ბევრი ყველა რეალური რიცხვებიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი სიმრავლის გაერთიანების სახით: დადებითი რიცხვების სიმრავლე, უარყოფითი რიცხვების სიმრავლე და სიმრავლე, რომელიც შედგება ერთი რიცხვისგან - რიცხვი ნული. მიუთითოს, რომ ნომერი ადადებითი, ისიამოვნეთ ჩანაწერით a > 0, უარყოფითი რიცხვის მითითებისთვის გამოიყენეთ სხვა ჩანაწერი ა< 0 .

დადებითი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი ასევე დადებითი რიცხვებია. თუ ნომერი აუარყოფითი, შემდეგ რიცხვი -ადადებითი (და პირიქით). ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a არის დადებითი რაციონალური რიცხვი რ, რა რ< а . ეს ფაქტები საფუძვლად უდევს უთანასწორობის თეორიას.

განმარტებით, უტოლობა a > b (ან ექვივალენტურად, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, ანუ თუ რიცხვი a - b დადებითია.

განვიხილოთ, კერძოდ, უთანასწორობა ა< 0 . რას ნიშნავს ეს უთანასწორობა? ზემოაღნიშნული განმარტების მიხედვით, ეს ნიშნავს იმას 0 - a > 0, ე.ი. -a > 0ან კიდევ რა ნომერი -ადადებითად. მაგრამ ეს ასეა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ნომერი აუარყოფითი. ასე რომ, უთანასწორობა ა< 0 ნიშნავს რომ რიცხვი მაგრამ უარყოფითად.

ხშირად ასევე გამოიყენება აღნიშვნა აბ(ან, რაც იგივეა, ბა).
ჩაწერა აბ, განსაზღვრებით, ნიშნავს რომ ან a > b, ან a = b. თუ ჩანაწერს გავითვალისწინებთ აბროგორც განუსაზღვრელი წინადადება, შემდეგ აღნიშვნაში მათემატიკური ლოგიკაშეიძლება დაიწეროს

(ა ბ) [(ა > ბ) V (ა = ბ)]

მაგალითი 1სწორია თუ არა უტოლობები 5 0, 0 0?

უტოლობა 5 0 არის რთული განცხადებაშედგება ორისაგან მარტივი გამონათქვამებიდაკავშირებულია ლოგიკური შემაერთებელი „ან“-ით (დისუნქცია). ან 5 > 0 ან 5 = 0. პირველი დებულება 5 > 0 მართალია, მეორე დებულება 5 = 0 მცდარია. დისიუნქციის განმარტებით, ასეთი რთული განცხადება მართალია.

ჩანაწერი 00 განიხილება ანალოგიურად.

ფორმის უტოლობები a > b, a< b დაერქმევა მკაცრი და ფორმის უტოლობები აბ, აბ- არა მკაცრი.

უთანასწორობები a > bდა გ > დ(ან ა< b და თან< d ) დაერქმევა იმავე მნიშვნელობის უტოლობას და უტოლობას a > bდა გ< d - საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობები. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ორი ტერმინი (იგივე და საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობები) ეხება მხოლოდ უტოლობების დაწერის ფორმას და არა თავად ამ უტოლობებით გამოხატულ ფაქტებს. ასე რომ, უთანასწორობასთან მიმართებაში ა< b უთანასწორობა თან< d არის იგივე მნიშვნელობის უთანასწორობა და წერილობით დ > გ(იგულისხმება იგივე) - საპირისპირო მნიშვნელობის უთანასწორობა.

ფორმის უტოლობებთან ერთად a > b, აბგამოიყენება ეგრეთ წოდებული ორმაგი უტოლობა, ანუ ფორმის უტოლობები ა< с < b , ტუზი< b , ა< cb ,
აcb. განმარტებით, ჩანაწერი

ა< с < b (1)
ნიშნავს, რომ ორივე უტოლობა მოქმედებს:

ა< с და თან< b.

უთანასწორობას მსგავსი მნიშვნელობა აქვს acb, ac< b, а < сb.

