კვანტურმა მექანიკამ შემოგვთავაზა რიმანის ჰიპოთეზის შესაძლო მტკიცებულება. რიმანის ჰიპოთეზა

მათემატიკოსმა ფიზიკოსებმა განაცხადეს პროგრესი 150 წლის წინანდელ თეორემაზე, რომლისთვისაც კლეის მათემატიკური ინსტიტუტი მილიონ დოლარს სთავაზობს. მეცნიერებმა წარმოადგინეს ოპერატორი, რომელიც აკმაყოფილებს ჰილბერტ-პოლიას ვარაუდს, რომელიც აცხადებს, რომ არსებობს დიფერენციალური ოპერატორი, რომლის საკუთრივ მნიშვნელობები ზუსტად შეესაბამება რიმანის ზეტა ფუნქციის არატრივიალურ ნულებს. სტატია გამოქვეყნდა ჟურნალში Physical Review Letters.

რიმანის ჰიპოთეზა არის ათასწლეულის ერთ-ერთი პრობლემა, რომლისთვისაც ამერიკული კლეის მათემატიკის ინსტიტუტი მილიონ დოლარს ანიჭებს პრიზს. ამ სიაში მოხვდა პუანკარეს ჰიპოთეზა (პუანკარე-პერელმანის თეორემა), რომელიც ჩვენმა თანამემამულემ დაამტკიცა. რიმანის ჰიპოთეზა, ჩამოყალიბებული 1859 წელს, ამბობს, რომ რიმანის ზეტა ფუნქციის ყველა არატრივიალური ნული (ანუ რთული მნიშვნელობის არგუმენტის მნიშვნელობები, რომელიც ქრება ფუნქციას) დევს წრფეზე ½ + ის, ანუ, მათი რეალური ნაწილი უდრის ½-ს. თავად ზეტა ფუნქცია ჩნდება მათემატიკის მრავალ ფილიალში, მაგალითად, რიცხვთა თეორიაში, ის დაკავშირებულია მოცემულზე ნაკლები მარტივი რიცხვების რიცხვთან.

ფუნქციის თეორია პროგნოზირებს, რომ ზეტა ფუნქციის არატრივიალური ნულების სიმრავლე მსგავსი უნდა იყოს სხვა ფუნქციის საკუთრივ მნიშვნელობების („გადაწყვეტილებები“ მატრიცული განტოლებისთვის) დიფერენციალური ოპერატორების კლასიდან, რომლებიც ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში. ასეთი თვისებების მქონე კონკრეტული ოპერატორის არსებობის იდეას ჰილბერტ-პოლიას ვარაუდი ჰქვია, თუმცა არცერთ მათგანს არ გამოუქვეყნებია ნაშრომები ამ თემაზე. „რადგან არ არსებობს „ავტორების“ პუბლიკაციები ამ თემაზე, ჰიპოთეზის ფორმულირება იცვლება ინტერპრეტაციის მიხედვით“, - განმარტავს სტატიის ერთ-ერთი ავტორი დორიე ბროდი ლონდონის ბრუნელის უნივერსიტეტიდან. - თუმცა, ორი წერტილი უნდა დაკმაყოფილდეს: ა) უნდა მოიძებნოს ოპერატორი, რომლის საკუთრივ მნიშვნელობები შეესაბამება zeta ფუნქციის არატრივიალურ ნულებს და ბ) დადგინდეს, რომ საკუთრივ მნიშვნელობები რეალური რიცხვებია. ჩვენი მუშაობის მთავარი მიზანი იყო პუნქტი ა). ბ) ნაწილის დასამტკიცებლად საჭიროა შემდგომი მუშაობა).

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ვარაუდი ამ სფეროში არის ბერისა და კიტინგის იდეა, რომ თუ სასურველი ოპერატორი არსებობს, ის თეორიულად შეესატყვისება გარკვეული თვისებების მქონე კვანტურ სისტემას. „ჩვენ დავადგინეთ კვანტიზაციის პირობები ბერი-კიტინგის ჰამილტონიანისთვის, რითაც დავამტკიცეთ მათი სახელის ვარაუდი“, დასძენს ბროდი. - შეიძლება გულდასაწყვეტი იყოს, მაგრამ მიღებული ჰამილტონიანი აშკარად არ შეესაბამება არცერთ ფიზიკურ სისტემას; ყოველ შემთხვევაში ასეთი შესატყვისი ვერ ვიპოვეთ“.

ყველაზე დიდი სირთულე არის საკუთარი მნიშვნელობების მართებულობის დადასტურება. ავტორები ამაზე ოპტიმისტურად არიან განწყობილნი, სტატია შეიცავს დამხმარე არგუმენტს, რომელიც დაფუძნებულია PT-სიმეტრიაზე. ნაწილაკების ფიზიკის ეს იდეა ნიშნავს, რომ თუ ყველა ოთხგანზომილებიანი სივრცე-დროის მიმართულება შებრუნებულია, სისტემა ერთნაირად გამოიყურება. ბუნება ზოგადად არ არის PT-სიმეტრიული, თუმცა, შედეგად ოპერატორს აქვს ეს თვისება. როგორც სტატიაშია ნაჩვენები, თუ დავამტკიცებთ ამ სიმეტრიის დარღვევას ოპერატორის წარმოსახვითი ნაწილისთვის, მაშინ ყველა საკუთრივ მნიშვნელობა იქნება რეალური, რითაც დასრულდება რიმანის ჰიპოთეზის დადასტურება.

