალურ პროგნოზებს 1 "და 2" და ვხატავთ h მათ მეშვეობით.
2. იპოვეთ ბრუნის ცენტრი O. მისი ჰორიზონტალური პროექცია O" დგას h" წრფის გადაკვეთაზე A-დან h-მდე გამოყვანილი პერპენდიკულურით.
3. ჩვენ განვსაზღვრავთ ბრუნვის რადიუსის ბუნებრივ მნიშვნელობას R = O"A" 0 . ამისთვის ვაშენებთ მართკუთხა სამკუთხედს O"A"A" 0 , რომლის ფეხი A"A" 0 უდრის A""-დან h"-მდე მანძილს.
4. ვხატავთ წრის რკალს R რადიუსით, სანამ ის არ გადაიკვეთება სწორ ხაზთან O"A" A" 1 წერტილში. შეაერთეთ A" 1 წერტილებით 1" და 2". სასურველი კუთხე ϕ აგებულია.

როგორც ცნობილია; როდესაც წერტილი ბრუნავს ღერძის გარშემო, ის მოძრაობს ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში და აღწერს წრეს. ნახაზის გარდაქმნის მიზნით ბრუნვის მეთოდის გამოსაყენებლად, ჩვენ აღვნიშნავთ შემდეგ ოთხ ელემენტს (ნახ. 5.8):

ბრუნვის ღერძი (MN);

წერტილის ბრუნვის თვითმფრინავი(pl. S არის პერპენდიკულარული (MN));

ბრუნვის ცენტრი;

ბრუნვის რადიუსი (R; R= |OA|).

როგორც ბრუნვის ღერძი, ჩვეულებრივ გამოიყენება სწორი ხაზები, პერპენდიკულარული ან პარალელურად პროექციის სიბრტყეზე. განვიხილოთ ბრუნვა პროექციის სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ ღერძებზე.

წერტილი A ბრუნვა ღერძის გარშემო ნახაზზე MN, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული H, ნაჩვენებია ფიგურაში 5.9. ბრუნვის სიბრტყეს არის H სიბრტყის პარალელურად და გამოსახულია შუბლის პროექციაზე შემდეგნაირადს ვ. ჰორიზონტალური პროექციაბრუნვის ცენტრის შესახებ პროექციას ემთხვევა tp ღერძი და ჰორიზონტალური პროექციაოა ბრუნვის რადიუსი OA არის მისი ბუნებრივი ღირებულება. წერტილის როტაციამაგრამ ნახაზზე 5.9 დამზადებულია კუთხით φ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ისე, რომ წერტილის ახალ პოზიციაში პროგნოზებით a1", a1 ბრუნის რადიუსი სიბრტყის პარალელურად იყოV როდესაც წერტილი ბრუნავს ვერტიკალური ღერძის გარშემო, მისი ჰორიზონტალური პროექცია მოძრაობს წრის გასწვრივ, ხოლო შუბლის პროექცია მოძრაობს x-ღერძის პარალელურად და ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულად.

თუ წერტილი ბრუნავს V სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო, მაშინ მისი შუბლის პროექცია გადავა წრის გასწვრივ, ხოლო ჰორიზონტალური პროექცია x-ღერძის პარალელურად.

წერტილის ბრუნვა საპროექტო ხაზის ირგვლივ გამოიყენება ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად, მაგალითად, ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომის განსაზღვრისას. ამისთვის (სურ. 5.10) საკმარისია ბრუნვის ღერძი პროექციებით t "p", tp აირჩიეთ ისე, რომ მან გაიაროს სეგმენტის ერთ-ერთი უკიდურესი წერტილი, მაგალითად, წერტილი პროგნოზებით b“, ბ. შემდეგ წერტილის შემობრუნებისასმაგრამ კუთხე φ პოზიციაში A1 (OA1 || კვადრატი V, oa, || x-ღერძი) სეგმენტი AB გადადის პოზიციაზე A1B, თვითმფრინავის პარალელურადვ და, შესაბამისად, დაპროექტებულია მასზე სრული ზომით. ამავდროულად, სეგმენტის დახრილობის კუთხე a იქნება დაპროექტებული სრული ზომით AB თვითმფრინავ H-მდე.

წერტილის ბრუნვა (ბრუნვა) პროექციებით ბ“, ბ პროექციებით ღერძთან შედარებით t"p", tp, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული V, ნაჩვენებია სურათზე 5.11. წერტილის მობრუნებისას AT მოძრაობს ბრუნვის სიბრტყეშით (თ) პოზიციონირება პროგნოზებით b1", b1 ისე რომ ბრუნვის რადიუსი OV გახდეს თვითმფრინავის პარალელურად H (o "b" || x-ღერძი).

ბრუნვის მეთოდის გამოყენება საპროექციო სიბრტყეებზე პერპენდიკულარული ბრუნვის ღერძების ნახაზზე მითითების გარეშე.თუ თქვენ ატრიალებთ გეომეტრიულ ფიგურას პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო, მაშინ ამ სიბრტყეზე პროექცია არ იცვლება არც გარეგნულად და არც ზომით (იცვლება მხოლოდ პროექციის პოზიცია პროექციის ღერძთან მიმართებაში). გეომეტრიული ფიგურის წერტილების პროგნოზები ბრუნვის ღერძის პარალელურ სიბრტყეზე მოძრაობს სწორი ხაზების გასწვრივ პროექციის ღერძის პარალელურად (გარდა ბრუნვის ღერძზე მდებარე წერტილების პროექციისა), ხოლო პროექცია მთლიანად იცვლება ფორმა და ზომა. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია ბრუნვის მეთოდის გამოყენება ბრუნვის ღერძის წარმოდგენის მითითების გარეშე. Იმაში

შემთხვევაში, გეომეტრიული გამოსახულების ერთ-ერთი პროექციის ზომისა და ფორმის შეცვლის გარეშე, გადაიტანეთ ეს პროექცია საჭირო პოზიციაზე და შემდეგ შექმენით სხვა პროექცია, როგორც ზემოთ იყო მითითებული.