ორმაგი უტოლობა (1) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

(ა< c < b) [(a < c) & (c < b)]

და ორმაგი უტოლობა a ≤ c ≤ bშეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

(ა გ ბ) [(ა< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

მოდით ახლა გადავიდეთ უთანასწორობაზე მოქმედების ძირითადი თვისებებისა და წესების პრეზენტაციაზე, შევთანხმდეთ, რომ ამ სტატიაში ასოები ა, ბ, გწარმოადგენს ნამდვილ რიცხვებს და ნნიშნავს ნატურალურ რიცხვს.

1) თუ a > b და b > c, მაშინ a > c (ტრანზიტულობა).

მტკიცებულება.

ვინაიდან პირობის მიხედვით a > bდა ბ > გ, შემდეგ ნომრები ა - ბდა ბ - გდადებითია და შესაბამისად რიცხვიც a - c \u003d (a - b) + (b - c), როგორც დადებითი რიცხვების ჯამი, ასევე დადებითია. ეს ნიშნავს, განსაზღვრებით, რომ a > c.

2) თუ a > b, მაშინ ნებისმიერი c-სთვის მოქმედებს უტოლობა a + c > b + c.

მტკიცებულება.

როგორც a > b, შემდეგ ნომერი ა - ბდადებითად. ამიტომ, რიცხვი (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bასევე დადებითია, ე.ი.
a + c > b + c.

3) თუ a + b > c, მაშინ a > b - c,ანუ ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით.

მტკიცებულება გამომდინარეობს თვისებიდან 2) საკმარისია უტოლობის ორივე ნაწილისთვის a + b > cდაამატეთ ნომერი -ბ.

4) თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d,ანუ, ერთიდაიგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობის დამატება იძლევა იმავე მნიშვნელობის უტოლობას.

მტკიცებულება.

უტოლობის განმარტებით, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ განსხვავება
(a + c) - (b + c)დადებითი. ეს განსხვავება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
(ა + გ) - (ბ + დ) = (ა - ბ) + (გ - დ).
ვინაიდან ნომრის პირობით ა - ბდა გ - დმაშინ დადებითია (ა + გ) - (ბ + დ)ასევე დადებითი რიცხვია.

შედეგი. წესები 2) და 4) გულისხმობს შემდეგი წესიუტოლობების გამოკლება: თუ a > b, c > d, მაშინ a - d > b - c(დასამტკიცებლად საკმარისია უტოლობის ორივე ნაწილისთვის a + c > b + dდაამატეთ ნომერი - გ - დ).

5) თუ a > b, მაშინ c > 0-სთვის გვაქვს ac > bc, ხოლო c-სთვის< 0 имеем ас < bc.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უტოლობის ორივე მხარის გამრავლებისას, არც ერთი დადებითი რიცხვიუთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია (ანუ მიიღება იგივე მნიშვნელობის უტოლობა) და როდესაც მრავლდება უარყოფითი რიცხვიუტოლობის ნიშანი შებრუნებულია (ე.ი. მიიღება საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობა.

მტკიცებულება.

Თუ a > b, მაშინ ა - ბდადებითი რიცხვია. მაშასადამე, განსხვავების ნიშანი აწ-ძვ = ტაქსი)შეესაბამება რიცხვის ნიშანს თან: თუ თანარის დადებითი რიცხვი, მაშინ განსხვავება აწ - ძვდადებითი და ამიტომ ac > ძვ.წ, და თუ თან< 0 , მაშინ ეს განსხვავება უარყოფითია და ამიტომ ძვ.წ. - ახდადებითი, ე.ი. bc > ac.

6) თუ a > b > 0 და c > d > 0, მაშინ ac > bd,ანუ, თუ ერთი და იგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობის ყველა ტერმინი დადებითია, მაშინ ამ უტოლობათა ტერმინით გამრავლება იწვევს ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობას.

მტკიცებულება.

Ჩვენ გვაქვს ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). როგორც c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, შემდეგ ac - bd > 0, ანუ ac > bd.