რიმანის ჰიპოთეზა არის ათასწლეულის შვიდი პრობლემადან ერთ-ერთი, რომლის დასადასტურებლად კლეის მათემატიკის ინსტიტუტი, კემბრიჯი, მასაჩუსეტსი გადაიხდის $1 მილიონ პრიზს. გადაწყვეტილებები, რომლებიც გამოქვეყნდა ცნობილ მათემატიკურ ჟურნალში, მიიღება განსახილველად და გამოქვეყნებიდან არა უადრეს 2 წლისა (მათემატიკური საზოგადოების ყოვლისმომცველი განხილვისთვის) (http://www.claymath.org/millennium/).
მე მქონდა ჩემი საკუთარი იდეები და მიდგომები, როგორც ყოველთვის, ძალიან განსხვავდებოდა ცნობილისგან. მინდოდა მხატვრულად დამეწერა რიმანის ჰიპოთეზაზე. ჩემი გამოთვლებისა და მასალების შეგროვების პროცესში აღმოვაჩინე ჯონ დერბიშირის ლამაზად დაწერილი წიგნი: ჯონ დერბიშირი, მთავარი აკვიატება: ბერნჰარდ რიმანი და მათემატიკაში ყველაზე დიდი გადაუჭრელი პრობლემა. Astrel Publishing House, 2010 წ
ამ წიგნის წაკითხვის შემდეგ მხოლოდ ამ ლინკის მიცემა დამჭირდა.
„1859 წლის აგვისტოში ბერნჰარდ რიმანი გახდა ბერლინის მეცნიერებათა აკადემიის წევრ-კორესპონდენტი; ეს დიდი პატივი იყო ოცდათორმეტი წლის მათემატიკოსისთვის. ტრადიციის შესაბამისად, რიმანმა ამ შემთხვევაში აკადემიას წარუდგინა ნაშრომი კვლევის თემაზე, რომლითაც ის იმ დროს იყო დაკავებული. მას ეწოდა "უბრალო რიცხვების რაოდენობა, რომელიც არ აღემატება მოცემულ მნიშვნელობას". მასში რიმანმა გამოიკვლია მარტივი კითხვა ჩვეულებრივი არითმეტიკის სფეროდან. ამ კითხვის გასაგებად, ჯერ გავარკვიოთ, რამდენი მარტივი რიცხვია, რომელიც არ აღემატება 20-ს. არის რვა მათგანი: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 და 19. და რამდენი მარტივი რიცხვია. ათასს არ აღემატება? მილიონი? მილიარდი? არსებობს თუ არა ზოგადი კანონი ან ზოგადი ფორმულა, რომელიც დაგვიხსნის პირდაპირი გადაანგარიშებისგან?
რიმანმა მოაგვარა ეს პრობლემა თავისი დროის ყველაზე მოწინავე მათემატიკური აპარატის გამოყენებით, ინსტრუმენტები, რომლებიც დღესაც მხოლოდ კოლეჯის მოწინავე კურსებზე ისწავლება; გარდა ამისა, საკუთარი საჭიროებისთვის მან გამოიგონა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც ერთდროულად აერთიანებს ძალასა და ელეგანტურობას. თავისი სტატიის პირველი მესამედის ბოლოს ის აკეთებს ვარაუდს ამ ობიექტზე და შემდეგ აღნიშნავს:
„სასურველი იქნებოდა, რა თქმა უნდა, ამ ფაქტის მკაცრი მტკიცებულება მქონოდა, მაგრამ რამდენიმე ხანმოკლე უშედეგო მცდელობის შემდეგ, გადავდე ასეთი მტკიცებულების ძებნა, რადგან ეს არ არის საჭირო ჩემი კვლევის უშუალო მიზნებისთვის.
ეს შემთხვევითი სპეკულაცია ძირითადად შეუმჩნეველი დარჩა ათწლეულების განმავლობაში. მაგრამ შემდეგ, იმ მიზეზების გამო, რისი აღწერაც დავიწყე ამ წიგნში, მან თანდათან დაიპყრო მათემატიკოსების ფანტაზია, სანამ არ მიაღწია აკვიატებულობის, დაუძლეველი აკვიატებულობის სტატუსს.
რიმანის ჰიპოთეზა, როგორც ამ ვარაუდს უწოდეს, აკვიატებულად რჩებოდა მე-20 საუკუნის განმავლობაში და ასე რჩება დღემდე, რაც ასახავს მის დამტკიცების ან უარყოფის ყოველ მცდელობას. რიმანის ჰიპოთეზისადმი ეს შეპყრობა უფრო ძლიერი გახდა, ვიდრე ოდესმე ბოლო წლებისხვა დიდი პრობლემები, რომლებიც დიდი ხნის განმავლობაში ღია დარჩა, წარმატებით გადაწყდა: ოთხი ფერის თეორემა (ფორმულირებული 1852 წელს, გადაჭრილი 1976 წელს), ფერმას ბოლო თეორემა (ფორმულირებული, როგორც ჩანს, 1637 წელს, დადასტურდა 1994 წელს), ისევე როგორც მრავალი სხვა. ნაკლებად ცნობილია პროფესიონალი მათემატიკოსების სამყაროს გარეთ. რიმანის ჰიპოთეზამ მიიპყრო მათემატიკოსების ყურადღება მთელი მე-20 საუკუნის განმავლობაში. აი, რა თქვა დევიდ ჰილბერტმა, თავისი დროის ერთ-ერთმა გამოჩენილმა მათემატიკურმა გონებამ, მათემატიკოსთა მეორე საერთაშორისო კონგრესზე სიტყვით გამოსვლისას: „ამ ბოლო დროს მნიშვნელოვანი წინსვლა იქნა მიღწეული მარტივი რიცხვების განაწილების თეორიაში ჰადამარ დე ლა ვალეს მიერ. პუსენი, ფონ მანგოლდტი და სხვები. მაგრამ რიმანის კვლევაში „პრობლემების რაოდენობის შესახებ, რომელიც არ აღემატება მოცემულ მნიშვნელობას“ დასმული პრობლემის სრული გადაწყვეტისთვის, პირველ რიგში აუცილებელია რიმანის უაღრესად მნიშვნელოვანი მტკიცების მართებულობის დადასტურება.<...>».
შემდგომ ჰილბერტი იძლევა რიმანის ჰიპოთეზის ფორმულირებას. და აი, რა თქვა ასი წლის შემდეგ ფილიპ ა. გრიფიტსმა, პრინსტონის გაფართოებული კვლევების ინსტიტუტის დირექტორმა და ჰარვარდის უნივერსიტეტის მათემატიკის ყოფილმა პროფესორმა. თავის სტატიაში სათაურით "გამოწვევა 21-ე საუკუნის მკვლევარებისთვის" 2000 წლის იანვრის ნომერში ამერიკის მათემატიკური საზოგადოების ჟურნალში, ის წერს:
„მიუხედავად მე-20 საუკუნის კოლოსალური მიღწევებისა, ათობით გამოჩენილი პრობლემა ჯერ კიდევ ელის მათ გადაწყვეტას. ალბათ უმეტესობა დაგვეთანხმება, რომ შემდეგი სამი პრობლემა ყველაზე რთული და საინტერესოა.
მათგან პირველი არის რიმანის ჰიპოთეზა, რომელიც მათემატიკოსებს 150 წლის განმავლობაში აწუხებდა.<...>».
მე-20 საუკუნის ბოლო წლებში შეერთებულ შტატებში საინტერესო მოვლენა იყო მათემატიკის მდიდარი ენთუზიასტების მიერ დაფინანსებული კერძო მათემატიკური კვლევითი ინსტიტუტების გაჩენა. როგორც კლეის მათემატიკურმა ინსტიტუტმა (დაარსებული 1998 წელს ბოსტონის ფინანსისტის ლენდონ ტ. კლეის მიერ), ასევე ამერიკის მათემატიკური ინსტიტუტმა (დაარსდა 1994 წელს კალიფორნიელი მეწარმის ჯონ ფრაის მიერ) თავიანთი კვლევების ფოკუსირება მოახდინეს რიმანის ჰიპოთეზაზე. კლეის ინსტიტუტმა დააწესა მილიონი დოლარის პრიზი ამის დასამტკიცებლად ან უარყოფისთვის. ამერიკის მათემატიკურმა ინსტიტუტმა განიხილა ჰიპოთეზა სამ სრულმასშტაბიან კონფერენციაზე (1996, 1998 და 2000 წლებში), რომლებმაც შეკრიბეს მკვლევარები მთელი მსოფლიოდან. დაამარცხებს თუ არა ეს ახალი მიდგომები და ინიციატივები რიმანის ჰიპოთეზას, გასარკვევია.
ოთხი ფერის თეორემისგან ან ფერმას ბოლო თეორემისგან განსხვავებით, რიმანის ჰიპოთეზა ადვილი არ არის ჩამოყალიბებული ისე, რომ გასაგები გახდეს არამათემატიკოსისთვის, რადგან ეს არის ერთი რთულად გასაგები მათემატიკური თეორიის არსი. აი, როგორ ჟღერს:
რიმანის ჰიპოთეზა.
ზეტა ფუნქციის ყველა არატრივიალური ნული
აქვს ერთი წამის ტოლი რეალური ნაწილი.
როდესაც რიმანის ჰიპოთეზის ირგვლივ შექმნილ ნაშრომებს შეხვალთ, მისტიური იდეა ჩნდება არა მხოლოდ იდეებისა და აზროვნების ევოლუციაზე, არა მხოლოდ მათემატიკის განვითარების კანონებზე, არა მხოლოდ გაშლის გეგმის სტრუქტურაზე. სამყაროს შესახებ, არამედ პირველყოფილი ცოდნის, აბსოლუტური ჭეშმარიტების, ლოგოსების, როგორც ერთის პროგრამის შესახებ.
მათემატიკური აბსტრაქცია მართავს სამყაროს, აკონტროლებს ელემენტარული ნაწილაკების ქცევას, მაღალი ენერგიები, მათემატიკური ოპერატორები წარმოქმნიან და ანადგურებენ ყველაფერს. მატერიალური დომინირების, მატერიალური თაყვანისცემის, მატერიალური თაყვანისცემის შემდეგ, მსოფლიო სულის ძალამ კვლავ დაიწყო გამოვლინება მათემატიკური აბსტრაქციების სახით, პითაგორეანიზმი, პლატონიზმი გახდა თანამედროვე მეცნიერების მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო.
ბავშვობიდან ვპოულობდი შეცდომებს დიდი მათემატიკოსების ნაშრომებში. არა შურის ან ბოროტების გამო, უბრალოდ მაინტერესებს, შემიძლია თუ არა გავუსწრო პითაგორას, დიოფანტს, ევკლიდეს, ფერმატს, მერსენს, დეკარტს, გაუს, ეილერს, ლეჟანდრს, რიმანს, დირიხლეს, დედეკინდს, კლეინს, პუანკარეს. და უცნაურად საკმარისი, მან გააკეთა. ჩამოაყალიბა ახალი ამოცანები, დაამტკიცა ახალი თეორემები. მაგრამ აღმოჩნდა, რომ მათემატიკური სამყარო მოწყობილია, მიუხედავად სიზუსტისა და მტკიცებულებების მოთხოვნებისა, რატომღაც ბიუროკრატიულად. აღმოჩნდა, რომ თქვენს მტკიცებულებებს უბრალოდ არ სჯერათ. ლოგიკის და ობიექტურობის საწინააღმდეგოდ. და მათ სჯერათ პრესის, რადიოს და ტელევიზიის ზღაპრების. ამავდროულად, მედია იმდენად ამახინჯებს ფაქტობრივ მდგომარეობას, რომ გაკვირვებული ხარ იმის გარკვევით, თუ როგორ შეცვალეს შენი ფრაზები. ამიტომ დავიწყე ინტერვიუებისგან თავის არიდება.
მინდა აღვნიშნო მრავალი შეცდომის არსებობა ჰიპოთეზისა და რიმანის ზეტა ფუნქციის გარშემო, ასევე ჰიპოთეზის დამტკიცების ან უარყოფის მცდელობებში. რიმანი დიდ მნიშვნელობას არ ანიჭებდა ზეტა ფუნქციის ნულების პოვნას. მაგრამ "გამოჩენილი" მიმდევრების გუნდმა გაზარდა ჰიპოთეზის მნიშვნელობა რწმენის მიღმა. მე ვაჩვენებ თუნდაც ელემენტარულ გამოთვლებს, რომ ჰიპოთეზა მცდარია, რომ არსებობს სხვა გადაწყვეტილებები. ჯერ ერთი, ზეტა ფუნქციას არ აქვს ის სიმეტრია, რაზეც საუბარია - სრულიად განსხვავებულ ფუნქციას აქვს ამონახსნების სიმეტრია. მეორეც, თუ არ ხართ ზარმაცი და იცით, როგორ გამოთვალოთ განტოლებების ფესვები რთული ცვლადების მქონე ფუნქციებისთვის, ხედავთ, რომ სიტუაცია სინამდვილეში გარკვეულწილად განსხვავებულია. გსურთ დარწმუნდეთ? ყურადღებით წაიკითხეთ ფორმულები მიმაგრებულ ფიგურაში. უფრო ამომწურავი მაგალითები და გამოთვლები შეგიძლიათ იხილოთ ჩანაწერში "რიმანის ჰიპოთეზის უარყოფის ფორმულები" შეგიძლიათ დაამატოთ თქვენი განზოგადებები (განსაკუთრებით თავად ფუნქცია) და შესაბამისი გამოთვლები. "და ზარდახშა ახლახან გაიხსნა!"
Წარმატებას გისურვებ!