სურათი 5.12 გვიჩვენებს ბრუნვის მეთოდის გამოყენებას ღერძების მითითების გარეშე სამკუთხედის რეალური ზომის დასადგენად abc, მოცემულია პროგნოზებით a"b"c", abc. ამისთვის სიბრტყის ორი ბრუნვა ზოგად პოზიციაზე, რომელშიც მდებარეობს სამკუთხედი, შესრულებულია ისე, რომ პირველი ბრუნის შემდეგ ეს სიბრტყე სიბრტყის პერპენდიკულარული გახდეს. V, ხოლო მეორის შემდეგ - H სიბრტყის პარალელურად. პირველი ბრუნი H სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო, მისი პოზიციის დაზუსტების გარეშე, განხორციელდა ჰორიზონტალური პროექციებით. s"1", s-1 სამკუთხედის სიბრტყეში. ამ შემთხვევაში, ჰორიზონტალური პროექციაროგორც შემოტრიალდა პროექციის მიმართულების შესატყვისად. სამკუთხედის ჰორიზონტალური პროექცია ინარჩუნებს ფორმას და ზომას, იცვლება მხოლოდ მისი პოზიცია. ქულები A, B და C ასეთი ბრუნვით ისინი მოძრაობენ H სიბრტყის პარალელურად სიბრტყეებში.პროექციები a1", c1, b1" a"a1", b"b1" და c"c1". სამკუთხედის შუბლის პროექცია ახალ პოზიციაში არის სეგმენტი a1"b1"c1".

მეორე ბრუნვა, სამკუთხედის H სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში მიყვანა, კეთდება ბრუნვის ღერძის გარშემო H სიბრტყეზე პერპენდიკულარული (ღერძის პოზიცია ასევე არ არის მითითებული). მეორე ბრუნვისას შუბლის პროექცია ინარჩუნებს პირველი ბრუნვის შემდეგ მიღებულ გარეგნობას და ზომას. ქულები A1, D1 და C1 გადაადგილება თვითმფრინავის პარალელურად V პროგნოზები a 2 , b 2 , c 2 არიან ჰორიზონტალური კომუნიკაციის ხაზებზე a, a 2, blb2, c1c2. პროექცია a2b2c 2 არის მოცემული სამკუთხედის რეალური ზომა.

საპროექციო სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ღერძების ირგვლივ განხილული ბრუნების შესრულებისას ეს ღერძები არ არის მითითებული, მაგრამ მათი ადვილად პოვნა შესაძლებელია. მაგალითად, თუ დახატავთ სეგმენტებს aa1, b1b2 და დახაზეთ პერპენდიკულარები მათი შუა წერტილებით, მაშინ ამ პერპენდიკულარების გადაკვეთის შედეგად მიღებული წერტილი იქნება ბრუნვის ღერძის ჰორიზონტალური პროექცია H სიბრტყეზე პერპენდიკულარული.

ბრუნვის მეთოდის გამოყენება ღერძების მითითების გარეშე გარკვეულწილად ამარტივებს კონსტრუქციას, არ არის ერთის გადახურვა

განყოფილება მეორეზე, მაგრამ ნახატი დიდ ფართობს იკავებს. (ბრუნვის განხილული შემთხვევა ბრუნვის ღერძების გამოსახვის გარეშე არის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდის განსაკუთრებული შემთხვევა.)

პროექციის სიბრტყეების პარალელურად სწორი ხაზების გარშემო ბრუნვის მეთოდი.ბრტყელი ფიგურის ბუნებრივი ზომა შეიძლება განისაზღვროს პროექციის სიბრტყის პარალელურად ღერძის ირგვლივ ბრუნვით, ფიგურის ერთი შემობრუნებით პროექციის სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში მიყვანა.

ნახაზი 5.13 გვიჩვენებს სამკუთხედის ზომის განსაზღვრას პროექციებით a"b"c", abc როტაცია ჰორიზონტალურის გარშემო.ამ შემთხვევაში სამკუთხედის ყველა წერტილი(ბრუნვის ღერძზე მწოლიარეთა გარდა)ბრუნავს ღერძის გარშემო წრეებში ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეებში.თუ სამკუთხედი დაიკავებს პოზიციას პროექციის სიბრტყის პარალელურად, მისი წერტილების ბრუნვის რადიუსი იქნება ამ სიბრტყის პარალელურად, ანუ ისინი დაპროექტდება სიბრტყეზე.ჰ ნამდვილი ზომა.

ბრუნვის ღერძად აღებული იყო ჰორიზონტალური პროექციებით s"1", s-1.