კომენტარი.მტკიცებულებიდან ირკვევა, რომ პირობა d > 0თვისების ფორმულირებაში 6) უმნიშვნელოა: იმისათვის, რომ ეს თვისება იყოს ჭეშმარიტი, საკმარისია პირობები a > b > 0, c > d, c > 0. თუ (თუ უტოლობები a > b, c > d) ნომრები ა, ბ, გყველა დადებითი არ არის, მაშინ უთანასწორობა ac > bdშეიძლება არ შესრულდეს. მაგალითად, როდის ა = 2, ბ =1, გ= -2, დ= -3 გვაქვს a > b, c > დ, მაგრამ უთანასწორობა ac > bd(ანუ -4 > -3) ვერ მოხერხდა. ამრიგად, მოთხოვნა, რომ a, b, c რიცხვები დადებითი იყოს 6) თვისების დებულებაში.

7) თუ a ≥ b > 0 და c > d > 0, მაშინ (უტოლობათა გაყოფა).

მტკიცებულება.

Ჩვენ გვაქვს მარჯვენა მხარეს წილადის მრიცხველი დადებითია (იხ. თვისებები 5), 6)), მნიშვნელიც დადებითია. აქედან გამომდინარე,. ეს ადასტურებს თვისებას 7).

კომენტარი.ჩვენ აღვნიშნავთ მნიშვნელოვან განსაკუთრებული შემთხვევაწესი 7) მიღებულია, როდესაც a = b = 1: თუ c > d > 0, მაშინ. ამრიგად, თუ უტოლობის ტერმინები დადებითია, მაშინ საპირისპირო მნიშვნელობებზე გადასვლისას ვიღებთ საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობას. ვიწვევთ მკითხველს დაადასტურონ, რომ ეს წესი ასევე დაცულია 7) თუ ab > 0 და c > d > 0, მაშინ (უტოლობათა დაყოფა).

მტკიცებულება. მაშინ.

ზემოთ ჩვენ დავამტკიცეთ ნიშნით დაწერილი უტოლობების რამდენიმე თვისება > (მეტი). თუმცა, ყველა ეს თვისება შეიძლება ჩამოყალიბდეს ნიშნის გამოყენებით < (ნაკლები), რადგან უთანასწორობა ბ< а განსაზღვრებით ნიშნავს იგივე უთანასწორობას a > b. უფრო მეტიც, როგორც ადვილი შესამოწმებელია, ზემოთ დადასტურებული თვისებები ასევე დაცულია არამკაცრ უტოლობაზე. მაგალითად, თვისება 1) არამკაცრ უტოლობას ექნება შემდეგი ხედი: თუ აბ და ძვ, მაშინ ტუზი.

რა თქმა უნდა, უტოლობების ზოგადი თვისებები არ შემოიფარგლება იმით, რაც ზემოთ იყო ნათქვამი. ჯერ კიდევ არსებობს მთელი ხაზიუთანასწორობები ზოგადი ხედიასოცირდება სიმძლავრის, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ამ სახის უტოლობების დაწერის ზოგადი მიდგომა შემდეგია. თუ რაიმე ფუნქცია y = f(x)სეგმენტზე მონოტონურად იზრდება [a, b], მაშინ x 1 > x 2 (სადაც x 1 და x 2 ეკუთვნის ამ სეგმენტს) გვაქვს f (x 1) > f(x 2). ანალოგიურად, თუ ფუნქცია y = f(x)სეგმენტზე მონოტონურად მცირდება [a, b], შემდეგ ზე x 1 > x 2 (სად x 1და X 2 ეკუთვნის ამ სეგმენტს) გვაქვს f(x1)< f(x 2 ). რა თქმა უნდა, ნათქვამი არ განსხვავდება მონოტონურობის განმარტებისგან, მაგრამ ეს ტექნიკა ძალიან მოსახერხებელია უთანასწორობის დასამახსოვრებლად და დასაწერად.

ასე, მაგალითად, ნებისმიერი ბუნებრივი n ფუნქციისთვის y = x nსხივზე მონოტონურად იზრდება {0} {0} }