მინდოდა უფრო დეტალურად მესაუბრა ანრი პუანკარეს ახლახან დადასტურებულ ვარაუდზე, მაგრამ შემდეგ გადავწყვიტე "პრობლემის გაფართოება" და "ყველაფერზე" მოკლედ მეთქვა. ასე რომ, 2000 წელს ბოსტონში კლეის მათემატიკის ინსტიტუტმა გამოავლინა "შვიდი ათასწლეულის პრობლემა" და დააჯილდოვა მილიონი დოლარი პრიზი თითოეული მათგანის გადასაჭრელად. აი ისინი:

1. პუანკარეს ვარაუდი
2. რიმანის ჰიპოთეზა
3. ნავიე-სტოკსის განტოლება
4. კუკის ჰიპოთეზა
5. ჰოჯის ჰიპოთეზა
6. იანგ-მილისის თეორია
7. ბირჩ-სვინერტონ-დაიერის ჰიპოთეზა

პუანკარეს ვარაუდზე შემდეგ ჯერზე ვისაუბრებთ, ახლა ზოგადად სხვა პრობლემებზე ვისაუბრებთ

რიმანის ჰიპოთეზა (1859)

ყველამ იცის, რა არის მარტივი რიცხვები - ეს არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე. იმათ. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 და ა.შ. მაგრამ საინტერესოა, რომ ჯერჯერობით შეუძლებელი აღმოჩნდა მათი განლაგების რაიმე კანონზომიერების იდენტიფიცირება.
ასე რომ, ითვლება, რომ x მთელი რიცხვის სამეზობლოში, საშუალო მანძილი თანმიმდევრულ მარტივ რიცხვებს შორის პროპორციულია x-ის ლოგარითმისა. თუმცა, ეგრეთ წოდებული დაწყვილებული მარტივი რიცხვები დიდი ხანია ცნობილია (ტყუპები, რომელთა შორის განსხვავებაა 2, მაგალითად 11 და 13, 29 და 31, 59 და 61. ზოგჯერ ისინი ქმნიან მთელ მტევნებს, მაგალითად 101, 103, 107. , 109 და 113. თუ ასეთი აკუმულაციები ასევე აღმოჩნდება ძალიან დიდი პრიმების რეგიონში, მაშინ ამჟამად გამოყენებული კრიპტოგრაფიული გასაღებების სიძლიერე შეიძლება მოულოდნელად გახდეს ძალიან დიდი კითხვა.
რიმანმა შემოგვთავაზა საკუთარი ვერსია, მოსახერხებელი დიდი მარტივი რიცხვების იდენტიფიცირებისთვის. მისი თქმით, მარტივი რიცხვების განაწილების ბუნება შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს იმისგან, რაც ამჟამად ვარაუდობენ. რიმანმა აღმოაჩინა, რომ P(x) რიცხვი, რომელიც არ აღემატება x-ს, გამოიხატება რიმანის ზეტა ფუნქციის Z(s) არატრივიალური ნულების განაწილებით. რიმანმა გამოთქვა ვარაუდი, რომელიც აქამდე არ არის დადასტურებული ან უარყოფილი, რომ ზეტა ფუნქციის ყველა არატრივიალური ნული დევს სწორ ხაზზე R(z) = (1/2). (ბოდიში, მაგრამ არ ვიცი როგორ შევცვალო კოდირება ბერძნული ასოების ჩვენებაზე).
ზოგადად, რიმანის ჰიპოთეზის დამტკიცებით (თუ ეს შესაძლებელია) და შესაბამისი ალგორითმის არჩევით, შესაძლებელი იქნება მრავალი პაროლისა და საიდუმლო კოდის გატეხვა.

ნავიე-სტოკსის განტოლება. (1830)

არაწრფივი დიფუზი, რომელიც აღწერს სითხეებისა და ჰაერის ნაკადების თერმულ კონვექციას. ეს არის ერთ-ერთი მთავარი განტოლება მეტეოროლოგიაში.

p - წნევა
F - გარე ძალა
r (ro) - სიმკვრივე
n (nu) - სიბლანტე
v არის რთული სიჩქარე

ალბათ, მისი ზუსტი ანალიტიკური ამოხსნა საინტერესოა წმინდა მათემატიკური თვალსაზრისით, მაგრამ ამოხსნის სავარაუდო მეთოდები დიდი ხანია არსებობს. ჩვეულებისამებრ, ასეთ შემთხვევებში, არაწრფივი დიფუზი იყოფა რამდენიმე წრფივად, სხვა საქმეა, რომ ხაზოვანი დიფურების სისტემის ამოხსნა უჩვეულოდ მგრძნობიარე აღმოჩნდა საწყისი პირობების მიმართ. ეს ცხადი გახდა, როდესაც კომპიუტერების დანერგვით შესაძლებელი გახდა დიდი რაოდენობით მონაცემების დამუშავება. ასე რომ, 1963 წელს, მასაჩუსეტსის ტექნოლოგიური ინსტიტუტის ამერიკელმა მეტეოროლოგმა, ედვარდ ლორენცმა დაუსვა საკუთარ თავს კითხვა: რატომ არ მოჰყვა კომპიუტერების სწრაფ გაუმჯობესებას მეტეოროლოგების ოცნების რეალიზება - სანდო საშუალოვადიანი (2-3 კვირა). წინ) ამინდის პროგნოზი? ედვარდ ლორენცმა შემოგვთავაზა უმარტივესი მოდელი, რომელიც შედგება სამი ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისგან, რომელიც აღწერს ჰაერის კონვექციას, გამოთვალა იგი კომპიუტერზე და მიიღო საოცარი შედეგი. ეს შედეგი - დინამიური ქაოსი - არის რთული არაპერიოდული მოძრაობა, რომელსაც აქვს სასრული პროგნოზირების ჰორიზონტი, დეტერმინისტულ სისტემებში (ანუ ისეთებში, სადაც მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული წარსულით). ამრიგად, უცნაური მიმზიდველი აღმოაჩინეს. ამ და სხვა მსგავსი სისტემების ქცევის არაპროგნოზირებადობის მიზეზი არ არის ის, რომ მათემატიკური თეორემა მოცემულ საწყის პირობებში ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ არ არის ჭეშმარიტი, არამედ სწორედ ამ საწყისი პირობების ამოხსნის არაჩვეულებრივი მგრძნობელობით. მსგავსი საწყისი პირობები საბოლოოდ იწვევს სისტემის სრულიად განსხვავებულ საბოლოო მდგომარეობას. უფრო მეტიც, განსხვავება ხშირად ექსპონენტურად იზრდება დროთა განმავლობაში, ანუ ძალიან სწრაფად.