C წერტილი ბრუნვის ღერძზე ფიქსირებული რჩება. ბრუნვის შემდეგ სამკუთხედის ჰორიზონტალური პროექციის გამოსასახად საჭიროა მისი სხვა ორი წვერის პროგნოზების პოზიციის პოვნა. ვერტიკები პროგნოზებით a", a და b", b გადაადგილების სამკუთხედი -

არიან თვითმფრინავებში P და Q ამ წერტილების მოძრაობა. ჰორიზონტალური პროექციაშესახებ წვეროების ბრუნვის ცენტრიმაგრამ არის ჰორიზონტალური პროექციის გადაკვეთის წერტილი s-1 ბრუნვის ღერძი ჰორიზონტალური პროექციითფ.ჰ. მასზე მონიშნულია მისი შუბლის პროექცია.ო სეგმენტები oa - ჰორიზონტალური, o "ა" - წერტილის ბრუნვის რადიუსის შუბლის პროექციამაგრამ. ცხოვრების ზომა oA წერტილის ბრუნვის რადიუსიმაგრამ განისაზღვრება 2.3-ში განხილული წესით (იხ. ნახ. 2.9), ანუ მართკუთხა სამკუთხედის აგებით. ფეხებზე oa და aA \u003d o "2" აგებულია სამკუთხედიოაა, მისი ჰიპოტენუზა უდრის წერტილის ბრუნვის რადიუსსმაგრამ.

საწყისი პროექცია შესახებ საყრდენი წერტილიმაგრამ მისი მოძრაობის სიბრტყის Ph კვალის მიმართულებით, ჩვენ განზე ვდებთ ბრუნვის რადიუსის ბუნებრივ მნიშვნელობას. ჰორიზონტალური პროექციის მონიშვნა a, წერტილები A, ბრუნავს სიბრტყის პარალელურად სამკუთხედის პოზიციაზენ. ჰორიზონტალური პროექცია bt წერტილი AT შემობრუნებულ მდგომარეობაში ვხვდებით, როგორც ჰორიზონტალური პროექციის გადაკვეთის წერტილს 1-ат კვალი Q სთ. ჰორიზონტალური პროექცია a1cb1 გამოხატავს ა-ს ბუნებრივ ღირებულებას ABC, რადგან ბრუნვის შემდეგ სამკუთხედის სიბრტყე სიბრტყის პარალელურიან. შემობრუნებული სამკუთხედის შუბლის პროექცია ემთხვევა ჰორიზონტალურის შუბლის პროექციას 1 "ს", ანუ ეს არის სწორი ხაზის სეგმენტი.

თუ გსურთ ბრტყელი გეომეტრიული გამოსახულების როტაცია სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში V, მაშინ ბრუნვის ღერძისთვის არჩეულია ფრონტალური.

დაატრიალეთ სიბრტყე მისი კვალის გარშემო, სანამ ის არ დაემთხვევა შესაბამის პროექციის სიბრტყეს(ამ შემთხვევას კომბინაციის მეთოდსაც უწოდებენ). თუ თვითმფრინავი ბრუნავს თავისი კვალის ირგვლივ მანამ, სანამ არ დაემთხვევა პროექციის სიბრტყეს, რომელშიც ეს კვალი მდებარეობს, მაშინ სიბრტყეში მდებარე გეომეტრიული გამოსახულებები გამოჩნდება დამახინჯების გარეშე. ეს მეთოდი არის ჰორიზონტალური ან შუბლის გარშემო ბრუნვის განსაკუთრებული შემთხვევა, ვინაიდან სიბრტყის ჰორიზონტალური კვალი შეიძლება ჩაითვალოს ჰორიზონტალური სიბრტყის "ნულოვანი" ჰორიზონტალურად, ხოლო შუბლის კვალი "ნულოვანი" შუბლის სახით.

სურათი 5.14 გვიჩვენებს ზოგადი პოზიციის სიბრტყის ბრუნვის ვიზუალურ წარმოდგენასრ ჰორიზონტალური ბილიკის გარშემოპ სთ თვითმფრინავიდან მიმართულებითვ მაყურებელს თვითმფრინავთან გასწორებამდენ. სიბრტყის განლაგების მდგომარეობაში R თვითმფრინავით

H სწორი ხაზი P Uq არის კვალი R და, გასწორებულია თვითმფრინავთან N. Trace Ph როგორ არ ცვლის ბრუნვის ღერძი თავის პოზიციას. Წერტილი Rx კვალის გადაკვეთა ასევე არ ცვლის მის პოზიციას. კომბინირებული პოზიციის შესაქმნელად P L, კვალი P v საკმარისია იპოვოთ კიდევ ერთი წერტილი, მაგალითად წერტილი N, ეს კვალი (პუნქტის გარდა R x) თვითმფრინავთან გასწორებულ მდგომარეობაშინ.

წერტილი N აღწერს რკალს სიბრტყეში Q, ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული. ცენტრიო ეს რკალი არის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი Q კვალი P h. წერტილი N 0 თვითმფრინავზე H არის რადიუსის რკალის გადაკვეთის წერტილი ON სიბრტყეში Q კვალით Q h . სწორი ხაზის გავლებით P x და N 0-ში მივიღებთ P U0 . სეგმენტი P X N არ იცვლის სიგრძეს თვითმფრინავის ბრუნვისას; ასე რომ მიუთითეთ N0 მიღება შესაძლებელია გადაკვეთით Q სთ სიბრტყეში აღწერილი რკალით H, Р x წერტილიდან P X N რადიუსით.