კუკის ჰიპოთეზა (1971)

რამდენად სწრაფად შეგიძლიათ შეამოწმოთ კონკრეტული პასუხი - ეს არის ლოგიკისა და კომპიუტერული გამოთვლების გადაუჭრელი პრობლემა! იგი სტივენ კუკმა ჩამოაყალიბა შემდეგნაირად: „შეიძლება თუ არა პრობლემის გადაწყვეტის სისწორის დადასტურება იყოს უფრო გრძელი ვიდრე გადაწყვეტის თავად მიღება, გადამოწმების ალგორითმის მიუხედავად?“. ამ პრობლემის გადაჭრამ შეიძლება მოახდინოს რევოლუცია კრიპტოგრაფიის საფუძვლებში, რომლებიც გამოიყენება მონაცემთა გადაცემასა და შენახვაში და წინ მიიწევს ეგრეთ წოდებული ალგორითმის განვითარებაში. "კვანტური კომპიუტერები", რომლებიც კვლავ დაეხმარება ალგორითმის დაჩქარებას კოდების ჩამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად (მაგალითად, პაროლების იგივე გატეხვა).
მოდით იყოს მოცემული 10000 ცვლადის ფუნქცია: f (x 1 ... x 10000), სიმარტივისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ცვლადებს შეუძლიათ მიიღონ მნიშვნელობები 0 ან 1, ფუნქციის შედეგი ასევე არის 0 ან 1. არსებობს ალგორითმი, რომელიც ითვლის ამ ფუნქციას არგუმენტების ნებისმიერი მოცემული ნაკრებისთვის საკმაოდ მოკლე დროში (ვთქვათ t=0,1 წმ).
საჭიროა იმის გარკვევა, არის თუ არა არგუმენტების ნაკრები, რომლებზეც ფუნქციის მნიშვნელობა 1-ის ტოლია. ამავდროულად, არგუმენტების სიმრავლე, რომლებზეც ფუნქცია უდრის 1-ს, არ გვაინტერესებს. ჩვენ უბრალოდ უნდა ვიცოდეთ, არსებობს თუ არა. რა შეგვიძლია გავაკეთოთ? უმარტივესი რამ არის აიღოთ და სულელურად დაალაგოთ მთელი თანმიმდევრობა 1-დან 10000-მდე ყველა კომბინაციით, ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა სხვადასხვა კომპლექტებზე. ყველაზე არახელსაყრელ შემთხვევაში ამაზე დავხარჯავთ 2 ტნ ან 2 1000 წამს, რაც მრავალჯერ აღემატება სამყაროს ასაკს.
მაგრამ თუ ჩვენ ვიცით f ფუნქციის ბუნება, მაშინ
შესაძლებელია ნუმერაციის შემცირება არგუმენტების კომპლექტების გაუქმებით, რომლებზეც ფუნქცია ცნობილია როგორც 0. ბევრი რეალური პრობლემისთვის ეს საშუალებას მისცემს მათ გადაჭრას მისაღებ დროში. ამავდროულად, არის პრობლემები (ე.წ. NP-სრული ამოცანები), რომლებისთვისაც, თუნდაც ჩამოთვლის შემცირების შემდეგ, გადაჭრის მთლიანი დრო მიუღებელი რჩება.

ახლა რაც შეეხება ფიზიკურ მხარეს. ცნობილია, რომ კვანტური
შეიძლება იყოს 0 ან 1 მდგომარეობაში გარკვეული ალბათობით. და საინტერესოა, რომ შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელ შტატშია:

A: 0 ალბათობით 1
B: 1 ალბათობით 1
C: 0 ალბათობით p, 1 ალბათობით 1-p

კვანტურ კომპიუტერზე გამოთვლის არსი არის 1000 კვანტის აღება C მდგომარეობაში და მათი გამოყენება f ფუნქციის შეყვანაში. თუ გამოსავალზე მიიღება კვანტი A მდგომარეობაში, ეს ნიშნავს, რომ f=0 ყველა შესაძლო სიმრავლეზე. კარგად, თუ გამოსავალზე კვანტური მიიღება მდგომარეობაში
B ან C, ეს ნიშნავს, რომ არის სიმრავლე, რომელზეც f=1.
ცხადია. რომ „კვანტური კომპიუტერი“ საგრძნობლად დააჩქარებს მონაცემთა ჩამოთვლასთან დაკავშირებულ ამოცანებს, მაგრამ არაეფექტური იქნება მონაცემების ჩაწერის ან წაკითხვის დაჩქარების თვალსაზრისით.