ნახაზზე (სურ. 5.15) კვალზე განხილული კონსტრუქციების შესრულებარ და არჩეული თვითნებური წერტილინ (ეს ემთხვევა მის პროექციას P"). მისი ჰორიზონტალური პროექციის მეშვეობითპ პირდაპირიზე, ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული - კვალიფ.ჰ. ამ ხაზზე არის წერტილი N 0, ანუ წერტილი N თვითმფრინავთან გასწორების შემდეგნ. იგი შორს იპოვეს P X N 0 \u003d P x n "P x წერტილიდან ან მანძილზე oN 0 წერტილიდან o, წერტილის ბრუნვის რადიუსის ტოლი N. რადიუსის სიგრძე oN 0 = oN განისაზღვრება, მაგალითად, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა ფეხებით on და nN (nN=nn"). სწორი ხაზი P U0, წერტილების გავლით P x და N 0, - კომბინირებული ტრასის პოზიციარ ი.

C0 წერტილის კომბინირებული პოზიცია ანალოგიურად არის აგებული C. ბრუნვის რადიუსი oC ნაპოვნია როგორც მართკუთხა ჰიპოტენუზა

სამკუთხედი ერთი ფეხით oc, მეორე ფეხი cc = s "1. კონსტრუქციის მეორე ვერსია დამზადებულია ჰორიზონტალური სიბრტყის გამოყენებით P პროგნოზებით c"2", c -2. რკალის რადიუსის გამოყენებით R x 2" ნაპოვნია შესაბამისი პოზიცია 2o წერტილი 2 Pv0 ხაზზე, და კომბინირებულ მდგომარეობაში 20С0 ჰორიზონტალური ხაზი წერტილის გავლით 2 0 კვალის პარალელურად Ph.

თუ საჭიროა თვითმფრინავის გაერთიანება შუბლის პროექციის სიბრტყესთან, მაშინ თვითმფრინავი უნდა შემობრუნდეს მისი შუბლის კვალის გარშემო.

§ 24. რევოლუციის ორგანოები.

ცილინდრი, კონუსი და დამსხვრეული კონუსი.

1. მოედანი გვერდით ა ბრუნავს დიაგონალის პერპენდიკულარულზე მის ბოლოში. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

2. მოედანი გვერდით ა ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც მისი მხარის პარალელურია და მისგან გვერდის სიგრძით არის გამოყოფილი. საჭიროა: 1) განსაზღვროს მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი; 2) დაადგინეთ რა თანაფარდობით გაიყოფა კვადრატის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი მოცულობა იმ ზედაპირზე, რომელსაც მისი დიაგონალი აღწერს.

3. ტოლგვერდა სამკუთხედი ბრუნავს პერპენდიკულარულად მის ბოლოზე გავლებული მხარის გარშემო. როგორ უკავშირდება ერთმანეთს სამკუთხედის გვერდების მიერ აღწერილი ზედაპირები?

4. ტოლგვერდა სამკუთხედი ბრუნავს ჯერ გვერდის ირგვლივ, შემდეგ კი წვეროზე გავლებული გვერდის პარალელის გარშემო. მეორედ, მოცულობა და ზედაპირი მიიღება, ორჯერ უფრო დიდი ვიდრე პირველად. დაამტკიცე.

5. ტოლგვერდა სამკუთხედი გვერდით ა ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც არის გვერდის პარალელურად და მისგან მოშორებულია სამკუთხედის აპოთემის ტოლი მანძილით. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

6. Ერთი მხარე ა ტოლგვერდა სამკუთხედი გაშლილია მის სიგრძემდე და მასზე პერპენდიკულარული გაყვანილია გაფართოების ბოლოში. განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა და ზედაპირი, რომელიც მიიღება, თუ სამკუთხედი შემობრუნდება ამ პერპენდიკულარულის გარშემო.

7. ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე ვრცელდება წვეროს მიღმა მის სიგრძემდე და მასზე პერპენდიკულარული გაყვანილია გაფართოების ბოლოში. გვერდით ა განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა და ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ამ პერპენდიკულარულის გარშემო სამკუთხედის ბრუნვის შედეგად.

8. კვადრატის გვერდები ემსახურება გარედან აგებული ტოლგვერდა სამკუთხედების გვერდებს და შედეგად მიღებული ფიგურა ბრუნავს სწორი ხაზის გარშემო, რომელიც აკავშირებს ორი მოპირდაპირე სამკუთხედის გარე წვეროებს. მოედნის მხარე არის ა . განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

9. გვერდით ა რეგულარული ექვსკუთხედის განსაზღვრეთ მისი ბრუნვით წარმოქმნილი სხეულების მოცულობა და ზედაპირი: 1) დიამეტრის ირგვლივ; 2) აპოთემის გარშემო.

10. გვერდით ა რეგულარული ექვსკუთხედი განსაზღვრავს სხეულის მოცულობას და ზედაპირს, რომელიც წარმოიქმნება გვერდის გარშემო ბრუნვის შედეგად.

11. ა ბრუნავს ღერძის ირგვლივ, რომელიც გადის მის წვეროზე პერპენდიკულურად ამ წვეროზე მიყვანილი რადიუსის მიმართ. განსაზღვრეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

12. რეგულარული ექვსკუთხედი გვერდით ა ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც გვერდის პარალელურია და მისგან გამოყოფილია აპოთემის სიგრძით. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

13. მართკუთხა სამკუთხედი 5 სმ და 12 სმ ფეხებით ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც პარალელურად არის უფრო დიდი ფეხის და მისგან 3 სმ დაშორებით.განსაზღვრეთ ბრუნვის სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

14. მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით 15 სმ და 20 სმ ბრუნავს ჰიპოტენუზას პერპენდიკულარულად, დახაზულია უფრო დიდი მწვავე კუთხის მწვერვალზე. განსაზღვრეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

15. სამკუთხედი გვერდებით 9 სმ, 10 სმ და 17 სმ ბრუნავს მისი პატარა კუთხის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლის გარშემო. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

16. სამკუთხედი, რომლის გვერდებია 8 სმ და 5 სმ, რომლებიც შემოიფარგლება 60°-იანი კუთხით, ბრუნავს ღერძის გარშემო, რომელიც გადის ამ კუთხის წვეროზე პერპენდიკულარული მისი მცირე გვერდების მიმართ. განსაზღვრეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

17. მოცულობები, რომლებიც წარმოიქმნება პარალელოგრამის თანმიმდევრულად ბრუნვისას ორი მიმდებარე მხარის გარშემო, უკუპროპორციულია ამ გვერდების მიმართ. დაამტკიცე.

18. რომბი, რომლის ფართობია Q, ბრუნავს მხარის გარშემო. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის ზედაპირი.

19. 1) რომბი გვერდით ა და 60°-იანი მწვავე კუთხე ბრუნავს ღერძის გარშემო, რომელიც გავლებულია ამ კუთხის წვეროზე, გვერდის პერპენდიკულარულად. განსაზღვრეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

2) იგივე პრობლემა 45° კუთხისთვის.

20. ტოლფერდა ტრაპეცია, რომელშიც მახვილი კუთხე არის 45 ° და გვერდი უდრის პატარა ფუძეს, ბრუნავს გვერდის გარშემო. მის სიგრძეზე ა განსაზღვრეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი.

21. ტრაპეცია ჩაწერილია R რადიუსის ნახევარწრეში ისე, რომ მისი ქვედა ფუძე არის ამ წრის დიამეტრი, ხოლო გვერდითი მხარე რკალს აწევს 30°-ით. განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა და ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ამ ტრაპეციის ბრუნვით მისი ფუძის პერპენდიკულარული რადიუსის გარშემო.

22. AB არის R რადიუსის მოცემული ნახევარწრის დიამეტრი; BC რკალი, რომელიც შეიცავს 60°. შედგენილია აკორდი AC და ტანგენტი CD, სადაც D არის წერტილი AB დიამეტრის გაგრძელებაზე. განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა და ზედაპირი, რომელიც მიღებულია ACD სამკუთხედის AD ღერძის გარშემო ბრუნვით.

ბურთი და მისი ნაწილები.

23. R რადიუსის ნახევარწრეში მისი AB დიამეტრის ბოლოდან, სპირალის რკალი 60 °-იანია და წერტილი C უკავშირდება A-ს. განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა და ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება, თუ AB-ის ირგვლივ შემოსაზღვრულ ფიგურას ვატრიალებთ. დიამეტრით AB, AC აკორდი და რკალის IUD.

24. R რადიუსის ნახევარწრეში მისი AB დიამეტრის ბოლოდან გამოყვანილია BMC რკალი 45°, C წერტილიდან ტანგენსი, რომელიც კვეთს AB დიამეტრის გაგრძელებას D წერტილში. ფიგურა შემოსაზღვრული სწორი ხაზებით BD და CD და რკალი BMC ბრუნავს BD-ის გარშემო. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

25. O არის R რადიუსის AMC რკალის ცენტრი; B-პუნქტი OA რადიუსის გაგრძელებაზე; BC- რკალის ტანგენსი AMC; CD - OA რადიუსზე პერპენდიკულარული. ფიგურა ბრუნავს OB ღერძის გარშემო. განსაზღვრეთ მანძილი OD, თუ AMC რკალის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ზედაპირი ორად ყოფს OB ღერძის გარშემო OSV სამკუთხედის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილ მოცულობას.

26. AMC, CND და DPB არის ნახევარწრიულის ზედიზედ მესამედი AB დიამეტრით და ცენტრით O. რადიუსი OS და OD და AC და AD აკორდები შედგენილია და ფიგურა ტრიალებს AB დიამეტრის გარშემო. დაამტკიცეთ, რომ ფიგურები ACND და OCND აღწერს თანაბარ მოცულობას, თითოეული შეადგენს ბურთის მოცულობის ნახევარს.

27. წრიული სეგმენტი ბრუნავს აკორდის პარალელურ დიამეტრზე. დაამტკიცეთ, რომ მიღებული მოცულობა უდრის სფეროს მოცულობას, რომლის დიამეტრი ტოლია სეგმენტის აკორდის.

28. 1) AOB - კვადრატი O ცენტრით და R რადიუსით; AMC - რკალი, რომელიც შეიცავს 60°; AD- ტანგენსი და D არის მისი გადაკვეთის წერტილი OS რადიუსის გაგრძელებასთან. AD და CD სეგმენტებით შემოსაზღვრული ფიგურა და რკალი AMC ბრუნავს OB რადიუსის გარშემო. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა და ზედაპირი.

2) იგივე პრობლემა AMC რკალის ტოლია 45°.

გიულდენის თეორემები.

29. შეამოწმეთ ჰულდენის ორივე თეორემა ბრუნვის შემთხვევებისთვის:

1) მართკუთხედი მისი ერთ-ერთი მხარის გარშემო;

2) რომბი გვერდითი ა და სიმაღლე თ მისი ერთ-ერთი მხარის გარშემო;

3) რეგულარული სამკუთხედი გვერდით ა ღერძის გარშემო, რომელიც გადის ზევით ფუძის პარალელურად;

4) მართკუთხა სამკუთხედი ერთ-ერთი ფეხის გარშემო;

5) მართკუთხა სამკუთხედი ჰიპოტენუზის გარშემო.