იანგ-მილსის თეორია

ეს, ალბათ, ერთადერთია იმ შვიდი საკითხიდან, რომელსაც ნამდვილად ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს. მისი გადაწყვეტა მნიშვნელოვნად შეუწყობს ხელს „ერთიანი ველის თეორიის“ შექმნას, ე.ი. ოთხი ცნობილი ტიპის ურთიერთქმედების განმსაზღვრელი ურთიერთობის განსაზღვრა

1. გრავიტაცია
2. ელექტრომაგნიტური
3. ძლიერი
4. სუსტი

1954 წელს იანგ ჟენნინგმა (ყვითელი ფესვების რასის წარმომადგენელმა) და რობერტ მილსმა შემოგვთავაზეს თეორია, რომლის მიხედვითაც ელექტრომაგნიტური და სუსტი ძალები გაერთიანებულია (გლაშოუ, ვაინბერგი, სალამ - ნობ. პრიზი 1979 წ.). უფრო მეტიც, ის კვლავ ემსახურება ველის კვანტური თეორიის საფუძველს. მაგრამ აქ მათემატიკური აპარატი უკვე დაიწყო მარცხი. ფაქტია, რომ „კვანტური ნაწილაკები“ სრულიად განსხვავებულად იქცევიან ნიუტონის ფიზიკაში „დიდი სხეულებისგან“. და მიუხედავად იმისა, რომ არსებობს საერთო წერტილები, მაგალითად, დამუხტული ნაწილაკი ქმნის ელექტრომაგნიტურ ველს, ხოლო არანულოვანი მასის მქონე ნაწილაკი ქმნის გრავიტაციულ ველს; ან, მაგალითად, ნაწილაკი უდრის ველების მთლიანობას, რომელსაც ის ქმნის, რადგან ნებისმიერი ურთიერთქმედება სხვა ნაწილაკებთან ამ ველების მეშვეობით ხორციელდება; ფიზიკის თვალსაზრისით, ნაწილაკების მიერ წარმოქმნილი ველების განხილვა იგივეა, რაც თავად ნაწილაკის განხილვა.
მაგრამ ეს ასე ვთქვათ "პირველი მიახლოებით".
კვანტური მიდგომით, ერთი და იგივე ნაწილაკი შეიძლება აღიწეროს ორი განსხვავებული გზით: როგორც ნაწილაკი გარკვეული მასით და როგორც ტალღა გარკვეული სიგრძით. ერთი ნაწილაკი-ტალღა აღწერილია არა მისი პოზიციით სივრცეში, არამედ ტალღის ფუნქციით (ჩვეულებრივ აღნიშნავენ, როგორც Y), ხოლო მისი მდებარეობა ალბათური ხასიათისაა - ნაწილაკის პოვნის ალბათობა მოცემულ x წერტილში მოცემულ დროს t. არის Y = P(x,t)^2. უჩვეულო არაფერი ჩანდა, მაგრამ მიკრონაწილაკების დონეზე წარმოიქმნება შემდეგი „უსიამოვნო“ ეფექტი - თუ ნაწილაკზე ერთდროულად მოქმედებს რამდენიმე ველი, მათი კომბინირებული ეფექტი აღარ შეიძლება დაიშალოს თითოეული მათგანის მოქმედებად ცალკე, კლასიკურად. სუპერპოზიციის პრინციპი არ მუშაობს. ეს იმიტომ ხდება, რომ ამ თეორიაში არა მხოლოდ მატერიის ნაწილაკები იზიდავს ერთმანეთს, არამედ თავად ველის ხაზებიც. ამის გამო განტოლებები ხდება არაწრფივი და მათზე ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მათემატიკური ტექნიკის მთელი არსენალი ვერ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნა და მათი არსებობის მტკიცებაც კი შეუდარებლად რთულ ამოცანად იქცევა.
ამიტომ მისი გადაჭრა „შუბლზე“ ალბათ შეუძლებელია, ყოველ შემთხვევაში თეორეტიკოსებმა სხვა გზა აირჩიეს. ამრიგად, იანგისა და მილსის დასკვნებზე დაყრდნობით, მიურეი გელ-მანმა ააგო ძლიერი ურთიერთქმედების თეორია (Nob. Prize).
თეორიის მთავარი „ხრიკი“ არის ნაწილაკების შეყვანა წილადი ელექტრული მუხტით – კვარკები.

მაგრამ ელექტრომაგნიტური, ძლიერი და სუსტი ურთიერთქმედების მათემატიკურად „მიმაგრების“ ერთმანეთზე სამი პირობის დაკმაყოფილება უნდა მოხდეს:

1. "ნაპრალის" არსებობა მასის სპექტრში, ინგლისურად - mass gap
2. კვარკების შეზღუდვა: კვარკები ჩარჩენილია ჰადრონებში და ფუნდამენტურად არ შეიძლება მათი მიღება თავისუფალი ფორმით
3. სიმეტრიის დარღვევა

ექსპერიმენტებმა აჩვენა, რომ ეს პირობები დაკმაყოფილებულია რეალურ ცხოვრებაში, მაგრამ არ არსებობს მკაცრი მათემატიკური მტკიცებულება. იმათ. ფაქტობრივად, აუცილებელია Y-M თეორიის ადაპტაცია 4 განზომილებიან სივრცეში სამი მითითებული თვისებით. ჩემთვის ეს ამოცანა მილიონზე მეტს იზიდავს. და მიუხედავად იმისა, რომ არც ერთ ღირსეულ ფიზიკოსს არ ეპარება ეჭვი კვარკების არსებობაში, ისინი ექსპერიმენტულად არ იქნა ნაპოვნი. ვარაუდობენ, რომ 10 -30 სკალაზე იკარგება რაიმე სხვაობა ელექტრომაგნიტურ, ძლიერ და სუსტ ურთიერთქმედებებს შორის (ე.წ. "დიდი გაერთიანება"), სხვა საქმეა, რომ ასეთი ექსპერიმენტებისთვის საჭირო ენერგია (10 16 გევ-ზე მეტი). ) ამაჩქარებლებზე ვერ მოიპოვება. მაგრამ არ ინერვიულოთ - დიდი გაერთიანების გამოცდა მომდევნო რამდენიმე წლის საქმეა, თუ, რა თქმა უნდა, რაიმე გადაჭარბებული პრობლემა არ დაეცემა კაცობრიობას. ფიზიკოსებმა უკვე შეიმუშავეს სატესტო ექსპერიმენტი, რომელიც დაკავშირებულია პროტონის არასტაბილურობასთან (J-M თეორიის შედეგი). მაგრამ ეს თემა ჩვენი გზავნილის ფარგლებს სცილდება.