30. რკინის რგოლის ჯვარი - კვადრატი გვერდით ა = 4 სმ; ბეჭდის საშუალო დიამეტრი დ = 80 სმ და მისი ხვედრითი წონა არის 8,6. იპოვეთ ბეჭდის წონა.

31. მაშველი, რომლის ჯვარი არის წრე, შეიძლება ჩაითვალოს სხეულად, რომელიც წარმოიქმნება წრის ბრუნვის შედეგად გარკვეული ღერძის გარშემო. მონაკვეთის დიამეტრი დ =12 სმ; მაშველის გარე დიამეტრი D = 75 სმ. გამოთვალეთ მაშველის ზედაპირი და მისი მოცულობა.

32. ლოკომოტივის დეპოს აქვს გეგმით ნახევარწრის ფორმა (სურ. 44), რომლის შიდა დიამეტრი 20 მ; ნახევრად რგოლის სიგანე 9 მ; განივი კვეთაში დეპოს აქვს მართკუთხა ტრაპეციის ფორმა ABCD, რომლის პარალელური გვერდებია 4,25 მ და 6,5 მ. იპოვეთ დეპოს მოცულობა.

33. სამკუთხედის გვერდებია 9სმ, 10სმ და 17სმ.სამკუთხედი ბრუნავს უფრო დიდი სიმაღლის გარშემო. განსაზღვრეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირის მოცულობა.

34. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის ფუძის ირგვლივ და სამკუთხედის წვეროზე გამავალი ფუძის პარალელურად გამავალი სწორი ხაზის გარშემო შემობრუნებით მიღებული მოცულობები არის 1:2.

თემის მასალის შესწავლისას თქვენ უნდა ისწავლოთ:

რევოლუციის ორგანოების ტიპები;

რევოლუციის ორგანოების განმარტებები;

რევოლუციის ორგანოების ელემენტების განმარტებები;

ცილინდრისა და კონუსის განვითარების ცნებები;

ცილინდრისა და კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის განსაზღვრა და გამოთვლა;

სფეროს ტანგენტის სიბრტყისა და მისი თვისებების განსაზღვრა;

სფეროს ზედაპირის ფართობის კონცეფცია;

სფეროში ჩაწერილი და მის ირგვლივ აღწერილი პოლიედონის განმარტება.

პრობლემების გადაჭრის პროცესში ამოწმებენ შემდეგ უნარებს:

ასახავს რევოლუციის სხეულებს;

რევოლუციის ორგანოების ელემენტების გამოთვლა;

სხეულების მონაკვეთების გამოსახვა;

გამოთვალეთ ცილინდრისა და კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი;

დაწერეთ განტოლება სფეროსთვის.

თეორიული ტესტის კითხვები

ვარიანტი 1

1. ცილინდრული ზედაპირის ცნება და მისი ელემენტები. ჩამოაყალიბეთ ცილინდრისა და მისი ელემენტების განმარტება.

2. გამოიტანეთ ფორმულა სფეროს ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად.

3. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირისა და ღერძული მონაკვეთის თანაფარდობა.

ვარიანტი 2

1. კონუსური ზედაპირის ცნება. ჩამოაყალიბეთ კონუსის და მისი ელემენტების განმარტება.

2. განსაზღვრეთ სფეროს ცენტრის პოზიცია, რომელიც შემოიფარგლება რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გარშემო. დაამტკიცე შენი პრეტენზია.

3. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირისა და ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის თანაფარდობა.

ვარიანტი 3

1. ჩამოაყალიბეთ შეკვეცილი კონუსის და მისი ელემენტების განმარტება.

2. განვსაზღვროთ რეგულარული სამკუთხა პირამიდაში ჩაწერილი სფეროს ცენტრის პოზიცია. დაამტკიცე შენი პრეტენზია.

3. დაამტკიცეთ, რომ ტოლგვერდა კონუსის მთლიანი ზედაპირი ტოლია კონუსის სიმაღლის დიამეტრის მქონე ბურთის ზედაპირის.

ვარიანტი 4

1. ჩამოაყალიბეთ სფეროს და ბურთის განმარტებები. ჩაწერეთ R რადიუსის სფეროს განტოლებები, რომელიც ცენტრით არის O(0; 0; 0) და A(x0; y0; z0) წერტილში.

2. გამოიტანეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის გამოსათვლელი ფორმულა.

3. დაამტკიცეთ, რომ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი უდრის იმავე რადიუსის სხვა ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობს, რომლის სიმაღლე უდრის რადიუსის ჯამს და ამ ცილინდრის სიმაღლეს. .

დამოუკიდებელი სამუშაო 17

ვარიანტი 1

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობია 16. იპოვნეთ ამ ცილინდრის მონაკვეთის ფართობი, რომელიც არის ღერძის პარალელურად და მდებარეობს მისგან დაშორებით, რომელიც უდრის ფუძის რადიუსის ნახევარს. ცილინდრი.

2. ნახევარწრე იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ კუთხე გენერატრიქსსა და კონუსის სიმაღლეს შორის.

3. ორი ბურთის რადიუსია 16 და 20 დმ, მათ ცენტრებს შორის მანძილი 25 დმ. იპოვეთ წრის გარშემოწერილობა, სადაც მათი ზედაპირები იკვეთება.