კარგად, გავიხსენოთ, რომ ეს ყველაფერი არ არის. რჩება ბოლო ბასტიონი - გრავიტაცია. ჩვენ ნამდვილად არაფერი ვიცით ამის შესახებ, გარდა იმისა, რომ "ყველაფერი იზიდავს" და "სივრცე-დრო დახრილია". გასაგებია, რომ მსოფლიოში ყველა ძალა დაყვანილია ერთ ზესახელმწიფოებამდე ან, როგორც ამბობენ, „სუპერუნიფიკაციამდე“. მაგრამ რა არის სუპერგაერთიანების პრინციპი? ალიკ აინშტაინი თვლიდა, რომ ეს პრინციპი არის გეომეტრიული, ისევე როგორც ფარდობითობის ზოგადი პრინციპი. შეიძლება იყოს. იმათ. ფიზიკა ყველაზე ელემენტარულ დონეზე მხოლოდ გეომეტრიაა.

ბირჩისა და სვინერტონ-დაიერის ჰიპოთეზა

გახსოვთ ფერმას დიდი თეორემა, რომელიც, სავარაუდოდ, ზოგიერთმა ინგლისელმა დაამტკიცა 1994 წელს? 350 წელი დასჭირდა! ასე რომ, ახლა პრობლემა გაგრძელდა - თქვენ უნდა აღწეროთ ყველა გამოსავალი მთელი რიცხვებით
x, y, z ალგებრული განტოლებები, ანუ განტოლებები რამდენიმე ცვლადში
მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ალგებრული განტოლების მაგალითია განტოლება
x 2 + y 2 \u003d z 2. ევკლიდემ სრული აღწერა მისცა
ამ განტოლების ამონახსნები, მაგრამ უფრო რთული განტოლებისთვის, ამონახსნის მიღება
ხდება უკიდურესად რთული (მაგალითად, მთელი რიცხვების არარსებობის დადასტურება
x n + y n = z n განტოლების ამონახსნები).
ბირჩმა და სვინერტონ-დაიერმა ვარაუდობენ, რომ ამონახსნების რაოდენობა განისაზღვრება ზეტა ფუნქციის ζ(s) მნიშვნელობით, რომელიც დაკავშირებულია განტოლებასთან 1 წერტილში: თუ ზეტა ფუნქციის ζ(s) მნიშვნელობა 1 წერტილში არის 0, მაშინ არის ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა და პირიქით, თუ 0-ის ტოლი არა, მაშინ ასეთი ამონახსნების მხოლოდ სასრული რაოდენობაა. აქ პრობლემას, სხვათა შორის, აქვს რაღაც საერთო რიმანის ჰიპოთეზასთან, მხოლოდ იქ იყო შესწავლილი ზეტა ფუნქციის ζ(s) არატრივიალური ნულების განაწილება.

ჰოჯის ჰიპოთეზა
ალბათ ყველაზე აბსტრაქტული თემაა.
როგორც ცნობილია, რთული გეომეტრიული ობიექტების თვისებების აღსაწერად მათი თვისებები მიახლოებულია. მაგალითად, ბურთი (თუმცა ის საკმაოდ მარტივია) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ზედაპირი, რომელიც შედგება პატარა კვადრატებისგან. მაგრამ თუ არსებობს უფრო რთული ზედაპირები, მაშინ ჩნდება კითხვა, რამდენად შეგვიძლია მივახლოვოთ მოცემული ობიექტის ფორმა მზარდი განზომილების მარტივი სხეულების ერთმანეთთან შეკვრით? ეს მეთოდი ეფექტური აღმოჩნდა მათემატიკაში არსებული სხვადასხვა ობიექტების აღწერისას, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში საჭირო იყო ნაწილების დამატება, რომლებსაც არ ჰქონდათ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.
გადავხედე გელფანდ-მანინის აბსტრაქტულ წიგნს ამ თემაზე, იგი აღწერს ჰოჯის თეორიას გლუვი არაკომპაქტური წარმონაქმნებისთვის, მაგრამ სიმართლე რომ გითხრათ, ცოტას გავიგე, ზოგადად ანალიტიკური გეომეტრია ნამდვილად არ მესმის. აქ საქმე იმაშია, რომ ინტეგრალები ზოგიერთ ციკლზე შეიძლება გამოითვალოს ნარჩენების მეშვეობით და თანამედროვე კომპიუტერები ამაში კარგია.
თავად ჰოჯის ვარაუდი არის ის, რომ ზოგიერთი ტიპის სივრცეებისთვის, რომლებსაც პროექციული ალგებრული ჯიშები ეწოდება, ე.წ. ჰოჯის ციკლები არის ობიექტების კომბინაციები, რომლებსაც აქვთ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია - ალგებრული ციკლები.

15-ხაზიანი გამოსავალი წარმოადგინა ცნობილმა ბრიტანელმა მეცნიერმა სერ მაიკლ ფრენსის ატიამ ( მაიკლ ფრენსის ატია), პრესტიჟული მათემატიკური ჯილდოს მფლობელი. ძირითადად მუშაობს მათემატიკური ფიზიკის დარგში. მეცნიერებაიუწყება, რომ ატიამ თავის აღმოჩენაზე ისაუბრა კონფერენციაზე ჰაიდელბერგის ლაურეატების ფორუმიორშაბათს ჰაიდელბერგის უნივერსიტეტში.

რიმანის ჰიპოთეზა ჩამოაყალიბა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, ბერნჰარდ რიმანმა 1859 წელს. მათემატიკოსმა შემოიტანა ზეტა ფუნქციის კონცეფცია - ფუნქცია რთული ცვლადისთვის - და გამოიყენა იგი მარტივი რიცხვების განაწილების აღსაწერად. მარტივი რიცხვების თავდაპირველი პრობლემა ის იყო, რომ ისინი უბრალოდ განაწილებულია ნატურალური რიცხვების სერიაზე ყოველგვარი აშკარა ნიმუშის გარეშე. რიმანმა შესთავაზა თავისი განაწილების ფუნქცია მარტივი რიცხვებისთვის, რომლებიც არ აღემატება x-ს, მაგრამ მან ვერ ახსნა, თუ რატომ წარმოიქმნება ეს დამოკიდებულება. მეცნიერები ამ პრობლემის გადაჭრას თითქმის 150 წელია იბრძვიან.

რიმანის ჰიპოთეზა შეტანილია ""-ის სიაში (ათასწლეულის პრიზის პრობლემები), რომელთაგან თითოეულის გადაწყვეტისთვის მილიონი დოლარის ჯილდოა გადასახდელი. ამ პრობლემებიდან მხოლოდ ერთი მოგვარებულია - პუანკარის ვარაუდი. მისი ამოხსნა შემოგვთავაზა რუსმა მათემატიკოსმა ჯერ კიდევ 2002 წელს თავის ნაშრომების სერიაში. 2010 წელს მეცნიერს მიენიჭა პრიზი, მაგრამ მან უარი თქვა.

მაიკლ ატია ირწმუნება, რომ მან ახსნა რიმანის ნიმუში. თავის მტკიცებულებაში მათემატიკოსი ეყრდნობა ფუნდამენტურ ფიზიკურ მუდმივას - წვრილი სტრუქტურის მუდმივას, რომელიც აღწერს დამუხტულ ნაწილაკებს შორის ელექტრომაგნიტური ურთიერთქმედების სიძლიერესა და ბუნებას. ამ მუდმივის აღწერისას შედარებით ბუნდოვანი ტოდის ფუნქციის გამოყენებით, ატიამ იპოვა რიმანის ჰიპოთეზის გამოსავალი წინააღმდეგობებით.

სამეცნიერო საზოგადოება არ ჩქარობს შემოთავაზებული მტკიცებულების მიღებას. მაგალითად, ნორვეგიის მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების უნივერსიტეტის ეკონომისტი იორგენ ვისდალი ( იორგენ ვეისდალი), რომელმაც ადრე შეისწავლა რიმანის ჰიპოთეზა, განაცხადა, რომ ატიას გამოსავალი იყო "ზედმეტად ბუნდოვანი და გაურკვეველი". მეცნიერს სჭირდება წერილობითი მტკიცებულებების უფრო ფრთხილად შესწავლა, რათა დასკვნამდე მივიდეს. ატიას კოლეგები დაუკავშირდნენ მეცნიერებამან ასევე აღნიშნა, რომ წარმოდგენილ გადაწყვეტას წარმატებულად არ თვლიან, რადგან ის რყევ ასოციაციებზეა დაფუძნებული. UC Riverside მათემატიკური ფიზიკოსი ჯონ ბაეზი ( ჯონ ბაეზი) და თქვა კიდეც, რომ ატიას მტკიცებულება „უბრალოდ აკისრებს ერთ შთამბეჭდავ პრეტენზიას მეორეს ყოველგვარი არგუმენტის ან რეალური გამართლების გარეშე“.

თავად მაიკლ ატია თვლის, რომ მისი ნაშრომი საფუძველს უყრის არა მხოლოდ რიმანის ჰიპოთეზის, არამედ მათემატიკაში სხვა გადაუჭრელი ამოცანების დასამტკიცებლად. კრიტიკის შესახებ ის ამბობს: „ხალხი წუწუნებს და წუწუნებს, მაგრამ ეს იმიტომ ხდება, რომ ისინი არ ეთანხმებიან იმ აზრს, რომ მოხუცს შეეძლო სრულიად ახალი მეთოდის მოფიქრება“.

საინტერესოა, რომ წარსულში მეცნიერს მსგავსი გახმაურებული განცხადებები უკვე გაუკეთებია და კრიტიკის წინაშე აღმოჩნდებოდა. 2017 წელს ატიამ განუცხადა ლონდონის გამოცემას Დროებარომ მან შეამცირა 255 გვერდიანი ფეიტ-ტომპსონის ანუ უცნაური რიგის თეორემა, რომელიც დადასტურდა 1963 წელს, 12 გვერდამდე. მათემატიკოსმა თავისი მტკიცებულება 15 ექსპერტს გაუგზავნა, მაგრამ მათ ნაშრომს დადებითი შეფასება არ მისცეს და შედეგად არცერთ სამეცნიერო ჟურნალში არ გამოქვეყნებულა. ერთი წლით ადრე ატიამ გამოაცხადა დიფერენციალური გეომეტრიის ცნობილი პრობლემის გადაწყვეტა. ამ ხსნარით სტატიის წინასწარი ბეჭდვა მეცნიერმა ArXiv.org-ზე გამოაქვეყნა. მალე კოლეგებმა აღნიშნეს არაერთი უზუსტობა ნაშრომში და სტატიის სრული ტექსტური ვერსია არასოდეს გამოქვეყნებულა.

ეს შეცდომები ახლა დიდწილად მხარს უჭერს სამეცნიერო საზოგადოების სკეპტიციზმს რიმანის ჰიპოთეზის დამტკიცების შესახებ. ატიე უნდა დაელოდოს თიხის ინსტიტუტის შეფასებას, რომელიც აჩუქებს ჯილდოებს "ათასწლეულის პრობლემების" გადასაჭრელად. ამ დროისთვის მათემატიკოსის მტკიცებულება შეგიძლიათ წაიკითხოთ Google Drive-ის ბმულზე, რომელიც მან თავად გამოაქვეყნა საზოგადოებრივ დომენში.

15-ხაზიანი გამოსავალი წარმოადგინა ცნობილმა ბრიტანელმა მეცნიერმა სერ მაიკლ ფრენსის ატიამ ( მაიკლ ფრენსის ატია), პრესტიჟული მათემატიკური ჯილდოს მფლობელი. ძირითადად მუშაობს მათემატიკური ფიზიკის დარგში. მეცნიერებაიუწყება, რომ ატიამ კონფერენციაზე თავისი აღმოჩენის შესახებ ისაუბრა ჰაიდელბერგის ლაურეატების ფორუმიორშაბათს ჰაიდელბერგის უნივერსიტეტში.

რიმანის ჰიპოთეზა არის ათასწლეულის პრიზის შვიდი პრობლემადან ერთ-ერთი, რომელთაგან თითოეული მილიონი დოლარი ღირს. ამ პრობლემებიდან მხოლოდ ერთი მოგვარებულია - პუანკარის ვარაუდი. მისი ამოხსნა შემოგვთავაზა რუსმა მათემატიკოსმა გრიგორი პერელმანმა ჯერ კიდევ 2002 წელს მისი ნამუშევრების სერიაში. 2010 წელს მეცნიერს მიენიჭა პრიზი, მაგრამ მან უარი თქვა.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