ვარიანტი 2

1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 26 სმ, ქმნის 4,8 დმ. ცილინდრის ღერძიდან რა მანძილზე უნდა გაივლოს მონაკვეთი, რომელიც ღერძის პარალელურია და კვადრატის ფორმა აქვს?

2. სექტორის რადიუსი 3 მ, კუთხე 120°. სექტორი იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ კონუსის ფუძის რადიუსი.

3. რომბის დიაგონალები არის 30 და 40 სმ.სფერული ზედაპირი რომბის ყველა მხარეს ეხება. იპოვეთ მანძილი სფეროს ცენტრიდან რომბის სიბრტყემდე, თუ სფეროს რადიუსი 13 სმ-ია.

ვარიანტი 3

1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 12 სმ იპოვეთ მანძილი ღერძულ მონაკვეთსა და ნახევარ ფართობის მქონე მონაკვეთს შორის.

2. კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარების კუთხე არის 120°. კონუსის გენერატრიქსი 15 სმ. გამოთვალეთ კონუსის ფუძის დიამეტრი.

3. რომბი 10 სმ რადიუსის მქონე ბურთზე ისეა გადაკრული, რომ მისი 12,5 სმ-ის ტოლი მხარე ეხებოდეს ბურთს. რომბის სიბრტყე დაშორებულია ბურთის ცენტრიდან 8 სმ. იპოვეთ რომბის ფართობი.

ვარიანტი 4

1. ცილინდრის გენერატრიქსის მეშვეობით გავლებულია ორი ერთმანეთის პერპენდიკულური მონაკვეთი, რომელთა ფართობები ტოლია 60 და 80 დმ. იპოვნეთ ღერძული მონაკვეთის ფართობი.

2. კონუსის ფუძის რადიუსი არის 12 სმ, ქმნის 40 სმ. გამოთვალეთ ამ კონუსის გადახრის კუთხე.

3. სამკუთხედის გვერდებია 10 დმ, 10 დმ და 12 დმ. იპოვეთ მანძილი სამკუთხედის სიბრტყიდან ბურთის ცენტრამდე სამკუთხედის გვერდებზე ტანგენსამდე. ბურთის რადიუსი 5 დმ.

დამოუკიდებელი სამუშაო 18

ვარიანტი 1

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალი 25%-ით მეტია მისი ფუძის დიამეტრზე. იპოვეთ ცილინდრის მთლიანი ფართობი, თუ მის ცენტრებს შორის მანძილი 15 სმ-ია.

2. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის განვითარება - კვადრატი გვერდითი 4 დმ. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

3. შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, კონუსის სიმაღლეა H, ქმნის l-ს. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირი.

4. კონუსის ფუძის რადიუსი არის 12 სმ, ქმნის 40 სმ. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარების კუთხე.

5. შეკვეცილი კონუსის გენერატორი 10 სმ, ფუძის სხვაობა 6 სმ, ღერძული მონაკვეთის ფართობი 112 სმ2. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირი.

6. პარალელოგრამი, რომლის გვერდებია 21 სმ და 89 სმ და დიაგონალი 100 სმ, ტრიალებს პატარა გვერდის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა.

7. მართკუთხა სამკუთხედი 16 და 12 სმ ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. იპოვნეთ ბრუნვის მოცულობა და ფართობი.

ვარიანტი 2

1. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი მისი მთლიანი ზედაპირის ნახევარია. იპოვეთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირი, თუ ღერძული მონაკვეთის დიაგონალი 10 დიუმია.

2. ცილინდრის მთლიანი ზედაპირია 500 p სმ2, მისი ფუძის დიამეტრი 20 სმ. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა.

3. დამსხვრეული კონუსის გენერაცია აღნიშნავს მის სიმაღლეს, როგორც 41:40. ფუძის რადიუსი არის 24 და 6 სმ. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირი.

4. კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარების კუთხე არის 120°. კონუსის გენერატრიქსია 15 სმ იპოვეთ კონუსის მთლიანი ზედაპირი.

5. იპოვნეთ შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე, თუ მისი გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძეთა ფართობების ჯამს, ხოლო ფუძეთა რადიუსი არის R და r.

6. ტოლფერდა ტრაპეცია 12 და 18 სმ ფუძით და 60 ° მწვავე კუთხით ბრუნავს პატარა ფუძის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი და მოცულობა.

7. სამკუთხედი, რომლის ორი გვერდი უდრის 5 სმ და 8 სმ, გააკეთეთ კუთხე 60 °, ბრუნავს ყველაზე დიდი მხარის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი და მოცულობა.

დამოუკიდებელი სამუშაო 19

ვარიანტი 1

1. მართკუთხა სამკუთხედი 16 და 12 სმ ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. იპოვნეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი.

2. სფერული სარტყლის ფუძეების რადიუსია 63 და 39 სმ, სიმაღლე 36 სმ იპოვეთ სფერული სარტყლის ზედაპირი.

3. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე თ. გვერდითი ნეკნები ერთმანეთის პერპენდიკულურია. იპოვეთ შემოხაზული სფეროს რადიუსი.

4. რეგულარულ სამკუთხა ჩამოჭრილ პირამიდაში სიმაღლეა 17 სმ, ფუძეების ირგვლივ აღწერილი წრეების რადიუსი 5 და 12 სმ. იპოვეთ შემოხაზული ბურთის რადიუსი.

5. კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია a-ს, ბრუნავს დიაგონალის პერპენდიკულარულად, მის ბოლოზე გავლებული. იპოვეთ მიღებული სხეულის ზედაპირი.

ვარიანტი 2

1. სამკუთხედი, რომლის ორი გვერდი არის 5 და 8 სმ, ქმნის კუთხეს 60 °, ბრუნავს ყველაზე დიდი მხარის გარშემო. იპოვნეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი.

2. სფერული სეგმენტის მთლიანი ზედაპირი უდრის S. განვსაზღვროთ სეგმენტის სიმაღლე, თუ ბურთის რადიუსი არის R.

3. პირამიდის ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი, რომლის გვერდი არის 3 დმ. ერთ-ერთი გვერდითი კიდე არის 2 დმ და ფუძის პერპენდიკულარულია. იპოვეთ შემოხაზული სფეროს რადიუსი.

4. რეგულარული ოთხკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდების გვერდები 7 და 1 დმ. გვერდითი კიდე ფუძისკენ არის დახრილი 45° კუთხით.იპოვეთ შემოხაზული სფეროს რადიუსი.

5. რეგულარული ექვსკუთხედი a გვერდით ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც გვერდის პარალელურია და მისგან აპოთემის სიგრძით არის დაშორებული. იპოვეთ მიღებული სხეულის ზედაპირი.

დამოუკიდებელი სამუშაო 20

ვარიანტი 1

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი კიდე b-ის ტოლია და ფუძის სიბრტყესთან ქმნის a კუთხეს. ტოლგვერდა ცილინდრი ჩაწერილია პირამიდაში ისე, რომ ფუძის სიბრტყე დევს პირამიდის ფუძის სიბრტყეში. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

2. პირამიდის ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი. ერთი გვერდითი კიდე საბაზისო სიბრტყის პერპენდიკულარულია და ტოლია l-ის, ხოლო დანარჩენი ორი ფუძის სიბრტყესთან ქმნის a კუთხეს. პირამიდაში ჩაწერილია სწორი პრიზმა, რომლის სამი წვერო დევს პირამიდის გვერდით კიდეებზე, დანარჩენი სამი კი პირამიდის ფუძეზე, პრიზმის გვერდითი სახის დიაგონალი ტოლია საბაზისო სიბრტყის Ð. ბ. იპოვეთ პრიზმის სიმაღლე.

3. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმაში გვერდითი სახის ფართობი უდრის q. იპოვეთ დიაგონალური მონაკვეთის ფართობი.

4. ბურთის დიამეტრზე პერპენდიკულარული სიბრტყე ყოფს მას 3 და 9 სმ ნაწილებად რა ნაწილებად იყოფა ბურთის მოცულობა?

ვარიანტი 2

1. კონუსის ღერძული მონაკვეთის ზედა კუთხე არის 2b. ფუძის გარშემოწერილობა არის გ. განსაზღვრეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

2. შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით 2:1 თანაფარდობით, დიდი ფუძიდან დათვლა. ფუძისკენ მიმართულ დიაგონალებს შორის კუთხე არის a. დიაგონალი არის l. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

3. მარჯვენა პარალელეპიპედის გვერდითი კიდე 5 სმ, ფუძის გვერდები 6 და 8 სმ, ფუძის ერთ-ერთი დიაგონალი 12 სმ. იპოვეთ პარალელეპიპედის დიაგონალები.

4. ბურთის მოცულობის რა ნაწილია ბურთის დიამეტრის 0,1 სიმაღლის სფერული სეგმენტის მოცულობა?

ვარიანტი 3

1. კონუსის გენერატრიქსი ტოლია l-ის და დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ a კუთხით. განსაზღვრეთ ჩაწერილი კუბის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

2. კონუსის ძირში ჩაწერილია კვადრატი, რომლის გვერდი არის ა. სიბრტყე, რომელიც გადის ამ კვადრატის ერთ-ერთ მხარეს და კონუსის წვეროზე, კონუსის ზედაპირთან გადაკვეთისას ქმნის ტოლფერდა სამკუთხედს, რომლის კუთხით წვეროზე a-ს ტოლია. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

3. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი 15 სმ, სიმაღლე კი 20 სმ იპოვეთ უმოკლესი მანძილი ფუძის გვერდიდან პრიზმის დიაგონალამდე, რომელიც არ კვეთს მას.

4. ორი თანაბარი ბურთი ისეა მოწყობილი, რომ ერთის ცენტრი მეორის ზედაპირზე დევს. როგორ არის დაკავშირებული ბურთების მთლიანი ნაწილის მოცულობა მთელი ბურთის მოცულობასთან?

ვარიანტი 4

1. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმა თანაბარი ნეკნებით ჩაწერილია კონუსში, რომლის გენერატორი დახრილია ფუძის სიბრტყეზე a კუთხით. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა, თუ კონუსის ფუძის რადიუსი არის R.

2. კონუსის მოცულობა არის V. კონუსში ჩაწერილია პირამიდა, რომლის ძირში დევს ტოლფერდა სამკუთხედი გვერდებს შორის a კუთხით. იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა.

3. მარჯვენა პარალელეპიპედში გვერდითი კიდე არის 1 მ, ფუძის გვერდები 23 დმ და 11 დმ, ფუძის დიაგონალები 2: 3. იპოვეთ დიაგონალური მონაკვეთების ფართობები.

4. a ფუძის მხარეს და b გვერდით კიდეს იპოვეთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირი.